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专题02 排列组合与二项式定理
及数字特征与概率统计
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽
样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有400 名和200 名学生，
则不同的抽样结果共有（ ）．
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
2．（2022·全国·高考真题）从2 至8 的7 个整数中随机取2 个不同的数，则这2 个数互质的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙
和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
4．（2021·全国·高考真题）有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，
每次取1 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙
表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立
B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立
D．丙与丁相互独立
1
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5．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布
，下列结论中不正确的是（ ）
A．
越小，该物理量在一次测量中在
的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10 的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99 与大于10.01 的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在
与落在
的概率相等
二、多选题
6．（2023·全国·高考真题）有一组样本数据
，其中
是最小值，
是最大值，则（ ）
A．
的平均数等于
的平均数
B．
的中位数等于
的中位数
C．
的标准差不小于
的标准差
D．
的极差不大于
的极差
7．（2023·全国·高考真题）在信道内传输0，1 信号，信号的传输相互独立．发送0 时，收到1 的概率为
，收到0 的概率为
；发送1 时，收到0 的概率为
，收到1 的概率为
. 考虑
两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1 次，三次传输 是指每个信号重复发
送3 次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的
信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1 的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1 的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1 的概率为
D．当
时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0 的概率大于采用单次传输方案译码为0 的
概率
2
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8．（2021·全国·高考真题）有一组样本数据
，
，…，
，由这组数据得到新样本数据
，
，…，
，其中
(
为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
9．（2021·全国·高考真题）下列统计量中，能度量样本
的离散程度的是（ ）
A．样本
的标准差
B．样本
的中位数
C．样本
的极差
D．样本
的平均数
三、填空题
10．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生需从这8 门课中选
修2 门或3 门课，并且每类选修课至少选修1 门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
11．（2022·全国·高考真题）
的展开式中
的系数为 （用数字作答）．
12．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X 服从正态分布
，且
，则
．
四、解答题
13．（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，
若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率
均为0.8．由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2 次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
3
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(3)已知：若随机变量
服从两点分布，且
，则
．
记前
次（即从第1 次到第
次投篮）中甲投篮的次数为
，求
．
14．（2023·全国·高考真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明
显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判
定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为
；误诊率是将未患病者判定为阳
性的概率，记为
．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率
％时，求临界值c 和误诊率
；
(2)设函数
，当
时，求
的解析式，并求
在区间
的最小值．
15．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯
分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100 例（称为病例组），同时在未
患该疾病的人群中随机调查了100 人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
4
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(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该
疾病”．
与
的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）利用该调查数据，给出
的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．
附
，
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
16．（2022·全国·高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100 位某种疾病患者的年龄，得到
如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间
的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为
，该地区年龄位于区间
的人口占该地区总人口的
.从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间
，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
5
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17．（2021·全国·高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B 两类问题，每位参加比赛的同学
先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从
另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答
正确得20 分，否则得0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得80 分，否则得0 分，已知小明能正确回答A
类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A 类问题，记
为小明的累计得分，求
的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
18．（2021·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0
代，经过一次繁殖后为第1 代，再经过一次繁殖后为第2 代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的
且有相同的分布列，设X 表示1 个微生物个体繁殖下一代的个数，
．
（1）已知
，求
；
（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：
的一个最小正实根，求证：当
时，
，当
时，
；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
一、单选题
1．（2024·浙江嘉兴·二模）6 位学生在游乐场游玩
三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目
都有人游玩，若
项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ）
A．180 种
B．210 种
C．240 种
D．360 种
2．（2024·浙江·二模）为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽
样，现抽取高一学生40 人，其每天学习时间均值为8 小时，方差为0.5，抽取高二学生60 人，其每天学习
时间均值为9 小时，方差为0.8，抽取高三学生100 人，其每天学习时间均值为10 小时，方差为1，则估计
该校学生每天学习时间的方差为（ ）
A．1.4
B．1.45
C．1.5
D．1.55
6
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3．（2024·山西·二模）一个盒子里装有5 个小球，其中3 个是黑球，2 个是白球，现依次一个一个地往外
取球（不放回），记事件
表示“第
次取出的球是黑球”，
，则下面不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·浙江·二模）
展开式的常数项为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理
论，随机事件
，
存在如下关系：
.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种
试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为
，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有
的可能呈现阳性；该试剂的误报率为
，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有
的
可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．（2024·全国·二模）人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量
一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023 年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均
消费支出统计图，据此进行分析，则（ ）
7
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A．2018~2023 年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
B．2018~2023 年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
C．2018~2023 年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大
D．2018~2023 年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180 元
7．（2024·广东·二模）若
是样本数据
的平均数，则（ ）
A．
的极差等于
的极差
B．
的平均数等于
的平均数
C．
的中位数等于
的中位数
D．
的标准差大于
的标准差
8．（2024·辽宁·一模）下图是样本甲与样本乙的频率分布直方图，下列说法判断正确的是（ ）
A．样本乙的极差一定大于样本甲的极差
B．样本乙的众数一定大于样本甲的众数
C．样本甲的方差一定大于样本乙的方差
8
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D．样本甲的中位数一定小于样本乙的中位数
9．（2024·广东广州·一模）甲箱中有个红球和
个白球，乙箱中有
个红球和
个白球（两箱中的球除颜
色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件
和
表示从甲箱中取出的球是红
球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件
表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·山西朔州·一模）在信道内传输
信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的
信号字母不变的概率为
，收到其他两个信号的概率均为
．若输入四个相同的信号
的概率分别为
，且
．记事件
分别表示“输入
”“输入
”“输入
”，事件
表示“依次输出
”，则（ ）
A．若输入信号
，则输出的信号只有两个
的概率为
B．
C．
D．
三、填空题
11．（2024·浙江·二模）某中学的A､B 两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2 个班级某天上午
的5 节课进行排课，2 节语文课，2 节数学课，1 节英语课，要求每个班级的2 节语文课连在一起，2 节数
学课连在一起，则共有 种不同的排课方式.（用数字作答）
12．（2024·广东佛山·二模）甲、乙、丙3 人在公交总站上了同一辆公交车，已知3 人都将在第4 站至第8
9
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站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分
下车的顺序，则甲、乙、丙3 人下车的不同方法总数是 ．
13．（2024·广东·一模）随机变量
，若
且
，则随机变
量
的第80 百分位数是 .
14．（2024·安徽芜湖·二模）从某工厂生产的零件中随机抽取11 个，其尺寸值为43，45，45，45，49，
50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11 个零件中任取3 个，则3 个零件的尺寸刚好为这11 个
零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为 ．
15．（2024·山东枣庄·一模）
的展开式中
的系数为 ．（用数字作答）
四、解答题
16．（2024·河北沧州·一模）某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲乙两个小盒，每盒中有除
､
颜色外形状和大小完全相同的10 个小球，其中甲盒中有8 个黑球和2 个白球，乙盒中有3 个黑球和7 个白
球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若
摸出黑球，则结束摸球，得300 元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第
二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒
子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200 元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，
得100 元购物券．用X 表示一位参加活动者所得购物券的金额．
(1)在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率．
(2)①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；
②依据以上分析，求随机变量
的数学期望的最大值.
17．（2024·湖南常德·三模）某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9 天每天普
及的人数，得到下表：
时间
（天）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
每天普及的人数y
8
0
98
129
15
0
203
190
258
29
2
310
(1)从这9 天的数据中任选4 天的数据，以
表示4 天中每天普及人数不少于240 人的天数，求
的分布列
和数学期望；
(2)由于统计人员的疏忽，第5 天的数据统计有误，如果去掉第5 天的数据，试用剩下的数据求出每天普及
的人数y 关于天数
的线性回归方程.
10
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（参考数据：
，
附：对于一组数据
，
，
，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分
别为：
）.
18．（2024·江苏·一模）我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的
新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进
行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击
中目标的概率都为
，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为
，击
中目标两次起火点被扑灭的概率为
，击中目标三次起火点必定被扑灭.
(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.
19．（2024·山东潍坊·一模）若
，
是样本空间
上的两个离散型随机变量，则称
是
上的二维离
散型随机变量或二维随机向量．设
的一切可能取值为
，
，记
表示
在
中
出现的概率，其中
．
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3 的三个盒子中，记1 号盒子中的小球个数为
，2 号盒
子中的小球个数为
，则
是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量
的所有可能取值；
②若
是①中的值，求
（结果用
，
表示）；
(2)
称为二维离散型随机变量
关于
的边缘分布律或边际分布律，求证：
．
11
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20．（2024·浙江·二模）甲、乙两人进行知识问答比赛，共有
道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设
每题甲乙答题正确的概率分别为
和
，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0 分，答对一题得1 分，
答错一题得﹣1 分，未抢到题得0 分，最后累计总分多的人获胜.
(1)若
，
，求甲获胜的概率；
(2)若
，设甲第题的得分为随机变量
，一次比赛中得到
的一组观测值
，如下表.
现利用统计方法来估计
的值：
①设随机变量
，若以观测值
的均值
作为
的数学期望，请以此求出
的估计
值
；
②设随机变量
取到观测值
的概率为
，即
；
在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着
的变化，用使得
达到最大时
的取值
作为参数
的一个估计值.求
.
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
1
0
0
1
﹣
1
1
1
﹣
0
0
0
题目
11
12
1
3
14
15
1
6
17
1
8
19
20
得分
﹣
1
0
1
1
1
﹣
0
0
0
1
0
表1：甲得分的一组观测值.
附：若随机变量
，
的期望
，
都存在，则
.
12
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一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）二项式
的展开式中所有项的系数和为243．则展开式中含
项的
二项式系数为（ ）
A．
B．
C．5
D．10
2．（2024·广东·模拟预测）现有随机事件件A，B，其中
，则下列说法不正
确的是（ ）
A．事件A，B 不相互独立
B．
C．
可能等于
D．
3．（2024·安徽池州·模拟预测）2024 年1 月27 日国家统计局发布的2023 年各月累计利润率与每百元营业
收入中的成本数据如图所示，则（ ）
A．从每百元营业收入中的成本中，剔除最大与最小2 个数据后的中位数与剔除前的数据的中位数不相
同
B．2023 年各月累计利润率的60%分位数为5.455%
C．每百元营业收入中的成本与各月累计利润率是同步增大或减少的
D．每百元营业收入中的成本
月份的比
月份的大
4．（2024·广东佛山·模拟预测）在《周易》中，长横“
”表示阳爻，两个短横“
”表示阴爻.
有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有
种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两
仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2 种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四
13
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种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取
阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳
爻三个阴爻的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
E．均不是
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）随机事件A 发生的概率为
，随机事件B 发生的概率为
，则事件A，B
同时发生的概率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·全国·模拟预测）神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022 年的第六次飞行任务，也是中
国空间站建造阶段最后一次飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6 个月.某校为了培养学生们的航天精神，
特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了
和两位同学代表班级参加
比赛，每轮竞赛
和两位同学各答1 题.已知
同学每轮答对的概率是
，同学每轮答对的概率是
，每
轮竞赛中
和两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则
和两位同学至少答对3 道题的概
率为（ ）.
A．
B．
C．
D．
7．（2024·广东佛山·模拟预测）小明爬楼梯每一步走1 级台阶或2 级台阶是随机的，且走1 级台阶的概率
为
，走2 级台阶的概率为
．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4 级台阶的条件下，他走了3
步的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
8．（2024·湖南·模拟预测）玻璃缸中装有2 个黑球和4 个白球，现从中先后无放回地取2 个球．记“第一
次取得黑球”为
，“第一次取得白球”为
，“第二次取得黑球”为
，“第二次取得白球”为
，
则（ ）
14
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A．
B．
C．
D．
9．（2024·全国·模拟预测）2023 年10 月26 日，神舟十七号载人飞船成功发射，我国在航天事业中取得举
世瞩目的成就．为了普及航天知识，某校举行了航天知识竞赛，竞赛中设置了多选题目（每题4 个选项中
有2 个或3 个正确选项），每题全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分．已知某一道多
选题甲完全不会，他随机选择2 个或3 个选项，该题有2 个正确选项的概率为
．记
表示甲的得分，则
（ ）
A．甲得2 分的概率为
B．若甲选择2 个选项，则
C．若甲选择3 个选项，则
D．甲得5 分的概率为
三、填空题
10．（2024·重庆·模拟预测）重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过
渡地带．东邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西．现用4 种颜色标注6 个省份的地图区域，相
邻省份地图颜色不相同，则共有 种涂色方式．
四、解答题
11．（2024·湖北武汉·模拟预测）某校为了丰富课余活动，同时训练学生的逻辑思维能力，在高中三个年
级举办中国象棋盲棋比赛，经过各年级初赛，高一、高二、高三分别有3 人，4 人，5 人进入决赛，决赛采
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取单循环方式，即每名队员与其他队员都要进行1 场比赛（每场比赛都采取5 局3 胜制，初赛、决赛的赛
制相同，记分方式相同），最后根据积分选出冠军，积分规则如下：比赛中以3 0∶或3 1∶取胜的队员积3 分，
失败的队员积0 分；而在比赛中以3 2∶取胜的队员积2 分，失败的队员积1 分．
(1)从进入决赛的12 人中随机抽取2 人进行表演赛，这2 人恰好来自不同年级的概率是多少？
(2)初赛时，高三甲、乙两同学对局，设每局比赛甲取胜的概率均为
，记甲以
取胜的概率为
，当
最大时，甲处于最佳竞技状态．在决赛阶段甲、乙对局，而且甲的竞技状态最好，求甲所
得积分
的分布列及期望．
12．（2024·全国·模拟预测）近期一个被网友戏称为“科目三”的魔性舞蹈横空出世，欢快的场景、强烈
的节奏加上夸张、土味的肢体动作，成为年轻人争相模仿学习的舞蹈新宠.然而任何事物都有其两面性，丝
滑魔性的舞蹈动作在吸引人模仿的同时，脚踝的循环内翻、外翻这个动作，如果平衡节奏把握不当，就容
易引起脚踝处的损伤：为了解小学生是否知道“科目三”舞蹈会带来损伤，志愿者随机走访了90 名小学生，
得到相关数据如下：
知
道
不知道
总计
低年龄段
14
26
40
高年龄段
35
15
50
总计
49
41
90
(1)根据统计数据，依据小概率值
的独立性检验，分析“知道‘科目三’舞蹈会带来损伤”与“学
生的年龄段”是否有关；
(2)为了解小学生们对待新鲜事物的态度，按低年龄段、高年龄段进行分层，用分层随机抽样的方式从上述
走访的知道“科目三”舞蹈会带来损伤的学生中邀请了7 名学生，从这7 名学生中随机抽取3 名填写调查
表，记X 为这3 名学生中为高年龄段的人数，求X 的分布列和数学期望.
附表及公式：
0.1
0.05
0.01
0.05
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
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，其中
.
13．（2024·广东深圳·模拟预测）某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分
毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200 名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元），以
，
，
，
，
，
，
分组的频率分布直方图如图所示，年薪
在
的毕业生人数比年薪在
的毕业生人数多22 人．
(1)求直方图中x，y 的值；
(2)①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年
薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少；
②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4 人，其中年薪高于50 万的人数为
，求
的分布列
及数学期望
．
14．（2024·福建漳州·模拟预测）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚．甲、
乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方
式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为
，乙每天选择“共享
单车”的概率为
，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为
，从第二天起，若前一天选择“共享单
车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为
，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概
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率为
，如此往复．
(1)若3 月1 日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；
(2)记甲、乙、丙三人中3 月1 日选择“共享单车”出行的人数为
，求
的分布列与数学期望；
(3)求丙在3 月份第
天选择“共享单车”的概率
，并帮丙确定在3 月份中选择“共享单
车”的概率大于“地铁”的概率的天数．
15．（2024·河北沧州·模拟预测）某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双
程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120 人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双
程票的人数分别为36、60 和24．
(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120 人中随机抽取10 人，再从这10 人中随机抽取4 人，求
随机抽取的4 人中恰有2 人购买单程上山票的概率．
(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2 人和购买回程票的m（
且
）人组成一组，负责人从某组中任选2 人进行询问，若选出的2 人的购票类型相同，则该组
标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B 的概率为p．
（i）试用含m 的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5 组，用
表示恰有3 组被标为B 的概率，试求
的最大值及此时m 的值．
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