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§3.3 导数与函数的极值、最值
课标要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极
小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题.
1.函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a 处的函数值f(a)比它在点x＝a 附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝0；而且在点x
＝a 附近的左侧f' ( x )<0
，右侧f' ( x )>0
，则a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b 处的函数值f(b)比它在点x＝b 附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝0；而且在点x
＝b 附近的左侧f' ( x )>0
，右侧f' ( x )<0
，则b 叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值
f ( a ) ，
f ( b ) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是
最小值.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.( √ )
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.( × )
(3)函数的极小值一定是函数的最小值.( × )
(4)函数的极大值一定不是函数的最小值.( √ )
2.(多选)如图是函数f(x)的导函数y＝f'(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)在区间(3，5)上单调递减
B.函数f(x)在区间(4，5)上单调递增
C.函数f(x)在x＝3 处取得极大值
D.函数f(x)在x＝4 处取得极小值
答案 AC
解析 由图象可知，当x∈(3，5)时，f'(x)<0，所以函数f(x)在区间(3，5)上单调递减，故A 正确，B 错误；
由图象可知，f'(3)＝0，且当x∈(0，3)时，f'(x)>0，当x∈(3，5)时，f'(x)<0，所以f(x)在(0，3)上单调递增，
在(3，5)上单调递减，故函数y＝f(x)在x＝3 处取得极大值，故C 正确；
由图象可知，f'(4)≠0，故4 不是函数f(x)的极值点，故D 错误.
3.函数f(x)＝x3－1
2x2－14x 的极小值点为 ，极大值为 .
答案 7
3 18
解析 由f(x)＝x3－1
2x2－14x 得，
f'(x)＝3x2－x－14＝(x＋2)(3x－7)，
令f'(x)>0，解得x>7
3或x<－2，
令f'(x)<0，解得－2<x<7
3 ，
故f(x)在(－∞，－2)，(
7
3 ，＋∞)上单调递增，在(-2，7
3)上单调递减，
故f(x)在x＝7
3处取得极小值，在x＝－2 处取得极大值，
故f(x)极大值＝f(－2)＝－8－2＋28＝18.
4.若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1 有两个极值点，则实数a 的取值范围是 .
答案 (－∞，－√6)∪(√6，＋∞)
解析 f'(x)＝3x2－2ax＋2，
由题意知f'(x)有两个变号零点，
∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，
解得a>√6或a<－√6.
解题时灵活应用转化以下几个关键点
(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).
(2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念.
(3)有极值的函数一定不是单调函数.
(4)“f'(x0)＝0”是“x0为可导函数f(x)的极值点”的必要不充分条件.例如f(x)＝x3，f'(0)＝0，但0 不是极值
点.
(5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、端点.
题型一 利用导数求解函数极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1 (多选)设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f'(x)，且函数g(x)＝xf'(x)的图象如图所示，则下列结论
中一定成立的是( )
A.f(x)有两个极值点
B.f(0)为f(x)的极大值
C.f(x)有两个极小值点
D.f(－1)为f(x)的极小值
答案 BC
解析 根据g(x)＝xf'(x)的图象，可得当x<－2 时，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，
当－2<x<0 时，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，
当0<x<1 时，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，
当x>1 时，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，
因此f(x)在x＝－2 和x＝1 处取得极小值，在x＝0 处取得极大值，共3 个极值点，A 错误，C 正确；
f(0)为f(x)的极大值，B 正确；
f(－1)不是f(x)的极小值，D 错误.
命题点2 求已知函数的极值
例2 (2025·沈阳模拟)已知函数f(x)＝2ln x－2(a－1)x－ax2(a>0)，讨论f(x)的极值.
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
求导得f'(x)＝2
x －2(a－1)－2ax
＝－2( x＋1)(ax -1)
x
，
因为a>0，则当x∈(0，1
a)时，f'(x)>0，
当x∈(
1
a ，＋∞)时，f'(x)<0，
因此f(x)在(0，1
a)上单调递增，在(
1
a ，＋∞)上单调递减，
所以当x＝1
a时，f(x)取得极大值f(
1
a)＝2ln 1
a ＋1
a－2，无极小值.
命题点3 已知极值(点)求参数
例3 (1)(2024·肇庆模拟)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－2 处取极小值，则c 等于( )
A.－6
B.－2
C.－6 或－2
D.－4
答案 A
解析 由函数f(x)＝x(x－c)2，
可得f'(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)，
因为函数f(x)在x＝－2 处取得极小值，
可得f'(－2)＝0，解得c＝－2 或c＝－6，
当c＝－2 时，令f'(x)>0，解得x<－2 或x>－2
3；令f'(x)<0，解得－2<x<－2
3 ，
所以函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(-2，- 2
3)上单调递减，在(- 2
3 ，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在x＝－2 处取极大值，不符合题意，舍去；
当c＝－6 时，令f'(x)>0，可得x<－6 或x>－2；令f'(x)<0，可得－6<x<－2，
所以函数f(x)在(－∞，－6)上单调递增，在(－6，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在x＝－2 处取极小值，符合题意，
综上可得，c＝－6.
(2)已知函数f(x)＝ln x－a
e x(其中a∈R，e 为自然对数的底数)存在极大值，且极大值不小于1，则a 的取
值范围为 .
答案 (0，1
e]
解析 由已知可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝1
x - a
e .
①当a≤0 时，f'(x)＝1
x - a
e >0 在(0，＋∞)上恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)无极值；
②当a>0 时，f'(x)＝e -ax
e x ，
由f'(x)＝e -ax
e x ＝0 可得x＝e
a.
当0<x<e
a时，f'(x)>0，
所以f(x)在(0，e
a)上单调递增；
当x>e
a时，f'(x)<0，
所以f(x)在(
e
a ，＋∞)上单调递减，
于是函数f(x)在x＝e
a处取得极大值.
由已知，f (
e
a)≥1，
即ln e
a－1≥1，ln e
a≥2＝ln e2，
因为函数y＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，
所以e
a≥e2，即a≤1
e ，又a>0，
所以0<a≤1
e ，
于是a 的取值范围为(0，1
e].
综上所述，a 的取值范围为(0，1
e].
思维升华 根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)验证：求解后验证根的合理性.
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝aex＋bx 在x＝0 处取得极小值1，则f'(2)等于( )
A.e2－2
B.2－e2
C.e2－1
D.e2
答案 C
解析 由f(x)＝aex＋bx，得f'(x)＝aex＋b，
因为f(x)在x＝0 处取得极小值1，
所以{
f '(0)＝ae
0＋b＝0，
f (0)＝ae
0＋b·0＝1 ⇒{
a＝1，
b＝-1 ⇒f'(x)＝ex－1，
当x>0 时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x<0 时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x＝0 处取得极小值，故a＝1，b＝－1 满足题意，
于是有f'(2)＝e2－1.
(2)若函数f(x)＝eax＋2x 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围为( )
A.a>－2
B.a>－1
2
C.a<－2
D.a<－1
2
答案 C
解析 由函数f(x)＝eax＋2x，可得f'(x)＝aeax＋2，
若a≥0，f'(x)>0，此时f(x)为增函数，无极值点；
若a<0，令f'(x)＝aeax＋2＝0，
解得x＝1
aln(- 2
a)，
当x>1
aln(- 2
a)时，f'(x)>0，
当x<1
aln(- 2
a)时，f'(x)<0，
故x＝1
aln(- 2
a)是f(x)＝eax＋2x 的极值点，
由于函数f(x)＝eax＋2x 有大于零的极值点，
∴1
aln(- 2
a)>0，即ln(- 2
a)<0，
即0<－2
a<1，解得a<－2.
题型二 利用导数求函数的最值
命题点1 不含参函数的最值
例4 函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1 在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为( )
A.－π
2 ，π
2
B.－3 π
2 ，π
2
C.－π
2 ，π
2 ＋2
D.－3 π
2 ，π
2 ＋2
答案 D
解析 f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1，x∈[0，2π]，则f'(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，x∈[0，
2π].
令f'(x)＝0，解得x＝π
2 或x＝3 π
2 .
因为f (
π
2)＝cos π
2 ＋(
π
2 ＋1)sin π
2 ＋1
＝π
2 ＋2，
f (
3 π
2 )＝cos 3 π
2 ＋(
3 π
2 ＋1)sin 3 π
2 ＋1＝－3 π
2 ，
又f(0)＝cos 0＋(0＋1)sin 0＋1＝2，
f(2π)＝cos 2π＋(2π＋1)sin 2π＋1＝2，
所以f(x)max＝f (
π
2)＝π
2 ＋2，
f(x)min＝f (
3 π
2 )＝－3 π
2 .
命题点2 含参函数的最值
例5 已知函数f(x)＝(x－1)ex－1
2ax2(a>0)，求函数f(x)在[1，2]上的最小值.
解 函数f(x)＝(x－1)ex－1
2ax2，
求导得f'(x)＝xex－ax＝x(ex－a)，
若x∈[1，2]，则
①当ln a≥2，即a≥e2时，ex－a≤0，f'(x)≤0，函数f(x)在[1，2]上单调递减，
因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(2)＝e2－2a；
②当1<ln a<2，即e<a<e2时，函数f(x)在[1，ln a)上单调递减，在(ln a，2]上单调递增，
因此函数f(x)的最小值为f(ln a)＝a(ln a－1)－1
2a(ln a)2；
③当ln a≤1，即0<a≤e 时，ex－a≥0，f'(x)≥0，函数f(x)在[1，2]上单调递增，
因此函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)＝－1
2a.
综上，当a≥e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为e2－2a；
当e<a<e2时，f(x)在[1，2]上的最小值为a(ln a－1)－1
2a(ln a)2；
当0<a≤e 时，f(x)在[1，2]上的最小值为－1
2a.
思维升华 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的
单调性，从而得到函数f(x)的最值.
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝x－√2sin x，x∈[0，π]，则f(x)的最大值为 .
答案 π
解析 由f(x)＝x－√2sin x，x∈[0，π]，
可得f'(x)＝1－√2cos x，x∈[0，π]，
令f'(x)＝0 可得cos x＝√2
2 ，
又x∈[0，π]，所以x＝π
4 ，
当x∈[0，π
4)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(
π
4 ，π]时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
易知f(0)＝0，f(π)＝π，
因此f(x)的最大值为π.
(2)(2025·泰安模拟)已知函数f(x)＝a
x ＋ln x 在区间[1，e]上的最小值为3
2 ，则a 的值为( )
A.1
B.3
2
C.e
2
D.√e
答案 D
解析 因为f(x)＝a
x ＋ln x(x>0)，
所以f'(x)＝1
x - a
x
2 ＝x -a
x
2 ，
当a≤0 时，f'(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
此时f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(1)＝a＋ln 1＝3
2 ，
解得a＝3
2 ，不符合题意，舍去；
当a>0 时，令f'(x)<0，得0<x<a；令f'(x)>0，得x>a，
所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，
①当0<a≤1 时，f(x)在区间[1，e]上单调递增，
所以最小值为f(1)＝a≤1，不符合题意，舍去；
②当1<a<e 时，f(x)在[1，a)上单调递减，在(a，e]上单调递增，
所以最小值为f(a)＝1＋ln a＝3
2 ，解得a＝√e；
③当a≥e 时，f(x)在[1，e]上单调递减，
所以最小值为f(e)＝a
e ＋ln e＝3
2 ，
解得a＝e
2 ，不符合题意，舍去.
综上所述，a＝√e.
三次函数的性质
三次函数是一类重要的函数，其规律性强，内容相对独立，且有一些独有的结论和技巧.如果能得当运用三次函
数的有关结论，可以大大简化解题过程.
典例 (多选)已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则下列选项正确的是( )
A.三次函数的对称中心是(- b
3a ，f(- b
3a))
B.若函数f(x)关于点(m，n)对称，则y＝f'(x)的图象关于直线x＝m 对称
C.若函数y＝f(x)有极值，则对称中心是两个取极值的点的中点
D.若f(x)＝0 的三个根分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝－b
2a
答案 ABC
解析 对于A，设f(m－x)＋f(m＋x)＝2n，得[a(m－x)3＋b(m－x)2＋c(m－x)＋d]＋[a(m＋x)3＋b(m＋x)2＋c(m＋x)＋d]＝
2n，整理得(6ma＋2b)x2＋(2am3＋2bm2＋2cm＋2d)＝2n.根据多项式恒等对应系数相等，可得m＝－b
3a 且n＝am3＋bm2
＋cm＋d，从而三次函数是中心对称曲线，且由n＝f(m)知其对称中心(m，f(m))仍然在曲线上.故对称中心为
(- b
3a ，f(- b
3a))，A 正确；
对于B，由y＝f(x)的图象关于点(m，n)对称，得f(x)＋f(2m－x)＝2n.求导可得f'(2m－x)＝f'(x)，即y＝f'(x)的图象关于直
线x＝m 对称，B 正确；
对于C，设f'(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0 的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2b
3a，x1x2＝c
3a.设f(x)的两个取极值的点为
A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，
则f(x1)＋f(x2)＝(ax1
3＋bx1
2＋cx1＋d)＋(ax2
3＋bx2
2＋cx2＋d)＝a(x1
3＋x2
3)＋b(x1
2＋x2
2)＋c(x1＋x2)＋2d＝a(x1＋x2)[(x1＋x2)2
－3x1x2]＋b[(x1＋x2)2－2x1x2]＋c(x1＋x2)＋2d＝a(- 2b
3a)(
4 b
2
9a
2 - c
a)＋b(
4 b
2
9a
2 - 2c
3a)- 2bc
3a ＋2d＝4 b
3
27 a
2 - 2bc
3a ＋2d.
2f (- b
3a)＝2[a(- b
3a)
3
＋b(- b
3a)
2
＋c(- b
3a)＋d]
＝4 b
3
27a
2 - 2bc
3a ＋2d，
所以f(x1)＋f(x2)＝2f (- b
3a)，AB 的中点P(
x1＋x2
2
，f ( x1)＋f ( x2)
2
)＝(- b
3a ，f(- b
3a))即为对称中心，C
正确；
对于D，ax3＋bx2＋cx＋d＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)＝ax3－a(x1＋x2＋x3)x2＋a(x1x2＋x2x3＋x3x1)x－ax1x2x3.比较系数可得x1＋
x2＋x3＝－b
a ，D 错误.
课时精练
[分值：100 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.函数f(x)＝1
3x3＋x2－3x－1 的极小值点是( )
A.1
B.(1，- 8
3)
C.－3
D.(－3，8)
答案 A
解析 f'(x)＝x2＋2x－3，
由x2＋2x－3＝0，得x＝－3 或x＝1，
所以函数f(x)＝1
3x3＋x2－3x－1 在(－∞，－3)上单调递增，在(－3，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递
增，
故f(x)在x＝1 处有极小值，极小值点为1.
2.(2024·楚雄模拟)已知定义域为[－3，5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则( )
A.f(x)在(－2，2)上先增后减
B.f(x)有极小值f(2)
C.f(x)有2 个极值点
D.f(x)在x＝－3 处取得最大值
答案 B
解析 由f'(x)的图象可知，当x∈(－2，2)或x∈(4，5)时，f'(x)<0，则f(x)单调递减，故A 错误；
当x∈(－3，－2)或x∈(2，4)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以当x＝2 时，f(x)有极小值f(2)，故B 正确；
由f'(x)的图象结合单调性可知，当x＝－2，2，4 时，f(x)有极值，所以f(x)有3 个极值点，故C 错误；
当x∈(－3，－2)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(－3)<f(－2)，f(x)在x＝－3 处不取得最大值，故D 错
误.
3.(2025·苏州模拟)设0<x<π，则函数f(x)＝sin x
2
＋
2
sin x 的最小值为( )
A.1
B.3
2
C.2
D.5
2
答案 D
解析 因为0<x<π，令t＝sin x，则t∈(0，1]，由g(t)＝t
2 ＋2
t (0<t≤1)可得g'(t)＝1
2 - 2
t
2 ，当t∈(0，1]时，
g'(t)<0，则g(t)单调递减，所以当t＝1 时，g(t)有最小值g(1)＝1
2＋2＝5
2 ，即f(x)有最小值5
2.
4.(2024·赤峰模拟)已知函数f(x)＝xln x－ax 有极值－e，则a 等于( )
A.1
B.2
C.e
D.3
答案 B
解析 由题目条件可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝ln x＋1－a.
令f'(x)>0，得x>ea－1；
令f'(x)<0，得0<x<ea－1.
所以函数f(x)在区间(0，ea－1)上单调递减，在区间(ea－1，＋∞)上单调递增.
则函数f(x)的极小值点是ea－1，无极大值点，
故f(ea－1)＝ea－1ln ea－1－aea－1＝－e，
解得a＝2.
5.若函数f(x)＝ex－ln(x＋m)的最小值为2＋ln 2，则m 等于( )
A.－2
B.1
2－ln 2
C.－1
2
D.1
2＋ln 2
答案 B
解析 易知f(x)的定义域为(－m，＋∞)，f'(x)＝ex－
1
x＋m ，
易知f'(x)在区间(－m，＋∞)上单调递增，
又当x→－m 时，f'(x)→－∞；当x→＋∞时，f'(x)→＋∞，
所以存在唯一x0∈(－m，＋∞)，使得f'(x0)＝0，即x0＝－ln(x0＋m)，
所以当x∈(－m，x0)时，f'(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f'(x)>0，
所以f(x)在区间(－m，x0)上单调递减，在区间(x0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(x0)＝e
x0－ln(x0＋m)＝e
x0＋x0＝2＋ln 2＝eln 2＋ln 2，
所以x0＝ln 2，所以eln 2＝
1
ln2＋m ，解得m＝1
2－ln 2.
6.已知函数f(x)＝√xln x－ax 有两个不同的极值点x1，x2(x1<x2)，则下列说法不正确的是( )
A.a 的取值范围是(－∞，1)
B.x1是极小值点
C.当x∈(x2，＋∞)时，f'(x)<0
D.ln x1＋2
ln x2＋2 ＝√x1
√x2
答案 A
解析 令f'(x)＝ln x
2√x ＋√x
x －a＝ln x＋2
2√x
－a＝0，
由题意，方程ln x＋2
2√x
＝a 在(0，＋∞)上有两根x1，x2(x1<x2)，
设g(x)＝ln x＋2
2√x
，
g'(x)＝
√x
x - ln x＋2
2√x
2 x
＝- ln x
4 x √x ，
当0<x<1 时，g'(x)>0，g(x)单调递增，当x>1 时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max＝g(1)＝1>0，
当x→0 时，g(x)＝ln x＋2
2√x
→－∞，当x→＋∞时，g(x)＝ln x＋2
2√x
→0，
所以a 的取值范围是(0，1)，故A 不正确；
由A 选项分析可知0<x1<1<x2，
当0<x<x1时，f'(x)<f'(x1)＝0，f(x)单调递减，
当x1<x<x2时，f'(x)>f'(x1)＝0＝f'(x2)，f(x)单调递增，
当x>x2时，f'(x)<f'(x2)＝0，f(x)单调递减，
所以x1是极小值点，故B，C 正确；
对于D，因为
ln x1＋2
2√x1
＝ln x2＋2
2√x2
＝a，所以
ln x1＋2
ln x2＋2 ＝√x1
√x2
，故D 正确.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.已知函数f(x)＝x3－3x2，则( )
A.f(x)在(0，1)上单调递减
B.f(x)的极大值点为2
C.f(x)的极大值为－2
D.f(x)有2 个零点
答案 AD
解析 由函数f(x)＝x3－3x2，可得f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f'(x)>0，解得x<0 或x>2；令f'(x)<0，解得0<x<2，
所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，
当x＝0 时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(0)＝0；
当x＝2 时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(2)＝－4，
又由x→＋∞时，f(x)→＋∞且f(2)＝－4<0，f(0)＝0，所以函数f(x)只有两个零点，
所以A，D 正确，B，C 不正确.
8.(2023·新高考全国Ⅱ)若函数f(x)＝aln x＋b
x ＋c
x
2(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A.bc>0
B.ab>0
C.b2＋8ac>0
D.ac<0
答案 BCD
解析 函数f(x)＝aln x＋b
x ＋c
x
2的定义域为(0，＋∞)，
则f'(x)＝a
x - b
x
2 - 2c
x
3 ＝a x
2-bx -2c
x
3
，
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，
则函数f'(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，
而a≠0，
因此方程ax2－bx－2c＝0 有两个不相等的正实数根x1，x2，
于是{
Δ＝b
2＋8ac>0，
x1＋x2＝b
a >0，
x1 x2＝- 2c
a >0，
即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，
显然a2bc<0，即bc<0，故A 错误，B，C，D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.若函数f(x)＝1
3x3－4x＋m 在[0，3]上的最小值为4，则m＝ .
答案 28
3
解析 f'(x)＝x2－4，
当x∈[0，2)时，f'(x)<0，当x∈(2，3]时，f'(x)>0，
所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，
所以f(2)为f(x)在[0，3]上的极小值，也是最小值，
故1
3×8－4×2＋m＝4，解得m＝28
3 .
10.若函数f(x)＝1
2x2－ax＋ln x 在(0，2)上有极值，则实数a 的取值范围是 .
答案 (2，＋∞)
解析 f(x)＝1
2x2－ax＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝x－a＋1
x ，
要使函数f(x)＝1
2x2－ax＋ln x 在(0，2)上有极值，则f'(x)＝x－a＋1
x 在(0，2)上有变号零点，
令g(x)＝x＋1
x ，x∈(0，2)，
则g(x)＝x＋1
x ≥2√x· 1
x ＝2，
当且仅当x＝1 时等号成立，所以a≥2.
当a＝2 时，f'(x)＝x－a＋1
x ＝x＋1
x －2≥0，函数f(x)单调递增，
则函数f(x)＝1
2x2－ax＋ln x 在(0，2)上没有极值，故a>2，
即实数a 的取值范围是(2，＋∞).
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)已知函数f(x)＝a
e
x＋x(a∈R).
(1)若f'(0)＝0，求实数a 的值；(5 分)
(2)讨论函数f(x)的极值.(8 分)
解 (1)由函数f(x)＝a
e
x ＋x，
可得f'(x)＝1－a
e
x ＝e
x -a
e
x
，
所以f'(0)＝1-a
1
＝1－a＝0，解得a＝1.
(2)函数f(x)＝a
e
x ＋x 的定义域为R，
且f'(x)＝1－a
e
x ＝e
x -a
e
x
，
当a≤0 时，f'(x)>0 恒成立，
所以f(x)在R 上单调递增，f(x)无极值；
当a>0 时，令f'(x)>0，解得x>ln a；令f'(x)<0，解得x<ln a，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值.
综上所述，当a≤0 时，f(x)无极值；当a>0 时，f(x)的极小值为1＋ln a，无极大值.
12.(15 分)(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.
(1)当a＝1 时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5 分)
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围.(10 分)
解 (1)当a＝1 时，则f(x)＝ex－x－1，
f'(x)＝ex－1，
可得f(1)＝e－2，f'(1)＝e－1，
即切点坐标为(1，e－2)，
切线斜率k＝e－1，
所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，
即(e－1)x－y－1＝0.
(2)方法一 因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)＝ex－a，
若a≤0，则f'(x)>0 对任意x∈R 恒成立，
可知f(x)在R 上单调递增，
无极值，不符合题意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a，
令f'(x)<0，解得x<ln a，
可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，无极大值，
由题意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
则g'(a)＝2a＋1
a>0，
可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，
且g(1)＝0，
不等式a2＋ln a－1>0 等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a 的取值范围为(1，＋∞).
方法二 因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)＝ex－a，
若f(x)有极小值，
则f'(x)＝ex－a 有零点，
令f'(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，
可知y＝ex与y＝a 有交点，则a>0，
令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x<ln a，
可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，
无极大值，符合题意，
由题意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
因为y＝a2，y＝ln a－1 在(0，＋∞)上均单调递增，
所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，
且g(1)＝0，
不等式a2＋ln a－1>0 等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a 的取值范围为(1，＋∞).
每小题5 分，共20 分
13.设ab≠0，若a 为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则( )
A.a<b
B.a>b
C.ab<b2
D.ab>b2
答案 C
解析 由三次函数的性质可知，要使a 为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则
当a>0 时，函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则0<a<b，此时ab<b2；
当a<0 时，函数f(x)的大致图象如图(2)所示，则b<a<0，此时ab<b2.
综上，ab<b2.
14.若不等式a＋2x＋|ln x|－1≥0 恒成立，则a 的取值范围是 .
答案 [－ln 2，＋∞)
解析 不等式a＋2x＋|ln x|－1≥0 恒成立，
即a≥1－2x－|ln x|恒成立，
设f(x)＝1－2x－|ln x|，x∈(0，＋∞)，
当x≥1 时，f(x)＝1－2x－ln x，f'(x)＝－2－1
x <0，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减，此时f(x)max＝f(1)＝－1；
当0<x<1 时，f(x)＝1－2x＋ln x，
∴f'(x)＝－2＋1
x ＝-2 x＋1
x
，
∴当x∈(0，1
2)时，f'(x)>0，当x∈(
1
2 ，1)时，f'(x)<0，
∴f(x)在(0，1
2)上单调递增，在(
1
2 ，1)上单调递减，此时f(x)max＝f (
1
2)＝ln 1
2＝－ln 2.
综上可知，a 的取值范围是[－ln 2，＋∞).
15.(2024·曲靖模拟)已知函数f(x)=2ax-ex2+18，其中a>0 且a≠1.若f(x)存在两个极值点x1，x2，则实数a 的取
值范围为 .
答案 (
1
e ，1)∪(1，e)
解析 对函数f(x)=2ax-ex2+18 求导得
f'(x)=2axln a-2ex=2(axln a-ex)，
因为f(x)存在两个极值点，所以f'(x)有两个变号零点.
令f'(x)=0，有axln a=ex，
令h(x)=axln a，g(x)=ex，
所以h(x)与g(x)的图象有两个交点.
当a>1 时，h(x)=axln a，
h'(x)=ax(ln a)2，
设过原点的直线与h(x)=axln a 的切点坐标为(x0，a
x0ln a)，
切线斜率为k=a
x0(ln a)2，
所以切线方程为y-a
x0ln a=a
x0(ln a)2(x-x0)，
将原点坐标带入切线方程得x0= 1
ln a.
此时切线的斜率为k=a
1
ln a(ln a)2=e(ln a)2，
h(x)=axln a 的函数图象与g(x)=ex 的函数图象有两个交点，
即k=e(ln a)2<e，
因为a>1，有ln a>0，所以0<ln a<1，所以1<a<e；
同理知当0<a<1 时，ln a<0，k=e(ln a)2<e，
即-1<ln a<0，所以1
e <a<1.
综上，a 的取值范围为(
1
e ，1)∪(1，e).
16.(2025·湘潭模拟)已知函数f(x)=x-aln x(a>0)，记函数y=f(x)，y=f(f(x))的值域分别为M，N，若N
M，则a
的取值范围是 .
答案 (0，1)
解析 因为f(x)=x-aln x(a>0)，x>0，
则f'(x)=1-a
x = x -a
x
，
当x∈(0，a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=a 时，f(x)取得极小值，也是最小值f(a)=a-aln a，
所以M={y|y≥a-aln a}，
当a-aln a≤0 时，M=N，不符合题意，
当a-aln a>0，即0<a<e 时，
令f(x)=t，则y=f(f(x))=f(t)，t≥a-aln a，
因为N
M，所以必有f(a-aln a)>f(a)，
显然不可能有a-aln a≤a，否则M=N，不符合题意，所以a-aln a>a，解得0<a<1，
所以a 的取值范围是(0，1).
