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（精校版）高二数学期末试卷集49套_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

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第1页（共926页）
高二年级数学期末试卷集
目录
2019-2020 学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷..................................2
2019-2020 学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷................................10
2019-2020 学年天津一中高二（上）期末数学试卷........................................................25
2019-2020 学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）................................37
2019-2020 学年陕西省西安中学高二（上）期末数学试卷（理科）............................50
2019-2020 学年山东省威海市高二（上）期末数学试卷................................................61
2019-2020 学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（理科）................................72
2019-2020 学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试
卷（理科）............................................................................................................................100
2019-2020 学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷（理科）............................. 134
2019-2020 学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷..............................................144
2019-2020 学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷..............................................153
2019-2020 学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷..............................................162
2019-2020 学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）............................. 172
2019-2020 学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷..............................................183
2019-2020 学年吉林省长春市东北师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）..... 194
2019-2020 学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）............................. 218
2019-2020 学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期末数学试卷（理科）................. 232
2019-2020 学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期末数学试卷（理科）............. 261
2019-2020 学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）............................. 297
2019-2020 学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（理科）............................. 309
2019-2020 学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（理科）............................. 320
2019-2020 学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（理科）......... 334
2019-2020 学年广东省汕头市潮阳区高二（上）期末数学试卷（理科）................. 346
2019-2020 学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷（理科）................. 357
2019-2020 学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）............................. 371
2019-2020 学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）............................. 383
2019-2020 学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（理科）............................. 393
2019-2020 学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷..............................................402
2019-2020 学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷......................................... 413
2019-2020 学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷..............................................426
2019-2020 学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（理科）..................... 435
2018-2019 学年重庆一中高二（上）期末数学试卷（理科）..................................... 464
2018-2019 学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（理科）......................... 491
2018-2019 学年浙江省杭州市西湖区学军中学高二（上）期末数学试卷................. 517
2018-2019 学年新疆兵团二中高二（上）期末数学试卷（理科）............................. 532
2018-2019 学年天津市六校联考（静海一中、杨村一中、宝坻一中等）高二（上）期末数学试卷（理科）
................................................................................................................................................559
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2018-2019 学年辽宁省实验中学分校高二（上）期末数学试卷（理科）................. 589
2018-2019 学年江西师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）............................. 618
2018-2019 学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理..................... 642
2018-2019 学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）............. 674
2018-2019 学年海南省海南中学高二（上）期末数学试卷（理科）......................... 705
2018-2019 学年广西南宁三中高二（上）期末数学试卷（理科）............................. 735
2018-2019 学年广东省深圳中学高二（上）期末数学试卷（理科）......................... 764
2018-2019 学年福建省莆田一中高二（上）期末数学试卷（理科）......................... 793
2018-2019 学年北京市十一学校高二（上）期末数学试卷（理科）（Ⅱ）............... 826
2018-2019 学年北京市清华附中高二（上）期末数学试卷（理科）......................... 843
2018-2019 学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）............................. 870
2018-2019 学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（理科）..................... 879
2018-2019 学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷（理科）......................... 902
2019-2020 学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4 分）已知集合M＝{x|x2﹣x≥0}，N＝{x|x≥2}，则M∩N＝（
）
A．∅
B．{x|x≥1}
C．{x|x≥2}
D．{x|x≥1 或x≤0}
2．（4 分）设a＝ln10，b＝ln100，c＝（ln10）2，则（
）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
3．（4 分）曲线y＝x3﹣x 在点（1，0）处切线的倾斜角为α，则tanα＝（
）
A．2
B．−4
3
C．﹣1
D．0
4．（4 分）已知定义在R 上的函数f（x）的图象是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数
f（x）不一定存在零点的是（
）
x
1
2
3
5
f（x）
3
﹣1
2
0
A．（1，2）
B．[1，3]
C．[2，5）
D．（3，5）
5．（4 分）已知函数f（x）＝（ex+e
﹣x）ln
1−x
1+x，若f（a）＝1，则f（﹣a）＝（
）
A．1
B．﹣1
C．﹣2
D．3
6．（4 分）在y＝2x，y＝log2x，y＝x2 这三个函数中，当0＜x1＜x2＜1 时，使f( x1+x2
2
)＞f(x1+x2)
2
恒成立的函数的
个数是（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
7．（4 分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣e
﹣x+ 1
2在（0，+∞）上存在零点，则实数a 的取值范围是（
）
A．( −∞，1
e )
B．( −1
e ，e)
C．( −∞，e)
D．( −
e，1
e )
8．（4 分）函数f（x）＝ln（x+a）−
x
x+1存在两个不同的极值点x1，x2，则实数a 的取值范围是（
）
A．( 3
4 ，1) ∪(1，+ ∞)
B．（0，+∞）
C．（﹣∞，0）
D．( −∞，3
4 )
9．（4 分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+a，则“a＜0”是“f（f（x））的值域与f（x）的值域相同”的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．（4 分）已知函数f（x）＝x2﹣x+1，记f1（x）＝f（x），当n≥2 时，fn（x）＝fn﹣1（f（x）），则对于下列结论正
确的是（
）
A．f5（x）在( 1
2 ，+ ∞)单调递增
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B．f5（x）在( 1
2 ，+ ∞)单调递减
C．f5（x）在( 1
2 ，1)单调递减，（1，+∞）单调递增
D．f5（x）在( 1
2 ，1)单调递增，（1，+∞）单调递减
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分．
11．（6 分）i 是虚数单位，设z= 1−i
1+i +2i，则z＝
，|z|＝
．
12．（6 分）已知函数f（x）= 3x + 2，x＜1
2x，x ≥1
，则f（0）＝
，f（f（0））＝
．
13．（6 分）设条件p：|x|≤m（m＞0），q：﹣1≤x≤4，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为
，若p 是q 的
必要条件，则m 的最小值为
．
14．（6 分）已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1，设x＝1 是f（x）的极值点，则a＝
，f（x）的单调增区间为
．
15．（4 分）已知偶函数f（x）对任意x∈R 都有f（x+6）﹣f（x）＝2f（3），则f（2019）＝
．
16．
（4 分）函数f（x）= x2，x ≥0
−x2，x＜0
，若对于在意实数x∈[﹣1，1]，f（x+a）≥4f（x），则实数a 的取值范围为
．
17．（4 分）已知函数f（x）＝sinx，若方程3（f（x））2﹣f（x）+m＝0 在(0，5π
6 )内有两个不同的解，则实数m
的取值范围为
．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14 分）记函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域为M，g（x）＝lg[（x+a+2）（﹣x﹣a+1）]的定义域为N．（1）
求M；（2）若M⊆N，求实数a 的取值范围．
19．（15 分）f（x）＝3x2﹣2（1+a）x+a．
（1）若函数f（x）在[0，2]上的最大值为3，求a 的值；
（2）设函数f（x）在[0，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．
20．（15 分）已知函数f(x) = 1
3 x3 + 1
2．
（1）求曲线y＝f（x）在点P(1，5
6 )处的切线与x 轴和y 轴围成的三角形面积；
（2）若过点（2，a）可作三条不同直线与曲线y＝f（x）相切，求实数a 的取值范围．
21．（15 分）已知函数f（x）＝ex−1
2 ax2 −b．
（1）当a＝1，b＝1 时，求f（x）在[﹣1，1]上的值域；
（2）若对于任意实数x，f（x）≥0 恒成立，求a+b 的最大值．
22．（15 分）已知a＞0，函数f（x）＝ex+3ax2﹣2ex﹣a+1，
（1）若函数f（x）在[0，1]上单调递减，求a 的取值范围；
（2）|f（x）|≤1 对任意x∈[0，1]恒成立，求a 的取值范围．
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2019-2020 学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4 分）已知集合M＝{x|x2﹣x≥0}，N＝{x|x≥2}，则M∩N＝（
）
A．∅
B．{x|x≥1}
C．{x|x≥2}
D．{x|x≥1 或x≤0}
【解答】解：M＝{x|x≤0，或x≥1}；
∴M∩N＝{x|x≥2}．
故选：C．
2．（4 分）设a＝ln10，b＝ln100，c＝（ln10）2，则（
）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
【解答】解：∵2＜ln10；
∴ln10＜ln100＝2ln10＜（ln10）2；
∴c＞b＞a．
故选：D．
3．（4 分）曲线y＝x3﹣x 在点（1，0）处切线的倾斜角为α，则tanα＝（
）
A．2
B．−4
3
C．﹣1
D．0
【解答】解：y＝x3﹣x 的导数为y′＝3x2﹣1，
曲线y＝x3﹣x 在点（1，0）处切线的斜率为3﹣1＝2，
即tanα＝2．
故选：A．
4．（4 分）已知定义在R 上的函数f（x）的图象是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数
f（x）不一定存在零点的是（
）
x
1
2
3
5
f（x）
3
﹣1
2
0
A．（1，2）
B．[1，3]
C．[2，5）
D．（3，5）
【解答】解：由图表可知，f（1）＝3，f（2）＝﹣1，f（3）＝2，f（5）＝0．
由f（1）•f（2）＜0，可知函数f（x）在（1，2）上一定有零点；
则函数f（x）在[1，3]上一定有零点；
由f（2）•f（3）＜0，可知函数f（x）在（2，3）上一定有零点，
则函数f（x）在[2，5）上一定有零点；
由f（3）＞0，f（5）＝0，可知f（x）在（3，5）上不一定有零点．
∴函数f（x）不一定存在零点的是（3，5）．
故选：D．
5．（4 分）已知函数f（x）＝（ex+e
﹣x）ln
1−x
1+x，若f（a）＝1，则f（﹣a）＝（
）
A．1
B．﹣1
C．﹣2
D．3
【解答】解：f(a) = (ea + e−a)ln 1−a
1+a = 1；
∴f( −a) = (e−a + ea)ln 1+a
1−a =−(e−a + ea)ln 1−a
1+a =−1．
故选：B．
6．（4 分）在y＝2x，y＝log2x，y＝x2 这三个函数中，当0＜x1＜x2＜1 时，使f( x1+x2
2
)＞f(x1+x2)
2
恒成立的函数的
个数是（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解答】解：对于y＝2x 有f( x1+x2
2
) = 2
x1+x2
2
f(x1+x2)
2
=
2x1+x2
2
= 2x1 + x2 −1
∵0＜x1＜x2＜1，∴
x1+x2
2
＞x1 + x2 −1
∴f( x1+x2
2
)＞f(x1+x2)
2
恒成立
对于y＝log2x 有f( x1+x2
2
) = log2( x1+x2
2
)，
f(x1+x2)
2
=
log2(x1+x2)
2
= log2
x1 + x2
∵0＜x1＜x2＜1，
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∴
x1+x2
2
＜
x1 + x2，
∴f( x1+x2
2
)＜f(x1+x2)
2
故选：B．
7．（4 分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣e
﹣x+ 1
2在（0，+∞）上存在零点，则实数a 的取值范围是（
）
A．( −∞，1
e )
B．( −1
e ，e)
C．( −∞，e)
D．( −
e，1
e )
【解答】解：当a＞0 时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
要使函数f（x）在（0，+∞）上存在零点，则f（0）＝lna−1
2 ＜0，即0＜a＜e；
当a≤0 时，函数f（x）在（﹣a，+∞）上单调递增，
此时函数f（x）的值域（﹣∞，+∞），则f（x）在（0，+∞）上存在零点．
综上可得，a∈（﹣∞，e）．
故选：C．
8．（4 分）函数f（x）＝ln（x+a）−
x
x+1存在两个不同的极值点x1，x2，则实数a 的取值范围是（
）
A．( 3
4 ，1) ∪(1，+ ∞)
B．（0，+∞）
C．（﹣∞，0）
D．( −∞，3
4 )
【解答】解：f（x）的定义域是（﹣a，+∞），
f′（x）=
1
x+a −x+1−x
(x+1)2 =
1
x+a −
1
(x+1)2 = x2+x+1−a
(x+a)(x+1)2，
令h（x）＝x2+x+1﹣a，
若函数f（x）存在两个不同的极值点x1，x2，
则x2+x+1﹣a＝0 在（﹣a，+∞）有2 个不同的根，
∴a2﹣a+1﹣a＞0
①
−1
2 ＞−a②
1﹣4（1﹣a）＞0
③
①②③联立得
3
4 ＜a＜1 或a＞1．
故选：A．
9．（4 分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+a，则“a＜0”是“f（f（x））的值域与f（x）的值域相同”的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣2x+a＝（x﹣1）2+a﹣1，则函数f（x）的值域为[a﹣1，+∞），
且f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）为增函数，
∵f（f（x））的值域与f（x）的值域相同，
∴a﹣1≤1，
解得a≤2，
故“a＜0”是“f（f（x））的值域与f（x）的值域相同”的充分不必要条件，
故选：B．
10．（4 分）已知函数f（x）＝x2﹣x+1，记f1（x）＝f（x），当n≥2 时，fn（x）＝fn﹣1（f（x）），则对于下列结论正
确的是（
）
A．f5（x）在( 1
2 ，+ ∞)单调递增
B．f5（x）在( 1
2 ，+ ∞)单调递减
C．f5（x）在( 1
2 ，1)单调递减，（1，+∞）单调递增
D．f5（x）在( 1
2 ，1)单调递增，（1，+∞）单调递减
【解答】解：根据题意，函数f1（x）＝f（x）＝x2﹣x+1＝（x−1
2）2+ 3
4，在（﹣∞，
1
2）上递减，在（
1
2，+∞）
递增，且f（x）≥3
4；
对于f2（x）＝f（f（x）），令t＝f（x），则t≥3
4，则f2（x）在（﹣∞，
1
2）上递减，在（
1
2，+∞）递增，
对于f3（x）＝f2（f（x）），则f3（x）＝f2（t），
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t＝f（x），在（﹣∞，
1
2）上递减，在（
1
2，+∞）递增，且t≥3
4，
而f2（x）在（
1
2，+∞）递增，
则f3（x）在（﹣∞，
1
2）上递减，在（
1
2，+∞）递增，
对于f4（x）＝f3（f（x）），则f4（x）＝f3（t），
t＝f（x），在（﹣∞，
1
2）上递减，在（
1
2，+∞）递增，且t≥3
4，
而f3（x）在（
1
2，+∞）递增，
则f4（x）在（﹣∞，
1
2）上递减，在（
1
2，+∞）递增，
对于f5（x）＝f4（f（x）），则f5（x）＝f4（t），
t＝f（x），在（﹣∞，
1
2）上递减，在（
1
2，+∞）递增，且t≥3
4，
而f4（x）在（
1
2，+∞）递增，
则f5（x）在（﹣∞，
1
2）上递减，在（
1
2，+∞）递增，
故选：A．
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分．
11．（6 分）i 是虚数单位，设z= 1−i
1+i +2i，则z＝
i
，|z|＝
1
．
【解答】解：∵z= 1−i
1+i +2i=
(1−i)2
(1+i)(1−i) + 2i = i，
∴|z|＝1．
故答案为：i；1．
12．（6 分）已知函数f（x）= 3x + 2，x＜1
2x，x ≥1
，则f（0）＝
2
，f（f（0））＝
4
．
【解答】解：函数f（x）= 3x + 2，x＜1
2x，x ≥1
，
∴f（0）＝3×0+2＝2，
f（f（0））＝f（2）＝22＝4．
故答案为：2，4．
13．（6 分）设条件p：|x|≤m（m＞0），q：﹣1≤x≤4，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为
1
，若p 是q 的必
要条件，则m 的最小值为
4
．
【解答】解：条件p：|x|≤m，可得：﹣m≤x≤m．条件q：﹣1≤x≤4，
若p 是q 的充分条件，则﹣m≥﹣1，且m≤4，解得0＜m≤1，
则m 最大值为1，
p 是q 的必要条件，则﹣m≤﹣1 且m≥4，解得m≥4，
则m 的最小值为4，
故答案为：1，4
14．（6 分）已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1，设x＝1 是f（x）的极值点，则a＝
1
e
，f（x）的单调增区间为
（1，
+∞）
．
【解答】解：∵函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1．
∴x＞0，f′（x）＝aex−1
x，
∵x＝1 是f（x）的极值点，
∴f′（1）＝ae﹣1＝0，解得a= 1
e，
∴f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣1，∴f′（x）＝ex﹣1−1
x，
当x＞1 时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）单调递增，
故答案为：
1
e，（1，+∞）．
15．（4 分）已知偶函数f（x）对任意x∈R 都有f（x+6）﹣f（x）＝2f（3），则f（2019）＝
0
．
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【解答】解：∵f（x）是偶函数，对f（x+6）﹣f（x）＝2f（3），取x＝﹣3 得，f（3）﹣f（﹣3）＝2f（3）；
∴f（3）＝0；
∴f（x+6）＝f（x）；
∴f（x）的周期为6；
∴f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）＝0．
故答案为：0．
16．（4 分）函数f（x）= x2，x ≥0
−x2，x＜0
，若对于在意实数x∈[﹣1，1]，f（x+a）≥4f（x），则实数a 的取值范围为
[1，
+∞）
．
【解答】解：当x≥0 时，f（x）为增函数，且f（x）≥0，
当x＜0 时，f（x）为增函数，且f（x）＜0，
综上f（x）在R 上为增函数，
且4f（x）＝f（2x），
则不等式f（x+a）≥4f（x）等价为f（x+a）≥f（2x），
即x+a≥2x 在x∈[﹣1，1]，上恒成立，
即a≥x 在x∈[﹣1，1]，上恒成立，
∵﹣1≤x≤1，
∴a≥1，
即实数a 的取值范围是[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）
17．（4 分）已知函数f（x）＝sinx，若方程3（f（x））2﹣f（x）+m＝0 在(0，5π
6 )内有两个不同的解，则实数m
的取值范围为
0＜m＜1
12或﹣2＜m＜−1
4
．
【解答】解：令t＝f（x）＝sinx，
则方程等价为3t2﹣t+m＝0，
即m＝﹣3t2+t＝﹣3（t−1
6）2+ 1
12，
由t＝f（x）＝sinx 得当t＝1 或0＜t≤1
2时，t＝sinx 只有一个根，
当
1
2 ＜t＜1 时，t＝sinx 有两个不同的根，
若t＝1，此时m＝﹣3+1＝﹣2，
此时方程3t2﹣t﹣2＝0 得（t﹣1）（3t+2）＝0，得t＝1 或t=−2
3，当t=−2
3时，t＝sinx 无解，此时方程3（f（x））
2﹣f（x）+m＝0 在(0，5π
6 )内只有一个解不满足条件．
若方程3（f（x））2﹣f（x）+m＝0 在(0，5π
6 )内有两个不同的解，
等价为①当0＜t≤1
2时，m＝﹣3t2+t＝﹣3（t−1
6）2+ 1
12有两个不同的交点，
即0＜m＜1
12，
或者②当
1
2 ＜t＜1 时，m＝﹣3t2+t＝﹣3（t−1
6）2+ 1
12有1 个交点，
∵t= 1
2时，m=−1
4，t＝1 时，m＝﹣2，
∴此时﹣2＜m＜−1
4，
综上0＜m＜1
12或﹣2＜m＜−1
4，
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故答案为：0＜m＜1
12或﹣2＜m＜−1
4．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14 分）记函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域为M，g（x）＝lg[（x+a+2）（﹣x﹣a+1）]的定义域为N．（1）
求M；（2）若M⊆N，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得1﹣x2＞0，
解得：﹣1＜x＜1，
故M＝（﹣1，1），
（2）由（x+a+2）（﹣x﹣a+1）＞0，
解得：﹣a﹣2＜x＜﹣a+1，
故N＝（﹣a﹣2，﹣a+1），
若M⊆N，
则−a −2 ≤−1
−a + 1 ≥1 ，
解得：﹣1≤a≤0．
19．（15 分）f（x）＝3x2﹣2（1+a）x+a．
（1）若函数f（x）在[0，2]上的最大值为3，求a 的值；
（2）设函数f（x）在[0，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．
【解答】解：（1）当
1+a
3
≤1，即a≤2 时，f（x）max＝f（2）＝8﹣3a＝2 解得a＝2 符合；
当
1+a
3
＞1，即a＞2 时，f（x）max＝f（0）＝a，不合题意；
综上a＝2．
（2）①当
1+a
3
≤0，即a≤﹣1 时，f（x）在[0，2]上递减，∴f（x）min＝g（a）＝f（2）＝8﹣3a；
②当
1+a
3
≥2 即a≥5 时，f（x）在[0，2]上递增，∴f（x）min＝g（a）＝f（0）＝a；
③当0＜1+a
3 ＜2，即﹣1＜a＜5 时，f（x）min＝g（a）＝f（
1+a
3 ）= −a2+a−1
3
，
综上得g（a）=
8 −3a，
a ≤−1
−a2+a−1
3
，
−1＜a＜5
a，
a ≥5
．
20．（15 分）已知函数f(x) = 1
3 x3 + 1
2．
（1）求曲线y＝f（x）在点P(1，5
6 )处的切线与x 轴和y 轴围成的三角形面积；
（2）若过点（2，a）可作三条不同直线与曲线y＝f（x）相切，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）函数f(x) = 1
3 x3 + 1
2的导数为f′（x）＝x2，
曲线y＝f（x）在点P(1，5
6 )处的切线斜率为1，
可得切线方程为y−5
6 =x﹣1 即y＝x−1
6，
切线与x 轴和y 轴的交点为（
1
6，0），（0，−1
6），
可得切线与x 轴和y 轴围成的三角形面积为
1
2 ×
1
6 ×
1
6 =
1
72；
（2）f（x）= 1
3x3+ 1
2，则f′（x）＝x2，
设切点为（m，
1
3m3+ 1
2），则f′（m）＝m2．
可得过切点处的切线方程为y−1
3m3−1
2 =m2（x﹣m），
把点（2，a）代入得a−1
3m3−1
2 =m2（2﹣m），
整理得4m3﹣12m2﹣3+6a＝0，
若过点（2，a）可作三条直线与曲线y＝f（x）相切，
则方程4m3﹣12m2﹣3+6a＝0 有三个不同根．
令g（x）＝4x3﹣12x2﹣3，
则g′（x）＝12x2﹣24x＝12x（x﹣2），
当x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，
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则g（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（2，+∞）；单调减区间为（0，2）．
可得当x＝0 时，g（x）有极大值为g（0）＝﹣3；当x＝2 时，g（x）有极小值为g（2）＝﹣19．
由﹣19＜﹣6a＜﹣3，得
1
2 ＜a＜19
6 ．
则实数n 的取值范围是（
1
2，
19
6 ）．
21．（15 分）已知函数f（x）＝ex−1
2 ax2 −b．
（1）当a＝1，b＝1 时，求f（x）在[﹣1，1]上的值域；
（2）若对于任意实数x，f（x）≥0 恒成立，求a+b 的最大值．
【解答】解：（1）当a＝1，b＝1 时，
f（x）＝ex−1
2x2﹣1．
f′（x）＝ex﹣x＝g（x）．
g′（x）＝ex﹣1．
可得：﹣1≤x≤0，则g′（x）＜0；0＜x≤1 时，则g′（x）＞0．
∴x＝0 时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（0）＝1＞0．
∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．
∴f（x）min＝f（﹣1）= 1
e −3
2，f（x）max＝f（1）＝e−3
2．
∴f（x）在[﹣1，1]上的值域为[
1
e −
3
2，e−3
2]．
（2）对于任意实数x，f（x）≥0 恒成立，即b≤ex−1
2 ax2．亦即a+b≤ex−1
2 ax2 +a 在R 上恒成立．
令h（x）＝ex−1
2 ax2 +a，x∈R．
h′（x）＝ex﹣ax．
a≥0 时，不成立舍去．
a＜0 时，令ex﹣ax＝0，x＜0．
解得ex0 =ax0．
可得函数h（x）在x＝x0 处取得极小值即最小值．
∴h（x）min= ex0 −1
2 ax0
2 +a= ex0 −x0ex0
2
+ ex0
x0 = ex0(1 −x0
2 + 1
x0 )，
令u（x）＝ex(1 −x
2 + 1
x )，x＜0．
则u′（x）＝ex•
(x−1)( 2+x)( 2−x)
2x2
．
可得x=−
2时，函数u（x）取得极大值即最大值．
u（−
2）= e−
2．
∴a+b 的最大值是e−
2．
22．（15 分）已知a＞0，函数f（x）＝ex+3ax2﹣2ex﹣a+1，
（1）若函数f（x）在[0，1]上单调递减，求a 的取值范围；
（2）|f（x）|≤1 对任意x∈[0，1]恒成立，求a 的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝ex+3ax2﹣2ex﹣a+1，
f′（x）＝ex+6ax﹣2e，
由函数f（x）在[0，1]上单调递减，得ex+6ax﹣2e≤0 在[0，1]上恒成立．
当x＝0 时，对于任意正实数a，上式恒成立；
当x∈（0，1]时，则a≤2e−ex
6x ，
令g（x）= 2e−ex
6x ，则g′（x）= −6xex−12e+6ex
36x2
，
令h（x）＝﹣6xex﹣12e+6ex，则h′（x）＝﹣6ex﹣6xex+6ex＝﹣6xex＜0，
则h（x）在（0，1]上单调递减，∴h（x）＜h（0）＜0．
∴g′（x）＜0，
则g（x）在（0，1]上单调递减，
则g（x）≥g(1) = e
6．
∴0＜a≤e
6；
（2）∵|f（x）|≤1，
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∴|f(0)| = |2 −a| ≤1
|f(1)| = |2a −e + 1| ≤1，
解得：
1 ≤a ≤3
e−2
2
≤a ≤e
2
，
故a∈[1，
e
2]，
由（1）知f′（x）在[0，1]递增，
且f′（0）＝1﹣2e＜0，f′（1）＝6a﹣e＞0，
∴f（x）max＝max{f（0），f（1））}，
设x＝t（0＜t＜1）时，f′（x）＝0，
即et+6at﹣2e＝0，
则f（x）在[0，t]递减，在（t，1]递增，
故f（x）min＝f（t），
若|f（x）|≤1，只需f（t）+f（x）max≥0 即可，
又﹣1≤f（t）≤1，故﹣1≤f（x）max≤1，
当2﹣a≥2a﹣e+1 即a≤e+1
3 时，﹣1≤2﹣a≤1，解得：1≤a≤e+1
3 ，
当2﹣a＜2a﹣e+1 即a＞e−1
3 时，﹣1≤2a﹣e+1≤1，解得：
e−1
3
＜a≤e
2，
综上，a∈[1，
e
2]．
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2019-2020 学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4 分）椭圆
x2
25 +
y2
16 = 1 的短轴长为（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
2．（4 分）设复数z 满足（1+i）2•z＝2+i，其中i 为虚数单位，则复数z 对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（4 分）已知m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（
）
A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥β，则α∥β
D．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β
4．（4 分）有下列四个命题：
①“相似三角形周长相等”的否命题；
②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题；
③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题；
④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0 有实根”的逆否命题；
其中真命题的个数是（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
5．（4 分）已知m，n∈R，则“m＜0 且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0 的焦点在y 轴非负半轴上”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
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6．（4 分）下列命题正确的是（
）
A．|a
→|﹣|b
→
|＜|a
→+ b
→
|是向量a
→，b
→
不共线的充要条件
B．在空间四边形ABCD 中，AB
→
⋅CD
→
+ BC
→
⋅AD
→
+ CA
→
⋅BD
→
=0
C．在棱长为1 的正四面体ABCD 中，AB
→
⋅BC
→
= 1
2
D．设A，B，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若OP
→
= 1
3 OA
→
+ 2
3 OB
→
+ OC
→
，则P，A，B，C 四点共面
7．（4 分）若椭圆
x2
a1
2 +
y2
b1
2 =1（a1＞b1＞0）与双曲线
x2
a2
2 −
y2
b2
2 =1（a2＞0，b2＞0）有公共的焦点F1，F2，点P 是两条
曲线的交点，∠F1PF2= π
3，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，且e1e2＝1，则e1＝（
）
A．
1
3
B．
3
3
C．
1
2
D．
2
2
8．（4 分）已知P 为双曲线：
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）右支上一点，A 为其左顶点，F（4 3，0）为其右焦点，满
足|AF|＝|PF|，∠PFA= π
3，则点F 到直线PA 的距离为（
）
A．
5 3
2
B．
7
2
C．
7 3
2
D．
15
2
9．（4 分）如图，四边形ABCD 中，AB＝BD＝DA＝4，BC＝CD＝2 2，现将△ABD 沿BD 折起，当二面角A﹣
BD﹣C 的大小在[
π
3 ，
2π
3 ]时，直线AB 和CD 所成角为α，则cosα的最大值为（
）
A．
2 2−6
8
B．
6−2 2
4
C．
2 2+ 6
8
D．
2 2+ 6
4
10．（4 分）若长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB＝1，BC＝CC1=
2，E，F，G 分别为AD，AB，C1D1 上的点，
AE＝ED，AF＝FB，D1G
→
= λGC1
→
（λ≥4）分别记二面角G﹣EF﹣D1，G﹣EF﹣C，G﹣FB﹣C 的平面角为α，β，
γ，则（
）
A．γ＜β＜α
B．β＜γ＜α
C．α＜γ＜β
D．与λ的值有关
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每小题6 分，单空题每小题6 分，共36 分。
11．（6 分）双曲线
y2
12 −
x2
3 =1 的焦点坐标是
，渐近线方程是
．
12．
（6分）在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EH= 1
4EF，记OH
→
=xOA
→
+yOB
→
+zOC
→
，
则（x，y，z）＝
，若OA
→
⊥OB
→
，OA
→
⊥OC
→
，∠BOC＝60°，且|OA
→
|＝|OB
→
|＝|OC
→
|＝1，则|OH
→
|＝
．
13．（6 分）设复数z＝（
1−i
1+i）2018+（
2+i
1−2i）2019，其中i 为虚数单位，则z的虚部是
，|z|＝
．
14．（6 分）一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是
，体积是
．
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15．（4 分）已知P（x，y）是抛物线y2＝8x 上的点，则(x −4)2 + (y −1)2 −x 的最大值是
．
16．（4 分）已知椭圆E：
x2
a2 +
y2
b2 =1 的左右焦点分别为F1，F2，动弦AB 过左焦点F1，若|F2A
→
−F2B
→
|≥|F2A
→
+ F2
→
B|
恒成立，则椭圆E 的离心率的取值范围是
．
17．（4 分）已知矩形ABCD 中，AB＝2AD＝4，E 为CD 的中点，AC，BE 交于点F，△ADE 沿着AE 向上翻折，
使点D 到D'若D′在平面ABCD 上的投影H 落在梯形ABCE 内部及边界上，则FH 的取值范围为
．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（14 分）已知a＞0，设命题p：当x∈[
1
3，3]时，函数f（x）＝x+ 1
x ＞1
a恒成立，命题q：双曲线
x2
a2 −
y2
8 =1 的离
心率e∈（1，3]．
（Ⅰ）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若命题p 和q 中有且只有一个是真命题，求实数a 的取值范围．
19．（15 分）如图，在四面体O﹣ABC 中，∠AOB＝90°，∠BOC＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝4．
（Ⅰ）求点C 到平面OAB 的距离；
（Ⅱ）求异面直线OA 与BC 所成角的大小．
20．（15 分）如图，已知多面体PABCD 中，AD∥BC，AD⊥平面PAB，AD＝2BC＝4，AB＝1，PA＝2，∠PAB＝
60°．
（1）证明：PB⊥平面ABCD；
（2）求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值．
21．（15 分）已知点P 是圆M：（x﹣1）2+y2＝8 上的动点，定点N（﹣1，0），线段PN 的垂直平分线交PM 于点Q．
（Ⅰ）求点Q 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）过点N 作两条斜率之积为−1
2的直线l1，l2，l1，l2 分别与轨迹E 交于A，B 和C，D，记得到的四边形ACBD
的面积为S，求S 的最大值．
22．（15 分）如图，点P（x0，y0）在抛物线C：y＝x2 外，过点P 作抛物线C 的两切线，设两切点分别为A（x1，
x12），B（x2，x22），记线段AB 的中点为M．
（Ⅰ）求切线PA，PB 的方程；
（Ⅱ）证明：线段PM 的中点N 在抛物线C 上；
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（Ⅲ）设点P 为圆D：x2+（y+2）2＝1 上的点，当
|AB|
|PM|取最大值时，求点P 的纵坐标．
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2019-2020 学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4 分）椭圆
x2
25 +
y2
16 = 1 的短轴长为（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
【解答】解：椭圆
x2
25 +
y2
16 = 1，可知焦点在x 轴上，b＝4，所以椭圆
x2
25 +
y2
16 = 1 的短轴长为8．
故选：C．
2．（4 分）设复数z 满足（1+i）2•z＝2+i，其中i 为虚数单位，则复数z 对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解答】解：由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，
∴z = 2+i
2i = (2+i)(−i)
−2i2
= 1
2 −i，
∴复数z 对应的点的坐标为（
1
2，﹣1），位于第四象限．
故选：D．
3．（4 分）已知m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（
）
A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥β，则α∥β
D．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β
【解答】解：由m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在A 中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A 正确；
在B 中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B 错误；
在C 中，若m⊥α，m∥β，则α与β相交或平行，故C 错误；
在D 中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D 错误．
故选：A．
4．（4 分）有下列四个命题：
①“相似三角形周长相等”的否命题；
②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题；
③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题；
④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0 有实根”的逆否命题；
其中真命题的个数是（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解答】解：①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，
可得其否命题不正确；
②“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”正确；
③“若x＝1，则x2+x﹣2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2+x﹣2≠0”不正确；
④“若b≤0，则方程x2﹣2bx+b2+b＝0 有实根”由△＝4b2﹣4（b2+b）＝﹣4b≥0，可得原命题正确，
其逆否命题也正确．
故选：C．
5．（4 分）已知m，n∈R，则“m＜0 且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0 的焦点在y 轴非负半轴上”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：抛物线mx2+ny＝0 的标准方程为x2=−n
my＝4（−n
4m）y，
对应的焦点坐标为（0，−n
4m），
若焦点在y 轴非负半轴上，则−n
4m ＞0，即mn＜0，
则m＜0 且n＞0 或n＜0 且m＞0，
则“m＜0 且n＞0”是“抛物线mx2+ny＝0 的焦点在y 轴非负半轴上”的充分不必要条件，
故选：A．
6．（4 分）下列命题正确的是（
）
A．|a
→|﹣|b
→
|＜|a
→+ b
→
|是向量a
→，b
→
不共线的充要条件
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B．在空间四边形ABCD 中，AB
→
⋅CD
→
+ BC
→
⋅AD
→
+ CA
→
⋅BD
→
=0
C．在棱长为1 的正四面体ABCD 中，AB
→
⋅BC
→
= 1
2
D．设A，B，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若OP
→
= 1
3 OA
→
+ 2
3 OB
→
+ OC
→
，则P，A，B，C 四点共面
【解答】解：由|a
→|﹣|b
→
|＜|a
→+ b
→
|，向量a
→，b
→
可能共线，比如共线向量a
→，b
→
的模分别是2，3，故A 不正确；
在空间四边形ABCD 中，AB
→
⋅CD
→
+ BC
→
⋅AD
→
+ CA
→
⋅BD
→
=（AC
→
+ CB
→
）•CD
→
−CB
→
•AD
→
−AC
→
•BD
→
= AC
→
•（CD
→
−BD
→
）+ CB
→
•（CD
→
−AD
→
）= AC
→
•CB
→
+ CB
→
•CA
→
=0，故B 正确；
在棱长为1 的正四面体ABCD 中，AB
→
⋅BC
→
=1×1×cos120°=−1
2，故C 错误；
设A，B，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若OP
→
= 1
3 OA
→
+ 2
3 OB
→
+ OC
→
，
由
1
3 +
2
3 +1＝2≠1，可得P，A，B，C 四点不共面，故D 错误．
故选：B．
7．（4 分）若椭圆
x2
a1
2 +
y2
b1
2 =1（a1＞b1＞0）与双曲线
x2
a2
2 −
y2
b2
2 =1（a2＞0，b2＞0）有公共的焦点F1，F2，点P 是两条
曲线的交点，∠F1PF2= π
3，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，且e1e2＝1，则e1＝（
）
A．
1
3
B．
3
3
C．
1
2
D．
2
2
【解答】解：不妨设P 在第一象限，
再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，
由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，
解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2，
由∠F1PF2= π
3，
可得4c2 = s2 + t2 −2st ⋅cos π
3 = (a1 + a2)2 + (a1 −a2)2 −(a12 −a22) = a12 + 3a22．
∴4 = 1
e12 + 3
e22，由e1e2＝1，即e2 = 1
e1，
得：
1
e12 + 3e12 = 4，解得：e12 = 1（舍），或e12 = 1
3，
即e1 =
3
3 ．
故选：B．
8．（4 分）已知P 为双曲线：
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）右支上一点，A 为其左顶点，F（4 3，0）为其右焦点，满
足|AF|＝|PF|，∠PFA= π
3，则点F 到直线PA 的距离为（
）
A．
5 3
2
B．
7
2
C．
7 3
2
D．
15
2
【解答】解：由题意，A（﹣a，0），F（c，0），右准线方程为x= a2
c ，
|AF|＝|PF|，∠PFA＝60°，可得△APF 为等边三角形，
即有P（
c−a
2 ，
3
2 （a+c）），
由双曲线的第二定义可得
a+c
c−a
2 −a2
c
=
c
a，
（另解：将P 的坐标代入双曲线的方程可得
(c−a)2
4a2
−
3(a+c)2
4b2
=1，
由b2＝c2﹣a2）
化为c2﹣3ac﹣4a2＝0，
可得c＝4a，
由c＝4 3，可得a=
3，
则点F 到PA 的距离为
3
2 （a+c））=
3
2 •5 3 = 15
2 ．
故选：D．
9．（4 分）如图，四边形ABCD 中，AB＝BD＝DA＝4，BC＝CD＝2 2，现将△ABD 沿BD 折起，当二面角A﹣
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BD﹣C 的大小在[
π
3 ，
2π
3 ]时，直线AB 和CD 所成角为α，则cosα的最大值为（
）
A．
2 2−6
8
B．
6−2 2
4
C．
2 2+ 6
8
D．
2 2+ 6
4
【解答】解：取BD 中点O，连结AO，CO，
∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD= 2 2，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO= 2 3，
∴∠AOC 是二面角A﹣BD﹣C 的平面角，
以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，
B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），
设二面角A﹣BD﹣C 的平面角为θ，则θ∈[
π
3 ，
2π
3 ]，
∴A（2 3cosθ，0，2 3sinθ），
∴BA
→
=（2 3cosθ，2，2 3sinθ），CD
→
=（﹣2，2，0），
由AB、CD 的夹角为α，
则cosα= |BA
→
⋅CD
→
|
|AB
→
|⋅|CD
→
|
= |1−3cosθ|
2 2
，
∵θ∈[
π
3 ，
2π
3 ]，∴cosθ∈[−1
2，
1
2]，则|1−
3cosθ|∈[1 −3
2 ，1 +
3
2 ]．
∴cosα∈[
2 2−6
8
，
2 2+ 6
8
]．
即cosα的最大值为
2 2+ 6
8
，
故选：C．
10．（4 分）若长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB＝1，BC＝CC1=
2，E，F，G 分别为AD，AB，C1D1 上的点，
AE＝ED，AF＝FB，D1G
→
= λGC1
→
（λ≥4）分别记二面角G﹣EF﹣D1，G﹣EF﹣C，G﹣FB﹣C 的平面角为α，β，
γ，则（
）
A．γ＜β＜α
B．β＜γ＜α
C．α＜γ＜β
D．与λ的值有关
【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设λ＝4，则E（
2
2 ，0，0），F（2，
1
2，0），G（0，
4
5，2），
D1（0，0，2），B（2，1，0），C（0，2，0），
EF
→
=（
2
2 ，
1
2，0），EG
→
=（−2
2 ，
4
5，2），ED1
→
=（−2
2 ，0，2），
EC
→
=（−2
2 ，2，0），FB
→
=（0，
1
2，0），FG
→
=（−
2，
3
10，2），
设平面EFG 的法向量n
→=（x，y，z），
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则
n
→⋅EF
→
=
2
2 x + 1
2 y = 0
n
→⋅EG
→
=−
2
2 x + 4
5 y +
2z = 0
，取x＝1，得n
→=（1，−
2，
13
10），
设平面EFD1 的法向量m
→=（x，y，z），
则
m
→⋅EF
→
=
2
2 x + 1
2 y = 0
m
→⋅ED1
→
=−
2
2 x +
2z = 0
，取x＝1，得m
→=（1，−
2，
1
2），
∴cosα= |m
→⋅n
→|
|m
→|⋅|n
→|
=
73
6097 ≈0.935；
平面EFC 的法向量p
→=（0，0，1），
∴cosβ= |n
→⋅p
→|
|n
→|⋅|p
→|
=
13
469 ≈0.600；
设平面GBF 的法向量q
→=（x，y，z），
则
q
→⋅FB
→
= 1
2 y = 0
q
→⋅FG
→
=−
2x + 3
10 y +
2z = 0
，取x＝1，得q
→=（1，0，1），
平面BFC 的法向量p
→=（0，0，1），
∴cosγ= |q
→⋅p
→|
|q
→|⋅|p
→|
= 1
2 ≈0.707．
∴α＜γ＜β．
故选：C．
二、填空题：本大题共7 小题，多空题每小题6 分，单空题每小题6 分，共36 分。
11．（6 分）双曲线
y2
12 −
x2
3 =1 的焦点坐标是
（0，±
15）
，渐近线方程是
y＝±2x
．
【解答】解：双曲线
y2
12 −
x2
3 =1 中a2＝12，b2＝3，则c2＝a2+b2＝15．
且焦点在y 轴上，∴双曲线
y2
12 −
x2
3 =1 的焦点坐标是（0，±
15），渐近线方程是y=± a
b x =± 2x．
故答案为：（0，±
15），y＝±2x
12．
（6分）在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EH= 1
4EF，记OH
→
=xOA
→
+yOB
→
+zOC
→
，
则（x，y，z）＝
（
3
8 ，
1
2 ，
1
8）
，若OA
→
⊥OB
→
，OA
→
⊥OC
→
，∠BOC＝60°，且|OA
→
|＝|OB
→
|＝|OC
→
|＝1，则|OH
→
|
＝
66
8
．
【解答】解：∵在空间四边形OABC 中，E，F 分别是AB，BC 的中点，H 是EF 上一点，且EH= 1
4EF，
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∴OH
→
= OE
→
+ EH
→
= OA
→
+ AE
→
+ 1
4 EF
→
= OA
→
+ 1
2 AB
→
+ 1
4 (OF
→
−OE
→
)
= OA
→
+ 1
2 (OB
→
−OA
→
) + 1
4 × 1
2（OB
→
+ OC
→
−OA
→
−OB
→
）
= 3
8 OA
→
+ 1
2 OB
→
+ 1
8 OC
→
∵OH
→
=xOA
→
+yOB
→
+zOC
→
，
∴（x，y，z）＝（
3
8 ，
1
2 ，
1
8）．
∵OA
→
⊥OB
→
，OA
→
⊥OC
→
，∠BOC＝60°，且|OA
→
|＝|OB
→
|＝|OC
→
|＝1，
∴OH
→2（
5
8 OA
→
+
3
4 OB
→
+
1
8 OC
→
）2
= 25
64 OA
→2 + 9
16 OB
→2 + 1
64 OC
→2 +2× 3
4 × 1
8 × cos60°
= 25
64 + 9
16 + 1
64 + 3
32
= 66
64，
∴|OH
→
|=
66
8 ．
故答案为：（
3
8 ，
1
2 ，
1
8），
66
8 ．
13．（6 分）设复数z＝（
1−i
1+i）2018+（
2+i
1−2i）2019，其中i 为虚数单位，则z的虚部是
1
，|z|＝
2
．
【解答】解：∵
1−i
1+i =
(1−i)2
(1+i)(1−i) =−i，
2+i
1−2i =
( 2+i)(1+ 2i)
(1−2i)(1+ 2i) = i，
∴z＝（
1−i
1+i）2018+（
2+i
1−2i）2019＝（﹣i）2018+i2019＝i2+i3＝﹣1﹣i，
∴z =−1 + i，则z的虚部为1．
|z|=
2．
故答案为：1；2．
14．（6 分）一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是
15+
2
，体积是
7
2
．
【解答】解：由三视图知几何体是三棱柱与一个正方体一个长方体的组合体，正方体的棱长为1，如图：
几何体的表面积：8 × 1 × 1 + 2 × 1
2 × 1 × 1 + 1 ×
2 + 3 × 1 × 2 =15+
2．
∴几何体的体积V＝1× 1 × 2 + 1 × 1 × 1 + 1
2 × 1 × 1 × 1 = 7
2；
故答案为：15+
2；
7
2，
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15．（4 分）已知P（x，y）是抛物线y2＝8x 上的点，则(x −4)2 + (y −1)2 −x 的最大值是
5 +2
．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示；
由图形知，
(x −4)2 + (y −1)2 −x＝|PA|﹣x
＝|PA|﹣（|PM|﹣2）
＝|PA|﹣（|PF|﹣2）
＝|PA|﹣|PF|+2≤|AF|+2=
5 +2；
即(x −4)2 + (y −1)2 −x 的最大值是5 +2．
故答案为：5 +2．
16．（4 分）已知椭圆E：
x2
a2 +
y2
b2 =1 的左右焦点分别为F1，F2，动弦AB 过左焦点F1，若|F2A
→
−F2B
→
|≥|F2A
→
+ F2
→
B|
恒成立，则椭圆E 的离心率的取值范围是
（0，2 −1]
．
【解答】解：设|AF1|＝m，|BF1|＝n，|AB|＝m+n，
由椭圆的定义可得|AF2|＝2a﹣m，|BF2|＝2a﹣n，
由|F2A
→
−F2B
→
|≥|F2A
→
+ F2
→
B|，两边平方可得
|AF2|2+|BF2|2﹣2F2A
→
•F2B
→
≥|AF2|2+|BF2|2+2F2A
→
•F2B
→
，
可得F2A
→
•F2B
→
≤0，即有cos∠AF2B≤0，
由余弦定理可得|AF2|2+|BF2|2≤|AB|2，
可得（2a﹣m）2+（2a﹣n）2≤（m+n）2，
即为8a2﹣4a（m+n）≤2mn≤(m+n)2
2
，
解得m+n≥4（2 −1）a，
又AB⊥x 轴时，AB 取得最小值
2b2
a ，
可得4（2 −1）a≤2b2
a ，
即2（2 −1）a2≤b2＝a2﹣c2，
即c≤（2 −1）a，
由e= c
a（0＜e＜1），
则e 的范围为（0，2 −1]．
故答案为：（0，2 −1]．
17．（4 分）已知矩形ABCD 中，AB＝2AD＝4，E 为CD 的中点，AC，BE 交于点F，△ADE 沿着AE 向上翻折，
使点D 到D' 若D ′ 在平面ABCD 上的投影H 落在梯形ABCE 内部及边界上，则FH 的取值范围为
[ 2，26
3 ]
．
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【解答】解：
如图，M 为AB 中点，
∵矩形ABCD 中，AB＝2AD＝4，E 为CD 的中点，
∴AMED，MBCE 均为正方形，
可知在旋转过程中，AE⊥平面D′NM，
∴D′在平面ABCD 上的投影H 落在线段MN 上，
故FH 的最小值为FG=
2，
最大值为FN 的长，
FN 的长可由下列方法求得：
法1：在Rt△NEF 中，NE=
2，
∵EF：BF= 1
2 EM：BC =1：2，
∴EF = 2 2
3 ，
由勾股定理求得FN=
26
3 ；
法2：
以M 为原点建立坐标系，可知N（﹣1，1），
直线AC 的方程为：y= 1
2 (x + 2)，
直线BE 的方程为：y＝﹣x+2，
联立可得F（
2
3 ，
4
3），
∴FN=
26
3 ，
故答案为[ 2，26
3 ]．
三、解答题：本大题共5 小题，共74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（14 分）已知a＞0，设命题p：当x∈[
1
3，3]时，函数f（x）＝x+ 1
x ＞1
a恒成立，命题q：双曲线
x2
a2 −
y2
8 =1 的离
心率e∈（1，3]．
（Ⅰ）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若命题p 和q 中有且只有一个是真命题，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）命题p 为真命题，即当x∈[
1
3，3]时，函数f（x）＝x+ 1
x ＞1
a恒成立，
由y＝x+ 1
x ≥2，当且仅当x＝1 时，y 取得最小值2，即有
1
a ＜2，解得a＞1
2；
（Ⅱ）双曲线
x2
a2 −
y2
8 =1 的离心率e∈（1，3]，可得
8+a2
a
∈（1，3]，
解得a≥1，
命题p 和q 中有且只有一个是真命题，
可得p 真q 假，可得a＞1
2且0＜a＜1，即
1
2 ＜a＜1：
p 假q 真，可得0＜a≤1
2且a≥1，即为a∈∅，
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综上可得a 的范围是（
1
2，1）．
19．（15 分）如图，在四面体O﹣ABC 中，∠AOB＝90°，∠BOC＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝4．
（Ⅰ）求点C 到平面OAB 的距离；
（Ⅱ）求异面直线OA 与BC 所成角的大小．
【解答】解：（Ⅰ）作CH⊥平面OAB 于H，连接OH，
作HE⊥OA 于E，HF⊥OB 于F，连接CE，CF，
∴AO⊥平面CEH，BO⊥平面CFH，
∴CE⊥OA，CF⊥OB，则△CEO≌△CFO．
∵OE＝OF，四边形OEHF 为正方形，∴OH 是∠AOB 的角平分线，
∴cos∠COE＝cos∠COH•cos∠EOH．
∴
1
2 =
2
2 cos∠COH，即cos∠COH=
2
2 ，则∠COH＝45°．
∴CH＝4× sin45° = 2 2；
（Ⅱ）记OA
→
= a
→，OB
→
= b
→
，OC
→
= c
→，则BC
→
= c
→−b
→
，
记＜a
→，c
→−b
→
＞=θ，
∵a
→⋅(c
→−b
→
) = |a
→| ⋅|c
→−b
→
| ⋅cosθ，
又a
→⋅(c
→−b
→
) = a
→⋅c
→−a
→⋅b
→
= 4 × 4 × cos60° = 8，
|a
→| = | c
→−b
→
| = 4，
∴cosθ=
8
4×4 = 1
2，即θ＝60°．
∴异面直线OA 与BC 所成角的大小为60°．
20．（15 分）如图，已知多面体PABCD 中，AD∥BC，AD⊥平面PAB，AD＝2BC＝4，AB＝1，PA＝2，∠PAB＝
60°．
（1）证明：PB⊥平面ABCD；
（2）求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）在△PBA 中，PA＝2，AB＝1，∠PAB＝60°，
∴PB2＝4+1﹣2×2×1×cos60°＝3，∴PB=
3，
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∴PB2+AB2＝PA2，∴PB⊥AB，
∵AD∥BC，∴A，B，C，D 四点共面，
又AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
∴AD⊥PB，
又PB⊥AB，AD∩AB＝A，
∴PB⊥平面ABCD．
解：（2）在Rt△PBC 中，PC=
7，在Rt△PAD 中，PD＝2 5，
在直角梯形ABCD 中，CD=
5，
在△PDC 中，cos∠PDC= (2 5)2+( 5)2−( 7)2
2×2 5× 5
= 9
10，
sin∠PCD= 1
2 × 2 5 ×
5 × 19
10 =
19
2 ，S△ACD= 1
2 × 4 × 1 =2，
设直线PA 与平面PCD 所成角为θ，设点A 到平面PCD 的距离为h，
∵VA﹣PDC＝VP﹣ACD，∴
1
3 × S△PDC × h =
1
3 × S△ACD × PB，
即
1
3 ×
19
2
× h =
1
3 × 2 ×
3，
解得h= 4 3
19，sinθ= h
PA = 2 3
19 = 2 57
19 ，
∴直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值为
2 57
19 ．
21．（15 分）已知点P 是圆M：（x﹣1）2+y2＝8 上的动点，定点N（﹣1，0），线段PN 的垂直平分线交PM 于点Q．
（Ⅰ）求点Q 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）过点N 作两条斜率之积为−1
2的直线l1，l2，l1，l2 分别与轨迹E 交于A，B 和C，D，记得到的四边形ACBD
的面积为S，求S 的最大值．
【解答】解：（1）线段PN 的垂直平分线交PM 于点Q，
∴|QN|＝|QP|，
∴|QM|+|QN|＝|QP|+|QM|＝|MP|＝2 2＞|MN|＝2
∴点Q 的轨迹是以M，N 为焦点的椭圆，
∴2a＝2 2，2c＝2，
∴a=
2，c＝1，b＝1，
∴点Q 的轨迹E 的方程为
x2
2 +y2＝1，
（Ⅱ）设其中的一条直线AB 的方程为y＝k（x+1）代入椭圆方程可得，
（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，
∴|AB|= 2 2(1+k2)
1+2k2
，
设C（x1，y1），D（x2，y2），则CD 的方程为y=−1
2k（x+1），
即x＝2ky﹣1，代入椭圆方程可得（4k2+2）y2+4ky﹣1＝0，
则|y1﹣y2|=
(y1 + y2)2 −4y1y2 =
2⋅4k2+1
2k2+1
设C，D 到直线AB 的距离分别为d1 和d2，
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则d1+d2= |kx1−y1+k|+|kx2−y2+k|
1+k2
= |k(x1−x2)−(y1−y2)|
1+k2
= (2k2+1)|y1−y2|
1+k2
=
2⋅4k2+1
1+k2
，
∴S
1
2|AB|（d1+d2）= 2 1+k2⋅4k2+1
2k2+1
=2
4k4+5k2+1
4k4+4k2+1 =2 1 +
k2
4k4+4k2+1 =2 1 +
1
4k2+ 1
k2+4 ≤2 9
8 = 3 2
2 ，
当k2= 1
2时取等号
22．（15 分）如图，点P（x0，y0）在抛物线C：y＝x2 外，过点P 作抛物线C 的两切线，设两切点分别为A（x1，
x12），B（x2，x22），记线段AB 的中点为M．
（Ⅰ）求切线PA，PB 的方程；
（Ⅱ）证明：线段PM 的中点N 在抛物线C 上；
（Ⅲ）设点P 为圆D：x2+（y+2）2＝1 上的点，当
|AB|
|PM|取最大值时，求点P 的纵坐标．
【解答】解：（Ⅰ）∵y＝x2，
∴y′＝2x，
切线PA 的方程为y﹣x12＝2x1（x﹣x1），即y＝2x1x﹣x12，
同理可得，切线PB 的方程为y＝2x2x﹣x22，
证明：（Ⅱ）∵点P 既在切线PA 上，也切线PB 上，
由（Ⅰ）可得y0＝2x0x1﹣x12，y0＝2x0x2﹣x22，
故x0= x1+x2
2
，y0＝x1x2，
又点M 的坐标为（
x1+x2
2
，
x1
2+x2
2
2
），
∴点N 的纵坐标为yN= 1
2（
x1
2+x2
2
2
+x1x2）＝（
x1+x2
2
）2，
即点N 的坐标为（
x1+x2
2
，（
x1+x2
2
）2），
即线段PM 的中点N 在抛物线C 上
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，|AB|=
(x1 −x2)2 + (x1
2 −x2
2)2 =
(x1 −x2)2[1 + (x1 + x2)2]，
|PM|= (x1−x2)2
2
，
∴
|AB|
|PM| =2
1+(x1+x2)2
(x1−x2)2
=
1+4x0
2
x0
2−y0
=
4 −
4y0+1
y0
2+5y0+3，
设t＝4y0+1，则
4y0+1
y0
2+5y0+3 =
16t
t2+18t+29 =
16
t+29
t +18
，
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当t=−
29∈[﹣11．﹣3]时，即y0= −29−1
4
时，
|AB|
|PM|取最大值
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2019-2020 学年天津一中高二（上）期末数学试卷
一.选择题：（每小题3 分，共30 分）
1．（3 分）（2018 秋•和平区校级期末）已知椭圆
x2
25 +
y2
16 =1 的左右焦点分别为F1、F2，点P 在椭圆上，若P、F1、
F2 是一个直角三角形的三个顶点，则点p 到x 轴的距离为（
）
A．
9
5
B．4
C．
9 7
5
D．
16
5
2．（3 分）（2018 秋•和平区校级期末）已知双曲线
y2
a2 −
x2
b2 =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（3，2），且双曲
线的一个焦点在抛物线x2＝4 7y 的准线上，则双曲线的方程为（
）
A．
x2
21 −
y2
28 =1
B．
x2
28 −
y2
21 =1
C．
y2
4 −
x2
3 =1
D．
x2
3 −
y2
4 =1
3．（3 分）（2010•浙江）设F1、F2 分别为双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点
P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2 到直线PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（
）
A．3x±4y＝0
B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0
D．5x±4y＝0
4．（3 分）（新课标Ⅰ）已知方程
x2
m2+n −
y2
3m2−n =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范
围是（
）
A．（﹣1，3）
B．（﹣1，3）
C．（0，3）
D．（0，3）
5．（3 分）（2010•山东）已知抛物线y2＝2px（p＞0），过其焦点且斜率为1 的直线交抛物线与A、B 两点，若线段
AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（
）
A．x＝1
B．x＝﹣1
C．x＝2
D．x＝﹣2
6．（3 分）（2018 秋•和平区校级期末）一排9 个座位坐了3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为
（
）
A．108
B．216
C．648
D．1296
7．（3 分）（2009•黑龙江）甲、乙两人从4 门课程中各选修2 门，则甲、乙所选的课程中恰有1 门相同的选法有
（
）
A．6 种
B．12 种
C．24 种
D．30 种
8．（3 分）（2018 秋•和平区校级期末）（x+1）6（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a11x11，则a1+a2+…+a11＝（
）
A．﹣64
B．﹣65
C．64
D．65
9．（3 分）（2018 秋•和平区校级期末）已知F 为抛物线y2＝4x 的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线l1 与直线l2，
直线l1 与抛物线交于A、B 两点，直线l2 与抛物线交于C、D 两点，则|AB|+|CD|的最小值为（
）
A．10
B．12
C．14
D．16
10．（3 分）（2018•榆林二模）过双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B
两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（
）
A．（1，2）
B．（2，2 +
2）
C．（2，2）
D．（1，2）∪（2 +
2，+∞）
二.填空题：（每小题4 分，共24 分）
11．（4 分）（2018 秋•和平区校级期末）分别标有1、2、3、4 的4 张卡片，放入分别标号为1、2、3、4 的4 个盒
中，每盒不空，且3 号卡片不能放入3 号盒中，则有
种不同的方法．
12．（4 分）（2011•西安校级模拟）从5 名男医生．4 名女医生中选3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男．女
医生都有，则不同的组队方案共有
种（数字回答）．
13．（4 分）（2012•陕西）若（a+x）5 展开式中x2 的系数为10，则实数a＝
．
14．（4 分）（2018 秋•和平区校级期末）若抛物线x2＝2py（p＞0）的准线经过双曲线y2﹣x2＝1 的一个焦点，则p
＝
．
15．（4 分）（2018 秋•和平区校级期末）P 为双曲线x2﹣y2＝1 右支上的一个动点．若点P 到直线x﹣y+1＝0 的距离
大于m 恒成立，则是实数m 的最大值为
．
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16．（4 分）（2018 秋•和平区校级期末）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），A、B 为椭圆左右顶点，F 为左焦点，点
P 为椭圆上一点，且PF⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，
则椭圆的离心率为
．
三.解答题：（共4 题，46 分）
17．（2018 秋•和平区校级期末）已知F 为椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左焦点，离心率为
2
2 ，过F 且垂直于x 轴
的直线被椭圆截得的线段长为2．
（1）求该椭圆方程；
（2）设直线l 同时与椭圆和抛物线y2＝4x 各恰有一个公共交点，求直线l 的方程．
18．（2018 秋•和平区校级期末）过椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的右焦点F 作直线x+y−
3 =0 交椭圆于M、N 两点，
H 为线段MN 的中点，且OH 的斜率为
1
4，设点A（1，
1
2）．
（1）求该椭圆的方程；
（2）若点P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点G 的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于B、C 两点，求△ABC 面积的最大值．
19．（2018 秋•和平区校级期末）已知点M（﹣2，0）、N（2，0）是平面上的两点，动点P 满足|PM|+|PN|＝6
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）若（1﹣cos∠MPN）|PM|•|PN|＝2，求点P 的坐标．
20．（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，
3
2 ），P4（1，
3
2 ）中恰有三点在椭圆C 上．
（1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P2 点且与C 相交于A，B 两点．若直线P2A 与直线P2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．
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2019-2020 学年天津一中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（每小题3 分，共30 分）
1．（3 分）（2018 秋•和平区校级期末）已知椭圆
x2
25 +
y2
16 =1 的左右焦点分别为F1、F2，点P 在椭圆上，若P、F1、
F2 是一个直角三角形的三个顶点，则点p 到x 轴的距离为（
）
A．
9
5
B．4
C．
9 7
5
D．
16
5
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设椭圆短轴的一个端点为M．根据椭圆方程求得c，进而判断出∠F1MF2＜90°，即∠PF1F2＝90°或∠
PF2F1＝90°．令x＝±3，进而可得点P 到x 轴的距离．
【解答】解：设椭圆短轴的一个端点为M．
由于a＝5，b＝4，
∴c＝3＜b；
∴∠F1MF2＜90°，
∴只能∠PF1F2＝90°或∠PF2F1＝90°．
令x＝±3，得
y= b2
a = 16
5 ，
故选：D．
【点评】本题主要考查了椭圆的基本应用．考查了学生推理和实际运算能力．是基础题．
2．（3 分）（2018 秋•和平区校级期末）已知双曲线
y2
a2 −
x2
b2 =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（3，2），且双曲
线的一个焦点在抛物线x2＝4 7y 的准线上，则双曲线的方程为（
）
A．
x2
21 −
y2
28 =1
B．
x2
28 −
y2
21 =1
C．
y2
4 −
x2
3 =1
D．
x2
3 −
y2
4 =1
【考点】KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意可得渐近线的斜率，即为a，b 的关系式，求得抛物线的准线方程，可得c，由a，b，c 的关系，
解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的方程．
【解答】解：双曲线
y2
a2 −
x2
b2 =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（3，2），
可得渐近线的斜率为k= a
b =
3
2 ，
双曲线的一个焦点在抛物线x2＝4 7y 的准线y=−
7上，
可得c=
7，
即a2+b2＝7，
解得a=
3，b＝2，
则双曲线的方程为：
y2
4 −
x2
3 =1．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程和性质，运用渐近线方程和斜率公式是解题的关键，
属于基础题．
3．（3 分）（2010•浙江）设F1、F2 分别为双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点
P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2 到直线PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（
）
A．3x±4y＝0
B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0
D．5x±4y＝0
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C，
【解答】解：依题意|PF2|＝|F1F2|，可知三角形PF2F1 是一个等腰三角形，F2 在直线PF1 的投影是其中点，由勾股
定理知
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可知|PF1|＝2 4c2 −4a2 =4b
根据双曲定义可知4b﹣2c＝2a，整理得c＝2b﹣a，代入c2＝a2+b2 整理得3b2﹣4ab＝0，求得
b
a =
4
3
∴双曲线渐近线方程为y＝±
4
3x，即4x±3y＝0
故选：C．
【点评】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题
4．（3 分）（新课标Ⅰ）已知方程
x2
m2+n −
y2
3m2−n =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范
围是（
）
A．（﹣1，3）
B．（﹣1，3）
C．（0，3）
D．（0，3）
【考点】KB：双曲线的标准方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知可得c＝2，利用4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2＝1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求
n 的取值范围．
【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c＝2，
当焦点在x 轴上时，
可得：4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝1，
∵方程
x2
m2+n −
y2
3m2−n =1 表示双曲线，
∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，
解得：﹣1＜n＜3，即n 的取值范围是：（﹣1，3）．
当焦点在y 轴上时，
可得：﹣4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝﹣1，
无解．
故选：A．
【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．
5．（3 分）（2010•山东）已知抛物线y2＝2px（p＞0），过其焦点且斜率为1 的直线交抛物线与A、B 两点，若线段
AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（
）
A．x＝1
B．x＝﹣1
C．x＝2
D．x＝﹣2
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先假设A，B 的坐标，根据A，B 满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据
直线的斜率和线段AB 的中点的纵坐标的值可求出p 的值，进而得到准线方程．
【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12＝2px1，y22＝2px2，
两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）＝2p（x1﹣x2），
又因为直线的斜率为1，所以
y1−y2
x1−x2
=1，
所以有y1+y2＝2p，又线段AB 的中点的纵坐标为2，
即y1+y2＝4，所以p＝2，所以抛物线的准线方程为x=−p
2 =−1．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识．
6．（3 分）（2018 秋•和平区校级期末）一排9 个座位坐了3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为
（
）
A．108
B．216
C．648
D．1296
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5O：排列组合．
【分析】根据题意，完成任务可分为两步，①、每个三口之家内部排序，②、三个家庭之间排序，计算每一步
的情况数目，由分步计数原理计数公式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2 步进行：
①、将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有A33 种排法；
三个三口之家共有（A33）3 种排法，
②、将三个整体元素进行排列，共有A33 种排法
故不同的作法种数为A33×（A33）3＝（A33）4＝（6）4＝1296；
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第29页（共926页）
故选：D．
【点评】本题考查排列、组合的运用，涉及分步计数原理的应用，对于相邻问题，可用捆绑法分析解
7．（3 分）（2009•黑龙江）甲、乙两人从4 门课程中各选修2 门，则甲、乙所选的课程中恰有1 门相同的选法有
（
）
A．6 种
B．12 种
C．24 种
D．30 种
【考点】D5：组合及组合数公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2 门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，
进而由事件间的相互关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，分两步，
①由题意可得，所有两人各选修2 门的种数C42C42＝36，
②两人所选两门都相同的有为C42＝6 种，都不同的种数为C42＝6，
故选：C．
【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．
8．（3 分）（2018 秋•和平区校级期末）（x+1）6（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a11x11，则a1+a2+…+a11＝（
）
A．﹣64
B．﹣65
C．64
D．65
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．
【分析】在所给的等式中，令x＝0，求得a0 的值，再令x＝1，可得a1+a2+…+a11 的值．
【解答】解：∵（x+1）6（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a11x11，令x＝0，可得a0＝1，
再令x＝1，1+a1+a2+…+a11＝﹣64，∴a1+a2+…+a11＝﹣65，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求
展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
9．（3 分）（2018 秋•和平区校级期末）已知F 为抛物线y2＝4x 的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线l1 与直线l2，
直线l1 与抛物线交于A、B 两点，直线l2 与抛物线交于C、D 两点，则|AB|+|CD|的最小值为（
）
A．10
B．12
C．14
D．16
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【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意可判断当A 与D，B，C 关于x 轴对称，即直线CD 的斜率为1，|AB|+|CD|最小，根据弦长公
式计算即可．
【解答】解：由l1⊥l2，直线l1 与C 交于A、B 两点，
直线l2 与C 交于C、D 两点，
要使|AB|+|CD|最小，
则A 与D，B，C 关于x 轴对称，即直线CD 的斜率为1，
又直线l2 过点（1，0），
则直线l2 的方程为y＝x﹣1，
联立方程组y = x −1
y2 = 4x ，则x2﹣6x+1＝0，
∴x1+x2＝6，x1x2＝1，
∴|CD|=
1 + k2•|x1﹣x2|=
2• 36 −4 =8，
∴|AB|+|CD|的最小值为2|CD|＝16．
故选：D．
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【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，注意运用韦达定理和弦长公式，属于中档
题．
10．（3 分）（2018•榆林二模）过双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B
两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（
）
A．（1，2）
B．（2，2 +
2）
C．（2，2）
D．（1，2）∪（2 +
2，+∞）
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【专题】35：转化思想；4C：分类法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设出双曲线的左焦点，令x＝﹣c，代入双曲线的方程，解得A，B 的坐标，讨论∠DAB 为钝角，可得AD
→
•AB
→
＜0，或∠ADB 为钝角，可得DA
→
•DB
→
＜0，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式和范围，即可得到所
求范围．
【解答】解：设双曲线C：x2
a2 −y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的左焦点F1（﹣c，0），
令x＝﹣c，可得y＝±
c2
a2 −1 =±
b2
a ，
可得A（﹣c，
b2
a ），B（﹣c，−b2
a ），
又设D（0，b），可得AD
→
=（c，b−b2
a ），
AB
→
=（0，−2b2
a ），DB
→
=（﹣c，﹣b−b2
a ），
由△ABD 为钝角三角形，可能∠DAB 为钝角，可得AD
→
•AB
→
＜0，
即为0−2b2
a •（b−b2
a ）＜0，
化为a＞b，即有a2＞b2＝c2﹣a2，
可得c2＜2a2，即e= c
a ＜2，
又e＞1，可得1＜e＜2，
可能△ADB 中，∠ADB 为钝角，可得DA
→
•DB
→
＜0，
即为c2﹣（
b2
a +b）（
b2
a −b）＜0，
化为c4﹣4a2c2+2a4＞0，
由e= c
a，可得e4﹣4e2+2＞0，
又e＞1，可得e＞2 +
2．
综上可得，e 的范围为（1，2）∪（2 +
2．+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用转化思想，以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属
于中档题．
二.填空题：（每小题4 分，共24 分）
11．（4 分）（2018 秋•和平区校级期末）分别标有1、2、3、4 的4 张卡片，放入分别标号为1、2、3、4 的4 个盒
中，每盒不空，且3 号卡片不能放入3 号盒中，则有
18
种不同的方法．
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【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5O：排列组合．
【分析】根据题意，分2 步进行分析：①，3 号卡片可以放入1、2、4 号盒子中，有3 种放法；②，将剩下的3
张卡片全排列，放入剩下的3 个盒子中，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2 步进行分析：
①，3 号卡片不能放入3 号盒中，则3 号卡片可以放入1、2、4 号盒子中，有3 种放法；
②，将剩下的3 张卡片全排列，放入剩下的3 个盒子中，有A33＝6 种放法；
故有3×6＝18 种不同的放法；
故答案为：18
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
12．（4 分）（2011•西安校级模拟）从5 名男医生．4 名女医生中选3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男．女
医生都有，则不同的组队方案共有
70
种（数字回答）．
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【专题】11：计算题．
【分析】不同的组队方案：选3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：
一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答．
【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42＝5×6＝30 种，
两男一女，有C52C41＝10×4＝40 种，共计70 种
间接法：任意选取C93＝84 种，其中都是男医生有C53＝10 种，
都是女医生有C41＝4 种，于是符合条件的有84﹣10﹣4＝70 种．
故答案为：70．
【点评】直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法，这种问题是排列组合中典型的问题，注
意表示过程中数字不要弄混．
13．（4 分）（2012•陕西）若（a+x）5 展开式中x2 的系数为10，则实数a＝
1
．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】直接利用二项式定理的展开式的通项公式，求出x2 的系数是10，得到方程，求出a 的值．
【解答】解：（a+x）5 展开式中x2 的系数为C5
2a3，因为（a+x）5 展开式中x2 的系数为10，
所以C5
2a3 =10，解得a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二项式定理系数的性质，考查计算能力．
14．（4 分）（2018 秋•和平区校级期末）若抛物线x2＝2py（p＞0）的准线经过双曲线y2﹣x2＝1 的一个焦点，则p
＝
2 2
．
【考点】KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标，对于抛物线x2＝2py（p＞0），用p 表示其准线
方程，结合题意列出方程即可得p 的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：y2﹣x2＝1，
则其焦点在y 轴上，且c=
2，
则抛物线x2＝2py（p＞0）焦点坐标为（0，±
p
2），
p
2 =
2，解可得p＝2 2；
故答案为：2 2．
【点评】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的焦点坐标．
15．（4 分）（2018 秋•和平区校级期末）P 为双曲线x2﹣y2＝1 右支上的一个动点．若点P 到直线x﹣y+1＝0 的距离
大于m 恒成立，则是实数m 的最大值为
2
2
．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】双曲线x2﹣y2＝1 的渐近线方程为x±y＝0，c 的最大值为直线x﹣y+1＝0 与直线x﹣y＝0 的距离．
【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2＝1 的渐近线方程为x±y＝0，
由点P 到直线x﹣y+1＝0 的距离大于m 恒成立，
∴m 的最大值为直线x﹣y+1＝0 与渐近线x﹣y＝0 的距离，即d=
|1|
12+12 =
2
2 ．
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故答案为：
2
2 ．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查两平行线之间的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
16．（4 分）（2018 秋•和平区校级期末）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），A、B 为椭圆左右顶点，F 为左焦点，点
P 为椭圆上一点，且PF⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，
则椭圆的离心率为
1
3
．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意可得F，A，B 的坐标，设出直线AE 的方程为y＝k（x+a），分别令x＝﹣c，x＝0，可得M，E
的坐标，再由中点坐标公式可得H 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求
值．
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE 的方程为y＝k（x+a），
令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），
设OE 的中点为H，可得H（0，
ka
2 ），
由B，H，M 三点共线，可得kBH＝kBM，
即为
ka
2
−a =
k(a−c)
−c−a ，
化简可得
a−c
a+c =
1
2，即为a＝3c，
可得e= c
a = 1
3．
故答案为：
1
3
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件，
属于中档题．
三.解答题：（共4 题，46 分）
17．（2018 秋•和平区校级期末）已知F 为椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左焦点，离心率为
2
2 ，过F 且垂直于x 轴
的直线被椭圆截得的线段长为2．
（1）求该椭圆方程；
（2）设直线l 同时与椭圆和抛物线y2＝4x 各恰有一个公共交点，求直线l 的方程．
【分析】（1）由e= c
a =
2
2 ，求得a2＝2b2，结合2× b2
a =
2，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程由△＝0，求得m2﹣2k2﹣1＝0，代入抛物线方程，由△＝0，求得km﹣1＝0，即
可求得k 和m 的值，求得直线方程．
【解答】解：（1）由e= c
a =
2
2 ，得a2＝2b2，
方程椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）中，令x＝c，可得y＝±
b2
a
即2× b2
a =
2，得a=
2，b＝1，
得椭圆方程
x2
2 + y2 = 1；
（2）由题显然直线存在斜率，
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∴设其方程为y＝kx+m，…………………（5 分）
∴y = kx + m
x2 + 2y2 = 2，整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
由△＝0，化简得：m2﹣2k2﹣1＝0，…………………（8 分）
代入抛物线C2：y2＝4x，得到
k
4y2﹣y+m＝0，
k＝0 时，y＝m
△＝0，化简得：km﹣1＝0（k≠0），…………………（10 分）
当m2 = 2k2 + 1
km = 1
⇒k =
2
2
m =
2
，k =−2
2
m =−
2
当k＝0 时，m＝±1
∴直线的方程为y=
2
2 x +
2或y=−
2
2 x −
2或y＝±1…12 分
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
18．（2018 秋•和平区校级期末）过椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的右焦点F 作直线x+y−
3 =0 交椭圆于M、N 两点，
H 为线段MN 的中点，且OH 的斜率为
1
4，设点A（1，
1
2）．
（1）求该椭圆的方程；
（2）若点P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点G 的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于B、C 两点，求△ABC 面积的最大值．
【分析】（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），结合点差法和直线的斜率，以及OH 的斜率为
1
4，可得4b2＝a2，再
根据右焦点F 作在直线x+y−
3 =0 上，求出c，即可求出椭圆的方程；
（2）设G（x，y），P（x′，y′），则有
2x = x' + 1
2y = y' + 1
2
，即
x' = 2x −1
y' = 2y −1
2
，代入为
x2
4 +y2＝1 中，即可求出；
（3）设直线的方程与椭圆联立，利用弦长公式求出CB，A 到CB 的距离，然后求解三角形的面积，求出最大值
即可．
【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2）则
x1
2
a2 +
y1
2
b2 = 1
x2
2
a2 +
y2
2
b2 = 1
，两式相减可得，
1
a2（x12﹣x22）+ 1
b2（y12﹣y22）＝0，
即
1
a2（x1+x2）（x1﹣x2）+ 1
b2（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，
∵直线x+y−
3 =0 交椭圆于M、N 两点，H 为线段MN 的中点，且OH 的斜率为
1
4，
∴
y1−y2
x1−x2
=−1，
y1+y2
x1+x2
=
1
4，
∴4b2＝a2，①
∵右焦点F 作在直线x+y−
3 =0 上，
令y＝0，可得x=
3，
∴c=
3，
∵a2﹣b2＝c2＝3，②，
由①②，解得a2＝4，b2＝1，
∴椭圆方程为
x2
4 +y2＝1；
（2）设G（x，y），P（x′，y′），则有
2x = x' + 1
2y = y' + 1
2
，即
x' = 2x −1
y' = 2y −1
2
，代入为
x2
4 +y2＝1 中，
整理可得
(2x−1)2
4
+（2y−1
2）2＝1，
故线段PA 的中点G 的轨迹方程为
(2x−1)2
4
+（2y−1
2）2＝1，
（3）当直线BC 垂直x 轴时，此时|BC|＝2，d＝1，则S△ABC＝1，
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当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y＝kx，
联立方程组可得
y = kx
x2
4 + y2 = 1，消y 整理可得（1+4k2）x2﹣4＝0，
解得x1=−
2
1+4k2，x2=
2
1+4k2，
则|BC|=
1 + k2•|x1﹣x2|= 4 1+k2
1+4k2，
点A 到直线BC 的距离d=
|k−1
2|
1+k2，
∴S△ABC= 1
2|BC|•d= 1
2•
|k−1
2|
1+k2•
4 1+k2
1+4k2 =
|2k−1|
1+4k2
=
4k2−4k+1
4k2+1
=
1 −
4k
4k2+1 =
1 −
4
4k+1
k
，
∵4k+ 1
k∈（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞），
当且仅当4k+ 1
k =−4 时，即k=−1
2，取的最大值，最大值为2，
综上所述△ABC 面积的最大值2．
【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，
考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用，属于中档题．
19．（2018 秋•和平区校级期末）已知点M（﹣2，0）、N（2，0）是平面上的两点，动点P 满足|PM|+|PN|＝6
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）若（1﹣cos∠MPN）|PM|•|PN|＝2，求点P 的坐标．
【分析】（1）设动点P（x，y），推导出点P 是以M，N 为焦点的椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），且a＝3，c＝2，
由此能求出点P 的轨迹方程．
（2）在△MPN 中，cos∠MPN= |PM|2+|PN|2−16
2×|PM|×|PN|
= 10−|PM|⋅|PN|
|PM|⋅|PN|
，由（1﹣cos∠MPN）|PM|•|PN|＝2，推导出||PM|
﹣|PN||＝2 3，从而点P 在以M（﹣2，0）、N（2，0）为焦点的双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）上，联立
x2
9 + y2
5 = 1
x2
3 −y2 = 1
，
能求出点P 的坐标．
【解答】解：（1）设动点P（x，y），
∵点M（﹣2，0）、N（2，0）是平面上的两点，动点P 满足|PM|+|PN|＝6
∴点P 是以M，N 为焦点的椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），且a＝3，c＝2，
∴点P 的轨迹方程为
x2
9 +
y2
5 =1．
（2）在△MPN 中，cos∠MPN= |PM|2+|PN|2−16
2×|PM|×|PN|
= (|PM|+|PN|)2−2×|PM|×|PN|−16
2×|PM|×|PN|
= 10−|PM|⋅|PN|
|PM|⋅|PN|
，
∵（1﹣cos∠MPN）|PM|•|PN|＝2，
∴（1−10−|PM|⋅|PN|
|PM|⋅|PN|
）•|PM|•|PN|＝2，
|PM| ⋅|PN| = 6
|PM| + |PN| = 6，
∴||PM|﹣|PN||＝2 3，
∴点P 在以M（﹣2，0）、N（2，0）为焦点的双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）上，
联立
x2
9 + y2
5 = 1
x2
3 −y2 = 1
，
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第35页（共926页）
解得点P 的坐标P（
3 3
2 ，
5
2 ），或P（
3 3
2 ，−5
2 ）或P（−3 3
2 ，
5
2 ）或P（−3 3
2 ，−5
2 ）．
【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查点的坐标的求法，考查椭圆、双曲线、直线方程等基础知识，考查
运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
20．（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，
3
2 ），P4（1，
3
2 ）中恰有三点在椭圆C 上．
（1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P2 点且与C 相交于A，B 两点．若直线P2A 与直线P2B 的斜率的和为﹣1，证明：l 过定点．
【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，
3
2 ），P4（1，
3
2 ）三点在椭圆C 上．把P2（0，1），
P3（﹣1，
3
2 ）代入椭圆C，求出a2＝4，b2＝1，由此能求出椭圆C 的方程．
（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y＝kx+t，（t≠1），联立y = kx + t
x2 + 4y2 −4 = 0，得（1+4k2）
x2+8ktx+4t2﹣4＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l 过定点（2，﹣1）．
【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，
3
2 ），P4（1，
3
2 ）两点必在椭圆C 上，
又P4 的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），
∴P2（0，1），P3（﹣1，
3
2 ），P4（1，
3
2 ）三点在椭圆C 上．
把P2（0，1），P3（﹣1，
3
2 ）代入椭圆C，得：
1
b2 = 1
1
a2 + 3
4b2 = 1
，解得a2＝4，b2＝1，
∴椭圆C 的方程为
x2
4 + y2 =1．
证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x＝m，A（m，yA），B（m，﹣yA），
∵直线P2A 与直线P2B 的斜率的和为﹣1，
∴kP2A + kP2B = yA−1
m
+ −yA−1
m
= −2
m =−1，
解得m＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设l：y＝kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立y = kx + t
x2 + 4y2 −4 = 0，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，
x1 + x2 = −8kt
1+4k2，x1x2= 4t2−4
1+4k2，
则kP2A + kP2B = y1−1
x1
+ y2−1
x2
= x2(kx1+t)−x2+x1(kx2+t)−x1
x1x2
=
8kt2−8k−8kt2+8kt
1+4k2
4t2−4
1+4k2
=
8k(t−1)
4(t+1)(t−1) =−1，又t≠1，
∴t＝﹣2k﹣1，此时△＝﹣64k，存在k，使得△＞0 成立，
∴直线l 的方程为y＝kx﹣2k﹣1，
当x＝2 时，y＝﹣1，
∴l 过定点（2，﹣1）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知
识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．
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2019-2020 学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）如图是某班篮球队队员身高（单位：厘米）的茎叶图，则该篮球队队员身高的众数是（
）
A．168
B．181
C．186
D．191
2．（5 分）命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是（
）
A．若a2＞b2，则a＞b，
B．若a≤b，则a2≤b2
C．若a2≤b2，则a≤b
D．若a＞b，则a2≤b2
3．（5 分）已知抛物线C 的顶点在坐标原点焦点F 在x 轴上，且抛物线C 上横坐标为4 的点P 到焦点F 的距离为5，
则抛物线C 的标准方程是（
）
A．y2＝8x
B．y2＝4x
C．y2＝2x
D．y2＝x
4．（5 分）在一次摸取奖票的活动中，已知中奖的概率为2%，若票仓中有足够多的票则下列说法正确的是（
）
A．若只摸取一张票，则中奖的概率为1%
B．若只摸取一张票，则中奖的概率为2%
C．若100 个人按先后顺序每人摸取1 张票则一定有2 人中奖
D．若100 个人按先后顺序每人摸取1 张票，则第一个摸票的人中奖概率最大
5．（5 分）阅读如图所示的算法语句如果输入的A，B 的值分别为1，2，那么输出的A，B 的值分别为（
）
A．1，1
B．2，2
C．1，2
D．2，1
6．（5 分）已知数据x1，x2，x3 的方差s2＝4，则x1+2，x2+2，x3+2 的方差为（
）
A．4
B．6
C．16
D．36
7．（5 分）如图是某超市一年中各月份的收入与支出（单位：万元）情况的条形统计图．已知利润为收入与支出的
差
，
即
利
润
＝
收
入
一
支
出
，
则
下
列
说
法
正
确
的
是
（
）
A．利润最高的月份是2 月份，且2 月份的利润为40 万元
B．利润最低的月份是5 月份，且5 月份的利润为10 万元
C．收入最少的月份的利润也最少
D．收入最少的月份的支出也最少
8．（5 分）已知圆C1：x2+y2+4x+F1＝0 与圆C2：x2+y2﹣8x+F2＝0 外切，则圆C1 与圆C2 的周长之和为（
）
A．6π
B．12π
C．18π
D．24π
9．（5 分）某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120 名学生中随机抽取了100 名学
生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100 名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），
[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（
）
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A．频率分布直方图中a 的值为0.040
B．样本数据低于130 分的频率为0.3
C．总体的中位数（保留1 位小数）估计为123.3 分
D．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数相等
10．（5 分）设斜率为k 且过点P（3，1）的直线与圆（x﹣3）2+y2＝4 相交于A，B 两点已知p：k＝0，q：|AB|＝
2 3，则p 是q 的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
11．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值是（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
12．（5 分）已知双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，若F 关于双曲线C 的渐近线的对称点恰好
在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为（
）
A．3
B．5
C．6
D．7
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答题卡上．
13．（5 分）某学校有教师100 人，学生900 人用分层抽样的方法从全校师生中随机抽取20 人，则应抽取的教师人
数为
．
14．（5 分）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P（3，2，1），Q（﹣1，0，1），则|PQ|＝
．
15．（5 分）已知斜率为k 的直线L 与椭圆C：
x2
6 +
y2
3 =1 相交于A，B 两点，若线段AB 的中点为M（﹣1，1），
则k 的值是
．
16．（5 分）利用随机模拟的方法计算图中阴影部分（抛物线y＝2x﹣x2 和x 轴围成的部分）的面积S．
第一步，利用计算机产生两组0～1 区间的均匀随机数；
a1＝RAND，b1＝RAND
第二步，进行伸缩变换a＝2a1，b＝2b1；
第三步，数出落在阴影内的样本点数N1．
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现做了100 次试验，模拟得到N1＝31，由此估计S＝
．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
17．（10 分）某车间有5 名工人其中初级工2 人，中级工2 人，高级工1 人．现从这5 名工人中随机抽取2 名．
（Ⅰ）求被抽取的2 名工人都是初级工的概率；
（Ⅱ）求被抽取的2 名工人中没有中级工的概率．
18．（12 分）已知点A（1，2），B（2，1），C（2，3）在圆E 上，过点P（1，0）的直线l 与圆E 相切．
（Ⅰ）求圆E 的方程；
（Ⅱ）求直线l 的方程．
19．（12 分）已知m∈R，p：∀x∈R，x2﹣mx+1≥0，g：指数函数y＝mx（m＞0，且m≠1）在R 上单调递增．
（Ⅰ）若p∧q 是真命题，求m 的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求椭圆
x2
m(m+1) +
y2
m =1 的离心率e 的取值范围．
20．（12 分）已知椭圆C 的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P（1，
3
2）在椭圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为
1
2的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，点Q 满足PQ
→
= 2QF2
→
，求△ABQ 面积的最大值．
21．（12 分）保部门研究发现某地的PM10 浓度与车流量之间有线性相关关系现采集到该地一周内车流量x 与PM10
浓度y 的数据如表：
时间
车流量x （单位：万辆）
PM10 浓度y（单位：μg/m3）
星期一
25.4
35.7
星期二
24.6
34.5
星期三
23.5
35.2
星期四
24.4
33.6
星期五
25.8
36.1
星期六
19.7
30.9
星期日
20.3
29.4
（Ⅰ）在如图所示的坐标系中作出表中数据的散点图；
（Ⅱ）根据表中统计数据，求出线性回归方程y
Ƹ = b
Ƹ
x+ a
Ƹ （计算b 时精确到0.01，计算a 时精确到0.01）；
（Ⅲ）为净化空气，该地决定下周起在工作日（星期一至星期五）限号假设限号时每个工作日的车流量为表中对
应工作日的
4
5，试预测下周星期三的PM10 浓度（精确到0.1）
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参考公式：b
Ƹ
=
i=1
n
σ
(xi−x)(yi−y)
i=1
n
σ
(xi−x)2
=
i=1
n
σ
xiyi−nxy
i=1
n
σ
xi
2−nx2 ，a
Ƹ = y −b
Ƹ
x．
参考数据x =23.4，y =33.6，
i=1
7
σ
（xi−x）（yi−y）＝34.5，
i=1
7
σ
x
i
2 −7x2 =35.5．
22．（12 分）设p＞0，动圆C 经过点M（p，0），且被y 轴截得的弦长为2p，记动圆圆心C 的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E 的方程；
（Ⅱ）求证：在轨迹E 上存在点A，B，使得△OAB（O 为坐标原点）是以A 为直角顶点的等腰直角三角形．
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2019-2020 学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）如图是某班篮球队队员身高（单位：厘米）的茎叶图，则该篮球队队员身高的众数是（
）
A．168
B．181
C．186
D．191
【解答】解：如图是某班篮球队队员身高（单位：厘米）的茎叶图，
则该篮球队队员身高的众数是186．
故选：C．
2．（5 分）命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是（
）
A．若a2＞b2，则a＞b，
B．若a≤b，则a2≤b2
C．若a2≤b2，则a≤b
D．若a＞b，则a2≤b2
【解答】解：命题“若a＞b，则a2＞b2”，
它的逆否命题是“若a2≤b2，则a≤b”．
故选：C．
3．（5 分）已知抛物线C 的顶点在坐标原点焦点F 在x 轴上，且抛物线C 上横坐标为4 的点P 到焦点F 的距离为5，
则抛物线C 的标准方程是（
）
A．y2＝8x
B．y2＝4x
C．y2＝2x
D．y2＝x
【解答】解：由题意可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），
可得抛物线的准线方程为x=−p
2，
由抛物线的定义可得
抛物线C 上横坐标为4 的点P 到焦点F 的距离为5，
即为4+ p
2 =5，
解得p＝2，
则抛物线的方程为y2＝4x．
故选：B．
4．（5 分）在一次摸取奖票的活动中，已知中奖的概率为2%，若票仓中有足够多的票则下列说法正确的是（
）
A．若只摸取一张票，则中奖的概率为1%
B．若只摸取一张票，则中奖的概率为2%
C．若100 个人按先后顺序每人摸取1 张票则一定有2 人中奖
D．若100 个人按先后顺序每人摸取1 张票，则第一个摸票的人中奖概率最大
【解答】解：在一次摸取奖票的活动中，已知中奖的概率为2%，
在A 中，若只摸取一张票，则中奖的概率为2%，故A 错误；
在B 中，若只摸取一张票，则中奖的概率为1%，故B 正确；
在C 中，若100 个人按先后顺序每人摸取1 张票，不一定有2 人中奖，故C 错误；
在D 中，若100 个人按先后顺序每人摸取1 张票，则第一个摸票的人中奖概率都是2%，故D 错误．
故选：B．
5．（5 分）阅读如图所示的算法语句如果输入的A，B 的值分别为1，2，那么输出的A，B 的值分别为（
）
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第42页（共926页）
A．1，1
B．2，2
C．1，2
D．2，1
【解答】解：模拟程序的运行，可得
A＝1，B＝2
x＝1，A＝2，B＝1
输出A 的值为2，B 的值为1．
故选：D．
6．（5 分）已知数据x1，x2，x3 的方差s2＝4，则x1+2，x2+2，x3+2 的方差为（
）
A．4
B．6
C．16
D．36
【解答】解：∵数据x1，x2，x3 的方差S2＝4，
∴x1+2，x2+2，x3+2 的方差为12×S2＝4．
故选：A．
7．（5 分）如图是某超市一年中各月份的收入与支出（单位：万元）情况的条形统计图．已知利润为收入与支出的
差
，
即
利
润
＝
收
入
一
支
出
，
则
下
列
说
法
正
确
的
是
（
）
A．利润最高的月份是2 月份，且2 月份的利润为40 万元
B．利润最低的月份是5 月份，且5 月份的利润为10 万元
C．收入最少的月份的利润也最少
D．收入最少的月份的支出也最少
【解答】解：在A 中，利润最高的月份是3 月份，且2 月份的利润为15 万元，故A 错误；
在B 中，利润最小的月份是8 月份，且8 月分的利润为5 万元，故B 错误；
在C 中，收入最少的月份是5 月份，但5 月份的支出也最少，故5 月分的利润不是最少，故C 错误；
在D 中，收入最少的月份是5 月份，但5 月份的支出也最少，故D 正确．
故选：D．
8．（5 分）已知圆C1：x2+y2+4x+F1＝0 与圆C2：x2+y2﹣8x+F2＝0 外切，则圆C1 与圆C2 的周长之和为（
）
A．6π
B．12π
C．18π
D．24π
【解答】解：两圆的标准方程为圆C1：（x+2）2+y2＝4﹣F1，圆C2：（x﹣4）2+y2＝16﹣F2，
两圆的圆心为C1（﹣2，0），C2（4，0），
则∵两圆外切，
∴两圆半径之和R+r＝|C1C2|＝|﹣2﹣4|＝6，
则圆C1 与圆C2 的周长之和2πR+2πr＝2π（R+r）＝12π，
故选：B．
9．（5 分）某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120 名学生中随机抽取了100 名学
生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100 名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），
[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（
）
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第43页（共926页）
A．频率分布直方图中a 的值为0.040
B．样本数据低于130 分的频率为0.3
C．总体的中位数（保留1 位小数）估计为123.3 分
D．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数相等
【解答】解：由频率分布直方图得：
（0.005+0.010+0.010+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1，
解得a＝0.030，故A 错误；
样本数据低于130 分的频率为：1﹣（0.025+0.005）×10＝0.7，故B 错误；
[80，120）的频率为：（0.005+0.010+0.010+0.015）×10＝0.4，
[120，130）的频率为：0.030×10＝0.3．
∴总体的中位数（保留1 位小数）估计为：120+ 0.5−0.4
0.3
× 3 ≈123.3 分，故C 正确；
样本分布在[90，100）的频数一定与样本分布在[100，110）的频数相等，
总体分布在[90，100）的频数不一定与总体分布在[100，110）的频数相等，故D 错误．
故选：C．
10．（5 分）设斜率为k 且过点P（3，1）的直线与圆（x﹣3）2+y2＝4 相交于A，B 两点已知p：k＝0，q：|AB|＝
2 3，则p 是q 的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：斜率为k 且过点P（3，1）的直线方程为y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k＝0，
圆心（3，0）到直线的距离d= |3k+1−3k|
1+k2
=
1
1+k2，圆的半径R＝2，
若|AB|＝2 3，
则R2 = d2 + ( 2 3
2 )2，
即4=
1
1+k2 +3，
则
1
1+k2 =1，即1+k2＝1，
得k＝0，
即p 是q 的充要条件，
故选：A．
11．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值是（
）
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第44页（共926页）
A．9
B．10
C．11
D．12
【解答】解：模拟程序的运行，可得
i＝1，S＝0
满足条件S≤60，执行循环体，S＝1，i＝2
满足条件S≤60，执行循环体，S＝3，i＝3
满足条件S≤60，执行循环体，S＝6，i＝4
满足条件S≤60，执行循环体，S＝10，i＝5
满足条件S≤60，执行循环体，S＝15，i＝6
满足条件S≤60，执行循环体，S＝21，i＝7
满足条件S≤60，执行循环体，S＝28，i＝8
满足条件S≤60，执行循环体，S＝36，i＝9
满足条件S≤60，执行循环体，S＝45，i＝10
满足条件S≤60，执行循环体，S＝55，i＝11
满足条件S≤60，执行循环体，S＝66，i＝12
此时，不满足条件S≤60，退出循环，输出i 的值为12．
故选：D．
12．（5 分）已知双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，若F 关于双曲线C 的渐近线的对称点恰好
在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为（
）
A．3
B．5
C．6
D．7
【解答】解：设F（﹣c，0），渐近线方程为y= b
ax，
对称点为F'（m，n），
即有
n
m+c =−
a
b，
且
1
2•n= 1
2•
b(m−c)
a
，
解得m= b2−a2
c
，n=−2ab
c ，
将F'（
b2−a2
c
，−2ab
c ），即（
c2−2a2
c
，−2ab
c ），
代入双曲线的方程可得
(c2−2a2)2
c2a2
−
4a2b2
c2b2 =1，
化简可得
c2
a2 −4＝1，即有e2＝5，
解得e=
5．
故选：B．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答题卡上．
13．（5 分）某学校有教师100 人，学生900 人用分层抽样的方法从全校师生中随机抽取20 人，则应抽取的教师人
数为
2
．
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第45页（共926页）
【解答】解：每个个体被抽到的概率等于
20
100+900 =
1
50，则应抽取的教师人数为100× 1
50 =2，
故答案为：2．
14．（5 分）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点P（3，2，1），Q（﹣1，0，1），则|PQ|＝
2 5
．
【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz 中，
∵点P（3，2，1），Q（﹣1，0，1），
∴|PQ|=
(3 + 1)2 + (2 −0)2 + (1 −1)2 =2 5．
故答案为：2 5．
15．（5 分）已知斜率为k 的直线L 与椭圆C：
x2
6 +
y2
3 =1 相交于A，B 两点，若线段AB 的中点为M（﹣1，1），
则k 的值是
1
2
．
【解答】解：依题意，设直线l 方程为：x＝m（y﹣1）﹣1，
联立
x2
6 + y2
3 = 1
x = m(y −1) −1
，消去x 整理得：
（2+m2）y2﹣2m（m+1）y+m2+2m﹣5＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2= 2m(m+1)
2+m2
，
∵且线段AB 的中点为M（1，1），
∴
2m(m+1)
2+m2
=2，即m＝2．
直线l 方程为x＝2（y﹣1）﹣1，即x﹣2y+3＝0，所以直线的斜率k 为：
1
2．
故答案为：
1
2．
16．（5 分）利用随机模拟的方法计算图中阴影部分（抛物线y＝2x﹣x2 和x 轴围成的部分）的面积S．
第一步，利用计算机产生两组0～1 区间的均匀随机数；
a1＝RAND，b1＝RAND
第二步，进行伸缩变换a＝2a1，b＝2b1；
第三步，数出落在阴影内的样本点数N1．
现做了100 次试验，模拟得到N1＝31，由此估计S＝
1.24
．
【解答】解：根据题意：点落在阴影部分的点的概率是
31
100，
矩形的面积为2×2＝4，阴影部分的面积为S，
则有
S
4 =
31
100，
∴S＝1.24．
故答案为：1.24．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
17．（10 分）某车间有5 名工人其中初级工2 人，中级工2 人，高级工1 人．现从这5 名工人中随机抽取2 名．
（Ⅰ）求被抽取的2 名工人都是初级工的概率；
（Ⅱ）求被抽取的2 名工人中没有中级工的概率．
【解答】解：（Ⅰ）设初级工为a1，a2，中级工为b1，b2，高级工为c，
从中随机取2 人，
基本事件有10 个，分别为：
（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c），（b1，b2），（b1，c），（b2，c）．
抽到2 名工人都是初级工的情况为：（a1，a2），共1 种，
∴被抽取的2 名工人都是初级工的概率p= 1
10．
（Ⅱ）没有抽取中级工的情况有3 种，分别为：
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第46页（共926页）
（a1，a2），（a1，c），（a2，c），
∴被抽取的2 名工人中没有中级工的概率p= 3
10．
18．（12 分）已知点A（1，2），B（2，1），C（2，3）在圆E 上，过点P（1，0）的直线l 与圆E 相切．
（Ⅰ）求圆E 的方程；
（Ⅱ）求直线l 的方程．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设圆E 的圆心为（a，b），半径为r；
则圆E 的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
又由点A（1，2），B（2，1），C（2，3）在圆E 上，
则有
(1 −a)2 + (2 −b)2 = r2
(2 −a)2 + (1 −b)2 = r2
(2 −a)2 + (3 −b)2 = r2
，解可得
a = 2
b = 2
r = 1
，
即圆E 的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1；
（Ⅱ）根据题意，分2 种情况讨论：
①，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x＝1，与圆M 相切，符合题意；
②，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0，
圆心E 到直线l 的距离d= |2k−2−k|
k2+1
= |k−2|
k2+1 =1，解可得k= 3
4，
则直线l 的方程为y= 3
4（x﹣1），即3x﹣4y﹣3＝0，
综合可得：直线l 的方程为x＝1 或3x﹣4y﹣3＝0．
19．（12 分）已知m∈R，p：∀x∈R，x2﹣mx+1≥0，g：指数函数y＝mx（m＞0，且m≠1）在R 上单调递增．
（Ⅰ）若p∧q 是真命题，求m 的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求椭圆
x2
m(m+1) +
y2
m =1 的离心率e 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵p∧q 是真命题，
∴p，q 都是真命题．
当p 为真命题时，x2﹣mx+1≥0，则△＝m2﹣4≤0，解得2≤m≤2．
当q 为真命题时，m＞1．
∴m 的取值范围是{m|1＜m≤2}；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1＜m≤2，
∴
m(m + 1)＞0
m＞0
m(m + 1) −m = m2＞0
，
∵e2 =
m2
m(m+1) =
m
m+1 = 1 −
1
m+1，1＜m≤2，
而函数e2 = f(m) = 1 −
1
m+1在（1，2]上单调递增，
∴
1
2 ＜e2 ≤
2
3．
∴该椭圆离心率e 的取值范围是（
2
2 ，
6
3 ]．
20．（12 分）已知椭圆C 的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P（1，
3
2）在椭圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为
1
2的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，点Q 满足PQ
→
= 2QF2
→
，求△ABQ 面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），
∵椭圆C 的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P（1，
3
2）在椭圆C 上．
∴
a2 −b2 = 1
1
a2 + 9
4b2 = 1，解得a＝2，b=
3，
∴椭圆C 的标准方程为
x2
4 +
y2
3 =1．
（Ⅱ）设直线l：y= 1
2 x +m，A（x1，y1），B（x2，y2），
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联立
y = 1
2 x + m
x2
4 + y2
3 = 1
，消去y，得x2+mx+m2﹣3＝0，
由△＝m2﹣4（m2﹣3）＝3（4﹣m2）＞0，
解得﹣2＜m＜2，∴x1 + x2 =−m，x1x2 = m2 −3，
∴|AB|=
(x2 −x1)2 + (y2 −y1)2 =
(1 + ( 1
2 )2• (x1 + x2)2 −4x1x2
=
15
2 ⋅
4 −m2，
由PQ
→
=2QF2
→
，知Q（1，
1
2），
点Q 到直线l 的距离为d= |2m|
5 ，
∴△ABQ 的面积S= 1
2|AB|•d= 1
2 ⋅15⋅4−m2
2
•
|2m|
5
=
3
2 ⋅
m2(4 −m2) ≤
3
2 ⋅m2+4−m2
2
=
3，
当且仅当m=±
2时，S=
3．
∴△ABQ 面积的最大值为3．
21．（12 分）保部门研究发现某地的PM10 浓度与车流量之间有线性相关关系现采集到该地一周内车流量x 与PM10
浓度y 的数据如表：
时间
车流量x （单位：万辆）
PM10 浓度y（单位：μg/m3）
星期一
25.4
35.7
星期二
24.6
34.5
星期三
23.5
35.2
星期四
24.4
33.6
星期五
25.8
36.1
星期六
19.7
30.9
星期日
20.3
29.4
（Ⅰ）在如图所示的坐标系中作出表中数据的散点图；
（Ⅱ）根据表中统计数据，求出线性回归方程y
Ƹ = b
Ƹ
x+ a
Ƹ （计算b 时精确到0.01，计算a 时精确到0.01）；
（Ⅲ）为净化空气，该地决定下周起在工作日（星期一至星期五）限号假设限号时每个工作日的车流量为表中对
应工作日的
4
5，试预测下周星期三的PM10 浓度（精确到0.1）
参考公式：b
Ƹ
=
i=1
n
σ
(xi−x)(yi−y)
i=1
n
σ
(xi−x)2
=
i=1
n
σ
xiyi−nxy
i=1
n
σ
xi
2−nx2 ，a
Ƹ = y −b
Ƹ
x．
参考数据x =23.4，y =33.6，
i=1
7
σ
（xi−x）（yi−y）＝34.5，
i=1
7
σ
x
i
2 −7x2 =35.5．
【解答】解：（Ⅰ）
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（Ⅱ）b
Ƹ
=
i=1
7
σ
(xi−x)(yi−y)
i=1
7
σ
xi2−7x2
= 34.5
35.5 ≈0.97．
a
Ƹ = y −b
Ƹ
x = 33.6 −0.97 × 23.4 ≈10.90．
∴y 关于x 的线性回归方程为y
Ƹ = 0.97x + 10.90；
（Ⅲ）下周星期三的车流量预计为23.5 × 4
5 = 18.8（万辆）．
预测下周星期三的PM10 浓度为y
Ƹ = 0.97 × 18.8 + 10.90 ≈29.1（μg/m3）．
22．（12 分）设p＞0，动圆C 经过点M（p，0），且被y 轴截得的弦长为2p，记动圆圆心C 的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E 的方程；
（Ⅱ）求证：在轨迹E 上存在点A，B，使得△OAB（O 为坐标原点）是以A 为直角顶点的等腰直角三角形．
【解答】解：（Ⅰ）设动圆圆心C（x，y），半径为r，
∵圆C 过点M（p，0），∴r2＝（x﹣p）2+y2，①
∵圆C 被y 轴截得的弦长为2p，∴r2＝p2+x2，②
由①②，得（x﹣p）2+y2＝x2+p2，化简，得y2＝2px，p＞0，
∴轨迹E 的方程为y2＝2px，（p＞0）．
证明：（Ⅱ）设A（
y02
2p ，y0），（y0≠0），则OA 的斜率kOA= 2p
y0，
∵OA⊥AB，∴AB 的斜率kAB=−y0
2p，
∴直线AB 的方程为y＝y0=−y0
2p（x−y02
2p ），
联立直线AB 与抛物线E 的方程，得：
y −y0 =−y0
2p (x −y02
2p )
y2 = 2px
，解得y0 =−(y0 + 4p2
y0 )，
∴|AB|2＝[1+（
1
kAB
）2]（y0﹣yB）2＝（1+ 4p2
y02）（2y0+ 4p2
y0 ）2，
∵|OA|2＝（
y02
2p ）2+y02，
记t＝y02，y0≠0，a＝4p2，p＞0，则t＞0，a＞0，
记f（t）＝|AB|2﹣|OA|2= t+a
t •
(2t+a)2
t
−
t2+at
a
=
t+a
at2 [a（2t+a）2﹣t2]，t＞0，
由题意
t+a
at2 ＞0，记g（t）＝a（2t﹣a）2﹣t3，t＞0，
∴g（a）＝8a3＞0，g（5a）＝﹣4a3＜0，
根据零点存在定理，存在t0∈（a，5a），使得g（t0）＝0，从而f（t0）＝0，
当y0 满足y02 = t0时，有|AB|＝|OA|，
此时△OAB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴在轨迹E 上存在点A，B，使得△OAB（O 为坐标原点）是以A 为直角顶点的等腰直角三角形．
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2019-2020 学年陕西省西安中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分）
1．（5 分）抛物线x2＝﹣8y 的准线方程是（
）
A．x=−1
32
B．y＝2
C．y= 1
32
D．y＝﹣2
2．（5 分）已知向量a
→=（1，1，0），则与a
→共线的单位向量e
→=（
）
A．（
2
2 ，−2
2 ，0）
B．（0，1，0）
C．（
2
2 ，
2
2 ，0）
D．（1，1，1）
3．（5 分）下列说法中正确的是（
）
A．若AB
→
= DC
→
，则A，B，C，D 四点构成一个平行四边形
B．若a
→∥b
→
，b
→
∥c
→，则a
→∥c
→
C．若a
→和b
→
都是单位向量，则a
→= b
→
D．零向量与任何向量都共线
4．（5 分）给出如下三个命题：
①若“p 且q”为假命题，则p、q 均为假命题；
②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；
③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”．
正确的是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．（5 分）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（
）
A．
1
2
B．
3
2
C．
3
4
D．
6
4
6．（5 分）“a＝1”是“函数y＝cos2ax﹣sin2ax 的最小正周期为π”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5 分）若曲线
x2
1−k +
y2
1+k = 1 表示椭圆，则k 的取值范围是（
）
A．k＞1
B．k＜﹣1
C．﹣1＜k＜1
D．﹣1＜k＜0 或0＜k＜1
8．（5 分）已知平面α内有一点M（1，﹣1，2），平面α的一个法向量n
→=（2，﹣1，2），则下列点P 在平面α内的是
（
）
A．（﹣4，4，0）
B．（2，0，1）
C．（2，3，3）
D．（3，﹣3，4）
9．（5 分）若点O 和点F（﹣2，0）分别是双曲线
x2
a2 −y2 = 1(a＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意
一点，则OP
→
⋅FP
→
的取值范围为（
）
A．[3 −2 3，+ ∞)
B．[3 + 2 3，+ ∞)
C．[ −7
4 ，+ ∞)
D．[ 7
4 ，+ ∞)
10．（5 分）已知动圆P 与定圆C：（x﹣2）2+y2＝1 相外切，又与定直线l：x＝﹣1 相切，那么动圆的圆心P 的轨迹
方程是（
）
A．y2＝4x
B．y2＝﹣4x
C．y2＝8x
D．y2＝﹣8x
11．（5 分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AC1
→
=xAB
→
+2yBC
→
+3zC1C
→
，则x+y+z＝（
）
A．1
B．
7
6
C．
5
6
D．
2
3
12．（5 分）方程mx+ny2＝0 与mx2+ny2＝1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（
）
A．
B．
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C．
D．
二、填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．（5 分）过抛物线y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2＝8，则|AB|＝
；
14．（5 分）已知|a|
→
= |b|
→
= |c|
→
= 1，且＜a
→，b
→
＞= π
3，＜b
→
，c
→＞= π
2，＜a
→，c
→＞= π
2，则|a
→+ 2b
→
−c
→| =
；
15．（5 分）已知（4，2）是直线l 被椭圆
x2
36 +
y2
9 =1 所截得的线段的中点，则l 的方程是
．
16．（5 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 的底面是边长为2 的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC＝PD＝2，M，N
分别为棱PC，AD 的中点，则点N 到平面MBD 的距离为
．
三、解答题：（本大题共6 小题，共70 分）
17．（10 分）已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设F1 和F2 是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2 的大小．
18．（12 分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，BB1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AC＝AB＝AA1，E 是BC 的中
点．
（1）求证：AE⊥B1C；
（2）求异面直线AE 与A1C 所成的角的大小；
（3）若G 为C1C 中点，求二面角C﹣AG﹣E 的正切值．
19．（12 分）如图，在边长为2 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 是BC 的中点，F 是DD1 的中点，
（1）求证：CF∥平面A1DE；
（2）求平面A1DE 与平面A1DA 夹角的余弦值．
20．（12 分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F，抛物线上一点P 点纵坐标为2，|PF|＝3．
（1）求抛物线的方程；
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（2）已知抛物线C 与直线l：y＝kx+1 交于M，N 两点，y 轴上是否存在点P，使得当k 变动时，总有kPM+kPN
＝0？说明理由．
21．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD 垂直于底面ABCD，AD＝PD＝2，
E、F 分别为CD、PB 的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAB；
（2）设AB =
2AD，求直线AC 与平面AEF 所成角θ的正弦值．
22．（12 分）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为
1
2，过F1 的直线l 与椭圆C 交
于M，N 两点，且△MNF2 的周长为8．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线m 过点（﹣1，0），且与椭圆C 交于P、Q 两点，求△PQF2 面积的最大值．
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2019-2020 学年陕西省西安中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分）
1．（5 分）抛物线x2＝﹣8y 的准线方程是（
）
A．x=−1
32
B．y＝2
C．y= 1
32
D．y＝﹣2
【解答】解：抛物线x2＝﹣8y 可得2p＝8，
∴
p
2 =2．
∴此抛物线的准线方程是y＝2．
故选：B．
2．（5 分）已知向量a
→=（1，1，0），则与a
→共线的单位向量e
→=（
）
A．（
2
2 ，−2
2 ，0）
B．（0，1，0）
C．（
2
2 ，
2
2 ，0）
D．（1，1，1）
【解答】解：对于C：向量（
2
2 ，
2
2 ，0）=
2
2 a
→，并且向量（
2
2 ，
2
2 ，0）的模为( 2
2 )2 × 2 + 0 =1．
故选：C．
3．（5 分）下列说法中正确的是（
）
A．若AB
→
= DC
→
，则A，B，C，D 四点构成一个平行四边形
B．若a
→∥b
→
，b
→
∥c
→，则a
→∥c
→
C．若a
→和b
→
都是单位向量，则a
→= b
→
D．零向量与任何向量都共线
【解答】解：若AB
→
= DC
→
，则A，B，C，D 四点构成一个平行四边形或共线，故A 错误；
若a
→∥b
→
，b
→
∥c
→，则a
→∥c
→，或a
→，c
→不共线，比如b
→
= 0
→
，故B 错误；
若a
→和b
→
都是单位向量，可得a
→，b
→
的模相等，不能判断共线或相等，故C 错误；
零向量与任何向量都共线，故D 正确．
故选：D．
4．（5 分）给出如下三个命题：
①若“p 且q”为假命题，则p、q 均为假命题；
②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；
③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”．
正确的是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：①根据真值表可得：若p 且q 为假命题时，则p、q 至少有一个是假命题，所以①错误．
②根据命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”．
是真命题，所以②正确．
③若原命题“∀x∈R，都有x2+1≥1”
∴命题“∀x∈R，都有x2+1≥2x”的否定是：
∃x∈R，有x2+1＜1，所以③不正确．
故选：B．
5．（5 分）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（
）
A．
1
2
B．
3
2
C．
3
4
D．
6
4
【解答】解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，
∴2c＝a
∴e= c
a = 1
2
故选：A．
6．（5 分）“a＝1”是“函数y＝cos2ax﹣sin2ax 的最小正周期为π”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：函数y＝cos2ax﹣sin2ax＝cos2ax，它的周期是
2π
|2a| = π，a＝±1
显然“a＝1”可得“函数y＝cos2ax﹣sin2ax 的最小正周期为π”
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后者推不出前者，
故选：A．
7．（5 分）若曲线
x2
1−k +
y2
1+k = 1 表示椭圆，则k 的取值范围是（
）
A．k＞1
B．k＜﹣1
C．﹣1＜k＜1
D．﹣1＜k＜0 或0＜k＜1
【解答】解：∵曲线
x2
1−k +
y2
1+k = 1 表示椭圆，∴
1 −k＞0
1 + k＞0
1 −k ≠1 + k
，解得﹣1＜k＜1，且k≠0．
故选：D．
8．（5 分）已知平面α内有一点M（1，﹣1，2），平面α的一个法向量n
→=（2，﹣1，2），则下列点P 在平面α内的是
（
）
A．（﹣4，4，0）
B．（2，0，1）
C．（2，3，3）
D．（3，﹣3，4）
【解答】解：若点P 在平面α内，则n
→⋅MP
→
=0，设P（x，y，z），
则2（x﹣1）﹣（y+1）+2（z﹣2）＝0，
经过验证只有点（2，3，3）满足．
故选：C．
9．（5 分）若点O 和点F（﹣2，0）分别是双曲线
x2
a2 −y2 = 1(a＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意
一点，则OP
→
⋅FP
→
的取值范围为（
）
A．[3 −2 3，+ ∞)
B．[3 + 2 3，+ ∞)
C．[ −7
4 ，+ ∞)
D．[ 7
4 ，+ ∞)
【解答】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，
所以a2+1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程为
x2
3 −y2 = 1，
设点P（x0，y0），
则有
x02
3 −y02 = 1(x0 ≥
3)，解得y02 = x02
3 −1(x0 ≥
3)，
因为FP
→
= (x0 + 2，y0)，OP
→
= (x0，y0)，
所以OP
→
⋅FP
→
= x0(x0 + 2) + y02 =x0（x0+2）+ x02
3 −1 = 4x02
3
+ 2x0 −1，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0 =−3
4，
因为x0 ≥
3，
所以当x0 =
3时，OP
→
⋅FP
→
取得最小值
4
3 × 3 + 2
3 −1 = 3 + 2
3，
故OP
→
⋅FP
→
的取值范围是[3 + 2 3，+ ∞)，
故选：B．
10．（5 分）已知动圆P 与定圆C：（x﹣2）2+y2＝1 相外切，又与定直线l：x＝﹣1 相切，那么动圆的圆心P 的轨迹
方程是（
）
A．y2＝4x
B．y2＝﹣4x
C．y2＝8x
D．y2＝﹣8x
【解答】解：令P 点坐标为（x，y），A（2，0），动圆得半径为r，
则根据两圆相外切及直线与圆相切得性质可得，PA＝1+r，d＝r，
P 在直线的右侧，故P 到定直线的距离是x+1，
所以PA﹣d＝1，即(x −2)2 + y2 −（x+1）＝1，
化简得：y2＝8x．
故选：C．
11．（5 分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AC1
→
=xAB
→
+2yBC
→
+3zC1C
→
，则x+y+z＝（
）
A．1
B．
7
6
C．
5
6
D．
2
3
【解答】解：如图所示，
在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，
AC1
→
= AB
→
+ BC
→
+ CC1
→
= AB
→
+ BC
→
−C1C
→
，
与AC1
→
=xAB
→
+2yBC
→
+3zC1C
→
比较可得：
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x＝1，2y＝1，﹣1＝3z．
则x+y+z＝1+ 1
2 −1
3 = 7
6．
故选：B．
12．（5 分）方程mx+ny2＝0 与mx2+ny2＝1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：方程mx+ny2＝0 即y2=−m
n x，表示抛物线，方程mx2+ny2＝1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．
当m 和n 同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2＝1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y 轴上的椭圆，无符合条件的
选项．
当m 和n 异号时，抛物线
y2=−m
n x 开口向右，方程mx2+ny2＝1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，
故选：A．
二、填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．（5 分）过抛物线y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2＝8，则|AB|＝
10
；
【解答】解：抛物线y2＝4x 中，p＝2；
过焦点F 作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），
若x1+x2＝8，则|AB|＝（x1+ p
2）+（x2+ p
2）＝x1+x2+p＝8+2＝10．
故答案为：10．
14．（5 分）已知|a|
→
= |b|
→
= |c|
→
= 1，且＜a
→，b
→
＞= π
3，＜b
→
，c
→＞= π
2，＜a
→，c
→＞= π
2，则|a
→+ 2b
→
−c
→| =
2 2
；
【解答】解：|a|
→
= |b|
→
= |c|
→
= 1，＜a
→，b
→
＞= π
3，＜b
→
，c
→＞= π
2，＜a
→，c
→＞= π
2，
则(a
→+ 2b
→
−c
→)2 = a
→2 +4b
→
2 + c
→2 +4a
→•b
→
−2a
→•c
→−4b
→
•c
→
＝1+4+1+4×cos
π
3 −0﹣0
＝8，
∴|a
→+ 2b
→
−c
→| =2 2．
故答案为：2 2．
15．（5 分）已知（4，2）是直线l 被椭圆
x2
36 +
y2
9 =1 所截得的线段的中点，则l 的方程是
x+2y﹣8＝0
．
【解答】解：设直线l 与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），
将P1、P2 两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率
k= y1−y2
x1−x2 =−
x1+x2
4(y1+y2) =−x1+x2
2
4⋅y1+y2
2
=−
4
4×2 =−1
2．
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由点斜式可得l 的方程为x+2y﹣8＝0．
16．（5 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 的底面是边长为2 的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，且PC＝PD＝2，M，N
分别为棱PC，AD 的中点，则点N 到平面MBD 的距离为
5
5
．
【解答】解：取CD、AB 的中点分别为O，E，连结OP，OE
以O 为原点，OE 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则N（1，﹣1，0），M（0，
1
2，
3
2 ），B（2，1，0），D（0，﹣1，0），
DN
→
=（1，0，0），DM
→
=（0，
3
2，
3
2 ），DB
→
=（2，2，0），
设平面MBD 的法向量n
→=（x，y，z），
则
n
→⋅DB
→
= 2x + 2y = 0
n
→⋅DM
→
= 3
2 x +
3
2 z = 0
，取x＝1，得n
→=（1，﹣1，−
3），
∴点N 到平面MBD 的距离：
d= |DN
→
⋅n
→|
|n
→|
= 1
5 =
5
5 ．
故答案为：
5
5 ．
三、解答题：（本大题共6 小题，共70 分）
17．（10 分）已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设F1 和F2 是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2 的大小．
【解答】解：（1）由16x2﹣9y2＝144 得
x2
9 −
y2
16 =1，
∴a＝3，b＝4，c＝5．焦点坐标F1（﹣5，0），F2（5，0），离心率e= 5
3，渐近线方程为y＝±
4
3x．
（2）||PF1|﹣|PF2||＝6，
cos∠F1PF2= |PF1|2+|PF2|2−|F1F2|2
2|PF1||PF2|
= (|PF1|−|PF2|)2+2|PF1||PF2|−|F1F2|2
2|PF1||PF2|
= 36+64−100
64
=0．
∴∠F1PF2＝90°．
18．（12 分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，BB1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AC＝AB＝AA1，E 是BC 的中
点．
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（1）求证：AE⊥B1C；
（2）求异面直线AE 与A1C 所成的角的大小；
（3）若G 为C1C 中点，求二面角C﹣AG﹣E 的正切值．
【解答】证明：（1）因为BB1⊥面ABC，AE⊂面ABC，所以AE⊥BB1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1
分）
由AB＝AC，E 为BC 的中点得到AE⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2 分）
∵BC∩BB1＝B∴AE⊥面BB1C1C﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3 分）
∴AE⊥B1C﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4 分）
解：（2）取B1C1 的中点E1，连A1E1，E1C，
则AE∥A1E1，
∴∠E1A1C 是异面直线AE 与A1C 所成的角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6 分）
设AC＝AB＝AA1＝2，则由∠BAC＝90°，
可得A1E1＝AE=
2，A1C＝2 2，E1C1＝EC= 1
2BC=
2
∴E1C=
E1C1
2 + C1C2 =
6
∵在△E1A1C 中，cos∠E1A1C= 2+8−6
2⋅2⋅2 2 = 1
2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−（8 分）
所以异面直线AE 与A1C 所成的角为
π
3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9 分）
（3）连接AG，设P 是AC 的中点，过点P 作PQ⊥AG 于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC﹣﹣﹣﹣（10 分）
又∵平面ABC⊥平面ACC1A1
∴EP⊥平面ACC1A1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11 分）
而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．
∴∠PQE 是二面角C﹣AG﹣E 的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）
由EP＝1，AP＝1，PQ= 1
5，得tan∠PQE= PE
PQ =
5
所以二面角C﹣AG﹣E 的平面角正切值是5 −−−−−−−−−−−（13 分）
19．（12 分）如图，在边长为2 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 是BC 的中点，F 是DD1 的中点，
（1）求证：CF∥平面A1DE；
（2）求平面A1DE 与平面A1DA 夹角的余弦值．
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【解答】证明：（1）以D 为原点，分别以DA，DC，DD1 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），
则DA1
→
= (2，0，2)，DE
→
= (1，2，0)，CF
→
= (0，−2，1)
设平面A1DE 的法向量是n
→= (a，b，c)
则n
→⋅DA1
→
= 2a + 2c = 0
n
→⋅DE
→
= a + 2b = 0
，取n
→= ( −2，1，2)，
∴CF
→
⋅n
→= (0，−2，1) ⋅( −2，1，2) = 0
所以CF∥平面A1DE．
解：（2）DC
→
= (0，2，0)是面A1DA 的法向量，
∴cos＜n
→⋅DC
→
＞=
(−2，1，2)⋅(0，2，0)
(−2)2+12+22⋅0+22+0
= 1
3
即平面A1DE 与平面A1DA 夹角的余弦值为
1
3．
20．（12 分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F，抛物线上一点P 点纵坐标为2，|PF|＝3．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知抛物线C 与直线l：y＝kx+1 交于M，N 两点，y 轴上是否存在点P，使得当k 变动时，总有kPM+kPN
＝0？说明理由．
【解答】解：（1）∵|PF| = yP + p
2，∴4 = 3 + p
2，即p＝2，故抛物线的方程为x2＝4y．
（2）设P（0，b）为符合题意的点，设M（x1，y1），N（x2，y2），
设直线PM，PN 的斜率分别为k1，k2．
将y＝kx+1 代入抛物线C 的方程得x2﹣4kx﹣4＝0，
故x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
∴kPM + kPN = y1−b
x1
+ y2−b
x2
= kx1+1−b
x1
+ kx2+1−b
x2
= 2kx1x2+(1−b)(x1+x2)
x1x2
= −8k+4k(1−b)
−4
= k(1 + b)，
当b＝﹣1 时，即p（0，﹣1），有kPM+kPN＝0．
21．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD 垂直于底面ABCD，AD＝PD＝2，
E、F 分别为CD、PB 的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAB；
（2）设AB =
2AD，求直线AC 与平面AEF 所成角θ的正弦值．
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【解答】解：以D 为从标原点，DC、DA、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz．设
AB＝a，
则A（0，2，0），B（a，2，0），C（a，0，0），D（0，0，0，），p（0，0，2），e( a
2 ，0，0)，F( a
2 ，1，1)⋯（2
分）
（1）由题意可得：EF
→
⋅PA
→
=0×0+1×2+1×（﹣2）＝0，EF
→
⋅PB
→
=0×a+1×2+1×（﹣2）＝0
∴EF⊥PA，EF⊥PB．
∴EF⊥平面PAB．…（6 分）
（2）AB＝2 2．由上，AE
→
= ( 2，−2，0)，EF
→
=（0，1，1）．
设平面AEF 的法向量n＝（x，y，z），
则n ⋅AE
→
= 0
n ⋅EF
→
= 0
即
2x −2y + 0 = 0
0 + y + z = 0
令y＝1，则x=
2，z =−1，所以n = ( 2，1，−1)⋯（9 分）
又AC
→
= (2 2，−2，0)，所以cos＜AC
→
，n＞4−2+0
12× 4 =
3
6 ．…（11 分）
所以sinθ＝1cos＜AC
→
，n＞| =
3
6 ．…（12 分）
22．（12 分）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为
1
2，过F1 的直线l 与椭圆C 交
于M，N 两点，且△MNF2 的周长为8．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线m 过点（﹣1，0），且与椭圆C 交于P、Q 两点，求△PQF2 面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意知，4a＝8，则a＝2，
由椭圆离心率e = c
a = 1
2，得c＝1，∴b2＝3．
∴椭圆C 的方程为
x2
4 +
y2
3 = 1；
（2）设直线m 的方程为：x＝ty﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
x = ty −1
x2
4 + y2
3 = 1，得（4+3t2）y2﹣6ty﹣9＝0．
y1 + y2 =
6t
3t2+4，y1y2 =−
9
3t2+4．
∴S△PQF2 = 1
2 |F1F2||y1 −y2| = 12 t2+1
3t2+4 ．
令t2 + 1 = n，则n≥1，
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∴S△PQF2 =
12
3n+1
n
，而3n+ 1
n在[1，+∞）上单调递增，
∴S△PQF2 =
12
3n+1
n
≤3．
当n＝1 时取等号，即当t＝0 时，△PQF2 的面积最大值为3．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
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2019-2020 学年山东省威海市高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知a＞b＞c，ac＞0，则下列关系式一定成立的是（
）
A．c2＞bc
B．a2＞b2
C．a+b＞c
D．bc（a﹣c）＞0
2．（5 分）命题“任意向量a
→，b
→
，|a
→•b
→
|≤|a
→||b
→
|”的否定为（
）
A．任意向量a
→，b
→
，|a
→•b
→
|＞|a
→||b
→
|
B．存在向量a
→，b
→
，|a
→•b
→
|＞|a
→||b
→
|
C．任意向量a
→，b
→
，|a
→•b
→
|≥|a
→||b
→
|
D．存在向量a
→，b
→
，|a
→•b
→
|≤|a
→||b
→
|
3．（5 分）已知直线l，m 和平面α，β满足l⊥α，m⊂β．给出下列命题：①α⊥β⇒l∥m；②α∥β⇒l⊥m；③l⊥m⇒α
∥β；④l∥m⇒α⊥β，其中正确命题的序号是（
）
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
4．（5 分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣4＝0 与直线l2：x+（a+1）y+2＝0 平行”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）已知等差数列{an}前17 项和为34，若a3＝﹣10，则a99＝（
）
A．180
B．182
C．﹣178
D．﹣180
6．（5 分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2 米，水面宽4 米，则水位下降2 米后（水足够
深），水面宽（
）米．
A．2 2
B．4 2
C．4 3
D．2 3
7．（5 分）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为4 3，离心率为
1
2．过点F1 的直
线交椭圆于A，B 两点，则△ABF2 的周长为（
）
A．4
B．8
C．16
D．32
8．（5 分）关于x 的不等式x2﹣（m+2）x+2m＜0 的解集中恰有3 个正整数，则实数m 的取值范围为（
）
A．（5，6]
B．（5，6）
C．（2，3]
D．（2，3）
9．（5 分）设m，n 为正实数，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0 与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 相切，则mn 的最
小值为（
）
A．3﹣2 2
B．2 2 +3
C．2 +1
D．2 −1
10．（5 分）不等式x2﹣2（a﹣2）x+a＜0 对任意x∈（1，5）恒成立，则实数a 的取值范围为（
）
A．a＞5
B．a≥5
C．﹣5＜a＜5
D．﹣5≤a≤5
11．（5 分）已知F1，F2 分别是双曲线
x2
a2 −
y2
16 =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1 的直线与双曲线的右支交
于点P，若|PF2|＝|F1F2|，直线PF1 与圆x2+y2＝a2 相切，则双曲线的焦距为（
）
A．7
B．2 7
C．5
D．10
12．（5 分）已知函数f（x）＝﹣x2+ax﹣6，g（x）＝x+4，若对任意x1∈（0，+∞），存在x2∈（﹣∞，﹣1]，使f
（x1）≤g（x2），则实数a 的最大值为（
）
A．6
B．4
C．3
D．2
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．（5 分）已知圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0，则过点M（1，1）的最短弦所在的直线方程是
．
14．（5 分）已知条件p：x＜a2﹣3a，条件q：向量a
→=（2，﹣1，﹣3），b
→
=（3，x，2）的夹角为锐角．若p 是q
的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为
．
15．（5 分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面边长和侧棱长相等，D 为A1A 的中点，则直线BD 与B1C 所成的角
为
．
16．（5 分）毕达哥拉斯的生长程序如图所示：正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边再分
别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到511 个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长
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为
．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10 分）记Sn 为数列{an}的前n 项和，已知a1＝8，an+1＝Sn+8．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式a1•a2•a3…an＞1000 成立的正整数n 的最小值．
18．
（12 分）已知三棱台ABC﹣A1B1C1，AA1⊥平面ABC，底面ABC 为直角三角形，AB＝AC＝2A1C1＝2，AA1 =
2，
点M，N 分别为CC1，A1B1 的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面AB1C；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣N 的余弦值．
19．（12 分）已知{an}是公差为3 等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝3，（an+1）bn＝nbn+1．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn＝an•bn，求数列{cn}的前n 项和Sn．
20．（12 分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD 为等腰梯形，AD∥BC，AB＝BC= 1
2AD＝2，AP⊥平面PCD，且
AP＝PC，点E 为AD 中点．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面APC；
（Ⅱ）求直线AB 与平面PAD 所成角的正弦值．
21．（12 分）已知双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y =
3
3 x，点(2 3，1)在双曲线上，抛物线
y2＝2px（p＞0）的焦点F 与双曲线的右焦点重合．
（Ⅰ）求双曲线和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点F 做互相垂直的直线l1，l2，设l1 与抛物线的交点为A，B，l2 与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|
的最小值．
22．（12 分）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2 3，点P 为椭圆上一点，∠F1PF2
＝90°，△F1PF2 的面积为1．
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（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点B 为椭圆的上顶点，过椭圆内一点M（0，m）的直线l 交椭圆于C，D 两点，若△BMC 与△BMD
的面积比为2：1，求实数m 的取值范围．
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2019-2020 学年山东省威海市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）已知a＞b＞c，ac＞0，则下列关系式一定成立的是（
）
A．c2＞bc
B．a2＞b2
C．a+b＞c
D．bc（a﹣c）＞0
【解答】解：不妨令a＝3，b＝2，c＝1，则c2＝1＜bc＝2 由此排除A；
令a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3，则a+b＝﹣3＝c，由此排除C；则a2＝1＜b2＝4 由此排除B
故选：D．
2．（5 分）命题“任意向量a
→，b
→
，|a
→•b
→
|≤|a
→||b
→
|”的否定为（
）
A．任意向量a
→，b
→
，|a
→•b
→
|＞|a
→||b
→
|
B．存在向量a
→，b
→
，|a
→•b
→
|＞|a
→||b
→
|
C．任意向量a
→，b
→
，|a
→•b
→
|≥|a
→||b
→
|
D．存在向量a
→，b
→
，|a
→•b
→
|≤|a
→||b
→
|
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，
命题“任意向量a
→，b
→
，|a
→•b
→
|≤|a
→||b
→
|”的否定是存在向量a
→，b
→
，|a
→•b
→
|＞|a
→||b
→
|．
故选：B．
3．（5 分）已知直线l，m 和平面α，β满足l⊥α，m⊂β．给出下列命题：①α⊥β⇒l∥m；②α∥β⇒l⊥m；③l⊥m⇒α
∥β；④l∥m⇒α⊥β，其中正确命题的序号是（
）
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
【解答】解：
如图可否定①，排除选项A，C；
②中，∵α∥β，l⊥α，
∴l⊥β，
∵m⊂β，
∴l⊥m，
故②正确，
故选：D．
4．（5 分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣4＝0 与直线l2：x+（a+1）y+2＝0 平行”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：对于两条直线：直线l1：ax+2y﹣4＝0 与直线l2：x+（a+1）y+2＝0，对a 分类讨论：
a＝﹣1 时，两条直线不平行，舍去．
a≠﹣1 时，由
a
1 =
2
a+1 ≠
−4
2 ，解得a＝1．
∴“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣4＝0 与直线l2：x+（a+1）y+2＝0 平行”的充要条件．
故选：C．
5．（5 分）已知等差数列{an}前17 项和为34，若a3＝﹣10，则a99＝（
）
A．180
B．182
C．﹣178
D．﹣180
【解答】解：∵等差数列{an}前17 项和为34，a3＝﹣10，
∴S17 = 17a1 + 17×16
2
d = 34
a3 = a1 + 2d =−10
，
解得a1＝﹣14，d＝2，
∴a99＝﹣14+98×2＝182．
故选：B．
6．（5 分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2 米，水面宽4 米，则水位下降2 米后（水足够
深），水面宽（
）米．
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A．2 2
B．4 2
C．4 3
D．2 3
【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，
将A（2，﹣2）代入x2＝my，
得m＝﹣2
∴x2＝﹣2y，代入B（x0，﹣4）得x0＝2
2，
故水面宽为4 2m．
故选：B．
7．（5 分）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为4 3，离心率为
1
2．过点F1 的直
线交椭圆于A，B 两点，则△ABF2 的周长为（
）
A．4
B．8
C．16
D．32
【解答】解：∵
c2
a2 =
a2−b2
a2
=1−b2
a2 = 1
4，又b2＝12，∴a2＝16，∴a＝4，
△ABF2 的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a＝16．
故选：C．
8．（5 分）关于x 的不等式x2﹣（m+2）x+2m＜0 的解集中恰有3 个正整数，则实数m 的取值范围为（
）
A．（5，6]
B．（5，6）
C．（2，3]
D．（2，3）
【解答】解：关于x 的不等式x2﹣（m+2）x+2m＜0 可化为
（x﹣m）（x﹣2）＜0，
该不等式的解集中恰有3 个正整数，
∴不等式的解集为{x|2＜x＜m}，且5＜m≤6；
即实数m 的取值范围是（5，6]．
故选：A．
9．（5 分）设m，n 为正实数，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0 与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 相切，则mn 的最
小值为（
）
A．3﹣2 2
B．2 2 +3
C．2 +1
D．2 −1
【解答】解：由直线与圆相切可知|m+n|=
(m + 1)2 + (n + 1)2，整理得（m﹣1）（n﹣1）＝2，
∴m+n＝mn﹣1≥2 mn，
∴mn ≥
2 +1，
∴mn≥3+2 2
当且仅当m＝n 时等号成立，
∴mn 的最小值是3+2 2．
故选：B．
10．（5 分）不等式x2﹣2（a﹣2）x+a＜0 对任意x∈（1，5）恒成立，则实数a 的取值范围为（
）
A．a＞5
B．a≥5
C．﹣5＜a＜5
D．﹣5≤a≤5
【解答】解：根据题意，设f（x）＝x2﹣2（a﹣2）x+a，
若x2﹣2（a﹣2）x+a＜0 对任意x∈（1，5）恒成立，则f（x）＜0 在区间（1，5）上恒成立，
必有f(1) ≤0
f(5) ≤0 ，即1 −2(a −2) + a ≤0
25 −10(a −2) + a ≤0，
解可得：a≥5；
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故选：B．
11．（5 分）已知F1，F2 分别是双曲线
x2
a2 −
y2
16 =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1 的直线与双曲线的右支交
于点P，若|PF2|＝|F1F2|，直线PF1 与圆x2+y2＝a2 相切，则双曲线的焦距为（
）
A．7
B．2 7
C．5
D．10
【解答】解：直线PF1 与圆x2+y2＝a2 相切，切点设为M，连接OM，
可得OM⊥PF1，且|OM|＝a，
由PF2|＝|F1F2|＝2c，取PF1 的中点为N，连接NF2，
可得|NF2|＝2a，
|NF1|=
4c2 −4a2 =2b＝8，
|PF1|＝2|NF1|＝16，
由双曲线的定义可得2a＝|PF1|﹣|PF2|＝16﹣2c，
即a+c＝8，c2﹣a2＝16，
解得c＝5，a＝3，即2c＝10．
故选：D．
12．（5 分）已知函数f（x）＝﹣x2+ax﹣6，g（x）＝x+4，若对任意x1∈（0，+∞），存在x2∈（﹣∞，﹣1]，使f
（x1）≤g（x2），则实数a 的最大值为（
）
A．6
B．4
C．3
D．2
【解答】解：问题转化为f（x）max≤g（x）max，
f（x）＝﹣x2+ax﹣6＝﹣（x2﹣ax）﹣6=−(x −a
2 )2 + a2
4 −6，
对称轴x= a
2 ≤0 即a≤0 时，f（x）在（0，+∞）递减，
f（x）max＝f（0）＝﹣6，
a
2 ＞0 即a＞0 时，f（x）max＝f（
a
2）= a2
4 −6，
g（x）＝x+4 在（﹣∞，﹣1]递增，故g（x）max＝g（﹣1）＝3，
故a ≤0
−6 ≤3或
a＞0
a2
4 −6 ≤3
，解得：a≤6，
故a 的最大值是6，
故选：A．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13．（5 分）已知圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0，则过点M（1，1）的最短弦所在的直线方程是
x+2y﹣3＝0
．
【解答】解：根据题意：弦最短时，则圆心与点M 的连线与直线l 垂直，
∴圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0 即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝13，圆心为：O（2，3），
∴kl=−
1
KOM =−1
2．
由点斜式整理得直线方程为：x+2y﹣3＝0．
故答案为：x+2y﹣3＝0．
14．（5 分）已知条件p：x＜a2﹣3a，条件q：向量a
→=（2，﹣1，﹣3），b
→
=（3，x，2）的夹角为锐角．若p 是q
的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为
0＜a＜3
．
【解答】解：由向量a
→=（2，﹣1，﹣3），b
→
=（3，x，2）的夹角为锐角．
得：2×3+（﹣1）x+（﹣3）×2＞0，解得：x＜0，
又p 是q 的充分不必要条件，
所以a2﹣3a＜0，
即0＜a＜3，
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故答案为：0＜a＜3．
15．（5 分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面边长和侧棱长相等，D 为A1A 的中点，则直线BD 与B1C 所成的角
为
90°
．
【解答】解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面边长和侧棱长相等，D 为A1A 的中点，
以A 为原点，在平面ABC 中过点A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AA1 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设正三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面边长和侧棱长都是2，
则B（3，1，0），D（0，0，1），B1（3，1，2），C（0，2，0），
BD
→
=（−
3，−1，1），B1C
→
=（−
3，1，﹣2），
BD
→
⋅B1C
→
=0，∴BD⊥B1C，
∴直线BD 与B1C 所成的角为90°．
故答案为：90°．
16．（5 分）毕达哥拉斯的生长程序如图所示：正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边再分
别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到511 个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为
1
16
．
【解答】解：设初始正方形个数为a1＝1，依次得到a2＝2，a3＝4，
每一个正方形都可以得到2 个正方形，
∴满足
an+1
an
=2，是以首项为1，公比为2 的等比数列，
∴正方形个数的和为Sn= 1−2n
1−2 =2n﹣1＝511，
即2n＝512 解得n＝9，
第一个正方形的边长设为b1＝1，然后满足
bn+1
bn
=
2
2 ，
∴数列{bn}是以1 为首项，公比为
2
2 的等比数列，
∴b9＝（
2
2 ）8= 1
16，
∴最小的正方形的边长为
1
16．
故答案为：
1
16
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10 分）记Sn 为数列{an}的前n 项和，已知a1＝8，an+1＝Sn+8．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式a1•a2•a3…an＞1000 成立的正整数n 的最小值．
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【解答】解：（Ⅰ）当n＝1 时，a2＝S1+8＝16；
当n≥2 时，an＝Sn﹣1+8，
所以an+1﹣an＝Sn﹣Sn﹣1＝an，
即an+1＝2an，
an+1
an
= 2(n ≥2)，
因为a2＝16，
∴
a2
a1
= 2，
所以数列{an}为等比数列，
所以an = 8 ⋅2n−1 = 2n+2．
（Ⅱ）a1 ⋅a2 ⋅a3⋯an = 23+4+⋯+(n+2) = 2
n(n+5)
2
，
由2
n2+5n
2
＞1000，
即
n2+5n
2
≥10
化简得n2+5n﹣20≥0，
因为函数y＝x2+5x﹣20 在[1，+∞）单调递增，
所以，正整数n 的最小值为3．
18．
（12 分）已知三棱台ABC﹣A1B1C1，AA1⊥平面ABC，底面ABC 为直角三角形，AB＝AC＝2A1C1＝2，AA1 =
2，
点M，N 分别为CC1，A1B1 的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面AB1C；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣N 的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）取B1C1 的中点F，连接NF，FM，∵点M，N 分别为CC1，A1B1 的中点，
∴FM∥B1C，NF∥A1C1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2 分）
又AC∥A1C1，∴NF∥AC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3 分）
∵FM∩NF＝F，∴平面MNF∥平面AB1C，﹣﹣﹣（5 分）
∵MN⊂平面MNF，∴MN∥平面AB1C．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6 分）
（Ⅱ）由题意知AB，AC，AA1 两两垂直，以A 为原点，
分别以AB，AC，AA1 为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7 分）
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，N( 1
2 ，0，2)，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8 分）
∴BC
→
= ( −2，2，0)，BN
→
= ( −3
2 ，0，2)，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9 分）
设平面BCN 的法向量为n＝（x，y，z），由
BC
→
⋅n =−2x + 2y = 0
BN
→
⋅n =−3
2 x +
2z = 0
，
令x＝1，解得y = 1，z = 3 2
4 ，
所以平面BCN 的一个法向量为n = (1，1，3 2
4 )，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）
因为AA1⊥平面ABC，可得平面ABC 的一个法向量为n1＝（0，0，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11 分）
∴cos＜n1，n＞= 3
5，
所以二面角A﹣BC﹣N 的余弦值为
3
5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）
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19．（12 分）已知{an}是公差为3 等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝3，（an+1）bn＝nbn+1．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn＝an•bn，求数列{cn}的前n 项和Sn．
【解答】解：（Ⅰ）当n＝1 时，（a1+1）b1＝b2，解得a1＝b2﹣1＝2，
由已知可得an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，
将an 代入（an+1）bn＝nbn+1，整理可得
bn+1
bn
= 3，
所以数列{bn}为等比数列，
公比q＝3，由b1＝1，可得bn = 3n−1；
（Ⅱ）cn = an ⋅bn = (3n −1)3n−1，
Sn = 2 + 5 ⋅3 + 8 ⋅32 + ⋯+ (3n −1)3n−1（1）
3Sn = 2 ⋅3 + 5 ⋅32 + 8 ⋅33 + ⋯+ (3n −1)3n（2）
（1）﹣（2）可得−2Sn = 2 + 32 + 33 + ⋯+ 3n −(3n −1)3n，
所以−2Sn = 2 + 3n+1−9
2
−(3n −1)3n = (5−6n)3n−5
2
，
即Sn = (6n−5)3n+5
4
．
20．（12 分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD 为等腰梯形，AD∥BC，AB＝BC= 1
2AD＝2，AP⊥平面PCD，且
AP＝PC，点E 为AD 中点．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面APC；
（Ⅱ）求直线AB 与平面PAD 所成角的正弦值．
【解答】（本小题满分12 分）
证明：（Ⅰ）∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD．﹣﹣﹣﹣（1 分）
∵E 为AD 中点，AD∥BC，∴DE＝BC 且DE∥BC，
∴四边形BEDC 为平行四边形，﹣（2 分）
∴BE∥CD，∴AP⊥BE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3 分）∵AB＝AE＝BC 且AE∥BC，
∴四边形ABCE 为菱形，∴AC⊥BE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4 分）
∵AC∩AP＝A，∴BE⊥平面APC．﹣﹣﹣﹣﹣（5 分）
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解：（Ⅱ）在等腰梯形ABCD 中，∵AB = BC = 1
2 AD = 2，∴AD＝2CD＝4，
∵BE⊥平面APC，BE∥CD，∴CD⊥平面APC，∴CD⊥AC，
∴Rt△ACD 中，AC = 2 3，又AP⊥平面PCD，AP＝PC，
∴PO=
3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7 分）∵BE⊥平面APC，∴BO⊥OP，BO⊥OC，
∵AP＝PC，O 为AC 中点，∴PO⊥OC，∴OB，OC，OP 两两垂直，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8 分）
以O 为原点，分别以OB，OC，OP 为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9 分）
则A(0，−
3，0)，B(1，0，0)，P(0，0，3)，E( −1，0，0)，
AE
→
= ( −1，3，0)，AP
→
= (0，3，3)，AB
→
= (1，3，0)，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）
设n
→=（x，y，z）为平面APD 的法向量，
则n
→⋅AE
→
= 0
n
→⋅AP
→
= 0
，∴−x +
3y = 0
y + z = 0
，令z＝1，得n
→=（−
3，−1，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11 分）
设直线AB 与平面PAD 所成角为α，
∴sinα = |cos＜AB
→
，n＞| =
15
5 ，
∴直线AB 与平面PAD 所成角的正弦值为
15
5 ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）
21．（12 分）已知双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y =
3
3 x，点(2 3，1)在双曲线上，抛物线
y2＝2px（p＞0）的焦点F 与双曲线的右焦点重合．
（Ⅰ）求双曲线和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点F 做互相垂直的直线l1，l2，设l1 与抛物线的交点为A，B，l2 与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|
的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得
b
a =
3
3 ，即a =
3b，
所以双曲线方程为x2﹣3y2＝3b2，
将点（2 3，1）代入双曲线方程，可得b2＝3，
所以双曲线的标准方程为
x2
9 −
y2
3 = 1，
c2＝a2+b2＝12，所以
p
2 = c = 2
3，
所以抛物线的方程为y2 = 8 3x．
（Ⅱ）由题意知F(2 3，0)，l1，l2 与坐标轴不平行，
设直线l1 的方程为y = k(x −2 3)，
y = k(x −2 3)
y2 = 8 3x
，整理可得k2x2 −(4 3k2 + 8 3)x + 12k2 = 0，
△＞0 恒成立，∴xA + xB = 4 3k2+8 3
k2
，
因为直线l1，l2 互相垂直，可设直线l2 的方程为y =−1
k (x −2 3)，
同理可得xD + xE = 8 3k2 + 4 3，|AB| + |DE| = xA + xB + xD + xE + 2p = 4 3k2+8 3
k2
+ 8 3k2 + 4 3 + 8 3
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= 16 3 + 8 3(k2 + 1
k2 ) ≥32 3．
当且仅当k＝±1 时取等号，所以|AB|+|DE|的最小值为32 3．
22．（12 分）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2 3，点P 为椭圆上一点，∠F1PF2
＝90°，△F1PF2 的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点B 为椭圆的上顶点，过椭圆内一点M（0，m）的直线l 交椭圆于C，D 两点，若△BMC 与△BMD
的面积比为2：1，求实数m 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设|PF1|＝p，|PF2|＝q，
由题意可得，pq＝2，p2+q2＝12，
2a =
(p + q)2 =
p2 + q2 + 2pq = 4，
所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝4﹣3＝1，
所求椭圆的标准方程为
x2
4 + y2 = 1．
（Ⅱ）因为△BMC 与△BMD 的面积比为2：1，所以|CM|＝2|DM，
由题意知，直线l 的斜率必存在，设为k（k≠0），
设直线l 的方程为y＝kx+m，C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1＝﹣2x2，
联立y = kx + m
x2 + 4y2 = 4，整理得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由△＞0 得4k2﹣m2+1＞0，x1 + x2 = −8km
4k2+1，x1x2 =
4m2−4
4k2+1 ，
由x1＝﹣2x2 可求得
x2 = 8km
4k2+1
−2x2
2 = 4m2−4
4k2+1
，
可得−2 ⋅64k2m2
(4k2+1)2 = 4m2−4
4k2+1 ，
整理得4k2 = 1−m2
9m2−1，
由k2＞0，4k2﹣m2+1＞0 可得
1−m2
9m2−1 ＞0，
1
9 ＜m2＜1，
解得
1
3 ＜m＜1 或−1＜m＜−1
3．
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日期：2019/12/27 12:29:43；用户：13029402512 ；邮箱：13029402512 ；学号：24164265
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第72页（共926页）
2019-2020 学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5 分，共60 分）
1．（5 分）（2015•安徽）设i 是虚数单位，则复数
2i
1−i在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（5 分）（2017•和平区校级模拟）工商局对超市某种食品抽查，这种食品每箱装有6 袋，经检测，某箱中每袋的
重量（单位：克）如以下茎叶图所示．则这箱食品一袋的平均重量和重量的中位数分别为（
）
A．249，248
B．249，249
C．248，249
D．248，249
3．（5 分）（2013•新课标Ⅰ）从1，2，3，4 中任取2 个不同的数，则取出的2 个数之差的绝对值为2 的概率是（
）
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
6
4．（5 分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，
验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为（
）
A．134 石
B．169 石
C．338 石
D．1365 石
5．（5 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）曲线f(x) = 1
x在点( 1
2 ，2)处的切线的斜率为（
）
A．﹣4
B．﹣2
C．2
D．4
6．（5 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
7．（5 分）（2015•大观区校级四模）−1
׬
0（x﹣ex）dx＝（
）
A．﹣1−1
e
B．﹣1
C．−3
2 + 1
e
D．−3
2
8．（5 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据
图形的构成，此数列的第2016 项与5 的差，即a2016﹣5＝（
）
A．2 018×2 014
B．2 018×2 013
C．1 011×2 015
D．1 010×2 012
9．（5 分）（2010•广州一模）在棱长为2 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，点O 在底面ABCD 中心，在正方体ABCD
﹣A1B1C1D1 内随机取一点P 则点P 与点O 距离大于1 的概率为（
）
A．
π
12
B．1 −π
12
C．
π
6
D．1 −π
6
10．（5 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）已知f（x）＝ax2+2x+a，x∈R，若函数g（x）＝x3﹣（a2﹣2）x﹣f（x）在
区间（﹣1，3）上单调递减，则实数a 的取值范围是（
）
A．a＜﹣1 或a＞3
B．a≤﹣1 或a≥3
C．a＜﹣9 或a＞3
D．a≤﹣9 或a≥3
11．（5 分）（2014•安庆三模）函数f（x）的定义域是R，f（0）＝2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式
ex•f（x）＞ex+1 的解集为（
）
A．{x|x＞0}
B．{x|x＜0}
C．{x|x＜﹣1，或x＞1}
D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}
12．（5 分）（2018•德阳模拟）已知函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c 的两个极值点分别在（﹣1，0）与（0，1）内，则
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2a﹣b 的取值范围是（
）
A．( −3
2 ，3
2 )
B．( −3
2 ，1)
C．( −1
2 ，3
2 )
D．(1，3
2 )
二、填空题（每小题5 分，共计20 分）
13．（5 分）（2012•武汉模拟）复数
5
i−2的共轭复数是
．
14．（5 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则
f′（2）＝
．
15．（5 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）= 1
3x3+ax2+b2x+1，若a 是从1，2，3 三个数中任取的一个
数，b 是从0，1，2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为
．
16．（5 分）（2014•东湖区校级模拟）曲线f（x）＝ax5+lnx 存在垂直y 轴的切线则实数a 的取值范围是
．
三、解答题（共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）（1）若复数z＝1﹣i−a−i
1+i是实数（其中a∈R，i 是虚数单位），则求a 的值．
（2）求曲线y=
x，直线y＝x﹣2 及y 轴所围成的封闭图形的面积．
18．（12 分）（2017•长沙模拟）如图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～
90 分数段的学员数为21 人．
（Ⅰ）求该专业毕业总人数N 和90～95 分数段内的人数n；
（Ⅱ）现欲将90～95 分数段内的n 名人分配到几所学校，从中安排2 人到甲学校去，若n 人中仅有两名男生，
求安排结果至少有一名男生的概率．
19．（12 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）＝ax2+blnx 在x＝1 处有极值
1
2．
（1）求a，b 的值和函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[ 1
e ，e]上的最值
20．（12 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）已知向量a
→= (1，−2)，b
→
= (x，y)．
（Ⅰ）若x，y∈R，且1≤x≤6，1≤y≤6，求满足a
→⋅b
→
＞0 的概率．
（Ⅱ）若x，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次
时第一次、第二次出现的点数，求满足a
→⋅b
→
=−1 的概率．
21．（12 分）（2015•宝鸡一模）设函数f（x）＝ex﹣ax2﹣ex﹣2，其中e 为自然对数的底数．
（Ⅰ）a＝1 时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）函数h（x）是f（x）的导函数，求函数h（x）在区间[0，1]上的最小值．
22．（12 分）（2017•三门峡一模）已知函数f（x）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1 时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，
1
3）上无零点，求a 的取值范围．
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2019-2020 学年宁夏银川一中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5 分，共60 分）
1．（5 分）（2015•安徽）设i 是虚数单位，则复数
2i
1−i在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．
【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．
【解答】解：
2i
1−i =i（1+i）＝﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．
2．（5 分）（2017•和平区校级模拟）工商局对超市某种食品抽查，这种食品每箱装有6 袋，经检测，某箱中每袋的
重量（单位：克）如以下茎叶图所示．则这箱食品一袋的平均重量和重量的中位数分别为（
）
A．249，248
B．249，249
C．248，249
D．248，249
【考点】BA：茎叶图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】由茎叶图，能示出食品的平均重量和重量的中位数．
【解答】解：由茎叶图知，这箱食品一袋的平均重量为249+ −1−1+0+0+1+1
6
=249．重量的中位数为
249+249
2
=249．
故选：B．
【点评】本题主要考查由茎叶图求调查数据，平均数以及中位数；属于基础题．
3．（5 分）（2013•新课标Ⅰ）从1，2，3，4 中任取2 个不同的数，则取出的2 个数之差的绝对值为2 的概率是（
）
A．
1
2
B．
1
3
C．
1
4
D．
1
6
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4 个不同的数中随机的抽2 个，共有C42 种结
果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2 的有两种，得到概率．
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从4 个不同的数中随机的抽2 个，共有C42＝6 种结果，
满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2 种结果，分别是（1，3），（2，4），
∴要求的概率是
2
C4
2 =
1
3．
故选：B．
【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数
来理解也可以做出正确的结果．
4．（5 分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，
验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为（
）
A．134 石
B．169 石
C．338 石
D．1365 石
【考点】B2：简单随机抽样．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】根据254 粒内夹谷28 粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534× 28
254 ≈169 石，
故选：B．
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
5．（5 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）曲线f(x) = 1
x在点( 1
2 ，2)处的切线的斜率为（
）
A．﹣4
B．﹣2
C．2
D．4
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【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．
【分析】求出函数的导数，代入x 的值，求出切线的斜率即可．
【解答】解：f′（x）=−1
x2，
故f′（
1
2）＝﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了导数的应用，考查切线的斜率问题，是一道基础题．
6．（5 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】直接利用程序框图求出结果．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
k＝1，s＝1
s＝1，
不满足条件s＞15，执行循环体，k＝2，s＝2
不满足条件s＞15，执行循环体，k＝3，s＝6
不满足条件s＞15，执行循环体，k＝4，s＝15
不满足条件s＞15，执行循环体，k＝5，s＝31
满足条件s＞15，退出循环，输出k 的值为5．
故选：A．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
7．（5 分）（2015•大观区校级四模）−1
׬
0（x﹣ex）dx＝（
）
A．﹣1−1
e
B．﹣1
C．−3
2 + 1
e
D．−3
2
【考点】67：定积分、微积分基本定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．
【分析】−1
׬
0（x﹣ex）dx＝（
1
2x2﹣ex）|−1
0 ，从而解得．
【解答】解：−1
׬
0（x﹣ex）dx
＝（
1
2x2﹣ex）|−1
0
＝（0﹣1）﹣（
1
2 −
1
e）
= 1
e −3
2；
故选：C．
【点评】本题考查了积分的运算，属于基础题．
8．（5 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）将石子摆成如图的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据
图形的构成，此数列的第2016 项与5 的差，即a2016﹣5＝（
）
A．2 018×2 014
B．2 018×2 013
C．1 011×2 015
D．1 010×2 012
【考点】F1：归纳推理．菁优网版权所有
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
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【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5M：推理和证明．
【分析】根据前面图形中，编号与图中石子的个数之间的关系，分析他们之间存在的关系，并进行归纳，用得到
一般性规律，即可求得结论．
【解答】解：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：
n＝1 时，a1＝2+3= 1
2 ×（2+3）×2；
n＝2 时，a2＝2+3+4= 1
2 ×（2+4）×3；
…
由此我们可以推断：
an＝2+3+…+（n+2）= 1
2[2+（n+2）]×（n+1）
∴a2016﹣5= 1
2 ×[2+（2016+2）]×（2016+1）﹣5＝1011×2015．
故选：C．
【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个
明确表达的一般性命题（猜想）．
9．（5 分）（2010•广州一模）在棱长为2 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，点O 在底面ABCD 中心，在正方体ABCD
﹣A1B1C1D1 内随机取一点P 则点P 与点O 距离大于1 的概率为（
）
A．
π
12
B．1 −π
12
C．
π
6
D．1 −π
6
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型；11：计算题；13：作图题．
【分析】本题是几何概型问题，欲求点P 与点O 距离大于1 的概率，先由与点O 距离等于1 的点的轨迹是一个
半球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解．
【解答】解：本题是几何概型问题，
与点O 距离等于1 的点的轨迹是一个半球面，
其体积为：V1= 1
2 × 4
3 π × 13 = 2π
3
“点P 与点O 距离大于1 的概率”事件对应的区域体积为23−2π
3 ，
则点P 与点O 距离大于1 的概率是
23−2π
3
23
= 1 −
π
12．
故选：B．
【点评】本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体和体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转
化思想．属于基础题．
10．（5 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）已知f（x）＝ax2+2x+a，x∈R，若函数g（x）＝x3﹣（a2﹣2）x﹣f（x）在
区间（﹣1，3）上单调递减，则实数a 的取值范围是（
）
A．a＜﹣1 或a＞3
B．a≤﹣1 或a≥3
C．a＜﹣9 或a＞3
D．a≤﹣9 或a≥3
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．
【分析】求出函数g（x）的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于a 的不等式，解出即可．
【解答】解：由题意g（x）＝x3﹣ax2﹣a2x﹣a，
故g′（x）＝3x2﹣2ax﹣a2＝（3x+a）（x﹣a），
由g（x）在（﹣1，3）递减，
则（3x+a）（x﹣a）≤0 在x∈（﹣1，3）恒成立，
故a≥3 或−a
3 ≥3，
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第77页（共926页）
故a≥3 或a≤﹣9，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．
11．（5 分）（2014•安庆三模）函数f（x）的定义域是R，f（0）＝2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式
ex•f（x）＞ex+1 的解集为（
）
A．{x|x＞0}
B．{x|x＜0}
C．{x|x＜﹣1，或x＞1}
D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}
【考点】3E：函数单调性的性质与判断；63：导数的运算．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】构造函数g（x）＝ex•f（x）﹣ex，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g（0）＝1，可得不
等式ex•f（x）＞ex+1 的解集．
【解答】解：令g（x）＝ex•f（x）﹣ex，
则g′（x）＝ex•[f（x）+f′（x）﹣1]
∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，
∴g′（x）＞0 恒成立
即g（x）＝ex•f（x）﹣ex 在R 上为增函数
又∵f（0）＝2，∴g（0）＝1
故g（x）＝ex•f（x）﹣ex＞1 的解集为{x|x＞0}
即不等式ex•f（x）＞ex+1 的解集为{x|x＞0}
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g（x）＝ex•f（x）﹣ex，是解
答的关键．
12．（5 分）（2018•德阳模拟）已知函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c 的两个极值点分别在（﹣1，0）与（0，1）内，则
2a﹣b 的取值范围是（
）
A．( −3
2 ，3
2 )
B．( −3
2 ，1)
C．( −1
2 ，3
2 )
D．(1，3
2 )
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；5T：不等式．
【分析】求出导函数f′（x）＝3x2+4ax+3b，由3x2+4ax+3b＝0 的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，
列出约束条件，利用线性规划求解2a﹣b 的取值范围．
【解答】解：由函数f（x）＝x3+2ax2+3bx+c，求导f′（x）＝3x2+4ax+3b，
f（x）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内，
由3x2+4ax+3b＝0 的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，
即
f'(0)＜0
f'( −1)＞0
f'(1)＞0
，令z＝2a﹣b，
∴转化为在约束条件为
3b＜0
3 −4a + 3b＞0
3 + 4a + 3b＞0
时，求z＝2a﹣b 的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），
目标函数转化为z＝2a﹣b，由图可知，z 在A（
3
4，0）处取得最大值
3
2，在（−3
4，0）处取得最小值−3
2，
因为可行域不包含边界，∴z＝2a﹣b 的取值范围（−3
2，
3
2）．
故选：A．
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
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【点评】本题考查导数求导法则，导数极值的综合应用，考查平面线性规划的运用，考查学生的计算能力，属于
中档题．
二、填空题（每小题5 分，共计20 分）
13．（5 分）（2012•武汉模拟）复数
5
i−2的共轭复数是
﹣2+i
．
【考点】A1：虚数单位i、复数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出复数的代数形式的标准形式，再
把复数的实部不变，虚部变为原来的相反数，得到要求的共轭复数．
【解答】解：∵复数
5
i−2 =
5(−2−i)
(−2+i)(−2−i) =
5(−2−i)
5
=−2 −i
∴复数
5
i−2的共轭复数是﹣2+i，
故答案为：﹣2+i
【点评】本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题解题的关键是对于所给的复数需要正确的运算，
得到复数的代数形式的标准形式，这样才可以变换为共轭复数，本题要注意在进行除法运算时，分子和分母同乘
以分母的共轭复数﹣2﹣i，这里容易出错，本题是一个基础题．
14．（5 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则
f′（2）＝
−3
2
．
【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．
【分析】可求出导函数f'(x) = 2f'(1) + 1
x，从而可求出f′（1）＝﹣1，这样即可得出f'(x) =−2 + 1
x，从而可求
出f′（2）的值．
【解答】解：f'(x) = 2f'(1) + 1
x；
∴f′（1）＝2f′（1）+1；
∴f′（1）＝﹣1；
∴f'(x) =−2 + 1
x；
∴f'(2) =−3
2．
故答案为：−3
2．
【点评】考查基本初等函数的求导公式，以及已知函数求值的方法．
15．（5 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）= 1
3x3+ax2+b2x+1，若a 是从1，2，3 三个数中任取的一个
数，b 是从0，1，2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为
2
3
．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】f′（x）＝x2+2ax+b2，要满足题意需x2+2ax+b2＝0 有两不等实根，由此能求出该函数有两个极值点的
概率．
【解答】解：∵f（x）= 1
3x3+ax2+b2x+1，
∴f′（x）＝x2+2ax+b2，
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要满足题意需x2+2ax+b2＝0 有两不等实根，
即△＝4（a2﹣b2）＞0，即a＞b，
又a，b 的取法共3×3＝9 种，
其中满足a＞b 的有（1，0），（2，0），（2，1），
（3，0），（3，1），（3，2）共6 种，
故所求的概率为P= 6
9 = 2
3．
故答案为：
2
3．
【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、根的判别式、等可能事件概率计
算公式的合理运用．
16．
（5 分）
（2014•东湖区校级模拟）曲线f（x）＝ax5+lnx 存在垂直y 轴的切线则实数a 的取值范围是（﹣∞，0）．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由f（x）＝ax5+lnx 有垂直与y 轴的切线，知f（x）函数在某一个点处的导数等于零．由f（x）的定义
域为x＞0，f′（x）＝5ax4+ 1
x，知原题等价于5ax2+1＝0 有解时求a 的取值范围．由此能求出a 的取值范围．
【解答】解：∵f（x）＝ax5+lnx 有垂直与y 轴的切线，
∴f（x）函数在某一个点处的导数等于零．
由函数的表达式可知f（x）的定义域为x＞0
∵f′（x）＝5ax4+ 1
x，根据上面的推断，
即方程5ax4+ 1
x =0 有解．即等于价于5ax5+1＝0 有解时求a 的取值范围．
结合x 为正数，解得a＜0
因此，a 的取值范围是（﹣∞，0）．
故答案为：（﹣∞，0）．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程的应用，运用到了求导知识点，解题时要认真审题，仔细
解答，注意合理地进行等价转化．
三、解答题（共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）（1）若复数z＝1﹣i−a−i
1+i是实数（其中a∈R，i 是虚数单位），则求a 的值．
（2）求曲线y=
x，直线y＝x﹣2 及y 轴所围成的封闭图形的面积．
【考点】69：定积分的应用；A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；36：整体思想；4G：演绎法；52：导数的概念及应用；5N：数系的扩充和复数．
【分析】（1）首先化简所给的复数，然后求解实数a 的值即可；
（2）首先确定交点坐标，然后利用定积分求解封闭图形的面积即可．
【解答】解：（1）z = 1 −i −a−i
1+i = 1 −i −(a−i)(1−i)
(1+i)(1−i) = 1 −i −a−1−(a+1)i
2
= 1 −a−1
2
+ a−1
2 i，
z 是实数，∴
a−1
2
= 0，∴a＝1．
（2）由y =
x
y = x −2 解得x＝4，y＝2，
故面积为
0
4
׬
( x −x + 2)dx = ( 2
3 x
3
2 −x2
2 + 2x)|0
4 = 16
3 ．
【点评】本题主要考查复数的运算法则与分类，定积分的计算等知识，属于中等题．
18．（12 分）（2017•长沙模拟）如图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～
90 分数段的学员数为21 人．
（Ⅰ）求该专业毕业总人数N 和90～95 分数段内的人数n；
（Ⅱ）现欲将90～95 分数段内的n 名人分配到几所学校，从中安排2 人到甲学校去，若n 人中仅有两名男生，
求安排结果至少有一名男生的概率．
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【考点】B8：频率分布直方图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，先求出80～90 分数段频率，即可求出N，再用1 减去成绩落在其它区间上
的频率，即得成绩落在90～95 上的频率，继而期初该段的人数
（Ⅱ）一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可
【解答】解：（Ⅰ）80～90 分数段频率为P1＝（0.04+0.03）×5＝0.35，
此分数段的学员总数为21 人所以毕业生，
的总人数N 为N= 21
0.35 =60，
90～95 分数段内的人数频率为P1＝1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5＝0.1
所以90～95 分数段内的人数n＝60×0.1＝6，
（Ⅱ）90～95 分数段内的6 人中有两名男生，4 名女生
设男生为1，2；女生为3，4，5，6，设安排结果中至少有一名男生为事件A
从中取两名毕业生的所有情况（基本事件空间）为12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，
46，56 共15 种组合方式，
每种组合发生的可能性是相同的，其中，至少有一名男生的种数为12，13，14，15，16，23，24，25，26 共9
种
所以，P（A）= 9
15 = 3
5
【点评】本题主要考查频率分布直方图、等可能事件的概率，属基础题．
19．（12 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）已知函数f（x）＝ax2+blnx 在x＝1 处有极值
1
2．
（1）求a，b 的值和函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[ 1
e ，e]上的最值
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）函数f（x）＝ax2+blnx 在x＝1 处有极值
1
2，得到f（1）= 1
2，f′（1）＝0 得到a、b 即可；找到函
数的定义域，求出导函数，能求出函数f（x）的单调区间．
（2）根据函数的单调性即可求出函数的最值
【解答】解：（1）f'(x) = 2ax + b
x
由题意f(1) = 1
2
f'(1) = 0
⇒a + bln1 = a + 0 = 1
2
2a + b = 0
⇒a = 1
2
b =−1
；
所以：f(x) = 1
2 x2 −lnx，定义域为（0，+∞）
令f'(x)＞0 ⇒x −1
x ＞0⇒x2﹣x＞0⇒x＞1，∴单增区间为（1，+∞）；
令f'(x)＜0 ⇒x −1
x ＜0⇒x2﹣x＜0⇒0＜x＜1，∴单减区间为（0，1）
（2）由（1）知在区间[ 1
e ，1]函数f（x）单调递减，在区间[1，e]函数f（x）单调递增，
所以f(x)min = f(1) = 1
2，
而f( 1
e ) = 1 + 1
2e2，f(e) = e2
2 −1，
所以f(x)max = f(e) = e2
2 −1．
【点评】本题考查函数解析式的求法，考查函数的单调区间和最值的求法，考查推理能力，考查运算能力，解题
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时要注意等价转化思想的合理运用．
20．（12 分）（2018 秋•兴庆区校级期末）已知向量a
→= (1，−2)，b
→
= (x，y)．
（Ⅰ）若x，y∈R，且1≤x≤6，1≤y≤6，求满足a
→⋅b
→
＞0 的概率．
（Ⅱ）若x，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次
时第一次、第二次出现的点数，求满足a
→⋅b
→
=−1 的概率．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（1）由已知得到满足a
→⋅b
→
＞0 的事件概率符合几何概型的概率，只要求出区域的面积比即可；
（2）符合古典概型概率的求法，只要列举出所有的事件和满足a
→⋅b
→
=−1 的事件，由古典概型概率公式解答．
【解答】解：（Ⅰ）用B 表示事件“a
→⋅b
→
＞0”，即x﹣2y＞0…（1 分）
试验的全部结果所构成的区域为
{（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6}，…（3 分）
构成事件B 的区域为{（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6，x﹣2y＞0}，
如图所示…（5 分）
所以所求的概率为P（B）=
1
2×4×2
5×5
= 4
25 ⋯（6 分）
（Ⅱ）设（x，y）表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），…，（6，5），
（6，6），共36 个．…（8 分）
用A 表示事件“a
→⋅b
→
=−1”，即x﹣2y＝﹣1…（9 分）
则A 包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3 个…（10 分）
∴P（A）= 3
36 = 1
12 ⋯（12 分）
【点评】本题考查了两类概率的求法；古典概型的概率主要明确所有事件和所求事件的个数，由古典概型的概率
公式解答；几何概型的概率求法要由具体的实验决定事件的测度是区域的长度还是面积或者体积，然后由概率公
式解答．
21．（12 分）（2015•宝鸡一模）设函数f（x）＝ex﹣ax2﹣ex﹣2，其中e 为自然对数的底数．
（Ⅰ）a＝1 时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）函数h（x）是f（x）的导函数，求函数h（x）在区间[0，1]上的最小值．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）通过a＝1 时，化简f（x），求出函数的导数，求出切线的斜率以及切点坐标，然后求解切线方程．
（Ⅱ）求出函数的导数，通过h（x）＝f'（x），利用新函数的导数h'（x）＝ex﹣2a，利用（1）当a ≤1
2，h（x）
在[0，1]上的单调性，推出h（x）≥1﹣e．（2）当a＞e
2时，推出h（x）≥﹣2a．（3）当
1
2 ＜a ≤
e
2时，通过导数
求解h（x）≥2a﹣2aln2a﹣e．
【解答】解：（Ⅰ）a＝1 时，f（x）＝ex﹣x2﹣ex﹣2，
∵f'（x）＝ex﹣2x﹣e，
∴f（1）＝e1﹣12﹣e×1﹣2＝﹣3，f'（1）＝﹣2，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+3＝﹣2（x﹣1）．
即2x+y+1＝0…（6 分）
（Ⅱ）f（x）＝ex﹣ax2﹣ex﹣2，h（x）＝f'（x）＝ex﹣2ax﹣e，h'（x）＝ex﹣2a，
（1）当a ≤1
2时，∵x∈[0，1]，1≤ex≤e，∴2a≤ex 恒成立，
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即h'（x）＝ex﹣2a≥0，h（x）在[0，1]上单调递增，
所以h（x）≥h（0）＝1﹣e．
（2）当a＞e
2时，∵x∈[0，1]，1≤ex≤e，∴2a＞ex 恒成立，
即h'（x）＝ex﹣2a＜0，h（x）在[0，1]上单调递减，
所以h（x）≥h（1）＝﹣2a．
（3）当
1
2 ＜a ≤
e
2时，h'（x）＝ex﹣2a＝0 得x＝ln（2a）h（x）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a，1]上单调递增，
所以h（x）≥h（ln2a）＝2a﹣2aln2a﹣e…（12 分）
【点评】本题考查函数的导数的应用切线方程的求法，函数的单调性已经函数的导数在闭区间上的最值的求法，
考查分析问题解决问题的能力．
22．（12 分）（2017•三门峡一模）已知函数f（x）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1 时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，
1
3）上无零点，求a 的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为x∈（0，
1
3），a＞2−2lnx
x−1恒成立，令h（x）＝2−2lnx
x−1，x∈（0，
1
3），根据函数的单调性求出h
（x）的最大值，从而求出a 的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1 时，f（x）＝x﹣1﹣2lnx，则f′（x）＝1−2
x，
由f′（x）＞0，得x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；
（Ⅱ）因为f（x）＜0 在区间（0，
1
3）上恒成立不可能，
故要使函数f（x）在（0，
1
3）上无零点，
只要对任意的x∈（0，
1
3），f（x）＞0 恒成立，
即对x∈（0，
1
3），a＞2−2lnx
x−1恒成立．
令h（x）＝2−2lnx
x−1，x∈（0，
1
3），
则h′（x）= 2lnx+2
x−2
(x−1)2 ，
再令m（x）＝2lnx+ 2
x −2，x∈（0，
1
3），
则m′（x）= −2(1−x)
x2
＜0，
故m（x）在（0，
1
3）上为减函数，
于是，m（x）＞m（
1
3）＝4﹣3ln3＞0，
从而h′（x）＞0，于是h（x）在（0，
1
3）上为增函数，
所以h（x）＜h（
1
3）＝2﹣3ln3，
∴a 的取值范围为[2﹣3ln3，+∞）．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
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考点卡片
1．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2 时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是增函数；当x1＞x2 时，都有f（x1）＜f（x2），
那么就说函数f（x）在区间D 上是减函数．
若函数f（x）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫
做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0 的根和不可导点的x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a 或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填
空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基
本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍
将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化
与化归思想及逻辑推理能力．
2．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C 为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0 且a≠1）⑦[logax）]′= 1
x*（logae）=
1
xlna（a＞0 且a≠1）⑧[lnx]′= 1
x．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[
f(x)
g(x)]′= [f'(x)g(x)−f(x)g'(x)]
[g(x)2]
．
3、复合函数的导数
设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′
（2015）﹣f′（﹣2015）＝（
）
A．0
B．2014
C．2015
D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
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故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（
）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx
B．（lnx﹣2x）′= 1
x −2xln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x
D．（
sinx
x ）′= xcosx−sinx
x2
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx 成立，故A 正确；
对于选项B，(lnx −2x)' = 1
x −2xln2 成立，故B 正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C 不正确；
对于选项D，( sinx
x )' = xcosx−sinx
x2
成立，故D 正确．
故选C．
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，
而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注
意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
3．定积分、微积分基本定理
【定积分】
定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形
的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．
【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及
其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微
积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是a
b
׬
f(x)dx = F(b) −F(a)，其中F′（x）＝f（x），而f（x）必须在区间
（a，b）内连续．
例1：定积分1
2
׬
|3 −2x|dx =
解：
׬12|3﹣2x|dx
=
1
3
2
׬
(3 −2x)dx +
3
2
2
׬
(2x −3)dx
＝（3x﹣x2）|
1
3
2 +（x2﹣3x）|
3
2
2
= 1
2
通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达
式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则−3
3
׬
9 −x2dx．
解：根据定积分的几何意义，则−3
3
׬
9 −x2dx 表示圆心在原点，半径为3 的圆的上半圆的面积，
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第85页（共926页）
故−3
3
׬
9 −x2dx = 1
2 × π × 32 = 9π
2 ．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的
面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，
上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．
4．定积分的应用
【应用概述】
正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用
也就和求面积相关．
例1：定积分0
3π
2
׬
|sinx|dx 的值是．
解：0
3π
2
׬
|sinx|dx=
0
π
׬
sinxdx +
π
3π
2
׬
( −sinx)dx
＝﹣cosx|0
π +cosx|π
3π
2
＝1+1+0﹣（﹣1）
＝3．
这个题如果这样子出，|sinx|在区间（0，
3π
2 ）上与x 轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用
题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．
【定积分在求面积中的应用】
1、直角坐标系下平面图形的面积
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2、极坐标系下平面图形的面积
由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为
3、用定积分求平面图形的面积的步骤
a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；
b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；
c）具体计算定积分，求出图形的面积．
5．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
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（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集
的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集
的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确
定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（
）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x) = x3 + x2[f'(x) +
m
2 ]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
ln2
2 ×
ln3
3 ×
ln4
4 × ⋯×
lnn
n ＜
1
n (n ≥2，n ∈N∗)．
解：（Ⅰ）f'(x) = a(1−x)
x
(x＞0)（2 分）
当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）
（Ⅱ）f'(2) =−a
2 = 1 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴g(x) = x3 + ( m
2 + 2)x2 −2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g'(t)＜0
g'(3)＞0
(8 分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0 恒成立，
所以有：
g'(1)＜0
g'(2)＜0
g'(3)＞0
，∴−37
3 ＜m＜−9（10 分）
（Ⅲ）令a＝﹣1 此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1 对一切x∈（1，+∞）成立，（12 分）
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∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnn
n ＜n−1
n
∴
ln2
2 ⋅
ln3
3 ⋅
ln4
4 ⋅⋅
lnn
n ＜
1
2 ⋅
2
3 ⋅
3
4 ⋅⋅
n−1
n
=
1
n (n ≥2，n ∈N∗)
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完
全类似）．即在区间内f′（x）＞0 是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
6．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说
f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y 极大值＝f（x0），x0 是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f
（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y 极小值＝f（x0），x0 是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不
意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能
在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0 满足f′（x0）＝0，且在x0 的两侧f（x）的导数异号，则x0 是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′
（x）在x0 两侧满足“左正右负”，则x0 是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0 两侧满足“左
负右正”，则x0 是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0 的根；
（3）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左
右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极
小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函
数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
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一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）= 1
x在（0，+∞）内连
续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函
数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点
时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
8．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导
数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在
解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率
的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1 处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1 时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线
方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
9．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设a
→，b
→
都是非零向量，e
→是与b
→
方向相同的单位向量，a
→与b
→
和夹角为θ，则：
（1）a
→⋅e
→= e
→⋅a
→=|a
→|cosθ；
（2）a
→⊥b
→
⇔a
→⋅b
→
=0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当a
→，b
→
方向相同时，a
→⋅b
→
=|a
→||b
→
|；当a
→，b
→
方向相反时，a
→⋅b
→
=−|a
→||b
→
|；
特别地：a
→⋅a
→=|a
→|2 或|a
→|=
a
→⋅a
→（用于计算向量的模）
（4）cosθ=
a
→⋅b
→
|a
→||b
→
|
（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）|a
→⋅b
→
|≤|a
→||b
→
|
2、平面向量数量积的运算律
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（1）交换律：a
→⋅b
→
= b
→
⋅a
→；
（2）数乘向量的结合律：（λa
→）•b
→
=λ（a
→⋅b
→
）= a
→•（λb
→
）；
（3）分配律：（a
→⋅b
→
）•c
→≠a
→•（b
→
⋅c
→）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（a
→±b
→
）2= a
→2±2a
→•b
→
+ b
→2．②（a
→−b
→
）（a
→+ b
→
）= a
→2−b
→2．③a
→•（b
→
•c
→）
≠（a
→•b
→
）•c
→，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a
→⋅b
→
= b
→
⋅a
→”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a
→+ b
→
）•c
→= a
→⋅c
→+ b
→
⋅c
→”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c
→≠0，a
→⋅c
→= b
→
⋅c
→⇒a
→= c
→”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a
→⋅b
→
|＝|a
→|•|b
→
|”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a
→⋅b
→
）• c
→= a
→⋅(b
→
⋅c
→)”；
⑥“
ac
bc =
a
b”类比得到
a
→⋅c
→
b
→
⋅c
→=
b
→
a
→．以上的式子中，类比得到的结论正确的是
①②
．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“a
→⋅b
→
= b
→
⋅a
→”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a
→+ b
→
）• c
→= a
→⋅c
→+ b
→
⋅c
→”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“ c
→≠0，a
→⋅c
→= b
→
⋅c
→⇒a
→= c
→”，
即③错误；
∵|a
→⋅b
→
|≠|a
→|•|b
→
|，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a
→⋅b
→
|＝|a
→|•|b
→
|”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a
→⋅b
→
）• c
→= a
→⋅(b
→
⋅c
→)”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴
ac
bc =
a
b”不能类比得到
a
→⋅c
→
b
→
⋅c
→=
b
→
a
→，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a
→⋅b
→
= b
→
⋅a
→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”
类比得到“（a
→+ b
→
）•c
→= a
→⋅c
→+ b
→
⋅c
→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“ c
→≠0，
a
→⋅c
→= b
→
⋅c
→⇒a
→= c
→”；|a
→⋅b
→
|≠|a
→|•|b
→
|，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a
→⋅b
→
|＝|a
→|•|b
→
|”；向量的数量积不满足结
合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a
→⋅b
→
）• c
→= a
→⋅(b
→
⋅c
→)”；向量的数量积不满足消元律，故
ac
bc =
a
b”
不能类比得到
a
→⋅c
→
b
→
⋅c
→=
b
→
a
→．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，
所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
10．虚数单位i、复数
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【虚数单位i 的概念】
i 是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i 是﹣1 的平方根．我们把a+bi 的数叫做复数，把a＝0 且b≠0 的数叫做
纯虚数，a≠0，且b＝0 叫做实数．复数的模为a2 + b2．
【复数的运算】
①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．
②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．
【例题解析】
例：定义运算a
b
c
d = ad −bc，则符合条件1
−1
z
zi
= 4 + 2i 的复数z 为．
解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z= 4+2i
1+i = (4+2i)(1−i)
(1+i)(1−i) = 6−2i
2
=3﹣i．
这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一
步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前
面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a 和b，这种类型
的题一般用待定系数法．
【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b 分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi 为实数；若
b≠0，则a+bi 为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi 为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：OZ
→
的长度叫做复数z＝a+bi 的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=
a2 + b2．
11．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是1，
y 轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，
b）→平面向量OZ
→
．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z 对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z 对应的点与复数z0 对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z =z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi 为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0 时，z−z =2bi 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z+ z =0 且z≠0．
12．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
13．简单随机抽样
【知识点的认识】
1．定义：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时
总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
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2．特点：
（1）有限性：总体个体数有限；
（2）逐个性：每次只抽取一个个体；
（3）不放回：抽取样本不放回，样本无重复个体；
（4）等概率：每个个体被抽到的机会相等．（如果从个体数为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本，则每个个体被
抽取的概率等于
n
N）
3．适用范围：总体中个数较少．
4．注意：随机抽样不是随意或随便抽取，随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素．
【常用方法】
1．抽签法（抓阄法）
一般地，从个体总数为N 的总体中抽取一个容量为k 的样本，步骤为：
（1）编号：将总体中所有个体编号（号码可以为1﹣N）；
（2）制签：将编号写在形状、大小相同的号签上（可用小球、卡片、纸条等制作）；
（3）搅匀：将号签放在同一个箱子中进行均匀搅拌；
（4）抽签：每次从箱中取出1 个号签，连续抽取k 次；
（5）取样：从总体中取出与抽到号签编号一致的个体．
2．随机数表法．
○随机数表：由0﹣9 十个数字所组成，其中的每个数都是用随机方法产生的，这样的表称为随机数表．
○随机数表法：按一定的规则到随机数表中选取号码的抽样方法叫做随机数表法．
实现步骤：
（1）编号：对总体中所有个体编号（每个号码位数一致）；
（2）选数：在随机数表中任选一个数作为开始；
（3）取数：从选定的起始数沿任意方向取数（不在号码范围内的数、重复出现的数不取），直到取满为止；
（4）取样：根据所得的号码从总体中抽取相应个体．
【命题方向】以基本题（中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生
学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力．
（1）考查简单随机抽样的特点
例：用简单随机抽样的方法从含有100 个个体的总体中依次抽取一个容量为5 的样本，则个体m 被抽到的概率为
（
）
A.
1
100B.
1
20C.
1
99D.
1
50
分析：依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为5，可以看成是抽5 次，
从而可求得概率．
解答：一个总体含有100 个个体，某个个体被抽到的概率为
1
100，
∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5 的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为
1
100 ×5= 1
20．
故选：B．
点评：不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是
一样的，体现了抽样方法具有客观公平性．
（2）判断抽样方法是否为简单随机抽样
常见与分层抽样、系统抽样对比，注意掌握各种抽样方法的区分．
例：下面的抽样方法是简单随机抽样的是（
）
A．在某年明信片销售活动中，规定每100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709 的为
三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30 分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2 人、14 人、4 人了解学校机构改革的意见
D．用抽签法从10 件产品中选取3 件进行质量检验．
分析：从所给的四个选项里观察因为抽取的个体间的间隔是固定的；得到A、B 不是简单随机抽样，因为总体的个
体有明显的层次，C 不是简单随机抽样，D 是简单随机抽样．
解答：A、B 不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；
C 不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；
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D 是简单随机抽样．
故选D．
点评：本题考查简单随机抽样，考查分层抽样，考查系统抽样，是一个涉及到所学的所有抽样的问题，注意发现各
种抽样的特点，分析清楚抽样的区别．
（3）考查简单随机抽样的抽样方法操作
例：利用随机数表法对一个容量为500 编号为000，001，002，…，499 的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10
的样本，若选定从第12 行第5 列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11 行至第15 行），根据下图，
读出的第3 个数是（
）
A.841B.114 C.014 D.146
分析：从随机数表12 行第5 列数开始向右读，最先读到的1 个的编号是389，再向右三位数一读，将符合条件的选
出，不符合的舍去，继续向右读取即可．
解答：最先读到的1 个的编号是389，
向右读下一个数是775，775 它大于499，故舍去，
再下一个数是841，舍去，
再下一个数是607，舍去，
再下一个数是449，
再下一个数是983．舍去，
再下一个数是114．
读出的第3 个数是114．
故选B．
点评：本题主要考查了抽样方法，随机数表的使用，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每
个数被抽到的概率是一样的，属于基础题．
14．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组
频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y 轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
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15．茎叶图
【知识点的认识】
1．茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图称为茎叶图．
例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50
得分表示成茎叶图如下：
2．茎叶图的优缺点：
优点：
（1）所有信息都可以从茎叶图上得到
（2）茎叶图便于记录和表示
缺点：
分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便．
【解题方法点拨】
茎叶图的制作步骤：
（1）将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分
（2）将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列
（3）将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧
第1 步中，
①如果是两位数字，则茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如89，茎：8，叶：9．
②如果是三位数字，则茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如123，茎：1，叶：23．
对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中体现几次．
16．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
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则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通
过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是
1
n；
如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率为P（A）= m
n = A 中所含的基本事件数
基本事件总数
．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n 与事件A 中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A 是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）= m
n求出事件A 的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
17．列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【知识点的知识】
1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，
事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率为P（A）= m
n．
等可能条件下概率的特征：
（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
（2）每一个结果出现的可能性相等．
2、概率的计算方法：
（1）列举法（列表或画树状图），
（2）公式法；
列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．
列表法
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表
法．
树状图法
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树
状图法求概率．
【典型例题分析】
典例1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合
直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2 平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2= 137
144的内
部，则实数m 的取值范围是（
）
A．（−5
18，+∞）
B．（﹣∞，
7
18）
C．（−7
18，
5
18）
D．（−5
18，
7
18）
解析：对于a 与b 各有6 中情形，故总数为36 种
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2 平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b＝6，故概率为P= 2
36 = 1
18
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2 相交的情形除平行与重合即可，
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∵当直线l1、l2 相交时b≠2a，图中满足b＝2a 的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，
∴满足b≠2a 的有36﹣3＝33 种，
∴直线l1、l2 相交的概率P= 33
36 = 11
12，
∵点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2= 137
144的内部，
∴（
1
18 −m）2+（
11
12）2＜137
144，
解得−5
18 ＜m＜7
18
故选：D
典例2：某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5 五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20 个，对其等级进行统计
分析，得到频率分布表如下
等级
1
2
3
4
5
频率
0.05
m
0.15
0.35
n
（1）在抽取的20 个零件中，等级为5 的恰有2 个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3 和5 的所有零件中，任意抽取2 个，求抽取的2 个零件等级恰好相同的概率．
解析：（1）由频率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n＝1，
即m+n＝0.45．…（2 分）
由抽取的20 个零件中，等级为5 的恰有2 个，
得n = 2
20 = 0.1．…（4 分）
所以m＝0.45﹣0.1＝0.35．…（5 分）
（2）：由（1）得，等级为3 的零件有3 个，记作x1，x2，x3；等级为5 的零件有2 个，
记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2 中任意抽取2 个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，
y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）
共计10 种．…（9 分）
记事件A 为“从零件x1，x2，x3，y1，y2 中任取2 件，其等级相等”．
则A 包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4 个．…（11 分）
故所求概率为P(A) = 4
10 = 0.4．…（13 分）
18．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A 所对应的区域用A 表示（A⊆Ω），则P
（A）= A 的度量
Ω的度量称为事件A 的几何概率．
19．程序框图
【知识点的知识】
1．程序框图
（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法
的图形；
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不
可缺少的．
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何
需要输入、输出的位置．
处理框
赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，
它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．
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判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”
或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．
流程线
算法进行的前进方向以及先后顺序
连结点
连接另一页或另一部分的框图
注释框
帮助编者或阅读者理解框图
（3）程序框图的构成．
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．
20．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别
事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，
A1具有属性p
A2具有属性p
⋯
An具有属性p
⇒S 类事物中的每一个对象都可能具有属性p
2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容
的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工
具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现
问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（
）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5 个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过
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程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个
特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊
的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（
）
A．A，B 为定点，动点P 满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P 的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n﹣1 求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n 项和Sn 的表达式
C．由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1 的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B 选项根据前3 个S1，S2，S3 的值，猜想出Sn 的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C 选项由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1 的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D 选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3
32＝1+3+5
42＝1+3+5+7
23＝3+5
33＝7+9+11
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是21，则m+n＝（
）
A．10
B．11
C．12
D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n
的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+11= 1+11
2
× 6 =36，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3 的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n 的值是解题的关键．
21．直线的一般式方程与直线的垂直关系
【知识点的知识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B 不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=−A
Bx−C
B，
表示斜率为−A
B，y 轴上截距为−C
B的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0 平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0 垂直的直线，可设
所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2 的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1 不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2 不同
时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
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②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1 与l2 重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1 与l2 相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0 时，则l1∥l2⇔
A1
A2
=
B1
B2
≠
C1
C2
；l1 与l2 重合⇔
A1
A2
=
B1
B2
=
C1
C2
；l1 与l2 相交⇔
A1
A2
≠
B1
B2
．
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2019-2020 学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东
北育才学校高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的）
1．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）如果﹣1＜a＜b＜0，则有（
）
A．
1
b ＜
1
a ＜b2＜a2
B．
1
b ＜
1
a ＜a2＜b2
C．
1
a ＜
1
b ＜b2＜a2
D．
1
a ＜
1
b ＜a2＜b2
2．（5 分）（抚顺一模）已知命题p：“∀a＞0，有ea≥1 成立”，则￢p 为（
）
A．∃a≤0，有ea≤1 成立
B．∃a≤0，有ea≥1 成立
C．∃a＞0，有ea＜1 成立
D．∃a＞0，有ea≤1 成立
3．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）已知各项均为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，a4a6＝64，则a1＝（
）
A．2
B．1
C．
1
2
D．
1
4
4．（5 分）（2018 秋•舟山期末）已知平面α的法向量为n
→=（2，﹣2，4），AB
→
=（﹣1，1，﹣2），则直线AB 与平面
α的位置关系为（
）
A．AB⊥α
B．AB⊂α
C．AB 与α相交但不垂直
D．AB∥α
5．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）在下列各函数中，最小值等于2 的函数是（
）
A．y＝x+ 1
x
B．y＝sinx+
1
sinx（0＜x＜π
2）
C．y= x2+5
x2+4
D．y＝ex+ 4
ex −2
6．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）方程
x2
m−3 −
y2
m+2 =1 表示双曲线的一个充分不必要条件是（
）
A．m＜﹣1
B．m＞4
C．m＞3 或m＜﹣2
D．m＞4 或m＜﹣1
7．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）已知x，y 满足
x ≥0
y ≥0
x + y ≥1
，则（x+3）2+y2 的最小值为（
）
A．10
B．2 2
C．8
D．10
8．
（5 分）
（2018 秋•辽宁期末）等差数列{an}、{bn}的前n 项和分别为Sn 和Tn，若
Sn
Tn
=
2n+1
3n+2，则
a3+a11+a19
b7+b15
=（
）
A．
69
70
B．
129
130
C．
123
124
D．
135
136
9．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）已知平面α内的角∠MON＝60°，线段OP 是平面α的斜线段且OP=
6，∠POM＝
∠PON＝60°，那么点P 到平面α的距离是（
）
A．2
B．3
C．2
D．1
10．（5 分）（2018•黔东南州一模）过抛物线C：y2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线C 于A（x1，y1）、B（x2，y2）两
点，以线段AB 为直径的圆的圆心为O1，半径为r．点O1 到C 的准线l 的距离与r 之积为25，则r（x1+x2）＝
（
）
A．40
B．30
C．25
D．20
11．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）知数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝﹣8，（3n﹣5）an+1＝（3n﹣2）an﹣9n2+2ln﹣10，
若n，m∈N*，n＞m，则Sn﹣Sm 的最大值为（
）
A．10
B．15
C．18
D．26
12．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）已知双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 =1 的左、右焦点分别为F1、F2，O 为坐标原点．P 是双曲
线在第一象限上的点，直线PO，PF2 分别交双曲线C 左、右支于另一点M，N．若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，
则双曲线C 的渐近线方程为（
）
A．y＝±
2
2 x
B．y=±
2x
C．y＝±2x
D．y=± 2 2x
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）关于x 的不等式ax﹣b＜0 的解集是（1，+∞），则关于x 的不等式（ax+b）（x﹣3）
＞0 的解集是
．
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14．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）已知数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝1，2Sn＝（n+1）an，则an＝
15．（5 分）（2018•张掖一模）如图，E 是正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱C1D1 上的一点，且BD1∥平面B1CE，则
异面直线BD1 与CE 所成成角的余弦值为
．
16．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）已知椭圆：
x2
a2 +
y2
b2 =l（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在一
点P 使得|PF1|= 3
2e|PF2|，则该椭圆的离心率e 的取值范围是
．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．
（10 分）
（2018 秋•辽宁期末）命题p：实数x 满足x2﹣3ax+2a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足x2 −x −6 ≤0
x2 + x −2＞0 ．
（Ⅰ）若a＝2，且p∧q 为真，求实数x 的取值范围；
（Ⅱ）若￢q 是￢p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
18．（12 分）（2019•资阳模拟）已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，且S2＝8，a3+a8＝2a5+2．
（1）求an；
（2）设数列{ 1
Sn }的前n 项和为Tn，求证：Tn＜3
4．
19．
（12 分）
（2018 秋•辽宁期末）已知F 为抛物线y2＝x 的焦点，点A、B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA
→
⋅OB
→
=2
（其中O 为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：直线AB 恒过定点；
（Ⅱ）直线AB 在绕着定点转动的过程中，求弦AB 中点M 的轨迹方程．
20．（12 分）（2018 秋•辽宁期末）北京、张家港2022 年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为
了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25 元，年销售8 万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1 元，销售量将相应减少2000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每
件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营
销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入
1
6 (x2 −600)万作为技改费用，投入50 万元作为固定宣传费用，投
入
x
5万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售
收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
21．（12 分）（2018•丹东一模）如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠B1BC 为锐角，底面ABC 是以AB 为斜边的
等腰直角三角形，AC⊥BC1．
（1）证明：平面ABC⊥平面BB1C1C；
（2）若直线BB1 与底面ABC 成角为60°，AB1⊥BC1，求二面角C﹣AB1﹣A1 的余弦值．
22．（12 分）（2018 秋•辽宁期末）如图，已知椭圆E：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的离心率为
3
2 ，过左焦点F（−
3，
0）且斜率为k 的直线交椭圆E 于A，B 两点，线段AB 的中点为M，直线l：x+4ky＝0 交椭圆E 于C，D 两点．
（1）求椭圆E 的方程；
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（2）求证：点M 在直线l 上；
（3）是否存在实数k，使得S△BDM＝3S△ACM？若存在，求出k 的值．若不存在，说明理由．
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2019-2020 学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、
东北育才学校高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的）
1．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）如果﹣1＜a＜b＜0，则有（
）
A．
1
b ＜
1
a ＜b2＜a2
B．
1
b ＜
1
a ＜a2＜b2
C．
1
a ＜
1
b ＜b2＜a2
D．
1
a ＜
1
b ＜a2＜b2
【考点】72：不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】取a=−1
2，b=−1
3，分别计算出
1
b，
1
a，b2，a2，由此能够判断出
1
b，
1
a，b2，a2 的大小．
【解答】解：取a=−1
2，b=−1
3，分别计算出
1
b =−3
1
a =−2，
b2= 1
9
a2= 1
4
由此能够判断出
1
b，
1
a，b2，a2 的大小．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的性质和应用，解题时要合理地选取特殊值，能够有效地简化运算．
2．（5 分）（抚顺一模）已知命题p：“∀a＞0，有ea≥1 成立”，则￢p 为（
）
A．∃a≤0，有ea≤1 成立
B．∃a≤0，有ea≥1 成立
C．∃a＞0，有ea＜1 成立
D．∃a＞0，有ea≤1 成立
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则￢p：∃a＞0，有ea＜1 成立，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）已知各项均为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，a4a6＝64，则a1＝（
）
A．2
B．1
C．
1
2
D．
1
4
【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的通项公式列出方程能求出首项．
【解答】解：各项均为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，a4a6＝64，
∴（a1 ⋅23）（a1 ⋅25）＝64，
解得a1= 1
2．
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5 分）（2018 秋•舟山期末）已知平面α的法向量为n
→=（2，﹣2，4），AB
→
=（﹣1，1，﹣2），则直线AB 与平面
α的位置关系为（
）
A．AB⊥α
B．AB⊂α
C．AB 与α相交但不垂直
D．AB∥α
【考点】MB：空间点、线、面的位置．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5H：空间向量及应用．
【分析】根据平面的法向量与空间向量的共线关系，即可判断直线AB 与平面α垂直．
【解答】解：平面α的法向量为n
→=（2，﹣2，4），AB
→
=（﹣1，1，﹣2），
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∴n
→=−1
2 AB
→
，
∴n
→∥AB
→
，
∴AB
→
⊥α，
即直线AB 与平面α垂直．
故选：A．
【点评】本题考查了平面的法向量与空间向量共线问题，是基础题．
5．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）在下列各函数中，最小值等于2 的函数是（
）
A．y＝x+ 1
x
B．y＝sinx+
1
sinx（0＜x＜π
2）
C．y= x2+5
x2+4
D．y＝ex+ 4
ex −2
【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用．
【分析】直接利用排除法和基本不等式的应用和函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：对于选项A、
当①x＞0 时，y＝x+ 1
x ≥2 x ⋅1
x = 2，
②当x＜0 时，y＝x+ 1
x ≤−2，
故错误．
对于选项B、
由于：0＜x＜π
2，
函数的最小值取不到2，
当x= π
2时，函数的最小值为2，
故错误．
对于选项C 函数的关系式转换为：
y= x2+4+1
x2+4 =
x2 + 4 +
1
x2+4 ≥5
2，
故错误．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换和基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化
能力．属于基础题型．
6．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）方程
x2
m−3 −
y2
m+2 =1 表示双曲线的一个充分不必要条件是（
）
A．m＜﹣1
B．m＞4
C．m＞3 或m＜﹣2
D．m＞4 或m＜﹣1
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先计算方程表示双曲线的充要条件，再求出它的一个真子集即可．
【解答】解：若方程
x2
m−3 −
y2
m+2 =1 表示双曲线，则（2+m）（m﹣3）＞0
∴m＜﹣2 或m＞3，
∴要求“方程
x2
m−3 −
y2
m+2 =1 表示双曲线”的一个充分不必要条件，则需要找出它的一个真子集即可，
∵m＞4 时，m＜﹣2 或m＞3，结论成立，反之不成立
∴“方程
x2
m−3 −
y2
m+2 =1 表示双曲线”的一个充分不必要条件是m＞4，
故选：B．
【点评】本题考查的重点是充要条件，解题的关键是计算方程表示双曲线的充要条件，属于基础题．
7．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）已知x，y 满足
x ≥0
y ≥0
x + y ≥1
，则（x+3）2+y2 的最小值为（
）
A．10
B．2 2
C．8
D．10
【考点】7C：简单线性规划；IR：两点间的距离公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝（x+3）2+y2 表示（﹣3，0）到可行域的距离
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的平方，只需求出（﹣3，0）到可行域的距离的最小值即可
【解答】解：根据约束条件画出可行域
z＝（x+3）2+y2 表示（﹣3，0）到可行域的距离的平方，
当点B（0，1）时，距离最小，
即最小距离为
( −3 −0)
2 + (0 −1)
2 =
10．
则（x+2）2+y2 的最小值是10．
故选：D．
【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧
妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入
是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．
8．
（5 分）
（2018 秋•辽宁期末）等差数列{an}、{bn}的前n 项和分别为Sn 和Tn，若
Sn
Tn
=
2n+1
3n+2，则
a3+a11+a19
b7+b15
=（
）
A．
69
70
B．
129
130
C．
123
124
D．
135
136
【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有
【专题】36：整体思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】根据等差数列的性质，结合等差数列的前n 项和公式进行转化即可．
【解答】解：在等差数列中
a3+a11+a19
b7+b15
=
3a11
2b11
=
3
2•
2a11
2b11
= 3
2•
a1+a21
b1+b21
=
3
2•
a1+a21
2
×21
b1+b21
2
×21
=
3
2•
S21
T21
=
3
2•
2×21+1
3×21+2 =
3
2•
43
65 =
129
130，
故选：B．
【点评】本题主要考查等差数列性质的应用，结合等差数列的前n 项和公式以及性质是解决本题的关键．
9．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）已知平面α内的角∠MON＝60°，线段OP 是平面α的斜线段且OP=
6，∠POM＝
∠PON＝60°，那么点P 到平面α的距离是（
）
A．2
B．3
C．2
D．1
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】由题意知cos∠POM＝cos∠POH•cos∠MOH，进而求得cos∠POH，利用同脚三角函数基本关系求得sin
∠POH，进而在△PHO 中利用PH＝PO•sin∠POH 求得答案．
【解答】解：∵平面α内的角∠MON＝60°，线段OP 是平面α的斜线段且OP=
6，∠POM＝∠PON＝60°，
∴∠MOH＝30°，cos∠POM＝cos∠POH•cos∠MOH，
∴
1
2 =
3
2 cos∠POH．
∴cos∠POH=
3
3 ．
∴sin∠POH=
1 −( 3
3 )2 =
6
3 ．
∴PH＝PO•sin∠POH=
6 × 6
3 =2．
故选：A．
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【点评】本题主要考查了点到面的距离计算．在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线
到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离，考查运算求解能力，考查数形
结合思想，是中档题．
10．（5 分）（2018•黔东南州一模）过抛物线C：y2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线C 于A（x1，y1）、B（x2，y2）两
点，以线段AB 为直径的圆的圆心为O1，半径为r．点O1 到C 的准线l 的距离与r 之积为25，则r（x1+x2）＝
（
）
A．40
B．30
C．25
D．20
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】可得点O1到C 的准线l 的距离为
1
2 |AB| = r =5，又点O1到C 的准线l 的距离为
1
2 (x1 + x2 + 2) = r = 5，
可得x1+x2＝8，故r（x1+x2）＝40．
【解答】解：由抛物线的性质知，点O1 到C 的准线l 的距离为
1
2 |AB| = r，
依题意得r2＝25⇒r＝5，又点O1 到C 的准线l 的距离为
1
2 (x1 + x2 + 2) = r = 5，
则有x1+x2＝8，故r（x1+x2）＝40．
故选：A．
【点评】考查了抛物线的定义与简单几何性质，属于中档题．
11．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）知数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝﹣8，（3n﹣5）an+1＝（3n﹣2）an﹣9n2+2ln﹣10，
若n，m∈N*，n＞m，则Sn﹣Sm 的最大值为（
）
A．10
B．15
C．18
D．26
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．
【分析】由条件可得
an+1
3n−2 −
an
3n−5 =−1，结合等差数列的定义和通项公式，以及数列的各项特点，求得最大值．
【解答】解：（3n﹣5）an+1＝（3n﹣2）an﹣9n2+2ln﹣10，
即为（3n﹣5）an+1﹣（3n﹣2）an＝﹣（3n﹣5）（3n﹣2），
可得
an+1
3n−2 −
an
3n−5 =−1，
设bn=
an
3n−5，即bn+1﹣bn＝﹣1，
可得{bn}是
−8
−2 =4 为首项、﹣1 为公差的等差数列，
可得bn＝4﹣（n﹣1）＝5﹣n，
即an＝（3n﹣5）（5﹣n），
可得an：﹣8，3，8，7，0，﹣13，﹣32，﹣57，﹣88，…，（n＞5，各项递减，且为负的），
由n，m∈N*，n＞m，
则Sn﹣Sm 的最大值为（﹣8+3+8+7+0）﹣（﹣8）＝18．
故选：C．
【点评】本题考查数列的通项公式，注意运用构造等差数列，考查数列的前n 项和的最值，注意分析各项的特点，
考查运算能力，属于中档题．
12．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）已知双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 =1 的左、右焦点分别为F1、F2，O 为坐标原点．P 是双曲
线在第一象限上的点，直线PO，PF2 分别交双曲线C 左、右支于另一点M，N．若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，
则双曲线C 的渐近线方程为（
）
A．y＝±
2
2 x
B．y=±
2x
C．y＝±2x
D．y=± 2 2x
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】由题意，根据双曲线的定义和余弦定理，可得a 与c 的关系，再求出a 与b 关系即可求出渐近线方程
【解答】解：由题意，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
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∵∠MF2N＝60°，∴∠F1PF2＝60°，
由余弦定理可得4c2＝16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，
∴c=
3a，
∴b=
c2 −a2 =
2a．
∴
b
a =
2，
∴双曲线C 的渐近线方程为y＝± 2x
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）关于x 的不等式ax﹣b＜0 的解集是（1，+∞），则关于x 的不等式（ax+b）（x﹣3）
＞0 的解集是
（﹣1，3）
．
【考点】73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4O：定义法；59：不等式的解法及应用．
【分析】根据不等式ax﹣b＜0 的解集得出a＜0 且a＝b，把不等式（ax+b）（x﹣3）＞0 化为（x+1）（x﹣3）＜0，
求出解集即可．
【解答】解：关于x 的不等式ax﹣b＜0 的解集是（1，+∞），
∴a＜0，且a＝b；
∴关于x 的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0 可化为（x+1）（x﹣3）＜0，
﹣1＜x＜3，
∴所求不等式的解集是（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
14．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）已知数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝1，2Sn＝（n+1）an，则an＝
n
【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用数列的递推关系式，推出数列{
an
n }是等比数列，然后求解通项公式．
【解答】解：数列{an}的前n 项和为Sn，a1＝1，2Sn＝（n+1）an，可知2Sn﹣1＝nan﹣1，n≥2，
两式作差可得：（n﹣1）an＝nan﹣1，可得{
an
n }是等比数列，首项为1，公比为1 的等比数列，
所以
an
n =1，即an＝n．
故答案为：n．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力．
15．（5 分）（2018•张掖一模）如图，E 是正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱C1D1 上的一点，且BD1∥平面B1CE，则
异面直线BD1 与CE 所成成角的余弦值为
15
5
．
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第108页（共926页）
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】连结BC1，交B1C 于点O，连结OE，由BD1∥平面B1CE，得到E 是棱C1D1 的中点，以D 为原点，
DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能出异面直线BD1 与CE 所成成角的
余弦值．
【解答】解：连结BC1，交B1C 于点O，连结OE，
∵E 是正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱C1D1 上的一点，
∴BCC1B1 是正方形，∴O 是BC1 中点，
∵BD1∥平面B1CE，∴BD1∥OE，
∴E 是正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱C1D1 的中点，
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为2，
则B（2，2，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），E（0，1，2），
BD1
→
=（﹣2，﹣2，2），CE
→
=（0，﹣1，2），
设异面直线BD1 与CE 所成成角为θ，
cosθ= |BD1
→
⋅CE
→
|
|BD1
→
|⋅|CE
→
|
=
6
12⋅5 =
15
5 ．
∴异面直线BD1 与CE 所成成角的余弦值为
15
5 ．
故答案为：
15
5 ．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考
查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中
档题．
16．（5 分）（2018 秋•辽宁期末）已知椭圆：
x2
a2 +
y2
b2 =l（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在一
点P 使得|PF1|= 3
2e|PF2|，则该椭圆的离心率e 的取值范围是
[
1
3，1]
．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】由椭圆的定义可得解得x= 3c−2a
e(3e+2)，由题意可得﹣a≤3c−2a
e(3e+2) ≤a，解不等式求得离心率e 的取值范围．
【解答】解：设点P 的横坐标为x，∵|PF1|= 3
2e|PF2|，则由椭圆的定义可得e（x+ a2
c ）= 3
2e•e（
a2
c −x），
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∴x= 3c−2a
e(3e+2)，由题意可得﹣a≤3c−2a
e(3e+2) ≤a，
∴﹣1≤
3e−2
e(3e+2) ≤1，
∴3e −2 ≤3e2 + 2e
3e −2 ≥−3e2 −2e，∴
1
3 ≤e＜1，则该椭圆的离心率e 的取值范围是[
1
3，1），
故答案为：[
1
3，1）．
【点评】本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得
e（x+ a2
c ）= 3
2e•e（
a2
c −x）是解题
的关键．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．
（10 分）
（2018 秋•辽宁期末）命题p：实数x 满足x2﹣3ax+2a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足x2 −x −6 ≤0
x2 + x −2＞0 ．
（Ⅰ）若a＝2，且p∧q 为真，求实数x 的取值范围；
（Ⅱ）若￢q 是￢p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】（Ⅰ）由p∧q 为真得p 真q 真，解一元二次不等式组求出p、q 为真的范围，取交集即可；
（Ⅱ）由已知得A⊊B，得等价不等式组，解得实数a 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵x2﹣3ax+2a2＜0，∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0，
又a＞0，∴a＜x＜2a，a＝2 时，2＜x＜4，
即命题p 为真命题时，实数x 的取值范围为：2＜x＜4，
∵x2 −x −6 ≤0
x2 + x −2＞0 ，∴
(x −3)(x + 2) ≤0
(x + 2)(x −1)＞0 ，∴1＜x≤3，
即命题q 为真命题时，实数x 的取值范围为：1＜x≤3，
∴p∧q 为真，实数x 的取值范围为（2，3]；
（Ⅱ）￢q 是￢p 的充分不必要条件⇔p 是q 的充分不必要条件，
设A＝（a，2a），B＝（1，3]，∴A⊊B，∴
a＞0
a ≥1
2a ≤3
，∴1≤a≤3
2．
∴实数a 的取值范围为：[1，
3
2]．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（12 分）（2019•资阳模拟）已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，且S2＝8，a3+a8＝2a5+2．
（1）求an；
（2）设数列{ 1
Sn }的前n 项和为Tn，求证：Tn＜3
4．
【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，再利用放缩法求出结果．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，
由题意知：2a1 + d = 8
2a1 + 9d = 2a1 + 8d + 2，
解得a1＝3，d＝2．
所以an＝2n+1．
（2）由（1），an＝2n+1，
则有Sn = n
2 (3 + 2n + 1) = n2 + 2n．
则
1
Sn
=
1
n(n+2) =
1
2 (
1
n −
1
n+2 )．
所以Tn= 1
2 [(1 −1
3 ) + ( 1
2 −1
4 ) + ( 1
3 −1
5 ) + ⋯+ (
1
n−1 −
1
n+1 ) + ( 1
n −
1
n+2 )]，
= 1
2 (1 + 1
2 −
1
n+1 −
1
n+2 )＜3
4．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生
的运算能力和转化能力，属于基础题型．
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19．
（12 分）
（2018 秋•辽宁期末）已知F 为抛物线y2＝x 的焦点，点A、B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA
→
⋅OB
→
=2
（其中O 为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：直线AB 恒过定点；
（Ⅱ）直线AB 在绕着定点转动的过程中，求弦AB 中点M 的轨迹方程．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5E：圆锥曲线中的最
值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理
及由OA
→
⋅OB
→
=2，可得直线AB 过定点（2，0）；
（Ⅱ）设出A，B 的坐标，代入抛物线方程，利用点差法把AB 的斜率用AB 中点的坐标表示，代入直线方程可
得弦AB 中点M 的轨迹方程．
【解答】解：（Ⅰ）设直线AB 的方程为：x＝my+n，点A（x1，y1），B（x2，y2），由OA
→
⋅OB
→
=2，可得x1x2+y1y2
＝2，①，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上可得x1＝y12，x2＝y22，②
由①②可得y1y2＝﹣2 或1（舍去），
由x = my + n
y2 = x
可得y2﹣my﹣n＝0
根据韦达定理有y1•y2＝﹣n＝﹣2，
∴直线AB 过定点（2，0）；
（Ⅱ）设M（x，y），由
y1
2 = x1
y2
2 = x2
，相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）＝x1﹣x2，
当x1≠x2 时，
y1−y2
x1−x2
（y1+y2）＝1，
又直线AB 恒过点（2，0），
∴
y1−y2
x1−x2
=
y
x−2且y1+y2＝2y，
∴y2= 1
2x﹣1，
当x1＝x2 时，M（2，0）满足上式，
故所求的轨迹方程为y2= 1
2x﹣1．
【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用点差法求与中点弦有关
的问题，是中档题．
20．（12 分）（2018 秋•辽宁期末）北京、张家港2022 年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为
了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25 元，年销售8 万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1 元，销售量将相应减少2000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每
件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营
销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入
1
6 (x2 −600)万作为技改费用，投入50 万元作为固定宣传费用，投
入
x
5万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售
收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用．
【分析】（1）设每件定价为x 元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解
不等式可得每件最高定价；
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（2）依题意，x＞25 时，不等式ax≥25×8+50+ 1
6（x2﹣600）+ 1
5x 有解，等价于x＞25 时，a≥150
x + 1
6x+ 1
5有
解，利用基本不等式，我们可以求得结论．
【解答】解：（1）设每件定价为t 元，依题意得（8−x−25
1
× 0.2）x≥25×8，
整理得t2﹣65t+1 000≤0，解得25≤t≤40．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40 元．
（2）依题意知当x＞25 时，不等式ax≥25×8+50+ 1
6（x2﹣600）+ 1
5x 有解，
等价于x＞25 时，a≥150
x + 1
6x+ 1
5有解．
由于
150
x
+
1
6x≥2
150
x × x
6 =10，当且仅当
150
x
=
x
6，即x＝30 时等号成立，所以a≥10.2．
当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2 万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此
时该商品的每件定价为30 元．
【点评】解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义．
21．（12 分）（2018•丹东一模）如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠B1BC 为锐角，底面ABC 是以AB 为斜边的
等腰直角三角形，AC⊥BC1．
（1）证明：平面ABC⊥平面BB1C1C；
（2）若直线BB1 与底面ABC 成角为60°，AB1⊥BC1，求二面角C﹣AB1﹣A1 的余弦值．
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）推导出AC⊥平面BB1C1C．从而平面ABC⊥平面BB1C1C．
（2）在平面BB1C1C 内作B1D⊥BC，垂足为D，则B1D⊥平面ABC．以D 为坐标原点，DC
→
为x 轴正方向，建
立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角C﹣AB1﹣A1 的余弦值．
【解答】证明：（1）因为AC⊥BC，BC1，BC∩BC1＝B，
所以AC⊥平面BB1C1C．
因为AC⊂平面ABC，
所以平面ABC⊥平面BB1C1C．…………（4 分）
解：（2）因为ABC∩平面BB1C1C＝BC，
在平面BB1C1C 内作B1D⊥BC，垂足为D，
所以B1D⊥平面ABC．
因为BB1 与底面ABC 成角为60°，所以∠B1BD＝60°．…………（6 分）
因为AC⊥BC1，AB1⊥BC1，所以BC1⊥平面AB1C，
所以BC1⊥B1C，四边形BB1C1C 是菱形．
因为∠B1BC 为锐角，所以BD= 1
2 BB1 = 1
2 BC，于是D 是BC 中点．…………（8 分）
设BC＝2，以D 为坐标原点，DC
→
为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．
则A（1，2，0），B（1，0，0），C（1，0，0），B1（0，0，3），
AC
→
=（0，﹣2，0），AB
→
=（﹣1，﹣2，3），AA1
→
=（1，0，3）．
设m
→=（x，y，z）是平面CAB1 的一个法向量，
则m
→⋅AB1
→
=−x −2y +
3z = 0
m
→⋅AC
→
= 2y = 0
，取z＝1，得m
→=（3，0，1）．
设n
→=（x，y，z）是平面A1AB 的一个法向量，
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则n
→⋅AB1
→
=−x −2y +
3z = 0
n
→⋅AA1
→
= x +
3z = 0
，取z＝1，得n
→=（−
3，3，1）．
因为cos＜m
→，n
→＞=
m
→⋅n
→
|m
→|⋅|n
→|
=
7
7 ，二面角C﹣AB1﹣A1 平面角是钝角，
故二面角C﹣AB1﹣A1 的余弦值是−7
7 ．
…………（12 分）
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
22．（12 分）（2018 秋•辽宁期末）如图，已知椭圆E：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的离心率为
3
2 ，过左焦点F（−
3，
0）且斜率为k 的直线交椭圆E 于A，B 两点，线段AB 的中点为M，直线l：x+4ky＝0 交椭圆E 于C，D 两点．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）求证：点M 在直线l 上；
（3）是否存在实数k，使得S△BDM＝3S△ACM？若存在，求出k 的值．若不存在，说明理由．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由焦点可得c，再由离心率公式和a，b，c 的关系，求出a，b，即可得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和中点坐标公式，求得点M 的坐标，即可得证；
（3）联立直线方程和椭圆方程，消去x，解得C 的纵坐标，再由面积关系，得到方程，解出即可．
【解答】（1）解：左焦点F（−
3，0），则c=
3，
离心率为
3
2 ，则
c
a =
3
2 ，即有a＝2，b＝1，
则椭圆方程
x2
4 +y2＝1；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）
设直线AB：y＝k（x+
3），
y = k(x +
3)
x2 + 4y2 = 4 消去y，得（1+4k2）x2+8 3k2x+12k2﹣4＝0，
所以x1+x2=−8 3k2
1+4k2，x0= x1+x2
2
=−4 3k2
1+4k2，
y0＝k（x0+
3）=
3k
1+4k2，
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因为
−4 3k2
1+4k2 + 4k ⋅
3k
1+4k2 =0，所以点M 在直线l 上；
（3）解：由（2）知点A 到直线CD 的距离与点B 到直线CD 的距离相等，
因△BDM 的面积是△ACM 面积的3 倍，所以DM＝3CM，又|OD|＝|OC|，
于是M 是OC 的中点，
设点C 的坐标为（x3，y3）则y0= y3
2 ，
因为x =−4ky
x2 + 4y2 = 4，解得y3=
1
1+4k2，
于是
1
2 1+4k2 =
3k
1+4k2，解得k2= 1
8，
所以k=± 2
4 ．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，中点坐标公
式，考查运算能力，属于中档题．
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考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p 则q”为真时，可表示为p⇒q，称p 为q 的充分条件，q 是p 的必要条件．事实上，与“p⇒q”
等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q 不成立，则p 一定不成立．这就是说，q 对于p 是必不可少的，
所以说q 是p 的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p 一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p 是q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，
记作“p⇔q”．p 与q 互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证
明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆
二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q 为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；
②若p⇒q 为假命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；
③若p⇒q 为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④若p⇒q 为假命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多
以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的
条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P 不是命题P 的否命题，而是命题P 的否定形
式．对命题“若P 则Q“来说，¬P 是“若P 则非Q”；P 的否命题是“若非P 则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．
【解题方法点拨】若p 则q，那么它的否命题是：若¬p 则¬q，命题的否定是：若p 则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量
词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．
【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改
地区常考题型．
3．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函
数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近
我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，
再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x 的系数k＞0），通过图象可以直观地
认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y= k
x（k＞0）型，增长特点是y 随x 的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越
快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢
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第115页（共926页）
（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自
变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x 的范围，同时还要
与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000 万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10 万元时，
按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超
过5 万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，
1n102≈2.302）（
）
A．y＝0.025x
B．y＝1.003xC．y＝l+log7x
D．y=
1
4000x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；
③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%= 1
4x，
A 中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200 时，y＞5 不满足公司要求；
B 中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600 时，y＞5 不满足公司要求；
C 中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000 时，y 取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤1
4x 恒成立，
故满足公司要求；
D 中，函数y=
1
4000x2，易知满足①，当x＝400 时，y＞5 不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015 年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服
装的年销量x 万件与年促销t 万元之间满足关系式3﹣x=
k
t+1（k 为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能
是1 万件．已知2015 年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3 万元，每生产1 万件服装需再投入32 万元的
生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015 年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x 表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y 万元表示为促销费t 万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年
利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x=
k
t+1，
且当t＝0 时，x＝1．
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所以k＝2，所以3﹣x=
2
t+1，…（1 分）
生产成本为32x+3，每件售价
3
2 (
32x+3
x
) +
t
2x，…（2 分）
所以，y= [ 3
2 ( 32x+3
x
) + t
2x ]x −(32x + 3) −t⋯（3 分）
＝16x−t
2 + 3
2 =−32
t+1 −t+1
2 + 50，（t≥50）；…（2 分）
（2）因为
32
t+1 +
t+1
2
≥8
当且仅当
32
t+1 =
t+1
2 ，即t＝7 时取等号，…（4 分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1 分）
答：促销费投入7 万元时，企业的年利润最大．…（1 分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题
的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x 与y 的对应关系，针对具体的
函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
4．不等式比较大小
【知识点的知识】
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
【典型例题分析】
方法一：作差法
典例1：若a＜0，b＜0，则p= b2
a + a2
b 与q＝a+b 的大小关系为（
）
A．p＜q
B．p≤q
C．p＞q
D．p≥q
解：p﹣q= b2
a + a2
b −a﹣b= b2−a2
a
+ a2−b2
b
=（b2﹣a2）⋅( 1
a −1
b ) = (b2−a2)(b−a)
ab
= (b−a)2(a+b)
ab
，
∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，
若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，
综上p≤q，
故选：B
方法二：利用函数的单调性
典例2：三个数( 2
5 )−1
5，( 6
5 )−1
5，( 6
5 )−2
5的大小顺序是（
）
A．( 6
5 )−1
5＜( 6
5 )−2
5＜( 2
5 )−1
5
B．( 6
5 )−2
5＜( 6
5 )−1
5＜( 2
5 )−1
5
C．( 6
5 )−1
5＜( 2
5 )−1
5＜( 6
5 )−2
5
D．( 6
5 )−1
5＜( 2
5 )−1
5
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＜( 6
5 )−2
5
解：由指数函数的单调性可知，( 6
5 )−1
5＞( 6
5 )−2
5，
由幂函数的单调性可知，( 2
5 )−1
5＞( 6
5 )−1
5，
则( 2
5 )−1
5＞( 6
5 )−1
5＞( 6
5 )−2
5，
故( 6
5 )−2
5＜( 6
5 )−1
5＜( 2
5 )−1
5，
故选：B．
5．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2 的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0 或
ax2+bx+c＜0（a 不等于0）其中ax2+bx+c 是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0 时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0 有两个实根，那么ax2+bx+c 可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0 时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0 仅有一个实根，那么ax2+bx+c 可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0 时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0 没有实根，那么ax2+bx+c 与x 轴没有交点．
【实例解析】
例1：一元二次不等式x2＜x+6 的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0 的形式；然后应用了特征当中的
第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．
【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0 的解集是R 的等价条件是：a＞0 且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0 的解集是R
的等价条件是：a＜0 且△＜0．
②分式不等式问题：
f(x)
g(x) ＞0⇔f（x）•g（x）＞0；
f(x)
g(x) ＜0⇔f（x）•g（x）＜0；
f(x)
g(x) ≥0⇔f(x) ⋅g(x) ≥0
g(x) ≠0
；
f(x)
g(x) ≤0⇔f(x) ⋅g(x) ≤0
g(x) ≠0
．
6．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简
单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的
主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y 中变量x，y 满足约束条件
x + 2y ≤8
0 ≤x ≤4
0 ≤y ≤3
．
（1）试确定可行域的面积；
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（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S= 1
2 BC ⋅AB = 1
2 × 1 × 2 = 1．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最小，
此时z 最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最大，
此时z 最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，
然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k 的值是
（
）
A．
7
3
B．
3
7
C．
4
3
D．
3
4
分析：画出平面区域，显然点（0，
4
3）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，
4
3），结合图形寻找直线平分平面
区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx+ 4
3过定点（0，
4
3）．因此只有直线过AB 中点时，直线y＝kx+ 4
3能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB 中点D（
1
2，
5
2）．
当y＝kx+ 4
3过点（
1
2，
5
2）时，
5
2 =
k
2 +
4
3，所以k= 7
3．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多
个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
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典例2：设x，y 满足约束条件：
，求z＝x+y 的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0 来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再
将直线l0 平移，当l0 的平行线l1 过点B 时，可使z＝x+y 达到最小值；当l0 的平行线l2 过点A 时，可使z＝x+y 达
到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50 亩，投入资金不超过54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产
量、成本和售价如下表：
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4 吨
1.2 万元
0.55 万元
韭菜
6 吨
0.9 万元
0.3 万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别
为（
）
A．50，0
B．30，20
C．20，30
D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为
线性规划问题．
解析
设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，则由题意可知
x + y ≤50
1.2x + 0.9y ≤54
x，y ∈N+
求目标函数z＝x+0.9y 的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l 向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30 亩，韭菜种植20 亩
时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束
条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A 点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
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典例4：（1）设实数x，y 满足
，则
y
x的最大值为
．
（2）已知O 是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上
的一个动点，则|OA
→
+ OM
→
|的最
小值是
．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的
几何意义来完成．
解答：（1）
y
x表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，
3
2）处取到最大值．
（2）依题意得，OA
→
+ OM
→
=（x+1，y），|OA
→
+ OM
→
|=
(x + 1)2 + y2可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，
在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直
线x+y＝2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|OA
→
+ OM
→
|的最小值是
|−1+0−2|
2
=
3 2
2 ．
故答案为：（1）
3
2（2）
3 2
2 ．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）x2 + y2表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）(x −a)2 + (y −b)2表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）
y
x表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）
y−b
x−a表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距
z
b的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b＞0 时，截距
z
b取最大值时，z 也取最大值；截
距
z
b取最小值时，z 也取最小值；当b＜0 时，截距
z
b取最大值时，z 取最小值；截距
z
b取最小值时，z 取最大值．
7．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它
们的算术平均数．公式为：
a+b
2
≥
ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（
a+b
2 ）2 或者a+b≥2 ab．常常用于求最值和
值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b 均为负数，则
2a
b +
b
2a ≥2．B：
x2+2
x2+1
≥2．
C：sinx +
4
sinx ≥4．D：a ∈R+，(3 −a)(1 −3
a ) ≤0．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D 均满足条件．
对于C 选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx 可以取到负值．
故选：C．
A 选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B 分子其实可以写成x2+1+1，
然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方
便．
例2：利用基本不等式求y =
x
x2+2的最值？当0＜x＜1 时，如何求y = x+1
x2+2的最大值．
解：当x＝0 时，y＝0，
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当x≠0 时，y =
x
x2+2 =
1
x+2
x
，
用基本不等式
若x＞0 时，0＜y≤
2
4 ，
若x＜0 时，−
2
4 ≤y＜0，
综上得，可以得出−2
4 ≤y≤
2
4 ，
∴y =
x
x2+2的最值是−2
4 与
2
4 ．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后
把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不
等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
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【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4 时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4 知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，
但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8 为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）= 1
2[2x•（8﹣2x）]≤1
2（
2x+8−2x
2
）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2 时取等号，当x＝2 时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y= x2+7x+10
x+1
(x＞−1)的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y= x2+7x+10
x+1
= (x+1)2+5(x+1)+4
x+1
=（x+1）+
4
x+1 +5，
当x＞﹣1，即x+1＞0 时，y≥2 (x + 1) ×
4
x+1 +5＝9（当且仅当x＝1 时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+ a
x的单调性．
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技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条
件利用基本不等式．
8．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等
差数列的公差，公差常用字母d 表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n 项和公式为：Sn＝na1+ d
2n
（n﹣1）或Sn= n(a1+an)
2
（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m 都为自然数）
例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an 且a3，a6 为方程x2﹣10x+16＝0 的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268 是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268 是此数列的第136 项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n
﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要
你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
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【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq 是数列中的项，特别地，当s+t＝2p 时，
有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k 均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1 仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
9．等差数列的通项公式
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项
a1，公差d，那么第n 项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m 项为am，则第n 项为an＝am+（n﹣m）d．
【例题解析】
eg1：已知数列{an}的前n 项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列
解：当n＝1 时，a1＝S1＝12+1＝2，
当n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，
∴an= 2，n = 1
2n −1，n ≥2
，
把n＝1 代入2n﹣1 可得1≠2，
∴{an}不是等差数列
考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an 的求
法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．
eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7 则这个数列的通项公式为
解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，
∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，
解得a＝2．
∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，
∴数列an 是以1 为首项，4 为公差的等差数列，
∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．
故答案：4n﹣3．
这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项
和公差即可．
【考点点评】
求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习
时应重点掌握的知识点．
10．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常
数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q
也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣1
3．等比中项：
如果在a 与b 中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．G2＝a•b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
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（4）单调性：a1＞0
q＞1
或a1＜0
0＜q＜1
⇔{an}是递增数列；a1＞0
0＜q＜1
或⇔a1＜0
q＞1
{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；
q＜0⇔{an}是摆动数列．
11．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法
包括：
（1）公式法：
①等差数列前n 项和公式：Sn＝na1+ 1
2n（n﹣1）d 或Sn= n(a1+an)
2
②等比数列前n 项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n 项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{
1
anan+1
}的前n 项和，其中{an}为各项不为0 的等差数列，即
1
anan+1
=
1
d（
1
an
−
1
an+1
）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就
可以得到n 个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数
列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n 项和为Sn．
（Ⅰ）求an 及Sn；
（Ⅱ）令bn=
1
an2−1（n∈N*），求数列{bn}的前n 项和Tn．
分析：形如{
1
等差×等差}的求和，可使用裂项相消法如：
1
1×3 +
1
3×5 +
1
5×7 + ⋯+
1
99×100 =
1
2 {(1 −
1
3 ) + (
1
3 −
1
5 ) + (
1
5 −
1
7 ) + ⋯+ (
1
99 −
1
100 )} =
99
200．
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解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴a1 + 2d = 7
2a1 + 10d = 26，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn= 3n + n(n−1)
2
× 2 =n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn=
1
an2−1 =
1
(2n+1)2−1 = 1
4 ⋅
1
n(n+1) = 1
4 ⋅( 1
n −
1
n+1 )，
∴Tn= 1
4 ⋅(1 −1
2 + 1
2 −1
3 + ⋯+ 1
n −
1
n+1 ) = 1
4 ⋅(1 −
1
n+1 ) =
n
4(n+1)，
即数列{bn}的前n 项和Tn=
n
4(n+1)．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等
差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
12．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1 项（或前几项），且任一项an 与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系
可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n 项和Sn 与通项an 的关系式：an= sn −sn−1
;
;n ≥2
s1
;
;n = 1．
在数列{an}中，前n 项和Sn 与通项公式an 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1 时，a1＝S1）；
若a1 适合由an 的表达式，则an 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an 与Sn 的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an
或Sn 的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an= sn −sn−1
;
;n ≥2
s1
;
;n = 1．一般地当已知条件中含有an
与Sn 的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=
f(1)
;
;n = 1
f(n)
f(n−1)
;n ≥2
．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知
an+1
an
=f（n）求an，用累乘法：an=
an
an−1 ⋅an−1
an−2 ⋅⋯a2
a1 ⋅a1（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，
再求an．
②形如an=
an−1
kan−1+b的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
13．两点间的距离公式
【知识点的知识】
（1）两点间的距离公式：
点与点的空间距离即为两点的距离，我们设A 点的坐标为（x1，y1），B 点的坐标为（x2，y2），那么这两点的
距离公式为d=
(x1 −x2)2 + (y1 −y2)2．
（2）点到直线的距离公式：
；
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（3）平行直线间的距离公式：
．
14．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0），焦点在x 轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）
y2
a2 +
x2
b2 = 1（a＞b＞0），焦点在y 轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x 轴上
y2
a2 +
x2
b2 = 1（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y 轴上
图形
顶点
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴
x 轴、y 轴，长轴长2a，短轴长
2b
焦点在长轴长上
x 轴、y 轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
离心率
e= c
a（0＜e＜1）
e= c
a（0＜e＜1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
15．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
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3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和
短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
c
a叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e= c
a，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e 越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为
x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
16．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
17．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
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图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
18．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联
立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C 上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C 的离心率e = 1
2．
（1）求圆锥曲线C 的方程；
（2）设经过点F2 的任意一条直线与圆锥曲线C 相交于A、B，试证明在x 轴上存在一个定点P，使PA
→
⋅PB
→
的值是
常数．
解：（1）依题意，设曲线C 的方程为
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵e = c
a = 1
2，
∴a＝2，
∴b =
a2 −c2 =
3，
所求方程为
x2
4 +
y2
3 = 1．
（2）当直线AB 不与x 轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由
x2
4 + y2
3 = 1
y = k(x −1)
，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而xA + xB =
8k2
3+4k2，xA ⋅xB = 4(k2−3)
3+4k2 ，
设P（t，0），则
PA
→
⋅PB
→
= (xA −t)(xB −t) + yAyB = (k2 + 1)xAxB −(t + k2)(xA + xB) + (k2 + t2) = 3t2−12+(−5−8t+4t2)k2
3+4k2
当
3t2−12
3
=
−5−8t+4t2
4
，
解得t = 11
8
此时对∀k∈R，PA
→
⋅PB
→
=−135
64 ；
当AB⊥x 轴时，直线AB 的方程为x＝1，
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xA＝xB＝1，yA(yB) =± 3
2，
对t = 11
8 ，PA
→
⋅PB
→
= (xA −t)(xB −t) + yAyB = 9
64 −9
4 =−135
64 ，
即存在x 轴上的点P( 11
8 ，0)，使PA
→
⋅PB
→
的值为常数−135
64 ．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关
系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c 中的两个
值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当
的放到最后做．
19．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b 是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′
所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，
π
2]．当θ＝90°时，称两
条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
20．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
21．空间点、线、面的位置
【知识点的知识】
空间点、直线、平面的位置关系：
1、平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2、直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类
（2）异面直线所成的角
①定义：设a，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）
叫做异面直线a，b 所成的角（或夹角）．
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②范围：（0，
π
2]．
3、直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4、平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5、公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6、定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【解题方法点拨】
1、主要题型的解题方法
（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即
“纳入法”）．
（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3 可知
这些点在交线上，因此共线．
2、判定空间两条直线是异面直线的方法
（1）判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点B 的直线是异面直线．
（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
3、求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间
等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）
利用三角形求解．
4、注意事项：
（1）全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．
（2）异面直线所成的角范围是（0°，90°]．
22．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部
分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣
Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，
则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的
另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所
成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为u
→和v
→，若两个平面的夹角为θ，则
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（1）当0≤＜u
→，v
→＞≤π
2，θ= ＜u
→，v
→＞，此时cosθ＝cos＜u
→，v
→＞=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
（2）当
π
2 ＜＜u
→
，v
→＞≤π时，θ＝cos（π−＜u
→，v
→＞）＝﹣cos＜u
→，v
→＞=−=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|．
23．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
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2019-2020 学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分.不需要写出解答过程，请把答案直接填答题卡相应位置上.
1．（5 分）命题“对任意的x∈R，x2﹣1≤0”的否定是
．
2．
（5 分）已知命题p：多面体ABCD 为正三棱锥，命题q：多面体ABCD 为正四面体，则命题p 是命题q 的
条
件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一）
3．（5 分）以x＝1 为准线的抛物线的标准方程是
．
4．（5 分）鲁班被草叶划伤后发明了锯子，鲁班用的是
推理（在“演绎”、“类比”、“归纳”中选一个合适的
填空）．
5．（5 分）直线x+2y＝0 与圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25 相交于A，B 两点，则线段AB 的长为
．
6．（5 分）函数f（x）＝sinx 在[−π
2，
π
2]上的平均变化率是
．
7．（5 分）若双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 =1 的焦距为8，点M（1，3）在其渐近线上，则双曲线C 的准线方程为
．
8．（5 分）已知函数f（x）= cosx
sinx的导函数为f'（x）＝
．
9．（5 分）现有一个底面半径为8cm，高为4cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），
则该铁球的半径是
cm．
10．（5 分）已知e 是自然对数的底数，n 是自然数，函数f0（x）= x
ex，设fn+1（x）为fn（x）的导函数，f1（x）＝
[f0（x）]'= 1−x
ex ，f2（x）＝[f1（x）]'= x−2
ex ，f3（x）＝[f2（x）]'= 3−x
ex ，……，根据以上结果，推断f2019（x）
＝
．
11．（5 分）设椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a＞b＞0)的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1 且垂直于x 轴的弦长等于点F1 到l1
的距离，则椭圆的离心率是
．
12．（5 分）若方程1 −x2 =a（x+2）有两个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是
．
13．（5 分）做一个正四棱柱形状容积为256m3 的无盖水箱，则高为
m 时，所用材料最省．
14．（5 分）若函数f（x）= 2x + 3x，x ≤0
ax −lnx，x＞0
，恰有两个不同零点，则实数a 的取值范围为
．
二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15．（14 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，M，N 分别
为棱PD，PC 的中点．求证：
（1）MN∥平面PAB；
（2）AM⊥平面PCD．
16．（14 分）（1）已知a＞b＞0，m＞0，用分析法证明：
b
a ＜
b+m
a+m；
（2）已知实数a，b，c，d 满足ac≥2（b+d），用反证法证明：方程x2+ax+b＝0 与方程x2+cx+d＝0 至少有一个
方程有实根．
17．（14 分）已知函数f（x）= 1
3x3﹣4x+ 1
3的定义域为[﹣3，4]．
（1）求函数y＝f（x）的最大值和最小值；
（2）试求函数y＝f（x）的零点个数．
18．（16 分）某小区边角有块空地，空地由半圆O 和矩形EFGH 两部分组成，其中EF 为半圆直径，长度为200 米，
矩形EFGH 的宽FG 长度为100 米．开发商准备利用这块区域建一个矩形游泳池ABCD，设计要求A，B 在半圆
周边界上，C，D 在GH 边界上，如图所示．设∠AOE＝θ．
（1）求游泳池的面积S 关于θ的函数关系式；
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（2）试确定θ的值，使得游泳池的面积S 最大，并求出最大值．
19．（16 分）如图，已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）过点（0，1）和（1，
2
2 ），圆O：x2+y2＝b2．直线AB 与
圆O 相切，切点在第一象限内，且与椭圆C 交于A，B 两点．
（1）求椭圆C 和圆O 的标准方程；
（2）若△OAB 的面积为
6
4 ，求直线AB 的方程；
（3）设圆O 与x 轴正半轴的交点为D，求证：△DAB 的周长为定值．
20．（16 分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝lnx，其中e 为自然对数的底数．
（1）求函数y＝f（x）•g（x）的图象在x＝1 处的切线方程；
（2）若对任意0＜x1＜x2，均有g（x2）﹣g（x1）＞λ[
1
f(x2) −
1
f(x1)]成立，求实数λ的取值范围；
（3）设函数h（x）＝（x﹣2）f（x）+g（x）﹣x，求证：对任意的x∈[
1
2 ，1]，h（x）＜﹣3 恒成立．
附加卷
21．（10 分）求函数y＝3cos（2x−π
3）在x= 5π
12处的切线方程．
22．（10 分）已知定点A（﹣2，0），点B 是圆x2+y2﹣8x+12＝0 上一动点，求AB 中点M 的轨迹方程．
23．（10 分）已知n 为正整数，请用数学归纳法证明：1+ 1
2 + 1
3 + ⋯⋯+ 1
n ＜2 n．
24．（10 分）如图，在四棱锥S﹣ABCD 中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD 是直角梯形，∠ADC＝∠DAB＝90°，
SD＝AD＝AB＝2，DC＝1
（1）求二面角S﹣BC﹣A 的余弦值；
（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE 与平面SAD 所成角的正弦值为
2 26
13 ，求线段CP 的长．
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2019-2020 学年江苏省镇江市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分.不需要写出解答过程，请把答案直接填答题卡相应位置上.
1．（5 分）命题“对任意的x∈R，x2﹣1≤0”的否定是
“存在x∈R，x2﹣1＞0”
．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“对任意的x∈R，x2﹣1≤0”的否定是
“存在x∈R，x2﹣1＞0”．
故答案为：“存在x∈R，x2﹣1＞0”．
2．（5 分）已知命题p：多面体ABCD 为正三棱锥，命题q：多面体ABCD 为正四面体，则命题p 是命题q 的
必
要不充分
条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一）
【解答】解：底面是正三角形，且顶点在底面射影是底面三角形中心的三棱锥叫正三棱锥，侧棱和底面三角形的
边长不一定相等，
二所有棱长都相等的三棱锥叫正四面体，
则命题p 是命题q 的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分
3．（5 分）以x＝1 为准线的抛物线的标准方程是
y2＝﹣4x
．
【解答】解：根据题意，要求抛物线的准线方程为x＝1，
则抛物线的开口向左，且
p
2 =1，
则抛物线的标准方程为：y2＝﹣4x；
故答案为：y2＝﹣4x
4．（5 分）鲁班被草叶划伤后发明了锯子，鲁班用的是
“类比”
推理（在“演绎”、“类比”、“归纳”中选一个
合适的填空）．
【解答】解：鲁班被草叶划伤后发明了锯子，鲁班用的是“类比”推理．
故答案为：“类比”．
5．（5 分）直线x+2y＝0 与圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25 相交于A，B 两点，则线段AB 的长为
4 5
．
【解答】解：圆（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25 的圆心坐标为（3，1），半径为5．
圆心（3，1）到直线x+2y＝0 的距离d= |1×3+2×1|
12+22
=
5，
∴线段AB 的长为2 r2 −d2 = 2 25 −5 = 4 5．
故答案为：4 5．
6．（5 分）函数f（x）＝sinx 在[−π
2，
π
2]上的平均变化率是
2
π
．
【解答】解：函数f（x）＝sinx 在[−π
2，
π
2]上的平均变化率为：
f(π
2)−f(−π
2)
π
2−(π
2)
=
sinπ
2−sin(−π
2)
π
=
2
π
故答案为：
2
π
7．（5 分）若双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 =1 的焦距为8，点M（1，3）在其渐近线上，则双曲线C 的准线方程为
x＝±
1
．
【解答】解：根据题意，双曲线C：x2
a2 −y2
b2 = 1 的焦距为8，即2c＝8，则c＝4，
若点M(1，3)在其渐近线上，则双曲线的一条渐近线方程为y=
3x，
又由双曲线的方程为
x2
a2 −
y2
b2 = 1，
则有
b
a =
3，
又由c＝4，则a2+b2＝c2＝16，
解可得a2＝4，b2＝12，
则双曲线的方程为：
x2
4 −
y2
12 = 1，
其中
a2
c =1，则其准线方程为x＝±1，
故答案为：x＝±1
8．（5 分）已知函数f（x）= cosx
sinx的导函数为f'（x）＝
−
1
sin2x
．
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【解答】解：f′（x）= (cosx)'sinx−cosx⋅(sinx)'
sin2x
= −sin2x−cos2x
sin2x
=−
1
sin2x，
故答案为：−
1
sin2x
9．（5 分）现有一个底面半径为8cm，高为4cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），
则该铁球的半径是
4
cm．
【解答】解：设铁球的半径是Rcm，
则V 圆锥＝V 球，即
1
3 × π × 82 × 4 =
4
3 × π × R3，
解得：R＝4（cm）．
故答案为：4．
10．（5 分）已知e 是自然对数的底数，n 是自然数，函数f0（x）= x
ex，设fn+1（x）为fn（x）的导函数，f1（x）＝
[f0（x）]'= 1−x
ex ，f2（x）＝[f1（x）]'= x−2
ex ，f3（x）＝[f2（x）]'= 3−x
ex ，……，根据以上结果，推断f2019（x）
＝
2019−x
ex
．
【解答】解：f1（x）＝[f0（x）]'= 1−x
ex ，f2（x）＝[f1（x）]'= x−2
ex ，f3（x）＝[f2（x）]'= 3−x
ex ，……，
f4（x）＝[f3（x）]'= x−4
ex ，
依此类推，fn（x）＝（﹣1）n•
x−n
ex ，
∴f2019（x）= 2019−x
ex
，
故答案为：
2019−x
ex
11．（5 分）设椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a＞b＞0)的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1 且垂直于x 轴的弦长等于点F1 到l1
的距离，则椭圆的离心率是
1
2
．
【解答】解：过F1 且垂直于x 轴的弦长等于
2b2
a ，点F1 到l1 的距离为
a2
c −c，由条件知，
2b2
a
=
a2
c −c，即
2
a =
1
c，∴
c
a =
1
2，
故答案为：
1
2．
12．（5 分）若方程1 −x2 =a（x+2）有两个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是
[0，
3
3 ）
．
【解答】解：画出函数y=
1 −x2，与y＝a（x+2）的图象，
即以O 为圆心，1 为半径的上半圆与恒过定点（﹣2，0）
的直线y＝a（x+2），
如图：方程1 −x2 =a（x+2）有两个不相等实数解，
可得
|2a|
1+a2 ≤1，解得a∈（−3
3 ，
3
3 ），
结合图象可得：a∈[0，
3
3 ）．
故答案为：[0，
3
3 ）．
13．（5 分）做一个正四棱柱形状容积为256m3 的无盖水箱，则高为
4
m 时，所用材料最省．
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【解答】解：设底边长为xm，（x＞0）由题意可得，高h= 256
x2 m
用料y＝x2+4xh＝x2+ 4×256
x
=x2+ 512
x + 512
x
≥3
3 x2 × 512
x × 512
x
=192，
当且仅当x2= 512
x 即x＝8 时取等号
故它的底边长为8，高为4 时最省材料
故答案为：4．
14．（5 分）若函数f（x）= 2x + 3x，x ≤0
ax −lnx，x＞0
，恰有两个不同零点，则实数a 的取值范围为
a≤0 或a= 1
e
．
【解答】解：当x≤0 时，由f（x）＝2x+3x＝0 得3x＝﹣2x，由图象知此时方程3x＝﹣2x 有一个根，即此时函
数f（x）有一个零点，
若f（x）恰有两个不同零点，则等价为当x＞0 时，函数f（x）＝ax﹣lnx 有一个零点，
由f（x）＝ax﹣lnx＝0 得a= lnx
x ，
设g（x）= lnx
x ，则函数的导数g′（x）=
1
x⋅x−lnx
x2
= 1−lnx
x2
，
由g′（x）＞0 得1﹣lnx＞0，得lnx＜1，得0＜x＜e，此时函数f（x）单调递增，
由g′（x）＜0 得1﹣lnx＜0，得lnx＞1，得x＞e，此时函数f（x）单调递减，
即当x＝e 时，函数f（x）取得极大值g（e）= lne
e = 1
e，
当x＞1 时，0＜g（x）≤1
e，
当0＜x≤1 时，g（x）≤0，
则g（x）的对应图象为，
若a= lnx
x 只有一个根，则a≤0 或a= 1
e，
即实数a 的取值范围是a≤0 或a= 1
e，
故答案为：a≤0 或a= 1
e．
二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15．（14 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP＝AD，M，N 分别
为棱PD，PC 的中点．求证：
（1）MN∥平面PAB；
（2）AM⊥平面PCD．
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【解答】证明：（1）因为M、N 分别为PD、PC 的中点，
所以MN∥DC，又因为底面ABCD 是矩形，
所以AB∥DC．所以MN∥AB，
又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB．
（2）因为AP＝AD，P 为PD 的中点，所以AM⊥PD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM．
因为CD、PD⊂平面PCD，CD∩PD＝D，
∴AM⊥平面PCD．
16．（14 分）（1）已知a＞b＞0，m＞0，用分析法证明：
b
a ＜
b+m
a+m；
（2）已知实数a，b，c，d 满足ac≥2（b+d），用反证法证明：方程x2+ax+b＝0 与方程x2+cx+d＝0 至少有一个
方程有实根．
【解答】解：（1）要证明：
b
a ＜
b+m
a+m成立，
由于a＞b＞0，m＞0，
则证明b（a+m）＜a（b+m），
即证ab+bm＜ab+am 成立，
即bm＜am 成立，
即b＜a 成立即可，
由条件知b＜a 成立，则
b
a ＜
b+m
a+m成立．
（2）反证法：假设结论不成立，即方程x2+ax+b＝0 与方程x2+cx+d＝0 都没有实根，
则判别式满足△1＝a2﹣4b＜0，△2＝c2﹣4d＜0，
则a2+c2﹣4d﹣4b＜0，
即4d+4b＞a2+c2，
即4d+4b＞a2+c2≥2ac，
即2（b+d）＞ac，与条件ac≥2（b+d）矛盾，
即假设不成立，则原命题成立．
17．（14 分）已知函数f（x）= 1
3x3﹣4x+ 1
3的定义域为[﹣3，4]．
（1）求函数y＝f（x）的最大值和最小值；
（2）试求函数y＝f（x）的零点个数．
【解答】解：（1）函数f（x）= 1
3x3﹣4x+ 1
3的导数为f′（x）＝x2﹣4，
由f′（x）＝0，可得x＝±2，
由f（﹣2）= 17
3 ，f（2）＝﹣5，f（﹣3）= 10
3 ，f（4）= 17
3 ，
可得f（x）的最小值为﹣5，最大值为
17
3 ；
（2）由（1）可得f（x）在（﹣2，2）递减；
在（﹣3，﹣2），（2，4）递增，可得f（x）在x＝﹣2 处取得极大值
17
3 ＞0；
f（x）在x＝2 处取得极小值﹣5＜0，且f（﹣3）= 10
3 ＞0，f（4）= 17
3 ＞0，
可得f（x）在[﹣3，4]的零点个数为2．
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18．（16 分）某小区边角有块空地，空地由半圆O 和矩形EFGH 两部分组成，其中EF 为半圆直径，长度为200 米，
矩形EFGH 的宽FG 长度为100 米．开发商准备利用这块区域建一个矩形游泳池ABCD，设计要求A，B 在半圆
周边界上，C，D 在GH 边界上，如图所示．设∠AOE＝θ．
（1）求游泳池的面积S 关于θ的函数关系式；
（2）试确定θ的值，使得游泳池的面积S 最大，并求出最大值．
【解答】解：（1）由于EF＝200，则AO＝100，FG＝100，
∴AD＝100sinθ+100＝100（sinθ+1），AB＝2×100cosθ＝200cosθ，
∴S（θ）＝AB•AD＝20000（sinθ+1）cosθ，0≤θ＜π
2，
（2）由（1）可得S（θ）＝20000（sinθcosθ+cosθ），
设f（θ）＝sinθcosθ+cosθ，0≤θ＜π
2，
∴f′（θ）＝cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ＝﹣2sin2θ﹣sinθ+1＝﹣（2sinθ﹣1）（sinθ+1），
令f′（θ）＝0，解得sinθ= 1
2，即θ= π
6，
当0≤θ＜π
6时，即0＜sinθ＜1
2时，f′（θ）＞0，函数f（θ）单调递增，
当
π
6 ＜θ＜π
2时，即
1
2 ＜sinθ＜1 时，f′（θ）＜0，函数f（θ）单调递减，
故当θ= π
6，f（θ）max＝f（
π
6）= 1
2 × 3
2 + 3
2 = 3 3
4 ，
∴Smax＝20000× 3 3
4
=15000 3
19．（16 分）如图，已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）过点（0，1）和（1，
2
2 ），圆O：x2+y2＝b2．直线AB 与
圆O 相切，切点在第一象限内，且与椭圆C 交于A，B 两点．
（1）求椭圆C 和圆O 的标准方程；
（2）若△OAB 的面积为
6
4 ，求直线AB 的方程；
（3）设圆O 与x 轴正半轴的交点为D，求证：△DAB 的周长为定值．
【解答】解：（1）将两点坐标代入椭圆C 的方程可得
02
a2 + 12
b2 = 1
12
a2 + ( 2
2 )2
b2
= 1
，得a2 = 2
b2 = 1，
所以，椭圆C 的标准方程为
x2
2 + y2 = 1，圆O 的标准方程为x2+y2＝1；
（2）由于△OAB 的高为1，△OAB 的面积为
1
2 |AB| ⋅1 =
6
4 ，得|AB| =
6
2 ．
由题意可知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y＝kx+m，即kx﹣y+m＝0，则k＜0，
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由于直线AB 与圆O 相切，则
|m|
k2+1
= 1，化简得m2＝k2+1，
设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线AB 的方程与椭圆方程联立，消去y 并化简得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2
＝0，
由韦达定理可得x1 + x2 =−4km
2k2+1，x1x2 = 2m2−2
2k2+1 ，
所
以
，
|AB| =
1 + k2 ⋅|x1 −x2| =
1 + k2 ⋅
(x1 + x2)2 −4x1x2 =
1 + k2 ⋅
( −4km
2k2+1 )2 −4(2m2−2)
2k2+1
=
2 2⋅(1+k2)(2k2+1−m2)
2k2+1
=
2 2⋅k2(k2+1)
2k2+1
=
6
2 ，
化简得4k4+4k2﹣3＝0，即（2k2﹣1）（2k2+3）＝0，由于k＜0，解得k =−2
2 ，
由于直线AB 与圆的切点在第一象限，则m＞0，所以，m =
k2 + 1 =
6
2 ，
因此，直线AB 的方程为y =−2
2 x +
6
2 ；
（3）易知点D（1，0），设直线AB 与圆O 的切点为p（x0，y0），则x0＞0，y0＞0，且x0
2 + y0
2 = 1，
由于点A（x1，y1），则
x1
2
2 + y1
2 = 1，所以，y1
2 = 1 −
x1
2
2 ，且0＜x1＜2，
|AD| =
(x1 −1)2 + y1
2 =
x1
2 −2x1 + 1 + 1 −
x1
2
2 =
x1
2
2 −2x1 + 2 = | 2
2 x1 −
2| =
2 −2
2 x1，同理可得|BD| =
2 −2
2 x2，
由勾股定理可得|AP| =
|OA|2 −|OP|2 =
x1
2 + y1
2 −1 =
x1
2 + 1 −
x1
2
2 −1 =
2
2 x1，同理可得|BP| =
2
2 x2，
因此，△ABD 的周长为|AD|+|BD|+|AP|+|BP|=
2 −2
2 x1 +
2 −2
2 x2 + 2
2 x1 + 2
2 x2 = 2 2．
所以，△DAB 的周长为定值．
20．（16 分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝lnx，其中e 为自然对数的底数．
（1）求函数y＝f（x）•g（x）的图象在x＝1 处的切线方程；
（2）若对任意0＜x1＜x2，均有g（x2）﹣g（x1）＞λ[
1
f(x2) −
1
f(x1)]成立，求实数λ的取值范围；
（3）设函数h（x）＝（x﹣2）f（x）+g（x）﹣x，求证：对任意的x∈[
1
2 ，1]，h（x）＜﹣3 恒成立．
【解答】解：（1）函数F（x）＝exlnx 的导数为
F′（x）＝ex（lnx+ 1
x），
可得F（x）在点（1，F（1））处的切线斜率为k＝e（ln1+1）＝e，
切点为（1，0），
即有f（x）在点（1，F（1））处的切线方程为y﹣0＝e（x﹣1），
化简为y＝ex﹣e；
（2）：由g（x2）﹣g（x1）＞λ[
1
f(x2) −
1
f(x1)]得：g（x1）−
λ
f(x1) ＜g（x2）−
λ
f(x2)，
令H（x）＝g（x）﹣λ[f（x）]
﹣1＝lnx−λ
ex，（x＞0），
依题意只需H（x）在（0，+∞）单调递增即可，
H′（x）= ex+λx
ex
，
只需ex+λx≥0 在（0，+∞）上恒成立即可，
即λ ≥−ex
x ，
令m（x）=−ex
x ，（x＞0），m'(x) =−ex(x−1)
x2
．
可得m（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴m（x）≤m（1）＝﹣e，故λ＞﹣e；
（3）函数h（x）＝（x﹣2）f（x）+g（x）﹣x＝（x﹣2）ex+lnx﹣x，
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第142页（共926页）
易得lnx﹣x≤﹣1，
∴h（x）＝（x﹣2）ex+lnx﹣x≤（x﹣2）ex﹣1，
令G（x）＝（x﹣2）ex﹣1，x∈[
1
2 ，1]，
G′（x）＝（x﹣1）ex≤0
∴G（x）在[
1
2 ，1]单调递减，
∴G（x）≤G（
1
2）=−3
2
e −1 ≤−3，
故对任意的x∈[
1
2 ，1]，h（x）＜﹣3 恒成立．
附加卷
21．（10 分）求函数y＝3cos（2x−π
3）在x= 5π
12处的切线方程．
【解答】解：函数y＝3cos（2x−π
3），可得y′＝﹣6sin（2x−π
3），
可得y'|
x= 5π
12
=−6．
x= 5π
12，可得y＝3cos（2× 5π
12 −π
3）＝0，
函数y＝3cos（2x−π
3）在x= 5π
12处的切线方程：y＝﹣6（x−5π
12）．
22．（10 分）已知定点A（﹣2，0），点B 是圆x2+y2﹣8x+12＝0 上一动点，求AB 中点M 的轨迹方程．
【解答】解：设M（x，y），B（m，n），可得
∵点A（﹣2，0），M 是AB 的中点，
∴由中点坐标公式得−2 + m = 2x
0 + n = 2y
，解得m＝2x+2，n＝2y．
∵B（m，n）在圆C：x2+y2﹣8x+12＝0 上运动，可得（2x+2）2+（2y）2﹣8（2x+2）+12＝0，
∴（x+1）2+y2﹣4x﹣1＝0，化简得（x﹣1）2+y2＝1，
即为AB 的中点M 的轨迹方程．
23．（10 分）已知n 为正整数，请用数学归纳法证明：1+ 1
2 + 1
3 + ⋯⋯+ 1
n ＜2 n．
【解答】证明：当n＝1 时，1＜2 1 =2，不等式成立，
②假设n＝k 时，不等式成立，即1+ 1
2 + 1
3 + ⋯⋯+ 1
k ＜2 k，
当n＝k+1 时，1+ 1
2 + 1
3 + ⋯⋯+ 1
k +
1
k+1 ＜2 k +
1
k+1 =
2 k(k+1)+1
k+1
＜k+k+1+1
k+1
=2 k + 1．
∴当n＝k+1 时，不等式成立．
由①②得1+ 1
2 + 1
3 + ⋯⋯+ 1
n ＜2 n．
n 为正整数，1+ 1
2 + 1
3 + ⋯⋯+ 1
n ＜2 n．
24．（10 分）如图，在四棱锥S﹣ABCD 中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD 是直角梯形，∠ADC＝∠DAB＝90°，
SD＝AD＝AB＝2，DC＝1
（1）求二面角S﹣BC﹣A 的余弦值；
（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE 与平面SAD 所成角的正弦值为
2 26
13 ，求线段CP 的长．
【解答】解：（1）以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2）
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∴SB
→
= (2，2，−2)，SC
→
= (0，1，−2)，DS
→
= (0，0，2)
设面SBC 的法向量为m
→= (x，y，z)
由m
→⋅SB
→
= 2x + 2y −2z = 0
m
→⋅SC
→
= y −2z = 0
可取m
→= ( −1，2，1)
∵SD⊥面ABC，∴取面ABC 的法向量为n
→= (0，0，1)
|cos＜m
→，n
→＞|=
6
6 ，
∵二面角S﹣BC﹣A 为锐角．
二面角S﹣BC﹣A 的余弦值为
6
6
（2）由（1）知E（1，0，1），则CB
→
= (2，1，0)，CE
→
= (1，−1，1)，
设CP
→
= λCB
→
，（0≤λ≤1）．则CP
→
= (2λ，λ，0)，PE
→
= CE
→
−CP
→
= (1 −2λ，−1 −λ，1)
易知CD⊥面SAD，∴面SAD 的法向量可取CD
→
= (0，1，0)
|cos＜PE
→
，CD
→
＞|=
λ+1
5λ2−2λ+3 = 2 26
13 ，
解得λ= 1
3或λ= 11
9 （舍去）．
此时CP
→
= ( 2
3 ，1
3 ，0)，∴|CP
→
|=
5
3 ，
∴线段CP 的长为
5
3
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2019-2020 学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．（5 分）命题“∀x∈（0，
π
2），sinx＜1”的否定是
．
2．（5 分）已知直线l 过点A（1，1）、B（2，0），则直线l 的斜率为
．
3．（5 分）一质点的运动方程为s＝t2+10（位移单位：米，时间单位：秒），则该质点在t＝3 秒的瞬时速度为
．
4．（5 分）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24 个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，
8，若用分层抽样抽取6 个城市，则丙组中应抽取的城市数为
．
5．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y2＝8x 的准线方程为
．
6．（5 分）执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为10，则输入的x 的值是
．
7．（5 分）若a∈R，则“a＝﹣3”是“直线l1：ax+y﹣1＝0 与l2：（a+1）x+2ay+4＝0 垂直”的
条件．（注：
在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选填一个）
8．（5 分）函数f（x）＝x3﹣3x+2 的单调递减区间为
．
9．（5 分）设椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a＞b＞0)的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1 且垂直于x 轴的弦长等于点F1 到l1
的距离，则椭圆的离心率是
．
10．（5 分）有一个质地均匀的正四面体木块4 个面分别标有数字1，2，3，4．将此木块在水平桌面上抛两次，则
两次看不到的数字都大于2 的概率为
．
11．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线
x2
m −
y2
m+1 = 1 的一个焦点为（3，0），则双曲线的渐近线方程
为
．
12．（5 分）已知可导函数f（x）的定义域为R，f（1）＝2，其导函数f'（x）满足f'（x）＞3x2，则不等式f（2x）
＜8x3+1 的解集为
．
13．（5 分）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝6，AB 为圆C 上的两个动点，且AB = 2 2，G 为弦AB 的中点．直线l：x
﹣y﹣2＝0 上有两个动点PQ，且PQ＝2．当AB 在圆C 上运动时，∠PGQ 恒为锐角，则线段PQ 中点M 的横坐
标取值范围为
．
14．（5 分）函数f（x）＝x|ex﹣a|在（1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围是
．
二、解答题：（本大题共6 道题，计90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（14 分）已知m 为实数．命题p：方程
x2
3m−1 +
y2
m−3 =1 表示双曲线；命题q：对任意x∈R，x2+（m﹣2）x+ 9
4 ＞
0 恒成立．
（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若命题“p 或q”为真命题、“p 且q”为假命题，求实数m 的取值范围．
16．（14 分）某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭．在进行资产清算时发现有3000 名客户办理的充值会员
卡上还有余额．为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽取了300 名客户的充值卡余额进行统计．其中余额分
组区间为[500，600），[600，700），[700，800），[800，900），[900，1000]，其频率分布直方图如图所示，请你
解答下列问题：
（1）求a 的值；
（2）求余额不低于900 元的客户大约为多少人？
（3）根据频率分布直方图，估计客户人均损失多少？（用组中值代替各组数据的平均值）．
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17．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l：kx﹣y﹣4﹣2k＝0，k∈R
（1）直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由；
（2）已知点A（﹣2，0），B（1，0），若直线l 上存在点P 满足条件PA＝2PB，求实数k 的取值范围．
18．（16 分）2019 年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12
米的圆弧围成，两圆心O1、O2 之间的距离为12 米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A，B，C，D 均在圆弧上，
O1O2⊥AB 于点M．设∠AO2M＝θ，
（1）当θ= π
4时，求喷泉ABCD 的面积S；
（2）求cosθ为何值时，可使喷泉ABCD 的面积S 最大？
19．（16 分）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的长轴长为2 2，离心率为
2
2 ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x 轴于点N，交椭圆C 于点A，P（P 在第一象限），且M 是线段PN
的中点．过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点Q，延长QM 交椭圆C 于点B．
①设直线PM、QM 的斜率分别为k，k'，证明
k
k'为定值；
②求直线AB 斜率取最小值时，直线PA 的方程．
20．（16 分）已知函数f（x）= lnx
x+1，φ（x）＝m（x+1）f（x）﹣x（m∈R）．
（1）求f（x）在x＝1 处的切线方程；
（2）当m＞0 时，求φ（x）在[1，2]上的最大值；
（3）求证：f（x）的极大值小于1．
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2019-2020 学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．（5 分）命题“∀x∈（0，
π
2），sinx＜1”的否定是
∃x∈（0，
π
2），sinx≥1
．
【解答】解“sinx＜1”的否定是“sinx≥1”，
∴“∀x∈（0，
π
2），sinx＜1”的否定是“∃x∈（0，
π
2），sinx≥1”．
故答案为：∃x∈（0，
π
2），sinx≥1．
2．（5 分）已知直线l 过点A（1，1）、B（2，0），则直线l 的斜率为
﹣1
．
【解答】解：由题意得：
k= 1−2
1−0 =−1，
故答案为：﹣1．
3．（5 分）一质点的运动方程为s＝t2+10（位移单位：米，时间单位：秒），则该质点在t＝3 秒的瞬时速度为
6m/s
．
【解答】解：∵质点的运动方程为s＝t2+10
∴s′＝2t
∴该质点在t＝3 秒的瞬时速度为2×3＝6
故答案为6m/s
4．（5 分）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24 个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，
8，若用分层抽样抽取6 个城市，则丙组中应抽取的城市数为
2
．
【解答】解：∵某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8．
本市共有城市数24，
∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6 的样本
∴每个个体被抽到的概率是
6
24 =
1
4，
∵丙组中对应的城市数8，
∴则丙组中应抽取的城市数为
1
4 ×8＝2，
故答案为2．
5．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y2＝8x 的准线方程为
x＝﹣2
．
【解答】解：抛物线y2＝8x 的开口向右，P＝4，所以抛物线的准线方程：x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
6．（5 分）执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为10，则输入的x 的值是
3
．
【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求y= 2x
x＜3
x2 + 1
x ≥3
的值，
当x≥3 时，y＝x2+1＝10，解得x＝3，（或﹣3，不合题意舍去）；
当x＜3 时，y＝2x＝10，解得x＝5，舍去；
综上，x 的值为3．
故答案为：3．
7．（5 分）若a∈R，则“a＝﹣3”是“直线l1：ax+y﹣1＝0 与l2：（a+1）x+2ay+4＝0 垂直”的
充分不必要
条件．（注：
在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选填一个）
【解答】解：“直线l1：ax+y﹣1＝0 与l2：（a+1）x+2ay+4＝0 垂直”的充要条件为：a（a+1）+1×（2a）＝0，
即a＝0 或a＝﹣3，
又易知：“a＝﹣3”是“a＝0 或a＝﹣3”的充分不必要条件，
即“a＝﹣3”是“直线l1：ax+y﹣1＝0 与l2：（a+1）x+2ay+4＝0 垂直”的充分不必要条件，
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故答案为：充分不必要．
8．（5 分）函数f（x）＝x3﹣3x+2 的单调递减区间为
（﹣1，1）
．
【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣3x+2，
∴f'（x）＝3x2﹣3，
由f'（x）＜0 得，﹣1＜x＜1，
∴f（x）＝x3﹣3x+2 的单调递减区间为：（﹣1，1）；
故答案为：（﹣1，1）．
9．（5 分）设椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a＞b＞0)的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1 且垂直于x 轴的弦长等于点F1 到l1
的距离，则椭圆的离心率是
1
2
．
【解答】解：过F1 且垂直于x 轴的弦长等于
2b2
a ，点F1 到l1 的距离为
a2
c −c，由条件知，
2b2
a
=
a2
c −c，即
2
a =
1
c，∴
c
a =
1
2，
故答案为：
1
2．
10．（5 分）有一个质地均匀的正四面体木块4 个面分别标有数字1，2，3，4．将此木块在水平桌面上抛两次，则
两次看不到的数字都大于2 的概率为
1
4
．
【解答】解：有一个质地均匀的正四面体木块4 个面分别标有数字1，2，3，4．
将此木块在水平桌面上抛两次，
基本事件总数n＝4×4＝16，
两次看不到的数字都大于2 包含的基本事件个数m＝2×2＝4，
则两次看不到的数字都大于2 的概率为p= 4
16 = 1
4．
故答案为：
1
4．
11．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线
x2
m −
y2
m+1 = 1 的一个焦点为（3，0），则双曲线的渐近线方程
为
y＝±
5
2 x
．
【解答】解：∵双曲线
x2
m −
y2
m+1 = 1 的一个焦点为（3，0），∴m+m+1＝9，
∴m＝4，双曲线方程化为：
x2
4 −
y2
5 = 1，可得渐近线方程：y＝±
5
2 x．
故答案为：y＝±
5
2 x．
12．（5 分）已知可导函数f（x）的定义域为R，f（1）＝2，其导函数f'（x）满足f'（x）＞3x2，则不等式f（2x）
＜8x3+1 的解集为
（﹣∞，
1
2）
．
【解答】解：不等式f（2x）＜8x3+1，令t＝2x，可得f（t）＜t3+1，
令F（x）＝f（x）﹣x3﹣1，
F'（x）＝f'（x）﹣3x2＞0，
∴函数F（x）在R 上单调递增函数，
∵f（x）＜x3+1，
∴f（x）﹣x3﹣1＜f（1），F（
1
2）＝f（2× 1
2）﹣8×（
1
2）3﹣1＝0，
f（2x）﹣8x3﹣1＜0，
即F（x）＜F（
1
2），
根据函数F（x）在R 上单调递增函数可知x＜1
2．
故答案为：（﹣∞，
1
2）．
13．（5 分）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝6，AB 为圆C 上的两个动点，且AB = 2 2，G 为弦AB 的中点．直线l：x
﹣y﹣2＝0 上有两个动点PQ，且PQ＝2．当AB 在圆C 上运动时，∠PGQ 恒为锐角，则线段PQ 中点M 的横坐
标取值范围为
（﹣∞，0）∪（3，+∞）
．
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【解答】解：∵圆C：x2+（y﹣1）2＝6 的半径为6，AB = 2 2，G 为弦AB 的中点，
∴CG＝2，设PQ 中点为M（a，a﹣2），
∵PQ＝2，且当AB 在圆C 上运动时，∠PGQ 恒为锐角，
则以C 为圆心，以2 为半径的圆与以M 为圆心，以1 为半径的圆外离，
则a2 + (a −3)2＞3，即a2﹣3a＞0，解得a＜0 或a＞3．
∴线段PQ 中点M 的横坐标取值范围为（﹣∞，0）∪（3，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪（3，+∞）．
14．（5 分）函数f（x）＝x|ex﹣a|在（1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围是
（﹣∞，e]∪[3e2，+∞）
．
【解答】解：f（x）＝x|ex﹣a|= x(ex −a)，ex ≥a
x(a −ex)，ex＜a
．
当ex≥a 时，f（x）＝x（ex﹣a），f′（x）＝ex﹣a+xex，
要使f（x）在（1，2）上单调递增，则a ≤ex
a ≤ex + xex在（1，2）上恒成立，
即a≤e；
当ex＜a 时，f（x）＝x（a﹣ex），f′（x）＝a﹣ex﹣xex，
要使f（x）在（1，2）上单调递增，则a＞ex
a ≥ex + xex在（1，2）上恒成立，
即a≥3e2．
综上，实数a 的取值范围是（﹣∞，e]∪[3e2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，e]∪[3e2，+∞）．
二、解答题：（本大题共6 道题，计90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（14 分）已知m 为实数．命题p：方程
x2
3m−1 +
y2
m−3 =1 表示双曲线；命题q：对任意x∈R，x2+（m﹣2）x+ 9
4 ＞
0 恒成立．
（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若命题“p 或q”为真命题、“p 且q”为假命题，求实数m 的取值范围．
【解答】解：（1）p 真，即方程
x2
3m−1 +
y2
m−3 =1 表示双曲线，
即有（3m﹣1）（m﹣3）＜0，可得
1
3 ＜m＜3；
（2）q 真，对任意x∈R，x2+（m﹣2）x+ 9
4 ＞0 恒成立，
可得△＝（m﹣2）2﹣4× 9
4 ＜0，
解得﹣1＜m＜5，
命题“p 或q”为真命题、“p 且q”为假命题，
可得p，q 中一真一假，
若p 真q 假，可得
1
3 ＜m＜3
m ≥5 或m ≤−1
，即为m∈∅；
若p 假q 真，可得m ≥3 或m ≤1
3
−1＜m＜5
，即为﹣1＜m≤1
3或3≤m＜5．
综上可得m 的范围是（﹣1，
1
3]∪[3，5）．
16．（14 分）某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭．在进行资产清算时发现有3000 名客户办理的充值会员
卡上还有余额．为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽取了300 名客户的充值卡余额进行统计．其中余额分
组区间为[500，600），[600，700），[700，800），[800，900），[900，1000]，其频率分布直方图如图所示，请你
解答下列问题：
（1）求a 的值；
（2）求余额不低于900 元的客户大约为多少人？
（3）根据频率分布直方图，估计客户人均损失多少？（用组中值代替各组数据的平均值）．
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第149页（共926页）
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
100（0.0005+0.002+a+0.004+0.001）＝1，
解得a＝0.0025．
（2）余额在[900，1000]之间的频率为0.1，
故可估计余额不低于900 元的客户大约为3000×0.1＝300（人）．
（3）客户人均损失的估计值为：
550×0.05+650×0.2+750×0.4+850×0.25+950×0.1＝765（元）．
17．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l：kx﹣y﹣4﹣2k＝0，k∈R
（1）直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由；
（2）已知点A（﹣2，0），B（1，0），若直线l 上存在点P 满足条件PA＝2PB，求实数k 的取值范围．
【解答】解：（1）直线l：kx﹣y﹣4﹣2k＝0，k∈R，即k（x﹣2）﹣y﹣4＝0，
令x﹣2＝0，求得x＝2，y＝﹣4，可得直线l 过定点（2，﹣4）．
（2）已知点A（﹣2，0），B（1，0），若直线l 上存在点P（x，y），
满足条件PA＝2PB，则PA2＝4PB2，则（x+2）2+y2＝4[（x﹣1）2+y2]，
化简可得（x﹣2）2+y2＝4，故点P 在以（2，0）为圆心，2 为半径的圆上．
故该圆和直线l 有交点，即
|2k−0−4−2k|
k2+1
≤2，求得k≤−
3，或k≥
3．
即实数k 的取值范围为（﹣∞，−
3]∪[ 3，+∞）．
18．（16 分）2019 年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12
米的圆弧围成，两圆心O1、O2 之间的距离为12 米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A，B，C，D 均在圆弧上，
O1O2⊥AB 于点M．设∠AO2M＝θ，
（1）当θ= π
4时，求喷泉ABCD 的面积S；
（2）求cosθ为何值时，可使喷泉ABCD 的面积S 最大？
【解答】解：（1）在直角△AO2M 中，AM＝12sin
π
4 =6 2，O2M＝12cos
π
4 =6 2，
则AD＝12 2 +12，AB＝2AM＝12 2，
∴S＝AB•AD＝12 2（12 2 +12）＝288+144 2（平方米）
（2）在直角△AO2M 中，AM＝12sinθ，O2M＝12cosθ，则AD＝24cosθ+12，
所以矩形ABCD 的面积S＝24sinθ（20cosθ+12）＝288（2sinθcosθ+sinθ），
令f（θ）＝2sinθcosθ+sinθ，0＜θ＜π
3，
则f'（θ）＝2cos2θ+cosθ＝4cos2θ+cosθ﹣2，0＜θ＜π
3，
令f'（θ）＝0，得cosθ=
33−1
8
．设cosθ0=
33−1
8
，且0＜θ＜π
3，列表如下：
θ
（0，θ0）
θ0
（θ0，
π
3）
f'（θ）
+
0
﹣
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f（θ）
↗
极大值
↘
所以当θ＝θ0，f（θ）最大，即S 最大，此时cosθ0=
33−1
8
，
故cosθ0=
33−1
8
，喷泉ABCD 的面积最大．
19．（16 分）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的长轴长为2 2，离心率为
2
2 ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x 轴于点N，交椭圆C 于点A，P（P 在第一象限），且M 是线段PN
的中点．过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点Q，延长QM 交椭圆C 于点B．
①设直线PM、QM 的斜率分别为k，k'，证明
k
k'为定值；
②求直线AB 斜率取最小值时，直线PA 的方程．
【解答】解：（1）由题意知2a＝2 2，即a=
2，
∵
c
a =
2
2 ，
∴c＝1，
∴b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆C 的方程为
x2
2 +y2＝1．
（2）证明：①设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），
由M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m）．
∴直线PM 的斜率k= 2m−m
x0
= m
x0，直线QM 的斜率k′= −2m−m
x0
=−3m
x0 ，
此时
k
k' =−
1
3．
∴
k
k'为定值−1
3．
②设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA 的方程为y＝kx+m，直线QB 的方程为y＝﹣3kx+m．
联立
y = kx + m
x2
2 + y2 = 1，整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m2﹣2＝0．
由△＝16k2m2﹣8（m2﹣1）（2k2+1）＞0，
∴x1x0= 2m2−2
2k2+1 ，可得x1=
2m2−2
(2k2+1)x0
，
∴y1＝kx1+m＝k•
2m2−2
(2k2+1)x0
+m
同理x2=
2m2−2
(18k2+1)x0
，y2＝﹣3kx2+m＝﹣3k•
2m2−2
(18k2+1)x0
+m，
∴x1﹣x2=
32k2(m2−1)
(2k2+1)(18k2+1)x0
，y1﹣y2＝3k•
2m2−2
(18k2+1)x0
+k•
2m2−2
(2k2+1)x0
＝24（m2﹣1）•
24k2+4
(2k2+1)(18k2+1)x0
=8k（m2﹣1）
6k2+1
(2k2+1)(18k2+1)x0
，
∴kAB= y1−y2
x1−x2 = 6k2+1
4k
= 1
4（6k+ 1
k），
由m＞0，x0＞0，可知k＞0，
∴6k+ 1
k ≥2 6，等号当且k=
6
6 仅当时取等号，
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由P（x0，2m），m＞0，x0＞0 在椭圆上可得x0=
2 −8m2，
k= m
x0 =
m
2−8m2，
此时
m
2−8m2 =
6
6 ，即m=
7
7 ，
由△＞0，得m2＜2k2+1，
∴k=
6
6 ，m=
7
7 符合题意，
故直线AB 的斜率的最小值时，直线PA 的方程为y=
6
6 x+ 7
7 ．
20．（16 分）已知函数f（x）= lnx
x+1，φ（x）＝m（x+1）f（x）﹣x（m∈R）．
（1）求f（x）在x＝1 处的切线方程；
（2）当m＞0 时，求φ（x）在[1，2]上的最大值；
（3）求证：f（x）的极大值小于1．
【解答】解：（1）∵f′（x）=
1
x(x+1)−lnx
(x+1)2
= 1+1
x−lnx
(x+1)2 ，
∴f′（1）= 1
2，
∵f（1）＝0，
∴f（x）在x＝1 处的切线方程y﹣0= 1
2（x﹣1），即x﹣2y﹣1＝0，
（2）φ（x）＝m（x+1）f（x）﹣x＝mlnx﹣x，m＞0，
∴φ′（x）= m
x −1，
令φ′（x）＝0，解得x＝m，
当0＜x＜m，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增，
当x＞m，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减，
故当0＜m≤1，函数φ（x）在[1，2]上单调递减，故φ（x）max＝φ（1）＝﹣1，
当1＜m＜2 时，函数φ（x）在[1，m]上单调递增，在（m，2]上单调递减，φ（x）max＝φ（m）＝mlnm﹣m，
当m≥2，函数φ（x）在[1，2]上单调递增，故φ（x）max＝φ（2）＝mln2﹣2，
证明：（3）∵f′（x）= 1+1
x−lnx
(x+1)2 ，
令g（x）＝1+ 1
x −lnx，
∴g′（x）=−1
x2 −1
x ＜0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵g（1）＝2＞0，g（e2）= 1
e2 −1＜0，
∴存在唯一的x0∈（1，e2），使得g（x0）＝0，即1+ 1
x0 −lnx0＝0，即lnx0＝1+ 1
x0
当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴函数有极大值，f（x）极大值＝f（x0）= lnx0
x0+1 =
1+ 1
x0
1+x0 = 1
x0，
∵x0∈（1，e2），
∴
1
x0
＜1，
∴f（x0）＜1，
即f（x）的极大值小于1．
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日期：2019/12/27 12:22:05；用户：13029402512 ；邮箱：13029402512 ；学号：24164265
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2019-2020 学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共15 小题，每小题5 分，共计70 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位
置上．）
1．（5 分）直线x﹣y+1＝0 的倾斜角大小为
．
2．（5 分）（文科）命题“存在x∈R，x2+x＜0”的否定是
．
3．（理科）已知向量AB
→
=（2，4，5），CD
→
=（3，x，y），若AB
→
∥CD
→
，则xy＝
．
4．（5 分）过椭圆
x2
4 +
y2
3 = 1 的左焦点F1 作直线l 交椭圆于A，B 两点，则△ABF2（其中F2 为椭圆的右焦点）的
周长为
．
5．（5 分）设m，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的
序号是
．
6．（5 分）以点（﹣2，3）为圆心且过坐标原点的圆的方程是
．
7．（5 分）函数f(x) = 1
2 x2 −4lnx 在[a，a+1]上单调递减，则实数a 的取值范围为
．
8．（5 分）如果方程
x2
a2 +
y2
a+12 = 1 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是
．
9．（5 分）圆O1：x2+y2+6x﹣7＝0 与圆O2：x2+y2+6y﹣27＝0 的位置关系是
．
10．（5 分）函数f（x）＝x﹣2sinx，x∈[0，π]的最小值为
．
11．（5 分）与双曲线
x2
9 −
y2
16 =1 有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2 3）的双曲线方程是
．
12．（5 分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A﹣B1C1D 的体积
为
．
13．（5 分）抛物线x2＝2py（p＞0）的准线交圆x2+y2+6y﹣16＝0 于点A，B，若AB＝8，则抛物线的焦点为
．
14．（5 分）已知函数f(x) =
xex，x ≤0
x −2
e ，x＞0
，若f（x1）＝f（x2）＝f（x3）（x1＜x2＜x3），则
f(x2)
x3
的取值范围为
．
15．（5 分）有公共焦点F1，F2 的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，点A 为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2
＝90°，则
1
e12 +
1
e22的值为
．
二、解答题（本大题共4 小题，共计90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．）
16．（14 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，DP⊥平面PBC，E，F 分别为PA 与BC 的中点．
（1）求证：BC⊥平面PDC；
（2）求证：EF∥平面PDC．
17．（14 分）已知△ABC 的内角平分线CD 的方程为2x+y﹣1＝0，两个顶点为A（1，2），B（﹣1，﹣1）．
（1）求点A 到直线CD 的距离；
（2）求点C 的坐标．
18．（14 分）（文科）已知m 为实数，命题P：“x≥m 是x≥0 的充分不必要条件”；命题Q：“若直线x﹣y+1＝0 与
圆（x﹣m）2+y2＝2 有公共点”．若“P 且Q”为假命题，“P 或Q”为真命题，求m 的取值范围．
19．（理科）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，侧棱与底面垂直，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，点M，N 分
別为A1B 和B1C1 的中点．
（1）求异面直线A1B 与NC 所成角的余弦值；
（2）求A1B 与平面NMC 所成角的正弦值．
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20．（16 分）设直线l 的方程为x+my﹣1﹣m＝0（m∈R），圆O 的方程为x2+y2＝r2（r＞0）．
（1）当m 取一切实数时，直线l 与圆O 都有公共点，求r 的取值范围；
（2）当r =
5时，直线x+2y﹣t＝0 与圆O 交于M，N 两点，若|OM
→
+ ON
→
| ≥3|MN
→
|，求实数t 的取值范围．
21．（16 分）已知椭圆C 的焦点为（−
15，0），（15，0），且椭圆C 过点M（4，1），直线l：y＝x+m 不过点M，
且与椭圆交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求证：直线MA，MB 与x 轴总围成一个等腰三角形．
22．（16 分）已知函数f(x) = alnx
x ，a≠0．
（1）当a＝1 时，求：①函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；②函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若不等式f(x) ≤1 −1
x恒成立，求a 的值．
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2019-2020 学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共15 小题，每小题5 分，共计70 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位
置上．）
1．（5 分）直线x﹣y+1＝0 的倾斜角大小为
45°
．
【解答】解：由直线x﹣y+1＝0 变形得：y＝x+1
所以该直线的斜率k＝1，
设直线的倾斜角为α，即tanα＝1，
∵α∈[0，180°），
∴α＝45°．
故答案为：45°．
2．（5 分）（文科）命题“存在x∈R，x2+x＜0”的否定是
任意的x∈R，x2+x≥0
．
【解答】解：命题“存在x∈R，x2+x＜0”的否定是：任意的x∈R，x2+x≥0，
故答案为：任意的x∈R，x2+x≥0．
3．（理科）已知向量AB
→
=（2，4，5），CD
→
=（3，x，y），若AB
→
∥CD
→
，则xy＝
45
．
【解答】解：∵AB
→
∥CD
→
，∴存在实数k 使得AB
→
=kCD
→
．
∴
2 = 3k
4 = kx
5 = ky
，则xy= 20
k2 = 20
(2
3)2 =45．
故答案为：45．
4．（5 分）过椭圆
x2
4 +
y2
3 = 1 的左焦点F1 作直线l 交椭圆于A，B 两点，则△ABF2（其中F2 为椭圆的右焦点）的
周长为
8
．
【解答】解：由椭圆
x2
4 +
y2
3 = 1 可得a＝2；
椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a＝4．
∴△ABF2 的周长＝|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝8．
故答案为：8．
5．（5 分）设m，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的
序号是
①②
．
【解答】解：由m，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，知：
在①中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故①正确；
在②中，若α∥β，β∥γ，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故②正确；
在③中，若m∥α，n∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故③错误；
在④中，α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故④错误．
故答案为：①②．
6．（5 分）以点（﹣2，3）为圆心且过坐标原点的圆的方程是
（x+2）2+（y﹣3）2＝13
．
【解答】解：以点（﹣2，3）为圆心且过坐标原点的圆的半径为r=
(0 + 2)2+ (0 −3)2 =
13，
故圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝13，
故答案为：（x+2）2+（y﹣3）2＝13．
7．（5 分）函数f(x) = 1
2 x2 −4lnx 在[a，a+1]上单调递减，则实数a 的取值范围为
（0，1]
．
【解答】解：由f(x) = 1
2 x2 −4lnx，得f′（x）= x −4
x（x＞0），
函数f′（x）在（0，+∞）上为增函数，
要使函数f(x) = 1
2 x2 −4lnx 在[a，a+1]上单调递减，
则
a＞0
f'(a + 1) = a + 1 −
4
a+1 ≤0
，解得0＜a≤1．
∴实数a 的取值范围为（0，1]．
故答案为：（0，1]．
8．（5 分）如果方程
x2
a2 +
y2
a+12 = 1 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（﹣12，﹣3）∪（4，+∞）．
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【解答】解：由题意，∵方程
x2
a2 +
y2
a+12 = 1 表示焦点在x 轴上的椭圆，
∴a2＞a+12＞0，解得a＞4 或﹣12＜a＜﹣3，
∴实数a 的取值范围是（﹣12，﹣3）∪（4，+∞）．
故答案为：（﹣12，﹣3）∪（4，+∞）．
9．（5 分）圆O1：x2+y2+6x﹣7＝0 与圆O2：x2+y2+6y﹣27＝0 的位置关系是
相交
．
【解答】解：圆O1：x2+y2+6x﹣7＝0，化为标准方程为（x+3）2+y2＝16，圆心为（﹣3，0），半径为4，
圆O2：x2+y2+6y﹣27＝0，化为标准方程为x2+（y+3）2＝36，圆心为（0，﹣3），半径为6，
圆心距为3 2
∵6﹣4＜3 2＜6+4，
∴两圆相交，
故答案为：相交．
10．（5 分）函数f（x）＝x﹣2sinx，x∈[0，π]的最小值为
π
3 −
3
．
【解答】解：因为f（x）＝x﹣2sinx，所以f′（x）＝1﹣2cosx，
当0≤x ≤π
3时，f′（x）≤0，
当
π
3 ≤x ≤π时，f′（x）≥0，
即函数f（x）在[0，
π
3]为减函数，在[
π
3，π]为增函数，
故f（x）min＝f（
π
3）= π
3 −
3，
故答案为：
π
3 −
3．
11．（5 分）与双曲线
x2
9 −
y2
16 =1 有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2 3）的双曲线方程是
x2
9
4
−
y2
4 = 1
．
【解答】解：与双曲线
x2
9 −
y2
16 =1 有公共的渐近线，
设所求双曲线的方程为
x2
9 −
y2
16 =m（m≠0），
代入点A（﹣3，2 3），得m= 1
4．
则所求双曲线的方程为
x2
9 −
y2
16 =
1
4．
故答案为：
x2
9
4
−
y2
4 = 1．
12．（5 分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1 的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A﹣B1C1D 的体积为
3
．
【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∵D 为BC 的中点，
∴AD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，
∴AD⊥平面BCC1B1，则VA−B1C1D = 1
3 × 1
2 × 2 × 3 ×
22 −12 =
3．
故答案为：3．
13．（5 分）抛物线x2＝2py（p＞0）的准线交圆x2+y2+6y﹣16＝0 于点A，B，若AB＝8，则抛物线的焦点为
（0，
6）
．
【解答】解：抛物线的准线方程为：y=−P
2，
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第157页（共926页）
圆x2+y2+6y﹣16＝0，可得圆心（0，﹣3），半径为：5，
抛物线x2＝2py（p＞0）的准线交圆x2+y2+6y﹣16＝0 于点A，B，若AB＝8，
可得：| p
2 −3| =
25 −16，
解得：p＝12．
抛物线x2＝24y，
抛物线的焦点坐标：（0，6）．
故答案为：（0，6）．
14．（5 分）已知函数f(x) =
xex，x ≤0
x −2
e ，x＞0
，若f（x1）＝f（x2）＝f（x3）（x1＜x2＜x3），则
f(x2)
x3
的取值范围为
（﹣
1，0）
．
【解答】解：当x≤0 时，f（x）＝xex，
∴f′（x）＝（1+x）ex，
当x＜﹣1 时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当﹣1＜x＜0 时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴f（x）min＝f（﹣1）=−1
e，
当x→﹣∞时，f（x）→0，当x＝0 时，f（0）＝0，
∴当x≤0 时，f（x）∈[−1
e，0），
分别画出y＝x−2
e与y＝xex﹣的图象，如图所示，
∵﹣1＜x2＜0，
∴−1
e ＜f（x2）＜0，
当−1
e ＜x3−2
e ＜0 时，
∴
1
e ＜x3＜2
e，
∴
f(x2)
x3
∈（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
15．（5 分）有公共焦点F1，F2 的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，点A 为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2
＝90°，则
1
e12 +
1
e22的值为
2
．
【解答】解：可设A 为第一象限的点，|AF1|＝m，|AF2|＝n，
由椭圆的定义可得m+n＝2a，
由双曲线的定义可得m﹣n＝2a'
可得m＝a+a'，n＝a﹣a'，
由∠F1AF2＝90°，可得
m2+n2＝（2c）2，
即为（a+a'）2+（a﹣a'）2＝4c2，
化为a2+a'2＝2c2，
则
a2
c2 +
a'2
c2 =2，
即有
1
e12 +
1
e22 =2．
故答案为：2．
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第158页（共926页）
二、解答题（本大题共4 小题，共计90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．）
16．（14 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，DP⊥平面PBC，E，F 分别为PA 与BC 的中点．
（1）求证：BC⊥平面PDC；
（2）求证：EF∥平面PDC．
【解答】证明：（1）∵DP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴BC⊥DP，
又底面ABCD 为矩形，∴BC⊥DC，
∵DC∩DP＝D，∴BC⊥平面PDC．
解：（2）取PD 中点G，∵E 为PA 的中点，
∴EG∥AD，且EG= 1
2 AD，
又F 为BC 中点，四边形ABCD 为矩形，
∴FC∥AD，且FC= 1
2 AD，
∴EG 与FC 平行且相等，
即四边形EGCF 为平行四边形，∴EF∥CG，
又EF⊄平面PDC，CG⊂平面PDC，
∴EF∥平面PDC．
17．（14 分）已知△ABC 的内角平分线CD 的方程为2x+y﹣1＝0，两个顶点为A（1，2），B（﹣1，﹣1）．
（1）求点A 到直线CD 的距离；
（2）求点C 的坐标．
【解答】解：（1）A（1，2）到内角平分线CD：2x+y﹣1＝0 的距离为
|2+2−1|
4+1
=
3 5
5 ，
（2）由题意可得A 关于直线CD 的对称点A′在直线BC 上，设A′（a，b），
则由
b−2
a−1 ⋅( −1
2 ) =−1
2 ⋅a+1
2
+ b+1
2
−1 = 0
，
求得
a =−7
5
b = 4
5
，∴A′（−7
5，
4
5），
故直线BC 即直线A′B 为
y+1
4
5+1
=
x+1
−7
5+1
，即9x+2y+11＝0．
把直线CD 和直线BC 联立方程组可得2x + y −1 = 0
9x + 2y + 11 = 0，
求得
x =−13
5
y = 31
5
，故点C（−13
5 ，
31
5 ）．
18．（14 分）（文科）已知m 为实数，命题P：“x≥m 是x≥0 的充分不必要条件”；命题Q：“若直线x﹣y+1＝0 与
圆（x﹣m）2+y2＝2 有公共点”．若“P 且Q”为假命题，“P 或Q”为真命题，求m 的取值范围．
【解答】解：当P 为真命题时，m＞0，
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当Q 为真命题时，由直线与圆的位置关系得：
|m−0+1|
12+(−1)2 ≤
2，解得：﹣3≤m≤1，
又“P 且Q”为假命题，“P 或Q”为真命题，
即命题P，Q 一真一假，
故m＞1
m＜−3 或m＞1
或m ≤0
−3 ≤m ≤1，
解得：﹣3≤m≤0 或m＞1，
即m 的取值范围为：[﹣3，0]∪（1，+∞），
故答案为：[﹣3，0]∪（1，+∞）
19．（理科）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，侧棱与底面垂直，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，点M，N 分
別为A1B 和B1C1 的中点．
（1）求异面直线A1B 与NC 所成角的余弦值；
（2）求A1B 与平面NMC 所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）以点A 为原点，分别以AB，AC，AA1 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），A1（0，0，2），C（0，2，0），N（1，1，2），
∴A1B
→
=（2，0，﹣2），NC
→
=（1，1，2），
设异面直线A1B 与NC 所成角为θ，
则cos＜A1B
→
，NC
→
＞=
A1B
→
⋅NC
→
|A1B
→
|⋅|NC
→
|
= 2×(−1)+0×1+(−2)×(−2)
8⋅9
=
3
6 ，
∴异面直线A1B 与NC 所成角的余弦值为
3
6 ．
解：（2）M（1，0，1），A1B
→
=（2，0，﹣2），NC
→
=（﹣1，1，﹣2），MC
→
=（﹣1，2，﹣1），
设n
→=（x，y，z）是平面MNC 的一个法向量，
则n
→⋅NC
→
=−x + y −2z = 0
n
→⋅MC
→
=−x + 2y −z = 0
，取y＝1，得n
→=（3，1，﹣1），
设A1B 与平面NMC 所成角的为θ，
则sinθ= |A1B
→
⋅n
→|
|A1B
→
|⋅|n
→|
= 2 22
11 ，
∴A1B 与平面NMC 所成角的正弦值为
2 22
11 ．
20．（16 分）设直线l 的方程为x+my﹣1﹣m＝0（m∈R），圆O 的方程为x2+y2＝r2（r＞0）．
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（1）当m 取一切实数时，直线l 与圆O 都有公共点，求r 的取值范围；
（2）当r =
5时，直线x+2y﹣t＝0 与圆O 交于M，N 两点，若|OM
→
+ ON
→
| ≥3|MN
→
|，求实数t 的取值范围．
【解答】解：（1）直线l 的方程整理可得（y﹣1）m+x﹣1＝0，
∴直线l 过定点P（1，1），
要直线l 与圆O 都有公共点，只要P 点在圆内或圆上，即12+12≤r2，
又r＞0，∴r ≥
2；
（2）设弦MN 的中点为E，则OM
→
+ ON
→
= 2OE
→
．
由垂径定理可得MN2＝4ME2＝4（OM2﹣OE2），
∴|OM
→
+ ON
→
| ≥3|MN
→
|即为OE2≥9（OM2﹣OE2），
则10OE2≥45，即OE2 ≥9
2．
又OE2＜5，
∴
9
2 ≤(
|t|
5 )2＜5，即t ∈( −5，−3 10
2
] ∪[ 3 10
2
，5)．
21．（16 分）已知椭圆C 的焦点为（−
15，0），（15，0），且椭圆C 过点M（4，1），直线l：y＝x+m 不过点M，
且与椭圆交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求证：直线MA，MB 与x 轴总围成一个等腰三角形．
【解答】解：（1）设椭圆C 的标准方程为
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a＞b＞0)，
由椭圆的定义可得2a =
(4 +
15)2 + 1 +
(4 −
15)2 + 1 =
32 + 8 15 +
32 −8 152( 5 +
3) +
2( 5 −
3) = 4 5，
∴a = 2 5，b2＝a2﹣15＝5，
因此，椭圆C 的标准方程为
x2
20 +
y2
5 = 1；
（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l 的方程代入椭圆方程，消去y 并化简得5x2+8mx+4m2﹣20＝0，
由韦达定理可得x1 + x2 =−8m
5 ，x1x2 = 4m2−20
5
，
∵直线l 与椭圆交于不同的两点A、B，所以，△＝64m2﹣20（4m2﹣20）＝16（25﹣m2）＞0，解得﹣5＜m＜5，
所以，直线MA、MB 的斜率都存在且不为零，
设直线MA、MB 的斜率分别为k1、k2，
则k1 + k2 = y1−1
x1−4 + y2−1
x2−4 = (y1−1)(x2−4)−(y2−1)(x1−1)
(x1−4)(x2−4)
= (x1+m−1)(x2−4)+(x2+m−1)(x1−4)
(x1−4)(x2−4)
= 2x1x2+(m−5)(x1+x2)−8(m−1)
(x1−4)(x2−4)
=
2×4m2−20
5
−8m(m−5)
5
−8(m−1)
(x1−4)(x2−4)
= 0，
故原命题成立．
22．（16 分）已知函数f(x) = alnx
x ，a≠0．
（1）当a＝1 时，求：①函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；②函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若不等式f(x) ≤1 −1
x恒成立，求a 的值．
【解答】解：（1）①a＝1 时，f（x）= lnx
x ，f′（x）= 1−lnx
x2
，∴f′（1）＝1，又f（1）＝0．
∴函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即x﹣y﹣1＝0．
②令f′（x）= 1−lnx
x2
=0，解得x＝e．
x
（0，e）
e
（e，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
可得函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞），可得极大值为f（e）= 1
e，为极小值．
（2）由题意可得：x＞0，由不等式f(x) ≤1 −1
x恒成立，即x﹣1﹣alnx≥0 恒成立．
令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）．
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g′（x）＝1−a
x = x−a
x ．
①若a＜0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，∴x∈（0，1）时，g（x）＜0，不符合题意，
舍去．
②若0＜a＜1，则函数g（x）在（a，+∞）上g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，又g（1）＝0，∴x∈（a，
1）时，g（x）＜0，不符合题意，舍去．
③若a＝1，则函数g（x）在（1，+∞）上g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，x∈（a，1）时，g′（x）＜
0，函数g（x）单调递减．
∴x＝1 时，函数g（x）取得极小值即最小值，又g（1）＝0，∴x＞0 时，g（x）≥0 恒成立．
③若1＜a，则函数g（x）在（0，a）上g′（x）＜0，即函数g（x）单调递减，又g（1）＝0，∴x∈（1，a）
时，g（x）＜0，不符合题意，舍去．
综上可得：a＝1．
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2019-2020 学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位
置上．）
1．（5 分）命题：∃x∈R，x2﹣x+1＝0 的否定是
．
2．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y2＝8x 的焦点坐标为
．
3．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，三点A（1，0），B（a，3），C（0，2）共线，则实数a 的值为
．
4．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，方程
x2
2−k +
y2
k−1 = 1 表示的曲线是双曲线，则实数k 的取值范围是
．
5．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0 上，O 是坐标原点，则OP 的最小值为
．
6．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，A（﹣2，0），B（2，2），则以线段AB 为直径的圆的标准方程为
．
7．（5 分）函数f（x）＝ex﹣x 的单调递增区间为
．
8．（5 分）已知直线l，m 及平面α，l⊄α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的
条件．（请用“充分不必要”、“必
要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）
9．（5 分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如：“堑堵”指底面为直
角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在“堑堵”
ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，若“阳马”B﹣A1ACC1的体积为20cm3，则“堑堵”ABC﹣A1B1C1的体积为
cm3．
10．（5 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A，F 分别是椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a＞b＞0)的右顶点和右焦点，点B，
C 分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，则该椭圆离心率为
．
11．（5 分）设m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
③若m⊂β，α∥β，则m∥α．
正确命题的序号是
．
12．（5 分）已知y＝kx+b 是函数f（x）＝lnx+x 的切线，则2k+b 的最小值为
．
13．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2 和点A（0，−
3），B（0，3），若在
圆C 上存在点P，使得∠APB＝60°，则半径r 的取值范围是
．
14．（5 分）若函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是
．
二、解答题（本大题共6 小题，共计90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．）
15．（14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD＝BC＝4，AB＝8，DC＝6．以
A，B 为焦点的双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）过C，D 两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程．
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第163页（共926页）
16．（14 分）如图，AC，DF 分别为正方形ABCD 和正方形CDEF 的对角线，M，N 分别是线段AC，DF 上的点，
且AM= 1
2MC，DN= 1
2NF．
（1）证明：MN∥平面BCF；
（2）证明：MN⊥DC．
17．（15 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．
（1）若圆C 的切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l 的方程；
（2）已知点P（x1，y1）为直线y＝2x﹣6 上一点，由点P 向圆C 引一条切线，切点为M，若PM=
2PO，求点
P 的坐标．
18．（15 分）光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k1，与光源距离的平方成反比，比例系数为k2（k1，
k2 均为正常数）．如图，强度分别为8，1 的两个光源A，B 之间的距离为10，物体P 在连结两光源的线段AB
上（不含A，B）．若物体P 到光源A 的距离为x．
（1）试将物体P 受到A，B 两光源的总照度y 表示为x 的函数，并指明其定义域；
（2）当物体P 在线段AB 上何处时，可使物体P 受到A，B 两光源的总照度最小？
19．（16 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的离心率为
3
2 ，右准线方程为x= 4 3
3 ．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知斜率存在且不为0 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，且点A 在第三象限内．M 为椭圆C 的上顶点，
记直线MA，MB 的斜率分别为k1，k2．
①若直线l 经过原点，且k1﹣k2= 5
4，求点A 的坐标；
②若直线l 过点（﹣2，﹣1），试探究k1+k2 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
20．（16 分）已知函数f（x）＝alnx+b（x﹣1）（x﹣2），其中a，b∈R．
（1）当b＝1 时，若f（x）在x＝2 处取得极小值，求a 的值；
（2）当a＝1 时．
①若函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，求b 的取值范围；
②若存在实数x0＞1，使得f（x0）＜0，求b 的取值范围．
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2019-2020 学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位
置上．）
1．（5 分）命题：∃x∈R，x2﹣x+1＝0 的否定是
∀x∈R，x2﹣x+1≠0
．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以∃x∈R，x2﹣x+1＝0 的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．
故答案为：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．
2．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y2＝8x 的焦点坐标为
（2，0）
．
【解答】解：抛物线y2＝8x 的开口向右，P＝4，所以抛物线的焦点坐标（2，0）．
故答案为：（2，0）．
3．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，三点A（1，0），B（a，3），C（0，2）共线，则实数a 的值为
−1
2
．
【解答】解：由题意得：
3−0
a−1 =
2−0
0−1，
解得：a=−1
2，
故答案为：−1
2．
4．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，方程
x2
2−k +
y2
k−1 = 1 表示的曲线是双曲线，则实数k 的取值范围是
（﹣∞，
1）∪（2，+∞）
．
【解答】解：若方程
x2
2−k +
y2
k−1 = 1 表示的曲线为双曲线，
则（2﹣k）（k﹣1）＜0，即（k﹣2）（k﹣1）＞0，
解得k＜1，或k＞2，即k∈（﹣∞，1）∪（2，+∞），
故答案为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）．
5．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0 上，O 是坐标原点，则OP 的最小值为
2 2
．
【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy 中，点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0 上，
∴OP 的最小值为点O（0，0）到直线x+y﹣4＝0 的距离：
d= |0+0−4|
2
=2 2．
故答案为：2 2．
6．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，A（﹣2，0），B（2，2），则以线段AB 为直径的圆的标准方程为
x2+（y﹣
1）2＝5
．
【解答】解：A（﹣2，0），B（2，2），
则以线段AB 为直径的圆的圆心为C（0，1），
半径为r= 1
2|AB|= 1
2 ×
(2 + 2)2+ (2 −0)2 =
5，
∴所求的圆的标准方程为x2+（y﹣1）2＝5．
故答案为：x2+（y﹣1）2＝5．
7．（5 分）函数f（x）＝ex﹣x 的单调递增区间为
（0，+∞）
．
【解答】解：函数f（x）＝ex﹣x 的导数为f′（x）＝ex﹣1，
由f′（x）＞0，即ex﹣1＞0，ex＞1＝e0，
解得x＞0，
故答案为：（0，+∞）．
8．（5 分）已知直线l，m 及平面α，l⊄α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的
必要不充分
条件．（请用“充分不必
要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）
【解答】解：由“l⊥α“则直线l 垂直平面α中的任意直线，又m⊂α，则“l⊥m”，即“l⊥m”是“l⊥α”的必要
条件，
由“l⊥m”，则直线l 不一定垂直平面α，即“l⊥m”是“l⊥α”的不充分条件，
即“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分条件
9．（5 分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如：“堑堵”指底面为直
角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在“堑堵”
ABC﹣A1B1C1 中，AC⊥BC，若“阳马”B﹣A1ACC1 的体积为20cm3，则“堑堵”ABC﹣A1B1C1 的体积为
30
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cm3．
【解答】解：如图，连接A1C，
根据等底等高，易得：
VB−AA1C = VB−A1C1C = VA1 −BCC1 = VA1 −BC1B1，
∵B﹣A1ACC1 的体积为20cm3，
∴ABC﹣A1B1C1 的体积为30cm3，
故答案为：30．
10．（5 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A，F 分别是椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a＞b＞0)的右顶点和右焦点，点B，
C 分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，则该椭圆离心率为
5−1
2
．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，点A，F 分别是椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a＞b＞0)的右顶点和右焦点，
点B，C 分别是椭圆的上、下顶点．若AB⊥CF，
可得：−b
a•
b
c =−1，可得b2＝ac＝a2﹣c2，
可得e2+e﹣1＝0，e∈（0，1），解得e=
5−1
2
．
故答案为：
5−1
2
．
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11．（5 分）设m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
③若m⊂β，α∥β，则m∥α．
正确命题的序号是
③
．
【解答】解：由m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在①中，若m∥α，n∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误；
在②中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故②错误；
在③中，若m⊂β，α∥β，则由面面平行的性质定理得m∥α，故③正确．
故答案为：③．
12．（5 分）已知y＝kx+b 是函数f（x）＝lnx+x 的切线，则2k+b 的最小值为
ln2+2
．
【解答】解：根据题意，直线y＝kx+b 与函数f（x）＝lnx+x 相切，设切点为（m，lnm+m），
函数f（x）＝lnx+x，其导数f′（x）= 1
x +1，则f′（m）= 1
m +1，
则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（
1
m +1）（x﹣m），变形可得y＝（
1
m +1）x+lnm﹣1，
又由切线的方程为y＝kx+b，
则k= 1
m +1，b＝lnm﹣1，
则2k+b= 2
m +2+lnm﹣1＝lnm+ 2
m +1，
设g（m）＝lnm+ 2
m +1，其导数g′（m）= 1
m −2
m2 = m−2
m2 ，
在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm+ 2
m +1 为减函数，
在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm+ 2
m +1 为增函数，
则g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b 的最小值为ln2+2；
故答案为：ln2+2．
13．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2 和点A（0，−
3），B（0，3），若在
圆C 上存在点P，使得∠APB＝60°，则半径r 的取值范围是
[2 5 −2，4 2 +2]
．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy 中，点A（0，−
3），B（0，3），使得∠APB＝60°，
可知P 在以AB 为弦的一个圆上，圆的圆心在AB 的中垂线上，半径为：
1
2 ×
2 3
sin60° =2，
则P 的方程为：（x﹣1）2+y2＝22，
或：（x+1）2+y2＝22，
已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝r2，若在圆C 上存在点P 和，使得∠APB＝60°，
就是两个圆有公共点，可得：(3 −1)2 + 42 ≤r+2，并且r −2 ≤
(3 + 1)2 + 42解得r∈[2 5 −2，4 2 +2]．
故答案为：[2 5 −2，4 2 +2]．
14．（5 分）若函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是
（﹣∞，1−3 3
2 ）
∪（1+ 3 3
2 ，+∞）
．
【解答】解：f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1，
∴f′（x）＝（x﹣a）（3x﹣a﹣2）
令f′（x）＝0，解得x＝a 或x= a+2
3 ，
∵f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1 有三个不同的零点，
∴f（x）极大值f（x）极小值＜0，
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∴f（a）f（
a+2
3 ）＜0，
即（﹣a+1）[（
a+2
3
−1）（
a+2
3
−a）2﹣a+1]＜0，
整理可得（a﹣1）2（
4(a−1)2−27
27
）＞0，
即4（a﹣1）2﹣27＞0，
解得a＜1−3 3
2 或a＞1+ 3 3
2
故答案为：（﹣∞，1−3 3
2 ）∪（1+ 3 3
2 ，+∞）
二、解答题（本大题共6 小题，共计90 分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤．）
15．（14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD＝BC＝4，AB＝8，DC＝6．以
A，B 为焦点的双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）过C，D 两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程．
【解答】解：（1）等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD＝BC＝4，AB＝8，DC＝6，
等腰梯形的高为42 −12 =
15，
可得A（﹣4，0），B（4，0），C（3，15），D（﹣3，15），
则CA=
72 + 15 =8，CB=
12 + 15 =4，
由2a＝CA﹣CB＝4，即a＝2，
又AB＝8，即c＝4，b=
c2 −a2 =2 3，
则双曲线的方程为
x2
4 −
y2
12 =1；
（2）双曲线的离心率e= c
a =2；
渐近线方程为y＝± 3x．
16．（14 分）如图，AC，DF 分别为正方形ABCD 和正方形CDEF 的对角线，M，N 分别是线段AC，DF 上的点，
且AM= 1
2MC，DN= 1
2NF．
（1）证明：MN∥平面BCF；
（2）证明：MN⊥DC．
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【解答】解
（1）证明：取DC 的三等分点P，使DP= 1
2 PC，
∵AM = 1
2 MC，
∴MP∥AD，
∴MP∥BC，
∴MP∥平面FBC，
∵DN = 1
2 NF，
∴NP∥FC，
∴NP∥平面FBC，
∴平面MNP∥平面FBC，
∴MN∥平面FBC；
（2）∵CD⊥CB，CD⊥CF，
∴CD⊥平面FBC，
∴CD⊥平面MNP，
∴CD⊥MN，
即MN⊥DC
17．（15 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．
（1）若圆C 的切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l 的方程；
（2）已知点P（x1，y1）为直线y＝2x﹣6 上一点，由点P 向圆C 引一条切线，切点为M，若PM=
2PO，求点
P 的坐标．
【解答】解：（1）根据题意，圆C 切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，则设切线方程为x+y＝a（a≠0），
又圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝2，其圆心C（﹣1，2），半径r=
2，
则有
|−1+2−a|
1+1
=
2，
解可得：a＝﹣1 或a＝3，
故所求切线方程为x+y+1＝0 或x+y﹣3＝0；
（2）根据题意，由于PM 为切线且M 为切点，则PM2＝PC2﹣MC2，
又由PM=
2PO，则2PO2＝PC2﹣MC2，
若点P（x1，y1），O（0，0），MC＝r=
2，
则（x1+2）2+（y1﹣2）2﹣2＝2（x12+y12），
变形可得：x12+y12﹣2x1+4y1﹣3＝0，①，
点P（x1，y1）为直线y＝2x﹣6 上一点，则y1＝2x1﹣6，②
联立①②可得：x12 + y12 −2x1 + 4y1 −3 = 0
y1 = 2x1 −6
，变形可得：5x12﹣18x1+9＝0，
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解可得x1= 3
5或x1＝3；
当x1= 3
5时，y1=−24
5 ，此时P 的坐标为（
3
5，−24
5 ），
当x1＝3 时，y1＝0，此时P 的坐标为（3，0）
则P 的坐标为（
3
5，−24
5 ）或（3，0）．
18．（15 分）光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k1，与光源距离的平方成反比，比例系数为k2（k1，
k2 均为正常数）．如图，强度分别为8，1 的两个光源A，B 之间的距离为10，物体P 在连结两光源的线段AB
上（不含A，B）．若物体P 到光源A 的距离为x．
（1）试将物体P 受到A，B 两光源的总照度y 表示为x 的函数，并指明其定义域；
（2）当物体P 在线段AB 上何处时，可使物体P 受到A，B 两光源的总照度最小？
【解答】解：（1）若物体P 到光源A 的距离为x，则物体P 到光源B 的距离为10﹣x，
∵P 在线段AB 上且不与A，B 重合，故0＜x＜10，
∵光对物体的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，
故P 点受A 光源的照度为：
8k1k2
x2
，
P 点受B 光源的照度为：
k1k2
(10−x)2，
故问题P 收到A，B 两光源的总照度y= 8k1k2
x2
+
k1k2
(10−x)2，x∈（0，10）；
（2）∵f（x）= 8k1k2
x2
+
k1k2
(10−x)2，x∈（0，10），
∴f′（x）= 2k1k2(3x−20)(3x2−60x+400)
x3(10−x)3
，
令f′（x）＝0，解得：x= 20
3 ，
当0＜x＜20
3 时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，
20
3 ）递减，
当
20
3 ＜x＜10 时，f′（x）＞0，
故f（x）在（
20
3 ，10）递增，
故当x= 20
3 时，f（x）取极小值，且是最小值，
故在线段AB 上距光源A 为
20
3 处，物体P 受到A，B 两光源的总照度最小．
19．（16 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的离心率为
3
2 ，右准线方程为x= 4 3
3 ．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知斜率存在且不为0 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，且点A 在第三象限内．M 为椭圆C 的上顶点，
记直线MA，MB 的斜率分别为k1，k2．
①若直线l 经过原点，且k1﹣k2= 5
4，求点A 的坐标；
②若直线l 过点（﹣2，﹣1），试探究k1+k2 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为
3
2 ，右准线方程为x= 4 3
3 ，
∴
c
a =
3
2
a2
c = 4 3
3
，解得a = 2
c =
3．
又∵b =
a2 −c2 = 1，
∴椭圆C 的标准方程为
x2
4 + y2 = 1；
（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），M 为椭圆的上顶点，则M（0，1），
∵直线l 经过原点，由椭圆对称性可知，B（﹣x1，﹣y1），
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∵点A（x1，y1）在椭圆上，∴
x12
4 + y12 = 1，即y12 −1 =−x12
4 ．
∵k1 = y1−1
x1 ，k2 = y2−1
x2
= y1+1
x1 ．
∴k1k2 = y1−1
x1
⋅y1+1
x1
= y12−1
x12
=−1
4．
∴
k1 −k2 = 5
4
k1k2 =−1
4
，解得
k1 = 1
k2 =−1
4
或k1 = 1
4
k2 =−1
．
∵点A 在第三象限角，∴k1＞1
2，则k1＝1．
则直线MA 的方程为y＝x+1．
联立
x2
4 + y2 = 1
y = x + 1
，解得x1 = 0
y1 = 1或
x2 =−8
5
y2 =−3
5
，∴A（−8
5 ，−3
5）．
②直线l 过点（﹣2，﹣1），设其方程为y+1＝k（x+2）．
联立方程组
x2
4 + y2 = 1
y = kx + 2k −1
，消去y 可得（4k2+1）x2+8k（2k﹣1）x+16k（k﹣1）＝0．
当△＞0 时，由韦达定理可知，x1 + x2 =−8k(2k−1)
4k2+1 ，x1x2 = 16k(k−1)
4k2+1 ．
∴k1 + k2 = y1−1
x1
+ y2−1
x2
= x1y2+x2y1−(x1+x2)
x1x2
= 2k + 2(k−1)(x1+x2)
x1x2
= 2k + 2(k−1)×[−8k(2k−1)]
16k(k−1)
=2k+（1﹣2k）＝1．
20．（16 分）已知函数f（x）＝alnx+b（x﹣1）（x﹣2），其中a，b∈R．
（1）当b＝1 时，若f（x）在x＝2 处取得极小值，求a 的值；
（2）当a＝1 时．
①若函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，求b 的取值范围；
②若存在实数x0＞1，使得f（x0）＜0，求b 的取值范围．
【解答】解：（1）当b＝1 时，f（x）＝alnx+（x﹣1）（x﹣2），
f′（x）= a
x +2x﹣3，
∵f（x）在x＝2 处取极小值，故f′（2）＝0，解得：a＝﹣2，
此时，f′（x）= (2x+1)(x−2)
x
，
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
故f（x）在x＝2 处取极小值，
故a＝﹣2 符合题意；
（2）当a＝1 时，∵f（x）＝lnx+b（x﹣1）（x﹣2），
∴f′（x）= 2bx2−3bx+1
x
，
令g（x）＝2bx2﹣3bx+1，
①∵f（x）在（1，2）递增，
∴f′（x）≥0 在（1，2）恒成立，
即g（x）≥0 在（1，2）恒成立，
1°当b＝0 时，则g（x）＝1，满足题意，
2°当b≠0 时，g（x）的对称轴是x= 3
4 ＜1，
故g(1) ≥0
g(2) ≥0 ，解得：−1
2 ≤b＜0 或0＜b≤1，
综上，实数b 的范围是[−1
2，1]；
②1°当b＝0 时，f（x）＝lnx，与题意不符，
2°当b＜0 时，取x0＝3−1
b，则x0＞1，
令h（x）＝lnx﹣x+1，则h′（x）= 1
x −1，
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）递增，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减，
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故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，
故f（x0）＝lnx0+b（x0﹣1）（x0﹣2）≤（x0﹣1）+b（x0﹣1）（x0﹣2）＝2b﹣1＜0，
故b＜0 符合题意；
3°当0＜b≤1 时，
∵g（x）＝2bx2﹣3bx+1 在（1，+∞）递增且g（1）＝1﹣b≥0，
故f′（x）= g(x)
x
≥0 在（1，+∞）恒成立，
故f（x）在（1，+∞）递增，
故f（x）≥f（1）＝0 恒成立，与题意不符；
4°当b＞1 时，
∵g（1）＝1﹣b＜0，g（2）＝2b+1＞0，
由零点存在性原理可知，存在x1∈（1，2），使得g（x1）＝0，
故当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
取x0＝x1＞1，则f（x0）＜f（1）＝0，符合题意，
综上，实数b 的范围是（﹣∞，0）∪（1，+∞）．
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第172页（共926页）
2019-2020 学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、填空题：本大题共14 小题，每题5 分，共70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上
1．（5 分）已知命题p：∀x＞0，ex≥ex，写出命题p 的否定：
．
2．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y2＝2x 的准线方程为
．
3．（5 分）已知f（x）＝ex•sinx，则f′（0）的值为
．
4．（5 分）设复数z 满足（z﹣2）i＝1+i（i 为虚数单位），则z 的实部是
．
5．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆C：
x2
4 +y2＝1 上一点．若点P 到椭圆C 的右焦点的距离为2，则它
到椭圆C 的右准线的距离为
．
6．（5 分）已知实数x，y 满足
y ≤x −1
x ≤3
x + y ≥2
，则z＝x+2y 的最小值为
．
7．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，“m＞0”是“方程x2+my2＝1 表示椭圆”的
条件．（填“充分不必要”，
“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）
8．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
x2
4 −y2＝1 的顶点到它的渐近线的距离为
．
9．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，点A（4，0），点B（0，2），平面内点P 满足PA
→
•PB
→
=15，则PO 的最大值
是
．
10．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，点F1，F2 分别是椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F2 且与x
轴垂直的直线与椭圆交于A，B 两点．若∠AF1B 为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是
．
11．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1 与圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0 有公共点，
则实数a 的取值范围是
．
12．（5 分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD 中，PA＝AB，点M 为PA 的中点，BD
→
=λBN
→
．若MN⊥AD，则实数λ
＝
．
13．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，点A（3，1），P 为抛物线y2＝2x 上任意一点（异
于原点），过点P 作圆M 的切线PB，B 为切点，则PA+PB 的最小值是
．
14．（5 分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x﹣6a2+4a（a＞0）只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a 的取值范围
是
．
二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
15．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）经过点A（4，0），其离心率为
3
2 ．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）已知P 是椭圆E 上一点，F1，F2 为椭圆E 的焦点，且∠F1PF2= π
2，求点P 到y 轴的距离．
16．（14 分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为2，侧棱长为1，求：
（1）直线A1C 与直线AD1 所成角的余弦值；
（2）平面D1AC 与平面ABB1A1 所成二面角的正弦值．
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17．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过抛物线y＝x2﹣x﹣6 与坐标轴的三个交点．
（1）求圆C 的方程；
（2）经过点P（﹣2，5）的直线l 与圆C 相交于A，B 两点，若圆C 在A，B 两点处的切线互相垂直，求直线l
的方程．
18．（16 分）如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x 的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别
以AB，A1B1 为母线卷成两个高均为x 的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之
和为V．
（1）将V 表示成x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（2）求两个圆柱体积之和V 的最大值．
19．（16 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F1，F2 分别为椭圆C：
x2
4 +
y2
3 =1 的左、右焦点．动直线l 过点F2，
且与椭圆C 相交于A，B 两点（直线l 与x 轴不重合）．
（1）若点A 的坐标为（0，3），求点B 坐标；
（2）点M（4，0），设直线AM，BM 的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2＝0；
（3）求△AF1B 面积最大时的直线l 的方程．
20．（16 分）已知函数f（x）＝alnx+ 1
x，a∈R．
（1）若a＝2，且直线y＝x+m 是曲线y＝f（x）的一条切线，求实数m 的值；
（2）若不等式f（x）＞1 对任意x∈（1，+∞）恒成立，求a 的取值范围；
（3）若函数h（x）＝f（x）﹣x 有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且h（x2）﹣h（x1）≤4
e，求a 的取值范围．
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2019-2020 学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14 小题，每题5 分，共70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上
1．（5 分）已知命题p：∀x＞0，ex≥ex，写出命题p 的否定：
∃x＞0，ex＜ex
．
【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，
∴命题p：∀x＞0，ex≥ex，的否定是：∃x＞0，ex＜ex．
故答案为：∃x＞0，ex＜ex．
2．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y2＝2x 的准线方程为
x=−1
2
．
【解答】解：抛物线y2＝2x 的焦点到其准线的距离为：p＝1．
抛物线的准线方程为：x=−1
2．
故答案为：x=−1
2
3．（5 分）已知f（x）＝ex•sinx，则f′（0）的值为
1
．
【解答】解：f（x）＝ex•sinx，f′（x）＝（ex）′sinx+ex．（sinx）′＝ex•sinx+ex•cosx，∴f'（0）＝0+1＝1
故答案为：1
4．（5 分）设复数z 满足（z﹣2）i＝1+i（i 为虚数单位），则z 的实部是
3
．
【解答】解：由（z﹣2）i＝1+i 得，z= 1+i
i
+ 2 = (1+i)i
i2
+ 2 = −1+i
−1 + 2 =3﹣i，
所以复数的实部为：3．
故答案为：3．
5．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆C：
x2
4 +y2＝1 上一点．若点P 到椭圆C 的右焦点的距离为2，则它
到椭圆C 的右准线的距离为
4 3
3
．
【解答】解：椭圆C：
x2
4 +y2＝1，可得e=
3
2 ，
由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C 的右准线的距离为d，
d= 2
3
2
= 4 3
3 ．
故答案为：
4 3
3 ．
6．（5 分）已知实数x，y 满足
y ≤x −1
x ≤3
x + y ≥2
，则z＝x+2y 的最小值为
1
．
【解答】解：由实数x，y 满足
y ≤x −1
x ≤3
x + y ≥2
，作出可行域如图，由x = 3
x + y = 2解得B（3，﹣1）．
化z＝x+2y 为y=−1
2x+ z
2，由图可知，当直线y=−1
2x+ z
2过B（3，﹣1）时，
直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值等于z＝3+2×（﹣1）＝1．
故答案为：1．
7．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，“m＞0”是“方程x2+my2＝1 表示椭圆”的
必要不充分
条件．（填“充分
不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）
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【解答】解：由椭圆的性质有：“方程x2+my2＝1 表示椭圆”的充要条件为：m＞0
m ≠1
，
又“m＞0”是“ m＞0
m ≠1
”的必要不充分条件，
所以，“m＞0”是“方程x2+my2＝1 表示椭圆”的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分
8．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
x2
4 −y2＝1 的顶点到它的渐近线的距离为
2 5
5
．
【解答】解：双曲线
x2
4 −y2＝1 的一个顶点为A（2，0），
双曲线的一条渐近线为y= 1
2x，即x﹣2y＝0，
则点到直线的距离公式d= |2−1×0|
1+4
= 2 5
5 ，
故答案为：
2 5
5 ．
9．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，点A（4，0），点B（0，2），平面内点P 满足PA
→
•PB
→
=15，则PO 的最大值
是
3 5
．
【解答】解：设P（x，y），则PA
→
=（4﹣x，﹣y），PB
→
=（﹣x，2﹣y）
∵PA
→
•PB
→
=15，∴x（x﹣4）+y（y﹣2）＝15，
即（x﹣2）2+（y﹣1）2＝20，
∴点P 的轨迹是以C（2，1）为圆心，2 5为半径的圆，
∴PO 的最大值为：|OC|+半径＝3 5．
故答案为：3 5．
10．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，点F1，F2 分别是椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F2 且与x
轴垂直的直线与椭圆交于A，B 两点．若∠AF1B 为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是
（2 −1，1）
．
【解答】解：∵点F1、F2 分别是椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点，
过F2 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A、B 两点，
∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（c，
b2
a ），B（c，−b2
a ），
∵△AF1B 是锐角三角形，
∴∠AF1F2＜45°，∴tan∠AF1F2＜1，
∴
b2
a
2c ＜1，
整理，得b2＜2ac，
∴a2﹣c2＜2ac，
两边同时除以a2，并整理，得e2+2e﹣1＞0，
解得e＞2 −1，或e＜−
2 −1，（舍），
∴0＜e＜1，
∴椭圆的离心率e 的取值范围是（2 −1，1）．
故答案为：（2 −1，1）．
11．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1 与圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0 有公共点，
则实数a 的取值范围是
[﹣2，1]
．
【解答】解：根据题意，圆C1：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1，其圆心C1 为（a，a+2），半径为r1＝1，
圆C2：x2+y2﹣2x﹣3＝0，即（x﹣1）2+y2＝4，其圆心C2（1，0），半径r2＝2，
若两圆有公共点，则2﹣1≤|C1C2|≤2+1，即1≤（a﹣1）2+（a+2）2≤9，
变形可得：a2+a+2≥0 且a2+a﹣2≥0，
解可得：﹣2≤a≤1，
即a 的取值范围为[﹣2，1]；
故答案为：[﹣2，1]．
12．（5 分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD 中，PA＝AB，点M 为PA 的中点，BD
→
=λBN
→
．若MN⊥AD，则实数λ＝
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4
．
【解答】解：连结AC，交BD 于O，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝2，则A（2，0，0），D（0，−
2，0），P（0，0，2），M（
2
2 ，0，
2
2 ），B（0，2，0），
BD
→
=（0，﹣2 2，0），设N（0，b，0），则BN
→
=（0，b−
2，0），
∵BD
→
=λBN
→
，∴﹣2 2 = λ(b −
2)，∴b=
2λ−2 2
λ
，
∴N（0，
2λ−2 2
λ
，0），MN
→
=（−2
2 ，
2λ−2 2
λ
，−2
2 ），AD
→
=（−
2，−
2，0），
∵MN⊥AD，∴MN
→
⋅AD
→
=1−2λ−4
λ
=0，
解得实数λ＝4．
故答案为：4．
13．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，点A（3，1），P 为抛物线y2＝2x 上任意一点（异
于原点），过点P 作圆M 的切线PB，B 为切点，则PA+PB 的最小值是
3
．
【解答】解：设P（x，y），可得y2＝2x，
圆M：（x﹣1）2+y2＝1 的圆心M（1，0），半径为1，
|PB|=
|PM|2 −1 =
(x −1)2 + y2 −1 =
x2 + y2 −2x =|x|，
即|PB|为P 到y 轴的距离，
抛物线的焦点F（
1
2，0），准线方程为x=−1
2，
可得|PA|+|PB|＝|PA|+|PK|−1
2 =|PA|+|PF|−1
2，
过A 作准线的垂线，垂足为K，可得A，P，K 共线时，|PA|+|PK|取得最小值|AK|= 7
2，
即有|PA|+|PB|的最小值为3．
故答案为：3．
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14．（5 分）已知函数f（x）＝x3﹣3a2x﹣6a2+4a（a＞0）只有一个零点，且这个零点为正数，则实数a 的取值范围
是
（1，2）
．
【解答】解：令f'（x）＝3x2﹣3a2＝3（x﹣a）（x+a）＝0，解得x1＝﹣a，x2＝a，
其中a＞0，所以函数的单调性和单调区间如下：
x∈（﹣∞，﹣a），f（x）递增；x∈（﹣a，a），f（x）递减；x∈（a，+∞），f（x）递增．
因此，f（x）在x＝﹣a 处取得极大值，在x＝a 处取得极小值，
结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x0，且x0＞0，只需满足：
f（x）极大值＝f（﹣a）＜0，即﹣a3+3a3﹣6a2+4a＜0，
整理得a（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得，a∈（1，2），
故答案为：（1，2）
二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
15．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）经过点A（4，0），其离心率为
3
2 ．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）已知P 是椭圆E 上一点，F1，F2 为椭圆E 的焦点，且∠F1PF2= π
2，求点P 到y 轴的距离．
【解答】解（1）因为椭圆E：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）经过点A（4，0），
所以a＝4．
…………………（2 分）
又椭圆E 的离心率e= c
a =
3
2 ，所以c＝2 3．
…………………（4 分）
所以b2＝a2﹣c2＝4．
因此椭圆E 的方程为
x2
16 +
y2
4 = 1
…………………（6 分）
（2）：由椭圆E 的方程为
x2
16 +
y2
4 = 1．知F1（﹣2 3，0），F2（2 3，0）．设P（x，y）．
因为∠F1PF2= π
2，所以PF1
→
•PF2
→
=0，所以x2+y2＝12．
…………………（10 分）
由
x2 + y2 = 12
x2
16 + y2
4 = 1
解得x2= 32
3 ．
…………………（12 分）
所以|x|= 4 6
3 ，即P 到y 轴的距离为
4 6
3 ．
…………………（14 分）
16．（14 分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为2，侧棱长为1，求：
（1）直线A1C 与直线AD1 所成角的余弦值；
（2）平面D1AC 与平面ABB1A1 所成二面角的正弦值．
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【解答】（本题满分14 分）
解：如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 的底面边长为
2，侧棱长为1，
故以{DA
→
，DC
→
，DD1
→
} 为正交基底建立空间直角坐标系D﹣xyz．
则D（0，0，0），A（2，0，0），A1（2，0，1），
C（0，2，0），D1（0，0，1）．
（1）因为A1C
→
=（0，2，0）﹣（2，0，1）＝（−
2，2，﹣1），
AD1
→
=（0，0，1）﹣（2，0，0）＝（−
2，0，1），……………（2 分）
所以A1C
→
⋅AD1
→
=（−
2）×（−
2）+（﹣1）×1＝1，
|A1C
→
|=
2 + 2 + 1 =
5，|AD1
→
|=
2 + 0 + 1 =
3，
从而cos＜A1C
→
，AD1
→
＞=
A1C
→
⋅AD1
→
|A1C
→
|⋅|AD1
→
|
=
1
5× 3 =
15
15 ．
…………………（5 分）
又异面直线所成的角的范围是（0，
π
2]，
所以直线A1C 与直线AD1 所成角的余弦值为
15
15 ．
…………………（6 分）
（2）AC
→
=（−
2，2，0），AD1
→
=（−
2，0，1），
设平面D1AC 的一个法向量为n＝（x，y，z），
则n
→⋅AC
→
=−
2x +
2y = 0
n
→⋅AD1
→
=−
2x + z = 0
，取x＝1，可得n
→=（1，1，2）．
…………………（9 分）
在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，DA⊥平面ABB1A1，
又DA
→
=（2，0，0）=
2（1，0，0），
所以m
→=（1，0，0）为平面ABB1A1 的一个法向量．
…………………（11 分）
因为cos＜n
→，m
→＞=
n
→⋅m
→
|n
→|⋅|m
→|
=
1
1+1+2×1 = 1
2，且0≤＜n
→，m
→＞≤π，
所以＜n
→，m
→＞= π
3．
因此平面D1AC 与平面ABB1A1 所成二面角的正弦值为
3
2 ．…………………（14 分）
17．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过抛物线y＝x2﹣x﹣6 与坐标轴的三个交点．
（1）求圆C 的方程；
（2）经过点P（﹣2，5）的直线l 与圆C 相交于A，B 两点，若圆C 在A，B 两点处的切线互相垂直，求直线l
的方程．
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【解答】解：（1）方法一：抛物线y＝x2﹣x﹣6 与坐标轴的三个交点坐标为（﹣2，0），（3，0），（0，﹣6），
设圆C 的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则
4 −2D + F = 0
9 + 3D + F = 0
36 −6E + F = 0
，解得
D =−1
E = 5
F =−6
，
所以圆C 的方程为x2+y2﹣x+5y﹣6＝0．
方法二：设圆C 的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
令y＝0，得x2+Dx+F＝0．
因为圆C 经过抛物线y＝x2﹣x﹣6 与x 轴的交点，
所以x2+Dx+F＝0 与方程x2﹣x﹣6＝0 同解，
所以D＝﹣1，F＝﹣6．
因此圆C：x2+y2﹣x+Ey﹣6＝0．
因为抛物线y＝x2﹣x﹣6 与y 轴的交点坐标为（0，﹣6），
又所以点（0，﹣6）也在圆C 上，所以36﹣6E﹣6＝0，解得E＝5．
所以圆C 的方程为x2+y2﹣x+5y﹣6＝0．
（2）由（1）可得，圆C：（x−1
2）2+（y+ 5
2）2= 25
2 ，
故圆心C（
1
2，−5
2），半径r= 5
2．
因为圆C 在A，B 两点处的切线互相垂直，所以∠ACB= π
2．
所以C 到直线l 的距离d= 5
2 × 2
2 = 5
2．
①当直线l 的斜率不存在时，l：x＝﹣2，符合题意；
②当直线l 的斜率存在时，设l：y﹣5＝k（x+2），即kx﹣y+（2k+5）＝0，
所以
|1
2k+5
2+2k+5|
1+k2
=
5
2，解得k=−4
3，
所以直线l：y﹣5=−4
3（x+2），即4x+3y﹣7＝0．
综上，所求直线l 的方程为x＝﹣2 和4x+3y﹣7＝0．
18．（16 分）如图，从一个面积为15π的半圆形铁皮上截取两个高度均为x 的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别
以AB，A1B1 为母线卷成两个高均为x 的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）．记这两个圆柱的体积之
和为V．
（1）将V 表示成x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（2）求两个圆柱体积之和V 的最大值．
【解答】解：（1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2．
因为半圆形铁皮的面积为15π，所以
1
2πr2＝15π，即r2＝30．
因为2πr1＝2 r2 −x2，所以r1= 1
π
30 −x2，
同理2πr2＝2 r2 −(2x)2，即r2= 1
π
30 −4x2．
所以卷成的两个圆柱的体积之和V＝f（x）＝（πr12+πr22）x= 1
π（60x﹣5x3）．
因为0＜2x＜r=
30，所以x 的取值范围是（0，
30
2 ）．
（2）由f（x）= 1
π（60x﹣5x3），得f′（x）= 1
π（60﹣15x2），
令f′（x）＝0，因为x∈（0，
30
2 ），故x＝2．
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当x∈（0，2）时，f′（x）＞0；当x∈（2，
30
2 ）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，
30
2 ）上为减函数，
所以当x＝2 时，f（x）取得极大值，也是最大值．
因此f（x）的最大值为f（2）= 80
π ．
答：两个圆柱体积之和V 的最大值为
80
π ．
19．（16 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F1，F2 分别为椭圆C：
x2
4 +
y2
3 =1 的左、右焦点．动直线l 过点F2，
且与椭圆C 相交于A，B 两点（直线l 与x 轴不重合）．
（1）若点A 的坐标为（0，3），求点B 坐标；
（2）点M（4，0），设直线AM，BM 的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2＝0；
（3）求△AF1B 面积最大时的直线l 的方程．
【解答】（1）解：∵直线l 经过点F2（1，0），A（0，3），
∴直线l 的方程为y=−
3（x﹣1）．
由
y =−
3(x −1)
x2
4 + y2
3 = 1
，解得x = 0
y =
3或
x = 8
5
y =−3 3
5
．
∴B（
8
5 ，−
3 3
5 ）；
（2）证明：∵直线l 与x 轴不重合，故可设直线l 的方程为x＝ty+1．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
x = ty + 1
x2
4 + y2
3 = 1，得（4+3t2）y2+6ty﹣9＝0，
∴y1+y2=−
6t
4+3t2，y1y2=−
9
4+3t2，
∵A，B 在直线l 上，∴x1＝ty1+1，x2＝ty2+1，
∴k1=
y1
x1−4 =
y1
ty1−3，k2=
y2
x2−4 =
y2
ty2−3，
从而k1+k2=
y1
ty1−3 +
y2
ty2−3 = 2ty1y2−3(y1+y2)
(ty1−3)(ty2−3) ．
∵2ty1y2﹣3（y1+y2）＝2t•（−
9
4+3t2）﹣3•（−
6t
4+3t2）＝0，
∴k1+k2＝0；
（3）解：△AF1B 的面积S= 1
2|F1F2|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|=
(y1 + y2)2 −4y1y2．
由（2）知，y1+y2=−
6t
4+3t2，y1y2=−
9
4+3t2，
故S=
( −
6t
4+3t2 )2 + 4 ⋅
9
4+3t2 =12
t2+1
(3t2+4)2
= 12
t2+1
9(t2+1)2+6(t2+1)+1 = 12
1
9(t2+1)+
1
t2+1+6．
设函数f（x）＝9x+ 1
x （x≥1）．
∵f'（x）＝9−1
x2 ＞0，∴f（x）＝9x+ 1
x在[1，+∞）上单调递增，
∴当t2+1＝1，即t＝0 时，9（t2+1）+
1
t2+1取最小值10．
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即当t＝0 时，△AF1B 的面积取最大值，此时直线l 的方程为x＝1．
因此，△AF1B 的面积取最大值时，直线l 的方程为x＝1．
20．（16 分）已知函数f（x）＝alnx+ 1
x，a∈R．
（1）若a＝2，且直线y＝x+m 是曲线y＝f（x）的一条切线，求实数m 的值；
（2）若不等式f（x）＞1 对任意x∈（1，+∞）恒成立，求a 的取值范围；
（3）若函数h（x）＝f（x）﹣x 有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且h（x2）﹣h（x1）≤4
e，求a 的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2 时，f（x）＝2lnx+ 1
x，f′（x）= 2
x −1
x2．
设直线y＝x+m 与曲线y＝f（x）相切于点（x0，2lnx0+ 1
x0），
则
2
x0
−
1
x02 =1，即x02 −2x0+1＝0，
解得x0＝1，即切点为（1，1），
因为切点在y＝x+m 上，所以1＝1+m，解得m＝0．
…………………（3 分）
（2）不等式f（x）＞1 可化为alnx+ 1
x −1＞0．
记g（x）＝alnx+ 1
x −1，则g（x）＞0 对任意x∈（1，+∞）恒成立．
考察函数g（x）＝alnx+ 1
x −1，x＞0，g′（x）= a
x −1
x2 = ax−1
x2 ．
当a≤0 时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝0，
所以g（2）＜g（1）＝0，不合题意；
…………………（5 分）
当a＞0 时，x∈（0，
1
a），g′（x）＜0；x∈（
1
a，+∞），g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，
1
a]上单调递减，在[
1
a，+∞）上单调递增，
若
1
a ≤1，即a≥1 时，g（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）＝0，符合题意；
…………………（7 分）
若
1
a ＞1，即0＜a＜1 时，g（x）在[1，
1
a）上单调递减，
所以当x∈（1，
1
a）时，g（x）＜g（1）＝0，不符合题意；
综上所述，实数a 的取值范围为[1，+∞）．
…………………（9 分）
（3）方法一：h（x）＝f（x）﹣x＝alnx+ 1
x −x，x＞0，h′（x）= a
x −1
x2 −1= −x2+ax−1
x2
，
因为h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），
所以h′（x）＝0，即x2﹣ax+1＝0 的两实数根为x1，x2，0＜x1＜x2，
所以x1+x2＝a，x1x2＝1，△＝a2﹣4＞0，所以a＞2，0＜x1＜1＜x2，
从而h（x2）﹣h（x1）＝（alnx2+ 1
x2 −x2）﹣（alnx1+ 1
x1 −x1）＝2（alnx2+ 1
x2 −x2）
＝2[（x2+ 1
x2）lnx2+ 1
x2 −x2]．
…………………（12 分）
记m（x）＝2[（x+ 1
x）lnx+ 1
x −x]，x≥1．
则m′（x）＝2[（1−1
x2）lnx+（x+ 1
x）•
1
x −
1
x2 −1]＝2（1−1
x2）lnx≥0 （当且仅当x＝1 时取等号），
所以m（x）在[1，+∞）上单调递增，又m（e）= 4
e，
不等式h（x2）﹣h（x1）≤4
e 可化为m（x2）≤m（e），所以1＜x2≤e．…………（14 分）
因为a＝x2+ 1
x2，且y＝x+ 1
x在（1，+∞）上递增，所以2＜a≤e+ 1
e，
即a 的取值范围为（2，e+ 1
e]．
…………………（16 分）
方法二：h（x）＝f（x）﹣x＝alnx+ 1
x −x，x＞0，h′（x）= a
x −1
x2 −1= −x2+ax−1
x2
．
因为h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），
所以h′（x）＝0，即x2﹣ax+1＝0 的两实数根为x1，x2，0＜x1＜x2，
所以x1+x2＝a，x1x2＝1，△＝a2﹣4＞0，所以a＞2，0＜x1＜1＜x2．
设t2= x2
x1（t＞1），则x1+t2x1＝a，t2x12 =1，所以x1= 1
t，a＝t+ 1
t，x2＝t，
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从而h（x2）﹣h（x1）≤4
e 等价于h（t）＝（t+ 1
t）lnt+ 1
t −t≤2
e，t＞1．……………（12 分）
记m（x）＝（x+ 1
x）lnx+ 1
x −x，x≥1．
则m′（x）＝（1−1
x2）lnx+ 1
x（x+ 1
x）−1
x2 −1＝（1−1
x2）lnx≥0 （当且仅当x＝1 时取等号），
所以m（x）在[1，+∞）上单调递增．
又t＞1，m（e）= 2
e，所以1＜t≤e．
…………………（14 分）
因为a＝t+ 1
t，且y＝x+ 1
x在（1，+∞）上递增，所以2＜a≤e+ 1
e，
即a 的取值范围为（2，e+ 1
e]．
…………………（16 分）
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日期：2019/12/27 12:22:15；用户：13029402512 ；邮箱：13029402512 ；学号：24164265
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2019-2020 学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷
一、填空题：本大题共16 小题，每小题5 分，共计70 分，不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位
置上
1．（5 分）过点（0，1），（2，0）的直线的斜率为
．
2．（5 分）命题“∃x∈R，x2+2x+1＝0”的否定是
命题．（选填“真”、“假”之一）
3．（5 分）抛物线y2＝4x 的准线方程是
．
4．（5 分）与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为
．
5．（5 分）若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，且经过点（1，﹣4），则抛物线的方程为
．
6．（5 分）（文科做）曲线y＝ex+1 在x＝0 处的切线方程为
．
7．（理科做）在空间直角坐标系O﹣xyz 中，若三点A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（a，3，b）共线，则a+b＝
．
8．（5 分）设a∈R，则“a＞1”是“|a|＞1”的
条件．（选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不
充分也不必要”之一）
9．（5 分）若方程
x2
a2+5 +
y2
2a2+1 =1 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是
．
10．（5 分）一个正四棱锥的底面边长为3 2cm，侧棱长为5cm，则它的体积为
cm3．
11．（5 分）双曲线
x2
a2 −y2＝1（其中a＞0）的离心率为2，则实数a 的值为
．
12．（5 分）（文科做）已知函数f（x）＝x3+x2﹣x 在（a，a+2）上存在极小值，则实数a 的取值范围为
．
13．（理科做）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2AA1，则直线AC1 与B1C 所成角的余弦值为
．
14．（5 分）设m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．在下列命题中，有且仅有一个是真命题，它的序
号是
．
①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；
②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
③m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α；
④若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α．
15．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射
线AF2 交椭圆于B．若△AF1B 的面积为40 3，内角A 为60°，则椭圆的焦距为
．
16．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，若直线l：y＝kx﹣5（其中k＞0）上存在点P，在圆C：x2+（y﹣1）2＝1
上存在两个不同的两点M，N，使得点M 是线段PN 的中点，则实数k 的最小值是
．
二、解答题：本大题共7 小题，共计90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤
17．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝9（其中m∈R）．设p：点（1，﹣2）在
圆C1 内，设q：圆C1 与圆C2：（x+1）2+（y﹣1）2＝4 外离．
（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；
（2）若q 为真命题，求m 的取值范围；
（3）若“p 或q”为真命题，求m 的取值范围．
18．（14 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，BC=
2AB，E，F 分别为BC，CD 的中点，且
PF⊥平面ABCD．求证：
（1）EF∥平面PBD；
（2）AE⊥平面PEF．
19．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C1：
x2
m2 −
y2
n2 =1（m＞0，n＞0）经过点（3，0），其中一条近线
的方程为y=
3
3 x，椭圆C2：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）与双曲线C1 有相同的焦点．椭圆C2 的左焦点，左顶点和上
顶点分别为F，A，B，且点F 到直线AB 的距离为
b
7．
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（1）求双曲线C1 的方程；
（2）求椭圆C2 的方程．
20．（16 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C：（x﹣4）2+y2＝9 与x 轴交于A，B 两点（其中点A 在点B 左侧），
直线l 过点（1，﹣4）．
（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；
（2）若直线l 上存在点M，满足MA＝2MB．
①求直线l 的斜率的取值范围；
②若点M 不在x 轴上，求△MAB 面积的最大值及此时直线l 的方程．
21．（16 分）（文科做）已知函数f（x）= a
3x3−1
2（a+1）x2+x．
（1）若a≤0，求f（x）的单调减区间；
（2）当a 在区间（0，1）上变化时，求f（x）的极小值的最大值．
22．（理科做）如图，正四棱锥V﹣ABCD 底面边长为4，侧棱长为17．以该正四棱锥的底面中心O 为坐标原点建
立直角坐标系O﹣xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E 为VC 中点．
（1）求向量BE
→
，DE
→
的夹角的余弦值；
（2）求二面角B﹣VC﹣D 的余弦值．
23．（16 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）过点（1，e），（e，
3
2 ），其中e 为椭圆
的离心率，过定点N（m，0）（0＜m＜a）的动直线l 与椭圆交于A，B 两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右准线与x 轴的交点为M，若∠OMA＝∠OMB 总成立，求m 的值；
（3）是否存在定点M′（x0，0）（其中x0＞a），使得∠OM′A＝∠OM′B 总成立？如果存在，求出点M 的坐
标（用m 表示x0）；如果不存在，请说明理由．
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2019-2020 学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共16 小题，每小题5 分，共计70 分，不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位
置上
1．（5 分）过点（0，1），（2，0）的直线的斜率为
−1
2
．
【解答】解：根据直线的斜率公式得k= 1−0
0−2 =−1
2，
故答案为：−1
2．
2．（5 分）命题“∃x∈R，x2+2x+1＝0”的否定是
假
命题．（选填“真”、“假”之一）
【解答】解：∵由x2+2x+1＝0 得（x+1）2＝0，∴x＝﹣1，
则命题“∃x∈R，x2+2x+1＝0”是真命题，
则命题的否定是假命题，
故答案为：假
3．（5 分）抛物线y2＝4x 的准线方程是
x＝﹣1
．
【解答】解：∵2p＝4，
∴p＝2，开口向右，
∴准线方程是x＝﹣1．
故答案为x＝﹣1．
4．（5 分）与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为
π
6
．
【解答】解：设球的半径为r，则正方体的棱长为2r，所以，正方体的体积为（2r）3＝8r3，球的体积为
4
3 πr3．
所以，球的体积与正方体的体积之比为
4
3πr3
8r3 =
π
6．
故答案为：
π
6．
5．（5 分）若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，且经过点（1，﹣4），则抛物线的方程为
x2=−1
4y
．
【解答】解：由题意可设抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0），
∵抛物线经过点（1，﹣4），∴1＝8p，得p= 1
8．
∴抛物线的方程为x2 =−1
4 y．
故答案为：x2=−1
4y．
6．（5 分）（文科做）曲线y＝ex+1 在x＝0 处的切线方程为
y＝x+2
．
【解答】解：y＝ex+1 的导数为y′＝ex，
可得曲线y＝ex+1 在x＝0 处的切线斜率为k＝1，切点为（0，2），
即有切线方程为y＝x+2．
故答案为：y＝x+2．
7．（理科做）在空间直角坐标系O﹣xyz 中，若三点A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（a，3，b）共线，则a+b＝
7
．
【解答】解：空间直角坐标系O﹣xyz 中，三点A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（a，3，b）共线，
则AB
→
=（1，﹣1，3），
AC
→
=（a﹣1，﹣2，b+2）；
∴
a−1
1
=
−2
−1 =
b+2
3 ，
解得a＝3，b＝4，
∴a+b＝7．
故答案为：7．
8．（5 分）设a∈R，则“a＞1”是“|a|＞1”的
充分不必要条件
条件．（选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充
要”，“既不充分也不必要”之一）
【解答】解：解绝对值不等式“|a|＞1”，得a＞1 或a＜﹣1，
又“a＞1”是“a＞1 或a＜﹣1”的充分不必要条件，
即“a＞1”是“|a|＞1”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要条件
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9．（5 分）若方程
x2
a2+5 +
y2
2a2+1 =1 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是
（﹣2，2）
．
【解答】解：由题意可得a2+5＞2a2+1，
即a2＜4，可得﹣2＜a＜2，
即a 的曲折范围是（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
10．（5 分）一个正四棱锥的底面边长为3 2cm，侧棱长为5cm，则它的体积为
24
cm3．
【解答】解：如图，
∵正四棱锥的底面边长为3 2cm，∴SABCD＝18cm3．
连接AC，BD，交于O，连接PO，则PO⊥底面ABCD，
OC= 1
2 AC = 1
2 × 3 2 ×
2 = 3cm，
又棱长PC＝5cm，∴OP=
52 −32 = 4cm，
∴VP−ABCD = 1
3 × 18 × 4 = 24cm3．
故答案为：24．
11．（5 分）双曲线
x2
a2 −y2＝1（其中a＞0）的离心率为2，则实数a 的值为
3
3
．
【解答】解：双曲线
x2
a2 −y2＝1 的b＝1，c=
a2 + 1，
可得e= c
a =
a2+1
a
=2，
解得a=
3
3 ，
故答案为：
3
3 ．
12．（5 分）（文科做）已知函数f（x）＝x3+x2﹣x 在（a，a+2）上存在极小值，则实数a 的取值范围为
（−5
3，
1
3）．
【解答】由函数f（x）＝x3+x2﹣x．
得f′（x）＝3x2+2x﹣1．
令f′（x）＝3x2+2x﹣1＝0，解得
x1 =−1，x2 = 1
3．
∵x∈（﹣1，
1
3），f′（x）＜0
且x∈（
1
3，+∞），f′（x）＞0．
∴
1
3为f（x）的极小值点．
∵函数f（x）在区间（a，a+2）上存在极小值．
∴
a＜1
3
a + 2＞1
3
即−5
3 ＜a＜1
3．
故答案为：( −5
3 ，1
3 )．
13．（理科做）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2AA1，则直线AC1 与B1C 所成角的余弦值为
5
5
．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2AA1，
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝BC＝2AA1＝2，
则A（2，0，0），C1（0，2，1），B1（2，2，1），
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C（0，2，0），
AC1
→
=（﹣2，2，1），B1C
→
=（﹣2，0，﹣1），
设直线AC1 与B1C 所成角为θ，
则cosθ= |AC1
→
⋅B1C
→
|
|AC1
→
|⋅|B1C
→
|
=
3
9⋅5 =
5
5 ．
∴直线AC1 与B1C 所成角的余弦值为
5
5 ．
故答案为：
5
5 ．
14．（5 分）设m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．在下列命题中，有且仅有一个是真命题，它的序
号是
④
．
①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；
②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
③m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α；
④若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α．
【解答】解：由m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在①中，若m⊥n，n∥α，则m 与α相交、平行或m⊂α，故①错误；
在②中，若m∥β，β⊥α，则m 与α相交、平行或m⊂α，故②错误；
在③中，m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m 与α相交、平行或m⊂α，故③错误；
在④中，若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，故④正确．
故答案为：④．
15．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射
线AF2 交椭圆于B．若△AF1B 的面积为40 3，内角A 为60°，则椭圆的焦距为
10
．
【解答】解：由题意可得△AF1F2 为等边三角形，
即有2c＝a，b=
a2 −c2 =
3c，
可得椭圆方程为3x2+4y2＝12c2，
设直线AB 的方程为x=−3
3 y+c，
代入椭圆方程可得3（
1
3y2+c2−2 3
3 cy）+4y2＝12c2，
化为5y2﹣2 3cy﹣9c2＝0，
解得y=
3c 或y=−3 3
5 c，
即有△AF1B 的面积为
1
2•2c•|yA﹣yB|＝c•
8 3
5 c＝40 3，
可得c＝5，
即有椭圆的焦距为10．
故答案为：10．
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16．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，若直线l：y＝kx﹣5（其中k＞0）上存在点P，在圆C：x2+（y﹣1）2＝1
上存在两个不同的两点M，N，使得点M 是线段PN 的中点，则实数k 的最小值是
3
．
【解答】解：圆心坐标C（0，1），半径R＝2，则直径为2，
要使在圆C：x2+（y﹣1）2＝1 上存在两个不同的两点M，N，使得点M 是线段PN 的中点，
即MN＝MP，
则MN 的最大值为直径2，
即MP 的最大值为2，即圆心C 到直线y＝kx﹣5 的最大值距离d＝1+2＝3，
即圆心到直线l：kx﹣y﹣5＝0 的距离d 满足d≤3，
即
|0−1−5|
1+k2 =
6
1+k2 ≤3，则1 + k2 ≥2，
平方得1+k2≥4，得k2≥3，得k≥
3或k≤−
3（舍），
则k 的最小值为3，
故答案为：3
二、解答题：本大题共7 小题，共计90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤
17．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝9（其中m∈R）．设p：点（1，﹣2）在
圆C1 内，设q：圆C1 与圆C2：（x+1）2+（y﹣1）2＝4 外离．
（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；
（2）若q 为真命题，求m 的取值范围；
（3）若“p 或q”为真命题，求m 的取值范围．
【解答】解：（1）若p 为真命题，即点（1，﹣2）在圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝9 内，
则（1﹣m）2+（﹣2+2）2＜9，解得﹣2＜m＜4，即m 的取值范围为（﹣2，4）；
（2）若q 为真命题，即圆C1 与圆C2 外离，则[m −( −1)]2 + ( −2 −1)2＞5，解得m＞3 或m＜﹣5，即m 的
取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（3，+∞）；
（3）因为“p 或q 为真命题，则p，q 中至少有一个是真命题即可，所以m 的取值范围为（﹣∞，﹣5）∪（﹣2，
+∞）
18．（14 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，BC=
2AB，E，F 分别为BC，CD 的中点，且
PF⊥平面ABCD．求证：
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（1）EF∥平面PBD；
（2）AE⊥平面PEF．
【解答】证明：（1）∵E，F 分别是BC，CD 的中点，∴EF∥BD，
∵EF⊄平面PBD，BD⊂平面PBD，
∴EF∥平面PBD．
（2）设AB＝a，∵在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，
BC=
2AB，E，F 分别为BC，CD 的中点，且PF⊥平面ABCD，
∴EF=
3
2 a，AE=
6
2 a，AF= 3
2 a，
∴AE2+EF2＝AF2，∴AE⊥EF，
∵PF⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
∴PF⊥AE，
∵PF∩EF＝F，∴AE⊥平面PEF．
19．（14 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C1：
x2
m2 −
y2
n2 =1（m＞0，n＞0）经过点（3，0），其中一条近线
的方程为y=
3
3 x，椭圆C2：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）与双曲线C1 有相同的焦点．椭圆C2 的左焦点，左顶点和上
顶点分别为F，A，B，且点F 到直线AB 的距离为
b
7．
（1）求双曲线C1 的方程；
（2）求椭圆C2 的方程．
【解答】解：（1）双曲线C1：
x2
m2 −
y2
n2 =1（m＞0，n＞0）经过点（3，0），
可得m2＝3，
其中一条近线的方程为y=
3
3 x，可得
n
m =
3
3 ，
解得m=
3，n＝1，
即有双曲线C1 的方程为
x2
3 −y2＝1；
（2）椭圆C2：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）与双曲线C1 有相同的焦点，
可得a2﹣b2＝4，①
椭圆C2 的左焦点，左顶点和上顶点分别为F（﹣2，0），A（﹣a，0），B（0，b），
由点F 到直线AB：bx﹣ay+ab＝0 的距离为
b
7，可得
|−2b+ab|
b2+a2 =
b
7，化为a2+b2＝7（a﹣2）2，②
由①②解得a＝4，b＝2 3，
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第190页（共926页）
则椭圆C2 的方程为
x2
16 +
y2
12 =1．
20．（16 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C：（x﹣4）2+y2＝9 与x 轴交于A，B 两点（其中点A 在点B 左侧），
直线l 过点（1，﹣4）．
（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；
（2）若直线l 上存在点M，满足MA＝2MB．
①求直线l 的斜率的取值范围；
②若点M 不在x 轴上，求△MAB 面积的最大值及此时直线l 的方程．
【解答】解：若直线l 与x 轴垂直，则直线l 的方程为x＝1，
若直线l 与x 轴不垂直，
则设l 的方程为y+4＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣4＝0．
（1）若直线l 与x 轴垂直，则直线l 和圆C 相切，符号条件
若直线l 与x 轴不垂直，若直线和圆相切，得圆心到直线的距离d= |4k−k−4|
1+k2
= |3k−4|
1+k2 =3，
解得k= 7
24，即直线l 的方程为7x﹣24y﹣103＝0，
综上直线l 的方程为7x﹣24y﹣103＝0 或x＝1
（2）设M（x，y），则由MA＝2MB，得，MA2＝4MB2，
即（x﹣1）2+y2＝4[（x﹣7）2+y2]整理得：（x﹣9）2+y2＝16，
即点M 在圆（x﹣9）2+y2＝16 上，
①根据题意直线l 与圆（x﹣9）2+y2＝16 有公共点，注意到直线l 的斜率明显存在，
因此直线l：kx﹣y﹣k﹣4＝0 与圆（x﹣9）2+y2＝16 有公共点，
即
|9k−k−4|
1+k2
=
|8k−4|
1+k2 ≤4，
解得0≤k≤4
3，即直线l 的斜率的范围[0，
4
3]．
②∵M 在圆（x﹣9）2+y2＝16 上，∴当点M 的坐标为（9，4）或（9，﹣4）时，M 到x 轴上的距离d 取得最大
值4，
则△MAB 面积的最大值为
1
2AB•dmax= 1
2 × 6 × 4 =12，
此时直线l 的方程为x﹣y﹣5＝0 或y＝﹣4．
21．（16 分）（文科做）已知函数f（x）= a
3x3−1
2（a+1）x2+x．
（1）若a≤0，求f（x）的单调减区间；
（2）当a 在区间（0，1）上变化时，求f（x）的极小值的最大值．
【解答】解：（1）①若a＝0，f（x）=−1
2 x2 + x =−1
2 (x −1)2 + 1
2，
则f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；
②若a＜0，则f′（x）= ax2 −(a + 1)x + 1 = a(x −1
a )(x −1)．
令f′（x）＜0，得(x −1
a )(x −1)＞0，即x＜1
a或x＞1．
则f（x）的单调减区间为（﹣∞，
1
a），（1，+∞）；
（2）f′（x）= a(x −1)(x −1
a )，0＜a＜1．
当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（1，
1
a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（
1
a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（x）的极小值为为f（
1
a）= a
3 ⋅1
a3 −1
2 (a + 1) ⋅1
a2 + 1
a =−1
6 ⋅1
a2 + 1
2 ⋅1
a =−1
6 ( 1
a −3
2 )2 + 3
8．
当a= 2
3时，函数f（x）的极小值f（
1
a）取得最大值为
3
8．
22．（理科做）如图，正四棱锥V﹣ABCD 底面边长为4，侧棱长为17．以该正四棱锥的底面中心O 为坐标原点建
立直角坐标系O﹣xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E 为VC 中点．
（1）求向量BE
→
，DE
→
的夹角的余弦值；
（2）求二面角B﹣VC﹣D 的余弦值．
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【解答】解：（1）根据条件知正四棱锥V﹣ABCD 的高为( 17)2 −(2 2)2 =3，
根据条件，B（2，2，0），C（﹣2，2，0），D（﹣2，﹣2，0），V（0，0，3），E（﹣1，1，
3
2），
∴BE
→
=（﹣3，﹣1，
3
2），DE
→
=（1，3，
3
2），
∴向量BE
→
，DE
→
的夹角的余弦值为cos＜BE
→
，DE
→
＞=
BE
→
⋅DE
→
|BE
→
|⋅|DE
→
|
=
−15
4
(7
2)2 =−15
49．
（2）CB
→
=（4，0，0），设平面BVC 的一个法向量n
→=（x，y，z），
则n
→⋅BE
→
=−3x −y + 3
2 z = 0
n
→⋅CB
→
= 4x = 0
，取y＝3，得n
→=（0，3，2），
同理可得平面DVC 的一个法向量m
→=（﹣3，0，2），
设二面角B﹣VC﹣D 的平面角为θ，由图知θ为钝角，
则cosθ=−|m
→⋅n
→|
|m
→|⋅|n
→|
=−
4
13⋅13 =−4
13，
∴二面角B﹣VC﹣D 的余弦值为−4
13．
23．（16 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）过点（1，e），（e，
3
2 ），其中e 为椭圆
的离心率，过定点N（m，0）（0＜m＜a）的动直线l 与椭圆交于A，B 两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右准线与x 轴的交点为M，若∠OMA＝∠OMB 总成立，求m 的值；
（3）是否存在定点M′（x0，0）（其中x0＞a），使得∠OM′A＝∠OM′B 总成立？如果存在，求出点M 的坐
标（用m 表示x0）；如果不存在，请说明理由．
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【解答】解：（1）∵椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）过点（1，e），（e，
3
2 ），
∴
1
a2 + e2
b2 = 1
e2
a2 + 3
4b2 = 1
a2 = b2 + c2
e = c
a
，解得a=
2，b＝c＝1，
∴椭圆方程为
x2
2 +y2＝1．
（2）椭圆
x2
2 + y2 = 1 的准线方程为x＝2，则M（2，0），
当直线l 与x 轴垂直或与x 轴重合时，∠OMA＝∠OMB；
当直线l 与x 轴不垂直且不重合时，设l 的方程为y＝k（x﹣m），k≠0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由
x2
2 + y2 = 1
y = k(x −m)
，得（2k2+1）x2﹣4mk2x+2m2k2﹣2＝0，
∴x1+x2= 4mk2
2k2+1，x1x2= 2m2k2−2
2k2+1 ，（*），
∵∠OMA＝∠OMB 总成立，又MA，MB 斜率存在，故MA，MB 的斜率和总为0，
y1
x1−2 +
y2
x2−2 =0 对k∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
即
k(x1−m)
x1−2
=−
k(x2−m)
x2−2 对k∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
即2x1x2﹣（m+2）（x1+x2）+4m＝0k∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
代入（*）式并整理得m＝1．
（3）假设存在这样的点M′（x0，0），（其中x0＞a）满足条件，
则M′A，M′B 的斜率同时存在且和为0，
即
y1
x1−x0
+
y2
x2−x0
=0，
根据题意，只需要考虑直线l 与x 轴不垂直也不重合的情形，
结合（2）中（*）式有：
x0= x1y2+x2y1
y1+y2
= x1k(x2−m)+x2k(x1−m)
k(x1−m)+k(x2−m)
= 2x1x2−m(x1+x2)
x1+x2−2m
=
2⋅2m2k2−2
2k2+1 −m⋅4mk2
2k2+1
4mk2
2k2+1−2m
= 4m2k2−4−4m2k2
−2m
= 2
m为定值，
∴这样的点M′如果存在，其坐标只可能为（
2
m，0），
∵m∈（0，2），∴x0 = 2
m ＞2满足条件，
∴M′坐标为（
2
m，0）．
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2019-2020 学年吉林省长春市东北师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（每小题4 分，共48 分，每小题只有一个正确选项）
1．（4 分）（2017•安徽二模）设命题p：∀x∈R，ex≥x+1，则￢p 为（
）
A．∀x∈R，ex＜x+1
B．∃x0∈R，ex0＜x0+1
C．∃x0∈R，ex0≤x0+1
D．∃x∈R，ex0≥x0+1
2．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）若椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1 的右焦点坐标是（1，0），长轴长是4，则椭圆的标准
方程为（
）
A．
x2
4 +
y2
3 =1
B．
x2
4 + y2 =1
C．
x2
3 +
y2
4 = 1
D．
x2
16 +
y2
15 =1
3．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）曲线
x2
4 −
y2
8 =1 的虚轴长是（
）
A．2 2
B．2 3
C．4 2
D．4 3
4．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）若原命题是“若x＝﹣1，则x2﹣x﹣2＝0”则它逆命题、否命题和逆否命题
三个命题中真命题的个数是（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
5．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1 到50 的
塑料瓶装饮料中抽取5 瓶进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5 瓶饮料的编号可能是（
）
A．5，10，15，20，25
B．2，4，8，16，32
C．1，2，3，4，5
D．8，18，28，38，48
6．（4 分）（2013•汕头一模）执行下面的程序框图，如果输入m＝72，n＝30，则输出的n 是（
）
A．12
B．6
C．3
D．0
7．（4 分）（2015 秋•南阳期末）设a，b∈R，则“a+b＞2”是“a＞1 且b＞1”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
8．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）已知P 是抛物线y2＝4x 上的一个动点，则P 到（0，2）的距离与到抛物线
准线距离之和的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
9．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）在区间[0，4]内随机取出两个数x，y，则2≤x+y≤4 的概率是（
）
A．
1
4
B．
3
8
C．
1
2
D．
5
8
10．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）设P 是椭圆
x2
25 +
y2
9 =1 上一点，M、N 分别是两圆：（x+4）2+y2＝1 和（x
﹣4）2+y2＝1 上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（
）
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A．9，12
B．8，11
C．8，12
D．10，12
11．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）已知命题p：方程x2+mx+1＝0 有两个不等的负实根，命题q：方程4x2+4
（m﹣2）x+1＝0 无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，则实数m 的取值范围是（
）
A．（1，2]∪[3，+∞）
B．（1，2）∪（3，+∞）
C．（1，2]
D．[3，+∞）
12．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）已知双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的在焦点为F，若双曲线上存在点P，
使得线段PF 的中点Q 仍在双曲线上，则该双曲线离心率e 的取值范围是（
）
A．（1，2]
B．（1，3]
C．[2，+∞）
D．[3，+∞）
二、填空题（每小题4 分，共16 分，请将正确答案填在横线上）
13．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）把二进制数11011（2）化为十进制数是
．
14．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）某校高一年级8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中
位数是
．
15．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）已知双曲线过点（4，−
3），且渐近线方程为y＝±
1
2x，则该双曲线的标准
方程为
．
16．（4 分）（2014 秋•东台市期末）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭
圆上存在点P 满足PF1
→
•PF2
→
=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是
．
三、解答题（17、18 题每题8 分，19-22 每题10 分，共56 分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8 分）（2018 秋•南关区校级期末）袋中有2 个红球A 和B，3 个白球a、b 和c，摸出一个红球得5 分，摸出
一个白得4 分，现从中任意摸出2 个球，求事件“所得分数大于8 分”的概率．
18．（8 分）（2018 秋•南关区校级期末）已知某种设备的使用年限x（年）与所支出的维修费用（万元）的统计资料
料如下：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
（1）求出回归直线方程：
（2）若维修费用是12.38 万元，试估计设备的使用年限是多少？
公式：b
Ƹ
=
i=1
n
σ
(xi−x)(yi−y)
i=1
n
σ
(xi−x)2
，a
Ƹ = y −b
Ƹ
x．
19．（10 分）（2018 秋•南关区校级期末）在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为x = 4 −t
y =
3t （t 为参数）．在以
O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 的极坐标方程为ρ＝2sin（θ+ 5π
6 ）．
（I）求曲线C1 的普通方程，曲线C2 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P，Q 分别在曲线C1、C2 上，求|PQ|的取值范围．
20．（10 分）（2018 秋•南关区校级期末）从参加某次数学考试的学生中抽出60 名，将其成绩（均为整数）整理后
画出的概率分布直方图如下（60 分及以上为及格），请回答下列问题：
（1）估计这次数学考试的及格率；
（2）根据频率分布直方图给出这次数学考试成绩情况的一个评价．
21．（10 分）（2018 秋•南关区校级期末）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到准线的距离为2．
（1）求抛物线C 的方程；
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第196页（共926页）
（2）点A（﹣a，a）（a＞0）在抛物线C 上，是否存在直线l：y＝kx+4 与抛物线C 交于点M，N，使得△MAN
是以MN 为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
22．（10 分）（2018 秋•南关区校级期末）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的离心率为
3
3 ，且过点（
3
2 ，
6
2 ）．椭
圆C 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1 的直线交椭圆于B，D 两点，过F2 的直线交椭圆于A，C 两点，且AC
⊥BD．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求四边形ABCD 面积的最小值．
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2019-2020 学年吉林省长春市东北师大附中高二（上）期末数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4 分，共48 分，每小题只有一个正确选项）
1．（4 分）（2017•安徽二模）设命题p：∀x∈R，ex≥x+1，则￢p 为（
）
A．∀x∈R，ex＜x+1
B．∃x0∈R，ex0＜x0+1
C．∃x0∈R，ex0≤x0+1
D．∃x∈R，ex0≥x0+1
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，ex≥x+1，则￢p 为∃x0∈R，ex0＜x0+1，
故选：B．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
2．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）若椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1 的右焦点坐标是（1，0），长轴长是4，则椭圆的标准
方程为（
）
A．
x2
4 +
y2
3 =1
B．
x2
4 + y2 =1
C．
x2
3 +
y2
4 = 1
D．
x2
16 +
y2
15 =1
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题设知：2a＝4，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，即可求椭圆方程．
【解答】解：由题设知：2a＝4，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，故椭圆方程为
x2
4 +
y2
3 = 1，
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的方程，属于基础题．
3．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）曲线
x2
4 −
y2
8 =1 的虚轴长是（
）
A．2 2
B．2 3
C．4 2
D．4 3
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得双曲线的b，由虚轴长2b，即可得到所求长．
【解答】解：双曲线
x2
4 −
y2
8 =1 的a＝2，b＝2 2，
即有2b＝4 2，
可得双曲线的虚轴长为4 2．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．
4．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）若原命题是“若x＝﹣1，则x2﹣x﹣2＝0”则它逆命题、否命题和逆否命题
三个命题中真命题的个数是（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【考点】21：四种命题．菁优网版权所有
【专题】36：整体思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】根据逆否命题的等价性判断原命题和逆命题的真假即可．
【解答】解：由x2﹣x﹣2＝0 得x＝﹣1 或x＝2，
即原命题为真命题，则逆否命题为真命题，
命题的逆命题饿、为若x2﹣x﹣2＝0，则x＝﹣1 为假命题．，则命题的否命题为假命题，
故逆命题、否命题和逆否命题三个命题中真命题的个数是1 个，
故选：B．
【点评】本题主要考查四种命题真假关系的判断，利用逆否命题的等价性是解决本题的关键．
5．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1 到50 的
塑料瓶装饮料中抽取5 瓶进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5 瓶饮料的编号可能是（
）
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第198页（共926页）
A．5，10，15，20，25
B．2，4，8，16，32
C．1，2，3，4，5
D．8，18，28，38，48
【考点】B4：系统抽样方法．菁优网版权所有
【专题】36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．
【解答】解：样本间隔为50÷5＝10，
A 的间隔是5，B 的间隔不相同，C 的间隔是1，D 的间隔是10，
故选：D．
【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．
6．（4 分）（2013•汕头一模）执行下面的程序框图，如果输入m＝72，n＝30，则输出的n 是（
）
A．12
B．6
C．3
D．0
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先根据循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后r 的值找出规律，从而得出所求．
【解答】解：如图所示的程序框图是直到型循环结构，
输入m＝72，n＝30，
第一次循环：72÷30＝2…12，
第二次循环：30÷12＝2…6，
第三次循环：12÷6＝2…0，
∴n＝6．
故选：B．
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第199页（共926页）
【点评】本题主要考查了直到形循环结构，注意循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循
环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．
7．（4 分）（2015 秋•南阳期末）设a，b∈R，则“a+b＞2”是“a＞1 且b＞1”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：若a＞1 且b＞1 时，a+b＞2 成立．
若a＝0，b＝3，满足a+b＞2，但a＞1 且b＞1 不成立，
∴“a+b＞2”是“a＞1 且b＞1”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的性质的判断，比较基础．
8．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）已知P 是抛物线y2＝4x 上的一个动点，则P 到（0，2）的距离与到抛物线
准线距离之和的最小值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；38：对应思想；44：数形结合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d＝|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．
【解答】解：由题得：如图：
依题设A 在抛物线准线的投影为A′，抛物线的焦点为F，
A（0，2）．F 在准线上的射影A″
∵抛物线y2＝4x，∴F（1，0），
依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为：
|PA″|＝|PF|，
则点P 到点A（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|+|PA|≥|AF|=
5．
故选：C．
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第200页（共926页）
【点评】本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P 到点（0，2）的距离与到抛物线准线的距离
之和转化为点P 到点（0，2）的距离与P 到焦点F 的距离之和．
9．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）在区间[0，4]内随机取出两个数x，y，则2≤x+y≤4 的概率是（
）
A．
1
4
B．
3
8
C．
1
2
D．
5
8
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】13：作图题；5I：概率与统计．
【分析】先作出x，y∈[0，4]，2≤x+y≤4 所表示的平面区域，再结合几何概型中的面积型求面积之比即可．
【解答】解：由已知有：在区间[0，4]内随机取出两个数x，y，结合几何概型中的面积型：则2≤x+y≤4 的概率
是：
四边形DEAC 的面积
正方形ABCO 的面积=
8−1
2×2×2
16
=
3
8，
故选：B．
【点评】本题考查了几何概型中的面积型，属简单题．
10．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）设P 是椭圆
x2
25 +
y2
9 =1 上一点，M、N 分别是两圆：（x+4）2+y2＝1 和（x
﹣4）2+y2＝1 上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（
）
A．9，12
B．8，11
C．8，12
D．10，12
【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】圆外一点P 到圆上所有点中距离最大值为|PC|+r，最小值为|PC|﹣r，其中C 为圆心，r 为半径，故只要
连结椭圆上的点P 与两圆心M，N，直线PM，PN 与两圆各交于两处取得最值，最大值为|PM|+|PN|+两圆半径之
和，最小值为|PM|+|PN|﹣两圆半径之和．
【解答】解：∵两圆圆心F1（﹣4，0），F2（4，0）恰好是椭圆
x2
25 +
y2
9 =1 的焦点，
∴|PF1|+|PF2|＝10，两圆半径相等，都是1，即r＝1，
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第201页（共926页）
∴（|PM|+|PN|）min＝|PF1|+|PF2|﹣2r＝10﹣2＝8．
（|PM|+|PN|）max＝|PF1|+|PF2|+2r＝10+2＝12．
故选：C．
【点评】本题考查线段和的最大值和最小值的求法，是中档题，解题时要注意椭圆的定义和圆的性质的合理运用．
11．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）已知命题p：方程x2+mx+1＝0 有两个不等的负实根，命题q：方程4x2+4
（m﹣2）x+1＝0 无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，则实数m 的取值范围是（
）
A．（1，2]∪[3，+∞）
B．（1，2）∪（3，+∞）
C．（1，2]
D．[3，+∞）
【考点】2E：复合命题及其真假；7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】若p 真，m2 −4＞0
−m＜0
，若q 真，△＝[4（m﹣2）]2﹣16＜0，由题意可知，p 与q 一真一假，分类讨论即
可．
【解答】解：若p 真，则m2 −4＞0
−m＜0
，解得：m＞2；
若q 真，则△＝[4（m﹣2）]2﹣16＜0，解得：1＜m＜3；
∵p 或q 为真，p 且q 为假，
∴p 与q 一真一假，
当p 真q 假，解得m≥3；当p 假q 真，解得1＜m≤2．
综上所述，1＜m≤2 或m≥3；
故选：A．
【点评】本题考查复合命题的真假，求得p 真，q 真的m 的范围是关键，突出考查分类讨论思想与化归思想，属
于中档题．
12．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）已知双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的在焦点为F，若双曲线上存在点P，
使得线段PF 的中点Q 仍在双曲线上，则该双曲线离心率e 的取值范围是（
）
A．（1，2]
B．（1，3]
C．[2，+∞）
D．[3，+∞）
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设|PF'|＝t，由双曲线的定义可得|PF|＝2a+t，运用中位线定理和双曲线的定义，结合余弦定理，化简可
得c2＝5a2+2at，由t≥c﹣a，结合离心率公式和二次不等式的解法，可得所求范围．
【解答】解：如右图，设|PF'|＝t，
由双曲线的定义可得|PF|＝2a+t，
由Q 为PF 的中点，
可得|OQ|= t
2，|QF|＝a+ t
2，|QF'|＝3a+ t
2，
在三角形QFF'中，OQ 为中线，
由余弦定理可得cos∠FOQ+cos∠F'OQ
=
t2
4+c2−(a+t
2)2
2⋅t
2⋅c
+
c2+t2
4−(3a+t
2)2
2c⋅t
2
=0，
化简可得c2＝5a2+2at，
由t≥c﹣a，可得c2﹣5a2≥2a（c﹣a），
即为c2﹣3a2﹣2ac≥0，即有e2﹣2e﹣3≥0，
解得e≥3．
故选：D．
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第202页（共926页）
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的范围，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查化简整理
的运算能力，属于中档题．
二、填空题（每小题4 分，共16 分，请将正确答案填在横线上）
13．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）把二进制数11011（2）化为十进制数是
27
．
【考点】EM：进位制．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5K：算法和程序框图．
【分析】把二进制数转化为十进制数，只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．
【解答】解：11011（2）＝1×20+1×21+0×22+1×23+1×24＝27，
故答案为：27．
【点评】此题主要考查了二进制数与十进制数互化的方法，属于基础题．
14．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）某校高一年级8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中
位数是
91.5
．
【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由茎叶图可知样本数据共有8 个，按照从小到大的顺序排好后取中间两数的平均值即可．
【解答】解：由茎叶图可知样本数据共有8 个，按照从小到大的顺序为：87，89，90，91，92，93，94，96．
出现在中间两位的数据是91，92．
所以样本的中位数是（91+92）÷2＝91.5，
故答案为：91.5
【点评】本题考查茎叶图，中位数，本题解题的关键是看清所给的数据的个数，计算中位数时，看清是有偶数个
数字还是奇数个数字，选择出中位数．
15．（4 分）（2018 秋•南关区校级期末）已知双曲线过点（4，−
3），且渐近线方程为y＝±
1
2x，则该双曲线的标准
方程为
x2
4 −y2＝1
．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由渐近线方程可设双曲线的方程为y2−x2
4 =m（m≠0），代入点（4，−
3），解得m，即可得到所求双
曲线的标准方程．
【解答】解：渐近线方程为y＝±
1
2x，
可设双曲线的方程为y2−x2
4 =m（m≠0），
代入点（4，−
3），可得3−16
4 =m，
即m＝﹣1，
可得双曲线的标准方程为
x2
4 −y2＝1．
故答案为：
x2
4 −y2＝1．
【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线方程设出双曲线方程，考查运算能力，属于基础题．
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第203页（共926页）
16．（4 分）（2014 秋•东台市期末）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的两个焦点，若椭
圆上存在点P 满足PF1
→
•PF2
→
=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是
[
1
2，
3
3 ]
．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设P（m，n），通过PF1
→
•PF2
→
=2c2，将P（m，n）代入椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1，计算可得
c
a ≥
1
2，利用m2≤a2，
计算可得
c
a ≤
3
3 ，进而可得结论．
【解答】解：设P（m，n），
∵PF1
→
•PF2
→
=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）＝m2﹣c2+n2＝2c2，
∴m2+n2＝3c2，n2＝3c2﹣m2，①
将P（m，n）代入椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1 得：b2m2+a2n2＝a2b2，②
把①代入②得：m2= a2b2−3a2c2
b2−a2
≥0，∴a2b2≤3a2c2，
∴b2≤3c2，a2﹣c2≤3c2，∴
c
a ≥
1
2，
又∵m2≤a2，∴
a2b2−3a2c2
b2−a2
≤a2，∴a2﹣3c2≥0，
∴
c
a ≤
3
3 ，
综上，
1
2 ≤
c
a ≤
3
3 ，
故答案为：[
1
2，
3
3 ]．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．
三、解答题（17、18 题每题8 分，19-22 每题10 分，共56 分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8 分）（2018 秋•南关区校级期末）袋中有2 个红球A 和B，3 个白球a、b 和c，摸出一个红球得5 分，摸出
一个白得4 分，现从中任意摸出2 个球，求事件“所得分数大于8 分”的概率．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】现从中任意摸出2 个球，基本事件总数n= C5
2 =10，事件“所得分数大于8 分”是指摸到的两个球不都
是白球，由此利用对立事件概率计算公式能求出事件“所得分数大于8 分”的概率．
【解答】解：袋中有2 个红球A 和B，3 个白球a、b 和c，摸出一个红球得5 分，摸出一个白得4 分，
现从中任意摸出2 个球，基本事件总数n= C5
2 =10，
事件“所得分数大于8 分”是指摸到的两个球不都是白球，
∴事件“所得分数大于8 分”的概率p＝1−
C3
2
C5
2 =0.7．
【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（8 分）（2018 秋•南关区校级期末）已知某种设备的使用年限x（年）与所支出的维修费用（万元）的统计资料
料如下：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
（1）求出回归直线方程：
（2）若维修费用是12.38 万元，试估计设备的使用年限是多少？
公式：b
Ƹ
=
i=1
n
σ
(xi−x)(yi−y)
i=1
n
σ
(xi−x)2
，a
Ƹ = y −b
Ƹ
x．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．
【分析】（1）由已知求得b
Ƹ
，a
Ƹ 的值，则线性回归方程可求；
（2）在线性回归方程中，取y＝12.38 求得x 值，则答案可求．
【解答】解：（1）x = 2+3+4+5+6
5
= 4，y = 2.2+3.8+5.5+6.5+7.0
5
= 5，
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第204页（共926页）
b
Ƹ
=
i=1
5
σ
(xi−x)(yi−y)
i=1
5
σ
(xi−x)2
=
i=1
5
σ
xiyi−5⋅xy
i=1
5
σ
xi2−5x2 = 112.3−5×4×5
90−5×42
=1.23，
a
Ƹ = y −b
Ƹ
x = 5 −1.23 × 4 = 0.08，
∴y 关于x 的线性回归方程为y
Ƹ = 1.23x + 0.08；
（2）在y
Ƹ = 1.23x + 0.08 中，取y＝12.38，可得x＝10．
∴若维修费用是12.38 万元，估计设备的使用年限是10 年．
【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．
19．（10 分）（2018 秋•南关区校级期末）在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为x = 4 −t
y =
3t （t 为参数）．在以
O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 的极坐标方程为ρ＝2sin（θ+ 5π
6 ）．
（I）求曲线C1 的普通方程，曲线C2 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P，Q 分别在曲线C1、C2 上，求|PQ|的取值范围．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（I）使用加减消元法消去参数t 得出C1 的普通方程，将C2 的极坐标方程两边同乘ρ，按两角和的正弦公
式展开，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出直角坐标方程；
（II）求出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系得出|PQ|的最小值即可．
【解答】解：（I）曲线C1 的普通方程为：3x+y﹣4 3 =0，
∵ρ＝2sin（θ+ 5π
6 ）=−
3sinθ+cosθ，
∴ρ2=−
3ρsinθ+ρcosθ，
∴曲线C2 的直角坐标方程为：x2+y2+
3y﹣x＝0．
（II）曲线C2 的圆心为（
1
2，−
3
2 ），半径r＝1．
∴圆心到直线C1 的距离d=
| 3
2 + 3
2 −4 3|
2
= 3 3
2 ＞r．
∴直线C1 与圆C2 相离．
∴|PQ|的最小值为
3 3
2
−1，
∴|PQ|的取值范围是[
3 3
2
−1，+∞）．
【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于中档题．
20．（10 分）（2018 秋•南关区校级期末）从参加某次数学考试的学生中抽出60 名，将其成绩（均为整数）整理后
画出的概率分布直方图如下（60 分及以上为及格），请回答下列问题：
（1）估计这次数学考试的及格率；
（2）根据频率分布直方图给出这次数学考试成绩情况的一个评价．
【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）由频率分布直方图求出这次数学考试成绩在60 分以上的频率，由此能估计这次数学考试的及格率．
（2）由频率分布直方图求出这次数学考试成绩的众数，及格率和80 分以上的学生的比例，由此得到总体来说这
次数学考试成绩良好．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得这次数学考试成绩在60 分以上的频率为：
1﹣（0.01+0.015）×10＝0.75，
∴估计这次数学考试的及格率为75%．
（2）由频率分布直方图得：
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第205页（共926页）
这次数学考试成绩的众数为
69.5+79.5
2
=74.5，
及格率为75%，其中30%的学生成绩在[69.5，79.5）内，
80 分以上的学生达到30%．
总体来说这次数学考试成绩良好．
【点评】本题考查及格率的求法，考查频率分布直方图的应用，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运
算求解能力，是基础题．
21．（10 分）（2018 秋•南关区校级期末）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点到准线的距离为2．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）点A（﹣a，a）（a＞0）在抛物线C 上，是否存在直线l：y＝kx+4 与抛物线C 交于点M，N，使得△MAN
是以MN 为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；21：阅读型；34：方程思想；4P：设而不求法；5C：向量与圆锥曲线．
【分析】（1）由已知条件求出p 的值，即可得出抛物线C 的方程；
（2）将点A 的坐标代入抛物线C 的方程求出a 的值，可得出点A 的坐标，然后将直线l 的方程与抛物线C 的方
程联立，列出韦达定理，由题中条件得出AM
→
⋅AN
→
= 0，利用向量的坐标运算律，并代入韦达定理可求出k 的值，
并对k 的值进行检验，从而得出直线l 的方程．
【解答】解：（1）抛物线C 的焦点到准线的距离为p＝2，所以，抛物线C 的方程为x2＝4y；
（2）由于点A 在抛物线C 上，所以，（﹣a）2＝4a，即a2﹣4a＝0，由于a＞0，得a＝4，所以，点的坐标为（﹣
4，4），
设点M（x1，y1）、N（x2，y2），将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立得y = kx + 4
x2 = 4y
，消去y，得x2﹣4kx﹣16
＝0，
△＝16k2+64＞0 恒成立，由韦达定理可得x1+x2＝4k，x1x2＝﹣16，
由于△MAN 是以MN 为斜边的直角三角形，则AM
→
⋅AN
→
= 0，
AM
→
= (x1 + 4，y1 −4) = (x1 + 4，kx1)，同理可得AN
→
= (x2 + 4，kx2)，
∴AM
→
⋅AN
→
= (x1 + 4)(x2 + 4) + k2x1x2 =（k2+1）x1x2+4（x1+x2）+16＝﹣16（k2+1）+16k+16＝﹣16k2+16k＝0，
化简得k2﹣k＝0，解得k＝0 或k＝4，
当k＝0 时，直线l 的方程为y＝4，此时，直线l 与抛物线C 的一个交点为A，不符合题意！
经检验，k＝1 合乎条件．
因此，当直线l 的方程为y＝x+4 时，△MAN 是以MN 为斜边的直角三角形．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查向量与抛物线的综合，问题的关键主要是将垂直关系转化为向
量的数量积，属于中等题．
22．（10 分）（2018 秋•南关区校级期末）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的离心率为
3
3 ，且过点（
3
2 ，
6
2 ）．椭
圆C 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1 的直线交椭圆于B，D 两点，过F2 的直线交椭圆于A，C 两点，且AC
⊥BD．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求四边形ABCD 面积的最小值．
【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）由e= c
a =
3
3 ，求得2a2＝3b2，将点（
3
2 ，
6
2 ）代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方
程；
（2）设BD 的方程为y＝k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6＝0．设B（x1，y1），D
（x2，y2），求得|BD|和|AC|，由此可以求出四边形ABCD 的面积的最小值．
【解答】解：（1）由e= c
a =
1 −b2
a2 =
3
3 ，求得2a2＝3b2，
将点（
3
2 ，
6
2 ）代入椭圆方程
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）可得
3
4a2 +
6
4b2 = 1．
解得b2＝2，a2＝3．
∴椭圆C 的标准方程：
x2
3 +
y2
2 = 1．
（2）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且k≠0 时，BD 的方程为y＝k（x+1），
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第206页（共926页）
代入椭圆方程
x2
3 +
y2
2 = 1，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6＝0．
设B（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2= −6k2
3k2+2，x1x2= 3k2−6
3k2+2
|BD|=
1 + k2•|x1﹣x2|=
1 + k2 (x1 + x2)2 −4x1x2 = 4 3(k2+1)
3k2+2
因为AC 与BD 相交于点P，且AC 的斜率为−1
k，所以，|AC|= 4 3(k2+1)
2k2+3
．
四边形ABCD 的面积S= 1
2•|BD||AC|=
24(k2+1)2
(2k2+3)(3k2+2) ≥
24(k2+1)2
[2k2+3+3k2+2
2
]2 = 96
25，
当k2＝1 时，上式取等号．
（ⅱ）当BD 的斜率k＝0 或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积S＝4．
综上，四边形ABCD 的面积的最小值为
96
25．
【点评】本题综合考查椭圆的性质信其应用，基本不等式的应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细计算，注
意基本不等式的灵活运用．
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考点卡片
1．四种命题
【知识点的认识】
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命
题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否
定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命
题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原
命题的逆否命题．
【解题方法点拨】
理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题，判断命题的真假要注意与其它考点的知识、方法相
结合．
【命题方向】高考中一般在选择题中出现以命题的形式考察其它知识点的运用，由于本考点可与高中数学中多处的
考点相结合，故考察类型多样，都是基本概念与基本方法的题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p 则q”为真时，可表示为p⇒q，称p 为q 的充分条件，q 是p 的必要条件．事实上，与“p⇒q”
等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q 不成立，则p 一定不成立．这就是说，q 对于p 是必不可少的，
所以说q 是p 的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p 一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p 是q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，
记作“p⇔q”．p 与q 互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证
明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆
二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q 为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；
②若p⇒q 为假命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；
③若p⇒q 为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④若p⇒q 为假命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多
以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否
则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真
假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能
判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P 的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个
命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即
可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命
题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在
性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存
在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，
有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关
等
大
小
至
至
至
至
任
任
P
P
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键
词
于
（＝）
于
（＞）
于
（＜）
是
能
都
是
没
有
多
有
一
个
少
有
一
个
少
有
n
个
多
有
n
个
意
的
两
个
且
Q
或
Q
否
定
词
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）
不
是
不
能
不
都
是
至
少
有
一
个
至
少
有
两
个
一
个
都
没
有
至
多
有
n﹣1
个
至
少
有
n+1
个
某
个
某
两
个
¬P
或
¬Q
¬P
且
¬Q
若原命题P 为真，则¬P 必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同
假．
4．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的
条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P 不是命题P 的否命题，而是命题P 的否定形
式．对命题“若P 则Q“来说，¬P 是“若P 则非Q”；P 的否命题是“若非P 则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．
【解题方法点拨】若p 则q，那么它的否命题是：若¬p 则¬q，命题的否定是：若p 则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量
词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．
【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改
地区常考题型．
5．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，
x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关
系：x1+x2=−b
a，x1•x2= c
a．
【例题解析】
例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1 的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0 两根的平方．
解：方程x2﹣3x+1＝0 中，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，即9＝x12+x22+2，
∴x12+x22＝7，又x12x22＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次项系数为1，
则所求方程为x2﹣7x+1＝0．
这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2 与x1•x2 可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面
的公式（韦达定理）．
【考点分析】
首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通
过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．
6．系统抽样方法
【知识点的认识】
1．定义：一般地，要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制
定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．
2．系统抽样的特征：
（1）当总体容量N 较大时，适宜采用系统抽样；
（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此系统抽样又称等距抽样，这里的
间隔一般为k= [ N
n ]
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（3）在第一部分的抽样采用简单随机抽样；
（4）每个个体被抽到的可能性相等
3．系统抽样与简单随机抽样的关系：
（1）系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，当将总体均分后对每一部分进行抽样时，采用的是简单随机
抽样；
（2）系统抽样和简单随机抽样都是等概率抽样，它是公平的．
4．系统抽样与简单随机抽样的优缺点：
（1）当总体的个体数较大时，用系统抽样比用简单随机抽样更易实施，更节约成本；
（2）系统抽样比简单随机抽样应用范围更广；
（3）系统抽样所得到的样本的代表性和个体的编号有关，而简单随机抽样所得到的样本的代表性与编号无关，如
果编号的特征随编号的变化呈一定的周期性，可能造成系统抽样的代表性很差．
【解题方法点拨】
系统抽样的一般步骤：
（1）编号：采用随机的方式将总体中的个体编号；
（2）分段：确定分段间隔k，对编号进行分段（N 为总体个数，n 为样本容量）：
①当
N
n ∈Z 时，k= N
n，
②当
N
n ∉Z 时，通过从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体数N′能被n 整除，这时k= N'
n
（注意这时要重新编号1﹣N′后，才能再分段）
（3）确定起始编号：在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l（l∈N，l≤k）；
（4）抽样：按事先确定的规则抽取样本，即l，l+k，l+2k，…，l+（n﹣1）k．
【命题方向】
1．考查系统抽样的定义
例：某小礼堂有25 排座位，每排有20 个座位．一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，讲座后为了了解有关情况，留
下了座位号是15 的25 名学生进行测试，这里运用的抽样方法是（
）
A．抽签法
B．随机数表法
C．系统抽样法
D．分层抽样法
分析：由题意可得，从第一排起，每隔20 人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，符合系统抽样的定义．
解答：由题意可得，从第一排起，每隔20 人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，故属于系统抽样，
故选C．
点评：本题考查系统抽样的定义和方法，属于容易题．
2．考查系统抽样的应用
例：将参加夏令营的100 名学生编号为001，002，…，100．先采用系统抽样方法抽取一个容量为20 的样本，若随
机抽得的号码为003，那么从048 号到081 号被抽中的人数是
分析：根据系统抽样的定义，即可得到结论．
解答：∵样本容量为20，首个号码为003，
∴样本组距为100÷20＝5
∴对应的号码数为3+5（x﹣1）＝5x﹣2，
由48≤5x﹣2≤81，
得10≤x≤16.6，
即x＝10，11，12，13，14，15，16，共7 个，
故答案为：7．
点评：本题主要考查系统抽样的应用，利用系统抽样的定义建立号码关系是解决本题的关键，比较基础．
7．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组
频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
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2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y 轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
8．茎叶图
【知识点的认识】
1．茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图称为茎叶图．
例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50
得分表示成茎叶图如下：
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2．茎叶图的优缺点：
优点：
（1）所有信息都可以从茎叶图上得到
（2）茎叶图便于记录和表示
缺点：
分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便．
【解题方法点拨】
茎叶图的制作步骤：
（1）将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分
（2）将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列
（3）将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧
第1 步中，
①如果是两位数字，则茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如89，茎：8，叶：9．
②如果是三位数字，则茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如123，茎：1，叶：23．
对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中体现几次．
9．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最
为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这
组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即x = 1
n (x1 + x2 + ⋯+ xn)．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分
布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积
（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
10．线性回归方程
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【概念】
线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法
之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在
回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性
回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回
归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据
得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．
【实例解析】
例：对于线性回归方程y
Ƹ = 1.5x + 45，x1 ∈{1，7，5，13，19}，则y =
解：x = 1+7+5+13+19
5
= 9，因为回归直线必过样本中心（x，y），
所以y = 1.5 × 9 + 45 = 13.5 + 45 = 58.5．
故答案为：58.5．
方法就是根据线性回归直线必过样本中心（x，y），求出x，代入即可求y．这里面可以看出线性规划这类题解题方
法比较套路化，需要熟记公式．
【考点点评】
这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．
11．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通
过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是
1
n；
如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率为P（A）= m
n = A 中所含的基本事件数
基本事件总数
．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n 与事件A 中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A 是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）= m
n求出事件A 的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
12．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A 所对应的区域用A 表示（A⊆Ω），则P
（A）= A 的度量
Ω的度量称为事件A 的几何概率．
13．程序框图
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【知识点的知识】
1．程序框图
（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法
的图形；
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不
可缺少的．
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何
需要输入、输出的位置．
处理框
赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，
它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”
或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．
流程线
算法进行的前进方向以及先后顺序
连结点
连接另一页或另一部分的框图
注释框
帮助编者或阅读者理解框图
（3）程序框图的构成．
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．
14．进位制
【知识点的知识】
进位制/位置计数法是一种记数方式，故亦称进位记数法/位值计数法，可以用有限的数字符号代表所有的数
值．可使用数字符号的数目称为基数或底数，基数为n，即可称n 进位制，简称n 进制．现在最常用的是十进制，
通常使用10 个阿拉伯数字0﹣9 进行记数．
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示．比如：十进数57（10），可以用二进制表示为111001（2），
也可以用五进制表示为212（5），也可以用八进制表示为71（8）、用十六进制表示为39（16），它们所代表的数值
都是一样的．
数制也称计数制，是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法．计算机是信息处理的工具，任何信
息必须转换成二进制形式数据后才能由计算机进行处理，存储和传输．
15．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
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3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和
短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
c
a叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e= c
a，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e 越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为
x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
16．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
17．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
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图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
18．圆与圆锥曲线的综合
【知识点的知识】
1、抛物线的简单性质：
2、双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
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性
质
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =1
x
b±
y
a =1
19．直线与椭圆的综合
v．
20．直线与抛物线的综合
v．
21．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C 上的点与方程f（ρ，θ）＝0 有如下关系
（1）曲线C 上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0 的所有解为坐标的点都在曲线C 上．
则曲线C 的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系（适当的极坐标系）
②设点（设M（ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M 的等式）
④将等式坐标化
⑤化简（此方程f（ρ，θ）＝0 即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
22．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道
变数x，y 中的一个与参数t 的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），
那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y 的取值范围保持一致．
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2019-2020 学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）
3+i
1+i =（
）
A．1+2i
B．1﹣2i
C．2+i
D．2﹣i
2．（5 分）（佛山一模）已知U＝R，函数y＝ln（1﹣x）的定义域为M，集合N＝{x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的
是（
）
A．M∩N＝N
B．M∩（∁UN）＝∅
C．M∪N＝U
D．M⊆（∁UN）
3．（5 分）（2014•秦州区校级一模）已知命题p：∀a∈R，且a＞0，a+ 1
a ≥2，命题q：∃x0∈R，sin x0+cos x0=
3，
则下列判断正确的是（
）
A．p 是假命题
B．q 是真命题
C．p∧（￢q）是真命题
D．（￢p）∧q 是真命题
4．（5 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4 成等比数列，则{an}前10 项的
和为（
）
A．10
B．8
C．6
D．﹣8
5．（5 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）已知函数f（x）＝ex+ a
ex（a∈R），若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在
x＝0 处的切线方程为（
）
A．y＝﹣2x
B．y＝﹣x
C．y＝2x
D．y＝x
6．（5 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE
→
=（
）
A．−1
2 AB
→
+ AD
→
B．
1
2 AB
→
−AD
→
C．AB
→
+ 1
2 AD
→
D．AB
→
−1
2 AD
→
7．（5 分）（2010•吴川市模拟）某工厂生产的机器销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：y1＝17x2，生产总
成本y2（万元）也是产量x（千台）的函数；y2＝2x3﹣x2（x＞0），为使利润最大，应生产（
）
A．6 千台
B．7 千台
C．8 千台
D．9 千台
8．（5 分）（2014•成都模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为a，AM
→
= 1
2 MC1
→
，点N 为B1B 的中点，则|MN|
＝（
）
A．
21
6 a
B．
6
6 a
C．
15
6 a
D．
15
3 a
9．（5 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）已知直线l1：x＝﹣1，l2：x﹣y+1＝0，点P 为抛物线y2＝4x 上的任一点，则
P 到直线l1，l2 的距离之和的最小值为（
）
A．2
B．2
C．1
D．
2
2
10．（5 分）（2018 春•泰安期末）已知f（x）= 2x，x ≤0
log2x，x＞0
，g（x）＝f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，则
m 的取值范围是（
）
A．[﹣1，+∞）
B．[﹣1，0）
C．[0，+∞）
D．[1，+∞）
11．（5 分）（2018•宿州一模）在平面直角坐标系xOy 中，设F1，F2 分别为双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的左、
右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是PF1 的中点，且OM⊥PF1，2|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为（
）
A．6
B．5
C．2
D．3
12．（5 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）已知函数f(x) = a
x + xlnx，g（x）＝﹣x3+x2+5，若对任意的x1，x2 ∈[ 1
2 ，2]，
都有f（x1）﹣g（x2）≤0 成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，2﹣4ln2]
B．（﹣∞，1]
C．[2 −4ln2，1
2 + 1
4 ln2]
D．( −∞，1
2 + 1
4 ln2]
二、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分．
13．（5 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）已知x＞1，观察下列不等式：
x+ 1
x ＞2；
x2+ 2
x ＞3；
x3+ 3
x ＞4；
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…
按此规律，第n 个不等式为
．
14．（5 分）（2018•广州一模）若x，y 满足约束条件
2x −y + 3 ≤0
x −1 ≤0
y −1 ≥0
，则z＝﹣x+y 的最小值为
．
15．（5 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）0
1
׬
1 −x2dx−
0
π
׬
sinxdx＝
．
16．（5 分）（2018 春•大连期末）若函数f（x）＝ax2+xlnx 有两个极值点，则实数a 的取值范围是
．
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60 分．
17．（12 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，其面积为S，且b2+c2
﹣a2= 4 3
3 S．
（1）求A；
（2）若a＝5 3，cosB= 4
5，求c．
18．（12 分）（2014•余杭区校级模拟）已知数列{an}，Sn 是其前n 项的和，且满足3an＝2Sn+n（n∈N*）
（Ⅰ）求证：数列{an+ 1
2}为等比数列；
（Ⅱ）记Tn＝S1+S2+…+Sn，求Tn 的表达式．
19．（12 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）如图，五边形ABSCD 中，四边形ABCD 为长方形，三角形SBC 是边长为
2 的正三角形，将三角形SBC 沿BC 折起，使得点S 在ABCD 上的射影恰好在AD 上．
（Ⅰ）证明：平面SAB⊥平面SAD；
（Ⅱ）若AB＝1，求平面SCD 与平面SBC 所成锐二面角的余弦值．
20．（12 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）已知圆M：x2 + y2 + 2 2y −10 = 0 和点N(0，2)，Q 是圆M 上任意一
点，线段NQ 的垂直平分线和QM 相交于点P，P 的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E 的方程；
（2）点A 是曲线E 与x 轴正半轴的交点，直线x＝ty+m 交E 于B、C 两点，直线AB，AC 的斜率分别是k1，
k2，若k1•k2＝9，求：①m 的值；②△ABC 面积的最大值．
21．（12 分）（2018•潮南区模拟）已知函数f（x）＝x2+ax+lnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）在[1，2]上的单调性；
（2）令函数g（x）＝ex﹣1+x2+a﹣f（x），e＝2.71828…是自然对数的底数，若函数g（x）有且只有一个零点m，
判断m 与e 的大小，并说明理由．
（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：
坐标系与参数方程]
22．（10 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为x = cosα
y = 1 + sinα（α为参
数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C 的普通方程及其极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为ρsin（θ + π
3）＝2，射线OM：θ= π
6与圆C 的交点为P，与直线l 的交点为Q，求
线段PQ 的长．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2018 秋•岳麓区校级期末）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤2；
（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，若a，b 均为正数，且
1
a +
4
b =m，求a+b 的最小值．
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2019-2020 学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）（2017•新课标Ⅱ）
3+i
1+i =（
）
A．1+2i
B．1﹣2i
C．2+i
D．2﹣i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i 的幂运算性质，求出结果．
【解答】解：
3+i
1+i =
(3+i)(1−i)
(1+i)(1−i) =
4−2i
2
=2﹣i，
故选：D．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以
分母的共轭复数．
2．（5 分）（佛山一模）已知U＝R，函数y＝ln（1﹣x）的定义域为M，集合N＝{x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的
是（
）
A．M∩N＝N
B．M∩（∁UN）＝∅
C．M∪N＝U
D．M⊆（∁UN）
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5J：集合．
【分析】分别解出关于M，N 的范围，然后判断即可．
【解答】解：由1﹣x＞0，解得：x＜1，
故函数y＝ln（1﹣x）的定义域为M＝（﹣∞，1），
由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，
故集合N＝{x|x2﹣x＜0}＝（0，1），
∴M∩N＝N，
故选：A．
【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．
3．（5 分）（2014•秦州区校级一模）已知命题p：∀a∈R，且a＞0，a+ 1
a ≥2，命题q：∃x0∈R，sin x0+cos x0=
3，
则下列判断正确的是（
）
A．p 是假命题
B．q 是真命题
C．p∧（￢q）是真命题
D．（￢p）∧q 是真命题
【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】本题的关键是对命题p：∀a∈R，且a＞0，有a + 1
a ≥2，命题q：∃x∈R，sinx + cosx =
3的真假进行
判定，在利用复合命题的真假判定
【解答】解：对于命题p：∀a∈R，且a＞0，有a + 1
a ≥2，
利用均值不等式，显然p 为真，故A 错
命题q：∃x∈R，sinx + cosx =
3，
sinx + cosx =
2sin(x + π
4 ) ∈[ −
2，2]
而3∉[ −
2，2]
所以q 是假命题，故B 错
∴利用复合命题的真假判定，
p∧（￢q）是真命题，故C 正确
（￢p）∧q 是假命题，故D 错误
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根
据真值表进行判断
4．（5 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4 成等比数列，则{an}前10 项的
和为（
）
A．10
B．8
C．6
D．﹣8
【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．
【分析】设公差d＝2，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．
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第221页（共926页）
【解答】解：等差数列{an}的公差d 为2，若a1，a3，a4 成等比数列，
可得a32＝a1a4，
即有（a1+4）2＝a1（a1+6），
解得a1＝﹣8，
则{an}前10 项的和为﹣8×10+ 1
2 ×10×9×2＝10．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比中项的定义，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
5．（5 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）已知函数f（x）＝ex+ a
ex（a∈R），若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在
x＝0 处的切线方程为（
）
A．y＝﹣2x
B．y＝﹣x
C．y＝2x
D．y＝x
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】利用函数是奇函数，求出a，求出函数的导数，得到切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
【解答】解：由题意，因为函数f（x）＝ex+ a
ex（a∈R）为奇函数，则f（0）＝e0+ a
e0 =0，解得a＝﹣1，
即f（x）＝ex−1
ex，则f′（x）＝ex+ 1
ex，所以f′（0）＝e0+ 1
e0 =2，即k＝2，
且当x＝0 时，f（0）＝e0−1
e0 =0，即切点的坐标为（0，0），
所以切线的方程为y＝2x，
故选：C．
【点评】本题考查函数的极限以及函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．
6．（5 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE
→
=（
）
A．−1
2 AB
→
+ AD
→
B．
1
2 AB
→
−AD
→
C．AB
→
+ 1
2 AD
→
D．AB
→
−1
2 AD
→
【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．
【分析】作出图形，利用向量加法的平行四边形法则，容易得解．
【解答】解：如图，∵BD
→
= BA
→
+ BC
→
，
BE
→
= 1
2 (BD
→
+ BC
→
)，
∴BE
→
= 1
2 (BA
→
+ BC
→
+ BC
→
)
= 1
2 ( −AB
→
+ 2AD
→
)
=−1
2 AB
→
+ AD
→
，
故选：A．
【点评】此题考查了向量的加法法则，属容易题．
7．（5 分）（2010•吴川市模拟）某工厂生产的机器销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：y1＝17x2，生产总
成本y2（万元）也是产量x（千台）的函数；y2＝2x3﹣x2（x＞0），为使利润最大，应生产（
）
A．6 千台
B．7 千台
C．8 千台
D．9 千台
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论．
【分析】根据利润＝收入﹣成本可得y＝y1﹣y2，求出y′讨论其大于小于0 得到函数的最大值．
【解答】解：利润y＝y1﹣y2＝18x2﹣2x3，y′＝﹣6x2+36x，
解y′＞0 得0＜x＜6；解y′＜0 得x＞6；
当x＝6 时，y 取得最大值．
故选：A．
【点评】考查学生会利用导数求闭区间上函数最值的能力．
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第222页（共926页）
8．（5 分）（2014•成都模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为a，AM
→
= 1
2 MC1
→
，点N 为B1B 的中点，则|MN|
＝（
）
A．
21
6 a
B．
6
6 a
C．
15
6 a
D．
15
3 a
【考点】96：平行向量（共线）；L2：棱柱的结构特征．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】以AB，AD，AA1，分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，确定向量AM
→
、AN
→
的坐标，可得MN
→
的坐
标，从而可得|MN|．
【解答】解：以AB，AD，AA1，分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），
B1（a，0，a），C1（a，a，a）
∴AC1
→
=（a，a，a）
∵AM
→
= 1
2 MC1
→
，∴AM
→
= ( 1
3 a，1
3 a，1
3 a)，
∵点N 为B1B 的中点，
∴AN
→
=（a，0，
a
2）
∴MN
→
= ( 2a
3 ，−a
3 ，a
6 )
∴|MN|=
21
6 a
故选：A．
【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定向量的坐标是关键．
9．（5 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）已知直线l1：x＝﹣1，l2：x﹣y+1＝0，点P 为抛物线y2＝4x 上的任一点，则
P 到直线l1，l2 的距离之和的最小值为（
）
A．2
B．2
C．1
D．
2
2
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】过点P 分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M，N．设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可得|PM|
＝|PF|，求|PM|+|PN|转化为求|PN|+|PF|，当三点N，P，F 共线时，|PN|+|PF|取得最小值．利用点到直线的距离公
式求解即可．
【解答】解：过点P 分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M，N．
抛物线y2＝4x 的焦点为F（1，0），l2：x+1＝0 是抛物线y2＝4x 的准线方程．
由抛物线的定义可得|PM|＝|PF|，
∴|PM|+|PN|＝|PN|+|PF|，当三点N，P，F 共线时，|PN|+|PF|取得最小值．
故小值为点F 到其最到直线l2 的距离，∴|FN|= |1−0+1|
1+1
=
2，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的距离公式，考查转化思想的应用，属于中档
题．
10．（5 分）（2018 春•泰安期末）已知f（x）= 2x，x ≤0
log2x，x＞0
，g（x）＝f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，则
m 的取值范围是（
）
A．[﹣1，+∞）
B．[﹣1，0）
C．[0，+∞）
D．[1，+∞）
【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．
【分析】由题意可得g（x）＝0，即f（x）＝﹣x﹣m 有两个不等实根，即有函数y＝f（x）和直线y＝﹣x﹣m
有两个交点，作出y＝f（x）的图象和直线y＝﹣x﹣m，平移直线即可得到所求范围．
【解答】解：g（x）＝f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，
可得g（x）＝0，即f（x）＝﹣x﹣m 有两个不等实根，
即有函数y＝f（x）和直线y＝﹣x﹣m 有两个交点，
作出y＝f（x）的图象和直线y＝﹣x﹣m，
当﹣m≤1，即m≥﹣1 时，y＝f（x）和y＝﹣x﹣m 有两个交点，
故选：A．
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第223页（共926页）
【点评】本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和数形结合思想，考查指数函数、对数函数的图
象和运用，属于中档题．
11．（5 分）（2018•宿州一模）在平面直角坐标系xOy 中，设F1，F2 分别为双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的左、
右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是PF1 的中点，且OM⊥PF1，2|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为（
）
A．6
B．5
C．2
D．3
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】运用双曲线的定义和△PF1F2 为直角三角形，则|PF2|2+|＝|PF2|2，＝|F1F2|2．，由离心率公式，计算即可得
到离心率的范围．
【解答】解：P 为双曲线左支上的一点，
则由双曲线的定义可得，|PF2|﹣|PF1|＝2a，
由|PF2|＝2|PF1|，则|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，
∵M 是PF1 的中点，且OM⊥PF1
∴由△PF1F2 为直角三角形，则|PF2|2+|＝|PF2|2，＝|F1F2|2．
∴5a2＝c2
即有e=
5．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．
12．（5 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）已知函数f(x) = a
x + xlnx，g（x）＝﹣x3+x2+5，若对任意的x1，x2 ∈[ 1
2 ，2]，
都有f（x1）﹣g（x2）≤0 成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，2﹣4ln2]
B．（﹣∞，1]
C．[2 −4ln2，1
2 + 1
4 ln2]
D．( −∞，1
2 + 1
4 ln2]
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx 在
1
2 ≤x≤2 上恒成立，构造函数h（x）＝x
﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．
【解答】解：函数g（x）的导数g′（x）＝﹣3x2+2x＝﹣x（3x﹣2），
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第224页（共926页）
∴函数g（x）在[
1
2，
2
3]上递增，则[
2
3，2]上递减，
g（
1
2）= 41
8 ，g（2）＝1，
若对任意的x1，x2∈[
1
2，2]，都有f（x1）﹣g（x2）≤0 成立，
即当
1
2 ≤x≤2 时，f（x）≤1 恒成立，
即
a
x +xlnx≤1 恒成立，
即a≤x﹣x2lnx 在
1
2 ≤x≤2 上恒成立，
令h（x）＝x﹣x2lnx，则h′（x）＝1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）＝﹣3﹣2lnx，
当在
1
2 ≤x≤2 时，h′′（x）＝﹣3﹣2lnx＜0，
即h′（x）＝1﹣2xlnx﹣x 在
1
2 ≤x≤2 上单调递减，
由于h′（1）＝0，
∴当
1
2 ≤x≤1 时，h′（x）＞0，
当1≤x≤2 时，h′（x）＜0，
∴h（x）在[
1
2，1）递增，在（1，2]递减，
由h（
1
2）= 1
2 + 1
4ln2＞h（2）＝2﹣4ln2，
故h（x）min＝h（2）＝2﹣4ln2，
∴a≤2﹣4ln2．
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数利用参数分离法结合函数单调性和导数之间的关系转化为求
函数的最值是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分．
13．（5 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）已知x＞1，观察下列不等式：
x+ 1
x ＞2；
x2+ 2
x ＞3；
x3+ 3
x ＞4；
…
按此规律，第n 个不等式为
xn+ n
x ＞n+1
．
【考点】F1：归纳推理．菁优网版权所有
【专题】12：应用题；5M：推理和证明．
【分析】由归纳推理易得：xn+ n
x ＞n+1．
【解答】解：由x+ 1
x ＞2；
x2+ 2
x ＞3；
x3+ 3
x ＞4；
…
按此规律，第n 个不等式为：xn+ n
x ＞n+1，
故答案为：xn+ n
x ＞n+1
【点评】本题考查了归纳推理，属简单题．
14．（5 分）（2018•广州一模）若x，y 满足约束条件
2x −y + 3 ≤0
x −1 ≤0
y −1 ≥0
，则z＝﹣x+y 的最小值为
2
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z＝﹣x+y 对应的直线进行平移，可得当x＝﹣1，y
＝1 时，目标函数z 取得最小值，从而得到本题答案．
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【解答】解：作出x，y 满足约束条件
2x −y + 3 ≤0
x −1 ≤0
y −1 ≥0
表示的平面区域，
得到如图的区域，其中A（﹣1，1），
设z＝F（x，y）═﹣x+y，将直线l：z＝﹣x+y 进行平移，
当l 经过点A 时，目标函数z 达到最小值
∴z 最小值＝F（﹣1，1）＝1+1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝﹣x+y 的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平
面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
15．（5 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）0
1
׬
1 −x2dx−
0
π
׬
sinxdx＝
π
4 −2
．
【考点】67：定积分、微积分基本定理．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】由定积分的几何意义求得0
1
׬
1 −x2dx，直接求定积分得到0
π
׬
sinxdx，则答案可求．
【解答】解：求0
1
׬
1 −x2dx−
0
π
׬
sinxdx．
由定积分的几何意义可知，0
1
׬
1 −x2dx 是以原点为圆心，以1 为半径的四分之一圆的面积，等于
π
4．
0
π
׬
sinxdx= ( −cosx)|0
π =−cosπ + cos0 = 2．
∴0
1
׬
1 −x2dx−
0
π
׬
sinxdx= π
4 −2．
故答案为：
π
4 −2．
【点评】本题考查了定积分，考查了定积分的几何意义，是基础的计算题．
16．（5 分）（2018 春•大连期末）若函数f（x）＝ax2+xlnx 有两个极值点，则实数a 的取值范围是
( −1
2 ，0)
．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】将题目等价转化为导函数方程有两个不同的正实根后，既可以采用不完全分离参数法数形结合求解（如
法1），
也可以采用常规的完全分离参数法，数形结合求解（如法2），相比较而言，法2 更容易理解．
【解答】解：法1：函数f（x）＝ax2+xlnx 有两个极值点，即导函数f'（x）＝2ax+lnx+1 在（0，+∞）上有两个
变号零点，
即方程lnx＝﹣2ax﹣1 有两个不同正实数根，即函数y＝lnx 与函数y＝﹣2ax﹣1 有两个不同的交点，作出图象如
右图；
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设恒过定点的函数y＝﹣2ax﹣1 与函数y＝lnx 相切于点（x0，y0），
则有
−2a = 1
x0
y0 =−2ax0 −1
y0 = lnx0
，
解得x0＝1，y0＝0，即切点为（1，0），此时直线的斜率为k＝1，
由图象可知，要使函数y＝lnx 与函数y＝﹣2ax﹣1 有两个不同的交点，
则0＜﹣2a＜1，即a∈（−1
2，0），
法2：转化为导函数f'（x）＝2ax+lnx+1 在（0，+∞）上有两个变号零点，
分离参数得到，方程﹣2a= lnx+1
x
在（0，+∞）上有两个不同的实根，
令g（x）= lnx+1
x
，定义域为x＞0，g′（x）= −lnx
x2 ，
则x∈（0，1）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，
x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减，
故g（x）max＝g（1）＝1，＜/br＞
作出函数y＝g（x）和y＝﹣2a 的图象于同一个坐标系中，
则得到0＜﹣2a＜1，即a∈（−1
2，0），
故答案为：（−1
2，0）．
【点评】这类题目往往需要在函数和方程之间多次转化，需要我们对相关的知识要很清楚，另外需要了解常见的
分离参数法的不同类型．
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60 分．
17．（12 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，其面积为S，且b2+c2
﹣a2= 4 3
3 S．
（1）求A；
（2）若a＝5 3，cosB= 4
5，求c．
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】（1）已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出tanA 的值，即可确定出A 的度数；
（2）由cosB 的值求出sinB 的值，进而求出sinC 的值，由a，sinA，sinC 的值，利用正弦定理即可求出c 的值．
【解答】解：（1）∵b2+c2﹣a2＝2bccosA，S= 1
2bcsinA，
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∴代入已知等式得：2bcosA= 4 3
3 •
1
2bcsinA，
整理得：tanA=
3，
∵A 是三角形内角，
∴A＝60°；
（2）∵B 为三角形内角，cosB= 4
5，
∴sinB=
1 −cos2B = 3
5，
∴sinC＝sin（B+A）＝sin（B+60°）= 1
2sinB+ 3
2 cosB= 3+4 3
10
，
∵a＝5 3，sinA=
3
2 ，sinC= 3+4 3
10
，
∴由正弦定理得：c= asinC
sinA =3+4 3．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18．（12 分）（2014•余杭区校级模拟）已知数列{an}，Sn 是其前n 项的和，且满足3an＝2Sn+n（n∈N*）
（Ⅰ）求证：数列{an+ 1
2}为等比数列；
（Ⅱ）记Tn＝S1+S2+…+Sn，求Tn 的表达式．
【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）由3an＝2Sn+n，类比可得3an﹣1＝2Sn﹣1+n﹣1（n≥2），两式相减，整理即证得数列{an+ 1
2}是以
3
2
为首项，3 为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an+ 1
2 = 1
2•3n⇒an= 1
2（3n﹣1），Sn= 3n+1−3
4
−n
2，分组求和，利用等比数列与等差数列的求和
公式，即可求得Tn 的表达式．
【解答】（Ⅰ）证明：∵3an＝2Sn+n，
∴3an﹣1＝2Sn﹣1+n﹣1（n≥2），
两式相减得：3（an﹣an﹣1）＝2an+1（n≥2），
∴an＝3an﹣1+1（n≥2），
∴an+ 1
2 =3（an﹣1+ 1
2），又a1+ 1
2 = 3
2，
∴数列{an+ 1
2}是以
3
2为首项，3 为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得an+ 1
2 = 3
2•3n﹣1= 1
2•3n，
∴an= 1
2•3n−1
2 = 1
2（3n﹣1），
∴Sn= 1
2[（3+32+…+3n）﹣n]= 1
2（
3(1−3n)
1−3
−n）= 3n+1−3
4
−n
2，
∴Tn＝S1+S2+…+Sn= 1
4（32+33+…+3n+3n+1）−3n
4 −1
2（1+2+…+n）
= 1
4•
32(1−3n)
1−3
−
3n
4 −
(1+n)n
4
= 3n+2−9
8
−n2+4n
4
．
【点评】本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，突出考查分组求和，熟练应用等比数列与等差数列的
求和公式是关键，属于难题．
19．（12 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）如图，五边形ABSCD 中，四边形ABCD 为长方形，三角形SBC 是边长为
2 的正三角形，将三角形SBC 沿BC 折起，使得点S 在ABCD 上的射影恰好在AD 上．
（Ⅰ）证明：平面SAB⊥平面SAD；
（Ⅱ）若AB＝1，求平面SCD 与平面SBC 所成锐二面角的余弦值．
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第228页（共926页）
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（Ⅰ）作SO⊥AD，则SO⊥平面ABCD，SO⊥AB，再由AB⊥AD，得AB⊥平面SAD．由此能证明平
面SAB⊥平面SAD．
（Ⅱ）连结BO，CO，以OA，OE，OS 为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面SCD 与平面
SBC 所成锐二面角的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）如图，作SO⊥AD，垂足为O，依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB．
又AB⊥AD，SO∩AD＝O，∴AB⊥平面SAD．
又∵AB⊂平面SAB，∴平面SAB⊥平面SAD．（5 分）
解：（Ⅱ）连结BO，CO，∵SB＝SC，∴Rt△SOB≌Rt△SOC，
BO＝CO，又四边形ABCD 为长方形，∴Rt△AOB≌Rt△DOC，∴OA＝OD．
取BC 中点E，得OE∥AB，连结SE，∴SE=
3，
其中OE＝1，OA＝OD＝1，OS=
3 −1 =
2．
由以上证明可知OS，OE，AD 互相垂直，
以OA，OE，OS 为x，y，z 轴建立空间直角坐标系．
∴DC
→
=（0，1，0），SC
→
=（﹣1，1，−
2），BC
→
=（﹣2，0，0），
设m
→=（x，y，z）是平面SCD 的法向量，
则m
→⋅DC
→
= y = 0
m
→⋅SC
→
=−x + y −
2z = 0
，令z＝1，得m
→=（−
2，0，1）．
设n
→=（x，y，z）是平面SBC 的法向量，
则有n
→⋅BC
→
=−2x = 0
n
→⋅SC
→
=−x + y −
2z = 0
，令z＝1 得n
→=（0，2，1）．
则平面SCD 与平面SBC 所成锐二面角的余弦值为：
|cos＜m
→，n
→＞|= |m
→⋅n
→|
|m
→|⋅|n
→|
=
1
3× 3 = 1
3．（12 分）
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（12 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）已知圆M：x2 + y2 + 2 2y −10 = 0 和点N(0，2)，Q 是圆M 上任意一
点，线段NQ 的垂直平分线和QM 相交于点P，P 的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E 的方程；
（2）点A 是曲线E 与x 轴正半轴的交点，直线x＝ty+m 交E 于B、C 两点，直线AB，AC 的斜率分别是k1，
k2，若k1•k2＝9，求：①m 的值；②△ABC 面积的最大值．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）利用定义求出椭圆的方程．
（2）利用圆柱曲线和直线的位置关系，建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系求出m 的值．最
后求出三角形面积的最大值．
【解答】解：（1）圆M：x2 + y2 + 2 2y −10 = 0 的圆心为M(0，−
2)，半径为2 3，
点N(0，2)在圆M 内，|PM| + |PN| = 2 3＞|MN|，
所以曲线E 是M，N 为焦点，长轴长为2 3的椭圆，
由a =
3，c =
2，
得b2＝3﹣2＝1，
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所以曲线E 的方程为x2 + y2
3 = 1．
（2）①设B（x1，y1），C（x2，y2），
则：C：x＝ty+m，
联立方程组
x = ty + m
x2 + y2
3 = 1，
得（1+3t2）y2+6mty+3m2﹣3＝0，
由△＞0，解得t2＞1，
y1 + y2 =−6mt
1+3t2，y1y2 = 3m2−3
1+3t2 ，
由k1k2＝9 知y1y2＝9（x1﹣1）（x2﹣1），
＝9（ty1+m﹣1）（ty2+m﹣1），
= 9t2y1y2 + 9(m −1)t(y1 + y2) + 9(m −1)2，
且m≠1，代入化简得（9t2﹣1）（m+1）﹣18mt2+3（m﹣1）（1+3t2）＝0，
解得m＝2，
②S△ABC = 1
2 |y2 −y1| = 3 t2−1
1+3t2 =
3 t2−1
4+3( t2−1)2，
=
3
4
t2−1
+3 t2−1 ≤
3
4 （当且仅当t2 = 7
3时取等号）．
综上，△ABC 面积的最大值为
3
4 ．
【点评】本题考查的知识要点：椭圆的方程的求法及应用，直线和圆锥曲线的位置关系的应用．一元二次方程根
和系数的关系的应用．
21．（12 分）（2018•潮南区模拟）已知函数f（x）＝x2+ax+lnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）在[1，2]上的单调性；
（2）令函数g（x）＝ex﹣1+x2+a﹣f（x），e＝2.71828…是自然对数的底数，若函数g（x）有且只有一个零点m，
判断m 与e 的大小，并说明理由．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出g′（x）在（0，+∞）上有唯一零点x1，由已知函数g（x）有且只有1 个零点m，则
m＝x1，得（2﹣m）em﹣1﹣lnm+ m−1
m
=0，令p（x）＝（2﹣x）ex﹣1﹣lnx+ x−1
x （x＞0），故p（m）＝0，求出
m 的范围即可．
【解答】解：（1）由已知x＞0，且f′（x）= 2x2+ax+1
x
，
①当△＝a2﹣8≤0 时，即当﹣2 2 ≤a≤2 2时，f′（x）≥0，
则函数f（x）在[1，2]递增，
②当△＝a2﹣8＞0 即a＜﹣2 2或a＞2 2时，2x2+ax+1＝0 有2 个根，
x= −a± a2−8
4
，∵x＞0，∴x= −a+ a2−8
4
，
1°，当
−a+ a2−8
4
≤1 时，令f′（1）＝3+a≥0，解得：a≥﹣3，
故﹣3≤a＜﹣2 2或a＞2 2时，函数f（x）在[1，2]递增，
2°当1＜−a+ a2−8
4
＜2 时，令f′（1）＝3+a＜0，f′（2）= 9
2 +a＞0，
解得：−9
2 ＜a＜﹣3，
故当−9
2 ＜a＜﹣3 时，函数f（x）在[1，
−a+ a2−8
4
）递减，在[
−a+ a2−8
4
，2]递增，
3°当
−a+ a2−8
4
≥2 时，令f′（2）= 9
2 +a≤0，解得：a≤−9
2，
故a≤−9
2时，函数f（x）在[1，2]递减；
（2）函数g（x）＝ex﹣1+x2+a﹣f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣ax+a，
则g′（x）＝ex﹣1−1
x −a＝h（x），
则h′（x）＝ex﹣1+ 1
x2 ＞0，g′（x）在（0，+∞）递增，
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当x→0，g（x）→+∞，x→+∞，g（x）→+∞，故g′（x）∈R，
故g′（x）在（0，+∞）上有唯一零点x1，
当x∈（0，x1），g′（x）＜0，x∈（x1，+∞），g′（x）＞0，
故g（x1）为g（x）的最小值，
由已知函数g（x）有且只有1 个零点m，则m＝x1，
故g′（m）＝0，g（m）＝0，则em−1 −1
m −a = 0
em−1 −lnm −am + a = 0
，
则em﹣1﹣lnm﹣（em﹣1−1
m）m+（em﹣1−1
m）＝0，
得（2﹣m）em﹣1﹣lnm+ m−1
m
=0，
令p（x）＝（2﹣x）ex﹣1﹣lnx+ x−1
x （x＞0），故p（m）＝0，
则p′（x）＝（1﹣x）（ex﹣1+ 1
x2），
故x∈（0，1），p′（x）＞0，x∈（1，+∞），p′（x）＜0，
故p（x）在（1，+∞）递减，
∵p（1）＝1＞0，p（e）＝（2﹣e）ee﹣1﹣1+ e−1
e
=（2﹣e）ee﹣1−1
e ＜0，
故p（x）在（1，e）上有1 个零点，在（e，+∞）无零点，
故m＜e．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：
坐标系与参数方程]
22．（10 分）（2018 秋•岳麓区校级期末）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为x = cosα
y = 1 + sinα（α为参
数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C 的普通方程及其极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为ρsin（θ + π
3）＝2，射线OM：θ= π
6与圆C 的交点为P，与直线l 的交点为Q，求
线段PQ 的长．
【分析】（Ⅰ）先将圆的参数方程消去参数得到普通方程，再由普通方程根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ变换即可得出
圆的极坐标方程；
（Ⅱ）由题意线段PQ 的长|PQ|＝|ρP﹣ρQ|，故联立对应方程求出极径，直接代入公式即可求出线段的长度．
【解答】（Ⅰ）∵圆C 的参数方程为x = cosα
y = 1 + sinα（α为参数），
∴消去参数α得普通方程为：x2+（y﹣1）2＝1．
又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
∴（ρcos θ）2+（ρsin θ﹣1）2＝1，化简得圆C 的极坐标方程为：ρ＝2sin θ．
（Ⅱ）∵射线OM：θ= π
6与圆C 的交点为P．
∴把θ= π
6代入圆的极坐标方程可得：ρP＝2sin
π
6 =1．
又射线OM：θ= π
6与直线l 的交点为Q，
∴把θ= π
6代入直线l 的极坐标方程可得：ρsinθ＝2．
ρQ＝2．
∴线段PQ 的长|PQ|＝|ρP﹣ρQ|＝1．
【点评】本题考查参数方程、极坐标方程普通方程的互化，以及利用极坐标方程求线段的长度，属于参数方程与
极坐标方程的综合题，熟练掌握三种方程及它们间转化的规律是解答的关键．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2018 秋•岳麓区校级期末）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤2；
（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，若a，b 均为正数，且
1
a +
4
b =m，求a+b 的最小值．
【分析】（Ⅰ）通过讨论x 的范围，求出各个区间上的x 的范围，取并集即可；
（Ⅱ）求出m 的值，根据基本不等式的性质求出a+b 的最小值即可．
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【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=
−2x，x ≤−1
2，−1＜x＜1
2x，x＞1
，
∴x ≤−1
−2x ≤2 或
−1＜x ≤1
2 ≤2
或x＞1
2x ≤2
，
∴﹣1≤x≤1，
∴不等式解集为[﹣1，1]………………………（5 分）
（Ⅱ）∵|x﹣1|+|x+1|≥|（x﹣1）﹣（x+1）|＝2，
∴m＝2，
又
1
a +
4
b =2，a＞0，b＞0，
∴
1
2a +
2
b =1，
∴a+b＝（a+b）（
1
2a +
2
b）= 5
2 + 2a
b + b
2a ≥5
2 +2= 9
2，
当且仅当
1
a + 4
b = 2
b = 2a
即a = 3
2
b = 3
时取等号，
∴（a+b）min= 9
2，………………………（10 分）
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题．
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2019-2020 学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽
样两种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别p1，p2，则（
）
A．p1＞p2
B．p1＜p2
C．p1＝p2
D．p1≠p2
2．（5 分）（2018 秋•宣城期末）把红、黄、蓝、白4 张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4 个人，每人分得一张，事件
“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（
）
A．对立事件
B．互斥但不对立事件
C．不可能事件
D．以上都不对
3．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）设随机变量X～N（2，9），P（X＞m）＝P（X＜m﹣4），则m 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）总体由编号为01，02，03，…，19，20 的20 个个体组成，利用下面的随机
数表选取5 个个体，选取方法是从随机数表第1 行的第3 列开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5 个
个体的编号为（
）
78 16 65 72 08
02 63 14 07 02
43 69 97 28 01
98
32 04 92 34 49
35 82 00 36 23
48 69 69 38 74
81
A．08
B．07
C．02
D．01
5．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）从装有3 个红球、2 个白球的袋中任取3 个球，则所取的3 个球中恰有1 个
白球的概率是（
）
A．
1
10
B．
3
10
C．
3
5
D．
9
10
6．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）总体的样本数据的频率分布直方图如图所示总体中50%的数据不超过a，总
体中80%的数据不超过b，则a，b 的估计值为（
）
A．
100
9 ，
70
3
B．
172
9 ，
67
3
C．22，
67
3
D．
172
9 ，
70
3
7．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）（x + 1
2 x）8 的展开式中常数项的二项式系数为（
）
A．70
B．
35
8
C．
35
4
D．105
8．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得的
新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（
）
A．40.6，1.1
B．48.8，4.2
C．81.2，44.4
D．78.8，75.6
9．（5 分）（2006•全国卷Ⅱ）5 名志愿者分到3 所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
（
）
A．150 种
B．180 种
C．200 种
D．280 种
10．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）若（1+2x）2（1﹣x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a2+a4+a6＝（
）
A．32
B．16
C．15
D．0
11．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）某随机模拟的步骤为：①利用计算器或计算机产生两组0～1 区间的均匀随
机数，a1＝RAND，b1＝RAND；②进行平移和伸缩变换，a＝4a1，b＝4b1﹣2；③共做了N 次试验，数出满足条
件（x﹣2）2+y2＜2 的点（a，b）的个数N1，则
N1
N ≈（
）
A．
1
2
B．
π
8
C．
3
5
D．
π
4
12．（2017•大理州一模）已知双曲线y2−x2
2 =1 与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于M，N 两点，线段
MN 的中点为P，设直线l 的斜率为k1，直线OP 的斜率为k2，则k1k2＝（
）
A．
1
2
B．−1
2
C．2
D．﹣2
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二、填空题（共4 小题，每小题5 分，共20 分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
13．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）若随机变量X～B（3，
3
4），则方差D（x）＝
．
14．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）某同学4 次三级跳远成绩（单位：米）分别为x，y，11，9，已知这四次成
绩的平均数为10，标准差为2，则xy 的值为
．
15．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）有3 名男演员和2 名女演员，演出的出场顺序要求2 名女演员之间恰有1
名男演员，则不同的出场顺序共
种．
16．（5 分）（2018•雁峰区校级一模）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1 且与x 轴
垂直的直线交椭圆于A、B 两点，直线AF2 与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC= 3S△BCF2，则椭圆的离心率
为
．
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（2018 秋•道里区校级期末）操场上有5 名同学正在打篮球，每位同学投中篮筐的概率都是
2
3，且各次投篮是否
投中相互独立．
（1）求其中恰好有4 名同学投中的概率（用最简分数作答）；
（2）求其中至少有4 名同学投中的概率（用最简分数作答）．
18．（2018 秋•道里区校级期末）哈三中群力校区高二、六班同学用随机抽样的办法对所在校区老师的饮食习惯进行
了一次调查，饮食指数结果用茎叶图表示如图，图中饮食指数低于70 的人是饮食以蔬菜为主：饮食指数高于70
的人是饮食以肉类为主．
（1）完成下列2×2 列联表：
主食蔬菜
主食肉类
总计
不超过45 岁
45 岁以上
总计
能否有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关？
（2）从群力校区任一名老师设“选到45 岁以上老师为事件A，“饮食指数高于70 的老师”为事件B，用调查的
结果估计P（B|A）及P（B|A）（用最简分数作答）；
（3）为了给食堂提供老师的饮食信息，根据（1）（2）的结论，能否有更好的抽样方法来估计老师的饮食习惯，
并说明理由．
附：
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
k2=
n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
19．（2018 秋•道里区校级期末）如图，抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点，点P（1，4），A（x1，y1），B（x2，
y2）均在抛物线上．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）当直线PA 与PB 的斜率存在且互为相反数时，求y1+y2 的值及直线AB 的斜率．
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20．（2018 秋•道里区校级期末）设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如表：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
时间代号x
1
2
3
4
5
6
储蓄存款y
（千亿元）
3.5
5
6
7
8
9.5
（1）求y 关于x 的回归方程y
Ƹ = b
Ƹ
x+ a
Ƹ ，并预测该地区2019 年的人民币储蓄存款（用最简分数作答）；
（2）在含有一个解释变量的线性模型中，R2 恰好等于相关系数r 的平方，当R2＞0.8 时，认为线性回归模型是
很有效的，请计算R2 并且评价模型的拟合效果（计算结果精确到0.001）．
附：b
Ƹ
=
i=1
n
σ
xiyi−nxy
i=1
n
σ
xi2−nx2 ，a
Ƹ = y −b
Ƹ
x，r=
i=1
n
σ
xiyi−nxy
i=1
n
σ
(xi−x)2
i=1
n
σ
(yi−y)2．
21．（2018 秋•道里区校级期末）小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方
案．甲方案：底薪100 元，每派送一单奖励1 元；乙方案：底薪140 元，每日前54 单没有奖励，超过54 单的部
分每单奖励20 元．
（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n 的函数关系式；
（2）根据该公司所有派送员100 天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100 天中的
派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在（
n−1
5 ，
n
5]（n＝1，2，3，4，5）时，日平均派
送量为50+2n 单，若将频率视为概率，
回答下列问题：
①估计这100 天中的派送量指标的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：
②根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X 的分布列及数学
期望．请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由．
22．（2018 秋•道里区校级期末）已知椭C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）经过点（6，2），离心率为
3
3 ．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过坐标原点O 作直线PQ 交椭圆C 于P、Q 两点，过点F2 作PQ 的平行线交椭圆C 于A、B 两点．
①是否存在常数λ，满足|AB|＝λ|OP|2？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由．
②若△AF2P 的面积为S1，△OF2B 的面积为S2，且S＝S1+S2，求S 的最大值．
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2019-2020 学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽
样两种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别p1，p2，则（
）
A．p1＞p2
B．p1＜p2
C．p1＝p2
D．p1≠p2
【考点】B2：简单随机抽样；B4：系统抽样方法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．
【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，
即p1＝p2．
故选：C．
【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础．
2．（5 分）（2018 秋•宣城期末）把红、黄、蓝、白4 张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4 个人，每人分得一张，事件
“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（
）
A．对立事件
B．互斥但不对立事件
C．不可能事件
D．以上都不对
【考点】C4：互斥事件与对立事件．菁优网版权所有
【专题】2A：探究型．
【分析】由题意可知事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红
牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件．
【解答】解：根据题意，把红、蓝、黑、白四张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人，
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，
但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件．
∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
故选：B．
【点评】本题考查了互斥事件与对立事件，考查了互斥事件与对立事件的概念，是基础的概念题．
3．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）设随机变量X～N（2，9），P（X＞m）＝P（X＜m﹣4），则m 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5I：概率与统计．
【分析】随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x＝2 对称，根据曲线的对称性得到结果．
【解答】解：随机变量X 服从正态分布N（2，9），
∴曲线关于x＝2 对称，
∵P（X＞m）＝P（X＜m﹣4），∴m﹣4+m＝4，即m＝4．
故选：D．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，
4．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）总体由编号为01，02，03，…，19，20 的20 个个体组成，利用下面的随机
数表选取5 个个体，选取方法是从随机数表第1 行的第3 列开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5 个
个体的编号为（
）
78 16 65 72 08
02 63 14 07 02
43 69 97 28 01
98
32 04 92 34 49
35 82 00 36 23
48 69 69 38 74
81
A．08
B．07
C．02
D．01
【考点】B2：简单随机抽样．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
【解答】解：从随机数表第1 行的第3 列开始由左到右依次选取两个数字中小于20 的编号
依次为16，08，02，14，07，01，
则第5 个个体的编号为07．
故选：B．
【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．
5．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）从装有3 个红球、2 个白球的袋中任取3 个球，则所取的3 个球中恰有1 个
白球的概率是（
）
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第236页（共926页）
A．
1
10
B．
3
10
C．
3
5
D．
9
10
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】先求出基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．
【解答】解：从装有3 个红球和2 个白球的袋中任取3 个球，
基本事件总数n＝C53＝10，
所取的3 个球中恰有1 个白球包含的基本事件个数：m＝C32C21＝6，
∴所取的3 个球中恰有1 个白球的概率是P= 6
10 = 3
5
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
6．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）总体的样本数据的频率分布直方图如图所示总体中50%的数据不超过a，总
体中80%的数据不超过b，则a，b 的估计值为（
）
A．
100
9 ，
70
3
B．
172
9 ，
67
3
C．22，
67
3
D．
172
9 ，
70
3
【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；5I：概率与统计．
【分析】先求出每一小组的频率，结合体50%的数据不超过a，总体中80%的数据不超过b，即可求出a，b 的值．
【解答】解：由于第一组频率为0.02×4＝0.08，第二组频率为0.08×4＝0.32，第三组频率为0.09×4＝0.36，第
四，组组频率为0.03×4＝0.12，
则a＝18+4× 0.5−0.08−0.32
0.36
= 172
9 ，
由于0.08+0.32+0.36＝0.76，
则b＝22+4× 0.8−0.76
0.12
= 70
3 ，
故选：D．
【点评】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．
7．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）（x + 1
2 x）8 的展开式中常数项的二项式系数为（
）
A．70
B．
35
8
C．
35
4
D．105
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项的二项式系数．
【解答】解：（x + 1
2 x）8 的展开式的通项公式为Tr+1= C8
r•( 1
2 )r•x4﹣r，
令4﹣r＝0，求得r＝4，可得展开式中常数项的二项式系数为C8
4 =70，
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
8．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数据，若求得的
新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（
）
A．40.6，1.1
B．48.8，4.2
C．81.2，44.4
D．78.8，75.6
【考点】BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】设出原来的一组数据，使数据中的每一个数据都都乘以2，再都减去80，得到一组新数据求得新数据的
平均数是1.2，方差是4.4，根据这些条件列出算式，合并同类项，做出原来数据的平均数，再利用方差的关系式
求出方差结果．
【解答】解：设原来的一组数据是x1，x2…xn，
∵每一个数据乘以2，再都减去80 得到新数据且求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第237页（共926页）
2x1−80+2x2−80+⋯2xn−80
n
= 1.2
∴
2x1+2x2+⋯2xn
n
= 1.2 + 80 = 81.2
x1+x2+⋯xn
n
= 40.6
又∵数据都减去同一个数，没有改变数据的离散程度，
∴2x1，2x2…2xn 的方差为：4.4，
从而原来数据x1，x2…xn 的方差为：
1
2
2 ×4.4＝1.1．
故选：A．
【点评】本题考查了平均数和方差的计算公式即运用：一般地设有n 个数据，x1，x2，…xn，若每个数据都放大
或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍．
9．（5 分）（2006•全国卷Ⅱ）5 名志愿者分到3 所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
（
）
A．150 种
B．180 种
C．200 种
D．280 种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2 与1，1，3；分别计算两种情况下的情况数目，
相加可得答案．
【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2 与1，1，3
若是1，1，3，则有
C5
3C2
1C1
1
A2
2
× A3
3 =60 种，
若是1，2，2，则有
C5
1C4
2C2
2
A2
2
× A3
3 =90 种
所以共有150 种，
故选：A．
【点评】本题考查组合的运用，难点在于分组的情况的确定．
10．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）若（1+2x）2（1﹣x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a2+a4+a6＝（
）
A．32
B．16
C．15
D．0
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．
【分析】令x＝0，得a0＝1；再分别令x＝1，x＝﹣1，可得a2+a4+a6 的值．
【解答】解：对于（1+2x）2（1﹣x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，
令x＝0，得a0＝1，
令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a7＝0，
再令x＝1，可得a0﹣a1+a2﹣a3…+a6﹣a7＝32，
∴2（a0+a2+a4+a6）＝32，∴a2+a4+a6＝15，
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求
展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
11．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）某随机模拟的步骤为：①利用计算器或计算机产生两组0～1 区间的均匀随
机数，a1＝RAND，b1＝RAND；②进行平移和伸缩变换，a＝4a1，b＝4b1﹣2；③共做了N 次试验，数出满足条
件（x﹣2）2+y2＜2 的点（a，b）的个数N1，则
N1
N ≈（
）
A．
1
2
B．
π
8
C．
3
5
D．
π
4
【考点】V9：随机思想的发展．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】由题意，根据几何概型的概率公式求出对应的面积比即可．
【解答】解：由题意知，a1∈[0，1]，b1∈[0，1]；
a＝4a1∈[0，4]，b＝4b1﹣2∈[﹣2，2]；
满足条件（x﹣2）2+y2＜2 的点（a，b）是图中阴影部分，
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则
N1
N ≈
S圆
S正方形
=
π⋅2
4×4 =
π
8．
故选：B．
【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
12．（2017•大理州一模）已知双曲线y2−x2
2 =1 与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于M，N 两点，线段
MN 的中点为P，设直线l 的斜率为k1，直线OP 的斜率为k2，则k1k2＝（
）
A．
1
2
B．−1
2
C．2
D．﹣2
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设点，代入双曲线方程，利用点差法，结合线段MN 的中点为P，即可得到结论．
【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），
则x1+x2＝2x，y1+y2＝2y
M，N 代入双曲线y2−x2
2 =1
两式相减可得：（y1﹣y2）×2y−1
2（x1﹣x2）×2x＝0，
∵直线l 的斜率为k1（k1≠0），直线OM 的斜率为k2，
∴k1k2= 1
2．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线方程的性质和应用，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，共20 分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
13．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）若随机变量X～B（3，
3
4），则方差D（x）＝
9
16
．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】由随机变量X～B（3，
3
4），即可求出D（X）＝2.4．
【解答】解：随机变量X～B（3，
3
4），是二项分布，
D（X）＝3× 3
4 × 1
4 = 9
16，
故答案为：
9
16．
【点评】本题考查离散型机变量的期望与方差的求法，考查二项分布、期望与方差的性质等基础知识，是基本知
识的考查．
14．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）某同学4 次三级跳远成绩（单位：米）分别为x，y，11，9，已知这四次成
绩的平均数为10，标准差为2，则xy 的值为
97
．
【考点】BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】根据平均数和标准差的定义，列出方程组求出xy 的值．
【解答】解：数据x，y，11，9 的平均数为10，标准差为2，
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则
x + y + 11 + 9 = 40
1
4 [(x −10)2+ (y −10)2+ 12+ ( −1)2] = 2，
化简，得x + y = 20
x2+ y2 = 206，
∴xy= 1
2 ×（400﹣206）＝97．
故选：97．
【点评】本题考查了平均数与方差的定义与应用问题，是基础题．
15．（5 分）（2018 秋•道里区校级期末）有3 名男演员和2 名女演员，演出的出场顺序要求2 名女演员之间恰有1
名男演员，则不同的出场顺序共
36
种．
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5O：排列组合．
【分析】根据排列、组合、分布计数原理，求出答案．
【解答】解：有3 名男演员和2 名女演员，演出的出场顺序要求2 名女演员之间恰有1 名男演员，
则先拍2 名女演员，方法有A2
2种；然后插入1 名男演员，方法有A3
1种；
把这3 个人当做一个整体，和其他2 名男演员进行排列，方法有A3
3种，
再根据分布计数原理，不同的出场顺序有A2
2•A3
1•A3
3 =36 种，
故答案为：36．
【点评】本题主要考查排列、组合、计数原理的应用，属于中档题．
16．（5 分）（2018•雁峰区校级一模）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1 且与x 轴
垂直的直线交椭圆于A、B 两点，直线AF2 与椭圆的另一个交点为C，若S△ABC= 3S△BCF2，则椭圆的离心率为
5
5
．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；35：转化思想；5A：平面向量及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】如图所示，S△ABC= 3S△BCF2，可得|AF2|＝2|F2C|．A( −c，b2
a )，直线AF2 的方程为：y= −b2
2ac（x﹣c），
代入椭圆方程可得：
（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2＝0，利用xC×（﹣c）= b2c2−4a2c2
4c2+b2
，解得xC．根据AF2
→
= 2F2C
→
，
即可得出．
【解答】解：如图所示，
∵S△ABC= 3S△BCF2，
∴|AF2|＝2|F2C|．
A( −c，b2
a )，直线AF2 的方程为：y﹣0=
b2
a −0
−c−c（x﹣c），
化为：y= −b2
2ac（x﹣c），代入椭圆方程
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），
可得：（4c2+b2）x2﹣2cb2x+b2c2﹣4a2c2＝0，
∴xC×（﹣c）= b2c2−4a2c2
4c2+b2
，解得xC= 4a2c−b2c
4c2+b2 ．
∵AF2
→
= 2F2C
→
，
∴c﹣（﹣c）＝2（
4a2c−b2c
4c2+b2 −c）．
化为：a2＝5c2，
解得e =
5
5 ．
另解：设A（﹣c，2m），由S△ABC= 3S△BCF2，则AF2
→
= 2F2C
→
，可得C 的坐标为（2c，﹣m），代入椭圆方程，消
去m 即可得出．
故答案为：
5
5 ．
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【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐
标运算性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（2018 秋•道里区校级期末）操场上有5 名同学正在打篮球，每位同学投中篮筐的概率都是
2
3，且各次投篮是否
投中相互独立．
（1）求其中恰好有4 名同学投中的概率（用最简分数作答）；
（2）求其中至少有4 名同学投中的概率（用最简分数作答）．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】（1）利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式能求出恰好有4 名同学投中的概率．
（2）其中至少有4 名同学投中的概率p= C5
4( 2
3 )4( 1
3 ) + C5
5( 2
3 )5，由此能求出结果．
【解答】解：（1）∵操场上有5 名同学正在打篮球，每位同学投中篮筐的概率都是
2
3，
且各次投篮是否投中相互独立．
∴其中恰好有4 名同学投中的概率：
p= C5
4( 2
3 )4( 1
3 ) = 80
243．
（2）其中至少有4 名同学投中的概率：
p= C5
4( 2
3 )4( 1
3 ) + C5
5( 2
3 )5 = 112
243．
【点评】本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式等基础知识，考
查运算求解能力，是基础题．
18．（2018 秋•道里区校级期末）哈三中群力校区高二、六班同学用随机抽样的办法对所在校区老师的饮食习惯进行
了一次调查，饮食指数结果用茎叶图表示如图，图中饮食指数低于70 的人是饮食以蔬菜为主：饮食指数高于70
的人是饮食以肉类为主．
（1）完成下列2×2 列联表：
主食蔬菜
主食肉类
总计
不超过45 岁
4
8
12
45 岁以上
16
2
18
总计
20
10
30
能否有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关？
（2）从群力校区任一名老师设“选到45 岁以上老师为事件A，“饮食指数高于70 的老师”为事件B，用调查的
结果估计P（B|A）及P（B|A）（用最简分数作答）；
（3）为了给食堂提供老师的饮食信息，根据（1）（2）的结论，能否有更好的抽样方法来估计老师的饮食习惯，
并说明理由．
附：
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
k2=
n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
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【考点】CM：条件概率与独立事件．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5L：简易逻辑．
【分析】（1）由K2= 30(4×2−16×8)2
20×10×12×18 =10＞6.635 可得解
（2）由条件概率公式得：P（B|A）=
C2
1
C18
1 = 1
9，P（B|A）=
C8
1
C12
1 = 2
3，
（3）“选到45 岁以上老师“与，“选到45 岁以下老师“调查差异较大，采用分层抽样的抽样方法更好．
【解答】解：（1）由K2= 30(4×2−16×8)2
20×10×12×18 =10＞6.635
即有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关，
故答案为：有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关，
（2）P（B|A）=
C2
1
C18
1 = 1
9，P（B|A）=
C8
1
C12
1 = 2
3，
故答案为：
1
9，
2
3
（3）为了给食堂提供老师的饮食信息，根据（1）（2）的结论，
“选到45 岁以上老师“与，“选到45 岁以下老师“调查差异较大，
为了更科学估计老师的饮食习惯，采用分层抽样的抽样方法更好．
故答案为：分层抽样
【点评】本题考查了K2 的求法、条件概率公式及抽样方法，属简单题．
19．（2018 秋•道里区校级期末）如图，抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点，点P（1，4），A（x1，y1），B（x2，
y2）均在抛物线上．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）当直线PA 与PB 的斜率存在且互为相反数时，求y1+y2 的值及直线AB 的斜率．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由图与题意可设抛物线的标准方程为：y2＝2px．（p＞0）．把点P（1，4）代入抛物线方程解得p
即可得出；
（2）由直线PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，可得k1+k2＝0，化简可得y1+y2＝﹣8．再利用直线AB 的斜率
kAB= y2−y1
x2−x1，即可得出．
【解答】解：（1）由图与题意可设抛物线的标准方程为：y2＝2px，（p＞0）．
把点（1，4），代入抛物线方程可得：16＝2p，则p＝8，
∴抛物线的方程为：y2＝16x；
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第242页（共926页）
（2）∵直线PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，
∴k1+k2= y1−4
x1−1 + y2−4
x2−1 = y1−4
y12
16 −1
+ y2−4
y22
16 −1
=
16
4+y1 +
16
4+y2 = 0，
化简可得y1+y2＝﹣8，
直线AB 的斜率kAB= y2−y1
x2−x1 = y1−y2
y12
16 −y22
16
=
16
y1+y2 =−2．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
20．（2018 秋•道里区校级期末）设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如表：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
时间代号x
1
2
3
4
5
6
储蓄存款y
（千亿元）
3.5
5
6
7
8
9.5
（1）求y 关于x 的回归方程y
Ƹ = b
Ƹ
x+ a
Ƹ ，并预测该地区2019 年的人民币储蓄存款（用最简分数作答）；
（2）在含有一个解释变量的线性模型中，R2 恰好等于相关系数r 的平方，当R2＞0.8 时，认为线性回归模型是
很有效的，请计算R2 并且评价模型的拟合效果（计算结果精确到0.001）．
附：b
Ƹ
=
i=1
n
σ
xiyi−nxy
i=1
n
σ
xi2−nx2 ，a
Ƹ = y −b
Ƹ
x，r=
i=1
n
σ
xiyi−nxy
i=1
n
σ
(xi−x)2
i=1
n
σ
(yi−y)2．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．
【分析】（1）分别求出x，y，求出相关系数，从而求出回归方程即可；
（2）求出r 的值，求出R2，比较即可．
【解答】解：（1）x = 1
6（1+2+3+4+5+6）= 7
2，
y = 1
6（3.5+5+6+7+8+9.5）= 13
2 ，
故b
Ƹ
= 8
7，a
Ƹ = 5
2，
故回归方程为：y= 8
7x+ 5
2，
2019 对应的x＝8，
x＝8 时，y= 163
14 ，
故预测存款是
163
14 千亿元；
（2）r=
i=1
n
σ
xiyi−nxy
i=1
n
σ
(xi−x)2
i=1
n
σ
(yi−y)2 ≈0.99699，
故R2≈0.994＞0.8，
故模型的拟合效果有效．
【点评】本题考查了回归方程问题，考查相关系数以及转化思想，是一道常规题．
21．（2018 秋•道里区校级期末）小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方
案．甲方案：底薪100 元，每派送一单奖励1 元；乙方案：底薪140 元，每日前54 单没有奖励，超过54 单的部
分每单奖励20 元．
（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n 的函数关系式；
（2）根据该公司所有派送员100 天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100 天中的
派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在（
n−1
5 ，
n
5]（n＝1，2，3，4，5）时，日平均派
送量为50+2n 单，若将频率视为概率，
回答下列问题：
①估计这100 天中的派送量指标的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：
②根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X 的分布列及数学
期望．请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由．
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第243页（共926页）
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．
【分析】（1）甲方案：底薪100 元，每派送一单奖励1 元；乙方案：底薪140 元，每日前55 单没有奖励，超过
55 单的部分每单奖励12 元．由此能分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n 的函数关
系式；
（2）①（0.1×1+0.3×1.5+0.5×1+0.7×1+0.9×0.5）×0.2＝0.44
②由已知，在这100 天中，该公司派送员日平均派送单数求出X 甲的分布列和E（X 甲）＝155.4，求出X 乙的分
布列和E（X 乙）＝176，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案．
【解答】解：（1）甲方案中派送员日薪y（单位：元）与送单数n 的函数关系式为：y＝100+n，n∈N，
乙方案中派送员日薪y（单位：元）与送单数n 的函数关系式为：y= y = 140，n ≤54
y = 20n −940，n ≥55，
，n∈N
（2）①（0.1×1+0.3×1.5+0.5×1+0.7×1+0.9×0.5）×0.2＝0.44
②所以X 甲的分布列为：
X 甲
152
154
156
158
160
P
0.2
0.3
0.2
0.2
0.1
所以E（X 甲）＝152×0.2+154×0.3+156×0.2+158×0.2+160×0.1＝155.4，
所以X 乙的分布列为：
X 乙
140
180
220
260
P
0.5
0.3
0.2
0.1
所以E（X 乙）＝140×0.5+180×0.3+220×0.2+260×0.1＝176，
由以上的计算结果可以看出，E（X 甲）＜E（X 乙），
即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案．
【点评】本题考查函数解析式的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法、统计表等基础知
识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题
22．（2018 秋•道里区校级期末）已知椭C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）经过点（6，2），离心率为
3
3 ．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过坐标原点O 作直线PQ 交椭圆C 于P、Q 两点，过点F2 作PQ 的平行线交椭圆C 于A、B 两点．
①是否存在常数λ，满足|AB|＝λ|OP|2？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由．
②若△AF2P 的面积为S1，△OF2B 的面积为S2，且S＝S1+S2，求S 的最大值．
【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）由题意可得
6
a2 + 4
b2 = 1
e = c
a =
3
3
a2 = b2 + c2
，解得a2＝12，b2＝8，即可求出椭圆方程，
（2）设出直线l 的方程为x＝my+2，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求出|AB|，再设直线x＝my，
代入椭圆方程，化简可得|OP|，再由计算即可得到所求常数，
（3）根据平行线之间的距离公式求出d=
2
1+m2，结合图形，由题意可得S= 8 3⋅1+m2
3+2m2
，利用换元法设
1 + m2 =t≥1，可得S＝8 3•
1
2t+1
t
，根据函数的单调性即可求出面积的最大值．
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第244页（共926页）
【解答】解：（1）由题意可得
6
a2 + 4
b2 = 1
e = c
a =
3
3
a2 = b2 + c2
，解得a2＝12，b2＝8，c2＝4，
故椭圆C 的方程为
x2
12 +
y2
8 =1，
（2）①设直线AB 的方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
由
x = my + 2
x2
12 + y2
8 = 1
得（2m2+3）y2+8my﹣16＝0，
即有y1+y2= −8m
2m2+3，y1y2=−
16
2m2+3，
|AB|=
1 + m2• (y1 + y2)2 −4y1y2 =
1 + m2• ( −8m
2m2+3 )2 +
64
2m2+3 =8 3•
1+m2
3+2m2，
设P（x3，y3），Q（x4，y4），
由x＝my 代入椭圆方程可得
消去x，并整理得y2=
24
2m2+3，
∴x2＝m2•
24
2m2+3，
∴|OP|2= 24(1+m2)
2m2+3 ，
∵|AB|＝λ|OP|2，
∴8 3•
1+m2
3+2m2 =λ•
24(1+m2)
2m2+3 ，
∴λ=
3
3
故存在常数λ=
3
3 ，使得|AB|＝λ|OP|2；
②直线AB 与直线PQ 的距离d=
2
1+m2，由①可知|AB|＝8 3•
1+m2
3+2m2，
∵△AF2P 的面积为S1，△OF2B 的面积为S2，
∴S＝S1+S2= 1
2|AB|•d= 1
2 ×8 3•
1+m2
3+2m2 ×
2
1+m2 =
8 3⋅1+m2
3+2m2
，
设1 + m2 =t≥1，
则m2＝t﹣1，
∴S＝8 3•
t
2t2+1 =8 3•
1
2t+1
t
，
∵y＝2t+ 1
t在[1，+∞）为增函数，
∴ymin＝3，
∴S≤8 3
3 ，
故S 的最大值
8 3
3
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【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查弦长的求法，三角形的面积，注意运用
直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
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考点卡片
1．简单随机抽样
【知识点的认识】
1．定义：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时
总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
2．特点：
（1）有限性：总体个体数有限；
（2）逐个性：每次只抽取一个个体；
（3）不放回：抽取样本不放回，样本无重复个体；
（4）等概率：每个个体被抽到的机会相等．（如果从个体数为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本，则每个个体被
抽取的概率等于
n
N）
3．适用范围：总体中个数较少．
4．注意：随机抽样不是随意或随便抽取，随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素．
【常用方法】
1．抽签法（抓阄法）
一般地，从个体总数为N 的总体中抽取一个容量为k 的样本，步骤为：
（1）编号：将总体中所有个体编号（号码可以为1﹣N）；
（2）制签：将编号写在形状、大小相同的号签上（可用小球、卡片、纸条等制作）；
（3）搅匀：将号签放在同一个箱子中进行均匀搅拌；
（4）抽签：每次从箱中取出1 个号签，连续抽取k 次；
（5）取样：从总体中取出与抽到号签编号一致的个体．
2．随机数表法．
○随机数表：由0﹣9 十个数字所组成，其中的每个数都是用随机方法产生的，这样的表称为随机数表．
○随机数表法：按一定的规则到随机数表中选取号码的抽样方法叫做随机数表法．
实现步骤：
（1）编号：对总体中所有个体编号（每个号码位数一致）；
（2）选数：在随机数表中任选一个数作为开始；
（3）取数：从选定的起始数沿任意方向取数（不在号码范围内的数、重复出现的数不取），直到取满为止；
（4）取样：根据所得的号码从总体中抽取相应个体．
【命题方向】以基本题（中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生
学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力．
（1）考查简单随机抽样的特点
例：用简单随机抽样的方法从含有100 个个体的总体中依次抽取一个容量为5 的样本，则个体m 被抽到的概率为
（
）
A.
1
100B.
1
20C.
1
99D.
1
50
分析：依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为5，可以看成是抽5 次，
从而可求得概率．
解答：一个总体含有100 个个体，某个个体被抽到的概率为
1
100，
∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5 的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为
1
100 ×5= 1
20．
故选：B．
点评：不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是
一样的，体现了抽样方法具有客观公平性．
（2）判断抽样方法是否为简单随机抽样
常见与分层抽样、系统抽样对比，注意掌握各种抽样方法的区分．
例：下面的抽样方法是简单随机抽样的是（
）
A．在某年明信片销售活动中，规定每100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709 的为
三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30 分钟抽一包产品，称其重量是否合格
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C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2 人、14 人、4 人了解学校机构改革的意见
D．用抽签法从10 件产品中选取3 件进行质量检验．
分析：从所给的四个选项里观察因为抽取的个体间的间隔是固定的；得到A、B 不是简单随机抽样，因为总体的个
体有明显的层次，C 不是简单随机抽样，D 是简单随机抽样．
解答：A、B 不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；
C 不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；
D 是简单随机抽样．
故选D．
点评：本题考查简单随机抽样，考查分层抽样，考查系统抽样，是一个涉及到所学的所有抽样的问题，注意发现各
种抽样的特点，分析清楚抽样的区别．
（3）考查简单随机抽样的抽样方法操作
例：利用随机数表法对一个容量为500 编号为000，001，002，…，499 的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10
的样本，若选定从第12 行第5 列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11 行至第15 行），根据下图，
读出的第3 个数是（
）
A.841B.114 C.014 D.146
分析：从随机数表12 行第5 列数开始向右读，最先读到的1 个的编号是389，再向右三位数一读，将符合条件的选
出，不符合的舍去，继续向右读取即可．
解答：最先读到的1 个的编号是389，
向右读下一个数是775，775 它大于499，故舍去，
再下一个数是841，舍去，
再下一个数是607，舍去，
再下一个数是449，
再下一个数是983．舍去，
再下一个数是114．
读出的第3 个数是114．
故选B．
点评：本题主要考查了抽样方法，随机数表的使用，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每
个数被抽到的概率是一样的，属于基础题．
2．系统抽样方法
【知识点的认识】
1．定义：一般地，要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制
定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．
2．系统抽样的特征：
（1）当总体容量N 较大时，适宜采用系统抽样；
（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此系统抽样又称等距抽样，这里的
间隔一般为k= [ N
n ]
（3）在第一部分的抽样采用简单随机抽样；
（4）每个个体被抽到的可能性相等
3．系统抽样与简单随机抽样的关系：
（1）系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，当将总体均分后对每一部分进行抽样时，采用的是简单随机
抽样；
（2）系统抽样和简单随机抽样都是等概率抽样，它是公平的．
4．系统抽样与简单随机抽样的优缺点：
（1）当总体的个体数较大时，用系统抽样比用简单随机抽样更易实施，更节约成本；
（2）系统抽样比简单随机抽样应用范围更广；
（3）系统抽样所得到的样本的代表性和个体的编号有关，而简单随机抽样所得到的样本的代表性与编号无关，如
果编号的特征随编号的变化呈一定的周期性，可能造成系统抽样的代表性很差．
【解题方法点拨】
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系统抽样的一般步骤：
（1）编号：采用随机的方式将总体中的个体编号；
（2）分段：确定分段间隔k，对编号进行分段（N 为总体个数，n 为样本容量）：
①当
N
n ∈Z 时，k= N
n，
②当
N
n ∉Z 时，通过从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体数N′能被n 整除，这时k= N'
n
（注意这时要重新编号1﹣N′后，才能再分段）
（3）确定起始编号：在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l（l∈N，l≤k）；
（4）抽样：按事先确定的规则抽取样本，即l，l+k，l+2k，…，l+（n﹣1）k．
【命题方向】
1．考查系统抽样的定义
例：某小礼堂有25 排座位，每排有20 个座位．一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，讲座后为了了解有关情况，留
下了座位号是15 的25 名学生进行测试，这里运用的抽样方法是（
）
A．抽签法
B．随机数表法
C．系统抽样法
D．分层抽样法
分析：由题意可得，从第一排起，每隔20 人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，符合系统抽样的定义．
解答：由题意可得，从第一排起，每隔20 人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，故属于系统抽样，
故选C．
点评：本题考查系统抽样的定义和方法，属于容易题．
2．考查系统抽样的应用
例：将参加夏令营的100 名学生编号为001，002，…，100．先采用系统抽样方法抽取一个容量为20 的样本，若随
机抽得的号码为003，那么从048 号到081 号被抽中的人数是
分析：根据系统抽样的定义，即可得到结论．
解答：∵样本容量为20，首个号码为003，
∴样本组距为100÷20＝5
∴对应的号码数为3+5（x﹣1）＝5x﹣2，
由48≤5x﹣2≤81，
得10≤x≤16.6，
即x＝10，11，12，13，14，15，16，共7 个，
故答案为：7．
点评：本题主要考查系统抽样的应用，利用系统抽样的定义建立号码关系是解决本题的关键，比较基础．
3．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组
频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y 轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
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4．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据
与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大
小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99 的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数x = 1
5（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2= 1
5[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S=
2．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
5．线性回归方程
【概念】
线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法
之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在
回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性
回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回
归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据
得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．
【实例解析】
例：对于线性回归方程y
Ƹ = 1.5x + 45，x1 ∈{1，7，5，13，19}，则y =
解：x = 1+7+5+13+19
5
= 9，因为回归直线必过样本中心（x，y），
所以y = 1.5 × 9 + 45 = 13.5 + 45 = 58.5．
故答案为：58.5．
方法就是根据线性回归直线必过样本中心（x，y），求出x，代入即可求y．这里面可以看出线性规划这类题解题方
法比较套路化，需要熟记公式．
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【考点点评】
这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．
6．互斥事件与对立事件
【知识点的认识】
1．互斥事件
（1）定义：一次试验中，事件A 和事件B 不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．
如果A1，A2，…，An 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An 彼此互斥．
（2）互斥事件的概率公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A 和B 是互斥事件，则有：
P（A+B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A 与B 互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An 彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An 中有一个发生）的概率等
于这n 个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
2．对立事件
（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A 的对立事件记做A．
注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；
②在一次试验中，事件A 与A只发生其中之一，并且必然发生其中之一．
（2）对立事件的概率公式：
P（A）＝1﹣P（A）
3．互斥事件与对立事件的区别和联系
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个
发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充
分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．
【命题方向】
1．考查对知识点概念的掌握
例1：从装有2 个红球和2 个黑球的口袋内任取2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（
）
A．“至少有一个红球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有1 个红球”
D．“恰有1 个黑球”与“恰有2 个黑球”
分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A 不正确
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B 不正确
对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1 个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C 不正
确
对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2 个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，
又由从装有2 个红球和2 个黑球的口袋内任取2 个球，
得到所有事件为“恰有1 个黑球”与“恰有2 个黑球”以及“恰有2 个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立
事件，
∴D 正确
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故选D
点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系
与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．
例2：下列说法正确的是（
）
A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C．事件A，B 中至少有一个发生的概率一定比A，B 中恰有一个发生的概率大
D．事件A，B 同时发生的概率一定比A，B 中恰有一个发生的概率小．
分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，
这两者之间的关系是一个包含关系．
解答：根据对立事件和互斥事件的概念，
得到对立事件一定是互斥事件，
两个事件是互斥事件不一定是对立事件，
故选B．
点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件
之间的关系就可以选出正确答案．
2．互斥事件概率公式的应用
例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是
1
2，乙获胜的概率是
1
3，则乙不输的概率是
分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B 互斥，且P(A) = 1
2，P(B) = 1
3，则乙不输即为
事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．
解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B 互斥，
则P(A) = 1
2，P(B) = 1
3，
则乙不输即为事件A+B，
由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）= 1
2 + 1
3 = 5
6
故答案为：
5
6
点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥
事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．
3．对立事件概率公式的应用
例：若事件A 与B 是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（
）
A.0
B.0.4
C.0.6
D.1
分析：根据对立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A），解得即可．
解答：因为对立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A）＝0.6，
故选C．
点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．
7．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立
事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A 和事件B 同时发生的事件即为A•B，若两个相互独立事件A、B 同时发生，则事件A•B 发生的概
率为：
P（A•B）＝P（A）•P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之
积，即：
P（A1•A2…An）＝P（A1）•P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
8．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
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第252页（共926页）
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通
过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是
1
n；
如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率为P（A）= m
n = A 中所含的基本事件数
基本事件总数
．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n 与事件A 中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A 是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）= m
n求出事件A 的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
9．离散型随机变量及其分布列
【考点归纳】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字
母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变
量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b 是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变
量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试
验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验结果的不同而
变化的，这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表
示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X 的所有可能值为x1，x2，…，xn；X 取每一个对应值的概率分别为p1，
p2，…，pn，则得下表：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
该表为随机变量X 的概率分布，或称为离散型随机变量X 的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
10．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1
x2
…
xn
…
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P
p1
p2
…
pn
…
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn= 1
n，
Eξ＝（x1+x2+…+xn）× 1
n，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，
pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简
称为方差，式中的Eξ Dξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的标准差，记作
．
方差的性质：
．
方差的意义：
（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散
的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
11．条件概率与独立事件
【知识点的知识】
1、条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，
用符号P（B|A）来表示．
（2）条件概率公式：称为事件A 与B 的交（或积）．
（3）条件概率的求法：
①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（A∩B），得P（B|A）= P(A∩B)
P(A) ，其中P（A）＞0；
②借助古典概型概率公式，先求出事件A 包含的基本事件数n（A），再在事件A 发生的条件下求出事件B 包含的
基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）= n(A∩B)
n(A)
【解题方法点拨】
典例1：利用计算机产生1 到6 之间取整数值的随机数a 和b，在a+b 为偶数的条件下，|a﹣b|＞2 发生的概率是
2
9
．
解：由题意得，利用计算机产生1 到6 之间取整数值的随机数a 和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）
的情况有36 种，
事件“a+b 为偶数”包含基本事件：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）
（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18 个，
“在a+b 为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：
（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4 个，
故在a+b 为偶数的条件下，|a﹣b|＞2 发生的概率是P=
4
36
18
36
= 2
9
故答案为：
2
9
典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3 人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为
本队得1 分，答错不答都得0 分，已知甲队3 人每人答对的概率分别为
3
4，
2
3，
1
2，乙队每人答对的概率都是
2
3．设每
人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
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（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4 的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求
出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再
由P（B/A）= P(AB)
P(A) ，能求出结果．
解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ＝0）＝（1−3
4）（1−2
3）（1−1
2）= 1
24，
P（ξ＝1）= 3
4（1−2
3）（1−1
2）+（1−3
4）× 2
3 ×（1−1
2）+（1−3
4）（1−2
3）× 1
2 = 1
4，
P（ξ＝2）= 3
4 × 2
3 × (1 −1
2 ) + 3
4 × (1 −2
3 ) × 1
2 + (1 −3
4 ) × 2
3 × 1
2 = 11
24，
P（ξ＝3）= 3
4 × 2
3 × 1
2 = 1
4，
∴随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
1
24
1
4
11
24
1
4
数学期望E（ξ）＝0× 1
24 +1× 1
4 +2× 11
24 +3× 1
4 = 23
12．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，
则P（A）= 1
4 × C3
3 × ( 2
3 )3 + 11
24 × C3
2 × ( 2
3 )2 × (1 −2
3 ) + 1
4 × C3
1 × 2
3 × (1 −2
3 )2 = 1
3，
P（AB）= 1
4 × C3
1 × 2
3 × (1 −2
3 )2 = 1
18，
P（B|A）= P(AB)
P(A) =
1
18
1
3
= 1
6．
【解题方法点拨】
1、P（B|A）的性质：
（1）非负性：对任意的A∈Ω，0≤P（B|A）≤1；
（2）规范性：P（Ω|B）＝1；P（∅|B）＝0；
（3）可列可加性：如果是两个互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）+P（C|A）．
2、概率P（B|A）和P（AB）的区别与联系：（1）联系：事件A 和B 都发生了；
（2）区别：
a、P（B|A）中，事件A 和B 发生有时间差异，A 先B 后；在P（AB）中，事件A、B 同时发生．
b、样本空间不同，在P（B|A）中，样本空间为A，事件P（AB）中，样本空间仍为Ω．
12．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的知识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x）=
1
2πσ e
−(x−μ)2
2σ2 ，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如
图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x 定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0 这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为
1
2πσ，后面是一个以e 为底数的指数函数的形式，幂指数为−(x−μ)2
2σ2 ．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X 满足P（a＜X≤b）=
a
b
׬ φμ，σ（x）dx，则称X 的分布为正态分布，
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记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x）=
1
2πσ e
−(x−μ)2
2σ2 ，x∈R 有以下性质：
（1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值
1
2πσ；
（4）曲线与x 轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮
胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事
件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【典型例题分析】
题型一：概率密度曲线基础考察
典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）=
1
8π e−(x−10)2
8
，则这个正态总体的
平均数与标准差分别是（
）
A．10 与8
B．10 与2
C．8 与10
D．2 与10
解析：由
1
8π e
−(x−10)2
8
=
1
2πσ e
−(x−μ)2
2σ2 ，可知σ＝2，μ＝10．
答案：B．
典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（
）
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2
解析：由P（ξ＜4）＝0.8 知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，
故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．
典例3：已知随机变量X 服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（
）
A．0.158 8
B．0.158 7
C．0.158 6
D．0.158 5
解析
由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3 对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣
1
2P（2≤X≤4）＝0.5−1
2 ×0.682 6＝0.1587．故
选B．
题型二：正态曲线的性质
典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为
1
4 2π．
（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；
（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．
分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的
对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解
（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0．由
1
2πσ =
1
4 2π，
得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ，σ（x）=
1
4 2π e−x2
32，x∈（﹣∞，+∞）．
（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）
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＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．
点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的
影响．
典例2：设两个正态分布N（μ1，σ1
2）（σ1＞0）和N（μ2，σ2
2）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（
）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的
连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．
答案：A．
题型三：服从正态分布的概率计算
典例1：设X～N（1，22），试求
（1）P（﹣1＜X≤3）；
（2）P（3＜X≤5）；
（3）P（X≥5）．
分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的
对称性求解．
解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．
（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．
（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），
∴P（3＜X≤5）= 1
2[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]
= 1
2[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]
= 1
2[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]
= 1
2 ×（0.954 4﹣0.682 6）
＝0.1359．
（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），
∴P（X≥5）= 1
2[1﹣P（﹣3＜X≤5）]
= 1
2[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]
= 1
2[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]
= 1
2 ×（1﹣0.954 4）＝0.0228．
求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三
个区间上．
典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝
．
解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1 对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝
0.7．
答案：0.7．
题型4：正态分布的应用
典例1：2011 年中国汽车销售量达到1 700 万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企
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业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200 名车主，据统
计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0 升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]
的概率为0.7，那么耗油量大于9 升的汽车大约有
辆．
解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8 为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）
＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9 升
的汽车大约有1 200×0.15＝180 辆．
点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x 轴之间的曲边梯形的面积，
根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有
x1+x2
2
=μ，这是解决正态分布类试题的一个重要
结论．
典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布N（4，
1
9），问在一次正常的试验中，取1 000 个零件时，不属
于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？
解∵X～N（4，
1
9），∴μ＝4，σ= 1
3．
∴不属于区间（3，5]的概率为
P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）
＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）
＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）
＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，
∴1 000×0.003＝3（个），
即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3 个．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多
次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对
正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2 而不是σ，
同时，记住正态密度曲线的六条性质．
13．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对
于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”
的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相
邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性
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上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有
；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指
定位置则有
；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内．先C 后A 策略，排
列
；组合
；
②从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定某r 个元素都不包含在内．先C 后A 策略，排
列
；组合
；
③从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r 个元素中的s
个元素．先C 后A 策略，排列
；组合
．
14．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n=
i=0
n
σ
∁niai•bn﹣i．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆
开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝
1.105
．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把( 3i −x)10把二项式定理展开，展开式的第8 项的系数是．
解：由题意T8＝C107× ( 3i)3 × ( −1)7 =120×3 3i＝360 3i．
故答案为：360 3i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一
定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n 的二项展开式．其中各项的系数
叫做二
项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1 项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幂排列，b 的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①
；
②
；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1 项
叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式
的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应
用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1 项，该项的二项式系数是∁nr；
（2）字母b 的次数和组合数的上标相同；
（3）a 与b 的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
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（1 ）对称性：与首末两端“ 等距离” 的两个二项式系数相等，即
；
（2）增减性与最大值：当k＜n+1
2 时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在
中间取最大值．当n 为偶数时，则中间一项Cn
n
2的二项式系数最大；当n 为奇数时，则中间的两项Cn
n−1
2 ，Cn
n+1
2 相等，
且同时取得最大值．
15．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和
短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
c
a叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e= c
a，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e 越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为
x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
16．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
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图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
17．直线与椭圆的综合
v．
18．直线与抛物线的综合
v．
19．随机思想的发展
【知识点的知识】
随机思想是通过偶然去发现必然，去研究隐藏在随机现象背后的统计规律，进而理解随机现象，它是概率论的
核心思想．随机思想引入随机事件的概念来研究随机现象，任何随机事件的发生都具有概率规律，探求这个规律的
做法就体现着随机思想．随机试验是随机思想中的一个重要方法．
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2019-2020 学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）（2018•濮阳一模）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（
）
A．{﹣2，﹣1，0}
B．{﹣1，0，1}
C．{0，1}
D．{0，1，2}
2．（5 分）（2018•濮阳一模）若复数z 满足
z
1+i +1＝2i，其中i 为虚数单位，z表示复数z 的共轭复数，则z＝（
）
A．﹣3﹣i
B．3﹣i
C．3+i
D．﹣3+i
3．（5 分）（2018•濮阳一模）如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子（豆子大小忽略不计），
然后统计知豆子的总数为m 粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n 粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为
（
）
A．
n
m
B．
2n
m
C．
m
n
D．
m
2n
4．（5 分）（2018 秋•辽源期末）按照程序框图（如图）执行，第4 个输出的数是（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
5．（5 分）（2018•濮阳一模）设α∈（0°，90°），若sin（75°+2α）=−3
5，则sin（15°+α）•sin（75°﹣α）＝
（
）
A．
1
10
B．
2
20
C．−1
10
D．−2
20
6．（5 分）（2019•山东模拟）在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，若AB
→
= a
→，AC
→
= b
→
，AA1
→
= c
→，则C1B
→
=（
）
A．a
→+ b
→
−c
→
B．a
→−b
→
−c
→
C．−a
→+ b
→
−c
→
D．−a
→−b
→
+ c
→
7．（5 分）（2018•濮阳一模）已知三棱锥A﹣BCD 中，△ABD 与△BCD 是边长为2 的等边三角形且二面角A﹣BD
﹣C 为直二面角，则三棱锥A﹣BCD 的外接球的表面积为（
）
A．
10π
3
B．5π
C．6π
D．
20π
3
8．（5 分）（2018•濮阳一模）执行如图所示的程序框图（其中b＝cmod10 表示b 等于c 除以10 的余数），则输出的
b 为（
）
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A．2
B．4
C．6
D．8
9．（5 分）（2018•濮阳一模）某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体
积为（
）
A．
4
3
B．
3
2
C．
5
3
D．
11
6
10．（5 分）（2018•濮阳一模）已知双曲线x2﹣y2＝4，F1 是左焦点，P1，P2 是右支上两个动点，则|F1P1|+|F1P2|﹣|P1P2|
的最小值是（
）
A．4
B．6
C．8
D．16
11．
（5 分）
（2018 秋•辽阳期末）已知x＞0，y＞0，且
3
2x +
6
y =2．若4x+y＞7m﹣m2 恒成立，则m 的取值范围为（
）
A．（3，4）
B．（﹣4，3）
C．（﹣∞，3）∪（4，+∞）
D．（﹣∞，﹣4）∪（﹣3，+∞）
12．（5 分）（2018•濮阳一模）已知a＞0 且a≠1，若当x≥1 时，不等式ax≥ax 恒成立，则a 的最小值是（
）
A．e
B．
1
ee
C．2
D．ln2
二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）
13．（5 分）（2018•濮阳一模）正三角形ABC 的边长为1，G 是其重心，则AB
→
⋅AG
→
=
．
14．（5 分）（2018 秋•白山期末）命题“当c＞0 时，若a＞b，则ac＞bc．”的逆命题是
．
15．（5 分）（2018•濮阳一模）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a＞b＞0)，F1 和F2 是椭圆的左、右焦点，过F1 的直线交椭圆
于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若△ABF2 的内切圆半径为1，|F1F2|＝2，|y1﹣y2|＝3，则椭圆离心率为
．
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16．（5 分）（2018 秋•辽阳期末）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为等腰直角三角形，
PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为
．
三、解答题（本大题共7 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10 分）（2018•濮阳一模）已知数列{an}是等差数列，a1＝t2﹣t，a2＝4，a3＝t2+t．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}为递增数列，数列{bn}满足log2bn＝an，求数列{（an﹣1）bn}的前n 项和Sn．
18．（12 分）（2018•濮阳一模）为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送
考”，该城市某出租车公司共200 名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示．
（1）求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；
（2）从这200 名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X 的分布列及数学期
望．
19．（12 分）（2018 秋•辽源期末）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象过点P（1，2）且在x= 1
3处取得
极值点．
（1）求a、b 的值
（2）求函数f（x）的单调区间．
（3）求函数f（x）在[﹣1，1]上的最值．
20．（2018•濮阳一模）已知点M（2，1）在抛物线C：y＝ax2 上，A，B 是抛物线上异于M 的两点，以AB 为直径
的圆过点M．
（1）证明：直线AB 过定点；
（2）过点M 作直线AB 的垂线，求垂足N 的轨迹方程．
21．（12 分）（2018•绵阳模拟）如图，在五面体ABCDPN 中，棱PA⊥底面ABCD，AB＝AP＝2PN．底面ABCD
是菱形，∠BAD = 2π
3 ．
（Ⅰ）求证：PN∥AB；
（Ⅱ）求二面角B﹣DN﹣C 的余弦值．
22．（12 分）（2018 秋•武邑县校级期末）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）过点A（2，3），且离心率e= 1
2．
（1）求椭圆C 的标准方程；
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（2）是否存在过点B（0，﹣4）的直线l 交椭圆于不同的两点M、N，且满足OM
→
•ON
→
= 16
7 （其中点O 为坐标原
点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．
23．（12 分）（2008•福建）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=
2，底面ABCD
为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O 为AD 中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点A 到平面PCD 的距离．
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2019-2020 学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）（2018•濮阳一模）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（
）
A．{﹣2，﹣1，0}
B．{﹣1，0，1}
C．{0，1}
D．{0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】求出集合A 的等价条件，利用集合交集的定义进行求解即可．
【解答】解：A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，
则A∩B＝{0，1}，
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5 分）（2018•濮阳一模）若复数z 满足
z
1+i +1＝2i，其中i 为虚数单位，z表示复数z 的共轭复数，则z＝（
）
A．﹣3﹣i
B．3﹣i
C．3+i
D．﹣3+i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘法运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【解答】解：由
z
1+i +1＝2i，得z = (2i −1)(1 + i) =−3 + i，
∴则z＝﹣3﹣i．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．（5 分）（2018•濮阳一模）如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子（豆子大小忽略不计），
然后统计知豆子的总数为m 粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n 粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为
（
）
A．
n
m
B．
2n
m
C．
m
n
D．
m
2n
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．
【分析】根据几何概型的定义判断即可．
【解答】解：由题意，长方形的面积是2，
飞鸟图案的面积与长方形的面积之比约是
n
m，
故图中飞鸟图案的面积约是
2n
m，
故选：B．
【点评】本题考查了几何概型的应用，是一道基础题．
4．（5 分）（2018 秋•辽源期末）按照程序框图（如图）执行，第4 个输出的数是（
）
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A．5
B．6
C．7
D．8
【考点】E7：循环结构．菁优网版权所有
【专题】21：阅读型．
【分析】根据流程图可知第一次输出的A＝1，则S＝1+1＝2，满足条件S≤5，然后A＝1+2＝3，依此类推，当
不满足条件S≤5，然后退出循环，求出所求即可．
【解答】解：第一次输出的A＝1，则S＝1+1＝2，满足条件S≤5，然后A＝1+2＝3
第二次输出的A＝3，则S＝2+1＝3，满足条件S≤5，然后A＝3+2＝5
第三次输出的A＝5，则S＝3+1＝4，满足条件S≤5，然后A＝5+2＝7
第四次输出的A＝7，则S＝4+1＝5，满足条件S≤5，然后A＝7+2＝9
第五次输出的A＝9，则S＝5+1＝6，不满足条件S≤5，然后退出循环
故第4 个输出的数是7
故选：C．
【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是
先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．属于基础题．
5．（5 分）（2018•濮阳一模）设α∈（0°，90°），若sin（75°+2α）=−3
5，则sin（15°+α）•sin（75°﹣α）＝
（
）
A．
1
10
B．
2
20
C．−1
10
D．−2
20
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得sin（15°﹣2α）、再把要求的式子化为= 1
2sin[45°﹣（15°
﹣2α）]，根据两角和差的正弦公式，计算求得结果．
【解答】解：∵α∈（0°，90°），sin（75°+2α）＝cos（15°﹣2α）=−3
5，
∴15°﹣2α∈（﹣175°，﹣90°），∴sin（15°﹣2α）=−
1 −cos2(15° −2α) =−4
5，
则sin（15°+α）•sin（75°﹣α）＝sin（15°+α）cos（15°+α）
= 1
2sin（30°+2α）= 1
2sin[45°﹣（15°﹣2α）]
= 1
2[sin45°cos（15°﹣2α）﹣cos45°sin（15°﹣2α）]= 1
2[
2
2 •（−3
5）−2
2 •（−4
5）]=
2
20，
故选：B．
【点评】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．
6．（5 分）（2019•山东模拟）在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，若AB
→
= a
→，AC
→
= b
→
，AA1
→
= c
→，则C1B
→
=（
）
A．a
→+ b
→
−c
→
B．a
→−b
→
−c
→
C．−a
→+ b
→
−c
→
D．−a
→−b
→
+ c
→
【考点】M5：共线向量与共面向量．菁优网版权所有
【专题】4R：转化法；5A：平面向量及应用；5H：空间向量及应用．
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【分析】利用C1B
→
= CB
→
−CC1
→
= AB
→
−AC
→
−CC1
→
即可得出．
【解答】解：C1B
→
= CB
→
−CC1
→
= AB
→
−AC
→
−CC1
→
= a
→−b
→
−c
→．
故选：B．
【点评】本题考查了向量三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5 分）（2018•濮阳一模）已知三棱锥A﹣BCD 中，△ABD 与△BCD 是边长为2 的等边三角形且二面角A﹣BD
﹣C 为直二面角，则三棱锥A﹣BCD 的外接球的表面积为（
）
A．
10π
3
B．5π
C．6π
D．
20π
3
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5U：球．
【分析】首先确定球心的位置，进一步确定球的半径，最后确定球的表面积．
【解答】解：如图所示：
△ABD 与△BCD 是边长为2 的等边三角形且二面角A﹣BD﹣C 为直二面角，
则：E、F 分别是△ABC 和△BCD 的中心，
球心O 为△ABC 和△BCD 的过中心的垂线的交点，
则：OE＝OF=
3
3 ，ED= 2 3
3 ，
利用勾股定理得：r =
( 3
3 )2 + ( 2 3
3 )2 =
15
3 ，
则：S＝4π ⋅15
9 = 20π
3 ．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，重点考察球的球心位置的判定．
8．（5 分）（2018•濮阳一模）执行如图所示的程序框图（其中b＝cmod10 表示b 等于c 除以10 的余数），则输出的
b 为（
）
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A．2
B．4
C．6
D．8
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b 的值，模拟程序的运行过程，
分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
a＝2，b＝8，n＝1
c＝16，a＝8，b＝6，n＝2
不满足条件n≥2017，执行循环体，c＝48，a＝6，b＝8，n＝3
不满足条件n≥2017，执行循环体，c＝48，a＝8，b＝8，n＝4
不满足条件n≥2017，执行循环体，c＝64，a＝6，b＝4，n＝5
不满足条件n≥2017，执行循环体，c＝32，a＝4，b＝2，n＝6
不满足条件n≥2017，执行循环体，c＝8，a＝2，b＝8，n＝7
…
由于2017＝6×336+1，
观察规律可得：当n＝2017 时，b＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
9．（5 分）（2018•濮阳一模）某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体
积为（
）
A．
4
3
B．
3
2
C．
5
3
D．
11
6
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第269页（共926页）
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．
【分析】根据三视图知该几何体是由长方体截去一个四棱锥所得的组合体，画出几何体的直观图，结合图中数据
求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图知，该几何体是由长方体截去一个四棱锥所得的组合体，
画出几何体的直观图，如图所示；
结合图中数据，计算几何体的体积为
V＝1×1×2−1
3 ×1×1×2= 4
3．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图与空间想象能力的应用问题，是基础题．
10．（5 分）（2018•濮阳一模）已知双曲线x2﹣y2＝4，F1 是左焦点，P1，P2 是右支上两个动点，则|F1P1|+|F1P2|﹣|P1P2|
的最小值是（
）
A．4
B．6
C．8
D．16
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设双曲线的右焦点为F2，|F1P1|＝2a+|F2P1|，|F1P2|＝2a+|F2P2|，则|F1P1|+|F1P2|﹣|P1P2|＝2a+|F2P1|+2a+|F2P2|
﹣|P1P2|＝8+（|F2P1|+|F2P2|﹣|P1P2|）≥8．
【解答】解：设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a+|F2P1|，|F1P2|＝2a+|F2P2|，
则|F1P1|+|F1P2|﹣|P1P2|＝2a+|F2P1|+2a+|F2P2|﹣|P1P2|＝8+（|F2P1|+|F2P2|﹣|P1P2|）≥8
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的定义、性质，考查了转化思想，属于中档题．
11．
（5 分）
（2018 秋•辽阳期末）已知x＞0，y＞0，且
3
2x +
6
y =2．若4x+y＞7m﹣m2 恒成立，则m 的取值范围为（
）
A．（3，4）
B．（﹣4，3）
C．（﹣∞，3）∪（4，+∞）
D．（﹣∞，﹣4）∪（﹣3，+∞）
【考点】6P：不等式恒成立的问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】利用基本不等式的性质求解x+2y 的最小值，即可求解恒成立时实数m 的取值范围．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且
3
2x +
6
y =2，
那么：4x+y= 1
2（4x+y）（
3
2x +
6
y）= 1
2（6+6+ 3y
2x + 24x
y ）≥1
2（12+2 3y
2x × 24x
y ）＝12．
当且仅当y＝4x 时，即x= 3
2，y＝6 时取等号；
要使4x+y＞7m﹣m2 恒成立，即12＞7m﹣m2 恒成立，
解得：4＜m 或m＜3；
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式的性质的运用来解恒等式成立的问题．属于基本知识的考查．
12．（5 分）（2018•濮阳一模）已知a＞0 且a≠1，若当x≥1 时，不等式ax≥ax 恒成立，则a 的最小值是（
）
A．e
B．
1
ee
C．2
D．ln2
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】推导出ax﹣1≥x，从而（x﹣1）lna≥lnx，令p（x）＝lnx﹣（x﹣1）lna，则x≥1 时，p（x）≤0，p′
（x）= 1
x −lna，由此利用导数性质结合分类讨论思想能求出a 的最小值．
【解答】解：∵a＞0 且a≠1，当x≥1 时，不等式ax≥ax 恒成立，
∴ax﹣1≥x，
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第270页（共926页）
两边取自然对数，得：
（x﹣1）lna≥lnx，
令p（x）＝lnx﹣（x﹣1）lna，则x≥1 时，p（x）≤0，
∵p′（x）= 1
x −lna，
当lna＜0，即a∈（0，1）时，p′（x）＞0，p（x）递增，
当x≥1 时，p（x）≥p（1）＝0，与p（x）≤0 矛盾；
当lna＞0，即a∈（1，+∞）时，令p′（x）＝0，得x= 1
lna，
x∈（0，
1
lna），p′（x）＞0，p（x）递增；
x∈（
1
lna，+∞），p′（x）＜0，p（x）递减．
若
1
lna ＞1，即a∈（1，e），当x∈[1，
1
lna）时，p（x）递增，p（x）≥p（1）＝0，矛盾；
若
1
lna ≤1，即a∈[e，+∞），当x∈[1，+∞）时，p（x）≤p（1）＝0，成立．
综上，a 的取值范围是[e，+∞）．
故a 的最小值是e．
故选：A．
【点评】本题考查实数值的最小值的求法，考查导数与函数的单调性、极值、最值，着重考查学生的逻辑推理能
力以及运算求解能力．
二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）
13．（5 分）（2018•濮阳一模）正三角形ABC 的边长为1，G 是其重心，则AB
→
⋅AG
→
=
1
2
．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．
【分析】由已知可得|AB
→
| = 1，|AG
→
| =
3
3 ，向量AB
→
、AG
→
的夹角为30°，然后直接代入数量积公式求解．
【解答】解：∵正三角形ABC 的边长为1，
∴|AB
→
| = 1，又G 是其重心，
∴|AG
→
| =
3
3 ，且向量AB
→
、AG
→
的夹角为30°，
∴AB
→
⋅AG
→
= 1 ×
3
3 × 3
2 = 1
2．
故答案为：
1
2．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，是中档题．
14．（5 分）（2018 秋•白山期末）命题“当c＞0 时，若a＞b，则ac＞bc．”的逆命题是
当c＞0 时，若ac＞bc，则
a＞b
．
【考点】25：四种命题间的逆否关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】根据原命题是若P，则Q，它的逆命题是若Q，则P，
【解答】解：命题“当c＞0 时，若a＞b，则ac＞bc．”的逆命题是当c＞0 时，若ac＞bc，则a＞b，
故答案为：当c＞0 时，若ac＞bc，则a＞b
【点评】本题考查了四种命题之间的关系，解题时应根据原命题直接写出对应的逆命题
15．（5 分）（2018•濮阳一模）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a＞b＞0)，F1 和F2 是椭圆的左、右焦点，过F1 的直线交椭圆
于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若△ABF2 的内切圆半径为1，|F1F2|＝2，|y1﹣y2|＝3，则椭圆离心率为
2
3
．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据椭圆的性质以及三角形的面积公式即可求出．
【解答】解：△ABF2 的周长为l，则△ABF2 的面积S= 1
2lr= 1
24a×1＝2a，
又S= 1
2|F1F2|•|y1﹣y2|= 1
2 ×2×3＝3，
则2a＝3，解得a= 3
2，
又c＝1，则e= 2
3，
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第271页（共926页）
故答案为：
2
3．
【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系综合，考查了应用意识，属于基础题
16．（5 分）（2018 秋•辽阳期末）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为等腰直角三角形，
PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为
2
4
．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】取AC 的中点O，连结OP，OB，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求
出异面直线AC 与PD 所成角的余弦值．
【解答】解：取AC 的中点O，连结OP，OB，
∵PA＝PC，∴AC⊥OP，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
∴OP⊥平面ABC，
又∵AB＝BC，∴AC⊥OB，
以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵△PAC 是等腰直角三角形，PA＝PC＝4，△ABC 为直角三角形，
∴A（2 2，0，0），C（﹣2 2，0，0），P（0，0，2 2），D（2，6，0），
∴AC
→
=（﹣4 2，0，0），PD
→
=（2，6，﹣2 2），
∴cos＜AC
→
，PD
→
＞=
AC
→
⋅PD
→
|AC
→
|⋅|PD
→
|
=
−8
4 2×4 =−2
4 ．
∴异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为
2
4 ．
故答案为：
2
4 ．
【点评】本题考查异线直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考
查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
三、解答题（本大题共7 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（10 分）（2018•濮阳一模）已知数列{an}是等差数列，a1＝t2﹣t，a2＝4，a3＝t2+t．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}为递增数列，数列{bn}满足log2bn＝an，求数列{（an﹣1）bn}的前n 项和Sn．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式．
（2）根据（1）的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求和．
【解答】解：（1）数列{an}是等差数列，a1＝t2﹣t，a2＝4，a3＝t2+t．
则：2a2＝a1+a3，
所以：t2+t+t2﹣t＝8，
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第272页（共926页）
解得：t＝±2．
①当t＝2 时，a1＝2，公差d＝2，
所以：an＝2n．
②当t＝﹣2 时，a1＝6，公差d＝﹣2，
所以：an＝8﹣2n．
（2）由于：数列{an}为递增数列，
则：an＝2n．
数列{bn}满足log2bn＝an，
则：bn = 4n．
则：（an﹣1）bn＝（2n﹣1）•4n
所以：Sn＝1•41+3•42+…+（2n﹣1）•4n①，
4Sn＝1•42+3•43+…+（2n﹣1）•4n+1②．
①﹣②得：﹣3Sn＝4+2•42+2•43+…+2•4n﹣（2n﹣1）•4n+1，
= 4 + 2 ⋅42(1−4n−1)
−3
−（2n﹣1）•4n+1．
所以：Sn= (6n−5)⋅4n+1+20
9
．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．
18．（12 分）（2018•濮阳一模）为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送
考”，该城市某出租车公司共200 名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示．
（1）求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；
（2）从这200 名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X 的分布列及数学期
望．
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．
【分析】（1）由统计图得200 名司机中送考一次的有20 人，送考两次的有100 人，送考三次的有80 人，由此能
求出该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数．
（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1 次，另一人参加2 次送考”为事件A，这两人中“一人
参加2 次，另一人参加3 次送考”为事件B，这两人中“一人参加1 次，别一人参加3 次送考”为事件C，“这
两人参加次数相同”为事件D，则P（X＝1）＝P（A）+P（B）= 100
199，P（X＝2）＝P（C）= 16
199，P（X＝0）
＝P（D）= 83
199，由此能求出X 的分布列及数学期望．
【解答】解：（1）由统计图得200 名司机中送考一次的有20 人，
送考两次的有100 人，送考三次的有80 人，
∴该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数为：
20×1+100×2+80×3
200
=23 次．
（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1 次，另一人参加2 次送考”为事件A，
这两人中“一人参加2 次，另一人参加3 次送考”为事件B，
这两人中“一人参加1 次，别一人参加3 次送考”为事件C，
“这两人参加次数相同”为事件D，
则P（X＝1）＝P（A）+P（B）=
C20
1 C100
1
C200
2
+
C100
1
C20
1
C200
2
= 100
199，
P（X＝2）＝P（C）=
C20
1 C30
1
C200
2
= 16
199，
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第273页（共926页）
P（X＝0）＝P（D）=
C20
2 +C100
2
+C10
2
C200
2
= 83
199，
∴X 的分布列为：
X
0
1
2
P
83
199
100
199
16
199
E（X）= 0 × 83
199 + 1 × 100
199 + 2 × 16
199 = 132
199．
【点评】本题考查平均数和离散型随机变量的分布列与期望，考查数据处理能力及应用意识，考查运算求解能力，
考查函数与方程思想，是中档题．
19．（12 分）（2018 秋•辽源期末）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象过点P（1，2）且在x= 1
3处取得
极值点．
（1）求a、b 的值
（2）求函数f（x）的单调区间．
（3）求函数f（x）在[﹣1，1]上的最值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．
【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b 的方程组，解出并检验即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（3）根据函数的单调性，求出函数的在闭区间上的最值即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象过点P（1，2）
∴f（1）＝2，∴a+b＝1，
又函数f（x）在x= 1
3处取得极值点，
∴f'（
1
3）＝0
因
f'（x）＝3x2+2 ax+b∴2a+3b＝﹣1
…（4 分）
解得a＝4，b＝﹣3，
经检验x= 1
3是f（x）极值点
…（6 分）
（2）由（1）得f'（x）＝3x2+8x﹣3，
令f'（x）＞0，得
x＜﹣3 或x＞1
3，
令f'（x）＜0，得﹣3＜x＜1
3，
函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣3），（
1
3，+∞），
函数f（x）的单调减区间为（﹣3，
1
3）
…（8 分）
（3）由（2）知，又函数f（x）在x= 1
3处取得极小值点f（
1
3）=−4
27f（﹣1）＝6，f（1）＝2
…（10
分）
函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为6，最小值为−4
27 ⋯（12 分）
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
20．（2018•濮阳一模）已知点M（2，1）在抛物线C：y＝ax2 上，A，B 是抛物线上异于M 的两点，以AB 为直径
的圆过点M．
（1）证明：直线AB 过定点；
（2）过点M 作直线AB 的垂线，求垂足N 的轨迹方程．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）先求出抛物线方程，再设直线AB 的方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理
和向量的数量积可得即m＝2k+5，或m＝﹣2k+1，即可求出定点坐标，
（2）由（Ⅰ）设直线AB 恒过定点R（﹣2，5），则点N 的轨迹是以MR 为直径的圆且去掉（±2，1），问题得
以解决
【解答】证明：（Ⅰ）点M（2，1）在抛物线C：y＝ax2 上，
∴1＝4a，解得a= 1
4，
∴抛物线的方程为x2＝4y，
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第274页（共926页）
由题意知，故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立得x2 = 4y
y = kx + m，消y 可得x2﹣4kx﹣4m＝0，得x1+x2＝4k，x1x2＝4m，
由于MA⊥MB，
∴MA
→
•MB
→
=0，
即（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣2）（y2﹣2）＝0，
即x1x2﹣2（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+5＝0，（*）
∵y1+y2＝k（x1+x2）+2m，y1y2＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2，
代入（*）式得4k2+8k＝m2﹣6m+5，即（2k+2）2＝（m﹣3）2，
∴2k+2＝m﹣3，或2k+2＝3﹣m，即m＝2k+5，或m＝﹣2k+1，
当m＝2k+5 时，直线AB 方程为y＝k（x+2）+5，恒过定点（2，5），
经验证，此时△＞0，符合题意，
当m＝﹣2k+1 时，直线AB 方程为y＝k（x+2）+5，恒过定点（2，1），不合题意，
∴直线AB 恒过点（﹣2，5），
（Ⅱ）由（Ⅰ）设直线AB 恒过定点R（﹣2，5），则点N 的轨迹是以MR 为直径的圆且去掉（±2，1），
方程为x2+（y﹣3）2＝8，y≠1．
【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及圆的有关性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题
21．（12 分）（2018•绵阳模拟）如图，在五面体ABCDPN 中，棱PA⊥底面ABCD，AB＝AP＝2PN．底面ABCD
是菱形，∠BAD = 2π
3 ．
（Ⅰ）求证：PN∥AB；
（Ⅱ）求二面角B﹣DN﹣C 的余弦值．
【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（Ⅰ）推导出AB∥面CDPN．由此能证明AB∥PN．
（Ⅱ）取CD 的中点M，则AM⊥AB，以A 点为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角
B﹣DN﹣C 的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）在菱形ABCD 中，AB∥CD，
∵CD⊂面CDPN，AB⊄面CDPN，∴AB∥面CDPN．
又AB⊂面ABPN，面ABPN∩面CDPN＝PN，
∴AB∥PN．
解：（Ⅱ）取CD 的中点M，则由题意知AM⊥AB，
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AM．
如图，以A 点为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，
设AB＝2，则B（2，0，0），C（1，3，0），D（﹣1，3，0），N（1，0，2），
∴BD
→
=（﹣3，3，0），DN
→
=（2，−
3，2），CD
→
=（﹣2，0，0）．
设平面BDN 的一个法向量为n
→=（x，y，z），
则n
→⋅BD
→
=−3x +
3y = 0
n
→⋅DN
→
= 2x −
3y + 2z = 0
，令x＝1，则n
→=（1，3，
1
2），
设平面DNC 的一个法向量为m
→=（x，y，z），
则m
→⋅DN
→
= 2x −
3y + 2z = 0
m
→⋅CD
→
=−2x = 0
，取z=
3，得m
→=（0，2，3），
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第275页（共926页）
∴cos＜m
→，n
→＞=
m
→⋅n
→
|m
→|⋅|n
→|
=
5 3
2
17
4 ⋅7
= 5 357
119 ．
∴二面角B﹣DN﹣C 的余弦值为
5 357
119 ．
【点评】本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
22．（12 分）（2018 秋•武邑县校级期末）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）过点A（2，3），且离心率e= 1
2．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）是否存在过点B（0，﹣4）的直线l 交椭圆于不同的两点M、N，且满足OM
→
•ON
→
= 16
7 （其中点O 为坐标原
点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）由已知条件推导出
c
a = 1
2
4
a2 + 9
b2 = 1
a2 = b2 + c2
，由此能求出椭圆C 的标准方程．
（2）设直线l 的方程为y＝kx﹣4，联立
y = kx −4
x2
16 + y2
12 = 1，得（4k2+3）x2+32kx+16＝0，由此利用韦达定理结合已知
条件能求出直线l 的方程．
【解答】解：（1）∵椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）过点A（2，3），且离心率e= 1
2，
∴
c
a = 1
2
4
a2 + 9
b2 = 1
a2 = b2 + c2
，解得a＝4，c＝2，b=
16 −4 =2 3，
∴椭圆C 的标准方程是
x2
16 +
y2
12 = 1．
（2）设直线l 的方程存在，若l 的斜率不存在，则M（0，2 3），N（0，﹣2 3），
此时OM
→
⋅ON
→
= 12，不成立．
若l 的斜率k 存在，则l 的方程为y＝kx﹣4，
联立
y = kx −4
x2
16 + y2
12 = 1，得（4k2+3）x2+32kx+16＝0，
△＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1 + x2 =−
32k
4k2+3，x1x2 =
16
4k2+3，
y1y2＝（kx1+4）（kx2+4）＝k2x1x2+4k（x1+x2）+16，
∵OM
→
•ON
→
= 16
7 ，
∴x1x2+y1y2＝（k2+1）x1x2+4k（x1+x2）+16
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第276页（共926页）
= 16k2+16
4k2+3 −128k2
4k2+3 +16= 16
7 ，
解得k2＝1．
∴直线l 的方程为y＝±x+4．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真
审题，注意向量的数量积的合理运用．
23．（12 分）（2008•福建）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=
2，底面ABCD
为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O 为AD 中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点A 到平面PCD 的距离．
【考点】LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线PO 垂直平面ABCD 中的两条相交直线垂直即可；
（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中
再利用余弦定理求出此角即可；
（3）利用等体积法建立等量关系，可求得点A 到平面PCD 的距离．
【解答】解：（Ⅰ）证明：在△PAD 卡中PA＝PD，O 为AD 中点，所以PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接BO，在直角梯形ABCD 中，BC∥AD，AD＝2AB＝2BC，
有OD∥BC 且OD＝BC，所以四边形OBCD 是平行四边形，
所以OB∥DC．
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO 为锐角，
所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角．
因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB 中，AB＝1，AO＝1，所以OB=
2，
在Rt△POA 中，因为AP=
2，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO 中，PB=
OP2 + OB2 =
3，
cos∠PBO= OB
PB =
2
3 =
6
3 ，
所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为
6
3 ．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得CD＝OB=
2，
在Rt△POC 中，PC=
OC2 + OP2 =
2，
所以PC＝CD＝DP，S△PCD=
3
4 •2=
3
2 ．
又S△= 1
2 AD ⋅AB = 1，
设点A 到平面PCD 的距离h，
由VP﹣ACD＝VA﹣PCD，
得
1
3S△ACD•OP= 1
3S△PCD•h，
即
1
3 ×1×1= 1
3 × 3
2 ×h，
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第277页（共926页）
解得h= 2 3
3 ．
【点评】本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能
力，逻辑思维能力和运算能力．
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第278页（共926页）
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B 实际理解为：x 是A 且是B 中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集
合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交
集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．四种命题间的逆否关系
【知识点的认识】
基本概念：
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命
题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否
定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命
题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原
命题的逆否命题．
四种命题的关系：
【解题方法点拨】
由于本处命题主要是概念型与理解型的题，准确理解概念；注意原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真
假．原命题与逆否命题同真假，为解题提供逆向思维的方法，反证法的应用．
【命题方向】近几年的高考主要是考察对四命题的理解以及命题之间互为逆否关系的理解，通常以小题为主．又可
以与充要条件联合命题．
3．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集
的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集
的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
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（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确
定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（
）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x) = x3 + x2[f'(x) +
m
2 ]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
ln2
2 ×
ln3
3 ×
ln4
4 × ⋯×
lnn
n ＜
1
n (n ≥2，n ∈N∗)．
解：（Ⅰ）f'(x) = a(1−x)
x
(x＞0)（2 分）
当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）
（Ⅱ）f'(2) =−a
2 = 1 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴g(x) = x3 + ( m
2 + 2)x2 −2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g'(t)＜0
g'(3)＞0
(8 分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0 恒成立，
所以有：
g'(1)＜0
g'(2)＜0
g'(3)＞0
，∴−37
3 ＜m＜−9（10 分）
（Ⅲ）令a＝﹣1 此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1 对一切x∈（1，+∞）成立，（12 分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnn
n ＜n−1
n
∴
ln2
2 ⋅
ln3
3 ⋅
ln4
4 ⋅⋅
lnn
n ＜
1
2 ⋅
2
3 ⋅
3
4 ⋅⋅
n−1
n
=
1
n (n ≥2，n ∈N∗)
【解题方法点拨】
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若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完
全类似）．即在区间内f′（x）＞0 是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
4．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说
f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y 极大值＝f（x0），x0 是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f
（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y 极小值＝f（x0），x0 是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不
意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能
在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0 满足f′（x0）＝0，且在x0 的两侧f（x）的导数异号，则x0 是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′
（x）在x0 两侧满足“左正右负”，则x0 是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0 两侧满足“左
负右正”，则x0 是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0 的根；
（3）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左
右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极
小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
5．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函
数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）= 1
x在（0，+∞）内连
续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
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2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函
数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点
时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
6．不等式恒成立的问题
v．
7．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法
包括：
（1）公式法：
①等差数列前n 项和公式：Sn＝na1+ 1
2n（n﹣1）d 或Sn= n(a1+an)
2
②等比数列前n 项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n 项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{
1
anan+1
}的前n 项和，其中{an}为各项不为0 的等差数列，即
1
anan+1
=
1
d（
1
an
−
1
an+1
）．
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（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就
可以得到n 个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数
列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n 项和为Sn．
（Ⅰ）求an 及Sn；
（Ⅱ）令bn=
1
an2−1（n∈N*），求数列{bn}的前n 项和Tn．
分析：形如{
1
等差×等差}的求和，可使用裂项相消法如：
1
1×3 +
1
3×5 +
1
5×7 + ⋯+
1
99×100 =
1
2 {(1 −
1
3 ) + (
1
3 −
1
5 ) + (
1
5 −
1
7 ) + ⋯+ (
1
99 −
1
100 )} =
99
200．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴a1 + 2d = 7
2a1 + 10d = 26，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn= 3n + n(n−1)
2
× 2 =n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn=
1
an2−1 =
1
(2n+1)2−1 = 1
4 ⋅
1
n(n+1) = 1
4 ⋅( 1
n −
1
n+1 )，
∴Tn= 1
4 ⋅(1 −1
2 + 1
2 −1
3 + ⋯+ 1
n −
1
n+1 ) = 1
4 ⋅(1 −
1
n+1 ) =
n
4(n+1)，
即数列{bn}的前n 项和Tn=
n
4(n+1)．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等
差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
8．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1 项（或前几项），且任一项an 与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系
可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n 项和Sn 与通项an 的关系式：an= sn −sn−1
;
;n ≥2
s1
;
;n = 1．
在数列{an}中，前n 项和Sn 与通项公式an 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1 时，a1＝S1）；
若a1 适合由an 的表达式，则an 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an 与Sn 的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an
或Sn 的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an= sn −sn−1
;
;n ≥2
s1
;
;n = 1．一般地当已知条件中含有an
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与Sn 的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=
f(1)
;
;n = 1
f(n)
f(n−1)
;n ≥2
．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知
an+1
an
=f（n）求an，用累乘法：an=
an
an−1 ⋅an−1
an−2 ⋅⋯a2
a1 ⋅a1（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，
再求an．
②形如an=
an−1
kan−1+b的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
9．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设a
→，b
→
都是非零向量，e
→是与b
→
方向相同的单位向量，a
→与b
→
和夹角为θ，则：
（1）a
→⋅e
→= e
→⋅a
→=|a
→|cosθ；
（2）a
→⊥b
→
⇔a
→⋅b
→
=0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当a
→，b
→
方向相同时，a
→⋅b
→
=|a
→||b
→
|；当a
→，b
→
方向相反时，a
→⋅b
→
=−|a
→||b
→
|；
特别地：a
→⋅a
→=|a
→|2 或|a
→|=
a
→⋅a
→（用于计算向量的模）
（4）cosθ=
a
→⋅b
→
|a
→||b
→
|
（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）|a
→⋅b
→
|≤|a
→||b
→
|
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：a
→⋅b
→
= b
→
⋅a
→；
（2）数乘向量的结合律：（λa
→）•b
→
=λ（a
→⋅b
→
）= a
→•（λb
→
）；
（3）分配律：（a
→⋅b
→
）•c
→≠a
→•（b
→
⋅c
→）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（a
→±b
→
）2= a
→2±2a
→•b
→
+ b
→2．②（a
→−b
→
）（a
→+ b
→
）= a
→2−b
→2．③a
→•（b
→
•c
→）
≠（a
→•b
→
）•c
→，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a
→⋅b
→
= b
→
⋅a
→”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a
→+ b
→
）•c
→= a
→⋅c
→+ b
→
⋅c
→”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c
→≠0，a
→⋅c
→= b
→
⋅c
→⇒a
→= c
→”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a
→⋅b
→
|＝|a
→|•|b
→
|”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a
→⋅b
→
）• c
→= a
→⋅(b
→
⋅c
→)”；
⑥“
ac
bc =
a
b”类比得到
a
→⋅c
→
b
→
⋅c
→=
b
→
a
→．以上的式子中，类比得到的结论正确的是
①②
．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“a
→⋅b
→
= b
→
⋅a
→”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a
→+ b
→
）• c
→= a
→⋅c
→+ b
→
⋅c
→”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
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∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“ c
→≠0，a
→⋅c
→= b
→
⋅c
→⇒a
→= c
→”，
即③错误；
∵|a
→⋅b
→
|≠|a
→|•|b
→
|，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a
→⋅b
→
|＝|a
→|•|b
→
|”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a
→⋅b
→
）• c
→= a
→⋅(b
→
⋅c
→)”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴
ac
bc =
a
b”不能类比得到
a
→⋅c
→
b
→
⋅c
→=
b
→
a
→，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a
→⋅b
→
= b
→
⋅a
→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”
类比得到“（a
→+ b
→
）•c
→= a
→⋅c
→+ b
→
⋅c
→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“ c
→≠0，
a
→⋅c
→= b
→
⋅c
→⇒a
→= c
→”；|a
→⋅b
→
|≠|a
→|•|b
→
|，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a
→⋅b
→
|＝|a
→|•|b
→
|”；向量的数量积不满足结
合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a
→⋅b
→
）• c
→= a
→⋅(b
→
⋅c
→)”；向量的数量积不满足消元律，故
ac
bc =
a
b”
不能类比得到
a
→⋅c
→
b
→
⋅c
→=
b
→
a
→．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，
所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
10．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
11．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A 所对应的区域用A 表示（A⊆Ω），则P
（A）= A 的度量
Ω的度量称为事件A 的几何概率．
12．离散型随机变量及其分布列
【考点归纳】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字
母ξ、η等表示．
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（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变
量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b 是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变
量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试
验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验结果的不同而
变化的，这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表
示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X 的所有可能值为x1，x2，…，xn；X 取每一个对应值的概率分别为p1，
p2，…，pn，则得下表：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
该表为随机变量X 的概率分布，或称为离散型随机变量X 的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
13．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn= 1
n，
Eξ＝（x1+x2+…+xn）× 1
n，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，
pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简
称为方差，式中的Eξ Dξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的标准差，记作
．
方差的性质：
．
方差的意义：
（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散
的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
14．循环结构
【知识点的认识】
1．循环结构：需要重复执行同一操作的结构称为循环结构，即从某处开始，按照一定的条件反复执行某一处理步
骤，反复执行的处理步骤称为循环体．
2．两种循环结构：
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【命题方向】
掌握循环结构的功能特点，注意与其他算法结构的区分．理解“当型”和“直到型”两种循环结构的含义、作用，
尤其注意区分两者区别．题目多以应用计算为主，考查纯概念性问题较少，解题时要留意题目所给条件，细心作答．
例：若执行如图所示的程序框图，输出S 的值为3，则判断框中应填入的条件是（
）
A．k＜6？B．k＜7？C．k＜8？D．k＜9？
分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S＝3，可得判断框内应填入的条件．
解答：根据程序框图，运行结果如下：
S
k
第一次循环log23
3
第二次循环log23•log34
4
第三次循环log23•log34•log45
5
第四次循环log23•log34•log45•log56
6
第五次循环log23•log34•log45•log56•log67
7
第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78＝log28＝3
8
故如果输出S＝3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k＜8．
故选：C．
点评：本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．
15．程序框图
【知识点的知识】
1．程序框图
（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法
的图形；
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（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不
可缺少的．
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何
需要输入、输出的位置．
处理框
赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，
它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”
或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．
流程线
算法进行的前进方向以及先后顺序
连结点
连接另一页或另一部分的框图
注释框
帮助编者或阅读者理解框图
（3）程序框图的构成．
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．
16．三角函数的恒等变换及化简求值
【概述】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x 数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函
数，主要的方法就是运用它们的周期性．
【公式】
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（
π
2 +x）＝sin（
π
2 −x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（
π
2 −x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（
π
2 −x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（
π
2 −x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
【例题解析】
例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于
解：sin60° =
3
2 ，cos( −45°) = cos45° =
2
2 ，sin( −420°) = sin( −1 × 360° −60°) =−sin60° =−3
2 ，cos( −570°) =
cos( −1 × 360° −210°) = cos210° = cos(180° + 30°) =−cos30° =−3
2 ，
∴原式=
3
2 ×
2
2 −( −
3
2 )( −
3
2 ) =
6−3
4
．
先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求
得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．
【考点点评】
本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一
个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．
17．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
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2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和
短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
c
a叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e= c
a，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e 越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为
x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
18．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
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19．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
20．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联
立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C 上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C 的离心率e = 1
2．
（1）求圆锥曲线C 的方程；
（2）设经过点F2 的任意一条直线与圆锥曲线C 相交于A、B，试证明在x 轴上存在一个定点P，使PA
→
⋅PB
→
的值是
常数．
解：（1）依题意，设曲线C 的方程为
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0），
∴c＝1，
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∵e = c
a = 1
2，
∴a＝2，
∴b =
a2 −c2 =
3，
所求方程为
x2
4 +
y2
3 = 1．
（2）当直线AB 不与x 轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由
x2
4 + y2
3 = 1
y = k(x −1)
，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而xA + xB =
8k2
3+4k2，xA ⋅xB = 4(k2−3)
3+4k2 ，
设P（t，0），则
PA
→
⋅PB
→
= (xA −t)(xB −t) + yAyB = (k2 + 1)xAxB −(t + k2)(xA + xB) + (k2 + t2) = 3t2−12+(−5−8t+4t2)k2
3+4k2
当
3t2−12
3
=
−5−8t+4t2
4
，
解得t = 11
8
此时对∀k∈R，PA
→
⋅PB
→
=−135
64 ；
当AB⊥x 轴时，直线AB 的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，yA(yB) =± 3
2，
对t = 11
8 ，PA
→
⋅PB
→
= (xA −t)(xB −t) + yAyB = 9
64 −9
4 =−135
64 ，
即存在x 轴上的点P( 11
8 ，0)，使PA
→
⋅PB
→
的值为常数−135
64 ．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关
系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c 中的两个
值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当
的放到最后做．
21．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：
（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
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（1）表面积公式：
圆柱：S圆柱= 2πr(r + l)
圆锥：S圆锥= πr(r + l)
圆台：S圆台= π(r2 + r'2 + rl + r'l)
球：S球= 4πr2
（2）体积公式：
柱体：V柱= Sh
锥体：V锥= 1
3 Sh
台体：V台= 1
3 (S +
SS' + S')h
球：V球= 4πr3
3
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图
的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之
间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面
积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A.8﹣2πB.8﹣πC.8−π
2
D.8−π
4
分析：几何体是正方体切去两个
1
4圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入
正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个
1
4圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2× 1
4 ×π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
22．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点
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的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V 球体= 4
3 πR3
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S 球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得
出球体半径是解题关键．
23．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b 是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′
所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，
π
2]．当θ＝90°时，称两
条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
24．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，
a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，
就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b 与a 的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a 平行有
无数条，另一类与a 异面，也有无数条．
25．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l 和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l 叫
做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l 和平面α，l⊥α⇔l 垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
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①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
26．共线向量与共面向量
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行
向量，记作a
→∥b
→
．0
→
与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量a
→、b
→
（b
→
≠0），a
→∥b
→
的充要条件是存在实数λ，使得a
→= λb
→
．
（2）共面向量定理
如果两个向量a
→、b
→
不共线，则向量p
→与向量a
→、b
→
共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得p
→= xa
→+ yb
→
．
【解题方法点拨】
空间向量共线问题：
（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a
→= λb
→
成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体
图形，通过化简、计算得出a
→= λb
→
，从而a
→∥b
→
．
（2）a
→∥b
→
表示a
→与b
→
所在的直线平行或重合两种情况．
空间向量共面问题：
（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过
程中注意直线与向量的相互转化．
（2）空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使MP
→
= xMA
→
+ yMB
→
．满足这个关系式
的点P 都在平面MAB 内，反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
证明三个向量共面的常用方法：
（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；
（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
【命题方向】
1，考查空间向量共线问题
例：若a
→=（2x，1，3），b
→
=（1，﹣2y，9），如果a
→与b
→
为共线向量，则（
）
A．x＝1，y＝1
B．x= 1
2，y=−1
2
C．x= 1
6，y=−3
2
D．x=−1
6，y= 3
2
分析：利用共线向量的条件b
→
= λa
→，推出比例关系求出x，y 的值．
解答：∵a
→=（2x，1，3）与b
→
=（1，﹣2y，9）共线，
故有
2x
1 =
1
−2y =
3
9．
∴x= 1
6，y=−3
2．
故选C．
点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．
2．考查空间向量共面问题
例：已知A、B、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A、B、C 一定共面的是
（
）
A．OM
→
= OA
→
+ OB
→
+ OC
→
B．OM
→
= 2OA
→
−OB
→
−OC
→
C．OM
→
= OA
→
+ 1
2 OB
→
+ 1
3 OC
→
D．OM
→
= 1
3 OA
→
+ 1
3 OB
→
+ 1
3 OC
→
分析：根据共面向量定理OM
→
= m ⋅OA
→
+ n ⋅OB
→
+ p ⋅OC
→
，m + n + p = 1，说明M、A、B、C 共面，判断选项的正
误．
解答：由共面向量定理OM
→
= m ⋅OA
→
+ n ⋅OB
→
+ p ⋅OC
→
，m + n + p = 1，
说明M、A、B、C 共面，
可以判断A、B、C 都是错误的，
则D 正确．
故选D．
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点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．
27．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部
分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣
Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，
则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的
另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所
成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为u
→和v
→，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜u
→，v
→＞≤π
2，θ= ＜u
→，v
→＞，此时cosθ＝cos＜u
→，v
→＞=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
（2）当
π
2 ＜＜u
→，v
→＞≤π时，θ＝cos（π−＜u
→，v
→＞）＝﹣cos＜u
→，v
→＞=−=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
28．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
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2019-2020 学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12 小愿，每小题5 分，瀹分60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
请在答题卡上填涂相应选项.
1．（5 分）若命题P：∃x0∈R，使得sinx0=−1
3，则（
）
A．￢p：∀x∈R，都有sinx＞−1
3
B．￢p：∀x∈R，都有sinx＜−1
3
C．￢p：∃x0∈R，使得sinx0≠−1
3
D．￢p：∀x∈R，都有sinx≠−1
3
2．（5 分）设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论一定成立的是（
）
A．a﹣c＞b﹣d
B．a+c＞b+d
C．ac＞bd
D．
a
d ＞
b
c
3．（5 分）根据所给数列前五项的规律，判断数列1，3，5，7，3…，3 3共有（
）个项
A．27
B．9
C．13
D．14
4．（5 分）△ABC 中，角A、B、C 所对的边长分别为a、b、c，已知sinA：sinB＝3：5，c＝2b﹣a，则cosB＝（
）
A．
11
14
B．−1
2
C．
13
14
D．
3
2
5．（5 分）a
→=（2，m，0），b
→
=（1，3，n﹣1），若a
→∥b
→
，则m+2n＝（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
6．（5 分）平面内有定点A、B 及动点P，设命题M：“||PA|﹣|PB||为定值”，命题N：“P 点的轨迹是以A、B 为焦点
的双曲线”，则（
）
A．M 是N 的必要不充分条件
B．M 是N 的充分不必要条件
C．M 是N 的充要条件
D．M 是N 的既不充分也不必要条件
7．（5 分）空间直角坐标系o﹣xyz 中，有四个点，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（3，4，5），则
D 到平面ABC 的距离为（
）
A．3 3
B．
10 3
3
C．
11 3
3
D．4 3
8．（5 分）△ABC 中，角A、B、C 所对的边长分别为a、b、c，若a＝15，b＝24，A＝46°，则此三角形解的个数
为（
）
A．一解
B．二解
C．无解
D．解的个数不确定
9．（5 分）如图，四面体S﹣ABC 中，D 为BC 中点，点E 在AD 上，AD＝3AE，则SE
→
=（
）
A．
1
3 SA
→
+
1
2 SB
→
+
1
3 SC
→
B．
2
3 SA
→
+
1
6 SB
→
+
1
6 SC
→
C．
1
2 SA
→
+
1
4 SB
→
+
1
4 SC
→
D．
1
2 SA
→
+
1
3 SB
→
+
1
6 SC
→
10．（5 分）如图，为测一塔AB 的高度，某人在与塔底A 同一水平线上的C 点测得∠ACB 为45°，再沿AC 方向
前行20（3 −1）米到达D 点，测得∠ADB 为30°，则塔高AB 为（
）米
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A．40 3
B．20 3
C．40
D．20
11．（5 分）双曲线M：
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，离心率为
6
2 ，则过P（0，1）点且与双曲线M 相
切的直线l 的方程为（
）
A．y＝± 2x +1
B．y＝±x+1
C．y＝± 3x+1
D．y＝±
1
2x+1
12．（5 分）数列{an}是正项等比数列，满足anan+1＝4n，则数列{
1
log2an⋅log2an+1
}的前n 项和Tn＝（
）
A．
4n
2n+1
B．
4n
2n−1
C．
n
2n+1
D．
n
2n−1
二、填空：本大题共8 小题，每小题5 分，淌分40 分.请将答案填在答题卡相应位置
13．（5 分）设原命题：“若a+b≤1，则a，b 中至少有一个不大于
1
2”，则
①逆命题是“若a，b 中至少有一个不大于
1
2，则a+b≤1”
②否命题是“若a+b≤1，则a，b 中至少有一个大于
1
2”
③逆否命题是“若a，b 中至少有一个不大于
1
2，则a+b＞1”
则叙述正确的命题序号为
．
14．（5 分）变量x、y 满足
x + 2y −4 ≤0
x −y −1 ≤0
2x + y −2 ≥0
，则z＝﹣5x+y 的最大值为
．
15．（5 分）过点P（3，0）且斜率为k= 4
5的直线l 被椭圆C：
x2
25 +
y2
16 =1 所截得的线段长为
．
16．（5 分）数列{an}满足a1＝﹣1，a2＝3，an＝an+1﹣an+2，则a7＝
．
17．（5 分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱AB＝3，AD＝AA1＝2，E 点在棱D1C1 上，且D1E= 1
3D1C1，则
直线AE 与DB1 所成角的余弦值为
．
18．（5 分）设抛物线M：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线方程为x＝﹣1，过点P（p，0）的斜率为k 的直线l
交抛物线M 于A、B 二点，|AF|+|BF|＝10，则直线l 的斜率k＝
．
19．（5 分）三数成等差数列，和为6，适当排列后，成等比数列，则此三数之积为
．
20．（5 分）如图，四边形ABCD 中，AB=
3，BC＝CD＝DA＝1，S△ABD、S△BCD 分别表示△ABD、△BCD 的面
积，则S2
△ABD+S2
△BCD 的最大值为
．
三、解答题：本题共有5 个小题，每个小题10 分，共50 分，请将详细解答过程写在答题卡上，须写出文字说明、
证明过程和演算步聊
21．（10 分）△ABC 中，角A、B、C 所对的边长分别为a、b、c，且a•cosB＝b•sinA．
（1）求角B 的大小；
（2）若b=
12 −2 2，ac＝2，求a+c 的值．
22．（10 分）如图，矩形ABCD 中，AB＝6，AD＝3，E、F 分别是CD、AB 的中点，将△AED 沿折痕AE 折起，
使点D 旋转到D1 的位置，使平面AED1 与平面ABCE 垂直，利用建好的空间直角坐标系，使用空间向量坐标法，
完成下列问题（改换坐标系或不使用空间向量坐标法不给分）
（1）证明：BE⊥平面AED1；
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（2）求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值．
23．（10 分）等差数列{an}满足a1＝3，2a3＝a6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an•3n﹣1”求数列{bn}的前n 项和Sn．
24．（10 分）实数x、y 满足条件
x −y + 1 ≤0
x −2y + 4 ≥0
3x + y −3 ≥0
．
（1）求
y−2
x−3的取值范围；
（2）当x+ y
3取得最小值时，求
2
x +
3
y的最小值．
25．（10 分）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别是F1、F2，C 过点M（1，−3
2），离心率e= 1
2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若PQ 为椭圆C 过F1 的弦，R 为PF2 的中点，O 为坐标原点，求△RF1F2、△OF1Q 面积之和的最大值．
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2019-2020 学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小愿，每小题5 分，瀹分60 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
请在答题卡上填涂相应选项.
1．（5 分）若命题P：∃x0∈R，使得sinx0=−1
3，则（
）
A．￢p：∀x∈R，都有sinx＞−1
3
B．￢p：∀x∈R，都有sinx＜−1
3
C．￢p：∃x0∈R，使得sinx0≠−1
3
D．￢p：∀x∈R，都有sinx≠−1
3
【解答】解：∵命题P：∃x0∈R，使得sinx0=−1
3，”是特称命题
￢p：∀x∈R，都有sinx≠−1
3
故选：D．
2．（5 分）设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列结论一定成立的是（
）
A．a﹣c＞b﹣d
B．a+c＞b+d
C．ac＞bd
D．
a
d ＞
b
c
【解答】解：A、∵a＞b，c＞d，∴﹣c＜﹣d，∴a+c 与b+c 无法比较大小，故本选项错误；
B、∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b﹣d，故本选项正确；
C、当a＞b，c＞d＞0 时，ac＞bd，故本选项错误；
D、当a＞b，c＞d＞0 时，
a
d ＞
b
c，故本选项错误．
故选：B．
3．（5 分）根据所给数列前五项的规律，判断数列1，3，5，7，3…，3 3共有（
）个项
A．27
B．9
C．13
D．14
【解答】解：数列1，3，5，7，3…，3 3，可得an=
2n −1，
则2n −1 =3 3，
即2n﹣1＝27，
解得n＝14，
故选：D．
4．（5 分）△ABC 中，角A、B、C 所对的边长分别为a、b、c，已知sinA：sinB＝3：5，c＝2b﹣a，则cosB＝（
）
A．
11
14
B．−1
2
C．
13
14
D．
3
2
【解答】解：∵sinA：sinB＝3：5，
∴由正弦定理可得：
a
b =
3
5，可得：a= 3
5b，
∴c＝2b﹣a= 7
5b，
∴cosB= a2+c2−b2
2ac
=
(3b
5 )2+(7b
5 )2−b2
2×3b
5 ×7b
5
= 11
14．
故选：A．
5．（5 分）a
→=（2，m，0），b
→
=（1，3，n﹣1），若a
→∥b
→
，则m+2n＝（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【解答】解：∵a
→=（2，m，0），b
→
=（1，3，n﹣1），a
→∥b
→
，
∴
2
1 =
m
3，且n﹣1＝0，
解得m＝6，n＝1，
∴m+2n＝8．
故选：C．
6．（5 分）平面内有定点A、B 及动点P，设命题M：“||PA|﹣|PB||为定值”，命题N：“P 点的轨迹是以A、B 为焦点
的双曲线”，则（
）
A．M 是N 的必要不充分条件
B．M 是N 的充分不必要条件
C．M 是N 的充要条件
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D．M 是N 的既不充分也不必要条件
【解答】解：命题M 是：“|PA|﹣|PB|是定值”，
命题N 是：“点P 的轨迹是以A．B 为焦点的双曲线”，
∵当一个动点到两个顶点距离之差的绝对值等于定值时，再加上这个值小于两个定点之间的距离，
可以得到动点的轨迹是双曲线，没有加上的条件：“差的绝对值”不能推出，
而点P 的轨迹是以A．B 为焦点的双曲线，一定能够推出|PA|﹣|PB|是定值，
∴M 是N 成立的必要不充分条件．
故选：A．
7．（5 分）空间直角坐标系o﹣xyz 中，有四个点，A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（3，4，5），则
D 到平面ABC 的距离为（
）
A．3 3
B．
10 3
3
C．
11 3
3
D．4 3
【解答】解：∵空间直角坐标系o﹣xyz 中，有四个点，
A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（3，4，5），
∴AD
→
=（2，4，5），AB
→
=（﹣1，1，0），AC
→
=（﹣1，0，1），
设平面ABC 的法向量n
→=（x，y，z），
则n
→⋅AB
→
=−x + y = 0
n
→⋅AC
→
=−x + z = 0
，取n
→=（1，1，1），
∴D 到平面ABC 的距离为：
d= |n
→⋅AD
→
|
|n
→|
= 11
3 = 11 3
3 ．
故选：C．
8．（5 分）△ABC 中，角A、B、C 所对的边长分别为a、b、c，若a＝15，b＝24，A＝46°，则此三角形解的个数
为（
）
A．一解
B．二解
C．无解
D．解的个数不确定
【解答】解：△ABC 中，a＝15，b＝24，A＝46°，
由正弦定理得，
15
sin46° =
24
sinB，
∴sinB= 8
5sin46°＞8
5 ×sin45°= 8
5 × 2
2 ＞8
5 ×0.7＞1，
∴B 的值不存在，此三角形无解．
故选：C．
9．（5 分）如图，四面体S﹣ABC 中，D 为BC 中点，点E 在AD 上，AD＝3AE，则SE
→
=（
）
A．
1
3 SA
→
+
1
2 SB
→
+
1
3 SC
→
B．
2
3 SA
→
+
1
6 SB
→
+
1
6 SC
→
C．
1
2 SA
→
+
1
4 SB
→
+
1
4 SC
→
D．
1
2 SA
→
+
1
3 SB
→
+
1
6 SC
→
【解答】解：四面体S﹣ABC 中，D 为BC 中点，点E 在AD 上，AD＝3AE，
∴SE
→
= SA
→
+ 1
3 AD
→
= SA
→
+ 1
3 × 1
2 (AC
→
+ AB
→
)
= SA
→
+ 1
6 AC
→
+ 1
6 AB
→
= SA
→
+ 1
6（SC
→
−SA
→
）+ 1
6（SB
→
−SA
→
）
= 2
3 SA
→
+ 1
6 SB
→
+ 1
6 SC
→
．
故选：B．
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10．（5 分）如图，为测一塔AB 的高度，某人在与塔底A 同一水平线上的C 点测得∠ACB 为45°，再沿AC 方向
前行20（3 −1）米到达D 点，测得∠ADB 为30°，则塔高AB 为（
）米
A．40 3
B．20 3
C．40
D．20
【解答】解：Rt△ABC 中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°，得AC＝x，
Rt△ABD 中，AD＝x+20（3 −1），∠ADB＝30°，
∴
x
x+20( 3−1) =tan30°，
x+20( 3−1)
x
=
3，
解得x＝20，
则塔高AB 为20 米．
故选：D．
11．（5 分）双曲线M：
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，离心率为
6
2 ，则过P（0，1）点且与双曲线M 相
切的直线l 的方程为（
）
A．y＝± 2x +1
B．y＝±x+1
C．y＝± 3x+1
D．y＝±
1
2x+1
【解答】解：可得b＝1，
c
a =
6
2 ⇒
a2+b2
a2
=
3
2⇒a2＝2，
∴双曲线M：
x2
2 −y2 = 1．
由x2 −2y2 = 2
y = kx + 1
可得（1﹣2k2）x2﹣4kx﹣4＝0．
△＝16k2+16（1﹣2k2）＝0，且1﹣2k2≠0，
k＝±1．
∴直线l 的方程为：y＝±x+1，
故选：B．
12．（5 分）数列{an}是正项等比数列，满足anan+1＝4n，则数列{
1
log2an⋅log2an+1
}的前n 项和Tn＝（
）
A．
4n
2n+1
B．
4n
2n−1
C．
n
2n+1
D．
n
2n−1
【解答】解：数列{an}是正项等比数列，公比设为q（q＞0），
由anan+1＝4n，可得a1a2＝a12q＝4，a2a3＝a12q3＝16，
解得a1=
2，q＝2，
an＝a1qn﹣1=
2•2n﹣1＝2
n−1
2，
则数列
1
log2an⋅log2an+1
=
1
log22n−1
2⋅log22n+1
2
=
1
(n−1
2)(n+1
2) =
4
(2n−1)(2n+1) =2（
1
2n−1 −
1
2n+1），
则前n 项和Tn＝2（1−1
3 + 1
3 −1
5 + ⋯+
1
2n−1 −
1
2n+1）
＝2（1−
1
2n+1）=
4n
2n+1．
故选：A．
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第303页（共926页）
二、填空：本大题共8 小题，每小题5 分，淌分40 分.请将答案填在答题卡相应位置
13．（5 分）设原命题：“若a+b≤1，则a，b 中至少有一个不大于
1
2”，则
①逆命题是“若a，b 中至少有一个不大于
1
2，则a+b≤1”
②否命题是“若a+b≤1，则a，b 中至少有一个大于
1
2”
③逆否命题是“若a，b 中至少有一个不大于
1
2，则a+b＞1”
则叙述正确的命题序号为
①
．
【解答】解：①逆命题是“若a，b 中至少有一个不大于
1
2，则a+b≤1”，正确
②否命题是“若a+b＞1，则a，b 都不大于
1
2”，故②错误，
③逆否命题是“若a，b 中都不大于
1
2，则a+b＞1”，故③错误，
故正确的是①，
故答案为：①
14．（5 分）变量x、y 满足
x + 2y −4 ≤0
x −y −1 ≤0
2x + y −2 ≥0
，则z＝﹣5x+y 的最大值为
2
．
【解答】解：变量x、y 满足
x + 2y −4 ≤0
x −y −1 ≤0
2x + y −2 ≥0
的可行域如图，
由图象可知：
目标函数z＝﹣5x+y 过点B（0，2）时
z 取得最大值，zmax＝2，
故答案为：2．
15．（5 分）过点P（3，0）且斜率为k= 4
5的直线l 被椭圆C：
x2
25 +
y2
16 =1 所截得的线段长为
41
5
．
【解答】解：过点P（3，0）且斜率为k= 4
5的直线l 的方程为y= 4
5（x﹣3），
代入椭圆C：
x2
25 +
y2
16 =1 可得
x2﹣3x﹣8＝0，设弦的端点A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2＝3，x1x2＝﹣8，
即有弦长为|AB|=
1 + 16
25• (x1 + x2)2 −4x1x2
=
41
5 • 9 + 32 = 41
5 ．
故答案为：
41
5 ．
16．（5 分）数列{an}满足a1＝﹣1，a2＝3，an＝an+1﹣an+2，则a7＝
﹣1
．
【解答】解：根据题意，{an}满足an＝an+1﹣an+2，则an+2＝an+1﹣an，
又由a1＝﹣1，a2＝3，则a3＝a2﹣a1＝3﹣（﹣1）＝4，
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a4＝a3﹣a2＝4﹣3＝1，
a5＝a4﹣a3＝1﹣4＝﹣3，
a6＝a5﹣a4＝（﹣3）﹣1＝﹣4，
a7＝a6﹣a5＝（﹣4）﹣（﹣3）＝﹣1，
故答案为：﹣1
17．（5 分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱AB＝3，AD＝AA1＝2，E 点在棱D1C1 上，且D1E= 1
3D1C1，则
直线AE 与DB1 所成角的余弦值为
17
17
．
【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱AB＝3，
AD＝AA1＝2，E 点在棱D1C1 上，且D1E= 1
3D1C1，
∴A（2，0，0），E（0，1，2），D（0，0，0），B1（2，3，2），
AE
→
=（﹣2，1，2），DB1
→
=（2，3，2），
设直线AE 与DB1 所成角为θ，
则cosθ= |AE
→
⋅DB1
→
|
|AE
→
|⋅|DB1
→
|
=
3
9⋅17 =
17
17 ．
∴直线AE 与DB1 所成角的余弦值为
17
17 ．
故答案为：
17
17 ．
18．（5 分）设抛物线M：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线方程为x＝﹣1，过点P（p，0）的斜率为k 的直线l
交抛物线M 于A、B 二点，|AF|+|BF|＝10，则直线l 的斜率k＝
±1
．
【解答】解：∵抛物线M：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1，∴y2＝4x，
故过点P（p，0）的斜率为k 的直线l 方程可设为：y＝k（x﹣2）．
由y2 = 4x
y = k(x −2)⇒k2x2﹣（4k2+4）x+4＝0．
△＝（4k2+4）﹣16k2＞0，
x1 + x2 = 4 + 4
k2，
∵，|AF|+|BF|= x1 + p
2 + x2 + p
2 = x1 + x2 + p =10．
∴x1+x2＝4+ 4
k2 = 8，∴k＝±1．
故答案为：±1．
19．（5 分）三数成等差数列，和为6，适当排列后，成等比数列，则此三数之积为
﹣64 或8
．
【解答】解：设三个数分别为a﹣d，a，a+d，则（a﹣d）+a+（a+d）＝3a＝6，即a＝2．
因此三个数分别为2﹣d，2，2+d．
若三数适当排列后，成等比数列，则有（2﹣d）2＝2（2+d）时，解得d＝0 或d＝6，三个数分别为2，2，2 或
﹣4，2，8，乘积为﹣64 或8；
当（2+d）2＝2（2﹣d）时，解得d＝0 或d＝﹣6，三个数分别为2，2，2 或8，2，﹣4，乘积为﹣64 或8．
因此，三个数的乘积为﹣64 或8．
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故答案为：﹣64 或8．
20．（5 分）如图，四边形ABCD 中，AB=
3，BC＝CD＝DA＝1，S△ABD、S△BCD 分别表示△ABD、△BCD 的面
积，则S2
△ABD+S2
△BCD 的最大值为
7
8
．
【解答】解：∵S△ABD= 1
2•AB•AD•sinA=
3
2 sinA，S△BCD= 1
2•CD•BC•sinC= 1
2sinC，
∵BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cosA＝4﹣2 3cosA，
BD2＝CD2+BC2﹣2CD•BC•cosC＝2﹣2cosC，
∴4﹣2 3cosA＝2﹣2cosC，
cosC=
3cosA﹣1，
则S2
△ABD+S2
△BCD= 3
4sin2A+ 1
4sin2C= 3
4（1﹣cos2A）+ 1
4（1﹣cos2C）＝1−3
4cos2A−1
4cos2C＝1−3
4cos2A−1
4（3cosA
﹣1）2=−3
2（cosA−3
6 ）2+ 7
8．
∴当cosA=
3
6 时，则S2
△ABD+S2
△BCD 取最大值
7
8．
故答案为：
7
8．
三、解答题：本题共有5 个小题，每个小题10 分，共50 分，请将详细解答过程写在答题卡上，须写出文字说明、
证明过程和演算步聊
21．（10 分）△ABC 中，角A、B、C 所对的边长分别为a、b、c，且a•cosB＝b•sinA．
（1）求角B 的大小；
（2）若b=
12 −2 2，ac＝2，求a+c 的值．
【解答】解：（1）∵a•cosB＝b•sinA，
又∵由正弦定理
a
sinA =
b
sinB，可得：a•sinB＝b•sinA，
∴a•cosB＝a•sinB，
∴tanB＝1，
∵B∈（0，π），
∴B= π
4．
（2）∵B= π
4，b=
12 −2 2，ac＝2，
∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：12﹣2 2 =a2+c2−
2ac＝（a+c）2﹣2ac−
2ac =（a+c）2﹣2×2−
2 × 2，
∴解得：a+c＝4．
22．（10 分）如图，矩形ABCD 中，AB＝6，AD＝3，E、F 分别是CD、AB 的中点，将△AED 沿折痕AE 折起，
使点D 旋转到D1 的位置，使平面AED1 与平面ABCE 垂直，利用建好的空间直角坐标系，使用空间向量坐标法，
完成下列问题（改换坐标系或不使用空间向量坐标法不给分）
（1）证明：BE⊥平面AED1；
（2）求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值．
【解答】（1）证明：以E 为坐标原点，分别以EF，EC 所在直线为x，y 轴建立空间直角坐标系，
∵AB＝6，AD＝3，E、F 分别是CD、AB 的中点，平面AED1 与平面ABCE 垂直，
∴E（0，0，0），B（1，1，0），A（1，﹣1，0），C（0，1，0），D1( 1
2 ，−1
2 ，2
2 )．
BE
→
= ( −1，−1，0)，EA
→
= (1，−1，0)，ED1
→
= ( 1
2 ，−1
2 ，2
2 )．
∵BE
→
⋅EA
→
= 0，BE
→
⋅ED1
→
= 0，
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∴BE⊥EA，BE⊥ED1，又EA∩ED1＝E，
∴BE⊥平面AED1；
（2）解：EC
→
= (0，1，0)，EA
→
= (1，−1，0)，ED1
→
= ( 1
2 ，−1
2 ，2
2 )．
设平面EAD1 与平面EBD1 的一个法向量分别为m
→= (x1，y1，z1)，n
→= (x2，y2，z2)．
由
m
→⋅EA
→
= x1 −y1 = 0
m
→⋅ED1
→
= 1
2 x1 −1
2 y1 + 2
2 z1 = 0
，取y1＝1，得m
→= (1，1，0)；
由
n
→⋅EC
→
= y2 = 0
n
→⋅ED1
→
= 1
2 x2 −1
2 y2 + 2
2 z2 = 0
，取z2＝1，得n
→= ( −
2，0，1)．
∴cos＜m
→，n
→＞=
m
→⋅n
→
|m
→|⋅|n
→|
=
−2
2× 3 =−3
3 ．
由图可得，二面角A﹣D1E﹣C 为钝二面角，
∴二面角A﹣D1E﹣C 的余弦值为−3
3 ．
23．（10 分）等差数列{an}满足a1＝3，2a3＝a6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝an•3n﹣1”求数列{bn}的前n 项和Sn．
【解答】解：（1）设公差为d 的等差数列{an}满足a1＝3，2a3＝a6．
所以：
a1 = 3
2(a1 + 2d) = a1 + 5d
，
解得：d＝3，
故：an＝a1+3（n﹣1）＝3n．
（2）由于：an＝3n，
所以：bn = an ⋅3n−1 = n ⋅3n，
则：Sn = 1 ⋅31 + 2 ⋅32 + ⋯+ n ⋅3n①
所以：3Sn = 1 ⋅32 + 2 ⋅33 + ⋯+ n ⋅3n+1②，
①﹣②得：﹣2Sn = (31 + 32 + ⋯+ 3n) −n ⋅3n+1，
整理得：Sn = 2n−1
4
⋅3n+1 + 3
4．
24．（10 分）实数x、y 满足条件
x −y + 1 ≤0
x −2y + 4 ≥0
3x + y −3 ≥0
．
（1）求
y−2
x−3的取值范围；
（2）当x+ y
3取得最小值时，求
2
x +
3
y的最小值．
【解答】解：（1）实数x、y 满足条件
x −y + 1 ≤0
x −2y + 4 ≥0
3x + y −3 ≥0
的可行域如图：
A（
1
2，
3
2），B（2，3），
y−2
x−3的几何意义是可行域内的点与D（3，2）连线的斜率，
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可得DA 的斜率取得最大值为
2−3
2
3−1
2
=
1
5，DB 的斜率最小值为
2−3
3−2 =−1，
可得：
y−2
x−3的取值范围[﹣1，
1
5]．
（2）z＝x+ y
3经过A（
1
2，
3
2），与AC 重合时，z 取得最小值，可得：
2
x +
3
y的最小值为：1．
25．（10 分）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别是F1、F2，C 过点M（1，−3
2），离心率e= 1
2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若PQ 为椭圆C 过F1 的弦，R 为PF2 的中点，O 为坐标原点，求△RF1F2、△OF1Q 面积之和的最大值．
【解答】解：（1）由e= c
a = 1
2，设a＝2t，c＝t，t＞0，
可得b=
3t，椭圆方程为
x2
4t2 +
y2
3t2 =1，
代入M，可得
1
4t2 +
3
4t2 =1，可得t＝1，
则a＝2，b=
3，c＝1，
可得椭圆方程为
x2
4 +
y2
3 =1；
（2）由O，R 分别为F1F2，PF2 的中点，
可得△RF1F2 的面积为△PF1F2 的面积的一半，即为△PF1O 的面积，
△RF1F2、△OF1Q 面积之和设为S，则S＝S△PQO，
当直线PQ 的斜率不存在时，其方程为x＝﹣1，
此时S△PQO= 1
2 ×1×[
3
2 −（−3
2）]= 3
2；
当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为：y＝k（x+1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
显然直线PQ 不与x 轴重合，即k≠0；
联立
y = k(x + 1)
3x2 + 4y2 = 12，解得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，
△＝144（k2+1）＞0，故x1+x2=−
8k2
3+4k2，x1x2= 4k2−12
3+4k2 ，
故|PQ|=
1 + k2|x1﹣x2|=
1 + k2 (x1 + x2)2 −4x1x2 = 12(1+k2)
3+4k2 ，
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点O 到直线PQ 的距离d=
|k|
1+k2，
S= 1
2|PQ|d＝6
k2(k2=1)
(3+4k2)2，令u＝3+4k2∈（3，+∞），
故S＝6
u−3
4 ⋅u+1
4
u2
= 3
2
−3
u2 −2
u + 1 = 3
2
−3( 1
u + 1
3 )2 + 4
3∈（0，
3
2），
故S 的最大值为
3
2．
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日期：2019/12/27 12:17:14；用户：13029402512 ；邮箱：13029402512 ；学号：24164265
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2019-2020 学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共有12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1．（5 分）命题p：∃x0∈R，f（x0）≥2，则￢p 为（
）
A．∀x∈R，f（x）≥2
B．∀x∈R，f（x）＜2
C．∃x0∈R，f（x）≤2
D．∃x0∈R，f（x）＜2
2．（5 分）已知a，b∈R，若a＜b，则（
）
A．a＜2b
B．ab＜b2
C．a
1
2＜b
1
2
D．a3＜b3
3．（5 分）等比数列{an}中，首项是a1，公比是q，则q＞1 是数列{an}单调递增的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5 分）不等式
2
x+2 ＜x + 1 的解集是（
）
A．（﹣3，﹣2）∪（0，+∞）
B．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，0）
C．（﹣3，0）
D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）
5．（5 分）在等差数列{an}中，a1+a2+……+a10＝30，则a5+a6＝（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
6．（5 分）某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆
叫做“黄金椭圆”，其离心率e =
5−1
2
．设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，则a，b，c 满
足的关系是（
）
A．2b＝a+c
B．b2＝ac
C．a＝b+c
D．2b＝ac
7．（5 分）已知曲线y＝lnx 的切线过原点，则此切线的斜率为（
）
A．e
B．﹣e
C．
1
e
D．−1
e
8．（5 分）若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣1，2）
B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）
C．（﹣3，6）
D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
9．（5 分）已知平面α内有一个点A（2，﹣1，2），α的一个法向量为n
→=（3，1，2），则下列点P 中，在平面α内的
是（
）
A．（1，﹣1，1）
B．(1，3，3
2 )
C．(1，−3，3
2 )
D．( −1，3，−3
2 )
10．（5 分）设数列{an}的前n 项和为Sn，且a1＝1，{Sn+nan}为常数列，则an＝（
）
A．
1
3n−1
B．
2
n(n+1)
C．
1
(n+1)(n+2)
D．
5−2n
3
11．（5 分）下列命题正确的是（
）
①若p
→=2x
→+3y
→，则p
→与x
→、y
→共面；
②若MP
→
=2MA
→
+3MB
→
，则M、P、A、B 共面；
③若OA
→
+ OB
→
+ OC
→
+ OD
→
= 0
→
，则A、B、C、D 共面；
④若OP
→
= 1
2 OA
→
+ 5
6 OB
→
−1
3 OC
→
，则P、A、B、C 共面．
A．1
B．2
C．3
D．4
12．（5 分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ln
x
2 +
1
2，对任意a∈R 存在b∈（0，+∞）使f（a）＝g（b），则b﹣a 的
最小值为（
）
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A．2 e −1
B．e2−1
2
C．2﹣ln2
D．2+ln2
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不
清，模棱两可均不得分
13．（5 分）若变量x，y 满足约束条件
x ≥1
y ≤2
x −y ≤2
，则z＝2x﹣y 取得最大值时的最优解为
14．（5 分）平面内，线段AB 的长度为10，动点P 满足|PA|＝6+|PB|，则|PB|的最小值为
．
15．（5 分）如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰
角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB 的高是
米．
16．（5 分）记Sn 为正项等比数列{an}的前n 项和，若S4﹣2S2＝2，则S6﹣S4 的最小值为
．
三、解答题：本大題共有6 个小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10 分）已知数列{an}为单调递增数列，a1＝1，其前n 项和为Sn，且满足2Sn＝an2﹣2Sn﹣1+1（n≥2，n∈N+）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列bn=
1
an⋅an+1其前n 项和为Tn，若Tn＞9
19成立，求n 的最小值．
18．（12 分）已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且ctanC=
3（acosB+bcosA）．
（1）求角C；
（2）若c＝2 3，求△ABC 面积的最大值．
19．（12 分）如图，在半径为30cm 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B 在直径上，点C，D 在半圆周上），
并将其卷成一个以AD 为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．
（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？
（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？
20．（12 分）在△MAB 中，点A（﹣1，0），B（1，0），且它的周长为6，记点M 的轨迹为曲线E．
（1）求E 的方程；
（2）设点D（﹣2，0），过点B 的直线与E 交于不同的两点P、Q，∠PDQ 是否可能为直角，并说明理由．
21．
（12 分）如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF⊥平面ABC，∠FBD＝60°，AB⊥BC，AB = BC =
2．
（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF⊥平面AMC；
（2）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值．
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22．（12 分）已知函数f(x) = 1
2 ax2 + (a −1)x + (1 −2a)lnx，g(x) = 3
2 ax −ex−1．
（Ⅰ）当a＞0 时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在区间（0，1]上恒成立，求实数a 的取值范围．
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2019-2020 学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1．（5 分）命题p：∃x0∈R，f（x0）≥2，则￢p 为（
）
A．∀x∈R，f（x）≥2
B．∀x∈R，f（x）＜2
C．∃x0∈R，f（x）≤2
D．∃x0∈R，f（x）＜2
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以，命题p：∃x0∈R，f（x0）≥2，则￢p 为：∀x∈R，f（x）＜2．
故选：B．
2．（5 分）已知a，b∈R，若a＜b，则（
）
A．a＜2b
B．ab＜b2
C．a
1
2＜b
1
2
D．a3＜b3
【解答】解：a，b∈R，若a＜b，
对A，a＜b，若b＝0，则b＝2b；b＞0，则b＜2b；b＜0，则b＞2b，故A 错误；
对B，若b＝0，则ab＝b2；若b＞0，则ab＜b2；若b＜0，则ab＞b2，故B 错误；
对C，a，b＞0，则a
1
2＜b
1
2，若a，b 中有负的，则不成立，故C 错误；
对D，y＝x3 在R 上递增，可得a3＜b3，故D 正确．
故选：D．
3．（5 分）等比数列{an}中，首项是a1，公比是q，则q＞1 是数列{an}单调递增的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若a1＜0，q＞1 时，{an}递减，∴数列{an}单调递增不成立．
若数列{an}单调递增，当a1＜0，0＜q＜1 时，满足{an}递增，但q＞1 不成立．
∴“公比q＞1”是“数列{an}单调递增”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
4．（5 分）不等式
2
x+2 ＜x + 1 的解集是（
）
A．（﹣3，﹣2）∪（0，+∞）
B．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，0）
C．（﹣3，0）
D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）
【解答】解：不等式
2
x+2 ＜x + 1 等价于
x(x+3)
x+2
＞0．如图，把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它
的解集为（﹣3，﹣2）∪（0，+∞），
故选：A．
5．（5 分）在等差数列{an}中，a1+a2+……+a10＝30，则a5+a6＝（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
【解答】解：在等差数列{an}中，由an＞0，且a1+a2+…+a10＝30，
得（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）＝30，
即5（a5+a6）＝30，∴a5+a6＝6．
故选：B．
6．（5 分）某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆
叫做“黄金椭圆”，其离心率e =
5−1
2
．设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，则a，b，c 满
足的关系是（
）
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A．2b＝a+c
B．b2＝ac
C．a＝b+c
D．2b＝ac
【解答】解：因为离心率e =
5−1
2
的椭圆称为“黄金椭圆”，
所以e =
5−1
2
是方程e2+e﹣1＝0 的正跟，
即有（
c
a）2+ c
a −1＝0，
可得c2+ac﹣a2＝0，又c2＝a2﹣b2，
所以b2＝ac．
即b 是a，c 的等比中项．
故选：B．
7．（5 分）已知曲线y＝lnx 的切线过原点，则此切线的斜率为（
）
A．e
B．﹣e
C．
1
e
D．−1
e
【解答】解：设切点坐标为（a，lna），
∵y＝lnx，∴y′= 1
x，
切线的斜率是
1
a，
切线的方程为y﹣lna= 1
a（x﹣a），
将（0，0）代入可得lna＝1，∴a＝e，
∴切线的斜率是
1
a =
1
e；
故选：C．
8．（5 分）若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣1，2）
B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）
C．（﹣3，6）
D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
【解答】解：∵f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1，
∴f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）；
又∵函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1 有极大值和极小值，
∴△＝（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；
故a＞6 或a＜﹣3；
故选：B．
9．（5 分）已知平面α内有一个点A（2，﹣1，2），α的一个法向量为n
→=（3，1，2），则下列点P 中，在平面α内的
是（
）
A．（1，﹣1，1）
B．(1，3，3
2 )
C．(1，−3，3
2 )
D．( −1，3，−3
2 )
【解答】解：由题意可知符合条件的点P 应满足PA
→
⋅n
→= 0，
选项A，PA
→
=（2，﹣1，2）﹣（1，﹣1，1）＝（1，0，1），
PA
→
⋅n
→=3×1+1×0+2×1＝5≠0，故不在平面α内；
同理可得：选项B，PA
→
=（1，﹣4，
1
2），PA
→
⋅n
→=0，故在平面α内；
选项C，PA
→
=（1，2，
1
2），PA
→
⋅n
→=6≠0，故不在平面α内；
选项D，PA
→
=（3，﹣4，
7
2），PA
→
⋅n
→=12≠0，故不在平面α内；
故选：B．
10．（5 分）设数列{an}的前n 项和为Sn，且a1＝1，{Sn+nan}为常数列，则an＝（
）
A．
1
3n−1
B．
2
n(n+1)
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C．
1
(n+1)(n+2)
D．
5−2n
3
【解答】解：∵数列{an}的前n 项和为Sn，且a1＝1，
∴S1+1×a1＝1+1＝2，
∵{Sn+nan}为常数列，∴由题意知，Sn+nan＝2，
当n≥2 时，（n+1）an＝（n﹣1）an﹣1，
从而
a2
a1
⋅
a3
a2
⋅
a4
a3
⋅⋯
an
an−1
=
1
3 ⋅
2
4 ⋅⋯
n−1
n+1，
∴an =
2
n(n+1)，当n＝1 时上式成立，
∴an =
2
n(n+1)．
故选：B．
11．（5 分）下列命题正确的是（
）
①若p
→=2x
→+3y
→，则p
→与x
→、y
→共面；
②若MP
→
=2MA
→
+3MB
→
，则M、P、A、B 共面；
③若OA
→
+ OB
→
+ OC
→
+ OD
→
= 0
→
，则A、B、C、D 共面；
④若OP
→
= 1
2 OA
→
+ 5
6 OB
→
−1
3 OC
→
，则P、A、B、C 共面．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：对于①，若p
→=2x
→+3y
→，则由平面向量基本定理知p
→与x
→、y
→共面，①正确；
对于②，若MP
→
=2MA
→
+3MB
→
，则MP
→
、MA
→
、MB
→
共面，所以M、P、A、B 四点共面，②正确；
对于③，若OA
→
+ OB
→
+ OC
→
+ OD
→
= 0
→
，则OA
→
=−OB
→
−OC
→
−OD
→
，这里系数﹣1﹣1﹣1＝﹣3，A、B、C、D 不共面，
③错误；
对于④，若OP
→
= 1
2 OA
→
+ 5
6 OB
→
−1
3 OC
→
，则
1
2 +
5
6 −
1
3 =1，所以P、A、B、C 共面，④正确．
综上所述，正确的命题序号是①②④，共3 个．
故选：C．
12．（5 分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ln
x
2 +
1
2，对任意a∈R 存在b∈（0，+∞）使f（a）＝g（b），则b﹣a 的
最小值为（
）
A．2 e −1
B．e2−1
2
C．2﹣ln2
D．2+ln2
【解答】解：令y＝ea，则a＝lny，令y＝ln
b
2 +
1
2，可得b＝2ey−1
2，
则b﹣a＝2ey−1
2 −lny，∴（b﹣a）′＝2ey−1
2 −1
y．
显然，（b﹣a）′是增函数，观察可得当y= 1
2时，（b﹣a）′＝0，故（b﹣a）′有唯一零点．
故当y= 1
2时，b﹣a 取得最小值为2ey−1
2 −lny＝2e0−1
2 −ln
1
2 =2+ln2，
故选：D．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不
清，模棱两可均不得分
13．（5 分）若变量x，y 满足约束条件
x ≥1
y ≤2
x −y ≤2
，则z＝2x﹣y 取得最大值时的最优解为
（4，2）
【解答】解：画出约束条件的可行域，如图：由z＝2x﹣y 得：y＝2x﹣z，
显然直线过B（4，2）时，z 最大，
所以最优解为：（4，2）
故答案为：（4，2）．
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14．（5 分）平面内，线段AB 的长度为10，动点P 满足|PA|＝6+|PB|，则|PB|的最小值为
2
．
【解答】解：平面内，线段AB 的长度为10，动点P 满足|PA|＝6+|PB|，即|PA|﹣|PB|＝6，
则点P 在以（±5，0）为焦点，实轴长为6 的双曲线的右支上，
a＝3，c＝5．
因此|PB|的最小值为c﹣a＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
15．（5 分）如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰
角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB 的高是
10 6
米．
【解答】解：设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝x，
从而有BC =
3
3 x，AC = 2 3
3 x
在△BCD 中，CD＝10，∠BCD＝60°+30°+15°＝105°，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°
由正弦定理可得，
BC
sin∠BDC =
CD
sin∠CBD
可得，BC = 10sin45°
sin30°
= 10 2 =
3
3 x
则x＝10 6
故答案为：10 6
16．（5 分）记Sn 为正项等比数列{an}的前n 项和，若S4﹣2S2＝2，则S6﹣S4 的最小值为
8
．
【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，∵S4﹣2S2＝2，
a4+a3﹣（a2+a1）＝2，
a1（q3+q2﹣q﹣1）＝2，
可得：a1=
2
(1+q)(q2−1) ＞0．解得q＞1．
则S6﹣S4＝a5+a6＝a1（q4+q5）= 2q4
q2−1 = 2(q4−1)+2
q2−1
=2[q2﹣1+
1
q2−1 +2]≥2× [2
q2−1
q2−1 + 2] =8，当且仅当q=
2
时取等号．
∴S6﹣S4 的最小值为8．
故答案为：8．
三、解答题：本大題共有6 个小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10 分）已知数列{an}为单调递增数列，a1＝1，其前n 项和为Sn，且满足2Sn＝an2﹣2Sn﹣1+1（n≥2，n∈N+）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列bn=
1
an⋅an+1其前n 项和为Tn，若Tn＞9
19成立，求n 的最小值．
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【解答】解：（1）2Sn＝an2﹣2Sn﹣1+1（n≥2，n∈N+），
可得n≥2 时，2Sn﹣1＝an﹣12﹣2Sn﹣2+1，
相减可得2an＝an2﹣2Sn﹣1+1﹣an﹣12﹣2Sn﹣2﹣1
＝an2﹣an﹣12﹣2an﹣1，
即为2（an+an﹣1）＝（an﹣an﹣1）（an+an﹣1），
数列{an}为单调递增数列，即an+an﹣1≠0，
可得an﹣an﹣1＝2，{an}为首项为1，公差为2 的等差数列，
可得an＝2n﹣1；
（2）bn=
1
an⋅an+1 =
1
(2n−1)(2n+1) = 1
2（
1
2n−1 −
1
2n+1），
可得前n 项和为Tn= 1
2（1−1
3 + 1
3 −1
5 + ⋯+
1
2n−1 −
1
2n+1）
= 1
2（1−
1
2n+1）=
n
2n+1，
Tn＞9
19即
n
2n+1 ＞
9
19，
解得n＞9，即n 的最小值为10．
18．（12 分）已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且ctanC=
3（acosB+bcosA）．
（1）求角C；
（2）若c＝2 3，求△ABC 面积的最大值．
【解答】解：（1）ctanC=
3（acosB+bcosA），
由正弦定理可得：sinCtanC=
3（sinAcosB+sinBcosA）=
3sin（A+B）=
3sinC．
∴tanC=
3，C∈（0，π）．
∴C= π
3．
（2）由余弦定理可得：12＝c2＝a2+b2﹣2abcosC≥2ab﹣ab＝ab，
可得ab≤12，当且仅当a＝2 3时取等号．
∴△ABC 面积的最大值= 1
2 × 12 × sin π
3 =3 3．
19．（12 分）如图，在半径为30cm 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B 在直径上，点C，D 在半圆周上），
并将其卷成一个以AD 为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．
（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？
（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？
【解答】解：（1）连接OC，设BC＝x，则AB＝2 900 −x2，（其中0＜x＜30），
∴S＝2x 900 −x2 =2
x2(900 −x2) ≤x2+（900﹣x2）＝900，
当且仅当x2＝900﹣x2，即x＝15 2时，S 取最大值900；
∴取BC＝15 2cm 时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为900cm2．
（2）设圆柱底面半径为r，高为x，
则AB＝2 900 −x2 =2πr，解得r=
900−x2
π
，
∴V＝πr2h= 1
π（900x﹣x3），（其中0＜x＜30）；
∴V′= 1
π（900﹣3x2），令V′（x）＝0，得x＝10 3；
因此V（x）= 1
π（900x﹣x3）在（0，10
3）上是增函数，在（10 3，30）上是减函数；
∴当x＝10 3时，V（x）取得最大值V（10 3）= 6000 3
π
，
∴取BC＝10 3cm 时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为
6000 3
π
cm3．
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20．（12 分）在△MAB 中，点A（﹣1，0），B（1，0），且它的周长为6，记点M 的轨迹为曲线E．
（1）求E 的方程；
（2）设点D（﹣2，0），过点B 的直线与E 交于不同的两点P、Q，∠PDQ 是否可能为直角，并说明理由．
【解答】（1）解：由题意得，|MA|+|MB|+|AB|＝6，
∴|MA|+|MB|＝4＞|AB|，则M 的轨迹E 是以A（﹣1，0），B（1，0）为焦点，长轴长为4 的椭圆，
又由M，A，B 三点不共线，∴y≠0．
∴E 的方程为
x2
4 +
y2
3 = 1（y≠0）；
（2）证明：设直线PQ 的方程为x＝my+1，代入3x2+4y2＝12，
得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1 + y2 =
−6m
3m2+4，y1y2 =
−9
3m2+4．
∴DP
→
⋅DQ
→
= (x1 + 2)(x2 + 2) + y1y2 =（my1+1）（my2+1）+2（my1+1+my2+1）+4+y1y2
＝（m2+1）y1y2+3m（y1+y2）+9= −9(m2+1)
3m2+4
−18m2
3m2+4 + 9 =
27
3m2+4 ＞0．
∴∠PDQ 不可能为直角．
21．
（12 分）如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF⊥平面ABC，∠FBD＝60°，AB⊥BC，AB = BC =
2．
（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF⊥平面AMC；
（2）求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值．
【解答】证明：（1）连接MD，FD．
∵四边形BDEF 为菱形，且∠FBD＝60°，
∴△DBF 为等边三角形．
∵M 为BF 的中点，∴DM⊥BF．
∵AB⊥BC，AB = BC =
2，又D 是AC 的中点，
∴BD⊥AC．
∵平面BDEF∩平面ABC＝BD，平面ABC⊥平面BDEF，AC⊂平面ABC，
∴AC⊥平面BDEF．
又BF⊂平面BDEF，∴AC⊥BF．
由DM⊥BF，AC⊥BF，DM∩AC＝D，
∴BF⊥平面AMC；
解：（2）设线段EF 的中点为N，连接DN．易证DN⊥平面ABC．以D 为坐标原点，DB，DC，DN 所在直线分
别为x 轴，y 轴，z 轴
建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，﹣1，0），E( −1
2 ，0，3
2 )，F( 1
2 ，0，3
2 )，B（1，0，0），C（0，
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1，0）．
∴AE
→
= ( −1
2 ，1，3
2 )，EF
→
= (1，0，0)，BF
→
= ( −1
2 ，0，3
2 )，BC
→
= ( −1，1，0)．
设平面AEF，平面BCF 的法向量分别为m
→= (x1，y1，z1)，n
→= (x2，y2，z2)．
由AE
→
⋅m
→= 0
EF
→
⋅m
→= 0
⇒
−1
2 x1 + y1 + 3
2 z1 = 0
1
2 x1 = 0
．
解得y1 =−3
2 z1．
取z1＝﹣2，∴m
→= (0，3，−2)．
又由BC
→
⋅n
→= 0
BF
→
⋅n
→= 0
⇒
−x2 + y2 = 0
−1
2 x2 + 3
2 z2 = 0解得y2 =
3z2．
取z2＝1，∴n
→= ( 3，3，1)．
∵cos＜m
→，n
→＞= m
→⋅n
→
|m
→||n
→|
=
1
7⋅7 = 1
7．
∴平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值为
1
7．
22．（12 分）已知函数f(x) = 1
2 ax2 + (a −1)x + (1 −2a)lnx，g(x) = 3
2 ax −ex−1．
（Ⅰ）当a＞0 时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在区间（0，1]上恒成立，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝ax+（a﹣1）+ 1−2a
x
= ax2+(a−1)x+(1−2a)
x
= a(x−1)(x−1−2a
a )
x
(x＞0)，
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①当
1−2a
a
≤0，即a ≥1
2时，0＜x＜1 时，f'（x）＜0，x＞1 时，f'（x）＞0，
所以f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增；
②当0＜1−2a
a
＜1，即
1
3 ＜a＜
1
2时，0＜x＜1−2a
a
和x＞1 时，f'（x）＞0，
1−2a
a
＜x＜1 时，f'（x）＜0，
所以f（x）在区间( 1−2a
a
，1)上单调递减，在区间(0，1−2a
a
)和（1，+∞）上单调递增；
③当
1−2a
a
＞1，即0＜a＜1
3时，0＜x＜1 和x＞1−2a
a
时，f'（x）＞0，1＜x＜1−2a
a
时，f'（x）＜0，
所以f（x）在区间(1，1−2a
a
)上单调递减，在区间（0，1）和( 1−2a
a
，+ ∞)上单调递增；
④当
1−2a
a
= 1，即a = 1
3时，f'（x）≥0，所以f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
综上：①当0＜a＜1
3时，f（x）在区间(1，1−2a
a
)上单调递减，在区间（0，1）和( 1−2a
a
，+ ∞)上单调递增；
②当a = 1
3时，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
③当
1
3 ＜a＜
1
2时，f（x）在区间( 1−2a
a
，1)上单调递减，在区间(0，1−2a
a
)和（1，+∞）上单调递增；
④当a ≥1
2时，f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣g（x）= 1
2 ax2 −( a
2 + 1)x + (1 −2a)lnx + ex−1，
原问题等价于h（x）≥0 在区间（0，1]上恒成立，可见h(1) = 1
2 a −( a
2 + 1) + 1 = 0，
要想h（x）≥0 在区间（0，1]上恒成立，首先必须要h'（1）≤0，
而h'(x) = ax −( a
2 + 1) + 1−2a
x
+ ex−1，h'(1) = a −( a
2 + 1) + 1 −2a + 1 =−3a
2 + 1 ≤0 ⇒a ≥2
3
另一方面当a ≥2
3时，h″(x) = a + 2a−1
x2
+ ex−1，由于x∈（0，1]，可见h''（x）＞0，
所以h'（x）在区间（0，1]上单调递增，故h'（x）≤h'（1）≤0，所以h（x）在区间（0，1]上单调递减，
∴h（x）≥h（1）＝0 成立，故原不等式成立．
综上，若f（x）≥g（x）在区间（0，1]上恒成立，则实数a 的取值范围为a ≥2
3
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2019-2020 学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）从甲、乙等5 名学生中随机选出2 人，则甲被选中的概率为（
）
A．
1
5
B．
2
5
C．
8
25
D．
9
25
2．
（5 分）连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a
→= (m，n)与向量b
→
= (1，0)的夹角记为α，则α∈(0，π
4 )
的概率为（
）
A．
5
18
B．
5
12
C．
1
2
D．
7
12
3．（5 分）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方
形内的概率为
1
5，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则
b
a =（
）
A．
1
3
B．
1
2
C．
3
3
D．
2
2
4．（5 分）已知命题p：∃x∈R，使得x+ 1
x ＜2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（
）
A．（￢p）∧q
B．（￢p）∧（￢q）
C．p∧（￢q）
D．p∧q
5．（5 分）下列说法正确的是（
）
A．a∈R，“
1
a ＜1”是“a＞1”的必要不充分条件
B．“p∧q 为真命题”是“p∨q 为真命题”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R 使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”
D．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤
2”，则￢p 是真命题
6．（5 分）如图，已知直线l：y＝k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2＝4x 相交于A、B 两点，且A、B 两点在抛物线
C 准线上的射影分别是M、N，若|AM|＝2|BN|，则k 的值是（
）
A．
1
3
B．
2
3
C．
2
3
2
D．2 2
7．（5 分）在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90
89
90
95
93
94
93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（
）
A．92，2.8
B．92，2
C．93，2
D．93，2.8
8．（5 分）为比较甲、乙两地某月14 时的气温状况，随机选取该月中的5 天，将这5 天中14 时的气温数据（单位：℃）
制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14 时的平均气温低于乙地该月14 时的平均气温；
②甲地该月14 时的平均气温高于乙地该月14 时的平均气温；
③甲地该月14 时的平均气温的标准差大于乙地该月14 时的气温的标准差．
④甲地该月14 时的平均气温的标准差小于乙地该月14 时的气温的标准差；
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（
）
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A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
9．（5 分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10 月1 日9 时至14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如
图所示．已知9 时至10 时的销售额为3 万元，则11 时至12 时的销售额为（
）
A．8 万元
B．10 万元
C．12 万元
D．15 万
10．（5 分）设P 为椭圆
x2
9 +
y2
4 =1 上的一点，F1、F2 是该椭圆的两个焦点，若|PF1|：|PF2|＝2：1 则△PF1F2 的面积
为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
11．（5 分）已知双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x＝a 与双曲线C 的渐近线在第
一象限的交点为A，O 为坐标原．若△OAF 的面积为
1
3a2，则双曲线C 的离心率为（
）
A．
2 3
3
B．
3 2
2
C．2
D．
13
3
12．（5 分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P 是它们的一个交点，且∠F1PF2= 2π
3 ，记椭圆和双曲线的离
心率分别为e1，e2．则
3
e1
2 +
1
e2
2 =（
）
A．4
B．2 3
C．2
D．3
二、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分．
13．（5 分）某班级有50 名学生，其中有30 名男生和20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学
测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93
①这种抽样方法是一种分层抽样；
②这种抽样方法是一种系统抽样；
③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；
④该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，则以上说法一定正确的是
．
14．（5 分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，若E 是AD 的中点，则异面直线A1B 与C1E 所成角等于
15．（5 分）设椭圆
x2
25 +
y2
b2 =1（0＜b＜5）的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b 值为
．
16．（5 分）如图，多面体OABCD，AB＝CD＝2，AD＝BC＝2 3，AC＝BD=
10，且OA，OB，OC 两两垂直，
给出下列5 个结论：
①三棱锥O﹣ABC 的体积是定值；
②球面经过点A、B、C、D 四点的球的直径是13；
③直线OB∥平面ACD；
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④直线AD 与OB 所成角是60°；
⑤二面角A﹣OC﹣D 等于30°．
其中正确的结论是
．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10 分）（1）若抛物线的焦点是椭圆
x2
64 +
y2
16 =1 左顶点，求此抛物线的标准方程；
（2）某双曲线与椭圆
x2
64 +
y2
16 =1 共焦点，且以y=±
3x 为渐近线，求此双曲线的标准方程．
18．（12 分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如
图．
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数
在[90，100）之间的概率．
19．（12 分）设关于x 的一元二次方程x2+2ax+b2＝0．
（1）若a 是从0，1，2，3 四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根
的概率．
（2）若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
20．（12 分）已知抛物线y2＝4x 的焦点为F，过点F 的直线交抛物线于A，B 两点．
（1）若AF
→
=3FB
→
，求直线AB 的斜率；
（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．
21．（12 分）已知三棱锥S﹣ABC 中，底面ABC 为边长等于2 的等边三角形，SA 垂直于底面ABC，SA＝3，
（1）如图建立空间直角坐标系，写出SB
→
、SC
→
的坐标；
（2）求直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值．
22．（12 分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，
M 为CE 的中点．
（1）求证：BC⊥平面BDE；
（2）求平面BEC 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值．
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2019-2020 学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）从甲、乙等5 名学生中随机选出2 人，则甲被选中的概率为（
）
A．
1
5
B．
2
5
C．
8
25
D．
9
25
【解答】解：从甲、乙等5 名学生中随机选出2 人，
基本事件总数n= C5
2 =10，
甲被选中包含的基本事件的个数m= C1
1C4
1 =4，
∴甲被选中的概率p= m
n = 4
10 = 2
5．
故选：B．
2．
（5 分）连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a
→= (m，n)与向量b
→
= (1，0)的夹角记为α，则α∈(0，π
4 )
的概率为（
）
A．
5
18
B．
5
12
C．
1
2
D．
7
12
【解答】解：根据题意，m、n 的情况各有6 种，则a
→= (m，n)的情况有6×6＝36 种，
又由题意，向量a
→= (m，n)，向量b
→
= (1，0)，
则cosα=
m
m2+n2，
若α∈(0，π
4 )，则
2
2 ＜
m
m2+n2 ＜1，
化简可得m2＞n2，即m＞n，
则a
→的坐标可以为：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共有15 种情况；
则α∈(0，π
4 )的概率为
15
36 =
5
12，
故选：B．
3．（5 分）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方
形内的概率为
1
5，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则
b
a =（
）
A．
1
3
B．
1
2
C．
3
3
D．
2
2
【解答】解：这一点落在小正方形内的概率为
1
5，
正方形ABCD 面积为a2+b2，
三角形的面积为
1
2ab，
∴
4×1
2ab
a2+b2 =1−1
5，
即a2+b2= 5
2ab，
即
a
b +
b
a =
5
2，
∵a＞b，
解得
b
a =
1
2，
b
a =2（舍去）
故选：B．
4．（5 分）已知命题p：∃x∈R，使得x+ 1
x ＜2，命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，下列命题为真的是（
）
A．（￢p）∧q
B．（￢p）∧（￢q）
C．p∧（￢q）
D．p∧q
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【解答】解：对于命题p：∃x∈R，使得x+ 1
x ＜2，
当x＜0 时，命题p 成立，命题p 为真
命题q：∀x∈R，x2+x+1＞0，
显然x2+x+1= (x + 1
2 )2 + 3
4 ＞0，命题q 为真
∴根据复合命题的真假判定，
p∧q 为真，（￢p）∧q 为假，p∧（￢q）为假，（￢p）∧（￢q）为假
故选：D．
5．（5 分）下列说法正确的是（
）
A．a∈R，“
1
a ＜1”是“a＞1”的必要不充分条件
B．“p∧q 为真命题”是“p∨q 为真命题”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R 使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”
D．命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤
2”，则￢p 是真命题
【解答】解：A．由
1
a ＜1 得a＞1 或a＜0，则“
1
a ＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，正确，
B．若p∧q 为真命题，则p，q 都是真命题，此时p∨q 为真命题，即充分性成立，反之当p 假q 真时，p∨q 为
真命题，
但p∧q 为假命题，故“p∧q 为真命题”是“p∨q 为真命题”的充分不必要条件，故B 错误，
C．命题“∃x∈R 使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故C 错误，
D．∵sinx+cosx=
2sin（x+ π
4）≤
2恒成立，∴p 是真命题，则￢p 是假命题，故D 错误，
故选：A．
6．（5 分）如图，已知直线l：y＝k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y2＝4x 相交于A、B 两点，且A、B 两点在抛物线
C 准线上的射影分别是M、N，若|AM|＝2|BN|，则k 的值是（
）
A．
1
3
B．
2
3
C．
2
3
2
D．2 2
【解答】解：设抛物线C：y2＝4x 的准线为l：x＝﹣1
直线y＝k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0）
如图过A、B 分别作AM⊥l 于M，BN⊥l 于N，
由|AM|＝2|BN|，则|FA|＝2|FB|，
点B 为AP 的中点、连接OB，
则|OB|= 1
2|AF|，
∴|OB|＝|BF|，点B 的横坐标为
1
2，
∴点B 的坐标为B（
1
2，2），
把B（
1
2，2）代入直线l：y＝k（x+1）（k＞0），
解得k= 2
3
2．
故选：C．
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7．（5 分）在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90
89
90
95
93
94
93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（
）
A．92，2.8
B．92，2
C．93，2
D．93，2.8
【解答】解：由题意所剩数据：90 90
93
94
93，
所以平均数x = 90+90+93+94+93
5
=92，
方差S= 1
5[（90﹣92）2+（90﹣92）2+（93﹣92）2+（94﹣92）2+（93﹣92）2]＝2.8，
故选：A．
8．（5 分）为比较甲、乙两地某月14 时的气温状况，随机选取该月中的5 天，将这5 天中14 时的气温数据（单位：℃）
制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14 时的平均气温低于乙地该月14 时的平均气温；
②甲地该月14 时的平均气温高于乙地该月14 时的平均气温；
③甲地该月14 时的平均气温的标准差大于乙地该月14 时的气温的标准差．
④甲地该月14 时的平均气温的标准差小于乙地该月14 时的气温的标准差；
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（
）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【解答】解：由茎叶图，得：
甲地该月14 时的平均气温x甲= 1
5（26+28+29+31+31）＝29，
甲地该月14 时的平均气温的标准差S 甲=
1
5 [( −3)2 + ( −1)2 + 02 + 22 + 22] =
3.6，
乙地该月14 时的平均气温x乙= 1
5（28+29+30+31+32）＝30，
乙地该月14 时的平均气温的标准差S 乙=
1
5 [( −2)2 + ( −1)2 + 02 + 12 + 22] =
2，
∴甲地该月14 时的平均气温低于乙地该月14 时的平均气温，
甲地该月14 时的平均气温的标准差大于乙地该月14 时的气温的标准差．
∴根据茎叶图能得到的统计结论的标号为①③．
故选：A．
9．（5 分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10 月1 日9 时至14 时的销售额进行统计，其频率分布直方图如
图所示．已知9 时至10 时的销售额为3 万元，则11 时至12 时的销售额为（
）
A．8 万元
B．10 万元
C．12 万元
D．15 万
【解答】解：由频率分布直方图得0.4÷0.1＝4
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∴11 时至12 时的销售额为3×4＝12
故选：C．
10．（5 分）设P 为椭圆
x2
9 +
y2
4 =1 上的一点，F1、F2 是该椭圆的两个焦点，若|PF1|：|PF2|＝2：1 则△PF1F2 的面积
为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【解答】解：∵|PF1|：|PF2|＝2：1，
∴可设|PF1|＝2k，|PF2|＝k，
由题意可知2k+k＝6，
∴k＝2，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
∵|F1F2|＝2 5，
∴△PF1F2 是直角三角形，
其面积= 1
2 × |PF1| × |PF2| = 1
2 × 4 × 2 =4．
故选：C．
11．（5 分）已知双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），直线x＝a 与双曲线C 的渐近线在第
一象限的交点为A，O 为坐标原．若△OAF 的面积为
1
3a2，则双曲线C 的离心率为（
）
A．
2 3
3
B．
3 2
2
C．2
D．
13
3
【解答】解：由题意，A（a，b），
∵△OAF 的面积为
1
3a2，
∴
1
2bc= 1
3a2，
∴2c2﹣3bc﹣2b2＝0，
∴c＝2b 或c=−1
2b（舍去），
∴a=
c2 −b2 =
3b，
∴e= c
a = 2 3
3 ．
故选：A．
12．（5 分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P 是它们的一个交点，且∠F1PF2= 2π
3 ，记椭圆和双曲线的离
心率分别为e1，e2．则
3
e1
2 +
1
e2
2 =（
）
A．4
B．2 3
C．2
D．3
【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，P 在双曲线的右支上，
根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，
可得|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2= 2π
3 ，
在△PF1F2 中由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos
2π
3 ，
化简得3a12+a22＝4c2，
该式可变成
3a12
c2
+
a22
c2 =4，
结合e1= c
a1，e2= c
a2，
∴
3
e1
2 +
1
e2
2 =4．
故选：A．
二、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分．
13．（5 分）某班级有50 名学生，其中有30 名男生和20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学
测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93
①这种抽样方法是一种分层抽样；
②这种抽样方法是一种系统抽样；
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③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；
④该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，则以上说法一定正确的是
③
．
【解答】解：若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6 人、4 人，所以①错；
由题目看不出是系统抽样，所以②错；
这五名男生成绩的平均数，x男= 1
5（86+94+88+92+90）＝90，
这五名女生成绩的平均数x女= 1
5（88+93+93+88+93）＝91，
故这五名男生成绩的方差为S
甲
2 = 1
5（42+42+22+22+02）＝8，
这五名女生成绩的方差为S
乙
2 = 1
5（32+22+22+32+22）＝6，
故③正确，④错．
故答案为：③．
14．（5 分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，若E 是AD 的中点，则异面直线A1B 与C1E 所成角等于
90°
【解答】解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA1 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为2，
则A1（0，0，2），B（2，0，0），C1（2，2，2），E（0，1，0），
A1B
→
=（2，0，﹣2），C1E
→
=（﹣2，﹣1，﹣2），
设异面直线A1B 与C1E 所成角为θ，
则cosθ= |A1B
→
⋅C1E
→
|
|A1B
→
|⋅|C1E
→
|
= |−4+4|
8⋅9 =0，
∴θ＝90°．
∴异面直线A1B 与C1E 所成角等于90°．
故答案为：90°．
15．（5 分）设椭圆
x2
25 +
y2
b2 =1（0＜b＜5）的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b 值为
4
．
【解答】解：设焦距为2c，
则有25 −b2 = c2
5 + c = 2b ，解得b2＝16，
可得b＝4．
故答案为：4．
16．（5 分）如图，多面体OABCD，AB＝CD＝2，AD＝BC＝2 3，AC＝BD=
10，且OA，OB，OC 两两垂直，
给出下列5 个结论：
①三棱锥O﹣ABC 的体积是定值；
②球面经过点A、B、C、D 四点的球的直径是13；
③直线OB∥平面ACD；
④直线AD 与OB 所成角是60°；
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⑤二面角A﹣OC﹣D 等于30°．
其中正确的结论是
①②④
．
【解答】解：由题意，构造长方体，如右图，设OA＝x，OB＝y，OC＝z，
则x2+y2＝4，x2+z2＝10，y2+z2＝12，解得，x＝1，y=
3，z＝3，
对于①，三棱锥O﹣ABC 的体积为
1
3OC× 1
2OA×OB=
3
2 ，故①对；
对于②，球面经过点A、B、C、D 两点的球的直径即为长方体的对角线长，
即为12 + 32 + ( 3)2 =
13，故②对；
对于③，由于OB∥AE，AE 和平面ACD 相交，则OB 和平面ACD 相交，故③错．
对于④，由于OB∥AE，则∠DAE 即为直线AD 与OB 所成的角，
由tan∠DAE= DE
AE =
3，则∠DAE＝60°，故④对；
⑤因为AO⊥OC，DC⊥OC，所以异面直线CD 与OA 所成的角大小为二面角A﹣OC﹣D 的二面角大小，连接
OE，则角AOE 为所求，tan∠AOE= AE
OA =
3，所以∠AOE＝60°；⑤错误；
故答案为：①②④
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10 分）（1）若抛物线的焦点是椭圆
x2
64 +
y2
16 =1 左顶点，求此抛物线的标准方程；
（2）某双曲线与椭圆
x2
64 +
y2
16 =1 共焦点，且以y=±
3x 为渐近线，求此双曲线的标准方程．
【解答】解：（1）椭圆
x2
64 +
y2
16 =1 的a＝8，
左顶点为（﹣8，0），
设抛物线的方程为y2＝﹣2px（p＞0），
可得−p
2 =−8，
解得p＝16，
则抛物线的方程为y2＝﹣32x；
（2）双曲线与椭圆
x2
64 +
y2
16 =1 共焦点（± 64 −16，0），
即为（±4 3，0），
设双曲线的方程为
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0），
则a2+b2＝48，
渐近线方程为y＝±
b
ax，
可得
b
a =
3，
解得a＝2 3，b＝6，
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则双曲线的方程为
x2
12 −
y2
36 =1．
18．（12 分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如
图．
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数
在[90，100）之间的概率．
【解答】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10＝0.08，
由茎叶图知：
分数在[50，60）之间的频数为2，
∴全班人数为
2
0.08 = 25．
（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22＝3；
频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为
3
25 ÷ 10 = 0.012．
（Ⅲ）将[80，90）之间的3 个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2 个分数编号为b1，b2，
在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10
个，
其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7 个，
故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是
7
10 = 0.7．
19．（12 分）设关于x 的一元二次方程x2+2ax+b2＝0．
（1）若a 是从0，1，2，3 四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根
的概率．
（2）若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
【解答】解：设事件A 为“方程有实根”．
当a＞0，b＞0 时，方程有实根的充要条件为a≥b
（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12 个：
（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）
其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．
事件A 中包含9 个基本事件，
∴事件A 发生的概率为P= 9
12 = 3
4
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}
满足条件的构成事件A 的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}
∴所求的概率是
3×2−1
2×22
3×2
=
2
3
20．（12 分）已知抛物线y2＝4x 的焦点为F，过点F 的直线交抛物线于A，B 两点．
（1）若AF
→
=3FB
→
，求直线AB 的斜率；
（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．
【解答】解：（1）由抛物线y2＝4x 的焦点在x 轴上，焦点坐标F（1，0），
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设直线AB 的方程为：x＝my+1，
则x = my + 1
y2 = 4x
，整理得：y2﹣4my﹣4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理可知：y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣4，
AF
→
=（1﹣x1，﹣y1），FB
→
=（x2﹣1，y2），
∵AF
→
=3FB
→
，
∴﹣y1＝3y2，整理得：m2= 1
3，解得：m＝±
3
3 ，
∴直线AB 的斜率k= 1
m =± 3，
直线AB 的斜率3或−
3；
（2）由（1）可知：|y1﹣y2|=
(y1 + y2)2 −4y1y2 =
16m2 + 16 =4 m2 + 1，
四边形OACB 面积SOACB＝2SAOB= 1
2•|OF|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝4 m2 + 1 ≥4，
当m＝0 时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4．
21．（12 分）已知三棱锥S﹣ABC 中，底面ABC 为边长等于2 的等边三角形，SA 垂直于底面ABC，SA＝3，
（1）如图建立空间直角坐标系，写出SB
→
、SC
→
的坐标；
（2）求直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值．
【解答】解：（1）以A 为原点建系如图，则S（0，0，3），A（0，0，0），B（3，1，0），C（0，2，0）．
∴AB
→
=（3，1，0），SB
→
=（3，1，﹣3），SC
→
=（0，2，﹣3）…（6 分）
（2）设面SBC 的法向量为n
→= (x，y，z)．
则n
→⋅SB
→
=
3x + y −3z = 0
n
→⋅SC
→
= 2y −3z = 0
令y＝3，则z＝2，x=
3，∴n
→= ( 3，3，2)．
设AB 与面SBC 所成的角为θ，则sinθ= |n
→⋅AB
→
|
|n
→||AB
→
|
= 3
4 ⋯12 分
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22．（12 分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，
M 为CE 的中点．
（1）求证：BC⊥平面BDE；
（2）求平面BEC 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值．
【解答】证明：（1）∵ADEF 为正方形，∴ED⊥AD．
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD．
又∵ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD．
又∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC．
∵AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，
∴BD＝BC=
22 + 22 =2 2，
∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，
∵BD∩ED＝D，∴BC⊥平面BDE．
解：（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系，
B（2，2，0），E（0，0，2），C（0，4，0），
EB
→
=（2，2，﹣2），EC
→
=（0，4，﹣2），
设平面BEC 的法向量n
→=（x，y，z），
则n
→⋅EB
→
= 2x + 2y −2z = 0
n
→⋅EC
→
= 4y −2z = 0
，取y＝1，得n
→=（1，1，2），
平面ADEF 的法向量m
→=（0，1，0），
设平面BEC 与平面ADEF 所成锐二面角为θ，
则cosθ= |m
→⋅n
→|
|m
→|⋅|n
→|
= 1
6 =
6
6 ．
∴平面BEC 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值
6
6 ．
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2019-2020 学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本题共12 小题，毎小题5 分，共60 分。在每小题列出的四个选项中，中有一项符合题目要求）
1．（5 分）设命题P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P 为（
）
A．∃n∈N，n2≤2n
B．∀n∈N，n2＞2n
C．∃n∈N，n2＞2n
D．∃n∈N，n2＝2n
2．（5 分）双曲线
y2
3 −x2 = 1 的渐近线方程为（
）
A．y =±
3x
B．y =± 3
3 x
C．y＝±2x
D．y =± 2 3
3 x
3．（5 分）设等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a4，a6 是方程x2﹣8x+5＝0 的两根，那么S9＝（
）
A．8
B．36
C．45
D．72
4．（5 分）“m＝2”是“椭圆
x2
m +y2＝1 离心率为
2
2 ”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
5．（5 分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一
半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，
从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为（
）
A．3 里
B．6 里
C．12 里
D．24 里
6．（5 分）以双曲线
x2
9 −
y2
16 =1 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（
）
A．（x﹣5）2+y2＝16
B．（x﹣5）2+y2＝9
C．（x+5）2+y2＝9
D．（x+5）2+y2＝16
7．（5 分）已知抛物线y2＝4x，以（1，1）为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（
）
A．x﹣2y+1＝0
B．2x﹣y﹣1＝0
C．2x+y﹣3＝0
D．x+2y﹣3＝0
8．（5 分）已知四棱锥S﹣ABCD 中底ABCD 是正方形，且SD＝AD，SD⊥面ABCD，则面SAD 和面SBC 所成的
锐角二面角的余弦值为（
）
A．
1
3
B．
1
2
C．
2
2
D．
6
3
9．（5 分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，P 是侧面BB1C1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C1D1 的距离
相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（
）
A．直线
B．圆
C．双曲线
D．抛物线
10．（5 分）如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且
|AF|＝3，则抛物线的方程为（
）
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A．y2= 3
2x
B．y2＝9x
C．y2= 9
2x
D．y2＝3x
11．（5 分）点P 是棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的底面A1B1C1D1 上一点，则PA
→
⋅PC1
→
的取值范围是（
）
A．[﹣1，−1
4]
B．[−1
2，−1
4]
C．[﹣1，0]
D．[−1
2，0]
12．（5 分）已知数列：
1
1 ，
2
1 ，
1
2 ，
3
1 ，
2
2 ，
1
3 ，
4
1 ，
3
2 ，
2
3 ，
1
4 ⋯依它的前10 项的规律，这个数列的第2019 项
a2019 满足（
）
A．1≤a2019≤10
B．a2019＞10
C．0＜a2019＜1
10
D．
1
10 ≤a2019＜1
二、填空题：（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分)
13．（5 分）等比数列{an}中，已知a4＝3，则a3a5＝
．
14．（5 分）若x，y 满足约束条件
y ≤x
x + y ≤1
y ≥−1
，则目标函数z＝2x+y 的最大值是
．
15．（5 分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝
60°，则AC1 的长为
．
16．（5 分）在地平面上有一旗杆OP（O 在地面），为了测得它的高度h，在地平面上取一长度为20m 的基线AB，
在A 处测得P 点的仰角为30°，在B处测得P点的仰角为45°，又测得∠AOB＝30°，则旗杆的高h 等于
m．
三、解答题：（共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10 分）已知集合P＝{x|x2﹣2ax﹣3a2＜0}（a＞0）；集合Q＝{x|
x−4
2x+1 ＜0}．
（1）当a＝1 时，若“x∈P∩Q”是真命题，求实数x 的取值范围；
（2）若“x∈P“是“x∈Q”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
18．（12 分）已知数列{an}的前n 项和为Sn，且满足Sn＝2an﹣1；等差数列{bn}满足b3＝3，b5+b7+b9＝21．
（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（2）令cn=
1
bn+1⋅log2an+1，设数列{cn}的前项和为Tn，求证：
1
2 ≤Tn＜1．
19．（12 分）已知抛物线y2＝x，过点P（1，0）的直线l 交抛物线于A、B 两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）若直线l 的倾斜角为45°，求|AB|．
20．（12 分）某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400 立方米，深度为4 米．池底每平方米的造价为120
元，池壁每平方米的造价为100 元，设池底长方形的长为x 米．
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（Ⅰ）求底面积，并用含x 的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池底面长和宽能使总造价最低？最低造价是多少？
21．（12 分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠B1A1A＝∠C1A1A＝60°，AA1＝AC＝4，AB＝2，P，Q 分别为棱
AA1，AC 的中点．
（1）在平面ABC 内过点A 作AM∥平面PQB1 交BC 于点M，并写出作图步骤，但不要求证明；
（2）若侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，求直线A1C1 与平面PQB1 所成角的正弦值．
22．（12 分）已知椭圆C1：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）过点A（1，
2
2 ），其焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C1 的方程；
（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）处的切
线方程为
x0x
a2 +
y0y
b2 =1，试运用该性质解决以下问题：
（i）如图（1），点B 为C1 在第一象限中的任意一点，过B 作C1 的切线l，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C，
D 两点，求△OCD 面积的最小值；
（ii）如图（2），过椭圆C2：
x2
8 +
y2
2 =1 上任意一点P 作C1 的两条切线PM 和PN，切点分别为M，N．当点P
在椭圆C2 上运动时，是否存在定圆恒与直线MN 相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
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2019-2020 学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12 小题，毎小题5 分，共60 分。在每小题列出的四个选项中，中有一项符合题目要求）
1．（5 分）设命题P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P 为（
）
A．∃n∈N，n2≤2n
B．∀n∈N，n2＞2n
C．∃n∈N，n2＞2n
D．∃n∈N，n2＝2n
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀n∈N，n2≤2n，则￢P 为：∃n∈N，n2＞2n．
故选：C．
2．（5 分）双曲线
y2
3 −x2 = 1 的渐近线方程为（
）
A．y =±
3x
B．y =± 3
3 x
C．y＝±2x
D．y =± 2 3
3 x
【解答】解：双曲线
y2
3 −x2 = 1，
其渐近线方程
y2
3 −x2 = 0，
整理得y＝± 3x．
故选：A．
3．（5 分）设等差数列{an}的前n 项和为Sn，若a4，a6 是方程x2﹣8x+5＝0 的两根，那么S9＝（
）
A．8
B．36
C．45
D．72
【解答】解：∵等差数列{an}的前n 项和为Sn，
a4，a6 是方程x2﹣8x+5＝0 的两根，
∴a4+a6＝8，
∴S9= 9
2（a1+a9）= 9
2 (a4 + a6) = 9
2 × 8 = 36．
故选：B．
4．（5 分）“m＝2”是“椭圆
x2
m +y2＝1 离心率为
2
2 ”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解答】解：椭圆
x2
m +y2＝1 离心率为
2
2 ，可得：m＞1 时，1 −1
m =
2
2 ，或0＜m＜1 时，1 −m =
2
2 ，
解得m＝2 或
1
2．
∴“m＝2”是“椭圆
x2
m +y2＝1 离心率为
2
2 ”的充分不必要条件．
故选：A．
5．（5 分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一
半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，
从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为（
）
A．3 里
B．6 里
C．12 里
D．24 里
【解答】解：设第一天走a1 里，则{an}是以a1 为首项，以
1
2为公比的等比数列，
由题意得：S6 =
a1(1−1
26)
1−1
2
=378，
解得a1＝192（里），
∴a4 = a1 × ( 1
2 )3 =192× 1
8 =24（里）．
故选：D．
6．（5 分）以双曲线
x2
9 −
y2
16 =1 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（
）
A．（x﹣5）2+y2＝16
B．（x﹣5）2+y2＝9
C．（x+5）2+y2＝9
D．（x+5）2+y2＝16
【解答】解：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为y= 4
3x，即4x﹣3y＝0，
r= |20−0|
9+16 =4，圆方程为（x﹣5）2+y2＝16，
故选：A．
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7．（5 分）已知抛物线y2＝4x，以（1，1）为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为（
）
A．x﹣2y+1＝0
B．2x﹣y﹣1＝0
C．2x+y﹣3＝0
D．x+2y﹣3＝0
【解答】解：由题意可得，弦所在直线斜率存在，设弦所在直线方程为y﹣1＝k（x﹣1），代入抛物线的方程可
得
ky2﹣4y﹣4﹣4k＝0，由y1+y2= 4
k =2 可得，k＝2，
故弦所在直线方程为2x﹣y﹣1＝0，
故选：B．
8．（5 分）已知四棱锥S﹣ABCD 中底ABCD 是正方形，且SD＝AD，SD⊥面ABCD，则面SAD 和面SBC 所成的
锐角二面角的余弦值为（
）
A．
1
3
B．
1
2
C．
2
2
D．
6
3
【解答】解：∵四棱锥S﹣ABCD 中底ABCD 是正方形，且SD＝AD，SD⊥面ABCD，
∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设SD＝AD＝1，则S（0，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），
SB
→
=（1，1，﹣1），SC
→
=（0，1，﹣1），
设平面SBC 的法向量n
→=（x，y，z），
则n
→⋅SC
→
= y −z = 0
n
→⋅SB
→
= x + y −z = 0
，取y＝1，得n
→=（0，1，1），
面SAD 的法向量m
→=（0，1，0），
设面SAD 和面SBC 所成的锐角二面角的平面角为θ，
则cosθ= |m
→⋅n
→|
|m
→|⋅|n
→|
= 1
2 =
2
2 ．
∴面SAD 和面SBC 所成的锐角二面角的余弦值为
2
2 ．
故选：C．
9．（5 分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，P 是侧面BB1C1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C1D1 的距离
相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（
）
A．直线
B．圆
C．双曲线
D．抛物线
【解答】解：由题意知，直线C1D1⊥平面BB1C1C，则C1D1⊥PC1，即|PC1|就是点P 到直线C1D1 的距离，
那么点P 到直线BC 的距离等于它到点C1 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．
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故选：D．
10．（5 分）如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且
|AF|＝3，则抛物线的方程为（
）
A．y2= 3
2x
B．y2＝9x
C．y2= 9
2x
D．y2＝3x
【解答】解：如图分别过点A，B 作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，
由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
在直角三角形ACE 中，∵|AF|＝3，|AC|＝3+3a，
∴2|AE|＝|AC|
∴3+3a＝6，
从而得a＝1，
∵BD∥FG，
∴
1
p =
2
3求得p= 3
2，
因此抛物线方程为y2＝3x．
故选：D．
11．（5 分）点P 是棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的底面A1B1C1D1 上一点，则PA
→
⋅PC1
→
的取值范围是（
）
A．[﹣1，−1
4]
B．[−1
2，−1
4]
C．[﹣1，0]
D．[−1
2，0]
【解答】解：如图所示：以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以DD1 所在的
直线为z 轴，
建立空间直角坐标系．
则点A（1，0，0），C1 （0，1，1），设点P 的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1．
∴PA
→
=（1﹣x，﹣y，﹣1），PC1
→
=（﹣x，1﹣y，0），
∴PA
→
⋅PC1
→
=−x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y= (x −1
2 )2 + (y −1
2 )2 −1
2，
由二次函数的性质可得，当x＝y= 1
2时，PA
→
⋅PC1
→
取得最小值为−1
2；
故当x＝0 或1，且y＝0 或1 时，PA
→
⋅PC1
→
取得最大值为0，
则PA
→
⋅PC1
→
的取值范围是[−1
2，0]，
故选：D．
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12．（5 分）已知数列：
1
1 ，
2
1 ，
1
2 ，
3
1 ，
2
2 ，
1
3 ，
4
1 ，
3
2 ，
2
3 ，
1
4 ⋯依它的前10 项的规律，这个数列的第2019 项
a2019 满足（
）
A．1≤a2019≤10
B．a2019＞10
C．0＜a2019＜1
10
D．
1
10 ≤a2019＜1
【解答】解：将此数列分组为（
1
1）（
2
1，
1
2）（
3
1，
2
2，
1
3）（
4
1，
3
2，
2
3，
1
4）…第n 组有n 个数，
设数列的第2019 项a2019 在第n 组中，由等差数列前n 项和公式可得：
n(n−1)
2
＜2019 ≤
n(n+1)
2
（n∈N*），
解得：n＝64，
则前63 组共
63×64
2
=2016，即a2019 在第64 组的第3 项，
即a2019= 62
3 ＞10，
故选：B．
二、填空题：（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分)
13．（5 分）等比数列{an}中，已知a4＝3，则a3a5＝
9
．
【解答】解：由于等比数列{an}中，已知a4＝3，
则：a3 ⋅a5 = a42 = 9，
故答案为：9
14．（5 分）若x，y 满足约束条件
y ≤x
x + y ≤1
y ≥−1
，则目标函数z＝2x+y 的最大值是
3
．
【解答】解：满足约束条件
y ≤x
x + y ≤1
y ≥−1
的平面区域如下图所示：
由图易得，当x＝2，y＝﹣1 时，目标函数z＝2x+y 的最大值为3
故答案为：3．
15．（5 分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝
60°，则AC1 的长为
23
．
【解答】解：由题意，如图，作A1O⊥底面于O，作OE 垂直AB 于E，OF 垂直AD 于F，连接A1F，A1E，
由于，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，故有△A1FA≌△A1EA，即A1F＝A1E
从而有△A1FO≌△A1EO，即有OF＝OE，由作图知，O 在角DAB 的角平分线上，
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又底面是矩形，故角DAO＝角BAO＝45°，
又AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴A1F＝A1E= 3 3
2 ，AE＝AF= 3
2，于是有AO= 3 2
2 ，
在直角三角形A1OA 中，解得A1O= 3 2
2
在图中作C1H 垂直底面于H，作HR 垂直DC 延长线与R，由几何体的性质知，HR＝CR= 3
2，A1O＝C1H= 3 2
2
连接AH，得如图的直角三角形ASH，直角三角形AHC1，由已知及上求解得AS= 5
2，SH= 7
2
∴AC12＝AH2+C1H2＝AS2+SH2+C1H2= 25
4 + 49
4 + 18
4 = 92
4 =23
∴AC1=
23
故答案为23
16．（5 分）在地平面上有一旗杆OP（O 在地面），为了测得它的高度h，在地平面上取一长度为20m 的基线AB，
在A 处测得P 点的仰角为30°，在B 处测得P 点的仰角为45°，又测得∠AOB＝30°，则旗杆的高h 等于
20
m．
【解答】解：由题意可得PO⊥OA，PO⊥OB，
且OB＝OP＝h，OA=
OP
tan30° =
3h，
在△AOB 中，由余弦定理可得AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OBcos∠AOB，
即400＝3h2+h2﹣2• 3h•h•cos30°，
解得h＝20，
∴旗杆OP 的高度为20m．
故答案为：20．
三、解答题：（共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10 分）已知集合P＝{x|x2﹣2ax﹣3a2＜0}（a＞0）；集合Q＝{x|
x−4
2x+1 ＜0}．
（1）当a＝1 时，若“x∈P∩Q”是真命题，求实数x 的取值范围；
（2）若“x∈P“是“x∈Q”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
【解答】解：集合P＝{x|x2﹣2ax﹣3a2＜0}（a＞0），可得P＝{x|﹣a＜x＜3a，a＞0}，
集合Q＝{x|
x−4
2x+1 ＜0}＝{x|（x﹣4）（2x+1）＜0}= ( −1
2 ，4)．
（1）当a＝1 时，P＝（﹣1，3），P∩Q= ( −1
2 ，3)．
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∵“x∈P∩Q”是真命题，∴实数x 的取值范围是( −1
2 ，3)．
（2）若“x∈P“是“x∈Q”的必要不充分条件，则
−1
2 ≥−a
4 ≤3a
a＞0
，解得：a≥4
3．
∴实数a 的取值范围：a≥4
3．
18．（12 分）已知数列{an}的前n 项和为Sn，且满足Sn＝2an﹣1；等差数列{bn}满足b3＝3，b5+b7+b9＝21．
（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（2）令cn=
1
bn+1⋅log2an+1，设数列{cn}的前项和为Tn，求证：
1
2 ≤Tn＜1．
【解答】解：（1）数列{an}的前n 项和为Sn，且满足Sn＝2an﹣1，
可得n＝1 时，a1＝S1＝2a1﹣1，即a1＝1；
n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣1﹣2an﹣1+1，
可得an＝2an﹣1，
即an＝2n﹣1，n∈N*；
等差数列{bn}的公差设为d，b3＝3，b5+b7+b9＝21，
即有b1+2d＝3，3b1+18d＝21，
解得b1＝d＝1，
即有bn＝n，n∈N*；
（2）证明：cn=
1
bn+1⋅log2an+1 =
1
(n+1)log22n =
1
n(n+1) = 1
n −
1
n+1，
数列{cn}的前项和为Tn＝1−1
2 + 1
2 −1
3 + ⋯+ 1
n −
1
n+1 =1−
1
n+1，
由1−
1
n+1随着n 增大而增大，可得Tn≥T1＝1−1
2 = 1
2，
可得
1
2 ≤Tn＜1．
19．（12 分）已知抛物线y2＝x，过点P（1，0）的直线l 交抛物线于A、B 两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）若直线l 的倾斜角为45°，求|AB|．
【解答】解：（1）证明：当直线l 斜率不存在时，此时l：x＝1，
解得A（1，1），B（1，﹣1），
满足OA
→
•OB
→
=1﹣1＝0，∴OA⊥OB；
当直线l 斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），
联立抛物线方程y2＝x，可得k2x2﹣（2k2+1）x+k2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝2+ 1
k2，x1x2＝1，
则OA
→
•OB
→
=x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2﹣k2（x1+x2）+k2
＝（1+k2）﹣2k2﹣1+k2＝0，
即有OA⊥OB．
综上，OA⊥OB 成立；
（2）若直线l 的倾斜角为45°，可得直线l 的方程为y＝x﹣1，
代入抛物线程y2＝x，可得x2﹣3x+1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝3，x1x2＝1，
则|AB|=
1 + 1• (x1 + x2)2 −4x1x2 =
2• 9 −4 =
10．
20．（12 分）某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400 立方米，深度为4 米．池底每平方米的造价为120
元，池壁每平方米的造价为100 元，设池底长方形的长为x 米．
（Ⅰ）求底面积，并用含x 的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池底面长和宽能使总造价最低？最低造价是多少？
【解答】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，
则有S1 = 6400
4
= 1600（平方米）．…2 分
池底长方形宽为
1600
x
米，则S2＝8x+8× 1600
x
=8（x+ 1600
x
）．…6 分
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（Ⅱ）设总造价为y，则
y＝120×1 600+100×8（x+ 1600
x
）≥192000+64000＝256000．…9 分
当且仅当x= 1600
x
，即x＝40 时取等号．…10 分
所以x＝40 时，总造价最低为256000 元．
答：当池底设计为边长40 米的正方形时，总造价最低，其值为256000 元．…12 分．
21．（12 分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠B1A1A＝∠C1A1A＝60°，AA1＝AC＝4，AB＝2，P，Q 分别为棱
AA1，AC 的中点．
（1）在平面ABC 内过点A 作AM∥平面PQB1 交BC 于点M，并写出作图步骤，但不要求证明；
（2）若侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，求直线A1C1 与平面PQB1 所成角的正弦值．
【解答】解：（1）取BB1 中点E，连接AE，则AE∥PB1，
连接CE，取CE 中点N，连接QN，则QN∥AE，
∴QN∥PB1，即Q，N，P，B1 四点共面，
连接B1N 交BC 于H，连接QH，则Q，H，B1，P 四点共面，
过A 作AM∥QH 交BC 于M，即为所求．
（2）作QO⊥平面ABB1A1，与A1A 延长线交于O，则AO＝1，QO=
3，
OB1=
25 + 4 −2 × 5 × 2 × 1
2 =
19，∴QB1=
22，
∵B1P＝2，PQ＝2 3，
∴cos∠QPB1= 12+4−22
2×2 3×2 =−3
4 ，
∴sin∠QPB1=
13
4 ，
∴S△PQB1 = 1
2 × 2 3 × 2 ×
13
4
=
39
2 ，
作PN∥C1A1，则直线A1C1 与平面PQB1 所成角＝直线PN 与平面PQB1 所成角，
∵S△PQN = 1
2 × 4 ×
3 =2 3，∴VB1 −PQN = 1
3 × 2 3 ×
3 =2，
设N 到平面PQB1 的距离为h，则
1
3 ×
39
2
× h = 2，∴h= 4 39
13 ，
∴直线A1C1 与平面PQB1 所成角的正弦值=
4 39
13
4
=
39
13 ．
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22．（12 分）已知椭圆C1：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）过点A（1，
2
2 ），其焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C1 的方程；
（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），则椭圆在其上一点A（x0，y0）处的切
线方程为
x0x
a2 +
y0y
b2 =1，试运用该性质解决以下问题：
（i）如图（1），点B 为C1 在第一象限中的任意一点，过B 作C1 的切线l，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C，
D 两点，求△OCD 面积的最小值；
（ii）如图（2），过椭圆C2：
x2
8 +
y2
2 =1 上任意一点P 作C1 的两条切线PM 和PN，切点分别为M，N．当点P
在椭圆C2 上运动时，是否存在定圆恒与直线MN 相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（I）依题意得：椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），由椭圆定义知：2a＝|AF1|+|AF2|，
∴a =
2，c = 1 ∴b = 1，所以椭圆C1 的方程为
x2
2 + y2 = 1．…（4 分）
（II）（ⅰ）设B（x2，y2），则椭圆C1 在点B 处的切线方程为
x2
2 x + y2y = 1
令x＝0，yD = 1
y2，令y = 0，xC = 2
x2，所以S△OCD =
1
x2y2 ⋯（5 分）
又点B 在椭圆的第一象限上，所以x2＞0，y2＞0，x22
2 + y22 = 1，
∴1 = x22
2 + y22 ≥2 x22
2 y22 =
2x2y2⋯（7 分）
∴S△OCD =
1
x2y2 ≥1
2 =
2
2 ，当且仅当
x22
2
= y22 ⇔x2 =
2y2 = 1
所以当B(1，2
2 )时，三角形OCD 的面积的最小值为2⋯（9 分）
（ii）设P（m，n），则椭圆C1 在点M（x3，y3）处的切线为：
x3
2 x + y3y = 1
又PM 过点P（m，n），所以
x3
2 m + y3n = 1，同理点N（x4，y4）也满足
x4
2 m + y4n = 1，
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所以M，N 都在直线
x
2 m + yn = 1 上，
即：直线MN 的方程为
m
2 x + ny = 1⋯（12 分）
所以原点O 到直线MN 的距离d =
1
m2
4 +n2
=
2
2 ，…（13 分）
所以直线MN 始终与圆x2 + y2 = 1
2相切．…（14 分）
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2019-2020 学年广东省汕头市潮阳区高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．（5 分）已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈z}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（
）
A．{﹣1，1}
B．{﹣3，﹣1，1}
C．{0，1，2}
D．{﹣1，0，1，2}
2．（5 分）一路口的红绿灯，红灯的时间为30 秒，黄灯的时间为5 秒，绿灯的时间为40 秒．当你到达此路口时，
看见的不是绿灯的概率为（
）
A．
1
15
B．
6
15
C．
7
15
D．
8
15
3．（5 分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0，则¬p 是（
）
A．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0
B．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0
C．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0
D．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0
4．（5 分）小吴一星期的总开支分布如图1 所示，一星期的食品开支如图2 所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开
支的百分比为（
）
A．1%
B．2%
C．3%
D．5%
5．（5 分）下列函数为奇函数的是（
）
A．f（x）＝x3+3x2
B．f（x）＝2x+2
﹣x
C．f（x）＝xsinx
D．f（x）＝ln
3+x
3−x
6．（5 分）函数f（x）＝sinx﹣cosx 在下列哪个区间上是单调递减的（
）
A．[﹣π，0]
B．[0，π]
C．[ −π
4 ，3π
4 ]
D．[ 3π
4 ，7π
4 ]
7．（5 分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
8．（5 分）“a＞1
2”是“ln（2a﹣1）＞0”成立的（
）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
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9．（5 分）已知点M（3，8）在双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）上，C 的焦距为6，则它的离心率为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
10．（5 分）已知实数x，y 满足
x + y ≤10
x −y + 2 ≥0
x ≥0，y ≥0
，则z＝x+ y
2的最大值为（
）
A．7
B．1
C．10
D．0
11．（5 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 的底面ABCD 是梯形，AB∥CD，若平面PAD∩平面PBC＝l，则（
）
A．l∥CD
B．l∥BC
C．l 与直线AB 相交
D．l 与直线DA 相交
12．（5 分）若曲线
2x −1，x ≤1
2
1−x ，x＞1
与直线y＝kx﹣1 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（
）
A．( −∞，5 + 2 6)
B．( −∞，5 −2 6)
C．( −∞，0) ∪(0，5 + 2 6)
D．( −∞，0) ∪(0，5 −2 6)
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．（5 分）已知地球表面及约是火星表面积的4 倍，则地球体积是火星体积的
．
14．（5 分）已知向量a
→，b
→
间的夹角为
5
6π，若a
→=（2，3），|b
→
|=
6，则a
→⋅b
→
=
．
15．（5 分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵“的三视图如图所示，
俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为
．
16．（5 分）已知抛物线y2＝4x 的焦点为F，点A（5，3），M 为抛物线上一点且M 不在直线AF 上，则△MAF 周
长的最小值为
．
三、解答题：本大题共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）已知在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为且a，b，c，且
a
3cosA =
c
sinC．
（1）求角A 的大小；
（2）若a＝6，sinB＝2sinC，求△ABC 的面积．
18．（12 分）已知圆的方程为：（x﹣1）2+y2＝1 求：
（1）斜率为3 且与圆相切直线的方程；
（2）过定点（2，﹣3）且圆相切的直线的方程．
19．（12 分）已知正项的等比数列{an}的前n 项和为Sn，且2a2 = S2 + 1
2 ，a3 = 2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝log2an+3，数列{
1
bnbn+1 }的前n 项和为Tn，求满足Tn＞1
3的正整数n 的最小值．
20．（12 分）如图，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
AB＝AD= 1
2CD＝a，PD=
2a，M 为PA 中点．
（1）求证：AC∥平面MDE；
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第348页（共926页）
（2）求直线ME 与平面PBC 所成角的正弦值．
21．（12 分）设函数f（x）= a −x，x ≤1
a(x −1)(x −a)，x＞1
．
（1）当a＝﹣2 时，求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0 时，求不等式f（x）＞0 的解集．
22．（12 分）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e= 1
2，点P 是椭圆上的一个动点，
△PF1F2 面积的最大值是4 3．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A，B，C，D 是椭圆上不重合的四点，AC 与BD 相交于点F1，且AC 与BD 垂直，又|AC|+|BD|= 96
7 ，
求此时直线AC 的方程．
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2019-2020 学年广东省汕头市潮阳区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1．（5 分）已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈z}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（
）
A．{﹣1，1}
B．{﹣3，﹣1，1}
C．{0，1，2}
D．{﹣1，0，1，2}
【解答】解：集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈z}为奇数集，
B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
则A∩B＝{﹣1，1}．
故选：A．
2．（5 分）一路口的红绿灯，红灯的时间为30 秒，黄灯的时间为5 秒，绿灯的时间为40 秒．当你到达此路口时，
看见的不是绿灯的概率为（
）
A．
1
15
B．
6
15
C．
7
15
D．
8
15
【解答】解：由题意知红灯的时间为30 秒，黄灯的时间为5 秒，绿灯的时间为40 秒；
到达此路口时看见的不是绿灯的概率为P＝1−
40
40+30+5 = 7
15．
故选：C．
3．（5 分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0，则¬p 是（
）
A．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0
B．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0
C．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0
D．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，得；
命题p 的否定是¬p：
∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0．
故选：C．
4．（5 分）小吴一星期的总开支分布如图1 所示，一星期的食品开支如图2 所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开
支的百分比为（
）
A．1%
B．2%
C．3%
D．5%
【解答】解：由图1 所示，食品开支占总开支的30%，
由图2 所示，鸡蛋开支占食品开支的
30
30+40+100+80+50 =
1
10，
∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%× 1
10 =3%．
故选：C．
5．（5 分）下列函数为奇函数的是（
）
A．f（x）＝x3+3x2
B．f（x）＝2x+2
﹣x
C．f（x）＝xsinx
D．f（x）＝ln
3+x
3−x
【解答】解：对于A，∵f（﹣1）＝2，f（1）＝4，f（﹣1）≠﹣f（1），
∴函数不是奇函数；
对于B，函数定义域为R，f（﹣x）＝2
﹣x+2
﹣（﹣x）＝2x+2
﹣x＝f（x），
∴函数为偶函数；
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对于C，函数定义域为R，f（﹣x）＝﹣xsin（﹣x）＝xsinx＝f（x），
∴函数为偶函数；
对于D，由
3+x
3−x ＞0，得﹣3＜x＜3，函数定义域为（﹣3，3），
而f（﹣x）= ln 3−x
3+x = ln( 3+x
3−x )−1 =−ln 3+x
3−x =−f(x)，
∴函数为奇函数．
故选：D．
6．（5 分）函数f（x）＝sinx﹣cosx 在下列哪个区间上是单调递减的（
）
A．[﹣π，0]
B．[0，π]
C．[ −π
4 ，3π
4 ]
D．[ 3π
4 ，7π
4 ]
【解答】解：函数f（x）＝sinx﹣cosx=
2sin（x−π
4），
令
π
2 +2kπ≤x−π
4 ≤3π
2 +2kπ，k∈Z；
解得
3π
4 +2kπ≤x≤7π
4 +2kπ，k∈Z；
令k＝0，得
3π
4 ≤x≤7π
4 ，
∴f（x）在区间[
3π
4 ，
7π
4 ]上是单调减函数．
故选：D．
7．（5 分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【解答】解：当S＝0 时，满足继续循环的条件，故S＝1，k＝1；
当S＝1 时，满足继续循环的条件，故S＝3，k＝2；
当S＝3 时，满足继续循环的条件，故S＝11，k＝3；
当S＝11 时，满足继续循环的条件，故S＝2059，k＝4；
当S＝2049 时，不满足继续循环的条件，
故输出的k 值为4，
故选：A．
8．（5 分）“a＞1
2”是“ln（2a﹣1）＞0”成立的（
）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵ln（2a﹣1）＞0，
∴2a﹣1＞1，∴a＞1，
∵a＞1
2推不出a＞1，
a＞1⇒a＞1
2，
∴“a＞1
2”是“ln（2a﹣1）＞0”的必要不充分条件．
故选：C．
9．（5 分）已知点M（3，8）在双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）上，C 的焦距为6，则它的离心率为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
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【解答】解：点M（3，8）在双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）上，
可得
9
a2 −
64
b2 =1，①
C 的焦距为6，即2c＝6，可得c＝3，即a2+b2＝9②
由①②解得a＝1，b＝2 2，
则e= c
a =3，
故选：B．
10．（5 分）已知实数x，y 满足
x + y ≤10
x −y + 2 ≥0
x ≥0，y ≥0
，则z＝x+ y
2的最大值为（
）
A．7
B．1
C．10
D．0
【解答】解：由约束条件
x + y ≤10
x −y + 2 ≥0
x ≥0，y ≥0
作出可行域如图，
A（10，0），
化目标函数z＝x+ y
2为y＝﹣2x+2z，由图可知，当直线y＝﹣2x+2z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有
最大值为10．
故选：C．
11．（5 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 的底面ABCD 是梯形，AB∥CD，若平面PAD∩平面PBC＝l，则（
）
A．l∥CD
B．l∥BC
C．l 与直线AB 相交
D．l 与直线DA 相交
【解答】解：∵四棱锥P﹣ABCD 的底面ABCD 是梯形，AB∥CD．∴AD 与CB 必相交于点M，
则P 是面平面PAD 和平面PBC 的公共点，又平面PAD∩平面PBC＝l．
∴P∈l．l 与直线DA 相交．
故选：D．
12．（5 分）若曲线
2x −1，x ≤1
2
1−x ，x＞1
与直线y＝kx﹣1 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（
）
A．( −∞，5 + 2 6)
B．( −∞，5 −2 6)
C．( −∞，0) ∪(0，5 + 2 6)
D．( −∞，0) ∪(0，5 −2 6)
【解答】解：作出曲线y=
2x −1，x ≤1
2
1−x ，x＞1
的图象如图：
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直线y＝kx﹣1 过定点（0，﹣1），
当k＝0 时，两个函数只有一个交点，不满足条件，
当k＜0 时，两个函数有2 个交点，满足条件，
当k＞0 时，直线y＝kx﹣1 与y=
2
1−x在x＞1 相切时，
两个函数只有一个交点，
此时
2
1−x =kx﹣1，即kx2﹣（1+k）x+3＝0，
判别式△＝（1+k）2﹣12k＝0，解得k2﹣10k+1＝0，
k＝5﹣2 6或k＝5+2 6（舍去）
综上满足条件的k 的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，5﹣2 6），
故选：D．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．（5 分）已知地球表面及约是火星表面积的4 倍，则地球体积是火星体积的
8 倍
．
【解答】解：设地球的半径为R，火星的半径为r，由已知条件得4πR2＝4×4πr2，所以，R＝2r，
所以，地球的体积为
4
3 πR3 =
4
3 π × (2r)3 = 8 ×
4
3 πr3，
因此，地球体积是火星体积的8 倍，
故答案为：8 倍．
14．（5 分）已知向量a
→，b
→
间的夹角为
5
6π，若a
→=（2，3），|b
→
|=
6，则a
→⋅b
→
=
−3 26
2
．
【解答】解：|a
→| =
13，且|b
→
| =
6，a
→，b
→
间的夹角为
5
6 π；
∴a
→⋅b
→
= |a
→||b
→
|cos 5
6 π =
13 ×
6 × ( −
3
2 ) =−3 26
2 ．
故答案为：−3 26
2 ．
15．（5 分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵“的三视图如图所示，
俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为
6+4 2
．
【解答】解：根据几何体的三视图，
如图所示：
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转换为几何体为：底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为2 的三棱柱．
故：S = 2 ⋅1
2 ⋅
2 ⋅
2 +
2 ⋅2 +
2 ⋅2 + 2 ⋅2 =6+4 2
故答案为：6+4 2．
16．（5 分）已知抛物线y2＝4x 的焦点为F，点A（5，3），M 为抛物线上一点且M 不在直线AF 上，则△MAF 周
长的最小值为
11
．
【解答】解：F（1，0），|AF|=
(5 −1)2 + 32 =5，
过M 向抛物线的准线x＝﹣1 作垂线，垂足为B，则|MF|＝|MB|，
∴当A，B，M 三点共线时，|MA|+|MB|取得最小值5+1＝6，
即|MF|+|MA|的最小值为6，
∴△MAF 周长的最小值为为11．
故答案为：11．
三、解答题：本大题共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）已知在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为且a，b，c，且
a
3cosA =
c
sinC．
（1）求角A 的大小；
（2）若a＝6，sinB＝2sinC，求△ABC 的面积．
【解答】解：（1）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为且a，b，c，且
a
3cosA =
c
sinC．
则：
a
sinA =
a
3cosA，
整理得：sinA =
3cosA，
则：tanA=
3，
由于：0＜A＜π，
解得：A= π
3．
（2）a＝6，sinB＝2sinC，
所以：b＝2c，
所以：a2＝b2+c2﹣2bccosA，
整理得：36＝4c2+c2﹣2c2，
解得：c= 2 3．
所以b= 4 3．
则：S△ABC = 1
2 bcsinA = 1
2 ⋅4 3 ⋅2 3 ⋅3
2 = 6 3．
18．（12 分）已知圆的方程为：（x﹣1）2+y2＝1 求：
（1）斜率为3 且与圆相切直线的方程；
（2）过定点（2，﹣3）且圆相切的直线的方程．
【解答】解：（1）圆的方程为：（x﹣1）2+y2＝1，
设斜率为3 且与圆相切的直线方程为y＝3x+b，
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第354页（共926页）
则圆心C（1，0）到该直线的距离为
d=
|3−0+b|
32+(−1)2 =1，
解得b＝﹣3± 10，
∴y＝3x﹣3+
10或y＝3x﹣3−
10；
（2）设过定点（2，﹣3）且与圆相切的直线方程为y+3＝k（x﹣2），
即kx﹣y﹣2k﹣3＝0，
则圆心C 到该直线的距离为d= |k−0−2k−3|
k2+1
=1，
解得k=−4
3，
∴切线方程为y+3=−4
3（x﹣2），
即4x+3y+1＝0；
又当斜率k 不存在时，直线x＝2 也是圆的切线；
综上，所求圆的切线为x＝2 或4x+3y+1＝0．
19．（12 分）已知正项的等比数列{an}的前n 项和为Sn，且2a2 = S2 + 1
2 ，a3 = 2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝log2an+3，数列{
1
bnbn+1 }的前n 项和为Tn，求满足Tn＞1
3的正整数n 的最小值．
【解答】解：（1）正项的等比数列{an}的公比为q（q＞0），
2a2 = S2 + 1
2 ，a3 = 2，
可得2a1q＝a1+a1q+ 1
2，a1q2＝2，
解得a1= 1
2，q＝2，
则an＝a1qn﹣1＝2n﹣2；
（2）bn＝log2an+3＝log22n﹣2+3＝n﹣2+3＝n+1，
1
bnbn+1
=
1
(n+1)(n+2) =
1
n+1 −
1
n+2，
前n 项和为Tn= 1
2 −1
3 + 1
3 −1
4 + ⋯+
1
n+1 −
1
n+2
= 1
2 −
1
n+2，
满足Tn＞1
3，可得
1
2 −
1
n+2 ＞
1
3，
解得n＞4，
满足Tn＞1
3的正整数n 的最小值为5．
20．（12 分）如图，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
AB＝AD= 1
2CD＝a，PD=
2a，M 为PA 中点．
（1）求证：AC∥平面MDE；
（2）求直线ME 与平面PBC 所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）连结PC，交DE 于N，连结MN，
在△PAC 中，∵M，N 分别为PA，PC 的中点，∴MN∥AC，
∵AC⊄平面MDE，MN⊂平面MDE，
∴AC∥平面MDE．
解：（2）以D 为原点，DA，DB，DP 所在直线为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
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第355页（共926页）
则P（0，0，2a），B（a，a，0），C（0，2a，0），A（a，0，0），M（
a
2 ，0，
2a
2 ），E（0，2a，2a），
PB
→
=（a，a，−
2a），BC
→
=（﹣a，a，0），
设平面PBC 的法向量n
→=（x，y，z），
则n
→⋅PB
→
= ax + ay −
2az = 0
n
→⋅BC
→
=−ax + ay = 0
，取z＝1，得n
→=（
2
2 ，
2
2 ，1），
ME
→
=（−a
2，2a，
2
2 a），
设直线ME 与平面PBC 所成角为θ，
则sinθ＝|cos＜ME
→
，n
→＞|= |ME
→
⋅n
→|
|ME
→
|⋅|n
→|
=
5 2
4 a
19
2 a× 2
= 5 19
38 ，
∴直线ME 与平面PBC 所成角的正弦值为
5 19
38 ．
21．（12 分）设函数f（x）= a −x，x ≤1
a(x −1)(x −a)，x＞1
．
（1）当a＝﹣2 时，求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0 时，求不等式f（x）＞0 的解集．
【解答】解：（1）a＝﹣2 时，f(x) = −2 −x
x ≤1
−2(x −1)(x + 2)
x＞1 ；
∴根据一次函数和二次函数的单调性得，f（x）在（﹣∞，1]，（1，+∞）上单调递减；
∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1]，（1，+∞）；
（2）a＞0 时，不等式转化为a −x＞0
x ≤1
①，或(x −1)(x −a)＞0
x＞1
②；
若0＜a≤1 时，解①得，x＜a；解②得，x＞1，∴不等式的解集为（﹣∞，a）∪（1，+∞）；
若a＞1 时，解①得，x≤1；解②得，x＞a，∴不等式的解集为（﹣∞，1]∪（a，+∞）．
22．（12 分）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e= 1
2，点P 是椭圆上的一个动点，
△PF1F2 面积的最大值是4 3．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A，B，C，D 是椭圆上不重合的四点，AC 与BD 相交于点F1，且AC 与BD 垂直，又|AC|+|BD|= 96
7 ，
求此时直线AC 的方程．
【解答】解：（1）由题意可得e= c
a = 1
2，当P 位于椭圆的短轴的端点时，
△PF1F2 面积的最大值是4 3，即有
1
2•b•2c＝4 3，
又a2﹣b2＝c2，解得a＝4，b＝2 3，
则椭圆方程为
x2
16 +
y2
12 =1；
（2）由（1）知F1（﹣2，0），AC⊥BD，
①当直线AC，BD 中一条直线斜率不存在时，|AC|+|BD|＝14，不合题意；
②当直线AC 斜率为k，k≠0 时，其方程为y＝k（x+2），
将该方程带入椭圆方程并整理得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48＝0，
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第356页（共926页）
若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=−16k2
3+4k2，x1x2= 16k2−48
3+4k2 ，
∴|AC|=
1 + k2|x1﹣x2|=
1 + k2• (x1 + x2)2 −4x1x2 = 24(1+k2)
3+4k2 ；
直线BD 的方程为y=−1
k（x+2），同理可得|BD|= 24(1+k2)
4+3k2 ；
∴|AC|+|BD|=
168(1+k2)2
(3+4k2)(4+3k2) = 96
7 ，解得k2＝1，
即直线AC 的方程为y＝±（x+2）．
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第357页（共926页）
2019-2020 学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）双曲线
x2
4 −
y2
8 = 1 的焦距是（
）
A．2 3
B．4
C．4 3
D．8
2．（5 分）命题“若x2+y2＝0，则x＝0 且y＝0”的否命题是（
）
A．若x2+y2＝0，则x≠0 且y≠0
B．若x2+y2＝0，则x≠0 或y≠0
C．若x2+y2≠0，则x≠0 且y≠0
D．若x2+y2≠0，则x≠0 或y≠0
3．（5 分）已知直线l、m，平面α、β，l⊥α，m⊂β，则α∥β是l⊥m 的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5 分）为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所
示；记本次测试中，A、B 两班学生的平均成绩分别为xA，xB，A、B 两班学生成绩的方差分别为SA2，SB2，则
观察茎叶图可知（
）
A．xA＜xB，SA2＜SB2
B．xA＞xB，SA2＜SB2
C．xA＜xB，SA2＞SB2
D．xA＞xB，SA2＞SB2
5．（5 分）已知向量a
→=（1，2，﹣2），b
→
=（﹣3，﹣6，6），c
→=（2，1，2）则它们的位置关系是（
）
A．a
→∥b
→
，a
→∥c
→
B．a
→⊥b
→
，a
→⊥c
→
C．a
→⊥b
→
，b
→
∥c
→
D．a
→∥b
→
，b
→
⊥c
→
6．（5 分）某高中在校学生2000 人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动．每人都参
加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中a：b：c＝2：3：5，全校参与登山的人数占总人数的
3
5，为了了解学生对本次活动的满意程度，现用分层抽
样方式从中抽取一个100 个人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（
）
A．6 人
B．12 人
C．18 人
D．24 人
7．（5 分）已知点P（1，2，3），Q（﹣1，0，1），则P 点关于x 轴对称的点R 与点Q 的距离为（
）
A．2 2
B．2 3
C．2 5
D．2 6
8．（5 分）从4 名男生2 名女生中任选3 人参加演讲比赛，则所选3 人中恰有1 名女生的概率为（
）
A．
1
5
B．
1
2
C．
3
5
D．
4
5
9．（5 分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000 的最小偶数n，那么在
和
两个空白框中，
可以分别填入（
）
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A．A＞1000 和n＝n+1
B．A＞1000 和n＝n+2
C．A≤1000 和n＝n+1
D．A≤1000 和n＝n+2
10．（5 分）已知椭圆
x2
4 +
y2
3 = 1 的左右焦点分别为F1，F2，过F2 且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B 两点，则△
ABF1 内切圆的半径为（
）
A．
4
3
B．1
C．
4
5
D．
3
4
11．（5 分）正四棱锥S﹣ABCD 中，O 为顶点S 在底面ABCD 内的正投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO＝OD=
2，
则异面直线PC 与BD 的距离为（
）
A．
10
10
B．
10
5
C．
5
10
D．
5
5
12．
（5 分）F1、F2为双曲线C：x2
a2 −y2
b2 = 1 的左、右焦点，过F1作x 轴的垂线与双曲线交于M，N 两点，cos∠MF2N = 7
8，
则C 的离心率为（
）
A．
15
3
B．
3
2
C．
13
2
D．2
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．）
13．（5 分）已知命题p：∀x∈[0，
π
2]，sinx＜x，那么命题￢p 是
．
14．（5 分）执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值是
．
15．（5 分）假设在5 秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时
间差小于2 秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为
．
16．（5 分）点P（x，y）满足等式(x −2)2 + y2 +
(x + 2)2 + y2 =2 10，过点（2，0）的直线l 交动点P 的轨迹
曲线E 于A，B 两点，若曲线E 上存在点C，使四边形AOBC（O 为坐标原点）恰为平行四边形，则直线l 的斜
率为
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三、解答题：（共70 分其中17 题10 分，其余每小题10 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
$\begin{array}{l}
17．（10 分）已知抛物线C：y2＝2px 经过点M（1，2）．
（1）求C 的标准方程和焦点坐标；
（2）斜率为1 的直线l 经过抛物线C 的焦点，且与抛物线相交于A、B 两点，求线段AB 的长．
18．（12 分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1
至6 月份每月10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期
1 月10 日
2 月10 日
3 月10 日
4 月10 日
5 月10 日
6 月10 日
昼夜温差x（0C）
10
11
13
12
8
6
就诊人数y（个）
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2 组，用剩下的4 组数据求线性回归方程，再用被选取的
2 组数据进行检验．若选取的是用1 月与6 月的两组数据检验．
（1）请根据2 至5 月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y＝bx+a；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2 人，则认线性回归方程是理想的，
请判断（1）所求出的线性回归方程是否理想的？
（参考公式：线性回归方程y
^ = b
^
x+ a
^其中b
^
=
i=1
n
σ
(xi−x)(yi−y)
i=1
n
σ
(xi−xi)2
=
i=1
n
σ
xiyi−nxy
i=1
n
σ
xi2−nx2 ）
19．（12 分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝CD＝2，
AA1＝AB＝4，E 为棱AA1 的中点．
（1）求证：B1C1⊥CE；
（2）若点M 为线段C1E 的中点，求直线A1M 与平面B1CE 所成角的正弦值．
20．（12 分）某电视台为了宣传本区，随机对本区内15～65 岁的人群抽取了n 人，回答问题“本区内著名旅游景点
有哪些”，统计结果如图表所示：
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1 组
[15，25）
a
0.5
第2 组
[25，35）
18
x
第3 组
[35，45）
b
0.9
第4 组
[45，55）
9
0.36
第5 组
[55，65]
3
y
（1）分别求出n，a，b，x，y 的值．
（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数（保留小数点后两位）和平均数．
（3）若第1 组回答正确的人员中，有2 名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2 人，求至少抽中一名女性的
概率．
21．（12 分）如图在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD
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＝4，AD＝2，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的一点，且PM= 1
3PC．
（1）求证：PA∥平面BMQ；
（2）求二面角M﹣BQ﹣P 的余弦值．
22．（12 分）已知F1、F2 分别为椭圆C：
y2
a2 +
x2
b2 =1（a＞b＞0）的上、下焦点，A 为左顶点，过点F1、A 的直线与
椭圆的另一个交点为B，∠BAF2＝90°，|F2B|= 5 2
3 ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线l：y＝kx+m 与椭圆交于E、F 两点，且线段EF 的中点在直线y＝1 上，求|EF|的最大值．
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2019-2020 学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）双曲线
x2
4 −
y2
8 = 1 的焦距是（
）
A．2 3
B．4
C．4 3
D．8
【解答】解：双曲线
x2
4 −
y2
8 = 1 可得，a＝2，b＝2 2，c＝2 3，
所以双曲线
x2
4 −
y2
8 = 1 的焦距是：4 3．
故选：C．
2．（5 分）命题“若x2+y2＝0，则x＝0 且y＝0”的否命题是（
）
A．若x2+y2＝0，则x≠0 且y≠0
B．若x2+y2＝0，则x≠0 或y≠0
C．若x2+y2≠0，则x≠0 且y≠0
D．若x2+y2≠0，则x≠0 或y≠0
【解答】解：命题“x2+y2＝0，则x＝y＝0”的否定命题为：若x2+y2≠0，则x≠0 或y≠0．
故选：D．
3．（5 分）已知直线l、m，平面α、β，l⊥α，m⊂β，则α∥β是l⊥m 的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：根据题意，分两步来判断：
①当α∥β时，
∵l⊥α，且α∥β，
∴l⊥β，又∵m⊂β，
∴l⊥m，
则α∥β是l⊥m 的充分条件，
②若l⊥m，不一定α∥β，
当α∩β＝l 时，又由l⊥α，则l⊥m，但此时α∥β不成立，
即α∥β是l⊥m 的不必要条件，
则α∥β是l⊥m 的充分不必要条件，
故选：B．
4．（5 分）为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所
示；记本次测试中，A、B 两班学生的平均成绩分别为xA，xB，A、B 两班学生成绩的方差分别为SA2，SB2，则
观察茎叶图可知（
）
A．xA＜xB，SA2＜SB2
B．xA＞xB，SA2＜SB2
C．xA＜xB，SA2＞SB2
D．xA＞xB，SA2＞SB2
【解答】解：A 班学生的分数多集中在[70，80]之间，B 班学生的分数集中在[50，70]之间，故xA＞xB；
相对两个班级的成绩分布来说，A 班学生的分数更加集中，B 班学生的分数更加离散，故SA2＜SB2，
故选：B．
5．（5 分）已知向量a
→=（1，2，﹣2），b
→
=（﹣3，﹣6，6），c
→=（2，1，2）则它们的位置关系是（
）
A．a
→∥b
→
，a
→∥c
→
B．a
→⊥b
→
，a
→⊥c
→
C．a
→⊥b
→
，b
→
∥c
→
D．a
→∥b
→
，b
→
⊥c
→
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【解答】解：∵向量a
→=（1，2，﹣2），b
→
=（﹣3，﹣6，6），c
→=（2，1，2），
∴由题知：b
→
=−3a
→，b
→
• c
→=0，∴b
→
⊥c
→，a
→∥b
→
．
故选：D．
6．（5 分）某高中在校学生2000 人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动．每人都参
加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
其中a：b：c＝2：3：5，全校参与登山的人数占总人数的
3
5，为了了解学生对本次活动的满意程度，现用分层抽
样方式从中抽取一个100 个人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（
）
A．6 人
B．12 人
C．18 人
D．24 人
【解答】解：根据题意可知样本中参与跑步的人数为100× 2
5 =40 人，所以高二级参与跑步的学生中应抽取的人
数为40× 3
10 =12 人．
故选：B．
7．（5 分）已知点P（1，2，3），Q（﹣1，0，1），则P 点关于x 轴对称的点R 与点Q 的距离为（
）
A．2 2
B．2 3
C．2 5
D．2 6
【解答】解：点P（1，2，3），Q（﹣1，0，1），
由题意得点P 关于x 轴对称的点坐标为R（1，﹣2，﹣3），
故利用空间两点的距离公式的点R 与点Q 两点距离为：
|RQ|=
(1 + 1)2 + ( −2 −0)2 + ( −3 −1)2 = 2 6．
故选：D．
8．（5 分）从4 名男生2 名女生中任选3 人参加演讲比赛，则所选3 人中恰有1 名女生的概率为（
）
A．
1
5
B．
1
2
C．
3
5
D．
4
5
【解答】解：从4 名男生2 名女生中任选3 人参加演讲比赛，
基本事件总数n= C6
3 =20，
所选3 人中恰有1 名女生包含的基本事件个数m= C4
2C2
1 =12，
则所选3 人中恰有1 名女生的概率为p= m
n = 12
20 = 3
5．
故选：C．
9．（5 分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000 的最小偶数n，那么在
和
两个空白框中，
可以分别填入（
）
A．A＞1000 和n＝n+1
B．A＞1000 和n＝n+2
C．A≤1000 和n＝n+1
D．A≤1000 和n＝n+2
【解答】解：因为要求A＞1000 时输出，且框图中在“否”时输出，
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第363页（共926页）
所以“
”内不能输入“A＞1000”，
又要求n 为偶数，且n 的初始值为0，
所以“
”中n 依次加2 可保证其为偶数，
所以D 选项满足要求，
故选：D．
10．（5 分）已知椭圆
x2
4 +
y2
3 = 1 的左右焦点分别为F1，F2，过F2 且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B 两点，则△
ABF1 内切圆的半径为（
）
A．
4
3
B．1
C．
4
5
D．
3
4
【解答】解：根据题意，设△ABF1 内切圆的半径为r；
椭圆的方程为
x2
4 +
y2
3 = 1，
其中a=
4 =2，b=
3，c=
a2 −b2 =1，则||F1F2|＝2c＝2，
AB 与x 轴垂直，
则有|AF1|2﹣|AF2|2＝4，|AF1|+|AF2|＝2a＝4，
解可得：|AF1|= 5
2，|AF2|= 3
2，
△ABF1 的周长l＝|AF1|+|BF1|+|AB|＝4+2c＝8，
其面积S= 1
2 ×|AB|×|F1F2|＝3，
由内切圆的性质可知，有
1
2r×l＝S，解可得r= 3
4．
故选：D．
11．（5 分）正四棱锥S﹣ABCD 中，O 为顶点S 在底面ABCD 内的正投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO＝OD=
2，
则异面直线PC 与BD 的距离为（
）
A．
10
10
B．
10
5
C．
5
10
D．
5
5
【解答】解：∵S﹣ABCD 为正四棱锥且O 是S 在底面ABCD 内的正投影，
∴SO⊥面ABCD，
连接AC、BD，则AC⊥BD 且交于O，
∵OC、BD⊂面ABCD，
∴SO⊥OC、SO⊥OD，
∴以OC、OD、OS 为x、y、z 轴建立
如图所示的空间直角坐标系，
∵SO = OD =
2，
∴S(0，0，2)、D(0，2，0)、C( 2，0，0)、B(0，−
2，0)、P(0，2
2 ，2
2 )，
∴BD
→
= (0，2 2，0)，PC
→
= ( 2，−2
2 ，−2
2 )，
设异面直线BD 与PC 的公垂线向量为n
→= (x，y，z)，
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则有n
→⋅BD
→
= 0
n
→⋅PC
→
= 0
即
(x，y，z) ⋅(0，2 2，0) = 0
(x，y，z) ⋅( 2，−2
2 ，−2
2 ) = 0
，
得
y = 0
2x −
2
2 z = 0不妨令x＝1，则n
→= (1，0，2)，
又∵CD
→
= ( −
2，2，0)，
∴异面直线BD 与PC 的距离d = | CD
→
⋅n
→
n
→
| = | −2
1+4 | =
10
5 ，
∴异面直线BD 与PC 的距离为
10
5 ．
故选：B．
12．
（5 分）F1、F2为双曲线C：x2
a2 −y2
b2 = 1 的左、右焦点，过F1作x 轴的垂线与双曲线交于M，N 两点，cos∠MF2N = 7
8，
则C 的离心率为（
）
A．
15
3
B．
3
2
C．
13
2
D．2
【解答】解：由题意可知：|MF2|＝2a+ b2
a ，
cosα=
2c
2a+b2
a
=
2e
e2+1．
cos∠MF2N = 7
8，
可得：2( 2e
e2+1 )2 −1 = 7
8，
可得：15(e2 + 1) =8e，
解得e=
15
3 或e=
5
5 （舍去）．
故选：A．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．）
13．（5 分）已知命题p：∀x∈[0，
π
2]，sinx＜x，那么命题￢p 是
∃x∈[0，
π
2]，sinx≥x
．
【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得
命题p：∀x∈[0，
π
2]，sinx＜x，
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第365页（共926页）
其否定为：∃x∈[0，
π
2]，sinx≥x．
故答案为：∃x∈[0，
π
2]，sinx≥x．
14．（5 分）执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值是
1
2
．
【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：
S＝﹣1，k＝1，
满足条件k＜5，执行循环体，S= 1
2，k＝2
满足条件k＜5，执行循环体，S＝2，k＝3
满足条件k＜5，执行循环体，S＝﹣1，k＝4
满足条件k＜5，执行循环体，S= 1
2，k＝5
此时，不满足条件k＜5，退出循环．输出S 的值为
1
2．
故答案为：
1
2．
15．（5 分）假设在5 秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时
间差小于2 秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为
16
25
．
【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y，
则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5；
由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x﹣y|≤2；
三个不等式联立
0 ≤x ≤5
0 ≤y ≤5
|x −y| ≤2
，
则该事件即为x﹣y＝2 和y﹣x＝2 在0 ≤x ≤5
0 ≤y ≤5 的正方形中围起来的图形，
即图中阴影区域；
而所有事件的集合即为正方形面积是52＝25，
阴影部分的面积为25﹣2× 1
2 ×（5﹣2）2＝16，
所以阴影区域面积和正方形面积比值，
即为手机受到干扰的概率P= 16
25．
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第366页（共926页）
16．（5 分）点P（x，y）满足等式(x −2)2 + y2 +
(x + 2)2 + y2 =2 10，过点（2，0）的直线l 交动点P 的轨迹
曲线E 于A，B 两点，若曲线E 上存在点C，使四边形AOBC（O 为坐标原点）恰为平行四边形，则直线l 的斜
率为
±1
【解答】解：设F1（﹣2，0），F2（2，0），
则由(x −2)2 + y2 +
(x + 2)2 + y2 =2 10等价为|PF1|+|PF2|＝2 10
由椭圆定义知动点P 的轨迹为椭圆，椭圆方程为
x2
a2 +
y2
b2 =1，其中a=
10，c＝2，则b2＝a2﹣c2＝10﹣4＝6，
所以动点P 的轨迹方程为：
x2
10 +
y2
6 =1．
若直线l 垂直x 轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线l 对称，此时点C 坐标为（4，0）．
因为4＞10，所以点C 在椭圆E 外，所以直线与x 轴不垂直，
故可设直线的方程为y＝k（x﹣2），
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则联立
y = k(x −2)
x2
10 + y2
6 = 1 ，整理得（3+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣30＝0，
则由题知x1+x2= 20k2
3+5k2，y1+y2=−
12k
3+5k2，
因为四边形AOBC 为平行四边形，
所以OA
→
+ OB
→
= OC
→
，所以点C 的坐标为（
20k2
3+5k2，−
12k
3+5k2），
代入椭圆方程得
( 20k2
3+5k2)2
10
+
(−12
3+5k)2
6
=1，解得k2＝1，所以k＝±1．
故答案为：±1
三、解答题：（共70 分其中17 题10 分，其余每小题10 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
$\begin{array}{l}
17．（10 分）已知抛物线C：y2＝2px 经过点M（1，2）．
（1）求C 的标准方程和焦点坐标；
（2）斜率为1 的直线l 经过抛物线C 的焦点，且与抛物线相交于A、B 两点，求线段AB 的长．
【解答】解：（1）由已知抛物线经过点M（1，2），代入y2＝2px 得22＝2p，解得p＝2，
所以，抛物线C 的标准方程为
y2＝4x，
所以，抛物线的焦点为（1，0），
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由已知得直线l 的方程为
y＝x﹣1，
联立方程y = x −1
y2 = 4x 消去y 得
x2﹣6x+1＝0，
解得x1 = 3 + 2 2，x2 = 3 −2 2，
所以x1+x2＝6（也可以由韦达定理直接得到x1+x2＝6），
于是|AB|＝x1+x2+2＝8．
18．（12 分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1
至6 月份每月10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期
1 月10 日
2 月10 日
3 月10 日
4 月10 日
5 月10 日
6 月10 日
昼夜温差x（0C）
10
11
13
12
8
6
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第367页（共926页）
就诊人数y（个）
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2 组，用剩下的4 组数据求线性回归方程，再用被选取的
2 组数据进行检验．若选取的是用1 月与6 月的两组数据检验．
（1）请根据2 至5 月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y＝bx+a；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2 人，则认线性回归方程是理想的，
请判断（1）所求出的线性回归方程是否理想的？
（参考公式：线性回归方程y
^ = b
^
x+ a
^其中b
^
=
i=1
n
σ
(xi−x)(yi−y)
i=1
n
σ
(xi−xi)2
=
i=1
n
σ
xiyi−nxy
i=1
n
σ
xi2−nx2 ）
【解答】解：（1）由数据求得x = 11，y = 24
由公式求得b
Ƹ
= 18
7 再由b
Ƹ
= 18
7 求得a
Ƹ = y −b
Ƹ
x =−30
7
所以y 关于x 的线性回归方程为y
Ƹ = 18
7 x −30
7
（2）当＝10，得y= 150
7 ，|
150
7
−22|= 4
7 ＜2
令x＝6，得y= 78
7 ，|
78
7 −12|= 6
7 ＜2，
所以，该小组所得线性回归方程是理想的．
19．（12 分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝CD＝2，
AA1＝AB＝4，E 为棱AA1 的中点．
（1）求证：B1C1⊥CE；
（2）若点M 为线段C1E 的中点，求直线A1M 与平面B1CE 所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）如图，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1}中，
侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，
∴AD，AA1，AB 两两垂直．
∴以A 为原点，以AD，AA1，AB 所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，…（1 分）
则A（0，0，0），B（0，0，4），C（2，0，2），B1（0，4，4），C1（2，4，2），E（0，2，0）
∵B1C1
→
=（2，0，﹣2），CE
→
=（﹣2，2，﹣2）…（3 分）
∴B1C1
→
•CE
→
=−4+0+4＝0，∴B1C1⊥CE…（4 分）
解：（2）∵B1C
→
=（2，﹣4，﹣2），设平面B1CE 的一个法向量为n
→=（x，y，z），
∴n
→⋅B1C
→
= 2x −4y −2z = 0
n
→⋅CE
→
=−2x + 2y −2z = 0
，令x＝3，得n
→=（3，2，﹣1），
∵M 为C1E 的中点，∴M（1，3，1），∴A1M
→
=（1，﹣1，1），
设直线A1M 与平面B1CE 所成的角为θ，
则sinθ＝|cos＜A1M
→
，n
→＞|＝|
3−2−1
14× 3|＝0，
直线A1M 与平面B1CE 平行．
∴直线A1M 与平面B1CE 所成的角的正弦值为0．
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20．（12 分）某电视台为了宣传本区，随机对本区内15～65 岁的人群抽取了n 人，回答问题“本区内著名旅游景点
有哪些”，统计结果如图表所示：
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1 组
[15，25）
a
0.5
第2 组
[25，35）
18
x
第3 组
[35，45）
b
0.9
第4 组
[45，55）
9
0.36
第5 组
[55，65]
3
y
（1）分别求出n，a，b，x，y 的值．
（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数（保留小数点后两位）和平均数．
（3）若第1 组回答正确的人员中，有2 名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2 人，求至少抽中一名女性的
概率．
【解答】解：（1）由频率表中第4 组数据可知，第4 组的人数为
9
0.36 =25，
再结合频率分布直方图可知n=
25
0.025×10 =100，…（1 分）
a＝100×（0.010×10）×0.5＝5，
b＝100×（0.030×10）×9＝27，…（2 分）
x=
18
100×(0.020×10) =0.9，…（3 分）
y=
3
100×(0.015×10) =0.2．…（4 分）
（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知x∈[35，45），
且有0.010×10+0.020×10+（x﹣35）×0.030＝05，
解得x≈41.67，…（6 分）
故估计这组数据的中位数为41.67，
估计这组数据的平均数为：
x =20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×10+50×0.025×10+60×0.030×10＝41.5．…（8 分）
（3）由（1）知a＝5，则第一组中回答正确的人员中有3 名男性，2 名女性，
男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5 人中随机抽取2 人，
共有：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2），（b，c）10 个基本事件，
记“至少抽中一名女性”为事件A，
共有（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2）7 个基本事件，
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∴至少抽中一名女性的概率p= 7
10．
21．（12 分）如图在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD
＝4，AD＝2，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的一点，且PM= 1
3PC．
（1）求证：PA∥平面BMQ；
（2）求二面角M﹣BQ﹣P 的余弦值．
【解答】证明：（1）由已知PA＝PD，Q 为AD 的中点，∴PQ⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
PQ⊂面PAD，
∴PQ⊥平面ABCD，…（2 分）
连接AC，交BQ 于N，连接MN，
∵底面ABCD 是菱形，∴AQ∥BC，
∴△ANQ∽△BCN，
AQ
BC =
AN
NC =
1
2，∴
AC
AN =3，
又
PM
PC =
1
3，∴
PM
PC =
AN
AC =
1
3，∴MN∥PA，…（3 分）
又MN⊂平面BMQ，PA⊄平面BMQ，
∴PA∥平面BMQ．…（4 分）
解：（2）连结BD，∵底面ABCD 是菱形，且∠BAD = 600，
∴△ABD 是正三角形，∴BQ ⊥AD，
由（1）知PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥AD，PQ⊥BQ，
以Q 为坐标原点，以QA、QB、QP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则Q（0，0，0），A（1，0，0），B（0，3，0），P（0，0，15），
设平面BMQ 的法向量n1
→=（x，y，z），
∴n1
→⋅QB
→
= 0
n1
→⋅MN
→
= 0
，由（1）知MN∥PA，∴n1
→⋅QB
→
= 0
n1
→⋅PA
→
= 0
，
∴
3y = 0
x −
15z = 0
，取z＝1，得n1
→=（15，0，1），
平面BQP 的法向量n2
→=（1，0，0），
设二面角M﹣BQ﹣P 的平面角为θ，
则cosθ= |n1
→⋅n2
→|
|n1
→|⋅|n2
→|
=
15
4 ，
∴二面角M﹣BQ﹣P 的余弦值为
15
4 ．
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22．（12 分）已知F1、F2 分别为椭圆C：
y2
a2 +
x2
b2 =1（a＞b＞0）的上、下焦点，A 为左顶点，过点F1、A 的直线与
椭圆的另一个交点为B，∠BAF2＝90°，|F2B|= 5 2
3 ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线l：y＝kx+m 与椭圆交于E、F 两点，且线段EF 的中点在直线y＝1 上，求|EF|的最大值．
【解答】解：（1）因∠BAF2＝90°，所以△OF2A 为等腰直角三角形，则a =
2b =
2c，
又|F2A|＝a，|F2B| = 5 2
3 ，由定义|AB| = 3a −5 2
3 ，
所以( 5 2
3 )2 = (3a −5 2
3 )2 + a2，解得a =
2，
∴椭圆方程为
y2
2 + x2 = 1
（2）将直线方程y＝kx+m 代入椭圆方程2x2+y2﹣2＝0 得到：（2+k2）x2+2kmx+m2﹣2＝0，
设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1 + x2 = −2km
2+k2 ，△＝8（k2+2﹣m2），
则y1 + y2 = k(x1 + x2) + 2m = 4m
2+k2 = 2，得到2m＝2+k2，
|EF| =
1 + k2 △
|a| =
1 + k2 8(k2+2−m2)
k2+2
，
∵m = 2+k2
2
，
∴|EF| =
2(1+k2)(2−k2)
k2+2
，
令t＝2+k2，则|EF| =
2 −(t + 4
t ) + 5，由△＞0 知k2＜2，
所以2≤t＜4，
则由基本不等式知|EF| ≤
2（当t＝2，k＝0 取到）．
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第371页（共926页）
2019-2020 学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12 小题.每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5 分）已知点A（m，2），B（3，4），直线AB 的倾斜角为45°，那么m 的值为（
）
A．﹣1
B．1
C．2
D．5
2．（5 分）抛物线y2＝4x 的准线与x 轴的交点的坐标为（
）
A．（−1
2，0）
B．（﹣1，0）
C．（﹣2，0）
D．（﹣4，0）
3．（5 分）双曲线
x2
16 −
y2
4 =1 的渐近线方程为（
）
A．x±2y＝0
B．2x±y＝0
C．4x±y＝0
D．x±4y＝0
4．（5 分）设命题p：∃x∈R，ex＞x+1．则￢p 为（
）
A．∀x∈R，ex＞x+1
B．∃x∈R，ex≤x+1
C．∀x∈R，ex≤x+1
D．∃x∈R，ex＝x+1
5．（5 分）过两直线l1：x﹣3y+1＝0，l2：x+2y+6＝0 的交点且与3x+y﹣1＝0 平行的直线方程为（
）
A．x﹣3y+1＝0
B．3x+y+7＝0
C．x﹣3y﹣1l＝0
D．3x+y+13＝0
6．（5 分）若曲线mx2+ny2＝1（m，n∈R）是焦点在x 轴上的椭圆，则下列结论正确的是（
）
A．0＜m＜n
B．0＜n＜m
C．m2＞n2
D．
1
m ＜
1
n
7．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（
）
A．38+4π
B．38+5π
C．38+6π
D．38+7π
8．（5 分）已知命题p：“∀a∈R，直线ax﹣y﹣3a＝0 都经过一定点”，命题q：“∃t∈R，方程x2+y2+2ty+2t2＝0 表示
圆”．则下列命题为真的是（
）
A．p∧q
B．p∧（￢q）
C．（￢p）∨q
D．（￢p）∨（￢q）
9．（5 分）已知f（x）＝x（|x|+1），且a，b 为实数，则“a＞b”是“f（a）＞f（b）”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．（5 分）已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为
（
）
A．27：32
B．3：8
C．3 3：16
D．9：32
11．（5 分）如图，已知椭圆C 的中心为原点O，F（﹣5，0）为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|
＝6，则椭圆C 的方程为（
）
A．
x2
36 +
y2
16 =1
B．
x2
40 +
y2
15 =1
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C．
x2
49 +
y2
24 =1
D．
x2
45 +
y2
20 =1
12．（5 分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为2，动点P 在对角线BD1 上，过点P 作垂直于BD1 的平面α，
记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为L，则L 的最大值为（
）
A．3 2
B．6
C．3 6
D．9 2
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分
13．（5 分）过点A（4，0）和点B（0，﹣2）的直线方程为
．
14．
（5 分）在体积为
3
2 的四面体ABCD 中，AB⊥平面BCD，AB＝1，BC＝2，BD＝3，则CD 长度的所有值为
．
15．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m＝0 上存在点P 使得PB＝2PA，
则实数m 的取值范围是
．
16．（5 分）已知双曲线C 的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F 作FB∥l1 且交l2 于点B，过点B 作BA⊥l2 且交l1 于
点A，若AF⊥x 轴，则双曲线C 的离心率为
．
三、解谷题：本大题共6 小题.共70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程成演算御
17．（10 分）已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，直线l1：y＝kx﹣1，l2：y=
3x
（1）若圆C 上存在两点关于直线l1 对称，求实数k 的值；
（2）若l1，l2 被圆C 所截得的弦的长度之比为1：2，求实数k 的值．
18．（12 分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 切掉三棱锥C﹣B1C1D1 后形成多面体ABCDD1B1A1，过A1D 的截面
分别交CD1，B1D1 于点E，F．
（1）证明：B1C∥平面A1DEF；
（2）求异面直线A1C 与EF 所成角的余弦值．
19．（12 分）设抛物线C：y2＝4x 的焦点为F，直线l：2x﹣3y+4＝0 与抛物线交于A，B 两点．
（1）求|AF|+|BF|的值；
（2）能否在x 轴上找到点P，使得∠APB＝90°？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
20．（12 分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC= 2
3AA2，D 为BC 的
中点．
（1）证明：AD⊥平面A1BC；
（2）求直线A1C 与平面A1B1D 所成角的正弦值．
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21．（12 分）如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂
直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，
便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB．问：
A，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？
22．（12 分）已知椭圆C 的两个焦点坐标分别为F1（−
3，0），F2（3，0），一个顶点为B（0，﹣1）．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点A 的坐标为（4，0），M（x1，y1），N（x2，y2）是C 上的两点且x1≠x2，直线AM，AN 关于x 轴对称，
求△AMN 的面积S 的取值范围．
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2019-2020 学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题.每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5 分）已知点A（m，2），B（3，4），直线AB 的倾斜角为45°，那么m 的值为（
）
A．﹣1
B．1
C．2
D．5
【解答】解：由点A（m，2），B（3，4），
得kAB = 4−2
3−m =
2
3−m，
又直线AB 的倾斜角为45°，
∴kAB＝tan45°＝1．
则
2
3−m = 1，解得m＝1．
故选：B．
2．（5 分）抛物线y2＝4x 的准线与x 轴的交点的坐标为（
）
A．（−1
2，0）
B．（﹣1，0）
C．（﹣2，0）
D．（﹣4，0）
【解答】解：抛物线y2＝4x 的准线为：x＝﹣1，所以抛物线与x 轴的交点的坐标（﹣1，0）．
故选：B．
3．（5 分）双曲线
x2
16 −
y2
4 =1 的渐近线方程为（
）
A．x±2y＝0
B．2x±y＝0
C．4x±y＝0
D．x±4y＝0
【解答】解：双曲线
x2
16 −
y2
4 =1 的a＝4，b＝2，
可得渐近线方程为y＝±
1
2x，
即有2y＝±x．
故选：A．
4．（5 分）设命题p：∃x∈R，ex＞x+1．则￢p 为（
）
A．∀x∈R，ex＞x+1
B．∃x∈R，ex≤x+1
C．∀x∈R，ex≤x+1
D．∃x∈R，ex＝x+1
【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，
则￢p：∀x∈R，ex≤x+1，
故选：C．
5．（5 分）过两直线l1：x﹣3y+1＝0，l2：x+2y+6＝0 的交点且与3x+y﹣1＝0 平行的直线方程为（
）
A．x﹣3y+1＝0
B．3x+y+7＝0
C．x﹣3y﹣1l＝0
D．3x+y+13＝0
【解答】解：两直线l1：x﹣3y+1＝0，l2：x+2y+6＝0 的交点为x −3y + 1 = 0
x + 2y + 6 = 0，
解得x =−4
y =−1，即（﹣4，﹣1）；
设与3x+y﹣1＝0 平行的直线方程为3x+y+m＝0，
则3×（﹣4）+（﹣1）+m＝0，
解得m＝13，
所求的直线方程为3x+y+13＝0．
故选：D．
6．（5 分）若曲线mx2+ny2＝1（m，n∈R）是焦点在x 轴上的椭圆，则下列结论正确的是（
）
A．0＜m＜n
B．0＜n＜m
C．m2＞n2
D．
1
m ＜
1
n
【解答】解：方程mx2+ny2＝1 即：
x2
1
m
+
y2
1
n
= 1 示焦点在x 轴上的椭圆，
可得：
1
m ＞
1
n ＞0，解得n＞m＞0．
故选：A．
7．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（
）
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A．38+4π
B．38+5π
C．38+6π
D．38+7π
【解答】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成：上面是一个圆柱；下面是一个长方体．
∴这个几何体的表面积＝4π×1+1×（2×3+2×4）
+2×3×4＝38+4π．
故选：A．
8．（5 分）已知命题p：“∀a∈R，直线ax﹣y﹣3a＝0 都经过一定点”，命题q：“∃t∈R，方程x2+y2+2ty+2t2＝0 表示
圆”．则下列命题为真的是（
）
A．p∧q
B．p∧（￢q）
C．（￢p）∨q
D．（￢p）∨（￢q）
【解答】解：由ax﹣y﹣3a＝0 得a（x﹣3）﹣y＝0，当x＝3 时，y＝0，即直线过定点（3，0），则命题p 是真命
题，
由x2+y2+2ty+2t2＝0 得x2+（y+t）2＝﹣t2≤0，则方程无法表示圆，即命题q 是假命题，
则p∧（￢q）是真命题，其余为假命题，
故选：B．
9．（5 分）已知f（x）＝x（|x|+1），且a，b 为实数，则“a＞b”是“f（a）＞f（b）”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当x≥0 时，f（x）＝x（x+1）＝x2+x，对称轴为x=−1
2，此时f（x）为增函数，且f（x）≥0，
当x＜0 时，f（x）＝x（﹣x+1）＝﹣x2+x，对称轴为x= 1
2，此时f（x）为增函数，且f（x）＜f（0）＝0，
综上函数f（x）为增函数，
则“a＞b”是“f（a）＞f（b）”的充要条件，
故选：C．
10．（5 分）已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为
（
）
A．27：32
B．3：8
C．3 3：16
D．9：32
【解答】解：取圆锥的轴截面如下图所示，
设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，
结合图形可得2r = 2Rcos30° =
3R，所以，r =
3
2 R，
圆锥的高为h =
(2r)2 −r2 =
3r =
3 × 3
2 R = 3
2 R，
所以，圆锥的体积为
1
3 πr2h =
1
3 π × (
3
2 R)2 ×
3
2 R =
3πR3
8
，
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第376页（共926页）
因此，圆锥的体积与球的体积之比为
3πR3
8
4πR3
3
=
3
8 ⋅
3
4 =
9
32．
故选：D．
11．（5 分）如图，已知椭圆C 的中心为原点O，F（﹣5，0）为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|
＝6，则椭圆C 的方程为（
）
A．
x2
36 +
y2
16 =1
B．
x2
40 +
y2
15 =1
C．
x2
49 +
y2
24 =1
D．
x2
45 +
y2
20 =1
【解答】解：根据题意，设椭圆的右焦点为M，连接PM，
则|FM|＝2|OF|＝10，
由|OP|＝|OF|＝|OM|知，∠PFM＝∠FPO，∠OMP＝∠OPM，
所以∠PFM+∠OMP＝∠FPO+∠OPM，
又由∠PFM+∠OMP+∠FPO+∠OPM＝180°知，
∠FPO+∠OPM＝90°，即PF⊥PM．
又由|FM|＝10，|PF|＝6，
则|PM|=
100 −36 =8，
则2a＝|PF|+|PM|＝14，
则a＝7，
又由c＝5，则b2＝a2﹣c2＝49﹣25＝24，
则椭圆的方程为：
x2
49 +
y2
24 =1，
故选：C．
12．（5 分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为2，动点P 在对角线BD1 上，过点P 作垂直于BD1 的平面α，
记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为L，则L 的最大值为（
）
A．3 2
B．6
C．3 6
D．9 2
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【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为2，
∴BD1=
2 + 2 + 2 =
6，
当BP=
6
2 时，即当截面过体对角线BD1 的中点时，
此时截面为正六边形，其定点为各棱的中点，（如图）L 取最大值
∴截面周长L 取最大值为6×
( 2
2 )2 + ( 2
2 )2 =6．
故选：B．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分
13．（5 分）过点A（4，0）和点B（0，﹣2）的直线方程为
x﹣2y﹣4＝0
．
【解答】解：由题意可得，过点A（4，0）和点B（0，﹣2）的截距式方程为：
x
4 +
y
−2 = 1，即x﹣2y﹣4＝0．
故答案为：x﹣2y﹣4＝0．
14．（5 分）在体积为
3
2 的四面体ABCD 中，AB⊥平面BCD，AB＝1，BC＝2，BD＝3，则CD 长度的所有值为
7，19
．
【解答】解：如图，
在四面体ABCD 中，∵AB⊥平面BCD，∴AB 为以BCD 为底面的三棱锥的高，
∵VA−BCD =
3
2 ，AB＝1，∴由
1
3 S△BCD ⋅AB =
3
2 ，得S△BCD = 3 3
2 ．
又BC＝2，BD＝3，得
1
2 × 2 × 3 × sinB =
3 3
2 ，得sinB=
3
2 ，∴cosB=± 1
2．
当cosB= 1
2时，CD2＝22+32﹣2×2×3× 1
2 =7，则CD=
7；
当cosB=−1
2时，CD2＝22+32﹣2×2×3×（−1
2）＝19，则CD=
19．
∴CD 长度的所有值为7，19．
故答案为：7，19．
15．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m＝0 上存在点P 使得PB＝2PA，
则实数m 的取值范围是
[﹣2 2，2 2]
．
【解答】解：设P（x，x+m），
∵2PA＝PB，
∴4|PA|2＝|PB|2，
∴4（x﹣1）2+4（x+m）2＝（x﹣4）2+（x+m）2，
化为（x+m）2＝4﹣x2，
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∴4﹣x2≥0，解得x∈[﹣2，2]，
∴m＝﹣x± 4 −x2，令x＝2cosθ，θ∈[0，π]，
∴m＝﹣2cosθ±2sinθ
＝±2 2sin（θ±
π
4）∈[﹣2 2，2 2]，
实数m 的取值范围是[﹣2 2，2 2]，
故答案为[﹣2 2，2 2]．
16．（5 分）已知双曲线C 的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F 作FB∥l1 且交l2 于点B，过点B 作BA⊥l2 且交l1 于
点A，若AF⊥x 轴，则双曲线C 的离心率为
2 3
3
．
【解答】解：设双曲线的方程为
x2
a2 −
y2
b2 =1（a，b＞0），
渐近线方程为l1：y= b
ax，l2：y=−b
ax，
由题意可设F（c，0），由AF⊥x 轴，
令x＝c，代入l1 的方程可得y= bc
a ，
即有A（c，
bc
a ），
过右焦点F 作FB∥l1 且交l2 于点B，
由FB 的方程y= b
a（x﹣c），联立直线l2：y=−b
ax，
解得B（
c
2，−bc
2a），
再由BA⊥l2，可得kAB= a
b，
即有
bc
a −(−bc
2a)
c−c
2
=
a
b，
化为a2＝3b2，由b2＝c2﹣a2，可得：
c2= 4
3a2，由e= c
a可得e= 2 3
3 ．
故答案为：
2 3
3 ．
三、解谷题：本大题共6 小题.共70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程成演算御
17．（10 分）已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，直线l1：y＝kx﹣1，l2：y=
3x
（1）若圆C 上存在两点关于直线l1 对称，求实数k 的值；
（2）若l1，l2 被圆C 所截得的弦的长度之比为1：2，求实数k 的值．
【解答】解：（1）圆C：（x﹣2）2+y2＝4 的圆心为C（2，0），
圆C 上存在两点关于直线l1：y＝kx﹣1 对称，
则直线l1 过圆心，∴2k﹣1＝0，解得k= 1
2；
（2）由直线l2：y=
3x，得3x﹣y＝0，
则圆心C 到直线l2 的距离为d2= 2 3
3+1 =
3，
∴l2 被圆C 所截得的弦长为2 4 −3 =2；
又直线l1、l2 被圆C 所截得的弦长之比为1：2，
∴l1 被圆C 所截得的弦长为1，
由l1：y＝kx﹣1，得kx﹣y﹣1＝0；
则圆心C 到直线l1 的距离d1= |2k−1|
k2+1 =
4−( 1
2 )2，
整理得k2﹣16k﹣15＝0，
解得k＝8±5 3．
18．（12 分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 切掉三棱锥C﹣B1C1D1 后形成多面体ABCDD1B1A1，过A1D 的截面
分别交CD1，B1D1 于点E，F．
（1）证明：B1C∥平面A1DEF；
（2）求异面直线A1C 与EF 所成角的余弦值．
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【解答】证明：（1）∵AB∥CD，AB＝CD，AB∥A1B1，AB＝A1B1，
∴CD∥A1B1，CD＝A1B1，∴四边形A1B1CD 是平行四边形，
∴B1C∥A1D，
又B1C⊄平面A1FED，A1D⊂平面A1FED，
∴B1C∥平面A1DEF．
解：（2）由（1）得B1C∥平面A1DEF，
又B1C⊂平面B1CD1，平面B1CD1∩平面A1DEF＝EF，
∴B1C∥EF，
∴∠A1CB1 是异面直线A1C 与EF 所成的角（或所成角的补角），
设正方休的棱长为a，则A1B1＝a，B1C=
2a，A1C=
3a，
∴在Rt△A1B1C 中，cos∠A1CB1= B1C
A1C =
2a
3a =
6
3 ，
∴异面直线A1C 与EF 所成角的余弦值为
6
3 ．
19．（12 分）设抛物线C：y2＝4x 的焦点为F，直线l：2x﹣3y+4＝0 与抛物线交于A，B 两点．
（1）求|AF|+|BF|的值；
（2）能否在x 轴上找到点P，使得∠APB＝90°？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线C：y2＝4x 的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
由直线l：2x﹣3y+4＝0，联立抛物线方程可得y2﹣6y+8＝0，
解得y1＝2，y2＝4，
即有A（1，2），B（4，4），
则|AF|+|BF|＝（1+1）+（4+1）＝7；
（2）假设在x 轴上找到点P（a，0），使得∠APB＝90°，
由A（1，2），B（4，4），可得kAPkBP＝﹣1，
即
2
1−a•
4
4−a =−1，
即为a2﹣5a+12＝0，
由△＝25﹣48＜0，可得方程无解，
故不存在P，使得∠APB＝90°．
20．（12 分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC= 2
3AA2，D 为BC 的
中点．
（1）证明：AD⊥平面A1BC；
（2）求直线A1C 与平面A1B1D 所成角的正弦值．
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【解答】证明：（1）设AB＝2a，则AA1＝3a，
∵AB＝AC＝2a，∠BAC＝60°，∴BC＝2a，AD⊥BC，且AD=
3a，
∵AB＝AC＝2a，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AA1＝AA1＝3a，
∴△ABA1≌△ACA1，
A1B＝A1C=
4a2 + 9a2 −2 × 2a × 3a × cos60° =
7a，∴A1D⊥BC，
∵A1D =
7a2 −a2 =
6a，∴AD2+ A1D2 =AA12，∴AD⊥A1D，
又BC∩A1D＝D，∴AD⊥平面A1BC．
解：（2）由（1）可如图建立空间直角坐标系，
则A1（0，0，6a），C（0，﹣a，0），D（0，0，0），A（3a，0，0），B（0，a，0），
∴A1C
→
=（0，﹣a，−
6a），DA1
→
=（0，0，6a），A1B1
→
= AB
→
=（−
3a，a，0），
设平面A1B1D 的法向量n
→=（x，y，z），
则由n
→⋅DA1
→
=
6az = 0
n
→⋅A1B1
→
=−
3ax + ay = 0
，取x＝1，得n
→=（1，3，0），
设直线A1C 与平面A1B1D 所成角为θ．
则sinθ= |A1C
→
⋅n
→|
|A1C
→
|⋅|n
→|
=
3a
7a⋅2 =
21
14 ．
∴直线A1C 与平面A1B1D 所成角的正弦值为
21
14 ．
21．（12 分）如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂
直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，
便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB．问：
A，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？
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第381页（共926页）
【解答】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．
设A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），
则直线AB 方程为
x
a +
y
b =1，即bx+ay﹣ab＝0．
因为AB 与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 相切，所以
|b+a−ab|
b2+a2 =1，
化简得ab﹣2（a+b）+2＝0，即ab＝2（a+b）﹣2，
因此AB=
a2 + b2 =
(a + b)2 −2ab =
(a + b)2 −4(a + b) + 4
=
(a + b −2)2，
因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a+b＜2，
于是AB＝2﹣（a+b）．
又ab＝2（a+b）﹣2≤（
a+b
2 ）2，
解得0＜a+b≤4﹣2 2，或a+b≥4+2 2，
因为0＜a+b＜2，所以0＜a+b≤4﹣2 2，
所以AB＝2﹣（a+b）≥2﹣（4﹣2 2）＝2 2 −2，
当且仅当a＝b＝2−
2时取等号，
所以AB 最小值为2 2 −2，此时a＝b＝2−
2．
答：当A，B 两点离道路的交点都为2−
2（百米）时，小道AB 最短．
22．（12 分）已知椭圆C 的两个焦点坐标分别为F1（−
3，0），F2（3，0），一个顶点为B（0，﹣1）．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点A 的坐标为（4，0），M（x1，y1），N（x2，y2）是C 上的两点且x1≠x2，直线AM，AN 关于x 轴对称，
求△AMN 的面积S 的取值范围．
【解答】解：（1）∵椭圆C 的两个焦点坐标分别为F1（−
3，0），F2（3，0），一个顶点为B（0，﹣1）．
∴椭圆C 的焦点在x 轴上，可设标准方程为
x2
a2 +
y2
b2 =1，（a＞b＞0），
且b＝1，a2 = 12 + ( 3)2 =4，
∴椭圆C 的标准方程为
x2
4 +y2＝1．
（2）设直线MN 的方程为x＝ky+m，（k≠0），
联立
x = ky + m
x2
4 + y2 = 1，整理，得（k2+4）y2+2kmy+m2﹣4＝0，
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第382页（共926页）
∴y1+y2= −2km
k2+4 ，y1y2= m2−4
k2+4 ，
∵关于x 轴对称的两条不同直线l1，l2 的斜率之和为0，
即
y1
x1−4 +
y2
x2−4 =0，∴
y1
ky1+m−4 +
y1
ky2+m−4 =0，
∴2ky1y2+（m﹣4）（y1+y2）＝0，∴
2k(m2−4)
k2+4
−
2km(m−4)
k2+4
=0，
解得m＝1，∴直线MN 的方程为x＝ky+1，直线MN 过定点B（1，0），
又|y1﹣y2|=
(y1 + y2)2 −4y1y2 =
( −2k
k2+4 )2 −4⋅(−3)
k2+4 =4
1
k2+4 −
1
(k2+4)2，
令
1
k2+4 =t，则t∈（0，
1
4），∴|y1﹣y2|＝4 t −t2∈（0，3），
∴△AMN 的面积S= 1
2|AB||y1﹣y2|= 3
2|y1﹣y2|∈（0，
3 3
2 ）．
∴△AMN 的面积S 的取值范围是（0，
3 3
2 ）．
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2019-2020 学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分）
1．（5 分）不等式x2+3x﹣4＞0 的解集为（
）
A．{x|x＞1 或x＜﹣4}
B．{x|x＞﹣1 或x＜﹣4}
C．{x|﹣4＜x＜1}
D．{x|x＜﹣1 或x＞4}
2．（5 分）已知实数a，b，c 满足0＜a＜b，0＜c＜1，则下列选项一定成立的是（
）
A．a+c＞b+c
B．ac＞bc
C．ac＜b
D．bc＜a
3．（5 分）已知等差数列{an}的公差是3，且a6+a8＝16，则a10＝（
）
A．16
B．17
C．18
D．20
4．（5 分）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且b=
2，c=
3，C＝60°，则角B＝（
）
A．45°
B．30°
C．45°或135°
D．30°或150°
5．（5 分）双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的离心率为3，则它的渐近线为（
）
A．y＝±x
B．y＝± 2x
C．y＝±2x
D．y＝± 3x
6．（5 分）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的两焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），P（1，
3
2）是椭圆C 上一点．则
椭圆C 的离心率为（
）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．
2
4
7．（5 分）已知各项为正的等比数列{an}，其公比为q，且对任意n∈N*有an+2＝an+1+2an，则q＝（
）
A．2
B．
3 2
C．2
D．1
8．
（5 分）如图，在四面体O﹣ABC 中，G1是△ABC 的重心，G 是OG1上的一点，且OG＝2GG1，若OG
→
=xOA
→
+yOB
→
+zOC
→
，
则（x，y，z）为（
）
A．（
1
2 ，
1
2 ，
1
2）
B．（
2
3 ，
2
3 ，
2
3）
C．（
1
3 ，
1
3 ，
1
3）
D．（
2
9 ，
2
9 ，
2
9）
9．（5 分）已知x，y∈R*，xy＝2x+y，则x+y 取得最小值时，x＝（
）
A．2
B．2 +1
C．1
D．2 −1
10．（5 分）已知抛物线x2＝8y 的焦点为F，点P 在抛物线上，且|PF|＝6，点Q 为抛物线准线与其对称轴的交点，
则△PFQ 的面积为（
）
A．20 2
B．16 2
C．12 2
D．8 2
11．（5 分）设f（x）为最接近n（n∈N*）的整数，如f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝2，f（5）＝2，…，
若正整数m 满足
1
f(1) +
1
f(2) +
1
f(3) + ⋯+
1
f(m) =4034，则m＝（
）
A．2016×2017
B．20172
C．2017×2018
D．2018×2019
12．（5 分）如图，四边形ABCD 中，CE 平分∠ACD，AE＝CE＝2 3，DE=
3，若∠ABC＝∠ACD，则四边形
ABCD 周长的最大值为（
）
A．24
B．12+3 3
C．18 3
D．3（5+
3）
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，请把答案填在答题卡中相应的位置上)
13．（5 分）已知向量a
→=（k，1，﹣1），b
→
=（2，1，﹣2），若a
→⊥b
→
，则实数k＝
．
14．（5 分）实数x，y 满足
x −y −1 ≤0
x + y −1 ≥0
x ≥0
，则目标函数z＝2x+y 的最小值是
．
15．（5 分）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P 是椭圆上一点，∠F1PF2＝120°，且△
F1PF2 的面积为3，则椭圆的短轴为
．
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第384页（共926页）
16．（5 分）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），且离心率为
3
5，△ABC 的三个顶点都在椭
圆C 上，设△ABC 三条边AB、BC、AC 的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，
且k1，k2，k3 均不为0．O 为坐标原点，若直线OD，OE，OM 的斜率之和为1，则
1
k1
+
1
k2
+
1
k3
=
．
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10 分）已知命题p：实数t 满足t2﹣5at+4a2＜0．q：实数t 满足曲线
x2
2−t +
y2
6−t =1 为双曲线．
（1）若a＝1，且￢p 为假，求实数t 的取值范围；
（2）若a＞0，且q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
18．（12 分）在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
b
sinB =
2c
3．
（1）求角C 的大小；
（2）若△ABC 的面积为3，且
1
a +
1
b =
3，求c 的值．
19．（12 分）设数列{an}的前n 项和为Sn，已知a1＝1，Sn+1﹣3Sn＝1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：bn＝log3an+1，{bn}的前n 项和为Tn，求
1
T1
+
1
T2
+ ⋯+
1
T100
的值．
20．（12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥平面ABCD，直线PA 与底面ABCD 所成的角为45°，底面ABCD
为梯形，且AB∥CD，∠ADC＝90°，PD＝AB= 1
2CD＝2．
（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；
（2）线段PC 上是否存在一点E，使得二面角P﹣BD﹣E 的余弦值为
3
3 ？如存在，求出
PE
EC的值，如果不存在，
请说明理由．
21．（12 分）2018 年10 月23 日习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经5 年规划，9 年建设，
总长约55 公里，总投资约1100 亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响，港珠
澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海放游线路增添新亮点，某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，
准备举办一场促销会，据市场调查，当每张门票售价定为x 元时，销售量可达到（15﹣0.1x）万张．现投资方为
配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固
定价格为30 元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万张）成反比，并且根据调查，每张门票售价定为100
元时，旅游公司获得的总利润为340 万元（每张门票的销售利润＝售价﹣供货价格）
（1）求出每张门票所获利润f（x）关于售价x 的函数关系式，并写出定义域；
（2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值．
22．（12 分）已知椭圆C1：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左右焦点是F1，F2，且C1 的离心率为
3
2 ，抛物线C2：y2＝2px
（P＞0）的焦点为F2，过OF2 的中点Q 垂直于x 轴的直线截C2 所得的弦长为2 6．
（1）求椭圆C1 的标准方程；
（2）设椭圆C1 上一动点T 满足：OT
→
= λOA
→
+2μOB
→
，其中A，B 是椭圆C1 上的点，且直线OA，OB 的斜率
之积为−1
4，若N（λ，μ）为一动点，点P 满足PQ
→
= 1
2 F1F2
→
，试探究|NP|+|NQ|是否为定值，如果是，请求出该定
值：如果不是，请说明理由．
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2019-2020 学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分）
1．（5 分）不等式x2+3x﹣4＞0 的解集为（
）
A．{x|x＞1 或x＜﹣4}
B．{x|x＞﹣1 或x＜﹣4}
C．{x|﹣4＜x＜1}
D．{x|x＜﹣1 或x＞4}
【解答】解：由x2+3x﹣4＞0 得（x﹣1）（x+4）＞0 得x＞1 或x＜﹣4，
即不等式的解集为{x|x＞1 或x＜﹣4}，
故选：A．
2．（5 分）已知实数a，b，c 满足0＜a＜b，0＜c＜1，则下列选项一定成立的是（
）
A．a+c＞b+c
B．ac＞bc
C．ac＜b
D．bc＜a
【解答】解：∵0＜a＜b，0＜c＜1，
∴ac＜bc＜b
故选：C．
3．（5 分）已知等差数列{an}的公差是3，且a6+a8＝16，则a10＝（
）
A．16
B．17
C．18
D．20
【解答】解：根据题意，数列{an}时等差数列，故a6+a8＝2a7＝16，所以a7＝8，又因为d＝3，
所以a10＝a7+3d＝8+3×3＝17，
故选：B．
4．（5 分）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且b=
2，c=
3，C＝60°，则角B＝（
）
A．45°
B．30°
C．45°或135°
D．30°或150°
【解答】解：由正弦定理得
b
sinB =
c
sinC，得
2
sinB =
3
3
2
，得sinB=
2
2 ，
又b＜c，∴B＜C，∴B＝45°，
故选：A．
5．（5 分）双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的离心率为3，则它的渐近线为（
）
A．y＝±x
B．y＝± 2x
C．y＝±2x
D．y＝± 3x
【解答】解：由双曲线的离心率为3，
则e= c
a =
3，即c=
3a，
b=
c2 −a2 =
3a2 −a2 =
2a，
由双曲线的渐近线方程为y=± b
ax，
即有y=±
2x．
故选：B．
6．（5 分）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的两焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），P（1，
3
2）是椭圆C 上一点．则
椭圆C 的离心率为（
）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．
2
4
【解答】解：由题意可得：2a=
22 + ( 3
2 )2 +
0 + ( 3
2 )2 = 5
2 + 3
2 =4，解得a＝2．
又c＝1，∴e= c
a = 1
2．
故选：A．
7．（5 分）已知各项为正的等比数列{an}，其公比为q，且对任意n∈N*有an+2＝an+1+2an，则q＝（
）
A．2
B．
3 2
C．2
D．1
【解答】解：数列{an}是等比数列，
故a1•q≠0，
又因为对任意n∈N*有an+2＝an+1+2an，
即a1qn+1 = a1qn + 2a1qn−1，
所以q2﹣q﹣2＝0，
解得q＝2 或q＝﹣1（舍）．
故选：C．
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8．
（5 分）如图，在四面体O﹣ABC 中，G1是△ABC 的重心，G 是OG1上的一点，且OG＝2GG1，若OG
→
=xOA
→
+yOB
→
+zOC
→
，
则（x，y，z）为（
）
A．（
1
2 ，
1
2 ，
1
2）
B．（
2
3 ，
2
3 ，
2
3）
C．（
1
3 ，
1
3 ，
1
3）
D．（
2
9 ，
2
9 ，
2
9）
【解答】解：∵OG
→
=2GG1
→
=2（OG1
→
−OG
→
），∴OG
→
= 2
3 OG1
→
= 2
3（OA
→
+ AG1
→
）= 2
3（OA
→
+ 2
3 AE
→
）= 2
3 OA
→
+ 2
3 × 2
3
（OE
→
−OA
→
）= 2
3 OA
→
+ 4
9（
1
2 OB
→
+
1
2 OC
→
）−4
9 OA
→
= 2
9 OA
→
+ 2
9 OB
→
+ 2
9 OC
→
，
即OG
→
= 2
9 OA
→
+ 2
9 OB
→
+ 2
9 OC
→
，根据空间向量基本定理可得x＝y＝z= 2
9，
故选：D．
9．（5 分）已知x，y∈R*，xy＝2x+y，则x+y 取得最小值时，x＝（
）
A．2
B．2 +1
C．1
D．2 −1
【解答】解：因为x，y∈R*，xy＝2x+y，所以
1
x +
2
y =1，
则x+y＝（
1
x +
2
y）（x+y）＝3+ y
x + 2x
y ≥3 + 2
y
x × 2x
y =3+ 2 2，（当且仅当
y
x =
2x
y 时取等号），
又xy＝2x+y，解得x=
2 + 1，
故选：B．
10．（5 分）已知抛物线x2＝8y 的焦点为F，点P 在抛物线上，且|PF|＝6，点Q 为抛物线准线与其对称轴的交点，
则△PFQ 的面积为（
）
A．20 2
B．16 2
C．12 2
D．8 2
【解答】解：设点P 的坐标为（x0，y0），
抛物线x2＝8y 的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2，对称轴为y 轴，
∴|PF|＝y0+ p
2 =y0+2＝6，Q（0，﹣2），
∴y0＝6，|FQ|＝4，
∴x0＝±4 2
∴S△PFQ= 1
2|FQ|•|x0|= 1
2 ×4×4 2 =8 2，
故选：D．
11．（5 分）设f（x）为最接近n（n∈N*）的整数，如f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝2，f（5）＝2，…，
若正整数m 满足
1
f(1) +
1
f(2) +
1
f(3) + ⋯+
1
f(m) =4034，则m＝（
）
A．2016×2017
B．20172
C．2017×2018
D．2018×2019
【解答】解：由
1
f(1) =1，
1
f(2) =1，2 个
1
f(3) =
1
2，
1
f(4) =
1
2，
1
f(5) =
1
2，
1
f(6) =
1
2，4 个
1
f(7) =
1
3，
1
f(8) =
1
3，
1
f(9) =
1
3，
1
f(10) =
1
3，
1
f(11) =
1
3，
1
f(12) =
1
3，6 个
1
f(13) =
1
4，
1
f(14) =
1
4，⋯
1
f(20) = 1
4，8 个
…
⋯
1
f[m×(m+1)] = 1
m，
∴
1
f(1) +
1
f(2) +
1
f(3) + ⋯+
1
f(m) =1×2+ 1
2 ×4+ 1
3 ×6+ ⋯+ 1
n ×2n＝4034，
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则2 + 2 + 2 + ⋯+ 2︷
n
=4034，则2n＝4034，则n＝2017，
∴总共有2017 个
1
2017，
则f（
1
2017×2018）= 1
m，
故m 的值为2017×2018；
故选：C．
12．（5 分）如图，四边形ABCD 中，CE 平分∠ACD，AE＝CE＝2 3，DE=
3，若∠ABC＝∠ACD，则四边形
ABCD 周长的最大值为（
）
A．24
B．12+3 3
C．18 3
D．3（5+
3）
【解答】解：设∠ABC＝∠ACD＝θ，则由CE 平分∠ACD，可得：∠ACE＝∠ECD= θ
2，
∵AE＝CE＝2 3，DE=
3，设CD＝x，
∴由
DE
EA =
CD
AC，可得：
3
2 3 =
x
AC，可得：AC＝2x，
∴在△DEC 中，由余弦定理DE2＝CD2+CE2﹣2CD⋅CD ⋅cos θ
2，可得：3＝x2+12﹣2× x × 2 3 ×cos
θ
2，可得：
﹣9＝x2﹣4 3x•cos
θ
2，①
在△AEC 中，由余弦定理AE2＝AC2+CE2﹣2CE•AC•cos
θ
2，可得：12＝（2x）2+12﹣2× 2 3 ×2x×cos
θ
2，可得：
0＝4x2﹣8 3x•cos
θ
2，②
∴由①②联立解得：x＝3，可得：CD＝3，AC＝6，
∴在△ACD 中，由余弦定理可得：cosθ= CD2+AC2−AD2
2CD⋅AC
= 9+36−27
2×3×6
= 1
2，
∴在△ABC 中，由余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosθ，可得：36＝AB2+BC2﹣2AB•BC•
1
2 =AB2+BC2﹣
AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC＝AB•BC，当且仅当AB＝BC 时等号成立，
∴（AB+BC）2＝36+3AB•BC≤36+3×36＝144，解得：AB+BC≤12，当且仅当AB＝BC 时等号成立，
∴四边形ABCD 周长AB+BC+CD+DA＝3 3 +3+AB+BC≤3 3 + 3 + 12 =3（5+
3），当且仅当AB＝BC 时等
号成立．
故选：D．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，请把答案填在答题卡中相应的位置上)
13．（5 分）已知向量a
→=（k，1，﹣1），b
→
=（2，1，﹣2），若a
→⊥b
→
，则实数k＝
−3
2
．
【解答】解：向量a
→=（k，1，﹣1），b
→
=（2，1，﹣2），
若a
→⊥b
→
，
则：2k+1+2＝0，
解得：k=−3
2，
故答案为：−3
2．
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14．（5 分）实数x，y 满足
x −y −1 ≤0
x + y −1 ≥0
x ≥0
，则目标函数z＝2x+y 的最小值是
1
．
【解答】解：由约束条件
x −y −1 ≤0
x + y −1 ≥0
x ≥0
作出可行域如图，
化目标函数z＝2x+y 为y＝﹣2x+z，
由图可知，当直线y＝﹣2x+z 过点A（0，1）时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为1．
故答案为：1．
15．（5 分）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P 是椭圆上一点，∠F1PF2＝120°，且△
F1PF2 的面积为3，则椭圆的短轴为
2
．
【解答】解：由∠F1PF2＝120°，△PF1F2 的面积为3，可得
1
2|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2=
3
4 |PF1|•|PF2|=
3，
∴|PF1|•|PF2|＝4．
再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a．
再利用余弦定理可得4c2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2PF1•PF2•cos120°＝（|PF1|+|PF2|）2﹣PF1•PF2＝4a2﹣4，
∴b2＝1，
即椭圆的短轴为2b＝2，
故答案为：2．
16．（5 分）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），且离心率为
3
5，△ABC 的三个顶点都在椭
圆C 上，设△ABC 三条边AB、BC、AC 的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，
且k1，k2，k3 均不为0．O 为坐标原点，若直线OD，OE，OM 的斜率之和为1，则
1
k1
+
1
k2
+
1
k3
=
−25
16
．
【解答】解：如图所示，
由题意可得：c＝3，e= 3
5 = c
a，b2＝a2﹣c2．
联立解得：解得a＝5，b＝4．
∴
x2
25 +
y2
16 =1．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．D（x0，y0）．
由
x1
2
25 +
y1
2
16 =1，
x2
2
25 +
y2
2
16 =1．
相减可得：
x0
25 +
k1y0
16 =0，∴
1
25 +
k1kOD
16
=0，
可得：
1
k1
=−
25
16kOD，
同理可得：
1
k2
=−
25
16kOE，
1
k3
=−
25
16kOM．
∴
1
k1
+
1
k2
+
1
k3
=−
25
16（kOD+kOE+kOM）=−25
16．
故答案为：
25
16．
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第389页（共926页）
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10 分）已知命题p：实数t 满足t2﹣5at+4a2＜0．q：实数t 满足曲线
x2
2−t +
y2
6−t =1 为双曲线．
（1）若a＝1，且￢p 为假，求实数t 的取值范围；
（2）若a＞0，且q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1 时，因为￢p 为假，即命题p 为真，
即实数t 满足t2﹣5t+4＜0．解得1＜t＜4，
故实数t 的取值范围为：（1，4）
（2）当a＞0 时，
当命题p 为真时，得命题p：a＜t＜4a，命题q：（2﹣t）（6﹣t）＜0，即命题q：2＜t＜6，
又q 是p 的充分不必要条件，
得：
a＞0
a ≤2
4a ≥6
，解得
3
2 ≤a ≤2，
故实数a 的取值范围：[
3
2 ，2]
18．（12 分）在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
b
sinB =
2c
3．
（1）求角C 的大小；
（2）若△ABC 的面积为3，且
1
a +
1
b =
3，求c 的值．
【解答】解：（1）由题意知
b
sinB =
2c
3，
根据正弦定理得
sinB
sinB =
2sinC
3 ，得sinC=
3
2 ，
∵C 是锐角三角形的内角，
∴C= π
3．
（2）因为S△ABC=
3 = 1
2absinC，
∴ab＝4，
又∵
1
a +
1
b =
a+b
ab =
3，∴a+b＝4 3，
由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝（a+b）2﹣3ab＝48﹣12＝36，
∴c＝6．
19．（12 分）设数列{an}的前n 项和为Sn，已知a1＝1，Sn+1﹣3Sn＝1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：bn＝log3an+1，{bn}的前n 项和为Tn，求
1
T1
+
1
T2
+ ⋯+
1
T100
的值．
【解答】解：（1）a1＝1，Sn+1﹣3Sn＝1（n∈N*）．
可得Sn﹣3Sn﹣1＝1，n≥2，
相减可得an+1＝3an，
则数列{an}为首项为1，公比为3 的等比数列，
可得an＝3n﹣1；
（2）bn＝log3an+1＝log33n＝n，
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前n 项和为Tn= 1
2n（n+1），
1
Tn
=
2
n(n+1) =2（
1
n −
1
n+1），
可得
1
T1
+
1
T2
+ ⋯+
1
T100
=2（1−1
2 + 1
2 −1
3 + ⋯+ 1
100 −1
101）
＝2（1−
1
101）= 200
101．
20．（12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥平面ABCD，直线PA 与底面ABCD 所成的角为45°，底面ABCD
为梯形，且AB∥CD，∠ADC＝90°，PD＝AB= 1
2CD＝2．
（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；
（2）线段PC 上是否存在一点E，使得二面角P﹣BD﹣E 的余弦值为
3
3 ？如存在，求出
PE
EC的值，如果不存在，
请说明理由．
【解答】证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵PD⊥平面ABCD，直线PA 与底面ABCD 所成角为45°，
∴∠PAD＝45°，∴AD＝PD＝2，
在Rt△BAD 中，BD2＝BA2+AD2＝8，
过B 作CD 的垂线BF，则在Rt△BFC 中，
BC2＝BF2+CF2＝8，
在△BCD 中，BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，
∵BD∩PD＝D，∴BC⊥平面PBD，
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．
解：（2）∵PD⊥平面ABCD，且AD⊥DC，
∴以D 为原点，DA，DC，DP 为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），C（0，4，0），
PB
→
=（2，2，﹣2），DB
→
=（2，2，0），DE
→
=（0，2，1），
由（1）知平面PBD 的法向量BC
→
=（﹣2，2，0），
设PE
→
= λPC
→
=（0，4λ，﹣2λ），（λ∈（0，1）），∴E（0，4λ，2﹣2λ），
DE
→
=（0，4λ，2﹣2λ），DB
→
=92，2，0），
令平面BDE 的法向量n
→=（x，y，z），
则n
→⋅DE
→
= 0
n
→⋅DB
→
= 0
，即4λy + (2 −2λ)z = 0
x + y = 0
，
取z＝1，得n
→=（−λ−1
2λ ，
λ−1
2λ ，1），
∵二面角P﹣BD﹣E 的余弦值为
3
3 ，
∴|cos＜BC
→
，n
→＞|= |BC
→
⋅n
→|
|BC
→
|⋅|n
→|
=
|λ−1
λ |
2⋅1+2(λ−1
λ )2 =
3
3 ，
由λ∈（0，1），解得λ = 1
2，此时
PE
EC =1．
∴线段PC 上存在一点E，使得二面角P﹣BD﹣E 的余弦值为
3
3 ，
PE
EC =1．
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21．（12 分）2018 年10 月23 日习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经5 年规划，9 年建设，
总长约55 公里，总投资约1100 亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响，港珠
澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海放游线路增添新亮点，某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，
准备举办一场促销会，据市场调查，当每张门票售价定为x 元时，销售量可达到（15﹣0.1x）万张．现投资方为
配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固
定价格为30 元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万张）成反比，并且根据调查，每张门票售价定为100
元时，旅游公司获得的总利润为340 万元（每张门票的销售利润＝售价﹣供货价格）
（1）求出每张门票所获利润f（x）关于售价x 的函数关系式，并写出定义域；
（2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值．
【解答】解：（1）当每张门票售价定为100 元时，销售量可达到（15﹣0.1×100）＝5 万张．
令每张门票的浮动价格为
k
5（k＞0）元．则每张门票供货价格为30+ k
5元．
故旅游公司获得的总利润为5× [100 −(30 + k
5 )] =350﹣k＝340，解得k＝10．
∴f（x）＝x﹣（30+
10
15−0.1x），x＜150，x∈N．
（2）由（1）可知：
f（x）＝x−
100
150−x −30=−[(150 −x) +
100
150−x ] +120≤﹣2 (150 −x) ×
100
150−x +120＝100，当且仅当150﹣x＝10，
解得x＝140 时取等号，
因此每张门票售价定为140 元时，每张门票所获利润最大，并求出该最大值为100．
22．（12 分）已知椭圆C1：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左右焦点是F1，F2，且C1 的离心率为
3
2 ，抛物线C2：y2＝2px
（P＞0）的焦点为F2，过OF2 的中点Q 垂直于x 轴的直线截C2 所得的弦长为2 6．
（1）求椭圆C1 的标准方程；
（2）设椭圆C1 上一动点T 满足：OT
→
= λOA
→
+2μOB
→
，其中A，B 是椭圆C1 上的点，且直线OA，OB 的斜率
之积为−1
4，若N（λ，μ）为一动点，点P 满足PQ
→
= 1
2 F1F2
→
，试探究|NP|+|NQ|是否为定值，如果是，请求出该定
值：如果不是，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线C2：y2＝2px（P＞0）的焦点为F2（
p
2，0），
∴Q（
p
4 ，0），
∵过Q 垂直于x 轴的直线截C2 所得的弦长为2 6，
∴( 6)2 = 2p × p
4，
得p= 2 3，
∴F2( 3，0)，
又e = c
a =
3
2 ，
∴a＝2，b＝1，
∴椭圆C1 的方程为：
x2
4 + y2 = 1；
（2）设T（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），
则由OT
→
= λOA
→
+ 2μOB
→
，
得x＝λx1+2μx2，y＝λy1+2μy2，
∵点T，A，B 在椭圆C1 上，
∴x2+4y2＝4，
x12 + 4y12 = 4，
x22 + 4y22 = 4，
∴x2+4y2＝（λx1+2μx2）2+ 4(λy1 + 2μy2)2
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= λ2(x12 + 4y12) + 4μ2(x22 + 4y22) +4λμ（x1x2+4y1y2）
＝4，
由直线OA，OB 的斜率之积为−1
4可得，
y1y2
x1x2
=−
1
4，
即x1x2+4y1y2＝0，
∴λ2+4μ2＝1，
故N（λ，μ）在椭圆λ2 + μ2
1
4
= 1 上，
由Q( 3
2 ，0)，PQ
→
= 1
2 F1F2
→
，
可得P（−3
2 ，0），
∴P，Q 为椭圆x2 + y2
1
4
= 1 的左右焦点，
由椭圆定义可知|NP|+|NQ|＝2 为定值．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
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2019-2020 学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1．（5 分）在△ABC 中，B＝135°，C＝15°，a＝3，则边b＝（
）
A．5 2
B．4 2
C．3 2
D．2 2
2．（5 分）已知命题p：﹣1＜x＜1，命题q；x≥﹣2，则p 是q 的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5 分）已知数列{an}是等比数列，且a1＝1，a4＝8，则a6＝（
）
A．15
B．24
C．32
D．64
4．（5 分）已知实数a＞b，则以下不等式中恒成立的是（
）
A．a3＞b3
B．a2＞b2
C．（
1
3）a＞（
1
3）b
D．
1
a ＜
1
b
5．（5 分）将给定的9 个数排成如图所示的数表，若每行3 个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的3 个数按
从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a22＝2，则表中所有数之和为（
）
A．2
B．18
C．20
D．512
6．（5 分）已知x＞5
4，则函数y＝4x+
1
4x−5取最小值为（
）
A．﹣3
B．2
C．5
D．7
7．（5 分）设x，y 满足约束条件
x + y ≤2
y ≤x
y ≥0
，则z＝3x+y 的最大值是（
）
A．0
B．4
C．5
D．6
8．（5 分）设A、B、C、D 是空间不共面的四点，且满足AB
→
•AC
→
=0，AB
→
•AD
→
=0，AC
→
•AD
→
=0，则△BCD 是（
）
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
9．（5 分）两灯塔A，B 与海洋观察站C 的距离都等于2km，灯塔A 在C 北偏东45°，B 在C 南偏东15°，则A，
B 之间的距离为（
）
A．2 3km
B．3 3km
C．4 3km
D．5 3km
10．（5 分）在棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，M 和N 分别为A1B1 和BB1 的中点，那么直线AM 与CN
所成角的余弦值是（
）
A．−2
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
10
10
11．（5 分）已知椭圆
x2
4+m2 +
y2
m2 = 1 与双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1 有共同的焦点，且其中的一个焦点F 到双曲线的两条渐
近线的距离之和为2 3，则双曲线的离心率为（
）
A．2
B．3
C．
2 3
3
D．3
12．
（5 分）设数列{an}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，若{
1
an+an+1
}是等差数列，则（
1
a2
+
1
a3
）+（
1
a3
+
1
a4
）…
+（
1
a2017
+
1
a2018
）＝（
）
A．4036
B．4038
C．4030
D．4032
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，把答案填在题中的横线上．
13．（5 分）已知双曲线
x2
16 −
y2
9 = 1 的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为
．
14．（5 分）在等比数列{an}中，a3、a8 是方程x2﹣3x﹣5＝0 的两个根，则a1•a10＝
．
15．（5 分）若函数f（x）＝x2+ax+b 的两个零点是﹣2 和3，则不等式af（﹣2x）＞0 的解集是
．
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16．（5 分）已知抛物线C：x2＝8y，F 是焦点，点A（﹣2，4），若点P 在抛物线上，且|PF|+|PA|的值最小，则点P
的坐标为
．
三、解答题：本大题共6 小题，满分共70 分；解答要写出证明过程或解题步骤．
17．（10 分）给定命题p：关于x 的方程x2+ax+a＝0 无实根；命题q：函数y= 1−4a
x
在（0，+∞）上单调递减．已
知p∨q 是真命题，p∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．
18．（12 分）已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，且S4＝16，a4＝7．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求
1
a1a2
+
1
a2a3
+ ⋯+
1
a2007a2008
的值．
19．（12 分）在△ABC 中角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，b=
2，c＝1，cosB= 3
4．
（1）求sinC 的值；
（2）求△ABC 的面积．
20．（12 分）已知函数f（x）＝2x+2
﹣x．
（1）求方程f（x）＝2 的实根；
（2）若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6 恒成立，求实数m 的最大值．
21．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AB＝2AD＝4，BD = 2 3，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）若二面角P﹣BC﹣D 的大小为
π
6，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值．
22．（12 分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与直线l1：x−
3y +6＝0 相切，设点A 为圆上一动点，AB⊥x 轴于B，
且动点N 满足AB
→
=
3•NB
→
，设动点N 的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C 的方程；
（2）直线l 与直线11 垂直且与曲线C 交于B，D 两点，求△OBD 面积的最大值．
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2019-2020 学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1．（5 分）在△ABC 中，B＝135°，C＝15°，a＝3，则边b＝（
）
A．5 2
B．4 2
C．3 2
D．2 2
【解答】解：∵B＝135°，C＝15°，
∴A＝180°﹣B﹣C＝30°，
∴由正弦定理
a
sinA =
b
sinB，可得：b =
3× 2
2
1
2
= 3 2．
故选：C．
2．（5 分）已知命题p：﹣1＜x＜1，命题q；x≥﹣2，则p 是q 的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：依题意可p⇒q 成立，反之不成立．
即p 是q 的充分不必要条件，
故选：A．
3．（5 分）已知数列{an}是等比数列，且a1＝1，a4＝8，则a6＝（
）
A．15
B．24
C．32
D．64
【解答】解：由a1＝1，a4＝8 可得公比q＝2，
故a6 = a1q5 = 32．
故选：C．
4．（5 分）已知实数a＞b，则以下不等式中恒成立的是（
）
A．a3＞b3
B．a2＞b2
C．（
1
3）a＞（
1
3）b
D．
1
a ＜
1
b
【解答】解：f（x）＝x3 是增函数，易知选项A 正确，
当a＝1，b＝﹣1 时，a2＞b2 不成立
由（
1
3）a＞（
1
3）b，得a＜b，则C 错误，
a＝1，b＝﹣1 时，
1
a ＜
1
b不成立，
故选：A．
5．（5 分）将给定的9 个数排成如图所示的数表，若每行3 个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的3 个数按
从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a22＝2，则表中所有数之和为（
）
A．2
B．18
C．20
D．512
【解答】解：∵每行3 个数按从左至右的顺序构成等差数列，
∴a11+a12+a13＝3a12，
a21+a22+a23＝3a22，
a31+a32+a33＝3a32，
∵每列的3 个数按从上到下的顺序也构成等差数列，
∴a12+a22+a32＝3a22，
∴表中所有数之和为9a22＝9×2＝18，
故选：B．
6．（5 分）已知x＞5
4，则函数y＝4x+
1
4x−5取最小值为（
）
A．﹣3
B．2
C．5
D．7
【解答】解：∵x＞5
4，∴4x﹣5＞0．
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则函数y＝4x+
1
4x−5 =4x﹣5+
1
4x−5 +5≥2 (4x −5) ⋅
1
4x−5 +5＝7，当且仅当x= 3
2时取等号．
∴函数y＝4x+
1
4x−5取最小值为7．
故选：D．
7．（5 分）设x，y 满足约束条件
x + y ≤2
y ≤x
y ≥0
，则z＝3x+y 的最大值是（
）
A．0
B．4
C．5
D．6
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝3x+y 得y＝﹣3x+z，
平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z，经过点A 时，
直线的截距最大，此时z 最大．
由y = 0
x + y = 2，解得x = 2
y = 0，
即A（2，0），此时zmax＝3×2＝6，
故选：D．
8．（5 分）设A、B、C、D 是空间不共面的四点，且满足AB
→
•AC
→
=0，AB
→
•AD
→
=0，AC
→
•AD
→
=0，则△BCD 是（
）
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【解答】解：∵BC
→
⋅BD
→
= (AC
→
−AB
→
)(AD
→
−AB
→
) = AC
→
⋅AD
→
−AC
→
⋅AB
→
−AB
→
⋅AD
→
+ AB
→2 = AB
→2＞0，
∴cosB =
BC
→
⋅BD
→
|BC
→
|⋅|BD
→
|
＞0 故∠B 是锐角，
同理∠D，∠C 都是锐角，故△BCD 是锐角三角形，
故选：B．
9．（5 分）两灯塔A，B 与海洋观察站C 的距离都等于2km，灯塔A 在C 北偏东45°，B 在C 南偏东15°，则A，
B 之间的距离为（
）
A．2 3km
B．3 3km
C．4 3km
D．5 3km
【解答】解：根据图形可知∠ACB＝120°，
在△ABC 中，|AC|＝|BC|＝2km，
根据余弦定理得：|AB|2＝22+22﹣2×2×2cos120°＝12，
所以A，B 之间的距离为2 3km．
故选：A．
10．（5 分）在棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，M 和N 分别为A1B1 和BB1 的中点，那么直线AM 与CN
所成角的余弦值是（
）
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A．−2
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
10
10
【解答】解：如图所示，
A（1，1，1），C（0，0，1），M( 1
2 ，1，0)，N(0，1，1
2 )．
∴AM
→
= ( −1
2 ，0，−1)，AN
→
= ( −1，0，−1
2 )．
∴AM
→
⋅AN
→
= 1
2，|AM
→
| = |AN
→
| =
1 + ( 1
2 )2 =
5
2 ．
设异面直线AM 与CN 所成角为θ．
则cosθ= AM
→
⋅AN
→
|AM
→
||AN
→
|
=
1
2
( 5
2 )2 = 2
5．
故选：B．
11．（5 分）已知椭圆
x2
4+m2 +
y2
m2 = 1 与双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1 有共同的焦点，且其中的一个焦点F 到双曲线的两条渐
近线的距离之和为2 3，则双曲线的离心率为（
）
A．2
B．3
C．
2 3
3
D．3
【解答】解：∵椭圆
x2
4+m2 +
y2
m2 = 1 与双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1 有共同的焦点，
∴4+m2﹣m2＝a2+b2，
∴双曲线的焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）
设F＝（2，0）
其渐近线方程为y＝±
b
ax，
∵焦点F 到双曲线的两条渐近线的距离之和为2 3，
∴2×
2b
a2+b2 =2 3，
∴
2b
c =
3，
∴b=
3，
∴a2＝c2﹣b2＝1，
∴e= c
a =2，
故选：A．
12．
（5 分）设数列{an}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，若{
1
an+an+1
}是等差数列，则（
1
a2
+
1
a3
）+（
1
a3
+
1
a4
）…
+（
1
a2017
+
1
a2018
）＝（
）
A．4036
B．4038
C．4030
D．4032
【解答】解：数列{an}是首项为1，公比为q（q≠﹣1）的等比数列，
可得an＝qn﹣1，an+an+1＝（1+q）•qn﹣1，
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则{
1
an+an+1
}为等比数列，
由{
1
an+an+1 }是等差数列可得q＝1，
故an＝1，
1
an
= 1．原式共4032 项，
故答案为：4032．
故选：D．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，把答案填在题中的横线上．
13．（5 分）已知双曲线
x2
16 −
y2
9 = 1 的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为
18
．
【解答】解：由双曲线
x2
16 −
y2
9 = 1 的方程可得a＝4，由双曲线的定义可得点P 到右焦点的距离等于2a
加上点P 到左焦点的距离，故点P 到右焦点的距离为8+10＝18，
故答案为：18．
14．（5 分）在等比数列{an}中，a3、a8 是方程x2﹣3x﹣5＝0 的两个根，则a1•a10＝
﹣5
．
【解答】解：由a3、a8 是方程x2﹣3x﹣5＝0 的两个根，可得a3a8＝﹣5，
由等比数列性质可知a1•a10＝a3a8＝﹣5，
故答案为：﹣5．
15．（5 分）若函数f（x）＝x2+ax+b 的两个零点是﹣2 和3，则不等式af（﹣2x）＞0 的解集是
{x| −3
2 ＜x＜1}
．
【解答】解：∵f（x）＝x2+ax+b 的两个零点是﹣2，3．
∴﹣2，3 是方程x2+ax+b＝0 的两根，
由根与系数的关系知−2 + 3 =−a
−2 × 3 = b ，∴a =−1
b =−6，
∴f（x）＝x2﹣x﹣6．
∵不等式af（﹣2x）＞0，即﹣（4x2+2x﹣6）＞0
⇔2x2+x﹣3＜0，
解集为{x| −3
2 ＜x＜1}．
故答案为{x| −3
2 ＜x＜1}
16．（5 分）已知抛物线C：x2＝8y，F 是焦点，点A（﹣2，4），若点P 在抛物线上，且|PF|+|PA|的值最小，则点P
的坐标为
（﹣2，
1
2）
．
【解答】解：过点P 向抛物线的准线y＝2 作垂线PN，则|PF|＝|PN|，
∴|PF|+|PA|＝|PA|+|PN|，
∴当P，A，N 三点共线时，|PN|+|PA|的值最小，
显然P 点横坐标为xP＝﹣2，代入抛物线方程可得yP= 1
2．
故答案为：（﹣2，
1
2）．
三、解答题：本大题共6 小题，满分共70 分；解答要写出证明过程或解题步骤．
17．（10 分）给定命题p：关于x 的方程x2+ax+a＝0 无实根；命题q：函数y= 1−4a
x
在（0，+∞）上单调递减．已
知p∨q 是真命题，p∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．
【解答】解：由方程x2+ax+a＝0 无实根，可得△＝a2﹣4a＜0
解得0＜a＜4
即命题p：0＜a＜4…………………………（3 分）
由函数y = 1−4a
x
在（0，+∞）上单调递减，可得1﹣4a＞0，解得a＜1
4
即命题q：a＜1
4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6 分）
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第399页（共926页）
∵p∨q 是真命题，p∧q 是假命题
∴p、q 两个命题真假性相反
…………………………（7 分）
∴
0＜a＜4
a ≥1
4
或
a ≤0 或a ≥4
a＜1
4
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9 分）
解得
1
4 ≤a＜4 或a≤0
∴实数a 的取值范围为( −∞，0] ∪[ 1
4 ，4)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 分）
18．（12 分）已知等差数列{an}的前n 项和为Sn，且S4＝16，a4＝7．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求
1
a1a2
+
1
a2a3
+ ⋯+
1
a2007a2008
的值．
【解答】解：（1）由题意得
因为{an}是等差数列
所以当n+m＝k+l 时则an+am＝ak+al
所以S4＝a1+a2+a3+a4
＝2（a1+a4）＝16
由∵a4＝7
∴a1＝1
∴d＝2
所以数列{an}的通项公式是an＝2n﹣1．
（2）由（1）得an＝2n﹣1
∴
1
anan+1
=
1
(2n−1)(2n+1) =
1
2 (
1
2n−1 −
1
2n+1 )
所以
1
a1a2
+
1
a2a3
+ ⋯+
1
a2007a2008
= 1
2 (1 −1
3 + 1
3 −1
5 + ⋯+
1
4011 −
1
4013 +
1
4013 −
1
4015 )
= 1
2 (1 −
1
4015 )
= 2007
4015
∴
1
a1a2
+
1
a2a3
+ ⋯+
1
a2007a2008
的值是
2007
4015．
19．（12 分）在△ABC 中角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，b=
2，c＝1，cosB= 3
4．
（1）求sinC 的值；
（2）求△ABC 的面积．
【解答】（本题满分为12 分）
解：（1）∵b=
2，c＝1，cosB= 3
4．
∴sinB=
1 −cos2B =
7
4 ，
∴由正弦定理可得：sinC= csinB
b
=
1× 7
4
2 =
14
8 ⋯4 分
（2）∵c＜b，C 为锐角，
∴由（1）可得：cosC=
1 −sin2C = 5 2
8 ，
∴sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC=
7
4 × 5 2
8 + 3
4 × 14
8
=
14
4 ，
∴S△ABC= 1
2bcsinA= 1
2 ×
2 × 1 × 14
4
=
7
4 ⋯12 分
20．（12 分）已知函数f（x）＝2x+2
﹣x．
（1）求方程f（x）＝2 的实根；
（2）若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6 恒成立，求实数m 的最大值．
【解答】解：（1）方程f（x）＝2，即2x+2
﹣x＝2，亦即（2x）2﹣2×2x+1＝0，
所以（2x﹣1）2＝0，于是2x＝1，解得x＝0．
（2）∵f（x）＝3，2x+2
﹣x＝3
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∴f（2x）＝22x+2
﹣2x＝（2x+2
﹣x）2﹣2＝32﹣2＝7，
由条件知f（2x）＝22x+2
﹣2x＝（2x+2
﹣x）2﹣2＝（f（x））2﹣2．
因为f（2x）≥mf（x）﹣6 对于x∈R 恒成立，且f（x）＞0，
所以m≤f（x）+ 4
f(x)对于x∈R 恒成立．
令g（x）＝f（x）+ 4
f(x) ≥2 f(x) ⋅4
f(x) =4，
当且仅当f（x）＝2x+2
﹣x＝2，即x＝0 时取等号．
所以m≤4，故实数m 的最大值为4．
21．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AB＝2AD＝4，BD = 2 3，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）若二面角P﹣BC﹣D 的大小为
π
6，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）∵四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，
AB＝2AD＝4，BD = 2 3，PD⊥底面ABCD．
∴CD2＝BC2+BD2，∴BC⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD，
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．
解：（2）由（1）所证，BC⊥平面PBD，∴∠PBD 即为二面角P﹣BC﹣D 的平面角，即∠PBD= π
6，
∵BD＝2 3，∴PD＝2，∵底面ABCD 为平行四边形，
∴DA⊥DB，
分别以DA、DB、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．
则A（2，0，0），B（0，2 3，0），C（﹣2，2 3，0），P（0，0，2），
∴AP
→
=（﹣2，0，2），BC
→
=（﹣2，0，0），BP
→
=（0，﹣2 3，2），
设平面PBC 的法向量为n
→=（a，b，c），
则n
→⋅BC
→
=−2a = 0
n
→⋅BP
→
=−2 3b + 2c = 0
，令b＝1，得n
→=（0，1，3），
∴AP 与平面PBC 所成角的正弦值为sinθ= |AP
→
⋅n
→|
|AP
→
|⋅|n
→|
＝
2 3
2 2⋅2 =
6
4 ．
22．（12 分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与直线l1：x−
3y +6＝0 相切，设点A 为圆上一动点，AB⊥x 轴于B，
且动点N 满足AB
→
=
3•NB
→
，设动点N 的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C 的方程；
（2）直线l 与直线11 垂直且与曲线C 交于B，D 两点，求△OBD 面积的最大值．
【解答】解：（1）设动点N（x，y），A（x0，y0），
因为AB⊥x 轴于B，所以B（x0，0），
由题意得r=
|6|
1+3 =3，
所以圆O 的方程为x2+y2＝9．…………………………………………………………………………（2 分）
由题意，得AB
→
=
3NB
→
，所以（0，﹣y0）=
3（x0﹣x，﹣y），
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所以
x = x0
y =
3
3 y0
，即
x0 = x
y0 =
3y，
将A（x，3y）代入圆x2+y2＝9，得动点N 的轨迹方程
x2
9 +
y2
3 =1．………………………………（5 分）
（2）由题意可设直线l：3x + y + m = 0，
设直线l 与椭圆
x2
9 +
y2
3 =1 交于B（x1，y1），D（x2，y2），
联立方程y =−
3x −m
x2 + 3y2 = 9 ，得10x2+6 3mx +3m2﹣9＝0，
△＝108m2﹣10×4（3m2﹣9）＞0，解得m2＜30，
x1，2= −6 3m± 360−12m2
20
= −6 3m± 360−12m2
20
= −3 3m± 90−3m2
10
，………………………………………（7
分）
又因为点O 到直线l 的距离d= |m|
2 ，|BD|＝2|x1﹣x2|＝2× 2 90−3m2
10
，…………………………（9 分）
S△OBD= 1
2 × |m|
2 × 2 × 2 90−3m2
10
=
m2(90−3m2)
10
=
3m2(30−m2)
10
≤3 3
2 ．………………………（11 分）
（当且仅当m2＝30﹣m2，即m2＝15 时取到最大值）
∴△OBD 面积的最大值为
3 3
2 ．…………………………………………………………………………（12 分）
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2019-2020 学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．（4 分）椭圆
x2
4 +
y2
3 = 1 的离心率为（
）
A．
7
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
1
4
2．（4 分）命题“对任意的x∈R，x2﹣1＞0”的否定是（
）
A．不存在x∈R，x2﹣1＞0
B．存在x∈R，x2﹣1＜0
C．存在x∈R，x2﹣1≤0
D．对任意的x∈R，x2﹣1≤0
3．（4 分）数列{an}的前n 项和为Sn，且a1＝3，an+1 = 2an(n ∈N∗)，则S5 等于（
）
A．32
B．48
C．62
D．93
4．（4 分）已知点A（2，0，1），B（4，2，3），P 是AB 中点，则点P 的坐标为（
）
A．P（3，1，2）
B．P（3，1，4）
C．P（0，﹣2，﹣1）
D．P（6，4，5）
5．（4 分）平面α经过三点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，0，2），则平面α的法向量可以是（
）
A．（1，0，1）
B．（1，0，﹣1）
C．（0，1，1）
D．（﹣1，1，0）
6．（4 分）如果a＜b＜0，那么下列不等式中正确的是（
）
A．b2＞ab
B．ab＞a2
C．a2＞b2
D．|a|＜|b|
7．（4 分）已知双曲线C：x2
a2 −y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y =
3x，一个焦点坐标为（2，0），则双
曲线C 的方程为（
）
A．
x2
2 −
y2
6 = 1
B．
x2
6 −
y2
2 = 1
C．x2 −y2
3 = 1
D．
x2
3 −y2 = 1
8．（4 分）已知数列{an}是等比数列，则“a2＞a1”是“数列{an}为递增数列”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．（4 分）某采摘园的樱桃前n 年的总产量Sn 与n 之间的关系如图所示，从图中记录的结果看，前x 年的平均产量
最高，第y 年的年产量最高，则x 和y 的值分别为（
）
A．7 和4
B．7 和8
C．10 和4
D．10 和10
10．（4 分）已知|x|＞y＞0．将四个数x，x −y，x + y，x2 −y2按照一定顺序排列成一个数列，则（
）
A．当x＞0 时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等比数列
B．当x＞0 时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等差数列
C．当x＜0 时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等比数列
D．当x＜0 时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等差数列
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.把答案填在题中横线上.
11．（5 分）抛物线y2＝﹣4x 的焦点坐标为
．
12．（5 分）在数列0，1
4 ，1
3 ，3
8 ，⋯，n−1
2n ，⋯中，
3
7是它的第
项．
13．（5 分）不等式
1
x−1 ＞1 的解集为
．
14．（5 分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为CC1 中点，则CD1 与平面ADD1A1 所成角的大小为
；
CD 与AE 所成角的余弦值为
．
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15．（5 分）设函数f(x) = x + a
x (a＞0)．
①当a＝1 时，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为
；
②若f（x）在区间（2，+∞）上存在最小值，则满足条件的一个a 的值为
．
16．（5 分）已知椭圆C1，抛物线C2 的焦点均在x 轴上，C1 的中心和C2 的顶点均为坐标原点．如表给出坐标的五
个点中，有两个点在C1 上，另有两个点在C2 上．则椭圆C1 的方程为
，C1 的左焦点到C2 的准线之间的
距离为
．
x
1
3
﹣2
4
2
y
3
−2 3
0
﹣4
2
2
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（13 分）已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a3，a4 成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{an}的前n 项和为Sn，求S20 的值．
18．（13 分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax，a∈R．
（Ⅰ）当a＝1 时，求满足f（x）＜0 的x 的取值范围；
（Ⅱ）解关于x 的不等式f（x）＜3a2；
（Ⅲ）若对于任意的x∈（2，+∞），f（x）＞0 均成立，求a 的取值范围．
19．（13 分）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a＞b＞0)长轴是短轴的2倍，且右焦点为F（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y＝k（x+2）交椭圆C 于A，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为−2
3，求直线l 的方程及△FAB
的面积．
20．（14 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 的底面是直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°．SD⊥平面ABCD，
M 是SA 的中点，AD＝SD＝CD＝2AB＝2．
（Ⅰ）证明：DM⊥平面SAB；
（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C 的大小；
（Ⅲ）线段SC 上是否存在一点E，使得直线SA∥平面BDE．若存在，确定E 点的位置；若不存在，说明理由．
21．（14 分）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1（a＞b＞0）的离心率为
1
2，左顶点B 与右焦点F2 之间的距离为3．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设直线x＝t（t＞a）交x 轴于点S，过F2 且斜率不为0 的直线l 与椭圆C 相交于两点M，N，连接BM，
BN 并延长分别与直线x＝t 交于两点P，Q．若∠PF2S＝∠F2QS，求点S 的坐标．
22．（13 分）已知a 为实数，数列{an}满足a1＝a，an+1 = an −3，an＞3
−an + 4，an ≤3
(n ∈N∗)．
（Ⅰ）当a＝0.2 和a＝7 时，分别写出数列{an}的前5 项；
（Ⅱ）证明：当a＞3 时，存在正整数m，使得0＜am≤2；
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（Ⅲ）当0≤a≤1 时，是否存在实数a 及正整数n，使得数列{an}的前n 项和Sn＝2019？若存在，求出实数a 及
正整数n 的值；若不存在，请说明理由．
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2019-2020 学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．（4 分）椭圆
x2
4 +
y2
3 = 1 的离心率为（
）
A．
7
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
1
4
【解答】解：椭圆
x2
4 +
y2
3 =1，可得a＝2，b=
3，c＝1，所以椭圆的离心率是：e= c
a = 1
2．
故选：B．
2．（4 分）命题“对任意的x∈R，x2﹣1＞0”的否定是（
）
A．不存在x∈R，x2﹣1＞0
B．存在x∈R，x2﹣1＜0
C．存在x∈R，x2﹣1≤0
D．对任意的x∈R，x2﹣1≤0
【解答】解：根据题意得，命题“对任意的x∈R，x2﹣1＞0”的否定是存在x∈R，x2﹣1≤0；
故选：C．
3．（4 分）数列{an}的前n 项和为Sn，且a1＝3，an+1 = 2an(n ∈N∗)，则S5 等于（
）
A．32
B．48
C．62
D．93
【解答】解：由a1＝3，an+1 = 2an(n ∈N∗)，可知数列是以3 为首项，以2 为公比的等比数列，
则S5 = 3(1−25)
1−2
= 93．
故选：D．
4．（4 分）已知点A（2，0，1），B（4，2，3），P 是AB 中点，则点P 的坐标为（
）
A．P（3，1，2）
B．P（3，1，4）
C．P（0，﹣2，﹣1）
D．P（6，4，5）
【解答】解：根据题意，点A（2，0，1），B（4，2，3），P 是AB 中点，
则点P 的坐标为（
2+4
2 ，
0+2
2 ，
1+3
2 ），即（3，1，2）；
故选：A．
5．（4 分）平面α经过三点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，0，2），则平面α的法向量可以是（
）
A．（1，0，1）
B．（1，0，﹣1）
C．（0，1，1）
D．（﹣1，1，0）
【解答】解：∵平面α经过三点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，0，2），
∴OA
→
=（2，2，0），OB
→
=（0，0，2），
设平面α的法向量n
→=（x，y，z），
则n
→⋅OA
→
= 2x + 2y = 0
n
→⋅OB
→
= 2z = 0
，取x＝﹣1，得n
→=（﹣1，1，0），
∴平面α的法向量可以是（﹣1，1，0）．
故选：D．
6．（4 分）如果a＜b＜0，那么下列不等式中正确的是（
）
A．b2＞ab
B．ab＞a2
C．a2＞b2
D．|a|＜|b|
【解答】解：∵a＜b＜0；
∴b2＜ab，ab＜a2，﹣a＞﹣b＞0；
∴a2＞b2，|a|＞|b|；
∴C 正确．
故选：C．
7．（4 分）已知双曲线C：x2
a2 −y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y =
3x，一个焦点坐标为（2，0），则双
曲线C 的方程为（
）
A．
x2
2 −
y2
6 = 1
B．
x2
6 −
y2
2 = 1
C．x2 −y2
3 = 1
D．
x2
3 −y2 = 1
【解答】解：双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y =
3x，
可得
b
a =
3，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c＝2，即a2+b2＝4，
解得a＝1，b=
3，
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第406页（共926页）
所求双曲线方程为：x2 −y2
3 = 1．
故选：C．
8．（4 分）已知数列{an}是等比数列，则“a2＞a1”是“数列{an}为递增数列”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则“a2＞a1”⇔a1（q﹣1）＞0，⇔a1＞0
q＞1
，或a1＜0
q＜1(q ≠0)
．
由数列{an}为递增数列，可得a1＞0
q＞1
，或a1＜0
0＜q＜1
．
∴“a2＞a1”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．
故选：B．
9．（4 分）某采摘园的樱桃前n 年的总产量Sn 与n 之间的关系如图所示，从图中记录的结果看，前x 年的平均产量
最高，第y 年的年产量最高，则x 和y 的值分别为（
）
A．7 和4
B．7 和8
C．10 和4
D．10 和10
【解答】解：前n 年的总产量Sn 与n 在图中对应P（Sn，n）点，
则前n 年的年平均产量即为直线OP 的斜率，
由图易得当n＝7 时，直线OP 的斜率最大，
即前7 年的年平均产量最高，x＝7；
又an＝Sn﹣Sn﹣1，所以变化量最大的是第4 年，即y＝4．
故选：A．
10．（4 分）已知|x|＞y＞0．将四个数x，x −y，x + y，x2 −y2按照一定顺序排列成一个数列，则（
）
A．当x＞0 时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等比数列
B．当x＞0 时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等差数列
C．当x＜0 时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等比数列
D．当x＜0 时，存在满足已知条件的x，y，四个数构成等差数列
【解答】解：当x＞0 时，x＞y＞0，此时四个数的大小关系为x﹣y＜x2 −y2＜x＜x+y，
若x﹣y，x2 −y2，x，x+y 成等比，则满足（x2 −y2）2＝（x﹣y）x，即x2﹣y2＝x2﹣xy，此时﹣y2＝﹣xy，
则x＝y，不满足条件．故A 错误，
若x﹣y，x2 −y2，x，x+y 成等差，则满足2x=
x2 −y2 +x+y，即x2 −y2 =x﹣y，平方得（x2﹣y2）＝（x
﹣y）2，即（x﹣y）（x+y）＝（x﹣y）2，
则x+y＝x﹣y，即y＝0，不满足条件．故B 错误，
当x＜0 时，﹣x＞y＞0，则y＞0，x＜0，x+y＜0，x﹣y＜0，此时四个数x﹣y，x2 −y2，x，x+y，中三个为负
数，一个为正数，不可能为等比数列，故C 错误，
当x＜0 时，四个数的大小为x﹣y＜x＜x+y＜x2 −y2，
若x﹣y，x，x+y，x2 −y2，成等差，
2x＝x﹣y+x+y，此时恒成立，同时2（x+y）＝x+
x2 −y2，即x2 −y2 =x+2y，
平方得x2﹣y2＝x2+4y2+4xy，
即5y2＝﹣4xy，即x=−5
4y 时，满足等差数列，故D 正确．
故选：D．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.把答案填在题中横线上.
11．（5 分）抛物线y2＝﹣4x 的焦点坐标为
（﹣1，0）
．
【解答】解：根据抛物线的性质可知根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且2P＝4，即p＝2，开口向左
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∴焦点坐标为（﹣1，0）
故答案为：（﹣1，0）
12．（5 分）在数列0，1
4 ，1
3 ，3
8 ，⋯，n−1
2n ，⋯中，
3
7是它的第
7
项．
【解答】解：令
n−1
2n =
3
7，解得n＝7．
∴
3
7是它的第7 项．
故答案为：7．
13．（5 分）不等式
1
x−1 ＞1 的解集为
{x|1＜x＜2}
．
【解答】解：∵
1
x−1 ＞1，
∴
2−x
x−1 ＞0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＜0，
解得：1＜x＜2．
∴不等式
1
x−1 ＞1 的解集为{x|1＜x＜2}．
故答案为：{x|1＜x＜2}．
14．
（5 分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为CC1 中点，则CD1 与平面ADD1A1 所成角的大小为
45°
；
CD 与AE 所成角的余弦值为
2
3
．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为CC1 中点，
∵CD⊥ADD1A1，
∴∠CD1D 是平面则CD1 与平面ADD1A1 所成角，
∵CD＝DD1，CD⊥DD1，
∴∠CD1D＝45°，
∴平面则CD1 与平面ADD1A1 所成角的大小为45°；
∵CD∥AB，∴∠BAE 是CD 与AE 所成角（或所成角的补角），
设AB＝2，则AE=
4 + 4 + 1 =3，
∴CD 与AE 所成角的余弦值为cos∠BAE= AB
AC = 2
3．
故答案为：45°，
2
3．
15．（5 分）设函数f(x) = x + a
x (a＞0)．
①当a＝1 时，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为
2
；
②若f（x）在区间（2，+∞）上存在最小值，则满足条件的一个a 的值为
5
．
【解答】解：①当a＝1 时，f（x）＝x+ 1
x ≥2 x ⋅1
x =2，当且仅当x＝1 时，取得最小值2；
②若f（x）在区间（2，+∞）上存在最小值，
由f（x）的导数为f′（x）＝1−a
x2 = (x+ a)(x−a)
x2
，
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当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）递增；0＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）递减，
可得f（x）在x=
a处取得极小值，由题意可得且为最小值，
即有a＞2，可得a＞4．
可取a＝5．
故答案为：2，5．
16．（5 分）已知椭圆C1，抛物线C2 的焦点均在x 轴上，C1 的中心和C2 的顶点均为坐标原点．如表给出坐标的五
个点中，有两个点在C1 上，另有两个点在C2 上．则椭圆C1 的方程为
x2
4 + y2 = 1
，C1 的左焦点到C2 的准
线之间的距离为
3 −1
．
x
1
3
﹣2
4
2
y
3
−2 3
0
﹣4
2
2
【解答】解：由表可知：抛物线C2 焦点在x 轴的正半轴，
设抛物线C2：y2＝2px（p＞0），
则有
y2
x =2p（x≠0），
据此验证四个点知（3，﹣2 3），（4，﹣4）在C2 上，代入求得2p＝4，
∴抛物线C2 的标准方程为y2＝4x．则焦点坐标为（1，0），准线方程为：x＝﹣1，
设椭圆C1：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），
把点（﹣2，0），（2，
2
2 ）代入得，a＝2，
4
a2 +
1
2b2 =1，
解得b＝1，
∴C1 的标准方程为
x2
4 +y2＝1；
由c=
a2 −b2 =
3，
左焦点（−
3，0），
C1 的左焦点到C2 的准线之间的距离3 −1．
故答案为：
x2
4 +y2＝1，3 −1．
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（13 分）已知等差数列{an}的公差为2，且a1，a3，a4 成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{an}的前n 项和为Sn，求S20 的值．
【解答】解：（Ⅰ）因为a1，a3，a4 成等比数列，所以a3
2 = a1a4．…………………（2 分）
所以(a1 + 2d)2 = a1(a1 + 3d)，…………………（4 分）
又{an}的公差为2，所以(a1 + 4)2 = a1(a1 + 6)，
解得a1＝﹣8．…………………（7 分）
所以{an}的通项公式为an＝2n﹣10．…………………（9 分）
（Ⅱ）S20 = 20
2 (a1 + a20)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11 分）
＝10（a1+a1+19d）＝10（﹣16+19×2）＝220．…………………（13 分）
所以，S20 的值为220．
18．（13 分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax，a∈R．
（Ⅰ）当a＝1 时，求满足f（x）＜0 的x 的取值范围；
（Ⅱ）解关于x 的不等式f（x）＜3a2；
（Ⅲ）若对于任意的x∈（2，+∞），f（x）＞0 均成立，求a 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当a＝1 时，f（x）＝x2﹣2x，
所以f（x）＜0，即x2﹣2x＜0，解得0＜x＜2．
所以f（x）＜0 的解集为（0，2）；
（Ⅱ）由f（x）＜3a2，得x2﹣2ax﹣3a2＜0，
所以（x﹣3a）（x+a）＜0，
当a＞0 时，解集为（﹣a，3a）；
当a＝0 时，解集为空集；
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当a＜0 时，解集为（3a，﹣a）．
（Ⅲ）f（x）＞0，即x2﹣2ax＞0，变形可得2ax＜x2．
又由x∈（2，+∞），则a＜x
2在x∈（2，+∞）上恒成立；
则有a≤1．
即a 的取值范围是（﹣∞，1]．
19．（13 分）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a＞b＞0)长轴是短轴的2倍，且右焦点为F（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y＝k（x+2）交椭圆C 于A，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为−2
3，求直线l 的方程及△FAB
的面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为长轴是短轴的2倍，所以a =
2b．
因为焦点F 的坐标为（1，0），所以c＝1．
结合a2＝b2+c2，
得a =
2，b = 1．
所以椭圆方程为
x2
2 + y2 = 1．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
x2
2 + y2 = 1
y = k(x + 2)
得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2＝0．
则
x1 + x2 = −8k2
2k2+1 ，x1x2 = 8k2−2
2k2+1．
因为线段AB 中点的横坐标为−2
3，
所以
x1+x2
2
=
−4k2
2k2+1 =−
2
3．
解得k2 = 1
4，即k =± 1
2（符合题意）．
所以直线l 的方程为y =± 1
2 (x + 2)，
因为|AB| =
(1 + k2)[(x1 + x2)2 −4x1x2] = 2
3
5．
点F 到直线l 的距离d =
|3k|
1+k2 = 3 5
5 ．
所以△FAB 的面积S△AFB = 1
2 × 2 5
3 × 3 5
5
= 1．
即△FAB 的面积等于1．
20．（14 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 的底面是直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝∠ADC＝90°．SD⊥平面ABCD，
M 是SA 的中点，AD＝SD＝CD＝2AB＝2．
（Ⅰ）证明：DM⊥平面SAB；
（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C 的大小；
（Ⅲ）线段SC 上是否存在一点E，使得直线SA∥平面BDE．若存在，确定E 点的位置；若不存在，说明理由．
【解答】（本小题满分14 分）
证明：（Ⅰ）因为SD⊥平面ABCDDA，DC⊂平面ABCD．
所以SD⊥DA，SD⊥DC，又DA⊥DC．
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系．
由题意得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），S（0，0，2），M（1，0，1），
所以DM
→
= (1，0，1)，SA
→
= (2，0，−2)，AB
→
= (0，1，0)．
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所以DM
→
⋅SA
→
= 0，DM
→
⋅AB
→
= 0，
所以DM⊥SA，DM⊥AB，
所以DM⊥平面SAB．
解：（Ⅱ）设平面SBC 的法向量为n
→=（x，y，z），
因为SC
→
= (0，2，−2)，BC
→
= ( −2，1，0)．
所以SC
→
⋅n
→= 0
BC
→
⋅n
→= 0
，即2y −2z = 0
−2x + y = 0，
令x＝1，则y＝2，z＝2．于是n
→=（1，2，2）．
因为DM⊥平面SAB，所以DM
→
为平面SAB 的法向量，
又DM
→
= (1，0，1)．
所以cos＜n
→，DM
→
＞=
n
→⋅DM
→
|n
→|⋅|DM
→
|
=
2
2 ．
因为所求二面角为钝角，所以二面角A﹣SB﹣C 大小为135o．
（Ⅲ）设SE
→
= λSC
→
= (0，2λ，−2λ)．(λ ∈[0，1])，
DE
→
= DS
→
+ SE
→
= (0，2λ，2 −2λ)，
DB
→
= (2，1，0)，SA
→
= (2，0，−2)．
设平面BDE 的法向量n2＝（x0，y0，z0），
则DE
→
⋅n2 = 0
DB
→
⋅n2 = 0
，即2λy0 + 2(1 −λ)z0 = 0
2x0 + y0 = 0
，
令x0＝1，y0＝﹣2，z0 = 2λ
1−λ．于是m
→=（1，﹣2，
2λ
1−λ），
如果直线SA∥平面BDE，
那么SA
→
⋅m
→=0，解得λ = 1
3．
所以，存在点E 为线段SC 靠近S 点的三等分点，使得直线SA∥平面BDE．
21．（14 分）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1（a＞b＞0）的离心率为
1
2，左顶点B 与右焦点F2 之间的距离为3．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设直线x＝t（t＞a）交x 轴于点S，过F2 且斜率不为0 的直线l 与椭圆C 相交于两点M，N，连接BM，
BN 并延长分别与直线x＝t 交于两点P，Q．若∠PF2S＝∠F2QS，求点S 的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知
c
a =
1
2且a+c＝3，
解得
a＝2，c＝1．
所以b2＝a2﹣c2＝3．
所以椭圆的方程是
x2
4 +
y2
3 = 1．
（Ⅱ）设M，N 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
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直线l 的方程为x＝my+1，
易知点S（t，0），
将直线l 的方程与椭圆方程联立，消去x，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．
所以y1 + y2 = −6m
3m2+4①，y1y2 =
−9
3m2+4②．
设P，Q 两点的坐标分别为（t，yP），（t，yQ），
由B，M，P 三点共线，得：
yP
t+2 =
y1
x1+2，从而yP = y1(t+2)
x1+2 ；
由B，N，Q 三点共线，得
yQ
t+2 =
y2
x2+2，从而yQ = y2(t+2)
x2+2 ；
因为∠PF2S＝∠F2QS，所以∠PF2Q = π
2．
所以F2P
→
⋅F2Q
→
= 0，即(t −1，y1(t+2)
x1+2 )(t −1，y2(t+2)
x2+2 ) = 0，
整理得(t −1)2 +
y1y2
(x1+2)(x2+2) (t + 2)2 = 0．
又x1＝my1+1，x2＝my2+1，
所以(t −1)2 +
y1y2
m2y1y2+3m(y1+y2)+9 (t + 2)2 = 0（*）．
将①，②代入（*），整理得(t −1)2 −1
4 (t + 2)2 = 0．
解之，得t＝4 或t＝0（舍）．
所以S 点的坐标为（4，0）．
22．（13 分）已知a 为实数，数列{an}满足a1＝a，an+1 = an −3，an＞3
−an + 4，an ≤3
(n ∈N∗)．
（Ⅰ）当a＝0.2 和a＝7 时，分别写出数列{an}的前5 项；
（Ⅱ）证明：当a＞3 时，存在正整数m，使得0＜am≤2；
（Ⅲ）当0≤a≤1 时，是否存在实数a 及正整数n，使得数列{an}的前n 项和Sn＝2019？若存在，求出实数a 及
正整数n 的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（Ⅰ）解：当a＝0.2 时，a1＝0.2，a2＝3.8，a3＝0.8，a4＝3.2，a5＝0.2；
当a＝7 时，a1＝7，a2＝4，a3＝1，a4＝3，a5＝1．
（Ⅱ）证明：当a＞3 时，an+1＝an﹣3．
所以，在数列{an}中直到第一个小于等于3 的项出现之前，数列{an}是以a 为首项，﹣3 为公差的递减的等差数
列．
即an＝a+（n﹣1）（﹣3）＝a+3﹣3n．
所以，当n 足够大时，总可以找到n0，使0＜an0 ≤3．
（1）若0＜an0 ≤2，令m＝n0，则存在正整数m，使得0＜am≤2．
（2）若2＜an0 ≤3，由an0 +1 =−an0 + 4，得1 ≤an0 +1＜2，
令m＝n0+1，则存在正整数m，使得0＜am≤2．
综述所述，则存在正整数m，使得0＜am≤2．
（Ⅲ）①当a＝0 时，a1＝0，a2＝4，a3＝1，a4＝3，a5＝1，……
当n＝1 时，S1＝0≠2019，
当n≥2 时，Sn = 2n −1，n = 2k + 1
2nn = 2(k + 1)
（k∈N），
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令2n﹣1＝2019，n＝1010，而此时n＝2k+1 为奇数，所以不成立；
又2n＝2019 不成立，所以不存在正整数n，使得Sn＝2019．
②当0＜a＜1 时，a1＝a，a2＝﹣a+4，a3＝﹣a+1，a4＝a+3，a5＝a，……
所以数列{an}的周期是4，
当n＝4k+1，k∈N 时，Sn＝8k+a＝2（n﹣1）+a＝2n+a﹣2；
当n＝4k+2，k∈N 时，Sn＝2（n﹣2）+a+（﹣a+4）＝2n；
当n＝4k+3，k∈N 时，Sn＝2（n﹣3）+a+（﹣a+4）+（﹣a+1）＝2n﹣a+3；
当n＝4（k+1），k∈N 时，Sn＝2n．
所以Sn =
2n + a −2，n = 4k + 1
2n，n = 4k + 2
2n −a −1，n = 4k + 3
2n，n = 4(k + 1)
（k∈N）．
所以Sn 或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数n，使得Sn＝2019．
③当a＝1 时，a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1，……，
Sn = 2n −1，n = 2k + 1
2n，n = 2(k + 1)
（k∈N），不存在正整数n，使得Sn＝2019．
综述所述，不存在实数a 正整数n，使得Sn＝2019．
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2019-2020 学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷
一、选择题（共8 个小题，每小题5 分，共40 分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求
的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）
1．（5 分）下列导数公式错误的是（
）
A．（sinx）'＝﹣cosx
B．(lnx)' = 1
x
C．( 1
x )' =−1
x2
D．（ex）'＝ex
2．（5 分）双曲线x2−y2
3 =1 的焦点坐标是（
）
A．（0，2），（0，−
2）
B．（2，0），（−
2，0）
C．（0，2），（0，﹣2）
D．（2，0），（﹣2，0）
3．（5 分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，若AB
→
= a
→，AD
→
= b
→
，AA1
→
= c
→，则D1B
→
=（
）
A．a
→+ b
→
−c
→
B．a
→+ b
→
+ c
→
C．a
→−b
→
−c
→
D．−a
→+ b
→
+ c
→
4．（5 分）若a
→=（a1，a2，a3），b
→
=（b1，b2，b3），则
a1
b1
=
a2
b2
=
a3
b3
是a
→∥b
→
的（
）
A．既不充分也不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．充分不必要条件
5．（5 分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1＝2AB，则异面直线A1B 与AD1 所成角的余弦值为（
）
A．
1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
6．（5 分）设函数f（x）= 2
x + lnx，则（
）
A．x= 1
2，f（x）取得最大值
B．x= 1
2，f（x）取得最小值
C．x＝2，f（x）取得最大值
D．x＝2，f（x）取得最小值
7．（5 分）如果把二次函数f（x）＝ax2+bx+c 与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一
定错误的是（
）
A．
B．
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C．
D．
8．（5 分）函数f（x）＝x3+kx2﹣7x 在区间[﹣1，1]上单调递减，则实数k 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣2]
B．[﹣2，2]
C．[﹣2，+∞）
D．[2，+∞）
二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分，请把结果填在答题纸中，）
9．（5 分）已知函数f（x）＝x2，则lim
△x→0
f(△x)−f(0)
△x
=
．
10．（5 分）已知函数f(x) = ex
x ，则f′（1）＝
．
11．（5 分）已知空间向量a
→=（0，1，1），b
→
=（x，0，1），若a
→，b
→
的夹角为
π
3，则实数x 的值为
．
12．（5 分）直线y＝a 与函数f（x）＝x3﹣3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是
．
13．（5 分）电动自行车的耗电量y 与速度x 之间的关系为y = 1
3 x3 −39
2 x2 −40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速
度应定为
．
14．（5 分）在棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，M 为体对角线BD1 上动点．
则（1）M 到CC1 距离的最小值为
；
（2）M 位于BD1 三等分点处时，M 到各顶点的距离的不同取值有
种．
三、解答题（共3 小题，满分30 分）
15．（10 分）已知抛物线C 方程：y2＝2px（p＞0），点（1，2）在C 上，F 为焦点．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程和焦点F 坐标；
（Ⅱ）若抛物线C 上有两个定点A，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|＝2，|BF|＝5，求原点O 到直线AB
的距离．
16．（10 分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx，其导函数为f′（x）的部分值如表所示：
x
﹣2
0
1
3
8
f′（x）
﹣10
6
8
0
﹣90
根据表中数据，回答下列问题：
（Ⅰ）实数c 的值为
；当x＝
时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．
（Ⅱ）求实数a，b 的值．
（Ⅲ）求f（x）的单调区间．
17．
（10 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC＝1，AB＝2，PC = PD =
2，
E 为PA 中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D 的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求
PM
PC的值；若不存在，说明理由．
一、选择题（本大题共4 小题，每小题6 分，共24 分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相
应位置上.）
18．
（6 分）过抛物线y2＝2x 焦点的直线交抛物线于A，B 两点，若|AB|＝5，则AB 的中点M 到y 轴的距离等于（
）
A．2
B．25
C．3
D．4
19．（6 分）如图，已知直线y＝kx 与曲线y＝f（x）相切于两点，设函数g（x）＝kx+m（m＞0），则函数F（x）
＝g（x）﹣f（x）（
）
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A．有极小值，没有极大值
B．有极大值，没有极小值
C．至少有两个极小值和一个极大值
D．至少有一个极小值和两个极大值
20．（6 分）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，D
点在棱AA1 上且AD＝2DA1，P 点在棱C1C 上，则PD
→
⋅PB1
→
的最小值为（
）
A．
5
2
B．−1
4
C．
1
4
D．−5
2
21．（6 分）已知集合Rn＝{X|X＝（x1，x2，…，xn），xi∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，…，
an）∈Rn，B＝（b1，b2，…，bn）∈Rn，定义A 与B 之间的距离为d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|an﹣bn|=
i=1
n
σ
|ai −bi|．
若集合M 满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，则集合M 中元素个数的最大值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．8
二、解答题（本大题共2 小题，每个小题13 分，满分26 分，请把结果填在答题纸中）.
22．（13 分）已知离心率为
3
2 的椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）与直线x＝2 相交于P，Q 两点（点P 在x 轴上方），
且|PQ|＝2．点A，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且∠APQ＝∠BPQ．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）求四边形APBQ 面积的取值范围．
23．（13 分）对于函数f（x），若存在实数x0 满足f（x0）＝x0，则称x0 为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）
＝x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R
（Ⅰ）当a＝0 时，
（ⅰ）求f（x）的极值点；
（ⅱ）若存在x0 既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b 的值；
（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2 均为f（x）的不动点？证明你
的结论．
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2019-2020 学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8 个小题，每小题5 分，共40 分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求
的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）
1．（5 分）下列导数公式错误的是（
）
A．（sinx）'＝﹣cosx
B．(lnx)' = 1
x
C．( 1
x )' =−1
x2
D．（ex）'＝ex
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、（sinx）'＝cosx，故A 错误；
对于B、（lnx）′= 1
x，故B 正确；
对于C、（
1
x）′＝x
﹣1＝（﹣1）×x
﹣2=−1
x2，故C 正确；
对于D、（ex）'＝ex，故D 正确；
故选：A．
2．（5 分）双曲线x2−y2
3 =1 的焦点坐标是（
）
A．（0，2），（0，−
2）
B．（2，0），（−
2，0）
C．（0，2），（0，﹣2）
D．（2，0），（﹣2，0）
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2−y2
3 =1，
其中a＝1，b=
3，则c=
1 + 3 =2，
又由双曲线的焦点在x 轴上，则其焦点坐标为（2，0）（﹣2，0）；
故选：D．
3．（5 分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，若AB
→
= a
→，AD
→
= b
→
，AA1
→
= c
→，则D1B
→
=（
）
A．a
→+ b
→
−c
→
B．a
→+ b
→
+ c
→
C．a
→−b
→
−c
→
D．−a
→+ b
→
+ c
→
【解答】解：D1B
→
= D1D
→
+ DB
→
= A1A
→
+ DC
→
+ DA
→
═−A1A
→
+ AB
→
−AD
→
=−c
→+ a
→−b
→
故选：C．
4．（5 分）若a
→=（a1，a2，a3），b
→
=（b1，b2，b3），则
a1
b1
=
a2
b2
=
a3
b3
是a
→∥b
→
的（
）
A．既不充分也不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．充分不必要条件
【解答】解：∵a
→=（a1，a2，a3），b
→
=（b1，b2，b3），
∴当
a1
b1
=
a2
b2
=
a3
b3
时，向量a
→∥b
→
成立．
当a
→=（1，0，0），b
→
=（2，0，0），满足a
→∥b
→
，
但
a1
b1
=
a2
b2
=
a3
b3
不成立，
∴
a1
b1
=
a2
b2
=
a3
b3
是a
→∥b
→
的充分不必要条件．
故选：D．
5．（5 分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1＝2AB，则异面直线A1B 与AD1 所成角的余弦值为（
）
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A．
1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，
∠A1BC1 是异面直线A1B 与AD1 所成的角，
设AB＝a，AA1＝2a，∴A1B＝C1B=
5a，A1C1=
2a，
∠A1BC1 的余弦值为
4
5，
故选：D．
6．（5 分）设函数f（x）= 2
x + lnx，则（
）
A．x= 1
2，f（x）取得最大值
B．x= 1
2，f（x）取得最小值
C．x＝2，f（x）取得最大值
D．x＝2，f（x）取得最小值
【解答】解：∵f（x）= 2
x + lnx，（x＞0）
∴f′（x）=−2
x2 + 1
x = x−2
x2 ，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
故x＝2 时，f（x）取最小值，
故选：D．
7．（5 分）如果把二次函数f（x）＝ax2+bx+c 与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一
定错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：二次函数f（x）＝ax2+bx+c 的对称轴是x=−b
2a，
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故其导函数f′（x）＝2ax+b＝0 的根是−b
2a，
二次函数的顶点和导函数的解均在直线x=−b
2a上，
故对于选项B 是错误的，
故选：B．
8．（5 分）函数f（x）＝x3+kx2﹣7x 在区间[﹣1，1]上单调递减，则实数k 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣2]
B．[﹣2，2]
C．[﹣2，+∞）
D．[2，+∞）
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3+kx2﹣7x，其导数f′（x）＝3x2+2kx﹣7，
若函数f（x）＝x3+kx2﹣7x 在区间[﹣1，1]上单调递减，
则f′（x）＝3x2+2kx﹣7≤0 在[﹣1，1]上恒成立，
则有f'(1) = 3 + 2k −7 ≤0
f'( −1) = 3 −2k −7 ≤0，解可得﹣2≤k≤2，
即k 的取值范围为[﹣2，2]；
故选：B．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分，请把结果填在答题纸中，）
9．（5 分）已知函数f（x）＝x2，则lim
△x→0
f(△x)−f(0)
△x
=
0
．
【解答】解：∵f（x）＝x2，
∴f′（x）＝2x，
∴lim
△x→0
f(△x)−f(0)
△x
=f′（0）＝0，
故答案为：0．
10．（5 分）已知函数f(x) = ex
x ，则f′（1）＝
0
．
【解答】解：∵函数f(x) = ex
x ，
∴f'（x）= ex⋅x−ex
x2
，
∴f′（1）= e−e
1
= 0，
故答案为：0．
11．（5 分）已知空间向量a
→=（0，1，1），b
→
=（x，0，1），若a
→，b
→
的夹角为
π
3，则实数x 的值为
1 或﹣1
．
【解答】解：已知a
→= (0，1，1)，b
→
= (x，0，1)
则：|a
→| =
2，|b
→
| =
x2 + 1
由于a
→和b
→
的夹角为π
3，
则：cos π
3 =
a
→⋅b
→
|a
→||b
→
|
=
1
2 x2+1 = 1
2
解得：x＝1 或﹣1
故答案为：1 或﹣1
12．（5 分）直线y＝a 与函数f（x）＝x3﹣3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是
（﹣2，2）
．
【解答】解：令f′（x）＝3x2﹣3＝0，
得x＝±1，
可求得f（x）的极大值为f（﹣1）＝2，
极小值为f（1）＝﹣2，
如图所示，当满足﹣2＜a＜2 时，恰有三个不同公共点．
故答案为：（﹣2，2）
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13．（5 分）电动自行车的耗电量y 与速度x 之间的关系为y = 1
3 x3 −39
2 x2 −40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速
度应定为
40
．
【解答】解：由题设知y'＝x2﹣39x﹣40，
令y'＞0，解得x＞40，或x＜﹣1，
故函数y = 1
3 x3 −39
2 x2 −40x(x＞0)在[40，+∞）上增，在（0，40]上减，
当x＝40，y 取得最小值．
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40；
故答案为：40．
14．（5 分）在棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，M 为体对角线BD1 上动点．
则（1）M 到CC1 距离的最小值为
2
2
；
（2）M 位于BD1 三等分点处时，M 到各顶点的距离的不同取值有
4
种．
【解答】解：（1）M 到CC1 距离的最小值是异面直线BD1 和CC1 间的距离，
连结AC，BD，交于点O，
则AC⊥BD，AC∥DD1，∴AC⊥平面BDD1，
∴OC⊥BD1，且OC⊥CC1，
∴M 到CC1 距离的最小值为|OC|= 1
2
12 + 12 =
2
2 ．
故答案为：
2
2 ．
（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），
A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），
M 位于BD1 三等分点处时，设M（
2
3 ，
2
3 ，
1
3），
∴AM=
( 2
3 −1)2 + ( 2
3 )2 + ( 1
3 )2 =
6
3 ，BM=
( 2
3 −1)2 + ( 2
3 −1)2 + ( 1
3 )2 =
3
3 ，
CM=
( 2
3 )2 + ( 2
3 −1)2 + ( 1
3 )2 =
6
3 ，DM=
( 2
3 )2 + ( 2
3 )2 + ( 1
3 )2 =1，
A1M=
( 2
3 −1)2 + ( 2
3 )2 + ( 1
3 −1)2 =1，B1M=
( 2
3 −1)2 + ( 2
3 −1)2 + ( 1
3 )2 =
3
3 ，
C1M=
( 2
3 )2 + ( 2
3 −1)2 + ( 1
3 −1)2 =1，D1M=
( 2
3 )2 + ( 2
3 )2 + ( 1
3 −1)2 = 2 3
3 ．
∴M 到各顶点的距离的不同取值有4 种．
故答案为：4．
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三、解答题（共3 小题，满分30 分）
15．（10 分）已知抛物线C 方程：y2＝2px（p＞0），点（1，2）在C 上，F 为焦点．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程和焦点F 坐标；
（Ⅱ）若抛物线C 上有两个定点A，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|＝2，|BF|＝5，求原点O 到直线AB
的距离．
【解答】解：（Ⅰ）将（1，2）代入抛物线方程可得4＝2p，
解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x，F（1，0）；
（Ⅱ）若抛物线C 上有两个定点A，B 分别在其对称轴的上、下两侧，
且|AF|＝2，|BF|＝5，
由抛物线的定义可得xA+1＝2，xB+1＝5，
即有xA＝1，xB＝4，
即为A（1，2），B（4，﹣4），AB 的斜率为﹣2，
AB 的方程为2x+y﹣4＝0，
O 到直线AB 的距离为d=
4
4+1 = 4 5
5 ．
16．（10 分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx，其导函数为f′（x）的部分值如表所示：
x
﹣2
0
1
3
8
f′（x）
﹣10
6
8
0
﹣90
根据表中数据，回答下列问题：
（Ⅰ）实数c 的值为
6
；当x＝
3
时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．
（Ⅱ）求实数a，b 的值．
（Ⅲ）求f（x）的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）6，3
（Ⅱ）：f'（x）＝3ax2+2bx+c，
由已知表格可得f'(1) = 8
f'(3) = 0解得a =−2
3
b = 2
（Ⅲ）：由（Ⅱ）可得f'（x）＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣3）（x+1），
因为x∈（﹣∞，﹣1）和x∈（3，+∞）时f'（x）＜0，x∈（﹣1，3）时f'（x）＞0，
所以f（x）的单调增区间为（﹣1，3），单调减区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）．
17．
（10 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC＝1，AB＝2，PC = PD =
2，
E 为PA 中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D 的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求
PM
PC的值；若不存在，说明理由．
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第421页（共926页）
【解答】（共14 分）
证明：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为F，连结EF．
因为ABCD 为矩形，所以F 为AC 的中点．
在△PAC 中，由已知E 为PA 中点，
所以EF∥PC．
又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，
所以PC∥平面BED．…（5 分）
（Ⅱ）取CD 中点O，连结PO．
因为△PCD 是等腰三角形，O 为CD 的中点，
所以PO⊥CD．
又因为平面PCD⊥平面ABCD，
PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．
取AB 中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD 为矩形，
所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…（1 分）
如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），
B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．
AC
→
=（﹣1，2，0），PC
→
=（0，1，﹣1）．
设平面PAC 的法向量为n
→=（x，y，z），
则n
→⋅AC
→
=−x + 2y = 0
n
→⋅PC
→
= y −z = 0
，令z＝1，得n
→=（2，1，1）．
平面PCD 的法向量为OG
→
=（1，0，0）．
设n
→，OG
→
的夹角为α，所以cosα= |n
→⋅OG
→
|
|n
→⋅OG
→
|
=
6
3 ．
由图可知二面角A﹣PC﹣D 为锐角，
所以二面角A﹣PC﹣B 的余弦值为
6
3 ．…（10 分）
（Ⅲ）设M 是棱PC 上一点，则存在λ∈[0，1]使得PM
→
= λPC
→
．
因此点M（0，λ，1﹣λ），BM
→
=（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），AC
→
=（﹣1，2，0）．
由BM
→
⋅AC
→
= 0，得1+2（λ﹣1）＝0，解得λ = 1
2．
因为λ = 1
2∈[0，1]，所以在棱PC 上存在点M，使得BM⊥AC．
此时，
PM
PC =
1
2．
…（14 分）
一、选择题（本大题共4 小题，每小题6 分，共24 分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相
应位置上.）
18．
（6 分）过抛物线y2＝2x 焦点的直线交抛物线于A，B 两点，若|AB|＝5，则AB 的中点M 到y 轴的距离等于（
）
A．2
B．25
C．3
D．4
【解答】解：由抛物线为y2＝2x，
可得p＝1．
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第422页（共926页）
设A、B 两点横坐标分别为x1，x2，
设线段AB 中点的横坐标为m，
则
x1+x2
2
=m，即x1+x2＝2m，
由|AB|＝x1+x2+p＝2m+1＝5，
解得m＝2，可得AB 的中点M 到y 轴的距离为2．
故选：A．
19．（6 分）如图，已知直线y＝kx 与曲线y＝f（x）相切于两点，设函数g（x）＝kx+m（m＞0），则函数F（x）
＝g（x）﹣f（x）（
）
A．有极小值，没有极大值
B．有极大值，没有极小值
C．至少有两个极小值和一个极大值
D．至少有一个极小值和两个极大值
【解答】解：设y＝kx 与f（x）的切点横坐标分别为x1，x2，（x1＜x2），
设f（x）的另一条斜率为k 的切线与f（x）图象的切点横坐标为x3，
如图所示：
而F（x）＝kx+m﹣f（x）表示直线g（x）的点（x，g（x））
与f（x）上的点的（x，f（x））的纵坐标的差，
显然，F（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，x3）上单调递增，
在（x3，x2）上单调递减，
在（x2，+∞）上单调递增，
∴x1，x2 为F（x）的极小值点，x3 为F（x）的极大值点．
∴F（x1），F（x2）为F（x）的极小值，F（x3）为F（x）的极大值．
故选：C．
20．（6 分）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，D
点在棱AA1 上且AD＝2DA1，P 点在棱C1C 上，则PD
→
⋅PB1
→
的最小值为（
）
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第423页（共926页）
A．
5
2
B．−1
4
C．
1
4
D．−5
2
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
则D（1，0，2），B1（0，1，3），
设P（0，0，z），
则PD
→
=（1，0，2﹣z），PB1
→
=（0，1，3﹣z），
∴PD
→
•PB1
→
=0+0+（2﹣z）（3﹣z）= (z −5
2 )2 −1
4，
故当z= 5
2时，PD
→
•PB1
→
取得最小值为−1
4，
故选：B．
21．（6 分）已知集合Rn＝{X|X＝（x1，x2，…，xn），xi∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，…，
an）∈Rn，B＝（b1，b2，…，bn）∈Rn，定义A 与B 之间的距离为d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|an﹣bn|=
i=1
n
σ
|ai −bi|．
若集合M 满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，则集合M 中元素个数的最大值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．8
【解答】解：由n 元子集个数得：R3 中含有8 个元素，可将其看成正方体的8 个顶点，
已知集合M 中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，
所以M=
(0，0，0)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)
或
M=
(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，（1，1，1）
，
故集合M 中元素个数最大值为4，
故选：A．
二、解答题（本大题共2 小题，每个小题13 分，满分26 分，请把结果填在答题纸中）.
22．（13 分）已知离心率为
3
2 的椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）与直线x＝2 相交于P，Q 两点（点P 在x 轴上方），
且|PQ|＝2．点A，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，且∠APQ＝∠BPQ．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）求四边形APBQ 面积的取值范围．
【解答】（本小题满分14 分）
解：（Ⅰ）由已知得e=
3
2 ，则
b
a =
1
2，设椭圆方程为：
x2
4b2 +
y2
b2 =1（b＞0）
由题意可知点P（2，1）在椭圆上，
所以
4
4b2 +
1
b2 = 1．解得b2＝2．
故椭圆C 的标准方程为
x2
8 +
y2
2 = 1．…（4 分）
（Ⅱ）由题意可知，直线PA，直线PB 的斜率都存在且不等于0．
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第424页（共926页）
因为∠APQ＝∠BPQ，所以kPA＝﹣kPB．
设直线PA 的斜率为k，则直线PA：y﹣1＝k（x﹣2）（k≠0）．
由x2 + 4y2 = 8
y −1 = k(x −2)，得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+16k2﹣16k﹣4＝0…①．
依题意，方程①有两个不相等的实数根，即根的判别式△＞0 成立．
即△＝64k2（1﹣2k）2﹣4（1+4k2）（16k2﹣16k﹣4）＞0，
化简得16（2k+1）2＞0，解得k≠−1
2．
因为2 是方程①的一个解，所以2xA= 16k2−16k−4
1+4k2
．
所以xA= 8k2−8k−2
1+4k2
．
当方程①根的判别式△＝0 时，k=−1
2，此时直线PA 与椭圆相切．
由题意，可知直线PB 的方程为y﹣1＝﹣k（x﹣2）．
同理，易得xB= 8(−k)2−8(−k)−2
1+4(−k)2
= 8k2+8k−2
1+4k2
．
由于点A，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的两个动点，∠APQ＝∠BPQ，
且能存在四边形APBQ，则直线PA 的斜率k 需满足|t|＞1
2．
设四边形APBQ 面积为S，则
S△APQ + S△BPQ = 1
2 |PQ||2 −xA| + 1
2 |PQ||xB −2|
= 1
2 |PQ||xB −xA| = | 8k2−8k−2
1+4k2
−8k2+8k−2
1+4k2
| = | 16k
1+4k2 |
由于|t|＞1
2，
故S= 16|k|
1+4k2 =
16
1
|k|+4|k|
当|t|＞1
2时，
1
|k| + 4|k|＞4，可得0＜
16
1
|k|+4|k| ＜4，即0＜S＜4．
（此处另解：设t＝|k|，讨论函数f（t）= 1
t + 4t 在t∈( 1
2 ，+ ∞)时的取值范围．
f′（t）＝4−1
t2 = 4t2−1
t2
，则当t＞1
2时，f′（t）＞0，f（t）单调递增．
则当t＞1
2时，f（t）∈（4，+∞），即S∈（0，4）．
所以四边形APBQ 面积S 的取值范围是（0，4）．…（14 分）
23．（13 分）对于函数f（x），若存在实数x0 满足f（x0）＝x0，则称x0 为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）
＝x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R
（Ⅰ）当a＝0 时，
（ⅰ）求f（x）的极值点；
（ⅱ）若存在x0 既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b 的值；
（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2 均为f（x）的不动点？证明你
的结论．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且f′（x）＝3x2+2ax+b．[（1 分）]
当a＝0 时，f′（x）＝3x2+b；
（ⅰ）①当b≥0 时，显然f（x）在R 上单调递增，无极值点．[（2 分）]
②当b＜0 时，令f′（x）＝0，解得：x＝± −b
3．[（3 分）]
f（x）和f′（x）的变化情况如下表：
x
（﹣∞，
−
−b
3）
−
−b
3
（−
−b
3，
−b
3）
−b
3
（−b
3，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
↗
↘
↗
所以，x=−
−b
3是f（x）的极大值点；x=
−b
3是f（x）的极小值点．[（5 分）]
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（ⅱ）若x＝x0 是f（x）的极值点，则有3x02 +b＝0；
若x＝x0 是f（x）的不动点，则有x03 +bx0+3＝x0，
从上述两式中消去b，
整理得：2x03 +x0﹣3＝0．[（6 分）]
设g（x）＝2x3+x﹣3．
所以g′（x）＝6x2+1＞0，g（x）在R 上单调递增．
又g（1）＝0，所以函数g（x）有且仅有一个零点x＝1，
即方程2x03 +x0﹣3＝0 的根为x0＝1，
所以b＝﹣3x02 =−3．[（8 分）]
（Ⅱ）因为f（x）有两个相异的极值点x1，x2，
所以方程3x2+2ax+b＝0 有两个不等实根x1，x2，
所以△＝4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0．[（9 分）]
假设存在实数a，b，使得x1，x2 均为f（x）的不动点，则x1，x2 是方程
x3+ax2+（b﹣1）x+3＝0 的两个实根，显然x1，x2≠0．
对于实根x1，有x13 +ax12 +（b﹣1）x1+3＝0．①
又因为3x12 +2ax1+b＝0．②
①×3﹣②×x1，得ax12 +（2b﹣3）x1+9＝0．
同理可得ax22 +（2b﹣3）x2+9＝0．
所以，方程ax2+（2b﹣3）x+9＝0 也有两个不等实根x1，x2．[（11 分）]
所以x1+x2=−2b−3
a
．
对于方程3x2+2ax+b＝0，有x1+x2=−2a
3 ，
所以−2a
3 =−2b−3
a
，即a2﹣3b=−9
2，
这与a2﹣3b＞0 相矛盾！
所以，不存在a，b，使得x1，x2 均为f（x）的不动点．[（13 分）]
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2019-2020 学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷
一、选择题；本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目
要求的
1．（4 分）已知复数z＝（1+x）+i（i 为虚数单位，x∈R）在复平面内对应的点在第二象限，那么x 的取值范围是（
）
A．x＜﹣1
B．﹣1＜x＜0
C．x＜0
D．0＜x＜1
2．（4 分）已知a＜0，b＞0，那么下列不等式中一定成立的是（
）
A．b﹣a＜0
B．|a|＞|b|
C．a2＜ab
D．
1
a ＜
1
b
3．（4 分）已知等差数列{an}的前15 项和S15＝45，那么a4+a12 等于（
）
A．6
B．10
C．12
D．15
4．（4 分）已知复数z= 2i
1−i，则z 为（
）
A．﹣1+i
B．﹣1﹣i
C．﹣1+2i
D．1﹣2i
5．（4 分）已知椭圆
x2
k +y2＝1 的一个焦点是（2，0），那么实数k＝（
）
A．3
B．5
C．3
D．5
6．（4 分）已知Sn 为数列{an}的前n 项和，a1＝﹣2，an+1＝Sn，那么a5＝（
）
A．﹣4
B．﹣8
C．﹣16
D．﹣32
7．（4 分）“直线l∥平面α”是“直线在平面α外”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（4 分）已知v
→为直线l 的方向向量，n1
→，n2
→分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）那么下列说法中：
①n1
→∥n2
→⇔α∥β；②n1
→⊥n2
→⇔α⊥β；③v
→∥n1
→⇔l∥α；④v
→⊥n1
→⇔l⊥α．正确的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
9．（4 分）三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N 是BC 的中点，点P 在A1B1
上，且满足A1P
→
=λA1B1
→
，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，λ的值为（
）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．
2 5
5
10．（4 分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，
21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50 项和为（
）
A．1044
B．1024
C．1045
D．1025
二、填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分，
11．（4 分）命题∀x∈R，x2﹣x+3＞0 的否定是
．
12．（4 分）当且仅当x＝
时，函数y＝4x+ 1
x（x＞0）取得最小值．
13．（4 分）已知抛物线C 的顶点在原点，准线方程为y＝﹣2，则抛物线C 的标准方程为
．
14．（4 分）不等式
x−1
x−3 ≤0 的解集为
．
15．（4 分）已知F1，F2 是椭圆的两个焦点，过F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B 两点，若△ABF2 是等边
三角形，则这个椭圆的离心率是
．
16．（4 分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD 是边长为2 的正方形，PD＝2，E 是棱
PB 的中点，M 是棱PC 上的动点，当直线PA 与直线EM 所成的角为60°时，那么线段PM 的长度是
．
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三、解答题：本大題共4 小题，每小題9 分，共36 分，解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤
17．（9 分）等差数列{an}中，a3＝6，a5＝10．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若a4，a8 分别是等比数列{bn}的第4 项和第5 项，试求数列{bn}的通项公式．
18．（9 分）已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线C 经过点P（3，6）．
（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；
（Ⅱ）经过抛物线C 的焦点且斜率为2 的直线l 交抛物线C 于A，B 两点，求线段AB 的长．
19．（9 分）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E 分别为棱PA，PC 的中点，M
是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，PA＝AC＝4，AB＝2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求直线MN 到平面BDE 的距离；
（Ⅲ）求二面角B﹣DE﹣P 的大小．
20．（9 分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为2 2，离心率为
3
3 ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过点P（﹣1，1）的直线与椭圆C 交于A，B 两点，且P 点平分线段AB，求直线AB 的方程；
（Ⅲ）一条动直线l 与椭圆C 交于不同两点M，N，O 为坐标原点，△OMN 的面积为
6
2 ．求证：|OM|2+|ON|2 为
定值．
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2019-2020 学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题；本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目
要求的
1．（4 分）已知复数z＝（1+x）+i（i 为虚数单位，x∈R）在复平面内对应的点在第二象限，那么x 的取值范围是（
）
A．x＜﹣1
B．﹣1＜x＜0
C．x＜0
D．0＜x＜1
【解答】解：复数z＝（1+x）+i（i 为虚数单位，x∈R）在复平面内对应的点在第二象限，
则1+x＜0，解得x＜﹣1．
那么x 的取值范围是x＜﹣1．
故选：A．
2．（4 分）已知a＜0，b＞0，那么下列不等式中一定成立的是（
）
A．b﹣a＜0
B．|a|＞|b|
C．a2＜ab
D．
1
a ＜
1
b
【解答】解：若a＜0，b＞0，则﹣a＞0，
则b﹣a＞0，故A 错误，
|a|＞|b|不一定成立，
a2＞ab，则C 不成立，
1
a ＜0，
1
b ＞0，则
1
a ＜
1
b，成立，故D 正确，
故选：D．
3．（4 分）已知等差数列{an}的前15 项和S15＝45，那么a4+a12 等于（
）
A．6
B．10
C．12
D．15
【解答】解：∵等差数列{an}的前15 项和S15＝45，
∴S15= 15
2 （a1+a15）= 15
2 (a4 + a12) =45，
解得a4+a12＝6．
故选：A．
4．（4 分）已知复数z= 2i
1−i，则z 为（
）
A．﹣1+i
B．﹣1﹣i
C．﹣1+2i
D．1﹣2i
【解答】解：
2i
1−i =
2i(1+i)
(1−i)(1+i) =
2i−2
2
=−1 + i．
故选：A．
5．（4 分）已知椭圆
x2
k +y2＝1 的一个焦点是（2，0），那么实数k＝（
）
A．3
B．5
C．3
D．5
【解答】解：因为椭圆
x2
k +y2＝1 的一个焦点是（2，0），
所以k＞1，
所以k﹣1＝4，
k＝5．
故选：D．
6．（4 分）已知Sn 为数列{an}的前n 项和，a1＝﹣2，an+1＝Sn，那么a5＝（
）
A．﹣4
B．﹣8
C．﹣16
D．﹣32
【解答】解：n≥2 时，an+1＝Sn，an＝Sn﹣1，可得：an+1﹣an＝an，化为an+1＝2an．
n＝1 时，a2＝a1＝﹣2．
∴数列{an}从第二项起为等比数列，公比为2，首项为﹣2．
那么a5＝﹣2×23＝﹣16．
故选：C．
7．（4 分）“直线l∥平面α”是“直线在平面α外”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：“直线l 与平面α平行”⇒“直线l 在平面α外”
“直线l 在平面α外”则直线l 与平面α平行或相交，故“直线l 在平面α外”不能推出“直线l 与平面α平行”
故“直线l 与平面α平行”是“直线l 在平面α外”的充分非必要条件
故选：A．
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8．（4 分）已知v
→为直线l 的方向向量，n1
→，n2
→分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）那么下列说法中：
①n1
→∥n2
→⇔α∥β；②n1
→⊥n2
→⇔α⊥β；③v
→∥n1
→⇔l∥α；④v
→⊥n1
→⇔l⊥α．正确的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解答】解：∵平面α，β不重合；
∴平面α，β的法向量平行（垂直）等价于平面α，β平行（垂直）；
∴①②正确；
直线l 的方向向量平行（垂直）于平面α的法向量等价于直线l 垂直（平行）于平面α；
∴③④都错误．
故选：B．
9．（4 分）三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N 是BC 的中点，点P 在A1B1
上，且满足A1P
→
=λA1B1
→
，当直线PN 与平面ABC 所成的角取最大值时，λ的值为（
）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．
2 5
5
【解答】解：如图，以AB，AC，AA1 分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则P（λ，0，1），PN
→
=（
1
2 −λ，
1
2，﹣1），
平面ABC 的一个法向量为n
→=（0，0，1）
∴sinθ= |PN
→
⋅n
→|
|PN
→
|⋅|n
→|
=
1
(λ−1
2)2+5
4
，
∴当λ= 1
2时，（sinθ）max= 2 5
5 ，此时角θ最大为arcsin
2 5
5 ．
故选：A．
10．（4 分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，
21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50 项和为（
）
A．1044
B．1024
C．1045
D．1025
【解答】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1，
即：第一组：20，
第二组：20，21，
第三组：20，21，22，
…
第k 组：20，21，22，…，2k﹣1，
根据等比数列前n 项和公式，
求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2k﹣1，
每项含有的项数为：1，2，3，…，k，
总共的项数为N＝1+2+3+…+k= (1+k)k
2
，
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当k＝9 时，
(1+k)k
2
=45，
故该数列的前50 项和为S50＝21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+29﹣1+1+2+4+8+16= 2(1−29)
1−2
−9+31＝1044．
故选：A．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分，
11．（4 分）命题∀x∈R，x2﹣x+3＞0 的否定是
∃x∈R，x2﹣x+3≤0
．
【解答】解：原命题为：∀x∈R，x2﹣x+3＞0
∵原命题为全称命题
∴其否定为存在性命题，且不等号须改变
∴原命题的否定为：∃x∈R，x2﹣x+3≤0
故答案为：∃x∈R，x2﹣x+3≤0
12．（4 分）当且仅当x＝
1
2
时，函数y＝4x+ 1
x（x＞0）取得最小值．
【解答】解：由于x＞0，由基本不等式可得y = 4x + 1
x ≥2 4x ⋅1
x = 4，
当且仅当4x = 1
x (x＞0)，即当x = 1
2时，等号成立．
故答案为：
1
2．
13．（4 分）已知抛物线C 的顶点在原点，准线方程为y＝﹣2，则抛物线C 的标准方程为
x2＝8y
．
【解答】解：由题意可设抛物线C 的方程为x2＝2py，（p＞0），
∵准线方程为y＝﹣2，∴−p
2 =−2，解得p＝4．
∴抛物线C 的标准方程为x2＝8y．
故答案为：x2＝8y．
14．（4 分）不等式
x−1
x−3 ≤0 的解集为
[1，3）
．
【解答】解：不等式等价为(x −1)(x −3) ≤0
x −3 ≠0
，
即1 ≤x ≤3
x ≠3
，即1≤x＜3，
则不等式的解集为[1，3），
故答案为：[1，3）．
15．（4 分）已知F1，F2 是椭圆的两个焦点，过F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B 两点，若△ABF2 是等边
三角形，则这个椭圆的离心率是
3
3
．
【解答】解：∵△ABF2 是正三角形，
∴∠AF2B＝60°，
∵直线AB 与椭圆长轴垂直，
∴F2F1 是正三角形△ABF2 的高，∠AF2F1= 1
2 ×60°＝30°，
Rt△AF2F1 中，设|AF1|＝m，sin30°= |AF1|
|AF2| = 1
2，
∴|AF2|＝2m，|F1F2|=
|AF2|2 −|AF1|2 =
3m
因此，椭圆的长轴2a＝|AF1|+|AF2|＝3m，焦距2c=
3m
∴椭圆的离心率为e= c
a = 2c
2a =
3
3 ．
故答案为：
3
3
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16．（4 分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD 是边长为2 的正方形，PD＝2，E 是棱
PB 的中点，M 是棱PC 上的动点，当直线PA 与直线EM 所成的角为60°时，那么线段PM 的长度是
5 2
4
．
【解答】
解：如图建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），
∴AP
→
= ( −2，0，2)，
∵E 是棱PB 的中点，∴E（1，1，1），
设M（0，m，2﹣m），则EM
→
= ( −1，m −1，1 −m)，
|cos＜AP
→
，EM
→
＞|＝|
AP
→
⋅EM
→
|AP
→
||EM
→
|
|=
|2+2(1−m)|
2 2 1+2(m−1)2 = 1
2，
解得m= 5
4，
∴M（0，
5
4，
3
4），
∴PM=
25
16 + 25
16 = 5 2
4 ，
故答案为：
5 2
4 ．
三、解答题：本大題共4 小题，每小題9 分，共36 分，解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤
17．（9 分）等差数列{an}中，a3＝6，a5＝10．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若a4，a8 分别是等比数列{bn}的第4 项和第5 项，试求数列{bn}的通项公式．
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第432页（共926页）
【解答】解：（Ⅰ）在等差数列{an}中，由a3＝6，a5＝10，
得d= a5−a3
5−3 = 10−6
2
= 2，
∴an＝a3+2（n﹣3）＝6+2n﹣6＝2n；
（Ⅱ）在等比数列{bn}中，有b4＝a4＝8，b5＝a8＝16，
∴公比q= b5
b4 = 2，
则bn = b4qn−4 = 8 ⋅2n−4 = 2n−1．
18．（9 分）已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线C 经过点P（3，6）．
（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；
（Ⅱ）经过抛物线C 的焦点且斜率为2 的直线l 交抛物线C 于A，B 两点，求线段AB 的长．
【解答】解：（Ⅰ）由题意设抛物线C 的标准方程为y2＝2px，
其图象经过点P（3，6），
则62＝6p，
解得p＝6，
∴抛物线C 的标准方程为y2＝12x；
（Ⅱ）抛物线C 的标准方程为y2＝12x，焦点F（3，0），准线方程为x＝﹣1；
过焦点且斜率为2 的直线l 方程为y＝2（x﹣3），
由y = 2(x −3)
y2 = 12x
，
消去y，整理得x2﹣9x+9＝0，
由根与系数的关系得x1+x2＝9，
∴线段AB 的长为|AB|＝x1+x2+p＝9+6＝15．
19．（9 分）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E 分别为棱PA，PC 的中点，M
是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，PA＝AC＝4，AB＝2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求直线MN 到平面BDE 的距离；
（Ⅲ）求二面角B﹣DE﹣P 的大小．
【解答】证明：（Ⅰ）在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E 分别为棱PA，PC 的中点，
M 是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，PA＝AC＝4，
AB＝2．
以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，
建立空间直角坐标系，
M（0，0，1），B（2，0，0），C（0，4，0），
N（1，2，0），D（0，0，2），P（0，0，4），
E（0，2，2），
MN
→
=（1，2，﹣1），BD
→
=（﹣2，0，2），
BE
→
=（﹣2，2，2），
设平面BDE 的法向量n
→=（x，y，z），
则n
→⋅BD
→
=−2x + 2z = 0
n
→⋅BE
→
=−2x + 2y + 2z = 0
，取x＝1，得n
→=（1，0，1），
∵n
→⋅MN
→
=0，MN⊄平面BDE，
∴MN∥平面BDE．
（Ⅱ）BM
→
=（﹣2，0，1），
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∴直线MN 到平面BDE 的距离：
d= |BM
→
⋅n
→|
|n
→|
= 1
2 =
2
2 ．
（Ⅲ）∵平面BDE 的法向量n
→=（1，0，1），
平面DEP 的法向量m
→=（1，0，0），
设二面角B﹣DE﹣P 的大小为θ，
则cosθ= |m
→⋅n
→|
|m
→|⋅|n
→|
= 1
2 =
2
2 ．
∴θ= 3π
4 ．
∴二面角B﹣DE﹣P 的大小为
3π
4 ．
20．（9 分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为2 2，离心率为
3
3 ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过点P（﹣1，1）的直线与椭圆C 交于A，B 两点，且P 点平分线段AB，求直线AB 的方程；
（Ⅲ）一条动直线l 与椭圆C 交于不同两点M，N，O 为坐标原点，△OMN 的面积为
6
2 ．求证：|OM|2+|ON|2 为
定值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），
即有2b＝2 2，即b=
2，e= c
a =
3
3 ，即a=
3c，
由a2﹣b2＝c2，可得a=
3，
则椭圆方程为
x2
3 +
y2
2 =1；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），点P（﹣1，1）为AB 的中点，可得
x1+x2＝﹣2，y1+y2＝2，
由2x12+3y12＝6，2x22+3y22＝6，相减可得
2（x1﹣x2）（x1+x2）＝﹣3（y1﹣y2）（y1+y2），
可得kAB= y1−y2
x1−x2 =−2(x1+x2)
3(y1+y2) = 2
3，
即有直线AB 的方程为y﹣1= 2
3（x+1），化为2x﹣3y+5＝0；
（Ⅲ）证明：设M（x3，y3），N（x4，y4），则|OM|2+|ON|2＝x32+x42+y32+y42，
当直线l 的斜率不存在时，M，N 关于x 轴对称，即x3＝x4，y3＝﹣y4，
由
x32
3 +
y32
2
=1，△OMN 的面积为
6
2 ，可得
1
2•|x3|•|2y3|=
6
2 ，
即有|x3|=
6
2 ，|y3|＝1，可得|OM|2+|ON|2＝2（
3
2 +1）＝5；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y＝kx+m（m≠0），
代入椭圆方程2x2+3y2＝6，可得（2+3k2）x2+6km+3m2﹣6＝0，
可得x3+x4=−6km
2+3k2，x3x4= 3m2−6
2+3k2 ，
△＝36k2m2﹣12（2+3k2）（m2﹣2）＞0，可得3k2+2＞m2，
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|MN|=
1 + k2 ( −6km
2+3k2 )2 −4(3m2−6)
2+3k2
=
1 + k2•
2 6 3k2+2−m2
2+3k2
，
O 到直线l 的距离为d=
|m|
1+k2，
则S△MNO= 1
2d|MN|= 1
2•
|m|
1+k2• 1 + k2•
2 6 3k2+2−m2
2+3k2
=
6|m| 2+3k2−m2
2+3k2
=
6
2 ，
化为2+3k2＝2m2，
即有x32+x42＝（x3+x4）2﹣2x3x4＝（−6km
2+3k2）2﹣2•
3m2−6
2+3k2 =3，
y32+y42＝2（1−x32
3 ）+2（1−x42
3 ）＝4−2
3（x32+x42）＝4−2
3 ×3＝2，
则|OM|2+|ON|2＝x32+x42+y32+y42＝5，
综上可得，|OM|2+|ON|2 为定值5．
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2019-2020 学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（理科）
一.选择题：本大题12 小题，每小题5 分，共60 分.
1．（5 分）（2018 秋•博望区校级期末）已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题¬p 为（
）
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
2．（5 分）（安顺期末）若向量a
→=（1，0，z）与向量b
→
=（2，1，2）的夹角的余弦值为
2
3，则z 等于（
）
A．0
B．1
C．﹣1
D．2
3．（5 分）（2013•张店区校级模拟）以双曲线
x2
4 −
y2
12 =−1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（
）
A．
x2
16 +
y2
12 = 1
B．
x2
12 +
y2
16 = 1
C．
x2
16 +
y2
4 = 1
D．
x2
4 +
y2
16 = 1
4．（5 分）（2001•上海）a＝3 是直线ax+2y+3a＝0 和直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7 平行且不重合的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
5．（5 分）（2018 秋•博望区校级期末）平面内一点M 到两定点F1（0，﹣5），F2（0，5）的距离之和为10，则M
的轨迹是（
）
A．椭圆
B．圆
C．直线
D．线段
6．
（5 分）
（2011•未央区校级模拟）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，M 为A1C1 与B1D1 的交点．若AB
→
= a
→，
AD
→
= b
→
，AA1
→
= c
→，则下列向量中与BM
→
相等的向量是（
）
A．−1
2 a⃗+ 1
2 b⃗+ c⃗
B．
1
2 a⃗+
1
2 b⃗+ c⃗
C．−1
2 a⃗−1
2 b⃗+ c⃗
D．
1
2 a −
1
2 b + c
7．（5 分）（2014•甘肃二模）过抛物线y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2
＝6，那么|AB|＝（
）
A．6
B．8
C．9
D．10
8．（5 分）（2018 秋•博望区校级期末）已知菱形ABCD 边长为1，∠DAB＝60°，将这个菱形沿AC 折成600 的二
面角，则B，D 两点的距离为（
）
A．
3
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
3
4
9．（5 分）（运城期末）试在抛物线y2＝﹣4x 上求一点P，使其到焦点F 的距离与到A（﹣2，1）的距离之和最小，
则该点坐标为（
）
A．( −1
4 ，1)
B．( 1
4 ，1)
C．( −2，−2 2)
D．( −2，2 2)
10．（5 分）（2018 秋•博望区校级期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，如果AB＝BC＝1，AA1＝2，那么A 到直
线A1C 的距离为（
）
A．
2 6
3
B．
3 6
2
C．
2 3
3
D．
6
3
11．（5 分）（2019•内蒙古一模）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱线长为1，线段B1D1 上有两个动点E，F，且
EF=
2
2 ，则下列结论中错误的是（
）
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A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A﹣BEF 的体积为定值
D．异面直线AE，BF 所成的角为定值
12．（5 分）（2011•天心区校级模拟）若直线y＝kx+2 与双曲线x2﹣y2＝6 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围
是（
）
A．( −15
3 ，
15
3
)
B．(0，15
3 )
C．( −15
3 ，0)
D．( −15
3 ，−1)
二.填空题：本大题4 小题，每小题5 分，共20 分.
13．（5 分）（2018 秋•博望区校级期末）已知a
→=（1，1，0），b
→
=（﹣1，0，2），且ka
→+ b
→
与2a
→−b
→
垂直，则k 的
值为
．
14．
（5 分）
（2014 秋•烟台期末）已知（4，2）是直线l 被椭圆
x2
36 +
y2
9 =1 所截得的线段的中点，则l 的方程是
．
15．（5 分）（2018 秋•博望区校级期末）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E、F 分别是正方体ADD1A1 和
ABCD 的中心，G 是C1C 的中点，设GF、C1F 与AB 所成的角分别为α、β，则α+β等于
．
16．（5 分）（2018 秋•博望区校级期末）双曲线的中心为原点O，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右
焦点F 垂直l1 的直线分别交l1，l2 于A，B 两点，已知|OA
→
|，|AB
→
|，|OB
→
|成等差数列，且BF
→
与FA
→
同向，则双曲线
的离心率
．
三.解答题：本大题6 小题，共70 分.
17．
（10 分）
（2018 秋•博望区校级期末）已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣m≥0，命题q：实数m 满足：方程
x2
m−1 +
y2
4−m = 1
表示双曲线．
（Ⅰ）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p 或q”为假命题，求实数m 的取值范围．
18．（12 分）（衡阳县期末）如图所示，F1，F2 分别为椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1，（a＞b＞0）的左、右两个焦点，A，B
为两个顶点，已知椭圆C 上的点（1，
3
2）到焦点F1，F2 两点的距离之和为4．
（1）求椭圆C 的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C 的焦点F2 作AB 的平行线交椭圆于P，Q 两点，求△F1PQ 的面积．
19．（12 分）（2013 秋•中山期末）如图，已知三棱锥O﹣ABC 的侧棱OA，OB，OC 两两垂直，且OA＝1，OB＝
OC＝2，E 是OC 的中点．
（1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；
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第437页（共926页）
（2）求直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值．
20．（12 分）（2018 秋•博望区校级期末）已知直线y＝x﹣m 与抛物线y2＝2x 相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
O 为坐标原点．
（1）当m＝2 时，证明：OA⊥OB
（2）若y1y2＝﹣2m，是否存在实数m，使得OA
→
⋅OB
→
=−1？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
21．（12 分）（2008•山东）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD 为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，
E，F 分别是BC，PC 的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为
6
2 ，求二面角E﹣AF﹣C 的余弦值．
22．（12 分）（怀柔区模拟）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于
3
2 ，它的一个顶点恰好在抛物
线x2＝8y 的准线上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P（2，3），Q（2，−
3）在椭圆上，A，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点．当A，B 运动时，满足
∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．
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2019-2020 学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题12 小题，每小题5 分，共60 分.
1．（5 分）（2018 秋•博望区校级期末）已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题¬p 为（
）
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】29：规律型；38：对应思想；5L：简易逻辑．
【分析】命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，书写其否定时不光要否
定结论还要改变量词，由此规律易得其否定．
【解答】解：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，
考察四个命题，（3）“某班至少有一个男生不爱踢足球”是所研究命题的否定．
故选：B．
【点评】本题考查命题的否定，要注意研究命题的类型，根据其形式是全称命题得出其否定是一个特称命题是解
题的关键．
2．（5 分）（安顺期末）若向量a
→=（1，0，z）与向量b
→
=（2，1，2）的夹角的余弦值为
2
3，则z 等于（
）
A．0
B．1
C．﹣1
D．2
【考点】M6：空间向量的数量积运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5H：空间向量及应用．
【分析】利用空间向量夹角余弦公式直接求解．
【解答】解：∵向量a
→=（1，0，z）与向量b
→
=（2，1，2）的夹角的余弦值为
2
3，
∴cos＜a
→，b
→
＞=
a
→⋅b
→
|a
→|⋅|b
→
|
=
2+2z
1+z2⋅4+1+4 = 2
3，
解得z＝0．
故选：A．
【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5 分）（2013•张店区校级模拟）以双曲线
x2
4 −
y2
12 =−1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（
）
A．
x2
16 +
y2
12 = 1
B．
x2
12 +
y2
16 = 1
C．
x2
16 +
y2
4 = 1
D．
x2
4 +
y2
16 = 1
【考点】KF：圆锥曲线的共同特征．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．
【解答】解：双曲线
x2
4 −
y2
12 =−1 的顶点为（0，﹣2 3）和（0，2 3），焦点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆的焦点坐标是为（0，﹣2 3）和（0，2 3），顶点为（0，﹣4）和（0，4）．
∴椭圆方程为
x2
4 +
y2
16 = 1．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．
4．（5 分）（2001•上海）a＝3 是直线ax+2y+3a＝0 和直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7 平行且不重合的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；II：直线的一般式方程与直线的平行关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型．
【分析】两个方面分析本题，分别当a＝3 时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a 的范围．
【解答】解：当a＝3 时，两直线分别为：3x+2y+9＝0，3x+2y+4＝0，
∴两直线斜率相等，则平行且不重合．
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第439页（共926页）
若两直线平行且不重合，则
a
3 =
2
a−1 ≠
3a
−7−a
∴a＝3
综上所述，a＝3 是两直线平行且不重合的充要条件．
故选：C．
【点评】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系
式．
5．（5 分）（2018 秋•博望区校级期末）平面内一点M 到两定点F1（0，﹣5），F2（0，5）的距离之和为10，则M
的轨迹是（
）
A．椭圆
B．圆
C．直线
D．线段
【考点】J3：轨迹方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，由定点F1 和F2 的坐标可得|F1F2|的长，结合椭圆的定义分析可得M 的轨迹为线段F1F2，即
可得答案．
【解答】解：根据题意，两定点F1（0，﹣5），F2（0，5）则|F1F2|＝10，
而动点M 到两定点F1（0，﹣5）和F2（0，5）的距离之和为10，
则M 的轨迹为线段F1F2，
故选：D．
【点评】本题考查曲线的轨迹方程，注意结合椭圆的定义进行分析．
6．
（5 分）
（2011•未央区校级模拟）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1 中，M 为A1C1 与B1D1 的交点．若AB
→
= a
→，
AD
→
= b
→
，AA1
→
= c
→，则下列向量中与BM
→
相等的向量是（
）
A．−1
2 a⃗+ 1
2 b⃗+ c⃗
B．
1
2 a⃗+
1
2 b⃗+ c⃗
C．−1
2 a⃗−1
2 b⃗+ c⃗
D．
1
2 a −
1
2 b + c
【考点】M8：空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出BM
→
．
【解答】解：∵BM
→
= BB1
→
+ B1M
→
= c
→+ 1
2 BD
→
= c
→+ 1
2 (BA
→
+ BC
→
)
= c
→+ 1
2 ( −a
→+ b
→
)
=−1
2 a
→+ 1
2 b
→
+ c
→
故选：A．
【点评】本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间
的关系解决．
7．（5 分）（2014•甘肃二模）过抛物线y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2
＝6，那么|AB|＝（
）
A．6
B．8
C．9
D．10
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法．
【分析】抛物线y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|＝x1+x2+2，由此易得弦
长值．
【解答】解：由题意，p＝2，故抛物线的准线方程是x＝﹣1，
∵抛物线y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点
∴|AB|＝x1+x2+2，
又x1+x2＝6
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第440页（共926页）
∴∴|AB|＝x1+x2+2＝8
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长
的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．
8．（5 分）（2018 秋•博望区校级期末）已知菱形ABCD 边长为1，∠DAB＝60°，将这个菱形沿AC 折成600 的二
面角，则B，D 两点的距离为（
）
A．
3
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
3
4
【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】取AC 中点O，连结DO，BO，BD，则AO＝BO= 1
2 AB = 1
2，DO⊥AC，BO⊥AC，∠DOB 是将这个
菱形沿AC 折成600 的二面角的平面角，由此能求出B，D 两点的距离．
【解答】解：菱形ABCD 边长为1，∠DAB＝60°，将这个菱形沿AC 折成600 的二面角，
取AC 中点O，连结DO，BO，BD，
则AO＝BO= 1
2 AB = 1
2，
DO⊥AC，BO⊥AC，
∴∠DOB 是将这个菱形沿AC 折成600 的二面角的平面角，
∴∠DOB＝60°，
∴B，D 两点的距离为BD= 1
2．
故选：B．
【点评】本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数
形结合思想，是中档题．
9．（5 分）（运城期末）试在抛物线y2＝﹣4x 上求一点P，使其到焦点F 的距离与到A（﹣2，1）的距离之和最小，
则该点坐标为（
）
A．( −1
4 ，1)
B．( 1
4 ，1)
C．( −2，−2 2)
D．( −2，2 2)
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，A 和焦点三点共线且点P 在中间的时候
距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．
【解答】解：∵y2＝﹣4x
∴p＝2，焦点坐标为（﹣1，0）
依题意可知当A、P 及P 到准线的垂足Q 三点共线时，距离之和最小如图，
故P 的纵坐标为1，然后代入抛物线方程求得x=−1
4，
则该点坐标为：（−1
4，1）．
故选：A．
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【点评】本题主要考查了抛物线的定义，充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性，
运用了转化思想和数形结合思想．
10．（5 分）（2018 秋•博望区校级期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，如果AB＝BC＝1，AA1＝2，那么A 到直
线A1C 的距离为（
）
A．
2 6
3
B．
3 6
2
C．
2 3
3
D．
6
3
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由题意可得：连接A1C，AC，过A 作AE⊥A1C，根据长方体得性质可得：A1C⊥平面ABCD，即可得
到AC=
2，A1C=
6，再根据等面积可得答案．
【解答】解：由题意可得：连接A1C，AC，过A 作AE⊥A1C，如图所示：
根据长方体得性质可得：A1A⊥平面ABCD．
因为AB＝BC＝1，AA1＝2，
所以AC=
2，A1C=
6，
根据等面积可得：AE= A1A⋅AC
A1C
= 2 3
3 ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．
11．（5 分）（2019•内蒙古一模）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱线长为1，线段B1D1 上有两个动点E，F，且
EF=
2
2 ，则下列结论中错误的是（
）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A﹣BEF 的体积为定值
D．异面直线AE，BF 所成的角为定值
【考点】L2：棱柱的结构特征．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
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【分析】利用证线面垂直，可证AC⊥BE；判断A 正确；
根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B 正确；
根据三棱锥的底面面积与EF 的位置无关，高也与EF 的位置无关，可判断C 正确；
例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D 错误．
【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A 正确；
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B 正确；
∵EF=
2
2 ，∴△BEF 的面积为定值
1
2 ×EF×1=
2
4 ，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO 为棱锥A﹣BEF 的高，∴三棱
锥A﹣BEF 的体积为定值，故C 正确；
∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E 与D1 重合时sinα= 1
2，α＝30°；当F 与B1 重合时tanα=
2
2 ，∴异面
直线AE、BF 所成的角不是定值，故D 错误；
故选：D．
【点评】本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力
及作图分析能力．
12．（5 分）（2011•天心区校级模拟）若直线y＝kx+2 与双曲线x2﹣y2＝6 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围
是（
）
A．( −15
3 ，
15
3
)
B．(0，15
3 )
C．( −15
3 ，0)
D．( −15
3 ，−1)
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；15：综合题．
【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0 和k＜﹣1 联
立求得k 的范围．
【解答】解：渐近线方程为y＝±x，由y = kx + 2
x2 −y2 = 6消去y，整理得（k2﹣1）x2+4kx+10＝0
设（k2﹣1）x2+4kx+10＝0 的两根为x1，x2，
∵直线y＝kx+2 与双曲线x2﹣y2＝6 的右支交于不同的两点，
∴
x1 + x2 =−
4k
k2−1 ＞0
x1x2 =
10
k2−1 ＞0
，∴k＜﹣1，
∴k＜−1
△= (4k)2 −40(k2 −1)＞0
⇒−15
3 ＜k＜−1
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了函数思想的应用，圆锥曲线与不等式知识的综合．
二.填空题：本大题4 小题，每小题5 分，共20 分.
13．（5 分）（2018 秋•博望区校级期末）已知a
→=（1，1，0），b
→
=（﹣1，0，2），且ka
→+ b
→
与2a
→−b
→
垂直，则k 的
值为
7
5
．
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出ka
→+ b
→
与2a
→−b
→
的坐标，根据两个向量垂直，写出两个向量的数量
积等于0，解出关于k 的方程，得到结果．
【解答】解：∵a
→=（1，1，0），b
→
=（﹣1，0，2），
∴ka
→+ b
→
=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2）
2a
→−b
→
=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，﹣2），
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∵ka
→+ b
→
与2a
→−b
→
垂直，
∴3（k﹣1）+2k﹣4＝0，
∴k= 7
5，
故答案为：
7
5
【点评】本题考查两个向量垂直的充要条件，考查利用方程思想解决向量问题，这种题目的运算量不大，若出现
是一个送分题目．
14．（5 分）（2014 秋•烟台期末）已知（4，2）是直线l 被椭圆
x2
36 +
y2
9 =1 所截得的线段的中点，则l 的方程是
x+2y
﹣8＝0
．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】设直线l 与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），由“点差法”可求出直线l 的斜率k= y1−y2
x1−x2 =−
x1+x2
4(y1+y2) =−
x1+x2
2
4⋅y1+y2
2
=−
4
4×2 =−1
2．再由由点斜式可得l 的方程．
【解答】解：设直线l 与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），
将P1、P2 两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率
k= y1−y2
x1−x2 =−
x1+x2
4(y1+y2) =−x1+x2
2
4⋅y1+y2
2
=−
4
4×2 =−1
2．
由点斜式可得l 的方程为x+2y﹣8＝0．
【点评】本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．
15．（5 分）（2018 秋•博望区校级期末）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E、F 分别是正方体ADD1A1 和
ABCD 的中心，G 是C1C 的中点，设GF、C1F 与AB 所成的角分别为α、β，则α+β等于
π
2
．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，求
出直线的GF、C1E 与AB 的方向向量，利用夹角公式求线线角的余弦值即可．
【解答】解：以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CC1 为z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则B（0，2，0），A（2，2，0），G（0，0，1），F（1，1，0），C1（0，0，2），E（2，1，1），
则BA
→
= (2，0，0)，GF
→
=（1，1，﹣1），C1E
→
=（2，1，﹣1），
∴cos(BA
→
，GF
→
) = 1
3 ，cos(BA
→
，C1E
→
) =
2
3 ∴cosα = 1
3．cosβ=
6
3 ，
∴sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ=
6
3 ×
6
3 + 3
3 ×
3
3 =1，又0＜α+β＜π，
∴α+β= π
2．
故答案是
π
2．
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第444页（共926页）
【点评】本题考查用空间向量为工具解决空间几何问题，本题的关键是求出异面直线所成的角的余弦值后，利用
两角和的正弦求解．
16．（5 分）（2018 秋•博望区校级期末）双曲线的中心为原点O，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右
焦点F 垂直l1 的直线分别交l1，l2 于A，B 两点，已知|OA
→
|，|AB
→
|，|OB
→
|成等差数列，且BF
→
与FA
→
同向，则双曲线
的离心率
5
2
．
【考点】83：等差数列的性质；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由2 个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2 个直
角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．
【解答】解：设双曲线方程为
x2
a2 −
y2
b2 = 1，c2 = a2 + b2由BF
→
，FA
→
同向，
∴渐近线的倾斜角为（0，
π
4），
∴渐近线斜率为：k1 = b
a ＜1 ∴b2
a2 = c2−a2
a2
= e2 −1＜1，∴1＜e2＜2
∴|AB|2＝（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）＝（|OB|﹣|OA|）2|AB|，
∴|AB| = 2(|OB| −|OA|) ∴|OB| −|OA| = 1
2 |AB
|OA| + |OB| = 2|AB
∴|OA| = 3
4 |AB| ∴|OA|2 = 9
16 |AB|2
可得：
|AB|
|OA| =
4
3，而在直角三角形OAB 中，
注意到三角形OAF 也为直角三角形，即tan∠AOB= 4
3
而由对称性可知：OA 的斜率为k＝tan（
π
2 −
1
2 ∠AOB）
∴
2k
1−k2 =
4
3，∴2k2+3k﹣2＝0，∴k = 1
2 (k =−2 舍去)；
∴
b
a =
1
2 ∴
b2
a2 =
c2−a2
a2
=
1
4，∴e2 = 5
4
∴e =
5
2
故答案为
5
2 ．
【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据
|AB|
|OA| =
4
3，
联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．
三.解答题：本大题6 小题，共70 分.
17．
（10 分）
（2018 秋•博望区校级期末）已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣m≥0，命题q：实数m 满足：方程
x2
m−1 +
y2
4−m = 1
表示双曲线．
（Ⅰ）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p 或q”为假命题，求实数m 的取值范围．
【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有
【专题】37：集合思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．
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第445页（共926页）
【分析】（Ⅰ）∀x∈R，x2+x﹣m≥0 恒成立，可得△＝1+4m≤0，从而求得m 的范围；
（Ⅱ）由“p 或q”为假命题，可得p，q 均为假命题，求出当q 为真命题时m 的范围，再由交集与补集的运算
求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵∀x∈R，x2+x﹣m≥0 恒成立，
∴△＝1+4m≤0，解得m≤−1
4，
∴实数m 的取值范围是（﹣∞，−1
4]；
（Ⅱ）∵“p 或q”为假命题，∴p，q 均为假命题，
当q 为真命题时，则（m﹣1）（4﹣m）＜0，解得m＞4 或m＜1．
∴q 为假命题时，1≤m≤4．
由（1）知，p 为假命题时m＞−1
4．
从而m＞−1
4
1 ≤m ≤4
，即1≤m≤4．
∴实数m 的取值范围为1≤m≤4．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，考查恒成立问题的求解方法，考查双曲线的方程，是基础题．
18．（12 分）（衡阳县期末）如图所示，F1，F2 分别为椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1，（a＞b＞0）的左、右两个焦点，A，B
为两个顶点，已知椭圆C 上的点（1，
3
2）到焦点F1，F2 两点的距离之和为4．
（1）求椭圆C 的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C 的焦点F2 作AB 的平行线交椭圆于P，Q 两点，求△F1PQ 的面积．
【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由椭圆定义可得a＝2，将点(1，3
2 )代入椭圆方程求得b2＝3，从而得到c＝1，写出椭圆方程和焦
点坐标；
（2）由条件求出直线PQ 的方程，联立椭圆方程，消去x，得到y 的二次方程，运用韦达定理，可求|y1﹣y2|，
再由面积公式
1
2|F1F2|•|y1﹣y2|计算即得．
【解答】解：（1）由题设知：2a＝4，即a＝2，
将点(1，3
2 )代入椭圆方程得
1
22 +
(3
2)2
b2 = 1，得b2＝3
∴c2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1，
故椭圆方程为
x2
4 +
y2
3 = 1，
焦点F1、F2 的坐标分别为（﹣1，0）和（1，0）．
（2）由（1）知A( −2，0)，B(0，3)，
∴kPQ = kAB =
3
2 ，∴PQ 所在直线方程为y =
3
2 (x −1)，
由
y =
3
2 (x −1)
x2
4 + y2
3 = 1
得8y2 + 4 3y −9 = 0
设P （x1，y1），Q （x2，y2），则y1 + y2 =−3
2 ，y1 ⋅y2 =−9
8，
∴|y1 −y2| =
(y1 + y2)2 −4y1y2 =
3
4 + 4 × 9
8 =
21
2 ，
∴S△F1PQ = 1
2 |F1F2| ⋅|y1 −y2| = 1
2 × 2 × 21
2
=
21
2 ．
【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立消去一个未知数，运用韦达定理求解
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第446页（共926页）
的方法，考查运算能力，属于中档题．
19．（12 分）（2013 秋•中山期末）如图，已知三棱锥O﹣ABC 的侧棱OA，OB，OC 两两垂直，且OA＝1，OB＝
OC＝2，E 是OC 的中点．
（1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；
（2）求直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值．
【考点】LM：异面直线及其所成的角；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【分析】根据题中的条件可建立以O 为原点，OB、OC、OA 分别为X、Y、Z 轴的空间直角坐标系然后利用空
间向量进行求解：
（1）根据建立的空间直角坐标系求出EB
→
，AC
→
然后再利用向量的夹角公式cos＜m
→，n
→＞= m
→⋅n
→
|m
→||n
→|
求出cos＜EB
→
，
AC
→
＞然后根据cos＜EB
→
，AC
→
＞≥0 则异面直线BE 与AC 所成角即为＜EB
→
，AC
→
＞，若cos＜EB
→
，AC
→
＞＜0 则异面
直线BE 与AC 所成角即为π−＜EB
→
，AC
→
＞进而可求出异面直线BE 与AC 所成角的余弦值．
（2）由（1）求出EB
→
和平面ABC 的一个法向量n1
→然后再利用向量的夹角公式cos＜m
→，n
→＞= m
→⋅n
→
|m
→||n
→|
求出cos＜EB
→
，
n1
→＞再根据若cos＜EB
→
，n1
→＞≥0 则直线BE 和平面ABC 的所成角为
π
2 −＜EB
→
，n1
→＞，若cos＜EB
→
，n1
→＞＜0 则
直线BE 和平面ABC 的所成角为＜EB
→
，n1
→＞−π
2然后再根据诱导公式和cos＜EB
→
，n1
→＞的值即可求出直线BE 和
平面ABC 的所成角的正弦值．
【解答】解：（1）以O 为原点，OB、OC、OA 分别为X、Y、Z 轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3 分）
∴EB
→
= (2，−1，0)，AC
→
= (0，2，−1)
∴COS＜＜EB
→
，AC
→
＞＞=
−2
5⋅5 =−2
5
…（5 分）
所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为
2
5 ⋯（6 分）
（2）设平面ABC 的法向量为n1
→= (x，y，z) 则
n1
→⊥AB
→
知n1
→⋅AB
→
= 2x −z = 0
n1
→⊥AC
→
知n1
→⋅AC
→
= 2y −z = 0 取n1
→= (1，1，2)，…（8 分）
则sin＜EB
→
，n1
→＞=
30
30 ⋯（10 分）
故BE 和平面ABC 的所成角的正弦值为
30
30 ⋯（12 分）
【点评】本题主要考察了空间中异面直线所成的角和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难．解
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第447页（共926页）
题的关键是首先正确的建立空间直角坐标系然后可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角而
对于利用向量法求线面角关键是正确求解平面的一个法向量！
20．（12 分）（2018 秋•博望区校级期末）已知直线y＝x﹣m 与抛物线y2＝2x 相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
O 为坐标原点．
（1）当m＝2 时，证明：OA⊥OB
（2）若y1y2＝﹣2m，是否存在实数m，使得OA
→
⋅OB
→
=−1？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．
【分析】（1）问题转化为证明OA
→
•OB
→
=0，联立直线与抛物线，根据韦达定理和向量数量积可证；
（2）假设存在m，使得OA
→
⋅OB
→
=−1，则OA
→
⋅OB
→
=−1⇔x1x2+y1y2＝﹣1⇔
y12
2 •
y22
2 +y1y2＝﹣1，代入y1y2＝﹣
2m 即可．
【解答】解：（1）m＝2 时，联立y = x −2
y2 = 2x 得x2﹣6x+4＝0，则x1+x2＝6，x1x2＝4，
∴OA
→
•OB
→
=x1x2+y1y2＝x1x2+（x1﹣2）（x2﹣2）＝2x1x2﹣2（x1+x2+4＝2×4﹣2×6+4＝0，
∴OA⊥OB．
（2）假设存在m 使得OA
→
•OB
→
=−1，
则x1x2+y1y2= y12
2 •
y22
2 +y1y2= (−2m)2
4
−2m＝m2﹣2m＝﹣1，解得m＝1．
故存在m＝1 符合题意．
【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．
21．（12 分）（2008•山东）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD 为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，
E，F 分别是BC，PC 的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为
6
2 ，求二面角E﹣AF﹣C 的余弦值．
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）要证明AE⊥PD，我们可能证明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我们只要能证明AE⊥AD 即
可，由于底面ABCD 为菱形，故我们可以转化为证明AE⊥BC，由已知易我们不难得到结论．
（2）由EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为
6
2 ，我们分析后可得PA 的值，由（1）的结论，我们进而可以证
明平面PAC⊥平面ABCD，则过E 作EO⊥AC 于O，则EO⊥平面PAC，过O 作OS⊥AF 于S，连接ES，则∠
ESO 为二面角E﹣AF﹣C 的平面角，然后我们解三角形ASO，即可求出二面角E﹣AF﹣C 的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC 为正三角形．
因为E 为BC 的中点，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD 且PA∩AD＝A，
所以AE⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，
所以AE⊥PD．
解：（Ⅱ）设AB＝2，H 为PD 上任意一点，连接AH，EH．
由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，
则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角．
在Rt△EAH 中，AE =
3，
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第448页（共926页）
所以当AH 最短时，∠EHA 最大，
即当AH⊥PD 时，∠EHA 最大．
此时tan∠EHA = AE
AH =
3
AH =
6
2 ，
因此AH =
2．又AD＝2，所以∠ADH＝45°，
所以PA＝2．
因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD．
过E 作EO⊥AC 于O，则EO⊥平面PAC，
过O 作OS⊥AF 于S，连接ES，则∠ESO 为二面角E﹣AF﹣C 的平面角，
在Rt△AOE 中，EO = AE ⋅sin30° =
3
2 ，AO = AE ⋅cos30° = 3
2，
又F 是PC 的中点，在Rt△ASO 中，SO = AO ⋅sin45° = 3 2
4 ，
又SE =
EO2 + SO2 =
3
4 + 9
8 =
30
4 ，
在Rt△ESO 中，cos∠ESO = SO
SE =
3 2
4
30
4
=
15
5 ，
即所求二面角的余弦值为
15
5 ．
【点评】求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠ESO 为二面角
E﹣AF﹣C 的平面角，通过解∠AOC 所在的三角形求得∠ESO．其解题过程为：作∠ESO→证∠ESO 是二面角的
平面角→计算∠ESO，简记为“作、证、算”．
22．（12 分）（怀柔区模拟）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于
3
2 ，它的一个顶点恰好在抛物
线x2＝8y 的准线上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点P（2，3），Q（2，−
3）在椭圆上，A，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点．当A，B 运动时，满足
∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）设椭圆C 的标准方程为
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0），由椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y 的准线y
＝﹣2 上，可得﹣b＝﹣2，解得b．又
c
a =
3
2 ，a2＝b2+c2，联立解得即可．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由∠APQ＝∠BPQ，则PA，PB 的斜率互为相互数，可设直线PA 的斜率为k，
则PB 的斜率为﹣k ，直线PA 的方程为：y −
3 = k （x ﹣2 ），与椭圆的方程联立化为
(1 + 4k2)x2 + 8k( 3 −2k)x +4( 3 −2k)2 −16＝0，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．
【解答】解：（1）设椭圆C 的标准方程为
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0），
∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y 的准线y＝﹣2 上，
∴﹣b＝﹣2，解得b＝2．
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又
c
a =
3
2 ，a2＝b2+c2，
∴a＝4，c = 2 3，
可得椭圆C 的标准方程为
x2
16 +
y2
4 = 1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵∠APQ＝∠BPQ，则PA，PB 的斜率互为相互数，
可设直线PA 的斜率为k，则PB 的斜率为﹣k，
直线PA 的方程为：y −
3 =k（x﹣2），
联立y −
3 = k(x −2)
x2 + 4y2 = 16
，
化为(1 + 4k2)x2 + 8k( 3 −2k)x +4( 3 −2k)2 −16＝0，
∴x1+2= 8k(2k−3)
1+4k2
，
同理可得：x2+2= −8k(−2k−3)
1+4k2
= 8k(2k+ 3)
1+4k2
，
∴x1+x2= 16k2−4
1+4k2 ，x1﹣x2= −16 3k
1+4k2 ，
kAB= y1−y2
x1−x2 = k(x1+x2)−4k
x1−x2
=
3
6 ．
∴直线AB 的斜率为定值
3
6 ．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率
计算公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p 则q”为真时，可表示为p⇒q，称p 为q 的充分条件，q 是p 的必要条件．事实上，与“p⇒q”
等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q 不成立，则p 一定不成立．这就是说，q 对于p 是必不可少的，
所以说q 是p 的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p 一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p 是q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，
记作“p⇔q”．p 与q 互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证
明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆
二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q 为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；
②若p⇒q 为假命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；
③若p⇒q 为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④若p⇒q 为假命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多
以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否
则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真
假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能
判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P 的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个
命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即
可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命
题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在
性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存
在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，
有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关
键
词
等
于
（＝）
大
于
（＞）
小
于
（＜）
是
能
都
是
没
有
至
多
有
一
个
至
少
有
一
个
至
少
有
n
个
至
多
有
n
个
任
意
的
任
两
个
P
且
Q
P
或
Q
否
定
词
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）
不
是
不
能
不
都
是
至
少
有
一
个
至
少
有
两
个
一
个
都
没
有
至
多
有
n﹣1
个
至
少
有
n+1
个
某
个
某
两
个
¬P
或
¬Q
¬P
且
¬Q
若原命题P 为真，则¬P 必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同
假．
3．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的
条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P 不是命题P 的否命题，而是命题P 的否定形
式．对命题“若P 则Q“来说，¬P 是“若P 则非Q”；P 的否命题是“若非P 则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
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“一定不是”的否定是“一定是”．
【解题方法点拨】若p 则q，那么它的否命题是：若¬p 则¬q，命题的否定是：若p 则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量
词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．
【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改
地区常考题型．
4．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等
差数列的公差，公差常用字母d 表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n 项和公式为：Sn＝na1+ d
2n
（n﹣1）或Sn= n(a1+an)
2
（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m 都为自然数）
例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an 且a3，a6 为方程x2﹣10x+16＝0 的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268 是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268 是此数列的第136 项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n
﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要
你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq 是数列中的项，特别地，当s+t＝2p 时，
有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k 均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1 仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
5．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设a
→，b
→
都是非零向量，e
→是与b
→
方向相同的单位向量，a
→与b
→
和夹角为θ，则：
（1）a
→⋅e
→= e
→⋅a
→=|a
→|cosθ；
（2）a
→⊥b
→
⇔a
→⋅b
→
=0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当a
→，b
→
方向相同时，a
→⋅b
→
=|a
→||b
→
|；当a
→，b
→
方向相反时，a
→⋅b
→
=−|a
→||b
→
|；
特别地：a
→⋅a
→=|a
→|2 或|a
→|=
a
→⋅a
→（用于计算向量的模）
（4）cosθ=
a
→⋅b
→
|a
→||b
→
|
（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）|a
→⋅b
→
|≤|a
→||b
→
|
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2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：a
→⋅b
→
= b
→
⋅a
→；
（2）数乘向量的结合律：（λa
→）•b
→
=λ（a
→⋅b
→
）= a
→•（λb
→
）；
（3）分配律：（a
→⋅b
→
）•c
→≠a
→•（b
→
⋅c
→）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（a
→±b
→
）2= a
→2±2a
→•b
→
+ b
→2．②（a
→−b
→
）（a
→+ b
→
）= a
→2−b
→2．③a
→•（b
→
•c
→）
≠（a
→•b
→
）•c
→，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a
→⋅b
→
= b
→
⋅a
→”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a
→+ b
→
）•c
→= a
→⋅c
→+ b
→
⋅c
→”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c
→≠0，a
→⋅c
→= b
→
⋅c
→⇒a
→= c
→”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a
→⋅b
→
|＝|a
→|•|b
→
|”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a
→⋅b
→
）• c
→= a
→⋅(b
→
⋅c
→)”；
⑥“
ac
bc =
a
b”类比得到
a
→⋅c
→
b
→
⋅c
→=
b
→
a
→．以上的式子中，类比得到的结论正确的是
①②
．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“a
→⋅b
→
= b
→
⋅a
→”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a
→+ b
→
）• c
→= a
→⋅c
→+ b
→
⋅c
→”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“ c
→≠0，a
→⋅c
→= b
→
⋅c
→⇒a
→= c
→”，
即③错误；
∵|a
→⋅b
→
|≠|a
→|•|b
→
|，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a
→⋅b
→
|＝|a
→|•|b
→
|”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a
→⋅b
→
）• c
→= a
→⋅(b
→
⋅c
→)”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴
ac
bc =
a
b”不能类比得到
a
→⋅c
→
b
→
⋅c
→=
b
→
a
→，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a
→⋅b
→
= b
→
⋅a
→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”
类比得到“（a
→+ b
→
）•c
→= a
→⋅c
→+ b
→
⋅c
→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“ c
→≠0，
a
→⋅c
→= b
→
⋅c
→⇒a
→= c
→”；|a
→⋅b
→
|≠|a
→|•|b
→
|，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a
→⋅b
→
|＝|a
→|•|b
→
|”；向量的数量积不满足结
合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a
→⋅b
→
）• c
→= a
→⋅(b
→
⋅c
→)”；向量的数量积不满足消元律，故
ac
bc =
a
b”
不能类比得到
a
→⋅c
→
b
→
⋅c
→=
b
→
a
→．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，
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第453页（共926页）
所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
6．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【概念】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量
的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如a
→=（1，0，1），b
→
=（2，0，﹣2），那么a
→与b
→
垂直，有a
→
•b
→
=1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【例题解析】
例：与向量( −3
5，
4
5 )垂直的向量可能为（
）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵( −3
5，
4
5 )•（3，﹣4）=−9
5 −16
5 =−5，∴A 不成立；
对于B：∵( −3
5，
4
5 )•（﹣4，3）= 12
5 + 12
5 = 24
5 ，∴B 不成立；
对于C：∵( −3
5，
4
5 )•（4，3）=−12
5 + 12
5 = 0，∴C 成立；
对于D：∵( −3
5，
4
5 )•（4，﹣3）=−12
5 −12
5 =−24
5 ，∴D 不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量( −3
5，
4
5 )和A，B，C，D 四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不
垂直．
【考点分析】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
7．直线的一般式方程与直线的平行关系
【知识点的知识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B 不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=−A
Bx−C
B，
表示斜率为−A
B，y 轴上截距为−C
B的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0 平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0 垂直的直线，可设
所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2 的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1 不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2 不同
时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1 与l2 重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1 与l2 相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0 时，则l1∥l2⇔
A1
A2
=
B1
B2
≠
C1
C2
；l1 与l2 重合⇔
A1
A2
=
B1
B2
=
C1
C2
；l1 与l2 相交⇔
A1
A2
≠
B1
B2
．
8．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按
某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y 存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，
就是含有变量x、y 的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）
＝0 的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
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（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M 的坐标；
（2）列式：写出适合条件p 的点M 的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0 为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点
到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关
键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P 的坐标（x，y）表示已知动点M 的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，
y），再将x0，y0 代入M 满足的条件F（x0，y0）＝0 中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点
法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
9．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和
短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
c
a叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e= c
a，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
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e 越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为
x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
10．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
11．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
12．圆锥曲线的共同特征
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【知识点的知识】
圆锥曲线的共同特征：
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到定直线的距离之比为定值e．当0＜e＜1 时，圆锥曲线是椭圆；当e
＞1 时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1 时，圆锥曲线是抛物线．其中定点是圆锥曲线的一个焦点，定直线是相应于这
个交点的准线．
13．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联
立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C 上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C 的离心率e = 1
2．
（1）求圆锥曲线C 的方程；
（2）设经过点F2 的任意一条直线与圆锥曲线C 相交于A、B，试证明在x 轴上存在一个定点P，使PA
→
⋅PB
→
的值是
常数．
解：（1）依题意，设曲线C 的方程为
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵e = c
a = 1
2，
∴a＝2，
∴b =
a2 −c2 =
3，
所求方程为
x2
4 +
y2
3 = 1．
（2）当直线AB 不与x 轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由
x2
4 + y2
3 = 1
y = k(x −1)
，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而xA + xB =
8k2
3+4k2，xA ⋅xB = 4(k2−3)
3+4k2 ，
设P（t，0），则
PA
→
⋅PB
→
= (xA −t)(xB −t) + yAyB = (k2 + 1)xAxB −(t + k2)(xA + xB) + (k2 + t2) = 3t2−12+(−5−8t+4t2)k2
3+4k2
当
3t2−12
3
=
−5−8t+4t2
4
，
解得t = 11
8
此时对∀k∈R，PA
→
⋅PB
→
=−135
64 ；
当AB⊥x 轴时，直线AB 的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，yA(yB) =± 3
2，
对t = 11
8 ，PA
→
⋅PB
→
= (xA −t)(xB −t) + yAyB = 9
64 −9
4 =−135
64 ，
即存在x 轴上的点P( 11
8 ，0)，使PA
→
⋅PB
→
的值为常数−135
64 ．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关
系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c 中的两个
值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当
的放到最后做．
14．棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个多边形的公共边都互相平行，由这些面所围
成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
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侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
棱柱
1．两个底面互相平行
2．侧面都是四边形
3．侧棱互相平行
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正
棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V 棱柱＝S×h．
15．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b 是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′
所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，
π
2]．当θ＝90°时，称两
条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
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16．空间中直线与直线之间的位置关系
【知识点的认识】
空间两条直线的位置关系：
位置关系
共面情况
公共点个数
图示
相交直线
在同一平面内
有且只有一个
平行直线
在同一平面内
无
异面直线
不同时在任何一个平
面内
无
17．平面与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
平面与平面之间的位置关系：
位置关系
公共点个数
符号表示
图示
两平面平行
无
α∥β
两平面相交
有一条公共直线
α∩β＝l
18．空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量a
→、b
→
，在空间中任取一点O，作OA
→
= a
→，OB
→
= b
→
，则∠AOB 叫做向量a
→与b
→
的夹角，记作＜a
→，
b
→
＞．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量a
→、b
→
，则|a
→||b
→
|cos＜a
→，b
→
＞叫做向量a
→与b
→
的数量积，记作a
→•b
→
，即a
→•b
→
=|a
→||b
→
|cos＜a
→，
b
→
＞
（2）几何意义：a
→与b
→
的数量积等于a
→的长度|a
→|与b
→
在a
→的方向上的投影|b
→
|cosθ的乘积，或b
→
的长度|b
→
|与a
→在b
→
的方向
上的投影|a
→|cosθ的乘积．
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律：(λa
→) ⋅b
→
=λ（a
→⋅b
→
）= a
→•（λb
→
）
a
→⋅b
→
= b
→
⋅a
→
（2）分配律：a
→⋅(b
→
+ c
→) = a
→⋅b
→
+ a
→⋅c
→．
4．数量积的理解
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（1）书写向量的数量积时，只能用符号a
→⋅b
→
，而不能用符号a
→× b
→
，也不能用a
→b
→
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符
号由夹角的余弦值决定．
（3）当a
→≠0
→
时，由a
→⋅b
→
=0 不能推出b
→
一定是零向量，这是因为任一个与a
→垂直的非零向量b
→
，都有a
→⋅b
→
= 0
【解题方法点拨】
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：
利用数量积求两点间的距离：
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将
此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a
→|=
a
→⋅a
→
求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．
利用数量积证明垂直关系：
（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断a
→⊥b
→
时，须指明a
→≠0
→
，b
→
≠0
→
；
（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a
→，b
→
，c
→
的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
【命题方向】
求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量
积计算问题都离不开运算律的运用．
例：已知2a
→+ b
→
=（2，﹣4，1），且b
→
=（0，2，﹣1），则a
→•b
→
=
﹣7
分析：通过2a
→+ b
→
=（2，﹣4，1），且b
→
=（0，2，﹣1），求出向量a
→的坐标，然后进行向量的数量积的坐标运算．
解答：∵2a
→+ b
→
=（2，﹣4，1），且b
→
=（0，2，﹣1），
∴a
→=（1，﹣3，1），
∴a
→•b
→
=1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；
故答案为：﹣7．
点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．
19．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量a
→，b
→
，c
→不共面，那么对空间任一向量p
→，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p
→=xa
→+yb
→
+zc
→．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a
→，b
→
，c
→都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{e1
→，e2
→，e3
→}
表示．
3．空间直角坐标系
在空间选定一点O 和一个单位正交基底{e1
→，e2
→，e3
→}，以点O 为原点，分别以e1
→，e2
→，e3
→的正方向建立三条数
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轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O﹣xyz．
其中，点O 叫做原点，向量e1
→，e2
→，e3
→都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．
4．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p
→，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP
→
= p
→，由空间向量基本
定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p
→= xe1
→+ ye2
→+ ze3
→．把x，y，z 称作向量p
→在单位正交基底e1
→，e2
→，e3
→
下的坐标，记作p
→=（x，y，z）．
【解题方法点拨】
1．基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量
定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得a
→+ b
→
= λ(b
→
+
c
→) + μ(c
→+ a
→)，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
2．空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：
（1）观察图形：充分观察图形特征；
（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；
（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．
3．用基底表示向量
用基底表示向量时，
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量
的模及其夹角是否已知或易求．
20．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，
π
2）；直线和平面所成的角的范围为[0，
π
2]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交
直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面
所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线
在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线
这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一
切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根
据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三
角形求得．
（2）向量求法：设直线l 的方向向量为a
→，平面的法向量为u
→，直线与平面所成的角为θ，a
→与u
→的夹角为φ，则有sinθ
＝|cos φ|= |a
→⋅u
→|
|a
→||u
→|
．
21．二面角的平面角及求法
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【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部
分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣
Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，
则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的
另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所
成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为u
→和v
→，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜u
→，v
→＞≤π
2，θ= ＜u
→，v
→＞，此时cosθ＝cos＜u
→，v
→＞=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
（2）当
π
2 ＜＜u
→，v
→＞≤π时，θ＝cos（π−＜u
→，v
→＞）＝﹣cos＜u
→，v
→＞=−=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
22．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
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2018-2019 学年重庆一中高二（上）期末数学试卷（理科）
一.选择题.（每小题5 分，共60 分）
1．（5 分）（沙坪坝区校级期末）若命题“p∧q”为假，且“￢p”为假，则（
）
A．p 且q 为真
B．q 假
C．q 真
D．p 假
2．（5 分）（沙坪坝区校级期末）当函数y＝x•ex 取极小值时，x＝（
）
A．2
B．﹣2
C．﹣1
D．1
3．（5 分）（沙坪坝区校级期末）若抛物线y2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离为（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
4．（5 分）（沙坪坝区校级期末）设函数f（x）＝ex+a•e
﹣x 的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数，则a 的值为
（
）
A．1
B．−1
2
C．
1
2
D．﹣1
5．（5 分）（2013•浙江模拟）设平面α与平面β相交于直线l，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥l，则“a
⊥b”是“α⊥β”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5 分）（沙坪坝区校级期末）已知P 是椭圆
x2
25 +
y2
b2 =1（0＜b＜5）上除顶点外的一点，F1 是椭圆的左焦点，若
|
1
2（OP
→
+ OF1
→
）|＝4，则点P 到该椭圆左焦点的距离为（
）
A．6
B．4
C．2
D．
5
2
7．（5 分）（沙坪坝区校级期末）在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥底面ABC，D 是PC 的中点，已知∠BAC= π
2，AB＝2，
AC＝2 3，PA＝2，则异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为（
）
A．
3
4
B．
3
8
C．
1
4
D．
1
8
8．（5 分）（2018•南充模拟）已知一个棱长为2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截
面的面积为（
）
A．
9
2
B．4
C．3
D．
3 10
2
9．（5 分）（沙坪坝区校级期末）给出定义：设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导
函数，若f″（x）有零点x0，则称点（x0，f（x0））为原函数y＝f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=
sinx
sinx+cosx
的拐点是M（x0，f（x0）），则点M（
）
A．在直线y＝﹣3x 上
B．在直线y＝3x 上
C．在直线y= 1
3上
D．在直线y= 1
2上
10．（5 分）（2018•乐山三模）设双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交
两渐近线于A，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O 为坐标原点，若OP
→
=λOA
→
+μOB
→
（λ，μ∈R），λ
•μ= 3
16，则双曲线的离心率为（
）
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A．
2 3
3
B．
3 5
5
C．
3 2
2
D．
9
8
11．
（5 分）
（沙坪坝区校级期末）已知球O 的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为（
）
A．4
B．6
C．8
D．12
12．（5 分）（2017•深圳二模）设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx−lnx
λ ≥0 恒成立，则λ的最小值为
（
）
A．
1
e
B．
1
2e
C．
2
e
D．
e
3
二.填空题.（每小题5 分，共20 分）
13．（5 分）（2015•齐齐哈尔二模）若1
a
׬ （2x+ 1
x）dx＝3+ln2（a＞1），则a 的值是
．
14．（5 分）（沙坪坝区校级期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为a，AM
→
= 1
2 MC1
→
，点N 为B1B 的中点，
则|MN|＝
．
15．（5 分）（2013•东至县一模）若函数f（x）＝2x2﹣lnx 在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函
数，则实数k 的取值范围是
．
16．（5 分）（沙坪坝区校级期末）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的一个焦点为F（3，0），A 为椭圆C 的右
顶点，以A 为圆心的圆A 与直线y= b
ax 相交于P，Q 两点，且AP
→
⋅AQ
→
=0，OP
→
=3OQ
→
，则圆A 的半径为
．
三.解答题.（共6 小题，共70 分）
17．（10 分）（沙坪坝区校级期末）已知三次函数f（x）＝x3−3
2ax2+b（a，b∈R）．
（1）若曲线y＝f（x）在点（a+1，f（a+1））处切线的斜率为12，求a 的值；
（2）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣2，最大值为1 且a＞1，求函数f（x）的解析式．
18．（12 分）（沙坪坝区校级期末）四棱锥P﹣ABCD 的底面是边长为1 的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD=
2，E，
F 为PD 上两点，且PF＝ED= 1
3PD．
（1）求证：BF∥面ACE；
（2）求BF 与平面PCD 所成角的正弦值．
19．（12 分）（沙坪坝区校级期末）已知F（0，1），直线l：y＝﹣1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足
为Q，且QP
→
⋅QF
→
= FP
→
⋅FQ
→
，P 点的轨迹为曲线C．
（1）求C 的方程；
（2）若A（0，2），l 为C 在P 点处的切线，求点A 到l 距离的最小值．
20．（12 分）（沙坪坝区校级期末）如图，四边形ABCD 是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2CB＝4，在
梯形ACEF 中，EF∥AC，且AC＝2EF，EC⊥平面ABCD．
（1）求证：面FEB⊥面CEB；
（2）若二面角D﹣AF﹣C 的大小为
π
4，求几何体ABCDEF 的体积．
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21．（12 分）（沙坪坝区校级期末）从椭圆C：
x2
2 +
y2
b2 =1（b＞0）上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦
点F1，M 是椭圆的右顶点，N 是椭圆的上顶点，且MN
→
=λOP
→
（λ＞0）．
（1）求该椭圆C 的方程；
（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，已知OA，直线l，OB 的斜率k1，k，k2 成等比数列，记以
OA，OB 为直径的圆的面积分别为S1，S2，求证：S1+S2 为定值，并求出定值．
22．（12 分）（沙坪坝区校级期末）已知n∈N*，函数fn（x）＝x﹣nlnx，fn（x）′是fn（x）的导函数．
（1）当n＝3 时，求函数y＝f3（x）在（0，+∞）内的零点的个数．
（2）对于0＜α＜β，若存在θ使得fn（α）﹣fn（β）＝f′n（θ）（α﹣β），试比较α+β与2θ的大小．
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2018-2019 学年重庆一中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题.（每小题5 分，共60 分）
1．（5 分）（沙坪坝区校级期末）若命题“p∧q”为假，且“￢p”为假，则（
）
A．p 且q 为真
B．q 假
C．q 真
D．p 假
【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5L：简易逻辑．
【分析】直接利用复合命题的真假判断即可得答案．
【解答】解：∵“￢p”为假，则p 为真，
又“p∧q”为假，则q 为假．
故选：B．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，是基础题．
2．（5 分）（沙坪坝区校级期末）当函数y＝x•ex 取极小值时，x＝（
）
A．2
B．﹣2
C．﹣1
D．1
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；52：导数的概念及应用．
【分析】根据题意，由函数的解析式对其求导可得f′（x），再令f′（x）＝0，解可得x＝﹣1，分析x＝﹣1 左
右导函数的符号即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数y＝x•ex，
其导数f′（x）＝（x•ex）′＝（x）′ex+x•（ex）′＝（1+x）ex，
令f′（x）＝0，即（1+x）ex＝0 可得x＝﹣1，
分析可得：当x＜﹣1 时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，
当x＞﹣1 时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，
则当x＝﹣1 时，函数y＝x•ex 取极小值；
故选：C．
【点评】本题考查函数导数与函数极值的计算，注意函数极值与函数导数的关系即可．
3．（5 分）（沙坪坝区校级期末）若抛物线y2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离为（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线的性质得出M 到准线x＝﹣1 的距离为10，故到y 轴的距离为9．
【解答】解：抛物线的准线为x＝﹣1，
∵点M 到焦点的距离为10，
∴点M 到准线x＝﹣1 的距离为10，
∴点M 到y 轴的距离为9．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
4．（5 分）（沙坪坝区校级期末）设函数f（x）＝ex+a•e
﹣x 的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数，则a 的值为
（
）
A．1
B．−1
2
C．
1
2
D．﹣1
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；63：导数的运算．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】求导数，由f′（x）是奇函数可得f′（0）＝0，解方程可得a 值．
【解答】解：求导数可得f′（x）＝（ex+ae
﹣x）′＝（ex）′+a（e
﹣x）′＝ex﹣ae
﹣x，
∵f′（x）是奇函数，
∴f′（0）＝1﹣a＝0，
解得a＝1
故选：A．
【点评】本题考查导数的运算，涉及函数的奇偶性，属基础题．
5．（5 分）（2013•浙江模拟）设平面α与平面β相交于直线l，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥l，则“a
⊥b”是“α⊥β”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】分析题可知：在题目的前提下，由“a⊥b”不能推得“α⊥β”，由面面垂直的性质定理可由“α⊥β”推
出“a⊥b”，从而可得答案．
【解答】解：由题意可得α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若再满足a⊥b，则不能推得α⊥β；
但若满足α⊥β，由面面垂直的性质定理可得a⊥b
故“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充要条件的判断，涉及空间中的线面位置关系，属基础题．
6．（5 分）（沙坪坝区校级期末）已知P 是椭圆
x2
25 +
y2
b2 =1（0＜b＜5）上除顶点外的一点，F1 是椭圆的左焦点，若
|
1
2（OP
→
+ OF1
→
）|＝4，则点P 到该椭圆左焦点的距离为（
）
A．6
B．4
C．2
D．
5
2
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】如图所示，取线段PF1 的中点为G，连接OG．由|
1
2（OP
→
+ OF1
→
）|＝4，可得OG＝4．根据三角形中位
线定理可得：OG 为△PF1F2 的中位线，可得|PF2|＝2|OG|．再利用椭圆的定义即可得出．
【解答】解：如图所示，取线段PF1 的中点为G，连接OG．
∵|
1
2（OP
→
+ OF1
→
）|＝4，∴OG＝4．
∵OG 为△PF1F2 的中位线，∴|PF2|＝2|OG|＝8．
∴|PF1|＝2×5﹣8＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程定义及其性质、平行四边形法则、三角形中位线定理，考查了推理能力与计
算能力，属于中档题．
7．（5 分）（沙坪坝区校级期末）在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥底面ABC，D 是PC 的中点，已知∠BAC= π
2，AB＝2，
AC＝2 3，PA＝2，则异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为（
）
A．
3
4
B．
3
8
C．
1
4
D．
1
8
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线
BC 与AD 所成角的余弦值．
【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥底面ABC，D 是PC 的中点，
∠BAC= π
2，AB＝2，AC＝2 3，PA＝2，
∴以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），C（0，2 3，0），A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，3，1），
BC
→
=（﹣2，2 3，0），AD
→
=（0，3，1），
设异面直线BC 与AD 所成角为θ，
则cosθ= |BC
→
⋅AD
→
|
|BC
→
|⋅|AD
→
|
=
6
16⋅4 = 3
4．
∴异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为
3
4．
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第469页（共926页）
故选：A．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考
查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
8．（5 分）（2018•南充模拟）已知一个棱长为2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截
面的面积为（
）
A．
9
2
B．4
C．3
D．
3 10
2
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】由三视图还原原几何体，得到截面为等腰梯形，求出其上下底边的长度及高，代入梯形面积公式得答案．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
截面是等腰梯形FHDE，
∵正方体的棱长为2，
∴FH= 2 2，DE=
2，梯形的高为22 + ( 2
2 )2 = 3 2
2 ．
∴该截面的面积为S= 1
2 ( 2 + 2 2) × 3 2
2
= 9
2．
故选：A．
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
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第470页（共926页）
9．（5 分）（沙坪坝区校级期末）给出定义：设f′（x）是函数y＝f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导
函数，若f″（x）有零点x0，则称点（x0，f（x0））为原函数y＝f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=
sinx
sinx+cosx
的拐点是M（x0，f（x0）），则点M（
）
A．在直线y＝﹣3x 上
B．在直线y＝3x 上
C．在直线y= 1
3上
D．在直线y= 1
2上
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】根据拐点的定义，结合导数公式求出M 的坐标，利用直线的斜率公式进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）=
sinx
sinx+cosx，
∴f′（x）=
1
(sinx+cosx)2，
f''（x）= 2sinx−2cosx
(sinx+cosx)2，
由f''（x）＝0，得x= π
4，
f（
π
4）=
sinπ
4
sinπ
4+cosπ
4
= 1
2，
∴M（
π
4，
1
2）．
∴点M 在直线y= 1
2上．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据拐点的定义求出M 的坐标是解决本题的关键，考查运算求解能
力，考查函数与方程思想，是中档题．
10．（5 分）（2018•乐山三模）设双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交
两渐近线于A，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O 为坐标原点，若OP
→
=λOA
→
+μOB
→
（λ，μ∈R），λ
•μ= 3
16，则双曲线的离心率为（
）
A．
2 3
3
B．
3 5
5
C．
3 2
2
D．
9
8
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P 的坐标，由已知向量式可得λ+μ＝1，λ﹣μ= b
c，解之可得λμ的值，由
λμ = 3
16可得a，c 的关系，由离心率的定义可得．
【解答】解：双曲线的渐近线为：y＝±
b
ax，设焦点F（c，0），则A（c，
bc
a ），B（c，−bc
a ），P（c，
b2
a ），
∵OP
→
= λOA
→
+ μOB
→
，∴（c，
b2
a ）＝（（λ+μ）c，（λ﹣μ）
bc
a ），
∴λ+μ＝1，λ﹣μ= b
c，解得λ= c+b
2c ，μ= c−b
2c ，
又由λμ= 3
16得
c+b
2c ×
c−b
2c =
3
16，解得
a2
c2 =
3
4，
∴e= c
a = 2 3
3
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属中档题．
11．
（5 分）
（沙坪坝区校级期末）已知球O 的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为（
）
A．4
B．6
C．8
D．12
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；44：数形结合法；5Q：立体几何．
【分析】先设正四棱锥S﹣ABCD 的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，得到x 与a，R 之间的关系，又
正四棱锥的高为h＝R+x，从而得出正四棱锥体积关于x 的函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥
体积的最大值．
【解答】解：设正四棱锥S﹣ABCD 的底面边长等于a，
底面到球心O 的距离等于x，
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第471页（共926页）
则x2+（
2
2 aa）2＝36，
而正四棱锥的高为h＝6+x，
故正四棱锥体积为：
V（x）= 1
3a2h= 1
3（72﹣2x2）（6+x）= 2
3（36﹣x2）（6+x）
= 1
3（12﹣2x）（6+x）（6+x）
≤1
3 ×（
12−2x+6+x+6+x
3
）3= 512
3 ，
当且仅当x＝2 时，等号成立，即正四棱锥体积取得最大值．
那么正四棱锥的高为h＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了球内接多面体、棱锥的体积等基本知识，考查了空间想象力，属于中档题．
12．（5 分）（2017•深圳二模）设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx−lnx
λ ≥0 恒成立，则λ的最小值为
（
）
A．
1
e
B．
1
2e
C．
2
e
D．
e
3
【考点】3R：函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】由题意可得（eλx−lnx
λ ）min≥0，设f（x）＝eλx−lnx
λ ，x＞0，求出导数和单调区间、极小值点m 和最小
值点，可令最小值为0，解方程可得m，λ，进而得到所求最小值．
【解答】解：实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx−lnx
λ ≥0 恒成立，
即为（eλx−lnx
λ ）min≥0，
设f（x）＝eλx−lnx
λ ，x＞0，f′（x）＝λeλx−1
λx，
令f′（x）＝0，可得eλx= 1
λ2x，
由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，
可得y＝eλx 和y= 1
λ2x有且只有一个交点，
设为（m，n），当x＞m 时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜m 时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x＝m 处取得极小值，且为最小值．
即有eλm=
1
λ2m，令eλm−lnm
λ
=0，
可得m＝e，λ= 1
e．
则当λ≥1
e时，不等式eλx−lnx
λ ≥0 恒成立．
则λ的最小值为
1
e．
另解：由于y＝eλx 与y= lnx
λ 互为反函数，
故图象关于y＝x 对称，考虑极限情况，y＝x 恰为这两个函数的公切线，
此时斜率k＝1，再用导数求得切线斜率的表达式为k= 1
λe，
即可得λ的最小值为
1
e．
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第472页（共926页）
故选：A．
【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及运用导数求得单调区间、极值和最值，考
查方程思想，以及运算能力，属于中档题．
二.填空题.（每小题5 分，共20 分）
13．（5 分）（2015•齐齐哈尔二模）若1
a
׬ （2x+ 1
x）dx＝3+ln2（a＞1），则a 的值是
2
．
【考点】67：定积分、微积分基本定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据题意找出2x+ 1
x的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a 值；
【解答】解：1
a
׬
(2x + 1
x )dx =（x2+lnx）|1
a =a2+lna﹣（1+ln1）＝3+ln2，a＞1，
∴a2+lna＝4+ln2＝22+ln2，解得a＝2，
故答案为：2；
【点评】此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一道基础题．
14．（5 分）（沙坪坝区校级期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为a，AM
→
= 1
2 MC1
→
，点N 为B1B 的中点，
则|MN|＝
21
6 a
．
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出|MN|．
【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为a，
AM
→
= 1
2 MC1
→
，点N 为B1B 的中点，
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则A（a，0，0），C1（0，a，a），M（
2a
3 ，
a
3，
a
3），
N（a，a，
a
2），
∴|MN|=
(a −2a
3 )2 + (a −a
3 )2 + ( a
2 −a
3 )2 =
21
6 a．
故答案为：
21
6 a．
【点评】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、
推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
15．（5 分）（2013•东至县一模）若函数f（x）＝2x2﹣lnx 在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函
数，则实数k 的取值范围是
[1，
3
2）
．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【分析】先对函数进行求导，根据导函数大于0 时原函数单调递增，导函数小于0 时原函数单调递减得解．
【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），
又f'（x）＝4x−1
x，由f'（x）＝0，得x= 1
2．
据题意，k −1＜1
2 ＜k + 1
k −1 ≥0
，解得1≤k＜3
2
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故答案为：[1，
3
2）
【点评】本题主要考查函数的单调性与导函数的关系．属基础题．
16．（5 分）（沙坪坝区校级期末）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的一个焦点为F（3，0），A 为椭圆C 的右
顶点，以A 为圆心的圆A 与直线y= b
ax 相交于P，Q 两点，且AP
→
⋅AQ
→
=0，OP
→
=3OQ
→
，则圆A 的半径为
2 10
5
．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；44：数形结合法；5C：向量与圆锥曲线．
【分析】由题意画出图形，结合已知求得a，b，可得椭圆方程，求出A 到直线y= b
a x 的距离，进一步可得圆A
的半径．
【解答】解：如图，设T 为线段PQ 的中点，连接AT，
则AT⊥PQ，|AT|= 1
2|PQ|，
又OP
→
= 3OQ
→
，则|OT|＝|PQ|，
∴
|AT|
|OT| =
1
2，即
b
a =
1
2，由已知c=
3，
则a2＝4，b2＝1，
故椭圆方程为
x2
4 + y2 = 1．
又|AT|2+|OT|2＝4，则|AT|2+4|AT|2＝4，
可得|AT|= 2 5
5 ，则r＝|AP|= 2 10
5 ．
故答案为：
2 10
5
．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆、椭圆位置关系的应用，是中档题．
三.解答题.（共6 小题，共70 分）
17．（10 分）（沙坪坝区校级期末）已知三次函数f（x）＝x3−3
2ax2+b（a，b∈R）．
（1）若曲线y＝f（x）在点（a+1，f（a+1））处切线的斜率为12，求a 的值；
（2）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为﹣2，最大值为1 且a＞1，求函数f（x）的解析式．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得a 的值；
（2）求得f（x）的极值点和极值，端点处的函数值，可得f（x）的最值，解方程可得a，b，即可得到f（x）的
解析式．
【解答】解：因为三次函数f（x）＝x3−3
2ax2+b 的导数为f′（x）＝3x2﹣3ax，
（1）由导数的几何意义可得切线的斜率为k＝3（a+1）2﹣3a（a+1）＝12，
∴3a＝9，∴a＝3；
（2）由f′（x）＝3x（x﹣a）＝0 得x1＝0，x2＝a，
∵x∈[﹣1，1]，且a＞1，
∴当x∈[﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0），
∵f（0）＝b，∴b＝1，
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∵f（1）＝1−3
2a+1＝2−3
2a，f（﹣1）＝﹣1−3
2a+1=−3
2a，
∴f（﹣1）＜f（0），∴f（﹣1）是函数f（x）的最小值，
∴−3
2a＝﹣2，∴a= 4
3，
∴f（x）＝x3﹣2x2+1．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
18．（12 分）（沙坪坝区校级期末）四棱锥P﹣ABCD 的底面是边长为1 的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD=
2，E，
F 为PD 上两点，且PF＝ED= 1
3PD．
（1）求证：BF∥面ACE；
（2）求BF 与平面PCD 所成角的正弦值．
【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）连结BD，交AC 于点O，连结OE，则EO∥BF，由此能证明BF∥平面ACE．
（2）推导出PA⊥CD，PA⊥AD，从而PA⊥面ABCD，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，
建立坐标系，利用向量法能求出BF 与平面PCD 所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）连结BD，交AC 于点O，连结OE．
∵ED＝EF，DO＝BO，∴EO∥BF，
∵EO⊂平面ACE，EF⊄平面ACE，
∴BF∥平面ACE．
解：（2）∵PA⊥CD，又PA2+AD2＝PD2，∴PA⊥AD，
∵CD∩AD＝D，∴PA⊥面ABCD，
以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立坐标系．
则B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），C（1，1，0），
F（0，
1
3 ，
2
3），E（0，
2
3 ，
1
3），
CP
→
=（﹣1，﹣1，1），CE
→
=（﹣1，−1
3 ，1
3），BF
→
=（﹣1，
1
3 ，
2
3），
设面PCD 法向量n
→=（x，y，z），
则
n
→⋅CP
→
=−x −y + z = 0
n
→⋅CE
→
=−x −1
3 y + 1
3 z = 0
，
取y＝1，得n
→=（0，1，1），
令BF 与平面PCD 所成角为α，
则sinα＝|cos＜BF
→
，n
→＞|= |BF
→
⋅n
→|
|BF
→
|⋅|n
→|
= 3 7
14 ．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
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基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
19．（12 分）（沙坪坝区校级期末）已知F（0，1），直线l：y＝﹣1，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足
为Q，且QP
→
⋅QF
→
= FP
→
⋅FQ
→
，P 点的轨迹为曲线C．
（1）求C 的方程；
（2）若A（0，2），l 为C 在P 点处的切线，求点A 到l 距离的最小值．
【考点】J3：轨迹方程．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）设出点P（x，y）代入题中向量等式，整理可得到点P 轨迹C 的方程为x2＝4y；
（2）设P（x0，y0）为C 上的点，求导，写出C 在P 点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得A 点
到l 距离，然后利用基本不等式求出其最小值．
【解答】解：（1）设P（x，y），则Q（x，﹣1），
∵QP
→
⋅QF
→
= FP
→
⋅FQ
→
，
∴（0，y+1）•（﹣x，2）＝（x，y﹣1）•（x，﹣2）．
即2（y+1）＝x2﹣2（y﹣1），即x2＝4y，
∴动点P 的轨迹C 的方程x2＝4y；
（2）设P（x0，y0）为曲线C：y= 1
4x2 上一点，
∵y′= 1
2x，
∴l 的斜率为
1
2x0，
因此直线l 的方程为y﹣y0= 1
2x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0＝0．
则A 点到l 的距离d= |4−2y0|
x0
2+4
=2× |y0+2|
4y0+4
= y0+2
y0+1
=
y0 + 1 +
1
y0+1
≥2．
∴A 点到l 距离的最小值为2．
【点评】此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到
直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
20．（12 分）（沙坪坝区校级期末）如图，四边形ABCD 是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2CB＝4，在
梯形ACEF 中，EF∥AC，且AC＝2EF，EC⊥平面ABCD．
（1）求证：面FEB⊥面CEB；
（2）若二面角D﹣AF﹣C 的大小为
π
4，求几何体ABCDEF 的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）由余弦定理求出AC，得出AC⊥BC，又AC⊥CE 得出AC⊥平面BCE，于是EF⊥平面BCE，故
而平面BEF⊥平面BCE；
（2）以C 为原点建立坐标系，设CE＝h，求出平面ADF 和平面ACF 的法向量n
→，CB
→
，令|cos＜n
→，CB
→
＞|=
2
2
解出h，于是几何体ABCDEF 的体积V＝VD﹣ACEF+VB﹣ACEF．
【解答】证明：（1）∵AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，∴AC=
AB2 + BC2 −2AB ⋅BC ⋅cos60° =2 3．
∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC．
∵CE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴CE⊥AC，又CE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，DE∩BC＝C，
∴AC⊥平面BCE，
∵AC∥EF，∴EF⊥平面BCE，
又EF⊂平面BEF，
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∴平面BEF⊥平面BCE．
（2）以C 为原点，以CA，CB，CE 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
设CE＝h，则C（0，0，0），A（2 3，0，0），F（3，0，h），D（3，﹣1，0），B（0，2，0）．
∴AD
→
=（−
3，﹣1，0），AF
→
=（−
3，0，h），
设平面ADF 的法向量为n
→=（x，y，z），则n
→⋅AD
→
= 0
n
→⋅AF
→
= 0
，
∴−
3x −y = 0
−
3x + hz = 0
，令z=
3得n
→=（h，−
3h，3）．
∵BC⊥平面ACEF，∴CB
→
=（0，2，0）为平面ACF 的一个法向量，
∴cos＜n
→，CB
→
＞=
n
→⋅CB
→
|n
→||CB
→
|
=
−2 3h
2⋅4h2+3 =−
3h
4h2+3．
∴
3h
4h2+3
=cos45°=
2
2 ，
解得h=
6
2 ．即CE=
6
2 ．
∴VD﹣ACEF= 1
3 S梯形ACEF ⋅|yD| = 1
3 × 1
2 × ( 3 + 2 3) × 6
2 × 1 = 3 2
4 ．
VB﹣ACEF= 1
3 S梯形ACEF ⋅BC = 1
3 × 1
2 × ( 3 + 2 3) × 6
2 × 2 = 3 2
2 ．
∴几何体ABCDEF 的体积V＝VD﹣ACEF+VB﹣ACEF= 3 2
4 + 3 2
2
= 9 2
4 ．
【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题．
21．（12 分）（沙坪坝区校级期末）从椭圆C：
x2
2 +
y2
b2 =1（b＞0）上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦
点F1，M 是椭圆的右顶点，N 是椭圆的上顶点，且MN
→
=λOP
→
（λ＞0）．
（1）求该椭圆C 的方程；
（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，已知OA，直线l，OB 的斜率k1，k，k2 成等比数列，记以
OA，OB 为直径的圆的面积分别为S1，S2，求证：S1+S2 为定值，并求出定值．
【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）由题可知P（﹣c，
b2
2），由MN
→
=λOP
→
（λ＞0），可得
1
a
c =
1
a，所以1＝c，a2＝2 即可得到所求椭圆方
程．
（2）设直线l 的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程，消去y，根据k1、k、k2 恰好构成等比数列，求出k，进而表
示出S1+S2，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题可知P（﹣c，
b2
2），由MN
→
=λOP
→
（λ＞0），可得
1
a
c =
1
a，所以1＝c，a2＝2，
则该椭圆C 的方程为
x2
2 +y2＝1．
（2）设直线l 的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
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由直线l 的方程代入椭圆方程，消去y 得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0 的两根为x1，x2，
∴x1+x2=−4km
1+2k2，x1x2= 2m2−2
1+2k2 ，由△＞0 可得2k2+1﹣m2＞0，
∵k1、k、k2 恰好构成等比数列．
∴k2＝k1k2= y1
x1 × y2
x2 = (kx1+m)(kx2+m)
x1x2
=k2+ km(x1+x2)+m2
x1x2
，则km（x1+x2）+m2＝0，
∴km× −4km
1+2k2 +m2＝0，
∴
−4k2
1+2k2 +1＝0，
解得k2= 1
2，
∴S1+S2＝π× |OA|2
4
+π× |OB|2
4
= π
4（x12+y12+x22+y22）
= π
4（1+ 1
2x12+1+ 1
2x22）= π
4（2+ 1
2（x1+x2）2﹣x1x2）= π
4[2+ 1
2 ×4k2m2﹣（m2﹣1）]= 3π
4 ．
【点评】本题考查椭圆方程和圆的方程的求法，运用向量共线和垂直的条件，等比数列的性质，以及圆的性质和
韦达定理是解题的关键，考查变形能力，属于难题．
22．（12 分）（沙坪坝区校级期末）已知n∈N*，函数fn（x）＝x﹣nlnx，fn（x）′是fn（x）的导函数．
（1）当n＝3 时，求函数y＝f3（x）在（0，+∞）内的零点的个数．
（2）对于0＜α＜β，若存在θ使得fn（α）﹣fn（β）＝f′n（θ）（α﹣β），试比较α+β与2θ的大小．
【考点】57：函数与方程的综合运用．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】（1）f3（x）＝x﹣3lnx，可得f3
' (x) = x−3
x ，利用导数研究其单调性即可得出结论．
（2）由fn（α）﹣fn（β）＝f′n（θ）（α﹣β）得f′n（θ）= fn(α)−fn(β)
α−β
=1+ n(lnβ−lnα)
α−β
，而f'n( α+β
2
) =1−2n
α+β，
可得f′n（θ）−f'n( α+β
2
) =
n
α−β [ln β
α + 2(α−β)
α+β
]，令t= β
α，h（t）＝lnt+ 2(1−t)
1+t ，则t＞1，利用导数研究其单调
性即可得出．
【解答】解：（1）f3（x）＝x﹣3lnx，
∴f3
' (x) =1−3
x = x−3
x ，
可知f3（x）在（0，3）内单减，（3，+∞）单增，
则[f3（x）]min＝f3（3）＝3﹣3ln3＜0，
又f3（1）＝1＞0，f3(e2) =e2﹣3lne2＝e2﹣6＞0，
函数y＝f3（x）在（0，+∞）内的零点的个数为2．
（2）由fn（α）﹣fn（β）＝f′n（θ）（α﹣β）得f′n（θ）= fn(α)−fn(β)
α−β
= α−nlnα−β+nlnβ
α−β
=1+ n(lnβ−lnα)
α−β
，
而f'n( α+β
2
) =1−2n
α+β，∴f′n（θ）−f'n( α+β
2 ) = n(lnβ−lnα)
α−β
+ 2n
α+β =
n
α−β [ln β
α + 2(α−β)
α+β
]，
令t= β
α，h（t）＝lnt+ 2(1−t)
1+t ，则t＞1，
而h′（t）= 1
t + 2[−(t+1)−(1−t)]
(t+1)2
= (t−1)2
t(t+1)2 ＞0，
∴h（t）在（1，+∞）上是增函数，
则h（t）＞h（1）＝0，∴f′n（θ）−f'n( α+β
2
)＜0，
又∵f′（x）＝1−n
x在（0，+∞）上是增函数，∴θ＜α+β
2 ，即有2θ＜α+β．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的零点、换元方法、等
价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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第478页（共926页）
考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p 则q”为真时，可表示为p⇒q，称p 为q 的充分条件，q 是p 的必要条件．事实上，与“p⇒q”
等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q 不成立，则p 一定不成立．这就是说，q 对于p 是必不可少的，
所以说q 是p 的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p 一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p 是q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，
记作“p⇔q”．p 与q 互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证
明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆
二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q 为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；
②若p⇒q 为假命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；
③若p⇒q 为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④若p⇒q 为假命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多
以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否
则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真
假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能
判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P 的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个
命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即
可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命
题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在
性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存
在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，
有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关
键
词
等
于
（＝）
大
于
（＞）
小
于
（＜）
是
能
都
是
没
有
至
多
有
一
个
至
少
有
一
个
至
少
有
n
个
至
多
有
n
个
任
意
的
任
两
个
P
且
Q
P
或
Q
否
定
词
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）
不
是
不
能
不
都
是
至
少
有
一
个
至
少
有
两
个
一
个
都
没
有
至
多
有
n﹣1
个
至
少
有
n+1
个
某
个
某
两
个
¬P
或
¬Q
¬P
且
¬Q
若原命题P 为真，则¬P 必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同
假．
3．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就
叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，
都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y 轴对称．
【解题方法点拨】
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第479页（共926页）
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0 解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R 是（
）
A．偶函数
B．奇函数
C．非奇非偶
D．与p 有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
4．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0 等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就
是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使
函数f（x）＝ax^2+1 恒大于0，就必须对a 进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，
先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a 的取值范围．
解：由题意可知：a≤x2+2x+3
x
恒成立
即a≤x+ 3
x +2
⇒a≤2 3 +2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，
突出了导数的工具性作用．
5．函数与方程的综合运用
【知识点的知识】
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，
运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）
或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程
思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．
6．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C 为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0 且a≠1）⑦[logax）]′= 1
x*（logae）=
1
xlna（a＞0 且a≠1）⑧[lnx]′= 1
x．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[
f(x)
g(x)]′= [f'(x)g(x)−f(x)g'(x)]
[g(x)2]
．
3、复合函数的导数
设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
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典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′
（2015）﹣f′（﹣2015）＝（
）
A．0
B．2014
C．2015
D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（
）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx
B．（lnx﹣2x）′= 1
x −2xln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x
D．（
sinx
x ）′= xcosx−sinx
x2
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx 成立，故A 正确；
对于选项B，(lnx −2x)' = 1
x −2xln2 成立，故B 正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C 不正确；
对于选项D，( sinx
x )' = xcosx−sinx
x2
成立，故D 正确．
故选C．
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，
而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注
意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
7．定积分、微积分基本定理
【定积分】
定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形
的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．
【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及
其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微
积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是a
b
׬
f(x)dx = F(b) −F(a)，其中F′（x）＝f（x），而f（x）必须在区间
（a，b）内连续．
例1：定积分1
2
׬
|3 −2x|dx =
解：
׬12|3﹣2x|dx
=
1
3
2
׬
(3 −2x)dx +
3
2
2
׬
(2x −3)dx
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＝（3x﹣x2）|
1
3
2 +（x2﹣3x）|
3
2
2
= 1
2
通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达
式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则−3
3
׬
9 −x2dx．
解：根据定积分的几何意义，则−3
3
׬
9 −x2dx 表示圆心在原点，半径为3 的圆的上半圆的面积，
故−3
3
׬
9 −x2dx = 1
2 × π × 32 = 9π
2 ．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的
面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，
上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．
8．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集
的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集
的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确
定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（
）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
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题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x) = x3 + x2[f'(x) +
m
2 ]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
ln2
2 ×
ln3
3 ×
ln4
4 × ⋯×
lnn
n ＜
1
n (n ≥2，n ∈N∗)．
解：（Ⅰ）f'(x) = a(1−x)
x
(x＞0)（2 分）
当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）
（Ⅱ）f'(2) =−a
2 = 1 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴g(x) = x3 + ( m
2 + 2)x2 −2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g'(t)＜0
g'(3)＞0
(8 分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0 恒成立，
所以有：
g'(1)＜0
g'(2)＜0
g'(3)＞0
，∴−37
3 ＜m＜−9（10 分）
（Ⅲ）令a＝﹣1 此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1 对一切x∈（1，+∞）成立，（12 分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnn
n ＜n−1
n
∴
ln2
2 ⋅
ln3
3 ⋅
ln4
4 ⋅⋅
lnn
n ＜
1
2 ⋅
2
3 ⋅
3
4 ⋅⋅
n−1
n
=
1
n (n ≥2，n ∈N∗)
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完
全类似）．即在区间内f′（x）＞0 是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
9．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说
f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y 极大值＝f（x0），x0 是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f
（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y 极小值＝f（x0），x0 是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不
意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能
在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0 满足f′（x0）＝0，且在x0 的两侧f（x）的导数异号，则x0 是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′
（x）在x0 两侧满足“左正右负”，则x0 是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0 两侧满足“左
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负右正”，则x0 是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0 的根；
（3）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左
右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极
小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
10．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函
数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）= 1
x在（0，+∞）内连
续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函
数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点
时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
11．轨迹方程
【知识点的认识】
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1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按
某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y 存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，
就是含有变量x、y 的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）
＝0 的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M 的坐标；
（2）列式：写出适合条件p 的点M 的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0 为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点
到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关
键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P 的坐标（x，y）表示已知动点M 的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，
y），再将x0，y0 代入M 满足的条件F（x0，y0）＝0 中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点
法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
12．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
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其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和
短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
c
a叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e= c
a，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e 越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为
x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
13．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
14．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
性
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
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质
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
15．直线与椭圆的综合
v．
16．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：
（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
圆柱：S圆柱= 2πr(r + l)
圆锥：S圆锥= πr(r + l)
圆台：S圆台= π(r2 + r'2 + rl + r'l)
球：S球= 4πr2
（2）体积公式：
柱体：V柱= Sh
锥体：V锥= 1
3 Sh
台体：V台= 1
3 (S +
SS' + S')h
球：V球= 4πr3
3
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图
的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之
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间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面
积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A.8﹣2πB.8﹣πC.8−π
2
D.8−π
4
分析：几何体是正方体切去两个
1
4圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入
正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个
1
4圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2× 1
4 ×π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
17．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V 柱＝sh，V 锥= 1
3Sh．
18．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b 是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′
所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，
π
2]．当θ＝90°时，称两
条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
19．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，
a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，
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就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b 与a 的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a 平行有
无数条，另一类与a 异面，也有无数条．
20．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
21．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，
π
2）；直线和平面所成的角的范围为[0，
π
2]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交
直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面
所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线
在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线
这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一
切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根
据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三
角形求得．
（2）向量求法：设直线l 的方向向量为a
→，平面的法向量为u
→，直线与平面所成的角为θ，a
→与u
→的夹角为φ，则有sinθ
＝|cos φ|= |a
→⋅u
→|
|a
→||u
→|
．
22．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
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2018-2019 学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）（渝中区校级期末）已知函数f（x）= 1
3 x3+bx2+1 在x＝2 处取得极值，则b＝（
）
A．﹣1
B．1
C．
5
4
D．−5
4
2．（5 分）（玉溪期末）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
）
A．15
B．20
C．30
D．60
3．（5 分）（渝中区校级期末）命题“∀x∈（﹣∞，0），均有ex＞x+1”的否定形式是（
）
A．∀x∈（﹣∞，0），均有ex≤x+1
B．∃x∈（﹣∞，0），使得ex≤x+1
C．∀x∈[﹣∞，0），均有ex＞x+1
D．∃x∈[﹣∞，0），使得ex＞x+1
4．（5 分）（渝中区校级期末）“x2＜x”是“
1
x ≥1”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5 分）（2017•常宁市模拟）我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数
书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶
算法求某多项式值的一例，则输出的S 的值为（
）
A．4
B．﹣5
C．14
D．﹣23
6．（5 分）（2010•深圳一模）已知函数f（x）的导函数f′（x）＝ax2+bx+c 的图象如图，则f（x）的图象可能是（
）
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A．
B．
C．
D．
7．（5 分）（2015•余杭区模拟）设m、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（
）
A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
B．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α
C．若m⊥β，m⊂α，则α⊥β
D．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
8．（5 分）（渝中区校级期末）已知函数f（x）＝ax﹣lnx 在区间（1，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．a＞1
B．a≥1
C．a＜1
D．a≤1
9．（5 分）（2015•兰州二模）如图所示的程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内应填的条件是（
）
A．i≤7
B．i＞7
C．i≤9
D．i＞9
10．（5 分）（渝中区校级期末）已知点P 为椭圆
x2
4 +
y2
3 =1 上的一点，点A，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直
线PA 与y 交于点M，直线PB 与x 轴交于点N，则|AN|•|BM|的值为（
）
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A．4
B．4 3
C．
4
3
D．
4 3
3
11．（5 分）（渝中区校级期末）已知点P 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的线段BD1 上，则cos∠APC 最小值为（
）
A．−1
3
B．−1
2
C．
1
9
D．−1
9
12．（5 分）（渝中区校级期末）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲
线在第一象限的交点为P，若△PF1F2 是以PF1 为底边的等腰三角形．椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则
e1•e2 的取值范围是（
）
A．（0，
1
3）
B．（0，
1
2）
C．（
1
3 ，+ ∞）
D．（
1
3 ，
1
2）
二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）
13．（5 分）（渝中区校级期末）若双曲线
x2
m2 −y2 =1（m＞0）的离心率为2，则m＝
．
14．（5 分）（2018•南关区校级二模）已知抛物线y2＝16x，焦点为F，A（8，2）为平面上的一定点，P 为抛物线上
的一动点，则|PA|+|PF|的最小值为
．
15．（5 分）（2015•固原校级一模）三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA=
3，则该三
棱锥外接球的表面积为
．
16．（5 分）（渝中区校级期末）已知函数f（x）＝ax2﹣（2a+1）x，g（x）＝ex﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+
∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则实数a 的取值范围为
．
三、解答题（本大题共6 小题，第一个大题10 分，其他题每题12 分，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）
17．（10 分）（2009•北京）如图，四棱锥P﹣ABCD 的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E 在棱PB 上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD=
2AB，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．
18．（12 分）（渝中区校级期末）已知焦点为F 的抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点M（2，m），且|MF|＝2．
（1）求p，m；
（2）过点M 作抛物线C 的切线l，交y 轴于点N，求△MFN 的面积．
19．（12 分）（渝中区校级期末）已知函数f（x）= 1
2 ax2 −2ax﹣3lnx+b 在x＝1 处切线为4x+y﹣2＝0．
（1）求a，b；
（2）求f（x）在x∈[1，7]上的值域．
20．（12 分）（渝中区校级期末）在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF∥AB，DE＝EF＝1，DC＝BF
＝2，∠EAD＝30°．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面CDEF；
（Ⅱ）在线段BD 上确定一点G，使得平面EAD 与平面FAG 所成的角为30°．
21．（12 分）（2017•信丰县校级模拟）已知椭圆C：
y2
a2 +
x2
b2 = 1(a＞b＞0)的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1
与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M、N 两点，△MNF2 的面积为3，椭圆C 的离心率为
3
2
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知O 为坐标原点，直线l：y＝kx+m 与y 轴交于点P（P 不与原点O 重合），与椭圆C 交于A，B 两个
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不同的点，使得AP
→
= 3PB
→
，求m 的取值范围．
22．（12 分）（渝中区校级期末）已知函数f（x）＝ex+1﹣kx﹣2k（其中e 是自然对数的底数，k∈R）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当函数f（x）有两个零点x1，x2 时．证明：x1+x2＞﹣2．
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2018-2019 学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）（渝中区校级期末）已知函数f（x）= 1
3 x3+bx2+1 在x＝2 处取得极值，则b＝（
）
A．﹣1
B．1
C．
5
4
D．−5
4
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，根据f′（2）＝0，求出b 的值即可．
【解答】解：函数f（x）= 1
3 x3+bx2+1，可得f′（x）＝x2+2bx，
∵f（x）在x＝2 处取得极值，
∴f′（2）＝4+4b＝0，
解得：b＝﹣1；
故选：A．
【点评】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
2．（5 分）（玉溪期末）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
）
A．15
B．20
C．30
D．60
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4 的直角三角形，高为5．据此
可计算出答案．
【解答】解：由三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4 的直角三角形，高为5．
∴V三棱柱ABC−A1B1C1 = 1
2 × 3 × 4 × 5 =30．
故选：C．
【点评】由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．
3．（5 分）（渝中区校级期末）命题“∀x∈（﹣∞，0），均有ex＞x+1”的否定形式是（
）
A．∀x∈（﹣∞，0），均有ex≤x+1
B．∃x∈（﹣∞，0），使得ex≤x+1
C．∀x∈[﹣∞，0），均有ex＞x+1
D．∃x∈[﹣∞，0），使得ex＞x+1
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
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【分析】利用命题的否定意义即可得出．
【解答】解：命题“∀x∈（﹣∞，0），均有ex＞x+1”的否定形式是：∃x∈（﹣∞，0），使得ex≤x+1．
故选：B．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5 分）（渝中区校级期末）“x2＜x”是“
1
x ≥1”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】根据不等式解法，再根据必要条件、充分条件的定义进行判断；
【解答】解：由“x2＜x”解得0＜x＜1，
由“
1
x ≥1”解得0＜x≤1，
故“x2＜x”是“
1
x ≥1”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题以不等式的求解问题为载体，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．
5．（5 分）（2017•常宁市模拟）我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数
书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶
算法求某多项式值的一例，则输出的S 的值为（
）
A．4
B．﹣5
C．14
D．﹣23
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，
分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
S＝1，i＝1
满足条件i≤4，执行循环体，S＝﹣1，i＝2
满足条件i≤4，执行循环体，S＝4，i＝3
满足条件i≤4，执行循环体，S＝﹣5，i＝4
满足条件i≤4，执行循环体，S＝14，i＝5
不满足条件i≤4，退出循环，输出S 的值为14．
故选：C．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
6．（5 分）（2010•深圳一模）已知函数f（x）的导函数f′（x）＝ax2+bx+c 的图象如图，则f（x）的图象可能是（
）
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
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A．
B．
C．
D．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】根据导数与原函数单调性间的关系判断：导数大于零则该函数为增函数，导数小于零则该函数为减函数．
【解答】解：根据导数与原函数单调性间的关系：从左到右分成三部分，
第一部分导数小于零，第二部分导数大于零，第三部分导数小于零，
则相应的，第一部分原函数为减函数，第二部分原函数为增函数，第三部分原函数为减函数；
满足题意只有D．
故选：D．
【点评】本题主要考查导数法是如何利用函数的导数来刻画函数的单调性的，即：原函数的导数若大于零，则该
函数在区间上是增函数；原函数的导数若小于零，则该函数在区间上是减函数．
7．（5 分）（2015•余杭区模拟）设m、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（
）
A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
B．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α
C．若m⊥β，m⊂α，则α⊥β
D．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】解：若m⊥α，m∥n，n∥β，
则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故A 正确；
若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m∥α，故B 正确；
若m⊥β，m⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确；
若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m 与n 相交、平行或异面，故D 错误．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
8．（5 分）（渝中区校级期末）已知函数f（x）＝ax﹣lnx 在区间（1，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．a＞1
B．a≥1
C．a＜1
D．a≤1
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．
【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号，结合单调区间，求解即可．
【解答】解：∵函数y＝ax﹣lnx 在（1，+∞）内单调递增，
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第498页（共926页）
∴当x＞1 时，y′＝a−1
x ≥0 恒成立，
即a≥1
x，∴a≥1，
即a 的取值范围为[1，+∞），
故选：B．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于中档题．
9．（5 分）（2015•兰州二模）如图所示的程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内应填的条件是（
）
A．i≤7
B．i＞7
C．i≤9
D．i＞9
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】根据程序输出的结果，得到满足条件的i 的取值，即可得到结论．
【解答】解：第一次运行，i＝10，满足条件，S＝10×1＝10，i＝9
第二次运行，i＝9，满足条件，S＝10×9＝90，i＝8，
第三次运行，i＝8，满足条件，S＝90×8＝720，i＝7，
此时不满足条件，输出S＝720，
故条件应为，8，9，10 满足，i＝7 不满足，
故条件为：i＞7，
故选：B．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据运行条件是解决本题的关键．
10．（5 分）（渝中区校级期末）已知点P 为椭圆
x2
4 +
y2
3 =1 上的一点，点A，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，直
线PA 与y 交于点M，直线PB 与x 轴交于点N，则|AN|•|BM|的值为（
）
A．4
B．4 3
C．
4
3
D．
4 3
3
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】如图所示：设P 的坐标为（2cosθ，3sinθ），分别求出直线AP，直线BP 的方程，求出|BM|，|AN|，根
据三角函数的性质化简即可．
【解答】解：如图所示：设P 的坐标为（2cosθ，3sinθ），
由A（2，0），B（0，3），
则直线AP 的方程为y=
3sinθ
2cosθ−2（x﹣2），
令x＝0 时，则y=
3sinθ
1−cosθ，
即M（0，
3sinθ
1−cosθ），
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第499页（共926页）
∴|BM|＝| 3 +
3sinθ
cosθ−1|=
3|
cosθ−1+sinθ
1−cosθ
|，
则直线BP 的方程为y−
3 =
3sinθ−3
2cosθ
x，
令y＝0，则x= 2cosθ
1−sinθ，
即N（
2cosθ
1−sinθ，0），
∴|AN|＝|2−2cosθ
1−sinθ|＝2|
1−sinθ−cosθ
1−sinθ
|，
∴|AN|•|BM|＝2 3 |1−sinθ−cosθ|⋅|1−sinθ−cosθ|
(1−sinθ)(1−cosθ)
=2 3•2× (1−sinθ)(1−cosθ)
(1−sinθ)(1−cosθ) =4 3，
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的简单性质以及直线和椭圆的位置关系，以及三角函数的化简和求值，属于中档题．
11．（5 分）（渝中区校级期末）已知点P 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的线段BD1 上，则cos∠APC 最小值为（
）
A．−1
3
B．−1
2
C．
1
9
D．−1
9
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；41：向量法；5A：平面向量及应用．
【分析】连结AP，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD
﹣A1B1C1D1 的棱长为1，利用向量法能求出cos∠APC 最小值．
【解答】解：连结AP，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为1，
则D1（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），
A（1，0，0），C（0，1，0），设P（a，b，c），
D1P
→
= λD1B
→
，0≤λ≤1，
∴（a，b，c﹣1）＝（λ，λ，0），∴P（λ，λ，1﹣λ），
PA
→
=（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1），PC
→
=（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）．
∴cos∠APC＝cos＜PA
→
，PC
→
＞=
PA
→
⋅PC
→
|PA
→
|⋅|PC
→
|
= −λ+λ2−λ+λ2+λ2−2λ+1
3λ2−4λ+2
= 3λ2−4λ+2−1
3λ2−4λ+2
= 1 −
1
3λ2−4λ+2．
∵0≤λ≤1，∴3λ2﹣4λ+2∈[
2
3 ，2]，
则cos∠APC∈[−1
2 ，1
2]．
∴cos∠APC 最小值为−1
2．
故选：B．
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【点评】本题考查利用数量积求向量的夹角，考查运算求解能力，是中档题．
12．（5 分）（渝中区校级期末）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲
线在第一象限的交点为P，若△PF1F2 是以PF1 为底边的等腰三角形．椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则
e1•e2 的取值范围是（
）
A．（0，
1
3）
B．（0，
1
2）
C．（
1
3 ，+ ∞）
D．（
1
3 ，
1
2）
【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，（m＞n），由条件可得m＝8，n＝2c，再由椭圆和双
曲线的定义可得a1＝4+c，a2＝4﹣c，（c＜4），运用三角形的三边关系求得c 的范围，再由离心率公式，计算即
可得到所求范围
【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，（m＞n），
由于△PF1F2 是以PF1 为底边的等腰三角形．若|PF1|＝8，
即有m＝8，n＝2c，
由椭圆的定义可得m+n＝2a1，
由双曲线的定义可得m﹣n＝2a2，
即有a1＝4+c，a2＝4﹣c，（c＜4），
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＝4c＞8，
则c＞2，即有2＜c＜4．
由离心率公式可得e1•e2= c
a1
c
a2 =
c2
16−c2 =
1
16
c2−1，
由于1＜16
c2 ＜4，则有
1
16
c2−1
＞
1
3，
则e1•e2＞1
3，
∴e1•e2 的取值范围为（
1
3，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属
于中档题．
二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）
13．（5 分）（渝中区校级期末）若双曲线
x2
m2 −y2 =1（m＞0）的离心率为2，则m＝
3
3
．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出双曲线的a，b，c，由离心率公式，计算即可得到m，即可．
【解答】解：双曲线
x2
m2 −y2 =1（m＞0）的a＝m，b＝1，
c=
1 + m，则e= c
a =
1+m2
m
=2，解得，m=
3
3 ．
故答案为：
3
3 ．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．
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14．（5 分）（2018•南关区校级二模）已知抛物线y2＝16x，焦点为F，A（8，2）为平面上的一定点，P 为抛物线上
的一动点，则|PA|+|PF|的最小值为
12
．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】过A 向准线作垂线，则|PA|+|PF|的最小值为点A 到准线的距离．
【解答】解：抛物线的准线方程为：x＝﹣4，焦点为F（4，0），
过A 向准线作垂线，垂足为B，
∴|PA|+|PF|≥|AB|＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
15．（5 分）（2015•固原校级一模）三棱锥P﹣ABC 中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA=
3，则该三
棱锥外接球的表面积为
5π
．
【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】根据题意，证出BC⊥平面PAC，PB 是三棱锥P﹣ABC 的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算
出PB 5得外接球半径，从而得到所求外接球的表面积．
【解答】解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC，PB 是三棱锥P﹣ABC 的外接球直径；
∵Rt△PBA 中，AB=
2，PA=
3，
∴PB=
5，可得外接球半径R= 1
2PB=
5
2 ，
∴外接球的表面积S＝4πR2＝5π．
故答案为5π．
【点评】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公
式等知识，属于中档题．
16．（5 分）（渝中区校级期末）已知函数f（x）＝ax2﹣（2a+1）x，g（x）＝ex﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+
∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则实数a 的取值范围为
[−1
2，0]
．
【考点】3R：函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x）max≤g（x）min．利用
导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．
【解答】解：由g（x）＝ex﹣x﹣1，则g′（x）＝ex﹣1，
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第502页（共926页）
令g′（x）＞0，解得x＞0；令g′（x）＜0，解得x＜0．
∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，
即g（x）最小值＝g（0）＝0．
对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．
即不等式f（x）≤0 对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，
（1）当a＝0 时，f（x）＝﹣x，对于任意的x∈（0，+∞），f（x）≤0 恒成立，
∴a＝0 符合题意；
（2）当a＜0 时，f（x）＝ax2﹣（2a+1）x 的图象是开口向下的抛物线，且f（0）＝0，
要使不等式f（x）≤0 对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，
则对称轴x= 2a+1
2a
≤0，即2a+1≥0，a≥−1
2，
得−1
2 ≤a＜0；
（3）当a＞0 时，f（x）＝ax2﹣（2a+1）x 的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x= 2a+1
2a ＞0，
而f（x）＝0，
∴当a＞2a+1
a
时，f（x）＞0，不合题意．
综上，a 的取值范围为[−1
2，0]．
故答案为：[−1
2，0]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论
的思想方法，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6 小题，第一个大题10 分，其他题每题12 分，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）
17．（10 分）（2009•北京）如图，四棱锥P﹣ABCD 的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E 在棱PB 上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD=
2AB，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC 内一直线与平面PDB 垂直，
而根据题意可得AC⊥平面PDB；
（Ⅱ）设AC∩BD＝O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，在Rt△AOE
中求出此角即可．
【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（Ⅱ）解：设AC∩BD＝O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O，
∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，
∴O，E 分别为DB、PB 的中点，
∴OE∥PD，OE = 1
2 PD，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE 中，OE = 1
2 PD =
2
2 AB = AO，
∴∠AEO＝45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°．
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第503页（共926页）
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推
理论证能力，属于基础题．
18．（12 分）（渝中区校级期末）已知焦点为F 的抛物线C：x2＝2py（p＞0）过点M（2，m），且|MF|＝2．
（1）求p，m；
（2）过点M 作抛物线C 的切线l，交y 轴于点N，求△MFN 的面积．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）求得抛物线的焦点F，准线方程，运用抛物线的定义和点满足抛物线方程，解方程即可得到所求值；
（2）求得y= x2
4 的导数，可得切线的斜率，即有切线的方程，运用三角形的面积公式可得所求值．
【解答】解：（1）抛物线C：x2＝2py 的焦点F（0，
p
2），准线方程为y=−p
2，
由题意可得4＝2pm，2＝m+ p
2
得m＝1，p＝2；
（2）由y= x2
4 得y′= x
2，所以切线的斜率为1，
切线方程为y＝x﹣1，得N（0，﹣1），
由M（2，1），F（0，1），
所以△MFN 的面积是
1
2 ×2×2＝2．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查切线的方程的求法，以及三角形的面积，考查运算能力，属
于基础题．
19．（12 分）（渝中区校级期末）已知函数f（x）= 1
2 ax2 −2ax﹣3lnx+b 在x＝1 处切线为4x+y﹣2＝0．
（1）求a，b；
（2）求f（x）在x∈[1，7]上的值域．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出f′（x）＝ax﹣2a−3
x，x＞0，利用导数的几何意义能求出a，b．
（2）由f'(x) = x −2 −3
x = (x−3)(x+1)
x
，x∈[1，7]，得f（x）的减区间是（1，3），减区间是（3，7]，由此能求
出f（x）在x∈[1，7]上的值域．
【解答】解：（1）∵函数f（x）= 1
2 ax2 −2ax﹣3lnx+b 在x＝1 处切线为4x+y﹣2＝0．
∴f′（x）＝ax﹣2a−3
x，x＞0，
直线4x+y﹣2＝0 斜率为﹣4，
由f′（1）＝a﹣2a﹣3＝﹣4，解得a＝1，
由f（1）= 1
2 a −2a + b =−2，解得b=−1
2．
（2）f'(x) = x −2 −3
x = (x−3)(x+1)
x
，
由f′（x）＞0，得0＜x＜3，由f′（x）＜0，得x＞3，
∵x∈[1，7]，∴f（x）的减区间是（1，3），减区间是（3，7]，
又f（1）＝﹣2，f（7）＝10﹣3ln7＞﹣2，f（3）＝﹣2﹣3ln3，
∴f（x）在x∈[1，7]上的值域是[﹣2﹣3ln3，10﹣3ln7]．
【点评】本题考查实数值的求法，考查函数在闭区间上的值域的求法，考查导数性质、导数的几何意义、函数的
单调区间、函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20．（12 分）（渝中区校级期末）在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF∥AB，DE＝EF＝1，DC＝BF
＝2，∠EAD＝30°．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面CDEF；
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第504页（共926页）
（Ⅱ）在线段BD 上确定一点G，使得平面EAD 与平面FAG 所成的角为30°．
【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（Ⅰ）AE⊥DE，过E 点作EF∥BF，交AB 于点P．推导出AE⊥EF．由此能证明AE⊥平面CDEF．
（Ⅱ）由AE⊥DC，AD⊥DC，DC⊥平面AED，平面ABCD⊥平面AED 过D 点作平面ABCD 的垂线DH，以
点D 为坐标原点，DA，DC，DH 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，由此求出当点G 满
足DG
→
= 1
3 DB
→
时，平面EAD 与平面FAG 所成角的大小为30°．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AD＝DC＝2．
在△ADE 中，
AD
sin∠AED =
DE
sin∠EAD，即
2
sin∠AED =
1
sin30°，得sin∠AED＝1，
∴∠AED＝90°，即AE⊥DE，在梯形ABEF 中，过E 点作EF∥BF，交AB 于点P．
∵EF∥AB，∴EP＝BF＝2，PB＝EF＝1，∴AP＝AB＝PB＝1，
在Rt△ADE 中，AE=
3，AE2+AP2＝4，EP2＝4，
∴AE2+AP2＝EP2，∴AE⊥AB，∴AE⊥EF．
又∵EF∩DE＝E，∴AE⊥平面CDEF．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得AE⊥DC，AD⊥DC，
∴DC⊥平面AED，又DC⊂平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面AED，
如图，过D 点作平面ABCD 的垂线DH，
以点D 为坐标原点，DA，DC，DH 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），F（
1
2 ，1，
3
2 ），A（2，0，0），
AF
→
=（−3
2，1，
3
2 ），DB
→
=（2，2，0），
设DG
→
= λDB
→
=（2λ，2λ，0），λ∈[0，1]，则AG
→
=（2λ﹣2，2λ，0）．
设平面FAG 的一个法向量n
→=（x，y，z），
则n
→⋅AF
→
=−3
2 x + y +
3
2 z = 0
n
→⋅AG
→
= (2λ −2)x + 2λy = 0
，令x=−
3λ，得n
→=（−
3λ，3(λ −1)，2 −5λ）．
平面EAD 的一个法向量m
→=（0，1，0）．
由已知得cos30°= |m
→⋅n
→|
|m
→|⋅|n
→|
=
| 3(λ−1)|
3λ2+3(1−λ)2+(2−5λ)2 =
3
2 ，
化简得9λ2﹣6λ+1＝0，解得λ = 1
3．
∴当点G 满足DG
→
= 1
3 DB
→
时，平面EAD 与平面FAG 所成角的大小为30°．
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第505页（共926页）
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
21．（12 分）（2017•信丰县校级模拟）已知椭圆C：
y2
a2 +
x2
b2 = 1(a＞b＞0)的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1
与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M、N 两点，△MNF2 的面积为3，椭圆C 的离心率为
3
2
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知O 为坐标原点，直线l：y＝kx+m 与y 轴交于点P（P 不与原点O 重合），与椭圆C 交于A，B 两个
不同的点，使得AP
→
= 3PB
→
，求m 的取值范围．
【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）由△MNF2 的面积为3，椭圆C 的离心率为
3
2 ，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C 的标
准方程．
（Ⅱ）由y = kx + m
4x2 + y2 −4 = 0得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4＝0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量知识，结合已
知条件能求出m 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）根据已知椭圆C 的焦距为2c，当y＝c 时，|MN| = |x1 −x2| = 2b2
a ，
由题意△MNF2 的面积为
1
2 |F1F2||MN| = c|MN| =
2b2c
a
=
3，
由已知得
c
a =
3
2 ，∴b2＝1，∴a2＝4，
∴椭圆C 的标准方程为x2 + y2
4 =1．﹣﹣﹣（4 分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由y = kx + m
4x2 + y2 −4 = 0得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4＝0，
∴x1 + x2 = −2km
k2+4 ，x1x2 = m2−4
k2+4 ，﹣﹣﹣（6 分）
由已知得△＝4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0，
由AP
→
= 3PB
→
，得﹣x1＝3x2，即x1＝﹣3x2，∴3(x1 + x2)2 + 4x1x2 = 0，﹣﹣﹣（8 分）
∴
12k2m2
(k2+4)2 +
4(m2−4)
k2+4
= 0，即m2k2+m2﹣k2﹣4＝0．
当m2＝1 时，m2k2+m2﹣k2﹣4＝0 不成立，∴k2 = 4−m2
m2−1，﹣﹣﹣（10 分）
∵k2﹣m2+4＞0，∴
4−m2
m2−1 −m2 + 4＞0，即
(4−m2)m2
m2−1
＞0，
∴1＜m2＜4，解得﹣2＜m＜﹣1 或1＜m＜2．
综上所述，m 的取值范围为{m|﹣2＜m＜﹣1 或1＜m＜2}．﹣﹣﹣（12 分）
【点评】本题考查椭圆方程求法，考查实数的取值范围的求法，考查椭圆、韦达定理、根的判别式、直线方程、
向量知识等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
22．（12 分）（渝中区校级期末）已知函数f（x）＝ex+1﹣kx﹣2k（其中e 是自然对数的底数，k∈R）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当函数f（x）有两个零点x1，x2 时．证明：x1+x2＞﹣2．
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【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对k 进行分类讨论，确定x 在不同情况下导函数的
符号，进而可得函数的单调性．
（2）先求出x2﹣x1＝ln
x2+2
x1+2，令t= x2+2
x1+2，求出x1+x2= lnt
t−1 + tlnt
t−1 −4，问题转化为证明lnt＞2(t−1)
t+1 ，构造函数
F（t）＝lnt−2(t−1)
t+1 ，通过函数的单调性证明即可．
【解答】解：（1）由f（x）＝ex+1﹣kx﹣2k，x∈R，得f'（x）＝ex+1﹣k，
①当k≤0 时，则f'（x）＝ex+1﹣k＞0 对x∈R 恒成立，
此时f（x）的单调递增，递增区间为（﹣∞，+∞）；
②当k＞0 时，
由f'（x）＝ex+1﹣k＞0，得到x+1＞lnk，即x＞lnk﹣1，
由f'（x）＝ex﹣1﹣k＜0，得到x+1＜lnk，即x＜lnk﹣1
所以，k＞0 时，f（x）的单调递增区间是（lnk﹣1，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk﹣1）；
综上，当k≤0 时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．
当k＞0 时，f（x）的单调递增区间是（lnk﹣1，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk﹣1）；
（2）设x2＞x1，
由题意得：ex1+1 = k(x1 + 2)
ex2 +1 = k(x2 + 2)，
∴x1＝lnk+ln（x1+2）﹣1①，
x2＝lnk+ln（x2+2）﹣1②，
②﹣①得：x2﹣x1＝ln
x2+2
x1+2③，
令t= x2+2
x1+2，则t＞1，x2＝t（x1+2）﹣2，
∴③可化为：t（x1+2）﹣2﹣x1＝lnt，
∴x1+2= lnt
t−1，x2+2= tlnt
t−1，
∴x1+x2= lnt
t−1 + tlnt
t−1 −4，
要证：x1+x2＞﹣2，
只需证：
lnt
t−1 +
tlnt
t−1 ＞2，
即证：lnt＞2(t−1)
t+1 ，
构造函数F（t）＝lnt−2(t−1)
t+1 ，
则F′（t）= 1
t −2(t+1)−2(t−1)
(t+1)2
= (t−1)2
t(t+1)2 ≥0，
∴F（t）在（1，+∞）递增，
∴F（t）＞F（1）＝0，
∴x1+x2＞﹣2．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，转化思想，（2）中求出x1+x2，问题转化为构造新函
数通过求导得到单调性是解题的关键，本题有一定的难度．
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考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p 则q”为真时，可表示为p⇒q，称p 为q 的充分条件，q 是p 的必要条件．事实上，与“p⇒q”
等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q 不成立，则p 一定不成立．这就是说，q 对于p 是必不可少的，
所以说q 是p 的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p 一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p 是q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，
记作“p⇔q”．p 与q 互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证
明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆
二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q 为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；
②若p⇒q 为假命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；
③若p⇒q 为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④若p⇒q 为假命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多
以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的
条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P 不是命题P 的否命题，而是命题P 的否定形
式．对命题“若P 则Q“来说，¬P 是“若P 则非Q”；P 的否命题是“若非P 则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．
【解题方法点拨】若p 则q，那么它的否命题是：若¬p 则¬q，命题的否定是：若p 则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量
词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．
【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改
地区常考题型．
3．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0 等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就
是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使
函数f（x）＝ax^2+1 恒大于0，就必须对a 进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，
先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a 的取值范围．
解：由题意可知：a≤x2+2x+3
x
恒成立
即a≤x+ 3
x +2
⇒a≤2 3 +2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，
突出了导数的工具性作用．
4．利用导数研究函数的单调性
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【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集
的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集
的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确
定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（
）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x) = x3 + x2[f'(x) +
m
2 ]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
ln2
2 ×
ln3
3 ×
ln4
4 × ⋯×
lnn
n ＜
1
n (n ≥2，n ∈N∗)．
解：（Ⅰ）f'(x) = a(1−x)
x
(x＞0)（2 分）
当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）
（Ⅱ）f'(2) =−a
2 = 1 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴g(x) = x3 + ( m
2 + 2)x2 −2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g'(t)＜0
g'(3)＞0
(8 分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0 恒成立，
所以有：
g'(1)＜0
g'(2)＜0
g'(3)＞0
，∴−37
3 ＜m＜−9（10 分）
（Ⅲ）令a＝﹣1 此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增，
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∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1 对一切x∈（1，+∞）成立，（12 分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnn
n ＜n−1
n
∴
ln2
2 ⋅
ln3
3 ⋅
ln4
4 ⋅⋅
lnn
n ＜
1
2 ⋅
2
3 ⋅
3
4 ⋅⋅
n−1
n
=
1
n (n ≥2，n ∈N∗)
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完
全类似）．即在区间内f′（x）＞0 是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
5．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说
f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y 极大值＝f（x0），x0 是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f
（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y 极小值＝f（x0），x0 是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不
意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能
在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0 满足f′（x0）＝0，且在x0 的两侧f（x）的导数异号，则x0 是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′
（x）在x0 两侧满足“左正右负”，则x0 是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0 两侧满足“左
负右正”，则x0 是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0 的根；
（3）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左
右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极
小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
6．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
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观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函
数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）= 1
x在（0，+∞）内连
续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函
数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点
时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
7．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导
数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在
解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率
的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1 处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1 时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线
方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
8．程序框图
【知识点的知识】
1．程序框图
（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法
的图形；
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不
可缺少的．
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输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何
需要输入、输出的位置．
处理框
赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，
它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”
或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．
流程线
算法进行的前进方向以及先后顺序
连结点
连接另一页或另一部分的框图
注释框
帮助编者或阅读者理解框图
（3）程序框图的构成．
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．
9．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC =2R
（R 是△ABC 外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A= a
2R，sin B= b
2R，sin C= c
2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝
csin A
cos A= b2+c2−a2
2bc
，
cos B= a2+c2−b2
2ac
，
cos C= a2+b2−c2
2ab
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条
边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边
和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的
知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的
问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边
长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用
正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相
关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线
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在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
10．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和
短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
c
a叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e= c
a，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e 越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为
x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
11．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
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12．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
13．直线与椭圆的综合
v．
14．直线与抛物线的综合
v．
15．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：
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（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
圆柱：S圆柱= 2πr(r + l)
圆锥：S圆锥= πr(r + l)
圆台：S圆台= π(r2 + r'2 + rl + r'l)
球：S球= 4πr2
（2）体积公式：
柱体：V柱= Sh
锥体：V锥= 1
3 Sh
台体：V台= 1
3 (S +
SS' + S')h
球：V球= 4πr3
3
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图
的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之
间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面
积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
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A.8﹣2πB.8﹣πC.8−π
2
D.8−π
4
分析：几何体是正方体切去两个
1
4圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入
正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个
1
4圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2× 1
4 ×π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
16．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【知识点的知识】
侧面积和全面积的定义：
（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几
何体的侧面积．
（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．
柱体、锥体、台体的表面积公式（c 为底面周长，h 为高，h′为斜高，l 为母线）
S 圆柱表＝2πr（r+l），S 圆锥表＝πr（r+l），S 圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）
17．空间中直线与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
空间中直线与平面之间的位置关系：
位置关系
公共点个数
符号表示
图示
直线在平面内
有无数个公共点
a⊂α
直线和平面相交
有且只有一个公共点
a∩α＝A
直线和平面平行
无
a∥α
18．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l 和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l 叫
做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．
直线与平面垂直的判定：
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（1）定义法：对于直线l 和平面α，l⊥α⇔l 垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
19．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，
π
2）；直线和平面所成的角的范围为[0，
π
2]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交
直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面
所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线
在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线
这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一
切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根
据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三
角形求得．
（2）向量求法：设直线l 的方向向量为a
→，平面的法向量为u
→，直线与平面所成的角为θ，a
→与u
→的夹角为φ，则有sinθ
＝|cos φ|= |a
→⋅u
→|
|a
→||u
→|
．
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2018-2019 学年浙江省杭州市西湖区学军中学高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1．（3 分）已知a＞b，c＞d，且c，d 不为0，那么下列不等式一定成立的是（
）
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a﹣c＞b﹣d
D．a+c＞b+d
2．（3 分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（
）
A．若x2≥1，则x≥1 且x≤﹣1
B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1 或x＜﹣1，则x2＞1
D．若x≥1 或x≤﹣1，则x2≥1
3．（3 分）“a＝4”是“直线ax+2y＝0 与直线2x+y＝1 平行”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（3 分）已知m，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．
其中正确命题的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（3 分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz 中的坐标分别是（0，0，0），（1，0，1），（0，1，1），（
1
2，
1，0），绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（3 分）如图，已知三棱锥D﹣ABC，记二面角C﹣AB﹣D 的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是θ1，
直线DA 与BC 所成的角是θ2，则其中正确的是（
）
A．θ≥θ1
B．θ≤θ1
C．θ≥θ2
D．θ≤θ2
7．（3 分）若不等式|x﹣a2|+|x﹣2a|≥a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．a≤1 或a≥3
B．a≤1
C．a≥2
D．a≤2 或a≥3
8．（3 分）已知过定点P（2，0）的直线l 与曲线y =
2 −x2相交于A，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积
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最大时，直线l 的倾斜角为（
）
A．150°
B．135°
C．120°
D．30°
9．（3 分）如图，棱长为2 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为CC1 的中点，点P，Q 分别为面A1B1C1D1 和线段
B1C 上动点，则△PEQ 周长的最小值为（
）
A．2 2
B．10
C．11
D．12
10．（3 分）已知F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F1PF2= π
3，则椭圆和双曲线的离
心率的倒数之和的最大值为（
）
A．
4 3
3
B．
2 3
3
C．3
D．2
二、填空题：本大题共7 小题，每题4 分，共28 分．
11．（4 分）若x2+y2+2x+y+ 1
a =0 表示圆方程，则a 的取值范围是
．
12．（4 分）若x，y 满足约束条件
x + y ≥1
x −y ≥−1
2x −y ≤2
，则x+3y 的最大值为
．
13．（4 分）某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为
．
14．（4 分）如图，P 是二面角α﹣AB﹣β棱AB 上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝
45°，∠MPN＝60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是
．
15．
（4 分）设双曲线x2−y2
3 =1 的左，右焦点分别为F1，F2．若点P 在双曲线上，且△F1PF2 为钝角三角形，则|PF1|+|PF2|
的取值范围是
．
16．（4 分）已知实数若x，y 满足x＞y＞0 且x+y＝2，则
4
x+3y +
1
x−y的最小值是
．
17．（4 分）在平面直角坐标系中，定义两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L 距离”为||P1P2||＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，
则平面内与A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）的“L 距离”之和等于10 的点轨迹长为
．
三、解答题（本大题共4 小题，共42 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
18．（8 分）如图，已知圆O：x2+y2＝4，过点P（1，0）的直线l 交圆O 于A，B 两点．
（Ⅰ）若直线l 斜率为1，求弦长|AB|；
（Ⅱ）若以OA，OB 为邻边，作菱形OACB，求点C 的轨迹方程．
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19．（10 分）如图，设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A 到y 轴的距离为|AF|﹣1
（Ⅰ）求p 的值；
（Ⅱ）已知B，C 为抛物线上的动点，且OC
→
•OB
→
=0，直线BC 与x 轴交于点P，求|PC|•|PB|的最小值．
20．（12 分）如图1，2，在矩形ABCD 中，已知AB＝2，AD＝3，点E，F 分别在AD，CD 上，且AE＝CF＝1，
将四边形ABCE 沿EC 折起，使点B 在平面CDE 上的射影H 在直线DE 上
（Ⅰ）求证：CD⊥BE；
（Ⅱ）求证：HF∥平面ABCE；
（Ⅲ）求直线AC 与平面CDE 所成角的正弦值．
21．（12 分）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），点P（1，
3
2）在椭圆上，不过原点的直线l：x+2y+m＝0 与椭圆
C 交于A，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．
（Ⅰ）求椭圆C 方程；
（Ⅱ）设Q（0＜x≤1）是抛物线C1：x2= 2
3y 上动点，过点Q 作抛物线C1 的切线交椭圆于M，N，求△OMN 的
面积的最大值．
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2018-2019 学年浙江省杭州市西湖区学军中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1．（3 分）已知a＞b，c＞d，且c，d 不为0，那么下列不等式一定成立的是（
）
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a﹣c＞b﹣d
D．a+c＞b+d
【解答】解：令a＝2，b＝﹣2，c＝3，d＝﹣6，
则2×3＜（﹣5）（﹣6）＝30，可排除A
2×（﹣6）＜（﹣2）×3 可排除B；
2﹣3＜（﹣2）﹣（﹣6）＝4 可排除C，
∵a＞b，c＞d，
∴a+c＞b+d（不等式的加法性质）正确．
故选：D．
2．（3 分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（
）
A．若x2≥1，则x≥1 且x≤﹣1
B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1 或x＜﹣1，则x2＞1
D．若x≥1 或x≤﹣1，则x2≥1
【解答】解：根据逆否命题的定义知，原命题的逆否命题为：
若x≤﹣1，或x≥1，则x2≥1．
故选：D．
3．（3 分）“a＝4”是“直线ax+2y＝0 与直线2x+y＝1 平行”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由直线ax+2y＝0 与直线2x+y＝1 平行，∴
a
2 =
2
1 ≠
0
−1，解得a＝4．
∴a＝4”是“直线ax+2y＝0 与直线2x+y＝1 平行”的充要条件．
故选：C．
4．（3 分）已知m，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．
其中正确命题的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：①∵m⊥α，m⊥n，∴n∥α或n⊂α，又n⊥β，∴α⊥β成立．
②若m∥α，m⊥n，则n∥α或n 与α相交，∴α不一定平行β，∴②错误．
③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，若n∥β，则α不一定平行β，∴③错误．
④若m⊥α，α∥β，∴m⊥β，又n∥β，∴m⊥n 成立，∴④正确．
故选：B．
5．（3 分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz 中的坐标分别是（0，0，0），（1，0，1），（0，1，1），（
1
2，
1，0），绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（
）
A．
B．
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C．
D．
【解答】解：满足条件的四面体如右图，
依题意投影到yOz 平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如右图，
故选：B．
6．（3 分）如图，已知三棱锥D﹣ABC，记二面角C﹣AB﹣D 的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是θ1，
直线DA 与BC 所成的角是θ2，则其中正确的是（
）
A．θ≥θ1
B．θ≤θ1
C．θ≥θ2
D．θ≤θ2
【解答】解：设三棱锥D﹣ABC 是棱长为2 的正四面体，
取AB 中点E，DC 中点M，AC 中点M，连结DE、CE、MN、EN，
过D 作DO⊥CE，交CE 于O，连结AO，
则∠DEC＝θ，∠DAO＝θ1，∠MNE＝θ2，
DE＝CE=
4 −1 =
3，DC＝2，
∴cosθ=
3+3−4
2× 3× 3 = 1
3，
AO＝CO= 2
3 CE = 2
3
4 −1 = 2 3
3 ，
∴cosθ1= AO
AD =
2 3
3
3 =
3
3 ，
取BC 中点E，连结DE、AE，则DE⊥BC，AE⊥BC，
又DE∩AE＝E，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AD，∴θ2＝90°．
∴θ2≥θ≥θ1．
故选：A．
7．（3 分）若不等式|x﹣a2|+|x﹣2a|≥a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．a≤1 或a≥3
B．a≤1
C．a≥2
D．a≤2 或a≥3
【解答】解：不等式|x﹣a2|+|x﹣2a|≥a 对任意实数x 恒成立，
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可得a≤|x﹣a2|+|x﹣2a|的最小值，
由|x﹣a2|+|x﹣2a|≥|x﹣a2﹣x+2a|＝|a2﹣2a|，
当且仅当（x﹣a2）（x﹣2a）≤0，取得等号，
则|a2﹣2a|≥a，
即为a2﹣2a≥a 或a2﹣2a≤﹣a，
解得a≥3 或a≤1，
故选：A．
8．（3 分）已知过定点P（2，0）的直线l 与曲线y =
2 −x2相交于A，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积
最大时，直线l 的倾斜角为（
）
A．150°
B．135°
C．120°
D．30°
【解答】解：曲线y=
2 −x2为圆x2+y2＝2 的上半圆，
由题意可得△AOB 的面积S= 1
2•OA•OB•sin∠AOB= 1
2• 2• 2•sin∠AOB＝sin∠AOB，
当sin∠AOB＝1 即∠AOB＝90°时，△AOB 的面积取到最大值，
此时在RT△AOB 中易得O 到直线l 的距离OD＝1，
在RT△POD 中，易得sin∠OPD= OD
OP = 1
2，可得∠OPD＝30°，
∴直线l 的倾斜角为150°
故选：A．
9．（3 分）如图，棱长为2 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为CC1 的中点，点P，Q 分别为面A1B1C1D1 和线段
B1C 上动点，则△PEQ 周长的最小值为（
）
A．2 2
B．10
C．11
D．12
【解答】解：由题意得：△PEQ 周长取最小值时，P 在B1C1 上，
在平面B1C1CB 上，设E 关于B1C 的对称点为M，关于B1C1 的对称点为N，
连结MN，当MN 与B1C1 的交点为P，MN 与B1C 的交点为M 时，
则MN 是△PEQ 周长的最小值，
EM＝2，EN=
2，∠MEN＝135°，
∴MN=
4 + 2 −2 × 2 ×
2 × ( −
2
2 ) =
10．
∴△PEQ 周长的最小值为10．
故选：B．
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10．（3 分）已知F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F1PF2= π
3，则椭圆和双曲线的离
心率的倒数之和的最大值为（
）
A．
4 3
3
B．
2 3
3
C．3
D．2
【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1PF2= π
3，
∴由余弦定理可得4c2＝（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos
π
3，①
在椭圆中，①化简为即4c2＝4a2﹣3r1r2，
即
3r1r2
4c2
=
1
e1
2 −1，②
在双曲线中，①化简为即4c2＝4a12+r1r2，
即
r1r2
4c2 =−
1
e2
2 + 1，③
联立②③得，
1
e1
2 +
3
e2
2 =4，
由柯西不等式得（1+ 1
3）（
1
e1
2 +
3
e2
2）≥（1× 1
e1 + 1
3 × 3
e2）2，
即（
1
e1
+
1
e2
）
2 ≤4
3 × 4 = 16
3
即
1
e1
+
1
e2
≤
16
3 =
4 3
3 ，d 当且仅当e1 =
3
3 ，e2 =
3时取等号，
法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1PF2= π
3，
∴由余弦定理可得4c2＝（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos
π
3 =（r1）2+（r2）2﹣r1r2，
由r1 + r2 = 2a1
r1 −r2 = 2a2，得r1 = a1 + a2
r2 = a1 −a2，
∴
1
e1
+
1
e2
=
a1+a2
c
=
r1
c ，
令m= r12
c2 =
4r12
r12+r22−r1r2
=
4
1+(r2
r1)2−r2
r1
=
4
(r2
r1−1
2)2+3
4
，
当
r2
r1
=
1
2时，mmax = 16
3 ，
∴( r1
c )max = 4 3
3 ，
即
1
e1
+
1
e2
的最大值为
4 3
3 ，
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法3：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m + n = 2a1
m −n = 2a2，
则a1+a2＝m，
则
1
e1
+
1
e2
=
a1+a2
c
=
m
c ，
由正弦定理得
m
sin(120°−θ) =
2c
sin60°，
即
m
c =
2sin(120°−θ)
sin60°
=
4
3sin（120°﹣θ）≤4
3 = 4 3
3
故选：A．
二、填空题：本大题共7 小题，每题4 分，共28 分．
11．（4 分）若x2+y2+2x+y+ 1
a =0 表示圆方程，则a 的取值范围是
（﹣∞，0）∪（
4
5，+∞）
．
【解答】解：根据题意，若x2+y2+2x+y+ 1
a =0 表示圆方程，
则有4+1﹣4× 1
a ＞0，
即
5a−4
a
＞0，
解可得：a＜0 或a＞4
5，
即a 的取值范围为：（﹣∞，0）∪（
4
5，+∞）；
故答案为：（﹣∞，0）∪（
4
5，+∞）．
12．（4 分）若x，y 满足约束条件
x + y ≥1
x −y ≥−1
2x −y ≤2
，则x+3y 的最大值为
15
．
【解答】解：由已知约束条件得到可行域如图：
由z＝x+3y 得到y=−1
3 x + z
3，当此直线经过图中B 时，在y 轴的截距最大，
由x −y =−1
2x −y = 2，解得B（3，4），
所以z 的最大值为3+12＝15；
故答案为：15
13．（4 分）某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为
25π
．
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【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，
∴长方体底面边长为2 2．
则长方体外接球半径为r，则2r=
(2 2)2 + (2 2)2 + 32 =5．
∴r= 5
2．
∴长方体外接球的表面积S＝4πr2＝25π．
故答案为：25π．
14．（4 分）如图，P 是二面角α﹣AB﹣β棱AB 上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝
45°，∠MPN＝60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是
90°
．
【解答】解：过AB 上一点Q 分别在α，β内做AB 的垂线，交PM，PN 于M 点和N 点
则∠MQN 即为二面角α﹣AB﹣β的平面角，如下图所示：
设PQ＝a，则∵∠BPM＝∠BPN＝45°
∴QM＝QN＝a
PM＝PN=
2a
又由∠MPN＝60°，易得△PMN 为等边三角形
则MN=
2a
解三角形QMN 易得∠MQN＝90°
故答案为：90°
15．
（4 分）设双曲线x2−y2
3 =1 的左，右焦点分别为F1，F2．若点P 在双曲线上，且△F1PF2 为钝角三角形，则|PF1|+|PF2|
的取值范围是
（4，2 7）∪（8，+∞）
．
【解答】解：由双曲线x2−y2
3 =1，得a2＝1，b2＝3，
∴c=
1 + 3 =2，
不妨以P 在双曲线右支为例，当PF2⊥x 轴时，
把x＝2 代入x2−y2
3 =1，得y＝±3，即|PF2|＝3，
此时|PF1|＝|PF2|+2＝5，则|PF1|+|PF2|＝8；
由PF1⊥PF2，得|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝16，
又|PF1|﹣|PF2|＝2，①
两边平方得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|＝4，
∴|PF1|•|PF2|＝6，②
联立①②解得：|PF1|＝1+
7，
|PF2|＝﹣1+
7，
此时|PF1|+|PF2|＝2 7，
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且|PF1|+|PF2|＞2c＝4，
由如图可知，
使△F1PF2 为钝角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（4，2 7）∪（8，+∞）．
故答案为：（4，2 7）∪（8，+∞）．
16．（4 分）已知实数若x，y 满足x＞y＞0 且x+y＝2，则
4
x+3y +
1
x−y的最小值是
9
4
．
【解答】解：根据题意，实数满足x＞y＞0 且x+y＝2，
则
4
x+3y +
1
x−y =
2x+2y
4
×（
4
x+3y +
1
x−y）= 1
4[（x+3y）+（x﹣y）]（
4
x+3y +
1
x−y）
= 1
4（5+ 4(x−y)
x+3y + x+3y
x−y ）≥1
4（5+4）= 9
4，
当且仅当（x+3y）＝2（x﹣y）即x= 5
3，y= 1
3时等号成立，
则
4
x+3y +
1
x−y的最小值是
9
4；
故答案为：
9
4．
17．（4 分）在平面直角坐标系中，定义两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L 距离”为||P1P2||＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，
则平面内与A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）的“L 距离”之和等于10 的点轨迹长为
8+2 2
．
【解答】解：设动点的坐标为（x，y），
由平面内动点与A（1，1），
B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）
的“L 距离”之和等于10，
可得|x﹣1|+|y﹣1|+|x+1|+|y﹣1|+|x+1||y+1|+|x﹣1|+|y+1|＝10，
化为|x+1|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣1|＝5，
讨论可得x≥1，y≥1 时，方程化为x+y＝2.5；x≥1，﹣1＜y＜1 时，
即有x＝1.5；x≥1，y≤﹣1，即有x﹣y＝2.5；
﹣1＜x＜1，y≥1 时，方程化为y＝1.5；﹣1＜x＜1，﹣1＜y＜1 时，方程不成立；﹣1＜x＜1，y≤﹣1，即有y
＝﹣1.5；
x≤﹣1，y≥1 时，方程化为﹣x+y＝2.5；x≤﹣1，﹣1＜y＜1 时，即有x＝﹣1.5；x≤﹣1，y≤﹣1，即有﹣x﹣y
＝2.5．
作出动点的轨迹可得：
轨迹的长度为2×4+ 2
2 ×4＝8+2 2，
故答案为：8+2 2．
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三、解答题（本大题共4 小题，共42 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
18．（8 分）如图，已知圆O：x2+y2＝4，过点P（1，0）的直线l 交圆O 于A，B 两点．
（Ⅰ）若直线l 斜率为1，求弦长|AB|；
（Ⅱ）若以OA，OB 为邻边，作菱形OACB，求点C 的轨迹方程．
【解答】解：（Ⅰ）∵圆O：x2+y2＝4，过点P（1，0）的直线l 交圆O 于A，B 两点，
直线l 斜率为1，
∴直线l 的方程为y＝x﹣1，即x﹣y﹣1＝0，
圆心O（0，0）到直线的距离d= |−1|
2 =
2
2 ，
∴弦长|AB|= 2 r2 −d2 =2 4 −1
2 =
14．
（Ⅱ）∵以OA，OB 为邻边，作菱形OACB，OA＝OB＝2，点P（1，0），
∴OP＝1，
连结OC，PC，由菱形的性质得：AB⊥OC，
∴OP＝PC＝1，
∴点C 的轨迹是以P（1，0）为圆心，以r＝1 为半径的圆，且C 与圆点O 不重合，
∴点C 的轨迹方程为：（x﹣1）2+y2＝1，（x≠0）．
19．（10 分）如图，设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A 到y 轴的距离为|AF|﹣1
（Ⅰ）求p 的值；
（Ⅱ）已知B，C 为抛物线上的动点，且OC
→
•OB
→
=0，直线BC 与x 轴交于点P，求|PC|•|PB|的最小值．
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【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，
抛物线上的点A 到y 轴的距离为|AF|﹣1，
∴
p
2 =1，解得p＝2．…（3 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抛物线方程为y2＝4x，
设直线CB 的方程为：x＝my+t，C（
y12
4 ，y1），B（
y22
4 ，y2），
直线与抛物线联立：x = my + t
y2 = 4x
，得：y2﹣4my﹣4t＝0，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，…（5 分）
∵kOC = 4
y1，kOB = 4
y2，
∴kOC•kOB= 16
y1y2 = 16
−4t =−1，则t＝4，
∴直线CB 过定点（4，0），即P 点坐标为（4，0），…（7 分）
∴PC
→
⋅PB
→
= y12y22
16
−（y12 + y22）+16+y1y2＝﹣16m2﹣16，
∴|PC
→
|•|PB
→
|＝16m2+16≥16，
当且仅当m＝0 时，|PC|•|PB|取最小值16．…（10 分）
20．（12 分）如图1，2，在矩形ABCD 中，已知AB＝2，AD＝3，点E，F 分别在AD，CD 上，且AE＝CF＝1，
将四边形ABCE 沿EC 折起，使点B 在平面CDE 上的射影H 在直线DE 上
（Ⅰ）求证：CD⊥BE；
（Ⅱ）求证：HF∥平面ABCE；
（Ⅲ）求直线AC 与平面CDE 所成角的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵BH⊥平面CDE，∴BH⊥CD，
又CD⊥DE，BH∩DE＝H，
∴CD⊥平面DBE，
∵BE⊂平面DBE，∴CD⊥BE．…（4 分）
（Ⅱ）设BH＝h，EH＝k，过F 作FG 垂直ED 于点G，
∵线段BE，BF 在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得
BE2 = BH2 + EH2
BF2 = BH2 + FH2 = BH2 + FG2 + GH2，
∴5 = h2 + k2
9 = 22 + h2 + (2 −k)2，
解得h＝2，k＝1，∴线段BH 的长度为2．
又∵BE=
5，∴HE＝1，又F 是DC 中点，∴HF∥EC，
∵HF⊄平面ABCE，EC⊂平面ABCE，
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∴HF∥平面ABCE．…（8 分）
解：（Ⅲ）延长BA 交CE 于点M，AE＝1，BC＝3，
∵AE：BC＝MA：MB＝1：3，
∴点A 到平面EFCD 的距离为点B 到平面EFCD 距离的
1
3，
∴点A 到平面EFCD 的距离为
2
3，而AF=
13，
故直线AF 与平面EFCD 正弦值为
2 13
39 ．…（12 分）
21．（12 分）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），点P（1，
3
2）在椭圆上，不过原点的直线l：x+2y+m＝0 与椭圆
C 交于A，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．
（Ⅰ）求椭圆C 方程；
（Ⅱ）设Q（0＜x≤1）是抛物线C1：x2= 2
3y 上动点，过点Q 作抛物线C1 的切线交椭圆于M，N，求△OMN 的
面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），点P（1，
3
2）在椭圆上，
不过原点的直线l：x+2y+m＝0 与椭圆C 交于A，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．
∴
kAB ⋅kOP =−1
2 ×
3
2
1 =−b2
a2
1
a2 + 9
4b2 = 1
，
解得a2＝4，b2＝3，
∴椭圆C 的方程为：
x2
4 +
y2
3 =1．…（4 分）
（Ⅱ）设抛物线在Q 点的切线方程为y＝kx+m，
由
y = kx + m
x2 = 2
3 y
，得3x2﹣2kx﹣2m＝0，
△＝4k2+24m＝0，
∴k2＝﹣6m，且−3
2 ≤m＜0，①…（6 分）
由
y = kx + m
x2
4 + y2
3 = 1，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=−8km
3+4k2，x1x2= 4m2−12
3+4k2 ，
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|MN|=
1 + k2•|x1﹣x2|
=
1 + k2• (x1 + x2)2 −4x1x2
=
1 + k2• ( −8km
3+4k2 )2 −4 × 4m2−12
3+4k2
＝4 3• 1 + k2•
1
3+4k2 −
m2
(3+4k2)2，…（8 分）
点O 到切线距离d=
|m|
1+k2，
∴S△MNO = 1
2 ⋅|MN| ⋅d
＝2 3•
m2
3+4k2 −(
m2
3+4k2 )2，…（10 分）
令t=
m2
3+4k2 =
m2
3−24m，
∵t=
m2
3+4k2 =
m2
3−24m在m∈[−3
2，0）上是减函数，∴0＜t≤3
52，
S△MND = 2 3 ⋅
t −t2在（0，
3
52]上递增，
∴t= 3
52，即m=−3
2时，S△MND 取最大值
21
26．…（12 分）
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2018-2019 学年新疆兵团二中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）（天山区校级期末）若f（x）＝2+xcos2x，则函数f（x）的导函数f'（x）＝（
）
A．1﹣2sin2x
B．x﹣sin2x
C．sin2x+xcos2x
D．cos2x﹣2xsin2x
2．（5 分）（2017 春•大连期末）下面几种推理中是演绎推理的序号为（
）
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B．猜想数列
1
1×2 ，
1
2×3 ，
1
3×4 ，⋯{an}的通项公式为an =
1
n(n+1)（n∈N+）
C．半径为r 圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝π
D．由平面直角坐标系中圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为（x﹣a）2+（y
﹣b）2+（z﹣c）2＝r2
3．（5 分）（天山区校级期末）设n 是自然数，f（n）＝1+ 1
2 + 1
3 + ⋯+ 1
n，经计算可得，f（2）= 3
2，f（4）＞2，f
（8）＞5
2，f（16）＞3，f（32）＞7
2．观察上述结果，可得出的一般结论是（
）
A．f（2n）＞2n+1
2
B．f（n2）≥n+2
2
C．f（2n）≥n+2
2
D．f(2n)＞n+2
2
4．（5 分）（2018 春•咸阳期末）积分−a
a
׬
a2 −x2dx =（
）
A．
1
4 πa2
B．
1
2 πa2
C．πa2
D．2πa2
5．（5 分）（2010•西城区校级模拟）已知函数y＝f（x）在定义域[﹣4，6]内可导，其图象如图，记y＝f（x）的导
函数为y＝f'（x），则不等式f'（x）≥0 的解集为（
）
A．[−4
3，1]∪[
11
3 ，6]
B．[﹣3，0]∪[
7
3，5]
C．[﹣4，−4
3]∪[1，
11
3 ]
D．[﹣4，3]∪[0，1]∪[5，6]
6．（5 分）（2012•余杭区校级模拟）函数y＝xlnx 的单调递减区间是（
）
A．（e
﹣1，+∞）
B．（﹣∞，e
﹣1）
C．（0，e
﹣1）
D．（e，+∞）
7．（5 分）（2018 春•孝义市期末）当函数y＝x•2x 取极小值时，x＝（
）
A．
1
ln2
B．−1
ln2
C．﹣ln2
D．ln2
8．（5 分）（2015 秋•鹰潭期末）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）﹣f（x）≤0．对
任意正数a，b，若a＜b，则必有（
）
A．bf（a）≤af（b）
B．af（b）≤bf（a）
C．bf（a）≤f（a）
D．af（a）≤f（b）
9．（5 分）（天山区校级期末）已知点A（l，2）在函数f（x）＝ax3 的图象上，则过点A 的曲线C：y＝f（x）的切
线方程是（
）
A．6x﹣y﹣4＝0
B．x﹣4y+7＝0
C．6x﹣y﹣4＝0 或x﹣4y+7＝0
D．6x﹣y﹣4＝0 或3x﹣2y+1＝0
10．（5 分）（天山区校级期末）f（x）＝x3+ax2+bx+a2 在x＝1 时有极值为10，那么a+b 的值为（
）
A．﹣7
B．0
C．﹣7 或0
D．以上都不对
11．（5 分）（2017•重庆模拟）若函数f（x）＝x2+ax+ 1
x在（
1
2，+∞）上是增函数，则a 的取值范围是（
）
A．[﹣1，0]
B．[﹣1，+∞）
C．[0，3]
D．[3，+∞）
12．（5 分）（天山区校级期末）已知函数f（x）＝a（x−1
x）﹣2lnx（a∈R），g（x）=−a
x，若至少存在一个x0∈[1，
e]，使f（x0）＞g（x0）成立，则实数a 的范围为（
）
A．[λ，+∞）
B．（0，+∞）
C．[0，+∞）
D．（G（x），+∞）
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二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）（2014•福建模拟）（文）如图，函数y＝f（x）的图象在点P 处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′
（5）＝
．
14．
（5 分）
（2016 春•周口期末）设△ABC 的三边长分别为a、b、c，△ABC 的面积为S，内切圆半径为r，则r=
2S
a+b+c；
类比这个结论可知：四面体P﹣ABC 的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC
的体积为V，则r＝
．
15．（5 分）（天山区校级期末）由直线y＝4﹣x，曲线y =
2x以及x 轴所围图形的面积为
16．（5 分）（2014•文峰区校级一模）若函数f（x）=
x
x2+a（a＞0）在[1，+∞）上的最大值为
3
3 ，则a 的值为
．
三、解答题（本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）
17．（10 分）（天山区校级期末）已知a＞0，b＞0 且a＞b，求证：a −
b＜a −b．
18．（12 分）（2018 春•龙岗区期末）设函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+8c 在x＝1 及x＝2 时取得极值．
（1）求a，b 的值；
（2）若对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2 成立，求c 的取值范围．
19．（12 分）（天山区校级期末）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，AB⊥BC，AB＝BC= 1
2PA，点O，D 分别是AC，PC
的中点，OP⊥底面ABC．
（1）求证：OD∥平面PAB；
（2）求直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值．
20．
（12 分）
（2013•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1C1C 是边长为4 的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，
AB＝3，BC＝5．
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1 的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC1 上存在点D，使得AD⊥A1B，并求
BD
BC1
的值．
21．（12 分）（2009•重庆）设函数f（x）＝ax2+bx+k（k＞0）在x＝0 处取得极值，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））
处的切线垂直于直线x+2y+1＝0．
（Ⅰ）求a，b 的值；
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（Ⅱ）若函数g(x) = ex
f(x)，讨论g（x）的单调性．
22．（12 分）（2015•南开区二模）设函数f（x）＝lnx−1
2 ax2 −bx
（Ⅰ）当a＝b= 1
2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+ 1
2 ax2 + bx + a
x (0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤1
2恒成立，
求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1 时，方程f（x）＝mx 在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．
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2018-2019 学年新疆兵团二中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）（天山区校级期末）若f（x）＝2+xcos2x，则函数f（x）的导函数f'（x）＝（
）
A．1﹣2sin2x
B．x﹣sin2x
C．sin2x+xcos2x
D．cos2x﹣2xsin2x
【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．
【分析】根据导数公式求出函数的导数即可．
【解答】解：∵f（x）＝2+xcos2x，
∴f′（x）＝cos2x﹣2xsin2x，
故选：D．
【点评】本题考查了导数公式的应用，熟练掌握导数公式是解题的关键．
2．（5 分）（2017 春•大连期末）下面几种推理中是演绎推理的序号为（
）
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B．猜想数列
1
1×2 ，
1
2×3 ，
1
3×4 ，⋯{an}的通项公式为an =
1
n(n+1)（n∈N+）
C．半径为r 圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝π
D．由平面直角坐标系中圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为（x﹣a）2+（y
﹣b）2+（z﹣c）2＝r2
【考点】F5：演绎推理．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，
能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．
【解答】解：选项A 是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，
选项B 是由特殊的n 的值：1，2，3，…到一般的值n 的推理过程，为归纳推理，
对于C：半径为r 圆的面积S＝πr2，因为单位圆的半径为1，则单位圆的面积S＝π中
半径为r 圆的面积S＝πr2，是大前提
单位圆的半径为1，是小前提
单位圆的面积S＝π为结论．
C 是演绎推理；
选项D 是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，
故选：C．
【点评】判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理
过程．
判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特
殊的推理过程．
判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三
个组成部分．
3．（5 分）（天山区校级期末）设n 是自然数，f（n）＝1+ 1
2 + 1
3 + ⋯+ 1
n，经计算可得，f（2）= 3
2，f（4）＞2，f
（8）＞5
2，f（16）＞3，f（32）＞7
2．观察上述结果，可得出的一般结论是（
）
A．f（2n）＞2n+1
2
B．f（n2）≥n+2
2
C．f（2n）≥n+2
2
D．f(2n)＞n+2
2
【考点】F1：归纳推理．菁优网版权所有
【专题】5M：推理和证明．
【分析】已知的式子可化为f（22）＞2+2
2 ，f（23）＞3+2
2 ，f（24）＞4+2
2 ，f（25）＞5+2
2 ，由此规律可得f（2n）
＞n+2
2
【解答】解：∵f（4）＞2，f（8）＞5
2，f（16）＞3，f（32）＞7
2．
∴f（22）＞2+2
2 ，f（23）＞3+2
2 ，f（24）＞4+2
2 ，f（25）＞5+2
2 ，
以此类推，可得f（2n）＞n+2
2 ．（n＞1）
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第536页（共926页）
∵f（2）= 1+2
2
∴f（2n）≥n+2
2 ．
故选：C．
【点评】本题考查归纳推理，把已知的式子变形找规律是解决问题的关键，属基础题．
4．（5 分）（2018 春•咸阳期末）积分−a
a
׬
a2 −x2dx =（
）
A．
1
4 πa2
B．
1
2 πa2
C．πa2
D．2πa2
【考点】67：定积分、微积分基本定理；69：定积分的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=
a2 −x2与x 轴所围成的图形的面积，围成
的图象是半个圆．
【解答】解：根据定积分的几何意义，则−a
a
׬
a2 −x2dx 表示圆心在原点，半径为a 的圆的上半圆的面积，
故−a
a
׬
a2 −x2dx = 1
2 × π × a2 = 1
2 πa2．
故选：B．
【点评】本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础
题．
5．（5 分）（2010•西城区校级模拟）已知函数y＝f（x）在定义域[﹣4，6]内可导，其图象如图，记y＝f（x）的导
函数为y＝f'（x），则不等式f'（x）≥0 的解集为（
）
A．[−4
3，1]∪[
11
3 ，6]
B．[﹣3，0]∪[
7
3，5]
C．[﹣4，−4
3]∪[1，
11
3 ]
D．[﹣4，3]∪[0，1]∪[5，6]
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【分析】由图象求函数的单调区间，据单调性与导数符号的关系求解．
【解答】解：由函数y＝f（x）在定义域[﹣4，6]图象知，y＝f（x）的单调递增区间为[﹣4，−4
3]和[1，
11
3 ]
所以不等式f′（x）≥0 的解集为[﹣4，−4
3]∪[1，
11
3 ]
故选：C．
【点评】函数单调递增时导数大于零，函数单调递减时导数小于零．
6．（5 分）（2012•余杭区校级模拟）函数y＝xlnx 的单调递减区间是（
）
A．（e
﹣1，+∞）
B．（﹣∞，e
﹣1）
C．（0，e
﹣1）
D．（e，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】求出该函数的导函数，由导数小于0 列出不等式，解此不等式求得正实数x 的取值范围即为所求．
【解答】解：函数y＝xlnx 的导数为y′＝（x）′lnx+x•（lnx）′＝lnx+1，
由lnx+1＜0 得，0＜x＜1
e，故函数y＝xlnx 的减区间为（0，
1
e），
故选：C．
【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间的方法，求函数的导数以及对数函数的定义域与单调区间．注意函
数的定义域．
7．（5 分）（2018 春•孝义市期末）当函数y＝x•2x 取极小值时，x＝（
）
A．
1
ln2
B．−1
ln2
C．﹣ln2
D．ln2
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】对函数求导，由y′＝2x+x•2xln2＝（1+xln2）•2x＝0，即可得出结论．
【解答】解：y′＝2x+x•2xln2＝（1+xln2）•2x＝0，
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即1+xln2＝0，x=−1
ln2．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题．
8．（5 分）（2015 秋•鹰潭期末）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）﹣f（x）≤0．对
任意正数a，b，若a＜b，则必有（
）
A．bf（a）≤af（b）
B．af（b）≤bf（a）
C．bf（a）≤f（a）
D．af（a）≤f（b）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；52：导数的概念及应用．
【分析】由已知条件令F（x）= f(x)
x ，判断出F′（x）≤0，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出F（x）
的单调性，利用单调性判断出F（a）与F（b）的关系，利用不等式的性质得到结论．
【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数且满足xf′（x）≤f（x），
令F（x）= f(x)
x ，则F′（x）= xf'(x)−f(x)
x2
，
∵xf′（x）﹣f（x）≤0，
∴F′（x）≤0，
∴F（x）= f(x)
x 在（0，+∞）上单调递减或常函数
∵对任意的正数a、b，a＜b
∴
f(a)
a
≥
f(b)
b ，
∵任意的正数a、b，a＜b，
∴af（b）≤bf（a）
故选：B．
【点评】函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于0 时，函数单调递增；导函数小于0 时，函数单调
递减．
9．（5 分）（天山区校级期末）已知点A（l，2）在函数f（x）＝ax3 的图象上，则过点A 的曲线C：y＝f（x）的切
线方程是（
）
A．6x﹣y﹣4＝0
B．x﹣4y+7＝0
C．6x﹣y﹣4＝0 或x﹣4y+7＝0
D．6x﹣y﹣4＝0 或3x﹣2y+1＝0
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．
【分析】由A 在曲线上，求出a，再求导数，设出切点，求出切线的斜率，再由两点的斜率公式，得到方程，解
出切点的横坐标，得到斜率，再由点斜式方程，即可得到切线方程．
【解答】解：由于点A（l，2）在函数f（x）＝ax3 的图象上，
则a＝2，即y＝2x3，
y′＝6x2，
设切点为（m，2m3），则切线的斜率为k＝6m2，
由两点的斜率公式得，
2m3−2
m−1
=6m2，
即有2m2﹣m﹣1＝0，解得m＝1（舍去）或−1
2，
则切线的斜率为k＝6× 1
4 = 3
2，
则过点A 的曲线C：y＝f（x）的切线方程是：
y﹣2= 3
2（x﹣1），即3x﹣2y+1＝0．
检验若A 为切点，可得k＝6，可得
切线方程为y﹣2＝6（x﹣1），即6x﹣y﹣4＝0．
故选：D．
【点评】本题考查导数的应用：求切线的方程，注意考虑切点，同时考查直线方程的形式，考查运算能力，属于
易错题．
10．（5 分）（天山区校级期末）f（x）＝x3+ax2+bx+a2 在x＝1 时有极值为10，那么a+b 的值为（
）
A．﹣7
B．0
C．﹣7 或0
D．以上都不对
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第538页（共926页）
【分析】f′（x）＝3x2+2ax+b，又∵在x＝1 时f（x）有极值10，可得f′（1）＝0，f（1）＝10，解得a，b 并
且验证即可得出．
【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b，又∵在x＝1 时f（x）有极值10，
∴f′（1）＝3+2a+b＝0，f（1）＝1+a+b+a2＝10，
解得a = 4
b =−11，或a =−3
b = 3 ，
验证知，当a＝﹣3，b＝3 时，在x＝1 无极值，
故a+b 的值﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（5 分）（2017•重庆模拟）若函数f（x）＝x2+ax+ 1
x在（
1
2，+∞）上是增函数，则a 的取值范围是（
）
A．[﹣1，0]
B．[﹣1，+∞）
C．[0，3]
D．[3，+∞）
【考点】3V：二次函数的性质与图象；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】求出函数f（x）的导函数，由导函数在（
1
2，+∞）大于等于0 恒成立解答案
【解答】解：由f（x）＝x2+ax+ 1
x，得f′（x）＝2x+a−1
x2 = 2x3+ax2−1
x2
，
令g（x）＝2x3+ax2﹣1，
要使函数f（x）＝x2+ax+ 1
x在（
1
2，+∞）是增函数，
则g（x）＝2x3+ax2﹣1 在x∈（
1
2，+∞）大于等于0 恒成立，
g′（x）＝6x2+2ax＝2x（3x+a），
当a＝0 时，g′（x）≥0，g（x）在R 上为增函数，则有g（
1
2）≥0，解得
1
4 +
a
4 −1≥0，a≥3（舍）；
当a＞0 时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（
1
2）≥0，解得
1
4 +
a
4 −1≥0，a≥3；
当a＜0 时，同理分析可知，满足函数f（x）＝x2+ax+ 1
x在（
1
2，+∞）是增函数的a 的取值范围是a≥3（舍）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，考查了导函数在求解含有参数问题中的应用，是中档题．
12．（5 分）（天山区校级期末）已知函数f（x）＝a（x−1
x）﹣2lnx（a∈R），g（x）=−a
x，若至少存在一个x0∈[1，
e]，使f（x0）＞g（x0）成立，则实数a 的范围为（
）
A．[λ，+∞）
B．（0，+∞）
C．[0，+∞）
D．（G（x），+∞）
【考点】3R：函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由题意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，即
a
2 ＞
lnx
x 在[1，e]上有解，令h（x）= lnx
x ，求出h（x）
的导数，由此利用导数性质能求出a 的取值范围．
【解答】解：由题意，不等式f（x）＞g（x）在[1，e]上有解，
∴ax＞2lnx，即
a
2 ＞
lnx
x 在[1，e]上有解，
令h（x）= lnx
x ，则h′（x）= 1−lnx
x2
，
∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，
∴
a
2 ＞h（1）＝0，
∴a＞0．
∴a 的取值范围是（0，+∞）．
故选：B．
【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质
的合理运用．
二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
13．（5 分）（2014•福建模拟）（文）如图，函数y＝f（x）的图象在点P 处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′
（5）＝
2
．
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第539页（共926页）
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．
【分析】根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求得结论．
【解答】解：由题意，f（5）＝﹣5+8＝3，f′（5）＝﹣1
∴f（5）+f′（5）＝2
故答案为：2
【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
14．
（5 分）
（2016 春•周口期末）设△ABC 的三边长分别为a、b、c，△ABC 的面积为S，内切圆半径为r，则r=
2S
a+b+c；
类比这个结论可知：四面体P﹣ABC 的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P﹣ABC
的体积为V，则r＝
3V
S1+S2+S3+S4
．
【考点】F3：类比推理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5M：推理和证明．
【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，
由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．
【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O 到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O 为顶点，
分别以四个面为底面的4 个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为
1
3（S1+S2+S3+S4）r
∴r=
3V
S1+S2+S3+S4．
故答案为：
3V
S1+S2+S3+S4
．
【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上
去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得
出一个明确的命题（或猜想）．
15．（5 分）（天山区校级期末）由直线y＝4﹣x，曲线y =
2x以及x 轴所围图形的面积为
14
3
【考点】69：定积分的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；52：导数的概念及应用．
【分析】由题意画出图形，数形结合把曲边梯形的面积用定积分表示，求定积分得答案．
【解答】解：由y =
2x
y = 4 −x得两曲线交点为（2，2），
S=
0
2
׬ （4﹣y−1
2y2）dy＝（4y−1
2y2−1
6y3）|0
2 = 14
3 ，
故答案为：
14
3 ．
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第540页（共926页）
【点评】本题考查了定积分，考查了定积分的几何意义，是中档题．
16．
（5 分）
（2014•文峰区校级一模）若函数f（x）=
x
x2+a（a＞0）在[1，+∞）上的最大值为
3
3 ，则a 的值为
3 −1
．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】对函数f（x）=
x
x2+a（a＞0）进行求导，讨论a 研究函数在[1，+∞）上的极值从，而求出最大值，反
求出a．
【解答】解：f'(x) = x2+a−2x2
(x2+a)2 =
a−x2
(x2+a)2，
x＞a时，f′（x）＜0，f（x）单调减，
当−
a＜x＜a时，f′（x）＞0，f（x）单调增，
当x=
a时，f（x）=
a
2a =
3
3 ，a =
3
2 ＜1，不合题意．
∴f（x）max＝f（1）=
1
1+a =
3
3 ，a=
3 −1，
故答案为3 −1
【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题的反求问题，属于研究最值问题的中档题．
三、解答题（本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）
17．（10 分）（天山区校级期末）已知a＞0，b＞0 且a＞b，求证：a −
b＜a −b．
【考点】R6：不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．
【分析】运用分析法证明，要证原不等式成立，可以运用两边平方，结合不等式的性质，即可得证．
【解答】证明：要证a −
b＜a −b，由于a＞0，b＞0 且a＞b，
只要证（a −
b）2＜（a −b）2，
只要证a + b −2 ab＜a −b，只要证2b＜2 ab，
只要证b2＜ab，只要证b＜a，
而此式显然成立，
所以原不等式成立．
【点评】本题考查不等式的证明，运用分析法证明注意解题步骤，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
18．（12 分）（2018 春•龙岗区期末）设函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+8c 在x＝1 及x＝2 时取得极值．
（1）求a，b 的值；
（2）若对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2 成立，求c 的取值范围．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）方法一：根据已知条件可得关于a，b 的方程组，解出并验证即可；
方法二：由题意可得：则1，2 是方程6x2+6ax+3b＝0 的两个根，根据韦达定理即可求得a 和b 的值；
（2）利用导数先求出函数f（x）在区间[0，3]上的极大值，再求出区间端点的函数值，进行比较，得出最大值．又
已知要求的问题：对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2 成立⇔f（x）max＜c2，x∈[0，3]．进而解出即可．
【解答】解：（1）方法一：∵函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+8c，求导，f′（x）＝6x2+6ax+3b．
∵函数f（x）在x＝1 及x＝2 时取得极值，则f'(1) = 0
f'(2) = 0，则6 + 6a + 3b = 0
24 + 12a + 3b = 0，
∴，解得a =−3
b = 4 ．
∴f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x﹣1）（x﹣2）．
经验证当a＝﹣3，b＝4 时，函数f（x）在x＝1 及x＝2 时取得极值．
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∴a＝﹣3，b＝4；
方法二：由函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+8c，求导，f′（x）＝6x2+6ax+3b．
∵函数f（x）在x＝1 及x＝2 时取得极值，
则1，2 是方程6x2+6ax+3b＝0 的两个根，则
1 + 2 =−a
1 × 2 = b
2
，则a＝﹣3，b＝4，
f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x﹣1）（x﹣2）．
经验证当a＝﹣3，b＝4 时，函数f（x）在x＝1 及x＝2 时取得极值．
∴a＝﹣3，b＝4；
（2）由（1）可知：f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x﹣1）（x﹣2）．
令f′（x）＝0，解得x＝1，2，
令f′（x）＞0，解得：x＞2 或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
故函数f（x）在区间[0，1），（2，3]上单调递增；在区间（1，2）上单调递减．
∴函数f（x）在x＝1 处取得极大值，且f（1）＝5+8c．
而f（3）＝9+8c，∴f（1）＜f（3），
∴函数f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）＝9+8c．
对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2 成立⇔f（x）max＜c2，x∈[0，3]⇔9+8c＜c2，
由c2﹣8c﹣9＞0，解得c＞9 或c＜﹣1．
∴c 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．
【点评】本题考查导数的运用，考查求函数单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的
最值问题，属于中档题和易错题．
19．（12 分）（天山区校级期末）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，AB⊥BC，AB＝BC= 1
2PA，点O，D 分别是AC，PC
的中点，OP⊥底面ABC．
（1）求证：OD∥平面PAB；
（2）求直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值．
【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】5G：空间角．
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得OD∥PA，再由线面平行的判定定理得到OD∥平面PAB；
（2）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量和直线OD 的方向向量，代入向量夹角公
式，可得直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值
【解答】证明：（1）∵点O，D 分别是AC，PC 的中点，
∴OD∥PA
又∵OD⊄平面PAB，PA⊂平面PAB
∴OD∥平面PAB；
（2）连接OB，
∵AB＝BC，点O 是AC 的中点，
∴OB⊥AC
又∵OP⊥底面ABC．
故可以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
令AB＝BC= 1
2PA＝1，AB⊥BC，
则OA＝OB＝OC=
2
2 ，OP=
14
2
则O（0，0，0），B（
2
2 ，0，0），C（0，
2
2 ，0），P（0，0，
14
2 ），D（0，
2
4 ，
14
4 ）
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∴OD
→
=（0，
2
4 ，
14
4 ），BC
→
=（−2
2 ，
2
2 ，0），PC
→
=（0，
2
2 ，−14
2 ）
设m
→=（x，y，z）是平面PBC 的一个法向量
则m
→⋅BC
→
= 0
m
→⋅PC
→
= 0
，即
−2
2 x +
2
2 y = 0
2
2 y −
14
2 z = 0
令z＝1，则m
→=（7，7，1）
直线OD 与平面PBC 所成角θ满足：
sinθ= |m
→⋅OD
→
|
|m
→|⋅|OD
→
|
=
210
30
故直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为
210
30
【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，二面角的求法，熟练掌握空间线面关系判定的方法和步骤
是解答（1）的关键．建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答（2）的关键．
20．
（12 分）
（2013•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1C1C 是边长为4 的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，
AB＝3，BC＝5．
（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1 的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC1 上存在点D，使得AD⊥A1B，并求
BD
BC1
的值．
【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（I）利用AA1C1C 是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；
（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到
二面角；
（III）设点D 的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1 中作DE⊥BC 于E，可得D(t，3
4 (4 −t)，t)，利用向
量垂直于数量积得关系即可得出．
【解答】（I）证明：∵AA1C1C 是正方形，∴AA1⊥AC．
又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，
∴AA1⊥平面ABC．
（II）解：由AC＝4，BC＝5，AB＝3．
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∴AC2+AB2＝BC2，∴AB⊥AC．
建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），
∴BC1
→
= (4，−3，4)，BA1
→
= (0，−3，4)，BB1
→
= (0，0，4)．
设平面A1BC1 的法向量为n1
→= (x1，y1，z1)，平面B1BC1 的法向量为n2
→=（x2，y2，z2）．
则n1
→⋅BC1
→
= 4x1 −3y1 + 4z1 = 0
n1
→⋅BA1
→
=−3y1 + 4z1 = 0
，令y1＝4，解得x1＝0，z1＝3，∴n1
→= (0，4，3)．
n2
→⋅BC1
→
= 4x2 −3y2 + 4z2 = 0
n2
→⋅BB1
→
= 4z2 = 0
，令x2＝3，解得y2＝4，z2＝0，∴n2
→= (3，4，0)．
cos＜n1
→，n2
→＞= n1
→⋅n2
→
|n1
→||n2
→|
=
16
25⋅25 = 16
25．
∴二面角A1﹣BC1﹣B1 的余弦值为
16
25．
（III）设点D 的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1 中作DE⊥BC 于E，可得D(t，3
4 (4 −t)，t)，
∴AD
→
= (t，3
4 (4 −t)，t)，A1B
→
=（0，3，﹣4），
∵AD
→
⊥A1B
→
，∴AD
→
⋅A1B
→
= 0，
∴0 + 9
4 (4 −t) −4t = 0，解得t= 36
25．
∴
BD
BC1
=
DE
CC1
=
9
25．
【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向
量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能
力．
21．（12 分）（2009•重庆）设函数f（x）＝ax2+bx+k（k＞0）在x＝0 处取得极值，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））
处的切线垂直于直线x+2y+1＝0．
（Ⅰ）求a，b 的值；
（Ⅱ）若函数g(x) = ex
f(x)，讨论g（x）的单调性．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（Ⅰ）因为”函数在x＝0 处取得极值“，则有f'（0）＝0，再由“曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的
切线与直线x﹣2y+1＝0 相互垂直”，则有f'（1）＝2，从而求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得到：g(x) =
ex
x2+k (k＞0)，令g'（x）＝0，有x2﹣2x+k＝0，因为还有参数k，由一元二次方
程，分三种情况讨论，（1）当△＝4﹣4k＜0，函数g（x）在R 上为增函数，（2）当△＝4﹣4k＝0，g（x）在R
上为增函数（3）△＝4﹣4k＞0，方程x2﹣2x+k＝0 有两个不相等实根，则由其两根来构建单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）因f（x）＝ax2+bx+k（k＞0），故f'（x）＝2ax+b
又f（x）在x＝0 处取得极值，故f'（0）＝0，
从而b＝0，
由曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y+1＝0 相互垂直可知该切线斜率为2，
即f'（1）＝2，有2a＝2，从而a＝1（6 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
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第544页（共926页）
g(x) =
ex
x2+k (k＞0)、g'(x) = ex(x2−2x+k)
(x2+k)2
(k＞0)
令g'（x）＝0，有x2﹣2x+k＝0（8 分）
（1）当△＝4﹣4k＜0，即当k＞1 时，g'（x）＞0 在R 上恒成立，故函数g（x）在R 上为增函数（10 分）
（2）当△＝4﹣4k＝0，即当k＝1 时，g'(x) = ex(x−1)2
(x2+k)2 ＞0(x ≠1)，k＝1 时，g（x）在R 上为增函数（12 分）
（3）△＝4﹣4k＞0，即当0＜k＜1 时，方程x2﹣2x+k＝0 有两个不相等实根x1 = 1 −
1 −k，x2 = 1 +
1 −k
当x ∈( −∞，1 −
1 −k)时g'（x）＞0，故g（x）在( −∞，1 −
1 −k)上为增函数
当x ∈(1 −
1 −k，1 +
1 −k)时，g'（x）＜0，故g（x）在(1 −
1 −k，1 +
1 −k)上为减函数
当x ∈(1 +
1 −k，+ ∞)时，g'（x）＞0，故g（x）在(1 +
1 −k，+ ∞)上为增函数（14 分）
【点评】本题主要考查导数的几何意义，函数的极值及函数的单调性．综合性较强，充分考查了函数方程不等式
三者的内在联系与转化．
22．（12 分）（2015•南开区二模）设函数f（x）＝lnx−1
2 ax2 −bx
（Ⅰ）当a＝b= 1
2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）令F（x）＝f（x）+ 1
2 ax2 + bx + a
x (0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤1
2恒成立，
求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1 时，方程f（x）＝mx 在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．
【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切
线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0 和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0 的区
间为单调增区间，fˊ（x）＜0 的区间为单调减区间．
（II）先构造函数F（x）再由以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤1
2恒成立，知导函数≤1
2
恒成立，再转化为所以a≥（−1
2，x02+x0）max 求解．
（III）先把程f（x）＝mx 有唯一实数解，转化为m = 1 + lnx
x 有唯一实数解，再利用单调函数求解．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．（1 分）
当a＝b= 1
2时，f（x）＝lnx−1
4x2−1
2x，
f′（x）= 1
x −1
2x−1
2 = −(x+2)(x−1)
2x
．（2 分）
令f′（x）＝0，解得x＝1．
当0＜x＜1 时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1 时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．（3 分）
所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（4 分）
（Ⅱ）F（x）＝lnx+ a
x，x∈（0，3]，
所以k＝F′（x0）= x0−a
x0
2
≤1
2，在x0∈（0，3]上恒成立，（6 分）
所以a≥（−1
2x02+x0）max，x0∈（0，3]（7 分）
当x0＝1 时，−1
2x02+x0 取得最大值
1
2．所以a≥1
2．（9 分）
（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1 时，f（x）＝lnx+x，
因为方程f（x）＝mx 在区间[1，e2]内有唯一实数解，
所以lnx+x＝mx 有唯一实数解．
∴m = 1 + lnx
x ，
设g（x）= 1 + lnx
x ，则g′（x）= 1−lnx
x2
．
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；
g′（x）＜0，得x＞e，
∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，
g（1）＝1，g（e2）＝1+ lne2
e2 =1+ 2
e2，g（e）＝1+ 1
e，
所以m＝1+ 1
e，或1≤m＜1+ 2
e2．
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【点评】本题主要考查函数的单调性、极值、不等式、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的
方法，分类与整合及化归与转化等数学思想．
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考点卡片
1．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0 等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就
是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使
函数f（x）＝ax^2+1 恒大于0，就必须对a 进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，
先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a 的取值范围．
解：由题意可知：a≤x2+2x+3
x
恒成立
即a≤x+ 3
x +2
⇒a≤2 3 +2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，
突出了导数的工具性作用．
2．二次函数的性质与图象
【二次函数】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的
变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【二次函数的性质】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能
出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准
线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x 轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=−b
2a；最值为：f（−b
2a）；
判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0 时，函数与x 轴只有一个交点；△＞0 时，与x 轴有两个交点；当△＜0 时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2 为方程y＝ax2+bx+c 的两根，则有x1+x2=−b
a，x1•x2= c
a；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py 的焦点为（0，
p
2），准线方程为y=−p
2，含义为抛物线上的点到到焦点
的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c 向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，
这也是一个常考点．
3．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x 轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解
法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探
讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70 的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70 的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的
乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0 时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
4．导数的运算
【知识点的知识】
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第547页（共926页）
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C 为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0 且a≠1）⑦[logax）]′= 1
x*（logae）=
1
xlna（a＞0 且a≠1）⑧[lnx]′= 1
x．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[
f(x)
g(x)]′= [f'(x)g(x)−f(x)g'(x)]
[g(x)2]
．
3、复合函数的导数
设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′
（2015）﹣f′（﹣2015）＝（
）
A．0
B．2014
C．2015
D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（
）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx
B．（lnx﹣2x）′= 1
x −2xln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x
D．（
sinx
x ）′= xcosx−sinx
x2
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx 成立，故A 正确；
对于选项B，(lnx −2x)' = 1
x −2xln2 成立，故B 正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C 不正确；
对于选项D，( sinx
x )' = xcosx−sinx
x2
成立，故D 正确．
故选C．
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，
而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注
意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
5．定积分、微积分基本定理
【定积分】
定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形
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的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．
【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及
其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微
积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是a
b
׬
f(x)dx = F(b) −F(a)，其中F′（x）＝f（x），而f（x）必须在区间
（a，b）内连续．
例1：定积分1
2
׬
|3 −2x|dx =
解：
׬12|3﹣2x|dx
=
1
3
2
׬
(3 −2x)dx +
3
2
2
׬
(2x −3)dx
＝（3x﹣x2）|
1
3
2 +（x2﹣3x）|
3
2
2
= 1
2
通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达
式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则−3
3
׬
9 −x2dx．
解：根据定积分的几何意义，则−3
3
׬
9 −x2dx 表示圆心在原点，半径为3 的圆的上半圆的面积，
故−3
3
׬
9 −x2dx = 1
2 × π × 32 = 9π
2 ．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的
面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，
上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．
6．定积分的应用
【应用概述】
正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用
也就和求面积相关．
例1：定积分0
3π
2
׬
|sinx|dx 的值是．
解：0
3π
2
׬
|sinx|dx=
0
π
׬
sinxdx +
π
3π
2
׬
( −sinx)dx
＝﹣cosx|0
π +cosx|π
3π
2
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＝1+1+0﹣（﹣1）
＝3．
这个题如果这样子出，|sinx|在区间（0，
3π
2 ）上与x 轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用
题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．
【定积分在求面积中的应用】
1、直角坐标系下平面图形的面积
2、极坐标系下平面图形的面积
由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为
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3、用定积分求平面图形的面积的步骤
a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；
b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；
c）具体计算定积分，求出图形的面积．
7．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集
的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集
的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确
定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（
）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x) = x3 + x2[f'(x) +
m
2 ]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
ln2
2 ×
ln3
3 ×
ln4
4 × ⋯×
lnn
n ＜
1
n (n ≥2，n ∈N∗)．
解：（Ⅰ）f'(x) = a(1−x)
x
(x＞0)（2 分）
当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）
（Ⅱ）f'(2) =−a
2 = 1 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴g(x) = x3 + ( m
2 + 2)x2 −2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
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∴g'(t)＜0
g'(3)＞0
(8 分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0 恒成立，
所以有：
g'(1)＜0
g'(2)＜0
g'(3)＞0
，∴−37
3 ＜m＜−9（10 分）
（Ⅲ）令a＝﹣1 此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1 对一切x∈（1，+∞）成立，（12 分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnn
n ＜n−1
n
∴
ln2
2 ⋅
ln3
3 ⋅
ln4
4 ⋅⋅
lnn
n ＜
1
2 ⋅
2
3 ⋅
3
4 ⋅⋅
n−1
n
=
1
n (n ≥2，n ∈N∗)
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完
全类似）．即在区间内f′（x）＞0 是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
8．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说
f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y 极大值＝f（x0），x0 是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f
（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y 极小值＝f（x0），x0 是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不
意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能
在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0 满足f′（x0）＝0，且在x0 的两侧f（x）的导数异号，则x0 是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′
（x）在x0 两侧满足“左正右负”，则x0 是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0 两侧满足“左
负右正”，则x0 是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0 的根；
（3）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左
右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极
小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
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（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
9．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函
数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）= 1
x在（0，+∞）内连
续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函
数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点
时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
10．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导
数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在
解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率
的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1 处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1 时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线
方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
11．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别
事实概括出一般结论的推理．
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推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，
A1具有属性p
A2具有属性p
⋯
An具有属性p
⇒S 类事物中的每一个对象都可能具有属性p
2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容
的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工
具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现
问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（
）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5 个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过
程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个
特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊
的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（
）
A．A，B 为定点，动点P 满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P 的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n﹣1 求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n 项和Sn 的表达式
C．由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1 的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B 选项根据前3 个S1，S2，S3 的值，猜想出Sn 的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C 选项由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1 的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D 选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
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点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3
32＝1+3+5
42＝1+3+5+7
23＝3+5
33＝7+9+11
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是21，则m+n＝（
）
A．10
B．11
C．12
D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n
的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+11= 1+11
2
× 6 =36，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3 的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n 的值是解题的关键．
12．类比推理
【知识点的认识】
1．类比推理：根据两个（或两类）对象在一些属性上相同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或相似的推
理形式．
2．类比推理的形式：
A 对象具有属性abcd
B 对象具有属性abc
⇒B 对象具有属性d
3．特点：类比推理是一种主观的不充分的似真推理，要确认猜想的正确性，需经过严格的逻辑论证．一般情况下，
如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，则类比得出的命题就越可靠．
【解题技巧点拨】
类比推理的步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
例：请用类比推理完成下表：
解：本题由已知前两组类比可得到如下信息：
①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；
②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；
③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；
④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；
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⑤三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．
由以上分析可知：
故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一．
【命题方向】
一般以选择题、填空题的形式出现，是高考的重要内容．常见题型有：
（1）升级类比：平面到空间的类比；
（2）同级类比：圆锥曲线之间的类比；
（3）运算类比：等差与等比的类比．
13．演绎推理
【知识点的认识】
1．演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为真的推理，叫做演绎推理．规则符号表示为：
若p⇒q，p 为真，则q 为真．
*演绎推理是一种收敛性的思维方法，只要前提为真，推理形式正确，结论必正确，前提和结论之间存在必然关系，
因此演绎推理是数学中严格证明的工具．
2．三段论推理：是演绎推理的一般模式．可表示为：
若b⇒c，而a⇒b，则a⇒c
三段论包括三要素：
（1）大前提：已知的一般原理
（2）小前提：所研究的特殊情况
（3）结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；
（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
（3）演绎推理是一种收敛性的思维方法，只要前提为真，推理形式正确，结论必正确，前提和结论之间存在必然
关系，因此演绎推理是数学中严格证明的工具．
（4）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
“三段论”的结
构
①大前提﹣﹣已知的一般原理；
②小前提﹣﹣所研究的特殊情况；
③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”的表
示
①大前提﹣﹣M 是P．
②小前提﹣﹣S 是M．
③结论﹣﹣S 是P．
【例题解析】
例：关于演绎推理的说法正确的是（
）
A：演绎推理是由一般到一般的推理
B：只要大前提正确，由演绎推理得到的结果必正确
C：演绎推
理在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确
D：演绎推理不能用于命题的证明
解答：解：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，故A 不正确，
演绎推理得到的结论不一定是正确的，还要取决于小前提是否真实，故B 不正确，
演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下，得
到的结论一定正确，故C 正确，
演绎推理不能用于命题的证明，故D 不正确，
总上可知有C 是正确的，
故选：C．
本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之
间有一种蕴含关系．
14．直线与平面平行
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【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，
a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，
就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b 与a 的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a 平行有
无数条，另一类与a 异面，也有无数条．
15．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l 和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l 叫
做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l 和平面α，l⊥α⇔l 垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
16．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，
π
2）；直线和平面所成的角的范围为[0，
π
2]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交
直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面
所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线
在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线
这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一
切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根
据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三
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角形求得．
（2）向量求法：设直线l 的方向向量为a
→，平面的法向量为u
→，直线与平面所成的角为θ，a
→与u
→的夹角为φ，则有sinθ
＝|cos φ|= |a
→⋅u
→|
|a
→||u
→|
．
17．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部
分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣
Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，
则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的
另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所
成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为u
→和v
→，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜u
→，v
→＞≤π
2，θ= ＜u
→，v
→＞，此时cosθ＝cos＜u
→，v
→＞=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
（2）当
π
2 ＜＜u
→，v
→＞≤π时，θ＝cos（π−＜u
→，v
→＞）＝﹣cos＜u
→，v
→＞=−=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|．
18．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0 的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，
a
b ＞1⇒a＞b；b＜0，
a
b ＜1⇒a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1 的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种
证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
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（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前
面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实
（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，
直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，
通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这
种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：
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2018-2019 学年天津市六校联考（静海一中、杨村一中、宝坻一中等）高二
（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．
1．（5 分）（2013•绵阳二模）直线3x+y﹣1＝0 的倾斜角是（
）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
2．（5 分）（2014•河西区三模）命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（
）
A．∀x∈R，x2+1＜1
B．∃x∈R，x2+1≤1
C．∃x∈R，x2+1＜1
D．∃x∈R，x2+1≥1
3．（5 分）（天津期末）已知空间两点A（2，3，5），B（3，1，4），则A，B 两点间的距离为（
）
A．2
B．6
C．3 2
D．61
4．（5 分）（天津期末）抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P 到焦点的距离为3，若点P 的横坐标为2，则抛物线方程
为（
）
A．y2＝6x
B．y2＝4x
C．y2＝2x
D．y2＝x
5．（5 分）（天津期末）一个三棱柱的三视图如图所示，正视图为直角三角形，俯视图、侧视图均为矩形，若该三棱
柱的各个顶点均在同一个球面上，则这个球的表面积为（
）
A．244π
B．244 61π
C．
244π
3
D．
244 61π
3
6．（5 分）（2015•红桥区二模）设O 是空间一点，a，b，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，
逆命题不成立的是（
）
A．当a∩b＝O 且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α
B．当a∩b＝O 且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β
C．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
D．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c
7．（5 分）（天津期末）下列四个条件中，p 是q 的充分不必要条件的是（
）
A．有非零向量a
→，b
→
，直线l1∥a
→，直线l2∥b
→
，p：l1∥l2，q：a
→+ b
→
= 0
→
B．p：m＝2，q：直线mx+y+2＝0 与（m+2）x+my+1＝0 平行
C．p：ab＜0，q：ax2+by2＝c 为双曲线
D．p：F＝0，q：曲线x2+y2+Dx+Ey+F＝0 过原点
8．（5 分）（天津期末）有如下3 个命题；
①双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值
②双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1 与
x2
b2 −
y2
a2 = 1（a＞0，b＞0）的离心率分别是e1，e2，则
e1
2+e2
2
e1
2e2
2 是定值
③过抛物线x2＝2py（p＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A，B，则直线AB 过定点
其中正确的命题有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.把答案填在答题纸相应位置上．
9．（5 分）（天津期末）两条平行线l1：x﹣3y+3＝0 与l2：x﹣3y﹣2＝0 间的距离为
．
10．（5 分）（天津期末）已知圆的方程是x2+y2＝3，过点A（1，1）的直线l 被该圆截得的弦长最短，则直线l 的方
程是
．
11．（5 分）（天津期末）直线2x+y﹣4＝0 关于直线y＝﹣x+1 对称的直线方程为
．
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12．（5 分）（天津期末）经过坐标原点和点P（1，1），并且圆心在直线2x+3y+1＝0 上的圆的方程为
．
13．（5 分）（天津期末）已知双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为2．若经过F 和P（0，4）
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
．
14．（5 分）（天津期末）如图，直角梯形ABCD 中，∠DAB＝90°，AB∥CD，CE⊥AB 于点E．已知BE＝2AE＝
2，∠BCE＝30°．若将直角梯形绕直线AD 旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为
．
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13 分）（天津期末）已知两点A（3，2），B（﹣1，2），圆C 以线段AB 为直径．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y＝kx+4，
①若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；
②若直线l 与圆C 相交于P，Q 不同的两点，是否存在横坐标为−1
3的点M，使点M 恰好为线段PQ 的中点，若
不存在说明理由，若存在求出k 值．
16．（13 分）（天津期末）已知椭圆C：
x2
2 +y2＝1．
（Ⅰ）求椭圆C 的长轴和短轴的长，离心率e，左焦点F1；
（Ⅱ）经过椭圆C 的左焦点F1 作直线l，直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，若|AB|= 8 2
7 ，求直线l 的方程．
17．（13 分）（天津期末）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD＝2AB＝2，E
为PB 中点．
（Ⅰ）求证：PD∥平面AEC；
（Ⅱ）求异面直线AE 与PD 所成角的正切值；
（Ⅲ）求AE 与底面ABCD 所成角的余弦值．
18．（13 分）（天津期末）在长方体AC1 中，已知棱AB＝BC＝1，BB1＝2，连结B1C，过点B 作B1C 的垂线，垂足
为F，交CC1 于E．
（Ⅰ）求证：A1B1⊥BE；
（Ⅱ）求证：平面A1B1C⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角C﹣A1B1﹣A 的正弦值．
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19．（14 分）（天津期末）已知椭圆E：
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0）过点P（2，2
2 ），其上顶点B（0，b）与左右焦
点F1，F2 构成等腰三角形，且∠F1BF2＝120°．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）以点B（0，b）为焦点的抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的一动点P（m，yp），抛物线C 在点P 处的切线l
与椭圆E 交于P1P2 两点，线段P1P2 的中点为D，直线OD（O 为坐标原点）与过点P 且垂直于x 轴的直线交于
点M，问：当0＜m≤b 时，△POM 面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在说明理由．
20．（14 分）（天津期末）如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD
＝NB＝1，E 为BC 中点．
（Ⅰ）求四棱锥A﹣BDMN 的体积；
（Ⅱ）求点C 到平面AMN 的距离；
（Ⅲ）在线段AN 上，是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS 的长，若不存在，请说明理由．
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2018-2019 学年天津市六校联考（静海一中、杨村一中、宝坻一中等）
高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．
1．（5 分）（2013•绵阳二模）直线3x+y﹣1＝0 的倾斜角是（
）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【考点】I2：直线的倾斜角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
【解答】解：因为直线3x+y﹣1＝0 的斜率为：−
3，
直线的倾斜角为：α．
所以tanα=−
3，
α＝120°
故选：C．
【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．
2．（5 分）（2014•河西区三模）命题“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是（
）
A．∀x∈R，x2+1＜1
B．∃x∈R，x2+1≤1
C．∃x∈R，x2+1＜1
D．∃x∈R，x2+1≥1
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，非P（x）”，结合已知中原命题“∀x∈R，都
有有x2+1≥1”，易得到答案．
【解答】解：∵原命题“∀x∈R，有x2+1≥1”
∴命题“∀x∈R，有x2+1≥1”的否定是：
∃x∈R，使x2+1＜1．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“∀x∈A，P（x）”的否定是特称命题：“∃x∈A，
非P（x）”，是解答此类问题的关键．
3．（5 分）（天津期末）已知空间两点A（2，3，5），B（3，1，4），则A，B 两点间的距离为（
）
A．2
B．6
C．3 2
D．61
【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】由空间两点A（2，3，5），B（3，1，4），利用两点间距离公式能求出A，B 两点间的距离|AB|．
【解答】解：∵空间两点A（2，3，5），B（3，1，4），
∴A，B 两点间的距离|AB|=
(3 −2)2 + (1 −3)2 + (4 −5)2 =
6．
故选：B．
【点评】本题考查两点间距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思
想，是基础题．
4．（5 分）（天津期末）抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P 到焦点的距离为3，若点P 的横坐标为2，则抛物线方程
为（
）
A．y2＝6x
B．y2＝4x
C．y2＝2x
D．y2＝x
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用抛物线的定义，转化为P 到准线的距离为3，即有2+ p
2 =3，可得抛物线的方程．
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（
p
2，0），
准线为x=−p
2，
由题意可得P 到准线的距离为3，点P 的横坐标为2，
可得2+ p
2 =3，解得p＝2，
则抛物线方程为：y2＝4x．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的定义和简单性质的应用，属于基本知识的考查．
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5．（5 分）（天津期末）一个三棱柱的三视图如图所示，正视图为直角三角形，俯视图、侧视图均为矩形，若该三棱
柱的各个顶点均在同一个球面上，则这个球的表面积为（
）
A．244π
B．244 61π
C．
244π
3
D．
244 61π
3
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】判断几何体的形状，然后扩展为长方体，求出球的半径，即可求解球的表面积．
【解答】解：可将三棱柱补成一个长、宽、高分别是12，8，6 的长方体，
则该长方体的外接球的直径d2＝62+82+122＝244，
于是球的表面积等于S 球＝4πR2＝πd2＝244π．
故选：A．
【点评】本题考查三视图求解几何体的外接球的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．
6．（5 分）（2015•红桥区二模）设O 是空间一点，a，b，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，
逆命题不成立的是（
）
A．当a∩b＝O 且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α
B．当a∩b＝O 且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β
C．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
D．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c
【考点】25：四种命题间的逆否关系；2K：命题的真假判断与应用；LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂
直；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用直线与平面垂直的判定定理判断A 的逆命题正误；
通过平面与平面平行的性质定理判断B 的逆命题的正误；
利用平面与平面垂直的性质定理判断C 的逆命题的正误；
利用直线与平面平行的判定定理判断命题D 的逆命题的正误；
【解答】解：对于A，当a∩b＝O 且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α的逆命题为：当a∩b＝O 且a⊂α，
b⊂α时，若c⊥α，则c⊥a，c⊥b，由直线与平面垂直的性质定理可知逆命题正确；
对于B，当a∩b＝O 且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β的逆命题为：当a∩b＝O 且a⊂α，b⊂α时，若α∥
β，则a∥β，b∥β，有直线与平面平行的性质定理可知逆命题正确；
对于C，当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然不正确，可能b 与β不垂
直，所以逆命题不正确；
对于D，当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c 的逆命题为：当b⊂α时，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α；满足
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直线与平面平行的判定定理，正确；
故选：C．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，直线与平面直线与垂直的判定定理与性质定理的应用，考查逻辑推理
能力．
7．（5 分）（天津期末）下列四个条件中，p 是q 的充分不必要条件的是（
）
A．有非零向量a
→，b
→
，直线l1∥a
→，直线l2∥b
→
，p：l1∥l2，q：a
→+ b
→
= 0
→
B．p：m＝2，q：直线mx+y+2＝0 与（m+2）x+my+1＝0 平行
C．p：ab＜0，q：ax2+by2＝c 为双曲线
D．p：F＝0，q：曲线x2+y2+Dx+Ey+F＝0 过原点
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；48：分析法；5L：简易逻辑．
【分析】由向量共线的定义结合充分必要条件的判定方法判断A；由直线mx+y+2＝0 与（m+2）x+my+1＝0 平
行求得m 值判断B；由双曲线的定义判断C；直接利用充分必要条件的判定方法判断D．
【解答】解：对于A，由p：l1∥l2，可得a
→与b
→
共线，不一定有a
→+ b
→
= 0
→
，
反之，由a
→+ b
→
= 0
→
，得a
→=−b
→
，则a
→与b
→
共线，而直线l1∥a
→，直线l2∥b
→
，则l1∥l2 或l1 与l2 重合，故p 是q
的既不充分也不必要条件；
对于B，直线mx+y+2＝0 与（m+2）x+my+1＝0 平行⇔m2﹣（m+2）＝0，则m＝﹣1 或m＝2，故p 是q 的充分
不必要条件；
对于C，ab＜0，当0＝0 时，ax2+by2＝c 为两条直线，由ax2+by2＝c 为双曲线，可得ab＜0，则p 是q 的必要不
充分条件；
对于D，由F＝0，可得曲线x2+y2+Dx+Ey+F＝0 过原点，反之，由曲线x2+y2+Dx+Ey+F＝0 过原点，可得F＝0，
故p 是q 的充要条件．
故选：B．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．
8．（5 分）（天津期末）有如下3 个命题；
①双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值
②双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1 与
x2
b2 −
y2
a2 = 1（a＞0，b＞0）的离心率分别是e1，e2，则
e1
2+e2
2
e1
2e2
2 是定值
③过抛物线x2＝2py（p＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A，B，则直线AB 过定点
其中正确的命题有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得双曲线的渐近线方程，设出P（m，n），运用点到直线的距离公式，化简可得定值，即可判断①；
运用双曲线的离心率公式和基本量的关系，化简可得定值，可判断②；
可设A（s，
s2
2p），B（t，
t2
2p），求得直线AB 的斜率和st＝﹣4p2，运用点斜式方程可得直线AB 的方程，化简可
得定点，即可判断③．
【解答】解：①双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）上任意一点P，设为（m，n），
两条渐近线方程为y＝±
b
ax，可得两个距离的乘积为
|bm+an|
a2+b2 •
|bm−an|
a2+b2 =
|b2m2−a2n2|
a2+b2
，
由b2m2﹣a2n2＝a2b2，可得两个距离乘积是定值
a2b2
a2+b2；
②双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1 与
x2
b2 −
y2
a2 = 1（a＞0，b＞0）的离心率分别是e1，e2，
即有e12= a2+b2
a2
，e22= a2+b2
b2
，可得
e1
2+e2
2
e1
2e2
2 为定值1；
③过抛物线x2＝2py（p＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A，B，
可设A（s，
s2
2p），B（t，
t2
2p），由OA⊥OB 可得st+ s2t2
4p2 =0，即有st＝﹣4p2，
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第565页（共926页）
kAB= t2−s2
2p(t−s) = t+s
2p ，可得直线AB 的方程为y−s2
2p = t+s
2p （x﹣s），即为y= t+s
2p x+2p，
则直线AB 过定点（0，2p）．
三个命题都正确．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运
算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.把答案填在答题纸相应位置上．
9．（5 分）（天津期末）两条平行线l1：x﹣3y+3＝0 与l2：x﹣3y﹣2＝0 间的距离为
10
2
．
【考点】IU：两条平行直线间的距离．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出．
【解答】解：d=
|−2−3|
12+(−3)2 =
10
2 ．
故答案为：
10
2 ．
【点评】本题考查了平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（5 分）（天津期末）已知圆的方程是x2+y2＝3，过点A（1，1）的直线l 被该圆截得的弦长最短，则直线l 的方
程是
x+y﹣2＝0
．
【考点】J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆．
【分析】求出OA 所在直线当斜率，可得直线l 的斜率，再由直线方程的点斜式求解．
【解答】解：点A（1，1）在圆x2+y2＝3 内，
要使过点A（1，1）的直线l 被该圆截得的弦长最短，则所求直线与OA 垂直，
∵kOA＝1，∴kl＝﹣1．
∴直线l 的方程是y﹣1＝﹣1（x﹣1），即x+y﹣2＝0．
故答案为：x+y﹣2＝0．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．
11．（5 分）（天津期末）直线2x+y﹣4＝0 关于直线y＝﹣x+1 对称的直线方程为
x+2y+1＝0
．
【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5B：直线与圆．
【分析】通过点的对称求解即可．
【解答】解：设所求直线上任意一点（x，y）关于直线y＝﹣x+1 对称的点为（﹣y+1，﹣x+1），
可知点（﹣y+1，﹣x+1）在直线2x+y﹣4＝0 上，
即2（﹣y+1）﹣x+1﹣4＝0，
可得x+2y+1＝0．
即所求直线直线方程为x+2y+1＝0．
故答案为：x+2y+1＝0．
【点评】本题主要考查求一条直线关于已知直线的对称的直线的方程的方法，属于基础题
12．（5 分）（天津期末）经过坐标原点和点P（1，1），并且圆心在直线2x+3y+1＝0 上的圆的方程为
（x﹣4）2+
（y+3）2＝25
．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4R：转化法；5B：直线与圆．
【分析】由直线和圆相交的性质可得，圆心在点O（0，0）和点P（1，1）的中垂线上，再根据圆心在直线2x+3y+1
＝0 上，可得圆心C 的坐标和半径r＝|OC|的值，从而得到所求的圆的方程．
【解答】解：由直线和圆相交的性质可得，圆心在点O（0，0）和点P（1，1）的中垂线x+y﹣1＝0 上，
再根据圆心在直线2x+3y+1＝0 上，可得圆心C 的坐标为（4，﹣3），故半径r＝|OC|＝5，
∴所求的圆的方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25．
故答案为：（x﹣4）2+（y+3）2＝25．
【点评】本题考查直线和圆相交的性质，求圆的标准方程，求出圆心坐标是解题的关键，属于基础题．
13．（5 分）（天津期末）已知双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为2．若经过F 和P（0，4）
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
x2
8 −
y2
8 = 1
．
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第566页（共926页）
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线的离心率为2，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y＝±x，根据直线的斜率公式，即
可求得c 的值，求得a 和b 的值，即可求得双曲线方程．
【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e= c
a =
2，c=
2a，
则双曲线为等轴双曲线，即a＝b，
双曲线的渐近线方程为y＝±
b
ax＝±x，
则经过F 和P（0，4）两点的直线的斜率k= 4−0
0+c = 4
c，
则
4
c =1，c＝4，则a＝b＝2 2，
∴双曲线的标准方程：
x2
8 −
y2
8 = 1．
故答案为：
x2
8 −
y2
8 = 1．
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题．
14．（5 分）（天津期末）如图，直角梯形ABCD 中，∠DAB＝90°，AB∥CD，CE⊥AB 于点E．已知BE＝2AE＝
2，∠BCE＝30°．若将直角梯形绕直线AD 旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为
20 3
3
π
．
【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4O：定义法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】解法一，计算圆台和圆柱的体积，二者相减即得所求．
解法二，利用割补法将圆台补成一个大圆锥，计算大圆锥、小圆锥和圆柱的体积，从而求得旋转体的体积．
【解答】解法一，旋转后所得圆台的体积为V 圆台= 1
3π（12+32+1×3）×2 3 = 26 3π
3
，
圆柱的体积为V 圆柱＝π•12•2 3 =2 3π；
则所求旋转体的体积为V= 26 3π
3
−2 3π= 20 3π
3
．
解法二，利用割补法将圆台补成一个大圆锥，
大圆锥的体积为V1= 1
3π•32•3 3 =9 3π，
小圆锥的体积为V2= 1
3π•12• 3 =
3
3 π，
圆柱的体积为V3＝π•12•2 3 =2 3π，
则所求的旋转体的体积为V＝V1﹣V2﹣V3= 20 3π
3
．
故答案为：
20 3π
3
．
【点评】本题考查了空间旋转体的体积计算问题，是基础题．
三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13 分）（天津期末）已知两点A（3，2），B（﹣1，2），圆C 以线段AB 为直径．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y＝kx+4，
①若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；
②若直线l 与圆C 相交于P，Q 不同的两点，是否存在横坐标为−1
3的点M，使点M 恰好为线段PQ 的中点，若
不存在说明理由，若存在求出k 值．
【考点】J9：直线与圆的位置关系；JE：直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】（Ⅰ）由已知求出圆的半径及圆心坐标，则圆的方程可求；
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（Ⅱ）①直线l：y＝kx+4，若直线l 与圆C 相切，由圆心到直线的距离等于半径求k，则直线方程可求；
②联立直线方程与圆的方程，整理后化为关于x 的一元二次方程，由判别式大于0 求得k 的范围，然后结合根
与系数的关系及已知求得k 值得答案．
【解答】解：（Ⅰ）圆的直径|AB|=
(3 + 1)2 + (2 −2)2 = 4，故半径为2．
圆心坐标为AB 的中点（
3−1
2
，
2+2
2 ）＝（1，2），
∴圆C 的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4；
（Ⅱ）①直线l：y＝kx+4，若直线l 与圆C 相切，
则圆心到直线l 的距离d= |k+2|
k2+1 = 2，解得k= 4
3或k＝0，
∴直线l 的方程为4x﹣3y+12＝0 或y＝4；
②由方程组(x −1)2 + (y −2)2 = 4
y = kx + 4
，消去y 整理得
（k2+1）x2+（4k﹣2）x+1＝0．
若直线l 与圆C 相交于P，Q 不同的两点，则△＝4k（3k﹣4）＞0，
得k＞4
3或k＜0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1 + x2 = 2−4k
k2+1．
若
x1+x2
2
=
1−2k
k2+1 =−
1
3，解得k＝3−
5（舍）或k＝3+
5．
∴存在横坐标为−1
3的点M，使点M 恰好为线段PQ 的中点，此时k＝3+
5．
【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．
16．（13 分）（天津期末）已知椭圆C：
x2
2 +y2＝1．
（Ⅰ）求椭圆C 的长轴和短轴的长，离心率e，左焦点F1；
（Ⅱ）经过椭圆C 的左焦点F1 作直线l，直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，若|AB|= 8 2
7 ，求直线l 的方程．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】
（Ⅰ）由椭圆的方程可知：a =
2，b = 1，故c＝1，椭圆C 的长轴2a = 2 2，短轴2b＝2，离心率e = c
a =
1
2 =
2
2 ，左焦点F1（﹣1，0）；
（Ⅱ）设直线l 方程y＝k（x+1），代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得k 的值，即可求得直线l 的方
程．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆C：x2
2 + y2 = 1，可知a2＝2，b2＝1，则a =
2，b = 1，故c＝1﹣﹣﹣（2 分）
∴椭圆C 的长轴2a = 2 2，短轴2b＝2，离心率e = c
a = 1
2 =
2
2 ，
左焦点F1（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6 分）
（Ⅱ）设直线l 方程y＝k（x+1），联立方程组：y = k(x + 1)
x2 + 2y2 = 2，消元得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则由韦达定理可知：x1 + x2 =−
4k2
2k2+1，x1x2 = 2k2−2
2k2+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣（8 分）
则弦长公式：|AB| =
1 + k2 (x1 + x2)2 −4x1x2 = 8 2
7 ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9 分）
∴1 + k2
( −
4k2
2k2+1 )2 −4( 2k2−2
2k2+1) = 8 2
7
即k2 + 1
8(k2+1)
2k2+1
= 8 2
7
解得：k2＝3，k =±
3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11
分）
∴直线l 的方程：y =
3(x + 1)或y =−
3(x + 1)
即3x −y +
3 = 0 或3x + y +
3 = 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（12 分）（两个都写对了才给分，
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否则扣掉1 分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，考查计
算能力，属于中档题．
17．（13 分）（天津期末）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD＝2AB＝2，E
为PB 中点．
（Ⅰ）求证：PD∥平面AEC；
（Ⅱ）求异面直线AE 与PD 所成角的正切值；
（Ⅲ）求AE 与底面ABCD 所成角的余弦值．
【考点】LM：异面直线及其所成的角；LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题；5Q：立体几何．
【分析】第一步利用线面平行的判定定理易证；第二步化异面为共面；第三步利用线面所成角的定义作图求解．
【解答】解：
（Ⅰ）∵底ABCD 为正方形，
连BD，AC 交于点O，
则O 为BD 的中点．
连结EO，
∵E 为PB 的中点，
∴EO∥PD．
又EO⊂平面AEC，PD⊄平面AEC，
所以PD∥平面AEC．
（Ⅱ）∵EO∥PD，
∴∠AEO 为异面直线AE 与PD 所成角．
∵PA＝PC，
∴PO⊥AC．
又BD⊥AC，PO∩BD＝O，
∴AC⊥平面PBD．
又EO⊂平面PBD，
∴AC⊥EO．
∴△AOE 为直角三角形，
又OE= 1
2PD＝1，AO=
2
2 ，
∴tan∠AEO= AO
EO =
2
2 ．
即异面直线AE 与PD 所成角的正切值为
2
2 ．
（Ⅲ）取OB 中点F，则EF∥PO，
且EF= 1
2PO=
14
4 ．
又由PA＝PB＝PC＝PD，
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第569页（共926页）
可得PO⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD．
故∠EAF 为AE 与底面ABCD 所成的角．
又AF2＝AO2+OF2= 5
8，AE2＝AF2+EF2= 3
2，
cos∠EAF= AF
AE =
10
4
6
2
=
15
6 ，
所以AE 与底面ABCD 所成角的余弦值为
15
6 ．
【点评】此题考查了线面平行，异面直线所成角，线面所成角等知识，难度不大．
18．（13 分）（天津期末）在长方体AC1 中，已知棱AB＝BC＝1，BB1＝2，连结B1C，过点B 作B1C 的垂线，垂足
为F，交CC1 于E．
（Ⅰ）求证：A1B1⊥BE；
（Ⅱ）求证：平面A1B1C⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角C﹣A1B1﹣A 的正弦值．
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（Ⅰ）由A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，得A1B1⊥平面B1BCC1，由此能证明A1B1⊥BE．
（Ⅱ）由A1B1⊥BE，BE⊥B1C，得BE⊥平面A1B1C，由此能证明平面A1B1C⊥平面BDE．
（Ⅲ）由A1B1⊥平面B1BCC1，得A1B1⊥B1C，A1B1⊥B1B，从而∠CB1B 为二面角C﹣A1B1﹣A 的平面角，由
此能求出二面角C﹣A1B1﹣A 的正弦值．
【解答】（本小题满分13 分）
证明：（Ⅰ）∵长方体AC1 中，A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1，
∴A1B1⊥平面B1BCC1，
又BE⊂平面B1BCC1，
∴A1B1⊥BE．………（4 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A1B1⊥BE，由已知BE⊥B1C，A1B1⊥B1C＝B1，
∴BE⊥平面A1B1C．
……………………………（6 分）
又BE⊂平面BDE，∴平面A1B1C⊥平面BDE．………………………（8 分）
解：（Ⅲ）∵A1B1⊥平面B1BCC1，∴A1B1⊥B1C，A1B1⊥B1B，
∴∠CB1B 为二面角C﹣A1B1﹣A 的平面角．……………………………（11 分）
∵AB＝BC＝1，BB1＝2，B1C=
5，∴sin∠CB1B= 1
5 =
5
5 ，
∴二面角C﹣A1B1﹣A 的正弦值为
5
5 ．
………………………………（13 分）
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第570页（共926页）
【点评】本题考查线线垂直、面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的
位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19．（14 分）（天津期末）已知椭圆E：
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0）过点P（2，2
2 ），其上顶点B（0，b）与左右焦
点F1，F2 构成等腰三角形，且∠F1BF2＝120°．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）以点B（0，b）为焦点的抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的一动点P（m，yp），抛物线C 在点P 处的切线l
与椭圆E 交于P1P2 两点，线段P1P2 的中点为D，直线OD（O 为坐标原点）与过点P 且垂直于x 轴的直线交于
点M，问：当0＜m≤b 时，△POM 面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在说明理由．
【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）由已知得：a＝2b，
2
a2 +
1
2b2 =1，联立解出即可得出．
（Ⅱ）抛物线C 的焦点B（0，1），则其方程为x2＝4y．y′= 1
2x．于是抛物线上点P（m，
m2
4 ），可得切线l 的
方程为：y−m2
4 = m
2（x﹣m），与椭圆方程联立整理后得（m2+1）x2﹣m3x+ 1
4 m4 −4＝0．由已知直线l 与椭圆交
于两点，则△＞0．可得m 范围．设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则xD= x1+x2
2
．代入l 的方程得yD．故直线OD
的方程为：y = yD
xDx，可得点M．△POM 面积S= 1
2|PM|•m，利用导数研究其单调性即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得：a＝2b，
2
a2 +
1
2b2 =1，
解得b2＝1，a2＝4．
故椭圆E 的方程为：
x2
4 +y2＝1．
（Ⅱ）抛物线C 的焦点B（0，1），则其方程为x2＝4y．y′= 1
2x．
于是抛物线上点P（m，
m2
4 ），则在点P 处的切线l 的斜率为k＝y′|x＝m= m
2，
故切线l 的方程为：y−m2
4 = m
2（x﹣m），即y= m
2x−m2
4 ．
由方程组
y = m
2 x −m2
4
x2
4 + y2 = 1
，消去y，整理后得（m2+1）x2﹣m3x+ 1
4 m4 −4＝0．
由已知直线l 与椭圆交于两点，则△＝m6﹣4（m2+1）（
1
4 m4 −4）＞0．
解得0≤m2＜8+4 5，其中m＝0 是不合题意的．
∴−
8 + 4 5＜m＜0，或0＜m＜8 + 4 5．
设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则xD= x1+x2
2
=
m3
2(m2+1)．
代入l 的方程得yD=
−m2
4(m2+1)．
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故直线OD 的方程为：y = yD
xDx，即y=−1
2mx．
当x＝m 时，y=−1
2，即点M(m，−1
2 )．
△POM 面积S= 1
2|PM|•m= 1
2 ( 1
2 + m2
4 )m= 1
8 m3 + 1
4m．
∵S′= 3
8m2+ 1
4 ＞0，
故S 关于m 单调递增．
∵0＜m≤1，∴当m＝1 时，△POM 面积最大值为
3
8．
【点评】本题考查了椭圆的本质方程及其性质、方程与不等式的解法、三角形面积计算公式、导数的应用，考查
了推理能力与计算能力，属于难题．
20．（14 分）（天津期末）如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD
＝NB＝1，E 为BC 中点．
（Ⅰ）求四棱锥A﹣BDMN 的体积；
（Ⅱ）求点C 到平面AMN 的距离；
（Ⅲ）在线段AN 上，是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS 的长，若不存在，请说明理由．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；5H：空间向量及应用．
【分析】（Ⅰ）连接AC、BD，交于O 点，可得AO⊥平面MDBN，即可得四棱锥A﹣MDBN 的体积．
（Ⅱ）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DM 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
（Ⅲ）求得平面AMN 的法向量，只需ES
→
∥n
→即可．
【解答】解：（Ⅰ）连接AC、BD，交于O 点，∵ABCD 是正方形，∴AO⊥BD，
又NB⊥平面ABCD，AO⊥NB，∴AO⊥平面MDBN，…（10 分）
因为矩形MDBN 的面积S＝MD×BD=
2，
所以四棱锥A﹣MDBN 的体积V= 1
3 × S × AO = 1
3，
（Ⅱ）如图以点D 为坐标原点，以DA，
→
DC
→
，DM
→
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
依题意D（0，0，0），A（1，0，0）B（1，1，0），C（0，1，0），M（0，0，1），N（1，1，1），O（
1
2 ，
1
2 ，0）．
设平面AMN 的一个法向量为n
→= (x，y，z)，AM
→
= ( −1，0，1)，AN
→
= (0，1，1)，CM
→
= (0，−1，1)，
于是
AM
→
⋅n
→=−x + z = 0
AN
→
⋅n
→= y + x = 0
即−x + z = 0
y + z = 0
取n
→= (1，−1，1)，………………………（7 分）
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则点C 到平面AMN 的距离d= |n
→⋅CM
→
|
|n
→|
=
2
1+1+1 = 2 3
3 ．
……………………………（8 分）
（Ⅲ）假设在线段AN 上存在点S，使得ES⊥平面AMN．
设AS
→
= λAN
→
= (0，λ，λ)，又ES
→
= ( 1
2 ，−1，0)，故ES
→
= EA
→
+ AS
→
= ( 1
2 ，λ −1，λ)．………（10 分）
由（Ⅱ）知平面AMN 的一个法向量为n
→= (1，−1，1)，
则ES
→
∥n
→，得
1
2 =
λ−1
−1 = λ，λ = 1
2．
此时AS
→
= (0，1
2 ，1
2 )，AS=
2
2 ．
故在AN 上存在点中点S，使得ES⊥平面ANM，线段AS 的长为
2
2 ．
【点评】本题考查体积、点面距离的求法，判定线面垂直的方法，求平面的法向量的坐标是解题的关键，是中档
题．
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考点卡片
1．四种命题间的逆否关系
【知识点的认识】
基本概念：
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命
题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否
定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命
题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原
命题的逆否命题．
四种命题的关系：
【解题方法点拨】
由于本处命题主要是概念型与理解型的题，准确理解概念；注意原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真
假．原命题与逆否命题同真假，为解题提供逆向思维的方法，反证法的应用．
【命题方向】近几年的高考主要是考察对四命题的理解以及命题之间互为逆否关系的理解，通常以小题为主．又可
以与充要条件联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p 则q”为真时，可表示为p⇒q，称p 为q 的充分条件，q 是p 的必要条件．事实上，与“p⇒q”
等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q 不成立，则p 一定不成立．这就是说，q 对于p 是必不可少的，
所以说q 是p 的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p 一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p 是q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，
记作“p⇔q”．p 与q 互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证
明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆
二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q 为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；
②若p⇒q 为假命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；
③若p⇒q 为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④若p⇒q 为假命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多
以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的
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条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P 不是命题P 的否命题，而是命题P 的否定形
式．对命题“若P 则Q“来说，¬P 是“若P 则非Q”；P 的否命题是“若非P 则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．
【解题方法点拨】若p 则q，那么它的否命题是：若¬p 则¬q，命题的否定是：若p 则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量
词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．
【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改
地区常考题型．
4．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q 及非p 的真假，然后由真值表判断复合命题的
真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0 的两根都不是实根”，因为“都是”的反
面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得
出复合命题的真假．
2．判断一个“若p 则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p 则q”为
真；而要确定“若p 则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这
一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
5．直线的倾斜角
【知识点的认识】
1．定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．
2．范围：[0，π）（特别地：当直线l 和x 轴平行或重合时，规定直线l 的倾斜角为0°）
3．意义：体现了直线对x 轴正方向的倾斜程度．
4．斜率与倾斜角的区别和联系
（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．
②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．
（2）联系：①当a≠π
2时，k＝tanα；当α= π
2时，斜率不存在；
②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，
π
2）时，k＞0 且tanα随α的增大而增大，当α∈（
π
2，π）时，k＜0 且tanα
随α的增大而增大．
【命题方向】
直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的
几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问
题．
（1）直接根据直线斜率求倾斜角
例：直线3x+y﹣1＝0 的倾斜角是（
）
A.30° B.60° C.120° D.150°
分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
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解答：因为直线3x+y﹣1＝0 的斜率为：−
3，
直线的倾斜角为：α．
所以tanα=−
3，
α＝120°
故选C．
点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．
（2）通过条件转换求直线倾斜角
例：若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB 的倾斜角为（
）
A．30° B.45°
C．60°
D．120°
分析：由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB 的斜率，从而能求出直线AB 的倾斜角．
解答：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，
∴直线AB 的斜率k= 4−1
3−0 =1，
∴直线AB 的倾斜角α＝45°．
故选B．
点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
6．与直线关于点、直线对称的直线方程
【知识点的知识】
点与直线的对称问题：
（l）点关于点对称（中点坐标公式）：
点关于点成中心对称的对称中心恰是以这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式
的应用问题．设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P 关于A 的对称点为P′（2a﹣x0，2b﹣y0）
（2）点关于直线成轴对称问题
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可
求出对称点的坐标．一般情形如下：
设点P（x0，y0），关于直线y＝kx+b 的对称点为P′（x′，y′），则有
y'−y0
x'−x0 ⋅k =−1
y'+y0
2
= k ⋅x'+x0
2
+ b
可求出x′，y′．
特殊地，点P（x0，y0）关于直线x＝a 的对称点为P′（2a﹣x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y＝b 的对称点为P′
（x0，2b﹣y0）．
（3）线关于点对称（转化为点关于点对称，或代入法，两条直线平行）：
（4）线关于线对称（求交点，转化为点关于线对称）：
由平面几何知识可知若直线a、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：
①若a、b 相交，则l 是a、b 交角的平分线；
②若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB⊥l，并且AB 的中点D 在l 上；
③a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合．
7．两条平行直线间的距离
【概念】
两平行线的距离就是指平行线上的点到另一条直线的最短距离，因为两直线平行，所以直线上的点到另一条平
行线上的点的距离都相等，若设两条平行线的表达式为：ax+by+c＝0 和ax+by+d＝0，其中c≠d，那么这两条直线
的距离为：d= |c−d|
a2+b2
【例题解析】
例：求曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3＝0 的最小距离
解：求导函数可得y' =
2
2x−1
令y' =
2
2x−1 =2，可得x＝1，∴y＝0
即曲线y＝ln（2x﹣1）在（1，0）处的切线与直线2x﹣y+3＝0 平行，该点到直线2x﹣y+3＝0 的距离最小，
最小为d = 5
5 =
5．
这个题其实是个数形结合的题，其过程是通过平移该直线，当这条直线与曲线相切时，就找到了曲线到直线的
最小距离的点，原理是平行线上的点到另一条平行线上的点的距离相等．然后在套用距离公式求解即可．
【考点分析】
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点到直线还是直线到直线的距离，考查的较多的是他们的原理，他们的应用，另外再是距离的计算，在这里需
要点出复习时一定要注意他们的应用，特别是平行线的平移．
8．直线与圆相交的性质
【知识点的知识】
直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：
①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；
②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．
【例题解析】
例：写出直线y＝x+m 与圆x2+y2＝1 相交的一个必要不充分条件：
解：直线x﹣y+m＝0 若与圆x2+y2＝1 相交，
则圆心（0，0）到直线的距离d＜1，
即d= |m|
2 ＜1，
∴|m|＜2，
即−
2＜m＜2，
∴满足−
2＜m＜2的必要不充分条件均可．
故答案为：满足−
2＜m＜2的必要不充分条件均可．
这是一道符合高考命题习惯的例题，对于简单的知识点，高考一般都是把几个知识点结合在一起，这也要求大
家知识一定要全面，切不可投机取巧．本题首先根据直线与圆的关系求出满足要求的m 的值；然后在考查了考试对
逻辑关系的掌握程度，不失为一道好题．
【考点解析】
本知识点内容比较简单，在初中的时候就已经学习过，所以大家要熟练掌握，特别是点到直线的距离怎么求，
如何判断直线与圆相切．
9．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0 与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d 和半径r 的关系判断．
圆心到直线的距离d= |Aa+Bb+C|
A2+B2
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由Ax + By + C = 0
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
10．直线和圆的方程的应用
【知识点的知识】
1、直线方程的形式：
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2、圆的方程：
（1）圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r 的圆的方程为：x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．
（2）圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心（−D
2，−E
2），半径r= 1
2
D2 + E2 −4F．
11．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0），焦点在x 轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）
y2
a2 +
x2
b2 = 1（a＞b＞0），焦点在y 轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x 轴上
y2
a2 +
x2
b2 = 1（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y 轴上
图形
顶点
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴
x 轴、y 轴，长轴长2a，短轴长
2b
焦点在长轴长上
x 轴、y 轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
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离心率
e= c
a（0＜e＜1）
e= c
a（0＜e＜1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
12．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和
短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
c
a叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e= c
a，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e 越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为
x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
13．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
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14．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
15．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：
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（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
圆柱：S圆柱= 2πr(r + l)
圆锥：S圆锥= πr(r + l)
圆台：S圆台= π(r2 + r'2 + rl + r'l)
球：S球= 4πr2
（2）体积公式：
柱体：V柱= Sh
锥体：V锥= 1
3 Sh
台体：V台= 1
3 (S +
SS' + S')h
球：V球= 4πr3
3
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图
的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之
间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面
积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
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A.8﹣2πB.8﹣πC.8−π
2
D.8−π
4
分析：几何体是正方体切去两个
1
4圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入
正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个
1
4圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2× 1
4 ×π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
16．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆
柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱1．有两个底面互相平行，且形状、大小一样的圆
2．侧面为曲面，展开为矩形
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
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V圆柱= πr2h
S圆柱= 2 × πr2 + 2πrh = 2πr(r + h)
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
圆锥1．只有一个顶点，只有一个底面为圆
2．侧面为曲面，展开为扇形
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l 与底面半径r 和高h 的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
V圆锥= 1
3 πr2h
S圆锥表面积= πr2 + πrl = πr(r + l)
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆
台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
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圆台1．上下底面平行，为半径不等的圆
2．侧面展开图为一个扇环
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
V圆台= 1
3 πh(r2 + R2 + Rr)
S圆台表面积= πr2 + πR2 + πrl + πRl = π(r2 + R2 + rl + Rl)
．
17．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V 柱＝sh，V 锥= 1
3Sh．
18．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b 是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′
所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，
π
2]．当θ＝90°时，称两
条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
19．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，
a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，
就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b 与a 的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a 平行有
无数条，另一类与a 异面，也有无数条．
20．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l 和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l 叫
做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l 和平面α，l⊥α⇔l 垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
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（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
21．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
22．空间向量的夹角与距离求解公式
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角公式
设空间向量a
→=（a1，a2，a3），b
→
=（b1，b2，b3），
cos＜a
→，b
→
＞=
a
→⋅b
→
|a
→|⋅|b
→
|
=
a1b1+a2b2+a3b3
a12+a22+a32⋅b1
2+b2
2+b3
2
注意：
（1）当cos＜a
→，b
→
＞=1 时，a
→与b
→
同向；
（2）当cos＜a
→，b
→
＞=−1 时，a
→与b
→
反向；
（3）当cos＜a
→，b
→
＞=0 时，a
→⊥b
→
．
2．空间两点的距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
AB
→
= (x2 −x1，y2 −y1，z2 −z1)
dA，B＝|AB
→
|=
AB
→
⋅AB
→
=
(x2 −x1)2 + (y2 −y1)2 + (z2 −z1)2．
【解题思路点拨】
1．求空间两条直线的夹角
建系→写出向量坐标→利用公式求夹角
2．求空间两点的距离
建系→写出点的坐标→利用公式求距离．
【命题方向】
（1）利用公式求空间向量的夹角
例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量AB
→
与AC
→
的夹角为（
）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
分析：由题意可得：AB
→
= (0，3，3)，AC
→
= ( −1，1，0)，进而得到AB
→
⋅AC
→
与|AB
→
|，|AC
→
|，再由cos＜AB
→
，AC
→
＞=
AB
→
⋅AC
→
|AB
→
||AC
→
|
可得答案．
解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），
所以AB
→
= (0，3，3)，AC
→
= ( −1，1，0)，
所以AB
→
⋅AC
→
═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|AB
→
|＝3 2，|AC
→
|=
2，
所以cos＜AB
→
，AC
→
＞= AB
→
⋅AC
→
|AB
→
||AC
→
|
=
3
3 2× 2 = 1
2，
∴AB
→
与AC
→
的夹角为60°
故选C．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量
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的夹角，属于基础试题．
（2）利用公式求空间两点的距离
例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（
）
A.3
B. 29
C.2 5
D.5
分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．
解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），
所以AB
→
=（﹣3，0，﹣4），所以|AB
→
| =
( −3)2 + 02 + ( −4)2 =5．
故选D．
点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．
23．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，
π
2）；直线和平面所成的角的范围为[0，
π
2]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交
直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面
所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线
在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线
这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一
切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根
据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三
角形求得．
（2）向量求法：设直线l 的方向向量为a
→，平面的法向量为u
→，直线与平面所成的角为θ，a
→与u
→的夹角为φ，则有sinθ
＝|cos φ|= |a
→⋅u
→|
|a
→||u
→|
．
24．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
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从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部
分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣
Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，
则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的
另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所
成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为u
→和v
→，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜u
→，v
→＞≤π
2，θ= ＜u
→，v
→＞，此时cosθ＝cos＜u
→，v
→＞=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
（2）当
π
2 ＜＜u
→，v
→＞≤π时，θ＝cos（π−＜u
→，v
→＞）＝﹣cos＜u
→，v
→＞=−=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|．
25．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
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2018-2019 学年辽宁省实验中学分校高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）（皇姑区校级期末）已知(3 +
3i) ⋅z =−2 3i（i 是虚数单位），那么z 的共轭复数对应的点位于复平面
内的（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（5 分）（河南期末）若x＞0，y＞0，则“x + 2y = 2 2xy”的一个充分不必要条件是（
）
A．x＝y
B．x＝2y
C．x＝2，且y＝1
D．x＝y 或y＝1
3．（5 分）（皇姑区校级期末）若a＜b＜0，则下列不等式中一定不成立的是（
）
A．
1
a ＜
1
b
B．−a＞−b
C．|a|＞﹣b
D．
1
a−b ＞
1
b
4．（5 分）（皇姑区校级期末）设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a1＝﹣2015，S6﹣2S3＝18，则S2017＝（
）
A．2016
B．2017
C．﹣2015
D．﹣2018
5．（5 分）（盐湖区期末）设点F1，F2 分别是双曲线C：x2
a2 −y2
2 = 1(a＞0)的左、右焦点，过点F1 且与x 轴垂直的
直线l 与双曲线C 交于A，B 两点．若△ABF2 的面积为2 6，则该双曲线的渐近线方程为（
）
A．y =±
3x
B．y =± 3
3 x
C．y =±
2x
D．y =± 2
2 x
6．（5 分）（皇姑区校级期末）曲线y＝xex﹣1 在点（1，1）处的切线方程为（
）
A．y＝2x+1
B．y＝2x﹣1
C．y＝x+2
D．y＝x﹣2
7．（5 分）（2014•滨州二模）已知a＞0，b＞0，若不等式
3
a +
1
b ≥
m
a+3b恒成立，则m 的最大值为（
）
A．9
B．12
C．18
D．24
8．（5 分）（皇姑区校级期末）已知数列{an}为等比数列，若a5＝2，则数列{an}的前9 项之积T9 等于（
）
A．512
B．256
C．128
D．64
9．（5 分）（皇姑区校级期末）若函数f（x）＝a（x﹣2）ex+lnx﹣x 存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数a
的取值范围为（
）
A．（−1
e2，
1
e2）
B．（−1
e，
1
e）
C．（−1
e2，0]
D．（−1
e，0]
10．（5 分）（2016 春•德州期末）定义
n
p1+p2+⋯+pn
为n 个正数p1，p2…pn 的“平均倒数”．若已知数列{an}的前n
项的“平均倒数”为
1
2n+1，又bn= an+1
4
，则
1
b1b2
+
1
b2b3
+ ⋯+
1
b2017b2018
等于（
）
A．
2018
2019
B．
2017
2018
C．
2016
2017
D．
2015
2016
11．（5 分）（2018•大观区校级模拟）已知过抛物线C：y2＝8x 的焦点F 的直线l 交抛物线于P，Q 两点，若R 为线
段PQ 的中点，连接OR 并延长交抛物线C 于点S，则
|OS|
|OR|的取值范围是（
）
A．（0，2）
B．[2，+∞）
C．（0，2]
D．（2，+∞）
12．（5 分）（皇姑区校级期末）已知可导函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的x∈R，都有f（x）＞f′（x）
+2，且f（x）﹣2019 为奇函数，则不等式f（x）﹣2017ex＜2 的解集为（
）
A．（﹣∞，0）
B．（0，+∞）
C．( −∞，1
e2 )
D．( 1
e2 ，+ ∞)
二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．将答案填入答题纸相应位置）
13．（5 分）（皇姑区校级期末）已知变量x，y 满足约束条件
x + 2y ≥2
2x + y ≤4
4x −y ≥−1
，则目标函数z＝2x﹣y 的最小值是
．
14．（5 分）（2017 春•廊坊期末）已知命题p：∀x∈（1，+∞），x3+16＞8x，则命题p 的否定为
．
15．（5 分）（皇姑区校级期末）若׬
1
2（2x+ 1
x）dx＝
．
16．（5 分）（2017•海淀区二模）已知椭圆G：
x2
6 +
y2
b2 = 1(0＜b＜
6)的两个焦点分别为F1 和F2，短轴的两个端点
分别为B1 和B2，点P 在椭圆G 上，且满足|PB1|+|PB2|＝|PF1|+|PF2|．当b 变化时，给出下列三个命题：
①点P 的轨迹关于y 轴对称；
②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个；
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第590页（共926页）
③|OP|的最小值为2，
其中，所有正确命题的序号是
．
三、解答题（共6 小题，共70 分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）
17．（10 分）（皇姑区校级期末）在复平面内，复数z = 2i
1+i（i 为虚数单位）的共轭复数z对应点为A，点A 关于原
点O 的对称点为B，求：
（Ⅰ）点A 所在的象限；
（Ⅱ）向量OB
→
对应的复数．
18．（12 分）（宁城县期末）已知命题p：k2﹣8k﹣20≤0，命题q：方程
x2
4−k +
y2
1−k =1 表示焦点在x 轴上的双曲线．
（Ⅰ）命题q 为真命题，求实数k 的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k 的取值范围．
19．（12 分）（皇姑区校级期末）已知函数f（x）＝ax2+2x+c 的最低点为（﹣1，﹣2）．
（1）求不等式f（x）＞7 的解集；
（2）若对任意x∈[2，4]，不等式f（x﹣t）≤x﹣2 恒成立，求实数t 的取值范围．
20．（12 分）（皇姑区校级期末）在数列{an}中，a1＝4，前n 项和Sn 满足Sn＝an+1+n．
（1）求证：当n≥2 时，数列{an﹣1}为等比数列，并求通项公式an；
（2）令bn =
nan
2n−1+1 ⋅( 1
3 )n，求数列{bn}的前n 项和为Tn．
21．（12 分）（定远县期末）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1（a＞b＞0）的离心率是
2
2 ，其左、右焦点分别为F1，F2，短
轴顶点分别为A，B，如图所示，△ABF2 的面积为1．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点P（﹣1，1）且斜率为k 的直线l 交椭圆C 于M，N 两点（异于A，B 点），证明：直线BM 和BN 的
斜率和为定值．
22．（12 分）（2018•香坊区校级模拟）已知函数f（x）＝x（lnx﹣k﹣1），k∈R
（1）当x＞1 时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx 成立，求实数k 的取值范围；
（3）若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），证明：x1•x2＜e2k．
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2018-2019 学年辽宁省实验中学分校高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）（皇姑区校级期末）已知(3 +
3i) ⋅z =−2 3i（i 是虚数单位），那么z 的共轭复数对应的点位于复平面
内的（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z对应的点的坐标得答案．
【解答】解：由(3 +
3i) ⋅z =−2 3i，
得z = −2 3i
3+ 3i = −2 3i(3−3i)
(3+ 3i)(3−3i) = −6 3i−6
12
=−1
2 −3
2 i，
则z =−1
2 + 3
2 i．
∴z对应的点的坐标为：（−1
2，
3
2 ），位于复平面内的第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查了复数的代数表示法及其几何意义，
是基础题．
2．（5 分）（河南期末）若x＞0，y＞0，则“x + 2y = 2 2xy”的一个充分不必要条件是（
）
A．x＝y
B．x＝2y
C．x＝2，且y＝1
D．x＝y 或y＝1
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．
【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质求出答案即可．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，
∴x+2y≥2 2xy，当且仅当x＝2y 时取等号，
故“x＝2 且y＝1”是“x+2y＝2 2xy”的充分不必要条件，
故选：C．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．
3．（5 分）（皇姑区校级期末）若a＜b＜0，则下列不等式中一定不成立的是（
）
A．
1
a ＜
1
b
B．−a＞−b
C．|a|＞﹣b
D．
1
a−b ＞
1
b
【考点】R3：不等式的基本性质．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．
【分析】根据不等式的基本性质判断即可．
【解答】解：∵a＜b＜0，
∴
1
a ＞
1
b，
故A 错误，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质的应用，是一道基础题．
4．（5 分）（皇姑区校级期末）设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a1＝﹣2015，S6﹣2S3＝18，则S2017＝（
）
A．2016
B．2017
C．﹣2015
D．﹣2018
【考点】85：等差数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据a1＝﹣2015，S6﹣2S3＝18，利用求和公式可得d，即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝﹣2015，S6﹣2S3＝18，
∴6a1 + 6×5
2 d﹣2(3a1 + 3×2
2 d) =18，
化为：9d＝18，解得d＝2．
则S2017＝2017×（﹣2015）+ 2017×2016
2
× 2 =2017．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5 分）（盐湖区期末）设点F1，F2 分别是双曲线C：x2
a2 −y2
2 = 1(a＞0)的左、右焦点，过点F1 且与x 轴垂直的
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直线l 与双曲线C 交于A，B 两点．若△ABF2 的面积为2 6，则该双曲线的渐近线方程为（
）
A．y =±
3x
B．y =± 3
3 x
C．y =±
2x
D．y =± 2
2 x
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设F1（﹣c，0），A（﹣c，y0），c2＝a2+2，A 点代入双曲线的方程，解得y0，由三角形的面积公式，可
得a，c 的关系，进而得到a，b 的关系，可得渐近线方程．
【解答】解：设F1（﹣c，0），A（﹣c，y0），c2＝a2+2，
则
c2
a2 −
y02
2
=1，则y02＝2•
c2−a2
a2
=
4
a2，
又S△ABF2 =2 6，
即为
1
2•2c•|2y0|= 4c
a =2 6，
即为
c
a =
6
2 ，则
b
a =
c2
a2 −1 =
2
2 ，
故该双曲线的渐近线方程为y＝±
2
2 x．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的方程和应用，考查运算能力，属于中档题．
6．（5 分）（皇姑区校级期末）曲线y＝xex﹣1 在点（1，1）处的切线方程为（
）
A．y＝2x+1
B．y＝2x﹣1
C．y＝x+2
D．y＝x﹣2
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；52：导数的概念及应用．
【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程．
【解答】解：y＝xex﹣1 的导数为y′＝（1+x）ex﹣1，
可得曲线y＝xex﹣1 在点（1，1）处的切线斜率为2，
曲线y＝xex﹣1 在点（1，1）处的切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），
即为y＝2x﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．
7．（5 分）（2014•滨州二模）已知a＞0，b＞0，若不等式
3
a +
1
b ≥
m
a+3b恒成立，则m 的最大值为（
）
A．9
B．12
C．18
D．24
【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】变形利用基本不等式即可得出．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，不等式
3
a +
1
b ≥
m
a+3b恒成立，∴m ≤[(a + 3b)( 3
a + 1
b )]min．
∵(a + 3b)( 3
a + 1
b ) =6+ 9b
a + a
b ≥6 + 2
9b
a ⋅a
b =12，当且仅当a＝3b 时取等号．
∴m 的最大值为12．
故选：B．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
8．（5 分）（皇姑区校级期末）已知数列{an}为等比数列，若a5＝2，则数列{an}的前9 项之积T9 等于（
）
A．512
B．256
C．128
D．64
【考点】89：等比数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】由等比数列的性质可得：a1a9＝a2a8= ⋯= a5
2 =22＝4．即可得出数列{an}的前9 项之积T9．
【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a9＝a2a8= ⋯= a5
2 =22＝4．
∴数列{an}的前9 项之积T9＝a1a9•a2a8•…a5＝44×2＝29＝512．
故选：A．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．（5 分）（皇姑区校级期末）若函数f（x）＝a（x﹣2）ex+lnx﹣x 存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数a
的取值范围为（
）
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A．（−1
e2，
1
e2）
B．（−1
e，
1
e）
C．（−1
e2，0]
D．（−1
e，0]
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】先求导，再由f'（x）＝0 得到x＝1 或aex−1
x =0（*），根据（*）无解和函数的极值大于0 即可求出a
的范围，
【解答】解：f（x）＝a（x﹣2）ex+lnx﹣x，x＞0，
∴f′（x）＝a（x﹣1）ex+ 1
x −1＝（x﹣1）（aex−1
x），
由f'（x）＝0 得到x＝1 或aex−1
x =0（*）
由于f（x）仅有一个极值点，
关于x 的方程（*）必无解，
①当a＝0 时，（*）无解，符合题意，
②当a≠0 时，由（*）得，a= 1
xex，
设g（x）＝xex，
∴g′（x）＝ex（x+1）＞0 恒成立，
∴g（x）为增函数，
∴函数y= 1
xex为减函数
∴当x→+∞时，y→0
∴a＜0
∴x＝1 为f（x）的极值点，
∵f（1）＝﹣ae﹣1＜0，
∴a＞−1
e
综上可得a 的取值范围是（−1
e，0]
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论的思想方法，考查了转化方法，考查了推
理能力与计算能力，属于难题．
10．（5 分）（2016 春•德州期末）定义
n
p1+p2+⋯+pn
为n 个正数p1，p2…pn 的“平均倒数”．若已知数列{an}的前n
项的“平均倒数”为
1
2n+1，又bn= an+1
4
，则
1
b1b2
+
1
b2b3
+ ⋯+
1
b2017b2018
等于（
）
A．
2018
2019
B．
2017
2018
C．
2016
2017
D．
2015
2016
【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】由题意和“平均倒数”的定义列出方程，求出数列{an}的前n 项和为Sn，根据an = S1，n = 1
Sn −Sn−1，n ≥2
求出an，代入bn= an+1
4
化简求出bn，代入
1
bnbn+1
化简后利用裂项相消法求出式子的和．
【解答】解：由题意和“平均倒数”得，
n
a1+a2+⋯+an
=
1
2n+1，
设数列{an}的前n 项和为Sn，则Sn＝2n2+n，
当n＝1 时，a1＝S1＝3，
当n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1
＝（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]＝4n﹣1，
当n＝1 时也适合上式，∴an＝4n﹣1，则bn= an+1
4
=n，
∴
1
bnbn+1
=
1
n(n+1) =
1
n −
1
n+1，
∴
1
b1b2
+
1
b2b3
+ ⋯+
1
b2017b2018
=（1−1
2）+（
1
2 −
1
3）+…+（
1
2017 −
1
2018）
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= 1 −
1
2018 = 2017
2018，
故选：B．
【点评】本题考查新定义的理解与应用，利用公式an = S1，n = 1
Sn −Sn−1，n ≥2
求数列的通项，以及裂项相消法求数列
的和，考查化简、变形能力．
11．（5 分）（2018•大观区校级模拟）已知过抛物线C：y2＝8x 的焦点F 的直线l 交抛物线于P，Q 两点，若R 为线
段PQ 的中点，连接OR 并延长交抛物线C 于点S，则
|OS|
|OR|的取值范围是（
）
A．（0，2）
B．[2，+∞）
C．（0，2]
D．（2，+∞）
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设直线PQ 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得R 点坐标，求得OR 的
方程，代入抛物线方程，即可求得S 点坐标，由则
|OS|
|OR| =
x3
x0
，即可求得答案．
【解答】解：抛物线C：y2＝8x 的焦点F（2，0），直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y＝k（x﹣2），
y = k(x −2)
y2 = 8x
，消去y，整理得：k2x2﹣4（k2+2）x+4k2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x0，y0），S（x3，
y3），
则x1+x2= 4(k2+2)
k2
，则x0= x1+x2
2
= 2(k2+2)
k2
，y0＝k（x0﹣2）= 4
k，
∴kOS= y0
x0 =
2k
k2+2，则直线OS 的方程为y=
2k
k2+2x，y =
2k
k2+2 x
y2 = 8x
，解得：x3= 2(k2+2)2
k2
，
由k2＞0，则
|OS|
|OR| =
x3
x0
=k2+2＞0，
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．
12．（5 分）（皇姑区校级期末）已知可导函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的x∈R，都有f（x）＞f′（x）
+2，且f（x）﹣2019 为奇函数，则不等式f（x）﹣2017ex＜2 的解集为（
）
A．（﹣∞，0）
B．（0，+∞）
C．( −∞，1
e2 )
D．( 1
e2 ，+ ∞)
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4M：构造法；53：导数的综合应用．
【分析】令2017g（x）= f(x)−2
ex
，（x∈R），从而求导g′（x）＜0，从而可判断y＝g（x）单调递减，再由奇函
数的性质可得，f（0）＝2019，从而可得到不等式的解集．
【解答】解：设2017g（x）= f(x)−2
ex
，由f（x）＞f′（x）+2，
得：g′（x）= f'(x)−f(x)+2
ex
＜0，
故函数g（x）在R 递减，
由f（x）﹣2019 为奇函数，得f（0）＝2019，
∴2017g（0）＝f（0）﹣2＝2017，即g（0）＝1，
∵不等式f（x）﹣2017ex＜2，
∴
f(x)−2
ex
＜2017，即2017g（x）＜2017g（0），
即有g（x）＜g（0），
结合函数的单调性得：x＞0，
故不等式f（x）﹣2017ex＜2 的解集是（0，+∞），
故选：B．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题．
二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．将答案填入答题纸相应位置）
13．（5 分）（皇姑区校级期末）已知变量x，y 满足约束条件
x + 2y ≥2
2x + y ≤4
4x −y ≥−1
，则目标函数z＝2x﹣y 的最小值是
﹣
2
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
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【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5T：不等式．
【分析】作出满足不等式组的可行域，由z＝2x﹣y 可得y＝2x﹣z 可得﹣z 为该直线在y 轴上的截距，截距越大，
z 越小，结合图形可求z 的最大值
【解答】解：作出变量x，y 满足约束条件
x + 2y ≥2
2x + y ≤4
4x −y ≥−1
所表示的平面区域，如图所示：
由于z＝2x﹣y 可得y＝2x﹣z，则﹣z 表示目标函数在y 轴上的截距，截距越大，z 越小
作直线L：y＝2x，然后把直线l 向平域平移，由题意可得，直线平移到A 时，z 最小，
由2x + y = 4
4x −y =−1可得A（
1
2，3），此时z＝﹣2．
故答案为：﹣2
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．
14．（5 分）（2017 春•廊坊期末）已知命题p：∀x∈（1，+∞），x3+16＞8x，则命题p 的否定为
∃x0∈（1，+∞），
x03+16≤8x0
．
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可
【解答】解：∵p：∀x∈（1，+∞），x3+16＞8x，则￢p 为∃x0∈（1，+∞），x03+16≤8x0，
故答案为：∃x0∈（1，+∞），x03+16≤8x0
【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，
特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．
15．（5 分）（皇姑区校级期末）若׬
1
2（2x+ 1
x）dx＝
3+ln2
．
【考点】67：定积分、微积分基本定理．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】根据微积分基本定理计算即可
【解答】解：׬
1
2（2x+ 1
x）dx= (x2 + lnx)|1
2 =22+ln2﹣12﹣ln1＝3+ln2
故答案为：3+ln2．
【点评】本题主要考查了微积分定理，关键是求出原函数，属于基础题．
16．（5 分）（2017•海淀区二模）已知椭圆G：
x2
6 +
y2
b2 = 1(0＜b＜
6)的两个焦点分别为F1 和F2，短轴的两个端点
分别为B1 和B2，点P 在椭圆G 上，且满足|PB1|+|PB2|＝|PF1|+|PF2|．当b 变化时，给出下列三个命题：
①点P 的轨迹关于y 轴对称；
②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个；
③|OP|的最小值为2，
其中，所有正确命题的序号是
①③
．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】运用椭圆的定义可得P 也在椭圆
y2
6 +
x2
6−b2 =1 上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；
通过b 的变化，可得②不正确；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，|OP|的值取得最小，即可判
断③．
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【解答】解：椭圆G：
x2
6 +
y2
b2 = 1(0＜b＜
6)的两个焦点分别为
F1（6 −b2，0）和F2（−
6 −b2，0），
短轴的两个端点分别为B1（0，﹣b）和B2（0，b），
设P（x，y），点P 在椭圆G 上，且满足|PB1|+|PB2|＝|PF1|+|PF2|，
由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|＝2a＝2 6＞2b，
即有P 在椭圆
y2
6 +
x2
6−b2 =1 上．
对于①，将x 换为﹣x 方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称，
故①正确；
对于②，由图象可得轨迹关于x，y 轴对称，且0＜b＜6，
则椭圆G 上满足条件的点P 有4 个，
不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，故②不正确；
对于③，由图象可得，当P 满足x2＝y2，即有6﹣b2＝b2，即b=
3时，
|OP|取得最小值，可得x2＝y2＝2，即有|OP|的最小值为2，故③正确．
故答案为：①③．
【点评】本题考查椭圆的定义和方程的运用，以及对称性，考查数形结合的思想方法，以及运算能力，属于中档
题．
三、解答题（共6 小题，共70 分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）
17．（10 分）（皇姑区校级期末）在复平面内，复数z = 2i
1+i（i 为虚数单位）的共轭复数z对应点为A，点A 关于原
点O 的对称点为B，求：
（Ⅰ）点A 所在的象限；
（Ⅱ）向量OB
→
对应的复数．
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】（I）利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
（II）利用复数的几何意义即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）z= 2i
1+i =
2i(1−i)
(1+i)(1−i) =1+i，所以z =1﹣i，
所以点A（1，﹣1）位于第四象限．…（5 分）
（Ⅱ）又点A，B 关于原点O 对称．
∴点B 的坐标为B（﹣1，1）．
因此向量OB
→
对应的复数为﹣1+i．…（10 分）
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（12 分）（宁城县期末）已知命题p：k2﹣8k﹣20≤0，命题q：方程
x2
4−k +
y2
1−k =1 表示焦点在x 轴上的双曲线．
（Ⅰ）命题q 为真命题，求实数k 的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k 的取值范围．
【考点】2E：复合命题及其真假；KB：双曲线的标准方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5L：简易逻辑．
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第597页（共926页）
【分析】（Ⅰ）命题q 为真命题，由已知得4 −k＞0
1 −k＜0
，可求实数k 的取值范围；
（Ⅱ）根据题意得命题p、q 有且仅有一个为真命题，分别讨论“p 真q 假”与“p 假q 真”即可得出实数a 的取
值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当命题q 为真时，由已知得4 −k＞0
1 −k＜0
，解得1＜k＜4
∴当命题q 为真命题时，实数k 的取值范围是1＜k＜4…（5 分）
（Ⅱ）当命题p 为真时，由k2﹣8k﹣20≤0 解得﹣2≤k≤10…（7 分）
由题意得命题p、q 中有一真命题、有一假命题
…（8 分）
当命题p 为真、命题q 为假时，则−2 ≤k ≤10
k ≤1 或k ≥4，
解得﹣2≤k≤1 或4≤k≤10．…（10 分）
当命题p 为假、命题q 为真时，则k＜−2 或k＞10
1＜k＜4
，k 无解．…（12 分）
∴实数k 的取值范围是﹣2≤k≤1 或4≤k≤10．…（13 分）
【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．
19．（12 分）（皇姑区校级期末）已知函数f（x）＝ax2+2x+c 的最低点为（﹣1，﹣2）．
（1）求不等式f（x）＞7 的解集；
（2）若对任意x∈[2，4]，不等式f（x﹣t）≤x﹣2 恒成立，求实数t 的取值范围．
【考点】3R：函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】（1）根据二次函数的性质求出a＝1，c＝﹣1，再解f（x）＞7 即可，
（2）对任意x∈[2，4]，不等式f（x﹣t）≤x﹣2 恒成立转化为（x −1
2）2−1
4 ≤t﹣1≤（x + 1
2）2−1
4，求出范围
即可
【解答】解：（1）依题意，得−2
2a =−1，①
f（﹣1）＝a﹣2+c＝﹣2，②
由①②解得，a＝1，c＝﹣1．
∴f（x）＝x2+2x﹣1．
则原不等式可化为x2+2x﹣8＞0，解得x＜﹣4 或x＞2．
故不等式f（x）＞7 的解集为（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．
（2）对任意x∈[2，4]，不等式f（x﹣t）≤x﹣2 恒成立，得（x﹣t+1）2﹣2≤x﹣2，
即−
x ≤x﹣t+1≤
x，则x−
x ≤t﹣1≤x+
x，
即（x −1
2）2−1
4 ≤t﹣1≤（x + 1
2）2−1
4．
∵x∈[2，4]，
∴（x + 1
2）2−1
4的最小值是（2 + 1
2）2−1
4 =2+
2．
∴（x + 1
2）2−1
4的最大值是（2 −1
2）2−1
4 =2．
∴2≤t﹣1≤2+
2，即3≤t≤3+
2．
故实数t 的取值范围是[3，3+
2]．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次不等式的求解及恒成立问题，深刻把握“三个二次”间的关系是解决问
题的关键，恒成立问题常转化为函数最值解决．
20．（12 分）（皇姑区校级期末）在数列{an}中，a1＝4，前n 项和Sn 满足Sn＝an+1+n．
（1）求证：当n≥2 时，数列{an﹣1}为等比数列，并求通项公式an；
（2）令bn =
nan
2n−1+1 ⋅( 1
3 )n，求数列{bn}的前n 项和为Tn．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；33：函数思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）由已知数列递推式可得当n≥2 时，an＝sn﹣sn﹣1＝an+1+n﹣an﹣n+1，即an+1﹣1＝2（an﹣1），再由
等比数列的通项公式可得数列{an}的通项公式；
（2）把{an}的通项公式代入bn =
nan
2n−1+1 ⋅( 1
3 )n，然后利用错位相减法求数列{bn}的前n 项和为Tn．
【解答】（1）证明：n＝1，a1＝4．
当n≥2 时，an＝sn﹣sn﹣1＝an+1+n﹣an﹣n+1，
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第598页（共926页）
∴an+1﹣1＝2（an﹣1），
∴
an+1−1
an−1
= 2，
则an −1 = 2n−1，得an = 2n−1 −1，
∴an= 4，n = 1
2n−1 + 1，n ≥2
；
（2）解：当n＝1 时，b1 = 2
3．
当n≥2 时，bn = n ⋅( 1
3 )n，
∴当n＝1 时，T1 = 2
3，
当n≥2 时，Tn = 2
3 + 2 ⋅( 1
3 )2 + 3 ⋅( 1
3 )3 + ⋯+ n ⋅( 1
3 )n，
令M = 2 ⋅( 1
3 )2 + 3 ⋅( 1
3 )3 + ⋯+ n ⋅( 1
3 )n，
∴
1
3 M = 2 ⋅(
1
3 )3 + 3 ⋅(
1
3 )4 + ⋯+ n ⋅(
1
3 )n+1，
∴
2
3 M =
2
9 +
1
18 [1 −
1
3n−2 ] −n ⋅(
1
3 )n+1，
∴M = 1
3 + 1
12 [1 −
1
3n−2 ] −1
2 n ⋅( 1
3 )n，
∴Tn = 13
12 −( 2n+3
4
) ⋅1
3n．
经检验n＝1 时，T1 也适合上式．
∴Tn = 13
12 −2n+3
4
⋅1
3n（n∈N*）．
【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n 项和，是中档题．
21．（12 分）（定远县期末）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1（a＞b＞0）的离心率是
2
2 ，其左、右焦点分别为F1，F2，短
轴顶点分别为A，B，如图所示，△ABF2 的面积为1．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点P（﹣1，1）且斜率为k 的直线l 交椭圆C 于M，N 两点（异于A，B 点），证明：直线BM 和BN 的
斜率和为定值．
【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用离心率以及三角形的面积，求解椭圆的几何量，得到椭圆方程．
（2）联立直线与椭圆方程．设出MN 的坐标，利用韦达定理，转化求解斜率，推出定值即可．
【解答】解：（1）
c
a =
2，a2＝2c2，b2＝c2，又bc＝1，∴b = c = 1，a =
2
所以椭圆的标准方程为
x2
2 + y2 = 1
（2）证明：设直线l 的方程为y＝k（x+1）+1，M（x1，y1），N（x2，y2）
联立
y = k(x + 1) + 1
x2
2 + y2 = 1
得（2k2+1）x2+4k（k+1）x+2k2+4k＝0，
∴x1 + x2 =−4k(k+1)
2k2+1 ，x1x2 = 2k2+4k
2k2+1 ，
∴KBM + KBN = y1+1
x1
+ y2+1
x2
= k(x1+1)+2
x1
+ k(x2+1)+2
x2
= 2k + k+2
x1 + k+2
x2 = 2k + (k+2)(x1+x2)
x1x2
．
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= 2k −(k + 2) 4k(k+1)
2k2+4k = 2k −2(k + 1) =−2．
∴直线BM 与BN 的斜率之和为定值．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
22．（12 分）（2018•香坊区校级模拟）已知函数f（x）＝x（lnx﹣k﹣1），k∈R
（1）当x＞1 时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx 成立，求实数k 的取值范围；
（3）若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），证明：x1•x2＜e2k．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；36：整体思想；4M：构造法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）由题意x＞0，f'(x) = 1
x ⋅x + lnx −k −1 =lnx﹣k，由此根据k≤0，k＞0 利用导数性质分类讨论，
能求出函数f（x）的单调区间和极值．
（2）问题转化为k+1＞(x−4)lnx
x
对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）= (x−4)lnx
x
，则g'(x) = 4lnx+x−4
x2
，令t（x）
＝4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则t'(x) = 4
x + 1＞0，由此利用导数性质能求出实数k 的取值范围．
（3）设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜e2k
x1 ，即证ek＜x2＜e2k
x1 ，由此利用导数性
质能证明x1x2＜e2k．
【解答】解：（1）∵f（x）＝（lnx﹣k﹣1）x（k∈R），
∴x＞0，f'(x) = 1
x ⋅x + lnx −k −1 =lnx﹣k，
①当k≤0 时，∵x＞1，∴f′（x）＝lnx﹣k＞0，
函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值；
②当k＞0 时，令lnx﹣k＝0，解得x＝ek，
当1＜x＜ek 时，f′（x）＜0；当x＞ek，f′（x）＞0，
∴函数f（x）的单调减区间是（1，ek），单调减区间是（ek，+∞），
在区间（1，+∞）上的极小值为f（ek）＝（k﹣k﹣1）ek＝﹣ek，无极大值．
（2）∵对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx 成立，
∴f（x）﹣4lnx＜0，
即问题转化为（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0 对于x∈[e，e2]恒成立，
即k+1＞(x−4)lnx
x
对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）= (x−4)lnx
x
，则g'(x) = 4lnx+x−4
x2
，
令t（x）＝4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则t'(x) = 4
x + 1＞0，
∴t（x）在区间[e，e2]上单调递增，故t（x）min＝t（e）＝e﹣4+4＝e＞0，故g′（x）＞0，
∴g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数g（x）max＝g（e2）＝2−8
e2，
要使k+1＞(x−4)lnx
x
对于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，
∴k+1＞2−8
e2，即实数k 的取值范围是（1−8
e2，+∞）．
证明：（3）∵f（x1）＝f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，ek）上单调递减，
在区间（ek，+∞）上单调递增，且f（ek+1）＝0，
不妨设x1＜x2，则0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，
要证x1x2＜e2k，只要证x2＜e2k
x1 ，即证ek＜x2＜e2k
x1 ，
∵f（x）在区间（ek，+∞）上单调递增，∴f（x2）＜f（
e2k
x1
），
又f（x1）＝f（x2），即证f（x1）＜f( e2k
x1 )，
构造函数h（x）＝f（x）﹣f（
e2k
x ）＝（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln
e2k
x −k﹣1）
e2k
x ，
即h（x）＝xlnx﹣（k+1）x+e2k（
lnx
x −
k−1
x ），x∈（0，ek）
h′（x）＝lnx+1﹣（k+1）+e2k（
1−lnx
x2
+
k−1
x2 ）＝（lnx﹣k）
(x2−e2k)
x2
，
∵x∈（0，ek），∴lnx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，
∴函数h（x）在区间（0，ek）上单调递增，故h′（x）＜h（ek），
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∵h(ek) = f(ek) −f( e2k
ek ) = 0，故h（x）＜0，
∴f（x1）＜f（
e2k
x1
），即f（x2）＝f（x1）＜f（
e2k
x1
），∴x1x2＜e2k 成立．
【点评】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明是中档题，解
题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．
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考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p 则q”为真时，可表示为p⇒q，称p 为q 的充分条件，q 是p 的必要条件．事实上，与“p⇒q”
等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q 不成立，则p 一定不成立．这就是说，q 对于p 是必不可少的，
所以说q 是p 的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p 一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p 是q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，
记作“p⇔q”．p 与q 互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证
明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆
二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q 为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；
②若p⇒q 为假命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；
③若p⇒q 为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④若p⇒q 为假命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多
以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否
则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真
假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能
判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P 的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个
命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即
可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命
题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在
性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存
在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，
有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关
键
词
等
于
（＝）
大
于
（＞）
小
于
（＜）
是
能
都
是
没
有
至
多
有
一
个
至
少
有
一
个
至
少
有
n
个
至
多
有
n
个
任
意
的
任
两
个
P
且
Q
P
或
Q
否
定
词
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）
不
是
不
能
不
都
是
至
少
有
一
个
至
少
有
两
个
一
个
都
没
有
至
多
有
n﹣1
个
至
少
有
n+1
个
某
个
某
两
个
¬P
或
¬Q
¬P
且
¬Q
若原命题P 为真，则¬P 必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同
假．
3．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的
条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P 不是命题P 的否命题，而是命题P 的否定形
式．对命题“若P 则Q“来说，¬P 是“若P 则非Q”；P 的否命题是“若非P 则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
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“一定不是”的否定是“一定是”．
【解题方法点拨】若p 则q，那么它的否命题是：若¬p 则¬q，命题的否定是：若p 则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量
词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．
【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改
地区常考题型．
4．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0 等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就
是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使
函数f（x）＝ax^2+1 恒大于0，就必须对a 进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，
先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a 的取值范围．
解：由题意可知：a≤x2+2x+3
x
恒成立
即a≤x+ 3
x +2
⇒a≤2 3 +2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，
突出了导数的工具性作用．
5．定积分、微积分基本定理
【定积分】
定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形
的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．
【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及
其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微
积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是a
b
׬
f(x)dx = F(b) −F(a)，其中F′（x）＝f（x），而f（x）必须在区间
（a，b）内连续．
例1：定积分1
2
׬
|3 −2x|dx =
解：
׬12|3﹣2x|dx
=
1
3
2
׬
(3 −2x)dx +
3
2
2
׬
(2x −3)dx
＝（3x﹣x2）|
1
3
2 +（x2﹣3x）|
3
2
2
= 1
2
通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达
式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
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第603页（共926页）
例2：用定积分的几何意义，则−3
3
׬
9 −x2dx．
解：根据定积分的几何意义，则−3
3
׬
9 −x2dx 表示圆心在原点，半径为3 的圆的上半圆的面积，
故−3
3
׬
9 −x2dx = 1
2 × π × 32 = 9π
2 ．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的
面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，
上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集
的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集
的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确
定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（
）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x) = x3 + x2[f'(x) +
m
2 ]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；
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（Ⅲ）求证：
ln2
2 ×
ln3
3 ×
ln4
4 × ⋯×
lnn
n ＜
1
n (n ≥2，n ∈N∗)．
解：（Ⅰ）f'(x) = a(1−x)
x
(x＞0)（2 分）
当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）
（Ⅱ）f'(2) =−a
2 = 1 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴g(x) = x3 + ( m
2 + 2)x2 −2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g'(t)＜0
g'(3)＞0
(8 分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0 恒成立，
所以有：
g'(1)＜0
g'(2)＜0
g'(3)＞0
，∴−37
3 ＜m＜−9（10 分）
（Ⅲ）令a＝﹣1 此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1 对一切x∈（1，+∞）成立，（12 分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnn
n ＜n−1
n
∴
ln2
2 ⋅
ln3
3 ⋅
ln4
4 ⋅⋅
lnn
n ＜
1
2 ⋅
2
3 ⋅
3
4 ⋅⋅
n−1
n
=
1
n (n ≥2，n ∈N∗)
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完
全类似）．即在区间内f′（x）＞0 是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说
f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y 极大值＝f（x0），x0 是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f
（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y 极小值＝f（x0），x0 是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不
意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能
在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0 满足f′（x0）＝0，且在x0 的两侧f（x）的导数异号，则x0 是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′
（x）在x0 两侧满足“左正右负”，则x0 是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0 两侧满足“左
负右正”，则x0 是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0 的根；
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（3）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左
右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极
小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
8．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函
数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）= 1
x在（0，+∞）内连
续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函
数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点
时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
9．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导
数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在
解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率
的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
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例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1 处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1 时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线
方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
10．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简
单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的
主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y 中变量x，y 满足约束条件
x + 2y ≤8
0 ≤x ≤4
0 ≤y ≤3
．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S= 1
2 BC ⋅AB = 1
2 × 1 × 2 = 1．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最小，
此时z 最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最大，
此时z 最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，
然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k 的值是
（
）
A．
7
3
B．
3
7
C．
4
3
D．
3
4
分析：画出平面区域，显然点（0，
4
3）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，
4
3），结合图形寻找直线平分平面
区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
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由于直线y＝kx+ 4
3过定点（0，
4
3）．因此只有直线过AB 中点时，直线y＝kx+ 4
3能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB 中点D（
1
2，
5
2）．
当y＝kx+ 4
3过点（
1
2，
5
2）时，
5
2 =
k
2 +
4
3，所以k= 7
3．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多
个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y 满足约束条件：
，求z＝x+y 的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0 来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再
将直线l0 平移，当l0 的平行线l1 过点B 时，可使z＝x+y 达到最小值；当l0 的平行线l2 过点A 时，可使z＝x+y 达
到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50 亩，投入资金不超过54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产
量、成本和售价如下表：
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4 吨
1.2 万元
0.55 万元
韭菜
6 吨
0.9 万元
0.3 万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别
为（
）
A．50，0
B．30，20
C．20，30
D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为
线性规划问题．
解析
设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，则由题意可知
x + y ≤50
1.2x + 0.9y ≤54
x，y ∈N+
求目标函数z＝x+0.9y 的最大值，
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根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l 向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30 亩，韭菜种植20 亩
时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束
条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A 点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y 满足
，则
y
x的最大值为
．
（2）已知O 是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上
的一个动点，则|OA
→
+ OM
→
|的最
小值是
．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的
几何意义来完成．
解答：（1）
y
x表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，
3
2）处取到最大值．
（2）依题意得，OA
→
+ OM
→
=（x+1，y），|OA
→
+ OM
→
|=
(x + 1)2 + y2可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，
在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直
线x+y＝2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|OA
→
+ OM
→
|的最小值是
|−1+0−2|
2
=
3 2
2 ．
故答案为：（1）
3
2（2）
3 2
2 ．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）x2 + y2表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）(x −a)2 + (y −b)2表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）
y
x表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）
y−b
x−a表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距
z
b的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b＞0 时，截距
z
b取最大值时，z 也取最大值；截
距
z
b取最小值时，z 也取最小值；当b＜0 时，截距
z
b取最大值时，z 取最小值；截距
z
b取最小值时，z 取最大值．
11．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它
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们的算术平均数．公式为：
a+b
2
≥
ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（
a+b
2 ）2 或者a+b≥2 ab．常常用于求最值和
值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b 均为负数，则
2a
b +
b
2a ≥2．B：
x2+2
x2+1
≥2．
C：sinx +
4
sinx ≥4．D：a ∈R+，(3 −a)(1 −3
a ) ≤0．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D 均满足条件．
对于C 选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx 可以取到负值．
故选：C．
A 选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B 分子其实可以写成x2+1+1，
然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方
便．
例2：利用基本不等式求y =
x
x2+2的最值？当0＜x＜1 时，如何求y = x+1
x2+2的最大值．
解：当x＝0 时，y＝0，
当x≠0 时，y =
x
x2+2 =
1
x+2
x
，
用基本不等式
若x＞0 时，0＜y≤
2
4 ，
若x＜0 时，−
2
4 ≤y＜0，
综上得，可以得出−2
4 ≤y≤
2
4 ，
∴y =
x
x2+2的最值是−2
4 与
2
4 ．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后
把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不
等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
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3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4 时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4 知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，
但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8 为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）= 1
2[2x•（8﹣2x）]≤1
2（
2x+8−2x
2
）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2 时取等号，当x＝2 时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
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技巧三：分离
例3：求y= x2+7x+10
x+1
(x＞−1)的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y= x2+7x+10
x+1
= (x+1)2+5(x+1)+4
x+1
=（x+1）+
4
x+1 +5，
当x＞﹣1，即x+1＞0 时，y≥2 (x + 1) ×
4
x+1 +5＝9（当且仅当x＝1 时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+ a
x的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
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点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条
件利用基本不等式．
12．等差数列的前n 项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列
就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示．其求和公式为Sn＝na1+ 1
2n（n﹣1）d 或
者Sn= n(a1+an)
2
【例题解析】
eg1：设等差数列的前n 项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝
解：∵d＝1，S5＝15，
∴5a1+ 5×4
2 d＝5a1+10＝15，即a1＝1，
则S10＝10a1+ 10×9
2
d＝10+45＝55．
故答案为：55
点评：此题考查了等差数列的前n 项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1 的值，然后套用公式即可．
eg2：等差数列{an}的前n 项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n 项的和Tn．
解：∵等差数列{an}的前n 项和Sn＝4n2﹣25n．
∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，
该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3 项为负，其和为S3＝﹣39．
∴n≤3 时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，
n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，
∴Tn = 25n −4n2，n ≤3
4n2 −25n + 78，n ≥4
．
点评：本题考查等差数列的前n 项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理
运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n 项的值．
【考点点评】
等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会
结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．
13．等比数列的前n 项和
【知识点的知识】
1．等比数列的前n 项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n 项和为Sn，
当q＝1 时，Sn＝na1；
当q≠1 时，Sn= a1(1−qn)
1−q
= a1−anq
1−q ．
2．等比数列前n 项和的性质
公比不为﹣1 的等比数列{an}的前n 项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n 仍成等比数列，其公比为qn．
14．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法
包括：
（1）公式法：
①等差数列前n 项和公式：Sn＝na1+ 1
2n（n﹣1）d 或Sn= n(a1+an)
2
②等比数列前n 项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
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（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n 项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{
1
anan+1
}的前n 项和，其中{an}为各项不为0 的等差数列，即
1
anan+1
=
1
d（
1
an
−
1
an+1
）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就
可以得到n 个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数
列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n 项和为Sn．
（Ⅰ）求an 及Sn；
（Ⅱ）令bn=
1
an2−1（n∈N*），求数列{bn}的前n 项和Tn．
分析：形如{
1
等差×等差}的求和，可使用裂项相消法如：
1
1×3 +
1
3×5 +
1
5×7 + ⋯+
1
99×100 =
1
2 {(1 −
1
3 ) + (
1
3 −
1
5 ) + (
1
5 −
1
7 ) + ⋯+ (
1
99 −
1
100 )} =
99
200．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴a1 + 2d = 7
2a1 + 10d = 26，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn= 3n + n(n−1)
2
× 2 =n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn=
1
an2−1 =
1
(2n+1)2−1 = 1
4 ⋅
1
n(n+1) = 1
4 ⋅( 1
n −
1
n+1 )，
∴Tn= 1
4 ⋅(1 −1
2 + 1
2 −1
3 + ⋯+ 1
n −
1
n+1 ) = 1
4 ⋅(1 −
1
n+1 ) =
n
4(n+1)，
即数列{bn}的前n 项和Tn=
n
4(n+1)．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等
差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
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15．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1 项（或前几项），且任一项an 与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系
可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n 项和Sn 与通项an 的关系式：an= sn −sn−1
;
;n ≥2
s1
;
;n = 1．
在数列{an}中，前n 项和Sn 与通项公式an 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1 时，a1＝S1）；
若a1 适合由an 的表达式，则an 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an 与Sn 的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an
或Sn 的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an= sn −sn−1
;
;n ≥2
s1
;
;n = 1．一般地当已知条件中含有an
与Sn 的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=
f(1)
;
;n = 1
f(n)
f(n−1)
;n ≥2
．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知
an+1
an
=f（n）求an，用累乘法：an=
an
an−1 ⋅an−1
an−2 ⋅⋯a2
a1 ⋅a1（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，
再求an．
②形如an=
an−1
kan−1+b的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
16．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是1，
y 轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，
b）→平面向量OZ
→
．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z 对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z 对应的点与复数z0 对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z =z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi 为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0 时，z−z =2bi 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z+ z =0 且z≠0．
17．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
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18．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和
短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
c
a叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e= c
a，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e 越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为
x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
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19．双曲线的标准方程
【知识点的认识】
双曲线标准方程的两种形式：
（1）
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0），焦点在x 轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0），焦点在y 轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
中心在原点，焦点在x 轴上
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
中心在原点，焦点在y 轴上
图形
顶点
（a，0）和（﹣a，0）
（0，a）和（0，﹣a）
对称轴
x 轴、y 轴，实轴长2a，虚轴长2b
焦点在实轴上
x 轴、y 轴，实轴长2a，虚轴长2b
焦点在实轴上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2+b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2+b2
离心率
e= c
a（e＞1）
e= c
a（e＞1）
渐近线
x2
a2 −
y2
b2 = 0
即y＝±
b
ax
y2
a2 −
x2
b2 = 0
即y＝±
a
bx
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
20．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
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图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
21．直线与椭圆的综合
v．
22．直线与抛物线的综合
v．
23．不等式的基本性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b⇔a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒
n a＞
n b（n∈N，且n＞1）．
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2018-2019 学年江西师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）（东湖区校级期末）复数z= 1+2i
i
（i 是虚数单位）的虚部为（
）
A．﹣1
B．﹣i
C．2i
D．2
2．（5 分）（东湖区校级期末）已知函数y＝x3﹣3x，则它的单调递减区间是（
）
A．（﹣∞，0）
B．（﹣1，1）
C．（0，+∞）
D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）
3．（5 分）（2015•天津校级模拟）设函数f（x）= 2
x +lnx，则（
）
A．x = 1
2为f（x）的极小值点
B．x＝2 为f（x）的极大值点
C．x = 1
2为f（x）的极大值点
D．x＝2 为f（x）的极小值点
4．（5 分）（2011•安徽）在极坐标系中，点（2，
π
3）到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为（
）
A．2
B．4 + π2
9
C．1 + π2
9
D．3
5．（5 分）（2009•安徽）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（
）
A．p：a+c＞b+d，q：a＞b 且c＞d
B．p：a＞1，b＞1，q：f（x）＝ax﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限
C．p：x＝1，q：x＝x2
D．p：a＞1，q：f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数
6．（5 分）（河南二模）双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1 作倾斜角为45°的直
线交双曲线右支于M 点，若MF2 垂直x 轴，则双曲线的离心率为（
）
A．2
B．3
C．1+
2
D．1+
3
7．（5 分）（2017 春•大连期末）用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1= 1−an+2
1−a （a≠1，n∈N*），在验证n＝1 成立时，
左边的项是（
）
A．1
B．1+a
C．1+a+a2
D．1+a+a2+a4
8．（5 分）（2017•阳山县校级一模）下面使用类比推理恰当的是（
）
A．“若a•3＝b•3，则a＝b”类推出“若a•0＝b•0，则a＝b”
B．“若（a+b）c＝ac+bc”类推出“（a•b）c＝ac•bc”
C．“（a+b）c＝ac+bc”类推出“
a+b
c
=
a
c +
b
c（c≠0）”
D．“（ab）n＝anbn”类推出“（a+b）n＝an+bn”
9．（5 分）（东湖区校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣2x﹣1（其中e 为常用对数的底数），则y＝f（x）的图象大致
为（
）
A．
B．
C．
D．
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10．（5 分）（2015•兰州一模）已知定义在R 上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f
（x+2）为偶函数，f（4）＝1，则不等式f（x）＜ex 的解集为（
）
A．（﹣∞，0）
B．（0，+∞）
C．（﹣∞，e4）
D．（e4，+∞）
11．（5 分）（2014•鹿城区校级模拟）已知A，B 是抛物线y2＝2px（p＞0）上两点，O 为坐标原点，若|OA|＝|OB|，
且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（
）
A．x＝p
B．x＝3p
C．x = 3
2 p
D．x = 5
2 p
12．（5 分）（2018•铁东区校级一模）函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2 都有|f（x1）﹣f
（x2）|≤t，则实数t 的最小值是（
）
A．20
B．18
C．3
D．0
二、填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）．
13．（5 分）（东湖区校级期末）计算定积分0
1
׬
1 −x2dx＝
．
14．（5 分）（2014 秋•信阳期末）设直线x＝t 与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx 的图象分别交于点M，N，则当|MN|
达到最小时t 的值为
．
15．（5 分）（东湖区校级期末）椭圆
x2
4 + y2 = 1 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 为椭圆上一动点，若∠F1PF2 为
钝角，则点P 的横坐标的取值范围是
16．（5 分）（东湖区校级期末）已知f（x）＝xlnx+ax2，a∈R，若函数f（x）在区间（0，1）上不单调，则a 的取值
范围为
三、解答题：本大题共6 个题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）（东湖区校级期末）（1）已知a，b∈R+，求证：
a
b +
b
a ≥
a +
b；
（2）已知复数z 满足：z ⋅z = 5，(1 + 2i) ⋅z是纯虚数，且z 对应的点在第二象限，求复数z．
18．（12 分）（2018•玉溪模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}．
（1）当m＝0 时，求A∩B；
（2）若p：x2﹣2x﹣3＜0，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0，且q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
19．（12 分）（2014•呼伦贝尔一模）已知函数f（x）= x2
8 −lnx，x∈[1，3]，
（1）求f（x）的最大值与最小值；
（2）若f（x）＜4﹣at 于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a 的取值范围．
20．（12 分）（2017 春•桂林期末）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售
价格x（单位：元/千克）满足关系式：y=
a
x−3 +10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a 为常数，已知销售的价格为5 元
/千克时，每日可以售出该商品11 千克．
（1）求a 的值；
（2）若该商品的成本为3 元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出
最大值．
21．（12 分）（东湖区校级期末）已知抛物线C1：x2 = 2py(p＞0)与直线y＝x 所围成图形的面积为
32
3 ，点P 在抛物
线C2：x2 =−2py(p＞0)上，过点P 作抛物线C1 的两条切线PA、PB，其中A、B 为切点，
（1）求p 的值；
（2）F 为抛物线C1 的焦点，当点P 在抛物线C2 上运动时，求|AF|•|BF|的取值范围．
22．（12 分）（东湖区校级期末）已知函数f(x) = x −1
x + a + alnx(a ∈R)．
（1）当a＜0 时，试讨论f（x）的单调性；
（2）令g(x) =−1
x + (a + 2)lnx −f(x)，若函数g（x）的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（x1≠x2），
求证：
1
x1
+
1
x2
＞1．
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2018-2019 学年江西师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）（东湖区校级期末）复数z= 1+2i
i
（i 是虚数单位）的虚部为（
）
A．﹣1
B．﹣i
C．2i
D．2
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z= 1+2i
i
= (1+2i)(−i)
−i2
= 2 −i，
∴复数z= 1+2i
i
的虚部为﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2．（5 分）（东湖区校级期末）已知函数y＝x3﹣3x，则它的单调递减区间是（
）
A．（﹣∞，0）
B．（﹣1，1）
C．（0，+∞）
D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】求函数的导数，解f'（x）＜0，即可求函数的单调递减区间．
【解答】解：∵y＝f（x）＝x3﹣3x，
∴f'（x）＝3x2﹣3，
由f'（x）＜0 得，f'（x）＝3x2﹣3＜0，
解得x2＜1，即﹣1＜x＜1，
即函数的单调递减区间为（﹣1，1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的计算，以及利用导数求函数的单调区间，要求熟练掌握函数的单调性与导数之间的
关系．
3．（5 分）（2015•天津校级模拟）设函数f（x）= 2
x +lnx，则（
）
A．x = 1
2为f（x）的极小值点
B．x＝2 为f（x）的极大值点
C．x = 1
2为f（x）的极大值点
D．x＝2 为f（x）的极小值点
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．
【分析】求导数f′（x），令f′（x）＝0，得x＝2 可判断在2 左右两侧导数符号，由极值点的定义可得结论．
【解答】解：f′（x）=−2
x2 + 1
x = x−2
x2 ，
当0＜x＜2 时，f′（x）＜0；当x＞2 时f′（x）＞0，
所以x＝2 为f（x）的极小值点，
故选：D．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，属基础题．
4．（5 分）（2011•安徽）在极坐标系中，点（2，
π
3）到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为（
）
A．2
B．4 + π2
9
C．1 + π2
9
D．3
【考点】QK：圆的参数方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】在直角坐标系中，求出点的坐标和圆的方程及圆心坐标，利用两点间的距离公式求出所求的距离．
【解答】解：在直角坐标系中，点即（1，3），圆即x2+y2＝2x，即
（x﹣1）2+y2＝1，
故圆心为（1，0），故点（2，
π
3）到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为
(1 −1)2 + ( 3 −0)2 =
3，
故选：D．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，两点间的距离公式的应用．
5．（5 分）（2009•安徽）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（
）
A．p：a+c＞b+d，q：a＞b 且c＞d
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B．p：a＞1，b＞1，q：f（x）＝ax﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限
C．p：x＝1，q：x＝x2
D．p：a＞1，q：f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】由题意根据必要条件、充分条件和充要条件的定义对ABCD 四个选项进行一一判断，从而求解．
【解答】解：A、∵q：a＞b 且c＞d，∴a+c＞b+d，∴q⇒p，但p 推不出q，p 是q 的必要不充分条件，故A 正
确；
B、∵p：a＞1，b＞1，∴f（x）＝ax﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限，但若b＝1，a＞1 时f（x）的图
象也不过第二象限，q 推不出p，∴p 是q 的充分不必要条件，故B 错误；
C、∵x＝1，∴x＝x2，但当x＝0 时，x＝x2，也成立，q 推不出p，∴p 是q 的充分不必要条件，故C 错误；
D、∵a＞1，∴f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数，p 是q 的充要条件，故D 错误；
故选：A．
【点评】本小题主要考查了命题的基本关系及必要条件、充分条件和充要条件的定义，题中的设问通过对不等关
系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．
6．（5 分）（河南二模）双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1 作倾斜角为45°的直
线交双曲线右支于M 点，若MF2 垂直x 轴，则双曲线的离心率为（
）
A．2
B．3
C．1+
2
D．1+
3
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】将x＝c 代入双曲线方程求出点M 的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c 的关系，求出离心率
的值．
【解答】解：将x＝c 代入双曲线的方程
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）得y= b2
a ，
即M（c，
b2
a ）．
在△MF1F2 中tan45°=
b2
a
2c =1
即
c2−a2
2ac
= 1，解得e= c
a =
2 +1．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线离心率的计算，根据双曲线中三参数的关系：c2＝a2+b2，建立方程关系是解决本题的关
键．
7．（5 分）（2017 春•大连期末）用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1= 1−an+2
1−a （a≠1，n∈N*），在验证n＝1 成立时，
左边的项是（
）
A．1
B．1+a
C．1+a+a2
D．1+a+a2+a4
【考点】RG：数学归纳法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；36：整体思想；4F：归纳法；5M：推理和证明．
【分析】在验证n＝1 时，左端计算所得的项．把n＝1 代入等式左边即可得到答案．
【解答】解：用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1= 1−an+2
1−a （a≠1，n∈N*），
在验证n＝1 时，把当n＝1 代入，左端＝1+a+a2．
故选：C．
【点评】此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于概念性问题．
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8．（5 分）（2017•阳山县校级一模）下面使用类比推理恰当的是（
）
A．“若a•3＝b•3，则a＝b”类推出“若a•0＝b•0，则a＝b”
B．“若（a+b）c＝ac+bc”类推出“（a•b）c＝ac•bc”
C．“（a+b）c＝ac+bc”类推出“
a+b
c
=
a
c +
b
c（c≠0）”
D．“（ab）n＝anbn”类推出“（a+b）n＝an+bn”
【考点】F1：归纳推理．菁优网版权所有
【专题】2A：探究型．
【分析】判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的
另一个特殊的推理过程．另外还要看这个推理过程是否符合实数的性质．
【解答】解：对于A：“若a•3＝b•3，则a＝b”类推出“若a•0＝b•0，则a＝b”是错误的，因为0 乘任何数都
等于0，
对于B：“若（a+b）c＝ac+bc”类推出“（a•b）c＝ac•bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，
对于C：将乘法类推除法，即由“（a+b）c＝ac+bc”类推出“
a+b
c
=
a
c +
b
c”是正确的，
对于D：“（ab）n＝anbn”类推出“（a+b）n＝an+bn”是错误的，如（1+1）2＝12+12
故选：C．
【点评】归纳推理与类比推理不一定正确，我们在进行类比推理时，一定要注意对结论进行进一步的论证，如果
要证明一个结论是正确的，要经过严密的论证，但要证明一个结论是错误的，只需要举出一个反例．
9．（5 分）（东湖区校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣2x﹣1（其中e 为常用对数的底数），则y＝f（x）的图象大致
为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】找出四个选项的区别，用特值法验证．
【解答】解：∵f（0）＝e0﹣2×0﹣1＝0，f（1）＝e﹣2﹣1＝e﹣3＜0；
则函数图象过（0，0）点，且在y 轴右侧，x 轴下方有图象；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象的特征，选择题时，首先观察四个选项的区别，利用特值法或基本初等函数的性质
排除，从而简化运算步骤．
10．（5 分）（2015•兰州一模）已知定义在R 上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f
（x+2）为偶函数，f（4）＝1，则不等式f（x）＜ex 的解集为（
）
A．（﹣∞，0）
B．（0，+∞）
C．（﹣∞，e4）
D．（e4，+∞）
【考点】3E：函数单调性的性质与判断；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】令h(x) = f(x)
ex ，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的奇偶性和已知可得h（0）＝1，即可
得出．
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【解答】解：设h(x) = f(x)
ex 则h'(x) = ex(f'(x)−f(x))
(ex)2
，
∵f′（x）＜f（x），∴h′（x）＜0．
所以函数h（x）是R 上的减函数，
∵函数f（x+2）是偶函数，
∴函数f（﹣x+2）＝f（x+2），
∴函数关于x＝2 对称，
∴f（0）＝f（4）＝1，
原不等式等价为h（x）＜1，
∴不等式f（x）＜ex 等价h（x）＜1⇔h（x）＜h（0），
f(x)
ex ＜1 =
f(0)
e0 ．∵h（x）在R 上单调递减，
∴x＞0．
故选：B．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性及对称性的应用．
11．（5 分）（2014•鹿城区校级模拟）已知A，B 是抛物线y2＝2px（p＞0）上两点，O 为坐标原点，若|OA|＝|OB|，
且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（
）
A．x＝p
B．x＝3p
C．x = 3
2 p
D．x = 5
2 p
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由抛物线的对称性知A、B 关于x 轴对称，设出它们的坐标，利用三角形的垂心的性质，结合斜率之积
等于﹣1，求出A、B 坐标即可解决．
【解答】解：由A、B 是抛物线y2＝2px（p＞0）的两点，|AO|＝|BO|，
及抛物线的对称性知，A、B 关于x 轴对称．
设直线AB 的方程是x＝m，则
A（m，2pm）、B（m，−
2pm）
|△AOB 的垂心恰好是抛物线的焦点F（
p
2，0 ）
∴AF⊥OB，KAF•KOB＝﹣1，
∴
2pm−0
m−p
2
•
−2pm−0
m−0
=−1
∴m= 5p
2 ，∴直线AB 的方程是x= 5p
2
故选：D．
【点评】本小题主要考查抛物线的简单性质、三角形垂心性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思
想与转化思想．属于基础题．
12．（5 分）（2018•铁东区校级一模）函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2 都有|f（x1）﹣f
（x2）|≤t，则实数t 的最小值是（
）
A．20
B．18
C．3
D．0
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】5：高考数学专题；53：导数的综合应用．
【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2 都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都
有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．
【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2 都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，
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都有f（x）max﹣f（x）min≤t，
∵f（x）＝x3﹣3x﹣1，∴f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），
∵x∈[﹣3，2]，
∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减
∴f（x）max＝f（2）＝f（﹣1）＝1，f（x）min＝f（﹣3）＝﹣19
∴f（x）max﹣f（x）min＝20，
∴t≥20
∴实数t 的最小值是20，
故选：A．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．
二、填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）．
13．（5 分）（东湖区校级期末）计算定积分0
1
׬
1 −x2dx＝
π
4
．
【考点】67：定积分、微积分基本定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；53：导数的综合应用．
【分析】定积分0
1
׬
1 −x2dx 的几何意义是圆x2+y2＝1 的
1
4个圆的面积，计算可得
【解答】解：定积分0
1
׬
1 −x2dx 的几何意义是圆x2+y2＝1 的
1
4个圆的面积，
∴0
1
׬
1 −x2dx= 1
4π×12= π
4，
故答案为：
π
4
【点评】本题考查定积分，利用定积分的几何意义是解决问题的关键，属基础题
14．（5 分）（2014 秋•信阳期末）设直线x＝t 与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx 的图象分别交于点M，N，则当|MN|
达到最小时t 的值为
2
2
．
【考点】3H：函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据题意构造函数y＝f（x）﹣g（x），利用导数求此函数的最小值，确定对应的自变量x 的值，即可得
到结论．
【解答】解：设函数y＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣lnx（x＞0），
则y′＝2x−1
x = 2x2−1
x
，
令y′＝0 得，x=
2
2 或x=−2
2 舍去，
所以当0＜x＜2
2 时，y′＜0，函数在（0，
2
2 ）上为单调减函数，
当x＞2
2 时，y′＞0，函数在（
2
2 ，+∞）上为单调增函数，
所以当x=
2
2 时，函数取得唯一的极小值，即最小值为：
1
2 −ln
2
2 =
1
2 +
1
2 ln2，
则所求t 的值为
2
2 ，
故答案为：
2
2 ．
【点评】本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值，属中档
题．
15．（5 分）（东湖区校级期末）椭圆
x2
4 + y2 = 1 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 为椭圆上一动点，若∠F1PF2 为
钝角，则点P 的横坐标的取值范围是
( −2 6
3 ，2 6
3 )
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设p（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据∠F1PF2 是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22 代入p 坐标
求得x 和y 的不等式关系，求得x 的范围．
【解答】解：设p（x，y），则F1（−
3，0），F2（
3，0），
且∠F1PF2 是钝角
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⇔PF1
2 +PF2
2＜F1F2
2⇔（x+
3）2+y2+（x−
3）2+y2＜12
⇔x2+3+y2＜6
⇔x2+（1−x2
4 ）＜3
⇔x2＜8
3⇔−2 6
3 ＜x＜2 6
3 ．
故点P 的横坐标的取值范围( −2 6
3 ，2 6
3 )．
故答案为：( −2 6
3 ，2 6
3 )．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质和解不等式，∠F1PF2 是钝角推断出PF12+PF22＜F1F22，是解题关键．
16．（5 分）（东湖区校级期末）已知f（x）＝xlnx+ax2，a∈R，若函数f（x）在区间（0，1）上不单调，则a 的取值
范围为
( −1
2 ，+ ∞)
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】f（x）＝xlnx+ax2，a∈R，f′（x）＝lnx+1+2ax．x∈（0，1）．令f′（x）＝0，解得a=−lnx+1
2x ，令g
（x）=−lnx+1
2x ．x∈（0，1）．根据函数f（x）在区间（0，1）上不单调，可得函数y＝a 与g（x）的图象有交点．利
用导数研究函数g（x）的单调性即可得出．
【解答】解：f（x）＝xlnx+ax2，a∈R，f′（x）＝lnx+1+2ax．x∈（0，1）．
令f′（x）＝0，解得a=−lnx+1
2x ，
令g（x）=−lnx+1
2x ．x∈（0，1）．
g′（x）=−
1
x⋅x−(lnx+1)
2x2
=−−lnx
2x2 ＜0，
∴函数g（x）在x∈（0，1）上单调递减．
∴g（x）＞g（1）=−1
2．
∵函数f（x）在区间（0，1）上不单调，
∴函数y＝a 与g（x）的图象有交点．
则a 的取值范围为：a＞−1
2．
故答案为：( −1
2 ，+ ∞)．
【点评】本题考查了利用导数研究单调性极值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能
力，属于难题．
三、解答题：本大题共6 个题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）（东湖区校级期末）（1）已知a，b∈R+，求证：
a
b +
b
a ≥
a +
b；
（2）已知复数z 满足：z ⋅z = 5，(1 + 2i) ⋅z是纯虚数，且z 对应的点在第二象限，求复数z．
【考点】A5：复数的运算；R6：不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）运用基本不等式和可加性，即可得证；
（2）设z＝a+bi，（a＜0，b＞0），运用复数的乘法运算和纯虚数的概念，可得a，b 的方程组，解方程可得a，b，
进而得到所求复数．
【解答】解：（1）证明：∵a，b∈R+，∴b + a
b ≥2 a，a + b
a ≥2 b，
∴a +
b + a
b + b
a ≥2 a + 2 b，
∴
a
b +
b
a ≥
a +
b；
（2）复数z 满足：z ⋅z = 5，(1 + 2i) ⋅z是纯虚数，且z 对应的点在第二象限，
可设z＝a+bi，（a＜0，b＞0），
则a2+b2＝5，（1+2i）（a﹣bi）＝a+2b+（2a﹣b）i，
可得a+2b＝0 且2a﹣b≠0，
解得a＝﹣2，b＝1，
则z＝﹣2+i．
【点评】本题考查不等式的证明，以及复数的概念和运算，合理运用基本不等式和方程思想是解题的关键，属于
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第626页（共926页）
基础题．
18．（12 分）（2018•玉溪模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0}．
（1）当m＝0 时，求A∩B；
（2）若p：x2﹣2x﹣3＜0，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≥0，且q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型；35：转化思想．
【分析】（1）分别求出A，B，再根据集合的交集运算，求出A 与B 的交集即可；
（2）由于q 是p 的必要不充分条件，再由判断充要条件的方法，我们可知A⊂
≠B，再根据集合关系求出m 的范
围即可．
【解答】解：（1）∵A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，…（2 分）
B＝{x|（x+1）（x﹣1）≥0}＝{x|x≥1 或x≤﹣1}．…（4 分）
∴A∩B＝{x|1≤x＜3}．…（6 分）
（2）由于命题p 为：（﹣1，3），…（7 分）
而命题q 为：（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞），…（9 分）
又q 是p 的必要不充分条件，即p⇒q，…（10 分）
所以
m+1≤﹣1 或m﹣1≥3，解得m≥4 或m≤﹣2
即实数m 的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．
…（12 分）
【点评】本题考查充分条件、必要条件及充要条件的判断，同时考查了一元二次不等式的解法，集合的运算．
由判断充要条件的方法，我们可知命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A⊂
≠B．
19．（12 分）（2014•呼伦贝尔一模）已知函数f（x）= x2
8 −lnx，x∈[1，3]，
（1）求f（x）的最大值与最小值；
（2）若f（x）＜4﹣at 于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a 的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）直接求出函数的导数，通过导数为0，求出函数的极值点，判断函数的单调性，利用最值定理求出
f（x）的最大值与最小值；
（2）利用（1）的结论，f（x）＜4﹣at 于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，转化为4﹣at＞1
8对任意t∈[0，2]
恒成立，通过
g(0)＜31
8
g(2)＜31
8
，求实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）因为函数f（x）= x2
8 −lnx，
所以f′（x）= x
4 −1
x，令f′（x）＝0 得x＝±2，
因为x∈[1，3]，
当1＜x＜2 时
f′（x）＜0；当2＜x＜3 时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上单调减函数，在（2，3）上单调增函数，
∴f（x）在x＝2 处取得极小值f（2）= 1
2 −ln2；
又f（1）= 1
8，f（3）= 9
8 −ln3，
∵ln3＞1∴
1
8 −(
9
8 −ln3) = ln3 −1＞0
∴f（1）＞f（3），
∴x＝1 时f（x）的最大值为
1
8，
x＝2 时函数取得最小值为
1
2 −ln2．
（2）由（1）知当x∈[1，3]时，f（x）≤1
8，
故对任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣at 恒成立，
只要4﹣at＞1
8对任意t∈[0，2]恒成立，即at＜31
8 恒成立
记g（t）＝at，t∈[0，2]
∴
g(0)＜31
8
g(2)＜31
8
，解得a＜31
16，
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∴实数a 的取值范围是（﹣∞，
31
16）．
【点评】本题考查函数与导数的关系，函数的单调性的应用，考查函数的导数在闭区间上的最值的求法，考查计
算能力，恒成立问题的应用，考查转化思想，计算能力．
20．（12 分）（2017 春•桂林期末）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售
价格x（单位：元/千克）满足关系式：y=
a
x−3 +10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a 为常数，已知销售的价格为5 元
/千克时，每日可以售出该商品11 千克．
（1）求a 的值；
（2）若该商品的成本为3 元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出
最大值．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】（1）由x＝5 时，y＝11，代入函数的解析式，解关于a 的方程，可得a 值；
（2）商场每日销售该商品所获得的利润＝每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关
于x 的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x
值．
【解答】解：（1）因为x＝5 时，y＝11，
y=
a
x−3 +10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a 为常数．
所以
a
2 +10＝11，故a＝2；
（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y=
2
x−3 +10（x﹣6）2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为f（x）＝（x﹣3）[
2
x−3 +10（x﹣6）2]
＝2+10（x﹣3）（x﹣6）2，3＜x＜6．
从而，f′（x）＝10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]＝30（x﹣6）（x﹣4），
于是，当x 变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：
x
（3，4）
4
（4，6）
f'（x）
+
0
﹣
f（x）
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得，x＝4 是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4 时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42．
答：当销售价格为4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【点评】本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，求出利润的函数式和正确求导是解题的关键，考查运算能
力，属于中档题．
21．（12 分）（东湖区校级期末）已知抛物线C1：x2 = 2py(p＞0)与直线y＝x 所围成图形的面积为
32
3 ，点P 在抛物
线C2：x2 =−2py(p＞0)上，过点P 作抛物线C1 的两条切线PA、PB，其中A、B 为切点，
（1）求p 的值；
（2）F 为抛物线C1 的焦点，当点P 在抛物线C2 上运动时，求|AF|•|BF|的取值范围．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）由题意联立抛物线与直线方程，消去y 求得x 的值，再利用定积分求出抛物线与直线所围成图形的
面积，得p 的值；
（2）由p 的值写出抛物线的方程，设出A、B 和P 点的坐标，写出切线方程，联立切线与抛物线方程，利用根
与系数的关系，写出|AF|•|BF|，求出它的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，联立x2 = 2py
y = x
，
消去y 解得x1＝0，x2＝2p，
∴抛物线与直线所围成的区域面积为
0
2p
׬
(x −x2
2p )dx = ( x2
2 −x3
6p )|0
2p = 2p2 −4
3 p2 = 32
3 ，
解得p＝4；…………5 分
（2）由（1）知p＝4，
∴C1：x2 = 8y，C2：x2 =−8y，
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设A(x1，
x1
2
8 )，B(x2，
x2
2
8 )，P（x0，y0），
由F（0，2），切线方程为kAP = 1
4 x1，
则PA：y −
x1
2
8 = x1
4 (x −x1)；
又点P（x0，y0）在y0 −
x1
2
8 = x1
4 (x0 −x1)上，
即y0 = x0
4 x1 −
x1
2
8 ；
同理y0 = x0
4 x2 −
x2
2
8 ，
即x1，x2 是方程y0 = x0
4 x −x2
8 的两个根，
∴x1x2＝8y0，x1+x2＝2x0；…………9 分
且点P（x0，y0）在C2：x2 =−8y 上，
有x0
2 =−8y0，
∴|AF| ⋅|BF| = (
x1
2
8 + 2)(
x2
2
8 + 2) =
x1
2x2
2
64 +
x1
2+x2
2
4
+ 4 = y0
2 +
4x0
2−16y0
4
+ 4 = y0
2 −12y0 + 4，
又∵y0＜0，
∴|AF|•|BF|∈（4，+∞）．…………12 分
【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系应用问题，也考查了利用定积分求区域面积的问题，是难题．
22．（12 分）（东湖区校级期末）已知函数f(x) = x −1
x + a + alnx(a ∈R)．
（1）当a＜0 时，试讨论f（x）的单调性；
（2）令g(x) =−1
x + (a + 2)lnx −f(x)，若函数g（x）的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（x1≠x2），
求证：
1
x1
+
1
x2
＞1．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4M：构造法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a 分类分析原函数的单调性；
（2）写出g（x）的解析式，由g（x）的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（x1≠x2），
可得2lnx1﹣x1﹣a＝0 和2lnx2﹣x2﹣a＝0，联立可得
x2−x1
2lnx2
x1
= 1，则
1
x1
+
1
x2
=
x1+x2
x1x2
=
x22
x12−1
2x2
x1lnx2
x1
，令t = x2
x1 ＞1，
可得
1
x1
+
1
x2
=
t2−1
2tlnt，即证：2tlnt﹣t2+1＜0，构造函数h（t）＝2tlnt﹣t2+1，h′（t）＝2+2lnt﹣2t，利用导数可
得h（t）在（1，+∞）单调递减，则h（t）＜h（1）＝0，即2tlnt﹣t2+1＜0．
【解答】（1）解：f'(x) = 1 + 1
x2 + a
x = x2+ax+1
x2
．
①当△＝a2﹣4≤0，即﹣2≤a＜0 时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当△＝a2﹣4＞0，即a＜﹣2 时，x1 = −a−a2−4
2
，x2 = −a+ a2−4
2
，
当x∈(0，−a−a2−4
2
)∪( −a+ a2−4
2
，+ ∞)时，f′（x）＞0，
当x∈( −a−a2−4
2
，−a+ a2−4
2
)时，f′（x）＜0，
∴f（x）在(0，−a−a2−4
2
)上单调递增，
在( −a−a2−4
2
，−a+ a2−4
2
)上单调递减，在( −a+ a2−4
2
，+ ∞)单调递增；
（2）证明：g(x) =−1
x + (a + 2)lnx −f(x) = 2lnx −x −a．
∵g（x）的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（x1≠x2），
∴2lnx1﹣x1﹣a＝0，①
2lnx2﹣x2﹣a＝0，②
由①②得，
x2−x1
2lnx2
x1
= 1，
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∴
1
x1
+
1
x2
=
x1+x2
x1x2
=
x1+x2
x1x2
⋅
x2−x1
2lnx2
x1
=
x22−x12
2x1x2lnx2
x1
=
x22
x12−1
2x2
x1lnx2
x1
，
令t = x2
x1 ＞1，则
1
x1
+
1
x2
=
t2−1
2tlnt，下证
t2−1
2tlnt ＞1，即证：2tlnt﹣t2+1＜0．
设h（t）＝2tlnt﹣t2+1，h′（t）＝2+2lnt﹣2t，h“（t）= 2
t −2，
∵t＞1，∴h''（t）＜0，即h′（t）在（1，+∞）单调递减，
∴h′（t）＜h′（1）＝0，
∴h（t）在（1，+∞）单调递减，则h（t）＜h（1）＝0，
即2tlnt﹣t2+1＜0，∴
1
x1
+
1
x2
＞1．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，训练了利用构造函数法证明函数不等式，
属难题．
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考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p 则q”为真时，可表示为p⇒q，称p 为q 的充分条件，q 是p 的必要条件．事实上，与“p⇒q”
等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q 不成立，则p 一定不成立．这就是说，q 对于p 是必不可少的，
所以说q 是p 的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p 一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p 是q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，
记作“p⇔q”．p 与q 互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证
明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆
二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q 为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；
②若p⇒q 为假命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；
③若p⇒q 为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④若p⇒q 为假命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多
以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3 个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在
直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、
对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a 个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b 个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x）
y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A 倍（0＜A＜1，缩为原来的A 倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x 轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y 轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图，将y 轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
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第631页（共926页）
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函
数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要
注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的
影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常
需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分
析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1 个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象
对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3 个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3 种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，
解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析
解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
3．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2 时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是增函数；当x1＞x2 时，都有f（x1）＜f（x2），
那么就说函数f（x）在区间D 上是减函数．
若函数f（x）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫
做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0 的根和不可导点的x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
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第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a 或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填
空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基
本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍
将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化
与化归思想及逻辑推理能力．
4．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵
坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0 时，求2x+ 8
x的最小值，有2x+ 8
x ≥2 2x ⋅8
x =8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5 和x＝3 的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将
仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参
数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
5．定积分、微积分基本定理
【定积分】
定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形
的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．
【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及
其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微
积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是a
b
׬
f(x)dx = F(b) −F(a)，其中F′（x）＝f（x），而f（x）必须在区间
（a，b）内连续．
例1：定积分1
2
׬
|3 −2x|dx =
解：
׬12|3﹣2x|dx
=
1
3
2
׬
(3 −2x)dx +
3
2
2
׬
(2x −3)dx
＝（3x﹣x2）|
1
3
2 +（x2﹣3x）|
3
2
2
= 1
2
通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达
式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则−3
3
׬
9 −x2dx．
解：根据定积分的几何意义，则−3
3
׬
9 −x2dx 表示圆心在原点，半径为3 的圆的上半圆的面积，
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故−3
3
׬
9 −x2dx = 1
2 × π × 32 = 9π
2 ．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的
面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，
上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集
的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集
的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确
定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（
）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x) = x3 + x2[f'(x) +
m
2 ]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
ln2
2 ×
ln3
3 ×
ln4
4 × ⋯×
lnn
n ＜
1
n (n ≥2，n ∈N∗)．
解：（Ⅰ）f'(x) = a(1−x)
x
(x＞0)（2 分）
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当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）
（Ⅱ）f'(2) =−a
2 = 1 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴g(x) = x3 + ( m
2 + 2)x2 −2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g'(t)＜0
g'(3)＞0
(8 分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0 恒成立，
所以有：
g'(1)＜0
g'(2)＜0
g'(3)＞0
，∴−37
3 ＜m＜−9（10 分）
（Ⅲ）令a＝﹣1 此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1 对一切x∈（1，+∞）成立，（12 分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnn
n ＜n−1
n
∴
ln2
2 ⋅
ln3
3 ⋅
ln4
4 ⋅⋅
lnn
n ＜
1
2 ⋅
2
3 ⋅
3
4 ⋅⋅
n−1
n
=
1
n (n ≥2，n ∈N∗)
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完
全类似）．即在区间内f′（x）＞0 是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说
f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y 极大值＝f（x0），x0 是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f
（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y 极小值＝f（x0），x0 是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不
意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能
在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0 满足f′（x0）＝0，且在x0 的两侧f（x）的导数异号，则x0 是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′
（x）在x0 两侧满足“左正右负”，则x0 是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0 两侧满足“左
负右正”，则x0 是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0 的根；
（3）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左
右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极
小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
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【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
8．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函
数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）= 1
x在（0，+∞）内连
续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函
数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点
时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
9．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2 的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0 或
ax2+bx+c＜0（a 不等于0）其中ax2+bx+c 是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0 时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0 有两个实根，那么ax2+bx+c 可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0 时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0 仅有一个实根，那么ax2+bx+c 可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0 时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0 没有实根，那么ax2+bx+c 与x 轴没有交点．
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【实例解析】
例1：一元二次不等式x2＜x+6 的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0 的形式；然后应用了特征当中的
第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．
【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0 的解集是R 的等价条件是：a＞0 且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0 的解集是R
的等价条件是：a＜0 且△＜0．
②分式不等式问题：
f(x)
g(x) ＞0⇔f（x）•g（x）＞0；
f(x)
g(x) ＜0⇔f（x）•g（x）＜0；
f(x)
g(x) ≥0⇔f(x) ⋅g(x) ≥0
g(x) ≠0
；
f(x)
g(x) ≤0⇔f(x) ⋅g(x) ≤0
g(x) ≠0
．
10．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
11．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别
事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，
A1具有属性p
A2具有属性p
⋯
An具有属性p
⇒S 类事物中的每一个对象都可能具有属性p
2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容
的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工
具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现
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问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（
）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5 个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过
程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个
特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊
的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（
）
A．A，B 为定点，动点P 满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P 的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n﹣1 求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n 项和Sn 的表达式
C．由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1 的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B 选项根据前3 个S1，S2，S3 的值，猜想出Sn 的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C 选项由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1 的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D 选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3
32＝1+3+5
42＝1+3+5+7
23＝3+5
33＝7+9+11
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是21，则m+n＝（
）
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A．10
B．11
C．12
D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n
的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+11= 1+11
2
× 6 =36，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3 的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n 的值是解题的关键．
12．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和
短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
c
a叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e= c
a，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e 越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为
x2+y2＝a2．
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5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
13．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
14．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
15．直线与抛物线的综合
v．
16．圆的参数方程
【知识点的认识】
直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程
轨迹
普通方程
参数方程
直线
y﹣y0＝tan α（x﹣x0）
x = x0 + tcosθ
y = y0 + tsinθ（t 为参数）
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圆
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2
x = a + rcosθ
y = b + rsinθ （θ为参数）
椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）
x = acosθ
y = bsinθ （θ为参数）
双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1
x = asecθ
y = btanθ （θ为参数）
抛物线
y2＝2px（p＞0）
x = 2pt2
y = 2pt （t 为参数）
【解题思路点拨】
1．选取参数时的一般原则是：
（1）x，y 与参数的关系较明显，并列出关系式；
（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y 的值；
（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，
也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．
2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：
（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；
（2）选择适当的参数；
（3）找出x，y 与参数的关系，列出解析式；
（4）证明（常常省略）．
3．根据直线的参数方程标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：
（1）若M1，M2 为l 上任意两点，M1，M2 对应t 的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；
（2）若M0 为线段M1M2 的中点，则有t1+t2＝0；
（3）若线段M1M2 的中点为M，则M0M＝tM= t1+t2
2
．一般地，若点P 分线段M1M2 所成的比为λ，则tP= t1+λt2
1+λ ．
4．直线的参数方程的一般式x = x0 + at
y = y0 + bt（t 为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当
a2+b2＝1 且b≥0 时，才是标准方程，t 才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程x = x0 + at
y = y0 + bt化为标准方程是
x = x0 ±
|a|
a2+b2 t'
y = y0 ±
|b|
a2+b2 t'
（t′∈R），式中“±”号，当a，b 同号时取正；当a，b 异号时取负．
5．参数方程与普通方程互化时，要注意：
（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；
（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；
（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．
6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求
解．
7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．
8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y 的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数
方程后求解．
17．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0 的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，
a
b ＞1⇒a＞b；b＜0，
a
b ＜1⇒a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1 的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种
证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
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（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前
面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实
（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，
直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，
通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这
种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：
18．数学归纳法
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0 时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1 时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没
有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，
是否正确．
在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定
理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0 并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k 时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
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2018-2019 学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共15 小题，每小题3 分，共45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3 分）（天心区校级期末）与命题“若a∈A，则b∉A”的真假性相同的命题是（
）
A．a∈A 或b∉A
B．若b∉A，则a∈A
C．若a∉A，则b∈A
D．若b∈A，则a∉A
2．（3 分）（2010•湖南）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（
）
A．y
^ =−10x+200
B．y
^ =10x+200
C．y
^ =−10x﹣200
D．y
^ =10x﹣200
3．（3 分）（2013•日照二模）设复数z1＝1﹣3i，z2＝3﹣2i，则
z1
z2
在复平面内对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．（3 分）（2014•安徽）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（3 分）（2018 秋•菏泽期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G 分别是
DD1、AB、CC1 的中点，则异面直线A1E 与GF 所成角的余弦值是（
）
A．
15
5
B．
2
2
C．
10
5
D．0
6．（3 分）（2014•湖北）若二项式（2x+ a
x）7 的展开式中
1
x3的系数是84，则实数a＝（
）
A．2
B．
5 4
C．1
D．
2
4
7．（3 分）（天心区校级期末）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，
则函数f（x）在（a，b）内的极大值点共有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
8．（3 分）（2012•临沂一模）设椭圆
x2
2 +
y2
m =1 和双曲线
y2
3 −x2＝1 的公共焦点分别为F1，F2，P 为这两条曲线的一
个交点，则|PF1|•|PF2|的值为
（
）
A．3
B．2 3
C．3 2
D．2 6
9．（3 分）（2014 春•许昌期末）在等差数列{an}中，若an＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等
比数列{bn}中，若bn＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8 的一个不等关系是（
）
A．b4+b8＞b5+b7
B．b5+b7＞b4+b8
C．b4+b7＞b5+b8
D．b4+b5＞b7+b8
10．（3 分）（天心区校级期末）若a，b，c 均为正实数，则三个数a + 1
b ，b + 1
c ，c + 1
a（
）
A．都不大于2
B．都不小于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
11．（3 分）（2013•桃城区校级一模）函数f（x）＝﹣2x2+7x﹣6 与函数g（x）＝﹣x 的图象所围成的封闭图形的面
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积为（
）
A．
2
3
B．2
C．
8
3
D．3
12．（3 分）（2011•沈阳校级模拟）若函数f（x）＝x3﹣12x 在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k 的取
值范围（
）
A．k≤﹣3 或﹣1≤k≤1 或k≥3
B．﹣3＜k＜﹣1 或1＜k＜3
C．﹣2＜k＜2
D．不存在这样的实数k
13．（3 分）（天心区校级期末）假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30 至7：30 之间把报纸送到小明
家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00 至8：00 之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是（
）
A．
3
4
B．
1
8
C．
7
8
D．
1
4
14．（3 分）（2010•湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戊5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导
游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能
胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（
）
A．152
B．126
C．90
D．54
15．（3 分）（2017•新课标Ⅰ）已知F 为抛物线C：y2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1 与C
交于A、B 两点，直线l2 与C 交于D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（
）
A．16
B．14
C．12
D．10
二、填空题：本大题共5 小题，每小题3 分，共15 分.
16．（3 分）（奉贤区二模）从4 名男生和3 名女生中选出4 人参加某个座谈会，若这4 人中必须既有男生又有女生，
则不同的选法种数共有
．（用数字作答）
17．
（3 分）
（2017 春•濮阳期末）在△ABC 中，不等式
1
A +
1
B +
1
C ≥
9
π成立；在四边形ABCD 中，不等式
1
A +
1
B +
1
C +
1
D ≥
16
2π成成立；在五边形ABCDE 中，不等式
1
A +
1
B +
1
C +
1
D +
1
E ≥
25
3π成立．猜想在n 边形中，不等式
成立．
18．（3 分）（2018 秋•芮城县期末）如图，60°的二面角的棱上有A，B 两点，直线AC，BD 分别在这个二面角的
两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD 的长为
．
19．（3 分）（2017•新课标Ⅰ）已知双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A 为圆心，b 为半径作
圆A，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M、N 两点．若∠MAN＝60°，则C 的离心率为
．
20．（3 分）（天心区校级期末）已知函数f(x) = 1
2 + ln x
2，g（x）＝ex﹣2，若g（m）＝f（n）成立，则n﹣m 的最小
值为
．
三、解答题：本大题共5 小题，每小题8 分，共40 分.
21．（8 分）（天心区校级期末）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为
3
5；
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为
4
5的直线被C 所截线段的中点坐标．
22．（8 分）（天心区校级期末）设曲线f(x) = ax2
ex 在点（1，f（1））处的切线方程为y = 3
e x + b（其中，a，b∈R，e
是自然对数的底数）．
（1）求a，b 的值；
（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．
23．（8 分）（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A﹣PB﹣C 的余弦值．
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24．（8 分）（天心区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，倾斜角为45°的直线l 过点F 与抛物
线C 交于A，B 两点，△OAB 的面积为2 2（O 为坐标原点）．
（1）求p；
（2）设点E 为直线x = p
2与抛物线C 在第一象限的交点，过点E 作C 的斜率分别为k1，k2 的两条弦EM，EN，
如果k1+k2＝﹣1，证明直线MN 过定点，并求出定点坐标．
25．（8 分）（2018•普宁市模拟）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣2ax+1（a 为常数）．
（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；
（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea(a + 1) + f(x0)＞a2 + 2a + 4（其中e 为自然
数对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围．
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2018-2019 学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共15 小题，每小题3 分，共45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3 分）（天心区校级期末）与命题“若a∈A，则b∉A”的真假性相同的命题是（
）
A．a∈A 或b∉A
B．若b∉A，则a∈A
C．若a∉A，则b∈A
D．若b∈A，则a∉A
【考点】25：四种命题间的逆否关系．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】根据逆否命题的等价性进行求解即可．
【解答】解：由于逆否命题是等价命题，
则与命题“若a∈A，则b∉A”的真假性相同的命题是若b∈A，则a∉A，
故选：D．
【点评】本题主要考查逆否命题的应用，根据逆否命题的等价性是解决本题的关键．
2．（3 分）（2010•湖南）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（
）
A．y
^ =−10x+200
B．y
^ =10x+200
C．y
^ =−10x﹣200
D．y
^ =10x﹣200
【考点】BP：回归分析．菁优网版权所有
【专题】21：阅读型．
【分析】本题考查的知识点是回归分析的基本概念，根据某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，
故回归系数应为负，再结合实际进行分析，即可得到答案．
【解答】解：由x 与y 负相关，
可排除B、D 两项，
而C 项中的y
^ =−10x﹣200＜0 不符合题意．
故选：A．
【点评】两个相关变量之间的关系为正相关关系，则他们的回归直线方程中回归系数为正；
两个相关变量之间的关系为负相关关系，则他们的回归直线方程中回归系数为负．
3．（3 分）（2013•日照二模）设复数z1＝1﹣3i，z2＝3﹣2i，则
z1
z2
在复平面内对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．菁优网版权所有
【分析】根据复数的除法将
z1
z2
化成a+bi 的形式然后再利用复数与坐标平面的点的对应可知有序数对（a，b）即为
z1
z2
在复平面内对应的点．
【解答】解：∵z1＝1﹣3i，z2＝3﹣2i
∴
z1
z2
=
1−3i
3−2i =
(1−3i)(3+2i)
(3−2i)(3+2i) =
9
13 +（−7
13）i
∴
z1
z2
在复平面内对应的点为（
9
13，−7
13）且此点为第四象限
故选：D．
【点评】本题主要考察了复数的除法运算，属常考题，较易．解题的关键是熟记复数的除法运算法则即分子分母
同时除以分母的共轭复数，同时此题也考察了复数与坐标平面的点的对应！
4．（3 分）（2014•安徽）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5L：简易逻辑．
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0 时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0 的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．
5．（3 分）（2018 秋•菏泽期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G 分别是
DD1、AB、CC1 的中点，则异面直线A1E 与GF 所成角的余弦值是（
）
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A．
15
5
B．
2
2
C．
10
5
D．0
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用．
【分析】以DA，DC，DD1 所在直线方向x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，可得A1E
→
和GF
→
的坐标，进而可得cos＜A1E
→
，
GF
→
＞，可得答案．
【解答】解：以DA，DC，DD1 所在直线方向x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）
∴A1E
→
=（﹣1，0，﹣1），GF
→
=（1，﹣1，﹣1）
设异面直线A1E 与GF 所成角的为θ，
则cosθ＝|cos＜A1E
→
，GF
→
＞|＝0，
故选：D．
【点评】本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．
6．（3 分）（2014•湖北）若二项式（2x+ a
x）7 的展开式中
1
x3的系数是84，则实数a＝（
）
A．2
B．
5 4
C．1
D．
2
4
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】5P：二项式定理．
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x 幂指数为﹣3，求出a 即可．
【解答】解：二项式（2x+ a
x）7 的展开式即（
a
x +2x）7 的展开式中x
﹣3 项的系数为84，
所以Tr+1= C7
r(2x)r( a
x )7−r = C7
r2ra7−rx−7+2r，
令﹣7+2r＝﹣3，解得r＝2，
代入得：C7
2a522 = 84，
解得a＝1，
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．
7．（3 分）（天心区校级期末）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，
则函数f（x）在（a，b）内的极大值点共有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；34：方程思想；53：导数的综合应用．
【分析】利用导函数的图象及其取得极大值的充分条件即可得出．
【解答】解：导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，
可得：函数f（x）在（a，b）内的极大值点为A，C，共有2 个．
故选：B．
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【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（3 分）（2012•临沂一模）设椭圆
x2
2 +
y2
m =1 和双曲线
y2
3 −x2＝1 的公共焦点分别为F1，F2，P 为这两条曲线的一
个交点，则|PF1|•|PF2|的值为
（
）
A．3
B．2 3
C．3 2
D．2 6
【考点】KF：圆锥曲线的共同特征．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】先根据椭圆
x2
2 +
y2
m = 1 和双曲线
y2
3 −x2 = 1 的公共焦点分别为F1、F2，确定m 的值，再利用椭圆、
双曲线的定义，即可求得|PF1|•|PF2|的值．
【解答】解：∵椭圆
x2
2 +
y2
m = 1 和双曲线
y2
3 −x2 = 1 的公共焦点分别为F1、F2，
∴m﹣2＝3+1
∴m＝6
∴|PF1|+|PF2|＝2 6，||PF1|﹣|PF2||＝2 3
两式平方相减可得，4|PF1|•|PF2|＝12
∴|PF1|•|PF2|＝3
故选：A．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的综合，考查椭圆与双曲线定义，正确运用定义是关键．
9．（3 分）（2014 春•许昌期末）在等差数列{an}中，若an＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等
比数列{bn}中，若bn＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8 的一个不等关系是（
）
A．b4+b8＞b5+b7
B．b5+b7＞b4+b8
C．b4+b7＞b5+b8
D．b4+b5＞b7+b8
【考点】87：等比数列的性质；F3：类比推理．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】类比等差数列{an}与等比数列{bn}均为各项为正数的递增数列，等差数列中的“和”运算类比等比数列
中“积”运算，由此即可得到答案．
【解答】解：在等差数列{an}中，an＞0，公差为d＞0，所以{an}为各项为正数的递增数列，
由于4+6＝3+7 时有a4•a6＞a3•a7，
而在等比数列{bn}中，bn＞0，q＞1，则{bn}为各项为正数的递增数列，
由于4+8＝5+7，所以应有b4+b8＞b5+b7，
∴b4+b8＞b5+b7．
故选：A．
【点评】本题考查类比推理，考查学生的观察、分析、类比能力，考查推理论证能力，属中档题．
10．（3 分）（天心区校级期末）若a，b，c 均为正实数，则三个数a + 1
b ，b + 1
c ，c + 1
a（
）
A．都不大于2
B．都不小于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
【考点】72：不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定a + 1
b ，b + 1
a至少有一个不小于2，从而可以得结论．
【解答】解：由题意，∵a，b 均为正实数，
∴a + 1
b + b + 1
a ≥4
当且仅当a＝b 时，取“＝”号
若a + 1
b ＜2，b + 1
a ＜2，则结论不成立，
∴a + 1
b ，b + 1
a，至少有一个不小于2
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第648页（共926页）
∴a + 1
b ，b + 1
a ，c + 1
a至少有一个不小于2
故选：D．
【点评】本题的考点是不等式的大小比较，考查基本不等式的运用，考查了反证法思想，难度不大
11．（3 分）（2013•桃城区校级一模）函数f（x）＝﹣2x2+7x﹣6 与函数g（x）＝﹣x 的图象所围成的封闭图形的面
积为（
）
A．
2
3
B．2
C．
8
3
D．3
【考点】69：定积分的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先将两函数联立求得两图象的交点坐标，以确定积分区间，再根据图象和定积分的几何意义确定被积函
数为f（x）﹣g（x），最后利用微积分基本定理计算定积分即可得面积
【解答】解：由y =−2x2 + 7x −6
y =−x
得x = 1
y =−1和x = 3
y =−3
∴函数f（x）＝﹣2x2+7x﹣6 与函数g（x）＝﹣x 的图象所围成的封闭图形的面积S＝׬13（f（x）﹣g（x））dx
＝׬13（﹣2x2+8x﹣6）dx
＝（−2
3x3+4x2﹣6x）|13＝（﹣18+36﹣18）﹣（−2
3 +4﹣6）= 8
3
故选：C．
【点评】本题考查了定积分的几何意义和运算性质，微积分基本定理及其应用
12．（3 分）（2011•沈阳校级模拟）若函数f（x）＝x3﹣12x 在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k 的取
值范围（
）
A．k≤﹣3 或﹣1≤k≤1 或k≥3
B．﹣3＜k＜﹣1 或1＜k＜3
C．﹣2＜k＜2
D．不存在这样的实数k
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】由题意得，区间（k﹣1，k+1）内必须含有函数的导数的根2 或﹣2，即k﹣1＜2＜k+1 或k﹣1＜﹣2＜
k+1，从而求出实数k 的取值范围．
【解答】解：由题意得，f′（x）＝3x2﹣12 在区间（k﹣1，k+1）上至少有一个实数根，
而f′（x）＝3x2﹣12＝0 的根为±2，区间（k﹣1，k+1）的长度为2，
故区间（k﹣1，k+1）内必须含有2 或﹣2．
∴k﹣1＜2＜k+1 或k﹣1＜﹣2＜k+1，
∴1＜k＜3 或﹣3＜k＜﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，函数在区间上不是单调函数，则函数的导数在区间上有实数根．
13．（3 分）（天心区校级期末）假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30 至7：30 之间把报纸送到小明
家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00 至8：00 之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是（
）
A．
3
4
B．
1
8
C．
7
8
D．
1
4
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】根据题意，设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y；则（x，y）可以看成平面中的
点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A 所构成的区域及其面积，由几何
概型公式，计算可得答案．
【解答】解：设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y，记小明爸爸离家前能看到报纸为事件
A；
以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明爸爸离家时间，建立平面直角坐标系，
小明爸爸离家前能得到报纸的事件构成区域如图示：
由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．
根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明爸爸在离开家前能得到报纸，即事件A 发生，
所以P（A）=
1−1
2×1
2×1
2
1
= 7
8，
故选：C．
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第649页（共926页）
【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键在于设出X、Y，将（X，Y）以及事件A 在平面直角坐标系中
表示出来．
14．（3 分）（2010•湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戊5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导
游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能
胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（
）
A．152
B．126
C．90
D．54
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲
乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33＝18 种；
②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2 种小情况；
1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22＝3×2×3×2＝36 种；
2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22＝72 种；
由分类计数原理，可得共有18+36+72＝126 种，
故选：B．
【点评】本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论．
15．（3 分）（2017•新课标Ⅰ）已知F 为抛物线C：y2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1 与C
交于A、B 两点，直线l2 与C 交于D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为（
）
A．16
B．14
C．12
D．10
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】方法一：根据题意可判断当A 与D，B，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根
据弦长公式计算即可．
方法二：设直线l1 的倾斜角为θ，则l2 的倾斜角为
π
2 +θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求
得答案
【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1 与C 交于A、B 两点，
直线l2 与C 交于D、E 两点，
要使|AB|+|DE|最小，
则A 与D，B，E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1，
又直线l2 过点（1，0），
则直线l2 的方程为y＝x﹣1，
联立方程组y2 = 4x
y = x −1，则y2﹣4y﹣4＝0，
∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，
∴|DE|=
1 + 1
k2•|y1﹣y2|=
2 ×
32 =8，
∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，
方法二：设直线l1 的倾斜角为θ，则l2 的倾斜角为
π
2 +θ，
根据焦点弦长公式可得|AB|=
2p
sin2θ =
4
sin2θ
|DE|=
2p
sin2(π
2+θ) =
2p
cos2θ =
4
cos2θ
∴|AB|+|DE|=
4
sin2θ +
4
cos2θ =
4
sin2θcos2θ =
16
sin22θ，
∵0＜sin22θ≤1，
∴当θ＝45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，
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故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握
相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．
二、填空题：本大题共5 小题，每小题3 分，共15 分.
16．（3 分）（奉贤区二模）从4 名男生和3 名女生中选出4 人参加某个座谈会，若这4 人中必须既有男生又有女生，
则不同的选法种数共有
34
．（用数字作答）
【考点】D5：组合及组合数公式；D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据题意，选用排除法；分3 步，①计算从7 人中，任取4 人参加某个座谈会的选法，②计算选出的
全部为男生或女生的情况数目，
③由事件间的关系，计算可得答案．
【解答】解：分3 步来计算，
①从7 人中，任取4 人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74＝35 种情况；
②选出的4 人都为男生时，有1 种情况，因女生只有3 人，故不会都是女生，
③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1＝34 种；
故答案为34．
【点评】本题考查组合数公式的运用，解本题采用排除法较为简单．
17．
（3 分）
（2017 春•濮阳期末）在△ABC 中，不等式
1
A +
1
B +
1
C ≥
9
π成立；在四边形ABCD 中，不等式
1
A +
1
B +
1
C +
1
D ≥
16
2π成成立；在五边形ABCDE 中，不等式
1
A +
1
B +
1
C +
1
D +
1
E ≥
25
3π成立．猜想在n 边形中，不等式
1
A1
+
1
A2
+
1
A3
+
⋯+
1
An
≥
n2
(n−2)π
成立．
【考点】F1：归纳推理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．
【分析】观察分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，即可得到答案
【解答】解：在△ABC 中，不等式
1
A +
1
B +
1
C ≥
9
π成立；
在四边形ABCD 中，不等式
1
A +
1
B +
1
C +
1
D ≥
16
2π成成立；
在五边形ABCDE 中，不等式
1
A +
1
B +
1
C +
1
D +
1
E ≥
25
3π成立．
…
归纳可得：在n 边形A1A2A3…An 中，
1
A1
+
1
A2
+
1
A3
+ ⋯+
1
An
≥
n2
(n−2)π；
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故答案为：
1
A1
+
1
A2
+
1
A3
+ ⋯+
1
An
≥
n2
(n−2)π；
【点评】本题考查归纳推理，考查不等式的证明，其中根据已知分析分子与多边形边的关系及分母中π的系数与
多边形边的关系，是解答本题的关键．
18．（3 分）（2018 秋•芮城县期末）如图，60°的二面角的棱上有A，B 两点，直线AC，BD 分别在这个二面角的
两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD 的长为
2 17
．
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】由已知可得CD
→
⋅AB
→
= 0，AB
→
⋅BD
→
= 0，CD
→
= CA
→
+ AB
→
+ BD
→
，利用数量积的性质即可得出．
【解答】解：由条件，知CD
→
⋅AB
→
= 0，AB
→
⋅BD
→
= 0，CD
→
= CA
→
+ AB
→
+ BD
→
．
所以|CD
→
|2 = |CA
→
|2 + |AB
→
|2 + |BD
→
|2 +2CA
→
⋅AB
→
+2AB
→
⋅BD
→
+2CA
→
⋅BD
→
＝62+42+82+2×6×8cos120°＝68
所以CD＝2 17．
故答案为：2 17．
【点评】本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．
19．（3 分）（2017•新课标Ⅰ）已知双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A 为圆心，b 为半径作
圆A，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M、N 两点．若∠MAN＝60°，则C 的离心率为
2 3
3
．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用已知条件，转化求解A 到渐近线的距离，推出a，c 的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A 为圆心，b 为半径做圆A，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M、N 两点．
若∠MAN＝60°，可得A 到渐近线bx+ay＝0 的距离为：bcos30°=
3
2 b，
可得：
|ab|
a2+b2 =
3
2 b，即
a
c =
3
2 ，可得离心率为：e= 2 3
3 ．
故答案为：
2 3
3 ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算
能力．
20．（3 分）（天心区校级期末）已知函数f(x) = 1
2 + ln x
2，g（x）＝ex﹣2，若g（m）＝f（n）成立，则n﹣m 的最小
值为
ln2
．
【考点】3H：函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．
【分析】由g（m）＝f （n），求出m 的表达式，从而得出n﹣m 的表达式，设h（x）= ex−2
lnx e
2
，求得导数，求出
单调区间和极小值，也为最小值，进而求出n﹣m 的最小值．
【解答】解：根据题意，g（m）＝f （n）
即em﹣2＝ln
n
2 +
1
2，
∴m＝2+ln（ln
n
2 +
1
2），
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第652页（共926页）
∴n﹣m＝n﹣2﹣ln（ln
n
2 +
1
2），
＝lnen﹣2﹣ln（ln
n
2 +
1
2），
＝ln
en−2
lnn e
2
，
设h（x）= ex−2
lnx e
2
，
则h′（x）=
ex−2(lnx
2+1
2−1
x)
(lnx
2+1
2)2
，
令h′（x）＝0，得ln
x
2 +
1
2 −
1
x =0，
由x＞0，可得ln
x
2 +
1
2 −
1
x递增，
当x＝2 时，h′（x）＝0，
x＞2 时，h′（x）＞0，h（x）递增；
0＜x＜2 时，h′（x）＜0，h（x）递减．
可得x＝2 处取得极小值且为最小值h（2）＝2，
则n﹣m 的最小值为ln2．
故答案为：ln2．
【点评】本题考查了求函数最值的问题，解题的关键是建立目标函数，利用导数求目标函数的最值，是较难的题
目．
三、解答题：本大题共5 小题，每小题8 分，共40 分.
21．（8 分）（天心区校级期末）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为
3
5；
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为
4
5的直线被C 所截线段的中点坐标．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意可知：b＝4，根据椭圆离心率公式即可求得b 的值，求得椭圆方程；
（2）由点斜式方程求得直线AB 方程，代入椭圆方程，求得A 和B 点坐标，利用中点坐标公式，即可求得AB
的中点坐标．
【解答】解：（1）由椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）过点A（0，4），则b＝4，
椭圆离心率为e= c
a =
1 −b2
a2 = 3
5，则a＝5，
∴C 的方程为
x2
25 +
y2
16 =1；
（2）过点（3，0）且斜率为
4
5的直线方程为y= 4
5（x﹣3），
设直线与C 的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y= 4
5（x﹣3）代入C 的方程，得x2﹣3x﹣8＝0，
解得：x1= 3−41
2
，x2= 3+ 41
2
，
∴AB 的中点M（x0，y0）坐标x0= x1+x2
2
= 3
2，
y0= y1+y2
2
= 2
5（x1+x1﹣6）=−6
5，
即中点为（
3
2，−6
5）．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，中点坐标公式，考查计算能力，属
于中档题．
22．（8 分）（天心区校级期末）设曲线f(x) = ax2
ex 在点（1，f（1））处的切线方程为y = 3
e x + b（其中，a，b∈R，e
是自然对数的底数）．
（1）求a，b 的值；
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第653页（共926页）
（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）f'(x) = 2axex−ax2ex
(ex)2
= 2ax−ax2
ex
，依题可得：f'(1) = a
e = 3
e，f（1）
a
e═
3
e +b，解得a，b．
（2）f(x) = 3x2
ex ，f'(x) = −3x2+6x
ex
= −3x(x−2)
ex
，令f′（x）＝0，解得x＝0 或2．利用单调性即可得出极值与
最值．
【解答】解：（1）f'(x) = 2axex−ax2ex
(ex)2
= 2ax−ax2
ex
，
依题可得：f'(1) = a
e = 3
e，∴a＝3．
又f(1) = 3
e = 3
e + b，∴b＝0．
∴a＝3，b＝0．
（2）f(x) = 3x2
ex ，f'(x) = −3x2+6x
ex
= −3x(x−2)
ex
，
令f′（x）＝0，解得x＝0 或2．
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．
故f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值为max{f（﹣3），f（2）}＝f（﹣3）＝27e3，
最小值为min{f（0），f（3）}＝f（0）＝0．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、方程与不等式的解法与性质，考查了
推理能力与计算能力，属于难题．
23．（8 分）（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A﹣PB﹣C 的余弦值．
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面
PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；
（2）由已知可得四边形ABCD 为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD 为
矩形，设PA＝AB＝2a，则AD= 2 2a．取AD 中点O，BC 中点E，连接PO、OE，以O 为坐标原点，分别以
OA、OE、OP 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，
得PD
→
为平面PAB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C 的余弦值．
【解答】（1）证明：∵∠BAP＝∠CDP＝90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD＝P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD 为平行四边形，
由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD 为矩形，
在△APD 中，由PA＝PD，∠APD＝90°，可得△PAD 为等腰直角三角形，
设PA＝AB＝2a，则AD= 2 2a．
取AD 中点O，BC 中点E，连接PO、OE，
以O 为坐标原点，分别以OA、OE、OP 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，
则：D（−
2a，0，0），B（2a，2a，0），P（0，0，2a），C（−
2a，2a，0）．
PD
→
= ( −
2a，0，−
2a)，PB
→
= ( 2a，2a，−
2a)，BC
→
= ( −2 2a，0，0)．
设平面PBC 的一个法向量为n
→= (x，y，z)，
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第654页（共926页）
由n
→⋅PB
→
= 0
n
→⋅BC
→
= 0
，得
2ax + 2ay −
2az = 0
−2 2ax = 0
，取y＝1，得n
→= (0，1，2)．
∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，PA∩AB＝A，
∴PD⊥平面PAB，则PD
→
为平面PAB 的一个法向量，PD
→
= ( −
2a，0，−
2a)．
∴cos＜PD
→
，n
→＞= PD
→
⋅n
→
|PD
→
||n
→|
=
−2a
2a× 3 =−3
3 ．
由图可知，二面角A﹣PB﹣C 为钝角，
∴二面角A﹣PB﹣C 的余弦值为−
3
3 ．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面
角，是中档题．
24．（8 分）（天心区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，倾斜角为45°的直线l 过点F 与抛物
线C 交于A，B 两点，△OAB 的面积为2 2（O 为坐标原点）．
（1）求p；
（2）设点E 为直线x = p
2与抛物线C 在第一象限的交点，过点E 作C 的斜率分别为k1，k2 的两条弦EM，EN，
如果k1+k2＝﹣1，证明直线MN 过定点，并求出定点坐标．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）求得抛物线的焦点，以及直线l 的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式可得|AB|，
由点到直线的距离公式和三角形的面积公式，解方程可得p；
（2）设M（x3，y3），N（x4，y4），求得EM 的方程，代入抛物线的方程可得y3，同理可得y4，求得MN 的方
程，运用直线恒过定点，可得所求．
【解答】解：（1）y2＝2px（p＞0）的焦点为F( p
2 ，0)，
则直线l 的方程为y = x −p
2，代入抛物线方程得x2 −3px + p2
4 = 0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝3p，
根据抛物线定义|AF| = x1 + p
2，|BF| = x2 + p
2，
所以|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝4p．
坐标原点O 到直线l 的距离d =
p
2
2 =
2p
4 ，
所以△OAB 的面积为
1
2 × 4p ×
2p
4
=
2p2
2
= 2
2，
解得p＝2；
（2）证明：抛物线方程为y2＝4x，直线x = p
2，即x＝1，解得E（1，2）．
设M（x3，y3），N（x4，y4）．根据题意，显然k1，k2 都不等于零，
直线EM：y﹣2＝k1（x﹣1），即x = 1
k1 (y −2) + 1，
代入抛物线方程得y2 −4
k1 y + 8
k1 −4 = 0．
由于点E（1，2）在抛物线上，依据根与系数的关系得y3 × 2 = 8
k1 −4，
所以y3 = 4
k1 −2．同理y4 = 4
k2 −2．
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而直线MN 的方程为y −y3 = y3−y4
x3−x1 (x −x3)，
因为M，N 也在抛物线上，所以x3 =
y3
2
4 ，x4 =
y4
2
4 ，
代入上述方程并整理得y =
4
y3+y4 x + y3y4
y3+y4，
y3 + y4 = 4 × k1+k2
k1k2 −4 = −4
k1k2 −4，
y3y4 = 4[
4
k1k2 −2(k1+k2)
k1k2
+ 1] = 4(
6
k1k2 + 1)．
令
1
k1k2
= t，则y3+y4＝﹣4t﹣4，y3y4＝4（6t+1），
代入MN 的方程得y =−1
t+1 x −6t+1
t+1 ，
整理得t（y+6）+（x+y+1）＝0，
若上式对任意变化的t 恒成立，则x + y + 1 = 0
y + 6 = 0
，解得x = 5
y =−6．
故直线MN 经过定点（5，﹣6）．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用定义法，以及联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定
理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
25．（8 分）（2018•普宁市模拟）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣2ax+1（a 为常数）．
（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；
（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea(a + 1) + f(x0)＞a2 + 2a + 4（其中e 为自然
数对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出原函数的导函数，由题意可得f'(x) = 1
x + 2x −2a ≥0 在（0，+∞）上恒成立．分离参数a，
求出g（x）= 1
x + 2x 的最小值得答案；
（2）依题意得，对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）﹣a2﹣4a﹣2＞0 都成立，记h（a）＝2mea（a+1）
﹣a2﹣4a﹣2，由h（0）＞0 且h（﹣2）≥0 求得m 的范围，可得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）﹣
a2﹣4a﹣2＞0 都成立的必要条件为m∈（1，e2]．进一步证明当m∈（1，e2]时，h（a）＞0 即可．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'(x) = 1
x + 2x −2a，
依题意：f'(x) = 1
x + 2x −2a ≥0 在（0，+∞）上恒成立．
即：2a ≤1
x + 2x = g(x)在（0，+∞）上恒成立．
∴a ≤g(x)min
2
=
2．
∴实数a 的取值范围是（﹣∞，2]；
（2）依题意：对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea(a + 1) + f(x0)max＞a2 + 2a + 4 都成立，
即对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）﹣a2﹣4a﹣2＞0 都成立，
记h（a）＝2mea（a+1）﹣a2﹣4a﹣2，由h（0）＞0⇒2m＞2⇒m＞1，
且h( −2) ≥0 ⇒−2m
e2 −4 + 8 −2 ≥0 ⇒m ≤e2．
∴对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）﹣a2﹣4a﹣2＞0 都成立的必要条件为m∈（1，e2]．
又h'（a）＝2mea（a+1）+2mea﹣2a﹣4＝2（a+2）（mea﹣1），
由h'（a）＝0，得a＝﹣2 或a＝﹣lnm．
∵a∈（﹣2，0]，∴2（a+2）＞0，
①当1＜m＜e2 时，﹣lnm∈（﹣2，0），
且a∈（﹣2，﹣lnm）时，h'（a）＜0，a∈（﹣lnm，0）时，h'（a）＞0，
∴h（a）min＝h（﹣lnm）＝lnm•（2﹣lnm）＞0，
∴a∈（﹣2，0]时，h（a）＞0 恒成立；
②当m＝e2 时，h'（a）＝2（a+2）（ea+2﹣1），
∵a∈（﹣2，0]，∴h'（a）＞0，
此时h（a）单调递增，且h（﹣2）＝2e2e
﹣2（﹣1）﹣4+8﹣2＝0，
∴a∈（﹣2，0]时，h（a）＞h（﹣2）＝0 成立．
综上，m 的取值范围是（1，e2]．
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【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法与分类讨论
的数学思想方法，属难题．
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考点卡片
1．四种命题间的逆否关系
【知识点的认识】
基本概念：
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命
题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否
定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命
题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原
命题的逆否命题．
四种命题的关系：
【解题方法点拨】
由于本处命题主要是概念型与理解型的题，准确理解概念；注意原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真
假．原命题与逆否命题同真假，为解题提供逆向思维的方法，反证法的应用．
【命题方向】近几年的高考主要是考察对四命题的理解以及命题之间互为逆否关系的理解，通常以小题为主．又可
以与充要条件联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p 则q”为真时，可表示为p⇒q，称p 为q 的充分条件，q 是p 的必要条件．事实上，与“p⇒q”
等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q 不成立，则p 一定不成立．这就是说，q 对于p 是必不可少的，
所以说q 是p 的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p 一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p 是q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，
记作“p⇔q”．p 与q 互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证
明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆
二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q 为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；
②若p⇒q 为假命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；
③若p⇒q 为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④若p⇒q 为假命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多
以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵
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坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0 时，求2x+ 8
x的最小值，有2x+ 8
x ≥2 2x ⋅8
x =8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5 和x＝3 的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将
仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参
数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
4．定积分的应用
【应用概述】
正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用
也就和求面积相关．
例1：定积分0
3π
2
׬
|sinx|dx 的值是．
解：0
3π
2
׬
|sinx|dx=
0
π
׬
sinxdx +
π
3π
2
׬
( −sinx)dx
＝﹣cosx|0
π +cosx|π
3π
2
＝1+1+0﹣（﹣1）
＝3．
这个题如果这样子出，|sinx|在区间（0，
3π
2 ）上与x 轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用
题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．
【定积分在求面积中的应用】
1、直角坐标系下平面图形的面积
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2、极坐标系下平面图形的面积
由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为
3、用定积分求平面图形的面积的步骤
a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；
b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；
c）具体计算定积分，求出图形的面积．
5．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集
的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集
的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确
定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（
）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
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题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x) = x3 + x2[f'(x) +
m
2 ]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
ln2
2 ×
ln3
3 ×
ln4
4 × ⋯×
lnn
n ＜
1
n (n ≥2，n ∈N∗)．
解：（Ⅰ）f'(x) = a(1−x)
x
(x＞0)（2 分）
当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）
（Ⅱ）f'(2) =−a
2 = 1 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴g(x) = x3 + ( m
2 + 2)x2 −2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g'(t)＜0
g'(3)＞0
(8 分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0 恒成立，
所以有：
g'(1)＜0
g'(2)＜0
g'(3)＞0
，∴−37
3 ＜m＜−9（10 分）
（Ⅲ）令a＝﹣1 此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1 对一切x∈（1，+∞）成立，（12 分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnn
n ＜n−1
n
∴
ln2
2 ⋅
ln3
3 ⋅
ln4
4 ⋅⋅
lnn
n ＜
1
2 ⋅
2
3 ⋅
3
4 ⋅⋅
n−1
n
=
1
n (n ≥2，n ∈N∗)
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完
全类似）．即在区间内f′（x）＞0 是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
6．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说
f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y 极大值＝f（x0），x0 是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f
（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y 极小值＝f（x0），x0 是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不
意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能
在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0 满足f′（x0）＝0，且在x0 的两侧f（x）的导数异号，则x0 是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′
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（x）在x0 两侧满足“左正右负”，则x0 是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0 两侧满足“左
负右正”，则x0 是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0 的根；
（3）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左
右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极
小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函
数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）= 1
x在（0，+∞）内连
续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函
数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点
时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
8．利用导数研究曲线上某点切线方程
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【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导
数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在
解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率
的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1 处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1 时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线
方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
9．不等式比较大小
【知识点的知识】
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
【典型例题分析】
方法一：作差法
典例1：若a＜0，b＜0，则p= b2
a + a2
b 与q＝a+b 的大小关系为（
）
A．p＜q
B．p≤q
C．p＞q
D．p≥q
解：p﹣q= b2
a + a2
b −a﹣b= b2−a2
a
+ a2−b2
b
=（b2﹣a2）⋅( 1
a −1
b ) = (b2−a2)(b−a)
ab
= (b−a)2(a+b)
ab
，
∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，
若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，
综上p≤q，
故选：B
方法二：利用函数的单调性
典例2：三个数( 2
5 )−1
5，( 6
5 )−1
5，( 6
5 )−2
5的大小顺序是（
）
A．( 6
5 )−1
5＜( 6
5 )−2
5＜( 2
5 )−1
5
B．( 6
5 )−2
5＜( 6
5 )−1
5＜( 2
5 )−1
5
C．( 6
5 )−1
5＜( 2
5 )−1
5＜( 6
5 )−2
5
D．( 6
5 )−1
5＜( 2
5 )−1
5
＜( 6
5 )−2
5
解：由指数函数的单调性可知，( 6
5 )−1
5＞( 6
5 )−2
5，
由幂函数的单调性可知，( 2
5 )−1
5＞( 6
5 )−1
5，
则( 2
5 )−1
5＞( 6
5 )−1
5＞( 6
5 )−2
5，
故( 6
5 )−2
5＜( 6
5 )−1
5＜( 2
5 )−1
5，
故选：B．
10．等比数列的性质
【等比数列】
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个
数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比
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通常用字母q 表示（q≠0）．注：q＝1 时，an 为常数列．
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n 项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1 为首项，q 为公比，
我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn= a1(1−qn)
1−q
，表示的是前面n 项的和．③若
m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．
例：2，x，y，z，18 成等比数列，则y＝
．
解：由2，x，y，z，18 成等比数列，设其公比为q，
则18＝2q4，解得q2＝3，
∴y＝2q2＝2×3＝6．
故答案为：6．
本题的解法主要是运用了等比数列第n 项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，
继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．
【等比数列的性质】
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：a1＞0
q＞1
或a1＜0
0＜q＜1
⇔{an}是递增数列；a1＞0
0＜q＜1
或⇔a1＜0
q＞1
{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；
q＜0⇔{an}是摆动数列．
11．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是1，
y 轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，
b）→平面向量OZ
→
．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z 对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z 对应的点与复数z0 对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z =z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi 为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0 时，z−z =2bi 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z+ z =0 且z≠0．
12．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
13．回归分析
【知识点的知识】
1、回归直线：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直
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线叫作回归直线．记为：y
^ = b
^
x+ a
^．求回归直线方程的一般步骤：
①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系；
②求回归系数；
③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明．
2、回归分析：
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
建立回归模型的基本步骤是：
①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）．
③由经验确定回归方程的类型．
④按一定规则估计回归方程中的参数（最小二乘法）；
⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，模型是否合适等．
14．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A 所对应的区域用A 表示（A⊆Ω），则P
（A）= A 的度量
Ω的度量称为事件A 的几何概率．
15．组合及组合数公式
【考点归纳】
1．定义
（1）组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素
的一个组合．
（2）组合数：从n 个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意
取出m 个元素的组合数，用符号Cn
m表示．
2．组合数公式：Cn
m = n(n−1)(n−2)(n−m+1)
m!
=
n!
m!(n−m)!．m，n∈N+，且m≤n．
3．组合数的性质：
性质1 Cn
m= Cn
n−m
性质2 Cn+1
m
= Cn
m+ Cn
m−1．
16．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对
于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
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（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”
的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相
邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性
上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有
；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指
定位置则有
；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内．先C 后A 策略，排
列
；组合
；
②从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定某r 个元素都不包含在内．先C 后A 策略，排
列
；组合
；
③从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r 个元素中的s
个元素．先C 后A 策略，排列
；组合
．
17．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n=
i=0
n
σ
∁niai•bn﹣i．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆
开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝
1.105
．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把( 3i −x)10把二项式定理展开，展开式的第8 项的系数是．
解：由题意T8＝C107× ( 3i)3 × ( −1)7 =120×3 3i＝360 3i．
故答案为：360 3i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一
定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n 的二项展开式．其中各项的系数
叫做二
项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1 项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幂排列，b 的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①
；
②
；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1 项
叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式
的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应
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用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1 项，该项的二项式系数是∁nr；
（2）字母b 的次数和组合数的上标相同；
（3）a 与b 的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1 ）对称性：与首末两端“ 等距离” 的两个二项式系数相等，即
；
（2）增减性与最大值：当k＜n+1
2 时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在
中间取最大值．当n 为偶数时，则中间一项Cn
n
2的二项式系数最大；当n 为奇数时，则中间的两项Cn
n−1
2 ，Cn
n+1
2 相等，
且同时取得最大值．
18．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别
事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，
A1具有属性p
A2具有属性p
⋯
An具有属性p
⇒S 类事物中的每一个对象都可能具有属性p
2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容
的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工
具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现
问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（
）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5 个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过
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程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个
特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊
的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（
）
A．A，B 为定点，动点P 满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P 的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n﹣1 求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n 项和Sn 的表达式
C．由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1 的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B 选项根据前3 个S1，S2，S3 的值，猜想出Sn 的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C 选项由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆
x2
a2 +
y2
b2 = 1 的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D 选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3
32＝1+3+5
42＝1+3+5+7
23＝3+5
33＝7+9+11
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是21，则m+n＝（
）
A．10
B．11
C．12
D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n
的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+11= 1+11
2
× 6 =36，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3 的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n 的值是解题的关键．
19．类比推理
【知识点的认识】
1．类比推理：根据两个（或两类）对象在一些属性上相同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或相似的推
理形式．
2．类比推理的形式：
A 对象具有属性abcd
B 对象具有属性abc
⇒B 对象具有属性d
3．特点：类比推理是一种主观的不充分的似真推理，要确认猜想的正确性，需经过严格的逻辑论证．一般情况下，
如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，则类比得出的命题就越可靠．
【解题技巧点拨】
类比推理的步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
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例：请用类比推理完成下表：
解：本题由已知前两组类比可得到如下信息：
①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；
②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；
③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；
④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；
⑤三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．
由以上分析可知：
故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一．
【命题方向】
一般以选择题、填空题的形式出现，是高考的重要内容．常见题型有：
（1）升级类比：平面到空间的类比；
（2）同级类比：圆锥曲线之间的类比；
（3）运算类比：等差与等比的类比．
20．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
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3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和
短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
c
a叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e= c
a，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e 越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为
x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
21．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
22．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
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性
质
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
23．圆锥曲线的共同特征
【知识点的知识】
圆锥曲线的共同特征：
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到定直线的距离之比为定值e．当0＜e＜1 时，圆锥曲线是椭圆；当e
＞1 时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1 时，圆锥曲线是抛物线．其中定点是圆锥曲线的一个焦点，定直线是相应于这
个交点的准线．
24．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b 是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′
所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，
π
2]．当θ＝90°时，称两
条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
25．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
26．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部
分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣
Q．
2、二面角的平面角
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在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，
则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的
另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所
成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为u
→和v
→，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜u
→，v
→＞≤π
2，θ= ＜u
→，v
→＞，此时cosθ＝cos＜u
→，v
→＞=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
（2）当
π
2 ＜＜u
→，v
→＞≤π时，θ＝cos（π−＜u
→，v
→＞）＝﹣cos＜u
→，v
→＞=−=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|．
27．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
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2018-2019 学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分）
1．（5 分）（龙凤区校级期末）向量a
→= (2，4，−4)，b
→
= ( −2，x，2)，若a
→⊥b
→
，则x 的值为（
）
A．﹣3
B．1
C．﹣1
D．3
2．（5 分）（2014 秋•清远期末）已知函数f（x）＝x+lnx，则f′（1）的值为（
）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
3．（5 分）（龙凤区校级期末）某学校高一、高二、高三共有学生3500 人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，
高二学生数比高一学生数多300 人，现在按
1
100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为
（
）
A．8
B．11
C．16
D．10
4．（5 分）（2015•湖南一模）某公司在2014 年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资
料如下表所示：
月份
1 月份2 月份3 月份4 月份5 月份6 月份
收入x
12.3
14.5
15.0
17.0
19.8
20.6
支出Y
5.63
5.75
5.82
5.89
6.11
6.18
根据统计资料，则（
）
A．月收入的中位数是15，x 与y 有正线性相关关系
B．月收入的中位数是17，x 与y 有负线性相关关系
C．月收入的中位数是16，x 与y 有正线性相关关系
D．月收入的中位数是16，x 与y 有负线性相关关系
5．（5 分）（2019•乌鲁木齐一模）《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣
于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双
方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（
）
A．
1
3
B．
1
4
C．
1
5
D．
1
6
6．（5 分）（龙凤区校级期末）点集Ω＝{（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A＝{（x，y）|y≥ex，（x，y）∈Ω}，在点集
Ω中任取一个元素a，则a∈A 的概率为（
）
A．
1
e
B．
1
e2
C．
e−1
e
D．
e2−1
e2
7．（5 分）（龙凤区校级期末）下列说法错误的是（
）
A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）＝0”的充分不必要条件．
B．已知A，B，C 不共线，若PA
→
+ PB
→
+ PC
→
= 0
→
，则P 是△ABC 的重心．
C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．
D．命题“若α= π
3，则cosα = 1
2”的逆否命题是：“若cosα ≠1
2，则α ≠π
3”．
8．（5 分）（龙凤区校级期末）过双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B
两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（
）
A．2
B．2 +
2
C．2 −
2或
2 +
2 D．2或2 +
2
9．（5 分）（龙凤区校级期末）若双曲线x2+my2＝m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（
）
A．y =±
5x
B．y =±
3x
C．y =± 1
3 x
D．y =± 3
3 x
10．（5 分）（2007•全国卷Ⅱ）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等，则AB1 与侧面ACC1A1 所成
角的正弦值等于（
）
A．
6
4
B．
10
4
C．
2
2
D．
3
2
11．
（5 分）
（龙凤区校级期末）设函数f（x）= 1
2x2﹣9lnx 在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a 的取值范围是（
）
A．（1，2]
B．[4，+∞）
C．（﹣∞，2]
D．（0，3]
12．（5 分）（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）=
3sin
πx
m，若存在f（x）的极值点x0 满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m
的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）
B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
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C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题（本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分）
13．（5 分）（龙凤区校级期末）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是
．
14．（5 分）（龙凤区校级期末）由动点P 向圆x2+y2＝1 引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB＝120°，
则动点P 的轨迹方程为
．
15．（5 分）（龙凤区校级期末）执行如图所示的程序框图，输出的S 值是
．
16．（5 分）（龙凤区校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣e
﹣x+1（e 为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，
则实数x 的取值范围为
．
三、解答题（本大题共6 个小题，17 题10 分，其余各题各12 分，共70 分）
17．（10 分）（习水县期末）已知过抛物线y2＝8x 的焦点，斜率为2 2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）
（x1＜x2）两点．
（1）求线段AB 的长度；
（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC
→
= OA
→
+ λOB
→
，求λ的值．
18．（12 分）（龙凤区校级期末）已知关于x 的二次函数f（x）＝ax2﹣4bx+1．
（Ⅰ）设集合A＝{﹣1，1，2}和B＝{﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B 中随机取一个数作为a 和b，求函数y
＝f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
（Ⅱ）设点（a，b）是区域
x + y −8 ≤0
x＞0
y＞0
内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
19．（12 分）（龙凤区校级期末）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD 是边长为2 的菱形，∠ABC＝60°，E 为AB
的中点，PA⊥平面ABCD，且PA＝2
（1）在棱PD 上求一点F，使AF∥平面PEC；
（2）求二面角D﹣PE﹣A 的余弦值．
20．（12 分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方
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程为y＝4x+4．
（Ⅰ）求a，b 的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
21．（12 分）（2018•中山市一模）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1( −
2，0)，F2( 2，0)，
点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，设点N（3，2），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，
k2，求证：k1+k2 为定值．
22．（12 分）（2018•铁东区校级二模）设函数f(x) = xlnx −a
2 x2
（1）当x∈（0，+∞），f(x) + a
2 x ≤0 恒成立，求实数a 的取值范围．
（2）设g（x）＝f（x）﹣x 在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．
（A）求实数a 的取值范围；
（B）求证：
1
lnx1
+
1
lnx2
＞2ae．
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2018-2019 学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分）
1．（5 分）（龙凤区校级期末）向量a
→= (2，4，−4)，b
→
= ( −2，x，2)，若a
→⊥b
→
，则x 的值为（
）
A．﹣3
B．1
C．﹣1
D．3
【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5H：空间向量及应用．
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵向量a
→= (2，4，−4)，b
→
= ( −2，x，2)，a
→⊥b
→
，
∴a
→⋅b
→
=−4+4x﹣8＝0，
解得x＝3．
故选：D．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，
是基础题．
2．（5 分）（2014 秋•清远期末）已知函数f（x）＝x+lnx，则f′（1）的值为（
）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
【考点】64：导数的加法与减法法则．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】求f′（1）需要先求出函数f（x）＝x+lnx 的导数，由解析式的形式可以看出，需要用和的求导公式求
导数
【解答】解：∵f（x）＝x+lnx，
∴f′（x）＝1+ 1
x
∴f′（1）＝1+ 1
1 =2
故选：B．
【点评】本题考查导数加法与减法法则，解题的关键是熟练掌握导数的加法与减法法则以及对数的求导公式，导
数以其工具性在高考中的应用越来越广泛，在高考中的地位近几年稳步提高，应加强对其运算公式的掌握，提高
应用的熟练程度．
3．（5 分）（龙凤区校级期末）某学校高一、高二、高三共有学生3500 人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，
高二学生数比高一学生数多300 人，现在按
1
100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为
（
）
A．8
B．11
C．16
D．10
【考点】B3：分层抽样方法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】设出高一年级的人数，根据三个年级人数之间的关系，写出高二和高三的人数，根据学校共有的人数，
得到关于高一人数的方程，解方程得到高一人数，用人数乘以抽取的比例，得到结果．
【解答】解：设高一学生有x 人，则高三有2x，高二有x+300，
∵高一、高二、高三共有学生3500 人，
∴x+2x+x+300＝3500，
∴x＝800，
∵按
1
100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，
∴应抽取高一学生数为
1
100 × 800 =8
故选：A．
【点评】本题考查分层抽样，在分层抽样之前有一个小型的运算，是一个基础题，运算量不大，可以作为选择和
填空出现．
4．（5 分）（2015•湖南一模）某公司在2014 年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资
料如下表所示：
月份
1 月份2 月份3 月份4 月份5 月份6 月份
收入x
12.3
14.5
15.0
17.0
19.8
20.6
支出Y
5.63
5.75
5.82
5.89
6.11
6.18
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
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根据统计资料，则（
）
A．月收入的中位数是15，x 与y 有正线性相关关系
B．月收入的中位数是17，x 与y 有负线性相关关系
C．月收入的中位数是16，x 与y 有正线性相关关系
D．月收入的中位数是16，x 与y 有负线性相关关系
【考点】BG：变量间的相关关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】月收入的中位数是
15+17
2
=16，收入增加，支出增加，故x 与y 有正线性相关关系．
【解答】解：月收入的中位数是
15+17
2
=16，收入增加，支出增加，故x 与y 有正线性相关关系，
故选：C．
【点评】本题考查变量间的相关关系，考查学生的计算能力，比较基础．
5．（5 分）（2019•乌鲁木齐一模）《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣
于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双
方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（
）
A．
1
3
B．
1
4
C．
1
5
D．
1
6
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为
记为A，B，C，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概
率计算可得答案
【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，
B，C，
从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，
根据题设其中Ab，Ac，Bc 是胜局共三种可能，
则田忌获胜的概率为
3
9 =
1
3，
故选：A．
【点评】本题考查等可能事件的概率，涉及用列举法列举基本事件，注意按一定的顺序，做到不重不漏．
6．（5 分）（龙凤区校级期末）点集Ω＝{（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A＝{（x，y）|y≥ex，（x，y）∈Ω}，在点集
Ω中任取一个元素a，则a∈A 的概率为（
）
A．
1
e
B．
1
e2
C．
e−1
e
D．
e2−1
e2
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4G：演绎法；52：导数的概念及应用．
【分析】由题意首先求得面积值，然后利用几何概型计算公式整理计算即可求得最终结果．
【解答】解：点集Ω表示的平面区域的面积为：S1 = e2，
集合A 所表示的平面区域如图所示，其面积为：S2 =
0
1
׬
(e −ex)dx = (ex −ex)|0
1 = 1，
结合几何概型计算公式可得所求的概率值为：p = S2
S1 = 1
e2．
故选：B．
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
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【点评】本题考查了几何概型的计算，定积分及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中
等题．
7．（5 分）（龙凤区校级期末）下列说法错误的是（
）
A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）＝0”的充分不必要条件．
B．已知A，B，C 不共线，若PA
→
+ PB
→
+ PC
→
= 0
→
，则P 是△ABC 的重心．
C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．
D．命题“若α= π
3，则cosα = 1
2”的逆否命题是：“若cosα ≠1
2，则α ≠π
3”．
【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5L：简易逻辑．
【分析】由奇函数的性质：函数f（x）为奇函数，若f（0）有意义，
则f（0）＝0，结合充分必要条件的定义，即可判断A；
运用向量的中点表示，结合三角形的重心，即可判断B；
由特称命题的否定为全称命题，即可判断C；
由原命题的逆否命题的形式，即可判断D．
【解答】解：对于A，函数f（x）为奇函数，若f（0）有意义，则f（0）＝0，
则“函数f（x）为奇函数”是“f（0）＝0”的非充分非必要条件，故A 错误；
对于B，已知A，B，C 不共线，若PA
→
+ PB
→
+ PC
→
= 0
→
，可得PA
→
+ PB
→
= CP
→
=2PD
→
，（D 为AB 的中点），
即有P 在AB 的中线上，同理P 也在BC 的中线上，在CA 的中线上，则P 是△ABC 的重心，故B 正确；
对于C，命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”，由命题的否定形式，可得C 正确；
对于D，由逆否命题的形式可得，命题“若α= π
3，则cosα= 1
2”的逆否命题为“若cosα≠1
2，则α≠π
3”，
故D 正确．
故选：A．
【点评】本题考查命题的真假判断，主要是充分必要条件的判断和三角形的重心的向量表示，以及命题的否定和
命题的逆否命题，考查分析问题和判断能力，属于基础题．
8．（5 分）（龙凤区校级期末）过双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B
两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（
）
A．2
B．2 +
2
C．2 −
2或
2 +
2 D．2或2 +
2
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设出双曲线的右焦点，令x＝c，代入双曲线的方程，解得A，B 的坐标，△ABD 为直角三角形，运用
向量数量积的坐标表示，再由离心率公式，求解即可．
【解答】解：设双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的右焦点F2（c，0），
令x＝﹣c，可得y＝±
b2
a ，可得A（c，−b2
a ），B（c，
b2
a ），
又设D（0，b），
△ABD 为直角三角形，可得∠DBA＝90°，即b= b2
a 或∠BDA＝90°，即DB
→
⋅DA
→
=0，
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第680页（共926页）
解：b= b2
a 可得a＝b，c=
2a，所以e= c
a =
2；
由DB
→
⋅DA
→
=0，可得：（c，
b2
a −b）（c，−b2
a −b）＝0，
可得c2+b2−b4
a2 =0，可得e4﹣4e2+2＝0，e＞1，可得e=
2 +
2，
综上，e=
2或2 +
2．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用转化思想，以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属
于中档题．
9．（5 分）（龙凤区校级期末）若双曲线x2+my2＝m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（
）
A．y =±
5x
B．y =±
3x
C．y =± 1
3 x
D．y =± 3
3 x
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，双曲线x2+my2＝m（m∈R）的焦距4，解可得m，即可得双曲线的方程，由渐近线方程计算
可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线x2+my2＝m（m∈R）的焦距4，
可得2 1 −m =2c＝4，
解可得m＝﹣3，
则双曲线的方程为：
y2
1 −
x2
3 = 1，
其渐近线方程为：y＝±
3
3 x；
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的标准方程、渐近线方程，注意焦距为2c 以及m 的符号．
10．（5 分）（2007•全国卷Ⅱ）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等，则AB1 与侧面ACC1A1 所成
角的正弦值等于（
）
A．
6
4
B．
10
4
C．
2
2
D．
3
2
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1 的中点D1，∠B1AD1 是所求的角，再由已知求出正弦值．
【解答】解：取A1C1 的中点D1，连接B1D1，AD1，
在正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，B1D1⊥面ACC1A1，
则∠B1AD1 是AB1 与侧面ACC1A1 所成的角，
∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等，
∴sin∠B1AD1 =
3
2
2 =
6
4 ，
故选：A．
【点评】本题主要考查了线面角问题，求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线，再求线面角的正弦值，是
基础题．
11．
（5 分）
（龙凤区校级期末）设函数f（x）= 1
2x2﹣9lnx 在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a 的取值范围是（
）
A．（1，2]
B．[4，+∞）
C．（﹣∞，2]
D．（0，3]
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．
【分析】首先求出函数的单调递减区间，然后结合数轴分析求出m 的范围即可．
【解答】解：∵f（x）= 1
2x2﹣9lnx，
∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝x−9
x，
∵x＞0，∴由f′（x）＝x−9
x ＜0，得0＜x＜3．
∵函数f（x）= 1
2x2﹣9lnx 在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，
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∴a −1＞0
a + 1 ≤3
，解得1＜a≤2．
故选：A．
【点评】此题是个中档题．考查学生掌握利用导数研究函数的单调性，以及分析解决问题的能力．
12．（5 分）（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）=
3sin
πx
m，若存在f（x）的极值点x0 满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m
的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）
B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图象与性质．
【分析】由题意可得，f（x0）＝± 3，且
πx0
m =kπ+ π
2，k∈Z，再由题意可得当m2 最小时，|x0|最小，而|x0|最小
为
1
2|m|，可得m2 ＞1
4m2+3，由此求得m 的取值范围．
【解答】解：由题意可得，f（x0）＝± 3，即
πx0
m =kπ+ π
2，k∈z，即x0= 2k+1
2
m．
再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2 最小时，|x0|最小，而|x0|最小为
1
2|m|，
∴m2 ＞1
4m2+3，∴m2＞4．
求得m＞2，或m＜﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．
二、填空题（本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分）
13．（5 分）（龙凤区校级期末）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是
[﹣2，2]
．
【考点】2I：存在量词和特称命题；2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】根据所给的特称命题写出它的否定：任意实数x，使x2+2ax+1≥0，根据命题否定是真命题，利用△≥0，
解不等式即可．
【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，
命题否定是真命题，
∴△＝（﹣a）2﹣4≤0
∴﹣2≤a≤2．
实数a 的取值范围是：[﹣2，2]．
故答案为：[﹣2，2]．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，解题的关键是利用命题的否定与原命题的对立关系，写出正确的全
称命题，并且根据这个命题是一个假命题，得到判别式的情况．
14．（5 分）（龙凤区校级期末）由动点P 向圆x2+y2＝1 引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB＝120°，
则动点P 的轨迹方程为
x2+y2= 4
3
．
【考点】J3：轨迹方程．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】根据切线的性质可得OP= 2 3
3 ，从而得出P 点的轨迹方程．
【解答】解：连接OP，AB，OA，OB，
∵PA，PB 是单位圆O 的切线，
∴PA＝PB，OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OPA＝∠OPB= 1
2∠APB＝60°，
又OA＝OB＝1，∴OP= 2 3
3 ，
∴P 点轨迹为以O 为圆心，以
2 3
3 为半径的圆，
∴P 点轨迹方程为x2+y2= 4
3．
故答案为：x2+y2= 4
3．
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【点评】本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，属于中档题．
15．（5 分）（龙凤区校级期末）执行如图所示的程序框图，输出的S 值是
3
2
．
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】根据程序框图转化为一个关系式，利用特殊角的三角函数值化简，可得出所求的结果．
【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S＝sin
π
3 +sin
2π
3 + ⋯sin
2017π
3
的值，
由于sin
kπ
3 ，k∈Z 的取值周期为6，且2017＝336×6+1，
所以S＝sin
π
3 +sin
2π
3 + ⋯sin
2017π
3
=336×（sin
π
3 +sin
2π
3 + ⋯+sin
6π
3 ）+sin
π
3 =
3
2 ．
故答案为：
3
2 ．
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，循环结构，以及特殊角的三角函数值，认清程序框图，找出规律是
解本题的关键，属于基础题．
16．（5 分）（龙凤区校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣e
﹣x+1（e 为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，
则实数x 的取值范围为
（﹣1，3）
．
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；51：函数的性质及应用．
【分析】根据题意，令g（x）＝f（x）﹣1＝ex﹣e
﹣x，分析可得g（x）为奇函数且为增函数，对f（2x﹣1）+f
（4﹣x2）＞2 变形分析可得g（2x﹣1）＞g（x2﹣4），结合g（x）的单调性分析可得2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x
﹣3＜0，解可得x 的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，令g（x）＝f（x）﹣1＝ex﹣e
﹣x，
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有g（﹣x）＝f（﹣x）﹣1＝e
﹣x﹣ex＝﹣g（x），则g（x）为奇函数，
对于g（x）＝ex﹣e
﹣x，其导数g′（x）＝ex+e
﹣x＞0，则g（x）为增函数，
且g（0）＝e0﹣e0＝0，
f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2⇒f（2x﹣1）﹣1＞﹣f（4﹣x2）+1⇒f（2x﹣1）﹣1＞﹣[f（4﹣x2）﹣1]⇒g（2x﹣1）
＞g（x2﹣4），
又由函数g（x）为增函数，
则有2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x﹣3＜0
解可得：﹣1＜x＜3，
即实数x 的取值范围为（﹣1，3）；
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题考查函数的奇偶性．单调性的综合应用，关键是分析函数g（x）＝f（x）﹣1 的奇偶性与单调性．
三、解答题（本大题共6 个小题，17 题10 分，其余各题各12 分，共70 分）
17．（10 分）（习水县期末）已知过抛物线y2＝8x 的焦点，斜率为2 2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）
（x1＜x2）两点．
（1）求线段AB 的长度；
（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC
→
= OA
→
+ λOB
→
，求λ的值．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得p，则抛物线方程可
求；
（2）由（1）求出A，B 的坐标结合OC
→
= OA
→
+ λOB
→
，求出C 的坐标，代入抛物线方程求得λ值
【解答】解：（1）直线AB 的方程是y＝2
2（x﹣2），与y2＝8x 联立，消去y 得x2﹣5x+4＝0，
由根与系数的关系得x1+x2＝5．
由抛物线定义得|AB|＝x1+x2+p＝9，
（2）由x2﹣5x+4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A（1，﹣2 2），B（4，4 2）．
设OC
→
=（x3，y3）＝（1，﹣2 2）+λ（4，4 2）＝（4λ+1，4 2λ﹣2 2），
又y2＝8x3，
即[2 2（2λ﹣1）]2＝8（4λ+1），
即（2λ﹣1）2＝4λ+1，
解得λ＝0 或λ＝2．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应
用，是中档题．
18．（12 分）（龙凤区校级期末）已知关于x 的二次函数f（x）＝ax2﹣4bx+1．
（Ⅰ）设集合A＝{﹣1，1，2}和B＝{﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B 中随机取一个数作为a 和b，求函数y
＝f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
（Ⅱ）设点（a，b）是区域
x + y −8 ≤0
x＞0
y＞0
内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
【考点】3V：二次函数的性质与图象；7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5I：概率与统计；5T：不等式．
【分析】（Ⅰ）利用函数的单调性，推出a，b 的关系，求出（a，b）的取法总数，是增函数的个数，然后求解概
率即可．
（Ⅱ）画出可行域，求出可行域的面积，利用（Ⅰ）中的a、b 关系，求出面积，通过几何概型求解即可．
【解答】解：要使函数y＝f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，需a＞0 且−−4b
2a ≤1，即a＞0 且2b≤a．
（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为3×3＝9 个．
满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1）共5 个，
所以所求概率p = 5
9．
（Ⅱ）如图，求得区域
x + y −8 ≤0
x＞0
y＞0
的面积为
1
2 × 8 × 8 = 32．
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由x + y −8 = 0
x −2y = 0
，求得P( 16
3 ，8
3 )．所以区域内满足a＞0 且2b≤a 的面积为
1
2 × 8 ×
8
3 =
32
3 ．
所以所求概率p =
32
3
32 = 1
3．
【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型以及古典概型的应用，考查转化思想以及计算能力．
19．（12 分）（龙凤区校级期末）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD 是边长为2 的菱形，∠ABC＝60°，E 为AB
的中点，PA⊥平面ABCD，且PA＝2
（1）在棱PD 上求一点F，使AF∥平面PEC；
（2）求二面角D﹣PE﹣A 的余弦值．
【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）以BD 为x 轴，CA 为y 轴，AC 与BD 的交点为O，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间
直角坐标系，利用向量法能出F 为PD 中点，使AF∥平面PEC．
（2）求出平面PEA 的法向量和平面PED 的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣PE﹣A 的余弦值．
【解答】解：（1）以BD 为x 轴，CA 为y 轴，AC 与BD 的交点为O，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立
空间直角坐标系．
A（0，1，0），B( −
3，0，0)，C（0，﹣1，0），D( 3，0，0)，P（0，1，2），E( −3
2 ，1
2 ，0)
设PF
→
= λPD
→
，AP
→
= (0，0，2)，PD
→
= ( 3，−1，−2)，
则AF
→
= AP
→
+ PF
→
=（3λ，−λ，2 −2λ）．
设平面PEC 的法向量为n
→=（x，y，z），EP
→
= ( 3
2 ，1
2 ，2)，PC
→
= (0，−2，−2)，
则n
→⋅EP
→
= 0
n
→⋅PC
→
= 0
，∴
3
2 x + 1
2 y + 2z = 0
−2y −2z = 0
，取y＝﹣1，得n
→=（−
3，﹣1，1）．
∵AF∥平面PEC，
∴n
→⋅AF
→
=−3λ+λ+2﹣2λ＝0，解得λ = 1
2，
∴F 为PD 中点．
（2）EA
→
=（
3
2 ，
1
2，0），ED
→
=（
3 3
2 ，−1
2，0），
设平面PEA 的法向量m
→=（x，y，z），
则
m
→⋅EP
→
=
3
2 x + 1
2 y + 2z = 0
m
→⋅EA
→
=
3
2 x + 1
2 y = 0
，取x=
3，得平面PEA 的法向量m
→=（3，﹣3，0），
设平面PED 的法向量p
→=（x，y，z），
则
p
→⋅EP
→
=
3
2 x + 1
2 y + 2z = 0
p
→⋅ED
→
= 3 3
2 x −1
2 y = 0
，取x=
3，得p
→=（3，9，−3），
cos＜m
→，p
→＞=
m
→⋅p
→
|m
→|⋅|p
→|
=
3−27
12⋅93 =−4 31
31 ，
由二面角D﹣PE﹣A 为锐二面角，
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因此，二面角D﹣PE﹣A 的余弦值为
4
31
31．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结
合思想，是中档题．
20．（12 分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方
程为y＝4x+4．
（Ⅰ）求a，b 的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4，建立
方程，即可求得a，b 的值；
（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ex（ax+b）﹣x2﹣4x，
∴f′（x）＝ex（ax+a+b）﹣2x﹣4，
∵曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4
∴f（0）＝4，f′（0）＝4
∴b＝4，a+b＝8
∴a＝4，b＝4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝4ex（x+1）﹣x2﹣4x，
f′（x）＝4ex（x+2）﹣2x﹣4＝4（x+2）（ex−1
2），
令f′（x）＝0，得x＝﹣ln2 或x＝﹣2
∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0
∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）
当x＝﹣2 时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）＝4（1﹣e
﹣2）．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．
21．（12 分）（2018•中山市一模）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1( −
2，0)，F2( 2，0)，
点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，设点N（3，2），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，
k2，求证：k1+k2 为定值．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）依题意，c =
2，a2﹣b2＝2，利用点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，可得b
＝|OM|＝1，从而可得椭圆的方程；
（II）①当直线l 的斜率不存在时，求出A，B 的坐标，进而可得直线AN，BN 的斜率，即可求得结论；②当直
线l 的斜率存在时，直线l 的方程为：y＝k（x﹣1），代入
x2
3 + y2 = 1，利用韦达定理及斜率公式可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，c =
2，a2﹣b2＝2，
∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，
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第686页（共926页）
∴b＝|OM|＝1，
∴a =
3．…（3 分）
∴椭圆的方程为
x2
3 + y2 = 1．…（4 分）
（II）①当直线l 的斜率不存在时，由
x = 1
x2
3 + y2 = 1解得x = 1，y =± 6
3 ．
设A(1，6
3 )，B(1，−
6
3 )，则k1 + k2 =
2−6
3
2
+
2+ 6
3
2
= 2 为定值．…（5 分）
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y＝k（x﹣1）．
将y＝k（x﹣1）代入
x2
3 + y2 = 1 整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3＝0．…（6 分）
依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1 + x2 =
6k2
3k2+1，x1x2 = 3k2−3
3k2+1．…（7 分）
又y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），
所以k1 + k2 = 2−y1
3−x1 + 2−y2
3−x2 = (2−y1)(3−x2)+(2−y2)(3−x1)
(3−x1)(3−x2)
= [2−k(x1−1)](3−x2)+[2−k(x2−1)](3−x1)
9−3(x1+x2)+x1x2
= 12−2(x1+x2)+k[2x1x2−4(x1+x2)+6]
9−3(x1+x2)+x1x2
=
12−2(x1+x2)+k[2×3k2−3
3k2+1−4× 6k2
3k2+1+6]
9−3× 6k2
3k2+1+3k2−3
3k2+1
= 12(2k2+1)
6(2k2+1) = 2．．…．…（13 分）
综上得k1+k2 为常数2..…．…（14 分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思
想，联立方程，利用韦达定理是关键．
22．（12 分）（2018•铁东区校级二模）设函数f(x) = xlnx −a
2 x2
（1）当x∈（0，+∞），f(x) + a
2 x ≤0 恒成立，求实数a 的取值范围．
（2）设g（x）＝f（x）﹣x 在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．
（A）求实数a 的取值范围；
（B）求证：
1
lnx1
+
1
lnx2
＞2ae．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应
用．
【分析】（1）转化不等式为lnx −a
2 x + a
2 ≤0．令U(x) = lnx −a
2 x + a
2 (x＞0)，求出U'(x) = 1
x −a
2．通过①当a≤
0 时，②当0＜a＜2 时，③当a＞2 时，④当a＝2 时，判断导函数的符号，得到函数的单调性，求解函数的最
值，即可得到a 的范围；
（2）化简g(x) = xlnx −a
2 x2 −x，x∈[1，e2]．取得导函数g'（x）＝lnx﹣ax．通过求解h'(x) = 1
x −a，
（A）利用①当a ≤1
e2时，②当a≥1 时，③当
1
e2 ＜a＜1 时，判断函数的单调性，求解最值，得到a 的范围；
（B）证明：由已知lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，推出lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2）．不妨设x1＜x2，则0＜x1
x2 ＜1，
令G(x) = x −1
x −2lnx，（0＜x＜1）．利用函数的导数判断单调性，转化推出结果即可．
【解答】解：（1）∵xlnx −a
2 x2 + a
2 x ≤0，且x＞0，
∴lnx −a
2 x + a
2 ≤0．
令U(x) = lnx −a
2 x + a
2 (x＞0)，则U'(x) = 1
x −a
2．
①当a≤0 时，U'（x）＞0，U（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，
∴x＞1 时，U（x）＞U（1）＝0，不合题意．
②当0＜a＜2 时，x ∈(1，2
a )时，U'（x）＞0，U（x）在(1，2
a )上为单调递增函数，
∴x ∈(1，2
a )，U（x）＞U（1）＝0，不合题意．
③当a＞2 时，x ∈( 2
a ，1)，U'（x）＜0，U（x）在( 2
a ，1)上为单调递减函数．
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∴x ∈( 2
a ，1)时，U（x）＞U（1）＝0，不合题意．
④当a＝2 时，x∈（0，1），U'（x）＞0，U（x）在（0，1）上为单调递增函数．
x∈（1，+∞），U'（x）＜0，U（x）在（1，+∞）上为单调递减函数．
∴U（x）≤0，符合题意．
综上，a＝2．
（2）g(x) = xlnx −a
2 x2 −x，x∈[1，e2]．g'（x）＝lnx﹣ax．
令h（x）＝g'（x），则h'(x) = 1
x −a
由已知h（x）＝0 在（1，e2）上有两个不等的实根．
（A）①当a ≤1
e2时，h'（x）≥0，h（x）在（1，e2）上为单调递增函数，不合题意．
②当a≥1 时，h'（x）≤0，h（x）在（1，e2）上为单调递减函数，不合题意．
③当
1
e2 ＜a＜1 时，x ∈(1，1
a )，h'（x）＞0，x ∈( 1
a ，e2)，h'（x）＜0，
所以，h（1）＜0，h( 1
a )＞0，h（e2）＜0，解得a ∈( 2
e2 ，1
e )．
（B）证明：由已知lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，
∴lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2）．
不妨设x1＜x2，则0＜x1
x2 ＜1，
则
1
x1
+
1
x2
−2a =
x1+x2
x1x2
−2
lnx1−lnx2
x1−x2
=
1
x1−x2
[
x1
2−x2
2
x1x2
−2(lnx1 −lnx2)]
=
x1
x2−x2
x1
x1−x2 −2
lnx1
x2
x1−x2．
令G(x) = x −1
x −2lnx，（0＜x＜1）．
则G'(x) = (x−1)2
x2
＞0，∴G（x）在（0，1）上为单调递增函数，
∴G( x1
x2 )＜G(1) = 0
即
x1
x2
−
x2
x1
−ln
x1
x2
＜0，
∴
1
x1
+
1
x2
−2a＞0，
∴
1
ax1
+
1
ax2
＞2，
∴
1
lnx1
+
1
lnx2
＞2，
由（A）a＜1
e，
∴ae＜1，2ae＜2，
∴
1
lnx1
+
1
lnx2
＞2ae．
【点评】本题考查函数与导数的应用，考查方式讨论，转化思想的应用，二次求导，判断单调性函数的最值，难
度比较大．
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考点卡片
1．存在量词和特称命题
【存在量词】：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∃
特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、
“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．
【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．
“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．
命题
全称命题x∈M，p（x）
特称命题x0∈M，p（x0）
表述方
法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在∃x0∈M，使p（x0）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立
解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是
特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题
的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p 则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．
常见词语的否定如下表所示：
词语
是
一定是
都是
大于
小于
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
词语
且
必有一个
至少有n 个
至多有一个
所有x 成立
词语的否定
或
一个也没有
至多有n﹣1 个
至少有两个
存在一个x 不成立
命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．
2．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q 及非p 的真假，然后由真值表判断复合命题的
真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0 的两根都不是实根”，因为“都是”的反
面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得
出复合命题的真假．
2．判断一个“若p 则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p 则q”为
真；而要确定“若p 则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这
一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
3．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是
要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的
定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函
数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y 轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0 解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
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④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
例题：如果f（x）= a−2x
2x+1为奇函数，那么a＝
．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
由奇函数的性质可知，f（x）= a−2x
2x+1 =−f（﹣x）⇒a＝1
【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一
个知识点．
4．二次函数的性质与图象
【二次函数】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的
变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【二次函数的性质】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能
出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准
线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x 轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x=−b
2a；最值为：f（−b
2a）；
判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0 时，函数与x 轴只有一个交点；△＞0 时，与x 轴有两个交点；当△＜0 时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2 为方程y＝ax2+bx+c 的两根，则有x1+x2=−b
a，x1•x2= c
a；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py 的焦点为（0，
p
2），准线方程为y=−p
2，含义为抛物线上的点到到焦点
的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c 向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，
这也是一个常考点．
5．导数的加法与减法法则
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C 为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0 且a≠1）⑦[logax）]′= 1
x*（logae）（a＞0 且a≠1）⑧[lnx]′= 1
x．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[
f(x)
g(x)]′= [f'(x)g(x)−f(x)g'(x)]
[g(x)2]
．
3、复合函数的导数
设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′
（2015）﹣f′（﹣2015）＝（
）
A．0
B．2014
C．2015
D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
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f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（
）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx
B．（lnx﹣2x）′= 1
x −2xln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x
D．（
sinx
x ）′= xcosx−sinx
x2
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx 成立，故A 正确；
对于选项B，(lnx −2x)' = 1
x −2xln2 成立，故B 正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C 不正确；
对于选项D，( sinx
x )' = xcosx−sinx
x2
成立，故D 正确．
故选C．
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，
而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注
意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集
的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集
的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确
定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（
）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
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题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x) = x3 + x2[f'(x) +
m
2 ]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
ln2
2 ×
ln3
3 ×
ln4
4 × ⋯×
lnn
n ＜
1
n (n ≥2，n ∈N∗)．
解：（Ⅰ）f'(x) = a(1−x)
x
(x＞0)（2 分）
当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）
（Ⅱ）f'(2) =−a
2 = 1 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴g(x) = x3 + ( m
2 + 2)x2 −2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g'(t)＜0
g'(3)＞0
(8 分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0 恒成立，
所以有：
g'(1)＜0
g'(2)＜0
g'(3)＞0
，∴−37
3 ＜m＜−9（10 分）
（Ⅲ）令a＝﹣1 此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1 对一切x∈（1，+∞）成立，（12 分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnn
n ＜n−1
n
∴
ln2
2 ⋅
ln3
3 ⋅
ln4
4 ⋅⋅
lnn
n ＜
1
2 ⋅
2
3 ⋅
3
4 ⋅⋅
n−1
n
=
1
n (n ≥2，n ∈N∗)
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完
全类似）．即在区间内f′（x）＞0 是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说
f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y 极大值＝f（x0），x0 是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f
（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y 极小值＝f（x0），x0 是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不
意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能
在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0 满足f′（x0）＝0，且在x0 的两侧f（x）的导数异号，则x0 是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′
（x）在x0 两侧满足“左正右负”，则x0 是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0 两侧满足“左
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负右正”，则x0 是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0 的根；
（3）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左
右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极
小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
8．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导
数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在
解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率
的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1 处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1 时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线
方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
9．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简
单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的
主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y 中变量x，y 满足约束条件
x + 2y ≤8
0 ≤x ≤4
0 ≤y ≤3
．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S= 1
2 BC ⋅AB = 1
2 × 1 × 2 = 1．
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（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最小，
此时z 最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最大，
此时z 最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，
然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k 的值是
（
）
A．
7
3
B．
3
7
C．
4
3
D．
3
4
分析：画出平面区域，显然点（0，
4
3）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，
4
3），结合图形寻找直线平分平面
区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx+ 4
3过定点（0，
4
3）．因此只有直线过AB 中点时，直线y＝kx+ 4
3能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB 中点D（
1
2，
5
2）．
当y＝kx+ 4
3过点（
1
2，
5
2）时，
5
2 =
k
2 +
4
3，所以k= 7
3．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多
个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y 满足约束条件：
，求z＝x+y 的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0 来寻找最优解，求出目标函数的最值．
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解答：先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再
将直线l0 平移，当l0 的平行线l1 过点B 时，可使z＝x+y 达到最小值；当l0 的平行线l2 过点A 时，可使z＝x+y 达
到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50 亩，投入资金不超过54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产
量、成本和售价如下表：
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4 吨
1.2 万元
0.55 万元
韭菜
6 吨
0.9 万元
0.3 万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别
为（
）
A．50，0
B．30，20
C．20，30
D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为
线性规划问题．
解析
设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，则由题意可知
x + y ≤50
1.2x + 0.9y ≤54
x，y ∈N+
求目标函数z＝x+0.9y 的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l 向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30 亩，韭菜种植20 亩
时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束
条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A 点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y 满足
，则
y
x的最大值为
．
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（2）已知O 是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上
的一个动点，则|OA
→
+ OM
→
|的最
小值是
．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的
几何意义来完成．
解答：（1）
y
x表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，
3
2）处取到最大值．
（2）依题意得，OA
→
+ OM
→
=（x+1，y），|OA
→
+ OM
→
|=
(x + 1)2 + y2可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，
在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直
线x+y＝2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|OA
→
+ OM
→
|的最小值是
|−1+0−2|
2
=
3 2
2 ．
故答案为：（1）
3
2（2）
3 2
2 ．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）x2 + y2表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）(x −a)2 + (y −b)2表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）
y
x表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）
y−b
x−a表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距
z
b的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b＞0 时，截距
z
b取最大值时，z 也取最大值；截
距
z
b取最小值时，z 也取最小值；当b＜0 时，截距
z
b取最大值时，z 取最小值；截距
z
b取最小值时，z 取最大值．
10．分层抽样方法
【知识点的认识】
1．定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点
分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各
部分叫“层”．
2．三种抽样方法比较
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个
个体被抽取的概
率是相同的
从总体中逐个抽
取
总体中的个体数
较少
系统抽样
将总体均匀分成
几个部分，按事
先确定的规则在
各部分抽取
在起始部分抽样
时采用简单随机
抽样
总体中的个体数
较多
分层抽样
将总体分成几
层，分层进行抽
取
各层抽样时采用
简单随机抽样或
系统抽样
总体由差异明显
的几部分组成
【解题方法点拨】
分层抽样方法操作步骤：
（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分；
（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；
（3）确定各层应抽取的样本容量；
（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本．
【命题方向】
（1）区分分层抽样方法
例：某交高三年级有男生500 人，女生400 人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25 人，从女生
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中任意抽取20 人进行调查．这种抽样方法是（
）
A．简单随机抽样法
B．抽签法
C．随机数表法
D．分层抽样法
分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样
解答：总体由男生和女生组成，比例为500：400＝5：4，所抽取的比例也是5：4．
故选D
点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题．
（2）求抽取样本数
例1：某校高三一班有学生54 人，二班有学生42 人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16 人参加军训表演，
则一班和二班分别被抽取的人数是（
）
A.8，8
B.10，6
C.9，7
D.12，4
分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数．
解答：每个个体被抽到的概率等于
16
54+42 =
1
6，54× 1
6 =9，42× 1
6 =7．
故从一班抽出9 人，从二班抽出7 人，
故选C．
点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．
例2：某单位有职工750 人，其中青年职工350 人，中年职工250 人，老年职工150 人，为了解该单位职工的健康
情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7 人，则样本容量为（
）
A.35
B.25
C.15
D.7
分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．
解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，
所以样本容量为
7
7
15 =15．
故选C．
点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，
就得到样本容量n 的值．
11．变量间的相关关系
【知识点的知识】
1、变量之间的相关关系
两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系．当自变量取值一定时，因变量也
确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系．相关关系是
一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学
成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系．
2、线性相关和非线性相关：
两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则
变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关
系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系．
3、两个变量相关关系与函数关系的区别和联系
（1）相同点：两者均是两个变量之间的关系．
（2）不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t 与路程s 的关系，相关关系是一种非确定的关
系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量
与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
12．列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【知识点的知识】
1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，
事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率为P（A）= m
n．
等可能条件下概率的特征：
（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
（2）每一个结果出现的可能性相等．
2、概率的计算方法：
（1）列举法（列表或画树状图），
（2）公式法；
列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．
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列表法
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表
法．
树状图法
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树
状图法求概率．
【典型例题分析】
典例1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合
直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2 平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2= 137
144的内
部，则实数m 的取值范围是（
）
A．（−5
18，+∞）
B．（﹣∞，
7
18）
C．（−7
18，
5
18）
D．（−5
18，
7
18）
解析：对于a 与b 各有6 中情形，故总数为36 种
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2 平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b＝6，故概率为P= 2
36 = 1
18
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2 相交的情形除平行与重合即可，
∵当直线l1、l2 相交时b≠2a，图中满足b＝2a 的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，
∴满足b≠2a 的有36﹣3＝33 种，
∴直线l1、l2 相交的概率P= 33
36 = 11
12，
∵点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2= 137
144的内部，
∴（
1
18 −m）2+（
11
12）2＜137
144，
解得−5
18 ＜m＜7
18
故选：D
典例2：某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5 五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20 个，对其等级进行统计
分析，得到频率分布表如下
等级
1
2
3
4
5
频率
0.05
m
0.15
0.35
n
（1）在抽取的20 个零件中，等级为5 的恰有2 个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3 和5 的所有零件中，任意抽取2 个，求抽取的2 个零件等级恰好相同的概率．
解析：（1）由频率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n＝1，
即m+n＝0.45．…（2 分）
由抽取的20 个零件中，等级为5 的恰有2 个，
得n = 2
20 = 0.1．…（4 分）
所以m＝0.45﹣0.1＝0.35．…（5 分）
（2）：由（1）得，等级为3 的零件有3 个，记作x1，x2，x3；等级为5 的零件有2 个，
记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2 中任意抽取2 个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，
y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）
共计10 种．…（9 分）
记事件A 为“从零件x1，x2，x3，y1，y2 中任取2 件，其等级相等”．
则A 包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4 个．…（11 分）
故所求概率为P(A) = 4
10 = 0.4．…（13 分）
13．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
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（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A 所对应的区域用A 表示（A⊆Ω），则P
（A）= A 的度量
Ω的度量称为事件A 的几何概率．
14．程序框图
【知识点的知识】
1．程序框图
（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法
的图形；
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不
可缺少的．
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何
需要输入、输出的位置．
处理框
赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，
它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”
或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．
流程线
算法进行的前进方向以及先后顺序
连结点
连接另一页或另一部分的框图
注释框
帮助编者或阅读者理解框图
（3）程序框图的构成．
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．
15．正弦函数的定义域和值域
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c 的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k 的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c 的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t 的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c 的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t 的二次函数求解．
16．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按
某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y 存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，
就是含有变量x、y 的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）
＝0 的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M 的坐标；
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（2）列式：写出适合条件p 的点M 的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0 为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点
到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关
键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P 的坐标（x，y）表示已知动点M 的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，
y），再将x0，y0 代入M 满足的条件F（x0，y0）＝0 中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点
法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
17．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0），焦点在x 轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）
y2
a2 +
x2
b2 = 1（a＞b＞0），焦点在y 轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x 轴上
y2
a2 +
x2
b2 = 1（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y 轴上
图形
顶点
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴
x 轴、y 轴，长轴长2a，短轴长
2b
焦点在长轴长上
x 轴、y 轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
离心率
e= c
a（0＜e＜1）
e= c
a（0＜e＜1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
18．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
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19．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
20．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联
立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C 上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C 的离心率e = 1
2．
（1）求圆锥曲线C 的方程；
（2）设经过点F2 的任意一条直线与圆锥曲线C 相交于A、B，试证明在x 轴上存在一个定点P，使PA
→
⋅PB
→
的值是
常数．
解：（1）依题意，设曲线C 的方程为
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0），
∴c＝1，
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∵e = c
a = 1
2，
∴a＝2，
∴b =
a2 −c2 =
3，
所求方程为
x2
4 +
y2
3 = 1．
（2）当直线AB 不与x 轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由
x2
4 + y2
3 = 1
y = k(x −1)
，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而xA + xB =
8k2
3+4k2，xA ⋅xB = 4(k2−3)
3+4k2 ，
设P（t，0），则
PA
→
⋅PB
→
= (xA −t)(xB −t) + yAyB = (k2 + 1)xAxB −(t + k2)(xA + xB) + (k2 + t2) = 3t2−12+(−5−8t+4t2)k2
3+4k2
当
3t2−12
3
=
−5−8t+4t2
4
，
解得t = 11
8
此时对∀k∈R，PA
→
⋅PB
→
=−135
64 ；
当AB⊥x 轴时，直线AB 的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，yA(yB) =± 3
2，
对t = 11
8 ，PA
→
⋅PB
→
= (xA −t)(xB −t) + yAyB = 9
64 −9
4 =−135
64 ，
即存在x 轴上的点P( 11
8 ，0)，使PA
→
⋅PB
→
的值为常数−135
64 ．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关
系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c 中的两个
值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当
的放到最后做．
21．空间中直线与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
空间中直线与平面之间的位置关系：
位置关系
公共点个数
符号表示
图示
直线在平面内
有无数个公共点
a⊂α
直线和平面相交
有且只有一个公共点
a∩α＝A
直线和平面平行
无
a∥α
22．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，
a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，
就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
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1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b 与a 的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a 平行有
无数条，另一类与a 异面，也有无数条．
23．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l 和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l 叫
做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l 和平面α，l⊥α⇔l 垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
24．空间向量的夹角与距离求解公式
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角公式
设空间向量a
→=（a1，a2，a3），b
→
=（b1，b2，b3），
cos＜a
→，b
→
＞=
a
→⋅b
→
|a
→|⋅|b
→
|
=
a1b1+a2b2+a3b3
a12+a22+a32⋅b1
2+b2
2+b3
2
注意：
（1）当cos＜a
→，b
→
＞=1 时，a
→与b
→
同向；
（2）当cos＜a
→，b
→
＞=−1 时，a
→与b
→
反向；
（3）当cos＜a
→，b
→
＞=0 时，a
→⊥b
→
．
2．空间两点的距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
AB
→
= (x2 −x1，y2 −y1，z2 −z1)
dA，B＝|AB
→
|=
AB
→
⋅AB
→
=
(x2 −x1)2 + (y2 −y1)2 + (z2 −z1)2．
【解题思路点拨】
1．求空间两条直线的夹角
建系→写出向量坐标→利用公式求夹角
2．求空间两点的距离
建系→写出点的坐标→利用公式求距离．
【命题方向】
（1）利用公式求空间向量的夹角
例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量AB
→
与AC
→
的夹角为（
）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
分析：由题意可得：AB
→
= (0，3，3)，AC
→
= ( −1，1，0)，进而得到AB
→
⋅AC
→
与|AB
→
|，|AC
→
|，再由cos＜AB
→
，AC
→
＞=
AB
→
⋅AC
→
|AB
→
||AC
→
|
可得答案．
解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），
所以AB
→
= (0，3，3)，AC
→
= ( −1，1，0)，
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所以AB
→
⋅AC
→
═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|AB
→
|＝3 2，|AC
→
|=
2，
所以cos＜AB
→
，AC
→
＞= AB
→
⋅AC
→
|AB
→
||AC
→
|
=
3
3 2× 2 = 1
2，
∴AB
→
与AC
→
的夹角为60°
故选C．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量
的夹角，属于基础试题．
（2）利用公式求空间两点的距离
例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B 两点间的距离是（
）
A.3
B. 29
C.2 5
D.5
分析：求出AB 对应的向量，然后求出AB 的距离即可．
解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），
所以AB
→
=（﹣3，0，﹣4），所以|AB
→
| =
( −3)2 + 02 + ( −4)2 =5．
故选D．
点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．
25．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部
分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣
Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，
则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的
另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所
成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
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（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为u
→和v
→，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜u
→，v
→＞≤π
2，θ= ＜u
→，v
→＞，此时cosθ＝cos＜u
→，v
→＞=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
（2）当
π
2 ＜＜u
→，v
→＞≤π时，θ＝cos（π−＜u
→，v
→＞）＝﹣cos＜u
→，v
→＞=−=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
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2018-2019 学年海南省海南中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）（2006•上海）抛物线y2＝4x 的焦点坐标为（
）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．（0，2）
D．（2，0）
2．（5 分）（2016 春•高密市期末）已知函数f（x）＝ax3+3x2+2，若f′（﹣1）＝4，则a 的值等于（
）
A．
19
3
B．
16
3
C．
13
3
D．
10
3
3．（5 分）（河南模拟）双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3 相切，则双曲线的离心率
为（
）
A．
2 2
3
B．
7
2
C．2
D．2 2
4．（5 分）（龙华区校级期末）过曲线y＝f（x）=
x
1−x图象上一点（2，﹣2）及邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割
线，则当△x＝0.5 时割线的斜率为（
）
A．
1
3
B．
2
3
C．1
D．−5
3
5．（5 分）（2018 秋•宿州期末）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，若CA
→
= a
→，CB
→
= b
→
，CC1
→
= c
→，则A1B
→
=（
）
A．a
→+ b
→
−c
→
B．a
→−b
→
+ c
→
C．−a
→+ b
→
+ c
→
D．−a
→+ b
→
−c
→
6．（5 分）（龙华区校级期末）函数y＝f（x）的导函数图象如图所示，则下面判断正确的是（
）
A．在（﹣3，1）上f（x）是增函数
B．在x＝1 处f（x）有极大值
C．在（1，3）上f（x）为减函数
D．在x＝4 处f（x）取极小值
7．（5 分）（龙华区校级期末）若a
→= (λ + 1，0，2λ)，b
→
= (6，2μ −1，2)，且a
→∥b
→
，则λ与μ的值分别为（
）
A．
1
5 ，
1
2
B．5，2
C．−1
5 ，−1
2
D．﹣5，﹣2
8．（5 分）（2018 秋•醴陵市期末）点P 在曲线y= 1
3x3﹣2x2+3x 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值
范围是（
）
A．[0，
π
2）∪[
3π
4 ，π）
B．[0，
π
2）
C．[
π
4，
π
2）∪[
3π
4 ，π）
D．（
π
2，
3π
4 ]
9．（5 分）（商丘期末）在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD 中，E 是C1D1 的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的
余弦值为（
）
A．−10
10
B．−1
20
C．
1
20
D．
10
10
10．（5 分）（龙华区校级期末）已知：x＝x1，x＝x2 是函数f（x）= 1
3ax3−1
2ax2﹣x 的两个极值点，且A（x1，
1
x1
），
B（x2，
1
x2
），则直线AB 与椭圆
x2
2 +y2＝1 的位置关系为（
）
A．相切
B．相交
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C．相离
D．位置关系不正确
11．（5 分）（龙华区校级期末）已知圆P：x2+y2﹣4y＝0 及抛物线S：y = x2
8 ，过圆心P 作直线l，此直线与两曲线
有四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D．如果线段AB，BC，CD 的长按此顺序构成一个等差数列，则直
线l 的方程为（
）
A．y =
2
2 x + 2
B．y =−2
2 x + 2 或y =
2
2 x + 2
C．y =
2x + 2
D．y =
2x + 2 或y =−
2x + 2
12．（5 分）（龙华区校级期末）函数f（x）的定义域为D，若满足：①f（x）在D 内是单调函数；②存在[m，n]⊆D，
使f（x）在[m，n]的值域为[2m，2n]，那么就称函数f（x）为“倍域函数”．若f（x）＝ln（ex+6x+t）是“倍域
函数”，则实数t 的取值范围是（
）
A．( −3
4 −6ln 3
2 ，2 −6ln2)
B．（2﹣6ln2，+∞）
C．( −3
4 −6ln 3
2 ，6ln2 −2)
D．（﹣∞，6ln2﹣2）
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．（5 分）（龙华区校级期末）在高台跳水运动中，ts 时运动员相对水面的高度（单位：m）是h（t）＝﹣4.9t2+6.5t+10，
高台跳水运动员在t＝1s 时的瞬时速度为
．
14．（5 分）（2018 秋•驻马店期末）若直线l 的方向向量a
→= (1，1，1)，平面α的一个法向量n
→= (2，−1，1)，则
直线l 与平面α所成角的正弦值等于
．
15．（5 分）（2014•淇县校级四模）已知f（x）＝2x3﹣6x2+m（m 为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在
[﹣2，2]上的最小值为
．
16．（5 分）（沙河口区校级模拟）如图，已知F1，F2 是双曲线
y2
a2 −
x2
b2 =1（a＞0，b＞0）的上下焦点，过F2 点作以
F1 为圆心，|OF1|为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段PF2 被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为
．
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10 分）（龙华区校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣ax2，曲线y＝f（x）在x＝1 处的切线方程为y＝bx+1．
（1）求a，b 的值；
（2）证明函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递增．
18．
（12分）
（河南一模）在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：x = 2 + tcosα
y =
3 + tsinα（t为参数）与曲线C：x = 2cosθ
y = sinθ
（θ为参数）相交于不同两点A，B．
（1）若α = π
3，求线段AB 中点M 的坐标；
（2）若|PA|•|PB|＝|OP|2，其中P(2，3)，求直线l 的斜率．
19．（12 分）（2011•江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部
分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D 四个点重合于图中的点P，正好形成一
个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x（cm）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
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20．（12 分）（石家庄一模）在平面四边形ACBD（图①）中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB，
设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C′﹣ABC，且使
C'D =
2．
（Ⅰ）求证：平面C′AB⊥平面DAB；
（Ⅱ）求二面角A﹣C′D﹣B 的余弦值．
21．（12 分）（2017•兰州二模）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），
点B（2，2）在椭圆C 上，直线y＝kx（k≠0）与椭圆C 交于P，Q 两点，直线AP，AQ 分别与y 轴交于点M，
N
（Ⅰ）求椭圆C 的方程
（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
22．（12 分）（龙华区校级期末）已知函数f（x）＝lnx+ 1
2ax2﹣（a+1）x（a∈R）．
（1）当a＝2 时，求函数y＝f（x）的极值；
（2）求当a＞0 时，函数y＝f（x）在区间[1，e]上的最小值Q（a）；
（3）若关于x 的方程f（x）= 1
2ax2 有两个不同实根x1，x2，求实数a 的取值范围并证明：x1•x2＞e2．
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2018-2019 学年海南省海南中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）（2006•上海）抛物线y2＝4x 的焦点坐标为（
）
A．（0，1）
B．（1，0）
C．（0，2）
D．（2，0）
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．
【解答】解：抛物线y2＝4x 的焦点在x 轴上，且p＝2
∴
p
2 =1
∴抛物线y2＝4x 的焦点坐标为（1，0）
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的性质，解题的关键是定型定位，属于基础题．
2．（5 分）（2016 春•高密市期末）已知函数f（x）＝ax3+3x2+2，若f′（﹣1）＝4，则a 的值等于（
）
A．
19
3
B．
16
3
C．
13
3
D．
10
3
【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】先计算f′（x），再根据f′（﹣1）＝4，列出关于a 的方程，即可解出a 的值．
【解答】解：∵f（x）＝ax3+3x2+2，
∴f′（x）＝3ax2+6x，
∴f′（﹣1）＝3a﹣6，
已知f′（﹣1）＝4，
∴3a﹣6＝4，解得a= 10
3 ．
故选：D．
【点评】本题考查导数的运算，正确计算出f′（x）是计算的关键．
3．（5 分）（河南模拟）双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝3 相切，则双曲线的离心率
为（
）
A．
2 2
3
B．
7
2
C．2
D．2 2
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由于双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的渐近线与（x﹣2）2+y2＝3 相切，可得圆心（2，0）到渐近线
的距离d＝r，利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：取双曲线的渐近线y= b
ax，即bx﹣ay＝0．
∵双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的渐近线与（x﹣2）2+y2＝1 相切，
∴圆心（2，0）到渐近线的距离d＝r，
∴
2b
a2+b2 =
3，化为2b=
3c，
两边平方得3c2＝4b2＝4（c2﹣a2），化为c2＝4a2．
∴e= c
a =2．
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质扥个基础知识与基
本技能方法，属于中档题．
4．（5 分）（龙华区校级期末）过曲线y＝f（x）=
x
1−x图象上一点（2，﹣2）及邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割
线，则当△x＝0.5 时割线的斜率为（
）
A．
1
3
B．
2
3
C．1
D．−5
3
【考点】61：变化的快慢与变化率；62：导数及其几何意义；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
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【分析】由题意，当△x＝0.5 时，2+△x＝2.5，代入函数式求得﹣2+△y，由斜率公式可得．
【解答】解：当△x＝0.5 时，2+△x＝2.5，
故﹣2+△y=
2.5
1−2.5 =−5
3，
故kPQ=
−5
3+2
2.5−2 = 2
3．
故选：B．
【点评】本题考查了变化率的应用，斜率公式的运用，属于基础题．
5．（5 分）（2018 秋•宿州期末）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，若CA
→
= a
→，CB
→
= b
→
，CC1
→
= c
→，则A1B
→
=（
）
A．a
→+ b
→
−c
→
B．a
→−b
→
+ c
→
C．−a
→+ b
→
+ c
→
D．−a
→+ b
→
−c
→
【考点】M1：空间向量及其线性运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】将向量A1B
→
分解成A1A
→
+ AB
→
，然后将利用相等向量和向量的三角形法则将A1A
→
与AB
→
化成用c
→、b
→
、a
→表示
即可．
【解答】解：A1B
→
= A1A
→
+ AB
→
=−CC1
→
+ CB
→
−CA
→
=−c
→+ b
→
−a
→
故选：D．
【点评】本题主要考查了空间向量的加减法，解题的关键是利用向量的三角形法则，属于基础题．
6．（5 分）（龙华区校级期末）函数y＝f（x）的导函数图象如图所示，则下面判断正确的是（
）
A．在（﹣3，1）上f（x）是增函数
B．在x＝1 处f（x）有极大值
C．在（1，3）上f（x）为减函数
D．在x＝4 处f（x）取极小值
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】根据导函数看正负，原函数看增减，函数在极值点处导数符号改变，即可得到结论．
【解答】解：根据导函数看正负，原函数看增减，
可得在x＝4 的左右附近，导数值先负后正，
可得函数先减后增，从而可知在x＝4 处函数取得极小值，
故选：D．
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【点评】本题考查导函数的图象，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用导函数看正负，原函数看增减，
函数在极值点处导数符号改变．
7．（5 分）（龙华区校级期末）若a
→= (λ + 1，0，2λ)，b
→
= (6，2μ −1，2)，且a
→∥b
→
，则λ与μ的值分别为（
）
A．
1
5 ，
1
2
B．5，2
C．−1
5 ，−1
2
D．﹣5，﹣2
【考点】96：平行向量（共线）．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】直接利用向量共线的条件列式求解λ与μ的值．
【解答】解：由a
→∥b
→
，得a
→= mb
→
．
又a
→= (λ + 1，0，2λ)，b
→
= (6，2μ −1，2)，
∴
λ + 1 = 6m
0 = m(2μ −1)
2λ = 2m
，解得
λ = 1
5
μ = 1
2
．
故选：A．
【点评】本题考查了平行向量与共线向量，考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数
特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化，该题是基础题．
8．（5 分）（2018 秋•醴陵市期末）点P 在曲线y= 1
3x3﹣2x2+3x 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值
范围是（
）
A．[0，
π
2）∪[
3π
4 ，π）
B．[0，
π
2）
C．[
π
4，
π
2）∪[
3π
4 ，π）
D．（
π
2，
3π
4 ]
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；49：综合法；5：高考数学专题；53：导数的综合应用．
【分析】利用导数的几何意义和正切函数的单调性的性质求出结果即可．
【解答】解：设切点P（x0，y0），由f′（x）＝x2﹣4x+3，得过切点p 处的切线的斜率k＝x02﹣4x0+3＝（x0﹣2）
2﹣1≥﹣1．
∴tanα≥﹣1，解得α∈[0，
π
2）∪[
3π
4 ，π）．
故选：A．
【点评】熟练掌握导数的几何意义和正切函数的单调性是解题的关键．
9．（5 分）（商丘期末）在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD 中，E 是C1D1 的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的
余弦值为（
）
A．−10
10
B．−1
20
C．
1
20
D．
10
10
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5G：空间角．
【分析】取A1D1 中点，连接EF、DF、A1C1，用三角形的中位线和平行线的传递性，证出EF∥AC，得∠DEF
（或其补角）就是异面直线DE 与AC 所成的角．然后在△DEF 中求出各边的长，再利用余弦定理即可算出异面
直线DE 与AC 夹角的余弦值．
【解答】解：取A1D1 中点，连接EF、DF、A1C1，
∵正方形ABCD﹣A1B1C1D1 中，A1A∥C1C 且A1A＝C1C
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∴四边形AA1C1C 是平行四边形，可得A1C1∥AC
又∵△A1C1D1 中，EF 是中位线
∴EF∥A1C1，且EF= 1
2A1C1．
由此可得EF∥AC，得∠DEF（或其补角）就是异面直线DE 与AC 所成的角
设正方体的棱长为a，则△DEF 中
DF＝DE=
a2 + ( 1
2 a)2 =
5
2 a，EF= 1
2A1C1=
2
2 a
由余弦定理，得cos∠DEF= DE2+DF2−EF
2
2DE⋅DF
=
10
10 ＞0
可得∠DEF 是锐角，因此∠DEF 是异面直线DE 与AC 所成的角，余弦值为
10
10
故选：D．
【点评】本题在正方体中求异面直线所成角的余弦值，着重考查了正方体的性质和异面直线所成角的定义及求法
等知识，属于基础题．
10．（5 分）（龙华区校级期末）已知：x＝x1，x＝x2 是函数f（x）= 1
3ax3−1
2ax2﹣x 的两个极值点，且A（x1，
1
x1
），
B（x2，
1
x2
），则直线AB 与椭圆
x2
2 +y2＝1 的位置关系为（
）
A．相切
B．相交
C．相离
D．位置关系不正确
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；33：函数思想；34：方程思想；53：导数的综合应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方
程．
【分析】求出原函数的导函数，由函数f（x）= 1
3ax3−1
2ax2﹣x 有两个极值点，可得x1 + x2 = 1，x1x2 =−1
a，把
过A，B 的直线方程整理为y＝a（x﹣1），可知直线y＝a（x﹣1）过定点（1，0），由此可知直线AB 与椭圆
x2
2 +y2
＝1 的位置关系．
【解答】解：由f（x）= 1
3ax3−1
2ax2﹣x，得f′（x）＝ax2﹣ax﹣1，
又函数f（x）= 1
3ax3−1
2ax2﹣x 有两个极值点，
∴方程ax2﹣ax﹣1＝0 有两个不等的实数根，
则a2+4a＞0，且x1 + x2 = 1，x1x2 =−1
a，
∴kAB =
1
x2−1
x1
x2−x1 =−
1
x1x2 = a，
则过AB 的直线方程为y−1
x1 = a(x −x1)，
整理得：y = ax + x1+x2
x1x2 ，
即y＝a（x﹣1），
则直线y＝a（x﹣1）过定点（1，0），
∴直线AB 与椭圆
x2
2 +y2＝1 的位置关系为相交．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数求函数的极值，考查了椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，是中档题．
11．（5 分）（龙华区校级期末）已知圆P：x2+y2﹣4y＝0 及抛物线S：y = x2
8 ，过圆心P 作直线l，此直线与两曲线
有四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D．如果线段AB，BC，CD 的长按此顺序构成一个等差数列，则直
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线l 的方程为（
）
A．y =
2
2 x + 2
B．y =−2
2 x + 2 或y =
2
2 x + 2
C．y =
2x + 2
D．y =
2x + 2 或y =−
2x + 2
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先确定圆P 的标准方程，求出圆心与直径长，设出l 的方程，代入抛物线方程，求出|AD|，利用线段
AB、BC、CD 的长按此顺序构成一个等差数列，可得|AD|＝3|BC|，求出k 的值，可得直线l 的斜率的值，即可
求出直线l 的方程．
【解答】解：圆P 的方程为x2+（y﹣2）2＝4，则其直径长|BC|＝4，圆心为P（0，2），
∵AB，BC，CD 的长按此顺序构成一个等差数列，
∴|AB|+|CD|＝2|BC|＝8，即|BC|＝4，
又|AD|＝|AB|+|BC|+|CD|＝3|BC|＝12．
设直线l 的方程为y＝kx+2，代入抛物线方程x2＝8y 得：x2﹣8kx﹣16＝0，
设A （x1 ，y1 ），D （x2 ，y2 ），有
△= 64k2 + 64＞0
x1 + x2 = 8k，
x1x2 =−16，
，∴|AD| =
(1 + k2)[(x1 + x2)2 −4x1x2] =
(1 + k2)(64k2 + 64) = 8(k2 + 1)，
∴8（k2+1）＝12，即k2 = 1
2，解得k =± 2
2 ，
∴直线l 的方程为y =−2
2 x + 2 或y =
2
2 x + 2，
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆、抛物线的位置关系，考查等差数列，考查学生的计算能力，确定|AD|是关键，综合
性较强，运算量较大．
12．（5 分）（龙华区校级期末）函数f（x）的定义域为D，若满足：①f（x）在D 内是单调函数；②存在[m，n]⊆D，
使f（x）在[m，n]的值域为[2m，2n]，那么就称函数f（x）为“倍域函数”．若f（x）＝ln（ex+6x+t）是“倍域
函数”，则实数t 的取值范围是（
）
A．( −3
4 −6ln 3
2 ，2 −6ln2)
B．（2﹣6ln2，+∞）
C．( −3
4 −6ln 3
2 ，6ln2 −2)
D．（﹣∞，6ln2﹣2）
【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】由“倍域函数”定义知f(m) = 2m，
f(n) = 2n，
即方程f（x）＝2x 有两个不同实根，即方程ex+6x+t＝e2x 有两个
不同实根．设函数g（x）＝e2x﹣ex﹣6x﹣t（x∈R），求导数，确定函数的单调性，可得方程g（x）＝0 有两个不
同实根的充要条件，即可得出结论．
【解答】解：由“域倍函数”定义知f(m) = 2m，
f(n) = 2n，
即方程f（x）＝2x 有两个不同实根，即方程ex+6x+t＝e2x 有
两个不同实根．
设函数g（x）＝e2x﹣ex﹣6x﹣t（x∈R），∴g'（x）＝2e2x﹣ex﹣6＝（2ex+3）（ex﹣2）．
令g'（x）＝0，解得x＝ln2．
当x＜ln2 时，g'（x）＜0，所以g（x）在（﹣∞，ln2）上是减函数；当x＞ln2 时，g'（x）＞0，所以g（x）在
（ln2，+∞）上是增函数．
∴当x＝ln2 时，g（x）min＝4﹣2﹣6ln2﹣t，∴x∈R，g（x）∈[2﹣6ln2﹣t，+∞），
∴方程g（x）＝0 有两个不同实根的充要条件为2﹣6ln2﹣t＜0，所以t＞2﹣6ln2，
故选：B．
【点评】本题考查函数的值域，考查导数知识的运用，难点在于构造函数，确定函数的单调性．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．（5 分）（龙华区校级期末）在高台跳水运动中，ts 时运动员相对水面的高度（单位：m）是h（t）＝﹣4.9t2+6.5t+10，
高台跳水运动员在t＝1s 时的瞬时速度为
﹣3.3
．
【考点】61：变化的快慢与变化率．菁优网版权所有
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】根据导数的物理意义可知，h（t）函数的导数即是t 时刻的瞬时速度．求导数即可．
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【解答】解：∵h（t）＝﹣4.9t2+6.5t+10，
∴h'（t）＝﹣4.9×2t+6.5＝﹣9.8t+6.5，
∴在t＝1s 时的瞬时速度为h'（1）＝﹣9.8+6.5＝﹣3.3，
故答案为：﹣3.3．
【点评】本题主要考查导数的计算，利用导数的物理意义即可求瞬时速度，比较基础．
14．（5 分）（2018 秋•驻马店期末）若直线l 的方向向量a
→= (1，1，1)，平面α的一个法向量n
→= (2，−1，1)，则
直线l 与平面α所成角的正弦值等于
2
3
．
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4G：演绎法；5G：空间角．
【分析】利用向量的夹角公式，即可求出直线l 与平面α所成角的正弦值．
【解答】解：∵直线l 的方向向量a
→= (1，1，1)，平面α的一个法向量n
→= (2，−1，1)，
∴直线l 与平面α所成的角的正弦值＝|
2−1+1
3⋅4+1+1|=
2
3 ．
故答案为
2
3 ．
【点评】本题考查了线面几角的计算公式、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
15．（5 分）（2014•淇县校级四模）已知f（x）＝2x3﹣6x2+m（m 为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在
[﹣2，2]上的最小值为
﹣37
．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常熟m 的值，
即可求出函数的最小值．
【解答】解：由已知，f′（x）＝6x2﹣12x，有6x2﹣12x≥0 得x≥2 或x≤0，
因此当x∈[2，+∞），（﹣∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
又因为x∈[﹣2，2]，
所以得
当x∈[﹣2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，
所以f（x）max＝f（0）＝m＝3，故有f（x）＝2x3﹣6x2+3
所以f（﹣2）＝﹣37，f（2）＝﹣5
因为f（﹣2）＝﹣37＜f（2）＝﹣5，所以函数f（x）的最小值为f（﹣2）＝﹣37．
答案为：﹣37
【点评】本题考查利用函数的导数求最值的问题，解一元二次不等式的方法．
16．（5 分）（沙河口区校级模拟）如图，已知F1，F2 是双曲线
y2
a2 −
x2
b2 =1（a＞0，b＞0）的上下焦点，过F2 点作以
F1 为圆心，|OF1|为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段PF2 被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为
2
．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】连接PF1，设PF2 的中点为M，由相切可得PF1⊥PF2，运用勾股定理可得|PF2|=
4c2 −c2 =
3c，运用
中位线定理可得P 到渐近线的距离为
3
2 c，由点到直线的距离公式和双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：连接PF1，设PF2 的中点为M，
由题意可得PF1⊥PF2，
|PF1|＝c，|F1F2|＝2c，
可得|PF2|=
4c2 −c2 =
3c，
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第714页（共926页）
即有P 到渐近线的距离为
3
2 c，
由OM 为中位线可得，
可得F1（0，﹣c）到渐近线的距离为
3
2 c，
由双曲线的渐近线方程y= a
bx，
可得d=
bc
a2+b2 =
3
2 c，
化为3c2＝4b2，
又b2＝c2﹣a2，
可得c＝2a，即e= c
a =2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的条件和中位线定理、勾股定理，考查化简整
理的运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10 分）（龙华区校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣ax2，曲线y＝f（x）在x＝1 处的切线方程为y＝bx+1．
（1）求a，b 的值；
（2）证明函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递增．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）函数f（x）＝ex﹣ax2，函数f′（x）＝ex﹣2ax，利用已知条件列出方程求解a，b 即可．
（2）由（1）知，函数f（x）＝ex﹣x2，得到f′（x）＝ex﹣2x，求出f′′（x）＝ex﹣2，利用极值点判断导函
数的单调性，即可证明结果．
【解答】解：（1）函数f（x）＝ex﹣ax2，函数f′（x）＝ex﹣2ax，
由题设得，f′（1）＝e﹣2a＝b，f（1）＝e﹣a＝b+1，
解得a＝1，b＝e﹣2…（4 分）
（2）由（1）知，函数f（x）＝ex﹣x2，∴f′（x）＝ex﹣2x，f′′（x）＝ex﹣2，
令f′′（x）＝ex﹣2＝0，得x＝ln2，且ln2∈（﹣∞，1]…（6 分）
∴f′（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，1]上单调递增，…（8 分）
∴f′（x）≥f′（lnx）＝2﹣ln2＞0，…（9 分）
∴函数f（x）在（﹣∞，1]上单调递增…（10 分）
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断，考查二次导数的应用．
18．
（12分）
（河南一模）在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：x = 2 + tcosα
y =
3 + tsinα（t为参数）与曲线C：x = 2cosθ
y = sinθ
（θ为参数）相交于不同两点A，B．
（1）若α = π
3，求线段AB 中点M 的坐标；
（2）若|PA|•|PB|＝|OP|2，其中P(2，3)，求直线l 的斜率．
【考点】I3：直线的斜率；J9：直线与圆的位置关系；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（1）把直线和圆的参数方程化为普通方程，联立后根据根与系数的关系求出两交点中点的横坐标，待入
直线方程再求中点的纵坐标；
（2）把直线方程和圆的方程联立，化为关于t 的一元二次方程，运用直线参数方程中参数t 的几何意义，结合给
出的等式求解直线的倾斜角的正切值，则斜率可求，
【解答】解：（1）当α = π
3时，由x = 2 + tcosα
y =
3 + tsinα
，得
x = 2 + 1
2 t
y =
3 + 3
2 t
，
∴直线方程为y =
3x −
3，
由x = 2cosθ
y = sinθ
，得曲线C 的普通方程为
x2
4 + y2 = 1，
设A（x1，y1），B（x2，y2）再由
y =
3x −
3
x2
4 + y2 = 1
，得：13x2﹣24x+8＝0，
∴
x1+x2
2
=
12
13，
y1+y2
2
=
3(x1+x2)
2
−
3 =−
3
13，
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∴M 的坐标为( 12
13 ，−3
13 )；
（2）把直线的参数方程代入
x2
4 + y2 = 1，
得：(1 + 3sin2α)t2 + (8 3sinα + 4cosα)t + 12 = 0，
∴t1t2 =
12
(1+3sin2α)，由|PA|•|PB|＝|t1t2|＝|OP|2＝7，得：
12
1+3sin2α = 7，
∴sin2α = 5
21，cos2α = 16
21，
得tan2α = 5
16，∴tanα =± 5
4 ．
又△＝32cosα（2 3sinα﹣cosα）＞0，故取tanα=
5
4 ．
∴直线L 的斜率为
5
4 ．
【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了直线的斜率、直线与椭圆的位置关系，解答此题（2）的关键
是灵活运用直线参数方程中参数的几何意义，是中档题．
19．（12 分）（2011•江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部
分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D 四个点重合于图中的点P，正好形成一
个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x（cm）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h 与x 的关系式，并注明x 的取值范围．再
利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S 关于x 的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；
（2）利用体积公式表示出包装盒容积V 关于x 的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．
【解答】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=
2x，h=
2（30﹣x），0＜x＜30．
（1）S＝4ah＝8x（30﹣x）＝﹣8（x﹣15）2+1800，
答：当x＝15 时，S 取最大值．
（2）V＝a2h＝2 2（﹣x3+30x2），V′＝6 2x（20﹣x），
由V′＝0 得x＝20，
当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；
答：当x＝20 时，包装盒容积V（cm3）最大，
此时，
h
a =
1
2．
即此时包装盒的高与底面边长的比值是
1
2．
【点评】考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建
模能力．属于基础题．
20．（12 分）（石家庄一模）在平面四边形ACBD（图①）中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公共斜边AB，
设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC 沿AB 折起，构成如图②所示的三棱锥C′﹣ABC，且使
C'D =
2．
（Ⅰ）求证：平面C′AB⊥平面DAB；
（Ⅱ）求二面角A﹣C′D﹣B 的余弦值．
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【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）取AB 的中点O，连C′O，DO，通过就是证明C′O⊥OD，证明C′O⊥平面ABD，然后证明平
面C′AB⊥平面DAB．
（2）以O 为原点，AB，OC′所在的直线分别为y，z 轴，建立如图空间直角坐标系，
求出平面AC′D 的法向量，平面BC′D 的法向量，利用向量的数量积求解二面角A﹣C′D﹣B 的余弦值．
【解答】解：（1）取AB 的中点O，连C′O，DO，
在RT△ACB，RT△ADB，AB＝2，则C′O＝DO＝1，又，∴C′O2+DO2＝C′D2，即C′O⊥OD，…（2 分）
又，AB∩OD＝O，AB，OD⊂平面ABD∴C′O⊥平面ABD，…（4 分）
又C′O⊂平面ABC′∴平面C′AB⊥平面DAB…（5 分）
（2）以O 为原点，AB，OC′所在的直线分别为y，z 轴，建立如图空间直角坐标系，
则A(0，−1，0)，B(0，1，0)，C'(0，0，1)，D( 3
2 ，1
2 ，0)，
∴AC'
→
= (0，1，1)，BC'
→
= (0，−1，1)，C'D
→
= ( 3
2 ，1
2 ，−1)⋯（6 分）
设平面AC′D 的法向量为n1
→= (x1，y1，z1)，则n1
→⊥AC'
→
n1
→⊥C'D
→，即n1
→⋅AC'
→
= 0
n1
→⋅C'D
→
= 0
，
y1 + z1 = 0
3
2 x1 + 1
2 y1 −z1 = 0，
令z1＝1，则y1＝﹣1，x1 =
3，∴n1
→= ( 3，−1，1)⋯（8 分）
设平面BC′D 的法向量为n2
→= (x2，y2，z2)，则n2
→⊥BC'
→
n2
→⊥C'D
→，
即n2
→⋅BC'
→
= 0
n2
→⋅C'D
→
= 0
，
−y2 + z2 = 0
3
2 x2 + 1
2 y2 −z2 = 0，
令z2＝1，则y2＝1，x2 =
3
3 ，∴n2
→= ( 3
3 ，1，1)⋯（10 分）
∴cos〈n1
→，n2
→＞=
3× 3
3 +(−1)×1+1×1
3+1+1⋅1
3+1+1
=
1
5⋅7
3
=
105
35 ，
二面角A﹣C′D﹣B 的余弦值为−105
35 ．…（12 分）
【点评】本题考查二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理，考查空间想象能力以及计算能力．
21．（12 分）（2017•兰州二模）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），
点B（2，2）在椭圆C 上，直线y＝kx（k≠0）与椭圆C 交于P，Q 两点，直线AP，AQ 分别与y 轴交于点M，
N
（Ⅰ）求椭圆C 的方程
（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
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【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意可设椭圆标准方程
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a＞b＞0)，结合已知及隐含条件列关于a，b，c 的方程组，
求解方程组得到a2，b2 的值，则椭圆方程可求；
（2）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF 所在直线方程，求出M、N 的坐标，得到以MN 为直径的
圆的方程，由圆的方程可知以MN 为直径的圆经过定点（±2，0）．
【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为
x2
a2 +
y2
b2 = 1(a＞b＞0)，
则
c = 2
a2 = b2 + c2
4
a2 + 2
b2 = 1
，解得：a2＝8，b2＝4．
∴椭圆C 的方程为
x2
8 +
y2
4 = 1；
（2）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），
则
x02
8 +
y02
4
= 1，
A（−2 2，0），
AF 所在直线方程
y
y0
=
x+2 2
x0+2 2，取x＝0，得y = 2 2y0
x0+2 2，
∴N（0，
2 2y0
x0+2 2），
AE 所在直线方程为
y
−y0
=
x+2 2
−x0+2 2，取x＝0，得y= −2 2y0
−x0+2 2，
∴M（0，
−2 2y0
−x0+2 2）．
则以MN 为直径的圆的圆心坐标为（0，
−2 2x0y0
8−x02
），
半径r=
8y0
8−x02，
圆的方程为x2 + (y + 2 2x0y0
8−x02 )2 =
64y02
(8−x02)2 = 16
y02，
即x2 + (y +
2x0
y0 )2 = 16
y02．
取y＝0，得x＝±2．
∴以MN 为直径的圆经过定点（±2，0）．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题．
22．（12 分）（龙华区校级期末）已知函数f（x）＝lnx+ 1
2ax2﹣（a+1）x（a∈R）．
（1）当a＝2 时，求函数y＝f（x）的极值；
（2）求当a＞0 时，函数y＝f（x）在区间[1，e]上的最小值Q（a）；
（3）若关于x 的方程f（x）= 1
2ax2 有两个不同实根x1，x2，求实数a 的取值范围并证明：x1•x2＞e2．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）当a＝2 时，函数f（x）＝lnx+x2﹣3x（x＞0）．f′（x）= (2x−1)(x−1)
x
，利用导数研究函数的单调
性极值即可得出．
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（2）函数f（x）的定义域是[1，e]．f′（x）= 1
x +ax﹣（a+1）= a(x−1
a)(x−1)
x
（a＞0）．当a＞0 时，令f′（x）
＝0 有两个解，x＝1 或x= 1
a．对a 分类讨论，利用导数研究函数单调性极值与最值即可得出．
（3）关于x 的方程f（x）= 1
2ax2 有两个不同实根x1，x2，即lnx﹣（a+1）x＝0 有两个不同实根x1，x2，得a+1= lnx
x ，
令g（x）= lnx
x （x＞0），g′（x）= 1−lnx
x2
，
令g′（x）＝0，得x＝e，利用导数研究函数单调性极值与最值并且结合图象即可得出a+1 的范围．f（x）= 1
2 ax2
有两个不同实根x1，x2．两根满足lnx1＝（a+1）x1，lnx2＝（a+1）x2，两式相加得：ln（x1x2）＝（a+1）（x1+x2），
两式相除得
ln(x1x2)
lnx2
x1
=
x1+x2
x2−x1
．不妨设x1＜x2，要证：x1•x2＞e2．只需证：ln（x1x2）= x1+x2
x2−x1ln
x2
x1
＞2．即证ln
x2
x1
＞
2•
x2−x1
x2+x1
=
2(x2
x1−1)
x2
x1+1 ．设t= x2
x1 ＞1，令F（t）＝lnt−2(t−1)
t+1
=lnt+ 4
t+1 −2，利用导数研究函数单调性极值与最值
即可得出．
【解答】解：（1）当a＝2 时，函数f（x）＝lnx+x2﹣3x（x＞0）．
f′（x）= 1
x +2x﹣3= (2x−1)(x−1)
x
，
令f′（x）＝0，得x＝1 或x= 1
2
当x∈(0，1
2 )时，f′（x）＞0，f（x）在(0，1
2 )上单调递增，
当x∈( 1
2 ，1)时，f′（x）＜0，f（x）在( 1
2 ，1)上单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增，
则f（x）在x= 1
2处取得极大值，在x＝1 处取得极小值．
极大值为f( 1
2 ) =−ln2−5
4，极小值为f（1）＝﹣2．
（2）函数f（x）的定义域是[1，e]．
f′（x）= 1
x +ax﹣（a+1）= a(x−1
a)(x−1)
x
（a＞0）．
当a＞0 时，令f′（x）＝0 有两个解，x＝1 或x= 1
a．
1°当0＜a ≤1
e，即
1
a ≥e 时，f′（x）≤0，∴f（x）在[1，e]上单调递减，
∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＝1+ 1
2ae2﹣（a+1）e，
2°当
1
e ＜a＜1，即1＜1
a ＜e 时，
当x∈[1，1
a )时，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，1
a )上单调递减，
当x∈( 1
a ，e]时，f′（x）＞0，∴f（x）在( 1
a ，e]上单调递增
∴f（x）在[1，e]上的最小值是f( 1
a ) =−lna−1
2a −1，
3°当a≥1，即0＜1
a ≤1 时，x∈[1，e]，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=−1
2a﹣1．
综上，Q（a）=
1 + 1
2 ae2 −(a + 1)e，0＜a ≤1
e
−lna −1
2a −1，1
e ＜a＜1
−1
2 a −1，a ≥1
．
（3）关于x 的方程f（x）= 1
2ax2 有两个不同实根x1，x2，即lnx﹣（a+1）x＝0 有两个不同实根x1，x2，
得a+1= lnx
x ，令g（x）= lnx
x （x＞0），g′（x）= 1−lnx
x2
，
令g′（x）＝0，得x＝e，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，e）上单调递增，
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（e，+∞）上单调递减，
∴x＝e 时，g（x）取得最大值
1
e，且g（1）＝0，得图象如下：
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∴a+1∈(0，1
e )．
即当﹣1＜a＜1
e −1 时，f（x）= 1
2 ax2有两个不同实根x1，x2．
两根满足lnx1＝（a+1）x1，lnx2＝（a+1）x2，
两式相加得：ln（x1x2）＝（a+1）（x1+x2），两式相减地ln x2
x1 =（a+1）（x2﹣x1），
上述两式相除得
ln(x1x2)
lnx2
x1
=
x1+x2
x2−x1
．
不妨设x1＜x2，要证：x1•x2＞e2．
只需证：ln（x1x2）= x1+x2
x2−x1ln
x2
x1
＞2．
即证ln
x2
x1
＞2•
x2−x1
x2+x1
=
2(x2
x1−1)
x2
x1+1 ．
设t= x2
x1 ＞1，令F（t）＝lnt−2(t−1)
t+1
=lnt+ 4
t+1 −2，
则F′（t）= 1
t −
4
(t+1)2 = (t−1)2
t(t+1)2 ＞0，
∴函数F（t）在（1，+∞）上单调递增，且F（1）＝0．
∴F（t）＞0，即lnt＞2(t−1)
t+1 ，∴x1•x2＞e2．
【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分析法、等价转化方法，考查了
推理能力与计算能力，属于难题．
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考点卡片
1．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x 轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解
法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探
讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70 的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70 的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的
乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0 时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
2．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函
数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近
我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，
再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x 的系数k＞0），通过图象可以直观地
认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y= k
x（k＞0）型，增长特点是y 随x 的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越
快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢
（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自
变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x 的范围，同时还要
与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
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【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000 万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10 万元时，
按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超
过5 万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，
1n102≈2.302）（
）
A．y＝0.025x
B．y＝1.003xC．y＝l+log7x
D．y=
1
4000x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；
③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%= 1
4x，
A 中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200 时，y＞5 不满足公司要求；
B 中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600 时，y＞5 不满足公司要求；
C 中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000 时，y 取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤1
4x 恒成立，
故满足公司要求；
D 中，函数y=
1
4000x2，易知满足①，当x＝400 时，y＞5 不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015 年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服
装的年销量x 万件与年促销t 万元之间满足关系式3﹣x=
k
t+1（k 为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能
是1 万件．已知2015 年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3 万元，每生产1 万件服装需再投入32 万元的
生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015 年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x 表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y 万元表示为促销费t 万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年
利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x=
k
t+1，
且当t＝0 时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x=
2
t+1，…（1 分）
生产成本为32x+3，每件售价
3
2 (
32x+3
x
) +
t
2x，…（2 分）
所以，y= [ 3
2 ( 32x+3
x
) + t
2x ]x −(32x + 3) −t⋯（3 分）
＝16x−t
2 + 3
2 =−32
t+1 −t+1
2 + 50，（t≥50）；…（2 分）
（2）因为
32
t+1 +
t+1
2
≥8
当且仅当
32
t+1 =
t+1
2 ，即t＝7 时取等号，…（4 分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1 分）
答：促销费投入7 万元时，企业的年利润最大．…（1 分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题
的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x 与y 的对应关系，针对具体的
函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
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②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
3．变化的快慢与变化率
【知识点的知识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x 由x1 变化到x2 时，其函数y＝f（x）
的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为
f(x2)−f(x1)
x2−x1
．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函
数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变
量的改变量之比，即
△y
△x =
f(x2)−f(x1)
x2−x1
．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：
△y
△x =
f(x1+△x)−f(x1)
△x
．当△x 趋于0 时，平均变化率就趋于函数在x1 点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一
点的变化率．
3、导数的概念：
函数f（x）在x＝x0 处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0 处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）= lim
x→0
f(x0+△x)−f(x0)
△x
= lim
x→0
△y
△x
【典例例题分析】
典例1：一质点的运动方程是s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（
）
A．3△t+6
B．﹣3△t+6
C．3△t﹣6
D．﹣3△t﹣6
分析：分别求出经过1 秒种的位移与经过1+△t 秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度＝位移÷时间，建
立等式关系即可．
解：V = [5−3(1+△t)2]−[5−3×12]
△t
=−6 −3 △t，
故选D．
点评：本题考查函数的平均变化率公式：
f(x+△x)−f(x)
△x
．注意平均速度与瞬时速度的区别．
典例2：一质点运动的方程为s＝8﹣3t2．
（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；
（2）求质点在t＝1 时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．
分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题．在解答时：
（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为
△s
△t进行计算即可获得问题的解答；
（2）定义法：即对平均速度为
△s
△t当△t 趋向于0 时求极限即可获得解答；求导法：t＝1 时的瞬时速度即s＝8﹣3t2
在t＝1 处的导数值，故只需求t＝1 时函数s＝8﹣3t2 的导函数值即可获得问题的解答．
解答：由题意可知：
（1）∵s＝8﹣3t2
∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，
∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：v = △s
△t =−6 −3 △t．
（2）定义法：质点在t＝1 时的瞬时速度为v = lim
△t→0
△s
△t = lim
△t→0( −6 −3 △t) =−6．
求导法：质点在t 时刻的瞬时速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，
∴当t＝1 时，v＝﹣6×1＝﹣6．
点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移s 与时间t 的关系式求导可得瞬时速
度与时间t 的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求．值
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得同学们体会和反思．
【解题方法点拨】
瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当△t→0 时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
函数y＝f（x）在x＝x0 处的导数特别提醒：
①当△x→0 时，比值
△y
△x的极限存在，则f（x）在点x0 处可导；若
△y
△x的极限不存在，则f（x）在点x0 处不可导或
无导数．
②自变量的增量△x＝x﹣x0 可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y 可正可负，也
可以为0．
③在点x＝x0 处的导数的定义可变形为：
f′（x0）= lim
△x→0
f(x−△x)−f(x)
−△x
或f′（x0）= lim
x→0
f(x)−f(x0)
x−x0
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）= lim
△x→0
f(x−△x)−f(x)
−△x
；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0 处的函数值即为函数f（x）
在点x0 处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
4．导数及其几何意义
【知识点的知识】
1、导数的定义
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称
导数，记为f′（x）；
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a 处的右导数和端点b 处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，
b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．
2、导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0 处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0 处的导数的几何意义：k 切线＝f′（x0）
= lim
x→0
f(x0+△x)−f(x0)
△x
= lim
x→0
△y
△x．
【典型例题分析】
题型一：根据切线方程求斜率
典例1：已知曲线y = x2
4 −3lnx 的一条切线的斜率为
1
2，则切点的横坐标为（
）
A．3
B．2
C．1
D．
1
2
解：设切点的横坐标为（x0，y0）
∵曲线y = x2
4 −3lnx 的一条切线的斜率为
1
2，
∴y′= x0
2 −3
x0 = 1
2，解得x0＝3 或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3
故选A．
题型二：求切线方程
典例2：已知函数f(x) =
ax2 + bx + c，x ≥−1
f( −x −2)，x＜−1
其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，
f（﹣3））处的切线方程为（
）
A．y＝﹣2x﹣3
B．y＝﹣2x+3
C．y＝2x﹣3
D．y＝2x+3
解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1
∴f（1）＝2+1＝3
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∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3
∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）
∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）
将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A
故选A．
【解题方法点拨】
（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0 处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为
y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．
（2）若函数在x＝x0 处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0 处不可导，则图象在（x0，
f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直．
（3）注意区分曲线在P 点处的切线和曲线过P 点的切线，前者P 点为切点；后者P 点不一定为切点，P 点可以是
切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，
（4）显然f′（x0）＞0，切线与x 轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x 轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝
0，切线与x 轴平行；f′（x0）不存在，切线与y 轴平行．
5．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C 为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0 且a≠1）⑦[logax）]′= 1
x*（logae）=
1
xlna（a＞0 且a≠1）⑧[lnx]′= 1
x．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[
f(x)
g(x)]′= [f'(x)g(x)−f(x)g'(x)]
[g(x)2]
．
3、复合函数的导数
设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′
（2015）﹣f′（﹣2015）＝（
）
A．0
B．2014
C．2015
D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（
）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx
B．（lnx﹣2x）′= 1
x −2xln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x
D．（
sinx
x ）′= xcosx−sinx
x2
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx 成立，故A 正确；
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对于选项B，(lnx −2x)' = 1
x −2xln2 成立，故B 正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C 不正确；
对于选项D，( sinx
x )' = xcosx−sinx
x2
成立，故D 正确．
故选C．
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，
而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注
意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集
的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集
的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确
定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（
）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x) = x3 + x2[f'(x) +
m
2 ]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
ln2
2 ×
ln3
3 ×
ln4
4 × ⋯×
lnn
n ＜
1
n (n ≥2，n ∈N∗)．
解：（Ⅰ）f'(x) = a(1−x)
x
(x＞0)（2 分）
当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）
（Ⅱ）f'(2) =−a
2 = 1 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
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∴g(x) = x3 + ( m
2 + 2)x2 −2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g'(t)＜0
g'(3)＞0
(8 分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0 恒成立，
所以有：
g'(1)＜0
g'(2)＜0
g'(3)＞0
，∴−37
3 ＜m＜−9（10 分）
（Ⅲ）令a＝﹣1 此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1 对一切x∈（1，+∞）成立，（12 分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnn
n ＜n−1
n
∴
ln2
2 ⋅
ln3
3 ⋅
ln4
4 ⋅⋅
lnn
n ＜
1
2 ⋅
2
3 ⋅
3
4 ⋅⋅
n−1
n
=
1
n (n ≥2，n ∈N∗)
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完
全类似）．即在区间内f′（x）＞0 是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说
f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y 极大值＝f（x0），x0 是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f
（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y 极小值＝f（x0），x0 是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不
意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能
在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0 满足f′（x0）＝0，且在x0 的两侧f（x）的导数异号，则x0 是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′
（x）在x0 两侧满足“左正右负”，则x0 是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0 两侧满足“左
负右正”，则x0 是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0 的根；
（3）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左
右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极
小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
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（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
8．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函
数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）= 1
x在（0，+∞）内连
续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函
数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点
时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
9．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导
数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在
解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率
的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1 处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1 时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线
方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
10．平行向量（共线）
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第728页（共926页）
【知识点的知识】
1、平行向量：
方向相同或相反的非零向量．如果a
→，b
→
，c
→是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可
即位a
→∥b
→
∥c
→，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平
行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．
2、共线向量：
如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向
量．零向量与任一向量共线．
说明：
（1）向量有两个要素：大小和方向．
（2）向量a
→与向量b
→
共线的充要条件是：向量a 与向量b 的方向相同或相反，或者有一个是零向量．
共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．
【定理】
假设向量a
→=（1，2），向量b
→
=（2，4），则b
→
=2a
→，那么向量a
→与向量b
→
平行，且有1×4﹣2×2＝0，即当向量
a
→=（x1，y1）与向量b
→
=（x2，y2）平行时，有x1•y2﹣x2•y1＝0，这也是两向量平行的充要条件．
【例题解析】
例：设a
→与b
→
是两个不共线的向量，且向量a
→+ λb
→
与−(b
→
−2a
→)共线，则λ＝
﹣0.5
．
解；∵向量a
→+ λb
→
与−(b
→
−2a
→)共线，∴存在常数k，使得−(b
→
−2a
→) =k（a
→+ λb
→
）
∴2＝k．﹣1＝λk
解得，λ＝﹣0.5
故答案为﹣0.5．
根据向量共线的充要条件，若向量a
→+ λb
→
与−(b
→
−2a
→)共线，就能得到含λ的等式，解出λ即可．
11．直线的斜率
【考点归纳】
1．定义：当直线倾斜角α≠π
2时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k 表示，即k＝tanα．
2．斜率的求法
（1）定义：k＝tanα（α≠π
2）
（2）斜率公式：k= y2−y1
x2−x1 (x2 ≠x1)．
3．斜率与倾斜角的区别和联系
（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．
②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．
（2）联系：
①当α≠π
2时，k＝tanα；当α= π
2时，斜率不存在；
②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，
π
2）时，k＞0 且随α的增大而增大，当α∈（
π
2，π）时，k＜0 且随α的增
大而增大．
【命题方向】
直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的
几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问
题．
常见题型：
（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；
（2）已知斜率求倾斜角的问题．
（3）斜率在数形结合中的应用．
12．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
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2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0 与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d 和半径r 的关系判断．
圆心到直线的距离d= |Aa+Bb+C|
A2+B2
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由Ax + By + C = 0
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
13．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和
短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
c
a叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e= c
a，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
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e 越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为
x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
14．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
15．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
16．异面直线及其所成的角
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【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b 是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′
所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，
π
2]．当θ＝90°时，称两
条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
17．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
18．空间向量及其线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为|AB
→
|，|a
→|
特别地：
①规定长度为0 的向量为零向量，记作0
→
；
②模为1 的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a
→的相反向量记为−a
→．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定0
→
与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
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2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：a
→+ b
→
= b
→
+ a
→
（2）结合律：(a
→+ b
→
) + c
→= a
→+ (b
→
+ c
→)．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
A1A2
→
+ A2A3
→
+ A3A4
→
+ ⋯+ An−1An
→
= A1An
→
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
A1A2
→
+ A2A3
→
+ A3A4
→
+ ⋯+ AnA1
→
= 0
→
．
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量a
→的乘积λa
→仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0 时，λa
→与a
→的方向相同；
②当λ＜0 时，λa
→与a
→的方向相反；
③当λ＝0 时，λa
→= 0
→
．
④|λa
→|＝|λ|•|a
→|
λa
→的长度是a
→的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①λ(a
→+ b
→
) = λa
→+ λb
→
②（λ+μ）a
→= λa
→+ μa
→
（2）结合律：λ(μa
→) = (λμ)a
→
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ ± a
→等无法计算．
19．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，
π
2）；直线和平面所成的角的范围为[0，
π
2]．
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2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交
直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面
所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线
在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线
这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一
切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根
据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三
角形求得．
（2）向量求法：设直线l 的方向向量为a
→，平面的法向量为u
→，直线与平面所成的角为θ，a
→与u
→的夹角为φ，则有sinθ
＝|cos φ|= |a
→⋅u
→|
|a
→||u
→|
．
20．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部
分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣
Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，
则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的
另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所
成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为u
→和v
→，若两个平面的夹角为θ，则
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（1）当0≤＜u
→，v
→＞≤π
2，θ= ＜u
→，v
→＞，此时cosθ＝cos＜u
→，v
→＞=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
（2）当
π
2 ＜＜u
→
，v
→＞≤π时，θ＝cos（π−＜u
→，v
→＞）＝﹣cos＜u
→，v
→＞=−=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|．
21．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道
变数x，y 中的一个与参数t 的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），
那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y 的取值范围保持一致．
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2018-2019 学年广西南宁三中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）（兴宁区校级期末）不等式
x−1
x−2 ≤0 的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（5 分）（兴宁区校级期末）命题p：3＞e，命题q：方程x2﹣x+1＝0 无实根，则（
）
A．命题p∧q 为真
B．命题p∨q 为真
C．命题￢p 为假
D．命题￢q 为真
3．（5 分）（2015•北京）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5 分）（兴宁区校级期末）抛物线y2＝4x 上一点P 到其焦点距离为6，则点P 到y 轴距离为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
5．（5 分）（北京）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（
）
A．8
B．9
C．27
D．36
6．（5 分）（兴宁区校级期末）从1、2、3、5 四个数中任取两个数组成两位数，则组成的两位数是5 的倍数的概率
为（
）
A．
1
3
B．
1
4
C．
1
5
D．
1
6
7．
（5 分）
（兴宁区校级期末）一质点做直线运动，其位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间关系式为S = 1
3 t3 −2t2 +
4t，则其瞬时速度为1 米/秒的时刻为（
）
A．t＝0
B．t＝1
C．t＝3
D．t＝1 和t＝3
8．（5 分）（兴宁区校级期末）已知数列{an}的前n 项和Sn = n2，(n ∈N ∗)，则a2018＝（
）
A．2018
B．2019
C．4035
D．4036
9．（5 分）（兴宁区校级期末）已知△ABC 的角A、B、C 所对边的边为a，b，c，acosA＝bcosB，则该三角形现状
为（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形或等腰三角形
10．（5 分）（兴宁区校级期末）设等差数列{an}的前n 项和为Sn，若S3＝6，S6＝9，则S12＝（
）
A．15
B．16
C．9
D．6
11．（5 分）（2006•福建）已知双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F 且倾斜角为60°的直线与
双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（
）
A．（1，2]
B．（1，2）
C．[2，+∞）
D．（2，+∞）
12．（5 分）（2017•辽宁模拟）函数f（x）的定义域是（0，
π
2），f′（x）是它的导函数，且f（x）+tanx•f′（x）＞
0 在定义域内恒成立，则（
）
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A．f（
π
6）＞2f（
π
4）
B．2sin1•f（1）＞f（
π
4）
C．f（
π
6）＞3f（
π
3）
D．2f（
π
4）＞3f（
π
3）
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．
（5 分）
（兴宁区校级期末）已知x，y 满足约束条件
x + y −2 ≥0
x −2y + 4 ≥0
x −2 ≤0
，则z＝3x+y 的最大值与最小值之差为
．
14．（5 分）（兴宁区校级期末）设函数f（x）＝alnx−1
2 x2，（x＞0），若函数f（x）在x＝1 处与直线y=−1
2相切，则
a＝
．
15．（5 分）（兴宁区校级期末）△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对的边为a、b、c，已知∠A＝60°，a =
13，c = 4，
则b＝
．
16．（5 分）（兴宁区校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣x+k 在[﹣1，1]上有两个零点，则k 的取值范围是
．
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10 分）（兴宁区校级期末）已知在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA＝0．
（1）求角A 的大小；
（2）若a = 2 5，b＝2，求△ABC 的面积S．
18．（12 分）（兴宁区校级期末）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存
款（年底余额）如表：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
时间代号a，b
1
2
3
4
5
储蓄存款a＝14（千亿元）
5
6
7
8
10
（I）求y 关于t 的回归方程y
Ƹ = b
Ƹ
t+ a
Ƹ ；
（II）用所求回归方程预测该地区2019 年（t＝7）的人民币储蓄存款．
附：回归方程b＝2 中
b
^
=
i=1
n
σ
(xi−x)(yi−y)
i=1
n
σ
(xi−x)2
=
i=1
n
σ
xiyi−nxy
i=1
n
σ
xi
2−nx2
a
^ = y −b
^
x
．
19．（12 分）（兴宁区校级期末）已知正项等比数列{an}中，a1+a2＝6，a4﹣a2＝12．
（I）求{an}的通项公式；
（II）设bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n 项和Sn．
20．
（12 分）（兴宁区校级期末）如图，在三棱锥S﹣ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC＝90°，
O 为BC 中点．
（1）证明：SO⊥平面ABC；
（2）（理科）求二面角A﹣SC﹣B 的余弦值．
（文科）若AB＝2，求三棱锥A﹣SBC 的体积．
21．（12 分）（兴宁区校级期末）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0），A（0，2），且|AF|=
7，
椭圆C 的离心率为
3
2 ．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设直线l 的方程为y＝kx+m，当直线l 与椭圆C 有唯一公共点M 时，作OH⊥l 于H（O 为坐标原点），若
|MH|= 3
5|OM|，求k 的值．
22．（12 分）（兴宁区校级期末）已知函数f（x）＝excosx．
（I）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（II）若对任意x ∈[ −π
2 ，0]，不等式xsinx≤f（x）﹣m 恒成立，求实数m 的取值范围．
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2018-2019 学年广西南宁三中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5 分）（兴宁区校级期末）不等式
x−1
x−2 ≤0 的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5T：不等式．
【分析】根据题意，原不等式变形为（x﹣1）（x﹣2）≤0 且x﹣2≠0，解可得x 的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，
x−1
x−2 ≤0⇒（x﹣1）（x﹣2）≤0 且x﹣2≠0，
解可得：1≤x＜2，
即不等式的解集为{x|1≤x＜2}，
故选：D．
【点评】本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．
2．（5 分）（兴宁区校级期末）命题p：3＞e，命题q：方程x2﹣x+1＝0 无实根，则（
）
A．命题p∧q 为真
B．命题p∨q 为真
C．命题￢p 为假
D．命题￢q 为真
【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】命题p：由于3＜2＜e，即可判断出真假；命题q：根据△＝1﹣4＝﹣3＜0，可得方程x2﹣x+1＝0 解的
情况．进而判断出命题的真假．
【解答】解：命题p：∵3＜2＜e，∴3＞e，是假命题；
命题q：∵△＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程x2﹣x+1＝0 无实根，是真命题．
∴p 假q 真，
故选：B．
【点评】本题考查了方程解的判定方法、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属
于基础题．
3．（5 分）（2015•北京）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，
显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．
【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m 和α，β的交线平行即可得到m∥β；
α∥β，m⊂α，∴m 和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；
∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、
必要条件，及必要不充分条件的概念．
4．（5 分）（兴宁区校级期末）抛物线y2＝4x 上一点P 到其焦点距离为6，则点P 到y 轴距离为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件求解点P 到y 轴距离．
【解答】解：由抛物线y2＝4x 的准线为x＝﹣1，
抛物线y2＝4x 上一点P 到其焦点距离为6，故点P 的横坐标为5．
则点P 到y 轴距离为5．
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．
5．（5 分）（北京）执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（
）
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A．8
B．9
C．27
D．36
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，
可得答案．
【解答】解：当k＝0 时，满足进行循环的条件，故S＝0，k＝1，
当k＝1 时，满足进行循环的条件，故S＝1，k＝2，
当k＝2 时，满足进行循环的条件，故S＝9，k＝3，
当k＝3 时，不满足进行循环的条件，
故输出的S 值为9，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
6．（5 分）（兴宁区校级期末）从1、2、3、5 四个数中任取两个数组成两位数，则组成的两位数是5 的倍数的概率
为（
）
A．
1
3
B．
1
4
C．
1
5
D．
1
6
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】任取两个数字组成两位数共有12 种可能，能被5 整除的只有15、25、35 三种，由此能求出组成的两位
数是5 的倍数的概率．
【解答】解：任取两个数字组成两位数共有12 种可能，
能被5 整除的只有15、25、35 三种，
∴从1、2、3、5 四个数中任取两个数组成两位数，
则组成的两位数是5 的倍数的概率为p= 3
12 = 1
4．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．
（5 分）
（兴宁区校级期末）一质点做直线运动，其位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间关系式为S = 1
3 t3 −2t2 +
4t，则其瞬时速度为1 米/秒的时刻为（
）
A．t＝0
B．t＝1
C．t＝3
D．t＝1 和t＝3
【考点】61：变化的快慢与变化率．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．
【分析】根据题意，由S 与t 的关系，求导可得S'＝t2﹣4t+4，结合导数的定义可得S'＝1，即t2﹣4t+3＝0，解可
得t 的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，质点的位移S 与时间t 满足S = 1
3 t3 −2t2 + 4t，
则S'＝t2﹣4t+4，
令S'＝1，即t2﹣4t+3＝0，
解可得：t＝1 或t＝3；
故选：D．
【点评】本题考查导数的定义以及变化率的计算，关键是掌握导数的定义．
8．（5 分）（兴宁区校级期末）已知数列{an}的前n 项和Sn = n2，(n ∈N ∗)，则a2018＝（
）
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A．2018
B．2019
C．4035
D．4036
【考点】82：数列的函数特性．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
【分析】根据数列项和前n 项和的关系进行求解即可．
【解答】解：∵数列{an}的前n 项和Sn = n2，(n ∈N ∗)，
∴an = Sn −Sn−1 = n2 −(n −1)2 = 2n −1，
故a2018＝2×2018﹣1＝4035，
法2：a2018＝S2018﹣S2017＝20182﹣20172＝（2018+2017）（2018﹣2017）＝4035，
故选：C．
【点评】本题主要考查数列通项公式的应用，根据项和和之间的关系进行转化是解决本题的关键．
9．（5 分）（兴宁区校级期末）已知△ABC 的角A、B、C 所对边的边为a，b，c，acosA＝bcosB，则该三角形现状
为（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形或等腰三角形
【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】acosA＝bcosB，利用正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，利用倍角公式可得sin2A＝sin2B，可得2A＝
2B 或2A+2B＝π，即可得出．
【解答】解：∵acosA＝bcosB，
由正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B 或2A+2B＝π，
化为A＝B 或A+B+ π
2．
∴哎三角形为直角三角形或等腰三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、正弦函数的单调性，属于基础题．
10．（5 分）（兴宁区校级期末）设等差数列{an}的前n 项和为Sn，若S3＝6，S6＝9，则S12＝（
）
A．15
B．16
C．9
D．6
【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列的性质推导出S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9 成等差数列，由此能求出S12．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n 项和为Sn，S3＝6，S6＝9，
S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9 成等差数列，
∴S6﹣S3＝3，S9﹣S6＝0，S12﹣S9＝﹣3，
∴S12＝6．
故选：D．
【点评】本题考查数列的前12 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与
方程思想，是基础题．
11．（5 分）（2006•福建）已知双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F 且倾斜角为60°的直线与
双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（
）
A．（1，2]
B．（1，2）
C．[2，+∞）
D．（2，+∞）
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等
于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
【解答】解：已知双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，
若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
b
a，
∴
b
a ≥
3，离心率e2= c2
a2 = a2+b2
a2
≥4，
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∴e≥2，故选C
【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
12．（5 分）（2017•辽宁模拟）函数f（x）的定义域是（0，
π
2），f′（x）是它的导函数，且f（x）+tanx•f′（x）＞
0 在定义域内恒成立，则（
）
A．f（
π
6）＞2f（
π
4）
B．2sin1•f（1）＞f（
π
4）
C．f（
π
6）＞3f（
π
3）
D．2f（
π
4）＞3f（
π
3）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4M：构造法；53：导数的综合应用．
【分析】f（x）+tanx•f′（x）＞0 在定义域内恒成立，可知cosx•f（x）+sinx•f′（x）＞0，可构造函数g（x）
＝sinx•f（x），求导判断其单调性，即可得到2sin1•f（1）＞f（
π
4）．
【解答】解：∵x∈（0，
π
2），
∴由f（x）+tanx•f′（x）＞0，得cosx•f（x）+sinx•f′（x）＞0．
令g（x）＝sinx•f（x），则g′（x）＝cosx•f（x）+sinx•f′（x）＞0．
∴g（x）在（0，
π
2）上为增函数，
∴g（1）＞g（
π
4），即sin1•f（1）＞sin
π
4•f（
π
4）．
∴sin1•f（1）＞2
2 •f（
π
4）．
则2sin1•f（1）＞f（
π
4）．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，由已知构造函数是关键，是中档题．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．（5 分）（兴宁区校级期末）已知x，y 满足约束条件
x + y −2 ≥0
x −2y + 4 ≥0
x −2 ≤0
，则z＝3x+y 的最大值与最小值之差为
7
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优
解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件
x + y −2 ≥0
x −2y + 4 ≥0
x −2 ≤0
，作出可行域如图，
联立x = 2
x −2y + 4 = 0，解得A（2，3），x + y −2 = 0
x −2y + 4 = 0
可得B（0，2）
化目标函数z＝3x+y 为y＝﹣3x+z，
由图可知，当直线y＝﹣3x+z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，
z 有最大值为9．
当直线y＝﹣3x+z 过B 时，直线在y 轴上的截距最小，
z 有最小值为2．
则z＝3x+y 的最大值与最小值之差为：7．
故答案为：7．
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第741页（共926页）
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．（5 分）（兴宁区校级期末）设函数f（x）＝alnx−1
2 x2，（x＞0），若函数f（x）在x＝1 处与直线y=−1
2相切，则
a＝
1
．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，利用切线的斜率，列出方程求解即可．
【解答】解：f(x) = alnx −1
2 x2 ⇒f'(x) = a
x −x，
由题意函数f（x）在x＝1 处与直线y=−1
2相切，
知y＝f（x）在x＝1 处导数值为0，
解之得a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想的应用．
15．（5 分）（兴宁区校级期末）△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对的边为a、b、c，已知∠A＝60°，a =
13，c = 4，
则b＝
1 或3
．
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；49：综合法；58：解三角形．
【分析】由已知及余弦定理即可解得b 的值．
【解答】解：∵∠A＝60°，a =
13，c = 4，
∴由余弦定理得13＝b2+16﹣8bcos60°，可得：b2﹣4b+3＝0，
∴解之得b＝1 或3．
故答案为：1 或3．
【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
16．（5 分）（兴宁区校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣x+k 在[﹣1，1]上有两个零点，则k 的取值范围是
[﹣1−1
e，
﹣1）
．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】设g（x）＝k，h（x）＝x﹣ex，则f（x）＝ex﹣x+k 在[﹣1，1]上有两个零点等价于g（x），h（x）在[﹣
1，1]内有两个交点．利用函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的最值，然后提出k 的范围．
【解答】解：设g（x）＝k，h（x）＝x﹣ex，则f（x）＝ex﹣x+k 在[﹣1，1]上有两个零点等价于g（x），h（x）
在[﹣1，1]内有两个交点．
令h'（x）＝1﹣ex＝0⇒x＝0，故h（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
∴h（x）max＝h（0）＝﹣1，h( −1) =−1 −1
e ，h(1) = 1 −e，易知h（﹣1）＞h（1）
故当h（﹣1）≤k＜f（0）时，满足题意．故−1 −1
e ≤k＜−1．
故答案为：[﹣1−1
e，﹣1）．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值已经函数的单调区间的判断，考查转化思想以及计算能力．
三、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10 分）（兴宁区校级期末）已知在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA＝0．
（1）求角A 的大小；
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第742页（共926页）
（2）若a = 2 5，b＝2，求△ABC 的面积S．
【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；58：解三角形．
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．
（2）利用余弦定理求出c 的值，然后求解三角形的面积．
【解答】解：（1）∵asinB+bcosA＝0，
∴sinAsinB+sinBcosA＝0 即sinB（sinA+cosA）＝0，
由于B 为三角形内角，
所以sinA+cosA＝0，
∴2sin(A + π
4 ) = 0 而A 为三角形内角，
∴A = 3π
4 ；
（2）在△ABC 中，由余弦定理得a2＝c2+b2﹣2cbcosA，
即20 = 4 + c2 −4c( −
2
2 )，解得c =−4 2（舍）或c = 2 2，
∴S = 1
2 bcsinA = 1
2 × 2 × 2 2 × 2
2 = 2．
【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．
18．（12 分）（兴宁区校级期末）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存
款（年底余额）如表：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
时间代号a，b
1
2
3
4
5
储蓄存款a＝14（千亿元）
5
6
7
8
10
（I）求y 关于t 的回归方程y
Ƹ = b
Ƹ
t+ a
Ƹ ；
（II）用所求回归方程预测该地区2019 年（t＝7）的人民币储蓄存款．
附：回归方程b＝2 中
b
^
=
i=1
n
σ
(xi−x)(yi−y)
i=1
n
σ
(xi−x)2
=
i=1
n
σ
xiyi−nxy
i=1
n
σ
xi
2−nx2
a
^ = y −b
^
x
．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．
【分析】（I）由表中数据计算平均数，求出回归系数，写出回归方程；
（Ⅱ）将t＝7 代入回归方程，计算y
Ƹ 的值即可．
【解答】解：（I）由表中数据计算t = 1
5 ×（1+2+3+4+5）＝3，
y = 1
5 ×（5+6+7+8+10）＝7.2；
b
Ƹ
= 1×5+2×6+3×7+4×8+5×10−5×3×7.2
12+22+32+42+52−5×32
=1.2，
∴a
Ƹ = y −b
Ƹ
t =7.2﹣1.2×3＝3.6；
∴y 关于t 的回归方程为y
Ƹ =1.2t+3.6；
（Ⅱ）将t＝7 代入回归方程得，
y
Ƹ =1.2×7+3.6＝12；
可预测该地区2019 年的人民币储蓄存款为12（千亿元）．
【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．
19．（12 分）（兴宁区校级期末）已知正项等比数列{an}中，a1+a2＝6，a4﹣a2＝12．
（I）求{an}的通项公式；
（II）设bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n 项和Sn．
【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）利用等比数列通项公式列出方程组，求出a1＝2，q＝2，由此能求出{an}的通项公式．
（II）求出bn = anlog2an = n ⋅2n，由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前n 项和．
【解答】解：（I）∵正项等比数列{an}中，a1+a2＝6，a4﹣a2＝12．
∴由已知得：a1 + a1q = 6，a1q3 −a1q = 12，…．（2 分）
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第743页（共926页）
解得a1＝2，q＝2…．（4 分）
故an = a1qn−1 = 2n⋯．（6 分）
（II）∵bn = anlog2an = n ⋅2n …．（8 分）
∴数列{bn}的前n 项和：
Sn＝2+2•22+3•23+…+n•2n，①
2Sn = 22 + 2 ⋅23 + 3 ⋅24 + ⋯+ n ⋅2n+1，②…．（10 分）
①﹣②，得：﹣Sn＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1
= 2(1−2n)
1−2
−n•2n+1
＝（1﹣n）•2n+1﹣2，…．（11 分）
∴Sn = (n −1)2n+1 + 2．…．（12 分）
【点评】本题考查数列通项公式、数列的前n 项和的求法，考等比数列、错位相减求和法等基础知识，考查运算
求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20．
（12 分）（兴宁区校级期末）如图，在三棱锥S﹣ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC＝90°，
O 为BC 中点．
（1）证明：SO⊥平面ABC；
（2）（理科）求二面角A﹣SC﹣B 的余弦值．
（文科）若AB＝2，求三棱锥A﹣SBC 的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）由题设知AB＝AC＝SB＝SC＝SA，连结OA，推导出SO⊥BC，SO⊥AO，由此能证明SO⊥平面
ABC．
（2）（理科）几何法：取SC 的中点M，连结AM，OM，则OM⊥SC，AM⊥SC，∠OMA 为二面角A﹣SC﹣B
的平面角，由此能求出二面角A﹣SC﹣B 的余弦值．
向量法：以O 为原点，OB 为x 轴，OA 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A
﹣SC﹣B 的余弦值．
（2）（文科）三棱锥A﹣SBC 的体积VA﹣SBC＝VS﹣ABC．
【解答】证明：（1）由题设知AB＝AC＝SB＝SC＝SA，
连结OA，△ABC 为等腰直角三角形，
∴OA＝OB＝OC=
2
2 SA，且AO⊥BC，
又△SBC 为等腰三角形，故SO⊥BC，且SO=
2
2 SA，
从而OA2+SO2＝SA2．
∴△SOA 为直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO＝O．
∴SO⊥平面ABC．
解：（2）（理科）（法一：几何法）：取SC 的中点M，连结AM，OM，
由（1）知SO＝OC，SA＝AC．得OM⊥SC，AM⊥SC．
∴∠OMA 为二面角A﹣SC﹣B 的平面角．
由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC＝O 得AO⊥平面SBC．
∴AO⊥OM．
又AM=
3
2 SA，
故sin∠AMO= AO
AM =
2
3 =
6
3 ，cos∠AMO=
3
3 ，
∴二面角A﹣SC﹣B 的余弦值为
3
3 ．
（法二：向量法）：以O 为原点，OB 为x 轴，OA 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则A（0，2，0），B（2，0，0），C（−
2，0，0），S（0，0，2），
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第744页（共926页）
SA
→
=（0，2，−
2），SB
→
=（2，0，−
2），SC
→
=（−
2，0，−
2），
设平面SAB 的法向量n
→=（x，y，z），
则n
→⋅SA
→
=
2y −
2z = 0
n
→⋅SB
→
=
2x −
2z = 0
，取x＝1，得n
→=（1，1，1），
设平面SBC 的法向量m
→=（0，1，0），
设二面角A﹣SC﹣B 的平面角为θ，
则cosθ= |m
→⋅n
→|
|m
→|⋅|n
→|
= 1
3 =
3
3 ．
∴二面角A﹣SC﹣B 的余弦值为
3
3 ．
（2）（文科）∵AB＝2，∴S△BAC = 1
2 × AB × AC = 1
2 × 2 × 2 =2，
SO=
2
2 SA=
2，
∴三棱锥A﹣SBC 的体积：
VA﹣SBC＝VS﹣ABC= 1
3 ×
2 × 2 = 2 2
3 ．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、
线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、
函数与方思想、数形结合思想，是中档题．
21．（12 分）（兴宁区校级期末）已知椭圆C：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0），A（0，2），且|AF|=
7，
椭圆C 的离心率为
3
2 ．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设直线l 的方程为y＝kx+m，当直线l 与椭圆C 有唯一公共点M 时，作OH⊥l 于H（O 为坐标原点），若
|MH|= 3
5|OM|，求k 的值．
【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；34：方程思想；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由已知|AF|=
7，可得c2 + 4 =
7，求得c，再由椭圆离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭
圆方程可求；
（2）设M 为（x0，y0），由|MH|= 3
5|OM|，利用勾股定理得|OH|= 4
5|OM|，联立直线方程与椭圆方程，由判别式为
0 可得m 与k 的关系，并求出M 的坐标，得到|OM|，再由点到直线的距离公式求得|OH|，代入|OH|= 4
5|OM|即可
求得k 值．
【解答】解：（1）由F（c，0），A（0，2），且|AF|=
7，得
c2 + 4 =
7，解得c=
3，
又
c
a =
3
2 ，∴a＝2，则b2＝a2﹣c2＝1，
故椭圆C 的标准方程为：
x2
4 + y2 = 1；
（2）设M（x0，y0），由|MH|= 3
5|OM|，知|OH|= 4
5|OM|，
联立
y = kx + m
x2
4 + y2 = 1，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0．
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令△＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＝0，得m2＝1+4k2，
且x02 = 4m2−4
1+4k2 = 16k2
1+4k2，y02 = 1 −x02
4 =
1
1+4k2，
∴|OM|2 = x02 + y02 = 1+16k2
1+4k2 ，
由点到直线距离公式可得|OH|=
|m|
1+k2．
则|OH|2 = m2
1+k2 = 1+4k2
1+k2 ，
由|OH|= 4
5|OM|，得|OH|2= 16
25|OM|2，即16k4﹣8k2+1＝0，
解得：k2 = 1
4，k=± 1
2．
【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
22．（12 分）（兴宁区校级期末）已知函数f（x）＝excosx．
（I）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（II）若对任意x ∈[ −π
2 ，0]，不等式xsinx≤f（x）﹣m 恒成立，求实数m 的取值范围．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（I）求出f（0）＝1，f'（x）＝excosx﹣exsinx，f'（0）＝1，利用导数性质能求出曲线y＝f（x）在点（0，
f（0））处的切线方程．
（II）对任意x ∈[ −π
2 ，0]，不等式xsinx≤f（x）﹣m 恒成立，等价于对任意x ∈[ −π
2 ，0]，m≤（excosx﹣xsinx）
min，设h（x）＝excosx﹣xsinx，x ∈[ −π
2 ，0]，则h′（x）＝（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，利用导数性质能求
出实数m 的取值范围．
【解答】解：（I）∵f（x）＝excosx，∴f（0）＝1…（2 分）
f'（x）＝excosx﹣exsinx，f'（0）＝1…（4 分）
∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x+1．…（5 分）
（II）对任意x ∈[ −π
2 ，0]，不等式xsinx≤f（x）﹣m 恒成立，
等价于对任意x ∈[ −π
2 ，0]，m≤（excosx﹣xsinx）min…（6 分）
设h（x）＝excosx﹣xsinx，x ∈[ −π
2 ，0]
则h′（x）＝excosx﹣exsinx﹣sinx﹣xcosx＝（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，…（8 分）
∵x ∈[ −π
2 ，0]，∴（ex﹣x）cosx≥0，（ex+1）sinx≤0，…（10 分）
∴h′（x）＞0，故h（x）在[ −π
2 ，0]单调递增，
∴h(x)min = h( −π
2 ) =−π
2，∴m ≤−π
2，
∴实数m 的取值范围是（﹣∞，−π
2]．…（12 分）
【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查实数的取值范围的求不法，考查导数性质、导数的几何意义、函
数的单调区间、函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
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考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p 则q”为真时，可表示为p⇒q，称p 为q 的充分条件，q 是p 的必要条件．事实上，与“p⇒q”
等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q 不成立，则p 一定不成立．这就是说，q 对于p 是必不可少的，
所以说q 是p 的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p 一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p 是q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，
记作“p⇔q”．p 与q 互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证
明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆
二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q 为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；
②若p⇒q 为假命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；
③若p⇒q 为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④若p⇒q 为假命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多
以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否
则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真
假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能
判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P 的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个
命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即
可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命
题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在
性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存
在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，
有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关
键
词
等
于
（＝）
大
于
（＞）
小
于
（＜）
是
能
都
是
没
有
至
多
有
一
个
至
少
有
一
个
至
少
有
n
个
至
多
有
n
个
任
意
的
任
两
个
P
且
Q
P
或
Q
否
定
词
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）
不
是
不
能
不
都
是
至
少
有
一
个
至
少
有
两
个
一
个
都
没
有
至
多
有
n﹣1
个
至
少
有
n+1
个
某
个
某
两
个
¬P
或
¬Q
¬P
且
¬Q
若原命题P 为真，则¬P 必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同
假．
3．变化的快慢与变化率
【知识点的知识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x 由x1 变化到x2 时，其函数y＝f（x）
的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为
f(x2)−f(x1)
x2−x1
．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函
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数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变
量的改变量之比，即
△y
△x =
f(x2)−f(x1)
x2−x1
．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：
△y
△x =
f(x1+△x)−f(x1)
△x
．当△x 趋于0 时，平均变化率就趋于函数在x1 点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一
点的变化率．
3、导数的概念：
函数f（x）在x＝x0 处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0 处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）= lim
x→0
f(x0+△x)−f(x0)
△x
= lim
x→0
△y
△x
【典例例题分析】
典例1：一质点的运动方程是s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（
）
A．3△t+6
B．﹣3△t+6
C．3△t﹣6
D．﹣3△t﹣6
分析：分别求出经过1 秒种的位移与经过1+△t 秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度＝位移÷时间，建
立等式关系即可．
解：V = [5−3(1+△t)2]−[5−3×12]
△t
=−6 −3 △t，
故选D．
点评：本题考查函数的平均变化率公式：
f(x+△x)−f(x)
△x
．注意平均速度与瞬时速度的区别．
典例2：一质点运动的方程为s＝8﹣3t2．
（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；
（2）求质点在t＝1 时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．
分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题．在解答时：
（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为
△s
△t进行计算即可获得问题的解答；
（2）定义法：即对平均速度为
△s
△t当△t 趋向于0 时求极限即可获得解答；求导法：t＝1 时的瞬时速度即s＝8﹣3t2
在t＝1 处的导数值，故只需求t＝1 时函数s＝8﹣3t2 的导函数值即可获得问题的解答．
解答：由题意可知：
（1）∵s＝8﹣3t2
∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，
∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：v = △s
△t =−6 −3 △t．
（2）定义法：质点在t＝1 时的瞬时速度为v = lim
△t→0
△s
△t = lim
△t→0( −6 −3 △t) =−6．
求导法：质点在t 时刻的瞬时速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，
∴当t＝1 时，v＝﹣6×1＝﹣6．
点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移s 与时间t 的关系式求导可得瞬时速
度与时间t 的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求．值
得同学们体会和反思．
【解题方法点拨】
瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当△t→0 时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
函数y＝f（x）在x＝x0 处的导数特别提醒：
①当△x→0 时，比值
△y
△x的极限存在，则f（x）在点x0 处可导；若
△y
△x的极限不存在，则f（x）在点x0 处不可导或
无导数．
②自变量的增量△x＝x﹣x0 可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y 可正可负，也
可以为0．
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③在点x＝x0 处的导数的定义可变形为：
f′（x0）= lim
△x→0
f(x−△x)−f(x)
−△x
或f′（x0）= lim
x→0
f(x)−f(x0)
x−x0
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）= lim
△x→0
f(x−△x)−f(x)
−△x
；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0 处的函数值即为函数f（x）
在点x0 处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
4．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集
的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集
的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确
定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（
）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x) = x3 + x2[f'(x) +
m
2 ]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
ln2
2 ×
ln3
3 ×
ln4
4 × ⋯×
lnn
n ＜
1
n (n ≥2，n ∈N∗)．
解：（Ⅰ）f'(x) = a(1−x)
x
(x＞0)（2 分）
当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）
（Ⅱ）f'(2) =−a
2 = 1 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
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∴g(x) = x3 + ( m
2 + 2)x2 −2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g'(t)＜0
g'(3)＞0
(8 分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0 恒成立，
所以有：
g'(1)＜0
g'(2)＜0
g'(3)＞0
，∴−37
3 ＜m＜−9（10 分）
（Ⅲ）令a＝﹣1 此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1 对一切x∈（1，+∞）成立，（12 分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnn
n ＜n−1
n
∴
ln2
2 ⋅
ln3
3 ⋅
ln4
4 ⋅⋅
lnn
n ＜
1
2 ⋅
2
3 ⋅
3
4 ⋅⋅
n−1
n
=
1
n (n ≥2，n ∈N∗)
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完
全类似）．即在区间内f′（x）＞0 是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
5．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说
f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y 极大值＝f（x0），x0 是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f
（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y 极小值＝f（x0），x0 是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不
意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能
在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0 满足f′（x0）＝0，且在x0 的两侧f（x）的导数异号，则x0 是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′
（x）在x0 两侧满足“左正右负”，则x0 是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0 两侧满足“左
负右正”，则x0 是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0 的根；
（3）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左
右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极
小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
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（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
6．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函
数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）= 1
x在（0，+∞）内连
续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函
数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点
时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
7．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导
数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在
解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率
的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1 处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1 时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线
方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
8．简单线性规划
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【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简
单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的
主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y 中变量x，y 满足约束条件
x + 2y ≤8
0 ≤x ≤4
0 ≤y ≤3
．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S= 1
2 BC ⋅AB = 1
2 × 1 × 2 = 1．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最小，
此时z 最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最大，
此时z 最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，
然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k 的值是
（
）
A．
7
3
B．
3
7
C．
4
3
D．
3
4
分析：画出平面区域，显然点（0，
4
3）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，
4
3），结合图形寻找直线平分平面
区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx+ 4
3过定点（0，
4
3）．因此只有直线过AB 中点时，直线y＝kx+ 4
3能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB 中点D（
1
2，
5
2）．
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当y＝kx+ 4
3过点（
1
2，
5
2）时，
5
2 =
k
2 +
4
3，所以k= 7
3．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多
个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y 满足约束条件：
，求z＝x+y 的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0 来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再
将直线l0 平移，当l0 的平行线l1 过点B 时，可使z＝x+y 达到最小值；当l0 的平行线l2 过点A 时，可使z＝x+y 达
到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50 亩，投入资金不超过54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产
量、成本和售价如下表：
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4 吨
1.2 万元
0.55 万元
韭菜
6 吨
0.9 万元
0.3 万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别
为（
）
A．50，0
B．30，20
C．20，30
D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为
线性规划问题．
解析
设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，则由题意可知
x + y ≤50
1.2x + 0.9y ≤54
x，y ∈N+
求目标函数z＝x+0.9y 的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l 向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30 亩，韭菜种植20 亩
时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束
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条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A 点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y 满足
，则
y
x的最大值为
．
（2）已知O 是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上
的一个动点，则|OA
→
+ OM
→
|的最
小值是
．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的
几何意义来完成．
解答：（1）
y
x表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，
3
2）处取到最大值．
（2）依题意得，OA
→
+ OM
→
=（x+1，y），|OA
→
+ OM
→
|=
(x + 1)2 + y2可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，
在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直
线x+y＝2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|OA
→
+ OM
→
|的最小值是
|−1+0−2|
2
=
3 2
2 ．
故答案为：（1）
3
2（2）
3 2
2 ．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）x2 + y2表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）(x −a)2 + (y −b)2表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）
y
x表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）
y−b
x−a表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距
z
b的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b＞0 时，截距
z
b取最大值时，z 也取最大值；截
距
z
b取最小值时，z 也取最小值；当b＜0 时，截距
z
b取最大值时，z 取最小值；截距
z
b取最小值时，z 取最大值．
9．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b 解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．
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（4）指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．
注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：
10．数列的函数特性
【知识点的认识】
1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n 项和公式Sn＝na1+ 1
2n（n﹣1）d 或者Sn= n(a1+an)
2
2、等比数列的通项公式：an＝a1qn﹣1；前n 项和公式Sn= a1(1−qn)
1−q
= a1−anq
1−q （q≠1）
3、用函数的观点理解等差数列、等比数列
（1）对于等差数列，
an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0 时，an 是n 的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点．当
d＞0 时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0 时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0
时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．
若等差数列的前n 项和为Sn，则Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0 时，{an}为常数列；当p≠0 时，可用二次函数的
方法解决等差数列问题．
（2）对于等比数列：
an＝a1qn﹣1．可用指数函数的性质来理解．
当a1＞0，q＞1 或a1＜0，0＜q＜1 时，等比数列是递增数列；
当a1＞0，0＜q＜1 或a1＜0，q＞1 时，等比数列{an}是递减数列．
当q＝1 时，是一个常数列．
当q＜0 时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．
【典型例题分析】
典例1：数列{an}满足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4 恒成立，则实数k 的取值范围是（
）
A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）
解：an＝n2+kn+2= (n + k
2 )2 + 2 −k2
4 ，
∵不等式an≥a4 恒成立，
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∴3.5 ≤−k
2 ≤4.5，
解得﹣9≤k≤﹣7，
故选：B．
典例2：设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n 项和为Sn，若数列{ Sn}也为等差数列，则
Sn+10
an
2 的最大
值是（
）
A．310
B．212
C．180
D．121
解：∵等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），设公差为d，则an＝1+（n﹣1）d，
其前n 项和为Sn= n[1+1+(n−1)d]
2
，
∴Sn =
n[2+(n−1)d]
2
，
S1 =1，S2 =
2 + d，S3 =
3 + 3d，
∵数列{ Sn}也为等差数列，
∴2 S2 =
S1 +
S3，
∴2 2 + d =1+
3 + 3d，
解得d＝2．
∴Sn+10＝（n+10）2，
an
2 =（2n﹣1）2，
∴
Sn+10
an
2
= (
n+10
2n−1 )2 = (
1
2 +
21
4n−2 )2，
由于{( 1
2 +
21
4n−2 )2}为单调递减数列，
∴
Sn+10
an
2
≤
S11
a1
2 =112＝121，
故选：D．
11．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等
差数列的公差，公差常用字母d 表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n 项和公式为：Sn＝na1+ d
2n
（n﹣1）或Sn= n(a1+an)
2
（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m 都为自然数）
例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an 且a3，a6 为方程x2﹣10x+16＝0 的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268 是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268 是此数列的第136 项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n
﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要
你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq 是数列中的项，特别地，当s+t＝2p 时，
有
as+at＝2ap；
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（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k 均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1 仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
12．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法
包括：
（1）公式法：
①等差数列前n 项和公式：Sn＝na1+ 1
2n（n﹣1）d 或Sn= n(a1+an)
2
②等比数列前n 项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n 项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{
1
anan+1
}的前n 项和，其中{an}为各项不为0 的等差数列，即
1
anan+1
=
1
d（
1
an
−
1
an+1
）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就
可以得到n 个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数
列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n 项和为Sn．
（Ⅰ）求an 及Sn；
（Ⅱ）令bn=
1
an2−1（n∈N*），求数列{bn}的前n 项和Tn．
分析：形如{
1
等差×等差}的求和，可使用裂项相消法如：
1
1×3 +
1
3×5 +
1
5×7 + ⋯+
1
99×100 =
1
2 {(1 −
1
3 ) + (
1
3 −
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1
5 ) + (
1
5 −
1
7 ) + ⋯+ (
1
99 −
1
100 )} =
99
200．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴a1 + 2d = 7
2a1 + 10d = 26，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn= 3n + n(n−1)
2
× 2 =n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn=
1
an2−1 =
1
(2n+1)2−1 = 1
4 ⋅
1
n(n+1) = 1
4 ⋅( 1
n −
1
n+1 )，
∴Tn= 1
4 ⋅(1 −1
2 + 1
2 −1
3 + ⋯+ 1
n −
1
n+1 ) = 1
4 ⋅(1 −
1
n+1 ) =
n
4(n+1)，
即数列{bn}的前n 项和Tn=
n
4(n+1)．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等
差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
13．线性回归方程
【概念】
线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法
之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在
回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性
回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回
归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据
得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．
【实例解析】
例：对于线性回归方程y
Ƹ = 1.5x + 45，x1 ∈{1，7，5，13，19}，则y =
解：x = 1+7+5+13+19
5
= 9，因为回归直线必过样本中心（x，y），
所以y = 1.5 × 9 + 45 = 13.5 + 45 = 58.5．
故答案为：58.5．
方法就是根据线性回归直线必过样本中心（x，y），求出x，代入即可求y．这里面可以看出线性规划这类题解题方
法比较套路化，需要熟记公式．
【考点点评】
这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．
14．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通
过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是
1
n；
如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率为P（A）= m
n = A 中所含的基本事件数
基本事件总数
．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n 与事件A 中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
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（3）事件A 是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）= m
n求出事件A 的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
15．程序框图
【知识点的知识】
1．程序框图
（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法
的图形；
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不
可缺少的．
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何
需要输入、输出的位置．
处理框
赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，
它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”
或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．
流程线
算法进行的前进方向以及先后顺序
连结点
连接另一页或另一部分的框图
注释框
帮助编者或阅读者理解框图
（3）程序框图的构成．
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．
16．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC =2R
（R 是△ABC 外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA= a
2R，sinB= b
2R，sinC= c
2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA= b2+c2−a2
2bc
，
cosB= a2+c2−b2
2ac
，
cosC= a2+b2−c2
2ab
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条
边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和
其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
两角
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在△ABC 中，已知a，b 和角A 时，解的情况
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A 为锐角时，a＜bsinA，无解．当A 为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S= 1
2a•ha（ha 表示边a 上的高）；
2．S= 1
2absinC= 1
2acsinB= 1
2bcsinA．
3．S= 1
2r（a+b+c）（r 为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的
知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的
问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边
长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用
正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相
关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线
在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
17．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC =2R
（R 是△ABC 外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A= a
2R，sin B= b
2R，sin C= c
2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝
csin A
cos A= b2+c2−a2
2bc
，
cos B= a2+c2−b2
2ac
，
cos C= a2+b2−c2
2ab
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条
边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边
和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
两角
【正余弦定理的应用】
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1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的
知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的
问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边
长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用
正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相
关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线
在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
18．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S= 1
2a•ha（ha 表示边a 上的高）；
②S= 1
2absinC= 1
2acsinB= 1
2bcsinA．
③S= 1
2r（a+b+c）（r 为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不
重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
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第761页（共926页）
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
19．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
20．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
21．直线与椭圆的综合
v．
22．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V 柱＝sh，V 锥= 1
3Sh．
23．直线与平面垂直
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【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l 和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l 叫
做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l 和平面α，l⊥α⇔l 垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
24．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部
分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣
Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，
则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的
另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所
成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为u
→和v
→，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜u
→，v
→＞≤π
2，θ= ＜u
→，v
→＞，此时cosθ＝cos＜u
→，v
→＞=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|．
（2）当
π
2 ＜＜u
→，v
→＞≤π时，θ＝cos（π−＜u
→，v
→＞）＝﹣cos＜u
→，v
→＞=−=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
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2018-2019 学年广东省深圳中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．
1．（5 分）（罗湖区校级期末）如图是2017 年深圳市各月平均气温（℃）数据的折线图，则平均最低气温的中位数
是（
）
A．20
B．21
C．25.5
D．26
2．（5 分）（罗湖区校级期末）如果数据x1，x2，…xn 的平均数为x，方差为s2，则4x1+3，4x2+3，…4xn+3 的平均
数和方差为（
）
A．x，s
B．4x +3，s2
C．x，16s2
D．4x +3，16s2
3．（5 分）（罗湖区校级期末）下列各组事件中，不是互斥事件的是（
）
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8 与命中环数小于6
B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90 分与平均分数不高于90 分
C．播种菜籽100 粒，发芽90 粒与发芽80 粒
D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%
4．（5 分）（罗湖区校级期末）从N 个编号中要抽取n 个号码入样，若采用系统抽样方法抽取，则分段间隔应为（[
N
n]
表示
N
n的整数部分）（
）
A．
N
n
B．n
C．[
N
n]
D．[
N
n]+1
5．（5 分）（2015•大连模拟）已知x，y 的取值如下表所示：
x
2
3
4
y
6
4
5
如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为y
Ƹ = bx + 13
2 ，则b＝（
）
A．−1
2
B．
1
2
C．−1
10
D．
1
10
6．（5 分）（2011•祁阳县校级模拟）下列结论正确的是（
）
①函数关系是一种确定性关系；
②相关关系是一种非确定性关系；
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；
④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
7．（5 分）（罗湖区校级期末）极坐标方程（p﹣π）（θ﹣1）＝0（ρ≥0）表示的图形是（
）
A．两个圆
B．两条直线
C．一个圆和一条射线
D．一条直线和一条射线
8．（5 分）（罗湖区校级期末）方程x = 3m + 3−m
y = 3m −3−m（m 为参数）表示的曲线是（
）
A．双曲线
B．双曲线的左支
C．双曲线的右支
D．圆
9．（5 分）（罗湖区校级期末）执行如图的程序框图，则输出S 的值为（
）
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A．
1
3
B．−1
2
C．2
D．﹣3
10．（5 分）（罗湖区校级期末）任取一个三位正整数N，对数log2N 是一个正整数的概率是（
）
A．
1
225
B．
3
899
C．
1
300
D．
1
450
11．（5 分）（罗湖区校级期末）在极坐标系中，设圆C：p＝4sinθ与直线1：θ= π
4（ρ∈R）交于A，B 两点，则以线
段AB 为直径的圆的极坐标方程为（
）
A．ρ＝2 2sin（θ+ π
4）
B．ρ＝2 2sin（θ−π
4）
C．ρ＝2 2cos（θ+ π
4）
D．ρ＝2 2cos（θ−π
2）
12．（5 分）（2015•合肥模拟）已知点P（x，y）在曲线x =−2 + cosθ
y = sinθ
（θ为参数，且θ∈[π，2π））上，则点P 到直
线x = 2 + t
y =−1 −t (t 为参数）的距离的取值范围是（
）
A．[−3 2
2 ，
3 2
2 ]
B．[
3 2
2
−1，
3 2
2
+1]
C．（2，2 2]
D．（2，
3 2
2
+1]
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分
13．（5 分）（罗湖区校级期末）为了在执行下面的程序框图后输出x＝20，y＝18，键盘输入的x，y 应该是
．
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14．（5 分）（罗湖区校级期末）某高校调查了200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分
布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），
[27.5，30]，根据直方图，这200 名学生中每周的自习时间不足22.5 小时的人数是
．
15．（5 分）（罗湖区校级期末）已知在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD 是正方形，PA＝AB＝2，
在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O﹣ABCD 的体积不小于
2
3的概率为
．
16．（5 分）（罗湖区校级期末）抛物线x2＝2py（p＞0）上一点A（3，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为
13
4 ，点
A 关于y 轴的对称点为B，O 为坐标原点，△OAB 的内切圆与OA 切于点E，点F 为内切圆上任意一点，则OE
→
⋅OF
→
的取值范围为
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）（罗湖区校级期末）为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展《中国汉
宁听写大会》的活动，未响应学校号召，某班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8 次成绩画出茎叶图，如图所
示，甲的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用a 表示．
（1）假设a＝5，现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从稳定性的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？
（2）假设数字a（a≥3）的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．
18．（12 分）（2017•重庆模拟）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
x =−1 + tcosα
y = 1
2 + tsinα
（t 为参数），以坐标原
点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2 =
4
4sin2θ+cos2θ．
（1）写出曲线C 的直角坐标方程；
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（2）已知点P 的直角坐标为( −1，1
2 )，直线l 与曲线C 相交于不同的两点A，B，求|PA|•|PB|的取值范围．
19．（12 分）（罗湖区校级期末）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，侧面PAB 为等边三角
形，侧棱PC = 2 2．
（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（2）求二面角B﹣AP﹣C 的余弦值．
20．（12 分）（2018•洛阳一模）设O 为坐标原点，已知椭圆C1：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的离心率为
3
2 ，抛物线C2：
x2＝﹣ay 的准线方程为y= 1
2．
（1）求椭圆C1 和抛物线C2 的方程；
（2）设过定点M（0，2）的直线t 与椭圆C1 交于不同的两点P，Q，若O 在以PQ 为直径的圆的外部，求直线
t 的斜率k 的取值范围．
21．（12 分）（2012•黄州区校级二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AB＝BC＝2AA1，∠ABC＝90°，D
是BC 的中点．
（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；
（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C 的余弦值；
（Ⅲ）试问线段A1B1 上是否存在点E，使AE 与DC1 成60°角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．
22．（12 分）（罗湖区校级期末）设双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1，其虚轴长为2 2，且离心率为5．
（1）求双曲线C 的方程；
（2）过点P（3，1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A、B，在线段AB 上取点M 使得
|AM|
|MB| =
|AP|
|PB|，
证明：点M 落在某一定直线上；
（3）在（2）的条件下，且点M 不在直线OP 上，求△OPM 面积的取值范围．
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2018-2019 学年广东省深圳中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．
1．（5 分）（罗湖区校级期末）如图是2017 年深圳市各月平均气温（℃）数据的折线图，则平均最低气温的中位数
是（
）
A．20
B．21
C．25.5
D．26
【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；5I：概率与统计．
【分析】当数据个数为偶数时中位数为中间两个的平均数．
【解答】解：将气温从小到大排列为12，13，15，16，17，20，22，23，24，25，26，26，
中位数为中间两个的平均数，即
1
2（20+22）＝21，
故选：B．
【点评】本题考查了中位数的定义，属于基础题．
2．（5 分）（罗湖区校级期末）如果数据x1，x2，…xn 的平均数为x，方差为s2，则4x1+3，4x2+3，…4xn+3 的平均
数和方差为（
）
A．x，s
B．4x +3，s2
C．x，16s2
D．4x +3，16s2
【考点】BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】利用平均数、方差的性质直接求解．
【解答】解：∵数据x1，x2，…xn 的平均数为x，方差为s2，
∴4x1+3，4x2+3，…4xn+3 的平均数为4x1 + 3，
方差为16s2．
故选：D．
【点评】本题考查平均数、方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5 分）（罗湖区校级期末）下列各组事件中，不是互斥事件的是（
）
A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8 与命中环数小于6
B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90 分与平均分数不高于90 分
C．播种菜籽100 粒，发芽90 粒与发芽80 粒
D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%
【考点】C4：互斥事件与对立事件．菁优网版权所有
【专题】21：阅读型．
【分析】本题考查的是互斥事件的定义，由互斥事件的定义：如A∩B 为不可能事件（A∩B＝∅），那么称事件
A 与事件B 互斥，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生．我们对四个答案逐一进行分析，
即可得到结论．
【解答】解：A 中，一个射手进行一次射击，命中环数大于8 与命中环数小于6，不可能同时发生，故A 中两事
件为互斥事件．
B 中，当平均分等于90 分时，两个事件同时发生，故B 中两事件不为互斥事件．
C 中，播种菜籽100 粒，发芽90 粒与发芽80 粒，不可能同时发生，故C 中两事件为互斥事件．
D 中，检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%，不可能同时发生，故C 中两事件为互斥事件．
故选：B．
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第769页（共926页）
【点评】概念分析题关键是要熟练掌握概念的核心，如本题中：如A∩B 为不可能事件（A∩B＝∅），那么称事
件A 与事件B 互斥，其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生．不能同时发生就是概念的核
心．
4．（5 分）（罗湖区校级期末）从N 个编号中要抽取n 个号码入样，若采用系统抽样方法抽取，则分段间隔应为（[
N
n]
表示
N
n的整数部分）（
）
A．
N
n
B．n
C．[
N
n]
D．[
N
n]+1
【考点】B4：系统抽样方法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4G：演绎法；5I：概率与统计．
【分析】按照系统抽样的法则，抽样的间隔应是个体总数除以样本容量，当此比值不是整数时，抽样间隔就取此
比值的整数部分．
【解答】解：从N 个编号中抽n 个号码入样，按照系统抽样的规则，
N
n为整数时，分段的间隔为
N
n，
N
n不是整数时，分段的间隔为[
N
n]．
故选：C．
【点评】本题考查系统抽样方法，是一个基础题，这种题目的关键是熟悉整个抽样过程．抽样的间隔是个体总数
除以样本容量这个比值的整数部分．
5．（5 分）（2015•大连模拟）已知x，y 的取值如下表所示：
x
2
3
4
y
6
4
5
如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为y
Ƹ = bx + 13
2 ，则b＝（
）
A．−1
2
B．
1
2
C．−1
10
D．
1
10
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】估计条件中所给的三组数据，求出样本中心点，因为所给的回归方程只有b 需要求出，利用待定系数法
求出b 的值，得到结果．
【解答】解：∵线性回归方程为y
Ƹ = bx + 13
2 ，
又∵线性回归方程过样本中心点，
x = 2+3+4
3
= 3，y = 6+4+5
3
= 5
∴回归方程过点（3，5）
∴5＝3b+ 13
2 ，
∴b=−1
2
故选：A．
【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点满足回归方程，考查待定系数法求字母系数，是一个基础题，
这种题目一旦出现是一个必得分题目．
6．（5 分）（2011•祁阳县校级模拟）下列结论正确的是（
）
①函数关系是一种确定性关系；
②相关关系是一种非确定性关系；
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；
④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
【考点】BP：回归分析．菁优网版权所有
【专题】21：阅读型．
【分析】本题是一个对概念进行考查的内容，根据相关关系的定义与回归分析的统计意义进行判断．
【解答】解：①函数关系是一种确定性关系，这是一个正确的结论．
②相关关系是一种非确定性关系，是一个正确的结论．
③回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，所以③不对．
与③对比，依据定义知④是正确的，
故选：C．
【点评】本题的考点是相关关系，对本题的正确判断需要对相关概念的熟练掌握．
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7．（5 分）（罗湖区校级期末）极坐标方程（p﹣π）（θ﹣1）＝0（ρ≥0）表示的图形是（
）
A．两个圆
B．两条直线
C．一个圆和一条射线
D．一条直线和一条射线
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．
【分析】直接利用转换关系，把极坐标方程转换为直角坐标方程即可．
【解答】解：极坐标方程（ρ﹣π）（θ﹣1）＝0，
则：ρ＝π或θ＝1，
所以：转换为直角坐标方程为：x2+y2＝π2 或y＝tan1x，
由于：ρ≥0，
故表示的图形为一个圆和一条射线．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转
化能力，属于基础题型．
8．（5 分）（罗湖区校级期末）方程x = 3m + 3−m
y = 3m −3−m（m 为参数）表示的曲线是（
）
A．双曲线
B．双曲线的左支
C．双曲线的右支
D．圆
【考点】QM：双曲线的参数方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程．
【分析】消去参数m，把参数方程化为普通方程．从而求得该方程表示的曲线是什么．
【解答】解：消去参数m，方程x = 3m + 3−m
y = 3m −3−m可化为x2﹣y2＝4，其中x≥2；
该方程表示焦点在x 轴上的等轴双曲线的右支．
故选：C．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程的应用问题，是基础题．
9．（5 分）（罗湖区校级期末）执行如图的程序框图，则输出S 的值为（
）
A．
1
3
B．−1
2
C．2
D．﹣3
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列；5K：算法和程序框图．
【分析】直接利用程序框图的循环结构和数列的周期求出结果．
【解答】解：在执行循环前：S＝2，i＝1，
执行第一次循环：S＝﹣3，i＝2
执行第二次循环时S=−1
2，i＝3，
执行第三次循环时S= 1
3，i＝4，
执行第四次循环时S＝2，i＝5
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…
由于周期为4，
当i＝2018 时，输出S=−1
2，
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：程序按框图的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型
10．（5 分）（罗湖区校级期末）任取一个三位正整数N，对数log2N 是一个正整数的概率是（
）
A．
1
225
B．
3
899
C．
1
300
D．
1
450
【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】所有的三位正整数N 共有900 个，其中，使对数log2N 是一个正整数的三位正整数N 有3 个，由此求
得对数log2N 是一个正整数的概率．
【解答】解：所有的三位正整数N 共有900 个，其中，
使对数log2N 是一个正整数的三位正整数N 有27＝128、28＝256、29＝512，共3 个，
故对数log2N 是一个正整数的概率是
3
900 =
1
300，
故选：C．
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．
11．（5 分）（罗湖区校级期末）在极坐标系中，设圆C：p＝4sinθ与直线1：θ= π
4（ρ∈R）交于A，B 两点，则以线
段AB 为直径的圆的极坐标方程为（
）
A．ρ＝2 2sin（θ+ π
4）
B．ρ＝2 2sin（θ−π
4）
C．ρ＝2 2cos（θ+ π
4）
D．ρ＝2 2cos（θ−π
2）
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．
【分析】首先把极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步求出圆心和半径，再把直角坐标方程转换为极坐标方程
即可．
【解答】解：圆C：p＝4sinθ转换为直角坐标方程为：x2+（y﹣2）2＝4，
直线1：θ= π
4（ρ∈R）转换为直角坐标方程为：y＝x，
由于直线与圆交于A，B 两点，
所以：x2 + (y −2)2 = 4
y = x
，
解得：x = 0
y = 0
或x = 2
y = 2
，
所以：以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为（1，1），半径为2，
故：圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，
转换为极坐标方程为：ρ＝2 2sin（θ+ π
4）．
故选：A．
【点评】1 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，
主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
12．（5 分）（2015•合肥模拟）已知点P（x，y）在曲线x =−2 + cosθ
y = sinθ
（θ为参数，且θ∈[π，2π））上，则点P 到直
线x = 2 + t
y =−1 −t (t 为参数）的距离的取值范围是（
）
A．[−3 2
2 ，
3 2
2 ]
B．[
3 2
2
−1，
3 2
2
+1]
C．（2，2 2]
D．（2，
3 2
2
+1]
【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】消去参数，转化为普通排除，利用点到直线的距离公式进行求解即可．
【解答】解：消去参数θ，得曲线的标准方程为（x+2）2+y2＝1，
∵θ∈[π，2π），∴﹣1≤cosθ＜1，即﹣3≤﹣2+cosθ＜﹣1，即﹣3≤x＜﹣1
其图象是圆心为（﹣2，0），半径为1 的圆的一部分，
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消去参数t 得直线的方程为x+y﹣1＝0，
则圆心到直线的距离加上半径为所求距离的最大值，
即圆心到直线的距离d= |−2−1|
2
= 3
2 = 3 2
2 ，
则距离的最大值为
3 2
2
+1，
点（﹣1，0）到直线的距离最小，
此时点（﹣1，0）到直线的距离d= |−1−1|
2
= 2
2 =
2，但取不到．
故点P 到直线的距离的取值范围是（2，
3 2
2
+1]，
故选：D．
【点评】本题主要考查点到直线的距离的计算，根据参数方程和普通方程之间的关系，转化为普通方程是解决本
题的关键．
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分
13．（5 分）（罗湖区校级期末）为了在执行下面的程序框图后输出x＝20，y＝18，键盘输入的x，y 应该是
x＝20，
y＝18
．
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5K：算法和程序框图．
【分析】直接利用程序框图的条件结构的应用求出结果．
【解答】解：利用程序框图：x＝20，y＝18，
由于x＜y 不成立，
直接输出结果．
故：x＝20，y＝18．
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第773页（共926页）
故答案为：x＝20，y＝18．
【点评】本题考查的知识要点：程序框图的应用，程序框图中条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转化
能力，属于基础题型．
14．（5 分）（罗湖区校级期末）某高校调查了200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分
布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），
[27.5，30]，根据直方图，这200 名学生中每周的自习时间不足22.5 小时的人数是
75
．
【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．
【分析】由频率分布直方图，得这200 名学生中每周的自习时间不足22.5 小时的频率是0.325，由此能求出这200
名学生中每周的自习时间不足22.5 小时的人数．
【解答】解：由频率分布直方图，得：
这200 名学生中每周的自习时间不足22.5 小时的频率是（0.02+0.11）×2.5＝0.325，
∴这200 名学生中每周的自习时间不足22.5 小时的人数是200×0.325＝75．
故答案为：75．
【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算与求解能力，考查数形结合思想，是
基础题．
15．（5 分）（罗湖区校级期末）已知在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD 是正方形，PA＝AB＝2，
在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O﹣ABCD 的体积不小于
2
3的概率为
3
4
．
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5I：概率与统计．
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用对应的体积比值求出对应的概率．
【解答】解：由题意，四棱锥的体积为
1
3 ×2×2×2= 8
3，
∵四棱锥O﹣ABCD 的体积不小于
2
3，
∴O 到平面ABCD 的距离不小于
1
2，
∴四棱锥O﹣ABCD 的体积不小于
2
3的概率为1−1
4 = 3
4．
故答案为
3
4．
【点评】本题考查了空间几何体体积的计算问题，也考查了几何概型的应用问题，是综合性题目．
16．（5 分）（罗湖区校级期末）抛物线x2＝2py（p＞0）上一点A（3，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为
13
4 ，点
A 关于y 轴的对称点为B，O 为坐标原点，△OAB 的内切圆与OA 切于点E，点F 为内切圆上任意一点，则OE
→
⋅OF
→
的取值范围为
[3 −
3，3 +
3]
．
【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用点A( 3，m)在抛物线上，求出m，点A 到准线的距离为
3
2p +
p
2 =
13
4 ，求出p，即可解出抛物线
方程，设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），化简数量积，求解范围即可．
【解答】解：因为点A( 3，m)在抛物线上，所以3 = 2pm ⇒m = 3
2p，点A 到准线的距离为
3
2p +
p
2 =
13
4 ，
解得p = 1
2或p＝6．当p＝6 时，m = 1
4 ＜1，故p＝6 舍去，所以抛物线方程为x2＝y，∴A( 3，3)，B( −
3，3)，
所以△OAB 是正三角形，边长为2 3，其内切圆方程为x2+（y﹣2）2＝1，如图4，∴E( 3
2 ，3
2 )．设点F（cosθ，
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第774页（共926页）
2+sinθ）（θ为参数），则OE
→
⋅OF
→
=
3
2 cosθ + 3 + 3
2 sinθ = 3 +
3sin(θ + π
6 )，
∴OE
→
⋅OF
→
∈[3 −
3，3 +
3]．
故答案为：[3 −
3，3 +
3]．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）（罗湖区校级期末）为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展《中国汉
宁听写大会》的活动，未响应学校号召，某班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8 次成绩画出茎叶图，如图所
示，甲的成绩中有一个数的个位数字模糊，在茎叶图中用a 表示．
（1）假设a＝5，现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从稳定性的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？
（2）假设数字a（a≥3）的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．
【考点】BA：茎叶图．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】（1）当a＝5 时，分别计算甲乙的平均数和方差，进行比较判断即可．
（2）根据乙的平均分高于甲的平均分，计算a 的取值范围，结合古典概型的概率公式进行求解即可．
【解答】解：（1）当a＝5 时，派甲比较合适，理由如下：
由茎叶图知甲乙两人的成绩的平均数为x甲= 1
8（68+69+71+72+74+78+84+85）＝75，
x乙= 1
8（65+70+70+73+75+80+82+85）＝75，
方差s
甲
2 = 1
8[（68﹣75）2+（69﹣75）2+（71﹣75）2+（72﹣75）2+（74﹣75）2+（78﹣75）2+（84﹣75）2+（85
﹣75）2]＝35.5，
s
乙
2 = 1
8[（65﹣75）2+（70﹣75）2+（70﹣75）2+（73﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（82﹣75）2+（85﹣75）
2]＝41，
则x甲= x乙，s
甲
2 ＜s
乙
2 ，即两人的平均成绩相同，但甲的成绩比较稳定，派甲比较合适．
（2）若x甲＜x乙，则
1
8（68+69+71+72+74+78+84+80+a）＜75，
得a＜5，
∵a≥3，
∴a＝3，4，
又a 的所有值为3，4，5，6，7，8，9 共有7 种结果，
则乙的平均分高于甲的平均分的概率P= 2
7．
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，以及古典概型的概率的计算，利用平均数和方差的公式进行计算是解决本
题的关键．
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第775页（共926页）
18．（12 分）（2017•重庆模拟）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
x =−1 + tcosα
y = 1
2 + tsinα
（t 为参数），以坐标原
点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2 =
4
4sin2θ+cos2θ．
（1）写出曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知点P 的直角坐标为( −1，1
2 )，直线l 与曲线C 相交于不同的两点A，B，求|PA|•|PB|的取值范围．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出．
（2）将直线l 的参数方程与椭圆C 的直角坐标方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出．
【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程为ρ2 =
4
4sin2θ+cos2θ，可得4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ＝4，可得曲线C 的直角坐
标方程
x2
4 + y2 =1．
（2）∵点P 在椭圆C 的内部，故l 与C 恒有两个交点，即α∈R，将直线l 的参数方程与椭圆C 的直角坐标方程
联立，
得( −1 + tcosα)2 + 4( 1
2 + tsinα)2 = 4，整理得（1+3sin2α）t2+（4sinα﹣2cosα）t﹣2＝0，
则|PA| ⋅|PB| =
2
1+3sin2α ∈[ 1
2 ，2]．
【点评】本题考查了极坐标与直角坐标互化公式、直线的参数方程的应用、直线与椭圆相交问题、一元二次方程
的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12 分）（罗湖区校级期末）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，侧面PAB 为等边三角
形，侧棱PC = 2 2．
（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（2）求二面角B﹣AP﹣C 的余弦值．
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）设AB 中点为D，连结PD，CD，推导出PD⊥AB，CD⊥AB，PD⊥CD．从而PD⊥平面ABC，由
此能证明平面PAB⊥平面ABC．
（2）由DC，DB，DP 两两垂直．以D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣C 的余
弦值．
【解答】证明：（1）设AB 中点为D，连结PD，CD，
∵AP＝BP，∴PD⊥AB．
又AC＝BC，∴CD⊥AB，
∴∠PDC 就是二面角P﹣AB﹣C 的平面角．
又由已知∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴AD＝BD＝CD=
2，AB＝2 2．
又△PAB 为正三角形，且PD⊥AB，∴PD=
(2 2)2 −( 2)2 =
6．
∵PC＝2 2，∴PC2＝CD2+PD2．
∴PD⊥CD．又AB∩CD＝D，∴PD⊥平面ABC，
∵PD⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．
解：（2）由（1）知DC，DB，DP 两两垂直．以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．
D（0，0，0），C（2，0，0），A（0，−
2，0），P（0，0，6）．
∴AC
→
=（2，2，0），PC
→
=（2，0，−
6）．
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第776页（共926页）
设平面PAC 的法向量为n
→=（x，y，z），
则n
→⋅AC
→
=
2x +
2y = 0
n
→⋅PC
→
=
2x −
6z = 0
，令x＝1，则y＝﹣1，z=
3
3 ．平面PAC 的一个法向量为n
→=（1，﹣1，
3
3 ）．
平面PAB 的一个法向量为DC
→
=（2，0，0）．
∴cos＜n
→，DC
→
＞=
n
→⋅DC
→
|n
→|⋅|DC
→
|
=
21
7 ．
由图可知，二面角B﹣AP﹣C 为锐角．
∴二面角B﹣AP﹣C 的余弦值为
21
7 ．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20．（12 分）（2018•洛阳一模）设O 为坐标原点，已知椭圆C1：
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的离心率为
3
2 ，抛物线C2：
x2＝﹣ay 的准线方程为y= 1
2．
（1）求椭圆C1 和抛物线C2 的方程；
（2）设过定点M（0，2）的直线t 与椭圆C1 交于不同的两点P，Q，若O 在以PQ 为直径的圆的外部，求直线
t 的斜率k 的取值范围．
【考点】KL：直线与椭圆的综合；KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4P：设而不求法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）根据准线方程计算a，利用离心率计算c，从而得出b；
（2）设直线t 的斜率为k，得出直线t 的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系计算OP
→
⋅OQ
→
，令OP
→
⋅OQ
→
＞
0 得出k 的范围．
【解答】解：（1）∵抛物线C2：x2＝﹣ay 的准线方程为y= 1
2，
∴
a
4 =
1
2，解得a＝2
∴抛物线C2 的方程为x2＝﹣2y，
∵椭圆C1 的离心率e= c
a =
3
2 ，∴c=
3，
∴b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆C1 的方程为
x2
4 + y2 =1．
（2）当直线t 无斜率时，O 为PQ 的中点，不符合题意；
当直线t 有斜率时，设直线t 的方程为y＝kx+2，
联立方程组
x2
4 + y2 = 1
y = kx + 2
，消元得：（1+4k2）x2+16kx+12＝0．
∵直线t 与椭圆交于两点，
∴△＝256k2﹣48（1+4k2）＞0，∴k＜−
3
2 或k＞3
2 ，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2= −16k
1+4k2，x1x2=
12
1+4k2，
∴y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4，
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∴OP
→
⋅OQ
→
=x1x2+y1y2= 12(1+k2)
1+4k2
−32k2
1+4k2 +4= 16−4k2
1+4k2 ．
∵O 在以PQ 为直径的圆的外部，∴∠POQ∈（0，
π
2），∴OP
→
⋅OQ
→
＞0，
∴16﹣4k2＞0，解得﹣2＜k＜2．
综上，k 的取值范围是（﹣2，−3
2 ）∪（
3
2 ，2）．
【点评】本题考查了圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，常利用根与系数的关系化简计算，属于中档
题．
21．（12 分）（2012•黄州区校级二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AB＝BC＝2AA1，∠ABC＝90°，D
是BC 的中点．
（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；
（Ⅱ）求二面角C1﹣AD﹣C 的余弦值；
（Ⅲ）试问线段A1B1 上是否存在点E，使AE 与DC1 成60°角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．
【考点】LM：异面直线及其所成的角；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（Ⅰ）证明线面平行，可以利用线面平行的判定定理，只要证明A1B∥OD 即可；
（Ⅱ）可判断BA，BC，BB1 两两垂直，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面ADC1 的法向量、
平面ADC 的法向量，利用向量数量积可求二面角C1﹣AD﹣C 的余弦值；
（Ⅲ）假设存在满足条件的点E，根据AE 与DC1 成60°角，利用向量的数量积，可得结论．
【解答】（Ⅰ）证明：连接A1C，交AC1 于点O，连接OD．
由ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱，得四边形ACC1A1 为矩形，O 为A1C 的中点．
又D 为BC 中点，所以OD 为△A1BC 中位线，
所以A1B∥OD，
因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1．…（4 分）
（Ⅱ）解：由ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱，且∠ABC＝90°，
故BA，BC，BB1 两两垂直．
如图建立空间直角坐标系B﹣xyz．设BA＝2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C1（2，0，1），
D（1，0，0）．
所以AD
→
= (1，−2，0)，AC1
→
= (2，−2，1)
设平面ADC1 的法向量为n
→=（x，y，z），则有n
→⋅AD
→
= 0
n
→⋅AC1
→
= 0
所以
x −2y = 0
2x −2y + z = 0.取y＝1，得n
→=（2，1，﹣2）．
平面ADC 的法向量为v
→=（0，0，1）．
由二面角C1﹣AD﹣C 是锐角，得cos＜n
→，v
→＞= |n
→⋅v
→|
|n
→||v
→|
= 2
3．…（8 分）
所以二面角C1﹣AD﹣C 的余弦值为
2
3．
（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E．
因为E 在线段A1B1 上，A1（0，2，1），B1（0，0，1），故可设E（0，λ，1），其中0≤λ≤2．
所以AE
→
= (0，λ −2，1)，DC1
→
= (1，0，1)．
因为AE 与DC1 成60°角，所以| AE
→
⋅DC1
→
|AE
→
||DC1
→
|
| = 1
2．
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即|
1
(λ−2)2+1⋅2
| = 1
2，解得λ＝1，舍去λ＝3．
所以当点E 为线段A1B1 中点时，AE 与DC1 成60°角．…（12 分）
【点评】本题考查线面平行，考查面面角，考查存在性问题的探究，解题的关键是掌握线面平行的判定定理，正
确运用向量的方法解决面面角、线线角．
22．（12 分）（罗湖区校级期末）设双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1，其虚轴长为2 2，且离心率为5．
（1）求双曲线C 的方程；
（2）过点P（3，1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A、B，在线段AB 上取点M 使得
|AM|
|MB| =
|AP|
|PB|，
证明：点M 落在某一定直线上；
（3）在（2）的条件下，且点M 不在直线OP 上，求△OPM 面积的取值范围．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）由题意可得2 2 =2b，e= c
a =
5，又c2＝a2﹣b2，解得b2＝2，a2= 1
2，即可求出双曲线的方程，
（2）设点Q，A，B 的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜3，由
|AM|
|MB| =
|AP|
|PB||，知[6﹣（x1+x2）]x
＝3（x1+x2）﹣2x1x2．由此能够证明点Q（x，y）点M 落在某一定直线12x﹣y﹣2＝0 上．
（3）由（2）可设点M 的坐标为（x0，y0）且x0＜3，x0≠6
35，令点M 到直线OP 的距离为h，根据点到直线的
距离和三角形的面积公式即可求出．
【解答】解：（1）设双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1，其虚轴长为2 2，且离心率为5，
∴2 2 =2b，e= c
a =
5，
∵c2＝a2﹣b2，
∴b2＝2，a2= 1
2，
∴双曲线C 的方程为2x2−y2
2 =1，
（2）设点Q，A，B 的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜3，
∵
|AM|
|MB| =
|AP|
|PB|，
∴
AM
MB =−
AP
PB，即
3−x1
x2−3 =−
x−x1
x2−x，
即[6﹣（x1+x2）]x＝3（x1+x2）﹣2x1x2，①
设直线l 的方程为y﹣1＝k（x﹣3），②
将②代入2x2−y2
2 =1 中整理，得（4﹣k2）x2﹣（16k2﹣1）x﹣3（3k﹣1）2﹣2＝0，
∴x1+x2= 2k−6k2
4−k2 ，x1x2= −9k2+6k−3
4−k2
，代入①，
整理可得，得12x﹣3＝k（x﹣3），联立②消k 得，12x﹣y﹣2＝0
∴点M 落在某一定直线12x﹣y﹣2＝0 上．
（3）由（2）可设点M 的坐标为（x0，y0）且x0＜3，x0≠6
35，
令点M 到直线OP 的距离为h，则h= |x0−36x0+6|
32+1
= |35x0−6|
10
，
∵点M 在线段AB 上，当过点P 动直线的斜率在（﹣2，2）之间时与双曲线两支有交点，
当k＝﹣2，与12x﹣y﹣2＝0，解得x= 9
14，当k＝2，与12x﹣y﹣2＝0，解得x=−3
10，
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∴−3
10 ＜x0＜6
35，
6
35 ＜x0＜9
14，
∴S△OPM= 1
2OP•h= |35x0−6|
2
，
∴△OPM 面积的取值范围为（0，
33
4 ）．
【点评】本小题主要考查双曲线、解方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数
学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力．
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考点卡片
1．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函
数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近
我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，
再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x 的系数k＞0），通过图象可以直观地
认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y= k
x（k＞0）型，增长特点是y 随x 的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越
快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢
（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自
变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x 的范围，同时还要
与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000 万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10 万元时，
按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超
过5 万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，
1n102≈2.302）（
）
A．y＝0.025x
B．y＝1.003xC．y＝l+log7x
D．y=
1
4000x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；
③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%= 1
4x，
A 中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200 时，y＞5 不满足公司要求；
B 中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600 时，y＞5 不满足公司要求；
C 中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000 时，y 取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤1
4x 恒成立，
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故满足公司要求；
D 中，函数y=
1
4000x2，易知满足①，当x＝400 时，y＞5 不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015 年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服
装的年销量x 万件与年促销t 万元之间满足关系式3﹣x=
k
t+1（k 为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能
是1 万件．已知2015 年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3 万元，每生产1 万件服装需再投入32 万元的
生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015 年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x 表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y 万元表示为促销费t 万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年
利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x=
k
t+1，
且当t＝0 时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x=
2
t+1，…（1 分）
生产成本为32x+3，每件售价
3
2 (
32x+3
x
) +
t
2x，…（2 分）
所以，y= [ 3
2 ( 32x+3
x
) + t
2x ]x −(32x + 3) −t⋯（3 分）
＝16x−t
2 + 3
2 =−32
t+1 −t+1
2 + 50，（t≥50）；…（2 分）
（2）因为
32
t+1 +
t+1
2
≥8
当且仅当
32
t+1 =
t+1
2 ，即t＝7 时取等号，…（4 分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1 分）
答：促销费投入7 万元时，企业的年利润最大．…（1 分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题
的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x 与y 的对应关系，针对具体的
函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
2．系统抽样方法
【知识点的认识】
1．定义：一般地，要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制
定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．
2．系统抽样的特征：
（1）当总体容量N 较大时，适宜采用系统抽样；
（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此系统抽样又称等距抽样，这里的
间隔一般为k= [ N
n ]
（3）在第一部分的抽样采用简单随机抽样；
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（4）每个个体被抽到的可能性相等
3．系统抽样与简单随机抽样的关系：
（1）系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，当将总体均分后对每一部分进行抽样时，采用的是简单随机
抽样；
（2）系统抽样和简单随机抽样都是等概率抽样，它是公平的．
4．系统抽样与简单随机抽样的优缺点：
（1）当总体的个体数较大时，用系统抽样比用简单随机抽样更易实施，更节约成本；
（2）系统抽样比简单随机抽样应用范围更广；
（3）系统抽样所得到的样本的代表性和个体的编号有关，而简单随机抽样所得到的样本的代表性与编号无关，如
果编号的特征随编号的变化呈一定的周期性，可能造成系统抽样的代表性很差．
【解题方法点拨】
系统抽样的一般步骤：
（1）编号：采用随机的方式将总体中的个体编号；
（2）分段：确定分段间隔k，对编号进行分段（N 为总体个数，n 为样本容量）：
①当
N
n ∈Z 时，k= N
n，
②当
N
n ∉Z 时，通过从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体数N′能被n 整除，这时k= N'
n
（注意这时要重新编号1﹣N′后，才能再分段）
（3）确定起始编号：在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l（l∈N，l≤k）；
（4）抽样：按事先确定的规则抽取样本，即l，l+k，l+2k，…，l+（n﹣1）k．
【命题方向】
1．考查系统抽样的定义
例：某小礼堂有25 排座位，每排有20 个座位．一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，讲座后为了了解有关情况，留
下了座位号是15 的25 名学生进行测试，这里运用的抽样方法是（
）
A．抽签法
B．随机数表法
C．系统抽样法
D．分层抽样法
分析：由题意可得，从第一排起，每隔20 人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，符合系统抽样的定义．
解答：由题意可得，从第一排起，每隔20 人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，故属于系统抽样，
故选C．
点评：本题考查系统抽样的定义和方法，属于容易题．
2．考查系统抽样的应用
例：将参加夏令营的100 名学生编号为001，002，…，100．先采用系统抽样方法抽取一个容量为20 的样本，若随
机抽得的号码为003，那么从048 号到081 号被抽中的人数是
分析：根据系统抽样的定义，即可得到结论．
解答：∵样本容量为20，首个号码为003，
∴样本组距为100÷20＝5
∴对应的号码数为3+5（x﹣1）＝5x﹣2，
由48≤5x﹣2≤81，
得10≤x≤16.6，
即x＝10，11，12，13，14，15，16，共7 个，
故答案为：7．
点评：本题主要考查系统抽样的应用，利用系统抽样的定义建立号码关系是解决本题的关键，比较基础．
3．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组
频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
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2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y 轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
4．茎叶图
【知识点的认识】
1．茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图称为茎叶图．
例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50
得分表示成茎叶图如下：
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2．茎叶图的优缺点：
优点：
（1）所有信息都可以从茎叶图上得到
（2）茎叶图便于记录和表示
缺点：
分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便．
【解题方法点拨】
茎叶图的制作步骤：
（1）将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分
（2）将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列
（3）将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧
第1 步中，
①如果是两位数字，则茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如89，茎：8，叶：9．
②如果是三位数字，则茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如123，茎：1，叶：23．
对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中体现几次．
5．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据
与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大
小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99 的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数x = 1
5（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2= 1
5[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S=
2．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
6．线性回归方程
【概念】
线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法
之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在
回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性
回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回
归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据
得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．
【实例解析】
例：对于线性回归方程y
Ƹ = 1.5x + 45，x1 ∈{1，7，5，13，19}，则y =
解：x = 1+7+5+13+19
5
= 9，因为回归直线必过样本中心（x，y），
所以y = 1.5 × 9 + 45 = 13.5 + 45 = 58.5．
故答案为：58.5．
方法就是根据线性回归直线必过样本中心（x，y），求出x，代入即可求y．这里面可以看出线性规划这类题解题方
法比较套路化，需要熟记公式．
【考点点评】
这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．
7．回归分析
【知识点的知识】
1、回归直线：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直
线叫作回归直线．记为：y
^ = b
^
x+ a
^．求回归直线方程的一般步骤：
①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系；
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②求回归系数；
③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明．
2、回归分析：
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
建立回归模型的基本步骤是：
①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）．
③由经验确定回归方程的类型．
④按一定规则估计回归方程中的参数（最小二乘法）；
⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，模型是否合适等．
8．互斥事件与对立事件
【知识点的认识】
1．互斥事件
（1）定义：一次试验中，事件A 和事件B 不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．
如果A1，A2，…，An 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An 彼此互斥．
（2）互斥事件的概率公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A 和B 是互斥事件，则有：
P（A+B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A 与B 互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An 彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An 中有一个发生）的概率等
于这n 个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
2．对立事件
（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A 的对立事件记做A．
注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；
②在一次试验中，事件A 与A只发生其中之一，并且必然发生其中之一．
（2）对立事件的概率公式：
P（A）＝1﹣P（A）
3．互斥事件与对立事件的区别和联系
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个
发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充
分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．
【命题方向】
1．考查对知识点概念的掌握
例1：从装有2 个红球和2 个黑球的口袋内任取2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（
）
A．“至少有一个红球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有1 个红球”
D．“恰有1 个黑球”与“恰有2 个黑球”
分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
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解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A 不正确
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B 不正确
对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1 个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C 不正
确
对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2 个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，
又由从装有2 个红球和2 个黑球的口袋内任取2 个球，
得到所有事件为“恰有1 个黑球”与“恰有2 个黑球”以及“恰有2 个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立
事件，
∴D 正确
故选D
点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系
与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．
例2：下列说法正确的是（
）
A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C．事件A，B 中至少有一个发生的概率一定比A，B 中恰有一个发生的概率大
D．事件A，B 同时发生的概率一定比A，B 中恰有一个发生的概率小．
分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，
这两者之间的关系是一个包含关系．
解答：根据对立事件和互斥事件的概念，
得到对立事件一定是互斥事件，
两个事件是互斥事件不一定是对立事件，
故选B．
点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件
之间的关系就可以选出正确答案．
2．互斥事件概率公式的应用
例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是
1
2，乙获胜的概率是
1
3，则乙不输的概率是
分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B 互斥，且P(A) = 1
2，P(B) = 1
3，则乙不输即为
事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．
解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B 互斥，
则P(A) = 1
2，P(B) = 1
3，
则乙不输即为事件A+B，
由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）= 1
2 + 1
3 = 5
6
故答案为：
5
6
点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥
事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．
3．对立事件概率公式的应用
例：若事件A 与B 是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（
）
A.0
B.0.4
C.0.6
D.1
分析：根据对立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A），解得即可．
解答：因为对立事件的概率公式p（A）＝1﹣P（A）＝0.6，
故选C．
点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．
9．等可能事件和等可能事件的概率
【知识点的认识】
等可能事件：如果一个事件中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，这种事件叫等可
能事件．比方说买彩票，那么你每买一张彩票，在没看之前它们中奖的概率是相等的，也就是说每张彩票中奖的概
率是等可能事件．
【实例解析】
例：判断下列事件是否为等可能事件：
（1）买一张体育彩票，有中奖和没中奖两种可能；
（2）小丽被选为班长与没有被选为班长；
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（3）投掷一枚硬币，硬币落地后，正面或反面朝上
解：（1）买一张体育彩票，没中奖的可能较大，不是等可能事件；
（2）小丽没有被选为班长的可能较大，不是等可能事件；
（3）投掷一枚硬币，硬币落地后，正面或反面朝上的可能相等，是等可能事件．
这里面的第一问是不是感觉不对呢？其实它问的是中奖和不中奖的概率是不是相等的，并不是说每一张彩票中奖
的概率是否相等，所以解答是正确的．通过这个例题，可以用一句话来概括：概率相等的两个事件就是等可能事件．
例：甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（
）
A：先抽的概率大些
B：三人的概率相等
C：无法确定谁的概率大
D：．以上都不对
解：∵甲、乙、丙三位选手抽到的概率是
1
3，
故选：B．
比较常见的等概率事件一般为购买彩票、抽签等等．这个例题可以看出等概率事件并不会因为顺序的改变而改
变其发生的概率，同时也通过这个例题我们也知道了如何求这个概率（
1
n）．
【考点分析】
等可能事件应该说初中就已经学过了，我们只要知道它的概念就可以了．
10．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A 所对应的区域用A 表示（A⊆Ω），则P
（A）= A 的度量
Ω的度量称为事件A 的几何概率．
11．程序框图
【知识点的知识】
1．程序框图
（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法
的图形；
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不
可缺少的．
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何
需要输入、输出的位置．
处理框
赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，
它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．
判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”
或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．
流程线
算法进行的前进方向以及先后顺序
连结点
连接另一页或另一部分的框图
注释框
帮助编者或阅读者理解框图
（3）程序框图的构成．
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．
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12．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
13．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
14．直线与椭圆的综合
v．
15．直线与抛物线的综合
v．
16．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b 是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′
所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，
π
2]．当θ＝90°时，称两
条异面直线互相垂直．
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2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
17．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，
a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，
就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b 与a 的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a 平行有
无数条，另一类与a 异面，也有无数条．
18．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
19．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部
分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣
Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，
则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
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3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的
另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所
成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为u
→和v
→，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜u
→，v
→＞≤π
2，θ= ＜u
→，v
→＞，此时cosθ＝cos＜u
→，v
→＞=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
（2）当
π
2 ＜＜u
→
，v
→＞≤π时，θ＝cos（π−＜u
→，v
→＞）＝﹣cos＜u
→，v
→＞=−=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|．
20．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C 上的点与方程f（ρ，θ）＝0 有如下关系
（1）曲线C 上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0 的所有解为坐标的点都在曲线C 上．
则曲线C 的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系（适当的极坐标系）
②设点（设M（ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M 的等式）
④将等式坐标化
⑤化简（此方程f（ρ，θ）＝0 即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
21．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道
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变数x，y 中的一个与参数t 的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），
那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y 的取值范围保持一致．
22．双曲线的参数方程
【知识点的认识】
直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程
轨迹
普通方程
参数方程
直线
y﹣y0＝tan α（x﹣x0）
x = x0 + tcosθ
y = y0 + tsinθ（t 为参数）
圆
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2
x = a + rcosθ
y = b + rsinθ （θ为参数）
椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）
x = acosθ
y = bsinθ （θ为参数）
双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1
x = asecθ
y = btanθ （θ为参数）
抛物线
y2＝2px（p＞0）
x = 2pt2
y = 2pt （t 为参数）
【解题思路点拨】
1．选取参数时的一般原则是：
（1）x，y 与参数的关系较明显，并列出关系式；
（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y 的值；
（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，
也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．
2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：
（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；
（2）选择适当的参数；
（3）找出x，y 与参数的关系，列出解析式；
（4）证明（常常省略）．
3．根据直线的参数方程标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：
（1）若M1，M2 为l 上任意两点，M1，M2 对应t 的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；
（2）若M0 为线段M1M2 的中点，则有t1+t2＝0；
（3）若线段M1M2 的中点为M，则M0M＝tM= t1+t2
2
．一般地，若点P 分线段M1M2 所成的比为λ，则tP= t1+λt2
1+λ ．
4．直线的参数方程的一般式x = x0 + at
y = y0 + bt（t 为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当
a2+b2＝1 且b≥0 时，才是标准方程，t 才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程x = x0 + at
y = y0 + bt化为标准方程是
x = x0 ±
|a|
a2+b2 t'
y = y0 ±
|b|
a2+b2 t'
（t′∈R），式中“±”号，当a，b 同号时取正；当a，b 异号时取负．
5．参数方程与普通方程互化时，要注意：
（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；
（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；
（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．
6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求
解．
7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．
8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y 的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数
方程后求解．
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2018-2019 学年福建省莆田一中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5 分）（辽源期末）已知集合P = {x|x −1 ≤0}，Q = {x| x−2
x
≤0}，则（∁RP）∩Q＝（
）
A．（0，1）
B．（0，2]
C．（1，2]
D．[1，2]
2．（5 分）（城厢区校级期末）已知m 为实数，i 为虚数单位，若m+（m2﹣1）i＞0，则
m+i
1−i =（
）
A．﹣1
B．1
C．﹣i
D．i
3．（5 分）（2014•安徽）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5 分）（2019•新疆模拟）若m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（
）
A．若α⊥β，m⊥β，则m∥α
B．若m∥α，n⊥m，则n⊥α
C．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β
D．若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，则m∥n
5．（5 分）（2018•长沙一模）若函数f（x）= (2−m)x
x2+m 的图象如图所示，则m 的范围为（
）
A．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣1，2）
C．（0，2）
D．（1，2）
6．
（5 分）
（衡水万卷模拟）设F1、F2 是双曲线x2−y2
4 =1 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（OP
→
+ OF2
→
）
•F2P
→
=0（O 为坐标原点）且且|PF1|＝λ|PF2|，则λ的值为（
）
A．2
B．
1
2
C．3
D．
1
3
7．（5 分）（2018•安徽模拟）F1、F2 分别是双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1 的直线l 与双
曲线的左右两支分别交于A、B 两点，若△ABF2 是等边三角形，则该双曲线的离心率为（
）
A．2
B．3
C．5
D．7
8．（5 分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0 恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．[﹣5，﹣3]
B．[﹣6，−9
8]
C．[﹣6，﹣2]
D．[﹣4，﹣3]
9．（5 分）（2017•天心区校级学业考试）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1＝2AB，E 为AA1 的中点，
则异面直线BE 与CD1 所成角的余弦值为（
）
A．
10
10
B．
1
5
C．
3 10
10
D．
3
5
10．（5 分）（2012•张掖模拟）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，若AB＝AA1＝4，点D 是AA1 的中点，则点A1 到平
面DBC1 的距离是（
）
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A．2
B．
2
2
C．
2
3
D．
2
4
11．（5 分）（宜宾模拟）设函数f(x) = lnx，g(x) = ax + b
x，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当x＞1
时，f（x）与g（x）的大小关系是（
）
A．f（x）＞g（x）
B．f（x）＜g（x）
C．f（x）＝g（x）
D．f（x）与g（x）的大小不确定
12．（5 分）（2018•漳州模拟）已知函数f（x）＝ex（x﹣b）（b∈R）．若存在x∈[
1
2，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
则实数b 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，
8
3）
B．（﹣∞，
5
6）
C．（−3
2，
5
6）
D．（
8
3，+∞）
二、填空题（每题5 分，满分25 分，将答案填在答题纸上）
13．（5 分）（2018 秋•泰州期末）命题：“若a＝0，则ab＝0”的逆否命题是
．
14．（5 分）（城厢区校级期末）−1
1
׬
（x2+x+
4 −x2）dx＝
．
15．（5 分）（城厢区校级期末）椭圆
x2
16 +
y2
4 = 1 上的一点A 关于原点的对称点为B，F 为它的右焦点，若AF⊥BF，
则△AFB 的面积是
．
16．（5 分）（2014•浙江）当实数x，y 满足
x + 2y −4 ≤0
x −y −1 ≤0
x ≥1
时，1≤ax+y≤4 恒成立，则实数a 的取值范围是
．
17．（5 分）（2015•金家庄区校级模拟）已知函数f（x）=−1
2x2﹣3x+4lnx 在[t，t+1]上不单调，则实数t 的取值范围
是
．
三、解答题（本大题共5 小题，共65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．（12 分）（城厢区校级期末）已知f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．
（1）求f（x）＞x 的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m 在[ −1，1
2 ]上解集非空，求m 的取值范围．
19．（12 分）（2015•天津校级一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝2，AA1
＝3，D 为AC 的中点．
（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；
（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C 的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA1 上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．
20．（13 分）（2017 春•泉州期末）已知函数f（x）＝﹣x3+ax2﹣4．
（Ⅰ）若f（x）在x＝2 处取得极值，且关于x 的方程f（x）＝m 在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数
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m 的取值范围；
（Ⅱ）若存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0 成立，求实数a 的取值范围．
21．（14 分）（济宁期末）如图，点B( 3，0)是圆A：(x +
3)2 + y2 = 16 内的一个定点，点P 是圆A 上的任意一
点，线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q，当点P 在圆A 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C 的方程；
（2）点E（2，0），F（0，1），直线QE 与y 轴交于点M，直线QF 与x 轴交于点N，求|EN|•|FM|的值．
22．（14 分）（2018•永定区模拟）已知常数a＞0，函数f（x）＝ln（1+ax）−2x
x+2．
（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a 的取值范围．
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2018-2019 学年福建省莆田一中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5 分）（辽源期末）已知集合P = {x|x −1 ≤0}，Q = {x| x−2
x
≤0}，则（∁RP）∩Q＝（
）
A．（0，1）
B．（0，2]
C．（1，2]
D．[1，2]
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：P＝{x|x≤1}，Q＝{x| x(x −2) ≤0
x ≠0
}＝{x| 0 ≤x ≤2
x ≠0
}＝{x|0＜x≤2}，
则∁RP＝{x|x＞1}，
则（∁RP）∩Q＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]，
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合的等价条件是解决本题的关键．
2．（5 分）（城厢区校级期末）已知m 为实数，i 为虚数单位，若m+（m2﹣1）i＞0，则
m+i
1−i =（
）
A．﹣1
B．1
C．﹣i
D．i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】由m+（m2﹣1）i＞0，得m＞0
m2 −1 = 0
，求解得到m 的值，然后代入
m+i
1−i，再由复数代数形式的乘除运
算化简得答案．
【解答】解：∵m+（m2﹣1）i＞0，
∴m＞0
m2 −1 = 0
，解得：m＝1．
则
m+i
1−i =
1+i
1−i =
(1+i)2
(1−i)(1+i) =
2i
2 = i．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．（5 分）（2014•安徽）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5L：简易逻辑．
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0 时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0 的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．
4．（5 分）（2019•新疆模拟）若m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（
）
A．若α⊥β，m⊥β，则m∥α
B．若m∥α，n⊥m，则n⊥α
C．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β
D．若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，则m∥n
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断．
【解答】解：若α⊥β，m⊥β，则m 与α可能平行也可能相交，故A 错误；
若m∥α，n⊥m，则n⊂α或n∥α或n 与α相交，故B 错误；
若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故C 错误；
若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，则m∥n，故D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，属于中档题．
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5．（5 分）（2018•长沙一模）若函数f（x）= (2−m)x
x2+m 的图象如图所示，则m 的范围为（
）
A．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣1，2）
C．（0，2）
D．（1，2）
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数的极值点范围和函数值的符号判断．
【解答】解：∵当x＞0 时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．
f′（x）= (2−m)(m−x2)
(x2+m)2
．
∵f（x）有两个绝对值大于1 的极值点，∴m﹣x2＝0 有两个绝对值大于1 的解，
∴m＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象的判断，通常从函数的单调性，奇偶性，特殊点，极限等方面进行判断．
6．
（5 分）
（衡水万卷模拟）设F1、F2 是双曲线x2−y2
4 =1 的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（OP
→
+ OF2
→
）
•F2P
→
=0（O 为坐标原点）且且|PF1|＝λ|PF2|，则λ的值为（
）
A．2
B．
1
2
C．3
D．
1
3
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设点P（1 + m2
4 ，m），由(OP
→
+ OF2
→
) ⋅F2P
→
=0 解出m，根据双曲线的第二定义得e=
5 =
|PF2|
1+m2
4 −1
5
，
求出|PF2|的值，再利用第一定义求出|PF1|的值，即得λ值．
【解答】解：由题意得
a＝1，b＝2，∴c=
5，F1（−
5，0），F2 （5，0），e=
5．
设点P（1 + m2
4 ，m），∵(OP
→
+ OF2
→
) ⋅F2P
→
=（1 + m2
4 +
5，m）•（1 + m2
4 −
5，m）
＝1+ m2
4 −5+m2＝0，m2= 16
5 ，m＝±
4 5
5 ．
由双曲线的第二定义得e=
5 =
|PF2|
1+m2
4 −1
5
，∴|PF2|＝2，
∴|PF1|＝2a+|PF2|＝4，∴λ= |PF1|
|PF2| = 4
2 =2，
故选：A．
【点评】本题考查两个向量坐标形式的运算，双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．
7．（5 分）（2018•安徽模拟）F1、F2 分别是双曲线
x2
a2 −
y2
b2 =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1 的直线l 与双
曲线的左右两支分别交于A、B 两点，若△ABF2 是等边三角形，则该双曲线的离心率为（
）
A．2
B．3
C．5
D．7
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，再在△
F1BF2 中应用余弦定理得，a，c 的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．
【解答】解：因为△ABF2 为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，
A 为双曲线上一点，F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，
B 为双曲线上一点，则BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，
由∠ABF2＝60°，则∠F1BF2＝120°，
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在△F1BF2 中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，
得c2＝7a2，则e2＝7，解得e=
7．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
8．（5 分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0 恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．[﹣5，﹣3]
B．[﹣6，−9
8]
C．[﹣6，﹣2]
D．[﹣4，﹣3]
【考点】3R：函数恒成立问题；7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】分x＝0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0 三种情况进行讨论，分离出参数a 后转化为函数求最值即可，利用导数
即可求得函数最值，注意最后要对a 取交集．
【解答】解：当x＝0 时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0 对任意a∈R 恒成立；
当0＜x≤1 时，ax3﹣x2+4x+3≥0 可化为a≥1
x −4
x2 −3
x3，
令f（x）= 1
x −4
x2 −3
x3，则f′（x）=−1
x2 + 8
x3 + 9
x4 =−(x−9)(x+1)
x4
（*），
当0＜x≤1 时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）max＝f（1）＝﹣6，∴a≥﹣6；
当﹣2≤x＜0 时，ax3﹣x2+4x+3≥0 可化为a≤1
x −4
x2 −3
x3，
由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0 时，f′（x）＞0，f（x）单
调递增，
f（x）min＝f（﹣1）＝﹣2，∴a≤﹣2；
综上所述，实数a 的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a 的取值范围是[﹣6，﹣2]．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数
范围取交集；若按照参数讨论则取并集．
9．（5 分）（2017•天心区校级学业考试）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1＝2AB，E 为AA1 的中点，
则异面直线BE 与CD1 所成角的余弦值为（
）
A．
10
10
B．
1
5
C．
3 10
10
D．
3
5
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】以D1 为原点，D1A1 为x 轴，D1C1 为y 轴，D1D 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异
面直线BE 与CD1 所成角的余弦值．
【解答】解：以D1 为原点，D1A1 为x 轴，D1C1 为y 轴，D1D 为z 轴，建立空间直角坐标系，
令AB＝1，则B（1，1，2），E（1，0，1），C（0，1，2），D1（0，0，0），
BE
→
=（0，﹣1，﹣1），CD1
→
=（0，﹣1，﹣2），
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∴|cos＜BE
→
，CD1
→
＞|＝|
BE
→
⋅CD1
→
|BE
→
|⋅|CD1
→
|
|= 3
10
10．
∴异面直线BE 与CD1 所成角的余弦值为
3 10
10 ．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考
查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
10．（5 分）（2012•张掖模拟）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，若AB＝AA1＝4，点D 是AA1 的中点，则点A1 到平
面DBC1 的距离是（
）
A．2
B．
2
2
C．
2
3
D．
2
4
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】以AC 为y 轴，以AA1 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，若
AB＝AA1＝4，点D 是AA1 的中点，知DB
→
=（2 3，2，−2），DC1
→
=（0，4，2），DA1
→
= (0，0，2)，设平面
BDC1 的法向量为n
→= (x，y，z)，由n
→⋅DB
→
= 0，n
→⋅DC1
→
= 0，知n
→= ( 3，−1，2)，由此能求出点A1 到平面
DBC1 的距离．
【解答】解：以AC 为y 轴，以AA1 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，若AB＝AA1＝4，点D 是AA1 的中点，
∴B（2 3，2，0），C1（0，4，4），D（0，0，2），A1（0，0，4），
∴DB
→
=（2 3，2，−2），DC1
→
=（0，4，2），DA1
→
= (0，0，2)，
设平面BDC1 的法向量为n
→= (x，y，z)，
∵n
→⋅DB
→
= 0，n
→⋅DC1
→
= 0，
∴2 3x + 2y −2z = 0
4y + 2z = 0
，∴n
→= ( 3，−1，2)，
∴点A1 到平面DBC1 的距离d= |n
→⋅DA1
→
|
|n
→|
= |0+0+4|
3+1+4 =
2．
故选：A．
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【点评】本题考查空间中点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，合理地运用向量法进行求解，向量法求
点到面的距离是向量的一个重要运用．
11．（5 分）（宜宾模拟）设函数f(x) = lnx，g(x) = ax + b
x，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当x＞1
时，f（x）与g（x）的大小关系是（
）
A．f（x）＞g（x）
B．f（x）＜g（x）
C．f（x）＝g（x）
D．f（x）与g（x）的大小不确定
【考点】4N：对数函数的图象与性质；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】f（x）与x 轴的交点（1，0）在g（x）上，所以a+b＝0，在此点有公切线，即此点导数相等，可求出a
与b 的值，令h（x）＝f（x）﹣g（x），然后利用导数研究该函数在（1，+∞）上的单调性，从而得到正确选项．
【解答】解：f（x）与x 轴的交点′（1，0）在g（x）上，
所以a+b＝0，在此点有公切线，即此点导数相等，
f′（x）= 1
x，g′（x）＝a−b
x2，
以上两式在x＝1 时相等，即1＝a﹣b，
又因为a+b＝0，
所以a= 1
2，b=−1
2，
即g（x）= x
2 −1
2x，f（x）＝lnx，
定义域{x|x＞0}，
令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx−x
2 + 1
2x，
对x 求导，得h′（x）= 1
x −1
2 −1
2x2 = 2x−x2−1
2x2
=−(x−1)2
2x2
∵x＞1
∴h′（x）＜0
∴h（x）在（1，+∞）单调递减，即h（x）＜0
∴f（x）＜g（x）
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的基本性质，同时考查分析问题的能力，
属于中档题．
12．（5 分）（2018•漳州模拟）已知函数f（x）＝ex（x﹣b）（b∈R）．若存在x∈[
1
2，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
则实数b 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，
8
3）
B．（﹣∞，
5
6）
C．（−3
2，
5
6）
D．（
8
3，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4M：构造法；53：导数的综合应用．
【分析】求出f′（x），问题转化为b＜x2+2x
x+1 在[
1
2，2]恒成立，令g（x）= x2+2x
x+1 ，x∈[
1
2，2]，求出b 的范围即
可．
【解答】解：∵f（x）＝ex（x﹣b），
∴f′（x）＝ex（x﹣b+1），
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第801页（共926页）
若存在x∈[
1
2，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
则若存在x∈[
1
2，2]，使得ex（x﹣b）+xex（x﹣b+1）＞0，
即存在x∈[
1
2，2]，使得b＜x2+2x
x+1 成立，
令g（x）= x2+2x
x+1 ，x∈[
1
2，2]，
则g′（x）= x2+2x+2
(x+1)2 ＞0，
g（x）在[
1
2，2]递增，
∴g（x）最大值＝g（2）= 8
3，
故b＜8
3，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
二、填空题（每题5 分，满分25 分，将答案填在答题纸上）
13．（5 分）（2018 秋•泰州期末）命题：“若a＝0，则ab＝0”的逆否命题是
若ab≠0，则a≠0
．
【考点】21：四种命题．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；48：分析法；5L：简易逻辑．
【分析】根据命题的逆否命题书写即可
【解答】解：∵：“若a＝0，则ab＝0”
∴逆否命题：若ab≠0，则a≠0
故答案为：若ab≠0，则a≠0
【点评】本题简单的考查了四个命题的概念，准确书写即可．
14．（5 分）（城厢区校级期末）−1
1
׬
（x2+x+
4 −x2）dx＝
2
3 +
2π
3 +
3
．
【考点】67：定积分、微积分基本定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；52：导数的概念及应用．
【分析】利用定积分的法则分步积分以及几何意义解答
【解答】解：−1
1
׬
4 −x2dx 表示图阴影部分的面积为S＝2× 1
2 ×1×
3 + 1
6 ×π×22=
3 + 2π
3 ；
：−1
1
׬
（x2+x）dx＝（
1
3x3+ 1
2x2）|−1
1
=（
1
3 +
1
2）﹣（−1
3 + 1
2）= 2
3，
故−1
1
׬
（x2+x+
4 −x2）dx= 2
3 + 2π
3 +
3．
故答案为：
2
3 +
2π
3 +
3．
【点评】本题考查定积分的计算，利用积分法则分步计算，后半部分结合定积分的几何意义解答，考查学生的计
算能力，比较基础
15．（5 分）（城厢区校级期末）椭圆
x2
16 +
y2
4 = 1 上的一点A 关于原点的对称点为B，F 为它的右焦点，若AF⊥BF，
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则△AFB 的面积是
4
．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】椭圆
x2
16 +
y2
4 = 1 中a＝4，b＝2，c＝2 3，椭圆
x2
16 +
y2
4 = 1 上的一点A 关于原点的对称点为B，F 为
它的右焦点，AF⊥BF，可得AO＝2 3，求出A 的纵坐标，即可求出三角形△AFB 的面积．
【解答】解：椭圆
x2
16 +
y2
4 = 1 中a＝4，b＝2，c＝2 3，
∵椭圆
x2
16 +
y2
4 = 1 上的一点A 关于原点的对称点为B，F 为它的右焦点，若AF⊥BF，
∴AO＝BO＝OF＝2 3，
设A（x，y），则x2+y2＝12，
∵椭圆
x2
16 +
y2
4 = 1，联立消去x，化简可得|y|= 2 3
3 ，
∴三角形△AFB 的面积是2× 1
2 ×2 3 × 2 3
3
=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形△AFB 的面积，考查椭圆的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
16．
（5 分）
（2014•浙江）当实数x，y 满足
x + 2y −4 ≤0
x −y −1 ≤0
x ≥1
时，1≤ax+y≤4 恒成立，则实数a 的取值范围是
[1，3
2]
．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4 恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C 的坐标满足不等式列
不等式组，求解不等式组得实数a 的取值范围．
【解答】解：由约束条件作可行域如图，
联立x = 1
x + 2y −4 = 0，解得C（1，
3
2）．
联立x −y −1 = 0
x + 2y −4 = 0，解得B（2，1）．
在x﹣y﹣1＝0 中取y＝0 得A（1，0）．
要使1≤ax+y≤4 恒成立，
则
a −1 ≥0
a + 3
2 −1 ≥0
a −4 ≤0
2a + 1 −4 ≤0
，解得：1≤a ≤3
2．
∴实数a 的取值范围是[1，3
2 ]．
解法二：令z＝ax+y，
当a＞0 时，y＝﹣ax+z，在B 点取得最大值，A 点取得最小值，
可得2a + 1 ≤4
a ≥1
，即1≤a≤3
2；
当a＜0 时，y＝﹣ax+z，在C 点取得最大值，
①a＜﹣1 时，在B 点取得最小值，可得a + 3
2 ≤4
2a + 1 ≥1
，解得0≤a≤5
2（不符合条件，舍去）
②﹣1＜a＜0 时，在A 点取得最小值，可得a + 3
2 ≤4
a ≥1
，解得1≤a≤5
2（不符合条件，舍去）
综上所述即：1≤a≤3
2；
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故答案为：[1，3
2 ]．
【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解
法，是中档题．
17．（5 分）（2015•金家庄区校级模拟）已知函数f（x）=−1
2x2﹣3x+4lnx 在[t，t+1]上不单调，则实数t 的取值范围
是
（0，1）
．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．
【分析】先由函数求f′（x）＝﹣x﹣3+ 4
x，再由“函数f（x）=−1
2x2﹣3x+4lnx 在[t，t+1]上不单调”转化为“f′
（x）＝﹣x﹣3+ 4
x =0 在区间（t，t+1）上有解”从而有
x2+3x−4
x
=0 在（t，t+1）上有解，进而转化为：x2+3x
﹣4＝0 在（t，t+1）上有解，进而求出答案．
【解答】解：∵函数f（x）=−1
2x2﹣3x+4lnx，
∴f′（x）＝﹣x﹣3+ 4
x，
∵函数f（x）=−1
2x2﹣3x+4lnx 在（t，t+1）上不单调，
∴f′（x）＝﹣x﹣3+ 4
x =0 在（t，t+1）上有解
∴
x2+3x−4
x
=0 在（t，t+1）上有解
∴g（x）＝x2+3x﹣4＝0 在（t，t+1）上有解，
由x2+3x﹣4＝0 得：x＝1，或x＝﹣4（舍），
∴1∈（t，t+1），
即t∈（0，1），
故实数t 的取值范围是（0，1），
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函
数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．
三、解答题（本大题共5 小题，共65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．（12 分）（城厢区校级期末）已知f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．
（1）求f（x）＞x 的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m 在[ −1，1
2 ]上解集非空，求m 的取值范围．
【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出各个区间时的不等式的解集，取并集即可；
（2）把不等式f（x）≥x2﹣x+m 在[ −1，1
2 ]上解集非空，转化为m≤f（x）﹣x2+x 在[ −1，1
2 ]上解集非空，
求出h（x）＝f（x）﹣x2+x 在[ −1，1
2 ]上的最大值即可得答案．
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【解答】解：（1）f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|=
−x + 2，x＜−1
−3x，−1 ≤x ≤1
2
x −2，x＞1
2
，
∵f（x）＞x，
∴x＜﹣1 时，﹣x+2＞x，解得：x＜﹣1，
﹣1≤x≤1
2时，﹣3x＞x，解得：x＜0，故﹣1≤x＜0，
x＞1
2时，x﹣2＞x，无解，
综上，不等式的解集是{x|x＜0}；
（2）不等式f（x）≥x2﹣x+m⇔m≤f（x）﹣x2+x．
由（1）知，f（x）=
−x + 2，x＜−1
−3x，−1 ≤x ≤1
2
x −2，x＞1
2
，
设h（x）＝f（x）﹣x2+x，则h（x）=
−x2 + 2x −2(x＞1
2 )
−x2 −2x( −1 ≤x ≤1
2 )
−x2 + 2(x＜−1)
，
∴当﹣1≤x≤1
2时，h（x）max＝1，
∵不等式f（x）≥x2﹣x+m 在[ −1，1
2 ]上解集非空，
∴m≤1．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．
19．（12 分）（2015•天津校级一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝2，AA1
＝3，D 为AC 的中点．
（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；
（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C 的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA1 上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．
【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（I）连接B1C，与BC1 相交于O，连接OD，我们由三角形的中位线定理，易得OD∥AB1，进而由线面
平行的判定定理得到AB1∥面BDC1；
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C1BD 和平面BDC 的法向量，代入向量夹角公式，即可
得到二面角C1﹣BD﹣C 的余弦值；
（Ⅲ）假设侧棱AA1 上存在点P，使得CP⊥面BDC1，我们可以设出P 点坐标，进而构造方程组，若方程组有
解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P 点不存在．
【解答】证明：（I）连接B1C，与BC1 相交于O，连接OD
∵BCC1B1 是矩形，
∴O 是B1C 的中点．
又D 是AC 的中点，
∴OD∥AB1．（2 分）
∵AB1⊄面BDC1，OD⊂面BDC1，
∴AB1∥面BDC1．（4 分）
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解：（II）如图，建立空间直角坐标系，则
C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0）（5 分）
设n
→=（x，y，z）是面BDC1 的一个法向量，则
n
→⋅C1B
→
= 0
n
→⋅C1D
→
= 0
即3y + 2z = 0
x + 3y = 0 ，令x＝1
则n
→=（1，−1
3，
1
2）．（6 分）
易知C1C
→
=（0，3，0）是面ABC 的一个法向量．
∴cos＜n
→，C1C
→
＞= 2
7．（8 分）
∴二面角C1﹣BD﹣C 的余弦值为
2
7．（9 分）
（III）假设侧棱AA1 上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．
则CP
→
⋅C1B
→
= 0
CP
→
⋅C1D
→
= 0
，即3(y −3) = 0
2 + 3(y −3) = 0
∴方程组无解．∴假设不成立．
∴侧棱AA1 上不存在点P，使CP⊥面BDC1．（14 分）
【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（I）
的关键是证得OD∥AB1，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题和线面垂直问题转化为空间向量夹
角问题．
20．（13 分）（2017 春•泉州期末）已知函数f（x）＝﹣x3+ax2﹣4．
（Ⅰ）若f（x）在x＝2 处取得极值，且关于x 的方程f（x）＝m 在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数
m 的取值范围；
（Ⅱ）若存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0 成立，求实数a 的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；32：分类讨论；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出导函数，f（x）在x＝2 处取得极值，求出a，然后求解函数的极值，通过关于x 的方程f（x）
＝m 在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，求解实数m 的取值范围；
（Ⅱ）求出函数的最大值，利用最大值大于0，即可满足条件，利用函数的导数判断函数的单调性，结合a 的取
值讨论，求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝﹣3x2+2ax 由题意得f′（2）＝0，解得a＝3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2 分）
经检验a＝3 满足条件﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3 分）
f（x）＝﹣x3+3x2﹣4，则f′（x）＝﹣3x2+6x﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4 分）
令f′（x）＝0，则x＝0，x＝2（舍去）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5 分）
当x 变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
﹣1
（﹣1，0）
0
（0，1）
1
f′（x）
﹣
0
+
f（x）
0
↘
﹣4
↗
﹣2
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﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7 分）
∵关于x 的方程f（x）＝m 在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，
∴﹣4＜m≤﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8 分）
（Ⅱ）由题意得，f（x）max＞0 即可
f（x）＝﹣x3+ax2﹣4，f′（x）＝﹣3x2+2ax＝﹣3x（x−2
3a）
①若a≤0，则当x＞0 时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减．
∵f（0）＝﹣4＜0∴当x＞0 时，f（x）＜﹣4＜0
∴当a≤0 时，不存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）
②当a＞0 时f（x），f′（x）随x 的变化情况如下表：
x
（0，
2
3a）
2
3a
（
2
3a，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
f（x）
↗
4a3
27 −4
↘
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）max＝f（
2
3a）= 4a3
27 −4
由
4a3
27 −4＞0 得a＞3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）
综上得a＞3．
另：第2 小题可以分离参数，可按步得分．
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的最值，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，
难度比较大．
21．（14 分）（济宁期末）如图，点B( 3，0)是圆A：(x +
3)2 + y2 = 16 内的一个定点，点P 是圆A 上的任意一
点，线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q，当点P 在圆A 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C 的方程；
（2）点E（2，0），F（0，1），直线QE 与y 轴交于点M，直线QF 与x 轴交于点N，求|EN|•|FM|的值．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；35：转化思想；5B：直线与圆．
【分析】（1）直接利用定义求出椭圆的方程．
（2）利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果
【解答】解：（1）因为点Q 在BP 的垂直平分线上，所以|QB|＝|QP|，
∴|QA|+|QB|＝|QA|+|QP|＝4，
从而点Q 的轨迹是以A，B 为焦点的椭圆，
这时，a＝2，c =
3，
∴b＝1，
所以曲线C 的方程为
x2
4 + y2 = 1．
（2）由题设知，直线的斜率存在．
设直线QE 的方程为y＝k（x﹣2），Q（x1，y1），E（x2，y2），
由
y = k(x −2)
x2
4 + y2 = 1 ，
得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4＝0，
因为x1x2 = 16k2−4
1+4k2 ，x2＝2，
所以x1 = 8k2−2
1+4k2，
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第807页（共926页）
所以Q( 8k2−2
1+4k2 ，−4k
1+4k2 )，
因为点F，N，Q 共线，
kFN＝kFQ，
所以
−1
xN
=
−4
1+4k2−1
8k2−2
1+4k2
，
即xN =
8k2−2
1+4k+4k2 = 2(2k−1)
2k+1 ，
又直线QE 与y 轴的交点纵坐标为yM＝﹣2k，
所以|EN| = |2 −xN| =
4
|2k+1|，
|FM|＝|1﹣yM|＝|1+2k|，
所以|EN|•|FM|＝4．
【点评】本题考查的知识要点：椭圆的方程的求法及应用，直线与曲线的位置关系式的应用，一元二次方程根与
系数的关系的应用．
22．（14 分）（2018•永定区模拟）已知常数a＞0，函数f（x）＝ln（1+ax）−2x
x+2．
（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a 的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，注意对a 分类讨论；
（2）利用导数判断函数的极值，注意a 的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ln（1+ax）−2x
x+2，x∈（0，+∞），
∴f′（x）=
a
1+ax −
4
(x+2)2 = ax2−4(1−a)
(1+ax)(x+2)2，
∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0 时，即a≥1 时，f′（x）≥0 恒成立，
则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
当0＜a≤1 时，由f′（x）＝0 得x＝±
2 a(1−a)
a
，
则函数f（x）在（0，
2 a(1−a)
a
）单调递减，在（
2 a(1−a)
a
，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，当a≥1 时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．
因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜1，
又f（x）的极值点值可能是x1=
2 a(1−a)
a
，x2=−
2 a(1−a)
a
，
且由f（x）的定义域可知x＞−1
a且x≠﹣2，
∴−
2 a(1−a)
a
＞−1
a且−
2 a(1−a)
a
≠−2，解得a≠1
2，
则x1，x2 分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，
∴f（x1）+f（x2）
＝ln[1+ax1]−2x1
x1+2 +ln（1+ax2）−2x2
x2+2
＝ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]−4x1x2+4(x1+x2)
x1x2+2(x1+x2)+4
＝ln（2a﹣1）2−4(a−1)
2a−1
＝ln（2a﹣1）2+
2
2a−1 −2．
令2a﹣1＝x，由0＜a＜1 且a≠1
2得，
当0＜a＜1
2时，﹣1＜x＜0；当
1
2 ＜a＜1 时，0＜x＜1．
令g（x）＝lnx2+ 2
x −2．
（i）当﹣1＜x＜0 时，g（x）＝2ln（﹣x）+ 2
x −2，
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第808页（共926页）
∴g′（x）= 2
x −2
x2 = 2x−2
x2
＜0，
故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）＝﹣4＜0，
∴当0＜a＜1
2时，f（x1）+f（x2）＜0；
（ii）当0＜x＜1．g（x）＝2lnx+ 2
x −2，g′（x）= 2
x −2
x2 = 2x−2
x2
＜0，
故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）＝0，
∴当
1
2 ＜a＜1 时，f（x1）+f（x2）＞0；
综上所述，a 的取值范围是（
1
2，1）．
【点评】本题主要考查学生对含有参数的函数的单调性及极值的判断，考查利用导数判断函数的单调性及求极值
的能力，考查分类讨论思想及转化划归思想的运用和运算能力，逻辑性综合性强，属难题．
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考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律
A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律
（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律
A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律
Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
集合吸收律
A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律
A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．四种命题
【知识点的认识】
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命
题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否
定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命
题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原
命题的逆否命题．
【解题方法点拨】
理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题，判断命题的真假要注意与其它考点的知识、方法相
结合．
【命题方向】高考中一般在选择题中出现以命题的形式考察其它知识点的运用，由于本考点可与高中数学中多处的
考点相结合，故考察类型多样，都是基本概念与基本方法的题．
3．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p 则q”为真时，可表示为p⇒q，称p 为q 的充分条件，q 是p 的必要条件．事实上，与“p⇒q”
等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q 不成立，则p 一定不成立．这就是说，q 对于p 是必不可少的，
所以说q 是p 的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p 一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p 是q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，
记作“p⇔q”．p 与q 互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证
明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆
二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q 为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；
②若p⇒q 为假命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；
③若p⇒q 为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④若p⇒q 为假命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多
以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
4．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3 个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线．
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解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在
直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、
对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a 个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b 个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x）
y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A 倍（0＜A＜1，缩为原来的A 倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x 轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y 轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图，将y 轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函
数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要
注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的
影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常
需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分
析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
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4、方法归纳：
（1）1 个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象
对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3 个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3 种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，
解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析
解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
5．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0 等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就
是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使
函数f（x）＝ax^2+1 恒大于0，就必须对a 进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，
先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a 的取值范围．
解：由题意可知：a≤x2+2x+3
x
恒成立
即a≤x+ 3
x +2
⇒a≤2 3 +2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，
突出了导数的工具性作用．
6．对数函数的图象与性质
【知识点归纳】
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7．定积分、微积分基本定理
【定积分】
定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形
的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．
【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及
其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微
积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是a
b
׬
f(x)dx = F(b) −F(a)，其中F′（x）＝f（x），而f（x）必须在区间
（a，b）内连续．
例1：定积分1
2
׬
|3 −2x|dx =
解：
׬12|3﹣2x|dx
=
1
3
2
׬
(3 −2x)dx +
3
2
2
׬
(2x −3)dx
＝（3x﹣x2）|
1
3
2 +（x2﹣3x）|
3
2
2
= 1
2
通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达
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式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则−3
3
׬
9 −x2dx．
解：根据定积分的几何意义，则−3
3
׬
9 −x2dx 表示圆心在原点，半径为3 的圆的上半圆的面积，
故−3
3
׬
9 −x2dx = 1
2 × π × 32 = 9π
2 ．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的
面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，
上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．
8．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集
的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集
的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确
定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（
）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x) = x3 + x2[f'(x) +
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m
2 ]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
ln2
2 ×
ln3
3 ×
ln4
4 × ⋯×
lnn
n ＜
1
n (n ≥2，n ∈N∗)．
解：（Ⅰ）f'(x) = a(1−x)
x
(x＞0)（2 分）
当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）
（Ⅱ）f'(2) =−a
2 = 1 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴g(x) = x3 + ( m
2 + 2)x2 −2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g'(t)＜0
g'(3)＞0
(8 分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0 恒成立，
所以有：
g'(1)＜0
g'(2)＜0
g'(3)＞0
，∴−37
3 ＜m＜−9（10 分）
（Ⅲ）令a＝﹣1 此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1 对一切x∈（1，+∞）成立，（12 分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnn
n ＜n−1
n
∴
ln2
2 ⋅
ln3
3 ⋅
ln4
4 ⋅⋅
lnn
n ＜
1
2 ⋅
2
3 ⋅
3
4 ⋅⋅
n−1
n
=
1
n (n ≥2，n ∈N∗)
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完
全类似）．即在区间内f′（x）＞0 是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
9．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说
f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y 极大值＝f（x0），x0 是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f
（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y 极小值＝f（x0），x0 是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不
意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能
在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0 满足f′（x0）＝0，且在x0 的两侧f（x）的导数异号，则x0 是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′
（x）在x0 两侧满足“左正右负”，则x0 是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0 两侧满足“左
负右正”，则x0 是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
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（2）求方程f′（x）＝0 的根；
（3）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左
右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极
小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
10．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导
数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在
解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率
的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1 处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1 时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线
方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
11．不等式恒成立的问题
v．
12．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简
单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的
主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y 中变量x，y 满足约束条件
x + 2y ≤8
0 ≤x ≤4
0 ≤y ≤3
．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S= 1
2 BC ⋅AB = 1
2 × 1 × 2 = 1．
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（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最小，
此时z 最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z 得截距最大，
此时z 最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，
然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k 的值是
（
）
A．
7
3
B．
3
7
C．
4
3
D．
3
4
分析：画出平面区域，显然点（0，
4
3）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，
4
3），结合图形寻找直线平分平面
区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx+ 4
3过定点（0，
4
3）．因此只有直线过AB 中点时，直线y＝kx+ 4
3能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB 中点D（
1
2，
5
2）．
当y＝kx+ 4
3过点（
1
2，
5
2）时，
5
2 =
k
2 +
4
3，所以k= 7
3．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多
个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y 满足约束条件：
，求z＝x+y 的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0 来寻找最优解，求出目标函数的最值．
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解答：先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再
将直线l0 平移，当l0 的平行线l1 过点B 时，可使z＝x+y 达到最小值；当l0 的平行线l2 过点A 时，可使z＝x+y 达
到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50 亩，投入资金不超过54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产
量、成本和售价如下表：
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4 吨
1.2 万元
0.55 万元
韭菜
6 吨
0.9 万元
0.3 万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别
为（
）
A．50，0
B．30，20
C．20，30
D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为
线性规划问题．
解析
设种植黄瓜x 亩，韭菜y 亩，则由题意可知
x + y ≤50
1.2x + 0.9y ≤54
x，y ∈N+
求目标函数z＝x+0.9y 的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l 向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30 亩，韭菜种植20 亩
时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束
条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A 点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y 满足
，则
y
x的最大值为
．
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（2）已知O 是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上
的一个动点，则|OA
→
+ OM
→
|的最
小值是
．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的
几何意义来完成．
解答：（1）
y
x表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，
3
2）处取到最大值．
（2）依题意得，OA
→
+ OM
→
=（x+1，y），|OA
→
+ OM
→
|=
(x + 1)2 + y2可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，
在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直
线x+y＝2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|OA
→
+ OM
→
|的最小值是
|−1+0−2|
2
=
3 2
2 ．
故答案为：（1）
3
2（2）
3 2
2 ．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）x2 + y2表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）(x −a)2 + (y −b)2表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）
y
x表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）
y−b
x−a表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距
z
b的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b＞0 时，截距
z
b取最大值时，z 也取最大值；截
距
z
b取最小值时，z 也取最小值；当b＜0 时，截距
z
b取最大值时，z 取最小值；截距
z
b取最小值时，z 取最大值．
13．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b 解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．
（4）指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
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（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．
注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：
14．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
15．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0 与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d 和半径r 的关系判断．
圆心到直线的距离d= |Aa+Bb+C|
A2+B2
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由Ax + By + C = 0
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
16．椭圆的性质
【知识点的认识】
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1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和
短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
c
a叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e= c
a，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e 越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为
x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
17．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
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性
质
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
18．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b 是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′
所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，
π
2]．当θ＝90°时，称两
条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
19．空间中直线与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
空间中直线与平面之间的位置关系：
位置关系
公共点个数
符号表示
图示
直线在平面内
有无数个公共点
a⊂α
直线和平面相交
有且只有一个公共点
a∩α＝A
直线和平面平行
无
a∥α
20．平面与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
平面与平面之间的位置关系：
位置关系
公共点个数
符号表示
图示
两平面平行
无
α∥β
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两平面相交
有一条公共直线
α∩β＝l
21．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，
a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，
就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b 与a 的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a 平行有
无数条，另一类与a 异面，也有无数条．
22．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l 和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l 叫
做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l 和平面α，l⊥α⇔l 垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
23．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部
分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣
Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，
则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
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①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的
另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所
成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为u
→和v
→，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜u
→，v
→＞≤π
2，θ= ＜u
→，v
→＞，此时cosθ＝cos＜u
→，v
→＞=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|．
（2）当
π
2 ＜＜u
→，v
→＞≤π时，θ＝cos（π−＜u
→，v
→＞）＝﹣cos＜u
→，v
→＞=−=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
24．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
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25．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a 与|x|＜a 的解集
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
{x|﹣a＜x＜a}
∅
∅
|x|＞a
{x|x＞a，或x＜﹣a}
{x|x≠0}
R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c 或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有
多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m 或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m 为正常数），
利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c 的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c 的点所对应的实数，只要在
数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0 且|a|≥|b|；不等
式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0 且|a|≥|b|．
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2018-2019 学年北京市十一学校高二（上）期末数学试卷（理科）（Ⅱ）
一、选择题（共8 小题，每小题4 分，共32 分）
1．（4 分）（海淀区校级期末）函数y=
x在x＝1 处的导数值为（
）
A．−1
2
B．2
C．1
D．
1
2
2．（4 分）（2014•青岛一模）抛物线y＝8x2 的焦点坐标是（
）
A．（2，0）
B．（﹣2，0）
C．（0，
1
32）
D．（0，−1
32）
3．（4 分）（上虞区期末）双曲线
x2
9 −
y2
16 =1 的渐近线方程为（
）
A．y＝±
3
4x
B．y＝±
4
3x
C．y＝±
3
5x
D．y＝±
5
3x
4．（4 分）（海淀区校级期末）已知方程
x2
2−m +
y2
m+1 = 1 表示的曲线是椭圆，则实数m 的取值范围是（
）
A．（﹣1，2）
B．( −1，1
2 ) ∪( 1
2 ，2)
C．( −1，1
2 )
D．( 1
2 ，2)
5．（4 分）（海淀区校级期末）已知O 为坐标原点，椭圆
x2
16 +
y2
9 = 1 上的点M 到左焦点F1 的距离为2，N 为MF1
的中点，则ON 的值等于（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．（4 分）（潮州校级模拟）已知双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y =
3x，它的一个焦点在抛
物线y2＝8x 的准线上，则双曲线的方程为（
）
A．x2 −y2
3 = 1
B．
x2
3 −y2 = 1
C．
x2
4 −
y2
12 = 1
D．
x2
12 −
y2
4 = 1
7．（4 分）（2018 秋•洛阳期末）已知椭圆
x2
25 +
y2
9 = 1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，P 是椭圆上一点，且∠
F1PF2＝60°，则△F1PF2 的面积等于（
）
A．6 3
B．3 3
C．6
D．3
8．（4 分）（海淀区校级期末）若双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满
足|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值范围是（
）
A．1＜e＜2
B．1≤e≤2
C．1＜e≤2
D．1≤e＜2
二、填空题（共6 小题，每小题4 分，共24 分）
9．（4 分）（海淀区校级期末）函数f（x）＝xex 的导数为
．
10．（4 分）（海淀区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F 到准线的距离与椭圆
x2
9 +
y2
4 = 1 的长轴
长相等，则抛物线的标准方程为
．
11．（4 分）（海淀区校级期末）已知定点M（3，4），F 为抛物线y2＝8x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，当|PM|+|PF|
取最小值时，点P 的坐标为
．
12．（4 分）（海淀区校级期末）已知直线l 的参数方程为x = 2 + t
y = 3 + t（t 为参数），以平面直角坐标系的坐标原点为极
点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ＝0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l 与
曲线C 的位置关系是
．
13．（4 分）（海淀区校级期末）已知函数f（x）＝x3﹣3x+lnx，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
．
14．（4 分）（海淀区校级期末）已知点P 圆C：（x﹣4）2+y2＝4 上，点Q 在椭圆x2 + y2
4 = 1 上移动，则|PQ|的最大
值为
．
三、解答题（共2 道大题，共44 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）.
15．（9 分）（2015 秋•济南期末）设函数f（x）= 1−a
2 x2 +ax﹣lnx（a∈R）．
（1）当a＝1 时，求函数f（x）的极值；
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（2）当a≥2 时，讨论函数f（x）的单调性．
16．
（35 分）
（海淀区校级期末）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a＞b＞0)的一个顶点为B（0，1），半焦距为c，离心率e =
3
2 ，
又直线l：y＝kx+m（k≠0）交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且P（x0，y0）为MN 中点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若k＝1，m＝﹣1，求弦MN 的长；
（3）若点Q(1，1
2 )恰好平分弦MN，求实数k，m；
（4）若满足|BM|＝|BN|，求实数m 的取值范围并求kMNkOP 的值；
（5）设圆T：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）与椭圆C 相交于点E 与点F，求TE
→
⋅TF
→
的最小值，并求此时圆T 的方程；
（6）若直线l 是圆O：x2 + y2 = 4
5的切线，证明∠MON 的大小为定值．
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2018-2019 学年北京市十一学校高二（上）期末数学试卷（理科）（Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8 小题，每小题4 分，共32 分）
1．（4 分）（海淀区校级期末）函数y=
x在x＝1 处的导数值为（
）
A．−1
2
B．2
C．1
D．
1
2
【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有
【分析】利用导数的运算法则即可得出．
【解答】解：∵( x)' = 1
2 x，∴f′（1）= 1
2．
故选：D．
【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．
2．（4 分）（2014•青岛一模）抛物线y＝8x2 的焦点坐标是（
）
A．（2，0）
B．（﹣2，0）
C．（0，
1
32）
D．（0，−1
32）
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】把抛物线y＝8x2 的方程化为标准形式，确定开口方向和p 值，即可得到焦点坐标．
【解答】解：抛物线y＝8x2 的标准方程为
x2= 1
8y，p= 1
16，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，
故焦点坐标为（0，
1
32），
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y＝8x2 的方程化为标准形式，是解题的
关键．
3．（4 分）（上虞区期末）双曲线
x2
9 −
y2
16 =1 的渐近线方程为（
）
A．y＝±
3
4x
B．y＝±
4
3x
C．y＝±
3
5x
D．y＝±
5
3x
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其焦点在x 轴上，以及a、b 的值，进而结合渐近线的方程并代入
a、b 的值计算可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：
x2
9 −
y2
16 =1，
其中焦点在x 轴上，且a=
9 =3，b=
16 =4，
则其渐近线方程为：y＝±
4
3x，
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程求出a、b 的值．
4．（4 分）（海淀区校级期末）已知方程
x2
2−m +
y2
m+1 = 1 表示的曲线是椭圆，则实数m 的取值范围是（
）
A．（﹣1，2）
B．( −1，1
2 ) ∪( 1
2 ，2)
C．( −1，1
2 )
D．( 1
2 ，2)
【考点】K3：椭圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程的形式可得
2 −m＞0
m + 1＞0
2 −m ≠m + 1
，解可得m 的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，方程
x2
2−m +
y2
m+1 = 1 表示的曲线是椭圆，
则
2 −m＞0
m + 1＞0
2 −m ≠m + 1
，
解可得：﹣1＜m＜2，且m≠1
2，
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第829页（共926页）
故m 的取值范围为（﹣1，
1
2）∪（
1
2，2）；
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆标准方程的基本形式，属于基础题．
5．（4 分）（海淀区校级期末）已知O 为坐标原点，椭圆
x2
16 +
y2
9 = 1 上的点M 到左焦点F1 的距离为2，N 为MF1
的中点，则ON 的值等于（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】首先根据椭圆的定义求出|MF2|＝6 的值，进一步利用三角形的中位线求得结果．
【解答】解：椭圆
x2
16 +
y2
9 = 1 的a＝4，
设右焦点为F2，
根据椭圆的定义得：|MF1|+|MF2|＝2a＝8，
|MF1|＝2，可得|MF2|＝6，
由于△MF2F1 中N、O 是MF1、F1F2 的中点，
根据中位线定理得：|ON|= 1
2|MF2|＝3，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：椭圆的定义，椭圆的方程中量的关系，三角形中位线定理，考查运算能力，属于基
础题．
6．（4 分）（潮州校级模拟）已知双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y =
3x，它的一个焦点在抛
物线y2＝8x 的准线上，则双曲线的方程为（
）
A．x2 −y2
3 = 1
B．
x2
3 −y2 = 1
C．
x2
4 −
y2
12 = 1
D．
x2
12 −
y2
4 = 1
【考点】KF：圆锥曲线的共同特征．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x＝﹣2，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x 轴上，则双曲
线的左焦点为（﹣2，0），此时由双曲线的性质a2+b2＝c2 可得a、b 的一个方程；再根据焦点在x 轴上的双曲线
的渐近线方程为y＝±
b
ax，可得
b
a =
3，则得a、b 的另一个方程．那么只需解a、b 的方程组，问题即可解决．
【解答】解：因为抛物线y2＝8x 的准线方程为x＝﹣2，
则由题意知，点F（﹣2，0）是双曲线的左焦点，
所以a2+b2＝c2＝4，
又双曲线的一条渐近线方程是y=
3x，
所以
b
a =
3，
解得a2＝1，b2＝3，
所以双曲线的方程为x2 −y2
3 = 1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c 和a2 的值，是解题的关键．
7．（4 分）（2018 秋•洛阳期末）已知椭圆
x2
25 +
y2
9 = 1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，P 是椭圆上一点，且∠
F1PF2＝60°，则△F1PF2 的面积等于（
）
A．6 3
B．3 3
C．6
D．3
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【专题】34：方程思想；58：解三角形；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】如图所示，椭圆
x2
25 +
y2
9 = 1(a＞b＞0)，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，m+n＝2a＝10，在△F1PF2 中，由余弦
定理可得：（2c）2＝m2+n2﹣2mncos60°，联立解得mn，即可得出．
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【解答】解：如图所示，椭圆
x2
25 +
y2
9 = 1(a＞b＞0)，可得a＝5，b＝3，c=
a2 −b2 =4．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m+n＝2a＝10，
在△F1PF2 中，由余弦定理可得：（2c）2＝m2+n2﹣2mncos60°，可得（m+n）2﹣3mn＝64，即102﹣3mn＝64，
解得mn＝12．
∴△F1PF2 的面积S= 1
2mnsin60°= 1
2 × 12 ×
3
2 =3 3．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．
8．（4 分）（海淀区校级期末）若双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满
足|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值范围是（
）
A．1＜e＜2
B．1≤e≤2
C．1＜e≤2
D．1≤e＜2
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】先根据双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|＝2a 进而根据|PF1|＝3|PF2|，求得a＝|PF2|，同时利用三角形中两边之
和大于第三边的性质，推断出，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，进而求得a 和c 的不等式关系，分析当p 为双曲线顶点时，
c
a =2
且双曲线离心率大于1，可得最后答案．
【解答】解根据双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|＝2a，即3|PF2|﹣|PF2|＝2a．
∴a＝|PF2|，|PF1|＝3a
在△PF1F2 中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，
2c＜4|PF2|，c＜2|PF2|＝2a，
∴
c
a ＜2，
当p 为双曲线顶点时，
c
a =2
又∵双曲线e＞1，
∴1＜e≤2
故选：C．
【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，三角形边与边之间的关系．解题的时候一定要注意点P 在双曲线顶
点位置时的情况，以免遗漏答案．
二、填空题（共6 小题，每小题4 分，共24 分）
9．（4 分）（海淀区校级期末）函数f（x）＝xex 的导数为
（x+1）ex
．
【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；52：导数的概念及应用．
【分析】根据函数的导数公式以及导数的运算法则进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝xex，
∴函数的导数f′（x）＝ex+xex＝（x+1）ex，
故答案为：（x+1）ex
【点评】本题主要考查导数的计算，根据导数的运算法则是解决本题的关键．比较基础．
10．（4 分）（海淀区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F 到准线的距离与椭圆
x2
9 +
y2
4 = 1 的长轴
长相等，则抛物线的标准方程为
y2＝12x
．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
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第831页（共926页）
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，可得焦点到准线的距离，求得椭圆的a，可得长轴长2a，可得p，进而
得到抛物线的标准方程．
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（
p
2，0），准线为x=−p
2，
椭圆
x2
9 +
y2
4 = 1 的a＝3，
由抛物线的焦点F 到准线的距离与椭圆
x2
9 +
y2
4 = 1 的长轴长相等，
可得p＝2a＝6，
可得抛物线的标准方程为y2＝12x．
故答案为：y2＝12x．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及椭圆的几何性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
11．（4 分）（海淀区校级期末）已知定点M（3，4），F 为抛物线y2＝8x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，当|PM|+|PF|
取最小值时，点P 的坐标为
（2，4）
．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设点M 在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求|PM|+|PD|的最小值，同时可推断出当D，
P，M 三点共线时|PM|+|PD|最小，答案可得．
【解答】解：抛物线y2＝8x 的焦点F（2，0），准线为x＝﹣2，
设点M 在准线上的射影为D，连接PF，
由抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，
要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，
只有当D，P，M 三点共线时|PM|+|PD|最小，
且最小值为3﹣（﹣2）＝5，
此时P 的坐标为（2，4），
故答案为：（2，4）．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，涉及与抛物线有关的最值问题，注意运用定义法，属中档题．
12．（4 分）（海淀区校级期末）已知直线l 的参数方程为x = 2 + t
y = 3 + t（t 为参数），以平面直角坐标系的坐标原点为极
点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ＝0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l 与
曲线C 的位置关系是
相切
．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．
【分析】首先利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，进一步利用直线和抛物线位置关系的应用求
出结果．
【解答】解：∵直线l 的参数方程为x = 2 + t
y = 3 + t（t 为参数），
∴直线l 的直角坐标方程为x﹣y+1＝0，
∵曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ＝0（ρ≥0，0≤θ＜2π），
∴曲线C 的直角坐标方程为y2＝4x，
联立x −y + 1 = 0
y2 = 4x
，
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第832页（共926页）
整理得x2﹣2x+1＝0，
解得：x＝1，y＝2，
所以直线与抛物线有且只有一个交点，
直线和抛物线的位置关系为相切．
故答案为：相切．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线和抛物线位置关系的应用．
13．（4 分）（海淀区校级期末）已知函数f（x）＝x3﹣3x+lnx，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
x
﹣y﹣3＝0
．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；52：导数的概念及应用．
【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程．
【解答】解：函数f（x）＝x3﹣3x+lnx 的导数为f′（x）＝3x2﹣3+ 1
x，
可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1，
且f（1）＝1﹣3＝﹣2，
可得切线方程为y+2＝x﹣1，
可得x﹣y﹣3＝0．
故答案为：x﹣y﹣3＝0．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，注意运用导数的几何意义和直线方程的点斜式，考查运算能力，属
于基础题．
14．（4 分）（海淀区校级期末）已知点P 圆C：（x﹣4）2+y2＝4 上，点Q 在椭圆x2 + y2
4 = 1 上移动，则|PQ|的最大
值为
7
．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】点Q 在椭圆x2 + y2
4 = 1 上移动，可设Q（cosθ，2sinθ），由圆C：（x﹣4）2+y2＝4，可得圆心C（4，0），
半径r＝2．利用两点之间的距离公式可得：|CQ|=
(cosθ −4)2 + (2sinθ)2 =
−3(cosθ + 4
3 )2 + 76
3 ，进而得出
|PQ|的最大值．
【解答】解：∵点Q 在椭圆x2 + y2
4 = 1 上移动，∴可设Q（cosθ，2sinθ），
由圆C：（x﹣4）2+y2＝4，可得圆心C（4，0），半径r＝2．
∴|CQ|=
(cosθ −4)2 + (2sinθ)2 =
−3cos2θ −8cosθ + 20 =
−3(cosθ + 4
3 )2 + 76
3 ≤5，当且仅当cosθ＝﹣1
时取等号．
∴|PQ|的最大值＝5+r＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程参数方程、圆的标准方程、两点之间的距离公式、三角函数求值、二次函数
的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（共2 道大题，共44 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）.
15．（9 分）（2015 秋•济南期末）设函数f（x）= 1−a
2 x2 +ax﹣lnx（a∈R）．
（1）当a＝1 时，求函数f（x）的极值；
（2）当a≥2 时，讨论函数f（x）的单调性．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；52：导数的概念及应用．
【分析】（1）可得函数定义域，解出f'（x）＝0，得x＝1．然后考虑在1 左右两侧导数符号，由极值定义可求；
（2）化简可得f′（x）=
(1−a)(x−1
a−1)(x−1)
x
，按照两根
1
a−1与1 的大小关系讨论，在定义域内解不等式f′（x）
＞0，f′（x）＜0 即可；
【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
当a＝1 时，f(x) = x −lnx，f'(x) = 1 −1
x = x−1
x ．
令f'（x）＝0，得x＝1．
当0＜x＜1 时，f'（x）＜0；当x＞1 时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）极小值＝f（1）＝1，无极大值．
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第833页（共926页）
（2）f'(x) = (1 −a)x + a −1
x = (1−a)x2+ax−1
x
= [(1−a)x+1](x−1)
x
=
(1−a)(x−1
a−1)(x−1)
x
，
当
1
a−1 = 1，即a＝2 时，f'(x) =−(x−1)2
x
≤0，f(x)在(0，+ ∞)上是减函数；
当
1
a−1 ＜1，即a＞2 时，令f'（x）＜0，得0＜x＜
1
a−1 或x＞1，令f'（x）＞0，得
1
a−1 ＜x＜1，
当
1
a−1 ＞1，a＜2 时与已知矛盾，舍，
综上，当a＝2 时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当a＞2 时，f(x)在(0，
1
a−1 )和(1，+ ∞)上单调递减，在(
1
a−1 ，1)
上单调递增；
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性，考查分类讨论思想，导数是解决函数的有力工具，应重点
掌握．
16．
（35 分）
（海淀区校级期末）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a＞b＞0)的一个顶点为B（0，1），半焦距为c，离心率e =
3
2 ，
又直线l：y＝kx+m（k≠0）交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且P（x0，y0）为MN 中点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若k＝1，m＝﹣1，求弦MN 的长；
（3）若点Q(1，1
2 )恰好平分弦MN，求实数k，m；
（4）若满足|BM|＝|BN|，求实数m 的取值范围并求kMNkOP 的值；
（5）设圆T：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）与椭圆C 相交于点E 与点F，求TE
→
⋅TF
→
的最小值，并求此时圆T 的方程；
（6）若直线l 是圆O：x2 + y2 = 4
5的切线，证明∠MON 的大小为定值．
【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）运用离心率公式和a，b，c 的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线y＝x﹣1 与椭圆方程，求得交点，运用两点的距离公式可得所求值；
（3）运用点差法和中点坐标公式，化简整理可得所求值；
（4）运用中点坐标公式和联立直线方程与椭圆方程，运用韦达定理，解不等式可得所求范围；
（5）设E（x3，y3）（y3＞0），F（x3，﹣y3），运用向量的数量积的坐标表示和二次函数的最值求法，可得所求
最小值与圆方程；
（6）运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，以及直线和圆相切的条件：d＝r，即可得证．
【解答】解：（1）根据题意：
b = 1
c
a =
3
2
b2 + c2 = a2
，解得a = 2
b = 1，所以椭圆C 的标准方程为
x2
4 + y2 = 1；
（2）联立直线方程和椭圆方程：
x2
4 + y2 = 1
y = x −1
，整理得：5x2﹣8x＝0，解得x＝0 或−8
5，
所以M（0，﹣1），N( 8
5 ，3
5 )，则|MN| =
( 8
5 )2 + ( 3
5 + 1)2 = 8 2
5 ；
（3）Q(1，1
2 )恰好平分弦MN，所以
x0 = 1
y0 = 1
2
，
M，N 在椭圆上，则
x1
2
4 + y1
2 = 1
x2
2
4 + y2
2 = 1
，相减得
(x1−x2)(x1+x2)
4
+ (y1 −y2)(y1 + y2) = 0，
即
(x1−x2)×2x0
4
+ (y1 −y2) × 2y0 = 0，即
(x1−x2)
2
+ (y1 −y2) = 0，
则
y1−y2
x1−x2
=−
1
2，即k =−1
2，
点Q 在直线上，所以直线l：y −1
2 =−1
2 (x −1)，整理得y =−1
2 x + 1，所以m＝1，
综上所述：k =−1
2，m＝1；
（4）由（3）知
(x1−x2)×2x0
4
+ (y1 −y2) × 2y0 = 0，等号两边同时除以（x1﹣x2）×2x0，
得
1
4 + kMNkOP = 0，所以kMNkOP =−1
4；
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联立直线方程和椭圆方程：
x2
4 + y2 = 1
y = kx + m
，
整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
△＝64k2m2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，解得k2＞m2−1
4
，
则x1 + x2 =−8km
4k2+1，所以x0 = x1+x2
2
=−4km
4k2+1，
则y0 = kx0 + m =
m
4k2+1，
因为|BM|＝|BN|，所以kBPk＝﹣1，
则kBP = y0−1
x0
=
m
4k2+1−1
−4km
4k2+1
=−1
k，化简得k2 =−3m+1
4
＞0，
则m＜−1
3，又k2＞m2−1
4
，所以−3m+1
4
＞m2−1
4
，解得−3＜m＜−1
3，
综上所述：−3＜m＜−1
3，kMNkOP =−1
4；
（5）设E（x3，y3）（y3＞0），F（x3，﹣y3），
则TE
→
= (x3 + 2，y3)，TF
→
= (x3 + 2，−y3)，
所以TE
→
⋅TF
→
= (x3 + 2)2 −y3
2，点E 与点F 在椭圆上：y3
2 = 1 −
x3
2
4 ，
所以TE
→
⋅TF
→
= 5
4 x3
2 + 4x3 + 3，当x3 =−8
5时，TE
→
⋅TF
→
取得最小值−1
5，
此时y3 = 3
5，r = |TE| =
13
25 ，
综上所述：TE
→
⋅TF
→
的最小值为−1
5，此时圆T 的方程(x + 2)2 + y2 = 13
25；
（6）证明：由（4）得x1 + x2 =−8km
4k2+1
且（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，所以x1x2 = 4m2−4
4k2+1 ，y1y2 = (kx1 + m)(kx2 + m) = k2x1x2 + mk(x1 + x2) + m2，
所以OM
→
⋅ON
→
= x1x2 + y1y2 = (k2 + 1)x1x2 + mk(x1 + x2) + m2 = 5m2−4k2−4
4k2+1
，
直线l 是圆O：x2 + y2 = 4
5的切线，所以点O 到直线l 距离为
2
5，
即
|m|
k2+1
=
2
5，
整理得5m2﹣4k2﹣4＝0，所以OM
→
⋅ON
→
= 0，
即∠MON 的大小为90°．
【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系、以及直线和圆的位置关系，综合考查点差法和韦达定理、方程思想和
运算能力，是一道综合题．
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考点卡片
1．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C 为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0 且a≠1）⑦[logax）]′= 1
x*（logae）=
1
xlna（a＞0 且a≠1）⑧[lnx]′= 1
x．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[
f(x)
g(x)]′= [f'(x)g(x)−f(x)g'(x)]
[g(x)2]
．
3、复合函数的导数
设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′
（2015）﹣f′（﹣2015）＝（
）
A．0
B．2014
C．2015
D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（
）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx
B．（lnx﹣2x）′= 1
x −2xln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x
D．（
sinx
x ）′= xcosx−sinx
x2
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx 成立，故A 正确；
对于选项B，(lnx −2x)' = 1
x −2xln2 成立，故B 正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C 不正确；
对于选项D，( sinx
x )' = xcosx−sinx
x2
成立，故D 正确．
故选C．
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，
而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注
意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
2．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
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1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集
的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集
的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确
定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（
）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x) = x3 + x2[f'(x) +
m
2 ]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
ln2
2 ×
ln3
3 ×
ln4
4 × ⋯×
lnn
n ＜
1
n (n ≥2，n ∈N∗)．
解：（Ⅰ）f'(x) = a(1−x)
x
(x＞0)（2 分）
当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）
（Ⅱ）f'(2) =−a
2 = 1 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴g(x) = x3 + ( m
2 + 2)x2 −2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g'(t)＜0
g'(3)＞0
(8 分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0 恒成立，
所以有：
g'(1)＜0
g'(2)＜0
g'(3)＞0
，∴−37
3 ＜m＜−9（10 分）
（Ⅲ）令a＝﹣1 此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
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∴lnx＜x﹣1 对一切x∈（1，+∞）成立，（12 分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnn
n ＜n−1
n
∴
ln2
2 ⋅
ln3
3 ⋅
ln4
4 ⋅⋅
lnn
n ＜
1
2 ⋅
2
3 ⋅
3
4 ⋅⋅
n−1
n
=
1
n (n ≥2，n ∈N∗)
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完
全类似）．即在区间内f′（x）＞0 是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
3．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说
f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y 极大值＝f（x0），x0 是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f
（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y 极小值＝f（x0），x0 是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不
意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能
在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0 满足f′（x0）＝0，且在x0 的两侧f（x）的导数异号，则x0 是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′
（x）在x0 两侧满足“左正右负”，则x0 是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0 两侧满足“左
负右正”，则x0 是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0 的根；
（3）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左
右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极
小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数
在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极
小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极
小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也
可能不是极值点．
4．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导
数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在
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解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率
的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1 处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1 时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线
方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
5．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0），焦点在x 轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）
y2
a2 +
x2
b2 = 1（a＞b＞0），焦点在y 轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x 轴上
y2
a2 +
x2
b2 = 1（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y 轴上
图形
顶点
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴
x 轴、y 轴，长轴长2a，短轴长
2b
焦点在长轴长上
x 轴、y 轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
离心率
e= c
a（0＜e＜1）
e= c
a（0＜e＜1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
6．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
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2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和
短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
c
a叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e= c
a，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e 越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为
x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
7．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
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8．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
9．圆锥曲线的共同特征
【知识点的知识】
圆锥曲线的共同特征：
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到定直线的距离之比为定值e．当0＜e＜1 时，圆锥曲线是椭圆；当e
＞1 时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1 时，圆锥曲线是抛物线．其中定点是圆锥曲线的一个焦点，定直线是相应于这
个交点的准线．
10．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联
立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C 上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C 的离心率e = 1
2．
（1）求圆锥曲线C 的方程；
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（2）设经过点F2 的任意一条直线与圆锥曲线C 相交于A、B，试证明在x 轴上存在一个定点P，使PA
→
⋅PB
→
的值是
常数．
解：（1）依题意，设曲线C 的方程为
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵e = c
a = 1
2，
∴a＝2，
∴b =
a2 −c2 =
3，
所求方程为
x2
4 +
y2
3 = 1．
（2）当直线AB 不与x 轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由
x2
4 + y2
3 = 1
y = k(x −1)
，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而xA + xB =
8k2
3+4k2，xA ⋅xB = 4(k2−3)
3+4k2 ，
设P（t，0），则
PA
→
⋅PB
→
= (xA −t)(xB −t) + yAyB = (k2 + 1)xAxB −(t + k2)(xA + xB) + (k2 + t2) = 3t2−12+(−5−8t+4t2)k2
3+4k2
当
3t2−12
3
=
−5−8t+4t2
4
，
解得t = 11
8
此时对∀k∈R，PA
→
⋅PB
→
=−135
64 ；
当AB⊥x 轴时，直线AB 的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，yA(yB) =± 3
2，
对t = 11
8 ，PA
→
⋅PB
→
= (xA −t)(xB −t) + yAyB = 9
64 −9
4 =−135
64 ，
即存在x 轴上的点P( 11
8 ，0)，使PA
→
⋅PB
→
的值为常数−135
64 ．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关
系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c 中的两个
值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当
的放到最后做．
11．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C 上的点与方程f（ρ，θ）＝0 有如下关系
（1）曲线C 上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0 的所有解为坐标的点都在曲线C 上．
则曲线C 的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系（适当的极坐标系）
②设点（设M（ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M 的等式）
④将等式坐标化
⑤化简（此方程f（ρ，θ）＝0 即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
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ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
12．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道
变数x，y 中的一个与参数t 的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），
那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y 的取值范围保持一致．
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日期：2019/4/17 15:12:04；用户：18434650699 ；邮箱：18434650699 ；学号：19737267
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2018-2019 学年北京市清华附中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共8 小题，共8×5＝40 分）
1．（5 分）（2019•红桥区一模）若p：∀x∈R，sin x≤1，则（
）
A．¬p：∃x0∈R，sin x0＞1
B．¬p：∀x∈R，sin x＞1
C．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1
D．¬p：∀x∈R，sin x≥1
2．（5 分）（2018 秋•潍坊期末）双曲线方程为
x2
4 −y2 =1，则渐近线方程为（
）
A．y＝±
1
2x
B．y＝±2x
C．y＝±x
D．y= 1
2x
3．（5 分）（海淀区校级期末）下列命题中的假命题是（
）
A．∀x∈R，2x﹣1＞0
B．∀x∈R，（x﹣1）2＞0
C．∃x∈R，lg x＜1
D．∃x∈R，tan x＝2
4．（5 分）（2010•天津）i 是虚数单位，复数
3+i
1−i =（
）
A．1+2i
B．2+4i
C．﹣1﹣2i
D．2﹣i
5．（5 分）（2017•丰台区二模）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面
积为（
）
A．1
B．2
C．3
D．2
6．（5 分）（2017•山西二模）函数f（x）＝log2x+x﹣2 的零点所在的区间是（
）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
7．（5 分）（海淀区校级期末）“x＞0”是“x+sinx＞0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（5 分）（海淀区校级期末）如图，在棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，点E、F 是棱BC、CC1 的中点，P
是底面ABCD 上（含边界）一动点，满足A1P⊥EF，则线段A1P 长度的取值范围是（
）
A．[1，5
2 ]
B．[ 5
2 ，3
2 ]
C．[1，3]
D．[ 2，3]
二、填空题（共6 小题，共6×5＝30 分）
9．（5 分）（海淀区校级期末）复数z＝1﹣2i（其中i 为虚数单位）的虚部为
．
10．（5 分）（海淀区校级期末）命题“若x≠0，则x2＞0”的逆否命题为
．
11．（5 分）（海淀区校级期末）抛物线x2＝4y 上的点到其焦点的最短距离为
．
12．（5 分）（海淀区校级期末）已知对∀x∈R，ax2﹣x+1＞0 恒成立，则a 的取值范围是
．
13．（5 分）（海淀区校级期末）在下列四个命题：
①∀x∈R，x2+3x+1＞0；
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第844页（共926页）
②∀x∈Q，
1
3x2+ 1
2x+1 是有理数；
③∃α，β∈R，使sin（α+β）＝sinα+sinβ；
④∃x，y∈Z，使3x﹣2y＝10
真命题的序号是
．
14．（5 分）（2017•石景山区一模）已知f(x) =
2a −(x + 4
x )，x＜a
x −4
x ，x ≥a
．
①当a＝1 时，f（x）＝3，则x＝
；
②当a≤﹣1 时，若f（x）＝3 有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a＝
．
三、解答题（共6 小题，共80 分）
15．（13 分）（海淀区校级期末）设命题p：y＝ln（x2+（a﹣1）x+1）的定义域为R；命题q：复数z＝a﹣1+（a﹣2）
i（a∈R）表示的点在第四象限．若p∨q 为真，p∧q 为假，求a 的取值范围．
16．（13 分）（海淀区校级期末）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边为a，b，c．已知3cosA﹣2＝0，sin（A+C）
=
5cos C．
（I）求tanC 的值；
（II）若a＝2，求△ABC 的面积．
17．（13 分）（通州区期末）在四棱锥P﹣ABCD 中，△PAB 为正三角形，四边形ABCD 为矩形，平面PAB⊥平面
ABCD，AB＝2AD，M，N 分别为PB，PC 中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AM﹣C 的大小；
（Ⅲ）在BC 上是否存在点E，使得EN⊥平面AMN？若存在，求
BE
BC的值；若不存在，请说明理由．
18．（14 分）（海淀区校级期末）已知函数f（x）＝exsinx﹣ax．
（I）若a＝0，求曲线y＝f（x）在（0，f （0））处的切线方程；
（II）若f（x）在[0，
π
2]上为单调函数，求a 的取值范围．
19．（14 分）（海淀区校级期末）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）长轴为AB，如图所示，直线l：x＝2 与椭圆相切
与B 点，且椭圆的离心率为e=
3
2 ．
（I）求椭圆方程；
（II）设P 点为椭圆上的动点，过P 做x 轴的垂线，垂足为H，延长HP 到Q，使得|PH|＝|PQ|，直线AQ 与直线
l 交于点M，N 为线段MB 的中点，判断直线QN 与以AB 为直径的圆的位置关系，并给出证明．
20．（13 分）（海淀区校级期末）设{an}为至少有三项的有限数列，若它满足：
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①0≤a1＜a2＜…＜an
②∀i，j∈N*，1≤i≤j≤n，aj+ai 与aj﹣ai 至少有一个是数列{an}中的某一项则称该数列为B﹣数列
（I）判断数列①1，2，4；②0，2，4，6 是否为B﹣数列．
（II）设数列a1，a2，…an 是B﹣数列，求证a1 + a2 + ⋯+ an = n(a1+an)
2
（III）求证：“数列a1，a2，…an 为B﹣数列”是“a1，a2，…an 是等差数列”的充分不必要条件．
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2018-2019 学年北京市清华附中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8 小题，共8&#215;5＝40 分）
1．（5 分）（2019•红桥区一模）若p：∀x∈R，sin x≤1，则（
）
A．¬p：∃x0∈R，sin x0＞1
B．¬p：∀x∈R，sin x＞1
C．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1
D．¬p：∀x∈R，sin x≥1
【考点】2H：全称量词和全称命题；2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】29：规律型．
【分析】根据全称命题的否定为特称命题，分别对量词和命题的结论分别进行否定即可求解
【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，
∀x∈R，sin x≤1 的否定为：∃x∈R，sin x＞1
故选：A．
【点评】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础试题
2．（5 分）（2018 秋•潍坊期末）双曲线方程为
x2
4 −y2 =1，则渐近线方程为（
）
A．y＝±
1
2x
B．y＝±2x
C．y＝±x
D．y= 1
2x
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】把双曲线的标准方程中的1 换成0 即得渐近线方程，化简即可得到所求．
【解答】解：∵双曲线方程为
x2
4 −y2 = 1，则渐近线方程为
x2
4 −y2 = 0，即y =± 1
2 x，
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1 换成0 即得渐
近线方程．
3．（5 分）（海淀区校级期末）下列命题中的假命题是（
）
A．∀x∈R，2x﹣1＞0
B．∀x∈R，（x﹣1）2＞0
C．∃x∈R，lg x＜1
D．∃x∈R，tan x＝2
【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；5L：简易逻辑．
【分析】由指数函数的值域，可判断A；由完全平方数非负，可判断B；
由x= 1
2，lgx＜0，可判断C；由tanx＝2 可得x＝kπ+arctan2，k∈Z，可判断D．
【解答】解：由指数函数的值域可得，∀x∈R，2x﹣1＞0，即A 正确；
∀x∈R，（x﹣1）2＞0，不正确，比如x＝1，则（x﹣1）2＝0，则B 不正确；
∃x∈R，lg x＜1，正确，比如x= 1
2，lgx＜0，即C 正确；
由tanx＝2 可得x＝kπ+arctan2，k∈Z，则D 正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题的真假判断，注意运用指数函数的值域和对数函数的性质、正切函数的性质，考查判断能
力，属于基础题．
4．（5 分）（2010•天津）i 是虚数单位，复数
3+i
1−i =（
）
A．1+2i
B．2+4i
C．﹣1﹣2i
D．2﹣i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可．
【解答】解：
3+i
1−i =
(3+i)(1+i)
(1−i)(1+i) =
2+4i
2
= 1 + 2i．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题．
5．（5 分）（2017•丰台区二模）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面
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积为（
）
A．1
B．2
C．3
D．2
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】判断几何体的图形，利用三视图的数据求解最大侧面面积即可．
【解答】解：由三视图可知几何体是一条侧棱与底面垂直，底面是正方形，四棱锥的高为2，底面正方形的对角
线的长为2，
四棱锥的4 个侧面面积分别为：
1
2 ×
2 × 2 =
2；
1
2 ×
2 × 2 =
2；
1
2 ×
2 ×
4 + 2 =
3；
1
2 ×
2 ×
4 + 2 =
3．
最大侧面面积为：3．
故选：C．
【点评】本题考查三视图求解几何体的侧面面积，考查数形结合以及空间想象能力计算能力．
6．（5 分）（2017•山西二模）函数f（x）＝log2x+x﹣2 的零点所在的区间是（
）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】由题意知函数f（x）＝log2x+x﹣2 在（0，+∞）上连续，再由函数的零点的判定定理求解．
【解答】解：函数f（x）＝log2x+x﹣2 在（0，+∞）上连续，
f（1）＝0+1﹣2＜0；
f（2）＝1+2﹣2＞0；
故函数f（x）＝log2x+x﹣2 的零点所在的区间是（1，2）；
故选：B．
【点评】本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
7．（5 分）（海淀区校级期末）“x＞0”是“x+sinx＞0”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；49：综合法；5L：简易逻辑．
【分析】问题转化为y＝﹣x 和y＝sinx 的图象的位置，画出函数的图象，读图即可得到答案．
【解答】解：若x+sinx＞0，
只需y＝﹣x 的图象在y＝sinx 的下方即可，
画出函数y＝﹣x 和y＝sinx 的图象，如图示：
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，
由图象得：x＞0 是x+sinx＞0 的充要条件，
故选：C．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查数形结合思想，是一道基础题．
8．（5 分）（海淀区校级期末）如图，在棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，点E、F 是棱BC、CC1 的中点，P
是底面ABCD 上（含边界）一动点，满足A1P⊥EF，则线段A1P 长度的取值范围是（
）
A．[1，5
2 ]
B．[ 5
2 ，3
2 ]
C．[1，3]
D．[ 2，3]
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】39：运动思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】连接BC1，A1D，可得EF∥BC1，A1D⊥BC1，则A1D⊥EF，再由已知正方体可得DC⊥EF，得EF⊥平
面A1DC，则A1C⊥EF，得到当P 在线段CD 上运动时，有A1P⊥EF，进一步得到当P 与D 重合时，A1P 有最小
值为2，当P 与C 重合时，A1P 有最大值为3．
【解答】解：如图，
连接BC1，A1D，可得EF∥BC1，A1D⊥BC1，
∴A1D⊥EF，
又DC⊥EF，可得EF⊥平面A1DC，则A1C⊥EF，
∴当P 在线段CD 上运动时，有A1P⊥EF，
当P 与D 重合时，A1P 有最小值为2，当P 与C 重合时，A1P 有最大值为3．
∴线段A1P 长度的取值范围是[ 2，3]．
故选：D．
【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，解决本题的关键是通过构造
平行平面寻找P 点位置，属中档题．
二、填空题（共6 小题，共6&#215;5＝30 分）
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第849页（共926页）
9．（5 分）（海淀区校级期末）复数z＝1﹣2i（其中i 为虚数单位）的虚部为
﹣2
．
【考点】A1：虚数单位i、复数．菁优网版权所有
【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的概念即可得到答案．
【解答】解：数z＝1﹣2i 的虚部为﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查复数的基本概念，属于基础题．
10．（5 分）（海淀区校级期末）命题“若x≠0，则x2＞0”的逆否命题为
“若x2≤0，则x＝0”
．
【考点】21：四种命题．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若￢q，则￢p”，写出即可．
【解答】解：命题“若x≠0，则x2＞0”的逆否命题为
“若x2≤0，则x＝0”．
故答案为：“若x2≤0，则x＝0”．
【点评】本题考查了命题与它的逆否命题应用问题，是基础题．
11．（5 分）（海淀区校级期末）抛物线x2＝4y 上的点到其焦点的最短距离为
1
．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线的定义与性质，结合图象求出抛物线上的点到其焦点的最短距离．
【解答】解：设抛物线x2＝4y 上的点为P（x，y），y≥0；
则点P 到其焦点F（0，1）的距离，等于到其准线y＝﹣1 的距离，
∴d＝|y﹣（﹣1）|＝|y+1|≥1，
∴最短距离为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，是基础题．
12．（5 分）（海淀区校级期末）已知对∀x∈R，ax2﹣x+1＞0 恒成立，则a 的取值范围是
a＞1
4
．
【考点】73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；47：判别式法；59：不等式的解法及应用．
【分析】利用判别式求出不等式ax2﹣x+1＞0 恒成立时a 的取值范围．
【解答】解：对∀x∈R，ax2﹣x+1＞0 恒成立，
∴a＞0
△＜0
，
即a＞0
1 −4a＜0
，
解得a＞1
4；
∴a 的取值范围是a＞1
4．
故答案为：a＞1
4．
【点评】本题考查了不等式恒成立问题，是基础题．
13．（5 分）（海淀区校级期末）在下列四个命题：
①∀x∈R，x2+3x+1＞0；
②∀x∈Q，
1
3x2+ 1
2x+1 是有理数；
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第850页（共926页）
③∃α，β∈R，使sin（α+β）＝sinα+sinβ；
④∃x，y∈Z，使3x﹣2y＝10
真命题的序号是
②③④
．
【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；49：综合法；5L：简易逻辑．
【分析】举例说明①错误，③④正确；利用有理指数幂的运算性质说明②正确．
【解答】解：当x＝﹣1 时，x2+3x+1＝﹣1＜0，故①为假命题；
∀x∈Q，
1
3x2+ 1
2x+1 是有理数，故②为真命题；
取α＝2kπ（k∈Z），则sin（α+β）＝sinα+sinβ成立，故③为真命题；
取x＝10，y＝10，则使3x﹣2y＝10 成立，故④为真命题．
综上可得：②③④是真命题．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了命题真假的判断、实数的理论及其三角函数，考查了推理能力，属于中档题．
14．（5 分）（2017•石景山区一模）已知f(x) =
2a −(x + 4
x )，x＜a
x −4
x ，x ≥a
．
①当a＝1 时，f（x）＝3，则x＝
4
；
②当a≤﹣1 时，若f（x）＝3 有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a＝
−11
6
．
【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．
【分析】①当a＝1 时，f（x）＝3，利用分段函数建立方程，即可求出x 的值；
②由f（x）＝3，求得x＝﹣1，或x＝4，根据x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，可得a≤﹣1，f（﹣6）＝3，
由此求得a 的值．
【解答】解：①x≥1，x−4
x =3，可得x＝4；x＜1，2﹣（x+ 4
x）＝3，即x2+x+4＝0 无解，故x＝4；
②由于当x＞a 时，解方程f（x）＝3，可得x−4
x =3，求得x＝﹣1，或x＝4．
∵x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，∴x2＝﹣1，x3＝4，x1 ＝﹣6，∴a≤﹣1．
∴x＜a 时，方程f（x）＝3 只能有一个实数根为﹣6，
再根据f（﹣6）＝2a+6+ 2
3 =3，求得a=−11
6 ，满足a≤﹣1．
故答案为4，−11
6 ．
【点评】本题主要考查分段函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化
的数学思想，属于中档题．
三、解答题（共6 小题，共80 分）
15．（13 分）（海淀区校级期末）设命题p：y＝ln（x2+（a﹣1）x+1）的定义域为R；命题q：复数z＝a﹣1+（a﹣2）
i（a∈R）表示的点在第四象限．若p∨q 为真，p∧q 为假，求a 的取值范围．
【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】求出命题p，q 为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行转化求解即可．
【解答】解：若y＝ln（x2+（a﹣1）x+1）的定义域为R，则x2+（a﹣1）x+1＞0 恒成立，
即判别式△＝（a﹣1）2﹣4＜0，得（a﹣1）2＜4，得﹣2＜a﹣1＜2，即﹣1＜a＜3，即p：﹣1＜a＜3，
若复数z＝a﹣1+（a﹣2）i（a∈R）表示的点在第四象限．
则a −1＞0
a −2＜0
，得a＞1
a＜2
，即1＜a＜2，即q：1＜a＜2，
若p∨q 为真，p∧q 为假，
则p，q 一个真，一个假，
若p 真q 假，则−1＜a＜3
a ≥2 或a ≤1
，得2≤a＜3 或﹣1＜a≤1，
若p 假q 真，则a ≥3 或a ≤−1
1＜a＜2
，此时无解，
综上实数a 的取值范围是2≤a＜3 或﹣1＜a≤1．
【点评】本题主要考查复合命题真假关系的求解，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．
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第851页（共926页）
16．（13 分）（海淀区校级期末）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边为a，b，c．已知3cosA﹣2＝0，sin（A+C）
=
5cos C．
（I）求tanC 的值；
（II）若a＝2，求△ABC 的面积．
【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】
（Ⅰ）推导出sinA=
5
3 ，由正弦加法定理得sinAcosC+cosAsinC=
5cosC，从而
5
3 cosC+ 2
3 sinC =
5cosC，
由此能求出tanC．
（II）由正弦定理得：
2
sinA =
c
sinC，从而求出c=
6，再由余弦定理求出b＝2+
2，由此能求出△ABC 的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边为a，b，c．
3cosA﹣2＝0，sin（A+C）=
5cos C．
∴cosA= 2
3，sinA=
1 −( 2
3 )2 =
5
3 ，
sinAcosC+cosAsinC=
5cosC，
∴
5
3 cosC+ 2
3 sinC =
5cosC，
∴
5
3 +
2
3 tanC =
5，
解得tanC=
5．
（II）∵tanC=
5，∴sinC=
30
6 ，
由正弦定理得：
2
sinA =
c
sinC，
∴c= 2sinC
sinA =
2× 30
6
5
3
=
6，
∵a＝2，∴cosA= b2+c2−a2
2bc
，即
2
3 =
b2+6−4
2b⋅6 ，
解得b＝2+
2，
∴△ABC 的面积：
S= 1
2 absinC = 1
2 × 2 × (2 +
2) × 30
6
=
30+ 15
3
．
【点评】本题考查角的正切值的求法，考查三角形的面积的求法，考查正弦加法定理、正弦定理、余弦定理等基
础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
17．（13 分）（通州区期末）在四棱锥P﹣ABCD 中，△PAB 为正三角形，四边形ABCD 为矩形，平面PAB⊥平面
ABCD，AB＝2AD，M，N 分别为PB，PC 中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AM﹣C 的大小；
（Ⅲ）在BC 上是否存在点E，使得EN⊥平面AMN？若存在，求
BE
BC的值；若不存在，请说明理由．
【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】（Ⅰ）推导出MN∥BC∥AD，由此能证明MN∥平面PAD．
（Ⅱ）过点P 作PO 垂直于AB，交AB 于点O，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AM﹣C 的
大小．
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第852页（共926页）
（Ⅲ）设E（1，λ，0），则EN
→
= ( −1
2 ，1
2 −λ，3
2 )，由此利用向量法能求出在BC 存在点E，使得EN⊥平面
AMN，此时
BE
BC =
1
2．
【解答】（本小题满分14 分）
证明：（Ⅰ）∵M，N 分别是PB，PC 中点
∴MN 是△ABC 的中位线
∴MN∥BC∥AD
又∵AD⊂平面PAD，MN⊄平面PAD
所以MN∥平面PAD．…．（4 分）
解：（Ⅱ）过点P 作PO 垂直于AB，交AB 于点O，
因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
如图建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则A（﹣1，0，0），C（1，1，0），
M（
1
2，0，
3
2 ），
B（1，0，0），N（
1
2，
1
2，
3
2 ），
则AC
→
= (2，1，0)，AM
→
= ( 3
2 ，0，3
2 )
设平面CAM 法向量为n1
→= (x1，y1，z1)，
由n1
→⋅AC
→
= 0
n1
→⋅AM
→
= 0
，得
2x1 + y1 = 0
3
2 x1 + 3
2 z1 = 0，
令x1＝1，则y1 =−2，z1 =−
3，即n1
→= (1，−2，−
3)
平面ABM 法向量n2
→= (0，1，0)
所以，二面角B﹣AM﹣C 的余弦值|cosθ| =
n1
→⋅n2
→
|n1
→||n2
→|
=
2
2
因为二面角B﹣AM﹣C 是锐二面角，
所以二面角B﹣AM﹣C 等于45°…．（10 分）
（Ⅲ）存在点E，使得EN⊥平面AMN…．（11 分）
设E（1，λ，0），则EN
→
= ( −1
2 ，1
2 −λ，3
2 )，
由EN
→
⋅AM
→
= 0
EN
→
⋅MN
→
= 0
可得λ = 1
2，
所以在BC 存在点E，使得EN⊥平面AMN，
此时
BE
BC =
1
2．…．（14 分）
【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，
解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
18．（14 分）（海淀区校级期末）已知函数f（x）＝exsinx﹣ax．
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（I）若a＝0，求曲线y＝f（x）在（0，f （0））处的切线方程；
（II）若f（x）在[0，
π
2]上为单调函数，求a 的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；52：导数的概念及应用．
【分析】（Ⅰ）根据题意，将a＝0 代入函数解析式，可得f（x）＝exsinx，计算可得f（0）＝0，即可得切点的坐
标，求出f（x）的导数计算f′（0）的值，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，求出f（x）的导数，设g（x）＝f′（x）＝ex（sinx+cosx）﹣a，求出g（x）的导数，分析可
得g（x）在区间[0，
π
2]上为增函数，据此可得g（x）的最值，由函数的导数与单调性的关系可得g（x）≥0 或g
（x）≤0 在[0，
π
2]上恒成立，分析可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，a＝0 时，f（x）＝exsinx，
则f（0）＝0，即切点的坐标为（0，0），
f′（x）＝exsinx+excosx＝ex（sinx+cosx），则f′（0）＝1，即切线的斜率为1，
则切线的方程为y＝x，
（Ⅱ）函数f（x）＝exsinx﹣ax，则f′（x）＝ex（sinx+cosx）﹣a，
令g（x）＝f′（x）＝ex（sinx+cosx）﹣a，
则g′（x）＝2excosx，
又由x∈[0，
π
2]，则g′（x）≥0，则函数g（x）为增函数，则g（x）的最小值为g（0）＝1﹣a，g（x）的最大
值为g（
π
2）= e
π
2 −a，
若f（x）在[0，
π
2]上为单调函数，则g（x）≥0 或g（x）≤0 在[0，
π
2]上恒成立；
若g（x）≥0 恒成立，则有1﹣a≥0，必有a≤1；
若g（x）≤0 恒成立，则有e
π
2 −a≤0，必有a≥e
π
2，
综合可得：a 的取值范围为（﹣∞，1]∪[e
π
2，+∞）
【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性以及计算函数的切线方程，注意对a 的值进行分情况讨论．
19．（14 分）（海淀区校级期末）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）长轴为AB，如图所示，直线l：x＝2 与椭圆相切
与B 点，且椭圆的离心率为e=
3
2 ．
（I）求椭圆方程；
（II）设P 点为椭圆上的动点，过P 做x 轴的垂线，垂足为H，延长HP 到Q，使得|PH|＝|PQ|，直线AQ 与直线
l 交于点M，N 为线段MB 的中点，判断直线QN 与以AB 为直径的圆的位置关系，并给出证明．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和a，b，c 的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（II）设P（x0，y0）代入椭圆方程，进而表示出Q 的坐标，求得|OQ|推断出Q 点在以O 为圆心，2 为半径的圆
上．根据点A 的坐标表示出直线AQ 的方程，令x＝0，表示出M 和N 的坐标，代入OQ
→
•NQ
→
求得结果为0，进而
可推知OQ⊥QN，推断出直线QN 与圆O 相切．
【解答】解：（I）由题意可得a＝2，e= c
a =
3
2 ，
可得c=
3，b=
a2 −c2 =1，
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则椭圆方程为
x2
4 +y2＝1；
（II）设P（x0，y0），则
x02
4 +y02＝1，
∵HP＝PQ，∴Q（x0，2y0）．
∴OQ=
x02 + 4y02 =2，
∴Q 点在以O 为圆心，2 为半径的圆上．
即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．
又A（﹣2，0），
∴直线AQ 的方程为y= 2y0
x0+2（x+2），
令x＝2，得M（2，
8y0
2+x0
）．
又B（2，0），N 为MB 的中点，
∴N（2，
4y0
x0+2），
∴OQ
→
=（x0，2y0），NQ
→
=（x0﹣2，
2x0y0
2+x0
），
∴OQ
→
•NQ
→
=x0（x0﹣2）+2y0•
2x0y0
2+x0
=x0（x0﹣2）+ x0(4−x02)
2+x0
＝x0（x0﹣2）+x0（2﹣x0）＝0，
即OQ⊥NQ，
∴直线QN 与圆O 相切．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查了考生综合分析问题和基本的运算能力，属于中档题．
20．（13 分）（海淀区校级期末）设{an}为至少有三项的有限数列，若它满足：
①0≤a1＜a2＜…＜an
②∀i，j∈N*，1≤i≤j≤n，aj+ai 与aj﹣ai 至少有一个是数列{an}中的某一项则称该数列为B﹣数列
（I）判断数列①1，2，4；②0，2，4，6 是否为B﹣数列．
（II）设数列a1，a2，…an 是B﹣数列，求证a1 + a2 + ⋯+ an = n(a1+an)
2
（III）求证：“数列a1，a2，…an 为B﹣数列”是“a1，a2，…an 是等差数列”的充分不必要条件．
【考点】8B：数列的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题；49：综合法；55：点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（Ⅰ）由题意判断①是B﹣数列，②是B﹣数列；
（Ⅱ）根据B﹣数列的定义，推理并计算a1+a2+a3+…+an= n
2（a1+an）；
（III）B﹣数列a1，a2，…，an 构成等差数列，
举例说明等差数列a1，a2，…，an 不一定是B﹣数列．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，数列单调递增，且对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai 与aj﹣ai 两数中至少有一个是该数
列中的项，
对于①数列1，2，4；单调递增，且满足a3﹣a2＝4﹣2＝2 是该数列中的数，∴是B﹣数列；
②数列0，2，4，6；单调递增，且满足aj+ai 与aj﹣ai（1≤i≤j≤3）都是该数列中的项，
∴数列0，2，4，6 是B﹣数列；
（Ⅱ）证明：令j＝n，i＞1，则由“ai+aj 与aj﹣ai 两数中至少有一个属于B﹣数列”，
∴ai+aj 不属于B﹣数列，an﹣ai 属于B﹣数列；
令i＝n﹣1，那么an﹣an﹣1 是集合B﹣数列中某一项，a1 不行，a2 可以；
如果是a3 或者a4，那么可知an﹣a3＝an﹣1，那么an﹣a2＞an﹣a3＝an﹣1，只能是等于an，矛盾；
所以令i＝n﹣1 可以得到an＝a2+an﹣1，
同理，令i＝n﹣2、n﹣3，…，2，可以得到an＝ai+an+1﹣i，
∴倒序相加即可得到a1+a2+a3+…+an= n
2（a1+an）；
（III）证明：由（Ⅱ）可知，an＝ai+an+1﹣i，（i＝1，2，…，n）；
∴an﹣1＝ai+an﹣i，
∴an﹣an﹣1＝an+1﹣i﹣an﹣i，（i＝1，2，3，…，n）；
∴a1，a2，…，an 构成等差数列；
若数列a1，a2，…an 为等差数列，
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则是“a1，a2，…an 不一定是B﹣数列，
如0，1，3 是等差数列，但不是B﹣数列，
∴是充分不必要条件．
【点评】本题考查了新定义的应用问题，也考查了数列与应用问题，是难理解的题目．
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考点卡片
1．四种命题
【知识点的认识】
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命
题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否
定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命
题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原
命题的逆否命题．
【解题方法点拨】
理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题，判断命题的真假要注意与其它考点的知识、方法相
结合．
【命题方向】高考中一般在选择题中出现以命题的形式考察其它知识点的运用，由于本考点可与高中数学中多处的
考点相结合，故考察类型多样，都是基本概念与基本方法的题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p 则q”为真时，可表示为p⇒q，称p 为q 的充分条件，q 是p 的必要条件．事实上，与“p⇒q”
等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q 不成立，则p 一定不成立．这就是说，q 对于p 是必不可少的，
所以说q 是p 的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p 一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p 是q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，
记作“p⇔q”．p 与q 互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证
明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆
二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q 为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；
②若p⇒q 为假命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；
③若p⇒q 为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④若p⇒q 为假命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多
以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否
则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真
假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能
判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P 的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个
命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即
可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命
题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在
性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存
在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，
有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关
等
大
小
至
至
至
至
任
任
P
P
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键
词
于
（＝）
于
（＞）
于
（＜）
是
能
都
是
没
有
多
有
一
个
少
有
一
个
少
有
n
个
多
有
n
个
意
的
两
个
且
Q
或
Q
否
定
词
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）
不
是
不
能
不
都
是
至
少
有
一
个
至
少
有
两
个
一
个
都
没
有
至
多
有
n﹣1
个
至
少
有
n+1
个
某
个
某
两
个
¬P
或
¬Q
¬P
且
¬Q
若原命题P 为真，则¬P 必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同
假．
4．全称量词和全称命题
【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀
应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号
“∀”表示．
（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符
号“∃”表示．
【全称命题】
含有全称量词的命题．“对xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）”．
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下
命题
全称命题xM，p（x）
特称命题xM，p（x）
表述
方法
①所有的xM，使p（x）成立
①存在xM，使p（x）成立
②对一切xM，使p（x）成立
②至少有一个xM，使p（x）成立
③对每一个xM，使p（x）成立
③对有些xM，使p（x）成立
④任给一个xM，使p（x）成立
④对某个xM，使p（x）成立
⑤若xM，则p（x）成立
⑤有一个xM，使p（x）成立
解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的
特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命
题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．
命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
5．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的
条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P 不是命题P 的否命题，而是命题P 的否定形
式．对命题“若P 则Q“来说，¬P 是“若P 则非Q”；P 的否命题是“若非P 则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．
【解题方法点拨】若p 则q，那么它的否命题是：若¬p 则¬q，命题的否定是：若p 则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量
词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．
【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改
地区常考题型．
6．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q 及非p 的真假，然后由真值表判断复合命题的
真假．
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注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0 的两根都不是实根”，因为“都是”的反
面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得
出复合命题的真假．
2．判断一个“若p 则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p 则q”为
真；而要确定“若p 则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这
一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
7．函数零点的判定定理
【知识点的知识】
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函
数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c 也就是f（x）＝0 的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有
零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2 有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一
的零点．
2、函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零
点．
特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0 在[0，2]上有两个等根，
而函数f（x）＝x2﹣2x+1 在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
（2）代数法：求方程f（x）＝0 的实数根．
8．分段函数的应用
【分段函数的应用】
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实
当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分
段函数．
【具体应用】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我
们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A 型产品出厂价为每件60 元，年销售量
为11.8 万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100 元要征收p 元）的税收，于
是该产品的出厂价上升为每件
8000
100−p元，预计年销售量将减少p 万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16 万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16 万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p 应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为
8000
100−p（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y= 8000
100−p（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y=
80
100−p（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0 及p＞0 得定义域为0＜p＜11.8…（4 分）
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（II）由y≥16 得
80
100−p（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16 万元．…（9 分）
（III）第二年，当税收不少于16 万元时，
厂家的销售收入为g（p）= 8000
100−p（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵g(p) = 8000
100−p (11.8 −p) = 800(10 +
882
100−p )在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其
实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的
是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【考查预测】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
9．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0 的解集与定义域的交集
的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0 的解集与定义域的交集
的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0 的根；
（4）用f′（x）＝0 的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确
定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）
在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4 的解集为（
）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0 得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x) = x3 + x2[f'(x) +
m
2 ]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围；
（Ⅲ）求证：
ln2
2 ×
ln3
3 ×
ln4
4 × ⋯×
lnn
n ＜
1
n (n ≥2，n ∈N∗)．
解：（Ⅰ）f'(x) = a(1−x)
x
(x＞0)（2 分）
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当a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）
（Ⅱ）f'(2) =−a
2 = 1 得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴g(x) = x3 + ( m
2 + 2)x2 −2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g'(t)＜0
g'(3)＞0
(8 分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0 恒成立，
所以有：
g'(1)＜0
g'(2)＜0
g'(3)＞0
，∴−37
3 ＜m＜−9（10 分）
（Ⅲ）令a＝﹣1 此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1 对一切x∈（1，+∞）成立，（12 分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnn
n ＜n−1
n
∴
ln2
2 ⋅
ln3
3 ⋅
ln4
4 ⋅⋅
lnn
n ＜
1
2 ⋅
2
3 ⋅
3
4 ⋅⋅
n−1
n
=
1
n (n ≥2，n ∈N∗)
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完
全类似）．即在区间内f′（x）＞0 是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
10．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导
数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在
解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率
的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1 处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1 时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线
方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
11．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2 的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0 或
ax2+bx+c＜0（a 不等于0）其中ax2+bx+c 是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0 时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0 有两个实根，那么ax2+bx+c 可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0 时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0 仅有一个实根，那么ax2+bx+c 可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0 时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0 没有实根，那么ax2+bx+c 与x 轴没有交点．
【实例解析】
例1：一元二次不等式x2＜x+6 的解集为．
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解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0 的形式；然后应用了特征当中的
第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．
【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0 的解集是R 的等价条件是：a＞0 且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0 的解集是R
的等价条件是：a＜0 且△＜0．
②分式不等式问题：
f(x)
g(x) ＞0⇔f（x）•g（x）＞0；
f(x)
g(x) ＜0⇔f（x）•g（x）＜0；
f(x)
g(x) ≥0⇔f(x) ⋅g(x) ≥0
g(x) ≠0
；
f(x)
g(x) ≤0⇔f(x) ⋅g(x) ≤0
g(x) ≠0
．
12．数列的应用
【知识点的知识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
13．虚数单位i、复数
【虚数单位i 的概念】
i 是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i 是﹣1 的平方根．我们把a+bi 的数叫做复数，把a＝0 且b≠0 的数叫做
纯虚数，a≠0，且b＝0 叫做实数．复数的模为a2 + b2．
【复数的运算】
①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．
②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．
【例题解析】
例：定义运算a
b
c
d = ad −bc，则符合条件1
−1
z
zi
= 4 + 2i 的复数z 为．
解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z= 4+2i
1+i = (4+2i)(1−i)
(1+i)(1−i) = 6−2i
2
=3﹣i．
这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一
步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前
面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a 和b，这种类型
的题一般用待定系数法．
【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b 分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi 为实数；若
b≠0，则a+bi 为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi 为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：OZ
→
的长度叫做复数z＝a+bi 的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=
a2 + b2．
14．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
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15．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C
＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理
求c 边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般
指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE
是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC= 1
2aha= 1
2bhb= 1
2chc（ha、hb、hc 分别表示a、b、c 上的高）；
②S△ABC= 1
2absinC= 1
2bcsinA= 1
2acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R 为外接圆半径）
④S△ABC= abc
4R；
⑤S△ABC=
s(s −a)(s −b)(s −c)，（s= 1
2（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（r 为△ABC 内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
A
2 +
B
2 =
π
2 −
C
2，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccosA
b2＝a2+c2﹣2accosB
c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosA= b2+c2−a2
2bc
cosB= a2+c2−b2
2ac
cosC= a2+b2−c2
2ab
正弦定理
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC =2R
R 为△ABC 的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA= a
2R，sinB= b
2R，sinC= c
2R
射影定理
acosB+bcosA＝c
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acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a
面积公式
①S△= 1
2aha= 1
2bhb= 1
2chc
②S△= 1
2absinC= 1
2acsinB= 1
2bcsinA
③S△= abc
4R
④S△=
s(s −a)(s −b)(s −c)，（s= 1
2
（a+b+c））；
⑤S△= 1
2（a+b+c）r
（r 为△ABC 内切圆半径）
sinA= 2S△
bc
sinB＝
2S△
ac
sinC= 2S△
ab
16．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0），焦点在x 轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）
y2
a2 +
x2
b2 = 1（a＞b＞0），焦点在y 轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x 轴上
y2
a2 +
x2
b2 = 1（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y 轴上
图形
顶点
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴
x 轴、y 轴，长轴长2a，短轴长
2b
焦点在长轴长上
x 轴、y 轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
离心率
e= c
a（0＜e＜1）
e= c
a（0＜e＜1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
17．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
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18．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
19．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联
立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C 上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C 的离心率e = 1
2．
（1）求圆锥曲线C 的方程；
（2）设经过点F2 的任意一条直线与圆锥曲线C 相交于A、B，试证明在x 轴上存在一个定点P，使PA
→
⋅PB
→
的值是
常数．
解：（1）依题意，设曲线C 的方程为
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0），
∴c＝1，
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∵e = c
a = 1
2，
∴a＝2，
∴b =
a2 −c2 =
3，
所求方程为
x2
4 +
y2
3 = 1．
（2）当直线AB 不与x 轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由
x2
4 + y2
3 = 1
y = k(x −1)
，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而xA + xB =
8k2
3+4k2，xA ⋅xB = 4(k2−3)
3+4k2 ，
设P（t，0），则
PA
→
⋅PB
→
= (xA −t)(xB −t) + yAyB = (k2 + 1)xAxB −(t + k2)(xA + xB) + (k2 + t2) = 3t2−12+(−5−8t+4t2)k2
3+4k2
当
3t2−12
3
=
−5−8t+4t2
4
，
解得t = 11
8
此时对∀k∈R，PA
→
⋅PB
→
=−135
64 ；
当AB⊥x 轴时，直线AB 的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，yA(yB) =± 3
2，
对t = 11
8 ，PA
→
⋅PB
→
= (xA −t)(xB −t) + yAyB = 9
64 −9
4 =−135
64 ，
即存在x 轴上的点P( 11
8 ，0)，使PA
→
⋅PB
→
的值为常数−135
64 ．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关
系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c 中的两个
值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当
的放到最后做．
20．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：
（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
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（1）表面积公式：
圆柱：S圆柱= 2πr(r + l)
圆锥：S圆锥= πr(r + l)
圆台：S圆台= π(r2 + r'2 + rl + r'l)
球：S球= 4πr2
（2）体积公式：
柱体：V柱= Sh
锥体：V锥= 1
3 Sh
台体：V台= 1
3 (S +
SS' + S')h
球：V球= 4πr3
3
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图
的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之
间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面
积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A.8﹣2πB.8﹣πC.8−π
2
D.8−π
4
分析：几何体是正方体切去两个
1
4圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入
正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个
1
4圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2× 1
4 ×π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
21．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
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如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，
a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，
就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b 与a 的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a 平行有
无数条，另一类与a 异面，也有无数条．
22．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部
分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣
Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，
则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的
另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所
成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为u
→和v
→，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜u
→，v
→＞≤π
2，θ= ＜u
→，v
→＞，此时cosθ＝cos＜u
→，v
→＞=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
（2）当
π
2 ＜＜u
→，v
→＞≤π时，θ＝cos（π−＜u
→，v
→＞）＝﹣cos＜u
→，v
→＞=−=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
23．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
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2018-2019 学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题共8 小题，每小题4 分，共32 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4 分）直线2x+y﹣1＝0 在y 轴上的截距为（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．−1
2
D．1
2．（4 分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB 的中点的坐标是（
）
A．（1，1，1）
B．（2，1，1）
C．（1，1，2）
D．（1，2，3）
3．（4 分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1＝0 经过原点，则实数m 等于（
）
A．−3
2
B．﹣1
C．1
D．
3
2
4．（4 分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，
完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则
该零件的体积为（
）
A．32
B．34
C．36
D．40
5．（4 分）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中假命题是（
）
A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
D．若m∥α，α∥β，n⊂β，则m∥n
6．（4 分）椭圆C：x2
16 + y2
12 = 1 的焦点为F1，F2，若点M 在C 上且满足|MF1|﹣|MF2|＝2，则△F1MF2 中最大角为
（
）
A．90°
B．105°
C．120°
D．150°
7．（4 分）“m＜0”是“方程x2+my2＝m 表示双曲线”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（4 分）平面α，β，γ两两互相垂直，在平面α内有一个点A 到平面β，平面γ的距离都等于1．则在平面α内与点A，
平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题共6 小题，每小题4 分，共24 分．
9．（4 分）直线l：x+y﹣1＝0 的倾斜角为
，经过点（1，1）且与直线l 平行的直线方程为
．
10．（4 分）直线3x + y −1 = 0 被圆x2+y2＝1 所截得的弦长为
．
11．（4 分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的8 个顶点中，找出4 个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4 个面
都是直角三角形，则这4 个点可以是
．（只需写出一组）
12．（4 分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C 三点共线，
则x+y＝
．
13．（4 分）已知椭圆C1 和双曲线C2 的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录
于下表中，则双曲线的离心率为
．
x
0
4
2 6
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y
2 2
﹣2
−2 2
14．（4 分）曲线W 的方程为（x2+y2）3＝8x2y2
①请写出曲线W 的两条对称轴方程
；
②请写出曲线W 上的两个点的坐标
；
③曲线W 上的点到原点的距离的取值范围是
．
三、解答题共4 小题，共44 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为1，其圆心在射线y＝x（x≥0）上，且|OC| = 2 2．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 过点P（1，0），且与圆C 相切，求直线l 的方程．
16．（10 分）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，PB＝PC，AB＝AC，且点D，E 分别是BC，PB 的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．
17．（12 分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF 和FCDE 是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且
AB = BC = 1
2 FC = 2，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点．
（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO 垂直，并给出证明；
（Ⅱ）求二面角O﹣EG﹣F 的余弦值；
（Ⅲ）在线段CD 上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH 的长度；如果不存在，请说明理由．
18．（12 分）已知抛物线W：y2＝4x，直线x＝4 与抛物线W 交于A，B 两点．点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛
物线上一动点，直线PA，PB 分别与x 轴交于M，N．
（Ⅰ）若△PAB 的面积为4，求点P 的坐标；
（Ⅱ）当直线PA⊥PB 时，求线段PA 的长；
（Ⅲ）若△PMN 与△PAB 面积相等，求△PMN 的面积．
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2018-2019 学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8 小题，每小题4 分，共32 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4 分）直线2x+y﹣1＝0 在y 轴上的截距为（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．−1
2
D．1
【解答】解：直线2x+y﹣1＝0 化为：y＝﹣2x+1，
则在y 轴上的截距为1．
故选：D．
2．（4 分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB 的中点的坐标是（
）
A．（1，1，1）
B．（2，1，1）
C．（1，1，2）
D．（1，2，3）
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，
点A（1，0，1），B（3，2，1），
∴线段AB 的中点的坐标是（2，1，1）．
故选：B．
3．（4 分）已知圆x2+y2﹣3x+m+1＝0 经过原点，则实数m 等于（
）
A．−3
2
B．﹣1
C．1
D．
3
2
【解答】解：∵圆x2+y2﹣3x+m+1＝0 经过原点，∴0+0﹣0+m+1＝0，
则实数m＝﹣1，
故选：B．
4．（4 分）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，
完全靠自身结构的连接支撑．它看似简单，却凝结着不平凡的智慧．下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则
该零件的体积为（
）
A．32
B．34
C．36
D．40
【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：
长为10，宽为2，高为2 的长方体的上面的中间部分去掉一个长为2，宽为2，高为1 的小长体的一个几何体，
如图，
∴该零件的体积：
V＝10×2×2﹣2×2×1＝36．
故选：C．
5．（4 分）已知平面α，β，直线m，n，下列命题中假命题是（
）
A．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β
D．若m∥α，α∥β，n⊂β，则m∥n
【解答】解：由平面α，β，直线m，n，知：
在A 中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判断定理得α∥β，故A 正确；
在B 中，若m∥n，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故B 正确；
在C 中，若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确；
在D 中，若m∥α，α∥β，n⊂β，则m 与n 平行或异面，故D 错误．
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故选：D．
6．（4 分）椭圆C：x2
16 + y2
12 = 1 的焦点为F1，F2，若点M 在C 上且满足|MF1|﹣|MF2|＝2，则△F1MF2 中最大角为
（
）
A．90°
B．105°
C．120°
D．150°
【解答】解：椭圆C：x2
16 + y2
12 = 1 的焦点为F1，F2，若点M 在C 上且满足|MF1|﹣|MF2|＝2，|MF1|+|MF2|＝8，
所以|MF1|＝5，|MF2|＝3，|F1F2|＝4，则△F1MF2 中最大角为：∠F1F2M＝90°．
故选：A．
7．（4 分）“m＜0”是“方程x2+my2＝m 表示双曲线”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：方程x2+my2＝m 表示双曲线，
x2
m +y2＝1⇔m＜0．
∴“m＜0”是“方程x2+my2＝m 表示双曲线”的充要条件．
故选：C．
8．（4 分）平面α，β，γ两两互相垂直，在平面α内有一个点A 到平面β，平面γ的距离都等于1．则在平面α内与点A，
平面β，平面γ距离都相等的点的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：如图1 所示，
∠OCB＝45°，令∠OAB＝22.5°，∴AC＝BC，点C 满足题意；
如图2 所示，
∠OAN＝45°，令∠OMN＝22.5°，则AN＝AM，点M 满足题意；
综上，满足条件的点的个数是2 个．
故选：B．
二、填空题共6 小题，每小题4 分，共24 分．
9．（4 分）直线l：x+y﹣1＝0 的倾斜角为
135°
，经过点（1，1）且与直线l 平行的直线方程为
x+y﹣2＝0
．
【解答】解：直线l：x+y﹣1＝0 的斜率为k＝﹣1，
倾斜角为α＝135°，
经过点（1，1）且与直线l 平行的直线方程为：
y﹣1＝﹣（x﹣1），即x+y﹣2＝0．
故答案为：135°，x+y﹣2＝0．
10．（4 分）直线3x + y −1 = 0 被圆x2+y2＝1 所截得的弦长为
3
．
【解答】解：圆x2+y2＝1 的圆心O（0，0），半径r＝1，
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圆心O（0，0）到直线3x + y −1 = 0 的距离：
d= |−1|
3+1 = 1
2，
∴直线3x + y −1 = 0 被圆x2+y2＝1 所截得的弦长为：
|AB|＝2 r2 −d2 =2 1 −1
4 =
3．
故答案为：3．
11．（4 分）请从正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的8 个顶点中，找出4 个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4 个面
都是直角三角形，则这4 个点可以是
A1、A、C、D
．（只需写出一组）
【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，CD⊥平面ADD1A1，
∴A1D⊥CD，AD⊥CD，AA1⊥CD，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥AD，AA1⊥AC，
∴从正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的8 个顶点中，找出4 个点A1、A、C、D，
构成一个三棱锥A1﹣ACD，这个三棱锥的4 个面都是直角三角形．
故答案为：A1、A、C、D．
12．（4 分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C 三点共线，
则x+y＝
−1
2
．
【解答】解：AB
→
=（x﹣1，1，﹣1），AC
→
=（3，y﹣2，2），
∵A，B，C 三点共线，
∴存在实数k 使得：AB
→
=kAC
→
，
∴
x −1 = 3k
1 = k(y −2)
−1 = 2k
，解得k=−1
2，x=−1
2，y＝0．
∴x+y=−1
2．
故答案为：−1
2．
13．（4 分）已知椭圆C1 和双曲线C2 的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录
于下表中，则双曲线的离心率为
6
2
．
x
0
4
2 6
y
2 2
﹣2
−2 2
【解答】解：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴图标中点（0，2 2）是椭圆上的点，
则（4，﹣2），（2 6，−2 2）是双曲线上的两点．
设双曲线方程为
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0），
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则
16
a2 −4
b2 = 1
24
a2 −8
b2 = 1
，解得a2 = 8
b2 = 4．
∴a = 2 2，c =
a2 + b2 =
12 = 2 3．
则e= c
a = 2 3
2 2 =
6
2 ．
故答案为：
6
2 ．
14．（4 分）曲线W 的方程为（x2+y2）3＝8x2y2
①请写出曲线W 的两条对称轴方程
x＝0，y＝0
；
②请写出曲线W 上的两个点的坐标
（0，0）、（1，1）
；
③曲线W 上的点到原点的距离的取值范围是
[0，2]
．
【解答】解：①，曲线W 的方程为（x2+y2）3＝8x2y2，
分析可得，有[x2+（﹣y）2]3＝8x2（﹣y）2，其图象关于x 轴对称，
又由有[（﹣x）2+y2]3＝8（﹣x）2y2，其图象关于y 轴对称，
则曲线W 的两条对称轴方程为x＝0，y＝0；
②，曲线W 的方程为（x2+y2）3＝8x2y2，
有（02+02）3＝8×02×02，（12+12）3＝8×12×12，
点（0，0）与（1，1）都在曲线上，
则曲线W 上的两个点的坐标为（0，0），（1，1）；
③，曲线W 的方程为（x2+y2）3＝8x2y2，
设（x，y）是曲线W 上的点，其到原点的距离为t，则t=
x2 + y2，（t≥0）
又由x2y2≤（
x2+y2
2
）2，
则有（x2+y2）3≤8（
x2+y2
2
）2，
即有t6≤8× t4
4，
变形可得：0≤t≤
2，
即曲线W 上的点到原点的距离的取值范围为[0，2]．
三、解答题共4 小题，共44 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为1，其圆心在射线y＝x（x≥0）上，且|OC| = 2 2．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 过点P（1，0），且与圆C 相切，求直线l 的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设C（a，a），a≥0，
∵|OC| = 2 2．
∴|OC| = 2 2 =
2a，则a＝2，即圆心C（2，2），．
则圆C 的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1．
（Ⅱ）若直线斜率不存在，
则直线方程为x＝1，圆心到直线x＝1 的距离d＝2﹣1＝1＝r，
此时满足直线和圆相切，
若直线斜率存在，设直线斜率为k，则直线方程为y＝k（x﹣1），
即kx﹣y﹣k＝0，
∵直线和圆相切，
∴圆心到直线的距离d= |2k−2−k|
1+k2
= |k−2|
1+k2 =1，
即|k﹣2|=
1 + k2，平方得k2﹣4k+4＝1+k2，
即k= 3
4，此时直线方程为
3
4x﹣y−3
4 =0，即3x﹣4y﹣3＝0，
则对应的切线方程为x＝1 或3x﹣4y﹣3＝0．
16．（10 分）如图，在三棱锥P﹣ABC 中，PB＝PC，AB＝AC，且点D，E 分别是BC，PB 的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．
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第876页（共926页）
【解答】证明：（Ⅰ）∵点D，E 分别是BC，PB 的中点．
∴DE∥PC，
∵DE⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，
∴DE∥平面PAC．
（Ⅱ）∵三棱锥P﹣ABC 中，PB＝PC，AB＝AC，且点D 是BC，
∴PD⊥BC，AD⊥BC，
∵PD∩AD＝D，∴BC⊥平面PAD，
∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAD．
17．（12 分）如图，平面ABCF⊥平面FCDE，四边形ABCF 和FCDE 是全等的等腰梯形，其中AB∥FC∥ED，且
AB = BC = 1
2 FC = 2，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点．
（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面EGO 垂直，并给出证明；
（Ⅱ）求二面角O﹣EG﹣F 的余弦值；
（Ⅲ）在线段CD 上是否存在点，使得BH∥平面EGO？如果存在，求出DH 的长度；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）F，D 为所求的点．
证明如下：
∵四边形ABCF 是等腰梯形，点O 是FC 的中点，点G 是AB 的中点，
∴OG⊥FC，
又平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE＝FC，
∴OG⊥平面FCDE，
同理，取DE 中点M，由OM⊥平面ABCF，
分别以OG、OC、OM 为x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，
由AB＝2，得G（3，0，0），D（0，1，3），E（0，﹣1，3），F（0，﹣2，0），
则FD
→
=（0，3，3），OG
→
=（3，0，0），OE
→
=（0，﹣1，3），
∵FD
→
⋅OG
→
=0，FD
→
⋅OE
→
=0，∴FD⊥OG，FD⊥OE，
∵EO∩OG＝0，
∴FD⊥平面ECO．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面EGO 的一个法向量为FD
→
=（0，3，3），
设平面EFG 的法向量m
→=（x，y，z），
则m
→⋅FE
→
= y +
3z = 0
m
→⋅FG
→
=
3x + 2y = 0
，取y=
3，得m
→=（﹣2，3，﹣1），
∴cos＜FD
→
，m
→＞=
2 3
2 2⋅2 3 =
2
4 ，
∵二面角O﹣EG﹣F 的平面角为钝角，∴二面角O﹣EG﹣F 的余弦值为−2
4 ．
（Ⅲ）假设存在点H，使得BH∥平面EGO，设DH
→
= λDC
→
，
∴BH
→
= BD
→
+ DH
→
= BD
→
+ λDC
→
，
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第877页（共926页）
∴FD
→
⋅BH
→
=0，
∵B（3，1，0），C（0，2，0），
FD
→
=（0，3，3），BH
→
= BD
→
+ DH
→
= BD
→
+ λDC
→
=（−
3，0，3）+（0，﹣λ，3λ）＝（−
3，﹣λ，3 +
3λ），
FD
→
⋅BH
→
=0﹣3λ+3+3λ＝3，
这与FD
→
⋅BH
→
=0 矛盾，
∴在线段CD 上不存在点，使得BH∥平面EGO．
18．（12 分）已知抛物线W：y2＝4x，直线x＝4 与抛物线W 交于A，B 两点．点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛
物线上一动点，直线PA，PB 分别与x 轴交于M，N．
（Ⅰ）若△PAB 的面积为4，求点P 的坐标；
（Ⅱ）当直线PA⊥PB 时，求线段PA 的长；
（Ⅲ）若△PMN 与△PAB 面积相等，求△PMN 的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由y2 = 4x
x = 4
，解得x = 4
y = 4，或x = 4
y =−4，
不妨设A（4，4），B（4，﹣4），则|AB|＝4+4＝8，
∵点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，
∴点P 到直线x＝4 的距离d 为4﹣x0，
∴S△PAB= 1
2|AB|•d= 1
2 ×8×（4﹣x0）＝4，
解得x0＝3，
当x0＝3 时，y0＝2 3，
∴点P 的坐标为（3，2 3）；
（Ⅱ）∵点P（x0，y0）（x0＜4，y0≥0）为抛物线上一动点，
∴P 点的坐标（
1
4y02，y0），
∴PA
→
=（4−1
4y02，4﹣y0），PB
→
=（4−1
4y02，﹣4﹣y0），
∵PA⊥PB，
∴PA
→
•PB
→
=（4−1
4y02）2﹣（4﹣y0）（4+y0）＝0，
解得y0＝0 或y0＝4，
∴点P 的坐标为（0，0）或（4，4），舍去．
∴|PA|＝4 2，
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得，P 点的坐标（
1
4y02，y0），
∵A（4，4），B（4，﹣4），
则直线AP 的方程为y﹣4= y0−4
1
4y0
2−4（x﹣4）=
4
y0+4（x﹣4），
直线BP 的方程为y+4= y0+4
1
4y0
2−4（x﹣4）=
4
y0−4（x﹣4），
∵直线AP，BP 分别与直线x 轴交于点M，N，
∴令y＝0，得xM＝﹣y0，xN＝y0，
∴△PMN 的面积S△PMN= 1
2•|xM﹣xN|•y0＝y02，
∵△PAB 的面积S△PAB= 1
2|4﹣x0|×8＝16﹣y02，
∴16﹣y02＝y02，
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解得y02＝8，
∴S△PMN＝8．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/12/27 12:29:37；用户：13029402512 ；邮箱：13029402512 ；学号：24164265
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2018-2019 学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分）
1．（5 分）设i 是虚数单位，如果复数（a+1）+（﹣a+7）i 的实部与虚部相等，那么实数a 的值为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
2．（5 分）（马鞍山期末）下列四个命题中错误的是（
）
A．若直线a、b 互相平行，则直线a、b 确定一个平面
B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面
3．（5 分）命题p：“∃θ ∈[0，π
2 ]，使得sinθ =
3”；命题q：“∀x ∈R，函数f(x) = x + 4
x的最小值为4”．则四
个命题p∧q，（￢p）∨q，p∨（￢q），（¬p）∧（￢q）中，正确命题的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（5 分）“t＝﹣1”是“直线x+（2t﹣1）y+2＝0 与直线（t+4）x+y+3＝0 垂直”的（
）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．既不充分又不必要
D．充要
5．（5 分）设棱长为1 的正方体AC1 中的8 个顶点所成集合为M，向量的集合P = {a
→|a
→= P1P2
→
，P1，P2 ∈M}，则
P 中模长为3的向量的个数为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
6．（5 分）若{a
→，b
→
，c
→}构成空间的一组基底，则（
）
A．b
→
+ c
→，b
→
−c
→，a
→不共面
B．b
→
+ c
→，b
→
−c
→，2b
→
不共面
C．b
→
+ c
→，a
→，a
→+ b
→
+ c
→不共面
D．a
→+ c
→，a
→−2c
→，c
→不共面
7．（5 分）如图所示，在正方体AC1 中，棱长为2，点M 在DD1 上，点N 在面ABCD 上，MN＝2，点P 为MN 的
中点，则点P 的轨迹与正方体的面围成的几何体的体积为（
）
A．
π
12
B．
π
6
C．
π
3
D．
π
2
8．（5 分）（2013•天津）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5 相切，且与直线ax﹣y+1＝0 垂直，则a
＝（
）
A．−1
2
B．1
C．2
D．
1
2
9．（5 分）过抛物线y2＝8x 焦点的直线l 交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2＝4，则|PQ|＝（
）
A．9
B．8
C．7
D．6
10．（5 分）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a＞b＞0)（a＞0，b＞0）的长轴为8，离心率为
3
4．则C 的方程为（
）
A．
x2
16 +
y2
7 = 1
B．
x2
16 +
y2
9 = 1
C．
x2
64 +
y2
28 = 1
D．
x2
64 +
y2
36 = 1
11．（5 分）（2015•深圳一模）已知F1，F2 分别是双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 =1（a，b＞0）的左、右焦点，点P 在C 上，
若PF1⊥F1F2，且PF1＝F1F2，则C 的离心率是（
）
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A．2 −1
B．
5+1
2
C．2 +1
D．5 −1
12．（5 分）（2019•天河区二模）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为矩形，E，F 分别为PA，PD
的中点，在此几何体中，给出下面4 个结论：
①直线BE 与直线CF 异面；②直线BE 与直线AF 异面；
③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．
其中正确的结论个数为（
）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．（5 分）已知复数z＝1+i（i 是虚数单位），则
4
z −z2的共轭复数是
．
14．（5 分）命题p：“∃x0∈R，lnx0﹣x0＜0”，则﹁p 为
．
15．（5 分）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的体积为
．
16．（5 分）已知直线l 与抛物线y＝x2 交于A，B 两点，且|AB|＝2，设线段AB 的中点为M，当直线l 运动时，则
点M 的轨迹方程为
．
三、解答题（本大题共6 小题，其中第17 题满分70 分，第18～22 题每题满分均为12 分，共70 分．解答应写出
文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10 分）设命题p：函数f（x）= (a −1
2 )x在R 上单调递减，命题q：函数g（x）＝x2﹣2x﹣1 在[0，a]上的值
域为[﹣2，﹣1]．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题．求实数a 的取值范围．
18．（12 分）（2018 秋•汕头期中）矩形ABCD 的两条对角线相交于点M（2，1），AB 边所在直线的方程为x﹣2y
﹣4＝0，点T（﹣1，0）在AD 边所在直线上．
（Ⅰ）求AD 边所在直线的方程；
（Ⅱ）求矩形ABCD 外接圆的方程；
19．（12 分）如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB∥CD，
AB＝4，AD＝2，DC＝2．
（I）求线段BC1 的长度；
（II）异面直线BC1 与DC 所成角的余弦值．
20．（12 分）（2017 春•晋中期末）如图，已知等边△ABC 中，E，F 分别为AB，AC 边的中点，N 为BC 边上一点，
且CN= 1
4BC，将△AEF 沿EF 折到△A′EF 的位置，使平面A′EF⊥平面EF﹣CB，M 为EF 中点．
（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；
（2）求二面角E﹣A′F﹣B 的余弦值．
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21．（12 分）已知F1、F2 分别是椭圆
x2
4 +y2＝1 的左、右焦点．
（Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，PF1
→
⋅PF2
→
=−5
3，求点P 的坐标；
（Ⅱ）设过定点M（0，3）的直线l 与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求
直线l 的斜率k 的取值范围．
22．（12 分）已知抛物线C1：y2＝4x 和C2：x2＝2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，C1，C2 交于O，A 两点（O 为
坐标原点），且F1F2⊥OA
（Ⅰ）求抛物线C2 的方程；
（Ⅱ）过点O 的直线交C1 的下半部分于点M，交C2 的左半部分于点N，点P（﹣1，﹣1），求△PMN 面积的最
小值．
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2018-2019 学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分）
1．（5 分）设i 是虚数单位，如果复数（a+1）+（﹣a+7）i 的实部与虚部相等，那么实数a 的值为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接由已知列关于a 的方程求解．
【解答】解：∵复数（a+1）+（﹣a+7）i 的实部与虚部相等，
∴a+1＝﹣a+7，即a＝3．
故选：B．
【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．
2．（5 分）（马鞍山期末）下列四个命题中错误的是（
）
A．若直线a、b 互相平行，则直线a、b 确定一个平面
B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面
【考点】LJ：平面的基本性质及推论；LN：异面直线的判定．菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】根据公理2 以及推论判断A 和B，由线线位置关系的定义判断C，利用线面垂直的性质定理和异面直线
的定义判断D．
【解答】解：A、由两条直线平行确定一个平面判断正确，故A 不对；
B、根据三棱锥的四个顶点知，任意三点都不共线，故B 不对；
C、若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行，故C 对；
D、根据线面垂直的性质定理知，这两条直线平行，即不可能，故D 不对．
故选：C．
【点评】本题考查了的内容多，涉及到公理2 以及推论、由线线位置关系的定义、线面垂直的性质定理和异面直
线的定义，难度不大，需要掌握好基本知识．
3．（5 分）命题p：“∃θ ∈[0，π
2 ]，使得sinθ =
3”；命题q：“∀x ∈R，函数f(x) = x + 4
x的最小值为4”．则四
个命题p∧q，（￢p）∨q，p∨（￢q），（¬p）∧（￢q）中，正确命题的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用；56：三角函数的求值；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】对于命题p：根据sinθ≤1，即可判断出真假．对于命题q：由于x＜0 时，f（x）＜0，即可判断出真假，
再根据复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：命题p：∵sinθ≤1，∴“∃θ ∈[0，π
2 ]，使得sinθ =
3”，是假命题；
命题q：∵x＜0 时，f（x）＜0，因此“∀x ∈R，函数f(x) = x + 4
x的最小值为4”，是假命题．
则四个命题p∧q，（￢p）∨q，p∨（￢q），（¬p）∧（￢q）中，正确命题为：（￢p）∨q，p∨（￢q），（¬p）∧
（￢q），个数为3．
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数的值域、函数的单调性、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与
计算能力，属于基础题．
4．（5 分）“t＝﹣1”是“直线x+（2t﹣1）y+2＝0 与直线（t+4）x+y+3＝0 垂直”的（
）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．既不充分又不必要
D．充要
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5B：直线与圆．
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：当t＝﹣1 时，两直线为x﹣3y+2＝0 与3x+y+3＝0，此时两直线垂直．
若直线x+（2t﹣1）y+2＝0 与直线（t+4）x+y+3＝0 垂直，
则t+4+2t﹣1＝0，
解得t＝﹣1．
∴“t＝﹣1”是“直线x+（2t﹣1）y+2＝0 与直线（t+4）x+y+3＝0 垂直”的充要条件．
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故选：D．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断和应用，要熟练掌握直线垂直的充要条件，是基础题．
5．（5 分）设棱长为1 的正方体AC1 中的8 个顶点所成集合为M，向量的集合P = {a
→|a
→= P1P2
→
，P1，P2 ∈M}，则
P 中模长为3的向量的个数为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【考点】91：向量的概念与向量的模．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5H：空间向量及应用．
【分析】P 中模长为3的向量的为AC1
→
，C1A
→
，BD1
→
，D1B
→
，A1C
→
，CA1
→
，DB1
→
，B1D
→
，从而集合P 中模长为3的向
量的个数为8．
【解答】解：∵棱长为1 的正方体AC1 中的8 个顶点所成集合为M，
向量的集合P = {a
→|a
→= P1P2
→
，P1，P2 ∈M}，
则P 中模长为3的向量的为：
AC1
→
，C1A
→
，BD1
→
，D1B
→
，A1C
→
，CA1
→
，DB1
→
，B1D
→
，
∴集合P 中模长为3的向量的个数为8．
故选：D．
【点评】本题考查满足条件的向量的个数的求法，考查正方体的性质、结构特征等基础知识，考查运算求解能力，
考查函数与方程思想，是基础题．
6．（5 分）若{a
→，b
→
，c
→}构成空间的一组基底，则（
）
A．b
→
+ c
→，b
→
−c
→，a
→不共面
B．b
→
+ c
→，b
→
−c
→，2b
→
不共面
C．b
→
+ c
→，a
→，a
→+ b
→
+ c
→不共面
D．a
→+ c
→，a
→−2c
→，c
→不共面
【考点】M8：空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；5A：平面向量及应用；5H：空间向量及应用．
【分析】由{a
→，b
→
，c
→}构成空间的一组基底，根据空间向量基本定理、平面向量共面定理即可判断出结论．
【解答】解：根据{a
→，b
→
，c
→}构成空间的一组基底，则B，D 中的向量为共面向量．
对于C．由x（b
→
+ c
→）+ya
→+z（a
→+ b
→
+ c
→）= 0
→
，可得y + z = 0
x + z = 0，解得x＝y＝﹣z，存在非零解，
因此（b
→
+ c
→），a
→，a
→+ b
→
+ c
→共面，不正确．
对于A．由x（b
→
+ c
→）+y（b
→
−c
→）+za
→= 0
→
，可得
x + y = 0
x −y = 0
z = 0
，解得x＝y＝z＝0，不存在非零解，
因此b
→
+ c
→，b
→
−c
→，a
→不共面，正确．
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量基本定理、平面向量共面定理、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于
基础题．
7．（5 分）如图所示，在正方体AC1 中，棱长为2，点M 在DD1 上，点N 在面ABCD 上，MN＝2，点P 为MN 的
中点，则点P 的轨迹与正方体的面围成的几何体的体积为（
）
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第884页（共926页）
A．
π
12
B．
π
6
C．
π
3
D．
π
2
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．
【分析】不论△MDN 如何变化，P 点到D 点的距离始终等于1，从而P 点的轨迹是一个以D 为中心，半径为1
的球的
1
8，由此能求出结果
【解答】解：如图可得，端点N 在正方形ABCD 内运动，连接N 点与D 点，
由ND，DM，MN 构成一个直角三角形，
设P 为MN 的中点，
根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半，
得不论△MDN 如何变化，P 点到D 点的距离始终等于1．
故P 点的轨迹是一个以D 为中心，半径为1 的球的
1
8．
其体积V= 1
8 × 4
3 ×π×13= π
6．
故选：B．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．
8．（5 分）（2013•天津）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5 相切，且与直线ax﹣y+1＝0 垂直，则a
＝（
）
A．−1
2
B．1
C．2
D．
1
2
【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】由题意判断点在圆上，求出P 与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1＝0 的斜率，然后求出a 的值即可．
【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2＝5 的方程，所以P 在圆上，
又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5 相切，且与直线ax﹣y+1＝0 垂直，
所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1＝0 平行，
所以直线ax﹣y+1＝0 的斜率为：a= 2−0
2−1 =2．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．
9．（5 分）过抛物线y2＝8x 焦点的直线l 交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2＝4，则|PQ|＝（
）
A．9
B．8
C．7
D．6
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第885页（共926页）
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线方程，算出焦点为F（2，0），准线方程为x＝﹣2．利用抛物线的定义，得到|PF|+|QF|＝（x1+x2）
+4，结合条件，计算可得所求弦长．
【解答】解：由抛物线方程为y2＝8x，可得2p＝8，即
p
2 =2，
∴抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x＝﹣2．
根据抛物线的定义，得|PF|＝x1+ p
2 =x1+2，|QF|＝x2+ p
2 =x2+2，
∴|PF|+|QF|＝（x1+2）+（x2+2）＝（x1+x2）+4，
又∵PQ 经过焦点F，且x1+x2＝4，
∴|PQ|＝|PF|+|QF|＝（x1+x2）+4＝4+4＝8．
故选：B．
【点评】本题考查经过抛物线的焦点的弦PQ，在已知P、Q 横坐标之和的情况下求PQ 的长．着重考查了抛物线
的定义与标准方程的知识，属于基础题．
10．（5 分）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a＞b＞0)（a＞0，b＞0）的长轴为8，离心率为
3
4．则C 的方程为（
）
A．
x2
16 +
y2
7 = 1
B．
x2
16 +
y2
9 = 1
C．
x2
64 +
y2
28 = 1
D．
x2
64 +
y2
36 = 1
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知可得：2a＝8，
c
a =
3
4，a2＝b2+c2，联立解出即可得出．
【解答】解：由已知可得：2a＝8，
c
a =
3
4，a2＝b2+c2，
联立解得：a＝4，c＝3，b2＝7．
∴椭圆C 的方程为：
x2
16 +
y2
7 =1．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、方程组的解法，考查了推理能力计算能力，属于中档题．
11．（5 分）（2015•深圳一模）已知F1，F2 分别是双曲线C：
x2
a2 −
y2
b2 =1（a，b＞0）的左、右焦点，点P 在C 上，
若PF1⊥F1F2，且PF1＝F1F2，则C 的离心率是（
）
A．2 −1
B．
5+1
2
C．2 +1
D．5 −1
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，结合离心率公式，计算即可得到．
【解答】解：可设F1F2＝2c，则PF1＝2c，
在直角三角形PF1F2 中，PF2=
PF1
2 + F1F2
2 =2 2c，
由双曲线的定义可得，PF2﹣PF1＝2a，
即2（2 −1）c＝2a，
则e= c
a =
2
2( 2−1) =1+
2．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．
12．（5 分）（2019•天河区二模）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为矩形，E，F 分别为PA，PD
的中点，在此几何体中，给出下面4 个结论：
①直线BE 与直线CF 异面；②直线BE 与直线AF 异面；
③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．
其中正确的结论个数为（
）
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A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【考点】L3：棱锥的结构特征；LN：异面直线的判定；LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断①，②的正误；
利用直线与平面平行的判定定理判断③的正误；
利用直线与平面垂直的判定定理判断④的正误；
【解答】解：画出几何体的图形，如图，
由题意可知，①直线BE 与直线CF 异面，不正确，
因为E，F 是PA 与PD 的中点，可知EF∥AD，
所以EF∥BC，直线BE 与直线CF 是共面直线；
②直线BE 与直线AF 异面；满足异面直线的定义，正确．
③直线EF∥平面PBC；由E，F 是PA 与PD 的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，
∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以判断是正确的．
④因为△PAB 与底面ABCD 的关系不是垂直关系，BC 与平面PAB 的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，
不正确．
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理
的灵活运用．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13．（5 分）已知复数z＝1+i（i 是虚数单位），则
4
z −z2的共轭复数是
2+4i
．
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】把z＝1+i 代入
4
z −z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z＝1+i，
∴
4
z −z2 =
4
1+i −(1 + i)2 =
4(1−i)
(1+i)(1−i) −2i = 2 −4i．
∴
4
z −z2的共轭复数是2+4i．
故答案为：2+4i．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
14．（5 分）命题p：“∃x0∈R，lnx0﹣x0＜0”，则﹁p 为
∀x∈R，lnx﹣x≥0
．
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】直接写出特称命题的否定即可．
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【解答】解：∵命题p：“∃x0∈R，lnx0﹣x0＜0”，
∴﹁p：“∀x∈R，lnx﹣x≥0”．
故答案为：∀x∈R，lnx﹣x≥0．
【点评】本题考查命题的否定，关键是明确特称命题的否定为全称命题，是基础题．
15．（5 分）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的体积为
9π
2
．
【考点】L3：棱锥的结构特征；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5U：球．
【分析】正四棱锥P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高PE 上，求出球的半径，由此能求出球的体积．
【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD 中，PE 为正四棱锥的高，
根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O 必在正四棱锥的高线PE 所在的直线上，
延长PE 交球面于一点F，连接AE，AF，
由球的性质可知△PAF 为直角三角形且AE⊥PF，
根据平面几何中的射影定理可得PA2＝PF•PE，
∵AE=
2，
∴侧棱长PA=
4 + 2 =
6，PF＝2R，
∴6＝2R×2，解得R= 3
2，
∴该球的体积为V= 4
3πR3= 9π
2 ．
故答案为：
9π
2 ．
【点评】本题考查球的体积的求法，考查球的内接几何体问题等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程
思想，是中档题．
16．（5 分）已知直线l 与抛物线y＝x2 交于A，B 两点，且|AB|＝2，设线段AB 的中点为M，当直线l 运动时，则
点M 的轨迹方程为
为y＝x2+
1
1+4x2
．
【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB 的斜率存在，设为k，直线AB 的方程为y＝kx+t，代入抛物线
的方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，中点坐标公式，化简整理可得所求方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB 的斜率存在，设为k，直线AB 的方程为y＝kx+t，
代入y＝x2，可得x2﹣kx﹣t＝0，
可得△＝k2+4t＞0，x1+x2＝k，x1x2＝﹣t，
由|AB|＝2，即1 + k2• (x1 + x2)2 −4x1x2
=
1 + k2• k2 + 4t =2，
可得t=
1
1+k2 −k2
4 ，
可得中点M（
k
2，t+ k2
2 ），
即有x= k
2，y＝t+ k2
2 ，
消去k，t，可得y=
1
1+4x2 + 4x2
4 ，
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化为y＝x2+
1
1+4x2，
故答案为：y＝x2+
1
1+4x2．
【点评】本题考查抛物线的方程和运用，注意联立方程组，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档
题．
三、解答题（本大题共6 小题，其中第17 题满分70 分，第18～22 题每题满分均为12 分，共70 分．解答应写出
文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10 分）设命题p：函数f（x）= (a −1
2 )x在R 上单调递减，命题q：函数g（x）＝x2﹣2x﹣1 在[0，a]上的值
域为[﹣2，﹣1]．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题．求实数a 的取值范围．
【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】若命题p 为真命题，根据指数函数的单调性可得：0＜a −1
2 ＜1．若命题q 为真命题，则g（x）＝（x
﹣1）2﹣2 在[0，a]上的值域为[﹣2，﹣1]，数形结合由二次函数图象可得a 的求值范围．根据“p∧q”为假命题，
“p∨q”为真命题．可得命题p 和q 为一真一假．即可得出．
【解答】解：若命题p 为真命题，则0＜a −1
2 ＜1，即
1
2 ＜a＜
3
2．
若命题q 为真命题，则g（x）＝（x﹣1）2﹣2 在[0，a]上的值域为[﹣2，﹣1]，数形结合由二次函数图象可知，1
≤a≤2．
∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题．∴命题p 和q 为一真一假．
若p 为真q 为假，则
1
2 ＜a＜3
2
a＜1 或a＞2
，即得到
1
2 ＜a＜1；
若q 为真p 为假，则a ≤1
2 或a ≥3
2
1 ≤a ≤2
，即得到
3
2 ≤a ≤2．
综上所述，a 的取值范围是{a| 1
2 ＜a＜1 或3
2 ≤a ≤2}．
【点评】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中
档题．
18．（12 分）（2018 秋•汕头期中）矩形ABCD 的两条对角线相交于点M（2，1），AB 边所在直线的方程为x﹣2y
﹣4＝0，点T（﹣1，0）在AD 边所在直线上．
（Ⅰ）求AD 边所在直线的方程；
（Ⅱ）求矩形ABCD 外接圆的方程；
【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4R：转化法；5B：直线与圆．
【分析】（I）AB 边所在直线的方程为x﹣2y﹣4＝0，且AD 与AB 垂直，直线AD 的斜率为﹣2．又点T（﹣1，
0）在直线AD 上，利用点斜式即可得出．
（II）由x −2y −4 = 0
2x + y + 2 = 0，解得点A 的坐标为（0，﹣2），矩形ABCD 两条对角线的交点为M（2，0）．M 为矩
形外接圆的圆心．可得|AM|．从而矩形ABCD 外接圆的方程．
【解答】解：（I）∵AB 边所在直线的方程为x﹣2y﹣4＝0，且AD 与AB 垂直，
∴直线AD 的斜率为﹣2．又∵点T（﹣1，0）在直线AD 上，
∴AD 边所在直线的方程为y﹣0＝﹣2（x+1）．即2x+y+2＝0．
（II）由x −2y −4 = 0
2x + y + 2 = 0，解得点A 的坐标为（0，﹣2），
∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M（2，0）．
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∴M 为矩形外接圆的圆心．
又|AM| =
(2 −0)2 + (1 + 2)2 =
13．
从而矩形ABCD 外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝13．
【点评】本题考查了圆的方程、两点之间的距离公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算
能力，属于基础题．
19．（12 分）如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB∥CD，
AB＝4，AD＝2，DC＝2．
（I）求线段BC1 的长度；
（II）异面直线BC1 与DC 所成角的余弦值．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】41：向量法；5G：空间角．
【分析】（I）以D 为坐标原点，以DA、DC、DD1 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐
标系．则A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），即可求解DC
→
=（0，2，0），BC1
→
=（﹣2，
﹣2，2），|DC
→
|＝2，可得线段BC1 的长度；
（II）由（I）可知，DC
→
=（0，2，0），BC1
→
=（﹣2，﹣2，2），利用向量的夹角公式即可求解．
【解答】解：（I）以D 为坐标原点，以DA、DC、DD1 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直
角坐标系．则A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），
∴DC
→
=（0，2，0），BC1
→
=（﹣2，﹣2，2），|DC
→
|＝2，|BC1
→
| =
4 + 4 + 4 = 2 3．
（II）由（I）可知，DC
→
=（0，2，0），BC1
→
=（﹣2，﹣2，2）
∴cos＜DC
→
，BC1
→
＞= DC
→
⋅BC1
→
|DC
→
||BC1
→
|
=
−4
2⋅2 3 = −1
3 = −3
3 ．
∴异面直线DC 与BC1 所成的角的余弦值为
3
3 ．
【点评】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．（12 分）（2017 春•晋中期末）如图，已知等边△ABC 中，E，F 分别为AB，AC 边的中点，N 为BC 边上一点，
且CN= 1
4BC，将△AEF 沿EF 折到△A′EF 的位置，使平面A′EF⊥平面EF﹣CB，M 为EF 中点．
（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；
（2）求二面角E﹣A′F﹣B 的余弦值．
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【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．
【分析】（1）如图所示，取BC 的中点G，连接MG，则MG⊥EF，利用面面与线面垂直的性质与判定定理可得：
MG⊥A′M，又A′M⊥EF，因此可以建立空间直角坐标系．不妨设BC＝4．只要证明平面法向量的夹角为直
角即可证明平面A′MN⊥平面A′BF．
（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得出．
【解答】（1）证明：如图所示，取BC 的中点G，连接MG，则MG⊥EF，
∵平面A′EF⊥平面EFCB，平面A′EF∩平面EFCB＝EF，
∴MG⊥平面A′EF，∴MG⊥A′M，又A′M⊥EF，
因此可以建立空间直角坐标系．不妨设BC＝4．
M（0，0，0），A′（0，0，3），N（﹣1，3，0），
B（2，3，0），F（﹣1，0，0）．
MA'
→
=（0，0，3），MN
→
=（﹣1，3，0），
FA'
→
=（1，0，3），FB
→
=（3，3，0）．
设平面A′MN 的法向量为m
→=（x，y，z），
则m
→⋅MA'
→
= 0
m
→⋅MN
→
= 0
，即
3z = 0
−x +
3y = 0，
取m
→= ( 3，1，0)．
同理可得平面A′BF 的法向量n
→= ( 3，−3，−1)．
∵m
→⋅n
→=3﹣3+0＝0，∴m
→⊥n
→，
∴平面A′MN⊥平面A′BF．
（2）解：由（1）可得平面A′BF 的法向量n
→= ( 3，−3，−1)．
取平面EA′F 的法向量u
→=（0，1，0）．
则cos＜n
→，u
→＞=
n
→⋅u
→
|n
→||u
→|
=
−3
3+32+1×1 =−3 13
13 ，
由图可知：二面角E﹣A′F﹣B 的平面角为锐角，
∴二面角E﹣A′F﹣B 的平面角的余弦值为
3 13
13 ．
【点评】本题考查了利用平面法向量的夹角求出二面角的方法、向量夹角公式、数量积运算性质、空间位置关系，
考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12 分）已知F1、F2 分别是椭圆
x2
4 +y2＝1 的左、右焦点．
（Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，PF1
→
⋅PF2
→
=−5
3，求点P 的坐标；
（Ⅱ）设过定点M（0，3）的直线l 与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求
直线l 的斜率k 的取值范围．
【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）由椭圆方程可得a，b，c，F1（−
3，0），F2（3，0），设P（x，y）（x＞0，y＞0），由向量的数
量积的坐标表示，解方程组可得所求P 的坐标；
（II）显然x＝0 不满足题意，所直线的斜率存在，可设l 的方程为y＝kx+3，联立椭圆方程，可得判别式大于0
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和韦达定理，又∠AOB 为锐角，即OA
→
•OB
→
＞0，运用向量的数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求斜率范围．
【解答】解：（I）因为椭圆
x2
4 +y2＝1，知a＝2，b＝1，c=
4 −1 =
3，
可得F1（−
3，0），F2（3，0），设P（x，y）（x＞0，y＞0），
则PF1
→
⋅PF2
→
= ( −
3 −x，−y) ⋅( 3 −x，−y) = x2 + y2 −3 = −5
3 ，
又x2+4y2＝4，
联立
x2
4 + y2 = 1
x2 + y2 = 4
3
，解得
x2 = 4
9
y2 = 8
9
，∴P( 2
3 ，2 2
3 )；
（II）显然x＝0 不满足题意，所直线的斜率存在，可设l 的方程为y＝kx+3，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
x2
4 + y2 = 1
y = kx + 3
⇒(4k2 + 1)x2 + 24kx + 32 = 0，
∴x1 + x2 = −24k
4k2+1 ，x1 ⋅x2 =
32
4k2+1，
且△＝（24k）2﹣4•32•（4k2+1）＞0∴k2＞2，
又∠AOB 为锐角，∴OA
→
•OB
→
＞0，
x1x2+y1y2＞0，∴x1x2+（kx1+3）（kx2+3）＞0，
∴(1 + k2)x1x2 + 3k(x1 + x2) + 9 = (1 + k2)
32
4k2+1 + 3k ⋅−24k
4k2+1 + 9 = −4k2+41
4k2+1 ＞0，
∴k2＜41
4 ，又∵k2＞2，
∴2＜k2＜41
4 ，∴k ∈( −41
2
，−
2) ∪( 2，41
2 )．
【点评】本题考查椭圆方程的求法和直线斜率的范围，考查向量的数量积的运用，考查联立方程组运用韦达定理
和判别式大于0，以及运算能力和推理能力，属于中档题．
22．（12 分）已知抛物线C1：y2＝4x 和C2：x2＝2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，C1，C2 交于O，A 两点（O 为
坐标原点），且F1F2⊥OA
（Ⅰ）求抛物线C2 的方程；
（Ⅱ）过点O 的直线交C1 的下半部分于点M，交C2 的左半部分于点N，点P（﹣1，﹣1），求△PMN 面积的最
小值．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出F1F2
→
= ( −1，p
2 )，联立y2 = 4x
x2 = 2py，解得A 点坐标，由此能求出C2 的方程．
（Ⅱ）设过点O 的直线为y＝kx，联立y2＝4x 得M（
4
k2，
4
k），联立x2＝4y 得N（4k，4k2）且k＜0，由此利用
点到直线的距离公式，能求出△PMN 面积取得最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设A(x1，y1)(x1＞0)有y12 = 4x1
x12 = 2py1，
由题意可知F1(1，0)，F2(0，p
2 )，
∴F1F2
→
= ( −1，p
2 )，
又∵F1F2⊥OA
∴F1F2
→
⋅OA
→
= 0，即−x1 + p
2 y1 = 0，
解得py1＝2x1
联立y2 = 4x
x2 = 2py可解出x1＝4，y1＝4，
所以p = 2，C2：x2 = 4y −−−−−−−−−（4 分）
（Ⅱ）设过点O 的直线为y＝kx
联立y2＝4x 得M（
4
k2，
4
k），
联立x2＝4y 得N（4k，4k2）且k＜0，
P（﹣1，﹣1）在直线y＝x 上，设点M 到直线y＝x 的距离为d1，
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点N 到直线y＝x 的距离为d2，
则S△PMN= 1
2•|OP|•（|d1|+|d2|）…（8 分）
= 1
2• 2（
| 4
k2−4
k|
2
+
|4k−4k2|
2
）
＝2（|
1
k2 −
1
k|+|k﹣k2|）
＝2（
1
k2 −
1
k −k+k2）…（10 分）
≥2(2 ( −1
k )( −k) + 2
1
k2 ⋅k2) =8，
当且仅当k＝﹣1 时，“＝”成立，即当过原点直线为y＝﹣x 时，…（11 分）
△PMN 面积取得最小值8．…（12 分）
【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距
离公式的合理运用
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考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p 则q”为真时，可表示为p⇒q，称p 为q 的充分条件，q 是p 的必要条件．事实上，与“p⇒q”
等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q 不成立，则p 一定不成立．这就是说，q 对于p 是必不可少的，
所以说q 是p 的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p 一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p 是q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，
记作“p⇔q”．p 与q 互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证
明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆
二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q 为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；
②若p⇒q 为假命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；
③若p⇒q 为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④若p⇒q 为假命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多
以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否
则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真
假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能
判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P 的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个
命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即
可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命
题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在
性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存
在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，
有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关
键
词
等
于
（＝）
大
于
（＞）
小
于
（＜）
是
能
都
是
没
有
至
多
有
一
个
至
少
有
一
个
至
少
有
n
个
至
多
有
n
个
任
意
的
任
两
个
P
且
Q
P
或
Q
否
定
词
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）
不
是
不
能
不
都
是
至
少
有
一
个
至
少
有
两
个
一
个
都
没
有
至
多
有
n﹣1
个
至
少
有
n+1
个
某
个
某
两
个
¬P
或
¬Q
¬P
且
¬Q
若原命题P 为真，则¬P 必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同
假．
3．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的
条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P 不是命题P 的否命题，而是命题P 的否定形
式．对命题“若P 则Q“来说，¬P 是“若P 则非Q”；P 的否命题是“若非P 则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
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“一定不是”的否定是“一定是”．
【解题方法点拨】若p 则q，那么它的否命题是：若¬p 则¬q，命题的否定是：若p 则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量
词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．
【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改
地区常考题型．
4．向量的概念与向量的模
【向量概念】
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理
中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
【向量的几何表示】
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线
段的起点、终点的字母表示，例如AB
→
、BC
→
，…字母表示，用小写字母a
→、b
→
，…表示．有向向量的长度为模，表示
为|AB
→
|、|a
→|，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0 的向量为零向量．
【向量的模】
AB
→
的大小，也就是AB
→
的长度（或称模），记作|AB
→
|．
【零向量】
长度为零的向量叫做零向量，记作0
→
，零向量的长度为0，方向不确定．
【单位向量】
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB
→
（与AB
→
共线的单位向量是
AB
→
|AB
→
|
）．
【相等向量】
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
5．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
6．直线的一般式方程与直线的性质
【直线的一般式方程】
直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的
表达式是ay+bx+c＝0．
【知识点的知识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B 不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=−A
Bx−C
B，
表示斜率为−A
B，y 轴上截距为−C
B的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0 平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0 垂直的直线，可设
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所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2 的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1 不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2 不同
时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1 与l2 重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1 与l2 相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0 时，则l1∥l2⇔
A1
A2
=
B1
B2
≠
C1
C2
；l1 与l2 重合⇔
A1
A2
=
B1
B2
=
C1
C2
；l1 与l2 相交⇔
A1
A2
≠
B1
B2
．
7．直线的一般式方程与直线的垂直关系
【知识点的知识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B 不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=−A
Bx−C
B，
表示斜率为−A
B，y 轴上截距为−C
B的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0 平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0 垂直的直线，可设
所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2 的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1 不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2 不同
时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1 与l2 重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1 与l2 相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0 时，则l1∥l2⇔
A1
A2
=
B1
B2
≠
C1
C2
；l1 与l2 重合⇔
A1
A2
=
B1
B2
=
C1
C2
；l1 与l2 相交⇔
A1
A2
≠
B1
B2
．
8．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按
某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y 存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，
就是含有变量x、y 的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）
＝0 的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M 的坐标；
（2）列式：写出适合条件p 的点M 的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0 为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点
到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关
键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P 的坐标（x，y）表示已知动点M 的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，
y），再将x0，y0 代入M 满足的条件F（x0，y0）＝0 中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点
法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
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（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
9．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0 与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d 和半径r 的关系判断．
圆心到直线的距离d= |Aa+Bb+C|
A2+B2
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由Ax + By + C = 0
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
10．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和
短半轴长．
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4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
c
a叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e= c
a，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e 越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为
x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
11．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
12．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
性
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
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质
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
13．直线与椭圆的综合
v．
14．直线与抛物线的综合
v．
15．棱锥的结构特征
【知识点的认识】
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和
底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征
棱锥1．底面是多边形
2．侧面是三角形
根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是
全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
V 棱锥= 1
3Sh．
16．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V 柱＝sh，V 锥= 1
3Sh．
17．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点
的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V 球体= 4
3 πR3
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S 球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得
出球体半径是解题关键．
18．平面的基本性质及推论
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【知识点的认识】
平面的基本性质及推论：
1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．
2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直
线．
【解题方法点拨】
1．公理1 是判定直线在平面内的依据．
2．公理2 及推论是确定平面的依据．
3．公理3 是判定两个平面相交的依据．
19．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b 是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′
所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，
π
2]．当θ＝90°时，称两
条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
20．异面直线的判定
【知识点的知识】
（1）判定空间直线是异面直线方法：
①根据异面直线的定义；
②异面直线的判定定理．
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21．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，
a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，
就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b 与a 的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a 平行有
无数条，另一类与a 异面，也有无数条．
22．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
23．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量a
→，b
→
，c
→不共面，那么对空间任一向量p
→，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p
→=xa
→+yb
→
+zc
→．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a
→，b
→
，c
→都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{e1
→，e2
→，e3
→}
表示．
3．空间直角坐标系
在空间选定一点O 和一个单位正交基底{e1
→，e2
→，e3
→}，以点O 为原点，分别以e1
→，e2
→，e3
→的正方向建立三条数
轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O﹣xyz．
其中，点O 叫做原点，向量e1
→，e2
→，e3
→都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．
4．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p
→，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP
→
= p
→，由空间向量基本
定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p
→= xe1
→+ ye2
→+ ze3
→．把x，y，z 称作向量p
→在单位正交基底e1
→，e2
→，e3
→
下的坐标，记作p
→=（x，y，z）．
【解题方法点拨】
1．基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量
定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得a
→+ b
→
= λ(b
→
+
c
→) + μ(c
→+ a
→)，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
2．空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：
（1）观察图形：充分观察图形特征；
（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；
（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．
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3．用基底表示向量
用基底表示向量时，
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量
的模及其夹角是否已知或易求．
24．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部
分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣
Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，
则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的
另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所
成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为u
→和v
→，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜u
→，v
→＞≤π
2，θ= ＜u
→，v
→＞，此时cosθ＝cos＜u
→，v
→＞=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|．
（2）当
π
2 ＜＜u
→
，v
→＞≤π时，θ＝cos（π−＜u
→，v
→＞）＝﹣cos＜u
→，v
→＞=−=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|．
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2018-2019 学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）（黄山期末）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2 = 4 3x 的焦点重合，长轴长等于
圆x2+y2﹣2x﹣15＝0 的半径，则椭圆C 的方程为（
）
A．
x2
4 +
y2
3 = 1
B．
x2
16 +
y2
12 = 1
C．
x2
4 + y2 = 1
D．
x2
16 +
y2
4 = 1
2．（5 分）（新课标Ⅰ）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c．已知a=
5，c＝2，cosA= 2
3，则b＝（
）
A．2
B．3
C．2
D．3
3．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）记Sn 为等差数列{an}的前n 项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
4．（5 分）（安徽期末）已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx＞0，则下列叙述正确的是（
）
A．￢p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx≤0
B．￢p：∃x∈（0，+∞），3x﹣cosx＜0
C．￢p：∃x∈（﹣∞，0]，3x﹣cosx≤0
D．￢p 是假命题
5．（5 分）（2012 春•黄冈期末）函数y= x2+2
x−1 （x＞1）的最小值是（
）
A．2 3 +2
B．2 3 −2
C．2 3
D．2
6．（5 分）（金安区校级期末）“双曲线渐近线方程为y＝±2x”是“双曲线方程为x2−y2
4 =λ（λ为常数且λ≠0）”的
（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．
（5 分）
（金安区校级期末）已知点O、A、B、C 为空间不共面的四点，且向量a
→= OA
→
+ OB
→
+ OC
→
，向量b
→
= OA
→
+ OB
→
−
OC
→
，则与a
→、b
→
不能构成空间基底的向量是（
）
A．OA
→
B．OB
→
C．OC
→
D．OA
→
或OB
→
8．（5 分）（桐城市期末）已知抛物线C：x2＝2y 的焦点为F，A（x0，y0）是C 上一点，|AF|= 5
4 y0，则x0＝（
）
A．1
B．﹣1 或1
C．2
D．﹣2 或2
9．（5 分）（2010•江苏模拟）椭圆
x2
16 +
y2
4 = 1 上的点到直线x + 2y −
2 = 0 的最大距离是（
）
A．3
B．11
C．2 2
D．10
10．（5 分）（金安区校级期末）在三棱锥P﹣ABC 中，AB⊥BC，AB = BC = PA =
2，点O，D 分别是AC，PC 的
中点，OP⊥平面ABC，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为（
）
A．
6
6
B．
30
6
C．
6
3
D．
3
3
11．（5 分）（金安区校级期末）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F 作不与坐标轴垂直的直线，交抛物线于M，N
两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H，若|MN|＝20，则|FH|＝（
）
A．10
B．8
C．6
D．4
12．（5 分）（2018•衡阳二模）设双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F（c，0），弦PQ 的过F
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且垂直于x 轴，过点P，Q 分别作直线AP，AQ 的垂线，两垂线交于点B，若B 到直线PQ 的距离小于2（a+c），
则该双曲线离心率的取值范围是（
）
A．（1，3）
B．（3，+∞）
C．（0，3）
D．（2，3）
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13．（5 分）（金安区校级期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线x = 3
2与双曲线
x2
3 −y2 = 1 的两条渐近线分别交于
点P，Q，双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，则四边形F1PF2Q 的面积是
．
14．（5 分）（金安区校级期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为1，E，F 分别为BB1，CD 的中点，则点F 到平
面A1D1E 的距离为
．
15．（5 分）（金安区校级期末）若对任意x∈R，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0 恒成立，则实数a 值范围
是
．
16．
（5 分）
（金安区校级期末）设F 为椭圆
x2
169 +
y2
88 = 1 的右焦点，且椭圆上至少有10 个不同的点Pi（i＝1，2，3……），
使|FP1|，|FP2|，|FP3|，……组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是
．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10 分）（金安区校级期末）已知椭圆
x2
9 +
y2
4 = 1 的长轴两端点为双曲线E 的焦点，且双曲线E 的离心率为
3
2．
（1）求双曲线E 的标准方程；
（2）若斜率为1 的直线l 交双曲线E 于A，B 两点，线段AB 的中点的横坐标为4 2，求直线l 的方程．
18．（12 分）（金安区校级期末）直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面ABC 是边长为2 的正三角形，D'是棱A'C'的中点，
且AA' = 2 2．
（1）若点M 为棱CC'的中点，求异面直线AB'与BM 所成角的余弦值；
（2）若点M 在棱CC'上，且A'M⊥平面AB'D'，求线段CM 的长．
19．（12 分）（金安区校级期末）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），
直线y＝kx 与椭圆交于A、B 两点．
（Ⅰ）若三角形AF1F2 的周长为4 3 +6，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|k|＞2
4 ，且以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e 的取值范围．
20．（12 分）（金安区校级期末）如图，在三棱台DEF﹣ABC 中，AB＝2DE，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，∠BAC＝
45°，CF＝DE，G，H 分别为AC，BC 的中点．
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．
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21．（12 分）（金安区校级期末）平面内一动圆P（P 在y 轴右侧）与圆（x﹣1）2+y2＝1 外切，且与y 轴相切．
（1）求动圆圆心P 的轨迹C 的方程；
（2）已知动直线l 过点M（4，0），交轨迹C 于A，B 两点，坐标原点O 为MN 的中点，求证：∠ANM＝∠BNM．
22．（12 分）（金安区校级期末）已知椭圆C：x2
3 + y2
4 = 1，上顶点为M，焦点为F1，F2，点A，B 是椭圆C 上异于
点M 的不同的两点，且满足直线MA 与直线MB 斜率之积为
1
4．
（1）若P 为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求△PF1F2 面积的最大值；
（2）试判断直线AB 是否过定点；若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．
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2018-2019 学年安徽省六安一中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5 分）（黄山期末）已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2 = 4 3x 的焦点重合，长轴长等于
圆x2+y2﹣2x﹣15＝0 的半径，则椭圆C 的方程为（
）
A．
x2
4 +
y2
3 = 1
B．
x2
16 +
y2
12 = 1
C．
x2
4 + y2 = 1
D．
x2
16 +
y2
4 = 1
【考点】K4：椭圆的性质；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，圆的半径，然后求解椭圆的a，b，即可得到椭圆方程．
【解答】解：椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2 = 4 3x 的焦点重合，可得c=
3，
长轴长等于圆x2+y2﹣2x﹣15＝0 的半径，a＝2，则b＝1，
所求椭圆方程为：
x2
4 + y2 = 1．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
2．（5 分）（新课标Ⅰ）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c．已知a=
5，c＝2，cosA= 2
3，则b＝（
）
A．2
B．3
C．2
D．3
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．
【分析】由余弦定理可得cosA= b2+c2−a2
2bc
，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3＝0，从而解得b 的值．
【解答】解：∵a=
5，c＝2，cosA= 2
3，
∴由余弦定理可得：cosA= 2
3 = b2+c2−a2
2bc
= b2+4−5
2×b×2 ，整理可得：3b2﹣8b﹣3＝0，
∴解得：b＝3 或−1
3（舍去）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属
于基础题．
3．（5 分）（2017•新课标Ⅰ）记Sn 为等差数列{an}的前n 项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列通项公式及前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．
【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前n 项和，a4+a5＝24，S6＝48，
∴
a1 + 3d + a1 + 4d = 24
6a1 + 6×5
2 d = 48
，
解得a1＝﹣2，d＝4，
∴{an}的公差为4．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
4．（5 分）（安徽期末）已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx＞0，则下列叙述正确的是（
）
A．￢p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx≤0
B．￢p：∃x∈（0，+∞），3x﹣cosx＜0
C．￢p：∃x∈（﹣∞，0]，3x﹣cosx≤0
D．￢p 是假命题
【考点】2J：命题的否定；2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑．
【分析】根据已知中原命题，写出命题的否定，并判断其真假，可得答案．
【解答】解：∵命题p：∀x∈（0，+∞），3x﹣cosx＞0，
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
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∴命题p 为：∃x∈（0，+∞），3x﹣cosx≤0；
当x＞0 时，3x＞1，﹣1≤cosx≤1，
∴3x﹣cosx＞0，
故p 是真命题，即¬p 是假命题．
故选：D．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，分类讨论思想，难度中档．
5．（5 分）（2012 春•黄冈期末）函数y= x2+2
x−1 （x＞1）的最小值是（
）
A．2 3 +2
B．2 3 −2
C．2 3
D．2
【考点】3H：函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】先将函数变形可得y= x2+2
x−1 =（x﹣1）+
3
x−1 +2，再利用基本不等式可得结论．
【解答】解：y= x2+2
x−1 =（x﹣1）+
3
x−1 +2
∵x＞1，∴x﹣1＞0
∴（x﹣1）+
3
x−1 ≥2 3（当且仅当x=
3 +1 时，取等号）
∴y= x2+2
x−1 ≥2 3 +2
故选：A．
【点评】本题考查函数的最值，考查基本不等式的运用，属于中档题．
6．（5 分）（金安区校级期末）“双曲线渐近线方程为y＝±2x”是“双曲线方程为x2−y2
4 =λ（λ为常数且λ≠0）”的
（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．
【分析】根据双曲线渐近线方程求出a，b 的关系，得到双曲线的方程即可．
【解答】解：双曲线渐近线方程为y＝±2x，
即b＝2a，或a＝2b，
故双曲线方程为x2−y2
4 =λ（λ为常数且λ≠0），
是充要条件，
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的方程问题，考查渐近线方程，是一道基础题．
7．
（5 分）
（金安区校级期末）已知点O、A、B、C 为空间不共面的四点，且向量a
→= OA
→
+ OB
→
+ OC
→
，向量b
→
= OA
→
+ OB
→
−
OC
→
，则与a
→、b
→
不能构成空间基底的向量是（
）
A．OA
→
B．OB
→
C．OC
→
D．OA
→
或OB
→
【考点】M8：空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．菁优网版权所有
【专题】5H：空间向量及应用．
【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出．
【解答】解：∵OC
→
= 1
2（a
→−b
→
）= 1
2（OA
→
+ OB
→
+ OC
→
）−1
2（OA
→
+ OB
→
−OC
→
），
∴OC
→
与a
→、b
→
不能构成空间基底；
故选：C．
【点评】本题考查了向量的基本定理及其意义，正确理解空间向量的基底的意义是解题的关键．
8．（5 分）（桐城市期末）已知抛物线C：x2＝2y 的焦点为F，A（x0，y0）是C 上一点，|AF|= 5
4 y0，则x0＝（
）
A．1
B．﹣1 或1
C．2
D．﹣2 或2
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用A（x0，y0）是C 上一点，|AF|= 5
4 y0，列出方程化简求解即可．
【解答】解：抛物线C：x2＝2y 的焦点为F（0，
1
2），A（x0，y0）是C 上一点，|AF|= 5
4 y0，
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可得：(x0 −0)2 + (y0 −1
2 )2 = 5
4 y0，
可得x02 + y02 −y0+ 1
4 = 25
16 y02，
即y02 +y0+ 1
4 = 25
16 y02，解得y0＝2，
可得x0＝±2．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
9．（5 分）（2010•江苏模拟）椭圆
x2
16 +
y2
4 = 1 上的点到直线x + 2y −
2 = 0 的最大距离是（
）
A．3
B．11
C．2 2
D．10
【考点】IT：点到直线的距离公式；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】设椭圆
x2
16 +
y2
4 = 1 上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线x + 2y −
2 = 0 的距离公式，计算可得答案．
【解答】解：设椭圆
x2
16 +
y2
4 = 1 上的点P（4cosθ，2sinθ）
则点P 到直线x + 2y −
2 = 0 的距离
d= |4cosθ+4sinθ−2|
5
=
|4 2sin(θ+π
4)−2|
5
dmax = |−4 2−2|
5
=
10；
故选：D．
【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．
10．（5 分）（金安区校级期末）在三棱锥P﹣ABC 中，AB⊥BC，AB = BC = PA =
2，点O，D 分别是AC，PC 的
中点，OP⊥平面ABC，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为（
）
A．
6
6
B．
30
6
C．
6
3
D．
3
3
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；44：数形结合法；5G：空间角．
【分析】取BC 中点E，连接PE，则BC⊥平面POE，作OF⊥PE 于F，连接DF，得到OF⊥平面PBC，可得∠
ODF 是OD 与平面PBC 所成的角．然后求解三角形得答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC，
又∵OP⊥平面ABC
∴PA＝PB＝PC．
取BC 中点E，连接PE，则BC⊥平面POE，
作OF⊥PE 于F，连接DF，则OF⊥平面PBC．
∴∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角．
∵AB＝BC＝PA=
2，∴PO＝1，
在Rt△POC 中，D 是PC 的中点，PC=
2，∴OD=
2
2 ，
在Rt△POE 中，OE=
2
2 ，PE=
6
2 ，OF= PO⋅OE
PE
=
1× 2
2
6
2
=
3
3 ，
在Rt△ODF 中，sin∠ODF= OF
OD =
3
3
2
2
=
6
3 ．
∴直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为
6
3 ．
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第908页（共926页）
故选：C．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力和逻辑思维能力，是中档题．
11．（5 分）（金安区校级期末）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F 作不与坐标轴垂直的直线，交抛物线于M，N
两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H，若|MN|＝20，则|FH|＝（
）
A．10
B．8
C．6
D．4
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线的方程，作差，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，求得
MN 的斜率，求MN 的垂直平分线方程，求出MN 的垂直平分线交x 轴于H 的坐标，进而求得|HF|= 1
2|MN|，即
可得出结论．
【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），
抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（
p
2，0），
弦MN 的中点为K（x0，y0），
y12＝2px1，y22＝2px2，
相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）＝2p（x1﹣x2），
可得则kMN= y1−y2
x1−x2 =
2p
y1+y2 = p
y0，
∴MN 的垂直平分线为y﹣y0=−y0
p （x﹣x0），
令y＝0，则xH＝x0+p，
∴|HF|＝x0+ p
2，
∵|MN|＝x1+x2+p＝2x0+p，
∴|HF|= 1
2|MN|＝10，
故选：A．
【点评】本题以抛物线方程为载体，考查抛物线的性质，注意点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题..
12．（5 分）（2018•衡阳二模）设双曲线
x2
a2 −
y2
b2 = 1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，右焦点为F（c，0），弦PQ 的过F
且垂直于x 轴，过点P，Q 分别作直线AP，AQ 的垂线，两垂线交于点B，若B 到直线PQ 的距离小于2（a+c），
则该双曲线离心率的取值范围是（
）
A．（1，3）
B．（3，+∞）
C．（0，3）
D．（2，3）
【考点】KM：直线与双曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出直线BQ 的方程，令y＝0，可得B 的坐标，利用B 到直线PQ 的距离小于2（a+c），得出a，c 的
关系，即可求出该双曲线离心率的取值范围．
【解答】解：由题意，B 在x 轴上，P（c，
b2
a ），Q（c，−b2
a ），∴kAQ=
b2
a
a−c，
∴kBP=−a2−ac
b2 ，
直线BP 的方程为y−b2
a =−a2−ac
b2 （x﹣c），
令y＝0，可得x=
b4
a2(a−c) +c，
∵B 到直线PQ 的距离小于2（a+c），
∴−
b4
a2(a−c) ＜2（a+c），
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第909页（共926页）
∴b＜2a，
∴c＜3a，
∴e＜3，
∵e＞1，
∴1＜e＜3，
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13．（5 分）（金安区校级期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线x = 3
2与双曲线
x2
3 −y2 = 1 的两条渐近线分别交于
点P，Q，双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，则四边形F1PF2Q 的面积是
2 3
．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，得到P，Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．
【解答】解：双曲线
x2
3 −y2 = 1 的a=
3，b＝1，c=
3 + 1 =2，
直线x = 3
2与双曲线
x2
3 −y2 = 1 的两条渐近线y＝±
3
3 x 联立，
解得P（
3
2，
3
2 ），Q（
3
2，−3
2 ），F1（﹣2，0）．F2（2，0），
则四边形F1PF2Q 的面积是
1
2 ×4×
3 =2 3．
故答案为：2 3．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，主要是渐近线方程，考查计算能力，属于基础题．
14．（5 分）（金安区校级期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为1，E，F 分别为BB1，CD 的中点，则点F 到平
面A1D1E 的距离为
5
10
．
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角系，利用向量法能求出点F 到平面
A1D1E 的距离．
【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角系，
A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，1，
1
2），F（0，
1
2，0），
D1A1
→
=（1，0，0），D1E
→
=（1，1，−1
2），EF
→
=（﹣1，−1
2，
1
2），
设平面A1D1E 的法向量n
→=（x，y，z），
则
n
→⋅D1A1
→
= x = 0
n
→⋅D1E
→
= x + y −1
2 z = 0
，取y＝1，得n
→=（0，1，2），
∴点F 到平面A1D1E 的距离为d= |EF
→
⋅n
→|
|n
→|
=
1
2
5 =
5
10．
故答案为：
5
10．
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第910页（共926页）
【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
15．（5 分）（金安区校级期末）若对任意x∈R，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0 恒成立，则实数a 值范围
是
( −3
5 ，1]．
．
【考点】3R：函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据二次函数的性质，通过a 是否为1，可得不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0 恒成立时，a 的取
值范围．
【解答】解对于任意的x∈R，不等式（a2﹣1）x2﹣（a﹣1）x﹣1＜0 恒成立
当a＝1 时，﹣1＜0 恒成立；
当a2 −1＜0
△= (a −1)2 + 4(a2 −1)＜0
，时⇔a∈（−3
5，1）．
综上：实数a 值范围是( −3
5 ，1]．
给答案为：( −3
5 ，1]．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质的应用，考查分类讨论思想的应用，转化思想的应用．
16．
（5 分）
（金安区校级期末）设F 为椭圆
x2
169 +
y2
88 = 1 的右焦点，且椭圆上至少有10 个不同的点Pi（i＝1，2，3……），
使|FP1|，|FP2|，|FP3|，……组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是
[﹣2，0）∪（0，2]
．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；32：分类讨论；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】若这个等差数列是增数列，a1≥|FP1|＝4，a10≤|FP10|＝22；若这个等差数列是减数列，则a1≤|FP1|＝22，
a10≥|FP10|＝4，由此可求出d 的取值范围．
【解答】解：若这个等差数列是增数列，则a1≥|FP1|＝13﹣9＝4，a10≤|FP10|＝13+9＝22，
∴a10＝a1+10d，∴0＜a10﹣a1＝9d≤（13+9）﹣（13﹣9）＝2，
解得0＜d≤2
若这个等差数列是减数列，则a1≤|FP1|＝13+9＝22，a10≥|FP10|＝13﹣9＝4，
∴a10＝a1+9d，∴0＞a10﹣a1＝9d≥（13﹣9）﹣（13+9）＝﹣2，
解得﹣2≤d＜0．
∴d 的取值范围为[﹣2，0）∪（0，2]．
故答案为：[﹣2，0）∪（0，2]．
【点评】本题以椭圆知识为载体考查数列知识，考查发现问题解决问题的能力．
三、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10 分）（金安区校级期末）已知椭圆
x2
9 +
y2
4 = 1 的长轴两端点为双曲线E 的焦点，且双曲线E 的离心率为
3
2．
（1）求双曲线E 的标准方程；
（2）若斜率为1 的直线l 交双曲线E 于A，B 两点，线段AB 的中点的横坐标为4 2，求直线l 的方程．
【考点】K4：椭圆的性质；KM：直线与双曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用椭圆的顶点坐标求出双曲线E 的焦点坐标，然后求解双曲线标准方程；
（2）设出斜率为1 的直线l 的方程与双曲线E 联立，利用韦达定理结合线段AB 的中点的横坐标为4 2，即可
求直线l 的方程．
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【解答】解：（1）椭圆
x2
9 +
y2
4 = 1 的长轴两端点为（±3，0），得c＝3，
又e = c
a = 3
2，得a＝2，∴b2＝c2﹣a2＝5．∴双曲线E 的方程为
x2
4 −
y2
5 = 1．
（2）设直线l 的方程为y＝x+t，由
x2
4 −y2
5 = 1
y = x + 1
得x2﹣8tx﹣4（t2+5）＝0，
∴△＝80（t2+1）＞0，x1 + x2 = 8t = 8 2，∴t =
2．∴直线方程为x −y +
2 = 0．
【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算
能力．
18．（12 分）（金安区校级期末）直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面ABC 是边长为2 的正三角形，D'是棱A'C'的中点，
且AA' = 2 2．
（1）若点M 为棱CC'的中点，求异面直线AB'与BM 所成角的余弦值；
（2）若点M 在棱CC'上，且A'M⊥平面AB'D'，求线段CM 的长．
【考点】LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用．
【分析】（1）取AC 边中点为O，由题意可得OD'⊥AC，OD'⊥OB，以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，
OD'为z 轴建立空间直角坐标系，若M 为CC'的中点，则可求M(0，1，2)，BM
→
= ( −
3，1，2)，AB'
→
= ( 3
，1，2 2)，设异面直线AB'与BM 所成的角为θ，利用向量数量积的运行即可计算得解．
（2）设M（0，1，t），则由A'M⊥AD'，A'M⊥AB'，可得A'M
→
⋅AD'
→
= 0 + 2 + (t −2 2) ⋅2 2 = 0
A'M
→
⋅AB'
→
= 0 + 2 + (t −2 2) ⋅2 2 = 0
，进而解得
A'M⊥平面AB'D'时CM 的值．
【解答】解：取AC 边中点为O，
∵底面ABC 是边长为2 的正三角形，
∴OB⊥AC 连接OD'，
∵D'是边A'C'的中点，
∴OD'⊥AC，OD'⊥OB，
以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OD'为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（0，﹣1，0），B( 3，0，0)，C（0，1，0），B'( 3，0，2 2)，A'(0，−1，2 2)，D'(0，0，2 2)，
C'(0，1，2 2)，
（1）若M 为CC'的中点，则M(0，1，2)，BM
→
= ( −
3，1，2)，AB'
→
= ( 3，1，2 2)，
设异面直线AB'与BM 所成的角为θ，则cosθ = |cos＜AB'
→
，BM
→
＞| =
2
6⋅2 3 =
2
6 ，
所以异面直线AB'与BM 所成的角得余弦值为
2
6 ，
（2）设M（0，1，t），则A'M
→
= (0，2，t −2 2)，AD'
→
= (0，1，2 2)，AB'
→
= ( 3，1，2 2)，
若A'M⊥平面AB'D'，则由A'M⊥AD'，A'M⊥AB'，
∴A'M
→
⋅AD'
→
= 0 + 2 + (t −2 2) ⋅2 2 = 0
A'M
→
⋅AB'
→
= 0 + 2 + (t −2 2) ⋅2 2 = 0
，
可得：t = 3 2
2 ，
即当CM = 3 2
2 时，A'M⊥平面AB'D'．
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【点评】本题主要考查了直线与平面垂直，异面直线及其所成的角，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用空
间向量的运算解决问题，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
19．（12 分）（金安区校级期末）已知椭圆
x2
a2 +
y2
b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），
直线y＝kx 与椭圆交于A、B 两点．
（Ⅰ）若三角形AF1F2 的周长为4 3 +6，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|k|＞2
4 ，且以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e 的取值范围．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；35：转化思想；44：数形结合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）由题意得
c = 3
2a + 2c = 6 + 4 3
a2 = b2 + c2
，解出即可得出．
（Ⅱ）由
x2
a2 + y2
b2 = 1
y = kx
，化为（b2+a2k2）x2﹣a2b2＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由AF2⊥BF2，可得F2A
→
•F2B
→
=0，
再利用根与系数的关系化简整理即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得
c = 3
2a + 2c = 6 + 4 3
a2 = b2 + c2
，解得a2＝12，b2＝3．
∴椭圆的方程为
x2
12 +
y2
3 = 1．
（Ⅱ）由
x2
a2 + y2
b2 = 1
y = kx
，化为（b2+a2k2）x2﹣a2b2＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2＝0，x1x2= −a2b2
b2+a2k2，
易知，AF2⊥BF2，
∵F2A
→
=（x1﹣3，y1），F2B
→
=（x2﹣3，y2），
∴F2A
→
•F2B
→
=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2
＝（1+k2）x1x2﹣3（x1+x2）+9＝（1+k2）x1x2+9＝0．
∴
−a2(a2−9)(1+k2)
(a2−9)+a2k2
+9＝0，
将其整理为k2= a4−18a2+81
−a4+18a2
=−1−
81
a4−18a2．
∵|k|＞2
4 ，∴12＜a2＜18，
解得2 3＜a＜3 2，
∴离心率
2
2 ＜e＜
3
2 ．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、不等式的性质，考
查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．（12 分）（金安区校级期末）如图，在三棱台DEF﹣ABC 中，AB＝2DE，CF⊥平面ABC，AB⊥BC，∠BAC＝
45°，CF＝DE，G，H 分别为AC，BC 的中点．
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第913页（共926页）
（1）求证：BD∥平面FGH；
（2）求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．
【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）连接DG，DC，设DC 与GF 交于点T．证明四边形DGCF 是平行四边形，DG∥FC．TH∥DB，
然后证明BD∥平面FGH
（2）以点G 为坐标原点，GA，GB，GC 所在的直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设AB＝2，求出
相关点的坐标；求出平面ACFD 的一个法向量，平面FGH 的法向量，然后求解平面FGH 与平面ACFD 所成角
（锐角）的大小．
【解答】解：（1）证明：连接DG，DC，设DC 与GF 交于点T．在三棱台DEF﹣ABC 中，AB＝2DE，则AC＝
2DF，
而G 是AC 的中点，DF∥AC，则DF∥
¯
¯
GC，所以四边形DGCF 是平行四边形，T 是DC 的中点，DG∥FC．
又在△BDC 中，H 是BC 的中点，则TH∥DB，
又BD⊄平面FGH，TH⊂平面FGH，
故BD∥平面FGH
（2）解：由CF⊥平面ABC，可得DG⊥平面ABC，
又AB⊥BC，∠BAC＝45°，则GB⊥AC，于是GB，GA，GC 两两垂直，
以点G 为坐标原点，GA，GB，GC 所在的直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则DE＝CF＝1，AC = 2 2，AG =
2，B( 2，0，0)，C(0，2，0)，D（0，0，1），F(0，2，1)，
H( 2
2 ，2
2 ，0)
平面ACFD 的一个法向量为n1
→= (0，1，0)，
设平面FGH 的法向量为n2
→(x2，y2，z2)，则n2
→⋅GH
→
= 0
n2
→⋅GF
→
= 0
，即
2x2 +
2y2 = 0
2y2 + z2 = 0
，
取x2＝1，则y2＝﹣1，z2 =
2，n2
→= (1，−1，2)，cos(n1
→，n2
→) =
−1
1+1+2 =−1
2，
故平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60°．
【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
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第914页（共926页）
21．（12 分）（金安区校级期末）平面内一动圆P（P 在y 轴右侧）与圆（x﹣1）2+y2＝1 外切，且与y 轴相切．
（1）求动圆圆心P 的轨迹C 的方程；
（2）已知动直线l 过点M（4，0），交轨迹C 于A，B 两点，坐标原点O 为MN 的中点，求证：∠ANM＝∠BNM．
【考点】J3：轨迹方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4P：设而不求法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设圆心P，根据动圆P 与圆（x﹣1）2+y2＝1 外切，且与y 轴相切．建立关系可得轨迹C 的方程
（2）设而不求的思想，结合韦达定理即可证明．
【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0），则(x −1)2 + y2 = x + 1，y2＝4x
∴动圆圆心P 的轨迹C 的方程为：y2＝4x（x＞0）．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由于O 为MN 的中点，则N（﹣4，0）
当直线l 垂直于x 轴时，由抛物线的对称性知∠ANM＝∠BNM．
当直线l 不垂直于x 轴时，设l：y＝k（x﹣4），
由y = k(x −4)
y2 = 4x
，得k2x2﹣4（2k2+1）x+16k2＝0，
∴x1 + x2 = 4(2k2+1)
k2
，x1•x2＝16，
∵kAN =
y1
x1+4 = k(x1−4)
x1+4 ，kBN =
y2
x2+4 = k(x2−4)
x2+4 ，
∴kAN + kBN = k(2x1x2−32)
(x1+4)(x2+4) = 0，∴∠ANM＝∠BNM，
综上，∠ANM＝∠BNM．
【点评】本题考查了轨迹方程是求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题．
22．（12 分）（金安区校级期末）已知椭圆C：x2
3 + y2
4 = 1，上顶点为M，焦点为F1，F2，点A，B 是椭圆C 上异于
点M 的不同的两点，且满足直线MA 与直线MB 斜率之积为
1
4．
（1）若P 为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求△PF1F2 面积的最大值；
（2）试判断直线AB 是否过定点；若是，求出定点坐标；若否，请说明理由．
【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；34：方程思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）根据三角形的面积公式结合椭圆的性质，即可求出，
（2）由题意，M（0，2），直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：x＝my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），
与椭圆方程联立可得（4m2+3）y2+8mty+4t2﹣12＝0，△＝48（4m2﹣t2+3）＞0①，由于直线MA 与直线MB 斜
率之积为
1
4，根与系数的关系代入可得：化简得13t2+64mt+76m2＝0，解得t＝﹣2m 或t =−38
13 m．分别讨论解出
即可．
【解答】解：（1）设P（x0，y0），则S△PF1F2 = 1
2 ⋅|F1F2| ⋅|x0| = |x0| ≤
3
∴△PF1F2 面积的最大值为3．
（2）由题意，M（0，2），直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为：x＝my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），
由x = my + t
4 + 3y2 = 12，得（4m2+3）y2+8mty+4t2﹣12＝0，△＝48（4m2﹣t2+3）＞0①，
∴y1 + y2 = −8mt
4m2+3，y1 ⋅y2 = 4t2−12
4m2+3②
∵直线MA 与直线MB 斜率之积为
1
4，
∴
y1−2
x1
⋅
y2−2
x2
=
1
4，(m2 −4)y1y2 + (mt + 8)(y1 + y2) + t2 −16 = 0
将②式代入，化简得13t2+64mt+76m2＝0，解得t＝﹣2m 或t =−38
13 m
当t＝﹣2m 时，直线AB 的方程为：x＝m（y﹣2），过定点（0，2），不符合题意；
当t =−38
13 m 时，直线AB 的方程为：x = m(y −38
13 )，过定点(0，38
13 )，将t =−38
13 m 代入①式，
解得−13
16 ＜m＜13
16 (m ≠0)
∴直线AB 过定点(0，38
13 )．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、斜率计算公式，考查了分
类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
第915页（共926页）
考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p 则q”为真时，可表示为p⇒q，称p 为q 的充分条件，q 是p 的必要条件．事实上，与“p⇒q”
等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q 不成立，则p 一定不成立．这就是说，q 对于p 是必不可少的，
所以说q 是p 的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p 一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p 是q 成立的充要条件，或称条件q 是p 成立的充要条件，
记作“p⇔q”．p 与q 互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证
明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆
二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q 为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；
②若p⇒q 为假命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；
③若p⇒q 为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；
④若p⇒q 为假命题且q⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多
以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的
条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P 不是命题P 的否命题，而是命题P 的否定形
式．对命题“若P 则Q“来说，¬P 是“若P 则非Q”；P 的否命题是“若非P 则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．
【解题方法点拨】若p 则q，那么它的否命题是：若¬p 则¬q，命题的否定是：若p 则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量
词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．
【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改
地区常考题型．
3．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q 及非p 的真假，然后由真值表判断复合命题的
真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0 的两根都不是实根”，因为“都是”的反
面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得
出复合命题的真假．
2．判断一个“若p 则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p 则q”为
真；而要确定“若p 则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这
一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
4．函数的最值及其几何意义
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【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵
坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0 时，求2x+ 8
x的最小值，有2x+ 8
x ≥2 2x ⋅8
x =8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5 和x＝3 的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识点未来将
仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参
数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
5．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0 等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就
是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使
函数f（x）＝ax^2+1 恒大于0，就必须对a 进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，
先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a 的取值范围．
解：由题意可知：a≤x2+2x+3
x
恒成立
即a≤x+ 3
x +2
⇒a≤2 3 +2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，
突出了导数的工具性作用．
6．等差数列的通项公式
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项
a1，公差d，那么第n 项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m 项为am，则第n 项为an＝am+（n﹣m）d．
【例题解析】
eg1：已知数列{an}的前n 项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列
解：当n＝1 时，a1＝S1＝12+1＝2，
当n≥2 时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，
∴an= 2，n = 1
2n −1，n ≥2
，
把n＝1 代入2n﹣1 可得1≠2，
∴{an}不是等差数列
考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an 的求
法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．
eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7 则这个数列的通项公式为
解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，
∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，
解得a＝2．
∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，
∴数列an 是以1 为首项，4 为公差的等差数列，
∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．
故答案：4n﹣3．
这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项
和公差即可．
【考点点评】
求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习
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时应重点掌握的知识点．
7．等差数列的前n 项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列
就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示．其求和公式为Sn＝na1+ 1
2n（n﹣1）d 或
者Sn= n(a1+an)
2
【例题解析】
eg1：设等差数列的前n 项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝
解：∵d＝1，S5＝15，
∴5a1+ 5×4
2 d＝5a1+10＝15，即a1＝1，
则S10＝10a1+ 10×9
2
d＝10+45＝55．
故答案为：55
点评：此题考查了等差数列的前n 项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1 的值，然后套用公式即可．
eg2：等差数列{an}的前n 项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n 项的和Tn．
解：∵等差数列{an}的前n 项和Sn＝4n2﹣25n．
∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，
该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3 项为负，其和为S3＝﹣39．
∴n≤3 时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，
n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，
∴Tn = 25n −4n2，n ≤3
4n2 −25n + 78，n ≥4
．
点评：本题考查等差数列的前n 项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理
运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n 项的值．
【考点点评】
等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会
结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．
8．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC =2R
（R 是△ABC 外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A= a
2R，sin B= b
2R，sin C= c
2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝
csin A
cos A= b2+c2−a2
2bc
，
cos B= a2+c2−b2
2ac
，
cos C= a2+b2−c2
2ab
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条
边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边
和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他
两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的
知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的
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问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边
长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用
正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相
关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线
在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
9．点到直线的距离公式
【知识点的知识】
从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距
离．设直线方程为Ax+By+C＝0，直线外某点的坐标为（X0，Y0）那么这点到这直线的距离就为：d= |AX0+BY0+C|
A2+B2
．
【例题解析】
例：过点P（1，1）引直线使A（2，3），B（4，5）到直线的距离相等，求这条直线方程．
解：当直线平行于直线AB 时，或过AB 的中点时满足题意，
当直线平行于直线AB 时，所求直线的斜率为k= 5−3
4−2 =1，
故直线方程为y﹣1＝（x﹣1），即x﹣y＝0；
当直线过AB 的中点（3，4）时，斜率为k= 4−1
3−1 = 3
2，
故直线方程为y﹣1= 3
2（x﹣1），即3x﹣2y﹣1＝0；
故答案为：x﹣y＝0 或3x﹣2y﹣1＝0．
这个题考查了点到直线的概念，虽然没有用到距离公式，但很有参考价值．他告诉我们两点，第一直线上的点到
平行直线的距离相等；第二，直线过某两点的中点时，这两点到直线的距离相等，可以用三角形全等来证明．除此
之外，本例题还考察了直线表达式的求法，是一个好题．
【考点分析】
正如例题所表达的一样，先要了解这个考点的概念和意义，再者要牢记距离公式，在解析几何中可能会涉及到
点到直线的距离．
10．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按
某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y 存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，
就是含有变量x、y 的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）
＝0 的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M 的坐标；
（2）列式：写出适合条件p 的点M 的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0 为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点
到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关
键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P 的坐标（x，y）表示已知动点M 的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，
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y），再将x0，y0 代入M 满足的条件F（x0，y0）＝0 中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点
法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
11．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和
短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
c
a叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e= c
a，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e 越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为
x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
12．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
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13．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2
a2 −
y2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
y2
a2 −
x2
b2 = 1（a＞0，b＞0）
图形
性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x 轴，y 轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e= c
a（e＞1）
准线
x＝±
a2
c
y＝±
a2
c
渐近线
x
a±
y
b =0
x
b±
y
a =0
14．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联
立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C 上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C 的离心率e = 1
2．
（1）求圆锥曲线C 的方程；
（2）设经过点F2 的任意一条直线与圆锥曲线C 相交于A、B，试证明在x 轴上存在一个定点P，使PA
→
⋅PB
→
的值是
常数．
解：（1）依题意，设曲线C 的方程为
x2
a2 +
y2
b2 = 1（a＞b＞0），
∴c＝1，
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∵e = c
a = 1
2，
∴a＝2，
∴b =
a2 −c2 =
3，
所求方程为
x2
4 +
y2
3 = 1．
（2）当直线AB 不与x 轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由
x2
4 + y2
3 = 1
y = k(x −1)
，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而xA + xB =
8k2
3+4k2，xA ⋅xB = 4(k2−3)
3+4k2 ，
设P（t，0），则
PA
→
⋅PB
→
= (xA −t)(xB −t) + yAyB = (k2 + 1)xAxB −(t + k2)(xA + xB) + (k2 + t2) = 3t2−12+(−5−8t+4t2)k2
3+4k2
当
3t2−12
3
=
−5−8t+4t2
4
，
解得t = 11
8
此时对∀k∈R，PA
→
⋅PB
→
=−135
64 ；
当AB⊥x 轴时，直线AB 的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，yA(yB) =± 3
2，
对t = 11
8 ，PA
→
⋅PB
→
= (xA −t)(xB −t) + yAyB = 9
64 −9
4 =−135
64 ，
即存在x 轴上的点P( 11
8 ，0)，使PA
→
⋅PB
→
的值为常数−135
64 ．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关
系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c 中的两个
值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当
的放到最后做．
15．直线与椭圆的综合
v．
16．直线与双曲线的综合
v．
17．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b 是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′
所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，
π
2]．当θ＝90°时，称两
条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
18．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
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如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，
a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，
就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b 与a 的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a 平行有
无数条，另一类与a 异面，也有无数条．
19．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l 和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l 和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l 叫
做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l 和平面α，l⊥α⇔l 垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
20．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量a
→，b
→
，c
→不共面，那么对空间任一向量p
→，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p
→=xa
→+yb
→
+zc
→．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a
→，b
→
，c
→都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{e1
→，e2
→，e3
→}
表示．
3．空间直角坐标系
在空间选定一点O 和一个单位正交基底{e1
→，e2
→，e3
→}，以点O 为原点，分别以e1
→，e2
→，e3
→的正方向建立三条数
轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O﹣xyz．
其中，点O 叫做原点，向量e1
→，e2
→，e3
→都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．
4．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量p
→，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP
→
= p
→，由空间向量基本
定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p
→= xe1
→+ ye2
→+ ze3
→．把x，y，z 称作向量p
→在单位正交基底e1
→，e2
→，e3
→
下的坐标，记作p
→=（x，y，z）．
【解题方法点拨】
1．基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量
定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得a
→+ b
→
= λ(b
→
+
c
→) + μ(c
→+ a
→)，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
2．空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：
（1）观察图形：充分观察图形特征；
（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；
（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．
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3．用基底表示向量
用基底表示向量时，
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量
的模及其夹角是否已知或易求．
21．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，
π
2）；直线和平面所成的角的范围为[0，
π
2]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交
直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面
所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线
在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线
这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一
切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根
据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三
角形求得．
（2）向量求法：设直线l 的方向向量为a
→，平面的法向量为u
→，直线与平面所成的角为θ，a
→与u
→的夹角为φ，则有sinθ
＝|cos φ|= |a
→⋅u
→|
|a
→||u
→|
．
22．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部
分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣
Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，
则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是
多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
3、二面角的平面角求法：
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（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的
另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所
成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为u
→和v
→，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜u
→，v
→＞≤π
2，θ= ＜u
→，v
→＞，此时cosθ＝cos＜u
→，v
→＞=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
（2）当
π
2 ＜＜u
→，v
→＞≤π时，θ＝cos（π−＜u
→，v
→＞）＝﹣cos＜u
→，v
→＞=−=
u
→⋅v
→
|u
→||v
→|
．
23．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
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