热点04+计算题（5大题型+高分技法+限时提升练）（解析版）_2025中考数学题型解题分类专题合集_2025年中考数学热点•重点•难点专练[完整版]www.jiaoyupan.vip

关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
热点04 计算题
计算题是北京中考数学的必考考点，特点是题型多样且涉及的计算知识点较多，一般出现在北京中考的第
10 题，第11 题，第17 题，第18 题，第16 题等。填空题和解答题均有出现，全部是基础题.针对性的计算
训练可提高解题速度和正确率，还需具备较强的观察能力，例如整体代入是常考考点，该类题灵活多变，
考查学的应变能力。
【题型1  因式分解】 
考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的含有公因式，必须先提公因式．
先提公因式，再利用乘法公式继续分解即可解答．
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
1．（2022 年北京市西城区三帆中学中考数学模拟）因式分解
2
2
2
x -
=         
．
【答案】


2
1
1
x
x
+
-
【详解】解：


2
2
2
2
2
1
2(
1)(
1)
x
x
x
x
-
=
-
=
+
-
，
故答案为：2(
1)(
1)
x
x
+
-
．
2．（2024 年北京市第十一中学中考二模）分解因式：
2
3
x
x
-
=        
．
【答案】

3
x x -
【详解】解：原式


3
x x
=
-
；
故答案为：

3
x x -
．
3．（2022 年北京海淀区十一学校九年级数学综合训练）分解因式：
2
4
ma
m
-
=        
．
【答案】



2
2
m a
a
+
-
【详解】解：





2
2
4
4
2
2
ma
m
m a
m a
a
-
=
-
=
+
-
．
故答案为：



2
2
m a
a
+
-
．
4．（2024 年北京市三帆中学中考二模）分解因式： 
3
3
2
8
ab
a b
-
=       
 ．
【答案】



2
2
2
ab b
a
b
a
+
-
【详解】解：
3
3
2
8
ab
a b
-


2
2
2
4
ab b
a
=
-



2
2
2
ab b
a
b
a
=
+
-
，
故答案为：



2
2
2
ab b
a
b
a
+
-
．
5．（2022 年北京市房山区九年级中考二模）分解因式
2
2
8
8
x
x
-
+
=          
．
【答案】
2
2(
2)
x -
【详解】解：原式




2
2
2
4
4
2
2
x
x
x
=
-
+
=
-
故答案为：
2
2(
2)
x -
．
【题型2  分式方程】
考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
6．（2024·北京西城·一模）方程 
4
3
3
1
2
x
x
=
-
-
的解为      
.
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
【答案】
1
x = -
【详解】解：



4
2
3 3
1
x
x
-
=
-
，
4
8
9
3
x
x
-
=
-
，
解得：
1
x = - ，
经检验：
1
x = - 是原方程的根，
所以，原方程的根为：
1
x = - ，
故答案为：
1
x = - ．
7．（2022 年北京市广渠门中学中考模拟）方程
1
2
1
2
x
x
=
+
+
的解为        
；
【答案】
0
x =
【详解】解：去分母得：


2
2
1
x
x
+
=
+
，
去括号得：
2
2
2
x
x
+
=
+ ，
解得：
0
x =
，
检验：把
0
x =
代入得：(
1)(
2)
0
x
x
+
+
¹ ，
\分式方程的解为
0
x =
．
故答案为：
0
x =
．
8．（2024 年北京市三帆中学中考模拟）分式方程
4
2
2
x
x
=
-
的解是      
．
【答案】
2
x = -
【详解】解：去分母得：

2
2
4
x
x
-
=
，
解得：
2
x = - ，
检验：当
2
x = - 时，

2
0
x x -
¹
，
∴原方程的解为
2
x = - ．
故答案为：
2
x = -
9．（2023·北京·中考真题）方程
3
1
5
1
2
x
x
=
+
的解为      
．
【答案】
1
x =
【详解】解：方程两边同时乘以


2
5
1
x
x +
，得6
5
1
x
x
=
+ ，
解得：
1
x = ，
经检验，
1
x = 是原方程的解，
故答案为：
1
x = ．
10．（2023·北京石景山·二模）方程
2
5
3
x
x
=
+
的解为         
．
【答案】
5
x = -
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
【详解】解：方程两边同乘(
1)
x x +
，得


2
5
3
x
x
=
+
，
即2
5
15
x
x
=
+
，
解得
5
x = - ，
经检验，
5
x = - 是原方程的解，
故答案为：
5
x = - ．
【题型3  实数的综合运算】
考查了实数的运算，细心化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据负整数指数幂、特殊角的三角函
数值，绝对值的意义以及立方根的知识点化简计算即可．
11．（北京市清华大学附属中学2024-2025 学年九年级上学期12 月）计算：
1
3
1
(
)
2cos45
1
2
8
4
-
°
-
+
-
-
+
- ．
【答案】5
-
【详解】解：原式=


2
4
2
2
1
2
2
- + ´
-
-
-
= 4
2
2
1 2
- +
-
+ -
= 5
- ．
12．（2024 学年北京市三帆中学中考二模）计算：
2
1
2 tan 45
2
1
18
2
-
æ
ö
-
°-
-
+
ç
÷
è
ø
【答案】
2
5
+
．
【详解】解：原式


4
2 1
2
1
3 2
=
-
´ -
-
+
4
2
2
1 3 2
=
-
-
+ +
2
5
=
+ ．
13．（2024·北京东城·二模）计算：


1
3
1
12
tan60
2
2
-
æ
ö
-
+ -
- -
ç
÷ø
°
è
．
【答案】3
6
+
【详解】解：


1
3
1
12
tan60
2
2
-
æ
ö
-
+ -
- -
ç
÷ø
°
è



2 3
3
2
8
=
-
+ -
- -
3
6
=
+
．
14．（2024·北京顺义·二模）计算：
1
3tan30
2
| 1|
12.
°
-
-
+ -
-
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
【答案】1
3
2 -
【详解】解：
1
3tan30
2
1
12
-
-
+ - -
o
3
1
3
1
2 3
3
2
= ´
-
+ -
1
3
2 3
1 2 3
2
=
-
-
+ -
1
3
2
=
-
．
15．（2024·北京门头沟·一模）计算：
0
1
1
(
2021)
2
2
2sin 45
( )
3
p
-
-
+
-
+
°-
．
【答案】0
【详解】解：原式
2
1
2
2
2
3
2
= +
-
+ ´
-
1
2
2
2
3
= +
-
+
-
0
=
．
【题型4  不等式组】
考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取
大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集
即可．
16．（2024·北京西城·模拟预测）解不等式组：
2
4
3(
1)
4
1
2
x
x
x
x
-
<
-
ìïí
+
+ £
ïî
，并求该不等式组的非负整数解．
【答案】1
2
x
- <
£
，0 和1和2
【详解】解：
2
4
3(
1)
4
1
2
x
x
x
x
-
<
-
ìïí
+
+ £
ïî
解不等式


2
4
3
1
x
x
-
<
-
2
3
3
4
x
x
-
< - +
1
x
- <
即
1
x > - ；
解不等式
4
1
2
x
x
+
+ £
2
2
4
x
x
+
£
+
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
2
4
2
x
x
-
£
-
即
2
x £
，
\该不等式的解集为：1
2
x
- <
£
，
该不等式组的非负整数解为0 和1和2
17．（2024 年北京市东直门中学中考三模）解不等式组：
2
4
3
1
1
3
x
x
x
x
-
³
+
ìï
+
í - <
ïî
【答案】
3
x £ -
【详解】
2
4
3
1
1
3
x
x
x
x
-
³
+
ìïí
+
- <
ïî
①
②，
解不等式①，得
3
x £ - ；
解不等式②，得
2
x <
，
所以不等式组的解集是
3
x £ - ．
18．（2024 年北京市师达中学中考零模）解不等式组：
2
2
3
1
5
x
x
x
x
+
ì
>
ïí
ï
- <
+
î
．
【答案】2
3
x
<
<
【详解】
2
2
3
1
5
x
x
x
x
+
ì >
ïí
ï
- <
+
î
①
②
，
解不等式①，得
2
x >
；
解不等式②，得
3
x <
．
所以不等式组的解集是2
3
x
<
<
．
19．（2024·北京延庆·模拟预测）解不等式组：
2
1
3
2
2
x
x
x
x
+ ³
ìïí +
>
ïî
．
【答案】1
<1
x
- £
【详解】解：
2
1
3
2
2
x
x
x
x
+ ³
ìïí +
>
ïî
①
②
由①得，
1
x ³ - ；
由②得，
1
x < ；
\原不等式组的解集为：1
<1
x
- £
．
20．（2024·北京西城·二模）解不等式组
3
2
4
2
3
5
x
x
x
x
-
<
+
ìï
-
í ³
ïî
，写出它的所有整数解．
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
【答案】1
3
x
- £
< ，1
- ，0，1，2
【详解】解：
3
2
4
2
3
5
x
x
x
x
-
<
+
ìïí
-
³
ïî
①
②
解不等式①，
3
4
2
x
x
-
<
+
2
6
x <
得：
3
x <
，
解不等式②，
5
2
3
x
x
³
-
3
3
x ³ -
得：
1
x ³ - ，
所以不等式组的解集是1
3
x
- £
< ，
所以不等式组的整数解是1
- ，0，1，2．
【题型5 化简后代数式求值】
主要考查了整式的混合运算，代数式求值，等式的性质，完全平方公式等知识点，熟练掌握整式的混合
运算是解题的关键．
21．（2024·北京朝阳·一模）已知
2
2
0
x
y
+
+
=
，求代数式
2
4
2
2
y
x
x
x
x
y
æ
ö
-
×
ç
÷
-
è
ø
的值．
【答案】2(
2 )
x
y
+
，4
-
【详解】解：
2
4
2
2
y
x
x
x
x
y
æ
ö
-
×
ç
÷
-
è
ø
2
2
4
2
2
x
y
x
x
x
y
-
=
×
-
(
2 )(
2 )
2
2
x
y x
y
x
x
x
y
+
-
=
×
-
2(
2 )
x
y
=
+
，
2
2
0
x
y
+
+
=
Q
，
2
2
x
y
\ +
= - ，
∴原式
2(
2 )
2 ( 2)
4
x
y
=
+
=
´ -
= - ．
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
22．（2024 年北京市三帆中学中考模拟）已知∶
2
2
5
11
0
x
x
-
-
=
，求代数式



2
2
1
4
2
3
x
x
x
+
-
-
-
的值．
【答案】24
-
【详解】解：∵
2
2
5
11
0
x
x
-
-
=
∴
2
2
5
11
x
x
-
=
原式
2
2
2
8
4
(4
12
9)
x
x
x
x
x
=
-
+
-
-
-
+
  
 
2
13
2
5
x
x
= -
+
-


2
2
5
13
x
x
= -
-
-
11 13
= -
-
24
= -
．
23．（2024·北京西城·模拟预测）已知
3
y
x = - ，求代数式
2
(
)
(2
)(
)
x
y
x
y
y
x
+
-
+
-
的值．
【答案】0
【详解】解：
2
(
)
(2
)(
)
x
y
x
y
y
x
+
-
+
-


2
2
2
2
2
2
2
x
xy
y
xy
x
y
xy
=
+
+
-
-
+
-
2
2
2
2
2
2
2
x
xy
y
xy
x
y
xy
=
+
+
-
+
-
+
2
3x
xy
=
+
，
3
y
x = -
Q
，
3
y
x
\
= -
，
当
3
y
x
= -
时，
原式


2
3
3
x
x
x
=
+
× -
2
2
3
3
x
x
=
-
0
=
．
24．（2024 年北京市第二十中学中考零模）已知
1
a
b
-
= ，求代数式
2
2
2
2
1
b
a
a
a
b
æ
ö
-
×
ç
÷
+
è
ø
的值．
【答案】2
【详解】解：
2
2
2
2
1
b
a
a
a
b
æ
ö
-
×
ç
÷
+
è
ø
，
2
2
2
2
2
2
a
b
a
a
a
a
b
æ
ö
=
-
×
ç
÷
+
è
ø
，
2
2
2
2
2
a
b
a
a
a
b
×
=
-
+
，



2
2
2
a
b
a
b
a
a
a
b
+
-
×
+
=
，
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024


2 a
b
=
-
，
当
1
a
b
-
= 时，
原式
2
=
．
25．（2024 年北京市人大附中朝阳学校中考三模）已知 
2
2
0
x
y
-
-
=
， 求代数式 
2
2
2
4
4
4
x
y
x
xy
y
-
-
+
的值．
【答案】1
【详解】解：
2
2
2
4
4
4
x
y
x
xy
y
-
-
+




2
2
2
2
x
y
x
y
-
=
-
2
2
x
y
=
-
．
2
2
0
x
y
-
-
=
Q
，
2
2
x
y
\ -
=
．
\原式
2
2
1
2
2
x
y
=
=
=
-
．
（建议用时：10 分钟）
一、填空题
1．分解因式：
2
2
5
a b
ab
-
=      
．
【答案】


5
ab a
b
-
【分析】本题考查分解因式．掌握提公因式法分解因式是解题关键．提取公因式ab 即可分解因式．
【详解】
2
2
5
a b
ab
-
=


5
ab a
b
-
．
故答案为：


5
ab a
b
-
．
2．分解因式：
2
4
4
xy
xy
x
+
-
=          
．
【答案】

2
2
x y -
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可．
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
【详解】解：原式




2
2
4
4
2
x y
y
x y
=
=
-
-
+
；
故答案为：

2
2
x y -
．
3．若分式1
4
x
x
+
-
的值为2，则x =     ．
【答案】9
【分析】本题主要考查解分式方程，根据题意得分式方程，再求解方程即可．
【详解】解：根据题意可得：1
2
4
x
x
+
=
-
，
解得，
9
x =
，
经检验：
9
x =
是原方程的解,
故答案为：9．
4．分式方程
1
2
0
2
x
x
-
=
-
的解是          
．
【答案】
4
x =
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．方程两边同乘以

2
x x -
化成一元
一次方程，再解方程可得方程的解，然后代入检验即可得．
【详解】解：
1
2
0
2
x
x
-
=
-
，
方程两边同乘以

2
x x -
，得


2
2
0
x
x
-
-
=
，
去括号，得
2
4
0
x
x
-
+
=
，
移项，得
2
4
x
x
-
= - ，
合并同类项，得
4
x
- = - ，
系数化为1，得
4
x =
，
经检验，
4
x =
是分式方程的解，
所以方程的解为
4
x =
，
故答案为：
4
x =
．
二、解答题
5．计算：


1
0
1
3
2
6
2
1
2
-
æ
ö
-
+
×
+
-
-
ç
÷
è
ø
．
【答案】3 3
1
+
【分析】本题考查实数的混合运算，先进行去绝对值，二次根式的乘法，负整数指数幂和零指数幂的运算，
再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
3
2 6
2 1
=
+
´
+
-
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
3
2 3
2 1
=
+
+
-
3 3
1
=
+ ．
6．计算：




0
2
1
3
16
2
1
- + -
-
+
+
【答案】7
【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，算术平方根和零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先化简绝对值，有理数的乘方，算术平方根和零指数幂，然后计算加减．
【详解】




0
2
1
3
16
2
1
- + -
-
+
+
1
9
4
1
= +
-
+
7
=
．
7．解不等式组


1 2
4
3
1
3
6
2
2
7
3
1
x
x
x
x
x
-
-
ì
-
³
-
ïí
ï
-
<
-
î
，并在数轴上表示解集．
【答案】4
1
x
- <
≤，数轴见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的方法是解题的
关键．
解各不等式后即可求得不等式组的解集，然后在数轴上表示其解集即可．
【详解】解：


1 2
4
3
1
3
6
2
2
7
3
1
x
x
x
x
x
-
-
ì
-
³
-
ïí
ï
-
<
-
î
①
②
解不等式①得，
1
x £ ，
解不等式②得，
4
x > - ，
\不等式组


1 2
4
3
1
3
6
2
2
7
3
1
x
x
x
x
x
-
-
ì
-
³
-
ïí
ï
-
<
-
î
的解集为4
1
x
- <
≤，
在数轴上表示为：
．
8．解不等式组
2
7
1
3
10
(
4)
2
x
x
x
x
-
ì
<
-
ïí
ï
-
+
³
î
①
②
，并把解集在数轴上表示．
【答案】4
2
x
- <
£
，数轴见解析：
【分析】此题考查了解一元一次不等式组．求出每个不等式的解集，表示在数轴上，找到解集的公共部分
即可．
【详解】解：
2
7
1
3
10
(
4)
2
x
x
x
x
-
ì
<
-
ïí
ï
-
+
³
î
①
②
由①得
4
x > - ； 
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
由②得
2
x £
． 
在数轴上表示这个解集如解图所示：
所以原不等式组的解集为4
2
x
- <
£
．
9．已知
0
a ¹
，
0
a
b
+
¹
，且
1
a
b
-
= ，求代数式
2
2
2
2
2
2
2
a
b
ab
b
a
a
ab
a
æ
ö
-
-

-
ç
÷
+
è
ø 的值．
【答案】
1
2
【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
由题意根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
【详解】解：
2
2
2
2
2
2
2
a
b
ab
b
a
a
ab
a
æ
ö
-
-

-
ç
÷
+
è
ø





2
2
2
2
a
b
a
b
a
ab
b
a a
b
a
a
+
-
æ
ö
-
=

-
ç
÷
+
è
ø





2
2
2
2
a
b
a
b
a
ab
b
a a
b
a
+
-
æ
ö
-
+
=
ç
÷
+
è
ø







2
2
a
b
a
b
a
a a
b
a
b
+
-
=
×
+
-


1
2 a
b
=
-
∵
1
a
b
-
= ，
∴ 原式


1
1
2
2
a
b
=
=
-
．
10．已知
3
0
a
b
-
+
=
，计算
2
4
2
8
a
a
ab
ab
b -

-
的值．
【答案】
4
3
-
【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算
法则进行化简，然后再根据
3
0
a
b
-
+
=
，得出
3
a
b
-
= - ，最后代入求值即可．
【详解】解：原式


4
4
a
b a
b
b
=
-
-




4
4
4
a
a
b
b a
b
b a
b
-
=
-
-
-


4
4
4
a
a
b
b a
b
-
+
=
-
4
a
b
=
-
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
关注微信公众号：学霸学数学/学霸学物理/学霸学化学/学霸学文科/学霸甄选题      
微信号：Xueba-2024
∵
3
0
a
b
-
+
=
，
∴
3
a
b
-
= - ．
∴原式
4
3
= -
．