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§10.6 离散型随机变量及其分布列、数字特征
课标要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特
征.
1.离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω 中的每个样本点ω，都有 的实数X(ω)与之对应，我们称X
为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X 的可能取值为x1，x2，…，xn，称X 取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i
＝1，2，…，n 为X 的概率分布列，简称分布列.
3.离散型随机变量分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1，2，…，n；
(2)p1+p2+…+pn＝ .
4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差
一般地，若离散型随机变量X 的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
(1)均值(数学期望)
称E(X)＝ ＝
n
Σ
i=1
xipi为随机变量X 的均值或数学期望，数学期望简称期望.它
反映了随机变量取值的 .
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2+…+(xn－E(X))2pn＝ 为随机变量X 的方差，并称
√D( X )为随机变量X 的 ，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的
.
5.均值(数学期望)与方差的性质
(1)E(aX+b)＝ .
(2)D(aX+b)＝ (a，b 为常数).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( )
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( )
(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.( )
(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小.( )
2.甲、乙两人下象棋，共下三局，每局赢了得3 分，平得1 分，输了得0 分，用ξ 表示甲的得分，则{ξ＝3}
表示( )
A.甲赢三局
B.甲赢一局输两局
C.甲、乙平局二次
D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
3.已知随机变量X 的分布列如表，则E(5X+4)等于( )
X
1
2
4
P
0.4
a
0.3
A.1
B.2.2
C.11
D.15
4.甲、乙两人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，分布列分别为
X
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1
Y
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是 .
1.(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量
的平均程度越小.
(3)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求分布列是否正确.
2.(1)E(X1+X2)＝E(X1)+E(X2).
(2)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(3)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2).
题型一 分布列的性质
例1 (1)若随机变量X 的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X<a)＝0.8 时，实数a 的取值范围是( )
A.[1，2)
B.[1，2]
C.(1，2]
D.(1，2)
(2)设随机变量X 的分布列为P(X＝k)＝
m
4 k
2-1(k＝1，2，3，4，5)，则P(X≥4)等于( )
A. 2
35
B. 3
25
C.22
25
D.33
35
思维升华 离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)可以根据性质判断所得分布列的结果是否正确.
跟踪训练1 已知随机变量ξ 的分布列如表：
ξ
－2
0
2
P
a
b
c
其中a，b，c 成等差数列，则P(|ξ|＝2)的值是( )
A.2
3
B.1
2
C.1
4
D.1
3
题型二 离散型随机变量的分布列及数字特征
命题点1 求离散型随机变量的分布列及数字特征
例2 随机变量X 的分布列如表所示，若E(X)＝1
3，则D(X)等于( )
X
－1
0
1
P
1
6
a
b
A.1
B.2
3
C.5
9
D.1
3
均值、方差的大小比较、单调性、最值(范围)问题
关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算外，还经常从
下列几个角度进行考查：(1)均值、方差及概率的大小比较；(2)均值、方差的增减性分析；(3)均值、方差
的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范围.
典例 (1)设随机变量X 的分布列如下(其中0<p<1)，D(X)表示X 的方差，则当p 从0 增大到1 时( )
X
0
1
2
P
1- p
2
1
2
p
2
A.D(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先减后增
D.D(X)先增后减
(2)(多选)已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X＝0，a，2，根据以往销售经验可得0<a<2，随机变
量X 的分布列为
X
0
a
2
P
1
2
b
1
6
下列结论正确的是( )
A.b＝1
3
B.若该商场销售该商品5 件，其中3 件销售利润为0 的概率为5
16
C.D(X)min＝1
2
D.当D(X)最小时，E(X)＝1
3
命题点2 均值与方差的性质应用
例3 (多选)已知随机变量X 的分布列为
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
0.25
且a，b，c 成等差数列，下列结论正确的是( )
A.D(bX+1)＝1
16D(X)
B.P(|X|＝1)＝0.5
C.若E(aX)＝0.08，则a＝0.1
D.a－c 可能等于0.1
思维升华 求离散型随机变量ξ 的均值与方差的步骤
(1)理解ξ 的意义，写出ξ 的所有可能取值.
(2)求ξ 取每个值的概率.
(3)写出ξ 的分布列.
(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ).
跟踪训练2 (多选)已知随机变量X 的分布列如下，则下列说法正确的是( )
X
－2
－1
1
2
P
1
9
m
n
2
9
A.m+n＝2
3
B.P(X<2)＝7
9
C.若m＝1
9，Y＝3X+2，则E(Y)＝2
D.D(X2)＝2
题型三 均值与方差中的决策问题
例4 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有
4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4 个球中有1 个所标的面值为45 元，其余3 个均为15 元，求顾客所获的奖励额为60
元的概率；
(2)商场对奖励总额的预算是30 000 元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客
所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4 个球由2 个标
有面值15 元和2 个标有面值45 元的两种球组成；方案二：袋中的4 个球由2 个标有面值20 元和2 个标
有面值40 元的两种球组成.
思维升华 随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理
论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.
跟踪训练3 (2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B 两类问题.每位参加比赛
的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回
答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中
的每个问题回答正确得20 分，否则得0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得80 分，否则得0 分.
已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的
概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
答案精析
落实主干知识
1.唯一
3.(2)1
4.(1)x1p1+x2p2+…+xnpn 平均水平 (2)
n
Σ
i=1
(xi－E(X))2pi
标准差 偏离程度
5.(1)aE(X)+b (2)a2D(X)
自主诊断
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.D [因为甲、乙两人下象棋，赢了得3 分，平局得1 分，输了得0 分，
故{ξ＝3}表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.]
3.D [依题意，0.4+a+0.3＝1，
解得a＝0.3，
则E(X)＝1×0.4+2×0.3+4×0.3＝2.2，
所以E(5X+4)＝5E(X)+4＝5×2.2+4＝15.]
4.乙
解析 E(X)＝0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3+1×0.5+2×0.2＝0.9，
∵E(Y)<E(X)，∴乙技术较好.
探究核心题型
例1 (1)C [由随机变量X 的分布列知，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，故当P(X<a)＝0.8 时，实数a 的取值
范围是(1，2].]
(2)A [P(X＝k)＝
m
4 k
2-1
＝
m
(2k -1)(2k +1)
＝m
2(
1
2k -1 -
1
2k +1)，
∵
5
Σ
k =1
P(X＝k)＝1，
∴m
2 ×(1- 1
3 + 1
3 - 1
5 + 1
5 - 1
7 + 1
7 - 1
9 + 1
9 - 1
11)
＝m
2 ×(1- 1
11)＝5m
11 ＝1.
则m＝11
5 ，
∴P(X≥4)＝
11
10×(
1
7 - 1
9 + 1
9 - 1
11)＝2
35.]
跟踪训练1 A [因为a，b，c 成等差数列，所以b＝a+c
2
，
根据随机变量分布列的性质得
a+b+c＝1，
所以3(a+c)
2
＝1，即a+c＝2
3，
所以P(|ξ|＝2)＝P(ξ＝2)+P(ξ＝－2)＝2
3.]
例2 C [依题意可得{
a+b+ 1
6 ＝1,
-1× 1
6 +0×a+1×b＝1
3 ,
解得{
a＝1
3 ,
b＝1
2 ,
所以D(X)＝(-1- 1
3)
2
×1
6+(0- 1
3)
2
×1
3+(1- 1
3)
2
×1
2 ＝5
9.]
微拓展
典例 (1)D [由分布列可得E(X)＝0×1- p
2
+1×1
2+2× p
2 ＝1
2+p，
则D(X)＝1- p
2 (
1
2 + p)
2
+1
2(
1
2 + p-1)
2
+ p
2(
1
2 + p-2)
2
＝－p2+p+1
4
＝－(p- 1
2)
2
+1
2，
因为0<p<1，
所以D(X)先增后减.]
(2)ABC [由题意1
2+b+1
6＝1，∴b＝1
3，故选项A 正确；该商场销售该商品5 件，其中3 件销售利润为0 的
概率为C5
3×(
1
2)
3
×(
1
2)
2
＝5
16 ，故选项B 正确；随机变量X 的均值E(X)＝0×1
2+a×1
3+2×1
6 ＝1
3(a+1)，
可知方差D(X)＝[0- 1
3 (a+1)]
2
×1
2+[a- 1
3 (a+1)]
2
×1
3+[2- 1
3 (a+1)]
2
×1
6
＝1
9×(2a2－2a+5)
＝1
9×[2(a- 1
2)
2
+ 9
2]，
当a＝1
2时，
D(X)min＝1
2，故选项C 正确；
当D(X)最小时，a＝1
2，此时E(X)＝1
3×(
1
2 +1)＝1
2，故选项D 错误.]
例3 ABD [依题意，a+b+c＝3b＝0.75，解得b＝0.25，a+c＝0.5.
D(
1
4 X +1)＝1
16D(X)，A 正确；
P(|X|＝1)＝P(X＝－1)+P(X＝1)＝a+c＝0.5，B 正确；
E(X)＝－a+c+0.5＝1－2a，
则E(aX)＝aE(X)
＝a(1－2a)＝0.08，
解得a＝0.1 或a＝0.4，C 错误；
当a＝0.3，c＝0.2 时，
a－c＝0.1，D 正确.]
跟踪训练2 ABD [因为1
9+m+n+2
9＝1，所以m+n＝2
3，
故A 正确；
P(X<2)＝1－P(X≥2)＝1－2
9 ＝7
9，故B 正确；
因为m＝1
9，所以n＝5
9，
所以E(X)＝－2×1
9+(－1)×1
9+1×5
9+2×2
9 ＝2
3，
所以E(Y)＝E(3X+2)＝3E(X)+2＝4，故C 错误；
P(X2＝1)＝P(X＝－1)+P(X＝1)＝m+n＝2
3，
P(X2＝4)＝P(X＝－2)+P(X＝2)＝1
3，
则X2的分布列为
X2
1
4
P
2
3
1
3
所以E(X2)＝1×2
3+4×1
3＝2，则D(X2)＝2
3×(1－2)2+1
3×(4－2)2＝2，故D 正确.]
例4 解 (1)设顾客所获的奖励额为X，依题意得
P(X＝60)＝C1
1C3
1
C4
2 ＝1
2.
(2)根据方案一，设顾客所获的奖励额为X1，其所有可能取值为30，60，90，
则P(X1＝30)＝
C2
2
C4
2 ＝1
6，
P(X1＝60)＝C2
1C2
1
C4
2 ＝4
6 ＝2
3，
P(X1＝90)＝C2
2
C4
2 ＝1
6 ，
所以E(X1)＝30×1
6+60×2
3+90×1
6＝60，
D(X1)＝(30－60)2×1
6+(60－60)2×2
3+(90－60)2×1
6
＝300；
根据方案二，设顾客所获的奖励额为X2，其所有可能取值为40，60，80，
则P(X2＝40)＝
C2
2
C4
2 ＝1
6，
P(X2＝60)＝C2
1C2
1
C4
2 ＝4
6 ＝2
3，
P(X2＝80)＝C2
2
C4
2 ＝1
6，
所以E(X2)＝40×1
6+60×2
3+80×1
6＝60，
D(X2)＝(40－60)2×1
6+(60－60)2×2
3+(80－60)2×1
6 ＝400
3 .
商场对奖励总额的预算是30 000 元，故每个顾客平均奖励额最多为60 元，两方案均符合要求，但方案二
奖励额的方差比方案一小，所以为了使每位顾客所获的奖励额相对均衡，应选择方案二.
跟踪训练3 解 (1)由题意得，
X 的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X 的分布列为
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
(2)当小明先回答A 类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2+20×0.32+100×0.48＝54.4.
当小明先回答B 类问题时，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y 的分布列为
Y
0
80
100
P
0.4
0.12
0.48
E(Y)＝0×0.4+80×0.12+100×0.48＝57.6.
因为57.6>54.4，
即E(Y)>E(X)，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B 类问题.
