【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
专题突破练(分值:93 分)
学生用书
P187
一、选择题:本题共4 小题,每小题5 分,共20 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.设l 是直线,α,β 是两个不同的平面,则下面说法中正确的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若l⊥β,α⊥β,则l∥α
D.若l∥α,α⊥β,则l⊥β
答案B
解析若l∥α,l∥β,则α∥β 或相交,故A 错误;若l∥α,l⊥β,由线面平行和垂直的性质可得α⊥β,故B 正
确;若l⊥β,α⊥β,则l∥α 或l⊂α,故C 错误;若l∥α,α⊥β,则l⊥β 或l∥β 或l⊂β,故D 错误.
2.(2024·浙江宁波二模)已知平面α,β,γ,α∩β=l,则“l⊥γ”是“α⊥γ 且β⊥γ”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案C
解析由于α∩β=l,所以l⊂α,l⊂β.若l⊥γ,则α⊥γ,β⊥γ;若α⊥γ,β⊥γ,设α∩γ=m,β∩γ=n,则存在直线a⊂γ,使
得a⊥m,所以a⊥α.由于l⊂α,故a⊥l.同理存在直线b⊂γ,使得b⊥n,所以b⊥β.由于l⊂β,故b⊥l.由于
a,b 不平行,所以a,b 是平面γ 内两条相交直线,所以l⊥γ.故“l⊥γ”是“α⊥γ 且β⊥γ”的充要条件.故选
C.
3.(2024·陕西西安模拟)如图,这是一个正方体的平面展开图,在该正方体中,下列说法正确的是
(
)
A.AB∥HG
B.CG⊥BH
C.CG⊥DH
D.AC∥DG
答案A
解析如图所示,将展开图重新组合成正方体.显然AB∥HG.故A 正确;由图易得CG∥DH,显然DH 与
BH 所成角不为直角,因此异面直线CG 与BH 所成角也不为直角,所以CG⊥BH 不成立.因此B,C 不正
确;由图易得AC∥EG,因为EG 与DG 相交,因此AC∥DG 不成立.故D 不正确.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
4.(2024·陕西商洛模拟)如图,四边形ABCD 是圆柱的轴截面,E 是底面圆周上异于A,B 的一点,则下面
结论中错误的是( )
A.AE⊥CE
B.BC∥平面ADE
C.平面ADE⊥平面BCE
D.DE⊥平面BCE
答案D
解析因为四边形ABCD 是圆柱的轴截面,则线段AB 是底面圆的直径,BC,AD 都是母线.又E 是底面圆
周上异于A,B 的一点,则AE⊥BE.因为BC⊥平面ABE,AE⊂平面ABE,则BC⊥AE.因为
BC∩BE=B,BC,BE⊂平面BCE,则AE⊥平面BCE.因为CE⊂平面BCE,因此得AE⊥CE,故A 正确.因为
BC∥AD,BC⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,所以BC∥平面ADE,故B 正确.因为AE⊥平面BCE,而AE⊂平
面ADE,所以平面ADE⊥平面BCE,故C 正确.点D 不在底面ABE 内,而直线AE 在底面ABE 内,即
AE,DE 是两条不同直线.若DE⊥平面BCE,因为AE⊥平面BCE,则DE∥AE,与DE∩AE=E 矛盾,故D
不正确.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
5.(2024·河北保定三模)已知四边形ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,l 为空间内的一条直线,且l⊄平面
ABCD,则下列说法正确的是( )
A.若l∥AB,则l∥平面ABCD
B.若l∥AD,则l∥BC
C.若l⊥AD,l⊥BC,则l⊥平面ABCD
D.若l⊥AB,l⊥CD,则l⊥平面ABCD
答案AC
解析因为l∥AB,且AB⊂平面ABCD,l⊄平面ABCD,所以l∥平面ABCD,故A 正确;因为AD 与BC 是等
腰梯形的腰,二者不平行,故若l∥AD,则直线l 与直线BC 不平行,故B 错误;因为直线AD 与BC 能相交,
所以若l⊥AD,l⊥BC,AD⊂平面ABCD,BC⊂平面ABCD,则l⊥平面ABCD,故C 正确;因为AB∥CD,两
者不相交,所以若l⊥AB,l⊥CD,推不出l⊥平面ABCD,即D 错误.故选AC.
6.(2024·湖南衡阳三模)设α,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,则下列结论正确的是( )
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
A.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n
C.若n∥α,m⊥n,则m⊥α
D.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n
答案AD
解析若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故A 正确;若α∥β,m⊂α,n⊂β,则直线m 与n 平行或异面,故B 不正确;若
n∥α,m⊥n,则m 可能与α 平行,相交或在平面α 内,故C 不正确;设直线m 的一个方向向量为m,直线n
的一个方向向量为n.因为m⊥α,n⊥β,则m 是平面α 的一个法向量,n 是平面β 的一个法向量.因为
α⊥β,所以m⊥n,所以m⊥n,故D 正确.故选AD.
7.(2024·江苏南通模拟)在某次数学探究活动中,小明先将一副三角板按照图1 的方式进行拼接,然后
他又将三角板ABC 折起,使得二面角A-BC-D 为直二面角,得图2 所示四面体ABCD.小明对四面体
ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断,其中正确的是( )
图1
图2
A.CD⊥平面ABC
B.AB⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD
D.平面ABD⊥平面BCD
答案ABC
解析因为二面角A-BC-D 为直二面角,可得平面ABC⊥平面BCD.又因为平面ABC∩平面
BCD=BC,DC⊥BC,DC⊂平面BCD,所以DC⊥平面ABC,故A 正确.因为DC⊥平面ABC,AB⊂平面
ABC,所以DC⊥AB.又因为AB⊥AC,且AC∩CD=C,AC,CD⊂平面ACD,所以AB⊥平面ACD,故B 正确.
因为AB⊥平面ACD,且AB⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面ACD,故C 正确.假设平面ABD⊥平面
BCD,因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面ABD=AB,所以AB⊥平面BCD.又BC⊂平面BCD,所
以AB⊥BC.因为AB 与BC 不垂直,矛盾,所以平面ABD 与平面BCD 不垂直,故D 错误.
三、填空题:本题共2 小题,每小题5 分,共10 分.
8.如图所示,平面α∥平面β,PA=6,AB=2,BD=12,则AC= .
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
答案9
解析因为平面α∥平面β,平面α∩平面PBD=AC,平面β∩平面PBD=BD,所以AC∥BD,所以
△PAC∽△PBD,故AC
BD = PA
PB =
PA
PA + AB
,得AC
12 =
6
6+2 = 3
4
,得AC=9.
9.如图,对于直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,要使A1C⊥B1D1,则在四边形ABCD 中,满足的条件可以是
.(只需写出一个正确的条件)
答案A1C1⊥B1D1(答案不唯一)
解析连接A1C1,如图所示.因为CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以B1D1⊥CC1.若
A1C1⊥B1D1,且A1C1∩CC1=C1,CC1,A1C1⊂平面A1CC1,所以B1D1⊥平面A1CC1.因为A1C⊂平面A1CC1,所
以A1C⊥B1D1.
四、解答题:本题共3 小题,共45 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
10.(15 分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=6,AB=10,cos∠CAB=3
5
,AA1=8,点D 是AB 的中点.
(1)求证:AC1∥平面CDB1;
(2)求证:AC⊥BC1.
证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,设B1C 与BC1交于点E,则E 为BC1的中点,连接DE.
因为D 是AB 的中点,
所以DE 是△ABC1的中位线,则DE∥AC1.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
又DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,
所以AC1∥平面CDB1.
(2)在△ABC 中,因为AC=6,AB=10,cos∠CAB=3
5
,
由余弦定理得,BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠CAB=62+102-2×6×10× 3
5
=64,则BC=8,显然AB2=AC2+BC2,
则△ABC 为直角三角形,即AC⊥BC.
又CC1⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,于是CC1⊥AC,
又CC1∩BC=C,BC,CC1⊂平面BCC1,因此AC⊥平面BCC1.
又BC1⊂平面BCC1,所以AC⊥BC1.
11.(15 分)(2024·陕西西安模拟)如图,已知AC 是圆O 的直径,PA⊥平面ABCD,E 是PC 的中点,
∠DAC=∠AOB.
(1)求证:BE∥平面PAD;
(2)求证:平面BEO⊥平面PCD.
证明(1)在△PAC 中,因为O 是AC 中点,E 是PC 中点,所以OE∥PA.
又因为OE⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,
所以OE∥平面PAD.
因为∠DAC=∠AOB,所以OB∥AD.
又因为OB⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以OB∥平面PAD.
因为OB∩OE=O,OB,OE⊂平面BEO,
所以平面BEO∥平面PAD.
又BE⊂平面BEO,所以BE∥平面PAD.
(2)因为AC 是圆O 的直径,所以AD⊥CD.
因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
所以PA⊥CD.
又因为PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,
所以CD⊥平面PAD.
因为平面BEO∥平面PAD,
所以CD⊥平面BEO.
又因为CD⊂平面PCD,
所以平面BEO⊥平面PCD.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
12.(15 分)如图,四边形ABCD 是菱形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF.
(1)求证:平面BAF∥平面CDE;
(2)求证:平面EAC⊥平面EBD;
(3)设点M 是线段BD 上一个动点,试确定点M 的位置,使得AM∥平面BEF,并证明你的结论.
(1)证明因为AF∥DE,AF⊄平面CDE,DE⊂平面CDE,
所以AF∥平面CDE.
同理,AB∥平面CDE.
又AF∩AB=A,AF,AB⊂平面BAF,
所以平面BAF∥平面CDE.
(2)证明因为四边形ABCD 是菱形,
所以AC⊥BD.
因为DE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
所以AC⊥DE,
所以BD∩DE=D,BD,DE⊂平面EBD,
所以AC⊥平面EBD.
因为AC⊂平面EAC,
所以平面EAC⊥平面EBD.
(3)解当BM=1
3
BD 时,AM∥平面BEF.
理由如下:作MN∥ED,且MN=1
3
ED.
因为AF∥DE,DE=3AF,所以AF∥MN,且AF=MN,
所以四边形AMNF 是平行四边形,
所以AM∥FN.
因为AM⊄平面BEF,FN⊂平面BEF,
所以AM∥平面BEF.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
故当BM=1
3
BD 时,AM∥平面BEF.
