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专题05 导数中的切线问题
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题型01 在某一点的切线........................................................................................................................................... 1
题型02 过某一点的切线........................................................................................................................................... 2
题型03 切线中平行、垂直、重合问题...................................................................................................................3
题型04 求公切线（两个切点）...............................................................................................................................4
题型05 切线的条数问题........................................................................................................................................... 5
题型01 在某一点的切线
【解题规律·提分快招】
在某一点的切线方程
切线方程
的计算：函数
在点
处的切线方程为
，抓住关键
．
【典例训练】
一、单选题
1．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的图象在点
处的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·河北保定·期末）已知点
在抛物线
的准线上，过点
的直线
与抛物线在第一象限相切于点
，记抛物线的焦点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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二、填空题
4．（24-25 高三上·湖南·期中）曲线
在点(1,f (1))处的切线方程为 .
5．（24-25 高三上·山东潍坊·期中）已知点
在函数
的图象上，则曲线
在点
处的切线方程为 .
题型02 过某一点的切线
【解题规律·提分快招】
过某一点的切线方程
设切点为
，则斜率
，过切点的切线方程为：
，
又因为切线方程过点
，所以
然后解出
的值．（
有几个值，就有几条切
线）
【典例训练】
一、单选题
1．（2024 高三·全国·专题练习）设曲线
的一条切线过点
，则此切线与坐标轴围成的三角形
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·贵州遵义·阶段练习）若函数
的图象在点
处的切线不经过第二象限，
且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
3．（24-25 高三上·天津武清·阶段练习）若直线
与曲线
相切，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
二、填空题
4．（2024·天津和平·二模）过点
作曲线
的切线，则切点的坐标为 ．
5．（2024 高三·全国·专题练习）写出曲线
过坐标原点的切线方程： ， .
6．（24-25 高三上·广东·开学考试）已知函数
过原点
作曲线
的切线，其
2
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切线方程为 ．
题型03 切线中平行、垂直、重合问题
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·湖北·期末）函数
在
处的切线与直线
垂直，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·山西·模拟预测）已知函数
若对任意
，曲线
在点
和
处的切线互相平行或重合，则实数
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．（23-24 高二下·河北石家庄·期中）设曲线
和曲线
在它们的公共点
处有相同的切线，则
的值为（ ）
A．0
B．
C．2
D．3
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，若直线
是曲线
与曲线
的公切线，则
（ ）
A．
B．
C．26
D．28
5．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1 的直线与曲线
和圆
都相切，则实数
的值为
（ ）
A．0 或2
B．
或2
C．
或0
D．0 或1
6．（23-24 高三上·四川内江·阶段练习）若曲线
在点
处的切线也是
的切线，则
一
定是下列函数（ ）的零点.
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．（2024 高三·全国·专题练习）已知曲线
在点
处的切线为，若直线
，则直
线
的方程可能是 ．（写出一个正确答案即可）
8．（24-25 高三上·湖南永州·期末）已知直线
是曲线
和
的一条公切
线，则
．
3
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题型04 求公切线（两个切点）
【解题规律·提分快招】
求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，
则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，
则
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）设函数
.若函数
在
和
的
切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）若直线
是曲线
与
的公切
线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
4．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）若曲线
在
处的切线也是曲线
的
切线，则
．
5．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）若曲线
与曲线
存在公切线，则a 的最大值 ．
6．（24-25 高三上·福建福州·阶段练习）若曲线
在点P(x1, y1)处的切线与曲线
相切于点
Q(x2, y2)，则
．
4
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7．（24-25 高三上·山东聊城·阶段练习）一条直线与函数
和
的图象分别相切于点
和
点
，则
的值为 ．
题型05 切线的条数问题
【解题规律·提分快招】
切线的条数问题
切线条数判断，一般转化为关于切点横坐标的函数零点个数判断问题.
【典例训练】
一、单选题
1．（2023·四川凉山·一模）函数
在区间
的图象上存在两条相互垂直的切线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）过点
作曲线
的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
3．（23-24 高二下·浙江衢州·期末）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·四川内江·模拟预测）若过点
可以作两条直线与曲线
相切，则下列选项正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·山东·模拟预测）若过点
可以作
的三条切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线
与
恰有两条公切线，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．（24-25 高三上·河北邢台·期末）若过点
恰好可作曲线
的两条切线，则
的值可以为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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8．（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）对于函数
，则下列判断正确的是（ ）
A．直线
是
过原点的一条切线
B．
关于
对称的函数是
C．过一点
可以有条直线与
相切
D．
三、填空题
9．（24-25 高三上·江苏南通·开学考试）已知曲线
与
有公共切线，则实数
的最大
值为 ．
10．（2024·云南昆明·三模）过点
可以向曲线
作
条切线，写出满足条件的一组有序实数
对
11．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）已知函数
其中
，当两函数图象
对应曲线存在2 条公切线时则
的取值范围是 ．
一、单选题
1．（24-25 高三上·天津·期中）已知函数
，则曲线
在点
处切线的斜
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·甘肃天水·阶段练习）
，若
，则
等于（ ）
A．
B．1
C．
D．
3．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知曲线
，
在点
处的切线与直
线
垂直，则a 的值为（ ）
A．1
B．
C．3
D．
4．（24-25 高三上·江苏淮安·阶段练习）已知
是曲线
上一点，直线
经过点
，
且与曲线
在
点处的切线垂直，则实数的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·福建·期中）若直线
与曲线
相切，则
（ ）
6
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A．2
B．e
C．
D．
6．（2024·四川眉山·一模）曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知曲线
在
处的切线恰好与曲线
相切，则
实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）已知曲线
在点
处的切线与曲线
在
点
处的切线平行，且直线
垂直于
轴，则
（）
A．e
B．
C．
D．e 或3e
9．（24-25 高三上·河南·阶段练习）若直线
是函数
的一条切线，则
的最小
值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
10．（24-25 高三上·山西·阶段练习）曲线
与
的公切线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线
与
，恰有2 条公切线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（24-25 高三上·云南昆明·期中）已知函数
和两点
，
，设曲线
过原点
的切线为，且
，则
所在的大致区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，点
，则下列说法正确的是（ ）
A．过点
与
的图象相切的切线的斜率恒不为1
B．若
，则过点
可作3 条直线与
的图象相切
C．若过点
且斜率为4 的直线与
的图象有2 个交点，则
D．若
图象上任意两点连线所在直线的斜率恒大于点
与点
连线所在直线的斜率，则
的取
值范围是
14．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）记函数
的图象为曲线
，点
不在曲线
上，过点
7
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作曲线
的切线，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，可作1 条切线
B．若
，
，可作0 条切线
C．若
，
，可作3 条切线
D．若
，
，可作2 条切线
三、填空题
15．（24-25 高三上·福建龙岩·期中）已知函数
.曲线
在点
处的切
线方程为
，则
16．（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数
与函数
在公共点处的切线
相同，则实数m 的值为 .
17．（23-24 高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线
与
的公切线为
，
则实数
.
18．（2024·辽宁·二模）已知函数
的图象与函数
且
的图象在公共点处有相同的切
线，则
，切线方程为 .
19．（23-24 高三上·陕西西安·期中）若过点
可以作曲线
的两条切线，切点分别为
，则的取值范围是 .
20．（2024·安徽·模拟预测）若直线
上一点
可以作曲线
的两条切线，则点
纵坐标的取值范
围为 ．
21．（24-25 高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知
，
分别为直线
和曲线
上的点，则
的最小值为
22．（23-24 高三上·山东烟台·期中）若过点
有三条直线与函数
的图象相切，
则实数m 的取值范围为 .
23．（24-25 高三上·广东深圳·期中）已知曲线
存在两条斜率为3 的切线，则实数a
的取值范围为 .
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