文档文本内容
第 03 讲 空间中点、线、面位置关系与空间中的平
行关系（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
证明线面垂直
2023年全国乙卷（理），第19题,12分 证明线面平行 证明面面垂直
求二面角
2022年新Ⅱ卷，第20题,12分 证明线面平行 面面角的向量求法
2022年全国甲卷（文），第19题,12分 证明线面平行 求组合体的体积
求线面角
2020年全国乙卷（理），第20题,12分 证明线面平行
证明面面垂直
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5-12分
【备考策略】1.理解、掌握空间中点线面的位置关系及相关的图形和符号语言
2.熟练掌握线面平行的判定定理和性质定理及其应用
3.熟练掌握面面平行的判定定理和性质定理及其应用
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查线面平行、面面平行的判定及其性质，
需强化巩固复习.知识讲解
1. 常见立体几何的定义、性质及其关系
（1）棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行图形，侧面是平行四边形（即侧棱平行且相等）
（2）斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱
（3）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
（4）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
（5）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，即：平行六面体的六个面都是平行四边形
2. 四个公理与一个定理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
3. 空间中点线面的位置关系点在直线上 点不在直线上
点与直线的位置关系
点在平面上 点不在平面上
点与面的位置关系
线与线的位置关系
平行， 相交， ， 异面
线与面的位置关系
面与面的位置关系
平行， 相交， 与 重合
4. 空间中的平行关系
（1）线线平行
①三角形、四边形的中位线与第三边平行，②平行四边形的性质（对边平行且相等）
③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
（2）线面平行的判定定理：
平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行
图形语言 符号语言
（3）线面平行的性质定理
若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行图形语言 符号语言
（4）面面平行的判定定理
判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行
图形语言 符号语言
判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平
行
图形语言 符号语言
（5）面面平行的性质定理
性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面
性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行
考点一、 空间中点线面的位置关系
1．（2023·湖北武汉·统考三模）已知不重合的平面 ， 及不重合的直线m，n，则（ ）．
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则D．若 ， ， ，则
2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线， ， ， 表示不同的平面，则下列四个
命题正确的是（ ）
A．若 ，且 ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ，且 ，则 D．若 ， ， ，则
3．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知 、 、 为空间中三条不同的直线， 、 、 为空
间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，若 ，则
C．若 ， 、 分别与 、 所成的角相等，则
D．若m//α，m//β， ，则
4．（2023·河南新乡·统考二模）在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则
满足直线BM与平面CNQ平行的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·河南·统考模拟预测）如图，已知正三棱柱 的各条棱长都相等， 是侧棱 的中
点， 是 的中点，则（ ）A． B． 平面
C． 平面 D．
1．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）设 为两条直线， 为两个平面，则 的充分条件
是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知直线 两两异面，且 ， ，下列说法正确的是（ ）
A．存在平面 ，使 ， ，且 ， ，
B．存在平面 ，使 ， ，且 ， ，
C．存在唯一的平面 ，使 ，且 与 所成角相等
D．存在平面 ，使 ， ，且
3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知 是三条不同的直线， 是三个不重合
的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 ．
B．若 与 异面， ，则存在 ，使得 ．
C．若 ，则 ．
D．若 ，则 ．
4．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下
列各图中，不满足直线 平面ABC的是（ ）
A． B．C． D．
5．（多选）（2021·全国·统考高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N
为正方体的顶点．则满足 的是（ ）
A． B．
C． D．
考点 二 、空间中线面平行的判定定理
1．（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．
(1)证明： 平面 ；(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
2．（2023·天津·统考高考真题）三棱台 中，若 面
， 分别是 中点.
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
3．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台 中， ， ， 为线段 上靠近
的三等分点.
(1)线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 的值；
(2)若 ， ，点 到平面 的距离为 ，且点 在底面 的射影落在
内部，求直线 与平面 所成角的正弦值.
4．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 为正三
角形，且 分别为 的中点， 在线段 上，且 ．
(1)求证： 平面 ；(2)当 时，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
1．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考模拟预测）如图所示，在三棱柱 中，点G、M分别
是线段AD、BF的中点.
(1)求证： 平面BEG；
(2)若三棱柱 的侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，平面 平面ADEF，求二面
角 的余弦值；
2．（2023·广东佛山·校考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面 平
面 ， ， ， ， 分别为 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）四棱锥 中，底面 为矩形，
， ，平面 与平面 的交线为 .
(1)求证：直线 平行于平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
4．（2023·湖北武汉·统考二模）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将 沿EF翻折至 ，得到四棱锥 ，P为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面EFCB，求直线 与平面BFP所成的角的正弦值．
考点 三 、空间中线面平行的性质定理
1．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ，且
，点 在线段 （含端点）上运动，设 .
(1)当 平面 时，求实数 的值；
(2)当平面 平面 时，求平面 与平面 的夹角的正弦值.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形 中，点 在边 上，且满足 ，
将 沿 向上翻折，使点 到点 的位置，构成四棱锥 .
(1)若点 在线段 上，且 平面 ，试确定点 的位置；
(2)若 ，求四棱锥 的体积.
3．（2023·广东广州·统考模拟预测）已知四棱锥 的底面 是棱长为2的菱形， ，，若 ，且 与平面 所成的角为 ， 为 的中点，点 在线段 上，
且 平面 .
(1)求 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
4．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）如图，三棱锥 中，底面 与侧面 是
全等三角形，侧面 是正三角形， ， ， ， ， ， ， 分别是所在棱的中点，
平面 与平面 相交于直线 ．
(1)求证： ；
(2)求点 到平面 的距离．
1．（2023·北京·统考模拟预测）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，
为线段 上一点，平面 交棱 于点 .(1)求证： ;
(2)若直线 与平面 所成角为 ，再从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，求点 到
平面 的距离.
条件①： ；
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在六面体 中，四边形 是菱形，
， 平面 ， ， 为 的中点， 平面 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ， ，
，点 分别是 的中点，点 是线段 上一点，且 平面 ．
(1)求证：点 是线段 的中点；
(2)求二面角 的余弦值．
4．（2023·河南·襄城高中校联考三模）如图，在正四棱台 中， ， ，
， 为棱 ， 的中点，棱 上存在一点 ，使得 平面 ．(1)求 ；
(2)当正四棱台 的体积最大时，证明： 平面 ．
考点 四 、空间中面面平行的判定定理
1．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱 的底面边长为1，高为 .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 间的距离.
2．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，线段 是圆柱 的母线， 是圆柱下底面⊙O的内接
正三角形， ．
(1)劣弧 上是否存在点D，使得 平面 ？若存在，求出劣弧 的长度；若不存在，请说明理
由．
(2)求平面 和平面 所成角的正弦值．3．（2023·河北·统考模拟预测）在圆柱 中，等腰梯形 为底面圆 的内接四边形，且
，矩形 是该圆柱的轴截面， 为圆柱的一条母线， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)设 ， ，试确定 的值，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 .
1．（2023·海南海口·校联考一模）如图所示的多面体由正四棱柱 与正四棱锥 组
合而成， 与 交于点 ， ， ， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
2．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）如图，矩形 所在平面垂直于直角梯形 所在平面，
， ， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点，H是AB边上一
动点.(1)是否存在点 使得平面 平面 ，若存在，请指出点 的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
(2)求多面体 的体积.
3．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，点M是正方体的中心，
将四棱锥 绕直线 逆时针旋转 后，得到四棱锥 ．
(1)若 ，求证：平面 平面 ；
(2)是否存在 ，使得直线 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
考点 五 、空间中面面平行的性质定理
1．（2023·四川南充·模拟预测）如图所示，在圆锥 中， 为圆锥的顶点， 为底面圆圆心， 是圆
的直径， 为底面圆周上一点，四边形 是矩形．
(1)若点 是 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．2．（2023·云南曲靖·校考三模）如图，在多面体 中，已知 是正方形， ，
平面 分别是 的中点，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
3．（2023·山东烟台·统考三模）如图，在 中， 为 中点，过点
作 垂直 于 ，将 沿 翻折，使得面 面 ，点 是棱 上一点，且 面
．
(1)求 的值；
(2)求二面角 的余弦值．
1．（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体 中，四边形 是菱形，且有 ，
， ， 平面 ， ．
(1)求证： 平面 ；(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．
2．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱 的底面边长为1，高为 ， 为
线段 上的动点.
(1)求证： 平面 ；
(2)设直线 与平面 所成的角为 ，求 的取值范围.
3．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台 中， ， ， 为线段 上靠近
的三等分点.
(1)线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 的值；
(2)若 ， ，点 到平面 的距离为 ，且点 在底面 的射影落在
内部，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·河南·校联考二模）已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面 ， ，则下列命题正确的是
（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
2．（2023·四川宜宾·校考三模）已知空间两不同直线 、 ，两不同平面 ， ，下列命题正确的是（ ）
A．若 且 ，则
B．若 且 ，则
C．若 且 ，则
D．若 不垂直于 ，且 ，则 不垂直于
二、多选题
3．（2023·江苏南京·校联考一模）如图， 是长方体， 是 的中点，直线 交平面
于点M，则下列结论正确的是（ ）
A． 四点共面 B． 四点共面
C． 四点共面 D． 三点共线
4．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知 表示空间内两条不同的直线，则使 成立的必要不充分
条件是（ ）
A．存在平面 ，有 B．存在平面 ，有
C．存在直线 ，有 D．存在直线 ，有
三、解答题
5．（2023·安徽蚌埠·统考二模）如图，正方体 的棱长为1，E，F是线段 上的两个动
点．
(1)若 平面 ，求 的长度；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．6．（2023·江西南昌·统考一模）已知直棱柱 的底面ABCD为菱形，且 ，
，点 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
7．（2023·浙江·统考模拟预测）已知四棱锥 中，PA⊥平面ABCD， ，
，E为PD中点.
(1)求证： 平面PAB；
(2)设平面EAC与平面DAC的夹角为 ，求三棱锥 的体积.
8．（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）在四棱锥 中，底面 是矩形， 分
别是棱 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 平面 ，且 ， ，求二面角 的余弦值.
9．（2023·河南·统考三模）如图，四棱锥 中，四边形ABCD为梯形， ， ，
， ， ，M，N分别是PD，PB的中点．(1)求证：直线 平面 ；
(2)求证： ．
10．（2023·全国·校联考模拟预测）如图，在多面体 中，四边形 为正方形，平面 平
面 ， ， 是棱 上的一点.
(1)是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，则求出 的值；若不存 在，请说明理由；
(2)求多面体ABCDEF的体积.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在空间中， ， 表示平面， 表示直线，已知 ，
则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 与 ， 都平行 B．若 与 ， 都平行，则
C．若 与 异面，则 与 ， 都相交 D．若 与 ， 都相交，则 与 异面
2．（2023·全国·模拟预测）已知 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，若 ，
，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·江西鹰潭·统考一模）如图， 为正方体，下列错误的是（ ）A． 平面 B．平面 平面 ．
C． 与 共面 D．异面直线 与 所成的角为90度
4．（2023·四川成都·校考模拟预测）如图，在已知直四棱柱 中，四边形 为平行四
边形， 分别是 的中点，以下说法错误的是（ ）
A．若 ， ，则
B．
C． 平面
D．若 ，则平面 平面
二、解答题
5．（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体 中，四边形 是边长为4的正方形， ，
△ABC是正三角形．
(1)若 为AB的中点，求证：直线 平面 ；
(2)若点 在棱 上且 ，求点C到平面 的距离．6．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）如图,四棱锥 中, 底面 为 的
中点.
(1)若点 在 上, ,证明: 平面 ;
(2)若 ,求二面角 的余弦值.
7．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）如图所示， 四点共面，其中 ，
，点 在平面 的同侧，且 平面 ， 平面 .
(1)若直线 平面 ，求证： 平面 ；
(2)若 ， ，平面 平面 ，求锐二面角 的余弦值.
8．（2023·山东潍坊·三模）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， 为底
面圆 的内接正三角形，且边长为 ，点 在母线 上，且 .
(1)求证：直线 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；(3)若点 为线段 上的动点．当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点 到平面
的距离.
9．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形 中，点 在边 上，且满足
，将 沿 向上翻折，使点 到点 的位置，构成四棱锥 .
(1)若点 在线段 上，且 平面 ，试确定点 的位置；
(2)若 ，求锐二面角 的大小.
10．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，平行六面体 中，点P在对角
线 上， ，平面 平面 ．
(1)求证：O，P， 三点共线；
(2)若四边形 是边长为2的菱形， ， ，求二面角 大小
的余弦值．
【真题感知】
1．（2020·山东·统考高考真题）已知正方体 （如图所示），则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．
2．（湖南·高考真题）如图1，在正四棱柱 中， 分别是 ， 的中点，则以下结
论中不成立的是（ ）
A． 与 垂直 B． 与 垂直
C． 与 异面 D． 与 异面
3．（全国·高考真题）对于直线m、n和平面 ，下面命题中的真命题是（ ）
A．如果 ， ，m、n是异面直线，那么
B．如果 ， ，m、n是异面直线，那么n与 相交
C．如果 ， ，m、n共面，那么
D．如果 ， ，m、n共面，那么
4．（广东·高考真题）已知空间中， 是互不相同直线， 是不重合的平面，则下列命题为真命题的
是（ ）.
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
5．（湖北·高考真题）已知 是直线， 是平面，给出下列命题：
①若 ， ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 ；
④若 与 异面，且 ，则 与 相交；
⑤若 与 异面，则至多有一条直线与 都垂直．
其中真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
6．（全国·高考真题）如图，直四棱柱ABCD–ABC D 的底面是菱形，AA =4，AB=2，∠BAD=60°，E，
1 1 1 1 1
M，N分别是BC，BB ，A D的中点.
1 1（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求点C到平面C DE的距离．
1
7．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
， 的中点分别为 ，点 在 上， ．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
8．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
(3)求二面角 的正弦值.9．（2020·山东·统考高考真题）已知点 ， 分别是正方形 的边 ， 的中点.现将四边形
沿 折起，使二面角 为直二面角，如图所示.
（1）若点 ， 分别是 ， 的中点，求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
10．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面
平面 ， ，M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
