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专题01 空间几何体的外接球与内切球问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................3
题型一：内切球等体积法..................................................................................3
题型二：内切球独立截面法..............................................................................3
题型三：外接球公式法......................................................................................4
题型四：外接球补型法......................................................................................4
题型五：外接球单面定球心法..........................................................................5
题型六：外接球双面定球心法..........................................................................6
三、专项训练...........................................................................................................7
一、必备秘籍
1．球与多面体的接、切
定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面
体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是
多面体的内切球。
类型一 球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥
中，内切球为球
，求球半径
.方法如下：
即：
，可求出
.
类型二 球的外接问题
1
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1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
c
a
b
图1
C
P
A
B
a
b
c
图2
P
C
B
A
a
b
c
图3
C
B
P
A
②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB =CD ，
AD =BC ，AC =BD ）
3、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥
中，选中底面
，确定其外接
圆圆心
（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心
）；
②过外心
做（找）底面
的垂线，如图中
面
,则球心一定在直线（注意不一定在线段
上）
上；
③计算求半径
:在直线
上任取一点
如图：则
，利用公式
可计算
出球半径
.
4、双面定球心法（两次单面定球心）
如图：在三棱锥
中：
①选定底面
，定
外接圆圆心
②选定面
，定
外接圆圆心
O
H
B
A
C
P
O2
O1
2
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③分别过
做面
的垂线，和
做面
的垂线，两垂线交点即为外接球球心
.
二、典型题型
题型一：内切球等体积法
1．（22·23·全国·专题练习）正三棱锥P﹣ABC 的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的
半径之比为（ ）
A．1：3
B．1：
C．
D．
2．（22·23 下·朔州·阶段练习）正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为
．
3．（23·24 上·萍乡·期末）已知球O 是棱长为1 的正四面体的内切球，AB 为球O 的一条直径，点P 为正四
面体表面上的一个动点，则
的取值范围为 .
4．（22·23 上·张家口·期中）球O 为正四面体
的内切球，
，
是球O 的直径，点M 在正四
面体
的表面运动，则
的最大值为 ．
5．（22·23 上·河南·阶段练习）已知正四面体
的棱长为12，球
内切于正四面体
是球
上关于球心
对称的两个点，则
的最大值为 .
6．（22·23 上·扬州·期中）中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四
棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3 的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳
马”的内切球表面积为 ，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为 ．
题型二：内切球独立截面法
1．（23·24 上·淮安·开学考试）球
是圆锥
的内切球，若球
的半径为，则圆锥
体积的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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2．（22·23 下·咸宁·期末）已知球
内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台
的上、下底面半径
，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A．
B．
C．2
D．
3．（22·23·全国·专题练习）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为，当该圆锥
体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 .
4．（23·24 上·佛山·开学考试）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为
，当该
圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为 ．
5．（22·23 下·成都·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，高为
，则该圆锥的内切球表面积为
.
题型三：外接球公式法
1．（16·17·全国·单元测试）若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积
为 ( )
A．50π
B．100π
C．150π
D．200π
2．（22·23·全国·专题练习）设球
是棱长为4 的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球
的截面，
则最小截面的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（14·15 上·佛山·阶段练习）正方体的外接球（正方体的八个顶点都在球面上）与其内切球（正方体的
六个面都与球相切）的体积之比是 ．
题型四：外接球补型法
1．（23·24 上·成都·开学考试）在三棱锥
中，
，
则
4
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该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（22·23 下·揭阳·期中）在三棱锥
中，
，
，
，则该三
棱锥的外接球表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23·24 上·成都·开学考试）已知四面体
满足
，
，
，且
该四面体
的外接球的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（22·23 下·黔西·阶段练习）正三棱锥
的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接
球的半径之比为 .
5．（22·23 下·黔西·期中）如图，已知在三棱锥
中，
，
，且
，求该三棱锥外接球的表面积是 ．
题型五：外接球单面定球心法
1．（23·24 上·汉中·模拟预测）如图，在三棱锥
中，
平面
为
外接圆的圆心，
为三棱锥
外接球的球心，
，则三棱锥
的外接球
的
表面积为 ．
5
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2．（23·24 上·秦皇岛·开学考试）三棱锥
中，
在底面的射影
为
的内心，若
，
，则四面体
的外接球表面积为 .
3．（22·23 下·石家庄·阶段练习）已知球
是正四面体
的外接球，
为棱
的中点，
是棱
上的一点，且
，则球
与四面体
的体积比为 .
4．（22·23 下·淄博·期末）已知四棱锥
的底面
是矩形，侧面
为等边三角形，平面
平面
，其中
，
，则四棱锥
的外接球表面积为 .
题型六：外接球双面定球心法
1．（22·23 上·抚州·期中）已知菱形
的各边长为
.如图所示，将
沿
折起，使得
点
到达点的位置，连接
，得到三棱锥
，此时
.若
是线段
的中点，点
在三棱锥
的外接球上运动，且始终保持
则点
的轨迹的面积为 .
2．（22·23·赣州·模拟预测）如图，正三角形ABC 中，D，E 分别为边AB，AC 的中点，其中
，把
沿着DE 翻折至
的位置，得到四棱锥
，则当四棱锥
的体积最大时，四
棱锥
外接球的球心到平面
的距离为 .
6
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3．（22·23 下·湖南·期末）为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材
开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图（一）所示
的四边形
中，
，
，
，
.第二步：以
为折痕将
折
起，得到三棱锥
，如图（二）.第三步：折成的二面角
的大小为
，则活动结束后计
算得到三棱锥
外接球的表面积为 .
三、专项训练
一、单选题
1．（22·23 下·河南·模拟预测）已知直六棱柱的所有棱长均为2，且其各顶点都在同一球面上，则该球的表
面积为（ ）.
A．
B．
C．
D．
2．（22·23 下·宁德·期中）正四面体ABCD 的外接球的半径为2，过棱AB 作该球的截面，则截面面积的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23·24 上·河北·开学考试）长方体的一个顶点上三条棱长是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，
这个球的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（22·23 下·临夏·期末）已知四棱锥
的体积为
，侧棱
底面
，且四边形
是
边长为2 的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7
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5．（23·24 上·广东·阶段练习）如图，在边长为2 的正方形
中，
分别是
的中点，将
，
，
分别沿
，
，
折起，使得
三点重合于点
，若三棱锥
的所有顶点均在球
的球面上，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23·24 上·安徽·开学考试）在封闭的等边圆锥（轴截面为等边三角形）内放入一个球，若球的最大半
径为1，则该圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23·24 上·莆田·阶段练习）三棱锥
中，
是边长为
的正三角形，
为
中点且
，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（22·23·九江·一模）三棱锥
中，
与
均为边长为
的等边三角形，若平面
平面
，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．（23·24·柳州·模拟预测）已知圆锥的底面直径为
，轴截面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的
体积为 .
10．（22·23·唐山·二模）已知某圆台的上、下底面的圆周在同一球的球面上，且圆台上底面半径为1，下
底面半径为2，轴截面的面积为3，则该圆台的外接球的体积为 ．
11．（22·23·大同·模拟预测）四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑
中，
平面
，
，
，鳌臑
的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是 ．
8
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12．（23·24 上·辽宁·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图的面积为
，则该圆锥的内切球的
体积为 .
13．（23·24 上·成都·阶段练习）已知三棱锥
底面
是边长为
的等边三角形，平面
底面
，
，则三棱锥
的外接球的表面积为 .
14．（23·24 上·遂宁·阶段练习）已知正三棱柱
的六个顶点在球
上，又球
与此三棱柱的
个面都相切，则球
与球
的表面积之比为 .
15．（22·23 下·赣州·阶段练习）已知圆锥的内切球半径为，若圆锥的侧面展开图恰好为一个半圆，则该
圆锥的体积为 ．
9
