34.解三角形中常见几何构型
一．基本原理
1.正弦定理：在
中，
、
、
分别为角
、
、
的对边，，则有
C
A
a
b
c
A
C
，
(
为
的外接圆的半径).
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
C
A
R
C
A
2.正弦定理的变形公式：
①
，
，
；
2 sin
a
R
A
2 sin
b
R
2 sin
c
R
C
②
，
，
；③
；④
sin
2
a
R
A
sin
2
b
R
sin
2
c
C
R
: :
sin
:sin
:sin
a b c
C
A
.
R
SinC
SinB
SinA
c
b
a
2
3.余弦定理：在
中，有
，
C
A
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
推论：
；变形：
.
2
2
2
cos
2
b
c
a
bc
A
A
bc
a
c
b
cos
2
2
2
2
4.解三角形中，用正（余）弦定理主要解决以下类型：
（1）知道两边及其一边所对角，正弦定理解另一角，再用内角和定理解最后那个角，然
后正弦（余弦）解最后那个边，且需注意以下情形的讨论：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
（2）知道两边及其夹角，余弦定理解第三边后再用正弦定理解角；
（3）知道两角一边，先内角和定理解第三个角，再正弦定理逐次解边.
5.三角形面积公式：
．
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
C
S
bc
ab
C
ac
A
A
6.解三角形所涉及的其它知识
（1）三角形内角和定理
（2）三角形边角不等关系：
.
B
A
B
A
B
A
b
a
cos
cos
sin
sin
7.诱导公式在
中的应用
ABC
（1）
；
C
B
A
C
B
A
C
B
A
tan
)
tan(
;
cos
cos
;
sin
sin
（2）
2
sin
2
cos
,
2
cos
2
sin
C
B
A
C
B
A
8.对边对角结构：由余弦定理：
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
变式可得：
2
2
2
1
cos
a
b
c
bc
A
此公式在已知,a A的情况下，可得到b
c
和bc 的等式，
配合均值不等式，这样就可实现周长或者面积的最值.
在
中,设
.由余弦定理知
ABC
,
C
AB
m
2
2
2
2
2
cos
2
2
cos
2
(1 cos )
4
sin
,
2
m
a
b
ab
ab
ab
ab
ab
…
所以
(当且仅当
时等号成立).因此
,即
2
2
4sin 2
m
ab
„
a
b
2
1
sin
2
4tan 2
m
S
ab
„
2
max
.
4tan 2
m
S
又因为
,当且仅当
时等号成立,所以
2
(
)
4
a
b
ab
„
a
b
2
2
2
2
2
2
(
)
2
cos
(
)
2
(1 cos ) (
)
(1 cos ),
2
a
b
m
a
b
ab
a
b
ab
a
b
…
即
,故
,从而
,即
2
2
(1 cos )(
)
2
a
b
m
„
sin 2
m
a
b
„
sin 2
sin 2
m
m
p
a
b
c
„
max
sin 2 .
sin 2
m
m
p
下面两个结论可做了解，并非一定熟记，但有意识的话会有助于做题
9. 正余弦平方差公式
，
)
sin(
)
sin(
sin
sin
2
2
.
)
cos(
)
cos(
sin
cos
2
2
10.射影定理：在
中，
ABC
A
cos
cos
cos
cos
cos
cos
a
b
C
c
B
b
a
C
c
A
c
a
B
b
A
11.爪型三角形
（1）.爪型三角形的基本几何特征:如图，
APC
APB
.
（2）若已知顶角
的大小，且
时，若线段
长度已知，可利用向量共
BAC
BC
BP
AP
线的基本结论求得，此时，根据向量共线的基本结论：
，再平方
AC
AB
AP
)
1(
即可的到一组有用的关系，特别地，若
，得到中线公式
.
2
1
AC
AB
AP
2
1
2
1
（3）.等面积思想.
设AM 为
A
的平分线，则设
CAM
BAM
，那么有等面积可得：
sin
)
(
2
1
2
sin
2
1
AM
c
b
bc
S ABC
，
进一步可得：
AM
c
b
bc
)
(
cos
2
，于是可以看到，倘若我们知道角与角平分线
AM 的长度，则可得到
c
b
bc
的转化关系
二．考情研究
★考情1.关注解三角形中的恒等变换与边角转换
例1.(2022 新高考全国II 卷)记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，分别以a，
ABC
A
b，
c 为边长的三个正三角形的面积依次为
，已知
．
1
2
3
,
,
S S
S
1
2
3
3
1
,sin
2
3
S
S
S
B
（1）求
的面积；
ABC
A
（2）若
，求b．
2
sin
sin
3
A
C
解析：（1）由题意得
，则
2
2
2
2
1
2
3
1
3
3
3
3
,
,
2
2
4
4
4
S
a
a
S
b
S
c
，即
，由余弦定理得
2
2
2
1
2
3
3
3
3
3
4
4
4
2
S
S
S
a
b
c
2
2
2
2
a
c
b
，整理得
，则
，又
，则
2
2
2
cos
2
a
c
b
B
ac
cos
1
ac
B
cos
0
B
1
sin
3
B
，
，则
；
2
1
2 2
cos
1
3
3
B
1
3 2
cos
4
ac
B
1
2
sin
2
8
ABC
S
ac
B
A
（2）由正弦定理得：
，则
sin
sin
sin
b
a
c
B
A
C
，则
，
．
2
2
3 2
9
4
sin
sin
sin
sin
sin
4
2
3
b
a
c
ac
B
A
C
A
C
3
sin
2
b
B
3
1
sin
2
2
b
B
★考情2.爪型三角形中的几何特征
例2.（23 新高考2）记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积为
ABC
A
, ,
A B C
, ,
a b c
ABC
A
3
，
为
中点，且
．
D
BC
1
AD
（1）若
，求
；
π
3
ADC
tan B
（2）若
，求
．
2
2
8
b
c
,b c
解析：（1）在
中，因为
为
中点，
，
，
ABC
A
D
BC
π
3
ADC
1
AD
则
，解得
，
1
1
1
3
3
1
3
sin
1
2
2
2
2
8
2
2
ADC
ABC
S
AD DC
ADC
a
a
S
A
A
4
a
在
中，
，由余弦定理得
，
ABD
△
2π
3
ADB
2
2
2
2
cos
c
BD
AD
BD AD
ADB
即
，解得
，则
，
2
1
4 1 2 2 1 (
)
7
2
c
7
c
7
4 1
5 7
cos
14
2 7
2
B
，所以
.
2
2
5 7
21
sin
1 cos
1 (
)
14
14
B
B
sin
3
tan
cos
5
B
B
B
（2）方法1：（双余弦）
在
与
中，由余弦定理得
，
ABD
△
ACD
A
2
2
2
2
1
1
1 2
1 cos(π
)
4
2
1
1
1 2
1 cos
4
2
c
a
a
ADC
b
a
a
ADC
整理得
，而
，则
，
2
2
2
1
2
2 a
b
c
2
2
8
b
c
2 3
a
又
，解得
，而
，于是
1
3
3 1 sin
2
2
ADC
S
ADC
A
sin
1
ADC
0
π
ADC
，
π
2
ADC
所以
.
2
2
2
b
c
AD
CD
方法2：（中线的向量表达）
在
中，因为
为
中点，则
，又
，
ABC
A
D
BC
2AD
AB
AC
CB
AB
AC
于是
，即
，解得
2
2
2
2
2
2
4
(
)
(
)
2(
)
16
AD
CB
AB
AC
AB
AC
b
c
2
4
16
a
2 3
a
，
又
，解得
，而
，于是
1
3
3 1 sin
2
2
ADC
S
ADC
A
sin
1
ADC
0
π
ADC
，所以
.
．故答案为：
．
π
2
ADC
2
2
2
b
c
AD
CD
2 3 1
3
3
2
3
3
1
2
b
AD
b
2
★考情3.对边对角问题
例3.（2020 全国2 卷）在
中，
ABC
C
B
C
B
A
sin
sin
sin
sin
sin
2
2
2
（1）求
；
A
（2）若
，求
周长的最大值.
3
BC
ABC
解析：（1）由正弦定理可得：
，
2
2
2
BC
AC
AB
AC AB
，
.
2
2
2
1
cos
2
2
AC
AB
BC
A
AC AB
0,
A
2
3
A
（2）方法1：（化边配均值不等式）
，
2
2
2
2
2
2
cos
9
BC
AC
AB
AC AB
A
AC
AB
AC AB
即
.
（当且仅当
时取等
2
9
AC
AB
AC AB
2
2
AC
AB
AC AB
AC
AB
号），
，
2
2
2
2
3
9
2
4
AC
AB
AC
AB
AC AB
AC
AB
AC
AB
解得：
（当且仅当
时取等号），
周长
2 3
AC
AB
AC
AB
ABC
A
，
周长的最大值为
.
3
2 3
L
AC
AB
BC
ABC
A
3
2 3
方法2.（化角用三角函数求范围）
设
，则
，根据正弦定理可
，所
,
6
6
B
C
6
6
2 3
sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
以
，当且仅当
2 3(sin
sin
)
b
c
B
C
2 3 sin
sin
6
6
2 3 cos
2 3
，即
时，等号成立．此时
周长的最大值为
．
0
6
B
C
ABC
A
3
2 3
例4.（2024 新课标全国2 卷）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
ABC
A
．
sin
3 cos
2
A
A
（1）求A．
（2）若
，
，求
的周长．
2
a
2 sin
sin 2
b
C
c
B
ABC
A
解析：（1）方法1（辅助角公式）
由
可得
，即
，
sin
3 cos
2
A
A
1
3
sin
cos
1
2
2
A
A
sin(
)
1
π
3
A
由于
，故
，解得
π
π 4π
(0,π)
(
,
)
3
3
3
A
A
π
π
3
2
A
π
6
A
方法2（同角三角函数的基本关系）由
，又
，消去
sin
3 cos
2
A
A
2
2
sin
cos
1
A
A
得到：
，解得
，
sin A
2
2
4cos
4 3 cos
3
0
(2cos
3)
0
A
A
A
3
cos
2
A
又
，故
(0,π)
A
π
6
A
（2）由题设条件和正弦定理
，又
，则
，
2 sin
sin 2
2 sin
sin
2sin
sin
cos
b
C
c
B
B
C
C
B
B
,
(0,π)
B C
sin
sin
0
B
C
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
进而
，得到
，于是
，
2
cos
2
B
π
4
B
7π
π
12
C
A
B
，由正弦定理可得，
2
6
sin
sin(π
)
sin(
)
sin
cos
sin
cos
4
C
A
B
A
B
A
B
B
A
，即
，解得
，故
的周长
sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
2
π
π
7π
sin
sin
sin
6
4
12
b
c
2 2,
6
2
b
c
ABC
A
为
2
6
3 2
★考情4.解三角形中的范围问题
方法1.消角构造三角函数
例5.（2020 浙江卷）在锐角△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
2 sin
3
b
A
a
（1）求角B；
（2）求cosA+cosB+cosC 的取值范围．
解析：（1）由
结合正弦定理可得：
2 sin
3
b
A
a
3
2sin
sin
3sin
,
sin
2
B
A
A
B
△ABC 为锐角三角形，故
.
3
B
（2）结合（1）的结论有：
1
2
cos
cos
cos
cos
cos
2
3
A
B
C
A
A
.
1
3
1
cos
cos
sin
2
2
2
A
A
A
3
1
1
sin
cos
2
2
2
A
A
1
sin
6
2
A
由
可得：
，
，
2
0
3
2
0
2
A
A
6
2
A
2
3
6
3
A
则
，
.
3
sin
,1
3
2
A
1
3
1 3
sin
,
2
2
3
2
A
即
的取值范围是
.
cos
cos
cos
A
B
C
3
1 3
,
2
2
在正弦定理中：
此时，我们并非一定需要对边对角，实际上，只要知道任意一边和一角，即可结合内角和
定理得到一组边角定量关系，下面我通过例题予以分析.
例6.（2019 全国3 卷）ABC
的内角
, ,
A B C 对边为, ,
a b c ，
.
A
b
C
A
a
sin
2
sin
（1）.求角
的值；
B
（2）.若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围．
ABC
1
c
ABC
解析：（1）根据题意
，由正弦定理得
sin
sin
2
A
C
a
b
A
sin
sin
sin
sin
2
A
C
A
B
A
，因为
，故
，消去
得
．
0
A
sin
0
A
sin A
sin
sin
2
A
C
B
，
因为故
或者
，而根据题意
0 B
0
2
A
C
2
A
C
B
2
A
C
B
，故
不成立，所以
，又因为
，代
A
B
C
2
A
C
B
2
A
C
B
A
B
C
入得
，所以
.
3B
3
B
（2）因为
是锐角三角形，由（1）知
，
得到
，
ABC
A
3
B
A
B
C
2
3
A
C
故
，解得
.
0
2
2
0
3
2
C
C
6
2
C
又应用正弦定理
，
，由三角形面积公式有：
sin
sin
a
c
A
C
1
c
2
2
2
sin(
)
1
1
1
sin
3
3
sin
sin
sin
2
2
2
sin
4
sin
ABC
C
a
A
S
ac
B
c
B
c
B
c
C
C
A
.
2
2
sin
cos
cos
sin
3
3
2
1
2
3
1
3
3
3
(sin
cos
)
4
sin
4
3 tan
3
8 tan
8
C
C
C
C
C
又因
,故
，
3
,tan
6
2
3
C
C
3
3
1
3
3
8
8 tan
8
2
C
故
.故
的取值范围是
3
3
8
2
ABC
S
A
ABC
SA
3
3
(
,
)
8
2
在这一部分中，我们经常会看到诸如：
等结构，这种类型当然还可利用正
2
2
2
,
a
c
b
a
c
b
弦定理转化为纯角结构，所以，我们只需要做的就是消元，把三个角消成一个角，或用均
值不等式，或用一元函数处理.
例7.（2022 新高考1 卷）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
ABC
△
A
B
C
a
b
c
．
cos
sin 2
1
sin
1
cos2
A
B
A
B
（1）若
，求
；
2π
3
C
B
（2）求
的最小值．
2
2
2
a
b
c
解析：（1）由已知条件得：
sin 2
sin
sin 2
cos
cos
cos2
B
A
B
A
A
B
sin 2
cos
cos
cos2
sin
sin 2
B
A
A
B
A
B
cos
cos(
2 )
A
A
B
cos[π
(
)]
cos[π
(
)
2 ]
B
C
B
C
B
cos(
)
cos[π
(
)]
B
C
B
C
2cos
cos
B
C
所以
，即
，由已知条件：
，
sin
cos
2
2cos
cos
B
B
B
C
(sin
cos
)cos
0
B
C
B
1
cos2
0
B
则
，可得
，所以
，
．
π
2
B
cos
0
B
1
sin
cos
2
B
C
π
6
B
2）由（1）知
，则
，
，
sin
cos
0
B
C
π
2
B
C
π
sin
sin(
)
cos
2
B
C
C
，由正弦定理
π
sin
sin(
)
sin(2
)
cos2
2
A
B
C
C
C
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin
sin
cos 2
cos
sin
sin
a
b
A
B
C
C
c
C
C
2
2
2
2
(1
2sin
)
(1
sin
)
sin
C
C
C
4
2
2
2
2
2
4sin
5sin
2
4sin
5
sin
sin
C
C
C
C
C
5
2
4
当且仅当
时等号成立，所以
的最小值为
．
2
2
sin
2
C
2
2
2
a
b
c
4 2
5
方法2.齐二次结构与余弦定理求最值
余弦定理的最大特色就是齐次分式结构，同时，
在
上的严格单调性保
x
y
cos
)
,0
(
x
证了我们可以利用余弦函数的最值来找到角的最值.
若
，倘若再能找到
这样一个约束条件，代入余弦
bc
a
c
b
A
2
cos
2
2
2
0
2
2
2
zc
yb
xa
定理消掉
，即可得到一个均值结构，利用均值不等式即可求得最值，下面通过例题予以
2
a
分析.
例8.记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
．
ABC
A
B
C
a
b
c
2
2
2
2
b
a
c
（1）求
的值：
tan
tan
B
A
（2）求
的最大值．
C
解析：（1）由余弦定理可得
，代入
，得到
2
2
2
2
cos
b
c
a
ac
B
2
2
2
2
b
a
c
，化简得
，即
.由正弦定理可得
2
2
2
2
2
cos
2
c
a
ac
B
a
c
2
2
cos
0
c
ac
B
2 cos
0
c
a
B
，即
，展开得
sin
2sin cos
0
C
A
B
sin
2sin cos
0
A
B
A
B
，即
，所以
．
sin cos
cos sin
2sin cos
0
A
B
A
B
A
B
3sin cos
cos sin
A
B
A
B
tan
3
tan
B
A
（2）由
得
，故
2
2
2
2
b
a
c
2
2
2
2
b
a
c
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab
2
2
3
3
4
4
4
a
b
a
b
ab
b
a
3
2 16
，
3
2
当且仅当
，即
时等号成立．因为
，所以
，所以
的最大值
2
2
3
b
a
3
b
a
0,π
C
π
6
C
C
为
.
π
6
三．对点训练与考情预测
1．在
中，
，
，
，则
（ ）
ABC
A
2 6
a
2
b
c
1
cos
4
A
ABC
S
A
A．
B．4
C．
D．
3 15
2
15
2 15
解析：
，
，
，所以
，解得
，
2 6
a
2
b
c
2
2
2
1
cos
2
4
b
c
a
A
bc
2
2
2
4
24
1
4
4
c
c
c
2
c
，因为
，所以
，
.故选：C.
4
b
0,
A
15
sin
4
A
1
1
15
sin
2 4
15
2
2
4
ABC
S
bc
A
A
2．在
中，内角A，B，C 所对应的边分别是a，b，c，若
的面积是
ABC
A
ABC
A
，则
（ ）
2
2
2
3
4
b
c
a
A
A．
B．
C．
D．
π
3
2π
3
π
6
5π
6
解析：由余弦定理可得：
，由条件及正弦定理可得：
2
2
2
2
cos ,
0,π
b
c
a
bc
A A
，所以
，则
．故选：A
2
2
2
3
1
3
sin
cos
2
4
2
b
c
a
S
bc
A
bc
A
tan
3
A
π
3
A
3．在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若
，则角
2 sin
sin
sin
a
A
c
C
b
B
A 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
π
6
π
4
π
3
2π
3
解析：因为
，所以
，进而可得
2 sin
sin
sin
a
A
c
C
b
B
2
2
2
2a
c
b
2
2
2
2a
b
c
因为
，当且仅当
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 (
)
3
2
cos
2
2
4
b
c
b
c
b
c
a
b
c
A
bc
bc
bc
2
2
2
2
3
2 3
2 3
b
c
b c
bc
时等号成立，所以
又因为
，所以角A 的最大值为
3
b
c
2 3
3
cos
4
2
bc
A
bc
(0, )
A
6
4.（2017 全国新课标2 卷）
的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，
ABC
A
，则
_______.
2 cos
cos
cos
b
B
a
C
c
A
B
解析：解法1：
2 cos
cos
cos
2sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
sin
sin
b
B
a
C
c
A
B
B
A
C
C
A
A
C
B
B
，即
，因为
，所以
，故
，即
.
2sin
cos
sin
B
B
B
0
B
sin
0
B
1
cos
2
B
3
B
解法2：由射影定理，
，故
，结合
知
2 cos
cos
cos
b
B
a
C
c
A
b
1
cos
2
B
0
B
.
3
B
5．（2025 年四川成都二模）在
中，角
的对边分别是
，已知
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
.
3
2 sin
c
a
C
（1）求
；
A
（2）若
，且
的周长为
，求
.
3
a
ABC
V
3
3
b
解析：（1）在
中，由
及正弦定理得
，而
ABC
V
3
2 sin
c
a
C
3sin
2sin
sin
C
A
C
sin
0
C
，
则
，又
，所以
或
.
3
sin
2
A
0
π
A
π
3
A
2π
3
A
（2）由
的周长为
，
，得
，
ABC
V
3
3
3
a
3
b
c
在
中，由余弦定理得
，即
，
ABC
V
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
2
3
(
)
2
(1 cos
)
b
c
bc
A
则
，当
时，
，于是
，
，此方程无
2
(1 cos
)
6
bc
A
2π
3
A
6
bc
2
3
6
0
b
b
15
0
解；
当
时，
，于是
，解得
或
，
π
3
A
2
bc
2
3
2
0
b
b
1
b
2
b
所以当
时，
无解；当
时，
或
.
2π
3
A
b
π
3
A
1
b
2
b
8．（2025 年江西南昌一模）在
中，角
的对边
成公差为2 的等差数列．
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
（1）若
为锐角三角形，求a 的取值范围；
ABC
V
（2）若
，求
的面积．
7sin
3sin
A
C
ABC
V
解析：（1）∵
是公差为2 的等差数列，∴
，由三角形三边关系得，
, ,
a b c
2,
4
b
a
c
a
，∴
，又∵
为锐角三角形，∴最大角
，
2
4
a
a
a
2
a
ABC
V
π
0, 2
C
∴
，即
，∴
，即
，解得
或
，
cos
0
C
2
2
2
0
2
a
b
c
ab
2
2
2
c
a
b
2
4
12
0
a
a
2
a
6
a
∴
.
6
a
（2）∵
，∴由正弦定理可得
，∴
，解得
，则
7sin
3sin
A
C
7
3
a
c
7
3
4
a
a
3
a
，
5,
7
b
c
∴
，∴
，∴
．
2
2
2
1
cos
2
2
a
b
c
C
ab
3
sin
2
C
1
1
3
15 3
sin
3 5
2
2
2
4
ABC
S
ab
C
△
7．（2025 年湖北七市州高三联考）在
中，内角
的对边分别为
，且满足
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
.
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
A
A
C
A
C
C
（1）求
；
B
（2）若
为边
上一点（异于端点），
，求
的取值范围.
P
AC
2
BPC
A
AP
PC
解析：（1）在
中，因为
，所以
，
ABC
V
π
A
B
C
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
A
A
C
B
C
得到
，据正弦定理可得
，则
2
2
2
sin
sin sin
sin
sin
A
A
C
B
C
2
2
2
a
ac
b
c
，由余弦定理得
，因为
，所以
.
2
2
2
1
2
a
c
b
ac
2
2
2
1
cos
2
2
a
c
b
B
ac
0,π
B
π
3
B
（2）在
中，因为
，所以
，则
，
ABC
V
2
BPC
A
ABP
A
AP
BP
PC
PC
由正弦定理得
，
2
π
sin
π
sin
sin
3
3
π
π
sin
sin
sin
3
3
A
A
BP
BCA
PC
PBC
A
A
则
，又因为
，所以
3cos
sin
3
tan
2 3
1
3cos
sin
3
tan
3
tan
AP
A
A
A
PC
A
A
A
A
π
3
PBC
A
，则
，结合函数性质可得
，故
的取值
π
0, 3
A
tan
0, 3
A
2 3
1
1,
3
tanA
AP
PC
范围为
.
1,
5．（2025 年广东一模）已知
的内角
所对的边分别为
，且
ABC
V
, ,
A B C
, ,
a b c
．
cos
cos
sin
a
b
c
A
B
C
（1）证明：
；
cos cos
sin
A
B
C
（2）若
的面积为
，求
．
ABC
V
2
10sin
c
C
cosC
解析：（1）根据正弦定理设
，则
，
sin
sin
sin
a
b
c
k
A
B
C
sin ,
sin ,
sin
a
k
A b
k
B c
k
C
代入
，得
，即
，整理得
cos
cos
sin
a
b
c
A
B
C
sin
sin
sin
cos
cos
sin
k
A
k
B
k
C
A
B
C
sin
sin
1
cos
cos
A
B
A
B
，由
，得
cos cos
sin cos
cos sin
sin
A
B
A
B
A
B
A
B
π
A
B
C
，所以
；
sin
sin π
sin
A
B
C
C
cos cos
sin
A
B
C
（2）由面积公式得
，由正弦定理得
，
2
1
sin
2
10sin
c
S
ab
C
C
2
1
sin
sin sin sin
2
10sin
C
A
B
C
C
整理得
，由
，得
，
1
sin sin
5
A
B
π
A
B
C
cos
cos
sin sin
cos cos
C
A
B
A
B
A
B
由（1）得
，由平方关系得
1
sin
cos
sin sin
5
C
C
A
B
2
2
1
sin
cos
,
5
sin
cos
1,
C
C
C
C
解得
或
因为
，所以
，所以
．
4
sin
,
5
3
cos
5
C
C
3
sin
,
5
4
cos
,
5
C
C
0,π
C
sin
0
C
3
cos
5
C
6．（2025 年湖北武汉二模）如图，
与
存在对顶角
，
AOD
△
BOC
A
4
AOD
BOC
，
，且
．
2
AC
2 2
BD
BC
AD
（1）证明：
为
中点；
O
BD
（2）若
，求
的长．
5 sin 2
cos
5
A
B
OC
解析：（1）设
，
，则
，
.在
中，由余弦定理
OC
x
OB
y
2
OA
x
2 2
OD
y
AOD
△
得：
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
AD
x
y
x
y
在
中，由余弦定理得：
.由
，所以
BOC
A
2
2
2
2
2
2
BC
x
y
xy
BC
AD
.化简得：
.
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
x
y
x
y
2
2
2
2
2
x
y
xy
2
y
故
为
中点.
O
BD
（2）如图：过
点做
，交
与
.则
.由
D
//
DE
BC
AC
E
EDO
CBO
π
4
EDO
CBO
EOD
COB
OD
OB
（
）.所以
，又
，所以
.
OED
OCB
A
A
AAS
BC
DE
BC
AD
DE
DA
所以
.所以
，又
，
.
A
DEA
π
OED
A
OED
C
π
3π
π
4
4
B
C
所以
.由
π
4
A
B
5 sin 2
cos
5
A
B
π
5 sin 2
cos
5
4
B
B
所以
.又
5 cos2
cos
5
B
B
2
5 2cos
1
cos
5
B
B
2
2 5 cos
cos
2 5
0
B
B
，所以
，所以
.所以
1
cos
1
B
2 5
cos
5
B
5
sin
5
B
π
π
π
sin
sin
cos
cos
sin
4
4
4
B
B
B
.即
.在
中，根据正弦定理，可得：
2
3 5
3 10
2
5
10
3 10
sin
10
C
OBC
△
sin
sin
OB
OC
C
B
.
2
3 10
5
10
5
OC
2
3
OC
