关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题08 解三角形及其应用
（十二大题型5 大易错题）
【考点1 正(余)弦定理解三角形】
1．在△ABC中，c =1，a=2，C =30°，则A =（ ）
A．60°
B．90°
C．45°
D．120°
【答案】B
【分析】利用正弦定理，求出sin A，从而求出角A.
【详解】由正弦定理得，
a
sin A =
c
sinC ，
所以
2
sin A =
1
sin30° ，解得sin A =1，
由A为三角形内角，所以A =90°，
故选：B.
2．在△ABC中，AB =√7 , AC =2,C =120
∘，则sin A =（ ）
A．√7
14
B．√21
14
C．5√7
14
D．3√21
14
【答案】B
【分析】由已知利用余弦定理可求BC的值，根据正弦定理可求sin A的值．
【详解】∵AB =√7 , AC =2,C =120
∘，
∴由余弦定理A B
2= BC
2+ A C
2−2BC ⋅AC cosC可得：BC
2+2BC −3=0,
∴解得：BC =1，或−3（舍去），
∴由正弦定理可得：sin A = BC ⋅sinC
AB
= √21
14 ．
故选:B
3．在△ABC 中，已知∠ABC =2∠BAC，3 BC =2 AB，BD⊥AC，D 为垂足，
CD =2√10，则BD =（ ）
A．3√6
B．6√6
C．2√10
D．4√10
【答案】B
【分析】设∠BAC =α，利用3 BC =2 AB和正弦定理化简得到
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2(3sin α −4 sin
3α )=3sin α，得到3sin α −8sin
3α =0，求得sin α = √6
4
，进而得到
tan ∠ACB = 3√15
5
，在直角△BDC中，结合BD =CD⋅tan∠ACB，即可求解.
【详解】设∠BAC =α，可得∠ABC =2α，∠ACB =π−3α，
由正弦定理得
AB
sin(π−3α ) = BC
sin α ，即AB
sin3α = BC
sin α ，
因为3 BC =2 AB，所以2sin3α =3sin α，
又因为sin3α =sin(α +2α )=sin 2α cosα +cos2α sin α
=2sin α cosα cosα +(1−2sin
2α )sin α =3sin α −4 sin
3α，
所以2(3sin α −4 sin
3α )=3sin α，整理得3sin α −8sin
3α =0，
因为0<α <π
2 ，所以0<sin α <1，所以3−8sin
2α =0，
即sin
2α = 3
8，解得sin α = √6
4 ，则sin3α = √6
4 ×[3−4( √6
4 )
2
]= 3√6
8
，
即sin ∠ACB = 3√6
8
，
因为∠ACB为锐角，cos∠ACB =√1−sin
2∠ACB = √10
8 ，
所以tan ∠ACB = sin ∠ACB
cos∠ACB = 3√15
5
，
在直角△BDC中，tan∠ACB = BD
CD ，所以BD =CD⋅tan ∠ACB =2√10× 3√15
5
=6√6.
故选：B.
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=3，b=2，sin A = 2
3
，则
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
cos B =（ ）
A．√65
9
B．−√65
9
C．4
9
D．± √65
9
【答案】A
【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】由正弦定理知，
a
sin A =
b
sin B ，则sin B = 4
9 ．因为b<a，所以
cos B =√1−sin
2B = √65
9 ．
故选：A
5．在梯形ABCD中，AD // BC ,CD = 4，△ABC是边长为3 的正三角形，则
sin∠ADC =（ ）
A．√3
4
B．3√3
8
C．√7
4
D．√42
8
【答案】B
【分析】由平行得到∠CAD =∠ACB =60°，在△ACD中，由正弦定理求出答案.
【详解】因为△ABC是边长为3 的正三角形，
所以∠ABC =60° , AC =3，
又AD // BC，所以∠CAD =∠ACB =60°，
由正弦定理得
AC
sin ∠ADC =
CD
sin ∠CAD ，
则sin ∠ADC = AC sin ∠CAD
CD
=
3× √3
2
4
= 3√3
8
．
故选：B
6．在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a，b，c.若a=√7，b=2，A =60°，则c为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．1 或3
【答案】C
【分析】根据余弦定理直接求解即可.
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】由余弦定理得cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
,
即2
2+c
2−(√7)
2
2×2c
= 1
2
，即c
2−2c−3=0，解得c =3或c =−1（舍）.
故选：C.
【考点2 判断三角形的形状】
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B =2C，b=√2a，则（ ）
A．△ABC为直角三角形
B．△ABC为锐角三角形
C．△ABC为钝角三角形
D．△ABC的形状无法确定
【答案】A
【分析】由正弦定理得sin B =√2sin A，利用正余弦的二倍角公式、两角和与差的正弦展
开式化简可得4√2cos
2C −2cosC −√2=0，解方程可得答案.
【详解】由b=√2a，可得sin B =√2sin A，
则sin 2C =√2sin (π−3C)=√2sin3C，
sin 2C =√2sin 2C cosC +√2cos2C ⋅sinC，
2cosC =2√2cos
2C +√2(2cos
2C −1)，
即4√2cos
2C −2cosC −√2=0，
由B =2C >C，故C只能为锐角，可得cosC = √2
2 ，
因为0<C <π
2 ，所以C =π
4 ，B =π
2 .
故选：A.
8．在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c ,若满足2acos B =c，则该三角形为
（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．不能确定
【答案】B
【分析】利用正弦定理以及两角和差的正弦公式得到A = B，再求解即可.
【详解】在△ABC中，已知2acos B =c ,
由正弦定理得2sin A cos B =sinC =sin( A + B)=sin A cos B+sin Bcos A，
所以sin A cos B−sin Bcos A =0,即sin( A −B)=0,
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又0< A <π,0<B<π，则−π< A −B<π，则A −B =0，
所以A = B ,所以该三角形为等腰三角形.
故选：B.
9．已知△ABC中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若bcosC +c cos B =b，且
a=c cos B，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理和sin A =sin (B+C)得到a=b，cosC =0，求出C =π
2
，得到答案.
【详解】bcosC +c cos B =b⇒sin BcosC +sinC cos B =sin B⇒sin (B+C)=sin B，
即sin A =sin B，故a=b，
a=c cos B⇒sin A =sinC cos B⇒sin (B+C)=sinC cos B
⇒sin BcosC +cos BsinC =sinC cos B⇒sin BcosC =0，
因为B∈(0,π)，所以sin B≠0，故cosC =0，
因为C ∈(0,π)，所以C =π
2
，
故△ABC为等腰直角三角形.
故选：D
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=7，b=3，c =5，则
（ ）
A．△ABC为锐角三角形
B．△ABC为直角三角形
C．△ABC为钝角三角形
D．△ABC的形状无法确定
【答案】C
【分析】根据余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.
【详解】由于cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= 3
2+5
2−7
2
30
= 9+25−49
30
<0,
故A为钝角，进而三角形为钝角三角形
故选：C
11．已知△ABC的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满足2a+b=2c cos B，
且sin A +sin B =1，则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形
B．顶角为120°的等腰三角形
C．顶角为150°的等腰三角形
D．等腰直角三角形
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】B
【分析】由正弦定理和两角和的正弦公式化简2a+b=2c cos B，可得cosC =−1
2，即
C = 2π
3 ，再由两角差的正弦公式化简sin A +sin B =1，可得A = B =π
6
，即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得2sin A +sin B =2sinC cos B，
因为A + B+C =π，所以B+C =π−A，
所以2sin (B+C)+sin B =2sinC cos B，即
2sin BcosC +2cos BsinC +sin B =2sinC cos B，
即2sin BcosC +sin B =0，因为B∈(0,π)，所以sin B≠0，
所以cosC =−1
2，因为C ∈(0,π)，所以C = 2π
3 ，所以B+ A =π
3 ，
因为sin A +sin B =1，所以sin A +sin(
π
3 −A)=1，
所以sin A + √3
2 cos A −1
2 sin A =1，即√3
2 cos A + 1
2 sin A =1，
即sin(A +π
3 )=1，因为A ∈(0,π
3 )，所以A +π
3
=π
2
，所以A =π
6
，
因为B+ A =π
3 .所以A = B =π
6 ，
所以△ABC的形状为顶角为120°的等腰三角形.
故选：B.
【考点3 三角形解的个数问题】
12．在△ABC中，∠A =π
3 , AB = 4 ,BC =a，且满足该条件的△ABC有两个，则a的取值
范围是（ ）
A．(0,2)
B．(2,2√3)
C．(2,4)
D．(2√3,4)
【答案】D
【分析】由正弦定理求出sinC，由sinC <1，且BC < AB，可得a的取值范围.
【详解】由正弦定理可得：
a
sin A =
4
sinC ，所以sinC = 2√3
a
<1，所以a>2√3，
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为满足条件的△ABC有两个，所以BC < AB，即a<4，所以a的取值范围是(2√3,4)
故选：D
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A =60°，b=10，则结合a的值，
下列解三角形有两解的为（ ）
A．a=8
B．a=9
C．a=10
D．a=11
【答案】B
【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】由正弦定理可得，
a
sin A =
b
sin B ，所以sin B = bsin A
a
=
10× √3
2
a
= 5√3
a
，
因为三角形有两解，所以sin B<1，且b>a，因此由选项知，只有a=9符合.
故选：B
【考点4 三角形的面积公式及应用】
14．在△ABC中，点E是边AB上的点，且|AE|=|CE|=2，|BE|=3，∠ACB = 2π
3 ，则
△ABC的面积为（ ）
A．25√3
14
B．5√3
14
C．√21
14
D．25√7
14
【答案】A
【分析】根据正弦定理及三角形面积公式，结合基本关系式及两角差的正弦公式可得结果.
【详解】设A =α(0<α < π
2)，因为∠ACB = 2π
3 ，所以B =π
3 −α.因为|AE|=|CE|=2，
所以∠ACE =∠CAE =α，∠CEB =2α，∠BCE = 2π
3 −α.
在△BCE中，由正弦定理可得
|CE|
sin(
π
3 −α)
=
|BE|
sin(
2π
3 −α)
，
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
2
sin(
π
3 −α)
=
3
sin(
2π
3 −α)
，得2(
√3
2 cosα + 1
2 sinα)=3(
√3
2 cosα −1
2 sinα)，
化简得5
2 sinα = √3
2 cosα，即tanα = √3
5 ，故sin A =sinα = √21
14 ，cosα = 5√7
14 .
解法一：因为sin2α =2sinα cosα = 5√3
14 ，
所以
S△ABC = S△BCE+ S△ACE= 1
2 ⋅|CE|⋅|BE|⋅sin2α + 1
2 ⋅|CE|⋅|AE|⋅sin(π−2α )= 1
2 × 5√3
14 ×(2×3+2×2)= 2
.
故选：A.
解法二：在△ABC中，由正弦定理得
|AB|
sin∠ACB = |BC|
sin A ，即
5
sin 2π
3
=|BC|
√21
14
，
得|BC|= 5√7
7
.
所以
S△ABC = 1
2|AB|⋅|BC|⋅sin B = 1
2 ×5× 5√7
7
×sin(
π
3 −α)= 25√7
14
×(
√3
2 cosα −1
2 sinα)= 25√3
14
.
故选：A.
15．已知点P 为双曲线C : x
2
4 −y
2
3 =1上的任意一点，过点P 作双曲线C 渐近线的垂线，垂
足分别为E，F，则△PEF的面积为（ ）
A．4
3
B．24√3
49
C．12
7
D．48√3
49
【答案】B
【分析】设点P(x0, y0)，计算|PE|⋅|PF|的乘积以及sin∠EPF，可求出△PEF的面积.
【详解】设点P(x0, y0)，满足x0
2
4 −y0
2
3 =1，即3 x0
2−4 y0
2=12，
又两条渐近线方程分别为y =± √3
2 x，即√3 x ±2 y =0，故有
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
|PE|⋅|PF|=|√3 x0+2 y0|
√7
⋅|√3 x0−2 y0|
√7
=|3 x0
2−4 y0
2|
7
= 12
7
，
设渐近线y = √3
2 x的倾斜角为α，则tan α = √3
2 ，
cos∠EPF =cos(π−∠EOF)=−cos∠EOF =−cos2α =−1−tan
2α
1+ tan
2α
=−1
7 ，
sin ∠EPF =√1−(−1
7)
2
= 4√3
7
，
S△PEF = 1
2 | PE|⋅| PF |⋅sin ∠EPF = 24√3
49
.
故选：B
16．△ABC 内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若b=2asin B，bc = 4，则△ABC 的面
积为（ ）
A．1
B．√3
C．2
D．2√3
【答案】A
【分析】根据正弦定理化边为角得sin A = 1
2，再利用三角形面积公式即可.
【详解】根据正弦定理得sin B =2sin A sin B，因为B∈(0,π)，则sin B≠0，
所以1=2sin A，解得sin A = 1
2，
所以S△ABC = 1
2 bc sin A = 1
2 ×4× 1
2 =1.
故选：A.
14．过点P(−2,0)作圆C：x
2+ y
2−4 x−4 =0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形
PACB的面积为（ ）
A．4
B．4√2
C．8
D．8√2
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】C
【分析】根据两点距离公式可得| PC |，即可由勾股定理求解| PB|，由三角形面积公式
即可求解.
【详解】由x
2+ y
2−4 x−4 =0，得( x −2)
2+ y
2=8,则圆心(2,0),r =2√2，
则| PC |= 4，则|PB|=√16−8=2√2，
则四边形PACB的面积为2S△PBC =2× 1
2 ×2√2×2√2=8.
故选：C
【考点5 求角或函数值的最值范围】
17．在ΔABC 中，sin
2 A ≤sin
2B+sin
2C −sin BsinC．则
的取值范围是（ ）
A．（0，π
6 ]
B．[π
6 ，π）
C．（0，π
3 ]
D．[π
3 ，π）
【答案】C
【详解】试题分析：
由于sin
2 A ≤sin
2B+sin
2C −sin BsinC，根据正弦定理可知a
2≤b
2+c
2−bc，故
cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
≥1
2．又A ∈(0,π )，则A的范围为(0, π
3].故本题正确答案为C.
18．在锐角△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c．若2c cos B =a−c，则
sin ( A −C)
sin B
的取值范围为（ ）
A．(1,√3)
B．(0,1)
C．(0,√2)
D．(√2,√3)
【答案】B
【分析】由2c cos B =a−c，根据正弦定理边化角，再消去C，可得sin (C −B)=sin (−C)，
利用三角形ABC是锐角三角形，可得B =2C，进而求出C ∈(
π
6 , π
4)，对sin( A −C )
sin B
化
简，可求出结果．
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】因为2c cos B =a−c，由正弦定理可知， 2sinC cos B−sin A +sinC =0，
又A + B+C = π，所以sin A =sin (B+C)
所以2sinC cos B−sin (B+C)+sinC =0，
所以sinC cos B−sin BcosC +sinC =0
即sin (C −B)=sin (−C)，
又△ABC是锐角，则B ,C ∈(0, π
2)，
则C −B∈(−π
2 , π
2)，−C ∈(−π
2 ,0)，所以C −B =−C，即B =2C，
所以¿，解得C ∈(
π
6 , π
4)，
所以sin( A −C )
sin B
= sin( A −C )
sin 2C
= sin (π −4C)
sin 2C
= sin 4C
sin 2C = 2sin 2C cos2C
sin 2C
=2cos2C.
∵C ∈(
π
6 , π
4),∴2C ∈(
π
3 , π
2)，则cos2C ∈(0, 1
2)，则2cos2C ∈(0,1)，
故选：B.
19．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c．若a=√3,b=2，则B+C的取值范围是
（ ）
A．[
2π
3 , 5π
6 ]
B．[
2π
3 ,π)
C．[
5π
6 ,π)
D．(
π
2 , 5π
6 ]
【答案】B
【分析】先根据边的关系求出c的范围，然后表示出cos A，求出其范围进而可得A的范围，
则B+C的取值范围可求.
【详解】根据三角形三边关系可得2−√3<c<2+√3，
即cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= 4 +c
2−3
4 c
= c
2+1
4 c = 1
4(c + 1
c)，
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由对勾函数y = x + 1
x 单调性可知，其在(2−√3,1)上单调递减，在(1,2+√3)单调递增；
即cos A = 1
4(c + 1
c)∈[
1
2 ,1)，可得A ∈(0,π
3 ],所以B+C ∈[
2π
3 ,π).
故选：B
20．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c．若a=1，b=2，则B+C的取值范围是
（ ）
A．[
2π
3 , 5π
6 ] B．[
2π
3 ,π)
C．[
5π
6 ,π)
D．(
π
2 , 5π
6 ]
【答案】C
【分析】
先根据边的关系求出c的范围，然后表示出cos A，求出其范围，进而可得A的范围i，则
B+C的范围可求.
【详解】根据三角形三边关系可得|a−b|<c<a+b，即1<c<3，
又cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= 3+c
2
4 c = 1
4(
3
c +c)，
因为函数y = 3
x + x在(1,√3)上单调递减，在(√3,3)上单调递增，
所以(c + 3
c)min
=√3+ 3
√3 =2√3，
又1+ 3
1 = 4,3+ 3
3 = 4，所以c + 3
c <4，
所以√3
2 ≤cos A <1，又A为三角形的内角，
所以0< A ≤π
6 ，
所以5π
6 ≤B+C <π.
故选：C.
【考点6 求边长或周长的最值范围】
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
21．在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a
2=b
2+bc，且A ∈(
π
3 ,π
2 )，
则a
b 的取值范围为（ ）
A．(1,√3)
B．(
√6+√2
2
,2)
C．(√2,√3)
D．(√3,2)
【答案】C
【分析】联立题干所给式子以及余弦定理可得c =b(1+2cos A)，在把c =b(1+2cos A)代
入题干可表示出a
b =√2+2cos A，在根据A的范围求解。
【详解】∵△ABC中a
2=b
2+bc，
由余弦定理可得：a
2=b
2+c
2−2bc cos A
∴b
2+bc =b
2+c
2−2bc cos A，整理可得c =b(1+2cos A)，
又a
2=b
2+bc，则a
2=b
2+b
2(1+2cos A)=b
2(2+2cos A)，
∴a
b =√2+2cos A，A ∈(
π
3 , π
2)，则cos A ∈(0, 1
2)，
可得2+2cos A ∈(2,3)，则√2+2cos A ∈(√2,√3)，即a
b ∈(√2,√3)，
故选：C
22．已知△ABC外接圆的半径为√3 BC
3
，D为边BC的中点，AD = 1
2，∠BAC为钝角，
则2 AC −AB的取值范围是（ ）
A．(−2,2)
B．[−2,2]
C．(−1,2)
D．(−1,2]
【答案】C
【分析】解法一：利用正弦定理和外接圆的半径可求得∠BAC =120
∘，设∠BAE =α，利
用正弦定理将AC，AB用角α的三角函数表示出来，再利用三角恒等变换及三角函数的值
域即可求解；
解法二：利用正弦定理和外接圆的半径可求得∠BAC =120
∘，利用向量2⃗AD =⃗AB+⃗AC
可得1=b
2+c
2−bc，令t =2 AC −AB =2b−c，再由关于b的方程3b
2−3tb+t
2−1=0至
少有1 个正根，利用判别式可得其范围；
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解法三：利用正弦定理和外接圆的半径可求得∠BAC =120
∘，在△ABC和△ABD中，分
别利用余弦定理可得1=b
2+c
2−bc，令t =2 AC −AB =2b−c，再由关于b的方程
3b
2−3tb+t
2−1=0至少有1 个正根，利用判别式可得其范围.
【详解】解法一：
根据正弦定理得2√3 BC
3
=
BC
sin∠BAC ，所以sin∠BAC = √3
2 ，
因为∠BAC为钝角，所以∠BAC =120
∘；
延长AD到E，使得AD = DE，连接BE ,CE，如下图所示：
易知四边形ABEC为平行四边形，且∠ABE =180
∘−∠BAC =60
∘．
设∠BAE =α，则∠BEA =120
∘−α，所以
BE
sinα =
AB
sin(120
∘−α)
=
AE
sin60
∘，
即AC
sinα =
AB
sin(120
∘−α)
=
2× 1
2
sin60
∘= 2
√3
，
所以AC = 2
√3 sinα，AB = 2
√3 sin(120°−α )，
所以2 AC −AB = 4
√3 sinα −2
√3 sin(120
∘−α)=√3sinα −cosα =2sin(α −30
∘)，
因为0
∘<α <120
∘，所以−30
∘<α −30
∘<90
∘，所以−1
2 <sin(α −30
∘)<1，
所以−1<2sin(α −30
∘)<2，
可得2 AC −AB的取值范围是(−1,2)．
解法二：
根据正弦定理得2√3 BC
3
=
BC
sin∠BAC ，
所以sin∠BAC = √3
2 ，因为∠BAC为钝角，所以∠BAC =120
∘
因为D为边BC的中点，所以2⃗AD =⃗AB+⃗AC，可得4⃗AD
2=⃗AB
2+2⃗AB⋅⃗AC +⃗AC
2，
设AC =b, AB =c，则1=b
2+c
2−bc①．
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
设t =2 AC −AB =2b−c，则c =2b−t，
将其代入①得3b
2−3tb+t
2−1=0②，
所以关于b的方程3b
2−3tb+t
2−1=0至少有1 个正根；
当Δ=9t
2−12(t
2−1)=0，即t =±2，
经检验，当t =2时，方程②即b
2−2b+1=0，解得b=1，则c =2b−t =0，不合题意；
当t =−2时，方程②即b
2+2b+1=0，解得b=−1，不符合题意；
所以¿或¿，解得−1<t <2，
故2 AC −AB的取值范围是(−1,2)．
解法三：
根据正弦定理得2√3 BC
3
=
BC
sin∠BAC ，
所以sin∠BAC = √3
2 ，因为∠BAC为钝角，所以∠BAC =120
∘；
设BC =a, AC =b, AB =c，根据余弦定理得a
2=b
2+c
2−2bccos∠BAC =b
2+c
2+bc，
在△ABC中易知cosB = a
2+c
2−b
2
2ac
，
又在△ABD中可得cosB =(
a
2)
2
+c
2−A D
2
2× a
2 ×c
=
a
2
4 +c
2−1
4
ac
，
所以可得a
2+c
2−b
2
2ac
=
a
2
4 +c
2−1
4
ac
，即1=2b
2+2c
2−a
2，
将a
2=b
2+c
2+bc代入，得1=b
2+c
2−bc①，
设t =2 AC −AB =2b−c，则c =2b−t，
将其代入①得3b
2−3tb+t
2−1=0②，
所以关于b的方程3b
2−3tb+t
2−1=0至少有1 个正根；
当Δ=9t
2−12(t
2−1)=0，即t =±2，
经检验，当t =2时，方程②即b
2−2b+1=0，解得b=1，则c =2b−t =0，不合题意；
当t =−2时，方程②即b
2+2b+1=0，解得b=−1，不符合题意；
所以¿或¿，解得−1<t <2，
故2 AC −AB的取值范围是(−1,2)．
故选：C
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：
一是将所求量表示为与边有关的形式，利用函数知识或基本不等式求得最值或范围；
二是将所求量用三角形的某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定最值或范围．
23．设锐角△ABC的三个内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且c =1, A =2C，则
△ABC周长的取值范围为（ ）
A．(3,2+√2]
B．(3,3+√3]
C．(2+√2,3+√3)
D．(2+√2,3+√3]
【答案】C
【分析】
首先求出角C的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得a=2cosC，再利用正弦定理和
三角恒等变换得b= 4 cos
2C −1，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到
范围.
【详解】
因为△ABC为锐角三角形，所以0< A < π
2 ，0<B< π
2 ，0<C < π
2 ，
即0<2C < π
2 ，0<π −C −2C < π
2 ，0<C < π
2 ，所以π
6 <C < π
4 ，√2
2 <cosC < √3
2 ；
又因为A =2C，所以sin A =2sinC cosC，又因为c =1和正弦定理得a=2cosC，
由
b
sin B =
c
sinC ，即b= c sin B
sinC = sin (π −3C)
sinC
= sin3C
sinC = sinC cos2C +cosC sin 2C
sinC
= sinC (2cos
2C −1)+cosC ⋅2sinC cosC
sinC
= 4 cos
2C −1，
所以a+b+c = 4 cos
2C +2cosC，令t =cosC，则t ∈¿，
又因为函数y = 4 t
2+2t在¿上单调递增，所以函数值域为¿，
则△ABC的周长的取值范围为¿.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解题关键是利用正弦定理实现边角的转化得到△ABC周长关于角
C的函数关系，借助二次函数的单调性求最值.
24．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，若
(b
2−a
2)sin B =2S，则b+c
a
取值范围是（ ）
A．(1,5)
B．(√2+1,5)
C．(1,√3+2)
D．(√2+1,√3+2)
【答案】D
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】利用余弦定理、正弦定理，三角形面积的正弦表示以及三角恒等变换化简得出
B =2 A，利用△ABC为锐角三角形求出角A的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可
得出b+c
a
=(2cos A)
2+2cos A −1，利用二次函数的基本性质可求得b+c
a
的取值范围.
【详解】由题意得：S = 1
2 ac sin B，得：(b
2−a
2)sin B =ac sin B，
又sin B>0，得：a
2+ac =b
2，
由余弦定理得：a
2+ac =b
2=a
2+c
2−2ac cos B，化简得：a=c−2acos B，
由正弦定理得:sin A =sinC −2sin A cos B =sin ( A + B)−2sin A cos B
=sin A cos B+cos A sin B−2sin A cos B =sin Bcos A −cos Bsin A =sin (B−A)，
因为：B , A ∈(0,π
2 )，则：−π
2 <B−A <π
2 ，
又因为正弦函数y =sin x在(−π
2 ,π
2 )上单调递增，所以：A = B−A，即：B =2 A，
则：C =π−B−A =π−3 A，
因为△ABC为锐角三角形，则：¿，解得：π
6 < A <π
4 ，则：√2<2cos A <√3，
所以：b+c
a
= sin B+sinC
sin A
= sin 2 A +sin (π−3 A)
sin A
= 2sin A cos A +sin A cos2 A +cos A sin 2 A
sin A
= sin A (2cos A +2cos
2 A −1+2cos
2 A)
sin A
=(2cos A)
2+2cos A −1，
令：t =2cos A ∈(√2,√3)，则函数y =t
2+t −1在(√2,√3)上单调递增，
故b+c
a
=(2cos A)
2+2cos A −1∈(√2+1,√3+2)，故D 项正确.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用三角恒等变换与解三角形的相关知识化得
B =2 A，从而得到A的取值范围，进而利用正弦定理的边角变换与三角恒等变换即可得解.
【考点7 求三角形面积的最值范围】
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
25．设O是△ABC的外心，点D为AC的中点，满足⃗DO = 2
3 λ⃗AB−1
2 λ⃗AC , λ∈R，若
|⃗BC|=2，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．4√2
D．8
【答案】B
【分析】首先由⃗DO = 2
3 λ⃗AB−1
2 λ⃗AC , λ∈R，DO⊥AC，结合余弦定理得出
c
2= b
2
2 + 4，进一步由三角形面积公式、同角三角函数关系恒等式得
S△ABC = 1
2√−1
16 (b
2−32)
2+64，由此即可得解.
【详解】
因为⃗DO = 2
3 λ⃗AB−1
2 λ⃗AC , λ∈R，DO⊥AC，
所以⃗DO⋅⃗AC =(
2
3 λ⃗AB−1
2 λ⃗AC)⋅⃗AC = 2 λ
3 cbcos∠BAC −λ
2 b
2=0, λ∈R，
从而4 cbcos∠BAC =3b
2，即4 cb⋅c
2+b
2−a
2
2cb
=3b
2，
所以c
2+b
2−4 = 3b
2
2 ，所以c
2= b
2
2 + 4，
所以△ABC的面积为S△ABC = 1
2 bc sin∠BAC = 1
2 bc√1−cos
2∠BAC
= 1
2√
(bc)
2−(bc)
2(
b
2+c
2−a
2
2bc )
2
= 1
2√b
2c
2−(b
2+c
2−a
2)
2
4
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
= 1
2√b
2c
2−(
3b
2
2 )
2
4
= 1
2√
b
2(
b
2
2 + 4)−9b
4
16
= 1
2√−b
4
16 + 4 b
2= 1
2√−1
16 (b
2−32)
2+64≤1
2 √64 = 4，
等号成立当且仅当b= 4√2,c =2√5，
综上所述，△ABC面积的最大值为4.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：关键是依次得出c
2= b
2
2 + 4，S△ABC = 1
2√−1
16 (b
2−32)
2+64，由此
即可顺利得解.
26．已知△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，满足
asin A +c (sin A +sinC)=2sin B，若b=2，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．√3
4
B．√3
6
C．√3
3
D．√3
2
【答案】C
【分析】根据正弦定理得a
2+c
2=b
2−ac，然后根据余弦定理求出∠B = 2π
3 ，再利用重要
不等式求出ac≤4
3 即可
【详解】由asin A +c (sin A +sinC)=2sin B，
由正弦定理得sin A = a
2 R ,sin B = b
2 R ,sinC = c
2 R ，
又asin A +c (sin A +sinC)=2sin B，且b=2，
所以a
2+c
2=b
2−ac，故cos B = a
2+c
2−b
2
2ac
=−1
2，
又B∈(0,π)，所以∠B = 2π
3 ，
由a
2+c
2≥2ac，即a
2+c
2=b
2−ac = 4−ac≥2ac，得ac≤4
3 ，
△ABC面积的最大值为1
2 ac sin 2π
3 = √3
4 ac = √3
3 ，
故选：C．
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
27．在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，已知c =6,sin B
sin A = 6a−b
b
，则
△ABC面积的最大值为（ ）
A．19
2
B．21
2
C．12
D．15.
【答案】C
【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出ab的关系，再利用余弦定理求出cosC，进而
可得出sinC，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.
【详解】由sin B
sin A = 6a−b
b
，由正弦定理得b
a = 6a−b
b
，即(b−2a)(b+3a)=0，
所以b=2a，
由余弦定理得cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
= 5a
2−36
4 a
2
，
所以sinC =√1−cos
2C =√
1−(5a
2−36)
2
16a
4
= √−9a
4+360a
2−1296
4 a
2
，
所以S△ABC = 1
2 absinC =a
2⋅√−9a
4+360a
2−1296
4 a
2
= √−9(a
2−20)
2+2304
4
，
当a
2=20，即a=2√5时，S△ABC取得最大值12.
故选：C.
28．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知
c =2,
1
tan A +
1
tan B +
1
tan A tan B =1．则△ABC面积的最大值为（ ）
A．1+√2
B．1+√3
C．2√2
D．2√3
【答案】A
【分析】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角C的大
小，再由余弦定理及基本不等式可得ab的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值．
【详解】因为
1
tan A +
1
tan B +
1
tan A tan B =1，可得tan A + tan B+1= tan A tan B，
即sin A
cos A + sin B
cos B +1= sin A sin B
cos A cos B ，
整理可得sin A cos B+cos A sin B+cos A cos B =sin A sin B，
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即sin( A + B)=−cos( A + B)，
在三角形中sin( A + B)=sinC，cos( A + B)=−cosC，
即sinC =cosC，C ∈(0,π),可得C =π
4 ；
由余弦定理可得c
2=b
2+a
2−2abcosπ
4 ≥2ab−√2ab，当且仅当a=b时取等号，
而c =2，
所以ab≤
4
2−√2 =2(2+√2)，
所以S△ABC = 1
2 absinC ≤1
2 ×2(2+√2)× √2
2 =1+√2．
即该三角形的面积的最大值为1+√2．
故选：A．
29．在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，2asin A −bsin B =3c sinC，若S
表示△ABC的面积，则S
b
2的最大值为（ ）
A．√7
4
B．√10
6
C．2√3
3
D．√5
2
【答案】D
【分析】由条件利用正弦定理得a,b,c的关系，由余弦定理可得cos A，结合三角形面积公
式求得( S
b
2 )
2
的表达式，根据二次函数的性质可求得最大值，进而得解.
【详解】因为2asin A −bsin B =3c sinC，
由正弦定理得2a
2−b
2=3c
2，所以a
2= 1
2 b
2+ 3
2 c
2，
由余弦定理得cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= b
2−c
2
4 bc ，
所以( S
b
2 )
2
=
( 1
2 bc sin A )
2
b
4
= c
2sin
2 A
4 b
2
= c
2(1−cos
2 A )
4 b
2
=1
64 (−c
4
b
4 + 18c
2
b
2 −1)，
令c
2
b
2 =t，则( S
b
2 )
2
=1
64 (−t
2+18t −1)≤5
4 ，当且仅当t =9，即c =3b时取等号，
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以S
b
2 ≤√5
2
，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查的知识并不算困难，但计算量较大，解决的关键是熟练掌
握数学的计算，做到不出错即可得解.
30．已知圆锥的侧面积为6√3π，高为√3，设圆锥的顶点为P，点A ,B均在底面圆周上，
则△PAB面积的最大值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】B
【分析】求出圆锥的高和底面半径，得出圆锥的轴截面的边长，即可求出△PAB面积的最
大值.
【详解】由题意，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的高h=√l
2−r
2=√3，
又圆锥的侧面积为6√3π，所以πrl =6√3π，得r =3,l =2√3，
易知该圆锥的轴截面为边长分别为2√3,2√3,6的等腰三角形，且顶角为120°．
设等腰三角形PAB的顶角为θ,
∵三角形PAB的面积为1
2 l⋅lsinθ
∴当等腰三角形PAB的顶角为90°时，其面积最大，为1
2 ⋅l⋅l = 1
2 ×(2√3)
2=6，
故选：B.
【考点8 与中线有关的解三角形】
31．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c =3，b=2，∠BAC的平分线
AD的长为4√6
5
，则BC边上的中线AH的长等于（ ）
A．√17
2
B．4√2
3
C．√17
4
D．4√3
3
【答案】A
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】由设∠BAD =∠CAD =α，S△ABC = S△ABD+ S△ACD可得cosα的值，进而可求得
cos2α ，sin2α的值，结合余弦定理可得a，由⃗AH
2= 1
4 (⃗AB+⃗AC)
2
可求得⃗AH
2，即可求
得结果.
【详解】由题意知，设∠BAD =∠CAD =α，则∠BAC =2α，如图所示，
由S△ABC = S△ABD+ S△ACD可得1
2 ×3×2sin 2α = 1
2 ×3× 4√6
5
sin α + 1
2 ×2× 4√6
5
sin α，
整理得3sin 2α =2√6sin α，即sin α (3cosα −√6)=0，
又因为sin α ≠0，所以cosα = √6
3 ，
所以cos2α =2cos
2α −1= 1
3，所以sin 2α =√1−cos
22α = 2√2
3
，
在△ABC中，由余弦定理得a
2=3
2+2
2−2×3×2cos2α =13−4 =9，所以a=3，
由AH是BC边上的中线，得⃗AH = 1
2 (⃗AB+⃗AC)⃗
AH
2= 1
4 (⃗AB+⃗AC)
2
= 1
4 (⃗AB+⃗AC
2+2⃗AB⋅⃗AC)= 1
4 (b
2+c
2+2bc cos2α)= 1
4(b
2+c
2+ 2
3 bc)
= 1
4(2
2+3
2+2×2×3× 1
3)= 1
4
(4+9+ 4)= 17
4 .
所以，中线长AH = √17
2 .
故选：A
32．在△ABC中，已知A =π
3
,BC =2√3，当边BC 的中线AD =√7时，△ABC的面积为
．
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】2√3
【分析】用两种方法表示⃗AB⋅⃗AC，求得|⃗AB||⃗AC|=8，代入面积公式中计算即可.
【详解】
因为边BC 的中线AD =√7，BC =2√3，所以⃗DC =−⃗DB，|⃗DB|=|⃗DC|=√3，
⃗AB⋅⃗AC =(⃗AD +⃗DB)⋅(⃗AD +⃗DC)=(⃗AD +⃗DB)⋅(⃗AD−⃗DB)=⃗AD
2−⃗DB
2=7−3= 4，
又⃗AB⋅⃗AC =|⃗AB||⃗AC|cos∠BAC =|⃗AB||⃗AC|cosπ
3 ，
所以|⃗AB||⃗AC|cosπ
3 = 4，|⃗AB||⃗AC|=8，
S△ABC = 1
2|⃗AB||⃗AC|sinπ
3 = 1
2 ×8× √3
2 =2√3.
故答案为：2√3.
33．在△ABC中，内角A，B，C 所对边的长分别为a，b，c，且满足
a+c =b(√3sin A +cos A).
(1)求B；
(2)若b=3，且△ABC的面积为√3，BD是△ABC的中线，求BD的长.
【答案】(1)B =π
3
(2)√17
2
【分析】（1）根据正弦定理、辅助角公式等知识化简已知条件，从而求得B.
（2）利用三角形ABC的面积求得ac，结合余弦定理、向量的模、数量积等知识求得BD
的长.
【详解】（1）因为a+c =b(√3sin A +cos A)，
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由正弦定理可得sin A +sinC =sin B(√3sin A +cos A)，
即sin A +sin( A + B)=sin B(√3sin A +cos A)，
即sin A +sin A cosB =√3sin A sin B，
又因为sin A >0，所以√3sin B−cosB =1，所以sin(B−π
6 )= 1
2.
又因为B∈(0,π)，所以B−π
6 ∈(−π
6 , 5π
6 )，
所以B−π
6 =π
6 ，所以B =π
3 .
（2）因为S△ABC =√3，所以1
2 acsin B =√3得ac = 4，
由余弦定理得：a
2+c
2=b
2+2accosB =13.
又⃗BD = 1
2 (⃗BA +⃗BC)，
所以|⃗BD|
2= 1
4 (⃗BA +⃗BC )
2= 1
4 (c
2+a
2+2accosB)= 17
4 ，
得|⃗BD|= √17
2 ，故BD的长为√17
2 .
【考点9 与角平分线有关的解三角形】
34．在△ABC 中，内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，若
asin A =c sinC +(b−c)sin B，角A 的角平分线交BC 于点D，且AD =2√3,c =3b，则a
的值为（ ）
A．7
2
B．4√7
3
C．3
D．8√7
3
【答案】D
【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角A的值，由S△ABC = S△ABD+ S△ACD可得
出cb=2c +2b，结合c =3b可求得b,c的值，再利用余弦定理可求得a的值.
【详解】因为asin A =c sinC +(b−c)sin B，由正弦定理得：a
2=c
2+b
2−bc，则
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
c
2+b
2−a
2=bc，由余弦定理可得：cos A = c
2+b
2−a
2
2bc
= bc
2bc = 1
2
， ∵0< A <π，所以
A = π
3
，由S△ABC = S△ABD+ S△ACD，有1
2 cbsin π
3 = 1
2 c⋅AD sin π
6 + 1
2 b⋅AD sin π
6
，得
cb=2c +2b，
因为c =3b，所以3b
2=8b，∵b>0，∴b= 8
3，c =3b=8，由余弦定理可得
a=√c
2+b
2−2cbcos A =√64 + 64
9 −64
3 = 8√7
3
.
故选：D.
35．在△ABC中，∠BAC = 2π
3 ，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，△ABD的面积是
△ADC面积的3 倍，则tan B =（ ）
A．√3
7
B．√3
5
C．3√3
5
D．6−√3
33
【答案】A
【分析】利用面积之比可得c =3b，，作AB边上高，垂足为H，即可求tan B.
【详解】
因为
S△ABD
S△ADC
=
1
2 ⋅AB⋅AD sin ∠BAD
1
2 ⋅AC ⋅AD sinCAD
= AB
AC =3，
即c =3b，在△ABC中，作AB边上高，垂足为H，
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则tan B = CH
BH = bsin ∠CAH
AB+ AH
=
bsin ∠CAH
AB+bcos∠CAH =
√3
2 b
7
2 b
= √3
7 ，
故选:A.
36．△ABC中，cos A = 1
8，AB = 4 , AC =2．则∠A的角平分线AD的长为 ．
【答案】2
【分析】作出图形，利用余弦定理求得BC，进而求得cos B的值，利用正弦定理可求得
BD的值，最后在△ABD中利用余弦定理求得AD的长.
【详解】在△ABC中，cos A = 1
8，AB = 4，AC =2，
由余弦定理得BC =√A B
2+ A C
2−2 AB⋅AC cos A =3√2，
由余弦定理得cos B = A B
2+ BC
2−A C
2
2 AB⋅BC
= 5√2
8
，
由题意可得∠BAD =∠CAD，∠ADB+∠ADC =π，
∴sin ∠ADB =sin (π−∠ADC)=sin ∠ADC，
在△ABD中，由正弦定理得
BD
sin ∠BAD =
AB
sin ∠ADB ，①
在△ACD中，由正弦定理得
CD
sin ∠CAD =
AC
sin ∠ACD ，②
①÷②得BD
CD = AB
AC =2，∴BD =2CD，则BD = 2
3 BC =2√2，
在△ABD中，由余弦定理得AD =√A B
2+ B D
2−2 AB⋅BD cos B =2.
故答案为：2.
37．已知△ABC中，∠A = 2π
3 ，∠A的角平分线交BC于点D，AD =1且CD =2BD，则
△ABC的面积为 .
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】9√3
8
/9
8 √3
【分析】根据题意，利用正弦定理，求得AC =2 AB，再由S△ABD+ S△ACD= S△ABC，列出方
程，求得AB的长，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】因为∠A的角平分线交BC于点D，且CD =2BD，
在△ABD中，由正弦定理得
AB
sin ∠ADB =
BD
sin ∠BAD ，
在△ACD中，由正弦定理得
AC
sin ∠ADC =
CD
sin ∠CAD ，
因为∠BAD =∠CAD，且∠ADB+∠ADC =π，所以sin∠ADB =sin∠ADC，
可得AB
AC = BD
CD ，所以AC =2 AB，
又因为S△ABD+ S△ACD= S△ABC，且∠A = 2π
3 ，AD为角A的平分线，
可得1
2 × AB× AD×sinπ
3 + 1
2 × AC × AD×sinπ
3 = 1
2 × AB× AC ×sin2π
3 ，
因为AD =1，且AC =2 AB，
可得1
2 × AB×1× √3
2 + 1
2 ×2 AB×1× √3
2 = 1
2 × AB×2 AB× √3
2 ，解得AB = 3
2，
所以S△ABC = 1
2 × AB× AC sin A = 1
2 × 3
2 ×3× √3
2 = 9√3
8
.
故答案为：9√3
8
.
39．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a，b，c，已知cosB
1−cos2C =sin B−1
sin2C
．
(1)求角A和角C之间的等式关系；
(2)若cosC <0，BD为∠CBA的角平分线，且BD =2，△ABC的面积为2√3
3
，求c的长．
【答案】(1)C =π
2 −A或C =π
2 + A
(2)c =2√2
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）由三角恒等变换得到cos A =sinC，从而求出C =π
2 −A或C =π
2 + A；
（2）结合（1）中结论得到C =π
2 + A，B =π
2 −2 A，求出∠BDC =π
4 ，∠BDA = 3π
4 ，
在两个三角形中，分别使用正弦定理得到BA = √2
sin A ，BC = √2
cos A ，结合三角形面积求出
tan 2 A =√3，A =π
6 ，进而求出c =2√2.
【详解】（1）由
cos B
1−cos2C = sin B−1
sin 2C 得cos B
2sin
2C
=
sin B−1
2sinC cosC ，
因为C ∈(0,π)，所以sinC ≠0，故cos B
sinC = sin B−1
cosC
，
即cos BcosC −sin BsinC =−sinC，cos(B+C)=−sinC，
由于cos(B+C)=−cos A，故cos A =sinC，
则C =π
2 −A或C =π
2 + A；
（2）由（1）C =π
2 −A或C =π
2 + A，
因为cosC <0，得C =π
2 + A，B =π
2 −2 A，
BD为∠CBA的角平分线，故∠BDC = 1
2 ∠B+ A =π
4 −A + A =π
4 ，
故∠BDA = 3π
4 ，
因为BD =2，
在△ABD中，由正弦定理得BD
sin A =
BA
sin ∠BDA ，
即
2
sin A =
BA
sin 3π
4
，解得BA = √2
sin A ，
在△BCD中，由正弦定理得BD
sinC =
BC
sin ∠BDC ，
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即
2
sin(
π
2 + A)
=
BC
sinπ
4
，解得BC = √2
cos A ，
由△ABC的面积为2√3
3
，得1
2 × √2
sin A × √2
cos A sin B = 2√3
3
，
因为B =π
2 −2 A，所以1
2 × √2
sin A × √2
cos A cos2 A = 2√3
3
，解得tan 2 A =√3，
因为C =π
2 + A，故A ∈(0,π
2 )，所以A =π
6 ，
所以c = BA = √2
sin A =2√2.
40．在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，△ABC的面积记为S，已知
3c sinC +
S
acos A =0，sin B =3sinC．
(1)求A；
(2)若BC 边上的中线长为1，AD 为角A 的角平分线，求CD 的长．
【答案】(1)A = 2π
3
(2)3√91
14
【分析】（1）利用三角形面积公式以及正弦定理即可计算得出cos A =−1
2，即可得
A = 2π
3 ；
（2）利用平面向量可得c = 2√7
7
，再由等面积法即可得CD = 3√13c
4
，代入计算可求出
CD 的长．
【详解】（1）因为3c sinC +
S
acos A =0，所以3c sinC +
1
2 bc sin A
acos A
=0，即
3sinC + bsin A
2acos A =0，
由正弦定理可得3sinC + sin A sin B
2sin A cos A =0，即3sinC + sin B
2cos A =0
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以cos A =−sin B
6sinC =−1
2．
因为A ∈(0,π)，所以A = 2π
3 ．
（2）设AE 为BC 边上的中线，可得⃗AE = 1
4 (⃗AC +⃗AB)，
如下图所示：
则⃗AE
2= 1
4 (⃗AC +⃗AB)
2
，
所以1= 1
4 (b
2+c
2−bc)= 7
4 c
2，解得c = 2√7
7
．
因为S△ABC = S△ABD+ S△ACD，
所以1
2 bc sin 2π
3 = 1
2 b⋅AD sinπ
3 + 1
2 c⋅AD sinπ
3 ，
所以AD = bc
b+c = 3c
4 ；由sin B =3sinC可得b=3c，
利用余弦定理可得C D
2=9c
2+ 9c
2
16 −2× 9
4 c
2× 1
2 = 9×13
16
c
2，
所以CD = 3√13c
4
= 3√91
14
．
【考点10 与高线有关的解三角形】
42．在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c ,(2b−c)cos A =acosC．
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为√3,BC边上的高为1，求△ABC的周长．
【答案】(1)π
3
(2)2√6+2√3
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得cos A = 1
2，则得到A的大小；
（2）利用三角形面积公式得bc = 4，再结合余弦定理得b+c的值，则得到其周长.
【详解】（1）因为(2b−c)cos A =acosC，
由正弦定理，得(2sin B−sinC )cos A =sin A cosC，
即2sin Bcos A =sin A cosC +sinC cos A，即2sin Bcos A =sin B.
因为在△ABC中，sin B≠0，
所以cos A = 1
2.
又因为0< A <π，所以A =π
3 .
（2）因为△ABC的面积为√3，
所以1
2 a×1=√3，得a=2√3.
由1
2 bc sin A =√3，即1
2 bc× √3
2 =√3，
所以bc = 4.由余弦定理，得a
2=b
2+c
2−2bc cos A，即12=b
2+c
2−bc，
化简得(b+c)
2=3bc +12，所以(b+c)
2=24，即b+c =2√6，
所以△ABC的周长为a+b+c =2√6+2√3.
43．在△ABC中，BC =5, AC =6,cosB = 1
8．
(1)求AB的长；
(2)求AC边上的高．
【答案】(1)4
(2)5√7
4
【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入运算得解；
（2）求出sin B，由等面积法求解.
【详解】（1）由题，a=5，b=6，cos B = 1
8，由余弦定理得，
∴1
8 = 25+c
2−36
2×5c
，解得c = 4，即AB = 4.
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）在△ABC中，cos B = 1
8，∴sin B = 3√7
8
，设AC边上的高为h，
则1
2 bh= 1
2 ac sin B，即6h=5×4× 3√7
8
，解得h= 5√7
4
.
所以AC边上的高为5√7
4
.
44．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，面积为S，且S = abc
4 ．
(1)求△ABC的外接圆的半径；
(2)若b+c =2，且A = 2π
3 ，求BC边上的高．
【答案】(1)1；
(2)1
2.
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理、三角形面积公式求解即得.
（2）结合（1）的信息，求出边a，再利用余弦定理结合已知面积关系求解即得.
【详解】（1）在△ABC中，1
2 bc sin A = S = abc
4 ，解得a=2sin A，
由正弦定理得△ABC的外接圆的半径R = 1
2 ⋅
a
sin A =1.
（2）由（1）知，a=2sin 2π
3 =√3，
由余弦定理得a
2=b
2+c
2−2bc cos 2π
3 =(b+c)
2−bc，则bc =2
2−(√3)
2=1，
令BC边上的高为h，则1
2 ah= S = abc
4 ，即h= 1
2 bc = 1
2，
所以BC边上的高为1
2.
45．设△ABC的内角A ,B ,C所对的边分别是a,b,c ,且向量⃗
m=(a,b),⃗n=(−√3cos A ,sin B)满足⃗m//⃗n.
(1)求A；
(2)若a=√13,b=3，求BC 边上的高h.
【答案】(1)2π
3
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)h= 3√39
26
【分析】（1）根据向量平行关系得到方程，结合正弦定理得到tan A =−√3，求出
A = 2π
3 ；
（2）由余弦定理得到c =1，根据三角形面积得到方程，求出答案.
【详解】（1）因为⃗m//⃗n，所以asin B+√3bcos A =0，
由正弦定理得sin A sin B+√3sin Bcos A =0，
因为B∈(0,π)，所以sin B≠0，所以tan A =−√3，
又A ∈(0,π)，解得A = 2π
3 ；
（2）因为a=√13,b=3, A = 2π
3 ，所以a
2=b
2+c
2−2bc cos A，
即(√13)
2=3
2+c
2−2×3c×(−1
2),
化简得c
2+3c−4 =0，解得c =1或c =−4(舍去)，
由△ABC的面积S = 1
2 bc sin A，又S = 1
2 ah，
故1
2 ×3×1× √3
2 = 1
2 ×√13h，解得h= 3√39
26
.
46．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(1+cosC )=√3c sin B.
(1)求角C的大小；
(2)若c =√10，b−a=2，求AC边上的高.
【答案】(1)π
3
(2)−√3+√21
2
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式计算可得；
（2）利用余弦定理求出a，再由AC边上的高h=asinC计算可得.
【详解】（1）因为b(1+cosC )=√3c sin B，
由正弦定理可得sin B(1+cosC )=√3sinC sin B，
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又因为B∈(0,π)，则sin B≠0，所以1+cosC =√3sinC，
整理得到2sin(C −π
6 )=1，即sin(C −π
6 )= 1
2，
因为C ∈(0,π)，所以C −π
6 ∈(−π
6 , 5π
6 )，
所以C −π
6 =π
6 ，所以C =π
3 .
（2）由余弦定理c
2=a
2+b
2−2abcosC，且c =√10，则有10=a
2+b
2−ab，
又b−a=2，解得a=−1+√7或a=−1−√7（舍去），
所以AC边上的高h=asinC = −√3+√21
2
.
【考点11 三角形或四边形的解三角形 】
47．在凸四边形ABCD中，AB = BC =√7,∠ABC = 2π
3 .
(1)若BD =2√7,cos∠ABD = 1
7 .求CD的长；
(2)若四边形ABCD有外接圆，求AD +CD的最大值.
【答案】(1)CD =√13
(2)2√21.
【分析】（1）由同角关系可得正弦值，进而由和差角公式，结合余弦定理即可求解，
（2）根据正弦定理可得CD =2√7sinθ，同理可知
AD =2√7sin(
2π
3 −θ)=2√7(
√3
2 cosθ+ 1
2 sinθ)，进而由三角函数的性质即可求解最
值.
【详解】（1）因为cos∠ABD = 1
7 >0，所以sin∠ABD =√1−cos
2∠ABD = 4√3
7
，
所以cos∠CBD =cos(
2π
3 −∠ABD)=−1
2 cos∠ABD+ √3
2 sin∠ABD = 11
14 ，
由余弦定理可知，
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C D
2= B D
2+ BC
2−2BD⋅BC ⋅cos∠CBD =7+28−2×√7×2√7× 11
14 =13，即
CD =√13
（2）因为四边形ABCD有外接圆，所以∠ADC =π−∠ABC =π
3 ，
因为AB = BC，且由正弦定理可知，
AB
sin∠ADB =
BC
sin∠CDB =2 R，
所以sin∠ADB =sin∠CDB，即∠ADB =∠CDB =π
6 ，
设∠DBC =θ∈(0, 2π
3 )，则∠ABD = 2π
3 −θ，
由正弦定理可知，
CD
sinθ =
BC
sin∠CDB = √7
1
2
=2√7，
所以CD =2√7sinθ，同理可知AD =2√7sin(
2π
3 −θ)=2√7(
√3
2 cosθ+ 1
2 sinθ)，
所以CD + AD =2√7(
√3
2 cosθ+ 3
2 sinθ)=2√21sin(θ+π
6 )，
因为θ∈(0, 2π
3 )，所以θ+π
6 ∈(
π
6 ,5π
6 )，所以当θ+π
6
=π
2
，
即θ =π
3
时，AD +CD取得最大值为2√21.
48．如图，在平面四边形ABCD中，AB =1，BC =3，AD =CD =2.
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)当四边形ABCD内接于圆O 时，求角C；
(2)当四边形ABCD面积最大时，求对角线BD的长.
【答案】(1)C =π
3
(2)√7.
【分析】（1）根据A +C =π，结合余弦定理求解即可；
（2）将四边形ABCD的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式
结合三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得：
B D
2= A B
2+ A D
2−2 AB⋅AD⋅cos A =1
2+2
2−2×1×2×cos A，
B D
2= BC
2+C D
2−2BC ⋅CD⋅cosC =3
2+2
2−2×3×2×cosC，
所以5−4 cos A =13−12cosC.
又四边形ABCD内接于圆O，
所以A +C =π，
所以5−4 cos(π −C)=13−12cosC，
化简可得cosC = 1
2，又C ∈(0,π)，
所以C =π
3 .
（2）设四边形ABCD的面积为S，
则S = S△ABD+ S△BCD= 1
2 ⋅AB⋅AD⋅sin A + 1
2 ⋅BC ⋅CD⋅sinC，
又B D
2= A B
2+ A D
2−2 AB⋅AD⋅cos A = BC
2+C D
2−2BC ⋅CD⋅cosC，
所以¿，即¿
平方后相加得S
2+ 4 =10+6sin A sinC −6cos A cosC，即S
2=6−6cos( A +C)，
又A +C ∈(0,2π)，
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以A +C =π时，S
2有最大值，即S 有最大值.
此时，A =π−C，代入2=3cosC −cos A得cosC = 1
2.
又C ∈(0,π)，所以C =π
3
在△BCD中，可得：
B D
2= BC
2+C D
2−2BC ⋅CD⋅cosC =2
2+3
2−2×2×3×cosπ
3 =7，即BD =√7.
所以，对角线BD的长为√7.
49．如图，平面四边形ABCD 中，AD =5，CD =3，∠ADC =120°．△ABC的内角A，
B，C 的对边分别为a，b，c，且满足a+b
c
= sin A −sinC
sin A −sin B ．
(1)求四边形ABCD 的外接圆半径R；
(2)求△ABC内切圆半径r 的取值范围．
【答案】(1)R = 7√3
3
(2)r ∈(0, 7√3
6 ]
【分析】(1)利用余弦定理求出AC =7，再利用正弦定理和余弦定理求得B = π
3 ，进而得到
A，B，C，D 四点共圆，利用正弦理即可求解.
（2）结合（1）的结论和正弦定理可得：r =
1
2√3 (a+c−7)，然后再利用正弦定理和辅助
角公式以及正弦函数的图像和性质即可求解.
【详解】（1）在△ACD中，A C
2= A D
2+ DC
2−2 AD⋅DC ⋅cos120° = 49，
所以AC =7，由正弦定理，a+b
c
= sin A −sinC
sin A −sin B = a−c
a−b ，可得b
2=a
2+c
2−ac，
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
再由余弦定理，cos B = 1
2，又B∈(0,π )，所以B = π
3 .因为∠ADC =120°，
所以∠ABC +∠ADC =180°，所以A，B，C，D 四点共圆，
则四边形ABCD 的外接圆半径就等于△ABC外接圆的半径.
又2 R =
b
sin B = 7
√3
2
= 14√3
3
，所以R = 7√3
3
.
（2）由（1）可知：a
2+c
2−ac = 49，则(a+c)
2= 49+3ac.
S△ABC = 1
2 ac sin B = 1
2 (a+b+c)⋅r，
则r = √3
2
ac
7+a+c =
1
2√3 × (a+c)
2−49
7+a+c
=
1
2√3 (a+c−7).
在△ABC中，由正弦定理，
a
sin A =
c
sinC =
b
sin B = 14√3
3
，所以a= 14√3
3
sin A，c = 14√3
3
sinC，则
a+c = 14√3
3
(sin A +sinC )= 14√3
3
[sin A +sin (120°−A)]
= 14√3
3 (sin A + √3
2 cos A + 1
2 sin A)
= 14√3
3 (
3
2 sin A + √3
2 cos A)=14(sin A ⋅√3
2 +cos A ⋅1
2)=14 sin(A +π
6 )，
又A ∈(0, 2π
3 )，所以A +π
6 ∈(
π
6 , 5π
6 )，所以sin(A +π
6 )∈(
1
2 ,1]，
14 sin(A +π
6 )∈(7,14 ]，所以r ∈(0, 7√3
6 ].
50．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且5(sin A +sinC)b=12asinC.
(1)若a=2b−c，求cosB 的值；
(2)是否存在△ABC，满足B 为直角？若存在，求出△ABC 的面积；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)4
5 ；
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)不存在，理由见解析．
【分析】（1）根据正弦定理可得5(a+c)b=12ac，结合a=2b−c可得a,b,c的关系，再
根据余弦定理即可求出cosB 的值；
（2）假设存在△ABC，满足B 为直角，从而可将题目条件化为sin A +cos A = 6
5 sin 2 A，
再解方程结合三角函数的范围即可判断．
【详解】（1）因为a=2b−c，所以a+c =2b，因为5(sin A +sinC)b=12asinC，
所以由正弦定理得5(a+c)b=12ac，所以b
2
ac = 6
5，
所以由余弦定理得cos B = (a+c)
2−2ac−b
2
2ac
= 3b
2
2ac −1= 3
2 × 6
5 −1= 4
5
.
（2）假设B为直角，则sin B =1，sinC =cos A，由题意根据正弦定理可得，
(sin A +sinC)sin B = 12
5 sin A ⋅sinC，即sin A +cos A = 6
5 sin 2 A，
上式两边平方得：1+sin 2 A = 36
25 sin
22 A，
所以(9sin 2 A +5)(4 sin 2 A −5)=0，由于0<sin2 A ≤1，
所以9sin2 A +5>0，4 sin2 A −5<0，与(9sin 2 A +5)(4 sin 2 A −5)=0矛盾，
故不存在△ABC满足B 为直角.
51．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c =2(a−bcosC ).
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，求sin
2 A +sin
2C的取值范围.
【答案】(1)π
3
(2)(
5
4 , 3
2]
【分析】（1）根据余弦定理,将角化边,即可得到三边关系,进而转化成余弦定理形式求解.
（2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，根据角的范围求解.
【详解】（1）∵c =2(a−bcosC )及cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
，
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
∴c =2(a−a
2+b
2−c
2
2a
)，化简得a
2+c
2−b
2
2ac
= 1
2，
∴cosB = 1
2，又0<B<π，∴B =π
3 .
（2）由（1）可得
sin
2 A +sin
2C = 1
2 (1−cos2 A )+ 1
2 (1−cos2C )
=1−1
2 (cos2 A +cos2C )=1−1
2 [cos2 A +cos2( 2π
3 −A )]
=1−1
2 ( 1
2 cos2 A −√3
2 sin 2 A )=1−1
2 cos(2 A + π
3 )
△ABC为锐角三角形，
∴0< A < π
2 且0<C = 2π
3 −A < π
2 ，∴π
6 < A < π
2 ，
∴2π
3 <2 A + π
3 < 4 π
3 .
∴−1⩽cos(2 A + π
3 )<−1
2，∴5
4 <1−1
2 cos(2 A + π
3 )⩽3
2，
故sin
2 A +sin
2C的取值范围为( 5
4 , 3
2 ].
52．已知△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a，b，c，满足(2a−c)cos B =bcosC ．
(1)求B的大小；
(2)如图，AB = AC，在直线AC的右侧取点D，使得AD =2CD = 4．当角D为何值时，四
边形ABCD面积最大．
【答案】(1)π
3
(2)D = 5 π
6
41
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）由正弦定理将(2a−c)cos B =bcosC中的边化为角，再结合正弦的两角和
公式化简可求得cos B = 1
2，从而得解；
（2）由（1）可推得△ABC为等边三角形，在△ACD中，由余弦定理可求得
A C
2=20−16cos D，再根据S△ACD= 1
2 AD⋅CD sin D和S△ABC = 1
2 AB⋅BC sin B，可推
出四边形ABCD的面积S =5√3+8sin( D−π
3 )，最后由角D∈(0,π )和正弦函数的性质
即可得解．
【详解】（1）由正弦定理知，
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC ，
∵(2a−c)cos B =bcosC，
∴(2sin A −sinC )cos B =sin BcosC，
即2sin A cos B =sin BcosC +cos BsinC =sin(B+C )=sin A，
∵A ∈(0,π ),sin A ≠0，∴cos B = 1
2，
∵B∈(0,π )，∴B = π
3 ．
（2）由（1）知，B = π
3 ，
∵AB = AC，∴△ABC为等边三角形，
在△ACD中，由余弦定理知，
A C
2= A D
2+C D
2−2 AD⋅CD cos D =16+ 4−2×4×2cos D =20−16cos D，
而S△ACD= 1
2 AD⋅CD sin D = 1
2 ×4×2sin D = 4 sin D，
S△ABC = 1
2 AB⋅BC sin B = 1
2 A C
2⋅sin π
3 =5√3−4√3cos D，
∴四边形ABCD的面积
S = S△ACD+ S△ABC =5√3−4√3cos D+ 4 sin D =5√3+8sin( D−π
3 )，
∵D∈(0,π )，∴D−π
3 ∈(−π
3 ，2π
3 )，
∴当D−π
3 = π
2 即D = 5 π
6 时，S取得最大值，为5√3+8，
42
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【考点12 解三角形的实际应用】
35．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一
汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们
设计了测量方案.如图，在山脚A 测得山顶P 得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了
90 米到达B 点（A，B，P，Q 在同一个平面内），在B 处测得山顶P 得仰角为60°，则鼎湖
峰的山高PQ为（ ）米.
A．45(√6−√2)
B．45(√6+√2)
C．90(√3−1)
D．90(√3+1)
【答案】B
【分析】在△ABP中，利用正弦定理求AP，进而在Rt△PAQ中求山的高度.
【详解】由题知，∠PAQ = 45
∘，∠BAQ =15
∘，则∠PAB =30
∘，∠APQ = 45
∘，
又∠PBC =60
∘，所以∠BPC =30
∘，所以∠BPA =15
∘，∠PBA =135
∘，
在△ABP中，AB =90，
根据正弦定理有
AP
sin ∠ABP =
AB
sin ∠APB ，
且sin15
∘=sin(60
∘−45
∘)=sin 60
∘cos 45
∘−cos60
∘sin 45
∘= √6−√2
4
，
则AP = ABsin ∠ABP
sin ∠APB
= 90sin135
∘
sin15
∘
=
90× √2
2
√6−√2
4
= 180√2
√6−√2，
在Rt△PAQ中，PQ = APsin 45
∘= 180√2
√6−√2 × √2
2 = 45(√6+√2).
所以山高PQ为45(√6+√2)米.
故选：B.
53．如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D 四个点，
43
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
使得AD =2√2BC，测得∠BAD =30
∘，∠BCD = 45
∘，∠ADC =120
∘．
(1)若B，D 选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且BD =10√2km，CD =20km，
求A，C 两点间距离；
(2)求tan∠BDC的值．
【答案】(1)20√7km
(2)4+√3
13
【分析】（1）由正弦定理证得△BCD为等腰直角三角形，再由余弦定理求AC即可；
（2）设∠BDC =θ，利用正弦定理可得sin(30
∘+θ)=2sinθ，展开化简即可得其正切值.
【详解】（1）在△BCD中，由正弦定理得
CD
sin ∠CBD =
BD
sin ∠BCD ，
即
20
sin ∠CBD = 10√2
sin 45
∘，
解得sin ∠CBD =1，所以∠CBD =90
∘，
则△BCD为等腰直角三角形，所以BC =10√2，
则AD =2√2BC = 40．
在△ACD中，由余弦定理得
A C
2= A D
2+C D
2−2 AD×CD cos∠ADC =1600+ 400−2×40×20×(−1
2)=2800，
故AC =20√7．
故A，C 两点间距离为20√7 km．
（2）设∠BDC =θ，则由题意可知，∠ADB =120
∘−θ，∠ABD =30
∘+θ．
44
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在△ABD中，由正弦定理得
BD
sin ∠BAD =
AD
sin ∠ABD ，即AD
BD =2sin(30
∘+θ)，
在△BCD中，由正弦定理得
BC
sin ∠BDC =
BD
sin ∠BCD ，即BC
BD =√2sinθ，
又AD =2√2BC，所以2sin(30
∘+θ)=2√2×√2sinθ⇒1
2 cosθ+ √3
2 sinθ =2sinθ，
解得tanθ = 4 +√3
13
，所以tan ∠BDC = 4 +√3
13
．
54．汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2 公里的建昌村，该塔共十三
层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首.如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实
际高度AB，选取了与塔底B 在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得
∠BCD =30°，∠BDC =70°，∠BED =120°，BE =17.2m，DE =10.32m，在点C 测
得塔顶A 的仰角为62°.参考数据：取tan62° =1.88，sin70° =0.94，√144.9616=12.04.
(1)求BD；
(2)求塔高AB（结果精确到1m）.
【答案】(1)24.08 m
(2)85m
【分析】（1）在△BDE中，由余弦定理即可得解；
（2）在△BCD中，先利用正弦定理求出BC，再解Rt△ABC即可.
【详解】（1）在△BDE中，由余弦定理得B D
2= B E
2+ D E
2−2BE⋅DE⋅cos∠BED，
则BD =√17.2
2+10.32
2−2×17.2×10.32cos120°
=√579.8464 =2√144.9616=2×12.04 =24.08 m；
（2）在△BCD中，由正弦定理得
BD
sin∠BCD =
BC
sin∠BDC ，
45
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
则BC = BD⋅sin∠BDC
sin∠BCD
= 24.08×0.94
1
2
= 45.27 m
，
在Rt△ABC中，∠ACB =62°，
所以AB = BC ⋅tan∠ACB = 45.27×1.88=85.1076≈85 m，
故塔高AB为85m.
55．如图，某生态农庄内有一三角形区域ABC，∠ABC = π
6 ，AB =2百米，BC =2√3百
米．现要修一条直道AD（宽度忽略不计），点D在道路BC上（异于B，C两点）．
(1)若∠ADC = π
4 ，求AD的长度；
(2)现计划在△ABD区域内种植观赏植物，在△ACD区域内种植经济作物．已知种植观赏
植物的成本为每平方百米2 万元，种植经济作物的成本为每平方百米1 万元，新建道路AD
的成本为每百米1 万元，求三项费用总和的最小值．
【答案】(1)AD =√2（百米）．
(2)2√3万元
【分析】（1）首先根据余弦定理求出AC =2，再利用正弦定理即可求出AD的长；
（2）设∠ADC =θ，得到f (θ)=
1−1
2 cosθ
sinθ
+ 3√3
2
，利用导数求出其最值即可.
【详解】（1）在△ABC中，由余弦定理，得
A C
2= A B
2+ BC
2−2 AB⋅BC ⋅cos∠ABC，
因为∠ABC = π
6 ，AB =2，BC =2√3，
所以A C
2=2
2+(2√3)
2−2×2×2√3× √3
2 = 4，AC =2，
所以AB = AC，∠ACB =∠ABC = π
6 ．
46
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在△ACD中，由正弦定理，得
AD
sin ∠ACD =
AC
sin ∠ADC ，
所以AD = AC sin ∠ACD
sin ∠ADC
=
2× 1
2
√2
2
=√2（百米）．
（2）设∠ADC =θ，π
6 <θ< 5 π
6 ，由（1）可得AD =
1
sinθ ，
所以S△ACD= 1
2 AC ⋅AD⋅sin ∠CAD = 1
2 ×2×
1
sinθ ×sin(
5 π
6 −θ)=
sin(
5 π
6 −θ)
sinθ
，
又S△ABC = 1
2 ⋅AB⋅AC ⋅sin ∠BAC = 1
3 ×2×2× √3
2 =√3，
所以S△ABD= S△ABC−S△CD=√3−
sin(
5
6 π −θ)
sinθ
设三项费用之和为f (θ)，
则f (θ)=(√3−
sin(
5
6 π −θ)
sinθ )×2+
sin(
5
6 π −θ)
sinθ
×1+
1
sinθ ×1
=2√3−
sin(
5
6 π −θ)
sinθ
+
1
sinθ
=
1−1
2 cosθ
sinθ
+ 3√3
2
，π
6 <θ< 5 π
6 ，
所以f
′(θ)=
1
2 −cosθ
sin
2θ
，令f
′(θ)=0，解得θ = π
3 ，
当θ∈(
π
6 , π
3)时，f
′(θ)<0，函数f (θ)单调递减；
当θ∈(
π
3 , 5 π
6 )时，f
′(θ)>0，函数f (θ)单调递增．
47
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以f (θ)min= f(
π
3)=2√3，即三项费用总和的最小值为2√3万元．
【易错点1 正弦函数的图象】
1．已知
一条对称轴为
，则φ＝（ ）
A．
B．﹣
C．
D．
【答案】A
【解答】解：因为
一条对称轴为
，
∴
φ）＝±1，即sin（φ+
）＝±1．
∴
，k∈Z，
∴
，易知，k＝0 时，
．
故选：A．
2．若方程
在（0，π）上的解为x1，x2，则sin（x1+x2）的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：由x∈（0，π）得
，
由
可知
＝
，
故
，所以sin（x1+x2）＝
．
故选：D．
48
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【易错点2 正弦定理与三角形的外接圆】
3．已知△ABC 中，AB＝3，AC＝2，∠A＝60°，则△ABC 的外接圆面积为
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由已知得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA
＝
＝7，故BC＝
，
故
＝
＝
，R＝
，
故△ABC 的外接圆面积为πR2＝
．
故答案为：
．
【易错点3 余弦定理】
（多选）4．在△ABC 中，角A，B，C 的对边为a，b，c，若b＝2
，则
△ABC 的面积可以是（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】AC
【解答】解：因为b＝2
，
由余弦定理得：
，
即a2﹣6a﹣8＝0，a＝2 或4，
故面积
或
．
故选：AC．
【易错点4 三角形中的几何计算】
5．已知△ABC 内有一点P，满足∠PAB＝∠PBC＝30°，AB＝2，sin∠ABC＝
，则PB＝
．
49
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】
【解答】解：在△PAB 中，由三角形内角和定理，有∠PAB+∠PBA+∠APB＝180°，
又因为∠PBA+∠PBC＝∠ABC 且∠PAB＝∠PBC＝30°，
可得∠APB+∠ABC＝180°，所以
，
在△PAB 中，由正弦定理
，得
．
6．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，其中sinC＝3sinA，B＝60°，b＝
．若B 的角平分线BD 交AC 于点D，则BD＝
．
【答案】
．
【解答】解：∵BD 平分∠ABC，B＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝
∠ABC＝30°，
∴
，
∵sinC＝3sinA，
在△ABC 中，由正弦定理得c＝3a，∴
＝
，
∵b＝
，
∴由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝7，即7a2＝7，解得a＝1，
∴c＝3，
在△BCD 中，由余弦定理得CD2＝BD2+a2﹣2BD•acos30°，即16BD2﹣16
BD+9＝0，
解得BD＝
或
，
在△ABC 中，由正弦定理得
，即
，解得sinC＝
＞
50
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
sin∠CBD＝
，
∴BD＞CD，
∴BD＝
，
故答案为：
．
7．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，BD 是AC 边上的高
线，且
，则a+c 的最小值为
4
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图：令∠ABD＝α，∠CBD＝β，α+β＝120°
在直角三角形ABD 中：c＝
在直角三角形BCD 中：
∴
≥
∵
＝
（当且仅当β＝
时取等号）
∴
∴
，
故答案为：4
．
【易错点5 解三角形】
51
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
8．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A 处测得∠PAC＝
15°，沿土坡向坡顶前进25m 后到达D 处，测得∠PDC＝45°．已知旗杆CP＝10m，
PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ＝（ ）
A．
﹣1
B．
﹣1
C．
D．
【答案】D
【解答】解：在△PAD 中，∠APD＝45°﹣15°＝30°，
由正弦定理得
＝
，
在△PDC 中，PC＝10，故
，
因为cosθ＝sin∠PCD，所以
．
故选：D．
9．在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，已知B＝60°，b＝4，则△ABC 面
积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．6
【答案】B
【解答】解：△ABC 中，B＝60°，b＝4，由正弦定理得
＝
＝
＝
＝
，
所以a＝
sinA，c＝
sinC，
故S△ABC＝
acsinB＝
×
sinAsinC＝
sinAsin（120°﹣A）
＝
sinA（
cosA+
sinA）
52
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
＝
[
sin2A+
（1﹣cos2A）]
＝
×
[
sin2A﹣
cos2A+
]
＝
[sin（2A﹣30°）+
]，
因为A∈（0°，120°），2A﹣30°∈（﹣30°，210°），
所以sin（2A﹣30°）∈（﹣
，1]，
所以△ABC 面积的最大值为
×（1+
）＝4
．
故选：B．
10．记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知A＝2B．若b＝2，c＝1，则a
＝
；若
，则B＝
．
【答案】
；
．
【解答】解：△ABC 中，A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，
由正弦定理、余弦定理得a＝2b×
，
化简得a2﹣b2＝bc，
因为b＝2，c＝1，
所以a＝
；
若b+c＝
a，A＝2B，显然B 为锐角，
由正弦定理得sinB+sinC＝
sinA，
所以sinB+sin（π﹣3B）＝
sin2B，
所以sinB+sin3B＝
sin2B，
即sinB+sin（B+2B）＝
sin2B，
53
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以sinB+sinBcos2B+sin2BcosB＝
sin2B，
即sinB+sinB（2cos2B﹣1）+2sinBcos2B＝2
sinBcosB，
所以4（cosB）2＝2
cosB，
因为cosB＞0，
所以cosB＝
，
所以B＝
．
故答案为：
；
．
11．△ABC 中，AB＝
，AC＝1，B＝30°，则△ABC 的面积等于
或
．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：△ABC 中，c＝AB＝
，b＝AC＝1．B＝30°
由正弦定理可得
b＜c∴C＞B＝30°
∴C＝60°，或C＝120°
当C＝60°时，A＝90°，
当C＝120°时，A＝30°，
故答案为：
或
12．在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足sin2A+sin2B+sinAsinB＝
sin2C，则
的取值范围为 （
1 ，
]
．
【答案】见试题解答内容
54
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：∵△ABC 中，sin2A+sin2B+sinAsinB＝sin2C，
∴由正弦定理得a2+b2+ab＝c2，可得：a2+b2﹣c2＝﹣ab，
∴由余弦定理得cosC＝
＝
＝﹣
，
∴C＝
，可得：A+B＝
，C＝
，
则
＝
＝
＝
＝
sin（A+
），
由0＜A＜
，可得
＜A+
＜
，
可得
＜sin（A+
）≤1，
则
sin（A+
）∈（1，
]．
则
的取值范围为（1，
]．
故答案为：（1，
]．
13．已知在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
（1）求A；
（2）若a＝3，D 为BC 边上一点，AD＝2，DC＝2DB，求△ABC 的面积．
【答案】（1）
；
（2）
．
【解答】解：（1）△ABC 中，
，
由正弦定理得，sinCsin
＝sinAsinC，
55
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为C∈（0，π），所以sinC≠0，所以sin
＝sinA，
即sin（
﹣
）＝sinA，所以cos
＝2sin
cos
，
因为A∈（0，π），所以
∈（0，
），cos
∈（0，1），
所以sin
＝
，所以
＝
，所以A＝
；
（2）因为a＝BC＝3，AD＝2，DC＝2DB，
所以
＝
+
＝
+
＝
+
（
﹣
）＝
+
，
所以
＝
+
+
•
＝4，即4c2+b2+2cb＝36；
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc＝9，
由
，解得c＝
，b＝2
；
所以△ABC 的面积为S△ABC＝
bcsinA＝
×2
×
×
＝
．
14．已知函数
．在△ABC 中，f（A）＝f（B），且a≠b．
（Ⅰ）求∠C 的大小；
（Ⅱ）若c＝5，且△ABC 的面积为
，求△ABC 的周长．
【答案】（Ⅰ）
．
（Ⅱ）12．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝
sinx+2cos2
＝
sinx+cosx+1＝2sin（x+
）+1，
由f（A）＝f（B），得
，
在△ABC 中，因为A、B∈（0，π），
所以A+
∈（
，
），B+
∈（
，
），
又因为a≠b，所以A≠B．
56
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，即
，
所以∠C＝
．
（Ⅱ）因为△ABC 的面积为
，
所以ab＝
＝
＝8，
在△ABC 中，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，
即
，整理得a2+b2﹣ab＝25，
所以（a+b）2＝25+3ab＝49，所以a+b＝7，
所以△ABC 的周长为a+b+c＝12．
15．记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知acosB＝ccosA+acosC．
（1）证明：b＝acosB；
（2）若
，c＝2，求△ABC 的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
或
．
【解答】解：（1）因为acosB＝ccosA+acosC，及
，
所以sinAcosB＝sinCcosA+sinAcosC＝sin（A+C）＝sinB，
由
得b＝acosB，得证．
（2）由（1）及
知
，又c＝2，
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB 可得
，即7a2﹣48a+64＝0，
解得
或
，因为
，所以
，
当
时，
，
当
时，
．
57
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
58
