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第 5 讲 导数与不等式的证明
讲义设计提纲：
命题分析
导数中的不等式证明作为高考常考点,也是学习中的难点，这类题目常与函数的性质、函数
的零点与极值、数列等相结合进行考查,题目难度较大,解题方法多种多样且灵活多变，考生常常
感到无处下手。
不等式证明问题的核心思想是构造函数，常用到的方法有做差构造、双函数构造、放缩构
造、换元构造、消元构造等方法，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功
倍的效果．
类型一：单变量不等式的证明
考向1 做差构造法
例1(2023·潍坊模拟)已知函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝1时，令g(x)＝.证明：当x>0时，g(x)>1.【对点演练1】已知函数 .证明：当x≥1时， .
考向2 双函数构造法
例2(2023·苏州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明f(x)－＋2e≤0.
【对点演练】 (2023·合肥模拟)已知函数f(x)＝ex＋x2－x－1.
(1)求f(x)的最小值；
(2)证明：ex＋xln x＋x2－2x>0.
考向3放缩构造法
切入点1：从参数范围切入
例3 已知函数 ,证明:当 时, .
（2）已知函数 ,若 ,证明: .
【对点演练1】已知函数 ，当 时，证明 ．
【对点演练2】已知函数 ,当 时,
证明： .
切入点2：从函数不等式入手
对于一些无参不等式的证明,特别是同时包含指数函数、对数函数的不等式,我们通常需要用常用指数不等
式和常用对数不等式放缩为幂函数,从而实现函数简化,进而方便计算和求解.
例4证明: .
【对点演练1】设函数 ，证明：
【对点演练2】设 .证明:当 时, .
类型二 双变量不等式的证明考向1 分离变量构造
f(x)=(a+1)lnx+ax2 +1
例5已知函数 。
f (x)
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 a≤−2 ，证明：对任意 x 1， x 2∈（0，+∞）， |f(x 1 )−f(x 2 )|≥4|x 1 −x 2 | 。
考向2 换元构造
例6（哈尔滨四模)已知函数f(x)＝ax＋1(x>0)，g(x)＝ln x－＋2a.
(1)若a＝，比较函数f(x)与g(x)的大小；
(2)若m>n>0，求证：>.
【对点演练】已知函数 有两个不相等的极值点．
（1）求实数 的取值范围；
（2）设函数 两个不相等的极值点分别为 ， ，
求证： ；
考向3 消元构造函数
例7已知函数f（x）＝xln x.
（1）判断f（x）的单调性；
（2）设方程f（x）－2x＋1＝0的两个根分别为x，x，求证：x＋x＞2e.
1 2 1 2
【变式演练】已知函数
(1)求 的极值;
(2)若 , , , ,证明:
类型三 求和（积）型不等式的证明
例8（2022·四川·石室中学高三期末）已知函数 的图象上有一点列 ，
点 在 轴上的射影是 ，且 （ 且 ）， ．
（1）求证： 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
（2）对任意的正整数 ，当 ]时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）设四边形 的面积是 ，求证： ．
【对点演练】（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数 满足 ， ， ，.
（1）求 的解析式；
（2）求证： 时， ；
（3）求证： .
例9．（2023·云南红河·统考二模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围；
(3)设 ， ，证明： ．
【对点演练1】已知函数 .
（1）证明： 时， ；
（2）证明： .
【对点演练2】（2022·全国·高三课时练习）已知函数 ，其中 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明： ；
（3）求证：对任意的 且 ，都有： ．
（其中 为自然对数的底数）．
1.已知函数f(x)=ax+xln x在x=e-2(e为自然对数的底数)处取得极小值.
(1)求实数a的值;
(2)当x>1时,求证:f(x)>3(x-1).
1
2.已知函数f（x）＝xex－bxln x－ x2（b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线斜率为2e－3.证明：当x＞
2
3
1时，f（x）＞xex－ x2＋1.
23.已知函数f(x)=aln x+x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a=1时,证明:xf(x)<ex.
xlnx x
4.已知函数f(x)= ,g(x)= ,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+n=0.
x+m ex
(1)求m,n的值;
(2)证明:f(x)>2g(x)-1.
5.(2023·淄博模拟)已知函数f(x)＝ex－x－1.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)当x≥0时，求证：f(x)＋x＋1≥x2＋cos x.
6.已知函数f(x)＝xln x－ax.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；
(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>－成立．
7.(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝xeax－ex.
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)当x>0时，f(x)<－1，求a的取值范围；
(3)设n∈N*，证明：＋＋…＋>ln(n＋1)．
8.已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－ln x.
(1)证明：g(x)≥1；
(2)证明：(x－ln x)f(x)>1－.
9．已知函数f(x)＝ln (x＋1)＋.
(1)若x>0时，f(x)>1恒成立，求a的取值范围；
(2)求证：ln (n＋1)>＋＋＋…＋(n∈N*)．
10．已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R.
(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a＝－2，正实数x，x 满足f(x)＋f(x)＋xx＝0，求证：x＋x≥.
1 2 1 2 1 2 1 2
11.已知函数f(x)＝aex－1－ln x－1.
(1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)证明：当a≥1时，f(x)≥0.
12.（2022·天津市宝坻区第一中学三模（理））已知函数 （ 为自然对数的底数）.
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，若 对任意的 恒成立，求实数 的值；
（3）求证： .
