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2024 届高三二轮复习大题强化训练及变式训练（2）
1．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，求函数 的最大值．
变式：设函数 ，其中a为实数．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）当 在定义域内有两个不同的极值点 时，证明： ．
2．2024年春节期间，某家庭设计了一个抽红包游戏，以营造和谐轻松愉快的家庭氛围．游戏中有外
观完全相同的红包共6个，其中装有10元，20元，30元的红包各两个，小明每次从中任意抽取3个红
包，记录金额后放回，共抽2次．若每次抽的红包总金额超过60元记2分，超过40元不超过60元记
1分，不超过40元不计分，两次结束得分恰好为3分奖励旺旺零食大礼包一份．（1）求小明在第一次抽取中，抽出装有20元红包个数多于装有10元红包个数的概率；
（2）用随机变量X表示小明抽两次的得分总和，求X的分布列及期望．
变式：袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各 2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可
能性都相等.
（1）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；
（2）用X 表示取出的 2个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望.
3 ． 在 四 棱 锥 中 ， 已 知 ，
．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若线段 上存在点 ，满足 ，且平面 与平面 的夹角的余弦值为
，求实数 的值．变式：如图，在多面体 中，四边形 为平行四边形，且
平面 ，且 .点 分别为线段 上的动点，满足
.
（1）证明：直线 平面 ；
（2）是否存在 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？请说明理由.
4．已知 为拋物线 的焦点， 为坐标原点， 为 的准线 上一点，直线
的斜率为 的面积为 ．已知 ，设过点 的动直线与抛物线 交于 两
点，直线 与 的另一交点分别为 ．（1）求拋物线 的方程；
（2）当直线 与 的斜率均存在时，讨论直线 是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不
是，请说明理由．
变式：已知椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，直线 与圆
相切.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若不过点 的动直线 与椭圆相交于 两点，若 ，求证：直线 过定点，并求出
该定点坐标.
5．若有穷数列 满足： ，则称此数列具有性
质 .
（1）若数列 具有性质 ，求 的值；
（2）设数列A具有性质 ，且 为奇数，当 时，存在正整数
，使得 ，求证：数列A为等差数列；（3）把具有性质 ，且满足 （ 为常数）的数列A构成的集合记作
.求出所有的 ，使得对任意给定的 ，当数列 时，数列A中一定有相同的两
项，即存在 .
变式：设 为给定的正奇数，定义无穷数列 ： 若
是数列 中的项，则记作 .
（1）若数列 的前6项各不相同，写出 的最小值及此时数列的前6项；
（2）求证：集合 是空集；
（3）记集合 正奇数 ，求集合 .（若 为任意的正奇数，求
所有数列 的相同元素构成的集合 .）
