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2024 届高三二轮复习大题强化训练及变式训练（4）
1．在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC．
（1）若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；
（2）若 ，且BD＝3CD，求cos∠CFB．
变式：已知在 与 中， 与 在直线 的同侧， ，
直线 与直线 交于 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）证明： .
2．已知 .
（1）当 时，求 的零点个数；
（2）讨论 的单调性.变式：已知函数 （ ）．
（1）讨论 的单调性；
（2）若函数 有三个不同 零点，求 的取值范围．
的
3．如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ，平面
平面 ， .
（1）证明： 平面 ；（2）若点Q是线段 的中点，M是直线 上的一点，N是直线 上的一点，是否存在点M，N使
得 ?请说明理由.
变式：如图，三棱台 中，侧面四边形 为等腰梯形，底面三角形 为正三角
形，且 .设 为棱 上的点.
（1）若 为 的中点，求证： ；
（2）若三棱台 的体积为 ，且侧面 底面 ，试探究是否存在点 ，使
直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由.
4．已知抛物线 的焦点为 各顶点均在 上，且 ．
（1）证明： 是 的重心；
（2） 能否是等边三角形？并说明理由；
（3）若 均在第一象限，且直线 的斜率为 ，求 的面积．变式：已知抛物线E： 的焦点为F，若 的三个顶点都在抛物线E上，且满足
，则称该三角形为“核心三角形”．
设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；
已知 是“核心三角形”，证明： 三个顶点的横坐标都小于
5．2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章
三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典
比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子
比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比
特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态
相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋
或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有 的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两
个粒子中上旋粒子的个数为 .
（1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且 ，求两个粒子通过第一道逻
辑门后上旋粒子个数为2的概率；
（2）若一条信息有 种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为
， ，…， ，则称 （其中 ）为这条信息的信
息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为 的信息熵 ；（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第
二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为 （ ，2，
3，⋯， ，⋯）.证明：当 无限增大时， 的数学期望趋近于一个常数.
参考公式： 时， ， .
变式：2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有
16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，
在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以
向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有
摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到 颗番
石榴（不妨设 颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了
尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前
颗番石榴，自第 颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后
一颗.设 ，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为 .
（1）若 ，求 ；
（2）当 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 的最大值及 取最大值时 的值.
（取 ）
