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第1页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 重庆市2026 年初中学业水平考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150 分，考试时间120 分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡 ．．．上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡 ．．．上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色 ．．2B ．．铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡 ．．．一并收回． 参考公式：抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ． 一、选择题：（本大题10 个小题，每小题4 分，共40 分）在每个小题的下面，都给出了代号 为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡 ．．．上题号右侧正确答案所对 应的方框涂黑． 1. 3 的倒数是（ ） A. B. C. D. 3 2. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2026 重庆马拉松于今年1 月18 日举行，赛事总规模为 人．数据 用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C 在 上．若 ，则 的度数是（ ） 第2页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. 5. 下列事件中，一定会发生的是（ ） A. 从只有白球的袋中摸出白球 B. 明天一定会下雨 C. 随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数 D. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是7 6. 醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中 ， ， 分 别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4 个氢原子，第②个图中有6 个氢原子，第③个图中有8 个氢原子，第④个图中有10 个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 7. 在反比例函数 中，若 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器 各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5 个大容器和1 个小容器的总容量为3 斛（斛是过去的一种量 器），1 个大容器和5 个小容器的总容量为2 斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1 个大容器的容量为 斛，1 个小容器的容量为 斛，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形 中， 为 上一点，且 ，连接 ．过点 作 ，垂足为 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，则 与 的面积之比为（ ） 第3页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. 10. 已知整式 ： ，其中 ， 为正整数， ， ， ， ， 为整数， ，且 ．下列说法： ①当 时，满足条件的所有整式 的和为 ； ②当 时，若函数 的图象关于 轴对称，则满足条件的整式 有且仅有1 个； ③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式 共有2 个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6 个小题，每小题4 分，共24 分）请将每小题的答案直接填在答题卡 ．．．中 对应的横线上． 11. 某学校决定从九年级的五个备选节目A，B，C，D，E 中随机抽取一个参加展演，则抽到节目A 的概率 为____． 12. 如图，直线 ， 被直线 所截．若 ， ，则 的度数是___． 13. 满足 的整数 的值可以是_____（写一个即可）． 14. 若实数 ， 同时满足 ， ，则 的值为____． 15. 自然数 与 均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9，且 与 的乘积为三位 数． 的最小值为_____；当 时，存在正整数 ，使得 ，则满足条件的所有 的值之 和为____． 16. 如图，四边形 是平行四边形，点 ， 在 上， ， 经过圆心 ，且 ， 第4页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 垂足为 ， ．连接 交 于点 ，连接 并延长交 于点 ， ，则 的长度为 ____， 的长度为____． 三、解答题：（本大题9 个小题，第17 题、第18 题各8 分，其余每题10 分，共86 分）解答 时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过 程书写在答题卡 ．．．中对应的位置上． 17. 解不等式组： 18. 先化简，再求值： ，其中 ． 19. 早在2005 年，重庆就被茅以升桥梁委员会认定为中国“桥都”．为了解学生对重庆桥梁的知悉程度， 某学校开展了“桥梁知识知多少”的竞赛活动．现从该学校七、八年级各随机抽取20 名学生的竞赛成绩 （满分为100 分，成绩均不低于60 分），对七年级抽取20 名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了统计图： A 组： B 组： C 组： D 组： （其中 表示竞赛成绩） 七年级抽取20 名学生的竞赛成绩在C 组中的数据是：85，87，87，89，89，89，89． 八年级抽取20 名学生的竞赛成绩是：65，66，68，73，75，79，81，83，84，84，85，88，89，89， 第5页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 93，93，93，95，97，100． 经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是89，八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是84.5，七、 八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为84． 根据以上信息，解答下列问题： （1）请你直接写出条形统计图中m 的值、七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数以及八年级抽取学生的竞 赛成绩的众数； （2）该学校七年级有学生320 人，八年级有学生300 人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低 于90 分的学生人数共是多少？ （3）根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理 由即可）． 20. 综合与实践 在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，在 中， ．用尺规完成基本作图：作出 的平分线，交 于点 ． 【问题提出】 他们猜想 ， ， 之间存在以下数量关系： ． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 21. 列方程解下列问题： 某企业承担了一款智能机器人的A，B 两种型号配件的生产任务．已知该企业每天生产A 型配件的数量比每 天生产B 型配件的数量少 个，且 天生产的A 型配件的数量与天生产的B 型配件的数量相等． （1）求该企业每天生产A，B 型配件的数量分别是多少个？ （2）如果该企业每天生产A，B 型配件的数量分别减少 个和 个，那么生产 个A 型配件的天数与 生产 个B 型配件的天数相同，求 的值． 第6页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 22. 如图，四边形 是矩形， ， ．点 以每秒 的速度沿 方向运动， 点 在直线 上运动，且满足 ．点 与点 同时出发，以每秒 的速度沿折线 方向运动．设运动时间为 秒 ，点 与点 的距离为 ，点 与点 的距离为 ． （1）请直接写出 ， 关于 的函数表达式，并分别写出自变量 的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数 ， 的图象；结合函数图象，直接写出 时 的取值 范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）． 23. 重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如 图，大门 ，猴山 ，古塔 ，游乐场 为景区内在同一平面内的四个景点． 位于 的正东方向 千米 处， 位于 的正南方向且位于 的南偏西 方向， 位于 的南偏东 方向且位于 的南偏东 方向． （1）求 的长度（参考数据： ， ， ， ，结果保留小数点后 一位）； （2）现甲从 出发沿 方向前往 ，乙从 出发沿 方向前往 ，两人同时出发，乙的速度是甲的 速度的 倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为 千米，求此时甲离 处多少千米？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴交于点A， ，与y 轴交于点 第7页/共7页 学科网（北京）股份有限公司 ，连接 ， ． （1）求抛物线的表达式； （2）P 是线段 上方抛物线上的一动点，过点P 作 ，垂足为D，E 是x 轴上一动点，连接 ．当 的长度取得最大值时，求点P 的坐标及 的最小值； （3）将抛物线沿射线 方向平移 个单位长度得到抛物线 ，点B 的对应点为F，M 是平移后抛物线 上一点，直线 交直线 于点N，且 ．请直接写出所有符合条件的点M 的坐 标，并写出求解点M 的其中一种情况的过程． 25. 如图，在 中， ， ，以 为斜边在 上方作等腰直角三角形 ． （1）如图1，若 ， ，求 的长度； （2）如图2，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，延长 交 于点 ，连 接 ．点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ．求证： ； （3）如图3， ， ，点 在直线 上，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得 到线段 ，连接 ，点 在直线 上，连接 ， ，将 沿直线 翻折至 所在平面内得到 ，连接 ．当 取得最小值时，连接 ， ，请直接写出 面积的最大值．
