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25.2 用列举法求概率
【基础训练】
一、单选题
1．小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓，瑶族长鼓舞，东安武术，舜帝祭典”四种民俗文
化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞，舜帝祭典”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式求解即可．
【详解】
解：设A、B、C、D 分别表示“零陵渔鼓，瑶族长鼓舞，东安武术，舜帝祭典”四种民俗文化，则列表格
为：
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
由表可知，共有12 种等可能结果，其中小明选择体验“瑶族长鼓舞，舜帝祭典”有2 种，所以小明选择体
验“瑶族长鼓舞，舜帝祭典”的概率为
．
故选：D．
【点睛】
此题考查的是列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与
总情况数之比．
2．连续投掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币恰好都是背面朝上的概率是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
列举出所有可能出现的情况，看背面都朝上情况数占总情况数的多少即可．
【详解】
列举连续投掷两枚质地均匀的硬币所能产生的全部结果，它们是：正正，正背，背正，背背，
所有可能的结果共有4 种，所以满足硬币恰好都是背面朝上的概率
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了用列举法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，得到所求情况数和总
情况数是解决本题的关键 ．
3．在一个不透明的袋子里装有两个红球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下
颜色后不再放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到红球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【详解】
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解：由列表可知共有3×2＝6 种可能，两次都摸到红球的有2 种，所以概率是
．
故选：B．
【点睛】
考查概率的概念和求法，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．抽屉里装有3 张卡片，两张印有图案
，一张印有的
，三张卡片除了图案不同外其他
完全相同，现在随机从抽屉里抽取一张卡片，不放回然后抽取第二张，则两次抽到卡片上图案均为轴对称
图形的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意，画出树状图，利用树状图求出概率即可．
【详解】
为轴对称图形，
中心对称图形，设印有
的卡片为
、
，印有
的卡
片为B，依据题意画树状图如下：
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，
由树状图可知，共有6 种等可能结果，其中符合题意的有2 种，
P=
∴
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了画树状图求概率值，掌握树状图的表示是解题的关键．
5．一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的
个红球和个白球，从中随机摸出一个球记下颜色，然后放回
摇匀，再随机摸出一个球，则摸到的两个球颜色相同的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与摸到的2 个球颜色相同的情况，再利用概率
公式即可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：
∵共有16 种等可能的结果，摸到的2 个球颜色相同的有10 种情况，
∴摸到的2 个球颜色相同的概率为为：
．
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故选：A．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．如图所示，同时自由转动两个转盘，指针落在每一个数上的机会均等，转盘停止后，两个指针同时落
在一奇一偶数上的概率是( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据题意列出表格或画出树形图，再根据概率公式即可求出答案.
【详解】
解，根据题意列表如下：
5
6
7
8
9
1
（1,5）
（1,6）
（1,7）
（1,8）
（1,9）
2
（2,5）
（2,6）
（2,7）
（2,8）
（2,9）
3
（3,5）
（3,6）
（3,7）
（3,8）
（3,9）
4
（4,5）
（4,6）
（4,7）
（4,8）
（4,9）
5
（5,5）
（5,6）
（5,7）
（5,8）
（5,9）
由上表得，共25 种等可能的结果，其中两个指针同时落在一奇一偶数上的结果共12 种，
所以两个指针同时落在一奇一偶数上的概率P=
故选：A
【点睛】
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此题考查的是用列表或树状图法求概率.注意要不重不漏的列出所有等可能的结果；列表法适合两步完成事
件，树状图适合两步或两步以上完成的事件；列举法每种结果都是等可能的结果.
7．甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的3 个扇形）做游戏．游戏规则：转动两
个转盘各一次，当转盘停止后，A 盘和B 盘上的两指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为
奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．甲获胜的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先画出树状图，然后计算出数字之和为偶数的情况有5 种，再根据概率计算公式求解即可．
【详解】
如图所示：
数字之和为偶数的情况有5 种，
因此甲获胜的概率为
．
故选：C．
【点睛】
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考查了画树状图和概率，解题关键是掌握求概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，
每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成“强国”的概
率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
列表得出所有等可能的情况数，找出能组成“强国”的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】
解：列表得：
学
习
强
国
学
―――
学习
学强
学国
习
习学
―――
习强
习国
强
强学
强习
―――
强国
国
国学
国习
国强
―――
∵12 种可能的结果中，能组成“强国”有2 种可能，共2 种， ∴两次摸出的球上的汉字能组成“强国”的
概率为
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A
或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．
9．在一个不透明的袋子里装有5 个球，其中3 个红球，2 个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋子中任
意摸出一球然后放回，搅匀后再任意摸出一球，则两次摸出的球是一红一黄的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】
画出树状图列出所有等可能的结果，得到等可能的结果数，再找出一红一黄的结果数，最后用概率公式计
算即可.
【详解】
解：树状图如图所示：
共有25 个等可能的结果数，两次摸出的球是一红一黄的结果有12 个，
∴两次摸出的球是一红一黄的概率为
；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了列举法求概率，注意每种结果都必须是等可能的结果.
10．用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出红色，另
一个转盘转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
将第一个转盘中的红色划分为圆心角为120 度的两部分，将第二个转盘中的蓝色划分为圆心角为120 度的
两部分，可列树状图表示出所有等可能结果，再求概率即可.
【详解】
解：如图，
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根据题意画树状图如下：
由树状图可知共有9 种等可能结果，其中能配成紫色的有5 种结果，
那么可配成紫色的概率是
；
故选：C．
【点睛】
本题考查了随机事件的概率，灵活的利用树状图或列表法求概率是解题的关键.
11．在一个不透明的袋中装着2 个红球和1 个白球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出一个小球，
记下颜色后放回，再随机的取出一个球，两次恰好是一个红球和一个白球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好是一个红球和一个白球的情况，
再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
画树状图得：
∵共有9 种等可能的结果，两球恰好是一个红球和一个白球的有4 种情况，
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∴两球恰好是一个红球和一个白球的概率为：
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．学校新开设了航模、足球、绘画三个社团，如果晓晓和洋洋两名同学每人随机选择参加其中一个社团，
那么晓晓和洋洋选到同一社团的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与晓晓和洋洋选到同一社团的情况，再利
用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：
∵共有9 种等可能的结果，晓晓和洋洋选到同一社团的有3 种情况，
∴晓晓和洋洋选到同一社团的概率是：
.
故选C.
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数之比．
13．一对酷爱运动的夫妇，让他们刚满周岁的孩子拼排3 块分别写有“20”、“08”、“北京”的字块．假如小
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孩将字块横着正排，则该小孩能够排成“2008 北京”或“北京2008”的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
列举出所有情况，让排成“2008 北京”或“北京2008”的情况数除以总情况数即为该小孩能够排成“2008 北京”
或“北京2008”的概率．
【详解】
解：因为排的可能有：
2008 北京，20 北京08，0820 北京，08 北京20，北京2008，北京0820 六种，
是“2008 北京”或“北京2008”的情况有两种，
所以能够排成“2008 北京”或“北京2008”的概率是
=
，
故选B.
【点睛】
本题利用了列举法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．如图，电路图上有4 个开关和1 个小灯泡，同时闭合2 个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即
可求得答案．
【详解】
解：如图，电路图上有4 个开关
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画树状图得：
∵共有12 种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4 种情况，
∴小灯泡发光的概率为：
．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝
所求情况数与总情况数之比．
15．现有4 张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4 张卡片背面朝上洗匀，从中随机
抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
画树状图，共有12 种等可能的结果，所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的结果有2 种，
再由概率公式求解即可．
【详解】
解：把印有“北斗”、“天问”、“高铁”和“九章”的四张卡片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12 种等可能的结果，所抽中的恰好是B 和D 的结果有2 种，
∴所抽取的卡片正面上的图形恰好是“天问”和“九章”的概率为
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事
件A 或B 的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．
16．在一个不透明的袋子里装有5 个小球，每个球上都写有一个数字，分别是1，2，3，4，5，这些小球
除数字不同外其它均相同．从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【分析】
通过列举的方法将所有可能的情况一一列举，进而找出小球上的数字都是奇数的情况即可求出对应概率．
【详解】
所有可能出现的情况列举如下：
；
；
；
；
；
；
共10 种情况，
符合条件的情况有：
；
；
；共3 种情况；
小球上的数字都是奇数的概率为
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了简单概率的求解方法，通过列举法列举出等可能的情况是解决本题的关键．
17．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7 的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用列表法，可求得两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数及两枚骰子向上的点数之和为7 的结果数，
根据概率计算公式即可求得所求的概率．
【详解】
列表如下：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
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2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
由表知，两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数为36 种，两枚骰子向上的点数之和为7 的结果数为
6，故两枚骰子向上的点数之和为7 的概率是：
故选：B．
【点睛】
本题考查了用列表法或树状图求等可能事件的概率，用列表法或树状图可以不重不漏地把事件所有可能的
结果数及某一事件的结果数表示出来，具有直观的特点．
18．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是2，1，0，－1，卡片除数字
不同外其他均相同，随机从这四张卡片中一次抽取两张，抽取的两张卡片上数字之积为非负数的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用树状图，可得所有可能的结果数，以及抽取的两张卡片上数字之积为非负数的结果数，根据概率公式
即可解决．
【详解】
根据题意画树状图如下：
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由图知共有12 种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为非负数的结果有8 种，故抽取的两张卡
片上数字之积为非负数的概率为
故选：C．
【点睛】
本题考查了用树状图或列表法求概率，其优点是可以直观地把所有可能的结果及满足条件的结果一一列举
出来，且能保证不重不漏．
19．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上一枚硬币反面向上的概率是（ ）
､
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项．
【详解】
解：由题意得：
∴一枚硬币正面向上一枚硬币反面向上的概率是
､
；
故选C．
【点睛】
本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
20．三张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形三个图案．现把它们
的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出两张，则抽出的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
依题意，依据中心对称图形的概念，可知圆、矩形为中心对称图形，利用概率求解即可；
【详解】
由题知，中心对称图形：将图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来鳄图形重合，即为中心
对称图形；
依据中心对称图形的定义，可知圆、矩形为中心对称图形；等边三角形不是中心对称图形；
从三张卡片中任意抽两张的组合有3 种：圆和矩形、圆和等边三角形、矩形和等边三角形；
其中两张卡片图案都是中心对称图形的有1 种：圆和矩形；
∴抽出的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为：
；
故选：A
【点睛】
本题考查随机概率事件、中心对称图形，关键在如何使用中心对称定义进行图形的判定；
21．不透明的袋子中装有红球1 个、白球2 个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后不放回，再摸
出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如下：
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由树状图可知，共有6 种等可能结果，其中两次都摸到红球的有2 种结果，
所以两次都摸到红球的概率为
，
故选：B．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率
所求情况数与总情况数之比．
22．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为20，则称该图形是
“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为14，现从1，2，3，4，5 中任取两个数字标在另外两
个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由题意易得任取两个数字之和应为6，而任取两个数的可能性有1 和2，1 和3，1 和4，1 和5，2 和3，2
和4，2 和5，3 和4，3 和5，4 和5 共10 种，因此问题可求解．
【详解】
解：由题意可得：
从1，2，3，4，5 中任取两个数字的可能性有1 和2，1 和3，1 和4，1 和5，2 和3，2 和4，2 和5，3 和
4，3 和5，4 和5 共10 种，由“和谐图形”可得任取两个数字之和应为6，所以只有1 和5，2 和4 两种，
∴恰好使该图形为“和谐图形”的概率为
；
故选B．
【点睛】
本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
23．小颖与两位同学进行象棋比赛时，决定用“手心、手背”游戏确定出场顺序．设每人每次出手心，手背
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的可能性相同．若有一人与另外两人不同，则此人最后出场，三人同时出手一次，小颖最后出场比赛的概
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
列举出所有情况，看小颖最后出场比赛的情况占总情况的多少即可．
【详解】
解：设其他两位同学为a，b，小颖为c，列表得
共有8 种情况，小颖最后出场的结果有2 种情况，
∴概率是
，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．某校开展“疫情防控小卫士”活动，从学生会“督查部”的4 名学生（2 男2 女）中随机选两名进行
督导每日一次体温测量，恰好选中男女学生各一名的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【分析】
首先根据题意列表得出所有等可能的情况数，然后由列表求得所有等可能的结果与恰好选中男女学生各一
名的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：列表如下：
男
男
女
女
男
（男，男）
（女，男）
（女，男）
男
（男，男）
（女，男）
（女，男）
女
（男，女）
（男，女）
（女，女）
女
（男，女）
（男，女）
（女，女）
得到所有等可能的情况有12 种，其中恰好抽中一男一女的情况有8 种，
所以恰好选到1 名男生和1 名女生的概率
．
故选：C
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再从中选出符合事件
A 或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．
25．如图，有一电路连着三个开关，每个开关闭合与断开是等可能的，若不考虑元件的故障因素，则电灯
点亮的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得电灯点亮的概率．
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【详解】
解：设K1打开用A 表示，闭合用a 表示，K2打开用B 表示，闭合用b 表示，K3打开用C 表示，闭合用c 表
示，
树状图如下图所示，
由图可知，点灯点亮的可能性是（aBc）、（abC）、（abc），
则电灯点亮的概率为
，
故选：B．
【点睛】
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
26．王琳与蔡红在某电商平台购买了同款发卡，并且两人在收货之后都从“好评、一般、差评”中勾选了
一项作为反馈，若三种评价是等可能的，则两人中至少有一个给出“差评”的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
画树状图展示所有9 种等可能的结果数，找出两人中至少有一个给出“差评”的结果数，然后根据概率公式
求解．
【详解】
解：画树状图为：
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共有9 种等可能的结果数，两人中至少有一个给差评”的结果数为5，
∴两人中至少有一个给出“差评”的概率＝
．
故选：C．
【点睛】
本题考查画树状图或列表求概率，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题关键．
27．抛掷一枚质地均匀的硬币2 次“朝上的面不同”的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
画树状图，共有4 个等可能的结果，“朝上的面不同”的结果有2 个，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
共有4 个等可能的结果，“朝上的面不同”的结果有2 个，
∴P(朝上的面不同)
，
故选：C．
【点睛】
本题考查树状图法或列表法求概率，准确根据题意列出相应的树状图或表格是解题关键．
28．某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加
米接力比赛，其中丁跑第一棒，丙跑第二棒的概
率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】
利用画树状图或列表法计算即可．
【详解】
解：画树状图如下：
丁跑第一棒有6 种情况，同理，甲乙丙跑第一棒也各有6 种情况，共有24 种情况，其中丁跑第一棒，乙跑
第二棒的情况数有2 种，所以丁跑第一棒，丙跑第二棒的概率为
．
故选B．
【点睛】
本题考查了用列表法或画树状图法计算概率，正确列表或画树状图是解题的关键．
29．不透明的盒子里有3 个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标记数字1、2、3，从中随机抽
出一个小球，放回后再随机抽出1 个小球，把第1 次抽出的小球上的数字作为两位数
的十位数字，第2
次抽出的小球上的数字作为两位数
的个位数字，则两位数
是3 的倍数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据列树状图的方法求解即可．
【详解】
解：根据题意，列出树状图如图所示，
则所有的两位数为：11，12，13，21，22，23，31，32，33，
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其中是3 的倍数的是：12，21，33，
∴P(两位数
是3 的倍数)=
，
故选：A．
【点睛】
本题考查列树状图或表格的方法求概率，理解并熟练运用树状图法或表格法是解题关键．
30．一个仅装有球的不透明布袋里共有4 个球（只有编号不同），编号为1，2，3，5，从中任意摸出一个
球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
画树状图展示所有16 种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率
公式求解．
【详解】
解：根据题意画图如下：
共有16 种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10 种，
则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是
故选：A
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件
A 或B 的结果数目m，求出概率．
二、填空题
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31．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关
，
，
中的两个，能让两个小灯泡
同时发光的概率是__________．
【答案】
【分析】
根据题意画出树状图，得到共有6 种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光有2 种等可能性，根据概率
公式求解即可．
【详解】
解：画树状图得
，
由树状图得共有6 种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光应同时闭合
，
，故有2 种等可能性，所
以概率为
．
故答案为：
【点睛】
本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键．
32．一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3 的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1 个小
球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1 个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是奇数的概
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率是______．
【答案】
【分析】
根据题意列出树状图，然后求解概率即可得出答案．
【详解】
解：由题意得：
∴两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率是
；
故答案为
．
【点睛】
本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键．
33．一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3 的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1 个小
球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1 个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是偶数的概
率是___________．
【答案】
【分析】
画树状图，共有9 种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有5 种，再由概率公式求解
即可．
【详解】
解：画树状图如图：
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共有9 种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有5 种，
∴两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率为
，
故答案为：
．
【点睛】
此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
34．在一个不透明的袋子里有1 个黑球2 个白球，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出两个球，则
摸到两个均为白球的概率是______．
【答案】
【分析】
用列表法或画树状图法分析所有等可能的结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】
解：画树状图如下：
∵一共有6 种情况，两个球都是白球有2 种，
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∴P（两个球都是白球）
，
故答案为
．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
35．嘉嘉和琪琪玩摸球游戏，有5 个完全相同的小球，嘉嘉拿了3 个，在上面分别标上数字2，3，4；琪
琪拿了2 个，也标上数字．他们将小球放入同一个不透明的口袋中，并搅拌均匀．琪琪说：“我标的数字
是从3，4 这两个数字中选择的（可重复）”．二人经过多次摸球试验，发现摸到的小球上的数字为3 的频
率稳定于0.4．
（1）这5 个小球上的数字的众数为
．
（2）琪琪将口袋中的小球搅匀后，从中摸出一个小球，她说：“摸出这个小球后，剩余的小球上所标数
字的中位数没有变化，”
①琪琪摸出的小球上所标数字为
．
②嘉嘉先从剩余的小球中摸出一个，放回，搅拌均匀又摸出一个，用列表或画树状图的方法求嘉嘉两次摸
到的小球上的数字都是偶数的概率．
【答案】（1）3，4；（2）①4；②嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的概率为
．
【分析】
（1）先根据多次摸球实验发现摸到的小球上的数字为3 的频率稳定于0.4 得出标注数字3 的球的个数，继
而得出这5 个数字，从而依据众数的概念得出答案；
（2）①根据原数据的中位数为3，如果去掉数字4，新数据的中位数是
可得答案；
②列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）∵一共有5 个小球，经过多次摸球试验，发现摸到的小球上的数字为3 的频率稳定于0.4，
∴标有数字3 的小球的个数为5×0.4=2，
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则琪琪标注的两个数字分别为3、4，
∴这5 个小球标注的数字分别为2、3、3、4、4，
∴这5 个小球上的数字的众数为3 和4，
故答案为：3、4；
（2）①∵琪琪将口袋中的小球搅匀后，从中摸出一个小球，她说：“摸出这个小球后，剩余的小球上所标
数字的中位数没有变化”，
∴琪琪摸出的小球上所标数字为4；
②列表如下：
2
3
3
4
2
（2，2）
（3，2）
（3，2）
（4，2）
3
（2，3）
（3，3）
（3，3）
（4，3）
3
（2，3）
（3，3）
（3，3）
（4，3）
4
（2，4）
（3，4）
（3，4）
（4，4）
由表可知，共有16 种等可能结果，其中嘉嘉两次摸到的小球上的数字都是偶数的有4 种，所以嘉嘉两次摸
到的小球上的数字都是偶数的概率为
．
【点睛】
此题考查的是利用频率估计概率、用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗
漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注
意概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
36．如图，甲、乙两个转盘均被分成3 个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转动两个
转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中指针所
指数字分别记为x，y．请用树状图或列表法求点
落在平面直角坐标系第一象限内的概率．
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【答案】
【分析】
分别列出x，y 的所有取值情况，然后选择x，y 均大于0 的情况，再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：由题意可知，x，y 的所有取值情况如下所示：
共有9 种可能的情况，其中点
落在平面直角坐标系第一象限内的可能情况有(1,2)，(5,2)，(1,6)，(5,6)
共4 种，
故P(点
落在平面直角坐标系第一象限内)=
．
【点睛】
此题为反比例函数与概率的综合，考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合于两步完成的事件．等可能事件的概率=所求情况数与总情况数之比．
37．某课外实践小组的同学们为了解去年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调
查数据进行如下整理，
月均用水
量
频数
（户）
频率
6
0.12
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0.24
16
0.32
10
0.20
4
2
0.04
解答以下问题：
（1）表中
______，
______；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）若该小区有1500 户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过
的家庭大约有多少户？
（4）若从样本里用水量超过20 的家庭中，随机抽取两户，求出“家庭月用水量恰好有一户不多于25”的
概率．
【答案】（1）
，
；（2）频数分布直方图补图见解析；（3）该小区月均用水量超过
的家庭大
约有180 户；（4）恰好家庭月用水量恰好有一户不少于25 的概率为
．
【分析】
（1）根据频率求出总数，再根据总数求频数或频率即可；
（2）根据频数分布表中的数据补全统计图即可；
（3）根据频率估计总体，超过
户数的频率乘以1500 计算即可；
（4）根据题意，用概率公式计算即可．
【详解】
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（1）总数为：
，
表中填
，
．
（2）如图：
（3）
故该小区月均用水量超过
的家庭大约有180 户
（4）用水量不少于
的家庭总计6 户，
样本中月均用水量在
的家庭有4 户记为
，
，
，
，
样本中月均用水量在
的家庭有2 户记为
，
所以从6 户随机抽取两户的结果为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共15 种，
月用水量恰好有一户不少于25 的结果为：
，
，
，
，
，
，
，
共8 种．
则恰好家庭月用水量恰好有一户不少于25 的概率为：
．
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【点睛】
本题考查的是条形统计图和频数直方图的综合运用，用枚举法求概率；概率=所求情况数与总情况数之比，
能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解题关键．
38．为庆祝建党100 周年，某校开展“百名师生向党说”活动，其中活动项目有讲党史、唱红歌、赞榜样、
颂英雄、谈变化．现抽取部分七年级学生的活动项目进行统计，并制成如下两幅不完整的统计图．
（1）求本次抽取的七年级学生数，并补全条形统计图．
（2）若本校有300 名七年级学生参加了“百名师生向党说”活动，请估计参加“讲党史”项目的学生数．
（3）若参加“讲党史”项目的2 人中有1 名男生，“颂英雄”项目的3 人中有1 名男生，现从参加这两个
项目的学生中各抽取1 人参加区级活动，请用列表或画树状图的方法，求出所选两名学生恰好是一男一女
的概率．
【答案】（1）15 人，图见解析；（2）估计参加“讲党史”项目的学生数为40 人；（3）
．
【分析】
（1）根据参加“颂英雄”的条形统计图和扇形统计图信息可得本次抽取的七年级学生人数，再求出参加
“唱红歌”的学生人数，据此补全条形统计图即可；
（2）利用300 乘以参加“讲党史”项目的学生所占百分比即可得；
（3）先画出树状图，从而可得所有可能的结果，再找出所选两名学生恰好是一男一女的结果，然后利用
概率公式进行计算即可得．
【详解】
解：（1）本次抽取的七年级学生人数为
（人），
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参加“唱红歌”的学生人数为
（人），
则补全条形统计图如下：
（2）
（人），
答：估计参加“讲党史”项目的学生数为40 人；
（3）将参加“讲党史”项目的1 名男生和1 名女生分别记为
，参加“颂英雄”项目的1 名男生和2 名女
生分别记为
，
由题意，画出树状图如下：
由图可知，从参加这两个项目的学生中各抽取1 人参加区级活动共有6 种等可能性的结果；其中，所选两
名学生恰好是一男一女的结果有3 种，
则所求的概率为
，
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答：所选两名学生恰好是一男一女的概率为
．
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用列举法求概率等知识点，熟练掌握统计调查的相关
知识和求概率的方法是解题关键．
39．今年植树节期间，某校组织七、八年级全体学生开展了以“爱护环境”为主题的竞赛活动，为了解竞
赛情况，从两个年级各随机抽取了10 名同学的成绩（满分100 分），收集的数据如下：
七年级：100，a，75，80，90，85，85，80，80，100；
八年级：80，70，95，90，90，100，80，85，90，90
平均
数
中位数
众数
七年级
87
80
八年级
87
90
根据以上信息回答下列问题：
（1）直接写出
，
，
的值：
______，
______，
______；
（2）该校七、八年级共有1500 人，本次竞赛成绩不低于90 分的为“优秀”．请估计这两个年级共有多少
名学生达到“优秀”；
（3）从上述统计成绩可知，被调查的20 名学生中共有5 人95 分及以上，现从这5 人中任选两人，求选中
两人都是满分的概率．
【答案】（1）95，85，90；（2）750 名；（3）
【分析】
（1）首先把七八年级的数据分别从大到小排列（或从小到大排列），然后利用平均数、中位数及众数的
性质求出
、
、
的值；
（2）用样本数据估计总体数据即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中的两人恰好满分的结果，最
后利用概率公式即可求得．
【详解】
解：（1）因为七年级的平均数为
，
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数据
:
，
七年级数据整理得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
中位数：
，
八年级数据整理得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
众数：
；
（2）七年级成绩不低于90 分的有4 个，八年级成绩不低于90 分的有6 个，
∴
（名），
所以这两个年级共有750 名学生达到“优秀”；
（3）把5 名同学分别记为
、
、
、
、
，其中
、
、
表示满分，画树状图如图：
共有20 个等可能的结果，选中两人都是满分的结果有6 个，
∴选中两人都是满分的概率为
．
【点睛】
本题主要考查了数据的分析，正确理解题意，熟练掌握中位数、众数、平均数性质及画树状图法求概率是
解题关键．
40．某地为抗击新冠肺炎要在某校选拔一名志愿者．经过面试和健康检查，结果优秀青年教师小新和小纯
入选．接着通过抓球来确定人选．
抓球规则：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2 个红球和1 个白球，小新先取出一个球，记住颜
色后放回，然后小纯再取出一个球，若两人取出的球都是红球，则小新胜出；若取出的球是一红一白，则
小纯胜出．
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（1）小新先取出一个黑球是
事件，取出一个
球的可能性更大；
（2）你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法说明．
【答案】（1）不可能，红；（2）不公平，理由见详解
【分析】
（1）根据随机事件的概念可直接进行求解；
（2）由题意列出树状图，然后再进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：袋中有2 个红球和1 个白球，没有黑球，所以小新先取出一个黑球是不可能事件，取
出一个红球的可能性更大；
故答案为不可能，红；
（2）如图，
∴小新获胜的概率为
，小纯胜出的概率为
，
∵
，
∴这个游戏不公平．
【点睛】
本题主要考查随机事件及概率，熟练掌握随机事件的概念及概率的求法是解题的关键．
41．某医院食堂为全体1080 名职工提供了
，
，
，
四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情
况，食堂随机抽取240 名职工进行“你最喜欢哪一种套餐”问卷调查（每人必选且只选一种）．根据调查结
果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
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（1）将条形统计图补充完整；
（2）统计图中“
”对应扇形的圆心角的大小为 °，依据调查结果，可估计全体1080 名职工中最喜欢B 套
餐的有 人；
（3）现从甲、乙、丙三名职工中任选两人担任“食堂卫生监督员”，请通过画树状图，求出甲被选中的概率．
【答案】（1）见解析；（2）108；378；（3）
．
【分析】
（1）用最喜欢A 套餐的人数对应的百分比乘以总人数即可求得喜欢A 套餐的人数，继而再用总人数减去
喜欢C 套餐的人数，据此画图；
（2）用最喜欢C 套餐的人数占总人数的比值乘以360°即可求出答案，再求出最喜欢B 套餐的人数对应的
百分比，然后乘以1080 即可；
（3）用列举法列出所有等可能的情况，然后找出甲被选到的情况即可求出概率．
【详解】
（1）最喜欢A 套餐的人数=25%×240=60（人），
最喜欢C 套餐的人数=240-60-84-24=72（人），
补充图形如下：
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（2）扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角为：360°×
=108°，
估计全体1080 名职工中最喜欢B 套餐的有：
（人）
故答案为：108；378；
（3）画树状图如下：
从甲、乙、丙三名职工中任选两人，总共有6 种不同的结果，每种结果发生的可能性相同，
其中甲被选到的情况有4 种，
故所求概率P
．
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，用画树状图法求概率，由图表获取正确的信息是
解题关键．
42．甲口袋中有1 个红球和1 个黄球，乙口袋中有1 个红球、1 个黄球和1 个绿球，这些球除颜色外都相同．
（1）从乙口袋中随机取一个球，取出的球是红色的概率是 ．
（2）从两个口袋中各随机取一个球，求取出的两个球是一红和一黄的概率．
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【答案】（1）
；（2）
【分析】
（1）乙口袋中有1 个红球、1 个黄球和1 个绿球，从乙口袋中随机取一个球共有3 种情况，从乙口袋中随
机取一个球是红色的只有一种情况，利用概率公式求即可；
（2）列表可得，可能出现的结果共有6 种，并且它们出现的可能性相等．小球颜色为一红和一黄的结果有
2 种，再利用概率公式求即可．
【详解】
（1）解：∵乙口袋中有1 个红球、1 个黄球和1 个绿球，从乙口袋中随机取一个球共有3 种情况，从乙口
袋中随机取一个球是红色的只有一种情况
∴从乙口袋中随机取一个球，取出的球是红色的概率是=
故答案：
；
（2）解：红色球记为R，黄色球记为Y，绿色球记为G
R
Y
G
R
（R，R）
（Y，R）
（G，R）
Y
（R，Y）
（Y，Y）
（G，Y）
由表可得，可能出现的结果共有6 种，并且它们出现的可能性相等．
小球颜色为一红和一黄的结果有2 种，即（Y，R），（R，Y）．
∴P（一红一黄）＝
．
【点睛】
本题考查列举法求概率，和列表或画树状图求概率，掌握列举法求概率，和列表或画树状图求概率是解题
关键．
43．2021 年是中国共产党建党100 周年华诞.“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100 周年知识竞赛，
为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、
良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：
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请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）；
（2）该校八年级有学生650 人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？
（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2 人参加区级比赛，求抽到甲、乙两
人的概率．
【答案】（1）图见详解；（2）成绩未达到“良好”及以上的有195 人；（3）抽到甲、乙两人的概率为
．
【分析】
（1）由统计图可得不及格的人数为2 人，所占百分比为5％，则可求出随机抽取的总人数，然后问题可求
解；
（2）由（1）可直接列式进行求解即可；
（3）由题意可画出树状图，然后再进行求解概率即可．
【详解】
解：（1）由题意得：
2÷5％=40 人，
∴“良好”的人数为40-2-10-12=16 人，
“优秀”所占百分比为12÷40×100％=30％，“合格”所占百分比为10÷40×100％=25％，
则补全统计图如图所示：
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故答案为30，25；
（2）由（1）可得：
650×（5％+25％）=195（人）；
答：成绩未达到“良好”及以上的有195 人
（3）由题意可得：
∴抽到甲、乙两人的概率为
．
【点睛】
本题主要考查统计与调查及概率，熟练掌握统计与调查及概率的求法是解题的关键．
44．某大学为了解大学生对中国共产党党史识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试
活动，现从一二两个年级中各随机抽取20 名学生的测试成绩（满分50 分，30 分及30 分以上为合格：40
分及40 分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．
大学一年级20 名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，
37，43，43，37，25
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大学二年级20 名学生的测试成绩条形统计图如下图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、
中位数、优秀率如表所示：
年级
平均数
众数
中位数
优秀率
大一
a
b
43
m
大二
39.5
44
c
n
请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：
（1）上表中a＝__________，b＝__________，c＝__________，m＝__________，n__________；根据样本
统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即
可）；
（2）已知该大学一、二年级共1240 名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩
合格的学生人数能否超过1000 人；
（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的
概率．
【答案】（1）
，
，
，
，
，二年级，见解析；（2）1000 人；
（3）
【分析】
（1）首先整理数据，根据中位数，众数，平均数，优秀率的意义求解即可求出a,b,c,m,n；再根据两个年级
的优秀率即可判断哪个年级掌握党史知识较好；
（2）先求出样本的合格率，由样本的合格率估计总体的合格率，用合格率乘以总人数即可估计出总体的
合格人数，即可得出结论；
（3）首先确定一年级满分人数和二年级满分人数，按照题目要求用列举出所有可能，即可求出概率．
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【详解】
解：（1）将大一年级20 名同学成绩整理如下表：
成绩
25
30
37
39
43
49
50
人数
1
2
4
2
5
4
2
平均数
，
众数为出现次数最多的数据，由表可知，众数为43，
中位数：排序后，第10 和第11 个数据为42 和43，故中位数为
；
大一年级的优秀率为：
，
大二年级的优秀率为：
，
所以
，
，
，
，
从表中优秀率看，二年级样本优秀率达到65%高于一年级的55%，
所以估计二年级学生的优秀率高，
所以用优秀率评价，估计二年级学生掌握党史知识较好；
（2）∵样本合格率为：
，
∴估计总体的合格率大约为
，
∴估计参加测试的两个年级合格学生约为：
人
∴估计超过了1000 人；
（3）一年级满分有2 人，设为A，B，二年级满分有3 人，设为1，2，3
则从这5 人中选取2 人的所有情况为：
，
，
，
，
，
，
，12，13，23，
共有10 种等可能情况，两人在同一年级的情况有4 种，
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∴可求得两人在同一年级的概率为：
．
【点睛】
本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数的意义、由样本估计总体、列举法求概率，掌握中位数、平
均数、众数、由样本估计总体、列举法求概率的计算方法是解题关键．
45．我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物
用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对
垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访
了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
用过的餐巾纸投放情况统计图
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了________名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为
________度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（3）若该校有3600 名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
（4）李老师计划从
，
，
，
四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状
图法或列表法求出恰好抽中
，
两人的概率．
【答案】（1）200，198；（2）图见详解；（3）该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为288
名；（4）恰好抽中
，
两人的概率为
．
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【分析】
（1）根据统计图可得投放到蓝色收集桶的人数为44 名，所占总人数的百分比为22％，然后问题可求解；
（2）由（1）可得投放到绿色收集桶的人数，然后条形统计图即可完成；
（3）根据题意及（1）可直接进行求解；
（4）由题意画出树状图，然后问题可求解．
【详解】
解：（1）由统计图及题意得：
此次调查一共采访的学生总数为
（名）；
“灰”所在扇形的圆心角的度数为
；
故答案为200，198；
（2）由（1）可得被采访的学生总数为200 名，
∴投放到绿色收集桶的人数为200-110-44-16=30（名），
补全条形统计图如图所示：
（3）由（1）及题意得：
（名）；
答：该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数为288 名．
（4）由题意可得树状图如下：
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∴恰好抽中
，
两人的概率为
．
【点睛】
本题主要考查统计与调查及概率，熟练掌握统计与调查及概率的求法是解题的关键．
46．吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁
毒知识的掌握情况，从我市某校1000 名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了
解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不
完整的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 人，其中“了解较多”的占 %；
（2）请补全条形统计图：
（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有 人；
（4）“了解较少”的四名学生中，有3 名学生
，
，
是初一学生，1 名学生
为初二学生，为了提
高学生对禁毒知识的认识，对这4 人进行了培训，然后从中随机抽取2 人对禁毒知识的掌握情况进行检测．
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请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1 名的概率．
【答案】（1）50，30；（2）见详解；（3）780；（4）
【分析】
（1）用“了解较少”的人数÷对应的百分比，即可得到抽取调查的总人数，用“了解较多”的人数÷抽取
的总人数，即可得到百分比，
（2）先求出“基本了解”的人数，再补全统计图，即可；
（3）用1000ד非常了解”和“了解较多”人数之和所占百分比，即可求解；
（4）画出树状图，展示所有等可能的结果，即可求解．
【详解】
解：（1）4÷8％=50（人），15÷50×100％=30％，
故答案是：50，30；
（2）50-24-4-15=7（人），
补全条形统计图如下：
（3）1000×
=780（人），
故答案是：780；
（4）画树状图如下：
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共有12 种等可能结果，恰好抽到初一、初二学生各1 名的结果数有6 种，
∴恰好抽到初一、初二学生各1 名的概率=6÷12=
．
【点睛】
本题主要考查扇形统计图和条形统计图以及等可能事件的概率，画出树状图，是解题的关键．
47．今年是中国共产党百年华诞，中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家
新征程即将开启．红五月期间某校响应区团委以“红心向党，争做先锋”为主题的手抄报比赛，积极开展
此项活动，学校将收到的手抄报幅数按年级进行统计，绘制了以下两幅统计图（不完整）．
据图中提供的信息完成以下问题
（1）计算扇形统计图中“八年级”对应的圆心角是 °，并补全条形统计图；
（2）经过评审，全校有4 幅手抄报荣获特等奖，其中只有一幅来自七年级，学校准备从特等奖手抄报中任
选两幅参加区级的手抄报比赛，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖手抄报被选送参加区级比
赛的概率．
【答案】（1）144；见解析；（2）
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【分析】
（1）由条形图七年级手抄报幅数是25 幅,÷七年级占百分比为25%，可求样本容量100 幅，再求出九年级
的百分比35%，用总体1-25%-35%=40%可求八年级的百分比，扇形统计图中“八年级”对应的圆心角
为:360°×40%=144°,求出八年级手抄报幅数为=40 幅即可补全条形图如图；
（2）画树状图如下：由列表(树状图)知，手抄报比赛一共有12 种情况，并且每种情况发生的可能性相同，
七年级特等奖手抄报被选送有6 种可能，利用概率公式求即可．
【详解】
解：（1）∵由条形图七年级手抄报幅数是25 幅,由扇形统计图知七年级占百分比为25%，
学校将收到的手抄报幅数为:25÷25=100 幅，
九年级的百分比为:35÷100×100%=35%，
八年级的百分比为1-25%-35%=40%，
扇形统计图中“八年级”对应的圆心角为:360°×40%=144°,
八年级手抄报幅数为:100×40%=40 幅,可补全条形图如图，
故答案为144； 补全条形统计图如下：
（2）设获特等奖4 幅手抄报编号为A，B，C，D，其中七年级获特等奖手抄报为A，依题意，画树状
图如下：
由列表(树状图)知，学校准备从特等奖手抄报中任选两幅参加区级的手抄报比赛一共有12 种情况，并且每
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种情况发生的可能性相同，
七年级特等奖手抄报被选送有6 种可能，
所以P(七年级特等奖手抄报被选送)＝
．
【点睛】
本题考查样本容量，根据条形统计图与扇形统计图，扇形圆心角，补画条形统计图，画树状图或列表求概
率，掌握样本容量，根据条形统计图与扇形统计图，扇形圆心角，补画条形统计图，画树状图或列表求概
率是解题关键．
48．我市华恒小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫
苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类：A 类
——接种了只需要注射一针的疫苗：B 类——接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；
C 类——接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；D 类——还没有接种，图1 与图2 是
根据此次调查得到的统计图（不完整）．
请根据统计图回答下列问题．
（1）此次抽样调查的人数是多少人？
（2）接种B 类疫苗的人数的百分比是多少？接种C 类疫苗的人数是多少人？
（3）请估计该小区所居住的18000 名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种．
（4）为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2 名志愿宣传
者，现有3 男2 女共5 名居民报名，要从这5 人中随机挑选2 人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．
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【答案】（1）200(人)；（2）40%，30 人；（3）
人；（4）
．
【分析】
（1）根据A 类型人数除以所占比例得到总人数；
（2）根据B 类型人数和总人数得到百分比，根据C 类型的百分比和总人数求得人数；
（3）估计人数可以用样本中接种了新冠疫苗的百分比乘以总人数得到估算值；
（4）利用列表法列出所有可能的结果数，再用概率公式求得一男一女的概率．
【详解】
（1）A 类型人数为20 人，占样本的10%,所以此次抽样调查的人数是：
（人）；
（2）B 类型人数为80 人，所以B 类疫苗的人数的百分比是：
,
由图可知C 类型人数的百分比为15%,所以接种C 类疫苗的人数是：
（人）．
（3）接种了新冠疫苗的为A，B，C 类的百分比分别为
，
人，
所以小区所居住的18000 名居民中接种了新冠疫苗的有：
人．
（4）如图：
男1
男2
男3
女1
女2
男1
男1男2
男1男3
男1女1
男1女2
男2
男2男1
男2男3
男2女1
男2女2
男3
男3男1
男3男2
男3女1
男3女2
女1
女1男1
女1男2
女1男3
女1女2
女2
女2男1
女2男2
女2男3
女2女1
从表中可以看出，共有20 种等情况数，符合题意的选中一男和一女的情形共12 种，
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P（一男一女）=
．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法
可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体
分析和熟练掌握概率公式是解题关键比．
49．为庆祝中国共产党成立100 周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教育实践活
动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动．为了解学生的参与情况，该校随机抽取了
部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计
图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）这次抽样调查的总人数为__________人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为_________；
（2）若该校有1400 名学生，估计选择参加书法的有多少人？
（3））学校准备从推荐的4 位同学（两男两女）中选取2 人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男
一女的概率．
【答案】（1）200；
；（2）560 人；（3）
【分析】
（1）通过“唱歌”人数以及百分比求出总人数，然后根据条形统计图求出“舞蹈”的人数，利用其人数比上总
人数，再乘360°即可得到对应圆心角的度数；
（2）利用“书法”人数的占比乘1400 即可；
（3）通过列表法或者树状图的方法求解即可．
【详解】
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（1）由题意，总人数为：
（人），
“舞蹈”的人数：
（人），
∴扇形统计图中，“舞蹈”对应的圆心角为：
，
故答案为：200；
；
（2）
（人）
答：估计选择参加书法的有560 人．
（3）记两名男生分别为：
，
，两名女生分别为：
，
，则列表如图所示：
第一次
第二次
.
共有12 种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有8 种，
∴恰好抽到一男一女的概率为
，
答：恰好抽到一男一女的概率为
．
【点睛】
本题考查条形统计图与扇形统计图综合，以及列表法或树状图的方法求概率，理解统计图中的信息，掌握
列表法求概率是解题关键．
50．为庆祝中国共产党成立100 周年，某校举行党史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按
得分划分为A、B、C、D 四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．
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等级
成绩（x）
人数
A
15
B
a
C
18
D
7
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中
__________；扇形统计图中，C 等级所占的百分比是_________；D 等级对应的扇形圆心角
为________度；若全校共有1800 名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A 等级的学生共有
_______人．
（2）若95 分以上的学生有4 人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4 人中随机选出两人参加市
级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1 人被选中的概率
【答案】（1）20,30%，42°，450 人；（2）
【分析】
（1）先由A 等级的圆心角度数和人数，求出样本总数，作差即可得到a 的值，再根据C 和D 占总人数的
比例，求出百分比或圆心角度数，利用样本估计总体的方法求出全校成绩为A 等级的人数；
（2）先列出表格，将所有情况列举，利用概率公式即可求解．
【详解】
解：（1）总人数为
人，
∴
，
C 等级所占的百分比
，
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D 等级对应的扇形圆心角
，
若全校共有1800 名学生参加了此次知识竞赛活动，成绩为A 等级的学生共有
人；
（2）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
甲乙
乙丙
乙丁
丙
甲丙
乙丙
丙丁
丁
甲丁
乙丁
丙丁
共有12 种情况，其中甲、乙两人至少有1 人被选中的有10 种，
∴P(甲、乙两人至少有1 人被选中)
．
【点睛】
本题考查统计与概率，能够从扇形统计图和统计表中获取相关信息是解题的关键．
51．4 月18 日上午7：30，2021 盐城马拉松在盐城市盐南体育中心正式鸣枪开跑，共吸引了来自全国各地
的约15000 名选手同台竞技．本次马拉松共设三个项目：全程马拉松、半程马拉松、迷你马拉松．小乐和
小观参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组中的一个．
（1）小乐被分配到半程马拉松项目组的概率为______．
（2）用树状图或列表法求小乐和小观被分到同一个项目组的概率．
【答案】（1）
；（2）
．
【分析】
（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）先画树状图展示所有9 种等可能的结果数，再找出其中小智和小慧被分到同一个项目组的结果数，然
后根据概率公式计算．
【详解】
解：（1）依题意得：小智被分配到欢乐跑项目组的概率为
；
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（2）记马拉松、半程马拉松、欢乐跑这三个项目分别为A、B、C，
画树状图为：
共有9 种等可能的结果，小乐和小观被分到同一个项目组的3 种情况．
∴
（小乐和小观被分到同一个项目组）
．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事
件A 或B 的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．
52．某校有4 个测温通道，分别记为
、
、
、
，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园．选
择任意一个测温通道的可能性是相同的．
（1）某日早晨小王同学进校园选择
测温通道的概率是___________；
（2）某日早晨小王和小李两位同学选择不同的测温通道进校园，请用画树状图或列表法求小王选择
通
道，小李选择
通道测温进校园的概率．
【答案】（1）
；（2）小王选择A 通道，小李选择B 通道测温进校园的概率为
．
【分析】
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12 种等可能的结果，小王选择A 通道，小李选择B 通道测温进校园的结果有1 种，
再根据概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）小王同学该日早晨进校园时，选择A 通道测温进校园的概率是
，
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故答案为：
；
（2）画树状图如图：
共有12 种等可能的结果，小王选择A 通道，小李选择B 通道测温进校园的结果有1 种，
∴小王选择A 通道，小李选择B 通道测温进校园的概率为
．
【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识
点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
53．2022 年成都将举办世界大学生运动会，这是在成都第一次举办世界综合性运动会．某校体育社团随机
调查了该校部分同学在篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据
调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（图1 和图2）．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形圆心角的度数；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会宣传员，请利用画树状图或列表的方法，求
恰好选中甲、乙两位同学的概率．
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【答案】（1）50，统计图见详解；（2）57.6°；（3）
【分析】
（1）由选择“足球”的人数和所占百分比求出本次调查的学生总人数，即可解决问题；
（2）由360°乘以选择“羽毛球”的学生所占的比例即可；
（3）画树状图，得出所有等可能的结果数和满足条件的结果数，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）本次调查的学生总人数为：10÷20%＝50（人），
则选择“篮球”的学生人数为：50×32%＝16（人），选择“羽毛球”的学生人数为：50−16−10−12−4＝8
（人），
补全条形统计图如下：
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形圆心角的度数为：360°×
＝57.6°；
（3）画树状图如图：
共有12 个等可能的结果，恰好选中甲、乙两位同学的结果有2 个，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率=2÷12＝
．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求
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情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
54．如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是三张牛年生肖邮票，依次记为A、B、C，卡片除正面图案
不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀
后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票
的概率．
【答案】树状图见解析，
．
【分析】
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小明两次抽到图案都是两只牛的生肖邮票的情况，然
后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
根据题意，树状图如下：
共有9 种等可能的情况数，
P（小明两次抽到图案都是两只牛的生肖邮票）
．
【点睛】
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所
求情况数与总情况数之比．
55．某班组织学生进行交通安全知识竞赛活动，竞赛成绩分为A、B、C、D 四个等级，根据竞赛成绩分别
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制作了条形统计图和扇形统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）求该班的学生总人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（2）求出扇形统计图中C 等级所对应的扇形圆心角度数；
（3）已知A 等的5 名学生中有3 名男生，2 名女生，现从这5 名学生中抽取两名同学参加校级竞赛，用树
状图或列表法求出被抽到的两名学生恰好是一名男生，一名女生的概率．
【答案】（1）50 人，见解析；（2）108°；（3）
【分析】
（1）利用A 等级的人数除以A 等级人数所占的百分比即可得到总人数，再求出C 等级的人数补充图形即
可；
（2）求出C 等级的百分比再乘以360 度即可；
（3）画出树状图，再根据概率公式即可得到答案．
【详解】
（1）总人数：
人；
C：
，如图．
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（2）
．
（3）树状图如下
总共有20 种情况，其中一男一女的情况有12 种
∴
．
【点睛】
本题考查条形统计图与扇形统计图的应用以及用树状图法求概率，能够正确画出树状图是解题关键．
56．“温州马拉松竞赛”的个人竞赛项目共有三项：A．“马拉松”B．“半程马拉松”C．“迷你马拉
松”．小明和小刚参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为________．
（2）请用画树状图或列表的方法，求出小明和小刚恰好被分配到同一项目组的概率．
【答案】（1）
；（2）
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【分析】
（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）列表或画树形图得到所有可能的结果，即可求出小明和小刚被分配到同一项目组的概率．
【详解】
解：（1）
共有
，
，
三项赛事，
小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率是
，
故答案为：
；
（2）设三种赛事分别为1，2，3，列表得：
1
2
3
1
2
3
所有等可能的情况有9 种，小明和小刚被分配到同一项目组的情况有3 种，
所有其概率为
．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步
完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
57．在抗击新型冠状病毒疫情期间，各学校在推迟开学时间的同时开展“停课不停学”的网络教学模式，
针对远程网络教学，某学校为学生提供四类在线学习方式：
（在线阅读）、
（在线听课）、
（在线
答疑）、
（在线讨论），为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学
习方式最感兴趣”的调查（每人只能选一类），并根据调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图．
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（1）本次调查的人数是______，
在扇形统计图中的圆心角度数为______度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1200 人，请你估计对“在线听课”最感兴趣的学生人数；
（4）小明和小强都参加了此次调查，都选择一种学习方式，请用树状图法或列表法求出小明和小强选择
同一种学习方式的概率．
【答案】（1）100，72；（2）见解析；（3）480 人；（4）
【分析】
（1）利用在线阅读的人数除以它的占比即可得到答案；再利用
乘以
的占比即可得到
在扇形统计
图中的圆心角度数；
（2）根据（1）中求解的
的人数补全图形即可；
（3）利用总人数乘以在线听课所占的百分比即可得到答案；
（4）利用列表法得到所有的等可能的结果，再得到小明和小强选择同一种学习方式的等可能的结果数，
再利用概率公式即可得到答案．
【详解】
解：（1）
在线阅读的人数有
人，占比
本次调查的人数是
（人），
在线答疑的人数有：
（人），
在扇形统计图中的圆心角度数为
．
故答案为：
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（2）由
（人），补全图形如下：
（3）由题意得：
（人）
答：“在线听课”最感兴趣的学生人数约有480 人．
（4）所有可能出现的结果列表如下：
由表可知，共有16 种可能出现的结果，其中小明和小强选择同一种学习方式的有4 种，记为事件
，
∴
．
【点睛】
本题考查的是从条形统计图与扇形统计图获取信息，补全条形统计图，利用样本估计总体，利用列表法或
画树状图求解等可能事件的概率，掌握以上知识是解题的关键．
58．有3 张卡片，正面分别写着2，3，4，它们的背面都相同．现将它们的背面朝上，先从中任意摸出一
张，作为十位数字，卡片不放回，再任意摸出一张，作为个位数字，组成一个两位数．
（1）请用树状图或列表法表示所有可能的结果．
（2）求组成的两位数为偶数的概率．
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【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用树状图列出所有可能的结果；
（2）根据（1）中结果，利用概率公式计算即可．
【详解】
解：（1）由题意得，
∴一共有6 种可能，分别为：23，24，32，34，42，43．
（2）由（1）知是偶数的有24，32，34，42，共4 个，
∴组成的两位数为偶数的概率为：
．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于不放回实
验．
59．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成3 个大小相同的扇形，颜色分为红、绿两种颜色．指针的
位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，
当作指向右边的扇形）利用画树状图或列表的方法，求小明同学自由转动转盘两次，每次停止后，指针都
指向红色的概率．
【答案】
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【分析】
利用画树状图或列表的方法可得所有的等可能的结果与指针两次都指向红色的结果数，从而可得答案．
【详解】
解：解法一，根据题意，画树状图如下：
解法二，根据题意，列表如下：
第一次
第二次
红1
红2
绿
红1
红1，红1
红2，红1
绿，红1
红2
红1，红2
红2，红2
绿，红2
绿
红1，绿
红2，绿
绿，绿
由树状图（表格）可以看出，所有等可能出现的结果共有9 种，其中指针都指向红色的情况有4 种，所以
P（指针都指向红
【点睛】
本题考查的是利用画树状图的方法或列表的方法求解简单随机事件的概率，掌握画树状图与列表法是解题
的关键．
60．某学校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘
制成扇形统计图和频数分布直方图．部分信息如下：
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（1）本次比赛参赛选手共有_______人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比
为________；
（2）补全图2 频数分布直方图；
（3）成绩前四名是2 名男生和2 名女生，若从他们中任选2 人作为该校文艺晚会的主持人，请用列举法
（画树状图或列表）求所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）50，36%；（2）见解析；（3）
．
【分析】
（1）根据“89.5～99.5”人数12 人除以占比24%即可求得总人数，再将“59.5～69.5”除以总人数得到占比，
最后用1 减去30%，减去10%，减去24%，据此即可解题；
（2）分别计算“69.5～74.5”这一范围的人数，“79.5～84.5”这一范围的人数，即可画图；
（3）根据题意画树状图，列出所有等可能的结果，再解得所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率．
【详解】
解：（1）
（人）
，
故答案为：50，36%；
（2）∵“69.5～79.5”这一范围的人数为
（人），
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∴“69.5～74.5”这一范围的人数为
（人），
∵“79.5～89.5”这一范围的人数为
（人），
∴“79.5～84.5”这一范围的人数为
（人）；
补全图2 频数直方图：
（3）画树状图为：
共有12 种等可能的结果数，其中恰好选中1 男1 女的结果数为8 种，
所以恰好选中1 男1 女的概率
．
【点睛】
本题考查扇形统计图、条形统计图、画树状图求概率等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解
题关键．
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