第04讲构造法在导数中的应用（原题卷）_数学_一轮复习_2024年_2024年高考数学一轮复习讲义_资料

第 4 讲 导数与构造法
讲义设计提纲：
构造法是高中数学学习中一种极其重要的思维方法与学科方法,通过对数学问
题的已知条件和结论进行深入分析,抓住问题的本质特征,恰当地构造辅助元素或数学
模型,转化原问题的结构,重组条件和结论之间的关系,产生一种新的结构,通常这种新
结构的构思精巧,聅想丰富、思维灵活,通过构造所得新问题的解决出奇制胜地解决了
原问题.
构造法是高考中的一个热点内容，同时也是一个难点内容，其常与导数、函数、
不等式相结合，考查考生的综合数学素质，下面对在考试中常出现的题型以及解题技
巧进行一下总结。
技巧一：根据f（x）与f'（x）的关系构造函数
在导数及其应用的客观题中，有一个热点考察点，即不给出函数的具体解析时，二是给出 f（x）与f'（x）
的关系式，需根据此条件构造抽象函数，再根据构造函数的单调性解决问题，构造函数的的关键是结合导数的
求导法则 和 的结构特征和具体函数的导
函数的特点构造函数。
类型1 利用f(x)与xn构造例1（1）(2023·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′
(x)>2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)<0的解集是( )
A．(－∞，1) B．(－1,1)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)
（2） (2023·苏州质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a
＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝ ·f ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．c>a>b
【对点演练1】已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞
xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是 ；
类型2 利用f(x)与ex构造
例2（1） (2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－f(x)<1，且
f(0)＝2 022，则不等式f(x)＋1>2 023ex的解集为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C. D．(－∞，1)
（2） f（x）为定义在R上的可导函数，且f'（x）＞f（x），对任意正实数a，下列式子一定成立的是 （
）
A.f（a）＜eaf（0） B.f（a）＞eaf（0）
f (0) f (0)
C.f（a）＜ D.f（a）＞
ea ea
【对点演练1】 (2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的
解集为________．
【对点演练2】已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且满足：（x－1）[f'（x）－f（x）]＞0，f
（2－x）＝f（x）·e2－2x，则下列判断一定正确的是（ ）
A.f（1）＜f（0） B.f（2）＞e2f（0）
C.f（3）＞e3f（0） D.f（4）＜e4f（0）
类型3利用f（x）与sin x，cos x构造函数
例3(多选)已知定义在 上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)＜0成立，则(
)
A.f ＞f B.f ＞f
C.f ＞f D.f ＞f( π)
【对点演练1】已知函数f（x）定义在 0, 上，f'（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f'（x）tan x成立，又
2
(π) 1
知f ＝ ，则关于x的不等式f（x）＞sin x的解集是 .
6 2
技巧二 变量分离构造函数
[ π π]
例4（1）已知α，β∈ - , ，且αsin α－βsin β＞0，则下列结论正确的是 （ ）
2 2
A.α＞β B.α2＞β2
C.α＜β D.α＋β＞0
（2）(2020·全国Ⅰ)若2a＋log a＝4b＋2log b，则( )
2 4
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a<b2
1 1
【对点演练1】若ln x－ln y＜ － （x＞1，y＞1），则 （ ）
lnx ln y
A.ey－x＞1B.ey－x＜1 C.ey－x－1＞1 D.ey－x－1＜1
【对点演练2】已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则( )
A．c<b<a B．b<c<a
C．a<c<b D．a<b<c
技巧三 根据数值特点构造函数
例5（1）已知a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为( )
A.b＜c＜a B.c＜a＜b
C.a＜c＜b D.c＜b＜a
1
（2）(2022·新高考Ⅰ卷)设a=0.1e0.1，b= ，c=-ln0.9，则( )
9
A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. a<c<b
【对点演练1】（多选）下面比较大小正确的有 （ ）
ln2 1
A. ＞ B.3ln 4＜4ln 3
2 e
π
C. ＞ln π D.3＜eln 3
e
【对点演练2】设a 2022ln2020，b2021ln2021，c2020ln2022，则（ ）
A．acb B．cba
C．ba c D．abc
技巧4 根据指对变形构造函数
例6(2023·武汉模拟)已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－aln x成立，则a的最小值为
________．
【对点演练】(2023·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aea<bln b，则( )A．ab>e B．b>ea
C．ab<e D．b<ea
技巧5 指对分离构造函数
例7已知函数f(x)＝x2＋2x－2xex.当x＞0时，证明f(x)－2x＋x2＋x3＜－2eln x.
【对点演练】已知f(x)＝xln x.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．
1．(2023·株洲模拟)已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．a<b<c B．c<a<b
C．b<a<c D．c<b<a
2．若2x－2y<3－x－3－y，则( )
A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0
C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0
3．(2023·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)
＝3，则f(x)>x2＋2的解集是( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(0,1)
4．(2023·常州模拟)已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且当x>0时，f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，则下列
说法正确的是( )
A．f <－f <－f
B．－f <f <－f
C．－f <－f <f
D．－f <f <－f
5．若定义在 上的函数 满足 ，其导函数 ，则下列结论中一定错误的是（ ）
A. B.
C. D.
6．若ln m－m＋2m2＝ln n－n＋2e2n2＋1，则( )A.>e B.<e C．m－n>e D．m－n<e
7．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)<f′(x)<0，则( )
A．ef(2)>f(1)，f(2)>ef(1)
B．ef(2)>f(1)，f(2)<ef(1)
C．ef(2)<f(1)，f(2)>ef(1)
D．ef(2)<f(1)，f(2)<ef(1)
8．(2022·龙岩质检)已知m>0，n∈R，若log m＋2m＝6,2n＋1＋n＝6，则等于( )
2
A. B．1 C. D．2
9．(多选)(2023·开封模拟)已知e是自然对数的底数，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)是f(x)的导函数，且
＋ln x·f′(x)>0，则( )
A．f ＋f(e)>0 B．f <0
C．f(e)>0 D．f(1)＝0
10.(多选)下列四个命题（ 为自然对数的底数）中真命题的是（ ）
A ；B ；C ；D .
11.(多选)(2023·泰州模拟)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sin β－cos α，则( )
A．sin α>sin β B．cos α>cos β
C．cos α<sin β D．sin α>cos β
12.（多选）若不相等正数a，b，满足 ，则（ ）
A．a＞1 B．b＜1
C． D．
13.已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x2－
1)的解集是________．
14．(2022·渭南模拟)设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥ln x恒成立，则λ的取值范围为________．