文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
专题04 数列与立体几何
题型概览
题型01 等差、等比数列
题型02 数列通项与求和
题型03 数列的综合应用
题型04 平行垂直的判断
题型05 外接球、内切球
题型06 空间几何体表面积与体积
题型07 线线角、线面角、二面角
题型08 立体几何范围与最值问题
题型09 新定义问题
等差、等比数列
1．（2025·福建泉州·二模）已知
为等比数列，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·福建厦门·二模）厦门某会场座位共有20 排，第一排有15 个座位，从第二排起，每一排都比前
一排多两个座位．现有一个200 人的代表团来该会场参加会议，主办方需预留前
排座位给该代表团，则
的最小值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
3．（2025·福建漳州·二模）设等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则数列
的
前2025 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
数列通项与求和
4．（2025·福建福州·二模）已知数列
满足
，设数列
的前
项和为
，则
题
型
题
型
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·福建龙岩·二模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
6．（2025·福建泉州·二模）已知数列
的前项和为
，
，且
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)设
，求数列
的前项和；
(3)在（2）的条件下，
中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说
明理由．
7．（2025·福建福州·二模）已知数列
是公差为2 的等差数列，满足
．
(1)求
的通项公式；
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(2)设
的前
项和为
，若
，求
的最大值．
8．（2025·福建三明·二模）已知数列
的前n 项和为
，
.
(1)若
，证明数列
为等比数列；
(2)若
，求使不等式
成立的n 的最小值.
9．（2025·福建福州·二模）已知数列
，若
，点
、
在斜率是
的直线上.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
10．（2025·福建·二模）数列
的前
项和为
，已知
且
．
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
满足
，求
的最大值．
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
数列的综合应用
11．（多选题）（2025·福建龙岩·二模）已知数列
的前
项和为
，则（ ）
A．若
是等差数列，则
，
，
成等差数列
B．若
是等比数列，则
，
，
成等比数列
C．若
，且
，则存在数列
，使得
D．若
，且
，则存在
，使得
12．（2025·福建泉州·二模）已知数列
满足
，
，
，则
的第2025 项为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·福建三明·二模）若数列
满足
，
，则
（ ）
A．155
B．156
C．203
D．204
14．（2025·福建南平·二模）已知数列
的前
项和为
，若
，且对任意的
，都有
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题
型
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
平行垂直的判断
15．（2025·福建福州·二模）如图，点
为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满
足直线
平面
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·福建厦门·二模）在正方体
中，
为
的中点，为平面
与平面
的交线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（多选题）（2025·福建厦门·二模）如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体
，下面
部分可视为正四棱锥
，
为正方形
的中心，两部分的高都是该正方形边长的一半，则
（ ）
A．
B．
平面
C．平面
平面
D．
与
为相交直线
18．（2025·福建宁德·二模）设
是两个不同平面，
是平面
内的两条不同直线.甲：
，
题
型
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
外接球、内切球
19．（2025·福建莆田·二模）已知某圆台下底面半径为2，高与上底面半径均为1，则该圆台外接球的表面
积是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2025·福建漳州·二模）在菱形
中，
，
，将
沿对角线
翻折至
，则当三棱锥
表面积最大时，三棱锥
外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（2025·福建福州·二模）在平面四边形
中，
是边长为
的等边三角形，
是以点
为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线
折成四面体
，在折起的过程中，四面体
的外接球体积最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2025·福建泉州·二模）四棱锥
中，
，
，
，
，
，若
、
、
、
、
均在同一球面上，则该球的表面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（多选题）（2025·福建宁德·二模）如图，在矩形
中，
为
中点，现分别
沿
将
，
翻折，使点
重合，记为点
，翻折后得到三棱锥
，则（ ）
题
型
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．
B．三棱锥
的体积为
C．二面角
的余弦值为
D．三棱锥
外接球的半径为
24．（多选题）（2025·福建厦门·二模）已知四棱锥
的高为2，底面
是边长为2 的正方形，
，则（ ）
A．
的面积为定值
B．
C．四棱锥
表面积的最小值为
D．若四棱锥
存在内切球，则该球半径为
空间几何体表面积与体积
25．（2025·福建南平·二模）已知平行六面体
的体积为4，若将其截去三棱锥
，
则剩余几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2025·福建龙岩·二模）棱长均为
的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平
面的距离都为
，则
的值为 ．
题
型
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
27．（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台
的上，下底面边长分别为
和
．若该棱
台的体积为
，则该棱台的外接球表面积为（ ）.
A．
B．
C．
D．
28．（2025·福建泉州·二模）如图茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的2
倍，容积为28ml，厚度忽略不计.当倒入14ml 茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
线线角、线面角、二面角
29．（2025·福建泉州·二模）直三棱柱
中，
，
，点E 在棱
上，
．
(1)证明：
；
(2)若平面
平面
，点Q 是上异于点B 的动点．
题
型
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（i）证明：
平面
；
（ii）求直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围．
30．（2025·福建龙岩·二模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
，
分别为
，
的中点．
(1)设
，且
，
，
，
四点共面，求实数
的值；
(2)若平面
和平面
所成角的余弦值为
，求三棱锥
的体积．
31．（2025·福建宁德·二模）如图，平行四边形
中，
，
平面
，
是等边三角形，平面
平面
.
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)求证：
；
(2)若直线
和平面
所成角为
，
为线段
上一点，当平面
和平面
所成角的余弦值
为
时，求
的长.
32．（2025·福建福州·二模）如图，在三棱柱
中，
平面
，
的中点为
，
．
(1)证明：
平面
；
(2)在平面
内，动点
在以
为圆心，
为半径的劣弧
上（不含端点
），若直线
与平面
所成的角为
，证明：
三点共线．
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
33．（2025·福建厦门·二模）如图，在多面体
中，
平面
，平面
平面
，
四边形
是正方形，
是正三角形，
，
．
(1)证明：
平面
；
(2)若直线
与底面
的交点为
，直线
上是否存在点
，使得平面
与平面
的夹角为
60°?若存在，求
的长；若不存在，请说明理由．
34．（2025·福建漳州·二模）如图，在四棱锥P-ABCD 中，
，
，
，E 是PD 的中点，
F，M 分别在线段PC，PB 上，且
，
，.
(1)证明：多面体
为四棱锥；
(2)作出四棱锥
的底面所在平面与平面
的交线，写出画法，不必证明；
(3)若
，
平面
，且
，求四棱锥
的体积.
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
35．（2025·福建三明·二模）如图，直四棱柱
中，
，
，
，
，直线
与直线
所成角为
，
为棱
的中点，矩形
以边
所在直线为旋转轴，
逆时针旋转
至矩形
，如图所示.
(1)求证：
平面
；
(2)线段
与平面
交于点
，且
在
上投影向量的模等于
，求
的值.
36．（2025·福建莆田·二模）如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，
，
，
．
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的正弦值．
37．（2025·福建厦门·二模）如图，在长方体
中，
与
交于点
为棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)设
，其中
，若二面角
的大小为
，求
.
38．（2025·福建福州·二模）如图，在长方体
中，
，
与
交于点
，
为棱
的中点.
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)证明：
平面
；
(2)设
，其中
，若二面角
的大小为
，求
.
立体几何范围与问题
39．（2025·福建南平·二模）已知正方体
的棱长为4，点
分别为线段
上的动
点，则
的最小值为 ，此时
.
40．（2025·福建三明·二模）若正四面体
的棱长为
，点
满足
，则
的最大
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
新定义问题
41．（多选题）（2025·福建泉州·二模）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，
帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列
的前n 项和为
，且满足：
，则下列结论中正确的是（ ）
题
型
题
型
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．
B．
C．
是偶数
D．
42．（多选题）（2025·福建厦门·二模）已知
是首项为
，公比为
的递增等比数列，其前
项和为
．
若对任意的
，总存在
，使得
，则称
是“可分等比数列”，则（）
A．
不是“可分等比数列”
B．
是“可分等比数列”
C．若
是“可分等比数列”，则
D．若
是“可分等比数列”，则
43．（2025·福建福州·二模）陈嘉豪发现，《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱
锥为阳马．已知长方体
，若阳马以该长方体的顶点为顶点，则这样的阳马的个数是
（用数字作答）．
44．（2025·福建宁德·二模）已知数列
共有
项
，其中
项为
，
项为
.若数列
满足对任意
中的
的个数不少于的个数，则称数列
为“规范数列”.
当
，
时，“规范数列”的个数为 ，记
表示数列
是“规范数列”的概率，则
的最小值为 .
45．（2025·福建·二模）项数为
的数列
满足
，当且仅当
时
（其
中
,规定：
），称
为“好数列”．在项数为6 且
的所有
中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为 ．
46．（2025·福建泉州·二模）笛卡尔通过解析几何，将代数的精确性与几何的直观性结合，不仅推动了数
学的变革，还为科学提供了强大的分析工具，其坐标系思想至今仍是科学与工程中不可或缺的基础．在直
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
角坐标系中，如果某曲线
上的点与一个二元方程
的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的
坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，
这条曲线叫做方程的曲线．类似地，在空间直角坐标系中，我们也定义曲面的方程
和方程的曲
面．已知在空间直角坐标系
中，曲面
，
是
轴与
的公共点，且
是
的四等分点，点
在
上，
，
．
(1)证明：
在
上，且
平面
；
(2)当
的长度最小时，求平面
与平面
的夹角的余弦值；
(3)设
与平面
所成的角分别为
，当
在
上运动时，求
的取值范围．
47．（2025·福建南平·二模）若简单多面体可以被分割成
个完全相同的小多面体，则称该简单多面
体为“
等和多面体”，其中
分别表示简单多面体的顶点数、棱数、面数.记每个
小多面体的顶点数、棱数、面数分别为
，
，
，
，
（
为与分割方式有关的正整数）.
(1)已知长方体是“
等和多面体”，按分割方式：过长方体共顶点的三条棱的中点，各作一个与该棱垂
直的平面，将长方体分割成若干个完全相同的小长方体，求该分割方式下
的值；
(2)判断正四面体
是否为“
等和多面体”.若是，请先描述一种分割方式，再求出该分割方式下
的值；若不是，请说明理由；
(3)若简单多面体是“
等和多面体”，求分割后小多面体的个数与
的等量关系.
参考公式：多面体欧拉定理可表示为“顶点数
棱数
面数
”，即
.
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
48．（2025·福建福州·二模）已知函数
，记
，若
满足
，则称
是
上的“可控函数”．由“可控函数”的定义可得：若函数
是
上的“可控
函数”，则函数
也是
上的“可控函数”，其中
，例如
．
(1)判断函数
是否为
上的“可控函数”，并说明理由；
(2)已知函数
是
上的“可控函数”，且的最大值为
．
（i）求函数
的解析式；
（ii）若数列
满足
，
是数列
的前
项和．求证：
．
49．（2025·福建厦门·二模）将区间
中的全体有理数按一定顺序排列得到数列
，规则如下：①
，其中正整数
与
互质，如
，
；②
，当且仅当
时，
.
(1)写出
的前5 项；
(2)若
，
，求
；
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(3)记
的前
项和为
，证明：
.
18
