第 09 讲 立体几何中的最值、范围问题
【专题点睛】
立体几何中的体积最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值(上节)或(面积)体积的最值
的问题.其一般方法有：
(1)几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；(2)代数
方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用
函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值.
1、把正方形 沿对角线 折起,当以 , , , 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 和平面
所成角的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图,当平面 平面 时,三棱锥体积最大,
取 的中点 ,则 平面 ,故直线 和平面 所成的角为 ,
,∴ .故选:C.
2、已知边长为 的正方体 , 为 中点, 为平面 上的动点,若 ,
则三棱锥 的体积最小值为( )A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以 为原点,分别以 , , 为 , , 轴建立空间直角坐标系,
则 , , ,设 , , ,
∴ , ,
又 ,∴ ,即 ,∴ , ,
∴ ,∴ .故选:B.
3、圆柱的轴截面是边长为 的正方形 ,则圆柱侧面上从 到 的最短路径长为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图(1)所示,正方形ABCD是圆柱的轴截面,且其边长为5cm,
设圆柱的底面半径为r,则 ,底面周长为 .
将圆柱沿母线AD剪开,展开图如图(2)所示,则从A到C的最短路径长即AC的长.
∵ , ,
∴ .故选:B.4、在空间直角坐标系Oxyz中，正四面体P－ABC的顶点A，B分别在x轴、y轴上移动．若该正四面体的
棱长是2，则|OP|的取值范围是( )
A．[－1，＋1] B．[1,3]
C．[－1,2] D．[1，＋1]
【答案】 A
【解析】 如图所示，若固定正四面体P－ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动．
设AB的中点为M，则PM＝＝，所以原点O到点P的最小距离等于PM减去球M的半径，最大距离是PM
加上球M的半径，所以－1≤|OP|≤＋1，即|OP|的取值范围是[－1，＋1]．
5、如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－ABC D 中，P，Q分别为BD ，BB 上的动点，则△C PQ周
1 1 1 1 1 1 1
长的最小值为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】连接BD ，BC ，由图易得△C PQ的三边分别在三棱锥B－BC D 的三个侧面上，将三棱锥B－
1 1 1 1 1 1 1
BC D 的侧面展开成平面图形，如图，可得四边形BC DC ′为直角梯形，当C ′，P，Q，C 四点共线时，
1 1 1 1 1 1 1 1
△C PQ的周长最小，最小值为＝，即△C PQ的周长的最小值为，故选B.
1 1
6、已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，若满足条件的
E点有两个时，则a的取值范围是________.【答案】 (6，＋∞)
【解析】 连接AE，由三垂线逆定理可知DE⊥AE，要使满足条件的E点有两个则须
使以AD为直径的圆与BC有两个交点，所以半径长＞3，∴a＞6.
1．(多选)如图，在等腰Rt△ABC中，BC＝2，∠C＝90°，D，E分别是线段AB，AC上异于端点的动点，
且DE∥BC，现将△ADE沿直线DE折起至△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCED，当D从B滑动到A的过程
中，下列选项中正确的是( )
A．∠A′DB的大小不会发生变化
B．二面角A′－BD－C的平面角的大小不会发生变化
C．三棱锥A′－EBC的体积先变小再变大
D．A′B与DE所成的角先变大后变小
【答案】 AB
【解析】设A′D＝a，则DB＝2－a，A′E＝，EC＝2－a，BC2＋CE2＝BE2，A′B2＝A′E2＋BE2，cos∠A′DB＝＝
－是定值，∴∠A′DB的大小不会发生变化，故A正确；
由三垂线法作出二面角A′－BD－C的平面角，可知其大小为定值，故B正确；设A′E＝x，则CE＝2－
x(0<x<2)，则V ＝V ＝×BC·CE·A′E＝(2－x)x＝(2x－x2)(0<x<2)，
三棱锥A′－BCE 三棱锥B－A′CE
由二次函数的单调性，可知V先变大后变小，故C错误；A′B与DE所成的角先变小后变大，故D错误．
2、（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
为线段 的中点， 分别为线段 和线段 上任意一点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．2【答案】C
【解析】因为 平面 ， 面 ，所以 ，
又 ， ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以
.
又在 中， ，
在 中， ，
故 ，
则 ，
又 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
当 时， 为 的中点，此时当 时， 为 的中点，
综上所述 的最小值是 .
故选：C.
【变式】（2023·上海·高二专题练习）如图，棱长为1的正方体 中， 为线段 的中
点， 、 分别为体对角线 和棱 上任意一点，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】如图,连接 ,取 中点 ,过 作 面 ，垂足为 ,
在正方体 中, 平面A B C D ,且 平面 ,
1 1 1 1
平面 平面A B C D ,
1 1 1 1
平面 平面 ,且 平面 ，
A B C D
平面 ,
1 1 1 1
为 的中点,
,
故 ,而对固定点 ,当 时, 最小,
此时由 面A B C D ， 面A B C D ， ，又 ,
1 1 1 1 1 1 1 1
，且 面 ，故 面 ，又 面 ,
则面 面 ，根据三棱锥特点，可知 ，而易知 为等腰直角三角形，可知
为等腰直角三角形,
.
故选：D.
3、在三棱锥P－ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝3.当BD与平面
PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为________．
【答案】
【解析】 因为在三棱锥P－ABC中，PA，AB，AC两两垂直，所以AB⊥平面PAC，则BD与平面PAC所
成的角为∠ADB，tan∠ADB＝＝，当AD取得最小值时，∠ADB取得最大值．在等腰Rt△PAC中，当D为
PC的中点时，AD取得最小值．
以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，D(0,1,1)，
则AD＝(0,1,1)，PC＝(0,2，－2)，BC＝(－3,2,0)．
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即令y＝3，得n＝(2,3,3)．
因为cos〈n，AD〉＝＝＝，
所以AD与平面PBC所成角的正弦值为.
规律形成 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是
(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解．
(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的
最值．
【变式1】（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在棱长为2的正方体
中，M为 中点，N为四边形 内一点（含边界），若 平面 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． B．三棱锥 的体积为
C．线段 最小值为 D． 的取值范围为
【答案】D
【解析】
取 中点 ，连接 ， ， ，则有平面 平面 ，
∴ 平面 ，即 在线段 上.
当 在 时夹角为45°，故A错；
.故B错.线段 的最小值为等腰三角形 腰 上的高 ， ，故C错.
因为 ， .
当 为 点时 最大， 的最小.
此时 为最小，当 最小值为直角三角形斜边的高，即 ，此时 为
最大，故D正确.
故选:D
4、（2023春·云南·高三校联考开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发
现：“平面内到两个定点M，N的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆
以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系 中， ，点P满
足 ．则点P的轨迹方程为____________；在三棱锥 中， 平面 ，且
，该三棱锥体积的最大值为______________．
【答案】
【解析】设 ，所以 ，所以 ，即 ，所以点P
的轨迹方程为 ；
三棱锥的高为 ，当底面 的面积最大值时，三棱锥的体积最大， ， ，取 靠
近B的一个三等分点为坐标原点O， 为x轴建立平面直角坐标系，不妨取 ，由题设定义
可知 的轨迹方程为 ，
所以A在圆 的最高点处 ， ，
此时， ．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知正方体 中， 为 内一点，且
，设直线 与 所成的角为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图1，设 与平面 相交于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
∵ 平面 ， 平面 ，则 ，， ， 平面
∴ 平面 ，
由 平面 ，则 ，
同理可证： ，
， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ ，由正三棱锥的性质可得： 为 的中心，
连接 ，
∵ 为 的中点，∴ 交 于点 ，连接 ，
由 平面 ， 平面 ，则 ，即 是 的高，
设 ， ，则 ，且 的内切圆半径 ，
则 ， ，
∵ ，即 ，则 ，
∴点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆.
∵ 平面 ， 平面 ，则 ，
∴ ，
故 为底面半径为 ，高为 的圆锥的母线，如图2所示，设圆锥的母线与底面所成的角 ，则 ，
所以 ，即直线 与平面 所成的角为 .
直线 在平面 内，所以直线 与直线 所成角的取值范围为 ，
因为 ，所以直线 与直线 所成角的取值范围为 ，即 ，
所以 .
故选：C.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）直线 平面 ，垂足是 ，正四面体 的棱长为4，点 在
平面 上运动，点 在直线 上运动，则点 到直线 的距离的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在正四面体 中，分别取 的中点 ，连接 ，
则 ，又 ， 平面 ， 平面
则 平面 ，又 平面 ，则
中，
等腰 中， ，
若固定正四面体 的位置，则点O在以BC为直径的球上运动，球半径为2，
则点O到直线 的距离的最小值为球心到直线 的距离减去半径即 ，
最大值为球心到直线 的距离加上半径即
则点 到直线 的距离的取值范围是故选：B
【变式3】（2023秋·浙江宁波·高二校联考期末）已知四棱锥 的底面为边长为2的正方形，
分别为 和 的中点，则平面 上任意一点到底面 中
心距离的最小值为__________.
【答案】
【解析】 四棱锥 的底面为边长为2的正方形，连接 且相交于点 ，则点 是底面
中心， ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
又 ，
又 ，
面
又 面 ，
面 面
又 ， 为面 与面 的交线， 平面
面
又 面 ， 面 ，
以 点为原点，以 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，设 到平面
的距离为 ，
则
令 ，则 ，
代入距离公式得 ，
故答案为： .
1、（2023·全国·高三专题练习）在正四棱台 中， ， ．当该正四棱台
的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】图1
设底边长为a，原四棱锥的高为h，如图1， 分别是上下底面的中心，连结 ， ， ， 根据
边长关系，知该棱台的高为 ，则 ，
由 ，且四边形 为直角梯形， ， ，可得
，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时棱台的高为1.
上底面外接圆半径 ，下底面半径 ，设球的半径为R，显然球心M在 所在的
直线上.
显然球心M在 所在的直线上.
图2
当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段 上，如图2，设 ，则 ， ，显
然
则，有 ，即解得 ，舍去.
图3
当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M在线段 的延长线上，如图3，设 ，则 ，显
然
即 ，即
解得 ， ，
此时，外接球的表面积为 .
故选：D.
2、（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）已知正方体 的棱长均为 为线段 的中
点, ,其中 ,则下列选项正确的是（ ）
A．当 时,
B．当 时, 的最小值为
C．若直线 与平面 所成角为 ,则点 的轨迹长度为
D．当 时,正方体被平面 截的图形最大面积为
【答案】AD
【解析】由题知正方体 的棱长均为2,
当 时, ,
此时,
所以 ,
即选项A正确;
当 时, ,
所以点 在 上,且点 在平面 上,
分别将 , 延长至 ,
使得 ,
将 沿着 向下翻折至与平面 共面,
点 翻折后变为 ,过 向 作垂线,垂足为 ,如图所示:
因为 ,
所以 ,
因为 ,所以 为 中点,且 ,
因为平面 平面 ,且平面 平面 ,
,所以 平面 ,
所以 ,又因为 ,
所以 在 上,且为 中点, ,
在平面 中,连接 交 于点 时, 取最小值,
因为 ,所以 ,此时
,
故选项B错误;
因为 面 ，所以 为直线 与面 的平面角，
当直线 与平面 所成角为 时,
即 ,因为 ,所以 ,
所以 为等腰直角三角形,因为 ,所以 ,
因为 ,由平面向量基本定理可知 在平面 内,
所以 的轨迹为以 为圆心 为半径的圆上,且在平面 内,
所以点 的轨迹长度为 ,
故选项C错误;
因为 ,其中 ,
因为 ,所以 三点共线,
连接 交 于点 ,
当点 在 上运动时,延长 交 于点 ,
则正方体被平面 截的图形为 ,
由图可知,当 点运动到 点时,截面为 ,此时截面积最大,
因为正方体棱为2,所以 ,
此时截面积最大为 ,
当点 在 上运动时,延长 交 于点 ,
过点 做 的平行线交 于点 ,连接 ,再过点 做 的垂线,垂足为 ,如图所示:
由题可知,此时截面为等腰梯形 ,
记 ,则 ,
, ,
所以 ,
,
所以
,
令 ,
所以 ,所以 在 单调递增,
所以 ,
故 ,因为 ,
所以正方体被平面 截的图形最大面积为 ,
即选项D正确.
故选:AD1. 如图，在正方体ABCD－ABC D 中，点M是平面ABC D 内一点，且BM∥平面ACD ，则tan∠DMD
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
的最大值为( )
A. B．1
C．2 D.
【答案】 D
【解析】因为当M在直线AC 上时，都满足BM∥平面ACD ，
1 1 1
所以tan∠DMD ＝，当MD 最小时，tan∠DMD 取得最大值，此时tan∠DMD ＝＝.
1 1 1 1
2、已知正四面体D－ABC，点E，F分别为棱CD，AC的中点，点M为线段EF上的动点，设EM＝x，则
下列说法正确的是( )
A．直线DA与直线MB所成的角随x的增大而增大
B．直线DA与直线MB所成的角随x的增大而减小
C．直线DM与平面ABD所成的角随x的增大而增大
D．直线DM与平面ABD所成的角随x的增大而减小
【答案】 D
【解析】 因为E，F分别为DC，AC的中点，所以EF∥DA，所以直线DA与直线MB所成的角等于直线
EF与BM所成的角．
在等腰△BEF中，直线EF与BM所成的角随着x的增大先增大，再减小，当M运动到EF中点时取到最大
值，故A，B选项说法错误；
设M点到平面ABD的距离为d，直线DM与平面ABD所成的角为α，则sin α＝.因为EF∥AD，EF⊄平面
ABD，AD⊂平面ABD，
所以EF∥平面ABD，所以随着x的增大，d保持不变，MD在增大，所以sin α的值在减小，即α随着x的
增大而减小，故C选项说法错误，D选项说法正确．
3、如图，在四棱锥P－ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，且AB＝，设点M，N
分别为线段PD，PO上的动点，已知当AN＋MN取最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥外接球
的表面积为( )A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 如图，在PC上取点M′，使得PM＝PM′，连接NM′，则MN＝M′N，AN＋MN＝AN＋M′N，
则当A，N，M′三点共线时，AN＋M′N最小，为AM′，当AM′⊥PC时，AM′取得最小值，即AN＋NM′的最
小值．
因为此时M恰为PD的中点，所以M′为PC的中点，所以PA＝AC＝2，因此PO＝＝.易知外接球的球心在
四棱锥内部，
设外接球的半径为r，则r2＝(－r)2＋1，解得r＝，
因此外接球的表面积S＝4πr2＝.
4、（2023秋·河北保定·高二统考期末）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏．“蹴”有用脚蹴、踢的含义，
“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，已知某“鞠”
的表面上有四个点 ，满足 ， 面ABC， ⊥ ，若 ，则该“鞠”的体积
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， 面ABC， ⊥ ，
故AB为三角形ABC所在小圆的直径，取AB中点 ，过 作 ，交BP于点O，则O即为球心，
PB为球的直径，
要想该“鞠”的体积最小，只需PB最小，由于 ，
故只需AB最小，其中 ，
故 ，
解得： ，
由基本不等式得： ，当且仅当 时，等号成立，
故 最小值为2，此时直径最小值为 ，所以该“鞠”的体积最小值为 .
故选：B
5、（2023秋·山东菏泽·高二统考期末）在棱长为 的正方体 中， 是正方体
外接球的直径，点 是正方体 表面上的一点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正方体 的外接球的球心为 ，设球 的半径为 ，
则 ，可得 ，所以， ，
，
当点 与正方体 的侧面或底面垂直时， 的长取最小值，即 ，
当点 与正方体 的顶点重合时， 的长取最大值，即 ，
所以， ，所以， .
故选：A.
6、（多选）（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知 为圆锥 底面圆 的直径（
为顶点， 为圆心），点 为圆 上异于 的动点， ，则下列结论正确的为（ ）
A．圆锥 的侧面积为
B． 的取值范围为
C．若 为线段 上的动点，则
D．过该圆锥顶点 的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
【答案】AC
【解析】对选项A：母线长 ，侧面积为 ，正确；
对选项B： 中， ， ，则当 时，
，错误；
对选项C： 为等腰直角三角形， ，将 放平得到 ，如图2所示，当
三点共线时 最小， 为 中点，连接 ，则 ，
，
，正确；
对选项D：如图3，设截面为 ， 为 中点，连接 ，设 ， ，则
，当 ，即 时等号成立，D错误.
故选：AC
7、（2023秋·广东·高三校联考期末）如图正方体 的棱长是3，E是 上的动点，P、F是上、下两底面上的动点，Q是EF中点， ，则 的最小值是______．
【答案】
【解析】以 为顶点构造棱长为2的正方体 ，
由对称得 ， ，
因为 是 上的动点， 是下两底面上的动点，
则 是直角三角形， 是 中点，且 ，故 ，
所以 取最小值时， 四点共线，
则 ，此时 ．
故答案为： .
8、（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）在直四棱柱 中，底面ABCD是边长为1的正
方形，侧棱 ，M为侧棱 的中点，N在侧面矩形 内(异于点 )，则三棱锥 体积
的最大值为____________.
【答案】
【解析】以D为坐标原点，DA，DC， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则 ，设 ， ， ，其中 与 不能同时成立，
则 ， ，
故 ，
因为 ，所以 ⊥ ，故 ，
设平面 的法向量为 ，
，
取 ，则 ，故 ，
点 到平面 的距离 ，
三棱锥 的体积为 ，
因为 ， ，其中 与 不能同时成立，
要想 最大，由于 恒成立，只需要 最大，当 时， ，满足要
求，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 .
故答案为：
