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专题01 集合与逻辑(讲义)
一、集合及其运算
1．集合的特性：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性；
2．列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合的方法；
3．描述法：将集合中元素的通性描述出来写在大括号内表示集合的方法；通式：｛x｜x 满足P｝；读法：
满足条件P 的x 的集合；
4．空集Ø 是不含任何元素的集合；它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；
5．“∈，∉”表示元素与集合间的从属关系；“
，⊆”表示集合与集合间的包含关系．
6．给出下列条件：
①集合A 中任何一个元素都是集合B 中的元素；
②集合B 至少存在一个元素不在集合A 中；
③集合B 中任何一个元素都是集合A 中的元素，
如果集合A、B 满足①，则A 是B 的子集（A⊆B）；
如果集合A、B 满足①②，则A 是B 的真子集（A
B）；
如果集合A、B 满足①③，则A 与B 是相等的集合（A＝B）.
注意：①A⊆B，讨论时别忘A＝Ø 的情况；考察集合的关系借助韦思图；
②几个特殊数集之间的包含关系为：N
Z
Q
R
C（N*表示正整数集）；
③正确区分Ø、{0}、{Ø}：Ø 是不含任何元素的集合，即空集。{0}是含有一个元素0 的集合，它不是空集，
因为它有一个元素，这个元素是0．{Ø}是含有一个元素Ø 的集合，其关系为：Ø
{0}，Ø
{Ø}，
Ø∈{Ø}．
7．集合的含义：
（1）A＝｛x｜y＝f（x）｝表示函数的定义域；
（2）B＝（y｜y＝f（x）｝表示函数的值域；
（3）C＝｛（x，y）｜y＝f（x）｝表示方程y＝f（x）的解的集合，或表示曲线上的点的集合··
8．集合间的基本运算：
(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B，即
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A∪B，
即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补
集，简称为集合A 的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
9．运算性质：
A⊆B，且B⊆C⇒A⊆C；
Ø⊆A∩B＝B∩A⊆A（或B）⊆A∪B＝B∪A；
1
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A∩B=A∪B ;A∪B =A∩B ;Ø =U; U =Ø
10．几个结论：
1.若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1 个，非空子集有2n－1 个，非空真子集有
2n－2 个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.容斥定理：记集合M 中的元素的个数为Card（M），则Card（A∪B）=Card（A)+Card（B)-Card
（A∩B)(可推广到有限个集合)
11．正整数（整数）分类：被2 整除与否可分为2k-1,2k（k∈N（或Z），k≥1）；
被3 整除与否可分为3k-2,3k-1,3k（k∈N（或Z），k≥1）；
被4 整除与否可分为4k-3,4k-2,4k-1,4k（k∈N（或Z），k≥1）；其余依此类推．
二、命题
1.命题的概念
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为
真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题
2.命题的形式
在数学中，“若p,则q”是命题的常见形式，其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论.
3.真命题，假命题
命题：“若p,则q”,如果由题设p 能够推出结论q,我们称这个命题是真命题，反之则称这个命题是假命
题.
温馨提示
一个语句是命题应具备两个条件:一是陈述句;二是能够判断真假.一般来说，疑问句、祈使句、感叹句
等都不是命题，
(2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，则是命题；若不能，
则不是命题。
(3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学
上的一些猜想等，这类语句也叫做命题。
(4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题。
(5)要判定一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各
种情况作出正确的判断。而判定一个命题是假命题，只需举出一个反例即可
三、充分条件与必要条件
1.充分条件与必要条件
一般地，“若p, 则q” 为真命题，是指由p 通过推理可以得出q, 记作“p⇒q”, 这时称p 是q 的充分
条件，q 是p 的必要条件.如果“若p,则q”为假命题，那么由p 推不出q,记作p ⇏q, 这时称p 不是q 的
充分条件，q 不是p 的必要条件 .
2 .充要条件
一般地，如果既有p⇒q, 又有q⇒p, 就记作 p⇔q.此时，我们说p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.
显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件.概括地说，如果p⇔q, 那么p 与q 互为充要
条件.
3.常见的四种条件与命题真假的关系
如果原命题为“若 p, 则q”, 逆命题为“若q, 则p”, 那么 p 与q 的关系如下：
2
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原命题
逆命题
p 与q 的关系
结论
真
假
p ⇒ q 且 q ⇏p
p 是q 的充分不必要条件
假
真
p ⇏q 且q⇒ p
p 是q 的必要不充分条件
真
真
p ⇒ q 且q⇒ p
p 是q 的充要条件
假
假
p ⇏q 且 q ⇏ p
p 是q 的既不充分也不必要条件
四、证明命题成立的方法
1．综合法、分析法
内容
综合法
分析法
定义
从命题的条件出发，利用定义、公
理、定理及运算法则，通过演绎推
理，一步一步地接近要证明的结
论，直到完成命题的证明．我们把
这样的思维方法称为综合法
从求证的结论出发，一步一步地探
索保证前一个结论成立的充分条
件，直到归结为这个命题的条件，
或者归结为定义、公理、定理等．
我们把这样的思维方法称为分析法
实质
由因导果
执果索因
框图
表示
→
→…→
→→…→
文字
语言
因为……所以……或由……得……
要证……只需证……
即证……
2．反证法
(1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、
定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此
断定命题结论成立的方法叫反证法．
(2)反证法的证题步骤：
①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．
3.常见词语的否定词语
原词
等于
(=)
大于
(>)
小于
(<)
是
都是
至多
有一个
至多
有n 个
至少
有一个
否定
不等于
(≠)
不大于
(≤)
不小于
(≥)
不是
不都是
至少有
两个
至少有
(n+1)个
一个也
没有
一、单选题
1．下列四个命题中，其中真命题的个数为（ ）
3
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①与0 非常接近的全体实数能构成集合；
②
表示一个集合；
③空集是任何一个集合的真子集；
④任何一个非空集合至少有两个子集．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】根据集合定义，空集性质以及非空集合子集个数为
即可得结果.
【解析】①与0 非常接近的全体实数不确定，所以不能构成集合，错误；
②
，正确；
③空集是任何非空集合的真子集，错误；
④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为
，正确.
故选：C
2．下列命题中正确的是（ ）
①
与
表示同一个集合
②由1，2，3 组成的集合可表示为
或
③方程
的所有解的集合可表示为
④集合
可以用列举法表示
A．只有①和④
B．只有②和③
C．只有②
D．以上都对
【答案】C
【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．
【解析】解：对于①，由于“0”是元素，而“
”表示含0 元素的集合，而
不含任何元素，所以①不
正确；
对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；
对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；
对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.
综上可得只有②正确.
故选：C.
4
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3．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得.
【解析】对于A，两个集合都为点集，
与
是不同点，故M、N 为不同集合，故A 错误；
对于B，M 是点集，N 是数集，故M、N 为不同集合，故B 错误；
对于C，M 是数集，N 是点集，故M、N 为不同集合，故C 错误；
对于D，
，
，故M、N 为同一集合，故D 正确.
故选：D.
4．已知集合
，则
与集合
的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】把集合A 用列举法表示出来，利用元素和集合是属于或不属于的关系，就能判断选项.
【解析】
故选：B
5．设
，集合
，则
（ ）
A．1
B．－1
C．0
D．－2
【答案】C
【分析】根据集合相等即可得出答案.
【解析】因为
，
，所以
.经检验满足题意
故选：C
5
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【点睛】本题主要考查了由集合相等求参数的值，属于基础题.
6．设全集
，若集合
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得.
【解析】全集
，由
，知
，则
，A 错误，B 正确；
不能判断
，也不能判断
，CD 错误.
故选：B
7．已知六个关系式①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
，它们中关系
表达正确的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.
【解析】根据元素与集合、集合与集合关系：
是
的一个元素，故
，①正确；
是任何非空集合的真子集，故
、
，②③正确；
没有元素，故
，④正确；且
、
，⑤错误，⑥正确；
所以①②③④⑥正确.
故选：C
8．若集合
，其中
且
，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】借助元素与集合的关系计算即可得.
6
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【解析】由题意可得
，解得
.
故选：A.
9．设集合
，则集合M 的真子集个数为（ ）
A．8
B．7
C．32
D．31
【答案】B
【分析】根据不等式的解法，求得集合
，结合集合真子集的求法，即可求解.
【解析】由不等式
，解得
，
因为
，所以
，
所以集合M 的真子集个数为
.
故选：B．
10．若集合
有15 个真子集，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据真子集的定义可得集合A 中有4 个元素，得解.
【解析】因为集合A 有15 个真子集，所以集合A 中有4 个元素，所以
.
故选：A．
11．已知集合
，
，则满足
的实数a 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可.
【解析】依题意，
，若
，解得
（
时不满足集合的互异性，舍去），
若
，解得
（
时不满足集合的互异性，舍去），
综上所述，
或
.
故选：B
7
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12．设集合
，则
中元素的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】
先求出集合
，再求交集即可.
【解析】
依题意可得
，
则
，则
中元素的个数为.
故选：B.
13．设集合
，若
，则实数m=（ ）
A．0
B．
C．0 或
D．0 或1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论
和
两种情况，求解
并检验集合的互异性，
可得到答案.
【解析】设集合
，若
，
，
或
，
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
；
所以
或.
故选：C
14．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
8
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【分析】由交集的定义求解.
【解析】集合
，则
.
故选：D
15．已知集合
的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0}
B．{1}
C．{－1，1}
D．{0,-1，1}
【答案】D
【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出
的取值集合.
【解析】因为集合
的元素之和为1，
所以一元二次方程
有等根时，可得
，即
，
当方程有两不相等实根时，
，即
，
综上，实数a 所有取值的集合为
.
故选：D
16．已知集合
，
，若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得.
【解析】集合
，
，又
，则
，
所以实数a 的取值范围是
.
故选：B
17．下列语句中，命题的个数是 （ ）
①空集是任何集合的真子集；②请起立；
③
的绝对值为1；④你是高一的学生吗?
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】
9
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根据命题的概念逐一判断.
【解析】
①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题.
故选：C.
18．若“
”是“
”的必要不充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
⫋
，再根据集合的包含关系求参即可.
【解析】因为“
”是“
”的必要不充分条件，
所有
⫋
，所以
，
即实数
的取值范围为
．
故选：A．
二、填空题
19．已知集合
，用列举法表示
为 .
【答案】
【分析】根据集合的意义直接表示集合
.
【解析】
，
故答案为：
.
20．设全集
，集合
，则
．
【答案】
【分析】根据补集的定义可求
.
【解析】由题设有
，
10
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故答案为：
21．“
或
”的否定形式为 ．
【答案】“
且
”
【分析】直接由或命题的否定法则进行否定即可得解.
【解析】由题意“
或
”的否定形式为“
且
”.
故答案为：“
且
”.
22．已知全集
，则
.
【答案】
或2
【分析】由补集运算法则可知需满足
，解出
的取值代入检验即可得出结果.
【解析】根据题意可知，需满足
，解得
或
；
经检验，当
时，
，满足题意；
当
时，
，满足题意；
故答案为：
或2
23．用反证法证明命题：“已知
，则
且
”时，应假设 .
【答案】
或
.
【分析】利用反证法的概念直接求解.
【解析】用反证法证明命题：“已知
，则
且
”时，
应假设:
或
.
故答案为：
或
.
24．已知
是
的充分非必要条件，
的充要条件是，则是
的 条件.
11
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【答案】必要非充分
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【解析】由题意，
，但
，所以，是
的必要非充分条件.
故答案为：必要非充分.
25．
，
或
，且
，则
的取值范围是 .
【答案】
或
【分析】根据条件及集合的运算，借助数轴，即可求出结果.
【解析】因为
，
或
，且
，
由图知
或
，得到
或
，
故答案为：
或
.
26．已知
且
的充分不必要条件是
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由充分不必要条件的定义,知
是
的真子集,分情况讨论
即可.
【解析】由题意知当
时,
当
时，
则
的取值范围是
故答案为：
27．已知全集
，
，
，指出Venn 图中阴影部分表示的集合是
.
12
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.
【答案】
【分析】根据集合的运算求得
，可得
，结合Venn 图中阴影部分表示的集合为
，即可得答案.
【解析】由于全集
，
，
，
故
，
则
，
故Venn 图中阴影部分表示的集合为
，
故答案为：
28．设集合
，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为
.
【答案】7
【分析】根据韦恩图判定阴影表示的集合，结合真子集的概念计算即可.
【解析】因为
，所以
，
由韦恩图可知阴影部分表示的集合为
，
故其真子集个数为
个.
故答案为：7
13
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29．如图，已知
是全集，
、
、
是
的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为
【答案】
【分析】根据韦恩图及集合的运算表示即可.
【解析】由韦恩图可知阴影部分表示集合
中集合
的补集与集合
的公共部分，
所以可以表示为
.
故答案为；
30．已知
是全集，
是
的三个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来 ．
【答案】
【分析】根据
分析即可.
【解析】由题知，图中的阴影部分为
，
故答案为：
.
31．“扫码支付”“高铁”“网购”与“共享单车”被称为中国的“新四大发明”.某中学为了了解本校学
生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100 位学生，其中使用过“扫码支付”或“共享单车”的学
生共有90 位，使用过“扫码支付”的学生共有80 位，使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生
共有60 位，则这100 位学生中使用过“共享单车”的学生共有 位.
【答案】70
【分析】由题意结合Venn 图可知：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有10 人，再计
算即可得解．
【解析】根据题意使用过“扫码支付”、“共享单车”的人数用Venn 图表示如图，
使用过“共享单车”或“扫码支付”的学生共有90 位，使用过“扫码支付”的学生共有80 位，
14
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则可得：只使用过“共享单车”但没使用过“扫码支付”的学生有
人，
又使用过“共享单车”且使用过“扫码支付”的学生共有60 位，
则使用过“共享单车”的学生人数为
，
故答案为：70．
32．某水果店统计了连续三天售出水果的种类情况：第一天售出15 种水果，第二天售出了12 种水果，第
三天售出14 种水果，前两天售出相同种类的水果有7 种，后两天售出相同种类的水果有6 种．那么该水果
这三天售出的水果至少有 种．
【答案】20
【分析】设出未知数，用韦恩图表达出其他量，得到不等式，求出答案.
【解析】设这三天售出相同种类的水果有
种，
第一天售出、第二天未售出、且第三天售出的水果相同种类有
种，
则这三天售出水果的种类关系如图所示．
由图可知，该水果店这三天售出水果有
种，
由
，得
，所以
．
故该水果店这三天售出的水果至少有20 种．
故答案为：20
15
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