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专题01 空间几何体的外接球与内切球问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................3
题型一：内切球等体积法..................................................................................3
题型二：内切球独立截面法..............................................................................8
题型三：外接球公式法....................................................................................12
题型四：外接球补型法....................................................................................13
题型五：外接球单面定球心法.........................................................................16
题型六：外接球双面定球心法.........................................................................20
三、专项训练.........................................................................................................24
一、必备秘籍
1．球与多面体的接、切
定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面
体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是
多面体的内切球。
类型一 球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥
中，内切球为球
，求球半径
.方法如下：
即：
，可求出
.
类型二 球的外接问题
1
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1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
c
a
b
图1
C
P
A
B
a
b
c
图2
P
C
B
A
a
b
c
图3
C
B
P
A
②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB =CD ，
AD =BC ，AC =BD ）
3、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥
中，选中底面
，确定其外接
圆圆心
（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心
）；
②过外心
做（找）底面
的垂线，如图中
面
,则球心一定在直线（注意不一定在线段
上）
上；
③计算求半径
:在直线
上任取一点
如图：则
，利用公式
可计算
出球半径
.
4、双面定球心法（两次单面定球心）
如图：在三棱锥
中：
①选定底面
，定
外接圆圆心
②选定面
，定
外接圆圆心
O
H
B
A
C
P
O2
O1
2
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③分别过
做面
的垂线，和
做面
的垂线，两垂线交点即为外接球球心
.
二、典型题型
题型一：内切球等体积法
1．（22·23·全国·专题练习）正三棱锥P﹣ABC 的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的
半径之比为（ ）
A．1：3
B．1：
C．
D．
【答案】D
【详解】三棱锥扩展为长方体（本题实质上是正方体），它的对角线的长度，就是球的直径，
设侧棱长为a，则它的对角线的长度为
a，外接球的半径为
，
再设正三棱锥内切球的半径为r，正三棱锥底面边长为
，设
是内切球球心，则
到棱锥四个面的距
离都等于，
根据三棱锥的体积的两种求法，得
，
，
∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为
．
故选：D．
2．（22·23 下·朔州·阶段练习）正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为
．
3
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【答案】
【详解】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为
，
如图所示，
为
的中点，
，
由正四面体的性质可知线段
为正四面体
的高，
在正
中，
，
同理，在正
中，
，
则
，
，
所以
，
则
，
由正四面体的性质知，三个球的球心重合，且球心
在线段
上，
则
，
，
所以
，故
，
而棱切球与棱
相切，故其半径为
，
则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为
.
故答案为：
.
3．（23·24 上·萍乡·期末）已知球O 是棱长为1 的正四面体的内切球，AB 为球O 的一条直径，点P 为正四
面体表面上的一个动点，则
的取值范围为 .
4
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【答案】
【详解】
如图所示，在边长为1 的正四面体
中，设四面体内切球球心为
，
内切球半径为，取
中点为
，
则
,
,所以
，
因为
，
所以
，所以
，
因为点P 为正四面体表面上的一个动点，
所以
，即
，
因为
,
因为
为球O 的一条直径，所以
,
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
故答案为:
.
4．（22·23 上·张家口·期中）球O 为正四面体
的内切球，
，
是球O 的直径，点M 在正四
面体
的表面运动，则
的最大值为 ．
【答案】
/
5
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【详解】
如图，
为
中点，
为
中心，
平面
，
设球O 的半径为r，
，
正四面体
中，易求得
所以正四面体
的高为
，
所以根据体积公式
得：
，解得
，
因为点M 在正四面体
的表面运动，
所以
，
所以
．
故答案为：
．
5．（22·23 上·河南·阶段练习）已知正四面体
的棱长为12，球
内切于正四面体
是球
上关于球心
对称的两个点，则
的最大值为 .
【答案】
6
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【详解】
设点
在平面
内的射影为
，点
在平面
内的射影为
，点
在平面
内的射影为
，如
图1.
因为正四面体
的棱长为12，所以
.
设球
的半径为
.
因为
，所以
，则
.
，当且仅当
时，等号成立.
过点
作
，垂足为
，过点
作
，垂足为
，过点
作
，垂足为
，如
图2.圆
的半径为
是关于点
对称的两个点，且
.
.
，当且仅当直线
与圆
相切时，等号
成立.
，当且仅当
时，
等号成立.
因为以上取等条件可以同时成立，所以
.
6．（22·23 上·扬州·期中）中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四
棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3 的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳
马”的内切球表面积为 ，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为 ．
7
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【答案】
/
【详解】
如图，
为正方形，设
垂直于平面
，由题
，
，
因为
，
，所以
平面ADP，所以
，
为直角三角形，
由题，
，四棱锥表面积
，体积
，
设内切球半径为r，则
，得
，内切球表面积为
；
以DA，DC，DP 分别为x，y，z 轴建立如图空间直角坐标系，
因为内切球半径
，所以内切球球心
，
因为该四棱锥可以补全为棱长分别为3，3，4 的长方体，所以外接球球心
，
两点间距离
.
故答案为：
；
题型二：内切球独立截面法
1．（23·24 上·淮安·开学考试）球
是圆锥
的内切球，若球
的半径为，则圆锥
体积的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如下图所示：
8
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取圆锥
的轴截面
，设
，则
，
则
，则
，
所以，该圆锥的体积为
，
令
，令
，其中
，
则
，当
时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时函数
单调递增，
所以，当
时，
取最小值，即
.
故选：C.
2．（22·23 下·咸宁·期末）已知球
内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台
的上、下底面半径
，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A．
B．
C．2
D．
9
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【答案】B
【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆
是等腰梯形
的内切圆，设圆
与梯形的腰相切于点
，
与上、下底的分别切于点
，
，
设球的半径为，圆台上下底面的半径为
，
.注意到
与
均为角平分线，因此
，
从而
，故
.设台体体积为
，球体体积为
，
则
.
故选：B
3．（22·23·全国·专题练习）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为，当该圆锥
体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 .
【答案】2:1/2
【详解】设圆锥的高为，底面半径为，
则当圆锥体积最小时，如图，
由
可得：
，即
，进而
，
圆锥的体积
．
当且仅当
，即
时取等号．
该圆锥体积的最小值为
．
内切球体积为
．
该圆锥体积与其内切球体积比
．
故答案为：2：1
10
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4．（23·24 上·佛山·开学考试）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为
，当该
圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为 ．
【答案】
.
【详解】设圆锥的内切球的半径为
，可得
，解得
，
再设圆锥的底面圆的半径为，高为，如图所示，
由
，可得
，即
，解得
，
所以圆锥的体积
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
此时
，母线长为
，
此时圆锥的表面积为
.
故答案为：
.
5．（22·23 下·成都·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，高为
，则该圆锥的内切球表面积为
.
【答案】
【详解】如图，作出该圆锥与其内切球的轴截面图形，
11
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设该内切球的球心为
，内切球的半径为，
为切点，
所以，
，
由已知得
，
，
所以，在
中，
，即
，解得
，
所以，该圆锥的内切球表面积为
故答案为：
.
题型三：外接球公式法
1．（16·17·全国·单元测试）若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积
为 ( )
A．50π
B．100π
C．150π
D．200π
【答案】A
【详解】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5，
∴长方体的对角线长为：
，
∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径
∴球半径为
，可得球的表面积为
．
故选A．
2．（22·23·全国·专题练习）设球
是棱长为4 的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球
的截面，
则最小截面的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】正方体的体对角线长为
，所以球
的半径为
，
正方体的棱的中点与
的距离为
，
最小截面的圆的半径为
，
12
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最小截面的面积为
.
故选：B
3．（14·15 上·佛山·阶段练习）正方体的外接球（正方体的八个顶点都在球面上）与其内切球（正方体的
六个面都与球相切）的体积之比是 ．
【答案】
【详解】设正方体的棱长为
,则外接球的半径为
,内切球的半径为
所以正方体的外接球和内切球的体积比为
故答案为：
题型四：外接球补型法
1．（23·24 上·成都·开学考试）在三棱锥
中，
，
则
该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意，
两两相互垂直，以
为边补成一个正方体，其外接球就是三棱锥
的外接球，
，表面积
，
故选:B
2．（22·23 下·揭阳·期中）在三棱锥
中，
，
，
，则该三
棱锥的外接球表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【详解】因为
，
所以可以将三棱锥
如图放置于一个长方体中，如图所示：
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则有
，整理得
，
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
所以有
，
所以所求的球体表面积为：
．
故选：A．
3．（23·24 上·成都·开学考试）已知四面体
满足
，
，
，且
该四面体
的外接球的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将四面体
放入长方体中，如图，
则四面体
的外接球，即为长方体的外接球，
设长方体中
，则
，
三式相加得
，故
，
所以四面体
的外接球半径为
，
故四面体
的外接球表面积为
.
14
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故选：B
4．（22·23 下·黔西·阶段练习）正三棱锥
的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接
球的半径之比为 .
【答案】
【详解】由题意，正三棱锥
可补形称正方体
，如下图：
则三棱锥
的外接球为正方体
的外接球，
设正方体的棱长为
，则外接球半径
，
在正三棱锥
中，
，
易知
为等边三角形，由勾股定理可得：
，
则其面积
，
故正三棱锥
的表面积
，
其体积
，
15
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设三棱锥
的内切球的半径为，则
，
则
.
故答案为：
.
5．（22·23 下·黔西·期中）如图，已知在三棱锥
中，
，
，且
，求该三棱锥外接球的表面积是 ．
【答案】
【详解】设三棱锥外接球的外接球的半径为
，
由题意可将三棱锥
转化为长方体，长、宽、高分别为2、1、1，
则长方体的体对角线为外接球的直径
，即
，
所以该三棱锥外接球的表面积为
.
故答案为：
.
16
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题型五：外接球单面定球心法
1．（23·24 上·汉中·模拟预测）如图，在三棱锥
中，
平面
为
外接圆的圆心，
为三棱锥
外接球的球心，
，则三棱锥
的外接球
的
表面积为 ．
【答案】
【详解】根据题意可知，设
外接圆的半径为
，
在
中由正弦定理可知
，解得
，即
；
易知三棱锥
外接球的球心在
的正上方，且
平面
；
又
平面
，所以
；
因为
平面
，可得
，又
，
所以可得四边形
是矩形，即
；
设
，三棱锥
外接球的半径为，
由勾股定理可得
，解得
；
所以可得三棱锥
的外接球
的表面积为
.
故答案为：
2．（23·24 上·秦皇岛·开学考试）三棱锥
中，
在底面的射影
为
的内心，若
，
，则四面体
的外接球表面积为 .
【答案】
【详解】三棱锥底面为直角三角形，
为
内心，
17
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由
，
可得
，
以
为坐标原点，
分别为
轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
设
内切圆半径，易知
的周长为
，面积为
；
由等面积可得
，解得
；
设四面体
外接球球心为
，
所以易知
在平面
射影为
中点
，易知
，则
，
设
，
则
，
且
，即
，
解得
，
则四面体
的外接球表面积为
.
故答案为：
3．（22·23 下·石家庄·阶段练习）已知球
是正四面体
的外接球，
为棱
的中点，
是棱
上的一点，且
，则球
与四面体
的体积比为 .
【答案】
【详解】如图，正四面体
中，顶点
在底面的射影为
，球心
在
上，
设正四面体的棱长为
，可得
，
18
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则正四面体高
，
设外接球半径为
，在直角三角形
中，
，
即
，解得
，
令
，在
中，由余弦定理得
①，
同理，在
中，由余弦定理得
②
由题设
，解得
，
由于
到平面
的距离与
到平面
的距离相等，都等于
，
，
故
，
，
所以
.
故答案为：
.
4．（22·23 下·淄博·期末）已知四棱锥
的底面
是矩形，侧面
为等边三角形，平面
平面
，其中
，
，则四棱锥
的外接球表面积为 .
【答案】
【详解】记AD 的中点为
，连接
，连接EF，
设
外接圆的圆心为
，半径为，所求外接球球心为
，半径为
，连接
，如图，
19
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因为
为等边三角形，
，所以圆
的半径
，
因为
为等边三角形，
是AD 的中点，所以
，
因为平面
平面ABCD，平面
平面
平面PAD，
所以
平面ABCD，
因为底面ABCD 是矩形，所以
是底面ABCD 外接圆的圆心，
故
平面ABCD，所以
，
同理
，所以四边形
是矩形，
所以
，
所以球
的半径
，
所以外接球的表面积为
．
故答案为：
．
题型六：外接球双面定球心法
1．（22·23 上·抚州·期中）已知菱形
的各边长为
.如图所示，将
沿
折起，使得
点
到达点的位置，连接
，得到三棱锥
，此时
.若
是线段
的中点，点
在三棱锥
的外接球上运动，且始终保持
则点
的轨迹的面积为 .
20
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【答案】
【详解】取
中点
，连接
，则
，
，
平面
，所以
平面
，
又因为
，则
，
作
于
，设点
轨迹所在平面为
，
则平面
经过点
，且
，
设三棱锥
外接球的球心为
，半径为
，
的中心分别为
，
可知
平面
平面
，且
四点共面，
由题可得
，
在Rt
中，可得
，
又因为
，则
，
易知
到平面
的距离
，
故平面
截外接球所得截面圆的半径为
，
所以截面圆的面积为
.
故答案为：
.
2．（22·23·赣州·模拟预测）如图，正三角形ABC 中，D，E 分别为边AB，AC 的中点，其中
，把
沿着DE 翻折至
的位置，得到四棱锥
，则当四棱锥
的体积最大时，四
棱锥
外接球的球心到平面
的距离为 .
21
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【答案】
/
【详解】
由题意可知，当平面
平面
时，四棱锥
的体积最大，如图所示，
取
的中点
，连接
，则
，
又平面
平面
，
平面
，所以
平面
.
则
的外接圆的圆心
位于
且靠近点
的三等分点处，
设
的中点为
，连接
，则
，
所以
为四边形
的外接圆的圆心，
过
作平面
的垂线，过
作平面
的垂线，
则两垂线的交点即为四棱锥
的外接球的球心
，
连接
，则四边形
为矩形，
所以
，
连接
，在
中，
.
设四棱锥
的外接球的半径为
，则
.
连接
，
，
，
，
，
22
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连接
，则
，所以
外接圆的圆心在
上，令其半径为，
在
中，
，
所以
，即
，解得
，
设四棱锥
外接球的球心到平面
的距离为
，
所以
，即
，解得
，
故四棱锥
外接球的球心到平面
的距离为
.
故答案为：
3．（22·23 下·湖南·期末）为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材
开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图（一）所示
的四边形
中，
，
，
，
.第二步：以
为折痕将
折
起，得到三棱锥
，如图（二）.第三步：折成的二面角
的大小为
，则活动结束后计
算得到三棱锥
外接球的表面积为 .
【答案】
/
【详解】从第一步活动中可知
是边长为2 的正三角形，
第二步活动中可知三棱锥
外接球的球心是过底面
外心的平面
的垂线，
与过
外心的平面
的垂线的交点，如图：
因
为正三角形，所以
的外心
为
的中心，
因
为以
为斜边的直角三角形，所以
的外心
为
的中点，
三棱锥
外接球的球心为
，
因
，
，所以
,
,
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故
为二面角
的一个平面角，
所以
，
因
为正三角形，所以
，
因
平面
，
平面
，
所以
，即
，
所以
，
所以
，
所以
，
设外接球的半径为
，
所以
，
所以外接球的表面积为
.
故答案为：
.
三、专项训练
一、单选题
1．（22·23 下·河南·模拟预测）已知直六棱柱的所有棱长均为2，且其各顶点都在同一球面上，则该球的表
面积为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题知，如图所示：
直六棱柱的各顶点都在同一球面上，则底面六边形的所有顶点都在同一个圆上，
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因为底面六边形的边长均为2，所以底面六边形必为正六边形，
且由几何关系易知底面所在圆的直径为
，
又因为直六棱柱的侧棱长为2，故直六棱柱外接球的直径为
，
所以球半径
，所以球的表面积
.
故选：B.
2．（22·23 下·宁德·期中）正四面体ABCD 的外接球的半径为2，过棱AB 作该球的截面，则截面面积的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，面积最小的截面是以
为直径的截面，
将四面体
放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体
的外接球，
设
，则正方体棱长为
，故
，可求得
，
进而截面面积的最小值为
．
故选：C
3．（23·24 上·河北·开学考试）长方体的一个顶点上三条棱长是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，
这个球的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设球的半径为
，由题意可知球的直径即是长方体的体对角线，
则
，解得
；
所以
.
故选：A
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4．（22·23 下·临夏·期末）已知四棱锥
的体积为
，侧棱
底面
，且四边形
是
边长为2 的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意四棱锥
的体积为
，侧棱
底面
，且四边形
是边长为2 的正方
形，
得
,
设O 为PC 的中点，E 为
的交点，连接
，
则E 为
的中点，故
,且
因为
底面
，故
平面
，
平面
，故
，
而四边形
是边长为2 的正方形，故
，
故
,则
，
又
，故
，
同理求得
，即
，
故O 为四棱锥
的外接球的球心，则半径为
，
则该四棱锥的外接球的表面积为
，
故选：A
5．（23·24 上·广东·阶段练习）如图，在边长为2 的正方形
中，
分别是
的中点，将
，
，
分别沿
，
，
折起，使得
三点重合于点
，若三棱锥
的所有顶点均在球
的球面上，则球
的表面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】根据题意可得
，且
，
所以三棱锥
可补成一个长方体，则三棱锥
的外接球即为长方体的外接球，
如图所示，
设长方体的外接球的半径为
，可得
，所以
，
所以外接球的表面积为
，
故选：C
6．（23·24 上·安徽·开学考试）在封闭的等边圆锥（轴截面为等边三角形）内放入一个球，若球的最大半
径为1，则该圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由题意，等边三角形的内切圆的圆心也是三角形的重心，
所以得高为
，
设底面半径为r，由已知得
，故体积为
.
故选：A
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7．（23·24 上·莆田·阶段练习）三棱锥
中，
是边长为
的正三角形，
为
中点且
，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题设易得
，则
，即
，又
，
，
面
，则
面
，
若
的中心为
，则外接球球心
在过
垂直于面
的直线上，
又
，结合线面垂直模型知：外接球的半径
，
所以，外接球表面积为
.
故选：B
8．（22·23·九江·一模）三棱锥
中，
与
均为边长为
的等边三角形，若平面
平面
，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
解：如图，取
中点
，连接
，
，则
，
，
因为平面
平面
，所以可得
平面
，
平面
，
取
的外心
，
的外心
，分别过
作平面
与平面
的垂线交于点
，
即为球
心，连接
，
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易得
，
，
，
.
故选：B.
二、填空题
9．（23·24·柳州·模拟预测）已知圆锥的底面直径为
，轴截面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的
体积为 .
【答案】
/
【详解】依题意，圆锥内半径最大的球为圆锥内切球，
如图作出轴截面，圆O 和AC 相切于点D，
因为
是正三角形，所以
，
，
，
设内切球半径为R，在
中可得，
，
所以
，解得
，
球的体积为
.
故答案为：
.
10．（22·23·唐山·二模）已知某圆台的上、下底面的圆周在同一球的球面上，且圆台上底面半径为1，下
底面半径为2，轴截面的面积为3，则该圆台的外接球的体积为 ．
【答案】
【详解】设圆台高为h，由题意得
，
．
当圆台的上下底面圆在球心的同侧时，如下图所示：
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设该圆台下底面圆心到外接球的球心的距离为
，
，
外接球的半径为
，由
，
则
，得
，
，该圆台外接球的体积为
．
当当圆台的上下底面圆在球心的异侧时，如下图所示：
设该圆台下底面圆心到外接球的球心的距离为
，
，
外接球的半径为
，由
，
则
，得
舍去，
综上所述：该圆台外接球的体积为
，
故答案为：
11．（22·23·大同·模拟预测）四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑．在鳌臑
中，
平面
，
，
，鳌臑
的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是 ．
【答案】
【详解】把鳌臑
补成一个长方体，如图所示：
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则长方体的外接球即是鳌臑
的外接球，
又
，
，
长方体的外接球半径
，
鳌臑
的外接球半径为
，
则该球的表面积是
，
故答案为：
．
12．（23·24 上·辽宁·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图的面积为
，则该圆锥的内切球的
体积为 .
【答案】
【详解】解：由题意圆锥的底面半径为
，设母线长为，圆锥的高为，
由圆锥的侧面积公式
得：
，解得
，所以
.
棱锥及内切球截面示意图如上图，设内切球半径为
，
∵
相似于
，
∴
，即
，
解得：
，
所以内接球体积
.
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故答案为：
.
13．（23·24 上·成都·阶段练习）已知三棱锥
底面
是边长为
的等边三角形，平面
底面
，
，则三棱锥
的外接球的表面积为 .
【答案】
/
【详解】设外接球的球心为
，
分别为等边三角形
的中心，
连接
，则
平面
，
平面
，
设
为
的中点，则
，
因为平面
底面
，平面
底面
，
底面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
因为
、
都是边长为
的等边三角形，所以
，
可得四边形
为正方形，
为三棱锥
的外接球的半径，
因为
，所以
，
，
，
则三棱锥
的外接球的表面积为
.
故答案为：
.
14．（23·24 上·遂宁·阶段练习）已知正三棱柱
的六个顶点在球
上，又球
与此三棱柱的
个面都相切，则球
与球
的表面积之比为 .
【答案】
/5
【详解】由题意可得两球
、
是重合的，过正三棱柱的一条侧棱
和它们的球心作截面如图，
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设正三棱柱底面边长为
，两球半径分别为
，
则
，
，
则正三棱柱的高
，
在
中，
，
有
,
，所以球
与球
的表面积之比
.
故答案为：
.
15．（22·23 下·赣州·阶段练习）已知圆锥的内切球半径为，若圆锥的侧面展开图恰好为一个半圆，则该
圆锥的体积为 ．
【答案】
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，
圆锥侧面展开图为半圆，
侧面展开图扇形弧长为
，解得：
；
作出圆锥的轴截面如下图所示，其中
为圆锥内切球球心，
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，
，
又
，
，解得：
，
，
圆锥体积
.
故答案为：
.
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