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2025 年高考押题预测卷
高三数学（新高考Ⅰ卷）·参考答案
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
A
C
D
C
B
C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
ACD
BCD
BC
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
【解析】（1）依题意，对任意的
，
，都有
，
故对任意的
，
，
，（1 分）
所以对任意的
，
，
，即
为定值，（2 分）
所以数列
是公差为2 的等差数列，
据
，
，得
，
，（3 分）
所以
，解得
，（4 分）
故
，（5 分）
所以
（6 分）
（2）由（1）可知，
，
所以当
，
，
（7 分）
，（8 分）
又
符合上式，所以
（9 分）
所以
，（10 分）
故
，（12 分）
因为
，
，所以
（13 分）
16．（15 分）
【解析】（1）依题意，平均值
，（2 分）
，（3 分）
上四分位数落在区间
，且等于
.（4 分）
（2）由样本数据可知，训练成绩在
之内的频数之比为2:1，
由分层抽样的方法得，从训练成绩在
中随机抽取了6 次成绩，
在
之内的4 次，在
之内的抽取了2 次，（5 分）
所以
可取的值有：0，1，2，
，
，
，
分布列为：
0
1
2
（8 分）
.（9 分）
（3）法一：设事件
分别表示动作优化前成绩落在区间
，
，
，
则
相互互斥，所以动作优化前，
在一次资格赛中，入围的概率
，（10 分）
设事件B 为＂动作优化成功＂，则
，（11 分）
动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：
，且事件
相互互斥，
所以在一次资格赛中入围的概率
，（12 分）
故
，（13 分）
由
解得
，（14 分）
又
的取值范围是
.（15 分）
法二：因为入围的成绩标准是80 分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为：
，（10 分）
进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间
或
的成绩，
当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准，
所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率
，（13 分）
由
，得
，（14 分）
又
的取值范围是
.（15 分）
17．（15 分）
【解析】（1）如图，延长
与
相交于M，连接
根据
，
为
的中点，则
，
，则
，（1 分）
在
中，
，
为
的中点，则
.（2 分）
在
中，
，则
，（3 分）
同理在
中，
，（4 分）
在
中，
，
由于
，则
，即
.（5 分）
已知
平面
，
平面
，则
.（6 分）
平面
，且
.
则
平面
，
平面
，则平面
平面
.（7 分）
（2）由于
平面
.
，则可以
为x 轴，
为y 轴，过O 作
，可作为z 轴，建
立空间直角坐标系
.（8 分）
由于
平面
.则若
与底面
所成角为
，根据题意，
，则
.（9 分）
得到相关点坐标：
，
根据向量坐标运算，可得
，
，
.
设平面
的法向量为
，则
且
.
①；
②；
由①得
，将
代入②可得：
，
令
，则
，
，所以
. （11 分）
设平面
的法向量为
，同理
且
.
③；
④；
+
③
④得
，即
，将
代入③可得：
，
令
，则
，所以
. （13 分）
设二面角
为
，且
；
；
.
所以
.（14 分）
通过观察图形可知二面角
是锐二面角，
所以二面角
的余弦值为
.（15 分）
18．（17 分）
【解析】（1）二次函数
，（1 分）
它的图象可以由抛物线
沿向量
平移得到；（2 分）
抛物线
即
的焦点坐标为
，准线方程为
；（3 分）
所以二次函数
的焦点坐标为
，准线方程为
．（5 分）
（2）二次函数
，（6 分）
它的图象可以由抛物线
沿向量
平移得到；（7 分）
抛物线
即
的焦点坐标为
，准线方程为
；（8 分）
所以二次函数
的焦点坐标为
，
准线方程为
；
即二次函数
的焦点坐标为
，准线方程为
．（10 分）
（3）由（1）知抛物线
可以由抛物线
沿向量
平
移得到；
先考虑如下问题：过
的直线与抛物线
的另一个交点为
，直线
与直线
交于点
，过点
作x 轴的垂线交抛物线
于点
，讨论是否存在定点
，使得
三点共线；
设
，又
，则直线
的方程为：
，化简得：
，（11
分）
与直线
联立得：
，（12 分）
代入
得：
，
即
，（13 分）
则直线
的方程：
，（15 分）
化简得
；（16 分）
当
时，
恒成立，所以直线
恒过定点
，即存在定点
，使得
三点共线；
故存在定点
，使得
三点共线．（17 分）
19．（17 分）
【解析】（1）因为
，且
，
当
时可知
，（1 分）
所以
，（2 分）
，（3 分）
所以
成立；（4 分）
（2）因为
时，
，所以要证
，
即证：
，（5 分）
即证：
，即证：
，（6 分）
设
，
，则不等式可化为2(t −1)
1+t
<lnt ,(t >1)
要证
，作差得
，（7 分）
即证：
在
恒成立，
构造函数：
，
则
，再设
，则
，
因为
，所以
恒成立，（8 分）
所以
在
为增函数，所以
，（9 分）
所以
在
恒成立，可得
在
为增函数，
所以
，所以
在
恒成立，
所以不等式
成立，得证；（10 分）
（3）因为
，所以
，
令
，故
，
所以
在
为减函数，在
为增函数，
，（11 分）
故直线
与曲线
交于
，
，所以
，
且
，
，即有：
①，
②，
①＋②得：
（12 分）
①－②得：
（13 分）
由第（2）问知：
，
所以
，（15 分）
所以
，（16 分）
即
，所以
成立．（17 分）
