2026 年新高考第9 题分类训练
统计概率
考点
3 年考题
考情分析
统计概率
2025 年新高考Ⅰ卷第14 题
2025 年新高考Ⅱ卷第1 题
2024 年新高考Ⅰ卷第9 题
2024 年新高考Ⅱ卷第4 题
2023 年新高考Ⅰ卷第9 题
2023 年新高考Ⅱ卷第12 题
概率统计小题主要考查概率计算、数字特征求解、各类分布
应用及事件关系判定等知识点，难度以基础和中档为主，兼
具少量综合型难题。结合最近3 年命题趋势可预测，2026
年新高考该板块命题方向将围绕数字特征与概率计算的综合
问题展开，还会融入频率分布直方图、事件独立性判定等内
容，注重知识的灵活运用与实际场景的建模考查。
1．（2025·新高考Ⅰ卷高考真题第14 题）一个箱子里有5 个相同的球，分别以1~5 标号，
若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望
.
2．（2025·新高考Ⅱ卷高考真题第题）样本数据2，8，14，16，20 的平均数为（ ）
A．8
B．9
C．12
D．18
3.（2024·新高考Ⅰ卷高考真题第5 题）为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，
从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值
，样本方差
，已
知该种植区以往的亩收入
服从正态分布
，假设推动出口后的亩收入
服从正
态分布
，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布
，
）
A．
B．
C．
D．
4.（2024·新高考Ⅱ卷高考真题第8 题）某农业研究部门在面积相等的100 块稻田上种植一
种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表
亩产量
[900，950）
[950，1000）
[1000，1050）
[1100，1150）
[1150，1200）
频数
6
12
18
24
10
据表中数据，结论中正确的是（ ）
A．100 块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100 块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%
C．100 块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间
D．100 块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间
5.（多选）（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第9 题）有一组样本数据
，其中
是最
小值，
是最大值，则（ ）
A.
的平均数等于
的平均数
B.
的中位数等于
的中位数
C.
的标准差不小于
的标准差
D.
的极差不大于
的极差
6.（多选）（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第12 题）在信道内传输0，1 信号，信号的传输相
互独立．发送0 时，收到1 的概率为
，收到0 的概率为
；发送1 时，收
到0 的概率为
，收到1 的概率为
. 考虑两种传输方案：单次传输和三次
传输．单次传输是指每个信号只发送1 次，三次传输 是指每个信号重复发送3 次．收到的
信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的
信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1 的概率为
B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1 的概率为
C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1 的概率为
D. 当
时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0 的概率大于采用单次传输方
案译码为0 的概率
1.百分位数、众数、平均数的定义
(1)如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的
值就称为这一百分位的百分位数．
一般地，一组数据的第p 百分位数是这样一个值，
它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或
等于这个值．
(2)第25 百分位数又称第一四分位数或下四分位数；
第75 百分位数又称第三四分位数或上四分位数．
2．计算一组n 个数据的第p 百分位数的步骤：
第1 步，按从小到大排列原始数据．
第2 步，计算i＝n×p%.
第3 步，若i 不是整数，而大于i 的比邻整数为j，则第p 百分位数为第j 项数据；若i 是整
数，则第p 百分位数为第i 项与第(i＋1)项数据的平均数．
3.众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
4.平均数：一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n 个数据x1，x2，…，xn的平均
数＝(x1＋x2＋…＋xn)．
5.样本的数字特征之方差
如果有n 个数据x1，x2，…，xn，那么这n 个数的
(1)标准差s＝ .
(2)方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
6.平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a 的平均数
是m＋a.
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的方差为a2s2.
7.古典概型概率公式
P(A)＝＝.
8.概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件
，都有
；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
，
；
性质5：如果
，那么
，由该性质可得，对于任意事件
，因为
，所以
.
9.互斥事件的概率加法公式（性质3）
性质3：如果事件
与事件
互斥，那么
；
注意：只有事件
与事件
互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
10.对立事件的概率（性质4）
性质4：如果事件
与事件
互为对立事件，那么
，
；
特别地，
11.概率的一般加法公式（性质6）
性
质
6
：
设
，
是
一
个
随
机
试
验
中
的
两
个
事
件
，
有
12.事件的相互独立性
(1)定义：设A，B 为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立．
(2)性质：①若事件A 与B 相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与，与B，与也相互独立．
互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生
与否对另一个事件发生的概率没有影响．
13.条件概率及其性质
（1）对于任何两个事件A 和B，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件
概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为
(
)．在古典概型中，若
用n(A)表示事件A 中基本事件的个数，则
(n(AB)表示A，B 共同发生的
基本事件的个数)．
（2）条件概率具有的性质
①
；
②如果B 和C 是两个互斥事件，则
.
（特别地，
）
14.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2 …
∪
∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝
1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有
P(B)＝
，此公式为全概率公式.
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中
n(A)为事件A 包含的样本点数，n(AB)为事件AB 包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A 的概率的求解问题，转化
为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.
15.贝叶斯公式
一般地, 设
是一组两两互斥的事件, 有
且
,
则
对
任
意
的
事
件
有
16.离散型随机变量的分布列
（1）
;（2）
.
（3）数学期望
方差
数学期望的性质
.方差的性质
；
方差与期望的关系
.
17.二项分布
（1）一般地，在
次独立重复试验中，用
表示事件
发生的次数，设每次试验中事件
发生的概率为
，不发生的概率
，那么事件
恰好发生
次的概率是
（
，，
，…，
）
于是得到
的分布列
…
…
…
…
若
，则
，
．
18.超几何分布
（1）在含有
件次品的
件产品中，任取
件，其中恰有
件次品，则事件
发
生的概率为
，
，1，2，…，
，其中
，且
，
，
，
，
，称分布列为超几何分布列．如果随机变量
的分布列为超
几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．
0
1
…
…
19.正态分布
正态分布密度函数
，式中的实数μ，σ （σ >0）是
参数，分别表示个体的平均数与标准差.因此正态分布常记作
．如果随机变量
服从正
态分布，则记为
．
若
，则对于任意的实数
，
为下图中
阴影部分的面积，对于固定的
和
而言，该面积随着
的减小而变大．这说明
越小，
落在区间
的概率越大，即
集中在
周围的概率越大
特别地，有
；
；
．
20.定义：公式
称为二项式
定理
（1）二项展开式：
（2）二项式系数：各项的系数
叫做展开式的二项式系数
（3）二项式通项：
叫做二项展开式的通项，用
表示，即通项为展开式中的
第
项，可记为：
（4 ）在二项式定理中，若设
，
，则得到公式
21.求二项式系数和：
（1）令
，则
（2）令
，则
，即偶数项的二项式系数
和等于奇数项的二项式系数和，也即
22.求各项系数和
（1）形如
，
求各项系数之和，只需令
，则各项
系数和分别为
，
；
（2）形如
求各项系数之和，只需令
，则各项系数之和为
；
（3）若
，则
的各项系数之和为
，
奇数项系数之和为
，偶数项系数之和为
统计特征量
1.（多选）（浙江金丽衢十二校2026 届高三第一次联考）有一组数据
，则
（ ）
A．该组数据的极差为6
B．该组数据的中位数为5
C．该组数据的平均数为4
D．将数据1 均改为3 后，方差会变大
2.（多选）（江西省部分学校2025-2026 学年高三上学期1 月测试）已知2017—2024 年中
国城镇新增就业人数（单位：万人）依次为：1351，1361，1352，1186，1269，1206，
1244，1256，对于这8 个数据，下列结论正确的是（ ）
A. 极差是175
B. 平均数不小于1300
C. 中位数是1256
D. 60%分位数是1269
3.（多选）（广东省东莞市2026 届高三调研考试）甲、乙两名射箭运动员在某次测试中各
射箭20 次，两人的测试成绩如下表：
甲的成绩
乙的成绩
环数
7
8
9
10
环数
7
8
9
10
频数
4
5
8
3
频数
5
3
9
3
则下列说法正确的有（ ）
A. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
B. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D. 甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差
4.（多选）（2026 届T8 联考）已知一组数据 x1, x2, x3,⋯, xn 的平均数为 ´x (´x≠0) ,将
这组数据分别加上它们的平均数,得到一组新数据 x1+ ´x , x2+ ´x , x3+ ´x ,⋯, xn+ ´x ,则新数
据与原数据相比
A. 极差相同
B. 平均数不同
C. 方差不同
D. 中位数相同
5.（多选）（广东省2026 届普通高中毕业班第二次调研）两组数据
和
，它们的平均数分别为
，
，方差分别为
，
，则（ ）
A．
的平均数为
B．
的方差为
C．若
，则
D ．若
，则
6.（四川省成都市多校2026 届高三上学期第一次联合诊断性考试）某农业研究部门在面积
相等的100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下
表
亩产
量
[900，
950）
[950，
1000）
[1000，
1050）
[1050，
1100）
[1100，
1150）
[1150，
1200）
频数
6
12
18
30
24
10
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100 块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100 块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%
C．100 块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间
D．100 块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间
7.（多选）（浙江省宁波市2026 届高三第一学期期末考试） 海水养殖场进行某水产品两
种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，乙试验区选择第二种养殖方法.收
获时，从两个试验区各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：千克），
其频率分布直方图如下图所示.
记事件C=“乙试验区产量不低于19 千克”，根据直方图得到
的估计值为0.70，则（
）
A. 乙试验区产量频率分布直方图中
，
B. 甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数
C. 甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数
D. 甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数
8.（多选）（湖北省部分市州2026 届高三上学期1 月联考）下列命题中正确的有（ ）
A．数据27，12，14，30，15，17，19，24 的第70 百分位数是24
B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1
C．若样本
的平均数和方差分别为2 和3，则
的平均数和
方差分别为8 和27
D．若
为两个随机事件，
，
，
，则
事件关系与概率
1.（多选）（四川省字节精准教育联盟2025-2026 学年高三上学期期末（第二阶段学情）
考试）下列说法正确的是（ ）
A．某人掷骰子1 次，“掷出5”与“掷出6”是互斥事件
B．某人掷骰子1 次，“掷出奇数”与“掷出偶数”是对立事件
C．数据4，3，4，6，8，7，8，9 的第60 百分位数是8
D．数据a1,a2,a3,⋅⋅⋅,an的方差为s
2，则数据3a1,3a2,3a3,⋅⋅⋅,3an的方差为9 s
2
2.（多选）（河南省郑州市2026 届高三上学期第一次质量预测）任意抛掷一枚骰子一次，
观察它向上一面的点数，得到样本空间为
，若事件
，事件
，事件
满足
，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．事件
，
，
两两独立
C．当事件
时，
D．当事件
时，事件
包含10 个样本点
3.（多选）（2026 年沈阳市高中三年级教学质量监测（一））已知事件
，
满足
，
，则下列结论正确的是( ).
A．若
，则
B．若
与
互斥，则
C．若
，则
与
相互独立
D．若
与
相互独立，则
4.（多选）（浙江省温州市2026 届高三上学期期末质量评价）我国“天宫勘探计划”中，
AI 自主从编号1-12 的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义：
事件
：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体）
事件
：“选中编号小于7 的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体）
事件
：“选中1，2，4，8 号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目
标）
现在需要分析AI 选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（多选）（山东省济南市2026 届高三第一次模拟考试）现进行如下试验：从
中任选一个数，记为
，若
，则试验结束；否则再从
中任选一个数，记
为
，若
，则试验结束；否则再从
中任选一个数，依次类推，直至选中
1 为止.记事件
“试验过程中，数字被选到”，
表示事件
发生的概率（
），则（ ）
A．
B．
C．
D．
且
分布列
1.（湖南省联考2025-2026 学年高三上学期期末） 已知随机变量X服从正态分布N (2,σ
2)，
且P( X <0)= 1
5 P( X >0)，则P(2< X <4)= ________。
2.（安徽省黄山市2026 届高三第一次质量检测）已知随机变量
，若
，则
．
3.（多选）（福建省部分高中学校2026 届高考适应性考试（一模））设
，且
．若随机变量
满足
，则（已知若随机变量
，则
）（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2026 届辽宁省重点高中协作体调研测试（二））设随机变量
，当正整数
n 很大，p 很小，
不大时，X 的分布接近泊松分布，即
．
现需100 个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有
以上的概率购得100 个正品，
则至少需购买的元件个数为（已知
…）（ ）
A. 100
B. 101
C. 102
D. 103
5.（Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2026 届高三第二次联考）有5 个相同的
球，分别标有数字1,2,3,4,5 ，从中有放回地随机取3 次，每次取1 个球。记
(i=1,2,3,4,5) 为标有数字
i
的球被取出的次数，
X = max{ξ1,ξ2,ξ3,ξ4,ξ5}，则E(X)= 。
6.（多选）（浙江杭州学军中学2025-2026 学年高三期末考试）（多选）下列命题中，真
命题的是（ ）
A. 数据
的第70 百分位数是23
B. 若回归方程为
，则变量
与
成负相关
C. 若随机变量
服从正态分布
，
，则
D. 在线性回归分析中决定系数
用来刻画回归的效果，若
值越小，则模型的拟合效果
越好
二项式定理
1.（多选）（广东省2026 年1 月普通高等学校招生适应性测试）若
的展开式中
的系数为
，则（ ）
A．
B．所有项系数之和为1
C．二项式系数之和为64
D．二项式系数最大项为第3 项
2.（多选）（江西省部分省示范高中2025-2026 学年高三一轮复习摸底监测数）已知
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（多选）（湖南省湘一名校联盟2026 届高三上学期12 月质量检测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4. （多选）（山东省名校考试联盟2026 届高三下学期2 月份核心素养评估）若
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
