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专题14 三次函数
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,
学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是
二次函数,我们可以利用二次函数深入研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一个热
点.
(一) 三次函数的单调性
由于三次函数
的导数
是二次函数,我们可以利用
根的情况及根的分布来研究三次函数
的单调性,特别是含有参数的三次函数的单调性通常要借助二次方程根的分布求解.
【例1】（2024 届青海省部分学校高三下学期联考）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有3 个不同的零点,求
的取值范围．
【解析】（1）
,
令
,解得
或
,
①当
,即
时,
由
得
或
；由
得
,
所以
在
和
上单调递增；在
上单调递减；
②当
,即
时,
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恒成立,所以
在
上单调递增；
③当
,即
时,
由
得
或
；由
得
,
所以
在
和
上单调递增；在
上单调递减；
综上,
当
时,
在
和
上单调递增；在
上单调递减；
当
时,
在
上单调递增；
当
时,
在
和
上单调递增；在
上单调递减.
（2）因为
有3 个零点,所以
,
当
时,极大值
；极小值
,
所以
,解得
且
,
当
时,极大值
；极小值
,
所以
,解得
,
综上,
的取值范围为
.
(二)过平面上一点P 作三次函数图象的切线的条数
1.此类问题一般是先设出切点Q
,写出曲线
在
处的切线方程,把点P 坐标代入,整理出一
个关于t 的三次方程,该方程实根个数就是切线条数.
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2.以三次函数为 f ( x)=ax 3+bx 为例,研究一下三次函数的切线问题：若M（x1,y1）是三次曲线
f ( x)=ax 3+bx 上的任一点, 设过M 的切线与曲线y=f （x ）相切于（x0,y0 ）, 则切线方程为
y−y0=f
'( x0)( x−x0),
因
点
M
上
此
切
线
上
,
故
y1−y0=f
'( x0)( x1−x0),
又
y0=ax
03+bx 0 , y1=ax
13+bx 1, 所以ax
13+bx 1−(ax
03+bx 0)=(3ax
02+b)( x1−x0)
, 整理得：
( x0−x1)2(2 x0+x1)=0 ,解得,x0=x1或
x0=−x1
2 .综上所述,当点M 是对称中心即x1=0 时,过点M 作曲
线的切线切点是惟一的,且为M,故只有一条切线；当点M 不是对称中心即x1≠0 时,过点M 作曲线的切线可
产生两个不同的切点,故必有两条切线,其中一条就是以M 为切点（亦即曲线在点M 处）的切线.
由此可见,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一
【例2】（2024 届福建省泉州市高中毕业班5 月适应性练习）已知函数
．
(1)当
时,若直线
与曲线
相切,求；
(2)若直线
与曲线
恰有两个公共点,求．
【解析】（1）当
时,
,
,
因为直线
与曲线
相切,
设切点为
,则切线斜率
,
可得
,解得
或
,
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所以
或
．
（2）因为直线
与曲线
恰有两个公共点,
所以方程
,
即方程
有两个不等实根,
因为
是方程
的一个根；
当
时,方程可化为
（*）,
依题意,方程（*）有不等于
的唯一根,
因为
,若
,则（*）即
,
,满足条件；
若
,则由
,解得：
．
综上所述,
或
．
【例3】（2024 届江苏省南通市高三上学期期初质量监测）已知函数
的极小值
为
,其导函数
的图象经过
,
两点.
(1)求
的解析式；
(2)若曲线
恰有三条过点
的切线,求实数
的取值范围.
【解析】（1）
,
因为
,且
的图象经过
,
两点.
所以当
时,
,
单调递增；
当
时,
,
单调递减；
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当
时,
,
单调递增.
所以
在
处取得极小值,所以
,
又因为
,
,所以
,
,
解方程组
得
,
,
,
所以
.
（2）设切点为
,则
,
因为
,所以
,
所以切线方程为
,
将
代入上式,得
.
因为曲线
恰有三条过点
的切线,所以方程
有三个不同实数解.
记
,则导函数
,
令
,得
或1.
列表：
0
1
+
0
-
0
+
↗
极大
↘
极小
↗
所以
的极大值为
,
的极小值为
,
所以
,解得
.故
的取值范围是
.
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(三)三次函数的极值
三次函数
的极值点就是二次函数
的零点,所以与三次函数极值有关的问题常借助“三个二次”
的关系求解.
【例4】（2024 届山东省实验中学高三二模）已知函数
.
(1)当
时,求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
是
的两个极值点,
是
的一个零点,且
.是否存在实数
,使得
按
某种顺序排列后构成等差数列？若存在,求
；若不存在,说明理由.
【解析】（1）当
时,
,
则
,故
,
又
,所以曲线
在点
处的切线方程为
；
（2）
,
由于
,故
,
令
,解得
或
；令
,解得
；
可知
在
内单调递减,在
内单调递增,
所以
的两个极值点为
,不妨设
,
因为
,且
是
的一个零点,故
.
又因为
,
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故
,此时
依次成等差数列,
所以存在实数
满足题意,且
.
(四)三次函数的零点
1.若三次函数
没有极值点,则
有1 个零点；
2. 三次函数
有2 个极值点
,则
时
有1 个零点；
时
有2 个零点；
时
有3 个零点.
【例5】（2023 届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）已知函数
,其中
.
(1)若
的极小值为－16,求
；
(2)讨论
的零点个数.
【解析】（1）由题得
,其中
,当
时,
,
单调
递增,
无极值；当
时,令
,解得
或
；令
,解得
,所以
的单调递减区间为
,单调递增区间为
,
,所以当
时,
取得极小值
,所以
,解得
.
（2）由（1）知当
时,
的极小值为
,
的极大值为
,
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当
,即
时,
有三个零点,如图①曲线 ；当
,即
时,
有两个零点,如图②曲线；当
,即
时,
有一个零点,如图③曲线；
当
时,
,易知
有一个零点. 综上,当
时,
有一个零点；当
时,
有两个零点；当
时,
有三个零点.
(五)三次函数图象的对称性
三次函数
的图象有六种,如图：
图(2)
图(1)
图(4)
图(3)
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对函数
进行求导：
是二次函数,原函数的极值点与
单调性与导函数的正负有关,所以容易发现导函数中的参数
与
的符号起决定性作用.当
为正时,原函数
的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当
为负时,原函数的图象则为（2）、（4）、
（6）三种情况.当
时,二次方程
有两相异实根
,且在
的两边
的符号相反,故
函数
存在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4）两种；当
时,二次方程
有两相等实
根,且在根的两边
的符号相同,这时函数
只存在驻点（但不是极值点）,函数的图象为上图中
（1）、（2）两种,当
时；方程
无实根,
的值恒为正（或负）,函数的图象为上图中的
（5）、（6）两种.
仔细观察图象,我们还不难发现三次函数是中心对称曲线,这一点可以得到进一步的验证:设
f (m−x)+f (m+x)=2n
,得
[a(m−x)3+b(m−x)2+c(m−x)+d ]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d ]=2n 整
理
得
,
(6 ma+2b)x2+(2am 3+2bm 2+2mc+2d)=2n . 据多项式恒等对应系数相等, 可得
m=−b
3a 且
n=am 3+bm 2+mc +d ,从而三次函数是中心对称曲线,且由n=f (m)知其对称中心(m,f (m))仍然在曲
图(5)
图(6)
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线上.而
m=−b
3a 是否具有特殊的意义？对函数f ( x)进行两次求导,f
' '( x)=6ax +2b 再令等于0,得
x=−b
3a ,恰好是对称中心的横坐标,这可不是巧合,因为满足f ' '(m)=0 的m 正是函数拐点的横坐标,这一
性质刚好与图象吻合.
【例6】对于三次函数
,给出定义：设
是函数
的导数,
是
的导数,若方程
有实数解
,则称点
为函数
的“拐点”．某同学经过探究
发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心．若
,请你根据这一发现.
（1）求函数
的对称中心；
（2）计算
.
【解析】（1）
,
令
,即
,解得
,
,
由题中给出的结论,可知函数
的对称中心为
.
（2）由（1）知函数
的对称中心为
,
所以
,即
,
故
,
所以
.
(六)三次函数与韦达定理的交汇
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由于三次函数的导数是二次函数,而二次函数常与韦达定理交汇,故有时可以用定理交汇处理三次函数问题
【例7】设x1, x2是函数
f ( x)=a
3 x3+ b
2 x2−a2 x(a>0)
的两个极值点,且|x1|+|x2|=2
(1)求a 的取值范围；
(2)求证：
|b|≤4√3
9
.
【解析】(1)f '( x)=ax 2+bx −a2
,
的两个实根,又a＞0
x1 x2=−a<0, x1+x2=−b
a ,
|x1|+|x2|=|x1−x2|=√
b2
a2 +4 a
由|x1|+|x2|=2得
∵b2≥0∴0<a≤1
(2)设b2=g(a)=4 a2−4 a3,则g'(a)=8a−12a2=4 a(2−3a)
上单调递增
,
∴b≤4√3
9
【例8】（2024 年2 月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习）对三次函数
,如果
其存在三个实根
,则有
.称为三次方程根与系数关
系.
(1)对三次函数
,设
,存在
,满足
.证明：
存在
,使得
；
(2)称
是
上的广义正弦函数当且仅当
存在极值点
,使得
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.在平面直角坐标系
中,
是第一象限上一点,设
.已知
在
上有两根
.
（i）证明：
在
上存在两个极值点的充要条件是
；
（ii）求点
组成的点集,满足
是
上的广义正弦函数.
【解析】（1）因为
,所以不妨设
,
所以
,
因为
,所以
,
所以不妨取
满足题意,且此时必有
,
否则若
,则有
,
,
,
而此时
与已知
矛盾,
综上所述,存在
,使得
.
（2）（i）
是第一象限上一点,所以
,
因为
,所以
,
设
,则
,
而
时,
,
时,
,
所以
存在负根,
因为
在
上存在两个极值点,等价于方程
在
上有两个根,
等价于方程
在
上存在两个根,
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注意到三次方程最多有3 个根,所以方程
有一个负根,两个不同的正根,
而
,当
时,
,
单调递增,
当
时,
,
单调递减,
所以当且仅当
,即当且仅当
,
综上所述,命题（i）得证；
（ii）容易验证,
时,
也恰好有两个正根
,
此时：由于对
来说,
等价于
,
等价于
,
所以对
,如果
,那么
,
这意味着
,
然后,对两个不相等的正数
,
所以
当且仅当
,
那么如果
或
,就有
或
,故
,
此时
,
所以
,这意味着
,
最后,由于
有一个极值点
,
所以
都不等于
（
是不相等的正零点,同时该方程还有另一个负零点,但
只要是根就是二重的,所
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以
不可能是根）,这就说明
,
结合
的单调性以及
,必有
,
所以此时
一定是广义正弦函数,
综上所述,满足题意的
.
【例1】（2024 届福建省泉州市高三5 月适应性练习）已知函数
．
(1)当
时,若直线
与曲线
相切,求；
(2)若直线
与曲线
恰有两个公共点,求．
【解析】（1）当
时,
,
,
因为直线
与曲线
相切,
设切点为
,则切线斜率
,
可得
,解得
或
,
所以
或
．
（2）因为直线
与曲线
恰有两个公共点,
所以方程
,
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即方程
有两个不等实根,
因为
是方程
的一个根；
当
时,方程可化为
（*）,
依题意,方程（*）有不等于
的唯一根,
因为
,若
,则（*）即
,
,满足条件；
若
,则由
,解得：
．
综上所述,
或
．
【例2】（2024 届福建省泉州第五中学高考热身测试）已知函数
.
(1)若
是函数
的极值点,求的值,并求其单调区间；
(2)若函数
在
上仅有2 个零点,求的取值范围．
【解析】（1）
,
,得
,
当
时,
,得
或
,
的变化情况如下表所示,
0
0
增区间
极大值
减区间
极小值
增区间
所以函数
的增区间是
和
,减区间是
；
（2）令
,
,
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得
,令
,
,
,得
,
如下表,
1
3
0
减区间
极小值3
增区间
因为函数
在
上仅有2 个零点,即
与
有2 个交点,如图：
即
.
【例3】（2024 届陕西省铜川市高三下学期模拟）已知函数
的一个极值为
．
(1)求实数
的值；
(2)若函数
在区间
上的最大值为18,求实数与
的值．
【解析】（1）由
,得
,
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令
,得
或
；令
,得
；令
,得
或
．
所以函数
有两个极值
和
．
若
,得
,解得
；
若
,得
,解得
．
综上,实数
的值为－22 或5．
（2）由（1）得,
在区间
的变化情况如下表所示：
1
+
0
－
0
+
极大值
极小值
由表可知,
①当
时,函数
在区间
上单调递增,所以最大值为
,
其值为
或
,不符合题意；
②当
时,函数
在
上单调递减,在
上单调递增,
因为
,
,
,所以
在
上的最大值为
,其值为
或25,不符合题意；
③当
时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增,
因为
,
,
,所以
在
上的最大值为
,其值为
或25,不符合题意；
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④当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
若
在区间
上的最大值为
,其值为
或
,不符合题意,
又因为若
,则
．那么,函数
在区间
上的最大值只可能小于－2,不合题意,
所以要使函数
在区间
上的最大值为18,必须使
,且
,
即
．所以
,
所以
．所以
,
所以
．所以
或
,
所以
或
．因为
,所以
舍去．
综上,实数的值为
的值为5．
【例4】（2023 届江苏省徐州市睢宁县高三下学期5 月模拟）已知函数
,
,且
在
上的极大值为1．
(1)求实数
的值；
(2)若
,
,
,求
的值．
【解析】（1）
,
,
①
时,
,∴
,无极值．
②
时,
,∴
,
当
,即
时,
,无极大值；
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当
时,
时,
；
时,
,
∴
在
处取极大值,即
,∴
,舍去．
③
时,
,
∴
,
时,
；
时,
；
时,
．
∴
在
处取极大值
,∴
符合题意．
综上,
．
（2）由（1）可知,
,
,
令
可得
,令
可得
或
,
如图所示．
① 当
时,
,
当
时,
,则
,矛盾；
当
时,
,∴
,矛盾．
② 当
时,符合题意．
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③ 当
时,
时,
,∴
,
则
,
,∴
,矛盾．
④ 当
时,符合题意．
⑤ 当
时,
时,
,∴
,
则
,
,∴
,矛盾．
⑥ 当
时,符合题意．
⑦ 当
时,
,则
,∴
,与
矛盾．
⑧ 当
时,
,
,∴
,与
矛盾．
综上,
,或
,或
．
【例5】（2023 届重庆市第十一中学校高三上学期11 月质量检测）已知函数
,
在
处取极大值,在
处取极小值.
(1)若
,求函数
的单调区间；
(2)在方程
的解中,较大的一个记为
,在方程
的解中,较小的一个记为
,证明：
为定值.
【解析】（1）当
时,
,定义域为R,
,
当
时,
或
；当
时,
；
即函数
的单调增区间为
,
；单调减区间为
.
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（2）由
,
根据题意,得
的两根为
,且
,
即
,得
,
,
所以
,
因为
,则
,
可知
,
因为
,即
,
即
,
可知
,同理,由
,
可知
；
得到
,
所以
.
【例6】已知函数
．
(1)若函数
有三个零点分别为
,
,
,且
,
,求函数
的单调区间；
(2)若
,
,证明：函数
在区间
内一定有极值点；
(3)在（2）的条件下,若函数
的两个极值点之间的距离不小于
,求
的取值范围．
【解析】（1）因为函数
,
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又
,
,则
,
,
因为
是方程
的两根,
则
,
,得
,
,
所以
．
令
解得：
,
当
时,
或
,
当
时,
,故
的单调递减区间是
,
单调递增区间是
,
．
（2）因为
,
,
所以
,即
．
又
,
,所以
,
,即
．
．
于是
,
,
．
①当
时,因为
,
,而
在区间
内连续,
则
在区间
内至少有一个零点,设为
,
则在
,
,
单调递增,
在
,
,
单调递减,
故函数
在区间
内有极大值点
；
②当
时,因为
,
,
则
在区间
内至少有一零点．设为
,
则在
,
,
单调递减,
在
,
,
单调递增,
故函数
在区间
内有极小值点．
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综上得函数
在区间
内一定有极值点．
（3）设
, 是函数的两个极值点,
则
, 也是导函数
的两个零点,
由（2）得
,则
,
．
所以
由已知,
,
则两边平方得
,得出
,或
,
即
,或
,又
,
,
所以
,即
．
因为
,所以
．综上分析,
的取值范围是
,
．
1.（2024 届江苏省连云港市高三下学期4 月阶段测试）已知函数
在
时取得极
值．
(1)求实数
的值；
(2)存在
,使得
成立,求实数的取值范围．
2.设函数
,其中
为实常数．
(1)若
,求
的单调区间；
(2)若
存在极值点
,且
其中
．求证：
；
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3.（2024 届海南省琼中县高三上学期9 月全真模拟）已知函数
,
．
(1)当
时,求
在
上的值域；
(2)若
的极小值为
,求m 的值．
4.（2024 届贵州省贵阳第一中学高三上学期适应性月考）已知函数
.
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)若过点
存在3 条直线与曲线
相切,求的取值范围；
(3)请问过点
,
,
,
,
分别存在几条直线与曲线
相切？（请直
接写出结论,不需要证明）
5. （2024 届内蒙古包头市高三上学期调研）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有2 个零点,求
的值．
（注：
）
6．（2024 届江苏省南通市模拟预测）设
,函数
．
(1)当
时,求过点
且与曲线
相切的直线方程：
(2)
是函数
的两个极值点,证明：
为定值．
7．已知曲线
在点
处的切线与曲线的另外一个交点为
为线段
的中点,
为坐标原点．
(1)求
的极小值并讨论
的奇偶性．
(2)直线
的斜率记为,若
,
,求证：
．
8．设函数
,
．
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(1)若
是
的极值点,求a 的值,并讨论
的单调性．
(2)已知函数
,若
在区间
内有零点,求a 的取值范围．
(3)设
有两个极值点
,
,试讨论过两点
,
的直线能否过点
,若能,求a 的值；
若不能,说明理由．
9．已知函数
,
,用
表示
, 中的最小值,设函数
,讨论
零点的个数．
10．（2024 届青海省部分学校高三下学期联考）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有3 个不同的零点,求
的取值范围．
11．（2023 届上海市嘉定区高三三模）已知函数
,其导函数为
,
(1)若函数
有三个零点
,且
,试比较
与
的大小.
(2)若
,试判断
在区间
上是否存在极值点,并说明理由.
(3)在（1）的条件下,对任意的
,总存在
使得
成立,求实数的最大值.
12.设函数
,其中
,
为常数．
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
有且仅有3 个零点,求
的取值范围．
13．（2024 届湖南省岳阳市高三教学质量监测三）已知
的三个角
的对边分别为
且
,点
在边
上,
是
的角平分线,设
（其中为正实数）．
(1)求实数的取值范围；
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(2)设函数
①当
时,求函数
的极小值；
②设
是
的最大零点,试比较
与1 的大小．
