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专题突破练(分值:92 分)
学生用书
P161
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·山东日照二模)已知数列{an}各项均为正数,首项a1=3,且数列{log3an}是以-2 为公差的等差数
列,则a3=( )
A. 1
27
B. 1
3
C.1
D.9
答案A
解析因为数列{an}各项均为正数,首项a1=3,则log3a1=1.又数列{log3an}是以-2 为公差的等差数列,则
log3a3=1-2×(3-1)=-3,故a3=3-3= 1
27 .故选A.
2.(2024·广东广州三模)等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a5=( )
A. 1
4
B. 1
2
C.1
D.2
答案B
解析依题意有a1+a1q2=10,a1q+a1q3=5=(a1+a1q2)q,解得q=1
2
,a1=8,故a5=a1q4=8× 1
16 = 1
2 .故选B.
3.(2024·山东泰安二模)设等比数列{an}的前n 项和为Sn,若S3=5a2+6a1,则公比q 为( )
A.1 或5
B.5
C.1 或-5
D.5 或-1
答案D
解析由S3=5a2+6a1=a1+a2+a3,得4a2+5a1=a3,所以4a1q+5a1=a1q2,即q2-4q-5=0,所以(q-5)(q+1)=0,所以
q=5 或q=-1.故选D.
4.(2024·江苏宿迁一模)设Sn是等比数列{an}的前n 项和,若S3,S9,S6成等差数列,a1=-2,则a7的值为(
)
A.-2
B.-1
2
C. 1
2
D.1
答案B
解析由题意知q≠1,因为S3,S9,S6成等差数列,所以2S9=S3+S6⇒2(S9-S6)=-(S6-S3),即q3=-1
2
,
所以a7=a1q6=-2×(- 1
2)
2
=-1
2 .故选B.
5.(2024·黑龙江佳木斯三模)一部中国古代数学名著中有一首诗,讲述了“竹筒容米”问题.诗云:“家有
九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节三升九,上梢四节贮三升,惟有中间二节竹,要将米数次递盛,若
是先生能算法,教君只算到天明.”(【注释】三升九:3.9 升,次递盛:盛米容积依次相差同一数量)求该九
节竹一共盛米多少升?( )
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A.8.8 升
B.9 升
C.9.1 升
D.9.2 升
答案B
解析设第n 节竹筒盛米an升,则数列{an}为等差数列,a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=3.9,设公差为d,则有
{
4 a1+6d =3,
3a1+21d =3.9,解得{
a1=0.6,
d =0.1,
所以an=0.1n+0.5,则该九节竹筒一共盛米(0.6+1.4 )×9
2
=9 升.故选B.
6.(2024·北京顺义二模)已知各项均为正数的数列{an}的前n 项和为Sn,a1=1,lg an+lg an+1=lg 2n,n∈N*,
则S9=( )
A.511
B.61
C.41
D.9
答案B
解析由lg an+lg an+1=lg 2n可得lg anan+1=lg 2n,即anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1,两式相除可得an+2
an
=2,即
a3
a1
= a5
a3
=…=a4
a2
= a6
a4
=2.由a1=1 可得a2=2,因此数列{an}的奇数项是以a1=1 为首项,公比为2 的等比
数列,偶数项是以a2=2 为首项,公比为2 的等比数列,
所以S9=a1+a2+a3+…+a9=(a1+a3+…+a9)+(a2+a4+…+a8)=1×(1-2
5)
1-2
+ 2×(1-2
4)
1-2
=61.故选B.
7.(2024·山东泰安三模)已知Sn为等差数列{an}的前n 项和,a1=-21,S7=S15,则Sn的最小值为( )
A.-99
B.-100
C.-110
D.-121
答案D
解析设{an}的公差为d,因为a1=-21,S7=S15,可得{
a1=-21,
7a1+ 7×6
2
d =15a1+ 15×14
2
d ,
解得d=2,所以an=2n-23,
可得Sn=-21n+n×(n-1)
2
×2=n2-22n.
因为a11=-1<0,a12=1>0,
所以当n=11 时,Sn取得最小值S11=112-22×11=-121.故选D.
8.(2024·江西临川模拟)已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2√an+1+1,则a10=( )
A.80
B.100
C.120
D.143
答案C
解析因为an+1=an+2√an+1+1,所以an+1+1=(√an+1)2+2√an+1+1,即an+1+1=(√an+1+1)2,
等式两边开方可得√an+1+1=√an+1+1,即√an+1+1-√an+1=1,所以数列{√an+1}是首项为√a1+1
=2,公差为1 的等差数列,所以√an+1=2+(n-1)×1=n+1,所以an=n2+2n,所以a10=102+20=120.
二、选择题:本题共2 小题,每小题6 分,共12 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2024·山东临沂二模)已知{an}是等差数列,Sn是其前n 项和,则下列命题为真命题的是( )
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A.若a3+a4=9,a7+a8=18,则a1+a2=5
B.若a2+a13=4,则S14=28
C.若S15<0,则S7>S8
D.若{an}和{anan+1}都为递增数列,则an>0
答案BC
解析对于A,由a3+a4=9,a7+a8=18,可得(a7+a8)-(a3+a4)=8d=9,所以d=9
8 .又由a1+a2=(a3+a4)-4d=9-4
× 9
8 = 9
2
,所以A 错误.对于B,由S14=14(a1+a14)
2
= 14(a2+a13)
2
=28,所以B 正确.对于C,由S15=
15(a1+a15)
2
=15a8<0,所以a8<0.又因为S8-S7=a8<0,则S7>S8,所以C 正确.对于D,因为{an}为递增数
列,可得公差d>0.因为{anan+1}为递增数列,可得an+2an+1-anan+1=an+1·2d>0,所以对任意的n≥2,an>0,但
a1的正负不确定,所以D 错误.故选BC.
10.(2024·湖南长沙一模)设等比数列{an}的公比为q,前n 项的积为Tn,下列说法正确的是( )
A.若T8=T12,则a10a11=1
B.若T8=T12,则T20=1
C.若a1=1 024,且T10为数列{Tn}的唯一最大项,则(
1
2)
10
9 <q<1
2
D.若a1>0,且T10>T11>T9,则使得Tn>1 成立的n 的最大值为20
答案BCD
解析若T8=T12,则T 12
T 8
=a9a10a11a12=(a10a11)
2=1,可得a10a11=±1.故选项A 错误.而T20=a1a2…
a19a20=(a10a11)10=1.故选项B 正确.若a1=1 024,且T10是数列{Tn}的唯一最大项.当q<0 时,T10=a1a2…
a9a10=(a1a10)5=(a1a1q9)5<0,不合题意;当q>0 时,由{
T 10>T 9,
T 10>T 11,
可得{
a10>1,
a11<1, 即{
1 024 q
9>1,
1 024 q
10<1,
解得
(
1
2)
10
9 <q<1
2 .故选项C 正确.若T10>T11>T9,当q<0 时,T9=a1a2…a9=a1(a2a9)
4=a1(a1a1q9)4>0,又T10<0,
不满足T10>T9,不合题意;当q>0 时,由{
T 10>T 11,
T 10>T 9,
T 11>T 9,
可得a11<1,a10>1,a10a11>1,所以a1>0,0<q<1,则{an}为
单调递减数列.当n≤10,n∈N*时,an>1,当n>10,n∈N*时,an<1,所以当n≤10,n∈N*时,数列{Tn}单调递
增,当n>10,n∈N*时,数列{Tn}单调递减.又T1>1,T20=a1a2…a20=(a10a11)10>1,T21=a1a2…a21=(a11)21<1,所以
使得Tn>1 成立的n 的最大值为20,即选项D 正确.故选BCD.
三、填空题:本题共2 小题,每小题5 分,共10 分.
11.(2024·广东茂名模拟)在公差为正数的等差数列{an}中,若a1=3,a3,a6,3
2
a8成等比数列,则数列{an}的
前10 项和为 .
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答案165
解析设等差数列的公差为d,由题意得a6
2=a3× 3
2
a8,即(a1+5d)2=(a1+2d)× 3
2
(a1+7d),因为公差大于零,解
得d=3,d=-3
8
(舍去),所以S10=10×3+10×9
2
×3=165.
12.(2024·上海宝山二模)某区域的地形大致如图1,某部门负责该区域的安全警戒,在哨位O 的正上方
安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1:警戒区域为空旷的扇环形平地A1AnBnB1;假设2:视探照
灯为点M,且距离地面20 米;假设3:探照灯M 照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯M 以某一俯角从
AkAk+1侧扫描到BkBk+1侧时,记为一次扫描,此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环
Sk(k=1,2,3,…).由此,通过调整M 的俯角,逐次扫描形成扇环S1,S2,S3,….第一次扫描时,光斑的长轴为
EF,|OE|=30 米,此时在探照灯M 处测得点F 的俯角为30°(如图2).记|AkAk+1|=dk,经测量知|A1An|=80 米,
且{dk}是公差为0.1 米的等差数列,则至少需要经过 次扫描,才能将整个警戒区域扫描完毕.
图1
图2
答案15
解析因为在Rt△MOF 中,∠F=30°,OM=20,
所以OF=20√3,EF=20√3-30,故A1A2=20√3-30,故{dk}是以20√3-30 为首项,以0.1 为公差的等差数列,
故Sk=(20√3-30)k+k (k -1)
2
×0.1.而S14≈74.06<80,S15≈80.1>80,故kmin=15.所以至少需要15 次才能将
整个警戒区域扫描完毕.
四、解答题:本题共2 小题,共30 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13.(15 分)(2024·江苏南通二模)设数列{an}的前n 项和为Sn,若Sn-1
2
an=n2+1,n∈N*.
(1)求a1,a2,并证明:数列{an+an+1}是等差数列;
(2)求S20.
解(1)当n=1 时,由条件得a1-1
2
a1=2,所以a1=4.
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当n=2 时,由条件得(a1+a2)-1
2
a2=5,所以a2=2.
因为Sn-1
2
an=n2+1,所以Sn-1-1
2
an-1=(n-1)2+1(n≥2),两式相减得an-1
2
an+1
2
an-1=2n-1,即an+an-1=4n-2,所以
(an+1+an)-(an+an-1)=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4,从而数列{an+1+an}为等差数列.
(2)由(1)知an+an-1=4n-2(n≥2),
所以S20=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)=10×[(a1+a2)+(a19+a20)]
2
,
所以S20=(4×2-2)+(4×4-2)+…+(4×20-2)=10×(6+78)
2
=420.
14.(15 分)(2024·山东济南一模)已知数列{an}的前n 项和为Sn,a1=3
2
且Sn=2an+1-3,令bn=n
2+n
an
.
(1)求证:{an}为等比数列;
(2)求使bn取得最大值时的n 的值.
(1)证明由Sn=2an+1-3,可得当n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2an+1-2an,即当n≥2 时,an+1
an
= 3
2 .
又因为a1=3
2
,所以a2=9
4 , a2
a1
= 3
2 .
综上,当n≥1 时,an+1
an
= 3
2
,
所以{an}为首项和公比均为3
2
的等比数列.
(2)解由(1)可得an=(
3
2)
n
,
所以bn=(
2
3)
n
(n2+n),
当n≥2 时, bn
bn-1
= 2(n
2+n)
3(n
2-n)
= 2(n+1)
3(n-1)
,
令bn
bn-1
>1,可得2≤n<5(或令bn
bn-1
<1,可得n>5),可知b1<b2<b3<b4=b5>b6>b7>…,
综上,当n=4 或n=5 时,bn取得最大值320
81 .
