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专题22.9 二次函数中的最值问题【八大题型】
【人教版】
【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】.............................................................................2
【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】.............................................................................................4
【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】.................................................................................6
【题型4 二次函数中求线段最值】........................................................................................................................10
【题型5 二次函数中求线段和差最值】................................................................................................................18
【题型6 二次函数中求周长最值】........................................................................................................................32
【题型7 二次函数中求面积最值】........................................................................................................................42
【题型8 二次函数在新定义中求最值】................................................................................................................52
【知识点1 二次函数的最值】
1.对于二次函数
在
上的最值问题（其中a、b、c、m 和n 均为定值，
表
示y 的最大值，
表示y 的最小值）：
（1）若自变量x 为全体实数，如图①，函数在
时，取到最小值，无最大值．
（2）若
，如图②，当
，
；当
，
．
（3）若
，如图③，当，
；当
，
．
（4）若
，
，如图④，当
，
；当
，
．
x=-
b
2a
x=-
b
2a
x=-
b
2a
x=-
b
2a
④
③
②
①
2.对于二次函数
，在
（m，n 为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，
n 与
的大小．
【题型1 已知二次函数的对称轴及自变量取值范围求最值】
【例1】（2022 秋•开福区校级期中）二次函数y＝x2﹣2x+m．当﹣3≤x≤3 时，则y 的最大值为
（用含m 的式子表示）．
【变式1-1】（2022 秋•河西区期末）当x≥2 时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3 有（ ）
A．最大值﹣3
B．最小值﹣3
C．最大值﹣4
D．最小值﹣4
【变式1-2】（2022 秋•上城区期末）已知二次函数y＝x2，当﹣1≤x≤2 时，求函数y 的最小值和最大值．
小王的解答过程如下：
解：当x＝﹣1 时，y＝1；
当x＝2 时，y＝4；
所以函数y 的最小值为1，最大值为4．
小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出正确的解答过程．
【变式1-3】（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝x2+bx﹣c 的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝
1．
（1）求b+c 的值．
（2）当﹣4≤x≤3 时，求y 的最大值．
（3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1 上，求平移后所得抛物线与y 轴
交点纵坐标的最小值．
【题型2 已知含参二次函数的对称轴及最值求参】
【例2】（2022•鹿城区校级二模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m 为不等于0 的常数），当﹣2≤x≤3 时，
函数y 的最小值为﹣2，则m 的值为（ ）
A．±1
6
B．−1
6
或1
2
C．−1
6
或2
3
D．1
6
或2
【变式2-1】（2022 秋•龙口市期末）已知关于x 的二次函数y＝x2+2x+2a+3，当0≤x≤1 时，y 的最大值为
10，则a 的值为 ．
【变式2-2】（2022•灌南县二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣1≤x≤2 时，y 有最小值7，最大值
11，则a+c 的值为（ ）
A．3
B．9
C．29
3
D．25
3
【变式2-3】（2022•青山区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0 时，函数的最小值为﹣3，当x≤0 时，
函数的最小值为﹣2，则b 的值为（ ）
A．6
B．2
C．﹣2
D．﹣3
【题型3 已知二次函数解析式及最值求自变量取值范围】
【例3】（2022•宁阳县一模）当0≤x≤m 时，函数y＝﹣x2+4x﹣3 的最小值为﹣3，最大值为1，则m 的取
值范围是（ ）
A．0≤m≤2
B．0≤m＜4
C．2≤m≤4
D．m≥2
【变式3-1】（2022•龙港市模拟）已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，当m≤x≤m+3 时，求y 的最小值（用含
m 的代数式表示）．
【变式3-2】（2022•庐阳区一模）设抛物线y＝ax2+bx﹣3a，其中a、b 为实数，a＜0，且经过（3，0）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a 的代数式表示）；
（2）若a＝﹣2，当t﹣2≤x≤t 时，函数的最大值是6，求t 的值；
（3）点A 坐标为（0，4），将点A 向右平移3 个单位长度，得到点B．若抛物线与线段AB 有两个公共
点，求a 的取值范围．
【变式3-3】（2022•文成县一模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x 轴的一个交点为（﹣1，0），且经过点
（2，c）．
（1）求抛物线与x 轴的另一个交点坐标．
（2）当t≤x≤2﹣t 时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝3，求t 的值．
【题型4 二次函数中求线段最值】
【例4】（2022•黔东南州二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2 与x 轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），与y
轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC 的最小值；
（3）若点P 是直线AC 下方抛物线上的动点，过点P 作PQ⊥AC 于点Q，线段PQ 是否存在最大值？若
存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-1】（2022•太原一模）综合与实践
如图，抛物线y＝x2+2x﹣8 与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C．点D 在直线
AC 下方的抛物线上运动，过点D 作y 轴的平行线交AC 于点E．
（1）求直线AC 的函数表达式；
（2）求线段DE 的最大值；
（3）当点F 在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F 为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F
的坐标．
【变式4-2】（2022•平果市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A（3，0），B（0，3），点P 是直
线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M．设点P 的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 在第一象限，连接AM，BM．当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；
（3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出
点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（2022 春•九龙坡区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+4 与x 轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，
与y 轴交于点C，点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点．求抛物线的解析式；
（1）过点P 作PE⊥AC 于点E，求√2
2
PE 的最大值及此时点P 的坐标；
（2）将抛物线y＝ax2+bx+4 向右平移4 个单位，得到新抛物线y'，点M 是抛物线y'的对称轴上一点．在
x 轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点
N 的坐标．
【题型5 二次函数中求线段和差最值】
【例5】（2022 春•良庆区校级期末）如图，已知抛物线的解析式为y=−3
4
x2−9
4
x+3，抛物线与x 轴交于点
A 和点B，与y 轴交点于点C．
（1）请分别求出点A、B、C 的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接AC、BC，将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°，点A、C 的对应点分别为M、N，求点M、N 的
坐标；
（3）若点P 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使|NP﹣BP|最大时点Р 的坐标，并请直接
写出|NP﹣BP|的最大值．
【变式5-1】（2022•濠江区一模）已知二次函数y＝x2+（m+1）x+4m+9．
（1）对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；
（2）当m＝﹣3 时，如图，二次函数与y 轴的交点为M，顶点为N．
①若点P 是x 轴上的动点，求PN﹣PM 的最大值及对应的点P 的坐标；
②设点Q 是二次函数上的动点，点H 是直线MN 上的动点，是否存在点Q，使得△OQH 是以点Q 为直
角顶点的等腰Rt△OQH？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-2】（2022•建华区二模）综合与实践
如图，已知正方形OCDE 中，顶点E（1，0），抛物线y= 1
2
x2+bx+c 经过点C、点D，与x 轴交于A、B
两点（点B 在点A 的右侧），直线x＝t（t＞0）交x 轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B 的坐标；
（2）若点G 是抛物线的对称轴上一动点，且使AG+CG 最小，则G 点坐标为： ；
（3）在直线x＝t（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F 为顶点的三角形与△OBC 全等，
请你直接写出点P 的坐标；
（4）点M 是射线AC 上一点，点N 为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、
点N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-3】（2022•南宁一模）如图1 所示抛物线与x 轴交于O，A 两点，OA＝6，其顶点与x 轴的距离是
6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 在抛物线上，过点P 的直线y＝x+m 与抛物线的对称轴交于点Q．
①当△POQ 与△PAQ 的面积之比为1：3 时，求m 的值；
②如图2，当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点B（3，3）的直线AB 与直线PQ 交于点C，求PC+CQ
的最大值．
【题型6 二次函数中求周长最值】
【例6】（2022•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+4 与x 轴交于点A（﹣4，
0），B（x2，0），与y 轴交于点C．经过点B 的直线y＝kx+b 与y 轴交于点D（0，2），与抛物线交于
点E．
（1）求抛物线的表达式及B，C 两点的坐标；
（2）若点P 为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP 的周长最小时，求点P 的坐标；
（3）若点M 是直线BE 上的动点，过M 作MN∥y 轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，
N，C，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】（2022•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3 与x 轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中点C 的横坐标是2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若
存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2022•覃塘区三模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c 经过点A（0，﹣1）和点B（5，4），P
是直线AB 下方抛物线上的一个动点，PC∥y 轴与AB 交于点C，PD⊥AB 于点D，连接PA．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△PCD 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PCD 周长的最大值；
（3）当△PAC 是等腰三角形时，请直接给出点P 的坐标．
【变式6-3】（2022•黄石模拟）如图，已知抛物线y =a x
2+ 8
5 x +c与x 轴交于A（2，0），B 两点，与y
轴交于点C（0，﹣4），直线l
y
：=−1
2 x−4与x 轴交于点D，点P 是抛物线y =a x
2+ 8
5 x +c上的一动
点，过点P 作PE⊥x 轴，垂足为E，交直线l 于点F．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P 是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P 的横坐标是m，四边形PCOB 的面积是S．①求S
关于m 的函数解析式及S 的最大值；②点Q 是直线PE 上一动点，当S 取最大值时，求△QOC 周长的最
小值及FQ 的长．
【题型7 二次函数中求面积最值】
【例7】（2022•三水区校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x 轴于点A，B（A 在B 的左
侧），交y 轴于点C．
（1）求点A 的坐标；
（2）若经过点A 的直线y＝kx+k 交抛物线于点D．
①当k＞0 且a＝﹣1 时AD 交线段BC 于E，交y 轴于点F，求S△EBD﹣S△CEF的最大值；
②当k＜0 且k＝a 时，设P 为抛物线对称轴上一动点，点Q 是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q 为
顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标，若不能，请说明理由．
【变式7-1】（2022•宜兴市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a 为常数，且a＜0）与x 轴相交于A（﹣
1，0），B（3，0）两点，与y 轴相交于点C，顶点为D，直线BD 与y 轴相交于点E．
（1）求证OC= 1
2
OE；
（2）M 为线段OB 上一点，N 为线段BE 上一点，当a=−1
2
时，求△CMN 的周长的最小值；
（3）若Q 为第一象限内抛物线上一动点，小林猜想：当点Q 与点D 重合时，四边形ABQC 的面积取得
最大值．请判断小林猜想是否正确，并说理由．
【变式7-2】（2022 秋•九龙坡区校级月考）如图，直线y=−3
4
x+3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，抛物
线y=−3
8
x2+ 3
4
x+c 经过A、B 两点，与x 轴的另一个交点为C，点P 是第一象限抛物线上的点，连结OP
交直线AB 于点Q，设点P 的横坐标为m，当四边形PACB 面积最大时，S△BPQ
S△OAQ
= ．
【变式7-3】（2022•大庆三模）如图，已知抛物线y= 1
4
x2+bx+c 与y 轴交于点C（0，2），对称轴为x＝
2，直线y＝kx（k＞0）分别交抛物线于点A，B（点A 在点B 的左边），直线y＝mx+n 分别交y 轴、x 轴
于点D，E（4，0），交抛物线y 轴右侧部分于点F，交AB 于点P，且OC＝CD．
（1）求抛物线及直线DE 的函数表达式；
（2）若G 为直线DE 下方抛物线上的一个动点，连接GD，GF，求当△GDF 面积最大时，点G 的坐标
及△GDF 面积的最大值；
【题型8 二次函数在新定义中求最值】
【例8】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：
点（1，1），（1
2
，1
2
），（−√2，−√2），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（5
2
，5
2
）．
①求a，c 的值；
②若1≤x≤m 时，函数y＝ax2+6x+c+ 1
4
（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m 的取值范围．
【变式8-1】（2022•姑苏区校级模拟）平面直角坐标系xOy 中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定
义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩
形为点A，B，C 的“三点矩形”．在点A，B，C 的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则
称该矩形为点A，B，C 的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形DEFG，矩形IJCH 都是点A，B，C 的“三点矩形”，矩形IJCH 是点A，B，C 的“最佳
三点矩形”．
如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．
（1）①若m＝2，n＝4，则点M，N，P 的“最佳三点矩形”的周长为 ，面积为 ；
②若m＝2，点M，N，P 的“最佳三点矩形”的面积为24，求n 的值；
（2）若点P 在直线y＝﹣2x+5 上．
①求点M，N，P 的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m 的取值范围；
②当点M，N，P 的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P 的坐标；
（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c 上，当且仅当点M，N，P 的“最佳三点矩形”面积为18 时，
﹣2≤m≤﹣1 或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．
【变式8-2】（2022•碑林区校级模拟）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
问题发现：
（1）如图1，筝形ABCD 中，AD＝CD，AB＝CB，若AC+BD＝12，求筝形ABCD 的面积的最大值；
问题解决：
（2）如图2 是一块矩形铁片ABCD，其中AB＝60 厘米，BC＝90 厘米，李优想从这块铁片中裁出一个
筝形EFGH，要求点E 是AB 边的中点，点F、G、H 分别在BC、CD、AD 上（含端点），是否存在一
种裁剪方案，使得筝形EFGH 的面积最大？若存在，求出筝形EFGH 的面积最大值，若不存在，请说明
理由．
【变式8-3】（2022 春•崇川区期末）平面直角坐标系中，有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣
x2|+|y1﹣y2|叫做P1，P2两点间的“转角距离”，记作d（P1，P2）．
（1）若A 为（3，﹣2），O 为坐标原点，则d（O，A）＝ ；
（2）已知O 为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）＝2，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在
所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形；
（3）若M（1，1），点N 为抛物线y＝x2﹣1 上一动点，求d（M，N）的最小“转角距离”．
