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有理数的乘方、混合运算及科学记数法（基础）
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3. 进一步掌握有理数的混合运算.
4. 会用科学记数法表示大数.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：
.在
中，
叫做底数， n 叫做指数．
要点诠释：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5 就是51，指数1 通常省略不写．
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0 的
任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如
≥0．
要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计
算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二
级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺
序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
要点四、科学记数法
把一个大于10 的数表示成
的形式（其中
是整数数位只有一位的数，l≤|
|
<10，
是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如
＝
.
要点诠释：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“
”照写，其它与正数一样，如
=
；
（2）把一个数写成
形式时，若这个数是大于10 的数，则n 比这个数的整数位数少1.
【典型例题】
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类型一、有理数乘方
1．计算：
（1）
（2）
3
4
（3）
4
( 3)
（4）
43
（5）
（6）
（7）
（8）
【答案与解析】
（1）
；
（2）
3
4
；
（3）
4
( 3)
；
（4）
43
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
【总结升华】
与
不同，
，而
表示
的n 次幂的相反数．
举一反三：
【变式】比较
与
的异同．
【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；
不同点：
表示-5 的3 次方，即(-5)×(-5)×(-5)＝-125，而
表示5 的3 次方的相反
数，即
＝-(5×5×5)．因此，它们的底数不同，表示的意义不同．
类型二、乘方的符号法则
2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，
，-(-2)2010
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【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则．
【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结
果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；
运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．
【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0 时，结果是
0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．
类型三、有理数的混合运算
3.计算：（1）
（2）
（3）
（4）
【答案与解析】
（1）法一：原式＝
；
法二：原式=
（2）原式
(3) 原式
（-24）-1-8=-32-3+66-9=22
(4) 原式
=-1000-25+11=-1014
【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．
举一反三：
【变式】计算：（1）
（2）
【答案】原式
原式
类型四、科学记数法
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4. 用科学记数法表示：
(1)
；（2）
亿；（3）
【答案与解析】（1）把
写成
时，
，它是将原数的小数点向左移
动9 位得到的，即把原数缩小到
，所以
；
（2）
亿=300 000 000 000，把
亿写成
时，
，的值应比 300 000 000
000 的整数位少1，因此
，所以3000 亿=
；
（3）
写成
时，“-”照写，其它和正数一样，所以
.
【总结升华】带有文字单位的数先变为原数，再写成
形式，的确定：n 比这个数的整
数位数少1.
举一反三：
【变式】据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57 万人，其中
760.57 万人用科学记数法表示为 （ ）
A．7.605 7×
人 B．7.605 7×
人
C．7.605 7×
人 D． 0.760 57×
人
【答案】B
5. 把下列用科学记数法表示的数转化成原数.
（1）
； （2）
； （3）
千米
【答案与解析】此题是对科学记数法的逆用
（1）
；
（2）
；
（3）
千米=
千米.
【总结升华】将科学记数法表示的数转化为原数，方法简单：是几就将
中
的小数点
向右移动几位.
类型五、探索规律
6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1 次把两头捏在一起抻拉得
到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3 次捏
合抻拉得到 根面条，第5 次捏合抻拉得到 根面条，第
次捏合抻拉得到
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根面条，要想得到64 根细面条，需 次捏合抻拉.
第1 次 第2 次 第3 次
【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是找出每一次拉出来面条的根数的规律．
第1 次：
；第2 次：
；第3 次：
；…；第
次：
.
【答案】8；32；
； 6
【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2 倍，所以可得到：
第1 次：
；第2 次：
；第3 次：
；…；第
次：
.
第3 次捏合抻拉得到面条根数：
，即8 根；第5 次得到：
，即32 根；第
次捏合抻拉得到
；因为
，所以要想得到64 根面条，需要6 次捏合抻拉.
【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似
杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．
举一反三：
【变式】已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数
字是________．
【答案】6
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