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第 7 题 回归教材突破 max 与 min 函数（解透一题）
【厦门市2025届高三第二次质量检测T11】
(多选题)分别用 ， 表示 ， 中的最小者和最大者，记为
， ．若 ， ，则
（ ）
A．
B．函数 有2个零点
C．函数 的图象关于 轴对称
D．关于 的方程 的所有解的乘积为
本题主要考查函数的新定义（最小者 m(x) 和最大者 M(x)）、函数的值、函数的零点、函
数的奇偶性以及方程的解等知识点.通过对 f(x) 和 g(x) 进行比较构造出新函数m(x) 和
M(x)，旨在考查学生对函数性质的综合运用能力，以及对新定义的理解和转化能力，需要
学生具备较强的分析问题、解决问题的能力以及严谨的逻辑思维.【人教A版教材对max/min函数研究分析】
人教A版教材对max/min函数的研究以分类讨论为核心，辅以数形结合和导数分析，需重
点掌握分段转化、图像交点判断及导数工具的灵活运用.
【核心方法--图像构造法】
通过绘制 f(x) 和 )g(x) 的图像，直观展示 max{f(x)，g(x)} 或 min{f(x)，g(x)} 的形态.如
图，作 ， 在一个坐标系中的图象(图1)：
则 的图像如图2， 的图像如图3红线.
对于A选项， 显然， 与 关于原点对称.故 ，故A正确．
对于B选项：
如图4，在坐标系中作出函数 的图象与直线 （倾斜程度比 大），观察可知
只有1个交点，故B错误．
对于C选项： 因为 与 关于原点对称， 所以 ，所以
，
所以函数 为偶函数，故函数 的图象关于 轴对称.图5
对于D选项：
由 或
结合图象5可知，当 时， 方程有两根 ，且 ，
故 为 的两根，即 两根，故 ，
满足题意.
当 时，方程 增加两根 ，这两根满足 ，
所以 满足 ，此时 ，显然也满足题意.
所以关于 的方程 的所有解的乘积为 ，故D正确．
综上，故选ACD．
本题是以符号函数min和max为背景，考察分析函数性质与求解方程的综合能力的中档题，
难度适中，研究教材.挖掘出数形结合法，通过图像直观理解函数最值关系，主要采用图
像叠加分析：将多个函数图像叠加，通过观察交点确定min或max函数的分段区间.
事实上，我们也可以推导 ， 的表达式，但不如图象法直观.
令 .
当 时 ，即 ，此时 ，.
当 时， ， .
此时
（2024四川内江一模第11题）
1．给定函数 ， ．分别用 、 表示 、 中的最小
者、最大者，记为 , ．下列说法正确的是
（ ）
A．
B．当直线 与曲线 有三个不同交点时，
C．当 时，曲线 在点 处的切线与曲线 有且仅有一个交点
D．函数 的值域为
【答案】ACD
【分析】求出函数 、 的解析式，可判断A选项；数形结合可判断B选项；求出
切线方程，将切线方程与函数 的解析式联立，求出交点个数，可判断C选项；化简
函数 的解析式，并求其值域，可判断D选项.
【详解】函数 、 的定义域均为 ，且 ，所以， ，
，
对于A选项，当 时， ，则 ，此时， ，
当 时， ，则 ，此时， ，A对；
对于B选项，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有三个交点，B错；
对于C选项，当 时， ，则 ，
因为 ，则 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
当 时，由 ，
整理可得 ，可得 （舍去），
当 时，由 可得 ，
解得 或 （舍去），
综上所述，当 时，曲线 在点 处的切线与曲线 有且仅有一个交
点，C对；
对于D选项，当 时， ，
当 时， .
综上所述，函数 的值域为 ，D对.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质
都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
（2023贵州六盘水期末）
2． ，用 表示 ， 的较小者，记为 ，若
， ，则下列说法正确的是（ ）A．
B．函数 有最小值，无最大值
C．不等式 的解集是
D．若a，b，c是方程 的三个不同的实数解，则
【答案】ACD
【分析】由题可得 ，后可判断各选项正误.
【详解】注意到 或 ， .
则 .
A选项， ，故A正确.
B选项，由 可知 无最小值，无最大值，故B错误；
C选项，当 时， ；
当 时， 不存在.
综上，不等式 的解集是 ，故C正确；
D选项，当 时， ；
当 时， ，
则 ，故D正确.
故选：ACD
（2025黑龙江期末）3．给定函数 ，对于 ，用 表示 中的最小者，记
为 ，下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A．函数 是偶函数 B．函数 有三个零点
C．函数 在 递增 D．函数 有四个单调区间
【答案】ABD
【分析】作出函数 的图象，确定函数 的图象，利用图象结合奇偶性、单调
性、零点逐项判断即可.
【详解】作出函数 的图象，则函数 的图象为图中实线部分所示，
对于A，函数 的图象关于 轴对称，因此 是偶函数，A正确；
对于B，函数 的图象与 轴有三个交点，因此函数 有三个零点，B正确；
对于C，函数 在 上单调递减，C错误；
对于D，在 上 的图象都是上升的，在 上 的图象都是下
降的，
因此函数 有四个单调区间，D正确.
故选：ABD
【讨论去符号】
4．已知 ，定义： ，设 .若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】
【分析】令函数 ，通过分析 的正负确定函数
及 的解析式，把零点问题转化函数图象交点个数问题，数形结合可
得结果.
【详解】令函数 ，由解析式可知函数 在 上单调
递增，
又 ，则当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
因 ，
则 ， .
令 ，由 ，得 ，
故函数 的零点为函数 的图象与直线 交点的横坐标，
其中直线 恒过点 ，
如图，在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象如下.
图1 图2 图3
由图1知，当 ，即 时，直线 与函数 图象只有一个交点；
由图2知，当直线 与 平行时，即 时，两者只有一个交点；
由图3知，而当 时，即 时，两者有2个交点，而当 ，即 时，
两者只有一个交点.
综上可得，当 时，函数 有两个零点，
即实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定函数 的解析式，根据
得 ，其中 ，问题转化为函数 的图
象与直线 有两个交点，数形结合求出 的取值范围.
5．设 ， ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】由题意可得 恒大于三个式子的和，再结合均值不等式求出和的最小值即可
【详解】因为 ，
所以 ，
故 ，当且仅当 取等号.
故答案为：3
