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6.2 空间几何中的平行与垂直
1
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2
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3
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4
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考点一 平行问题
【例1-1】（2024 黑龙江齐齐哈尔 ）如图，在直三棱柱
中，
，
分别为
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求三棱锥
的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【解析】（1）取
的中点
，连接
为
的中点，
且
，
为
的中点，
且
且
，
四边形
为平行四边形，
．
又
平面
平面
平面
．
（2）
，
5
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．
平面
点
到面
的距离等于点
到面
的距离，
，
又
平面
.
【例1-2】（2024 北京）如图，已知三棱柱
中，
与
交于点
为
边上一点，
为
中点，且
平面
.求证：
(1)
；
(2)平面
平面
.
【答案】(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
【解析】（1）由题意，因为
平面
，
且
平面
又因为平面
平面
，
所以由线面平行的性质得
.
（2）由（1）可知
，
又因为
点为
的中点，
6
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所以
为
的中位线，
所以
为
的中点，即
，
因为
为
的中点，即
，
又因为
,
所以
，
所以四边形
为平行四边形，
所以
,
又因为
平面
,
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，
，
平面
,
平面
，
所以平面
平面
.
【例1-3】（2024 湖北）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
、
分别是棱
，
的中点，且
平面
.证明：
.
【答案】证明见解析
【解析】连接
，如图，
7
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∵
、
分别是
、
中点，
∴
为
中位线，
.
平面
，
平面
，∴
平面
.
又∵
平面
，
，
，
平面
，
∴平面
平面
.
又∵平面
平面
，平面
平面
，∴
.
【例1-4】（24-25 上海·课堂例题）如图所示，在三棱柱
中，若
、D 分别为
、BC 的中点，
求证：平面
平面
．
【答案】证明见解析.
【解析】证明：如图所示，连接
交
于点M，
∵四边形
是平行四边形，∴M 是
的中点．连接MD．
∵D 为BC 的中点，∴
．
8
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∵
平面
，
平面
，∴
平面
．
又由三棱柱的性质知，
，∴四边形
为平行四边形，∴
．
又
平面
，
平面
，∴
平面
．
又∵
，
平面
，
平面
，
∴平面
平面
．
【例1-5】（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中以下四个命题
中，真命题的序号是（ ）
①
平面
；
②
平面
；
③平面
平面
；
④平面
平面
.
A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．②③④
【答案】A
【解析】把正方体的平面展开图还原成正方体
，如图1 所示；
对于①，平面
平面
，
平面
，
∴
平面
，①正确；
对于②，平面
平面
，
平面
，
∴
平面
，②正确；
对于③，如图2 所示，易知
，则四边形
为平行四边形，
则
，
平面
，
平面
，∴
平面
；
同理可得四边形
为平行四边形，则
，
因为
，
平面
，则
平面
，且
，
平面
，∴平面
平面
，③正确；
对于④，如图3 所示，由③知
，因为
平面
，
平面
，
9
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所以
平面
，
因为
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
，且
平面
，
∴平面
平面
，∴④正确．
综上，正确的命题序号是①②③④．
故选：A．
【一隅三反】
1．（2024 浙江温州·阶段练习）下列四个正方体中，
，
，
为所在棱的中点，
，
，
为正方体的三个
顶点，则能得出平面
平面
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A 选项，若平面
平面
，
平面
，则
平面
，
由图可知
与平面
相交，故平面
与平面
不平行，A 不满足条件；
对于B 选项，如下图所示，连接
，
10
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因为
、
分别为
、
的中点，则
，
在正方体
中，
且
，
故四边形
为平行四边形，所以，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
同理可证
平面
，
，因此，平面
平面
，B 满足条件；
对于C 选项，如下图所示：
在正方体
中，若平面
平面
，且平面
平面
，
则平面
平面
，但这与平面
与平面
相交矛盾，
因此，平面
与平面
不平行，C 不满足条件；
对于D 选项，在正方体
中，连接
、
、
，如下图所示：
因为
且
，则四边形
为平行四边形，则
，
平面
，
平面
，所以，
平面
，
同理可证
平面
，
，所以，平面
平面
，
若平面
平面
，则平面
平面
，
这与平面
与平面
相交矛盾，故平面
与平面
不平行，D 不满足条件.
故选：B.
2．（23-24 海南海口·阶段练习）如图，已知四棱锥
中，底面
是平行四边形，
为侧棱
的
中点.
11
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(1)求证：
平面
；
(2)若
为侧棱
的中点，求证：
平面
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）连接
，设
，因为
是平行四边形，
所以
是
的中点，连接
，又
为侧棱
的中点，
所以在
中有：
，又
平面
平面
，
所以
平面
.
（2）若
为侧棱
的中点，且由（1）知
是
的中点，
所以在
中有：则
，又
平面
平面
，
所以
平面
，
由（1）知
平面
平面
，
所以
平面
.
又
平面
，
所以平面
平面
，又
平面
，所以
平面
.
12
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3．（23-24 广东佛山·阶段练习）如图，在六面体
中，
，四边形
是平行四边形，
．
(1)证明：平面
平面
．
(2)若G 是棱
的中点，证明：
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）由
，得
，而
平面
，
平面平面
，则
平面
，
由
，
平面
，
平面
，得
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）延长
与
的延长线分别交于点
，
由
，
，得
，由
，G 是棱
的中点，得
，
因此点
重合，记为
，显然平面
平面
，平面
平面
，
由（1）知，平面
平面
，所以
.
4 ．（23-24 广西贺州·阶段练习）在底面为平行四边形的四棱锥
中，
，
分别为棱
，
的中
13
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点．
(1)求证：
平面
；
(2)设平面
平面
，求证：
平面
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）证明：取
的中点
，连接
，
，
因为
，
分别为
，
的中点，所以
，且
，
又因为
为
的中点，所以
，
在平行四边形
中，有
，则
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
（2）在平行四边形
中，有
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为平面
平面
，
面
，所以
，
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
．
5．（23-24 江苏连云港·期中）如图，在三棱柱
中，
为
的中点，设平面
与底面
的交线为．
14
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(1)证明：
平面
；
(2)证明：
平面
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【解析】（1）证明：如图，连接
与
交于点O，连接
在三棱柱
中，侧面
为平行四边形，
所以O 为
的中点，
又因为点M 为
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）证明：在三棱柱
中， 平面
平面
，
15
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因为平面
平面
，平面
平面
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
考点二 垂直问题
【例2-1】（24-25 上海）如图，已知矩形
，
平面
，
，点E 是PB 的中点．求证：
平面
．
【答案】证明见解析
【解析】由
底面ABCD，得
，
由
，知
为等腰直角三角形，
又点E 是棱PB 的中点，故
．
由题意知
，又AB 是PB 在平面ABCD 内的射影，故
，
是平面
内两条相交直线，从而
平面
，故
．
因为
，
，
是平面
内两条相交直线,
所以
平面
．
【例2-2】（23-24 广东湛江 ）如图，
平面
，底面
为矩形，
于点
于点
．
(1)求证：
平面
；
(2)设平面
交
于点
，求证：
．
【答案】(1)证明见解析
16
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(2)证明见解析
【解析】（1）
为矩形，
平面
平面
，
又
与
平面
，
平面
．
又
平面
又
与
平面
，
平面
.
（2）由（1）知，
平面
又
与
平面
平面
；
平面
，所以
；
为矩形
平面
是平面
内两条相交直线
平面
平面
平面
平面
，
.
【例2-3】（23-24 广东潮州·期末）如图，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，
，
，
.
(1)求证：平面ACE⊥平面BDE；
(2)求四面体BAEF 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由题意，
可得，
，
平面
，
平面
平面
，
17
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所以
平面
，
又
平面
，则
，
在正方形
中，
，
又
平面
平面
，则
平面
.
平面
,所以平面
平面
.
（2）因为
平面
，平面
平面
，
平面
，
又
，
故
，
所以
.
【例2-4】（24-25 上海·随堂练习）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，点E
在线段
上，且
，
分别为
、
、
的中点.求证：
(1)平面
平面
；
(2)平面
平面
.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）证明：以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立如图所示空间直角坐标系.
18
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则
，
，
，
，
，
.
设
，则
，
，
.
因为
，
，
，
所以
，
.
所以
，
，即
，
.
又
平面
，所以
平面
.
因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）因为
，
，
，
所以
，
.
所以
，
.
因为
平面
，所以
平面
.
又由（1）知
平面
，所以平面
平面
.
【一隅三反】
1．（23-24 四川雅安·期末）已知下面给出的四个图都是正方体，A，B 为顶点，E，F 分别是所在棱的中点，
19
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则满足直线
的图形的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【解析】对于①：如下图所示，点
为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证
，由
平面
，得出
，
平面
，从而由线面垂直的判定得出
平面
，则
，故①正确；
对于②：如下图所示，点
为所在棱的中点，由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证
，由
平面
，得出
，
平面
,
，从而由线面垂直的判定得出
平面
，则
，故②正确；
对于③：如下图所示，由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证
，由
平面
，得出
，
平面
,
，从而由线面垂直的判定得出
平面
，则
，故③正确；
20
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对于④：如下图所示，点
为所在棱的中点，由③可知，
，
由中位线定理及等腰三角形的性质，
易证
，由
平面
，得出
，
平面
，
，从而由线面垂直的判定得出
平面
，则
，
平面
，
，由线面垂直的判定可得
平面
，
则
，故④正确；
故选：D
2．（24-25 全国·假期作业）如图，在长方体
中，
，点
分别为棱
的中点，求证：
平面
；
【答案】证明见解析
【解析】方法一：因为
是
的中点，
所以
和
是等腰直角三角形，
所以
，
所以
，
因为
平面
平面
，所以
，
又
平面
，且
，
21
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所以
平面
；
方法二：以
为原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，
所在直线为轴建立空间直角坐标系，
，
所以
，
所以
，
所以
，
，
又
平面
，且
，
所以
平面
.
3．（23-24 江苏南京·期末）在底面为正三角形的三棱柱
中，已知点
，
分别是
，
的
中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若
.求证：
平面
.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】（1）如图，连结
，
，
22
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因为点
是
的中点，且
为平行四边形，
所以点
三点共线，且
分别是
，
的中点，
所以
，
平面
，
平面
，
所以
平面
；
（2）如图，取
的中点
，连结
，
，
，
，
，
，
，
因为
分别是
和
的中点，所以
，且
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
且
平面
，
平面
，
所以
平面
，
且
，且
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，
且
平面
,
平面
，
23
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所以
平面
，
且
，
平面
，
所以平面
平面
，
因为
，所以
，同理
，
且
，
平面
，所以
平面
，
所以
平面
.
考点三 动点问题
【例3-1】（23-24 ·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥
中，E 为线段
上靠近A 的三等分点，F 为线段
上一点，当
平面
时，
（ ）
A．3
B．4
C．
D．
【答案】D
【解析】
如图，连接
交
于点
，连接
因为
平面
平面
，平面
平面
所以
，
所以
，因为
为
的三等分点，
则
即
.
故选：D.
24
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【例3-2】（23-24 北京怀柔·期末）如图1，在
中，
分别为
的中点.将
沿
折起到
的位置（
与
不重合），连
，如图2.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若平面
与平面
交于过
的直线
，求证
；
(3)线段
上是否存在点
，使得
平面
，若存在，指出
点位置并证明；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
(3)在线段
上存在点
，即为
的中点,使得
平面
.
【解析】（1）因为在
中，
分别为
中点，
所以
，
将
翻折到
的位置后，即
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，
所以平面
平面
.
（2）因为在
中，
分别为
中点，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
25
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所以
平面
，
又因为
平面
，且平面
平面
，
所以
.
（3）在线段
上存在点
，即为
的中点，使得
平面
.
证明如下：
取
中点
，连接
，
由（1）可知，
平面
，
因为
平面
，
所以
，
因为
为
中点，
所以
，即
为等腰三角形，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
为
的中点，即
，
所以
四点在同一个平面.
所以
平面
.
【一隅三反】
26
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1．（23-24 辽宁抚顺·期末）如图（1），在梯形PBCD 中，
，
，A 是PD 中点，现将
沿AB 折起得图（2），点M 是PD 的中点，点N 是BC 的中点．
(1)求证：
平面PAB；
(2)在线段PC 上是否存在一点E，使得平面
平面PAB？若存在，请指出点E 的位置并证明你的结论；若
不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，E 为PC 中点，证明见解析
【解析】（1）取AP 的中点Q，连接MQ，BQ，
因为M，Q 分别为PD，PA 的中点，
所以
，
，
又因为N 为BC 的中点，
所以
，
．
所以
，
，
所以四边形MNBQ 为平行四边形，所以
，
又因为
平面PAB，
平面PAB，
所以
平面PAB．
（2）存在点E，当E 为PC 中点时，平面
平面PAB．
证明如下：由图（1）因为A 是PD 中点，
，
，
所以
且
，
所以四边形ABCD 是平行四边形，所以
．
27
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因为E，M 分别为PC，PD 中点，所以
，
所以
，
因为
平面PAB，
平面PAB，
所以
平面PAB，
同理可知
平面PAB，又因为
平面
平面
，
所以平面
平面PAB．
2 ．（23-24 重庆·期末）如图，在直四棱柱
中，四边形ABCD 是一个菱形，
，
点P 为
上的动点．
(1)证明：
平面
；
(2)试确定点P 的位置，使得
．
【答案】(1)证明见解析
(2)点P 为
中点
【解析】（1）由题知，由
，则四边形
为平行四边形，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，同理可证
面
，
28
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由
面
，
面
，
，
所以平面
平面
，
又
面
，所以
面
；
（2）取BC 中点E，连接DE，PE．在△BDC 中，
，
则△BDC 为正三角形，
所以
，又
，
，
平面EDP，
所以
面EDP，因为
平面
，所以
．
在面
中，
，
平面
，所以
，
在
中，E 为BC 中点，所以EP 为中位线，则点P 为
中点．
3．（22-23 云南昭通·期末）如图，在正三棱柱
中，
，点M 为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)在棱
上是否存在点Q，使得
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
29
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(2)存在，
【解析】（1）因为三棱柱
是正三棱柱，
所以
平面
平面
,所以
；
又因为M 是
的中点，所以
，
因为
平面
平面
,所以
平面
.
（2）由（1）可知
平面
，因为
平面
，
则平面
平面
，
在平面
内过点A 作
交
于点Q，平面
平面
，
因此
平面
，于是点Q 即为所要找的点,
如图7 所示，显然
，
因此
，即有
，
于是
，所以
.
考点四 动点长度（取值范围）
【例4-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱
的底面边长是2，侧棱长是
，
为
的中点，
是侧面
内的动点，且
平面
，则点
的轨迹的长度为（ ）
30
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A．
B．2
C．
D．4
【答案】B
【解析】如图，
取
的中点
，取
的中点
，连接
，则
，
又
面
，
面
，所以
平面
，
又
为
的中点，所以
，
又
面
，
面
，所以
平面
，
又
，
面
，
面
，所以平面
平面
，
又因为
是侧面
上一点，且
平面
，
所以
的轨迹为线段
，
，
所以点
的轨迹的长度为
.
故选：B.
31
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【例4-2】（23-24 四川成都·阶段练习）（多选）在边长为的正方体
中，点
是一个动点，
且
平面
，则线段
的长度可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】由正方体的性质知：
，所以
平面
，
平面
，
所以
平面
，同理
平面
，
平面
，所以平面
平面
，
若
平面
，则
平面
，则
平面
，
线段
的最小长度即为点
到平面
的距离，
四面体
的棱长为
，
作
平面
，垂足为
，则
为三角形
的重心，
连接
交
的中点
，
且
，
则正四面体的高为
，
所以线段
的最小长度为
，
32
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线段
的最大长度为
，所以
.
因为
，故A，B 错误；
，故CD 正确.
故选：CD.
【一隅三反】
1．（2024·湖南长沙·三模）已知正方体
的棱长为
是棱
的中点，空间中的动点
满足
，且
，则动点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，分别取
的中点
，连接
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
在
中，
，
所以
，所以
，
又
，所以
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
由
，得点
在平面
内，
33
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由
，得点
在以
为球心，半径为1 的球面上，
因此动点
的轨迹为平面
与球
的球面的交线，即在平面
内的圆，
连接
，设点
到平面
的距离为，平面
截球
所得截面圆的半径为，
则由
得
，
且
，所以
，则
，
因此动点
的轨迹长度为
.
故选：D.
2．（23-24 浙江湖州·阶段练习）如图所示，在棱长为1 的正方体
中，点
分别是棱
的中点，
是侧面
内一点，若
平面
，则线段
长度的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，取
的中点
，
的中点
，连接
，显然
，且
，
34
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所以四边形
为平行四边形，所以
，又因为
平面
，
平面
,所以
平面
，因为
，
平面
，
平面
,所以
平面
，又因为
，所以平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
，点
在侧面
上，所以点
位于线段
上，
因为
，
，所以当点
位于
点时，
最大，
当点
位于
的中点
时，
最小，
此时
，
所以
，所以线段
长度的取值范围是
.
故选：B
3．（23-24 ·四川眉山·阶段练习）在棱长为1 的正方体
中，
分别为
的中点，则
点
为正方形
内一点，当
平面
时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，分别取
的中点
，连接
，
35
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则
，所以
，
易知四边形
为平行四边形，故
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，
平面
，
所以平面
平面
，因为
平面
，故
平面
，
又点
为正方形
内一点，平面
平面
，
所以点
在线段
上，
又
,当
即点
即为
的中点，也即点
为
的交点时，
此时
最短，
因为
的中点分别是
，
所以
，
，所以
.
故选：C.
一．单选题
1．（2024·山东济南·二模）已知正方体
分别是
的中点，则（ ）
A．
平面
36
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B．
平面
C．
平面
D．
平面
【答案】C
【解析】由已知
面
，
面
，
则
，又
，
，
面
，
所以
面
，又
面
，所以
，排除AB，
明显
分别为
的中点，所以
，
又
面
，
面
，
所以
平面
，C 正确；
若
平面
，则必有
，又
，
所以
，明显不成立，D 错误.
故选：C.
2．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，四边形
是圆柱的轴截面，
是底面圆周上异于
，
的一点，则
下面结论中错误的是（ ）
37
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A．
B．
平面
C．平面
平面
D．
平面
【答案】D
【解析】因为四边形
是圆柱的轴截面，则线段
是直径，
都是母线．
又
是底面圆周上异于
的一点，
于是得
.
而
平面
，
平面
，则
.
因为
，
平面
，
则
平面
，
因为
平面
，因此得
，A 正确；
因为
,
平面
，
平面
，
所以
平面
，B 正确；
因为
平面
，而
平面
，
所以平面
平面
，C 正确．
点
不在底面
内，而直线
在底面
内，即
是两条不同直线，
若
平面
，因
平面
，
则
，与
矛盾，D 不正确；
故选：D.
3．（2024·河南·模拟预测）设
，
为两个不同的平面，
，
为两条相交的直线，已知
，
，则
“
，
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设两条相交的直线
，
确定一个平面
，
因为
，
，直线
，
相交，
，
，
所以根据面面平行的判定定理可得：
，
又因为
，
，直线
，
相交，
，
，
所以根据面面平行的判定定理可得：
，
38
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所以
，充分性成立；
由
，
，
可的：
，
或
，
，必要性不成立，
所以“
，
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2024·江西·二模）已知正方体
的棱长为4，点
满足
，若在正方形
内有一动点
满足
平面
，则动点
的轨迹长为（ ）
A．4
B．
C．5
D．
【答案】C
【解析】
如图，在棱
上分别取点
，使得
，
，
连接
，
因为
，
，
所以，
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，所以
，
又
，正方体
的棱长为4，
所以，
，
，
39
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在棱
上取点
,使得
，
则
且
，又
且
，
所以
且
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，
又
且
，则四边形
是平行四边形，
所以
，所以
，
因为
，
所以
，则
，
所以四边形
是平行四边形，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以，
平面
，
因为
，
平面
，
所以平面
平面
，
因为平面
平面
，
所以，在正方形
内有一动点
满足
平面
时，
点
的轨迹为线段
，
因为
，
所以，动点
的轨迹长为.
故选：C.
5．（2024·四川眉山·三模）如图，该组合体由一个正四棱柱
和一个正四棱锥
组合
40
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而成，已知
，则（ ）
A．
平面
B．
平面
C．
平面
D．
平面
【答案】C
【解析】对A、B：如图，因为
，
在平面
中有
，
所以
平面
不平行于平面
，故A 错误；
同理
不平行于平面
，故B 错误；
对C、D：
，
，
有
，所以
，
又
，
,
,
平面
，
所以
平面
，又因为
平面
，
所以
，又
，
、
平面
，
所以
平面
，故C 正确；
又因为
，且过一点有且仅有一条直线与平面垂直，
所以
不垂直于平面
，故D 错误.
故选：C.
41
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6．（2024·海南·模拟预测）如图，在直三棱柱
中，点D，E 分别在棱
上，
，点
满足
，若
平面
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在
上取一点
使得
，连接
，
与
交于一点
，即为所求（如图所示）.
证明如下：
根据已知
，
，
在直三棱柱
中，
，且
，
四边形
为平行四边形，
，
42
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平面
，
平面
，
平面
即
平面
.
又
，
，即
的值为
.
故选：C.
7．（2024 黑龙江鹤岗 ）如图，在正四棱锥
中，
分别是
的中点，当点
在线段
上运动时，下列四个结论：
①
；②
；③
平面
；④
平面
.
其中恒成立的为（ ）
A．①③
B．③④
C．①②
D．②③④
【答案】A
【解析】如图所示，连接
，
因为
分别是
的中点，所以
，
又因为
，且
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，
平面
，所以③恒成立；
设
与
交于点
，则
为底面正方形
的中心，且
，
由正四棱锥
，可得
平面
，
因为
平面
，所以
，
又因为
，且
平面
，所以
平面
，
所以
平面
，因为
平面
，所以
，所以①恒成立；
对于②④对于线段MN 上的任意一点P 不一定成立.
故选：A.
43
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8．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在正方体
中，M 是棱
上一点，平面
与棱
交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（ ）
①四边形
是平行四边形；②四边形
可能是正方形；③存在平面
与直线
垂直；④任意
平面
都与平面
垂直.
A．①②
B．③④
C．①④
D．①②④
【答案】C
【解析】对于①，因为平面
与棱
交于点
，所以
四点共面，
在正方体
中，由平面
平面
，
又平面
平面
，平面
平面
，所以
，
同理可得
，故四边形
一定是平行四边形，故①正确
对于②，在正方体
中，
面
，
因为
面
，所以
，
若
是正方形， 有
，
，
若
不重合，则
与
矛盾，
44
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若
重合，则
不成立，故②错误；
对于③，因为
平面
，
，
若直线
与平面
垂直，则直线
，显然矛盾，
所以平面
与直线
不可能垂直，故③错误
对于④，因为
平面
，
平面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
同理：
，又
平面
，
平面
，
，
所以
平面
，因为
平面
，所以平面
平面
，故④正确.
综上所述，正确的有①④.
故选：C.
二．多选题
9．（23-24 福建莆田·期末）在棱长为6 的正方体
中，点
为棱
的中点，则（ ）
A．
B．平面
平面
C．平面
平面
D．平面
截该正方体外接球的截面面积为
【答案】ACD
【解析】
45
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在正方体
中，
且
平面
，
又因为
平面
，所以
，
因为
且
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
同理可得
(正方形对角线垂直)，
(由
平面
可得)，
又因为
，
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
因为
且
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，故A 正确；
因为
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以平面
平面
，故C 正确；
由A 知
平面
，
，
若平面
平面
，则
平面
，
，
取
的中点
，连接
，
因为点
为棱
的中点，所以
，
又因为
，所以
不垂直
，所以
不垂直
，矛盾，
所以平面
,平面
不平行，故B 错误；
因为平面
三个点都是正方体
上的点，所以平面
截该正方体外接球的截面即为等边
的外接圆，等边
的边长为
，
设
的外接圆的半径为，则由正弦定理可得
，所以截面面积为
46
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，故D 正确，
故选：ACD.
10．（23-24 河南新乡·期末）如图，在长方体
中，点M，N，E，F 分别在棱
，
，
，
上，且平面
平面
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
平面
【答案】ABD
【解析】因为平面
平面
，
平面
与平面
和平面
的都相交，
是交线，
所以
，故A 正确；
因为长方体
，
所以平面
平面
，而平面
与这两个平行平面的都相交，
是交线，所以
，故B 正确，
如图，连接
，此时平面
与平面
和平面
的都相交，
是交线，所以
，
而
，
47
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所以
，
又因为
，
所以四边形
是平行四边形，
所以
，
，
所以四边形
是平行四边形，
所以
，
因为
，
所以
与
不平行，
故C 错误；
如图，连接
，由长方体性质得面
面
，
此时平面
与这两个平面的都相交，
是交线，
所以
，
又因为
面
，
面
，
所以
平面
，
故D 正确.
故选：ABD
11．（2024·山东烟台·三模）如图1，半圆O 的直径为4，点B，C 三等分半圆，P，Q 分别为OB，OC 的中点，
将此半圆以OA 为母线卷成如图2 所示的圆锥，D 为BC 的中点，则在图2 中，下列结论正确的有（ ）
48
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A．
B．
平面
C．
平面
D．三棱锥
与
公共部分的体积为
【答案】ACD
【解析】对于A，在图
中，设圆锥的底面圆半径为，
则
，解得
，
因为在图1 中，点
、
三等分半圆，
所以在图
中，点
、
为圆锥的底面圆周的三等分点，
所以
为等边三角形，
所以
，所以
，
又因为点
、
分别是
、
的中点，
所以
，故A 正确；
对于B，
49
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连接
，因为三角形
边长为
的等边三角形，三角形
为等腰三角形，
点
是
的中点，所以
，
而
，所以
，这表明
与
不垂直，故B 错误；
对于C，因为点
、
分别是
、
的中点，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，故C 正确；
对于D，连接
交于点
，连接
并延长
，则由对称性可知
必定交
于点
，
则三棱锥
与三棱锥
公共部分即为三棱锥
，
因为点
分别是
、
的中点，
所以
为
的重点，所以
，
由上易知，圆锥的轴截面为边长为2 的正三角形，所以圆锥的高为
，
所以
，
所以三棱锥
与三棱锥
公共部分的体积为
，故D 正确.
故选：ACD.
三．填空题
50
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12．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在正方体
中，M 是棱
上一点，平面
与棱
交于点N．给出下面几个结论：
①四边形
是平行四边形；②四边形
可能是正方形；③存在平面
与直线
垂直；④任意
平面
都与平面
垂直．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①④
【解析】对于①，因为平面
与棱
交于点
，所以
四点共面，
在正方体
中，由平面
平面
，
又平面
平面
，平面
平面
，所以
，
同理可得
，故四边形
一定是平行四边形，故①正确
对于②，在正方体
中，
面
，
因为
面
，所以
，
若
是正方形， 有
，
，
若
不重合，则
与
矛盾，
若
重合，则
不成立，故②错误；
对于③，因为
平面
，
，
若直线
与平面
垂直，则直线
，显然矛盾，
51
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所以平面
与直线
不可能垂直，故③错误
对于④，因为
平面
，
平面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，
同理：
，又
平面
，
平面
，
，
所以
平面
，因为
平面
，所以平面
平面
，故④正确.
故答案为：①④.
13．（2023·北京·模拟预测）如图，在直角梯形
中，E 为
的中点，
，
，M，N 分别
是
，
的中点，将
沿
折起，使点D 不在平面
内，则下命题中正确的序号为 ．
①
；
②
；
③
平面
；
④存在某折起位置，使得平面
平面
．
【答案】②③
【解析】①③，如图所示：直角梯形
中，
，
又因为
，
，所以
，
故四边形
为矩形，
因为N 分别是
的中点
连接
，则
与
相交于点
，故点
是
的中点，
因为
是
的中点，所以
，
又
，而
与
相交于点
，
故
与
不平行，故
与
不平行，①错误，
因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，③正确；
②，因为
，
，
平面
，
52
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所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
由①知
，所以
，②正确；
④，连接
，以
为坐标原点，
分别为
轴，建立空间直角坐标系，
设
，
，
，
故
，
设平面
的法向量为
，
故
，
解得
，令
，则
，
故
，
设平面
的法向量为
，
故
，
解得
，令
，则
，
故
，
故
，
因为
，故
，故
，
故不存在某折起位置，使得平面
平面
，④错误.
53
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故选：②③
14．（2024 山东枣庄·期末）如图，已知正方体
的棱长为
分别是棱
的中点，点
为底面四边形
内（包括边界）的一动点，若直线
与平面
无公共点，则点
在四边形
内
运动所形成轨迹的长度为 .
【答案】
【解析】取
的中点
，连接
，如图所示：
分别是棱
的中点，所以
，
又因为
平面
平面
，所以
平面
.
因为
，
所以四边形
为平行四边形，所以
.
54
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又因为
平面
平面
，所以
平面
.
因为
，所以平面
平面
.
因为点
为底面四边形
内（包括边界）的一动点，直线
与平面
无公共点，
所以
的轨迹为线段
，则
.
故答案为：
.
四．解答题
15．（23-24 陕西·期末）如图所示，四边形
为空间四边形
的一个截面，且截面
为平行四
边形．
(1)求证：
平面
．
(2)若
，且
，
，求四边形
的面积．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【解析】（1）证明：
四边形
为平行四边形，
，
平面
，
平面
，
平面
.
平面
，平面
平面
，
，又
平面
，
平面
，
平面
.
55
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（2）
四边形
为平行四边形，
，又
平面
，
平面
，
平面
又
平面
，平面
平面
，
，又
，
，
，
平行四边形
为矩形，
由（1）知
，
与
相似，
又
，即
，
，又
，
，解得
，
，
，
同理
，
与
相似，
，又
，可得
，
四边形
的面积为
.
16．（23-24 广东东莞·期末）如图1，
是边长为3 的等边三角形，点
分别在线段
上，且
，沿
将
翻折到
的位置，使得
，如图2.
(1)求证：平面
平面
；
(2)在线段
上是否存在点
，使得
平面
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
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(2)存在，
【解析】（1）在
中，
，
，
，
由余弦定理得
，
所以
，所以
，
在
中，
，
，
，所以
，所以
，
又因为
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）在平面
中，过点E 作
，交
于
，
在平面
中，过点
作
，交
于
，连接
，如图所示，
因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理可得
平面
，
又因为
，
平面
，所以平面
平面
，
平面
，所以
平面
，即
为所求的点，
在
中，
，即
，如图所示，
所以
，
在
中，
，所以
，即此时
.
17．（23-24 北京通州·期末）如图，七面体
中，菱形
所在平面与矩形
交于
，平面
与平面
交于直线．
57
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(1)求证：
；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当
为何值时，平面
平面
？
并证明你的结论．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）菱形
中，
，
又
平面
，
平面
，
平面
，
又
平面
，平面
平面
.
；
（2）若选①
当
时，平面
平面
，
设
，取
的中点
，连结
如图所示，
平面
平面
，平面
平面
，
矩形
中
，
平面
，
平面
，
，
同理可得：
，
，
因为菱形
中
，矩形
中
，
，
，
是
的中点，
，
假设平面
平面
成立，
平面
平面
，且
，
58
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平面
，
平面
，
，
矩形
中
是
的中点，菱形
中
是
的中点，
，
平面
，
平面
，
，
又
，
是
的中点，可知△
为等腰直角三角形，
，
，故当
时，平面
平面
；
若选②
当
时，
，矩形
中，
，
平面
，
平面
，
矩形
中
，
平面
，
平面
，
，
同理可得：
，
，
因为菱形
中
，矩形
中
，
，
，
是
的中点，
，
假设平面
平面
成立，
平面
平面
，且
，
平面
，
平面
，
，
矩形
中
是
的中点，菱形
中
是
的中点，
，
平面
，
平面
，
，
又
，
是
的中点，可知△
为等腰直角三角形，
，
，故当
时，平面
平面
.
18．（23-24 陕西西安·阶段练习）如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
分别为
，
的中点.
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(1)证明：平面
平面
；
(2)若平面
上有一动点
，使得平面
平面
，求出动点
的轨迹；
(3)证明
平面
，并求直线
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）证明：因为
平面
，又
平面
，所以
,
又
，
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，由
，
为
中点，
所以
，又
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以平面
平面
.
（2）
取
中点为
，连接
，则
分别为
的中点，
所以
，又
平面
，
平面
，所以
平面
，
且
，由
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，
，所以平面
平面
，
因为点
在平面
内，所以点
在直线
上运动，可使得平面
平面
，
所以动点
的轨迹为
所在直线.
（3）证明：由
，
分别为
，
的中点，故
，又
平面
，
平面
，所以
平面
，则
到平面
的距离为点
到平面
的距离
，
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由
为
中点，所以
，记为
，
，又
，
所以
，由（1）可知，
平面
，
故
，
，
，
由题可知
，
，
，
所以
，而
，
所以
.
19．（23-24 四川成都 ）如图，在五面体
中，
，
，平面
平面
,
，
，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)若点
、
分别为
、
的中点，证明：平面
平面
；
(3)求该五面体的体积.
（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）因为
平面
平面
,所以
平面
,
又因为
平面
且平面
平面
,
所以
,又
平面
,
平面
,所以
平面
．
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（2）因为
，所以
为正三角形，所以
,又
,
所以
,又
，所以在
中，由余弦定理，得
,解得
或
（舍去），
因为
,所以
,又
,且
,
所以
平面
,又
平面
,所以平面
平面
．
因为
，所以
为正三角形，
因为
为正三角形，所以
，
由梯形中位线，可得
,且
,所以
,所以四边形
为平行
四边形，
所以
,即
,所以
,又平面
平面
,
所以
平面
,所以
平面
,又
平面
,所以平面
平面
．
（3）过G 作直线
,延长
与
交于点M,
与
交于点N,连接
．
因为G 为
的中点，所以
且
,所以四边形
为平行四边形，
所以
,同理
,所以
．
又
,所以
,所以
，
所以多面体
为三棱柱过M 作
于H 点，因为平面
平面
,所以
平面
,
所以线段
的长即三棱柱
的高，在
中，
，
所以三棱柱
的体积为
．
因为三棱锥
与
的体积相等，所以所求多面体的体积为
．
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