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机密★考试结束前
2026 年云南省初中学业水平考试数学
（全卷三个大题，共27 小题，共8 页；满分100 分，考试用时120 分钟）
注意事项：
1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作
答无效．
2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共15 小题，每小题2 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 中国陆地领土面积约为9600000km2，数据9600000 用科学记数法表示为（ ）
A. 9.6 × 106
B. 96 × 102
C. 0.96 × 108
D. 96 × 109
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的标准形式为𝑎× 10𝑛，要求1
10
a
，𝑛 为整数，解题关键是正确确定a 和𝑛 的
值．
【详解】解：∵科学记数法要求1
10
a
，原数9600000 是7 位整数，
∴将9600000 变形为a 时，小数点向左移动了6 位，可得𝑎= 9.6 ，
6
n =
，
∴9600000 = 9.6 × 106．
2. 如图，点O 在直线AB 上．若
110
AOC
=
，则
BOC
= （ ）
A. 100
B. 70°
C. 60
D. 40
【答案】B
【解析】
【详解】解：由题意，
180
70
BOC
AOC
=
−
=
.
3. 点(
)
2,5 所在的象限为（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
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【答案】A
【解析】
【分析】根据各象限点的横纵坐标符号特点第一象限(
)
,
+ + ；第二象限(
)
,−+ ；第三象限(
)
,−−；第四象
限(
)
,
+ −,即可判断．
【详解】解：点(
)
2,5 所在象限为第一象限．
4. 下列计算正确的为（ ）
A.
3
5
4
a
a
a
=
B.
4
2
a
a
a
=
C. 3
2
a
a
a
−
=
D. (
)
3
3
2a
a
=
【答案】C
【解析】
【详解】解：对于A 选项，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∵
3
5
3 5
8
4
a
a
a
a
a
+
=
=
，∴A 错误；
对于B 选项，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，
∵
4
2
4 2
2
a
a
a
a
a
−
=
=
，∴B 错误；
对于C 选项，合并同类项可得
(
)
3
3 1
2
a
a
a
a
−
=
−
=
，∴C 正确；
对于D 选项，根据积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，
∵
3
3
3
3
3
(2 )
2
8
a
a
a
a
=
=
，∴D 错误.
5. 下列四个图形中，是轴对称图形的为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
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【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图
形．根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
故此选项不符合题意；
B．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符
合题意；
C．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符
合题意；
D．图形沿着一条直线翻折，直线两旁的部分能够完全重合，所以它是轴对称图形，故此选项符合题意．
6. 某校开展了爱国主义演讲比赛，五位评委为某参赛选手打出的分数（单位：分）如下：9，7，9，8，9，
这组数据的中位数为（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】解题思路是先将数据按从小到大顺序排列，再根据数据个数为奇数，取中间位置的数得到中位
数．
【详解】解：将这组数据从小到大排列为7,8,9,9,9 ．
∵这组数据共有5 个，5 是奇数，中位数为排序后最中间的数，即第3个数，
∴这组数据的中位数为9．
7. 下列四个几何体中，俯视图是正方形的为（ ）
A. 三棱锥
B. 正方体
C. 圆柱
D. 球
【答案】B
【解析】
【分析】分别找出立体图形从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：A、三棱锥俯视图不是正方形，故此选项错误；
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B、正方体的俯视图是正方形，故此选项正确；
C、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误；
D、球的俯视图是圆，故此选项错误．
8. 按一定规律排列的代数式：2x ，4𝑥 ，6𝑥 ，8𝑥 ，10𝑥 ，…，第𝑛 个代数式为（ ）
A. x
B. 2x
C. 2𝑛𝑥
D. 𝑛2𝑥
【答案】C
【解析】
【分析】分别分析代数式的系数和字母部分的变化规律，归纳即可得到第𝑛 个代数式．
【详解】解：观察给出的代数式依次分析：
∵第1 个代数式：2𝑥= 2 × 1 · 𝑥 ，
第2 个代数式：4𝑥= 2 × 2 · 𝑥 ，
第3 个代数式：6𝑥= 2 × 3 · 𝑥 ，
第4 个代数式：8𝑥= 2 × 4 · 𝑥 ，... ，
依次类推，所有代数式的字母部分均为x ，第𝑛 个代数式的系数为2n ，
∴第𝑛 个代数式为2𝑛𝑥 ．
9. 如图，AB 是
O
的弦，点C 在
O
上．若
26
ACB
=
，则
AOB
= （ ）
A. 10°
B. 26
C. 40
D. 52
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解．
【详解】解：
2
2 26
52
AOB
ACB
=
=
=
．
10. 若
10
x −
在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围为（ ）
A. 𝑥> 4
B. 𝑥≠3
C. 𝑥< 3
D.
10
x
【答案】D
【解析】
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【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可得到结果．
【详解】解：由题意得：
10
0
x−
，解得
10
x
．
11. 如图，AC ，𝐵𝐷 相交于点O ，AB
CD
，记△𝐶𝑂𝐷 的面积为
1S ，AOB
的面积为
2
S ．若
𝐶𝐷
𝐴𝐵=
2
3，则
𝑆1
𝑆2 = （ ）
A. 2
5
B. 3
7
C.
4
9
D. 5
12
【答案】C
【解析】
【详解】解：AB
CD
，
△𝐶𝑂𝐷∽△𝐴𝑂𝐵 ，
𝐶𝐷
𝐴𝐵=
2
3，
𝑆1
𝑆2 = (
2
3)
2
=
4
9，
故选：C．
12. 分解因式：
2
64
x −
= （ ）
A. 𝑥+ 8
B. (
)(
)
8
8
x
x
+
−
C.
8
x −
D.
(
)
64
x x −
【答案】B
【解析】
【分析】将原式变形为两个数的平方差的形式，套用平方差公式即可得到结果．
【详解】解：
2
2
2
64
8
x
x
−
=
−
，
(
)(
)
2
64
8
8
x
x
x
−
=
+
−
．
13. 某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长30 cm
，侧面展开图是圆心角为180的扇
形，则这个圆锥的侧面积为（ ）
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A.
2
450π cm
B.
2
500π cm
C.
2
600π cm
D.
2
700π cm
【答案】A
【解析】
【分析】圆锥侧面展开图为扇形，圆锥母线长等于展开扇形的半径，直接利用扇形面积公式即可求出圆锥
侧面积.
【详解】解：∵圆锥的母线长为30cm，侧面展开图是圆心角为180的扇形，
∴展开扇形的半径
30
R
cm
=
，圆心角
180
n =
，
∵圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积，
∴
2
2
2
π
180π 30
450π
360
360
n R
S
cm
=
=
=
.
14. 方程组
2
9
3
2
1
x
y
x
y
+
=
−
= −
的解为（ ）
A.
2
7
2
x
y
=
=
B.
2
7
x
y
= −
=
C.
2
5
x
y
=
=
D.
2
5
3
x
y
=
=
【答案】A
【解析】
【分析】观察方程组发现y 的系数互为相反数，可采用加减消元法消去y，先求出x 的值，再代入求y 即
可．
【详解】解：
2
9
3
2
1
x
y
x
y
−
−
+
=
=
①
②
∵①+ ②，得4
8
x =
，
解得
2
x =
，
将
2
x =
代入①，得2
2
9
y
+
=
，
解得
7
2
y =
∴原方程组的解为
2
7
2
x
y
=
=
．
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15. 在Rt △𝐴𝐵𝐶 中，
90
C
=
．若
2
BC =
，
6
tan
2
B =
，则AB =（ ）
A.
1
3
B. √3
7
C. √5
D. 4
5
【答案】C
【解析】
【分析】先根据正切定义求出直角边AC 的长度，再利用勾股定理计算AB 的长度即可．
【详解】解：Rt △𝐴𝐵𝐶 中，
90
C
=
，
2
BC =
，
6
tan
2
B =
，
6
tan
2
3
2
AC
B BC
=
=
=
，
由勾股定理得
(
)
(
)
2
2
2
2
3
2
5
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
，
故选：C．
二、填空题：本题共4 小题，每小题2 分，共8 分．
16. 在矩形ABCD中，若𝐴𝐶= 7 ，则𝐵𝐷= ________．
【答案】
7
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
,
AC BD 为矩形的两条对角线，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐷 ，
∵
7
AC =
，
∴
7
BD =
.
17. 若函数𝑦=
4
𝑥的图象经过点(
)
2,m ，则m = ________．
【答案】2
【解析】
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【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点(
)
2,m 代入反比例函数解析式𝑦=
4
𝑥，即可求出m
的值．
【详解】解：函数𝑦=
4
𝑥的图象经过点(
)
2,m ，
将
2
x =
，y
m
=
代入𝑦=
4
𝑥得：
2
2
4
m =
=
．
18. 中国是历史上最早认识和使用负数的国家．某地某天最高气温为零上6 摄氏度，最低气温为零下2 摄氏
度，则该地这天最高气温比最低气温高________摄氏度．
【答案】8
【解析】
【分析】先根据正负数的意义表示出最高气温和最低气温，再利用有理数的减法法则计算最高气温与最低
气温的差值即可．
【详解】解：规定零上温度为正，则该地这天最高气温为6 C
，最低气温为2 C
−
．
∴该地这天最高气温比最低气温高
(
)
6
2
6
2
8 C
−−
=
+
=
．
19. 某市举办主题为“繁花伴书香·阅读伴成长”的书市活动，主办方为参与者准备了四种类型的赠书，分
别为文学类、科技类、劳技类、艺术类，每种类型的赠书都有相等的机会被参与者抽到．若参与者甲在主办
方准备的上述四种类型的赠书中，随机抽一种类型的赠书，则参与者甲抽到劳技类赠书的概率为________．
【答案】1
4
##0.25
【解析】
【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定抽到劳技类赠书的结果数，代入概率公式计算即可．
【详解】解：由题意可知，随机抽取一种赠书，共有4 种等可能的结果，其中抽到劳技类赠书的结果有1
种，
∴参与者甲抽到劳技类赠书的概率为1
4
．
三、解答题：本题共8 小题，共62 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
20. 如图，𝐴𝐵= 𝐷𝐶 ，AE
DE
=
，点E 是线段𝐵𝐶 的中点．求证：
ABE
DCE
△
≌△
．
【答案】证明：∵点E 是线段𝐵𝐶 的中点，
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∴BE
CE
=
，
在ABE
和DCE
中，
AB
DC
AE
DE
BE
CE
=
=
=
，
∴
(
)
| |
ABE
DCE S S S
≌
．
【解析】
【分析】利用判定方法“SSS ”证明即可．
【详解】略
21. 某校准备组织全校学生参加唱歌、舞蹈、书法、绘画、诵读活动．学校从全校学生中随机抽取了𝑛 名学
生（该校每名学生都有相等的机会被抽到），就学生自己最想参加的活动进行调查（规定参与调查的学生每
人在这五项活动中选一项而且只能选一项），根据调查结果绘制出下面的统计图：
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求𝑛 的值；
（2）若该校有学生1500人，请估计该校学生最想参加唱歌活动的人数．
【答案】（1）150
（2）360人
【解析】
【分析】( )
1 根据条形统计图解答即可；
( )
2 利用样本估计总体的方法解答即可．
【小问1 详解】
解：由条形统计图可得，
36
24 32 18 40
150
n =
+
+
+
+
=
；
【小问2 详解】
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解：
36
1500
360
150
=
（人），
答：估计该校学生最想参加唱歌活动的人数为360人．
22. 计算：
(
)
(
)
1
2
0
1
2
2sin 45
1
π
7
7
−
−
−
+
+
−
−
．
【答案】1
【解析】
【分析】分别计算绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质，再进行加减
运算即可得到结果．
【详解】解：原式
2
2
2
7
1 7
2
=
−
+
+ −
2
2
7 1 7
=
−
+ + −
1
= ．
23. 某同学计划在母亲生日当天购买一束鲜花送给她，花店推出A，B 两种生日系列花束．已知A种花束
每束的价格比B 种花束每束的价格少8 元，用480 元购买A种花束的数量与用560 元购买B 种花束的数量
相同．求每束A种花束的价格．
【答案】
每束A 种花束的价格为48 元
【解析】
【分析】设出A 种花束的单价，根据A、B 单价的关系表示出B 的单价，再利用“480 元购买A 种花束的
数量与560 元购买B 种花束的数量相等”这一等量关系，列出分式方程，求解检验后得到结果.
【详解】解：设每束A 种花束的价格为x 元，则每束B 种花束的价格为(
8)
x +
元；
根据题意，得480
560
8
x
x
=
+
，
解得𝑥= 48 ；
经检验𝑥= 48 是原分式方程的解，且符合题意；
答：每束A 种花束的价格为48 元．
24. 如图，在四边形ABCD中，AC ，𝐵𝐷 相交于点O ，AD
BC
=
，
180
ABC
BAD
+
=
，𝐵𝐷 平分
ABC
．
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（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若
2
BAD
ABC
=
，求
ACB
的度数．
【答案】（1）证明：∵
180
ABC
BAD
+
=
，
∴
//
AD BC ，
∵AD
BC
=
，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵
//
AD BC ，𝐵𝐷 平分
ABC
，
∴
,
ADB
CBD
ABD
CBD
=
=
，
∴
ABD
ADB
=
，
∴AB
AD
=
，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）60
【解析】
【分析】（1）根据
180
ABC
BAD
+
=
，得到
//
AD BC ，进而得到四边形ABCD是平行四边形，根
据平行线的性质，角平分线的定义，推出
ABD
ADB
=
，进而得到AB
AD
=
，即可得证；
（2）根据角的数量关系，和差关系求出
BAD
的度数，再根据菱形的性质，即可得出结果．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：∵
180
ABC
BAD
+
=
，
2
BAD
ABC
=
，
∴3
180
ABC
=
，
∴
60
ABC
=
，
∴
120
BAD
=
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴
120
BCD
BAD
=
=
，
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∴
1
60
2
ACB
BCD
=
=
．
25. 问题提出
云南某地是天然的蓝莓优质产区，昼夜温差大，日照时间长，紫外线照射强，霜冻期短．这里出产的蓝莓果
粒大，果味香，果肉甜脆．近期，某蓝莓销售公司搭上了快递专线，工人们需要将分装好的蓝莓装进特制的
蓝莓保鲜盒内，保鲜盒外粘贴专用介绍贴纸．
该公司印制专用介绍贴纸，需要考虑如何使印制费用最低．
问题解决
在保证相同质量的情况下，甲、乙两家印制公司都按公司优惠价格收取印制费用．具体收费方案为：
甲印制公司的收费方案是：收1350 元制版费，每张专用介绍贴纸再收0.2 元印制费；
乙印制公司的收费方案是：不收制版费，每张专用介绍贴纸收0.35 元印制费．
根据以上信息，印制这种专用介绍贴纸，应该选择甲印制公司，还是乙印制公司？
【答案】
当印制贴纸数量小于9000 张时，选择乙印制公司；当印制贴纸数量等于9000 张时，选择甲、乙两家印制
公司费用相同；当印制贴纸数量大于9000 张时，选择甲印制公司
【解析】
【分析】设印制x 张专用介绍贴纸，根据收费方案，列出代数式，分3 种情况，列出方程或不等式进行求
解即可.
【详解】解：设印制x 张专用介绍贴纸，
由题意，甲印制公司所需费用为(
)
1350
0.2x
+
元，乙印制公司所需费用为0.35x 元，
当1350
0.2
0.35
x
x
+
=
时，解得
9000
x =
；
当1350
0.2
0.35
x
x
+
时，解得
9000
x
；
当1350
0.2
0.35
x
x
+
时，解得
9000
x
；
综上：当印制贴纸数量小于9000 张时，选择乙印制公司；当印制贴纸数量等于9000 张时，选择甲、乙两
家印制公司费用相同；当印制贴纸数量大于9000 张时，选择甲印制公司.
26. 已知𝑚≠0 ，
4
2
192
4
118
S
m
m
m
m
=
+
+
−
−
．某二次函数表示的图象为抛物线M ，抛物线M 经过
(
)
10,0
A −
，(
)
2
2
4 ,0
B
m
m
−
两点．函数
(
)(
)
2
4
3
24
y
x
x−
=
+
表示的图象为抛物线T ．x 轴上有这样的
点，它既在抛物线M 上，又在抛物线T 上．
（1）求抛物线T 与x 轴的公共点的坐标；
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（2）比较S 与145 的大小．
【答案】（1）
(
)
2,0
−
，(
)
8,0
（2）
当
1
m = 时，
145
S
；当
1
5
m =
时，
145
S
【解析】
【分析】（1）令
(
)(
)
2
4
3
24
0
y
x
x−
=
+
=
，求出x 值即可得出结果；
（2）分
2
2
4
2
m
m
−
= −和
2
2
4
8
m
m
−
=
两种情况进行讨论求解即可.
【小问1 详解】
解：由题意，当
(
)(
)
2
4
3
24
0
y
x
x−
=
+
=
时，解得
1
2
2,
8
x
x
= −
=
，
∴抛物线T 与x 轴的公共点的坐标为(
)
2,0
−
，(
)
8,0 ；
【小问2 详解】
解：由（1）知：抛物线T 与x 轴的公共点的坐标为(
)
2,0
−
，(
)
8,0 ；
∵抛物线M 经过
(
)
10,0
A −
，(
)
2
2
4 ,0
B
m
m
−
两点，x 轴上有这样的点，它既在抛物线M 上，又在抛物
线T 上，
∴
2
2
4
2
m
m
−
= −或
2
2
4
8
m
m
−
=
，
①当
2
2
4
2
m
m
−
−
=
时，整理得
2
(
1)
0
m−
=
，解得
1
m = ，
将
1
m = 代入S 得：
4
2
192
4
1
1
118
72
1
1
S =
+ +
−
−
=
∵
2
72
5184
145
=
，
∴72
145
，即
145
S
.
② 当
2
2
4
8
m
m
−
=
时，整理得
2
2
4
0
m
m−
−
=
，
解得
1
5
m =
，
∴
2
2
4
m
m
=
+
，两边除以m 得4
2
m
m
−
=
，
∴
4
2 2
2
2
(
)
(2
4)
4
16
16
4(2
4) 16
16
24
32
m
m
m
m
m
m
m
m
=
=
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
，
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2
192
192
96
2
4
2
m
m
m
=
=
+
+
，
∵
2
2
4
0
m
m−
−
=
，
∴
2
4
2
m
m
−
=
，
∴(
2)(
2)
2
m
m
m
−
+
=
，
∴
2
2
2
m
m
m−
+
=
，
∴96
96(
2)
96
4
48
48
24
48
24(
2)
96
24
2
2
m
m
m
m
m
m
m
−
−
=
=
−
=
−
=
−
=
−
+
，
∴
(24
32)
(96
24 )
(
2) 118
12
S
m
m
m
m−
=
+
+
+
−
−
−
=
，
∵
2
12
144
145
=
，
∴12
145
，即
145
S
；
综上：当
1
m = 时，
145
S
；当
1
5
m =
时，
145
S
.
27. 如图，O
是ABC
的外接圆，AB 是
O
的直径．点P 在BA 的延长线上，且
2
PC
PA PB
=
．点E
在AC 的延长线上．线段BE 的中点M 与点C 、点P 在同一条直线上．线段OM 与
O
相交于点D ，与线
段𝐵𝐶 相交于点N ．DH
AB
⊥
于点H ，线段DH 与线段𝐵𝐶 相交于点F ，连接OF ．记OFD
的面积为
1S ，OFH
的面积为
2
S ．
（1）求证：直线PC 是
O
的切线；
（2）若
2 21
AB =
，
6 6
BE =
，求线段PA的长；
（3）观察，探究，发现与证明：
以下三个结论：
1
2
S
S
，𝑆1 = 𝑆2，
1
2
S
S
，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
【答案】（1）证明：如图1，连接OC ，
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∵
2
PC
PA PB
=
，
∴PC
PA
PB
PC
=
，
又∵
P
P
=
，
∴PCB
PAC
∽
，
∴
PCA
PBC
=
，
∵AB 是
O
的直径，OA
OC
=
，
∴
90 ,
ACB
OAC
OCA
=
=
，
∴
90
PBC
OAC
PCA
OCA
OCP
+
=
+
=
=
，
又∵OC 是
O
的半径，
∴直线PC 是
O
的切线；
（2）14 21
11
（3）
1
2
S
S
，证明如下：
如图2，连接BD，
∵O 为AB 的中点，点M 是BE的中点，
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∴OM 是ABE
的中位线，
∴𝑂𝑀∥𝐴𝐸 ，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝑂𝑁𝐵= 90° ，
∵𝐷𝐻⊥𝐴𝐵 ，
∴∠𝑂𝐻𝐷= 90° ，
∴∠𝑂𝐷𝐹+ ∠𝐷𝑂𝐻= ∠𝑂𝐵𝐹+ ∠𝐷𝑂𝐻= 90° ，
∴∠𝑂𝐷𝐹= ∠𝑂𝐵𝐹 ，
∵𝑂𝐷= 𝑂𝐵 ，
∴∠𝑂𝐷𝐵= ∠𝑂𝐵𝐷 ，
∴∠𝑂𝐷𝐵−∠𝑂𝐷𝐹= ∠𝑂𝐵𝐷−∠𝑂𝐵𝐹 ，即∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐷𝐵𝐹 ，
∴𝐷𝐹= 𝐵𝐹 ，
在Rt △𝐵𝐹𝐻 中，∠𝐵𝐻𝐹= 90° ，𝐵𝐹> 𝐵𝐻 ，
∴𝐷𝐹= 𝐵𝐹> 𝐹𝐻 ，
∵𝑆△𝑂𝐹𝐷= 𝑆1 =
1
2 𝐷𝐹· 𝑂𝐻, 𝑆△𝑂𝐹𝐻= 𝑆2 =
1
2 𝐹𝐻· 𝑂𝐻 ，
∴
1
2 𝐷𝐹· 𝑂𝐻>
1
2 𝐹𝐻· 𝑂𝐻 ，即
1
2
S
S
．
【解析】
【分析】（1）连接OC ，根据题意证得PCB
PAC
∽
，得
PCA
PBC
=
，再由AB 是
O
的直径，
OA
OC
=
，证得∠𝑂𝐶𝑃= 90° 即可证得结论；
（2）首先证得∠𝐴𝐵𝐸= 90° ，然后，证得PCO
PBM
∽
，得𝐶𝑂
𝐵𝑀=
𝑃𝐶
𝑃𝐵= √21
3√6 = √14
6 ，再由（1）知
14
6
PC
PA
PB
PC
=
=
，设
14
PA
x
=
，则𝑃𝐶= 6𝑥 ，由
2
PC
PA PB
=
，得
18 14
7
PB
x
=
，再由
PB
PA
AB
−
=
，得𝑥=
7√6
11 ，最后代入x 值可求得PA 的长；
（3）连接BD，首先证得OM 是ABE
的中位线，得𝑂𝑀∥𝐴𝐸 ，进而得∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝑂𝑁𝐵= 90° ，然后由
𝐷𝐻⊥𝐴𝐵 得∠𝑂𝐻𝐷= 90° ，证得∠𝑂𝐷𝐹= ∠𝑂𝐵𝐹 ，再由𝑂𝐷= 𝑂𝐵 得∠𝑂𝐷𝐵= ∠𝑂𝐵𝐷 ，得∠𝐵𝐷𝐹=
∠𝐷𝐵𝐹 ，进而得𝐷𝐹= 𝐵𝐹> 𝐹𝐻 ，最后由𝑆△𝑂𝐹𝐷= 𝑆1 =
1
2 𝐷𝐹· 𝑂𝐻, 𝑆△𝑂𝐹𝐻= 𝑆2 =
1
2 𝐹𝐻· 𝑂𝐻 可证得结论．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
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解：∵O 为AB 的中点，
2 21
AB =
，
∴
21
AO
BO
=
=
，
∵AB 是
O
的直径，
∴
90
ACB
BCE
=
=
，
∴
90
PCA
BCM
+
=
，
又∵点M 是线段BE的中点，
6 6
BE =
，
∴
3 6
CM
BM
EM
=
=
=
，
∴
CBM
BCM
=
，
由（1）知
PCA
PBC
=
，
∴
90
PCA
BCM
PBC
CBM
ABE
+
=
+
=
=
，
∴
90
OCP
PBM
=
=
，
又∵
P
P
=
，
∴PCO
PBM
∽
，
∴𝐶𝑂
𝐵𝑀=
𝑃𝐶
𝑃𝐵= √21
3√6 = √14
6 ．
由（1）知
14
6
PC
PA
PB
PC
=
=
，
设
14
PA
x
=
，则𝑃𝐶= 6𝑥 ，
∵
2
PC
PA PB
=
，即(
)
2
6
14
x
x PB
=
，
∴
18 14
7
PB
x
=
，
∵PB
PA
AB
−
=
，即18 14
14
2 21
7
x
x
−
=
，解得𝑥=
7√6
11 ，
∴𝑃𝐴= √14 ×
7√6
11 =
14√21
11 ；
【小问3 详解】
略
