文档文本内容
2025 年高考押题预测卷
高三数学（新高考Ⅰ卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．在复平面内，复数
对应的点与复数
对应的点关于实轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
在复平面内，复数
对应的点与复数
对应的点关于实轴对称，所以
.
故选：B.
2．若双曲线
的一个焦点坐标为
，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】依题意，双曲线
的焦点在
轴上，
所以该双曲线的离心率
.
故选：D
3．“
”是“圆
与坐标轴有四个交点”的（ ）
A．充分非必要条件；
B．必要非充分条件；
C．充要条件；
D．非充分非必要条件．
【答案】A
【详解】由
，可以表示为点
在圆的距离
的内部，此时圆
与坐标轴有四个交点，则充分性成立；
反之，由圆
的方程可知，圆心为
，半径为
，则要使圆
与
坐标轴有四个交点，则
，则
，则必要性不成立，
故“
”是“圆
成立的充分不必要条件.
故选：A
4．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，得
，
所以
，
又因为
，所以
，
所以
.
故选：C.
5．已知等比数列
的前
项和为
，若
，且
与
的等差中项为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为等比数列
的前
项和为
，设其公比为
，
由已知
，故
，所以
，
，则
，
故
，所以，
，故
.
故选：D.
6．已知互不相等的数据
，
，
，
，
，
，的平均数为，方差为
，数据
，
，
，
，
，
的方差为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
与
的大小关系无法判断
【答案】C
【详解】根据已知条件第一组数据的个数为
个，且
，
所以
，
，
第二组数据的个数为
个，且平均数
，
，
因为
，
所以
.
故选：C
7．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥
的底面半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
如图，根据题意，圆锥
高为，底面圆半径，外接球球心为
，半径
，
则球心
到圆锥底面圆心
距离
，
由
，得
，圆锥的体积
，
求导得
，
当
时，
，函数
在
上递增，
当
时，
，函数
在
上递减，
则当
时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径
.
故选：B
8．若正实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【详解】由
，得
，故
.
由题意得，
，
，
由
得，
.
设
，
，则
，
∴
在
上单调递增，
∵
，∴
，
∴
，即
，
，
∴
，令
，得
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
∴当
时，
取极小值也是最小值，最小值为．
故选：C．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知如图是函数
，（
，
）的部分图象，则（ ）
A．
在
单调递增
B．
的图象关于
中心对称
C．
在点
处的切线方程为
D．
的图象向左平移
个单位长度后为偶函数
【答案】ACD
【详解】由图可得
，即
，
而
，可得
，
又
，即
，
可得
，
，
可得
，
，
又
，且
，即
，即
，可得
，
，
对于选项A，
，可得
，
函数在
上是单调递增，故A 正确；
对于选项B，
，
，
不是函数的对称中心，故B 不正确；
对于选项C 中，
，
，
则
在点
处的切线方程为
，故C 正确；
对于选项D 中，将
向左平移
个单位后，
可得
，则
为偶函数，故D 正确.
故选：ACD
10．对任意实数x，有
.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
（
，1，…，9）的最大值为
C．
D．
【答案】BCD
【详解】对于A，令
，得
，故A 错误；
对于B，由
，
则
展开式的通项公式为
，
所以
为负，
为正，
当
时，计算可得
，
，
，
，
，
所以
（
，1，…，9）的最大值为
，故B 正确；
对于C，令
，可得
，
令
，可得
，
所以
，又
，可得
，故C 正确；
对于D，由B 可知
，故D 正确.
故选：BCD.
11．
曲线的形状类似希腊字母“
”，其方程为
.若点
在
曲线上，
，则（ ）
A．当
在第一象限时，
B．当
在第四象限时，
C．直线
与
曲线的所有交点的横坐标之和大于6
D．直线
与
曲线恰有4 个公共点
【答案】BC
【详解】当
时，
可化为
，
为椭圆
的两个焦点，
则
，A 错误.
当
时，
可化为
，
为双曲线
的两个焦点，则
，B 正确.
当
时，
可化为
，所以点
不可能在第三象限.
当
时，
可化为
，所以
曲线由三段曲线组成，其图形如图所示，
因为双曲线
的渐近线方程为
，
所以直线
与曲线
无公共点.
将
代入
，得
，
由图可知直线
与曲线
有2 个交点，则这2 个交点的横坐标之和为
，其
中1 个交点为
.
将
代入
，得
，由图可知直线
与曲线
有2 个交点，则这2 个交点的横坐标之和为
，其中1 个交点为
，
所以直线
+4 与
曲线的所有交点的横坐标之和为
，C 正确.
结合双曲线
与
的渐近线的斜率，
由图可知直线
与曲线
有2 个公共点，
与曲线
只有1 个公共点，
与曲线
没有公共点，
所以直线
与
曲线恰有3 个公共点，D 错误.
故选：BC
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。其中14 题第一空2 分，第二空3 分。
12．若
，
均为单位向量，且
，则
．
【答案】
/
【详解】作
，以线段
为一组邻边作平行四边形
，如图，
则
，而
，
均为单位向量，则
，
因此
为菱形，
.
故答案为：
13．已知函数
是定义在
上的偶函数，且
在区间
上单调递增．若实数
满足
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由于函数
是定义在
上的偶函数，
所以
的图象关于
对称，
且
在
上的单调递增，在区间
上单调递减.
由
，
得
，
所以
，
所以
，即
，
所以
.
故答案为：
14．2025 年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点
出发，
每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3 次.求该机器人在有且仅有一次经过（含
到达）点
位置的条件下，水平方向移动2 次的概率为 .
【答案】
【详解】设事件
“有且仅有一次经过
”，事件
“水平方向移动2 次”，
按到
位置需要1 步，3 步分类讨论.记
向左，
向右，
向上，
向下，
（1）若1 步到位为事件
，则满足要求的是
或
或
或
或
，
或
或
或
或
，所以
；
（2）若3 步到位为事件
，则满足要求的是
所以
；所以
，
满足
的情况有：
或
或
或
或
.
所以
，
所以
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
已知数列
满足
，
，且对任意的
，
，都有
.
(1)设
，求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意，对任意的
，
，都有
，
故对任意的
，
，
，
所以对任意的
，
，
，即
为定值，
所以数列
是公差为2 的等差数列，
据
，
，得
，
，
所以
，解得
，故
，
所以
（2）由（1）可知，
，
所以当
，
，
，
又
符合上式，所以
所以
，
故
，
因为
，
，
所以
16．（15 分）
某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000 次训练情况并将成绩（满分100 分）统计如下表所
示.
成绩区间
频数
100
200
300
240
160
(1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)该运动员用分层抽样的方式从
的训练成绩中随机抽取了6 次成绩，再从这6 次成绩中随机选2 次，
设成绩落在区间
的次数为X，求X 的分布列及数学期望；
(3)对这1000 次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80 分的成绩可以提高10 分，
原高于80 分的无影响，优化失败则原成绩会降低10 分，已知该运动员优化动作成功的概率为
．
在一次资格赛中，入围的成绩标准是80 分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p 的取值
范围.
【答案】(1)平均值为
，上四分位数为
；
(2)分布列见解析，数学期望为
；
(3)
.
【详解】（1）依题意，平均值
，
，
上四分位数落在区间
，且等于
.
（2）由样本数据可知，训练成绩在
之内的频数之比为2:1，
由分层抽样的方法得，从训练成绩在
中随机抽取了6 次成绩，
在
之内的4 次，在
之内的抽取了2 次，
所以
可取的值有：0，1，2，
，
，
，
分布列为：
0
1
2
.
（3）法一：设事件
分别表示动作优化前成绩落在区间
，
，
，
则
相互互斥，所以动作优化前，
在一次资格赛中，入围的概率
，
设事件B 为＂动作优化成功＂，则
，
动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：
，且事件
相互互斥，
所以在一次资格赛中入围的概率
，
故
，
由
解得
，又
的取值范围是
.
法二：因为入围的成绩标准是80 分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为：
，
进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间
或
的成绩，
当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准，
所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率
，
由
，得
，又
的取值范围是
.
17．（15 分）
在三棱锥
中，
，
.
为
的中点，
为
的中点，
平面
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
与底面
所成角的正切值是2，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，延长
与
相交于M，连接
根据
，
为
的中点，则
，
，则
，
在
中，
，
为
的中点，则
.
在
中，
，则
，
同理在
中，
，
在
中，
，
由于
，则
，即
.
已知
平面
，
平面
，则
.
平面
，且
.
则
平面
，
平面
，则平面
平面
.
（2）由于
平面
.
，则可以
为x 轴，
为y 轴，过O 作
，可作为z 轴，建
立空间直角坐标系
.
由于
平面
.则若
与底面
所成角为
，根据题意，
，则
.
得到相关点坐标：
，
根据向量坐标运算，可得
，
，
.
设平面
的法向量为
，则
且
.
①；
②；
由①得
，将
代入②可得：
，
令
，则
，
，所以
.
设平面
的法向量为
，同理
且
.
③；
④；
+
③
④得
，即
，将
代入③可得：
，
令
，则
，所以
.
设二面角
为
，且
；
；
.
所以
.
通过观察图形可知二面角
是锐二面角，
所以二面角
的余弦值为
.
18．（17 分）
二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例如下: 二次函数
的图象可以由
的图象沿向量
平移得到; 抛物线
，即
的焦点坐标为
，准线方程为
; 故二次函数
的焦点坐标为
，准线方程为
.
(1)求二次函数
的焦点坐标和准线方程；
(2)求二次函数
的焦点坐标和准线方程；
(3)设过
的直线与抛物线
的另一个交点为
，直线
与直线
交于点
，过点
作
轴的垂线交抛物线
于点
. 是否存在定点
，使得
三点共线? 若存在，请求出
定点
的坐标; 若不存在，请说明理由.
【答案】(1)焦点坐标为
，准线方程为
．
(2)焦点坐标为
，准线方程为
．
(3)存在，
【详解】（1）二次函数
，
它的图象可以由抛物线
沿向量
平移得到；
抛物线
即
的焦点坐标为
，准线方程为
；
所以二次函数
的焦点坐标为
，准线方程为
．
（2）二次函数
，
它的图象可以由抛物线
沿向量
平移得到；
抛物线
即
的焦点坐标为
，准线方程为
；
所以二次函数
的焦点坐标为
，
准线方程为
；
即二次函数
的焦点坐标为
，准线方程为
．
（3）由（1）知抛物线
可以由抛物线
沿向量
平
移得到；
先考虑如下问题：过
的直线与抛物线
的另一个交点为
，直线
与直线
交于点
，过点
作x 轴的垂线交抛物线
于点
，讨论是否存在定点
，使得
三点共线；
设
，又
，则直线
的方程为：
，化简得：
，
与直线
联立得：
，代入
得：
，即
，
则直线
的方程：
，
化简得
；
当
时，
恒成立，所以直线
恒过定点
，即存在定点
，使得
三点共线；
故存在定点
，使得
三点共线．
19．（17 分）
对于任意两个正数
，记区间
上曲线
下的曲边梯形面积为
，并规定
，
，记
，其中
．
(1)若
时，求证：
；
(2)若
时，求证：
；
(3)若
，直线
与曲线
交于
，
两点，求证：
（其中
为自然常数）．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）因为
，且
，
当
时可知
，
所以
，
，所以
成立；
（2）解法一：要证
，即证
，
如图可知，
为
与
，
以及
轴所围成的曲边梯形的面积．
若直线
与曲线
交于点
，
过
做
的切线，分别交
，
于
，
，
过
做
轴的平行线分别交
，
于
，
，则
，
易知曲面梯形的面积大于
，
所以
，
所以，
，得证．
解法二：因为
时，
，所以要证
，
即证：
，
即证：
，即证：
，
设
，
，则不等式可化为
，
要证
，作差得
，
即证：
在
恒成立，
构造函数：
，
则
，再设
，则
，
因为
，所以
恒成立，
所以
在
为增函数，所以
，
所以
在
恒成立，可得
在
为增函数，
所以
，所以
在
恒成立，
所以不等式
成立，得证；
（3）因为
，所以
，
令
，故
，
所以
在
为减函数，在
为增函数，
，
故直线
与曲线
交于
，
，所以
，
且
，
，即有：
①，
②，
①＋②得：
①－②得：
由第（2）问知：
，
所以
，
所以
，即
，
所以
成立．
