文档文本内容
第 08 讲 分段函数求法
1．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函
数．
考点一 分段函数求自变量
考点二 分段函数求函数值
考点三 分段函数求参数值或参数范围
考点一：分段函数求自变量
例1．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知函数 ，则方程 的解
集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分段函数，对 分类讨论即可.
【详解】当 时， ，解得 或 （舍去），当x<0时， ，解得
（舍去），故解集为 ．
故选：A．
例2．已知函数 则方程 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】考虑 和 两种情况，代入解方程得到答案.
【详解】当 时， ，故 ，解得 或 （舍去）；
当 时， ，故 ，解得 或 （舍去）.
综上所述： 或 .
故选：B
考点二：分段函数求函数值
例3．对于 表示不超过 的最大整数，定义在 上的函数 ，若
，则 中所有元素的和为（ ）
A．12 B．3 C．14 D．15
【答案】D
【分析】将 表示为分段函数的形式，由此求得 的元素，进而求得正确答案.
【详解】当 ， ， ；
当 ， ， ；
当 ， ， ；
当 ， ， ；
当 时， ， ，
所以 ，所以 中所有元素的和为 .
故选：D
例4．已知函数 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．e
【答案】C【分析】根据指数幂运算性质，结合代入法进行求解即可.
【详解】 ，
故选：C
例5．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知 ，则
______.
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式计算可得；
【详解】 ，
．
故答案为： ．
考点三：分段函数求参数值或参数范围
例6．已知 ，若 ，则 （ ）
A．5 B． C．2 D．2或
【答案】B
【分析】根据题意将两部分范围确定，分别代入函数，即可解出 的值，再代入求解即可.
【详解】解：根据题意 ，
当 时函数 在 上单调递增，当 时函数 在 上单调递增，
若 ，，则必有 ，即 ，
则 ，即 ，则 ，解得 或 （舍去），
，
故选：B.
例7．已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的性质结合一次函数和对数函数的单调性，列出不等式组，即可求得实数 的取值
范围.
【详解】由题意 解得 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：C.
例8．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知 是偶函数，当 时， ，若
，则 （ ）
A． B． C． 或3 D． 或
【答案】B
【分析】根据偶函数的定义求解.
【详解】当 时，由 ，得 ，
解得 （舍去）或 ；
根据偶函数的图象关于y轴对称，可知当 时，由 ，得 (舍)或 ，
综上 ，
故选:B.
一、单选题
1．德国数学家狄里克雷（Johann Peter Gustay Dejeune Dirichlet，1805—1859）在1837年时提出“如果
对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数
的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法
则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数 .若 ，则x₀可以
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，可知 .检验或化简各项，即可得到答案.
【详解】根据函数的定义，知若 ，则 .
，是个有理数.而其它选项都是无理数.
故选：C．
2．已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B．6 C．4 D．2
【答案】D
【分析】由题意分类讨论 ， 求解a，再根据分段函数求函数值.
【详解】当 时，则 ，解得： 或 （舍去）当 时，则 ，解得： （舍去）
综上所述：
∴ ，则
故选：D.
3．（2023·河南·统考模拟预测）已知函数 且 ，则
（ ）
A．-16 B．16 C．26 D．27
【答案】C
【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
故选：C
4．设函数 在 上有定义，对于任一给定的正数 ，定义函数 则称函数
为 的“ 界函数”.若给定函数 ，则下列结论不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 ，然后逐个分析判断即可。【详解】因为 ，
所以 ，
所以对于A， ，所以A正确，
对于B， ，所以B错误，
对于C， ，所以C正确，
对于D， ，所以D正确，
故选：B
5．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可.
【详解】根据题意，函数 在 时为单调递增，即 ，解得 ；
易知，二次函数 是开口向上且关于 对称的抛物线，所以 为单调递增；
若满足函数 在 上单调递增，
则分段端点处的函数值需满足 ，如下图所示：所以 ，解得 ；
综上可得 .
故选：A
6．函数 （ ），则 ﹐则a=（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由题意先求出 ，再求 ，解方程即可得出答案.
【详解】因为 时， ，
所以 ，则 ，
解得： .
故选：A.
二、多选题
7．德国数学家狄利克雷（1805~1859）在1837年时提出：“如果对于 的每一个值， 总有一个完全确定
的值与之对应，那么 是 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值
范围中的每一个 ，有一个确定的 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表
示，例如狄利克雷函数 ，即： ，以下关于狄利克雷函数 的性质正确的有
（ ）
A． B． 的值域为
C． 定义域为 D．
【答案】ACD
【分析】根据函数解析式逐项判断即可.【详解】由函数 ，可知函数定义域为 ，值域为 ，故C正确、B不正确；
当 为有理数时， ， ；当 为无理数时， ， ；所
以当 ， ，故A正确；
当 为有理数时， 为有理数，当 为无理数时， 为无理数，即 ，故D正确；
故选：ACD.
8．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】分段函数求解，在已知未知数取值的时候，代入验证即可；复合函数，先求内层函数值，再代入
求解.
【详解】A. ， ，满足；
B. ， ，满足；
C. ， ，不满足；
D. ， ，满足.
故选：ABD.
9．已知函数 ，若 ，则实数a的值为（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】AC【分析】利用给定的分段函数，分段计算作答.
【详解】函数 ，而 ，
当 时， ，解得 ，满足条件，即有 ，
当 时， ，解得 ，显然 不满足条件，则有 ，
所以实数a的值为 或2.
故选：AC
三、填空题
10．（2022秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）设函数 ，若 ，
则实数a＝_____．
【答案】 或
【分析】由分段函数解析式可得 在定义域内恒成立，由题意可得 ，分 和 两种情
况，运算求解.
【详解】当 时，则 ；
当 时，则 ；
综上所述： 在定义域内恒成立，
令 ，则 ，解得 ，即 ，
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，解得 或 （舍去）；
综上所述： 或 .
故答案为： 或 .
11．设函数 ，若 ，则 __________．【答案】
【分析】对 的取值范围进行分类讨论，分别代入计算即可得出符合题意的取值.
【详解】由题意可得，当 时， ，此时方程无解；
当 时， ，解得 或 （舍）
故答案为：
12．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数 ，该函数被称为狄
利克雷函数．若存在三个点 、 、 ，使得 为等边三角形，则
________．
【答案】1
【分析】由狄利克雷函数分析得出 的位置有两种情况，逐一分析即可得出答案．
【详解】 ，
或1，
存在三个点 、 、 ，使得 为等边三角形，
不同时为0或1，
不妨设 ，
分析得 的位置有两种情况，
第一种情况：
当 为有理数时，即 ，如图，过点 作 ，垂足为 ，得 ， ， ，
可知， 为无理数， 为无理数，
即 ， ，与图形不一致，舍去；
第二种情况：
当 为无理数时，即 ，如图，
过点 作 ，垂足为 ，得 ， ， ，
可知， ， ，
存在 ，使得 ，且 为无理数，
即 ， 与图形一致，符合题意，
此时， ，
故答案为：1．
13．已知函数 ， ，其中 表示不超过 的最大整数，例 ， ．则
函数 的值域是___________．
【答案】
【分析】根据题意，分别求出 ， ， 时的 ，作出图象，直接可得到 的值域.【详解】当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
综上 ;
图象如图所示:
函数 的值域是 .
故答案为： .
14．函数 ，则 ______．
【答案】
【分析】判断 的范围，代入分段函数相应的解析式中，结合指数以及对数的运算法则，即可求得
答案.
【详解】因为 ，
故 ，
故答案为：
15．已知函数 的值域是 ，则实数m的取值范围是______．【答案】 ．
【分析】分别求出 和 时 的取值范围，然后由值域可得集合的关系，从而得参数范围．
【详解】 时， 且 ，即 ，
因此 时， 的取值范围应包含 ，
又 时， ，所以 ．
故答案为： ．
16．已知函数 ，若 存在最小值，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】分类讨论 两种情况，结合指数函数的单调性与二次函数的性质，即可求得 的取值范
围.
【详解】因为 有最小值，当 时， 在 上单调递增，且
，即 在 上没有最小值.
当 时， ，则 在 上必有最小值，函数 开口向上，对称轴是 ，
当 时，函数 ，故 不是函数 的最小值，不满足题意，
当 时， ，要使 是函数的最小值，则 ，即 ，解
得 或 ，所以 .
综上， 的取值范围是
故答案为： .
