文档文本内容
专题01 集合
目录
01 题型归纳目录..................................................................................................................................2
02 思维导图..........................................................................................................................................3
03 考点统计..........................................................................................................................................4
04 知识点梳理......................................................................................................................................5
知识点1、元素与集合............................................................5
知识点2、集合间的基本关系......................................................5
知识点3、集合的基本运算........................................................6
知识点4、集合的运算性质........................................................6
方法技巧与总结..................................................................6
05 题型归纳，举一反三......................................................................................................................7
题型一：集合的表示..............................................................7
题型二：集合元素的特征..........................................................8
题型三：元素与集合间的关系......................................................9
题型四：集合与集合之间的关系...................................................10
题型五：集合的交、并、补运算...................................................11
题型六：集合中含参数问题.......................................................12
06 模拟题精练....................................................................................................................................15
1
2
3
考点要求
考题统计
复习目标
（1）集合的概念与表示
（2）集合的基本关系
（3）集合的基本运算
2025 年 I 卷第2 题，5 分
2025 年 II 卷第3 题，5 分
2024 年 I 卷第1 题，5 分
2023 年 I 卷第1 题，5 分
2023 年 II 卷第2 题，5 分
2022 年 I 卷II 卷第1 题，5 分
2021 年I 卷II 卷第1 题，5 分
2020 年I 卷II 卷第1 题，5 分
1、了解集合的含义，了解全集、空集的含义.
2、理解元素与集合的属于关系，理解集合间的
包含和相等关系.
3、会求两个集合的并集、交集与补集.
4、能用自然语言、图形语言、集合语言描述不
同的具体问题，能使用Venn 图表示集合间的基
本关系和基本运算．.
4
知识点1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：
和
．
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（
图）．
（4）常见数集和数学符号
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不
在这个集合中就确定了．给定集合
，可知
，在该集合中，
，不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的．
集合
应满足
．
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分．集合
和
是同一个集合．
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖
线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
知识点2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合
、
，如果集合
中任意一个元素都是集合
中的
元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合
为集合
的子集 ，记作
（或
），读作“
包含于
”（或“
包含
”）．
（2）真子集（proper subset）：如果集合
，但存在元素
，且
，我们称集合
是集
合B 的真子集，记作
（或
）．读作“
真包含于
”或“
真包含
”．
（3）相等：如果集合
是集合
的子集（
，且集合
是集合
的子集（
），此时，
集合
与集合
中的元素是一样的，因此，集合
与集合
相等，记作
．
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非
5
空集合的真子集．
知识点3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合
且属于集合
的所有元素组成的集合，称为
与
的交集，记作
，即
．
（2）并集：一般地，由所有属于集合
或属于集合
的元素组成的集合，称为
与
的并集，记作
，即
．
（3）补集：对于一个集合
，由全集
中不属于集合
的所有元素组成的集合称为集合
相对于全
集
的补集，简称为集合
的补集，记作
，即
．
知识点4、集合的运算性质
（1）
，
，
．
（2）
，
，
．
（3）
，
，
．
方法技巧与总结
（1）若有限集
中有
个元素，则
的子集有
个，真子集有
个，非空子集有
个，非
空真子集有
个．
（2）空集是任何集合
的子集，是任何非空集合
的真子集．
（3）
．
（4）
，
．
6
题型一：集合的表示
【例1】（2025·高三·广东·月考）已知集合
，则
的真子集个数为（ ）
A．1
B．3
C．7
D．15
【答案】C
【解析】因为
，
所以
的值有：
，
，
，
，
由集合元素的互异性得：
，
所以其真子集个数为
.
故选：C.
【变式1-1】（2025·云南·模拟预测）已知集合
，则
中元素的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由题意知，
，故
中有3 个元素．
故选：C.
【变式1-2】（2025·高三·山东济宁·期中）设全集
且
，集合
，则
真子集的
个数为（ ）
A．3
B．4
C．15
D．16
【答案】C
【解析】全集
且
，
则
，共4 个元素，
所以
真子集的个数为
.
故选：C
【变式1-3】（2025·高三·山东临沂·期中）已知集合
，
，则
中含有的元素个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【解析】集合
，
集合
，
7
所以
，故
中含有2 个元素.
故选：C
题型二：集合元素的特征
【例2】（2025 年高考全国一卷数学真题）已知集合
，
，则
中元
素个数为（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
中的元素个数为，
故选：C．
【变式2-1】（2025·高三·江苏·学业考试）已知集合
，则
中元素的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】因为集合
，
所以当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；
当
时，
，
可以看出
的周期为4，
的取值集合为
，
所以
中元素的个数为3.
故选：C.
【变式2-2】（2025·陕西榆林·一模）已知集合
，若
，则实数
的值为
（ ）
A．
或3
B．0 或
C．3
D．
【答案】C
【解析】因为集合
，
，
8
所以
，解得
.
故选：C
【变式2-3】（2025·高三·河北·期中）已知集合
，则集合
的元素个
数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】若
，
，
则
可能为
，所以
的元素个数为3.
故选：C.
题型三：元素与集合间的关系
【例3】已知集合
，若
且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
又
且
，则
.
故选：D
【变式3-1】（2025·高三·湖南长沙·月考）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，可知
对于A，
是集合不是集合
的元素，故
错误，A 错误；
对于B，
，B 错误；
对于C，
，C 正确；
对于D，因为
，不满足
，D 错误；
故选：C.
【变式3-2】（2025·江苏·模拟预测）已知集合
，下列式子错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9
【答案】D
【解析】解方程
得
，所以
，根据元素与集合的关系故A 正确；
空集是任何集合的子集，所以
，故B 正确；
表示无理数组成的集合，
均为无理数，所以
，故C 正确；
表示的是集合，所以
，故D 错误.
故选：D.
【变式3-3】（2025·高三·重庆·月考）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵
，即
，
∴
，
∴
.
故选：A.
题型四：集合与集合之间的关系
【例4】（2025·高三·山东·月考）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
，即k 为偶数时，
，
当
，即k 为奇数时，
，
所以集合A 中元素为除以6 余1 的整数和除以6 余4 的整数，
因为
，
所以集合B 中元素为除以6 余1 的整数，
所以
，故B 正确，A 错误；
当
，即
，当
，
，即
，所以
，故C 错误；
由
得，
，为除以6 余1 的整数和除以6 余4 的整数，并不是全体整数，故D 错误.
故选：B
【变式4-1】（2025·广东江门·模拟预测）若集合
，
，则（ ）
A．
B．
10
C．
D．
【答案】D
【解析】对A，因为
，但
，所以
不成立，故A 错误；
对B，因为
，但
，所以
不成立，故B 错误；
对C，
，故C 错误；
对D，
，故D 正确.
故选：D
【变式4-2】如图所示的Venn 图中，
是非空集合，定义集合
为阴影部分表示的集合．若
的子集个数为（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16
【答案】B
【解析】
，
，
则
，
，
所以
，其子集个数为
个.
故选：B.
【变式4-3】已知集合
，若
，则实数
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
当
时，则
，所以
，得
，
此时
；
当
时，则
，所以
，所以
，所以
，则
，
此时
，
综上所述，实数
的取值集合为
.
11
故选：B.
题型五：集合的交、并、补运算
【例5】（2025 年高考天津卷数学真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，则
，
集合
，
故
故选：D.
【变式5-1】（2025 年高考全国二卷数学真题）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，故
，
故选：D.
【变式5-2】（2024 年北京高考数学真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
.
故选：C.
【变式5-3】（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集
,集合
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为整数集
，
，所以，
．
12
故选：A．
题型六：集合中含参数问题
【例6】（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，则有：
若
，解得
，此时
，
，不符合题意；
若
，解得
，此时
，
，符合题意；
综上所述：
.
故选：B.
【变式6-1】已知集合
，
，若
，则a 的取值集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解方程
，因式分解得
，解得
或
，因此
.
当
时，此时
，符合
.
当
时，此时
，方程
的解为
，
又
，可得
或
，所以
或
；
综上，a 的取值为0、1、
，因此a 的取值集合为
.
故选：A.
【变式6-2】（2025·高三·湖南长沙·月考）已知集合
，
，若
，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
.
故选：D
13
【变式6-3】（2025·吉林长春·模拟预测）已知集合
，若
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得
，解得
，所以
，
又
，所以
，所以实数
的取值范围是
.
故选：C.
【变式6-4】（2025·高三·河南周口·月考）已知集合
，且
，
则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由不等式
，可得
，解得
，所以
，
又由集合
，
因为
，所以
，则
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：A.
14
1．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，且注意到
，
从而
.
故选：A.
2．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意得，对于集合
中的元素
，满足
，
则
可能的取值为
，即
，
于是
.
故选：C
3．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
则
，
故选：D
4．（2024 年天津高考数学真题）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为集合
，
，
所以
，
故选：B
15
5．（2023 年北京高考数学真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，
，
，
根据交集的运算可知，
.
故选：A
6．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
，则
.
故选：A.
7．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为全集
，集合
，所以
，
又
，所以
，
故选：A.
8．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
，则
，选项A 正确；
，则
，选项B 错误；
，则
或
，选项C 错误；
或
，则
或
，选项D 错误；
16
故选：A.
9．（2023 年天津高考数学真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，而
，
所以
.
故选：A
10．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】方法一：因为
，而
，
所以
．
故选：C．
方法二：因为
，将
代入不等式
，只有
使不等式成立，所以
．
故选：C．
11．（2025·高三·湖北·期中）已知集合
，若
，则实数
的值为（ ）
A．1
B．2
C．2 或
D．1 或
【答案】B
【解析】若
，则集合B 是集合A 的子集，所以
或
.
当
时，
，则
，不满足集合中元素的互异性，不合题意；
当
时，
，即
，解得：
或
，
若
，则
，不满足集合中元素的互异性，不合题意；
若
，则
，符合题意.
故实数
的值为2.
故选：B.
12．（2025·广东茂名·一模）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
17
【解析】因为集合
，集合
，
所以
.
故选：A．
13．（2025·四川德阳·一模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解不等式
，解得
或
，
所以集合
或
，
解
得
，即
，
所以集合
，
所以
.
故选：B
14．（2025·湖南长沙·二模）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
所以
.
故选：B
15．（2025·重庆·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，解得
或
，
所以
，
又
，
18
.
故选：C.
16．（2025·江苏·模拟预测）已知集合
，则
中元素的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由
，则
.
故选：B.
17．（2025·高三·河北邢台·月考）已知全集
，且集合
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由补集的概念可得
．
故选：B.
18．（2025·福建·一模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为集合
中所有元素为奇数，集合
中的元素是集合
中两个元素之和，而两个奇数之和必为偶
数，所以集合
中所有元素均为偶数。
因此
和
没有公共元素，故
．
故选：D
19．（2025·广东·模拟预测）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意得
，
则
.
故选：B.
20．（2025·河北沧州·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意知
.
19
又
，
所以
.
故选：B.
21．（多选题）（2025·广东·模拟预测）已知集合
，
，则（ ）
A．当
时，集合
含有2 个元素
B．集合
中的元素个数可能为5
C．当
时，
D．当
时，
【答案】ABD
【解析】对于A，当
时，则
，
，此时
，故A 正确；
对于B，取
，
，则
，
，此时
，故B 正确；
对于C，取
，
，此时
，
，
，而有
，故C 错误；
对于D，当
时，
，
，
根据集合元素的互异性，必有
，
若
，则两集合除0 外的元素也应相同，即
，
这需要满足“
且
”（显然不成立）或“
且
”，后者要求
，
与集合B 元素互异性的要求
矛盾，故假设
不成立，因此
，故D 正确，
故选：ABD．
22．（2025·上海闵行·一模）已知全集
，集合
，则
【答案】
/
【解析】因为全集
，集合
，则
.
故答案为：
.
23．（2025·吉林长春·三模）设集合
，
，则
．
20
【答案】
【解析】因为
，且函数
在
上为增函数，
当
时，
，即
，
因此
.
故答案为：
.
24．（2025·上海普陀·一模）已知集合
，则
．
【答案】
【解析】解不等式
得
，则
，
则
.
故答案为：
.
25．（2025·上海黄浦·一模）已知集合
，
，则
．
【答案】
【解析】由
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
26．（2025·上海静安·一模）已知全集是实数集R，集合
，则集合
的补集
．
【答案】
【解析】由已知
,或
，
所以
.
故答案为：
27．（2025·安徽合肥·一模）已知集合
，若
，则实数
的取值范围为 .
【答案】
21
【解析】因为
，故
，
因为
恒成立，所以
，
所以
，即
.
故答案为：
.
28．（2025·四川巴中·二模）设集合
，
，则
【答案】
【解析】
，又
，
则
.
故答案为：
.
29．（2025·山东泰安·模拟预测）已知集合
，
，则
.
【答案】
【解析】对于集合
，要使根式有意义，即
.
解不等式
，可得
，所以集合
.
已知集合
，集合
.
根据并集的定义,所以
.
故答案为：
.
30．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合
. 若
，则
的取值
范围为 .
【答案】
【解析】依题意，
，则
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
31．（2025·湖南长沙·二模）已知集合
，若
，则m 的可能取值组成的
集合为 ．
【答案】
【解析】
，∴
．
∴当
时，
；当
时，
；当
时，
，
22
∴m 的值为0，1，
，∴m 的值为
．
故答案为：
.
23
