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2024 届大题强化训练及变式训练（20）
1．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
，点 在棱 上，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）当二面角 为 时，求 .
变式：如图，在正四棱柱 中， ．点 分别在棱
, 上， ．
（1）证明： ；
（2）点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
2．已知函数 (其中 为常数且 )在 处取得极值.(1)当 时，求 的极大值点和极小值点；
(2)若 在 上的最大值为1，求 的值.
变式：己知函数 ，其中 .
（1）若曲线 在 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 的值;
（2）是否存在实数 ，使得 在 上的最大值是 ?若存在，求出 的值;若不存在，说明
理由.
3．红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金 （万元）与年收益 （万元）的8组
数据：
3 7
10 20 40 50 60 80
0 0
12 16 1 20 21 21 2 25.8 .5 9 .9 .5 .9 3 .4
（1）用 模拟生产食品淀粉年收益 与年投入资金 的关系，求出回归方程；
（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投
入的 ．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万
元）
附：①回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，
②
161 29 20400 109 603
③
变式：当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认
为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段．某公司在这个领域逐年加大投入，
以下是近年来该公司对产品研发年投入额 （单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统
计表．
1 2 3 4 5 61 1.5 3 6 12
（1）公司拟分别用① 和② 两种方案作为年销售量 关于年投入额 的回归分析模
型，请根据已知数据，确定方案①和②的经验回归方程；（ 计算过程保留到小数点后两位，
最后结果保留到小数点后一位）
（2）根据下表数据，用决定系数 （只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择
拟合精度更高的模型，预测年投入额为 百万元时，产品的销售量是多少?
经验回归方程
残差平方和
参考公式及数据： ， ， ， ，
， ， ， ， ．
4.在平面直角坐标系 中，一动圆经过点 且与直线 相切，设该动圆圆心的轨迹为
曲线K，P是曲线K上一点．
（1）求曲线K的方程；
（2）过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若 且直线OP与直线 交于Q
点．求 的值；
（3）若点D、E在y轴上， 的内切圆的方程为 ，求 面积的最小值．变式：在平面直角坐标系xOy中，过点 的直线 与抛物线 交于M，N两点 在第一
象限）.
（1）当 时，求直线 的方程;
（2）若三角形OMN的外接圆与曲线 交于点 （异于点O，M，N），
（i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;
（ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.
5．已知数列 ，记集合 .
（1）若数列 为 ，写出集合 ；
（2）若 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的 ；若不
存在，说明理由；
（3）若 ，把集合 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 ， 若 ，
求 的最大值．变式：物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用
非常广泛．其定义是：对于函数 ，若满足 ，则称数列 为牛
顿数列．已知 ，如图，在横坐标为 的点处作 的切线，切线与x轴交点的横坐标
为 ，用 代替 重复上述过程得到 ，一直下去，得到数列 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 的前n项和为 ，且对任意的 ，满足 ，求整数 的最小值．（参考数据： ， ， ， ）
