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3.4 导数的综合运用
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考点一 判断函数的零点个数
【例1】(2024 福建合肥)已知a≥1，函数f(x)＝x ln x－ax＋1＋a(x－1)2．
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的零点个数．
【一隅三反】
1．（2024·湖北·模拟预测）函数
．
(1)当
时，证明：
；
(2)讨论函数
的零点个数．
2．（2024·河南）已知函数
，
．
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(1)当a＝2 时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论关于x 的方程
的实根个数．
3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知
在
时取得极大值．
(1)讨论
在
上的单调性；
(2)令
，试判断
在
上零点的个数．
考点二 已知函数零点求参数
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【例2】（2024·广东汕头·三模）已知函数
.
(1)若曲线
在
处的切线与
轴垂直，求
的极值.
(2)若
在
只有一个零点，求
.
【一隅三反】
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)若函数至多一个零点，求a 的取值范围．
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2．（2024·广东深圳·期中）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恰有三个零点，求a 的取值范围．
3．（2024·青海西宁·模拟预测）已知函数
(1)当
时，求
的零点；
(2)若
恰有两个极值点，求
的取值范围.
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考点三 隐零点
【例3-1】（2024 湖北）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)求证：函数
的图象在x 轴上方.
【例3-2】（2024·广东深圳）已知函数
.
（1）求函数
在
上的零点之和；
（2）证明：
在
上只有1 个极值点.
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【一隅三反】
1．（2024·江苏宿迁）已知函数
(1)若
求
的极值；
(2)若
恒成立，求实数a 的取值范围.
2．（2024 北京）已知函数
（
，e 为自然对数的底数）．
(1)求函数
的极值；
(2)若方程
在区间
内有两个不相等的实数根
，证明：
．
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3（2024·云南）已知函数
，函数
．
(1)求函数
的单调区间．
(2)
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
考点四 不等式的证明
【例4-1】（2024·北京·三模）已知
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
存在两个不同的极值点
，求证：
．
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【例4-2】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
在
处的切线方程.
(2)证明：
.
【一隅三反】
1．（2024·山东威海·二模）已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)证明：
．
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2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
．
考点五 不等式的恒成立或存在性
【例5】（2024·全国·高考真题）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立．
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【一隅三反】
1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若不等式
在区间
上有解，求实数a 的取值范围．
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3．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
，不等式
在
上存在实数解，求实数
的取值范围．
考点六 极值点偏移
【例6】（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数
，
．
(1)当
时，
恒成立，求a 的取值范围．
(2)若
的两个相异零点为
，
，求证：
．
f x
g x
a
ax
x
1
x
ln
2
f x
x
≥
g x
1
x
2
x
2
1
2
e
x x
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【一隅三反】
1．（2024·吉林·二模）在平面直角坐标系
中，
的直角顶点
在
轴上，另一个顶点
在函数
图象上
(1)当顶点
在
轴上方时，求
以
轴为旋转轴，边
和边
旋转一周形成的面所围成的几何体的
体积的最大值；
(2)已知函数
，关于
的方程
有两个不等实根
.
（i）求实数
的取值范围;
（ii）证明：
.
2．（2024·四川眉山·三模）已知函数
.
(1)若过点
可作曲线
两条切线，求
的取值范围；
(2)若
有两个不同极值点
.
①求
的取值范围；
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②当
时，证明：
.
一．单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数
在区间
内有两个零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·陕西·模拟预测）当
时，
恒成立，则实数
最大值为（ ）
A．
B．4
C．
D．8
3．（2024·河南·三模）若关于
的不等式
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
4．（23-24 高二下·天津·期中）若函数
恰好有四个零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
，若存在
使得
，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数
，若
恒成立，则正实数
的取值范围
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是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·全国·模拟预测）已知过点
的直线与函数
的图象有三个交点，则该直线的斜率
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知
，若函数
有两个不同的零点，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题
9．（2024·河北衡水·三模）已知函数
，
是函数
的一个极值点，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．函数
在区间
上单调递减
C．过点
能作两条不同直线与
相切
D．函数
有5 个零点
10．（2024·湖北·二模）已知
，则下列不等式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·山东济南·三模）已知函数
，则（ ）
A．曲线
在
处的切线斜率为
B．方程
有无数个实数根
C．曲线
上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于
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D．
在
上单调递减
三．填空题
12．（2024·河北·三模）已知
对任意
恒成立，则实数
的取值范围是 ．
13．（2024·福建泉州·一模）已知函数
有且只有两个零点，则a 的范围 ．
14．（2024·四川南充·模拟预测）已知圆
和曲线
相交于两个不同的点，则
的取值范围
为 .
四．解答题
15．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数
.
(1)若
是函数
的极值点，求
的值，并求其单调区间；
(2)若函数
在
上仅有2 个零点，求
的取值范围．
16．（2024·全国·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
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17．（2024·广东湛江·一模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两个根
，
，求实数a 的取值范围，并证明：
．
18．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，
．
(1)若对任意的
都有
，求实数的取值范围；
(2)若
且
，
，证明：
．
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19．（2024·全国·高考真题）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
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