文档文本内容
6.2 空间几何中的平行与垂直考点一 平行问题
【例1-1】（2024黑龙江齐齐哈尔 ）如图，在直三棱柱 中， ，
分别为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
【例1-2】（2024北京）如图，已知三棱柱 中， 与 交于点 为 边上一点， 为
中点，且 平面 .求证：(1) ；
(2)平面 平面 .
【例1-3】（2024湖北）如图，在四棱锥 中， ， ， ，
、 分别是棱 ， 的中点，且 平面 .证明： .
【例1-4】（24-25上海·课堂例题）如图所示，在三棱柱 中，若 、D分别为 、BC的中点，
求证：平面 平面 ．【例1-5】（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）如图所示是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中以下四个命题
中，真命题的序号是（ ）
① 平面 ；
② 平面 ；
③平面 平面 ；
④平面 平面 .
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【一隅三反】
1．（2024浙江温州·阶段练习）下列四个正方体中， ， ， 为所在棱的中点， ， ， 为正方体的三个
顶点，则能得出平面 平面 的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24 海南海口·阶段练习）如图，已知四棱锥 中，底面 是平行四边形， 为侧棱 的
中点.(1)求证： 平面 ；
(2)若 为侧棱 的中点，求证： 平面 .
3．（23-24 广东佛山·阶段练习）如图，在六面体 中， ，四边形 是平行四边形，
．
(1)证明：平面 平面 ．
(2)若G是棱 的中点，证明： ．
4 ．（23-24 广西贺州·阶段练习）在底面为平行四边形的四棱锥 中， ， 分别为棱 ， 的中
点．
(1)求证： 平面 ；
(2)设平面 平面 ，求证： 平面 ．5．（23-24 江苏连云港·期中）如图，在三棱柱 中， 为 的中点，设平面 与底面
的交线为 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)证明： 平面 ．
考点二 垂直问题
【例2-1】（24-25上海）如图，已知矩形 ， 平面 ， ，点E是PB的中点．求证：
平面 ．【例2-2】（23-24 广东湛江 ）如图， 平面 ，底面 为矩形， 于点 于点
．
(1)求证： 平面 ；
(2)设平面 交 于点 ，求证： ．
【例2-3】（23-24 广东潮州·期末）如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直， ，
， .(1)求证：平面ACE⊥平面BDE；
(2)求四面体BAEF的体积.
【例2-4】（24-25 上海·随堂练习）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点E
在线段 上，且 ， 分别为 、 、 的中点.求证：
(1)平面 平面 ；
(2)平面 平面 .【一隅三反】
1．（23-24 四川雅安·期末）已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，
则满足直线 的图形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25 全国·假期作业）如图，在长方体 中， ，点 分别为棱
的中点，求证： 平面 ；
3．（23-24 江苏南京·期末）在底面为正三角形的三棱柱 中，已知点 ， 分别是 ， 的
中点.(1)求证： 平面 ；
(2)若 .求证： 平面 .
考点三 动点问题
【例3-1】（23-24 ·江苏扬州·阶段练习）在四棱锥 中，E为线段 上靠近A的三等分点，F为线段
上一点，当 平面 时， （ ）
A．3 B．4 C． D．
【例3-2】（23-24 北京怀柔·期末）如图1，在 中， 分别为 的中点.将 沿
折起到 的位置（ 与 不重合），连 ，如图2.(1)求证：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 交于过 的直线 ，求证 ；
(3)线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，指出 点位置并证明；若不存在，说明理由.
【一隅三反】
1．（23-24 辽宁抚顺·期末）如图（1），在梯形PBCD中， ， ，A是PD中点，现将
沿AB折起得图（2），点M是PD的中点，点N是BC的中点．
(1)求证： 平面PAB；
(2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面 平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若
不存在，请说明理由．2 ．（23-24 重庆·期末）如图，在直四棱柱 中，四边形ABCD是一个菱形， ，
点P为 上的动点．
(1)证明： 平面 ；
(2)试确定点P的位置，使得 ．
3．（22-23 云南昭通·期末）如图，在正三棱柱 中， ，点M为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点Q，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.考点四 动点长度（取值范围）
【例4-1】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱 的底面边长是2，侧棱长是 ， 为
的中点， 是侧面 内的动点，且 平面 ，则点 的轨迹的长度为（ ）
A． B．2 C． D．4
【例4-2】（23-24 四川成都·阶段练习）（多选）在边长为 的正方体 中，点 是一个动点，
且 平面 ，则线段 的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·湖南长沙·三模）已知正方体 的棱长为 是棱 的中点，空间中的动点 满足
，且 ，则动点 的轨迹长度为（ ）A． B．3 C． D．
2．（23-24 浙江湖州·阶段练习）如图所示，在棱长为1的正方体 中，点 分别是棱
的中点， 是侧面 内一点，若 平面 ，则线段 长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24 ·四川眉山·阶段练习）在棱长为1的正方体 中， 分别为 的中点，则
点 为正方形 内一点，当 平面 时， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
一．单选题
1．（2024·山东济南·二模）已知正方体 分别是 的中点，则（ ）
A． 平面
B． 平面
C． 平面
D． 平面
2．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是底面圆周上异于 ， 的一点，则
下面结论中错误的是（ ）A．
B． 平面
C．平面 平面
D． 平面
3．（2024·河南·模拟预测）设 ， 为两个不同的平面， ， 为两条相交的直线，已知 ， ，则
“ ， ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·江西·二模）已知正方体 的棱长为4，点 满足 ，若在正方形
内有一动点 满足 平面 ，则动点 的轨迹长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
5．（2024·四川眉山·三模）如图，该组合体由一个正四棱柱 和一个正四棱锥 组合
而成，已知 ，则（ ）
A． 平面 B． 平面
C． 平面 D． 平面6．（2024·海南·模拟预测）如图，在直三棱柱 中，点D，E分别在棱 上，
，点 满足 ，若 平面 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024黑龙江鹤岗 ）如图，在正四棱锥 中， 分别是 的中点，当点 在线段
上运动时，下列四个结论：
① ；② ；③ 平面 ；④ 平面 .
其中恒成立的为（ ）
A．①③ B．③④ C．①② D．②③④
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在正方体 中，M是棱 上一点，平面 与棱
交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（ ）
①四边形 是平行四边形；②四边形 可能是正方形；③存在平面 与直线 垂直；④任意
平面 都与平面 垂直.A．①② B．③④ C．①④ D．①②④
二．多选题
9．（23-24 福建莆田·期末）在棱长为6的正方体 中，点 为棱 的中点，则（ ）
A．
B．平面 平面
C．平面 平面
D．平面 截该正方体外接球的截面面积为
10．（23-24 河南新乡·期末）如图，在长方体 中，点M，N，E，F分别在棱 ， ，
， 上，且平面 平面 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 平面
11．（2024·山东烟台·三模）如图1，半圆O的直径为4，点B，C三等分半圆，P，Q分别为OB，OC的中点，
将此半圆以OA为母线卷成如图2所示的圆锥，D为BC的中点，则在图2中，下列结论正确的有（ ）A．
B． 平面
C． 平面
D．三棱锥 与 公共部分的体积为
三．填空题
12．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在正方体 中，M是棱 上一点，平面 与棱
交于点N．给出下面几个结论：
①四边形 是平行四边形；②四边形 可能是正方形；③存在平面 与直线 垂直；④任意
平面 都与平面 垂直．
其中所有正确结论的序号是 ．
13．（2023·北京·模拟预测）如图，在直角梯形 中，E为 的中点， ， ，M，N分别
是 ， 的中点，将 沿 折起，使点D不在平面 内，则下命题中正确的序号为 ．① ；
② ；
③ 平面 ；
④存在某折起位置，使得平面 平面 ．
14．（2024 山东枣庄·期末）如图，已知正方体 的棱长为 分别是棱 的中点，点
为底面四边形 内（包括边界）的一动点，若直线 与平面 无公共点，则点 在四边形 内
运动所形成轨迹的长度为 .
四．解答题
15．（23-24 陕西·期末）如图所示，四边形 为空间四边形 的一个截面，且截面 为平行四
边形．
(1)求证： 平面 ．
(2)若 ，且 ， ，求四边形 的面积．16．（23-24 广东东莞·期末）如图1， 是边长为3的等边三角形，点 分别在线段 上，且
，沿 将 翻折到 的位置，使得 ，如图2.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
17．（23-24北京通州·期末）如图，七面体 中，菱形 所在平面与矩形 交于 ，平面
与平面 交于直线 ．
(1)求证： ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，试求当 为何值时，平面 平面 ？
并证明你的结论．条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．（23-24 陕西西安·阶段练习）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，
， ， 分别为 ， 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 上有一动点 ，使得平面 平面 ，求出动点 的轨迹；
(3)证明 平面 ，并求直线 到平面 的距离.
19．（23-24 四川成都 ）如图，在五面体 中， ， ，平面 平面
, ， ， ， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若点 、 分别为 、 的中点，证明：平面 平面 ；
(3)求该五面体的体积.（注：本题用空间向量法求解或证明不给分，若需要作辅助线，请在答题卡上作出相应的辅助线.）
