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25 秋新版九年级第一学期期末检测培优卷
【数学】
姓名：
班级：
考号：
.
题号
一
二
三
四
五
总分
评分
一、单选题
1．如图是抛物线y1=ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐
标A(1，3)，与x 轴的一个交点B(4，0)，直线y2=mx＋n(m≠0)与抛物线
交于A，B 两点，下列结论：
①2a＋b=0；
②abc>0；
③方程ax2＋bx＋c=3 有两个相等的实数根；
④抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；
⑤当1<x<4 时，有y2<y1，其中正确的是（ ）
A．①④⑤
B．①③④⑤
C．①③⑤
D．①②③
2．如图，等边
的边长为3，点D 在边AC 上，AD=1/2，线段PQ 在
边BA 上运动，PQ=1/2，有下列结论：
①CP 与QD 可能相等；
②△AQD 与△BCP 可能相似；
③四边形PCDQ 面积的最大值为31√3/16；
④四边形PCDQ 周长的最小值为3+（√37/2）．
其中，正确结论的序号为（ ）
A．①④
B．②④
C．①③
D．②③
3．如图，⊙O是
的外接圆，过点A作⊙O的切线
，且AD∥BC，
点E、F 分别在弧BC、弧AC 上，且∠ABF=∠EBC.若⊙O 的半径为5/2，
BC=4，则EF 的长为（ ）
A．4
B．5
C．2√6
D．2√5
4．如图,点A 是以BC 为直径的半圆的中点，连接AB，点D 是直径BC 上
一点，连接AD，分别过点B、点C 向AD 作垂线，垂足为E 和F，其中，
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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EF=2，CF=6，BE=8，则AB 的长是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
5．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分
别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；
②∠PDF=15°；
③FP/PH=√3/3；
④S△BPD/ S□ABCD=√3-1/4.
其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．如图，在平面直角坐标系中，Q（3，4），P 是在以Q 为圆心，2 为
半径的⊙Q 上一动点，设P 点的横坐标为x，A（1，0）、B（-1，0），
连接PA、PB，则PA2+PB2 的最大值是（ ）
A．64
B．98
C．100
D．124
7．如图，正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，点E 是BC 的中
点，AE 交BD 于点F，BH⊥AE 于点G，连接OG，则下列结论中①
OF=OH，②△AOF∽△BGF，③tan∠GOH=2，④FG+GH=√2GO，正确的个
数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．如图，C 为线段BE 上一动点
不与点B，E 重合
，在BE 同侧分别
作等边ABC 和等边CDE、BD 与AE 交于点P，BD 与AC 交于点M，AE 与
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CD 交于点N，连结MN．以下四个结论：
①CM=CN；
②∠APB=60°；
③PA+PC=PB；
④PC 平分∠BPE；恒成立的结论有（ ）
A．①②④
B．①②③④
C．①③④
D．①④
9．如图，在正方形ABCD 中，点E、F 分别在边BC，DC 上，AE、AF 分
别交BD 于点M、N，连接CN、EN，且CN=EN．下列结论：
①AN=EN，AN⊥EN；
②BE+DF=EF；
③∠DFE=2∠AMN；
④EF²=2BM²+2DN²；
⑤图中有4 对相似三角形．
其中正确结论个数是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
10．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，
4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数
分别是0，1，2，3，的概率为P0，P1，P2，P3，则P0，P1，P2，P3中最大
的是（ ）
A．P0
B．P1
C．P2
D．P3
二、填空题
11．如图，直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P 在抛物线y=1/2
（x-2）（x-4）上，则△ABP 面积的最小值为
．
12．对任意实数a，若多项式a2+2ba﹣3c的值都是非负数，则代数式b+c
最大值为
．
13．有正面分别标有数字-2、-1、0、1、2 的五张不透明卡片，它们除
数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一
张，将卡片上的数字记为m，则使关于x 的方程x²+x－m=0 有实数解且
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关于x 的不等式组2x-m＞0，1/2x-1/2＜m 有整数解的概率为
．
14．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=16，点D 在边BC 上，沿
DE 将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，连接AD，点P 在线段AD 上，当
点P 到△ABC 的直角边距离等于5 时，AP 的长为
．
15．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，其中AB=4，∠AOC=120
°，P 为⊙O 上的动点，连接AP，取AP 中点Q，连CQ，则线段CQ 的最
大值为
．
三、解答题
16．在平面直角坐标系xoy 中，点P 的坐标为（a，b），点P 的变换点
P’的坐标定义如下：当a＞b 时，点P’的坐标为（-a，b）；当a≤b
时，点P’的坐标为（-b，a）．
（1）点A（3，1）．的变换点A’的坐标是_________；点B（-4，
2）．的变换点为B’，连接OB，OB’，则∠BOB’=__________；
（2）若点F 是函数y=-2x-6（-4≤x≤-2）图象上的一点，点F 的变换点
为F’，连接FF’，求线段FF’长的取值范围；
（3）已知抛物线y=-（x+2）²+m 与x 轴交于点C，D（点C 在点D 的左
侧），顶点为E．点P 在抛物线y=-（x+2）²+m 上，点P 的变换点为P’
若点P’恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP’D 是菱形，求m 的
值．
17．四边形ABCD 内接于⊙O，连接AC、BD，2∠BDC+∠ADB=180°．
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（1）如图1，求证：AC=BC；
（2）如图2，E 为⊙O 上一点，弧AE=弧BE，F 为AC 上一点，DE 与BF
相交于点T，连接AT，若∠BFC=∠BDC+1/2∠ABD，求证：AT 平分∠
DAB；
（3）在（2）的条件下，DT=TE，AD=8，BD=12，求DE 的长．
18．如图，抛物线y=a（x﹣16/7）（x+3）交x 轴于点A、B，交y 轴于点
C，tan∠CAO=4/3．
（1）求a 值；
（2）点P 为第一象限内抛物线上一点，点P 的横坐标为t，连接PA，
PC，设△PAC 的面积为S，求S 与t 之间的关系式；
（3）在（2）的条件下，点Q 在第一象限内的抛物线上（点Q 在点P 的
上方），过点P 作PE⊥AB，垂足为E，点D 在线段AQ 上，点F 在线段
AO 上连接ED、DF，DE 交AP 于点G，若∠QDF+∠QDE=180°，∠DFA+∠
AED=90°，PG=PE，PG：EF=3：2，求点P 的坐标．
19．如图，已知等边△ABC，以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D，过
点D 作⊙O 的切线 DF 交AC 于点F，过点D 作DE⊥AB，垂足为点E，过
点F 作FG⊥AB，垂足为点G，连结GD．
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（1）求证：DF⊥AC；
（2）若AB=8，求tan∠FGD 的值．
20．如图，已知在矩形ABCD 中，AD=10cm，AB=4cm，动点P 从点A 出
发，以2cm/s 的速度沿AD 向终点D 移动，设移动时间为t(s) ．连接
PC，以PC 为一边作正方形PCEF，连接DE、DF．
（1）求正方形PCEF 的面积（用含t 的代数式来表示，不要求化简），
并求当正方形PCEF 的面积为25 cm2 时t 的值；
（2）设△DEF 的面积为S(cm2)，求S 与t 之间的函数关系式，并求当t
为何值时？△DEF 的面积取得最小值，这个最小值是多少？
（3）求当t 为何值时？△DEF 为等腰三角形．
21．如图①，已知正方形ABCD 的边长为3，点Q 是AD 边上的一个动
点，点A 关于直线BQ 的对称点是点P，连接QP、DP、CP、BP，设
AQ=x．
（1）BP＋DP 的最小值是_______，此时x 的值是_______；
（2）如图②，若QP 的延长线交CD 边于点M，并且∠CPD=90°．
①求证：点M 是CD 的中点；②求x 的值．
（3）若点Q 是射线AD 上的一个动点，请直接写出当△CDP 为等腰三角
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形时x 的值．
22．如图，抛物线F：y=ax²+bx+c 的顶点为P，抛物线与y 轴交于点A，
与直线OP 交于点B．过点P 作PD⊥x 轴于点D，平移抛物线F 使其经过
点A、D 得到抛物线F′：y=a′x²+b′x+c′，抛物线F′与x 轴的另一
个交点为C．
（1）当a = 1，b=－2，c = 3 时，求点C 的坐标(直接写出答案)；
（2）若a、b、c 满足了b²=2ac
①求b：b′的值；
②探究四边形OABC 的形状，并说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c 与x 轴交于A、B
两点（点A 在点B 的左侧），点B 的坐标为（3，0），与y 轴交于点C
（0，-3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标．
（2）连接AC，BC，求∠ACB 的正切值．
（3）点P 是x 轴上一点，是否存在点P 使得△PBD 与△CAB 相似，若存
在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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（4）M 是抛物线上一点，点N 在x 轴上，是否存在点N，使得以点A，
C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐
标；若不存在，请说明理由．
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参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
D
D
C
D
B
B
D
11．15/2； 12．3/4； 13．2/5； 14．25/3 或15/415．1+√7
16．（1）（-3，1）；90；（2）6√10/5≤FF’≤2√10；（3）m=8 或
m=2 或m=3．
17．（1）见解析；（2）见解析；（3）8√2
【详解】解：（1）如图1 中，
∵四边形ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
即∠ADB+∠BDC+∠ABC＝180°，
∵2∠BDC+∠ADB＝180°，
∴∠ABC＝∠BDC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC．
（2）如图2 中，作TH⊥AD 于H，TR⊥BD 于R，TL⊥AB 于L．
∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAC＝∠BDC，
∴∠BFC＝∠BDC+∠ABF，
∵∠BFC＝∠BDC+1/2∠ABD，
∴∠ABF＝1/2∠ABD，
∴BT 平分∠ABD，
∵弧AE=弧BE
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∴∠ADE＝∠BDE，
∴DT 平分∠ADB，
∵TH⊥AD 于H，TR⊥BD 于R，TL⊥AB 于L．
∴TR＝TL，TR＝TH，
∴TL＝TH，
∴AT 平分∠DAB．
（3）如图3 中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD 于H，TR⊥BD 于R，
TL⊥AB 于L，AQ⊥BD 于Q．
∵弧AE=弧BE
∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE，
∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT，
∴∠TAE＝∠ATE，
∴AE＝TE，
∵DT＝TE，
∴AE＝DT，
∵∠AGE＝∠DHT＝90°，
∴△EAG≌△TDH（AAS），
∴AG＝DH，
∵AE＝EB，EG⊥AB，
∴AG＝BG，
∴2DH＝AB，
∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），
∴DH＝DR，同理可得AL=AH，BR＝BL，
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设DH＝x，则AB＝2x，
∵AD＝8，DB＝12，
∴AL＝AH＝8﹣x，BR＝12﹣x，AB＝2x＝8﹣x+12﹣x，
∴x＝5，
∴DH＝5，AB＝10，
设TR＝TL＝TH＝h，DT＝m，
∵S△ADB=
1
2 •BD•AQ=
1
2 •AD•h+
1
2 •AB•h+
1
2 •DB•h，
∴12AQ＝（8+12+10）h，
∴AQ＝
5
2 h，
∵sin∠BDE＝sin∠ADE，可得
h
m ＝
AP
AD ＝
AP
8 ，
sin∠AED＝sin∠ABD，可得
AP
m ＝
AQ
AB ＝
AQ
10 ＝
5
2
10
h，
∴
AP
m ＝
5
2
8
10
mAP
×
，
解得m＝4 2或﹣4 2（舍弃），
∴DE＝2m＝8√2
18．（1）a＝﹣
7
12；（2）S＝
7
8 t2+
21
8 t；（3）点P（1，3）
【详解】解：（1）∵抛物线y＝a(x﹣
16
7 )(x+3)交x 轴于点A、B，
∴0＝a(x﹣
16
7 )(x+3)
∴x1＝
16
7 ，x2＝﹣3，
∴点A(﹣3，0)，点B(
16
7 ，0)，
∴AO＝3，
∵tan∠CAO＝
4
3 ＝
CO
AO ，
∴CO＝4，
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∴点C(0，4)
∴4＝a(0﹣
16
7 )(0+3)，
∴a＝﹣
7
12
（2）∵y＝﹣
7
12(x﹣
16
7 )(x+3)
∴y＝﹣
7
12x2﹣
5
12x+4，
∵点P 的横坐标为t，
∴点P(t，﹣
7
12t2﹣
5
12t+4)，
∴S＝
1
2 [4+(﹣
7
12t2﹣
5
12x+4)]•t+
1
2 ×3×4﹣
1
2 ×(t+3)(﹣
7
12t2﹣
5
12t+4)＝
7
8 t2+
21
8 t；
（3）如图3，延长AQ，EP 交于点H，连接GF，
∵∠QDF+∠QDE＝180°，且∠QDE+∠ADE＝180°，
∴∠ADE＝∠QDF，
∴∠ADF＝∠QDE，
∵∠DFA+∠AED＝90°，∠AED+∠DEP＝90°，
∴∠AFD＝∠DEP，
∴∠HAE＝∠AHE，且HE⊥AE，
∴∠HAE＝∠AHE＝45°，
∴AE＝EH＝t+3，
∵PE＝PG，
∴∠PGE＝∠PEG，
∴∠PGE＝∠AFD＝∠AGD，
∴点A，点D，点G，点F 四点共圆，
∴∠ADF＝∠AGF，∠QDE＝∠AFG，
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∴∠AGF＝∠AFG，
∴AF＝AG，
设PG＝PE＝3a，EF＝2a，
∴AF＝t+3﹣2a＝AG，AP＝t+3﹣2a+3a＝t+3+a，
∵AP2＝PE2+AE2，
∴(t+3+a)2＝9a2+(t+3)2，
∴a＝
3
4
t
+ ，
∴3a＝
9
3
4
t
+
∴点P(t，
9
3
4
t
+ )
∴
9
3
4
t
+ ＝﹣
7
12t2﹣
5
12t+4，
∴t＝1，t＝﹣3（不合题意舍去）
∴点P(1，3)
19．（1）见解析（2）√3/2．
【详解】（1）证明：如图、连接OD，
DF 是⊙O 的切线
∴DF⊥OD．
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∵OD=OB，
∴△ODB 是等边三角形，
∴∠DOB=60°，
∴∠DOB＝∠A，
∴OD∥AC，
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∴DF⊥AC；
（2）解：FG⊥AB，DE⊥AB，
∴FG∥DE，
∴∠FGD=∠GDE．
由（1）得△OBD 是等边三角形
∴BE=
1
2 OB=
1
2 ×4=2．
∴DE=
3BE=2
3．
在Rt△CFD 中，∠C=60°，CD=BC-BD=8-4=4，
∴CF=
1
2 CD=2．
在Rt△AFG 中，∠A=60°，
AF=AC-CF=8-2=6，
∴AG=
1
2 AF=3，
在Rt△GDE 中．
GE=AB－AG－BE＝8－3－2＝3，
∴tan∠GDE=
GE
DE ＝
3
2 3 ＝
3
2 ，
∴tan∠FGD=
3
2 ．
20．（1）当t=3.5s 时，正方形PCEF 的面积为25cm2；（2）当
4
t = s 时，S
取得最小值为6；（3）当
1
t = s，3 s 或4 s 时，△DEF 为等腰三角形．
【详解】解：（1）依题意可得：AP=2t，PD=10-2t，CD=AB=4，
在Rt△PDC 中，由勾股定理可得：
PC2= PD2+ CD2=(10-2t)2+16，
∴正方形PCEF 的面积为(10-2t)2+16，
当正方形PCEF 的面积为25 时，有(10-2t)2+16=25，
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解得：t1=3.5，t2=6.5（不合题意，舍去）
∴当t=3.5s 时，正方形PCEF 的面积为25cm2．
（2）过点F 作FM⊥AD 于点M，过点E 作EN⊥BC 的延长线于点N，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠PDC =90°，
∴∠PDC =∠FMP =90°，且∠DPC +∠PCD =90°，
∵四边形PCEF 是正方形，
∴PF=CP，∠DPC +∠FPM =90°，
∴∠PCD=∠FPM，
∴△PCD≌△FPM（AAS），
∴FM=PD=10-2t，PM=CD=4，
同理可得：△PCD≌△ECN，
∴EN=PD=10-2t，CN=CD=4，
∵S△DEF= S 正方形PCEF- S△PDF- S△PDC- S△DCE，
∴
2
1
1
1
10
2
16
(10
2 )(10
2 )
(10
2 ) 4
4 4
2
2
2
S
t
t
t
t
=
-
+
-
-
-
-
-
´ -
´ ´
（
）
2
2
16
38
t
t
=
-
+
，
∵
2
2
2
16
38
2(
4)
6
S
t
t
t
=
-
+
=
-
+ ，
∴当
4
t = s 时，S取得最小值为6．
（3）过点D 作DG⊥EN 于点G，则四边形DCNG 是正方形，
∴GN=DG=DC=4，
∴EG=EN-GN=10-2t-4=6-2t，
在Rt△DGE 中，DE2= DG2+ EG2=16+(6-2t)2，
在Rt△FMD 中，DM=PD-PM=10-2t-4=6-2t，
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∴FD2= FM2+DM2=(10-2t)2+(6-2t)2，
在Rt△PCD 中，PC2= PD2+CD2= (10-2t)2+16，
∴EF2= (10-2t)2+16，
若FE=FD，则有(10-2t)2+16=(10-2t)2+(6-2t)2，
解得：t1=1，t2=5（不合题意，舍去），
若FE=DE，则有(10-2t)2+16=16+(6-2t)2，
解得：t =4，
若FD=DE，则有(10-2t)2+(6-2t)2=16+(6-2t)2，
解得：t1=3，t2=7（不合题意，舍去），
综上所述，当
1
t = s，3 s 或4 s 时，△DEF 为等腰三角形．
21．（1）3 2；3 2
3
- ；（2）①见详解；②x=1；（3）△CDP 为等腰三
角形时x 的值为：6
3 3
-
或
3或6
3 3
+
．
【详解】解：（1）连接DB，若P 点落在BD 上，此时BP+DP 最短，如
图：
由题意，∵正方形ABCD 的边长为3，
∴
2
2
3
3
3 2
BD =
+
=
，
∴BP＋DP 的最小值是3 2；
由折叠的性质，PQ
AQ
x
=
= ，则
3
QD
x
=
- ，
∵∠PDQ=45°，∠QPD=90°，
∴△QPD 是等腰直角三角形，
∴
2
2
QD
QP
x
=
=
，
∴3
2
x
x
-
=
，
解得：
3 2
3
x =
- ；
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故答案为：3 2；3 2
3
- ；
（2）如图所示：
①证明：在正方形ABCD 中，有
AB=BC，∠A=∠BCD=90°．
∵P 点为A 点关于BQ 的对称点，
∴AB=PB，∠A=∠QPB=90°，
∴PB=BC，∠BPM=∠BCM，
∴∠BPC=∠BCP，
∴∠MPC=∠MPB-∠CPB=∠MCB-∠PCB=∠MCP，
∴MP=MC．
在Rt△PDC 中，
∵∠PDM=90°-∠PCM，
∠DPM=90°-∠MPC，
∴∠PDM=∠DPM，
∴MP=MD，
∴CM=MP=MD，即M 为CD 的中点．
②解：∵AQ=x，AD=3，
∴QD=3-x，PQ=x，CD=3．
在Rt△DPC 中，
∵M 为CD 的中点，
∴DM=QM=CM=
3
2 ，
∴QM=PQ+PM=x+
3
2 ，
∴(x+
3
2 )2＝(3−x)2+(
3
2 )2，
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解得：x=1．
（3）如图，以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，以点C 为圆心，
以CD 的长为半径画弧，两弧分别交于P1，P3．此时△CDP1，△CDP3 都
为以CD 为腰的等腰三角形．作CD 的垂直平分线交弧AC 于点P2，此时
△CDP2 以CD 为底的等腰三角形．
①讨论P1，如图作辅助线，连接BP1、CP1，作QP1⊥BP1 交AD 于Q，过
点P1，作EF⊥AD 于E，交BC 于F．
∵△BCP1 为等边三角形，正方形ABCD 边长为3，
∴P1F＝
3 3
2 ，P1E＝
3 3
3
2
-
．
在四边形ABP1Q 中，
∵∠ABP1=30°，
∴∠AQP1=150°，
∴△QEP1 为含30°的直角三角形，
∴QE=
3EP1＝
9
3 3
2
- ．
试卷第19 页，共16 页
∵AE=
3
2 ，
∴x=AQ=AE-QE=
3
9
(3 3
)
6
3 3
2
2
-
-
=
-
．
②讨论P2，如图作辅助线，连接BP2，AP2，过点P2 作QG⊥BP2，交AD
于Q，连接BQ，过点P2 作EF⊥CD 于E，交AB 于F．
∵EF 垂直平分CD，
∴EF 垂直平分AB，
∴AP2=BP2．
∵AB=BP2，
∴△ABP2 为等边三角形．
在四边形ABP2Q 中，
∵∠BAD=∠BP2Q=90°，∠ABP2=60°，
∴∠AQG=120°
∴∠EP2G=∠DQG=180°-120°=60°，
∴P2E＝
3 3
3
2
-
，
∴EG=
9
3 3
2
- ，
∴DG=DE+GE=
3
9
3 3
3 3
3
2
2
+
-
=
- ，
∴QD=3
3
-
，
∴x=AQ=3-QD=
3．
试卷第20 页，共16 页
③对P3，如图作辅助线，连接BP1，CP1，BP3，CP3，过点P3 作BP3⊥
QP3，交AD 的延长线于Q，连接BQ，过点P1，作EF⊥AD 于E，此时P3
在EF 上，不妨记P3 与F 重合．
∵△BCP1 为等边三角形，△BCP3 为等边三角形，BC=3，
∴P1P3＝3 3，P1E＝
3 3
3
2
-
，
∴EF＝
3 3
3
2
+
．
在四边形ABP3Q 中
∵∠ABF=∠ABC+∠CBP3=150°，
∴∠EQF=30°，
∴EQ=
3EF=
9
3 3
2
+ ．
∵AE=
3
2 ，
∴x=AQ=AE+QE=
3
2 +
9
3 3
3 3
6
2
+
=
+ ．
综合上述，△CDP 为等腰三角形时x 的值为：6
3 3
-
或
3或6
3 3
+
．
22．（1）C（3，0）；（2）①
2
3 ；②矩形，理由见解析
【详解】解：（1）抛物线F 为：
2
2
2
3
(
1)
2
y
x
x
x
=
-
+
=
-
+ ，则P(1，2)，
∵PD⊥x 轴，
∴D(1，0)，
试卷第21 页，共16 页
当x=0 时，y=3，即A(0，3)；
由平移知，抛物线的形状大小不变，则
1
a
a
¢ =
=
把A、D 两点坐标代入
2
y
x
b x
c
¢
¢
=
+
+ 得：
3
0
c
b
c
=
ì
í
+
=
¢
¢
î
，
解得：
4
3
b
c
-
¢
¢
=
ì
í
=
î
，
则抛物线F¢的解析式为：
2
4
3
y
x
x
=
-
+ ，
上式中令y=0，
2
4
3
0
x
x
-
+
= ，解得：x=3，x=1，
∴C（3，0）；
（2）①抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，令x=0，则y=c，
∴A 点坐标（0，c）．
∵
2
2
b
ac
=
，
∴
2
4
4
2
2
4
4
4
2
ac
b
ac
ac
ac
c
a
a
a
-
-
=
=
= ，
∴点P 的坐标为
,
2
2
b
c
a
æ
ö
-
ç
÷
è
ø．
∵PD⊥x 轴于D，
∴点D 的坐标为（
,0
2
b
a
-
）．
根据题意，得a=a′，c= c′，
∴抛物线F′的解析式为
2
y
ax
b x
c
¢
=
+
+ ．
又∵抛物线F′经过点D（
,0
2
b
a
-
），
∴
2
2
0
(
)
4
2
b
b
a
b
c
a
a
¢
=
´
+
-
+ ．
∴
2
0
2
4
b
bb
ac
¢
=
-
+
．
又∵
2
2
b
ac
=
，
∴
2
0
3
2
b
bb¢
=
-
．
∴b:b′=
2
3 ．
试卷第22 页，共16 页
②由①得，抛物线F′为
2
3
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ．
令y=0，则
2
3
0
2
ax
bx
c
+
+
= ．
∴
1
2
,
2
b
b
x
x
a
a
= -
= - ．
∵点D 的横坐标为
,
2
b
a
-
∴点C 的坐标为（
,0
b
a
-
）．
设直线OP 的解析式为y
kx
=
．
∵点P 的坐标为（
,
2
2
b
c
a
-
），
∴2
2
c
b k
a
= -
，
∴
2
2
2
2
2
ac
ac
b
b
k
b
b
b
= -
= -
= -
= - ，
∴
2
b
y
x
= -
．
∵点B 是抛物线F 与直线OP 的交点，
∴
2
2
b
ax
bx
c
x
+
+
= -
．
∴
1
2
,
2
b
b
x
x
a
a
= -
= - ．
∵点P 的横坐标为
2
b
a
-
，
∴点B 的横坐标为
b
a
- ．
把
b
x
a
= - 代入
2
b
y
x
= -
，得
2
2
(
)
2
2
2
b
b
b
ac
y
c
a
a
a
= -
-
=
=
= ．
∴点B 的坐标为(
, )
b c
a
-
．
∴BC∥OA，AB∥OC．（或BC∥OA，BC =OA），
∴四边形OABC 是平行四边形．
又∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC 是矩形．
23．（1）
2
=
2
3
y x
x
-
- ，D（1，-4）；（2）2；（3）P（
1
3
- ，0）或P（－
3，0）；（4）N（1，0）或（2
7
±
，0）或（－3，0）．
试卷第23 页，共16 页
【详解】解：（1）把 点B、C 的坐标代入
2
y
x
bx
c
=
+
+ ，得
9
3
0
3
b
c
c
+
+
=
ì
í = -
î
，
解得：b=-2，c=-3，
∴抛物线的解析式是y=x2-2x-3；
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴顶点D（1，-4）
（2）作AH⊥BC 于点H，
由x2-2x-3=0，解得x=-1 或x=3，
所以A 点为（-1，0）
∵ OB=OC=3，∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，
∵AB=4，
∴AH=BH=2 2，
∵BC=3 2，
∴CH= 2，
∴tan∠ACB=CH：AH=2；
（3）作DG⊥OB 于点G，
∵BG=2，DG=4，
∴tan∠DBG=2，
∵tan∠ACB=2，
∴∠DBG=∠ACB，
当点P 在点B 的右侧时，∠PBD＞90°，△PBD 是钝角三角形与△CAB 不
相似，
试卷第24 页，共16 页
所以点P 在点B 的左侧；
∵△PBD 与△CAB 相似，且∠DBG=∠ACB，
∴
10
5
3
3 2
BP
CA
BD
CB
=
=
=
或
3 2
3
10
5
BP
CB
BD
CA
=
=
=
∵BD=2
5 ，
∴BP=
10
3 或BP=6，
∴P（-
1
3，0）或P（-3，0）；
（4）设N 点的坐标为（x，0），
若AC 为边，则由平移的性质可得M 的坐标可表示为（x+1，-3）或
（x-1，3），
代入抛物线的解析式可得：（x+1）2-2（x+1）-3=-3，或（x-1）2-2
（x-1）-3=3，相关配套资料关注公众号一只爱学习的猫获取
解得x=1，或x= 2
7
±
，
若AC 为对角线，则由AN∥CM 可得点N 的坐标为（-3，0）
∴点N 存在，且N（1，0）或（2
7
±
，0）或（－3，0）．
