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第三章一元函数的导数及其应用
§3.5 指对同构问题
【考情分析·探规律】
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
考点1 求切线方程及其应用
2024·全国甲卷
2023·全国甲卷
2022·全国新Ⅱ卷
2022·全国新Ⅰ卷
2021·全国甲卷
2021·全国新Ⅱ卷
2021·全国新Ⅰ卷
掌握基本函数的
导数求解，会导数的基本
计算，会求切线方程，会
公切线的拓展，切线内容
是新高考的命题热点，要
熟练掌握。
考点2 公切线问题
2024·全国新Ⅰ卷
【名师点拨】把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造
函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要
解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.
【必练核心题型】
题型一 双变量地位同等同构
【典例】1.若对0<x1<x2<a 都有ln(
x2
x1)
x1 x2
<2x2－2x1成立，则a 的最大值为( )
A.1
B.2
C.e
D.2e
【变式训练】
1.若0<x1<x2<1，则下列不等式正确的是( )
A.x1ln x1<x2ln x2
B.x1ln x1>x2ln x2
C.x2ln x1<x1ln x2
D.x2ln x1>x1ln x2
题型二 指对同构法的理解
【名师点拨】指对同构的常用形式
(1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)＝xex；
②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x；
③取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln(ln b)(a>0，b>1)，构造函数f(x)＝x＋ln x.
(2)商型：e
a
a ≤b
ln b ，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：e
a
a ≤e
ln b
ln b ，构造函数f(x)＝e
x
x ；
②同右构造形式：
e
a
ln e
a≤b
ln b ，构造函数f(x)＝x
ln x ；
③取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln(ln b)(a>0，b>1)，构造函数f(x)＝x－ln x.
(3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x；
②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x.
【典例】1.(多选)若ea＋a>b＋ln b(a，b 为变量)成立，则下列选项正确的是( )
A.a>ln b
B.a<ln b
C.ea>b
D.ea<b
【典例】2.(2025·宜春模拟)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的
两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若
关于a 的方程aea－2＝e4和关于b 的方程b(ln b－2)＝e3λ－1(a>0，b>e2)可化为同构方程，
则ab 的值为 .
【变式训练】
变式1.(多选)对不等式ax＋eax>ln(bx)＋bx 进行指对同构时，可以构造的函数是(
)
A.f(x)＝ln x＋x
B.f(x)＝xln x
C.f(x)＝x＋ex
D.f(x)＝x
e
x
题型三 同构法的应用
【典例】1.设实数k>0，对于任意的x>1，不等式kekx≥ln x 恒成立，则k 的最小值为
.
【典例】2.(2025·衡阳模拟)已知m 是方程xeex－2＋(e－1)ln x＝2 的一个根，则e
2−m
e−1 ＋
(e－1)ln m 等于( )
A.1
B.2
C.3
D.5
【变式训练】
变式1.(2024·吕梁模拟)若关于x 的不等式ea＋x·ln x<x2＋ax 对∀x∈(0，1)恒成立，则
实数a 的取值范围为( )
A.(－∞，0]
B.[－1，0]
C.[－1，＋∞)
D.[0，＋∞)
变式2.已知e 为自然对数的底数，a，b 均为大于1 的实数，若aea＋1＋b<bln b，则(
)
A.b<ea＋1
B.b>ea＋1
C.ab<e
D.ab>e
【限时训练】[限时：45 分钟]
一、单项选择题(每小题5 分，共10 分)
1.设x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，则下列选项正确的是( )
A.x>y
B.x>ln y
C.x<y
D.x<ln y
2.若关于x 的不等式ex＋x＋ln 1
x ≥mx＋ln m 恒成立，则实数m 的最大值为( )
A.2
B.e
C.3
D.e2
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
3.(2025·邯郸模拟)已知a>0，b∈R，e 是自然对数的底数，若b＋eb＝a＋ln a，则a－b
的值可以是( )
A.－1
B.1
C.2
D.3
4.若不等式ax－exln a<0 在x∈[2，＋∞)上恒成立，则实数a 的值可以为( )
A.3e
B.2e
C.e
D.2
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
5.(2025·长春模拟)不等式xex＋aln x
x
a
≥0(a<0)对∀x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a 的取值
范围是 .
6.(2025·渭南模拟)已知实数x1，x2满足e
x1＝4
x1
，ln x2＝2
x2
2 ，则x1x2
2＝ .
四、解答题(共13 分)
7.(13 分)(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)＝aex－x.
(1)讨论f(x)的单调性；(5 分)
(2)若f(x)＋x＋ln a≥ln x，求实数a 的取值范围.(8 分)
