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向量运算的坐标表示
1．若向量
，
，
．
(1)
，求
的值；
(2)若
与共线，求k 的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因
，即
，
所以
，解得
，故
；
（2）因
与共线，
，
，
所以
，故
．
2．已知向量
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
，求向量
与
的夹角
.
【答案】(1)
或
.(2)
【详解】（1）已知
，
所以
.
又因为
，所以有
，
所以
，解得
或
.
1
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（2）因为
，所以
.
又
，所以
，
解得
，所以
.
所以
，
因为
，所以
.
3．向量
，向量
．
(1)求
；
(2)若向量
与向量
共线，
，求
的模的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
；
（2）由题设
且
，则
，
所以
，
2
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当
时，
.
4．已知向量
，
，
．
(1)求与
垂直的单位向量
的坐标；
(2)若
，求实数
的值．
【答案】(1)
或
(2)
【详解】（1）设与
垂直的单位向量
，
则
，解得：
或
，
或
.
（2）
，
，又
，
，解得：
.
5．已知
，
．
(1)求
，
；
(2)求
．
【答案】(1)
；
(2)
【详解】（1）由
，
，
所以
，
．
3
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（2）由
，
，
则
，
所以
．
6．已知
.
(1)当k 为何值时，
与
共线?
(2)若
=
，
=
且A，B，C 三点共线，求m 的值.
【答案】(1)k=
(2)m=
【详解】（1）由题可得，
；
.
因为
与
共线，则
；
（2）因为A，B，C 三点共线，
与
不共线，所以存在实数λ，使得
=λ
(λ∈R)，即
，整理得
，
所以
m=
.
7．已知
(1)若
且
时，
与的夹角为钝角，求
的取值范围；
(2)若
函数
，求
的最小值.
【答案】(1)
；(2)
.
4
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【详解】（1）当
时，
，
与的夹角为钝角，
于是
，且
与不共线，
则
，解得
，又
，即
，
则有
，又当
与共线时，
，解得
，
因此
与不共线时，
，
所以
的取值范围是
.
（2）依题意，当
时，
，
令
，则
，
于是
，而函数
在
上为增函数，
则当
时，y 有最小值
，
所以
的最小值为
8．已知平面向量
，
，
，且
．
(1)求
的坐标；
(2)求向量
在向量
上的投影向量的模．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设
，因为
，所以
，又
，
解得
，
，所以
；
5
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（2）
，所以
，
则向量
在向量
上的投影向量的模为
；
综上，
，向量
在向量
上的投影向量的模为5.
9．已知向量
，
.
(1)求
；
(2)求
与
的夹角.
【答案】(1)2(2)
【详解】（1）因为向量
，
，所以
，
则
（2）
，
所以
与
的夹角为
.
10．已知向量
，
．
(1)若
，求
在
上的投影向量的模长；
(2)若
，求实数
的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得当
时,
,
6
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则
，
，
所以
在
上的投影向量的模为
．
（2）由
，
，
由
，得
，
即
，解得
．
11．设
，
是两个不共线的向量．
(1)若
，
，求
；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，又向量夹角范围为[0,π]，
所以
.
（2）因为
，设
，μ 为实数，
即
，则
，即
，解得
．
12．已知
当
为何值时，
(1)
与
共线；
(2)
与
的夹角为
【答案】(1)
(2)
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【详解】（1）因为
，所以
，
，
由
与
共线，则
，所以
.
（2）因为
，
，
因为
与
的夹角为
，所以
，得到
，所以
.
13．（1）已知单位向量
、
的夹角为
，
与
垂直，求
；
（2）已知向量
，
，
，若
，求
.
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）因为单位向量
、
的夹角为
，所以
，
又
与
垂直，所以
，即
，即
，解得
；
（2）因为
，
，所以
，
又
且
，所以
，解得
.
14．已知向量
，求：
(1)若
﹐求
；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)1(2)
【详解】（1）因为
，所以
，
，所以
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，
又因为
，所以
，解得
，所以
.
（2）因为
，所以
，
又
，所以
，即
，所以
.
15．已知向量
，
．
(1)若
，求k 的值；
(2)若
，求k 的值．
【答案】(1)
；(2)
．
【详解】（1）由已知
，
，
∵
，∴
，解得
；
（2）
，
∵
，∴
，解得
．
16．已知平面向量
，
．
(1)
在
方向上的投影向量；
(2)当k 为何值时，
与
垂直．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
在
方向上的投影向量
.
9
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（2）∵
与
垂直，
，
，
∴
，即
，解得
．
17．已知向量
，
，
(1)当实数
为何值时，向量
与
共线
(2)当实数
为何值时，向量
与
垂直
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，
，
向量
与
共线，所以
，所以
.
（2）
，
，
向量
与
垂直，所以
，解得
.
18．已知向量
，
.
(1)求
时，求
的值；
(2)若
与
共线，求
夹角
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵
，
当
时，
，∴
，
∴
.
（2）
，且与
共线
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∴
，解得
，
所以
，
，
所以
夹角为
.
19．已知向量
，
.
(1)求
与
夹角的余弦值；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由向量
，
，可得
，
且
，
所以
与
夹角的余弦值
.
（2）解：由
，可得
，
即
，解得
.
20．设平面三点A（-2，1），B（4，-1），C（2，3）．
(1)若
试求D 点的坐标；
(2)试求向量
与
的夹角余弦值；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设
，则
，
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因为
所以
，解得
所以D 点的坐标为
.
（2）由（1）知
，又
，
所以
，
故向量
与
的夹角余弦值为
.
21．已知
，
是同一平面内的两个向量，其中
，且
．
(1)若
，求
的坐标；
(2)若
，求
与
夹角．
【答案】(1)
或
(2)
【详解】（1）设
．
因为
，
，
所以
即
又因为
，所以
．
解之得
时，
或
时，
，
所以
或
．
（2）记
与
夹角为
．
因为
，所以
，
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则
，即
，
所以
，
又因为
，所以
．
22．设A，B，C，D 为平面内的四点，且
.
(1)若
，求D 点的坐标；
(2)设向量
，若向量
与
平行，求实数k 的值.
【答案】(1)
；(2)
.
【详解】（1）设
，因为
，于是
，整理得
，
即有
，解得
，
所以
.
（2）因为
，
所以
，
，
因为向量
与
平行，因此
，解得
，
所以实数k 的值为
.
23．已知
是同一平面内的三个向量，其中
．
(1)若
，且
∥，求的坐标；
(2)若
，且
与
垂直，求
与
的夹角
．
【答案】(1)
或
(2)
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【详解】（1）解：设
，因为
，
∴
，即
，①
由
∥，得
，②
由①②，得
或
，
故
或
；
（2）解：因为
与
垂直，
所以
，
即
，
又
，
，
所以
，整理得
，
故
，
又
，
所以
．
24．已知向量
，
，
，求
的值.
【答案】
【详解】∵
，
，
∴
，
14
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∴
，
∴
，
∴
.
25．设向量
(1)求与
垂直的单位向量；
(2)若向量
与向量
的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
【答案】(1)
或
(2)
【详解】（1）由已知
，设与
垂直的单位向量为
则
，解得
或
即与
垂直的单位向量为
或
（2）由已知
所以
，
因为向量
与向量
的夹角为钝角，
所以
，解得
，
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又因为向量
不与向量
反向共线，
设
，则
从而
或
（舍去），所以解得
26．已知非零向量
和
不共线.
(1)若
，
，
，求证：A，B，D 三点共线；
(2)若向量
与向量
平行，求实数k 的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）
，
又
，
，
A，B，D 三点共线；
（2）
向量
与向量
平行，
存在实数
使
，
，解得
.
27．已知平面向量
．
(1)若
，且
，求
的坐标；
(2)若
与
的夹角为锐角，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
【详解】（1）由
，
16
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所以
，
设
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
，
解得
，或
，
所以
的坐标为
或
.
（2）由
，
所以
，
因为
与
的夹角为锐角，
所以
且
与
不共线，
，
解得
且
，
即实数
的取值范围为
.
28．已知向量
、
.
(1)求
与
的数量积.
(2)求
与
的夹角的余弦值.
17
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【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
，所以
.
（2）因为
，
，所以
，
，
所以
.
29．已知向量
，
，
，
．
(1)若
，求的值；
(2)若
与垂直，求的值．
【答案】(1)
或
(2)
【详解】（1）因为
，
，
所以
，又
，
所以
，
即
，
解得
或
．
（2）因为
，
，
所以
，
又
与垂直，
，
所以
，
解得
．
18
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30．已知向量
(1)已知
且
，求
(2)已知
，且
，求向量
与向量的夹角．
【答案】(1)
或
(2)
【详解】（1）由
，所以设
又
得
，解得
，
所以
或
.
（2）由题知，
，
，
，
所以
，
所以
所以
所以
所以
因为
所以向量
与向量的夹角为
.
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