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专题19 列举法策略
例1．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5 次传球后，球仍回到甲手中，则不同的
传球方式共有
A．5 种
B．10 种
C．8 种
D．16 种
【解析】解：根据题意，做出树状图，
注意第四次时球不能在甲的手中．
分析可得，
共有10 种不同的传球方式；
故选：
．
例2．设有编号为1，2，3，4，5 的五个球和编号为1，2，3，4，5 的五个盒子，现将这五个球放入这五
个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法
的总数为
45
．
【解析】解：先选出1 个小球，放到对应序号的盒子里，有
种情况，例如：5 号球放在5 号盒子里，
其余四个球的放法为
，1，4，
，
，3，4，
，
，4，1，
，
，1，4，
，
，4，1，
，
，4，2，
，
，1，2，
，
，3，1，
，
，3，2，
共9 种，
故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，
则这样的投放方法总数为
种，
故答案为：45．
例3．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将每个螺栓
固定紧，但不能连续固定相邻的2 个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是
60
．
【解析】解：第一步任意选取一个螺栓，有6 种方法，第二步，按照要求以此固定．
不妨第一次固定紧螺栓1，则有如下的固定方法：
1，3，5，2，4，6；
1，3，5，2，6，4；
1，3，6，4，2，5；
1，5，2，4，6，3；
1，5，3，6，2，4；
1，5，3，6，4，2；
1，4，2，6，3，5；
1，4，2，5，3，6，
1，4，6，3，5，2，
1，4，6，2，5，3；
有10 种，
共有
种方法．
故答案为：60．
例4.有红、黄、兰色的球各5 只,分别标有A、B、C、D、E 五个字母,现从中取5 只,要求各字母均有且三色
齐备,则共有多少种不同的取法
【解析】
共有150 种.
5．从，1，2，
，20 中选取四元数组
，
，
，
，且满足
，
，
，则
红
1
1
1
2
2
3
黄
1
2
3
1
2
1
兰
3
2
1
2
1
1
取法
C5
1C4
2
C5
1C4
2
C5
1C4
3
C5
2C3
1
C5
2C3
2
C5
3C2
1
这样的四元数组
，
，
，
的个数是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：将
连同其右边的2 个空位捆绑，
连同其右边的3 个空位捆绑，
连同其右边的4 个空位
捆绑分别看作一个元素，四元数组
，
，
，
的个数相当于从11 个元素中选取4 个，故这样的四
元数组
，
，
，
的个数是
．
故选：
．
例6．定义“有增有减”数列
如下：
，满足
，且
，满足
．已知“有增
有减”数列
共4 项，若
，
，
，2，3，
，且
，则数列
共有
A．64 个
B．57 个
C．56 个
D．54 个
【解析】解：由题意可知4 个数值的数列中，只有2 个数值，例如：
，
，
，
类型，共有
种．
只有2 个数值相同，例如：
，
，
，
类型．共有：
种；
有3 个数值相同，例如
，
，
，
类型，共有：
种．
满足题目的数列类型共有：54 种．
故选：
．
例7．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208，136 都是
“十全十美数”，则这样的“十全十美数”共有 个
A．32
B．64
C．54
D．96
【解析】解：任取一个“十全十美三位数”，
包含含有一个0 的三位数：
109，190，901，910，
208，280，802，820，
307，370，703，730，
406，460，604，640，
505，550，
含有相同数字的三位数：
，分别为：
118，181，811，
226，262，622，
334，343，433，
442，244，424，
不含有0，并且没有相同数字的三位数．
，分别为：
127，172，271，217，721，712，
136，163，316，361，613，631，
145，154，451，415，514，541，
235，253，352，325，523，532，
共54 个，
故选：
．
例8．集合
，2，3，4，
．选择
的两个非空子集
和
，要使
中的最小数大于
中的最大数，
则不同的选择方法有
49
种．
【解析】解：集合
、
中没有相同的元素，且都不是空集，
从5 个元素中选出2 个元素，有
种选法，小的给
集合，大的给
集合；
从5 个元素中选出3 个元素，有
种选法，再分成1 一个元素一组、2 个元素一组，有两种分法，较
小元素的一组给
集合，
较大元素的一组的给
集合，共有
种方法；
从5 个元素中选出4 个元素，有
种选法，再分成1 个元素一组、3 三个元素一组；2 个元素一组、2
个元素一组；3 个元素一组、1 一个元素一组，共三种分法，较小元素的一组给
集合，较大元素的一组
的给
集合，共有
种方法；
从5 个元素中选出5 个元素，有
种选法，再分成1 个元素一组、4 个元素一组；2 个元素一组、3 个
元素一组；3 个元素一组、2 个元素一组；4 个元素一组、1 两个元素一组组，有四种分法，较小元素的一
组给
集合，较大元素的一组的给
集合，共有
种方法；
总计为
种方法．
故答案为：49
例9．定义域为集合
，2，3，
，
上的函数
满足：①
（1）
；②
，
2，
，
；③
（1）、
（6）、
成等比数列；这样的不同函数
的个数为
155
．
【解析】解：经分析，
的取值的最大值为
，最小值为
，并且成以2 为公差的等差数列，
故
（6）的取值为6，4，2，0，
，
．
的取值为12，10，8，6，4，2，0，
，
，
，
，
，
所以能使
中的
（1）、
（6）、
成等比数列时，
（1）、
（6）、
的取值只有两种
情况：
①
（1）
、
（6）
、
；②
（1）
、
（6）
、
．
，2，
，
，
，或者
，即得到后项时，把前
项加1 或者把前项减1．
（1）当
（1）
、
（6）
、
时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从
（1）变化到
（6），第二步：从
（6）变化的
．
从
（1）变化到
（6）时有5 次变化，函数值从1 变化到2，故应从5 次中选择3 步加1，剩余的两
次减1．对应的方法数为
种．
从
（6）变化到
时有6 次变化，函数值从2 变化到4，故应从6 次变化中选择4 次增加1，剩余
两次减少1，对应的方法数为
种．
根据分步乘法原理，共有
种方法．
（2）当
（1）
、
（6）
、
时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从
（1）变化到
（6），第二步：从
（6）变化的
．
从
（1）变化到
（6）时有5 次变化，函数值从1 变化到
，故应从5 次中选择1 步加1，剩余的
4 次减1．对应的方法数为
种．
从
（6）变化到
时有6 次变化，函数值从
变化到4，故应从6 次变化中选择6 次增加1，对
应的方法数为
种．
根据分步乘法原理，共有
种方法．
综上，满足条件的
共有：
种．
故填：155．
例10．由海军、空军、陆军各3 名士兵组成一个有不同编号的
的小方阵，要求同一军种不在同一行，
也不在同一列，有
2592
种排法．
【解析】解：假设海军为
，空军为
，陆军为
，先将
，
，
，填入
的小方阵，
则有
种，每个
，
，
填入3 名士兵均有
种，
故共有
，
故答案为：2592
例11．设集合
，2，3，
，选择
的两个非空子集
和
，使得
中最大的数不大于
中最小的数，
则可组成不同的子集对
49
个．
【解析】解：根据题意，分4 种情况讨论：
①，集合
中最大的元素为1，此时集合
有1 种情况，集合
的数目为
，2，3，
的非空子集数目，
集合
有
种情况，
此时可组成
个不同的子集对
，
②，集合
中最大的元素为2，
此时集合
可以为
或
，
，有2 种情况，集合
的数目为
，3，
的非空子集数目，集合
有
种情况，
此时可组成
个不同的子集对
，
③，集合
中最大的元素为3，
此时集合
可以为
或
，
或
，
或
，2，
，有4 种情况，集合
的数目为
，
的非空子集
数目，集合
有
种情况，
此时可组成
个不同的子集对
，
④，集合
中最大的元素为3，
此时集合
的数目为
，2，
的子集数目，有
种情况，集合
必须为
，有1 种情况，
此时可组成
个不同的子集对
，
则一共可以组成
个不同的子集对
，
故答案为：49．
例12 ．若集合
，
，
，
，
，
且
，
，
，
，
，
，
，
，
且，
，
，
，用
表示集合
中的元素个
数，则
（E）
A．200
B．150
C．100
D．50
【解析】解：（1）
时，
，
，
的取值的排列情况有
种；
时，
，
，
的取值的排列情况有
种；
时，有
种；
时，有
种；
（E）
；
（2）
时：若
，，
的取值的排列情况有
种；
若
，，
的取值的排列情况有
种；
若
，有
种；
若
，有
种；
时：若
，，
的取值的排列情况有
种；
若
，，
的取值的排列情况有
种；
若
，有
种；
若
，有
种；
时：若
，，
的取值的排列情况有
种；
若
，有
种；
若
，有
种；
若
，有
种；
时：若
，，
的取值的排列情况有
种；
若
，有
种；
若
，有
种；
若
，有
种；
；
（E）
．
故选：
．
例13．某城市街道的平面图如图所示，若每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，从
至
的路径条
数有
条：若
、
两处因故施工，不能通行，从
至
的路径条数有
条，则
，
分别为
A．1552；256
B．1440；256
C．1552；288
D．1440；288
【解析】解：由于每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，则从点
到任意一点的路径条数为自身左，
右下，左下三个点的路径条数之和，
故在走到每个点的路径条数如下图所示
故选：
．
例14．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形
（边长为2 个单位）的
顶点
处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为
，
2，
，
，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回
到点
处的所有不同走法共有
A．22 种
B．24 种
C．25 种
D．27 种
【解析】解：法一：根据题意，正方形
的边长为2 个单位，则其周长是8，
若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点
处，则三次骰子的点数之和是8 或16，
若三次骰子的点数之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5 种组合，
若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2 种组合，
其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这5 种组合有
种顺序，
1、2、5，1、3、4，这2 种组合有
种顺序，
则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点
处的所有不同走法
种，
法二：同法一：分析可得三次骰子的点数之和是8 或16，
若三次骰子的点数之和是8，相当于8 个点数中用2 个隔板，有
种顺序，
若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2 种组合，每种组合有
种顺序，
则此时有
种顺序，
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点
处的所有不同走法
种，
故选：
．
例15．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7 个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的
每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别
为
，
，
．例如，图中上档的数字和
．若
，
，
成等差数列，则不同的分珠计数法有
种．
A．12
B．24
C．16
D．32
【解析】解：根据题意，
，
，
的取值范围都是从
共8 个数字，故公差
范围是
到3，
①当公差
时，有
种，
②当公差
时，
不取7 和14，有
种，
③当公差
时，
不取7，8，13，14，有
种，
④当公差
时，
只能取10 或11，有
种，
综上共有
种，
故选：
．
例16.若一个三位数中任意两相邻数位上两数差的绝对值小于或等于
，则称此三位数为“灵犀数”，这
样的三位“灵犀数”共有 个
【解析】
设灵犀数为
，若
，则
，
，此时有
个灵犀数；
若
，则
，此时有
个灵犀数；
若
，对每个均有
个
可取，此时有
个灵犀数，
若
，则
则，此时有
个灵犀数，故三位“灵犀数”共有
个.
