91.解析几何中的非对称结构与应用
一．基本原理
在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似
为定值的情形，通过
2
1
1
2
2
2
y
x
y
x
直线代换可得：
，但此时式子并不能完全整理为韦达
2
1
2
1
1 2
1
1
2
1
2
1 2
2
2
2
2
2
6
6
y
x
kx
x
kx x
x
y
x
kx
x
kx x
x
定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
)
(
)
(
x
t
m
x
kx
x
t
m
x
kx
tx
y
x
tx
y
x
x
t
y
x
t
y
k
k
PB
PA
还有诸如线段的比例关系会得到：
或者
的结构.（凌点数学）
2
1
x
x
2
1
y
y
我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到
和
1
2
x
x
之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．
1
2
x
x
这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过下面的方法解决：
（1）利用关系式
,将问题转化韦达定理求解.
1
2
2
1
1
x
x
x
x
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
（2）韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.
具体办法之一为联立方程后得到韦达定理：
代
2
1
2
1
2
1
2
1
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
x
x
t
n
x
x
t
m
t
g
x
x
t
f
x
x
入之后进行代换消元解题.下面通过例题来分析
二．典例分析
例1.（2023 年新高考2 卷）已知双曲线
的中心为坐标原点，左焦点为
，离心
C
2 5,0
率为
．
5
（1）求
的方程；
C
（2）记
的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与
的左支交于
两点，
C
1A
2
A
4,0
C
N
M ,
在第二象限，直线
与
交于点
．证明:点
在定直线上.
M
1
MA
2
NA
P
P
解析：（1）设双曲线方程为
，由焦点坐标可知
，
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
2 5
c
则由
可得
，
，双曲线方程为
.
5
c
e
a
2
a
2
2
4
b
c
a
2
2
1
4
16
x
y
（2）（方法1）消
留
x
y
由（1）可得
，设
，显然直线的斜率不为0，所以设
1
2
2,0 ,
2,0
A
A
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
直线
的方程为
，且
，与
联立可得
MN
4
x
my
1
1
2
2
m
2
2
1
4
16
x
y
，且
，则
，
2
2
4
1
32
48
0
m
y
my
2
64(4
3)
0
m
1
2
1
2
2
2
32
48
,
4
1
4
1
m
y
y
y y
m
m
直线
的方程为
，直线
的方程为
，联立直线
与
1
MA
1
1
2
2
y
y
x
x
2
NA
2
2
2
2
y
y
x
x
1
MA
直线
的方程可得：
2
NA
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
6
6
y
x
y
my
my y
y
y
y
x
x
y
x
y
my
my y
y
，由
可得
，即
，
1
1
2
2
2
1
1
2
2
48
32
16
2
2
2
1
4
1
4
1
4
1
48
48
3
6
6
4
1
4
1
m
m
m
y
y
m
m
m
m
m
y
y
m
m
2
1
2
3
x
x
=
1
x
1
Px
据此可得点
在定直线
上运动.
P
=
1
x
（方法2）消
留
y
x
记过点
的直线为.当与
轴垂直时,易知点
,
( 4,0)
l
l
x
( 4,4 3),
( 4, 4 3)
M
N
.
( 1, 2 3)
P
当直线与
轴不垂直时,设点
,
,直线
.将
l
x
1
M x
1
2
2
0
0
,
,
,
,
y
N x
y
P x
y
:
(
4)
l y
k x
代人
,得
(
4)
y
k x
2
2
1
4
16
x
y
.依题意,得
2
2
2
2
(4
8
16 16
0
k
x
k x
k
1
2
1
2
0,
0,
0,
x x
x
x
2
2
1
2
1
2
2
2
16 1
8
,
.
4
4
k
k
x
x
x x
k
k
设
，即
即
①.
1
2
1
2
(
)
x x
x
x
2
2
2
2
16 1
8
.
4
4
k
k
k
k
1
2
x x
1
2
5
4
2 x
x
直线
的方程为
，直线
的方程为
，联立直线
与
1
MA
1
1
2
2
y
y
x
x
2
NA
2
2
2
2
y
y
x
x
1
MA
直线
的方程可得：
2
NA
1
2
1
2
0
0
2
1
2
1
2
4
2
2
,
2
2
4
2
y
x
x
x
x
x
y
x
x
x
即
将①代入式得
,即
0
1
2
1
2
0
1
2
1
2
2
2
4
8.
2
4
2
8
x
x x
x
x
x
x x
x
x
0
0
2
2
x
x
1
2
1
2
3 3
8
3
3
8
x
x
x
x
1
x
，据此可得点
在定直线
上运动.
P
=
1
x
例2．已知点F 为椭圆
的右焦点，A，B 分别为其左、右顶点，过F 作直
2
2
:
1
4
3
x
y
E
线l 与椭圆交于M，N 两点(不与A，B 重合)，记直线AM 与BN 的斜率分别为
证明
1
2
,
,
k k
为定值．
1
2
k
k
解析：方法1.先联
，消x 得
，易知△>0，则
2
2
1
4
3
1
x
y
x
ty
2
2
(4
3 )
6
9
0
t
y
ty
．
，代入目标信息得，
1
2
2
1
2
2
6
4
3
9
4
3
t
y
y
t
y y
t
1
2
1
2
3 (
)
2
ty y
y
y
稍作整理，即可得
，为定值，得
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
3 (
)
2
3
3
(
)
3
2
y
y
y
k
ty y
y
k
ty y
y
y
y
y
1
2
1
2
1
2
1
3
1
2
2
3
9
3
2
2
y
y
k
k
y
y
证．
若看不出两根之和与两根之积的关系怎么办呢？我们不妨用待定一下系数，
设
，∴
1
2
1
2
2
2
3
9
6
2
4
3
4
3
0
t
y y
y
y
t
t
t
，完毕，实质上，利用上述待定系数法我们可以进一步解决
1
2
1
2
3 (
)
2
ty y
y
y
m
kx
y
的情形.
方法2.显然先考虑直线l 斜率不存在时的情形，此时
，
，或
3
1 2
M
，
3
1
2
N
，
，
，对应为
或
，
，此时均有
，
3
1
2
M
，
3
1 2
N
，
1
2
1
3
2
2
k
k
，
1
1
2
k
2
3
2
k
1
2
1
= 3
k
k
为定值．
当直线l 斜率存在时，不妨就正设直线
，联立
，
1
l
y
k x
，
2
2
1
4
3
(
1)
x
y
y
k x
消
得
易知△＞0，则
y
2
2
2
2
(3
4
)
8
4(
3)
0,
k
x
k y
k
2
1
2
2
2
1
2
2
8
3
4
4(
3)
3
4
k
x
x
k
k
x x
k
设
，即
，解得
1
2
1
2
(
)
x x
x
x
2
2
2
2
2
2
4(
3)
(8
4 )
3
8
3
4
3
4
3
4
k
k
k
k
k
k
5
2
4
，即
1
2
1
2
5 (
)
4.
2
x x
x
x
则
，得证．
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
5
1
3
(
)
4
2
2
2
2
2
1
2
2
2
5
3
9
2
2
3
(
)
4
2
2
6
2
2
2
x
x
x
x
x
x
k
x x
x
x
k
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
例2.（2018 年重庆预赛）设椭圆
的左、右顶点为
,过右焦点
作非水
C
,
( ,0)
A
B a
(1, 0)
F
平直线与椭圆
交于
两点,记直线
的斜率分别为
,试证:
为定值,并
l
C
,
P Q
,
AP BQ
1
2
,
k k
1
2
k
k
求此定值(用
的函数表示).
a
证明：设
，代入椭圆方程
得
:
1
l x
ty
2
2
2
2
1
1
x
y
a
a
，
2
2
2
2
2
2
2
((
1)
)
2(
1)
(
1)
0
a
t
a
y
a
ty
a
设
,则
，
.
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
P x y
Q x
y
2
1
2
2
2
2
2(
1)
(
1)
a
t
y
y
a
t
a
2
2
1
2
2
2
2
(
1)
(
1)
a
y y
a
t
a
两式相除得
,
.
1
2
2
1
2
2
1
y
y
t
y y
a
2
1
2
1
2
1(
)
2
a
ty y
y
y
由题意知
,
.
1
1
1
1
1
1
y
y
k
x
a
ty
a
2
2
2
2
2
1
y
y
k
x
a
ty
a
从而
.
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
(
1)
(
1)(
) / 2
(
1)
(
1)(
) / 2
k
y ty
a
a
y
y
ay
y
k
y ty
a
a
y
y
ay
y
.
2
2
1
2
2
2
1
2
(
2
1)
(
1)
(
1)
(
2
1)
a
a
y
a
y
a
y
a
a
y
因为
，所以
.
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
1
2
1
1
k
a
k
a
可以看到，椭圆中的蝴蝶构型在证明过程中会出现非对称韦达结构，所谓蝴蝶定理，指的
是：
分别为椭圆
的左、右顶点，
为
轴上一定点，过
B
A、
)
(1
:
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
E
)
0,
(t
T
x
直线交椭圆于
两点，连接
，那么
.
M
D
C,
BD
AC,
t
a
t
a
k
k
BD
AC
例4.已知椭圆
的右焦点
与抛物线
的焦点相同,椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
F
2
4
y
x
C
的离心率为
.
1
2
（1）求椭圆
方程;
C
（2）若直线
交椭圆
于
、
两点, 交
轴于点
.
:
2
l y
kx
C
P
Q
l
y
R
（i）求三角形
面积的最大值(其中
为坐标原点);
POQ
O
（ii）若
,求实数
的取值范围.
RP
RQ
解析：（1）由
，可得
，故
，设椭圆
．
1
2
c
e
a
2
a
c
2
2
2
2
3
b
a
c
c
2
2
2
2
:
1
4
3
x
y
C
c
c
又抛物线
的焦点
，即
，∴椭圆
．
2
4
y
x
1,0
1
c
2
2
:
1
4
3
x
y
C
（2）（ⅰ）当且仅当
，
，
时，等号成立，此时面积最大为
．
12
0
t
t
t
2 3
t
5
2
k
3
（ⅱ）
，
，
，
1
1
,
2
RP
x y
2
2
,
2
RQ
x
y
1
1
2
2
x
RP
RQ
x
x
x
，
，
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x x
2
1
2
1
2
1
2
x
x
x x
又
，
1
2
2
16
3
4
k
x
x
k
2
2
1
2
2
2
2
4
1
64
64
1
2
3
3
4
3
4
4
4
k
x
x
k
k
k
k
．
1
1
2
4,16
2,14
7
4 3,1
1,7
4 3
下面我们将会看到，在很多定直线问题中也会出现非对称韦达定理的结构.
例5．已知椭圆
的离心率为
，点
，
分别为
的上下顶点，
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
5
5
A
B
C
点
为
的四等分点．
0,1
D
AB
（1）求椭圆
的方程；
C
（2）若过点
的直线与
交于异于
，
的
，
两点，且直线
，
交于点
，
D
l
C
A
B
E
F
AE
BF
M
证明：点
在定直线上．
M
解析：（1）由题意可知，
，因
，
，且
为
的四等分点，
5
5
c
a
0,
A
b
0,
B
b
0,1
D
AB
所以
，所以
，又知
，所以由
，解得
，
，
2
4
b
2
b
2
2
4
a
c
2
2
5
5
4
c
a
a
c
5
a
1
c
故椭圆
的方程为
．
C
2
2
1
5
4
x
y
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为
，
，
．
l
l
1
y
kx
1
1
,
E x y
2
2
,
F x
y
由
，得
，所以
，
．
2
2
1
5
4
1
x
y
y
kx
2
2
5
4
10
15
0
k
x
kx
1
2
2
10
5
4
k
x
x
k
1
2
2
15
5
4
x x
k
所以
．由（1）可知，
，
，
1
2
1
2
3
2
x
x
kx x
0,2
A
0, 2
B
所以
，所以
的方程为
，
1
1
1
1
2
1
AE
y
kx
k
x
x
AE
1
1
1
2
kx
y
x
x
同理可知
的方程为
，将两直线方程联立方程组可知，
BF
2
2
3
2
kx
y
x
x
，故点
在定直线
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2 3
3
2 2
3
1
3
4
3
3
1
3
x
x
x
x
x
x
kx x
x
x
kx
kx
y
x
x
x
x
x
x
kx
kx
M
上．
4
y
三．习题演练
1．已知
为
的两个顶点，
为
的重心，边
上的两条中
1,0 ,
1,0
B
C
ABC
A
P
ABC
A
,
AC AB
线长度之和为6.
（1）求点
的轨迹
的方程.
P
C
（2）已知点
，直线
与曲线
的另一个公共点为
，直线
3,0 ,
2,0 ,
2,0
N
E
F
PN
C
Q
EP
与
交于点
，求证：当点
变化时，点
恒在一条定直线上.
FQ
M
P
M
【详解】（1）因为
为
的重心，且边
上的两条中线长度之和为6，
P
ABC
A
,
AC AB
所以
,故由椭圆的定义可知
的轨迹
是以
为焦
2
6
4
3
PB
PC
BC
P
C
1,0 ,
1,0
B
C
点的椭圆（不包括长轴的端点），且
，所以
，所以
的轨迹
的方程为
2,
1
a
c
3
b
P
C
；
2
2
1
2
4
3
x
y
x
（2）设直线
的方程为：
，
，联立方程
得：
PQ
3
x
my
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
2
2
3
1
4
3
x
my
x
y
，则
，所以
，
2
2
3
4
18
15
0
m
y
my
1
2
1
2
2
2
18
15
,
3
4
3
4
m
y
y
y y
m
m
1
2
1
2
5
2
3
my y
y
y
又直线
的方程为：
，
PE
1
1
1
1
2
2
2
1
y
y
y
x
x
x
my
又直线
的方程为：
，联立方程
得：
QF
2
2
2
2
2
2
2
5
y
y
y
x
x
x
my
1
1
2
2
2
1
2
5
y
y
x
my
y
y
x
my
，把
代入上式得：
1
2
2
1
2
1
2 2
5
5
my y
y
y
x
y
y
1
2
1
2
5
2
3
my y
y
y
，所以当点
运动时，点
恒在定直线
上.
2
1
2
1
2
1
2
1
2
10
4
2
5
4
3
3
3
5
5
3
y
y
y
y
x
y
y
y
y
P
M
4
3
x
2．已知椭圆
的离心率为
，且点
在椭圆
上．
2
2
2
2
:
1
x
y
E a
b
(
0)
a
b
2
2
2 3
3
(
,
)
3
3
E
（1）求椭圆
的标准方程；
E
（2）若过定点
的直线交椭圆
于不同的两点
､
(点
在点
､
之间)，且满足
0,2
F（
）
E
G
H
G
F
H
，求
的取值范围.
FG
FH
【详解】（1）由题意可知：
，解得：
椭圆
的标准方程为：
2
2
2
2
2
2
2
4
1
3
3
1
c
a
a
b
a
b
c
2
1
1
a
b
c
C
．
2
2
1
2
x
y
（2）①当直线
斜率不存在，方程为
，则
，
.
GH
0
x
1
3
FG
FH
1
3
②当直线
斜率存在时，设直线
方程为
，联立
得：
GH
GH
2
y
kx
2
2
2
1
2
y
kx
x
y
.由
得：
.设
，
，则
2
2
1
(
)
4
3
0
2
k
x
kx
2
2
1
Δ
16
12
0
2
k
k
（
）
2
3
2
k
1
1
( ,
)
G x y
2
2
(
,
)
H x
y
，
，又
，
1
2
2
2
4
8
1
1
2
2
k
k
x
x
k
k
1
2
2
2
3
6
1
1
2
2
x x
k
k
FG
FH
1
1
2
2
,
2
,
2
x y
x
y
（
）（
）
，
，则
，
1
2
x
x
1
2
x
x
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
32
32
2
2
1
3 1
2
3 2
x
x
x
x
k
x x
x
x
k
k
由于
，所以
，解得：
,又
，
2
3
2
k
1
16
4
2
3
1
3
3
0
1
1
1
3
综上所述：
的取值范围为
.
1
[ ,1)
3
3.已知双曲线C:
过点
,且渐近线方程为
.
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
(3,
2)
A
3
0
x
y
(1)求双曲线
的方程;
C
(2)如图,过点
的直线1 交双曲线C 于点M、N.直线MA、NA 分别交直线
于点
(1,0)
B
1
x
、
,求
的值.
P
Q
|
|
|
|
PB
BQ
【详解】（1）∵双曲线C 的渐近线方程为
，则可设双曲线C 的方程为
3
0
x
y
，代入点
，即
，故双曲线C 的方程为
2
2
0
3
x
y
3,
2
A
2
2
3
2
1
3
.
2
2
1
3
x
y
（2）由双曲线C 的方程为
的方程可得
，
2
2
1
3
x
y
2
2
3,
1,
2
a
b
c
a
b
由题意可得点
，则有：当直线l 与
轴垂直时，则
，
10
B
,
y
3,0 ,
3,0
M
N
可得直线
，令
，则
，即点
，同理可得：
2
:
3
3
3
AM
y
x
1
x
6
3
y
6
1,
3
P
点
，故
，即
；当直线l 不与
轴垂直时，设直线
6
1, 3
Q
6
3
PB
BQ
1
PB
BQ
y
，联立方程
，消去x 得
，
1
1
2
2
:
1,
,
,
,
l x
ty
M x y
N x
y
2
2
1
1
3
x
ty
x
y
2
2
3
2
2
0
t
y
ty
则
，可得直线
1
2
1
2
2
2
2
2
Δ
0,
,
3
3
t
y
y
y y
t
t
，令
，则
1
1
1
1
2
2
:
3
2
3
2
3
2
y
y
AM
y
x
x
x
ty
1
x
，
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
t
y
y
y
ty
ty
即点
，同理可得：点
，
1
1
2
2
1,
2
t
y
P
ty
2
2
2
2
1,
2
t
y
Q
ty
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t
y
t
y
t
ty
y
ty
y
t
ty y
y
y
ty
ty
ty
ty
ty
ty
，即点
关于x 轴对称，故
，即
；
2
1
2
2
4
4
3
3
2
2
0
2
2
t
t
t
t
t
ty
ty
,
P Q
PB
BQ
1
PB
BQ
综上所述：
的值为1.
PB
BQ
