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二次根式
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1、了解二次根式的意义，理解二次根式的双重非负性，掌握和应用其性质；
2、通过数学技能的训练，培养学生观察分析、归纳概括的能力；
3、通过新旧知识点的联系以及问题探索，启发学生学习数学的兴趣．
1．二次根式的定义
一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
2．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是_______．
（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．
3．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①a≥0；
≥0（双重非负性）．
②（
）2=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③
=a（a≥0）（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（3）化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数开方数是_____．
4．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：√ab=√a•√b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：√a•√b=√ab（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：√
a
b = √a
√b
（a≥0，b＞0）
2
（4）二次根式的除法法则：√a
√b =√
a
b
（a≥0，b＞0）
5．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根
式进行合并，合并方法为系数相______，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因
式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的
混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项
式“．
（2）二次根式的运算结果要化为______二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题
途径，往往能事半功倍．
7．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避
免互相干扰．
1. 实数的运算；二次根式的性质与化简．
【例1】（2014•陕西师大附中期末）实数a，b，c 在数轴上的对应点如图，化简a+|a+b|﹣
的
值是（ ）
A．﹣b﹣c
B．c﹣b
C．2（a﹣b+c）
D．2a+b+c
练1. 下列计算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 二次根式的定义．
【例2】（2014•常熟二中月考）下列说法错误的是（ ）
A．零和负数没有算术平方根
B．
是一个非负数，也是二次根式
3
C．
的最小值是4
D．
的值一定是0
练2. 对于
，以下说法正确的是（ ）
A．对于任意实数a，它表示a 的算术平方根
B．对于正实数a，它表示a 的算术平方根
C．对于正实数a，它表示a 的平方根
D．对于非负实数a，它表示a 的算术平方根b
练3. 若
是二次根式，则下列说法正确的是（ ）
A．x≥0，y≥0
B．x≥0 且y＞0 C．x，y 同号
D．≥0
3. 二次根式有意义的条件．
【例3】（2014•辽宁营口一中期中）使
有意义的x 的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≤2
C．x≤2 且x≠﹣1
D．x≥2 且x≠﹣1
练4. 如果
有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x≤1 且x≠﹣2C．x≠﹣2
D．x＜1 且x≠﹣2
练5. 已知：1＜x≤4，则下列式子中有意义的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．二次根式的性质与化简．
【例4】（2014•大同阳高中学期末）下列各式运算中，正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2+b2B．
C．a3•a4=a12
D．
练6. 化简二次根式
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
【例5】（2014 秋•涿州十中期末模拟）在函数
中，自变量x 的取值范围是 ．
练7．函数
中自变量x 的取值范围是 ．
4
1．若代数式
有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x≠﹣2
B．x≤
C．x≤且x≠﹣2 D．x≤﹣且x≠﹣2
2．使
有意义的x 的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x≠1 D．x≥0 且x≠1
3．函数
的自变量x 的取值范围是 ．
4．在函数y=
中，自变量x 的取值范围是 ．
5．已知数a 满足
，求a﹣20042的值．
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1． 使式子
有意义的实数x 的取值范围是（ ）
A．0≤x≤ B．0≤x＜
C．x＜
D．x＞
2．能使
是一个实数的x 有（ ）
A．0 个
B．1 个 C．2 个
D．无数个
3．当
有意义时，x 满足条件（ ）
A．x≥﹣
B．x＜3
C．﹣≤x＜3
D．﹣3＜x＜3
4．下列命题：①当x＜0 时，
在实数范围内有意义．②当x＜2 时，
=1﹣x．③
﹣1 的倒数是
+1．④若
=x，则x 一定是非负数．其中正确的有多少个（ ）
A．1 个
B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．使式子
有意义的实数x 的取值范围是（ ）
A．x≤
B．x＜且x≠0 C．x＜
D．x≤且x≠0
5
6．如果
有意义，则（ ）
A．a≥0 B．a≥2
C．0＜a≤2
D．a 为一切实数
7．二次根式运算：
（1）
；
（2）
．
8．二次根式计算：﹣22÷（
）﹣|
2|
﹣．
9．已知实数满足
，求x﹣20082的值．
10．已知x、y 为实数，
，试求3x+4y 的值．
课程顾问签字： 教学主管签字：
