文档文本内容
教考衔接二十一 教材命题点探源
提升卷（二）
（分值：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．（2026·玉溪模拟）已知集合
，
，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为
，所以
.故选B.
2．（2026·济宁1 月检测）复数z 满足
，则复数z 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】A
【解析】依题意，
，所以
对应点
位于第一象限.故选A.
3．（2026·新乡模拟）已知平面向量
，
，若
，则
( )
A.4
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由
，得
，解得
，所以
，则
，故选D.
4．（2026·天津滨海1 月检测）在各项均为正数的等比数列
中，
，且
，
，
成等
差数列，记
是数列
的前n 项和，则
( )
A.126
B.124
C.64
D.62
【答案】A
【解析】设等比数列
的公比为
，
，
，
成等差数列，
，
，即
，解得
，
.故选A.
5．（2026·安康模拟）已知
，
，则
( )
A.1
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由
，得
，即
，由
，得
，
因此
，所以
.故选B.
6．（2026·忻州模拟）若圆
上恰有四个点到直线
的距离为1，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A.
【解析】圆
上恰有四个点到直线的距离为1，则圆心
到直线
，则
，解得
.故选A.
7．（2026·湖北期末测评）已知点
在抛物线
上，过焦点F 且斜率为
的直线与C
相交于P，Q 两点，过P，Q 两点作准线的垂线，垂足分别为M，N 两点，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】将A 点坐标代入抛物线方程得
，故
，故抛物线方程为
，
故焦点坐标为
，准线方程为
.过焦点且斜率为
的直线方程为
，
代入抛物线方程并化简得
，解得
或
.
故
.故选C.
8．（2026·菏泽模拟）若
是奇函数，则
( )
A.
B.
C.
D.2
【答案】C
【解析】已知
4
1
( )
log 1
f x
a
b
x
是奇函数，当
0
a
时，易知
4
1
( )
log 1
f x
b
x
一定不是奇函
数，所以
0
a
，所以
1
0
1
a
x
，且
0
a
，变形可得(1
)[1
(1
)]
0
x
a
x
，所以1
(1
)
0
a
x
的根为1
，解得
1
2
a
，故
4
1
1
( )
log 1
2
f x
b
x
.又因为
为奇函数，所以
，
所以
，所以
，所以
，即
，故
，所以
.故选C.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（2026·海南儋州1 月测试）小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A
为“恰有两人所去景点相同”，事件B 为“只有小张去甲景点”，则( )
A.这四人不同的旅游方案共有64 种
B.“每个景点都有人去”的方案共有72 种
C.
D.“四个人只去了两个景点”的概率是
【答案】CD
【解析】A 选项，每个人都有3 种选择，故共有
种旅游方案，A 错误；
B 选项，每个景点都有人去，则必有1 个景点去了2 个人，另外两个景点各去1 人，
故有
种方案，B 错误；
C 选项，恰有两人所去景点相同，即有1 个景点去了2 个人，另外两个景点各去1 人，
由B 选项可知，
，又事件AB，即小张去甲景点，另外3 人有两人去了同一个景点，其余1 人
去另一个景点，故
，所以
，C 正确；
D 选项，“四个人只去了两个景点”，分为2 种情况，第一，有3 人去了同一个景点，其余一人去另一个
景点，则有
种方案，第二，2 人去了同一个景点，其余2 人去另一个景点，则有
种方案，由A 选项可知，这四人不同的旅游方案共有81 种，故“四个人只去了两个景
点”的概率为
，D 正确.故选CD.
10．（2026·南阳阶段检测）若函数
的定义域为R，对
，
，都有
成立，且当
时，
，则( )
A.
是R 上的增函数
B.
是R 上的减函数
C.
是奇函数
D.
是偶函数
【答案】BC
【解析】由题意知，函数
的定义域为R，对
，
，都有
成立；
令
，则
，即
，令
，得
，
则
，即
，所以函数
是奇函数，故C 正确，D 不正确；设
，则
，得
，即
，
因为
时，
，所以
，得
，即
，所以函数
是R 上的减函数，故A 不正确，B 正确.故选BC.
11．（2026·重庆八校检测）已知经过点
的圆C 的圆心坐标为
（t 为整数），且圆C 与直线
相切，直线
与圆C 相交于A，B 两点，则下列说法正确的是( )
A.圆C 的标准方程为
B.若
，则实数a 的值为
C.若
，则直线m 的方程为
或
D.弦AB 的中点M 的轨迹方程为
【答案】BC
【解析】对于A，设圆C 的半径为r，则圆C 的标准方程为
（t 为整数），
由点
是圆C 上的点，且圆C 与直线
相切，得
解得
或
（舍去），则圆C 的标准方程为
，故A 错误；
对于B，由A 知圆
，圆心为
，因为点
在圆C 上，且
，所以
线段AB 为圆C 的直径，又直线
与圆C 相交于A，B 两点，所以圆心
在直线m
上，所以
，解得
，故B 正确；
对于C，由A 知圆C 的半径
，圆心为
，则圆心C 到直线m 的距离
，因为
，即
，所以
，所以
，解得
或
，则直线m 的方程为
或
，故C 正确；
对于D，由A 知，圆C 的方程为
，圆心为
，直线m 的方程可化为
，
则直线m 过定点
，记
，由圆的性质可得
，所以点M 的轨迹是以线段CN 为
直径的圆，则此圆圆心为线段CN 的中点，其坐标为
，半径为
，则该圆的方程为
，由
得两圆的交点坐标为
和
，故弦AB 的
中点M 的轨迹方程为
，故D 错误.故选BC.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（2026·大同模拟）有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，x，8，9，10，若其极差与平均数相
等，则这组数据的中位数为__________.
【答案】7.5
【解析】依题意可得极差为
，平均数为
，解得
，
所以中位数为
.
13．（2026·娄底模拟）在计算机编程中，函数
的功能是“取不超过
的最大整数”，（如
）.现定义数列
：
；数列
满足
，且当
时，
，则
________.
【答案】
【解析】因为
,循环节为142587，长度为6.
,
所以
，
，
….
，
时，
，
，
，同理可得
，
，
，
，
，
…，
所以
的周期为
，序列为1，4，2，8，5，7 循环，
.
14．（2026·江西抚州模拟）在平面凸四边形
中，
，
，且
，
，将四边形
沿对角线
折起，使点A 到达点E 的位置.若二面角
的大
小范围是
，则三棱锥
的外接球表面积的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意知，
ABD
△
和
是等边三角形，如图，取BD 中点
，连接
，取
的
外心
，则
是
的外心，过点
作
平面
，则三棱锥
的外接球球心在l 上，
过点
作
平面
交l 于点O，则点O 即为三棱锥
的外接球球心，由
，
知，
为二面角
的平面角，则
，设
，则
π
π 2π
π
π
0
max
,
2
3
3
2
6
，又
，所以
1
2
2
1
3 2
,
cos
3
3
3cos
O O
OO
，因为
平面CBD
，
平面CBD
，所以
，所
以三棱锥E
BCD
的外接球半径
，所以三棱锥E
BCD
外接球
的表面积
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2026·吉林1 月检测）（13 分）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
.
（1）求角A；
（2）若
的外接圆的面积为
，
，求
的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
，
因为
，所以
.
（2）因为
的外接圆的面积为
，所以
的外接圆半径
，
由正弦定理得
，
，
因为
，所以由正弦定理得
，
由（1）知
，
所以
，得
，则
，
所以
的面积为
.
16．（2026·宁夏石嘴山期末测评）（15 分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个
项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校
在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望.
【答案】（1）0.6
（2）
，分布列见解析
【解析】（1）记三个项目分别为A，B，C，甲在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，
则能使甲获得冠军的三个项目的胜负情况有：胜胜负，胜负胜，负胜胜，胜胜胜，四种情况彼此互斥，
故所求概率
.
（2）由题意，乙在A，B，C 三个项目获胜的概率分别为0.5，0.6，0.2，
若乙三个项目全败，则
，
所以
，
若乙三个项目胜1 个，则可能的情况有：胜败败，败胜败，败败胜，对应
的值均为10，
所以
，
若乙三个项目胜2 个，可能的情况有：胜胜败，胜败胜，败胜胜，对应X 的值均为20，
所以
，
若乙三个项目全胜，则
，所以
，
从而X 的分布列为：
X
0
10
20
30
P
0.16
0.44
0.34
0.06
故X 的期望
.
17．（2026·郑州模拟）（15 分）已知四棱锥
中，底面ABCD 是矩形，
，
2
2
SA
AD
CD
，M 是SB 的中点.
（1）证明：
；
（2）若SA
AD
，
2
SA
，点P 是棱SC 上的动点，直线AP 与平面AMC 所成角的正弦值为
10
10 ，求
SP
SC .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）证明：取AB 的中点N，连接MN，CN，
因为M，N 分别为SB，AB 的中点，所以
.
又
，所以
.
记直线CN 与直线BD 的交点为Q，
因为
，所以
，
，
所以
，则有
，故
.
设
，则
，
，
所以
，且
，
，
所以
，所以
.
又因为
，
平面CMN，所以
平面CMN，
又
平面CMN，故
.
（2）因为
，
，
，且
平面ABCD，
所以
平面ABCD，
又
平面ABCD，所以
.
又
，故以A 为坐标原点，AD，AB，AS 所在直线分别为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐
标系.
因为
，所以
，
，
，
，
，
则
，
.
设平面AMC 的法向量为
，
则
取
，则
.
设
，其中
，
.
因为直线AP 与平面AMC 所成角的正弦值为
，
所以
，解得
，
故
.
18．（2026·广东梅州阶段考试）（17 分）已知函数
，
，a，
.
（1）求
的单调区间；
（2）若
的最大值为1，证明：对任意的
，
；
（3）当
时，若
恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
在
1
0,e
a
单调递增，在
单调递减
(2)证明见解析
(3)
1
a
【解析】(1)
的定义域为
0,，
，
令
0
f
x
，得
，令
0
f
x
，得
，令
0
f
x
，得
，
f x
在
单调递增，在
1e
,
a
单调递减.
(2)由(1)知
，
1
a
，
，
要证
，即证
，
即证
，即证
，
构造函数
，
，则
，
令
得
，令
得
，
在
单调递增，在
单调递减，
，即
恒成立，当且仅当
时等号成立.
，
，
，使得
，
恒成立，
故对于任意的
，
.
(3)当
时，
，若
恒成立，
即
恒成立，即
，即
恒成立，
由(2)可知
恒成立，当且仅当
时等号成立，
令
，
，则
恒成立，
在
单调递增，
，
，
，使得
成立，
，
，
所以
.
19．（2026·河南信阳模拟）（17 分）已知椭圆
的右焦点为
，点
在
上，过点
且不与坐标轴垂直的直线交
于
，
两点.
（1）求
的方程；
（2）过
，
分别作
轴的垂线，垂足分别为
，
，
与
交于
,证明点
在定直线上；
（3）若
为
的中点，
为坐标原点，直线
交直线
于点
，直线
交
于
，
，
且四边形
的面积为3，求直线的方程.
【答案】(1) 椭圆
的方程为
（2）证明见解析
（3）直线的方程为
或
.
【解析】（1）因为椭圆右焦点为
，所以
，
由
，得
.
因为椭圆过点
，所以
，则
，
解得
，
.
故椭圆
的方程为
（2）设直线的方程为
，
联立
，消去
得
，
化简得
，
设
，
，由韦达定理知，
，
，由题意，设
，
,则
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立直线
与直线
的方程，可得
，
解得
，因为
，
.
代入得
，
，
解得
，即
.
所以点
在定直线
上运动.
（3）由（2）知，
，
，
.
所以线段
的中点
所以直线
的斜率
，直线
:
交直线
于点
，
因此直线
的斜率
，故
，即
.
因为
，
直线
的方程为
，同理得，
.
所以四边形
的面积
，
即
，化简得
，即
，解得
.
代入
，所以直线的方程为
或
.
