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专题04 排列组合与二项式定理小题综合
一、单选题
1．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要
求有公共边的两块不着同色.在所有着色方案中，①③⑤着相同色的有（ ）
A．96 种
B．24 种
C．48 种
D．12 种
2．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知
，则
（ ）
A．1024
B．1023
C．1025
D．512
3．（2023·湖南怀化·统考二模）若
，则
被8 整除的余数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
4．（2023·湖南永州·统考三模）在二项式
的展开式中，把所有的项进行排
列，有理项都互不相邻，则不同的排列方案为（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
5．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）如图，一圆形信号灯分成
四
块灯带区域，现有3 种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1 种颜色，且
相邻的2 块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ）
A．18
B．24
C．30
D．42
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6．（2023·湖南·校联考模拟预测）第19 届亚运会将于2023 年9 月23 日至10 月8 日在
杭州举行，甲乙等
､
4 名杭州亚运会志愿者到游泳射击体操三个场地进行志愿服务，
､
､
每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的
安排方法共有（ ）
A．12 种
B．18 种
C．24 种
D．36 种
7．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）
的展开式中的常数项是
（ ）
A．
B．20
C．
D．160
8．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）甲乙丙丁4 位大学生前往
，
，
3 个工厂参观实习，若每人只能去其中一个工厂，且每个工厂至少安排1 人，其中甲
只能去
，
两个工厂中的一个，则不同的安排方法数是（ ）
A．36
B．12
C．24
D．18
9．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）某个单位安排7 位员工在“五·一”假
期中1 日至7 日值班，每天安排1 人值班，且每人值班1 天，若7 位员工中的甲、乙排
在相邻的两天，丙不排在5 月1 日，丁不排在5 月7 日，则不同的安排方案共有（
）
A．504 种
B．960 种
C．1008 种
D．1200 种
10．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知
（
，2，⋯，
95），则数列
中整数项的个数为（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
二、多选题
11．（2023 秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知
的展开式的二项式系数和
为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．展开式中各项系数的和为
C．展开式中第
项的系数为
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D．展开式中含
项的系数为
12．（2023·湖南·模拟预测）已知
，则下列结论成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）
的展开式中二项式系数
最大的项是________.
14．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）在
的展开式中，二次项系
数是___________.（用数字作答）
15．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）
展开式中
的系数为______.
16．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知 a>0，若
，且
，则a=______.
17．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考三模）将函数
表示为
，其中
，
，
，
，
为实数，则
______.
18．（2023·湖南·校联考模拟预测）现安排A，B，C，D，E 这5 名同学参加校园文化
艺术节，校园文化艺术节包含书法、唱歌、绘画、剪纸四个项目，每个项目至少有一
人参加，每人只能参加一个项目，A 不会剪纸但能胜任其他三个项目，剩下的人都能
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胜任这四个项目，则不同的安排方案有_______________种．
19．（2023·湖南常德·统考一模）在学雷锋志愿活动中，安排4 名志愿者完成5 项工作，
每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有_____种.
20．（2023 春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）已知
为正数，
的展开式
中各项系数的和为1，则常数项为___________.
21．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知
的展开式中各项系
数的和为243，则这个展开式中
项的系数是__________．
22．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）六个身高不同的人排成二排三列，每一列后
面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________种排法．
23．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知
的展开式中含
项的系数为
1024，则
______．
24．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）
的展开式中
的系数为
_________．
25．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知
，则
___________．
26．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知
，则
_________ .
27．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知在
的展开式中，第
3 项的二项式系数与第4 项的二项式系数相等，且
的系数为
，则
______.
28．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知多项式
，则
的值为___________.
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29．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）每年高考结束后，各大高校会进入长
沙的高中校园组织招生宣传.某中学高三年级的3 名男生、2 名女生去参加A，B 两所高
校的志愿填报咨询会，每个学生只能去其中的一所学校，且要求每所学校都既有男生
又有女生参加，则不同的安排方法数是________．
30．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）设
为正整数，
展开式的二项
式系数的最大值为
展开式的二项式系数的最大值为
，若
，则
的展开式中，
的系数为___________.
31．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）2023 年2 月6 日，土耳其发生7.8 级
地震，我国在第一时间派出救援队进行救援.已知某救援队共有8 人，根据救灾安排，
该救援队需要安排救援人员到三个地区实施救援，每个地区至少安排2 人，每人只去
一个地区，则共有_____种安排方案.
32．（2023·湖南怀化·统考二模）信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势，为了了
解学生利用学习机学习的情况，某研究机构在购物平台上购买了6 种主流的学习机，
并安排4 人进行相关数据统计，且每人至少统计1 种学习机的相关数据（不重复统
计），则不同的安排方法有___________.
33．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知二项式
的展开式中含
的项的系数为
，则
________．
34．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）第31 届世界大学生夏季运动会将在
今年7 月28 日至8 月8 日在四川省成都市举行．有编号为1，2，3，4，5 的五位裁判，
分别就座于编号为1，2，3，4，5 的五个座位上，每个座位恰好坐一位裁判，则恰有
两位裁判编号和座位编号一致的坐法种数为________．
35．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）
的展开式中，
的系数为______．
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