文档文本内容
勾股定理的逆定理（基础）
【学习目标】
1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；
2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；
3. 理解勾股数的含义；
4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.
【要点梳理】
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长
，满足
，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角
形是否为直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）
首先确定最大边（如
）.
（2）
验证
与
是否具有相等关系.若
，则△ABC 是∠C＝90°的
直角三角形；若
，则△ABC 不是直角三角形.
要点诠释：当
时，此三角形为钝角三角形；当
时，此三角形为锐
角三角形，其中
为三角形的最大边.
要点三、勾股数
满足不定方程
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），
显然，以
为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果a
b
c
、、是勾股数，当t 为正整数时，以at
bt
ct
、、
为三角形的三边长，此三角形
必为直角三角形.
要点诠释：（1）
（
是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）
（n≥1，是自然数）是直角三角形的三条
边长；
（3）
（
是自然数）是直角三角形的三条
边长；
【典型例题】
类型一、勾股定理的逆定理
1、判断由线段
组成的三角形是不是直角三角形．
（1）
＝7，
＝24，
＝25；
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（2）
＝
，
＝1，
＝
；
（3）
，
，
(
)；
【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两
条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．
【答案与解析】
解：（1）∵
，
，
∴
．
∴ 由线段
组成的三角形是直角三角形．
（2）∵
，
，
，
∴
．
∴ 由线段
组成的三角形不是直角三角形．
（3）∵
，
∴
，
．
∵
，
，
∴
．
∴ 由线段
组成的三角形是直角三角形．
【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进
行判断，即首先确定最大边，然后验证
与
是否具有相等关系，再根据结果判断是否
为直角三角形．
举一反三：
【变式】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ）
A．20:15:12
B．3:4:5
C．5:4:3
D．10:8:2
【答案】A；
提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：
，即20:15:12.
2、如图所示，在四边形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝∠90°，求四边形
ABCD 的面积．
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【答案与解析】
解：连接AC，在△ABC 中，
因为∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
所以
，所以AC＝5，
在△ACD 中，AD＝13，DC＝12，AC＝5，
所以
，
即
．
所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD＝90°．
所以
．
【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解．由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，
应想到连接AC，则在Rt△ABC 中即可求出△ABC 的面积，也可求出线段AC 的长．所以在△ACD
中，已知AC，AD，CD 三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．而判断
△ACD 的形状，常考虑能否用勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形．
类型二、勾股定理逆定理的应用
3、已知：
为
的三边且满足
，试判断
的形状.
【答案与解析】
解：∵
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∴
∴
，
∴△ABC 是直角三角形.
【总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的
条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系.对条件等式进行变形常用的方法有配方法，
因式分解法等.
举一反三：
【变式】请阅读下列解题过程：已知a、b、c 为△ABC 的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判
断△ABC 的形状．
解：
∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4， 第一步
∴c2（a2
b
﹣2）=（a2+b2）（a2﹣b2）， 第二步
∴c2=a2+b2， 第三步
ABC
∴△
为直角三角形． 第四步
问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：
_________
；
（2）错误的原因是：
_________
；
（3）本题正确的结论是：
_________
．
【答案】
解：（1）第三步；
（2）方程两边同时除以（a2﹣b2）时，没有考虑（a2﹣b2）的值有可能是0；
（3）∵c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）
∴c2=a2+b2或a2﹣b2=0
∵a2﹣b2=0
∴a+b=0 或a﹣b=0
∵a+b≠0
∴c2=a2+b2或a﹣b=0
∴c2=a2+b2或a=b
∴该三角形是直角三角形或等腰三角形．
4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每
小时航行16 海里，“海天”号每小时航行12 海里，它们离开港口一个半小时后相距30 海里，
如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【思路点拨】我们可以根据题意画出如图所示的图形，可以看到，由于“远航”号的航向已知，
如果求出两艘轮船所成的角，就能知道“海天”号的航向了．
【答案与解析】
解：根据题意可画出上图，
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PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30，
在△PQR 中，
，
∴
．
∴ △PQR 是直角三角形且∠RPQ＝90°．
又∵ “远航”号沿东北方向航行，可知∠QPN＝45°，
∴ ∠RPN＝45°．
由此可知“海天”号沿西北方向航行．也可沿东南方向航行．
【总结升华】根据勾股定理的逆定理，可判断一个角是不是90°，这里需注意与东北方向成
90°角的有两个方向，即西北方向或东南方向．
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