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第 08 讲 二项分布与超几何分布、正态分布 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（24-25高二下·全国·课后作业）国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7
个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要
从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求超几何分布的概率
【分析】根据题意，可直接写出对应事件的概率.
【详解】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为 ．
故选：B
2．（23-24高二下·浙江宁波·期末）袋子中有n个大小质地完全相同的球，其中4个为红
球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概
率为 ，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求超几何分布的概率
【分析】利用超几何分布求解.
【详解】设事件“依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球”为事件 ,
即 解得 设事件“两次摸到的球颜色不相同”为事件B,
故选：C.
3．（23-24高二下·河南信阳·期末）随机变量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【知识点】利用二项分布求分布列、利用对立事件的概率公式求概率
【分析】利用二项分布的概率公式和对立事件的概率公式即可求得.
【详解】因 ，则 ， ，1，2，3.
.
故选：A.
4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济
生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为
，其中 为自然对数的底数， 是泊松分布的均值．当 很
大且 很小时，二项分布近似于泊松分布，其中 ．一般地，当 而 时，
泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量 的近似值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】建立二项分布模型解决实际问题
【分析】理解泊松分布定义，根据新定义解题.
【详解】由题， ，而 ，
所以泊松分布可作为二项分布的近似， ，所以 .
故选：B.
5．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量 ，随着 越来越大，
（ ）
A．保持不变 B．越来越小 C．越来越大 D．不能确定
【答案】A
【知识点】3δ原则
【分析】由 为定值，与 的变化无关，即可得出答案.
【详解】 为定值，与 的变化无关．
故选：A.
6．（23-24高二下·安徽安庆·期末）某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术
后，每日交易额 （单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交
易额在4460万元到4540万元的天数大约为（ ）（ ）A．50天 B．61天 C．86天 D．88天
【答案】B
【知识点】特殊区间的概率
【分析】根据正态分布的特殊区间的概率公式进行求解即可.
【详解】由 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为：
，
故选：B
7．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知 ，随
机变量 服从正态分布，其正态密度曲线如图所示，若 ，则 （ ）
A．5 B．8 C．9 D．14
【答案】B
【知识点】正态曲线的性质、求指定项的系数
【分析】根据正态分布密度曲线，得到 ，再结合二项式定理得到 ，利用
，可求 的值.
【详解】由 的分布密度曲线知 ， ，所以 ，
根据展开式的通项公式可得， ，
则 ，解得 ．
故选：B
8．（23-24高二下·河南商丘·期末）设随机变量 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二项分布的方差、利用二项分布求分布列
【分析】先根据二项分布方差的计算公式求 ，再根据 求
解.
【详解】由题意知， ，解得 ，
所以 .
故选：D
二、多选题
9．（24-25高二下·全国·单元测试）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量X服从两点分布， ，则
B．若随机变量Y的方差 ，则
C．若随机变量 服从二项分布 ，则
D．若随机变量 服从正态分布 ，则
【答案】CD
【知识点】指定区间的概率、两点分布的方差、方差的性质、利用二项分布求分布列
【分析】对于A，利用两点分布的方差公式计算及可排除；对于B，运用随机变量的方差性
质计算可排除；对于C，利用二项分布的概率公式计算可得；对于D，利用正态分布曲线的
对称性计算可得.
【详解】对于A，若随机变量X服从两点分布， ，则 ，
故A错误；
对于B，若随机变量Y的方差 ，则 ，故B错误；
对于C，若随机变量 服从二项分布 ，则 ，故C正
确；
对于D，若随机变量 服从正态分布 ，
则 ，故 ，故D正确．故选：CD．
10．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）为了解推动新能源汽车出口后的每辆车收入（单
位：万元）情况，从某新能源汽车企业抽取样本，得到推动出口后每辆车收入的样本均值
，样本方差 ，已知该企业以往的每辆车收入X服从正态分布 ，假设推
动出口后的每辆车收入Y服从正态分布 ，则（ ）（若随机变量Z服从正态分布
，则
A． B．
C． D．
【答案】BC
【知识点】特殊区间的概率、指定区间的概率
【分析】根据题意，得到该企业以往的每辆车收入X服从正态分布 ，
，结合正态分布曲线的对称性，逐项判定，即可求解
【详解】由题意知，该企业以往的每辆车收入X服从正态分布 ，
得 ，所以A错误，B正
确；
由 ，
所以C正确，D不正确.
故选：BC.
三、填空题
11．（23-24高三·全国·对口高考）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品
发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批
产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，
都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．则该商家拒收这批产品的概
率是 ．
【答案】
【知识点】求超几何分布的概率、计算古典概型问题的概率
【分析】利用古典概型与对立事件的概率公式，结合超几何分布即可得解.
【详解】依题意，这20件产品中有 件合格品，
所以该商家接收这批产品的概率为 ，
故商家拒收这批产品的概率为 .故答案为： .
12．（24-25高二下·全国·课后作业）2023年3月3日，教育部于《教育系统关于新时代学
习弘扬雷锋精神深入开展学雷锋活动的实施方案》中提出“教育系统要坚持将雷锋精神深
度融入学校教育教学和人才培养的全过程、各方面”．某校积极的参与到该方案实施中，
组织全体师生（共1600人）进行了一次“雷锋精神”相关的知识竞赛，经统计，所有参赛
者的成绩X近似服从正态分布 ，估计成绩不低于75分的参赛者人数为 ．
【答案】1346
【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率
【分析】根据 求得 ，再求 即可.
【详解】依题意可知 ，
所以 ，
所以 ，
所以估计成绩不低于75分的参赛者人数为 ．
故答案为：1346
四、解答题
13．（24-25高二下·全国·课后作业）高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中
装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到
4个红球，1个白球的就中一等奖．
(1)若摸出后放回，求中一等奖的概率；
(2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概
率．
【答案】(1)
(2)① ；②
【知识点】求超几何分布的概率、利用二项分布求分布列
【分析】（1）摸出后放回，则相当于做了5次重复试验，由此可知摸到的球服从二项分
布，据此可以求解;
（2）摸出后不放回，则摸到的球服从超几何分布，根据超几何分布的概率分布列计算即
可.
【详解】（1）若摸出后放回，设摸到白球的个数为 ，则 ，中一等奖的概率为 ．
（2）若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球， 表示取到的
红球数，则 服从超几何分布 ，
①由公式得， ，
所以中一等奖的概率为 ．
② 的可能取值为0，1，2，3，4，5，
根据公式可得至少摸到3个红球的概率为
，
故中奖的概率约为 ．
14．（23-24高二下·山西长治·期中）某种香梨的重量 （单位： ）服从正态分布
，将该种香梨按照其重量及对应的售价进行分拣，分为4类依次记为
.已知 ，售价最高，为10元 ；
，售价为8元 ； ，售价为6元 ；其余的为 ，售价为
5元 .
(1)任选1个香梨，求其重量大于 的概率；
(2)以 表示香梨的售价（单位：元），写出 的分布列，并估计该种香梨售价的平均值.
附：若 ，则 ，
， .
【答案】(1)
(2)分布列见解析， 元
【知识点】指定区间的概率、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列
【分析】（1）依题意 ，根据正态分布的性质求出 ，即可得
解；
（2）依题意 的所有可能取值为 ， ， ， ，根据正态曲线的性质求出所对应的概
率，即可求出分布列与数学期望.
【详解】（1）因为 ，所以 ， ，所以 ，
即任选1个香梨，其重量大于 的概率约为 ；
（2）由题意可知， 的所有可能取值为 ， ， ， ，
则 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
10 8 6 5
所以 ，
即估计该种香梨售价的平均值为 元 ．
15．（24-25高二下·全国·课后作业）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月
5日上午召开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了60名社区居民进
行调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)以频率估计概率，若社区计划从60名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少
有两人的年龄在区间 内的概率；
(2)若 和 年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从中抽取3
人谈谈对该会议的感受，设 表示年龄段在 的人数，求 ．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【知识点】独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、方差的性质、超几何分
布的分布列【分析】（1）根据频率分布直方图应用面积和得出概率即可；
（2）应用超几何分布先写出概率，再列出分布列，最后求出数学期望结合性质求出方差即
可.
【详解】（1）根据频率分布直方图可知，在区间 的频率为
，
所以随机抽取三人，至少有两人的年龄在区间 内的概率为
．
（2）因为社区居民年龄在 内的人数为 ，在 内的人数为6．
所以 的可能取值为 ．
则 ，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以
，
所以 ，所以 ．
16．（23-24高三上·山西运城·开学考试）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋
季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和
物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为
共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为
选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生
原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，
[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共
2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始
成绩基本服从正态分布(1)求物理原始成绩在区间[47,86]的人数；
(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间
[61，80]的人数，求X的分布列和数学期望．
（附：若随机变量 ，则
【答案】(1)1637人
(2)答案见解析
【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值、正态曲线的性质、正态分布的实际
应用
【分析】（1）根据若随机变量 ，则 ，
，以及正态分布的对称性可得．
（2） 服从二项分布，因为成绩在区间 , 的成功概率为 ，故 服从 ，
可取0，1，2，3．代入即可
【详解】（1）因为物理原始成绩 ，
则 ，
所以物理原始成绩在 的人数为 （人）
（2）随机抽取1人，其成绩在区间 的概率为 ，
所以随机抽取三人，则 可取0，1，2，3，且 ，
，
所以 的分布列为
0 1 2 3
数学期望
B能力提升
17．（24-25高二下·全国·课后作业）为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊
重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并
出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了
综合检测，得分情况如频率分布直方图所示．(1)计算该市化工企业的平均得分 （同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）；
(2)已知化工企业的得分情况 近似服从正态分布 ，其中 ，则得分
在 内的企业大约有多少家；
(3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概
率最大．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
【答案】(1)51
(2)136家
(3)98家
【知识点】由频率分布直方图估计平均数、服从二项分布的随机变量概率最大问题、3δ原
则、正态分布的实际应用
【分析】（1）利用平均数的定义求解；
（2）由（1）知化工企业的得分情况 ， ，再利用正态分布曲线的对称性求解；
（3）由（2）可知得分不低于19分的企业数 ，再利用二项分布的概率公式
求解．
【详解】（1）该市被调查的化工企业的污染情况得分的平均值为
．
（2）由（1）知化工企业的得分情况 ．因为 ，
所以
．
可得所求企业大约有 家．
（3）由（2）得 ，所以每家企业得分不低于19分的概率为0.9772，
则得分不低于19分的企业数 ．
其中恰有 家企业得分不低于19分的概率为 ，
令 ， ，
可得 ，解得 ，
故在走访的100家化工企业中，分数不低于19分的企业有98家时概率最大．
18．（23-24高二下·浙江宁波·期中）2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十
周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，
现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组： ， ，
， ， ， ，统计结果如图所示．
(1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）；
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈
名单中随机抽取3人，记得分在 的人数为X，试求X的分布列和均值：
(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从
正态分布 ，经计算 ．若 ，参赛学生可获得“参赛纪念
证书”：若 ，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共600名学生参加
本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的
学生能否获得“参赛先锋证书”．
附：若 ，则 ，
， ；
【答案】(1)75，71.7
(2)分布列见解析，
(3)504，不能
【知识点】由频率分布直方图估计中位数、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随
机变量的均值、正态分布的实际应用【分析】（1）根据频率分布直方图中众数和中位数的概念求解即可；
（2）先按照分层抽样求出在 的人数为2，则 的可能取值为0，1，2，再求出对
应的概率即可；
（3）由正态分布的概率特征求解即可．
【详解】（1）由题众数在 组，故众数为：75分；
由题知每组频率分别为：0.1，0.15，0.2，0.3，0.15，0.1，
所以中位数在 组，故中位数为： 分；
（2）由题参加座谈的11人中，得分在 的有 人，
所以 的可能取值为0，1，2，
所以 ， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
所以 ；
（3）由题可知
，
所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为： 人，
又由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数：
，
因为 ，则 ，
所以 ，
因为只有当 ，参赛学生才可获得“参赛先锋证书”，
故竞赛成绩为90分的学生不能获得“参赛先锋证书”．
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高三上·四川成都·开学考试）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标
表示，其中 ．而在n维空间中 ，以单位长度
为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标 ，其中
．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与 坐标差的绝对值之和，即为
．回答下列问题：
(1)求出n维“立方体”的顶点数；
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于 ．
（已知对于正态分布 ，P随X变化关系可表示为 ）
【答案】(1)
(2)①分布列见解析， ；②证明见解析
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随
机变量的均值、正态曲线的性质
【分析】（1）根据乘法原理，即可确定顶点个数；（2）①首先确定 ，再结
合组合数公式求概率，即可求解分布列和数学期望；②由①可知，n足够大时，
，可得正态分布 ，正态分布曲线为 ，并设题中分布列所形成的曲线为
，则当 与 均在 处取最大值，说明当 时，
且 ，则可认为方差 ．
【详解】（1）对于n维坐标 有 两种选择（ ）．
故共有 种选择，即 个顶点
（2）①对于 的随机变量，在坐标 与 中有k个坐
标值不同，
即 ，剩下 个坐标值满足 ．
此时所对应情况数为 种．
即
故分布列为：
1 2 ……
数学期望
倒序相加得
即 ．
②当n足够大时， ．
设正态分布 ，正态分布曲线为 ，
由定义知该正态分布期望为 ，方差为 ．
设题中分布列所形成的曲线为 ．
则当 与 均在 处取最大值，若当 时，
且 ，则可认为方差 ．
I． ：当 时，有
即 ．
II．
当n足够大时，有
当 时，
当 时，故 ．
综上所述，可以认为 ．
【点睛】思路点睛：本题考查立体几何新定义和排列组合，概率，分布列，正态分布相结
合的综合应用问题，属于难题，本题的关键是理解题意，能正确理解随机变量 取值的意
义，并能利用正态分布的意义，进行求解.
