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第 小题 集合的概念与运算
1
第1小题 集合的概念与运算.......................................................1
一、主干知识归纳与回顾......................................................2
1.1集合的概念...........................................................2
1.2集合间的基本关系.....................................................2
1.3集合的基本运算.......................................................2
（一）命题角度剖析..........................................................3
（二）考情分析..............................................................3
（三）高考预测..............................................................4
二、题型分类与预测..........................................................4
命题点一：集合及其关系...................................................4
1.1母题精析（三年高考真题）..........................................4
一．元素与集合关系的判断（共1小题）..............................4
二．集合的包含关系判断及应用（共2小题）..........................4
三．子集与真子集（共1小题）......................................5
1.2解题模型..........................................................5
1.3对点训练（四年省市模考）..........................................5
一．元素与集合关系的判断（共5小题）..............................5
二．集合的表示法（共3小题）......................................9
三．集合的包含关系判断及应用（共7小题）.........................11
命题点二：集合的基本运算................................................13
1.1母题精析（三年高考真题）.........................................13
一．并集及其运算（共1小题）.....................................13
二．交集及其运算（共7小题）.....................................13
三．补集及其运算（共1小题）.....................................15
四．交、并、补集的混合运算（共6小题）...........................15
1.2解题模型.........................................................171.3对点训练（四年省市模考）.........................................17
一．并集及其运算（共4小题）.....................................17
二．交集及其运算（共21小题）....................................19
三．补集及其运算（共4小题）.....................................25
四．交、并、补集的混合运算（共12小题）..........................27
五．Venn图表达集合的关系及运算（共4小题）.......................31
三、类题狂刷（五年区模、校模）：...........................................34
一．元素与集合关系的判断（共1小题）.............................34
二．集合的包含关系判断及应用（共4小题）.........................34
三．子集与真子集（共1小题）.....................................36
四．并集及其运算（共5小题）.....................................36
五．交集及其运算（共30小题）....................................38
六．补集及其运算（共3小题）.....................................48
七．交、并、补集的混合运算（共8小题）...........................49
八．Venn图表达集合的关系及运算（共2小题）.......................51
一、主干知识归纳与回顾
1.1集合的概念
1.集合定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.
集合三要素：确定性.互异性.无序性.
2.集合的相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等.
3.元素和集合的关系：属于（ ）和不属于（ ）.
4.常见数集：自然数集： ，正整数集：n 或 m ，整数集： ，有理数集： ,实数集 .
1
5.集合的表示方法：
（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法.（2）描述法：设 是一个集合，我们把集合 中所有具有共同特征 的元素 所组成的集合表示为
，这种表示集合的方法称为描述法.
1.2集合间的基本关系
1.子集：对于两个集合 ， ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，则称集合 是集合
的子集，记作m .
2
2.真子集：如果集合n ，但存在元素m ，且N=m+m+⋯+m，则称集合 是集合 的真子集.记作：集合
n 1 2 n
(或 ).
3.空集：把不含任何元素的集合叫做空集.记作：n.并规定：空集合是任何集合的子集.
4.子集个数：如果集合A中含有n个元素，则集合A有m 个子集， 个真子集.
1
1.3集合的基本运算
1.并集：由所有属于集合 或集合 的元素组成的集合，称为集合集合 是集合 与 的并集.记作：
m .即 .
2
2.交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合 是集合 与 的交集.记作：
n .即 .
3.补集：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，
记作: ,即 .（一）命题角度剖析
1.集合及其关系 ★★★☆☆ 2.集合的基本运算 ★★★★★
（二）考情分析
高考频率：100% 试题难度：容易 呈现形式：以选择题或填空题呈现
（三）高考预测
试题以集合的交、并、补运算为考查重点，且常与不等式、方程、函数的定义域、解析几何
等相结合，每年必考！
二、题型分类与预测命题点一：集合及其关系
1.1母题精析（三年高考真题）
一．元素与集合关系的判断（共1小题）
1．（2023•上海）已知 ， ， ， ，若 ， ，则
A． B． C． D． ，2，
【分析】根据题意及集合的概念，即可得解．
【解答】解： ， ， ， ， ， ， ．故选： ．
【点评】本题考查集合的基本概念，属基础题．
二．集合的包含关系判断及应用（共2小题）
2．（2023•新高考Ⅱ）设集合 ， ， ， ， ，若 ，则
A．2 B．1 C． D．
【分析】根据题意可得 或 ，然后讨论求得 的值，再验证即可．
【解答】解：依题意， 或 ，当 时，解得 ，
此时 ， ， ，0， ，不符合题意；
当 时，解得 ，此时 ， ， ， ， ，符合题意．故选： ．
【点评】本题考查集合间的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（2021•上海）已知集合 ， ， ， ，则下列关系中，正确的
是
A． B． C． D．
【分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．
【解答】解：已知集合 ， ， ， ，
解得 或 ， ， ， ， ；则 ， ，故选： ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
三．子集与真子集（共1小题）
5．（2020•全国）若集合 共有5个元素，则 的真子集的个数为
A．32 B．31 C．16 D．15
【分析】根据真子集个数的结论即可求解．
【解答】解： 集合 共有5个元素， 的真子集的个数为 ．故选： ．
【点评】本题考查真子集个数的结论，属基础题．
1.2解题模型
1.解决集合概念问题的关键
解决集合概念问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三
是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
2.特殊集合——空集
空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则容易造成漏解.
3.利用集合与集合之间的关系求参数
已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化
为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
1.3对点训练（四年省市模考）
一．元素与集合关系的判断（共5小题）
1．（2023•福建二模）一个正整数集 满足下列性质：
（1） 里的每个数，除1以外，都至少是2、3、5之一的整数倍；
（2）对 ，若 ， ， 中有一个成立，则 ， ， ， 同时成立；
（3） 中的元素个数介于700至900之间．
那么， 中的元素数量为
A．736 B．786 C．816 D．856【分析】不妨先试举几个数找其规律 （1）， ，3， ， ，6，9，10，15， ， ，这些数组都是
符合条件的数组，我们发现除了1以外，其他数字都是含有质因数2，3，5的，不再含有其他质因数的自
然数，不妨设 ， ， 都是自然数， ，其中最高次方为 的形式．
时，有 个符合，则共有 个符合，结合此数组中数的个数在 700和
900之间，即可得出结论．
【解答】解：由题意，不妨设 ， ， 都是自然数， ，其中最高次方为 的
形式．
（1） 时， ， ，符合，此时有1个；
（2） 时，则 ， 或 ， 或 ， ，所以 或3或5，符
合，此时有3个；
（ 3 ） 时 ， ， 或 ， 或 ， 或 ， 或
， 或 ， ，所以 或10或15或4或9或25，符合，此时有6个；
（4） 时，有 个符合，则共有 个符合，
由题意，此数组中数的个数在 700 和 900 之间，所以 ，则
符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查数字问题，考查分类讨论的数学思想，不妨设 ， ， 都是自然数，
，其中最高次方为 的形式是关键，属难题．
2．（2023•福建二模） 是正整数集的子集，满足： ， ， ，并有如下性质：若， ，则 ，则 的非空子集数为
A．2022 B．2023 C． D．
【分析】根据题意，求出 ，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案．
【解答】解：由题意可知：若 ， ，则 ， ， ， 均属于 ，
而事实上，若 ，中 ，
所以 ，
故 ， 中有正整数 ，
从而 中相邻两数不可能大于等于2，
故2，3， ， ，
若 ， ，则有 ，与 矛盾，
当 时， ，
当 时，则 ，
所以 ， ，
所以 ，2， ， ，
所以非空子集有 个．
故选： ．
【点评】本题考查了求非空子集的个数，难点在于求出 ，也考查了逻辑推理能力，属于难题．
3．（2018•漳州模拟）满足 ，2019， 的集合 的个数为A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用集合之间的关系即可得出结论．
【解答】解：满足 ，2019， 的集合 可得： ， ， ， ，
．
因此满足的集合 的个数为3．
故选： ．
【点评】本题考查了集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（2023•福建二模）非空集合 具有如下性质：①若 ， ，则 ；②若 ， ，则
下列判断中，正确的有
A． B．
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【分析】用反证法，证明矛盾即可判断 ；由1开始类推，能得到所有自然数均属于集合 ，由题知两者
相除也属于集合 ，即可判断 ；由集合 的性质可得 ， ，即可判断选项 和 ．
【解答】解：对于 ，假设 ，则令 ，则 ， ，
令 ， ，则 ， ，
令 ， ，不存在 ，即 ，矛盾，
，故 对；
对于 ，由题， ，则 ， ， ， ， ，
，故 对；
对于 ， ， ， ，， ， ，故 对；
对于 ， ， ，
若 ， ，则 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查元素与集合关系的判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．
5．（2023•福建二模）一个由实数构成的集合 称为“幸运集”，若它满足以下性质：
（1）对每个 ， ， ，数 ， 均不是0且恰好有一个是有理数；
（2）对每个 ， 是无理数，求幸运集中元素个数的最大可能值．
【专题】数学运算；转化思想；计算题；综合法；方程思想；推理和证明；集合
【分析】条件1给出了幸运集中任意两个不同元素之间的关系：要么和为有理数，要么积为有理数．于是
可以想到将其转化为一道简单的图论问题．
【解答】解：对 中的两个不同元素 和 ，若 则在 和 之间连一条红边，若 ，则在
和 之间连一条蓝边．
除题目中已给出的外，对于幸运集 中任意三个不同元素 ， ， ，有以下几个结论：
① ， ， 不同时为有理数，否则
与条件2矛盾；
② ， ， 不同时为有理数．否则 与条件2矛盾．
到这里，容易想到拉姆塞问题．因为将 中所有边红蓝二染色后，必不存在同色三角形，于是中至多有 5
个元素，然而尝试后发现无法构造出满足题意的五元集合．原因是 中的边有更高的要求：
③ ②的加强） ， 不同时为有理数．否则除2的情形外，有 ．于是 与条件2
矛盾．
于是 中不存在红色三角形，且蓝边不相邻．
如果 中有不少于5个点，则 ， ， ， 中蓝边至多一条，故至少有三条红边．由拉姆塞问题的证明过程可知必存在红色三角形，矛盾．
如果 中有4个点，同上分析可知每个点恰连出2条红边，1条蓝边，且蓝边不相邻．于是一种构造为：
红边为 ， ， ， ；蓝边为 ， ．即 ， ， ， 都属于 ；
， 都属于 ．
令 ， ， ， 即可．
于是幸运集中元素个数的最大可能值为4．
故答案为：4
【点评】本题是集合元素问题当中的开放性问题，从集合元素特征和给定条件出发经历假设、验证，类比，
推理，一般到特殊，特殊到一般等过程，属于中档题．
二．集合的表示法（共3小题）
6．（2020•福建二模）我国古代著名数学家刘徽的杰作《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产之一，书
中记载了他计算圆周所用的方法．先作个半径为1的单位圆，然后做其内接正六边形，在此基础上做出内
接正 ，2， 边形，这样正多边形的边逐渐逼近圆周，从而得到圆周率，这种方法称为“刘徽
割圆术”．现设单位圆 的内接 边形的一边为 ，点 为劣弧 的中点，则 是内接正 边形的
一边，现记 ， ，则A． B．
C． D．
【分析】方法一，可以设 ，则在 中，由余弦定理得 ，设 与 相交
于点 ，则 ，利用三角函数的定义可得 ，代入上式化简求结果．
方法二，设 与 相交于点 ，可以得到 ，且 ，所以得到 ，进而得到 ，
再利用勾股定理可得结果．
【解答】解：方法一：设 ，则在 中，由余弦定理得 ，
设 与 相交于点 ，则 ，
所以 ，
于是 ．
方法二：设 与 相交于点 ，可以得到 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选： ．
【点评】该题考查的是有关数学文化的知识，在解题的过程中，注意对圆中特殊三角形的应用，即半弦长、
弦心距和圆的半径构成的直角三角形，还有余弦定理的应用，属于基础题．
7．（2018•莆田二模）已知集合 ， ， ，则
A． B． C． D．【分析】可解出集合 ， ，然后进行交集、并集的运算即可．
【解答】解： ， ；
， ．
故选： ．
【点评】考查描述法表示集合的概念，指数函数的值域，一元二次不等式的解法，以及并集、交集的运算．
8．（2018•莆田二模）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】先分别求出集合 和 ，由此能求出结果．
【解答】解： 集合 ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与
方程思想，是基础题．
三．集合的包含关系判断及应用（共7小题）
9．（2023•福建模拟）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】利用函数的定义域及值域求出两个集合，再根据集合的交集、并集、补集运算即可．
【解答】解：因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，不满足 ，
故选项 、 、 错误，选项 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，集合的包含关系，考查运算求解能力，属于基础题．10．（2022•南平模拟）设集合 ，集合 ，若 ，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】由包含关系建立不等式得解．
【解答】解： 集合 ，集合 ，且 ，
，
故选： ．
【点评】本题考查集合的关系，属基础题．
11．（2021•泉州二模）设集合 ， ．若 ，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】先求出集合 ，然后利用子集的定义求解即可．
【解答】解：集合 ， ，又 ，所以 ．故选： ．
【点评】本题考查了集合子集的理解和应用，涉及了一元二次不等式的解法，属于基础题．
12．（2017•三明二模）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围
是
A． B． C． D．
【分析】由 得 ，可解得结论．
【解答】解： ，
， ，
，
，
故选： ．【点评】本题考查了集合的化简与运算的应用．
13．（2016•泉州二模）已知集合 ， ， ，0， ，若 ，则实数 的值为
A．2 B．1 C．0 D．
【分析】由题意知 ，0， ，从而解得．
【解答】解： ，
，0， ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了集合的包含关系的应用及对应思想的应用．
14．（2023•厦门模拟）设集合 ，集合 ，若 ，写出一个符合条
件的集合 ， （答案不唯一） ．
【分析】求得 ，再根据真子集的定义求解即可．
【解答】解： ， ，
故若 ，则可有 ， ．
故答案为： ， （答案不唯一）．
【点评】本题主要考查集合间的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（2022•厦门模拟）集合 ， ， ，若 ，则实数 的范围是 ，
．
【分析】化简集合 ，利用 ，即可求出实数 的取值范围．
【解答】解：由 ，得到 ，
， ，
，实数 的取值范围是 ， ，
故答案为： ， ．
【点评】本题考查集合的关系，考查学生的计算能力，属于基础题．
命题点二：集合的基本运算
1.1母题精析（三年高考真题）
一．并集及其运算（共1小题）
1．（2021•全国）设集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】利用并集及其运算求解即可．
【解答】解： ， ， ，故选： ．
【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
二．交集及其运算（共7小题）
2．（2023•新高考Ⅰ）已知集合 ， ，0，1， ， ，则
A． ， ，0， B． ，1， C． D．
【分析】先把集合 表示出来，再根据交集的定义计算即可．
【解答】解： ， ， 或 ，
， ， ，则 ．故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
3．（2023•全国）集合 ， ，0，1， ， ，则
A． B． ， C． ， D． ，0，
【解答】解：因为集合 ， ，0，1， ， ，所以 ， ，0，2， ，则 ，0， ．故选： ．
【点评】本题考查了集合的交集运算，属于基础题．
4．（2022•新高考Ⅱ）已知集合 ，1，2， ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】解不等式求集合 ，再根据集合的运算求解即可．
【解答】解： ，解得： ， 集合 ， ．故选： ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键．
5．（2022•新高考Ⅰ）若集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】分别求解不等式化简 与 ，再由交集运算得答案．
【解答】解：由 ，得 ， ，
由 ，得 ， ，
．故选： ．
【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
6．（2022•全国）设集合 ，2，3，4， ， ，则
A． B． ， C． ， D．
【分析】先求出集合 ，再利用交集运算求解即可．
【解答】解： 集合 ，2，3，4， ，
， ， ， ， ，1， ， ，2， ，
则 ， ，故选： ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7．（2021•新高考Ⅰ）设集合 ， ，3，4， ，则
A． ，3， B． ， C． ， D．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解： 集合 ， ，3，4， ， ， ．故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（2021•乙卷）已知集合 ， ， ， ，则
A． B． C． D．
【分析】分别讨论当 是偶数、奇数时的集合元素情况，结合集合的基本运算进行判断即可．
【解答】解：当 是偶数时，设 ，则 ，
当 是奇数时，设 ，则 ， ，则 ，则 ，故选： ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用分类讨论思想结合交集定义是解决本题的关键，是基础题．
三．补集及其运算（共1小题）
9．（2022•乙卷）设全集 ，2，3，4， ，集合 满足 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】根据补集的定义写出集合 ，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：因为全集 ，2，3，4， ， ， ，所以 ，4， ，
所以 ， ， ， ．故选： ．
【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．
四．交、并、补集的混合运算（共6小题）
10．（2023•天津）已知集合 ，2，3，4， ， ， ， ，2， ，则
A． ，3， B． ， C． ，2， D． ，2，4，
【分析】根据已知条件，结合补集、并集的运算，即可求解．
【解答】解： ，2，3，4， ， ， ， ，2， ，则 ， ，故 ，3， ．故选： ．
【点评】本题主要考查补集、并集的运算，属于基础题．
11．（2023•乙卷）设集合 ，集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】由数据可直接判断，必要时可借助数轴分析．
【解答】解：由题意： ，又 ， ．故选： ．
【点评】本题考查集合的基本运算，属简单题．
12．（2023•甲卷）设集合 ， ， ， ， 为整数集，则
A． ， B． ， C． ， D．
【分析】根据集合的基本运算，即可求解．
【解答】解： ， ， ， ，
或 ， ，又 为整数集，
， ．故选： ．
【点评】本题考查集合的基本运算，属基础题．
13．（2023•乙卷）设全集 ，1，2，4，6， ，集合 ，4， ， ，1， ，则
A． ，2，4，6， B． ，1，4，6， C． ，2，4，6， D．
【分析】直接利用集合的补集和并集运算求出结果．
【解答】解：由于 ，4， ，所以 ，2，4，6， ．故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：集合的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．14．（2021•乙卷）已知全集 ，2，3，4， ，集合 ， ， ， ，则
A． B． ， C． ， D． ，2，3，
【分析】利用并集定义先求出 ，由此能求出 ．
【解答】解： 全集 ，2，3，4， ，集合 ， ， ， ，
，2，3， ， ．故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是
基础题．
15．（2021•新高考Ⅱ）若全集 ，2，3，4，5， ，集合 ，3， ， ，3， ，则
A． B． ， C． ， D． ，
【分析】先利用补集的定义求出 ，再利用交集的定义求解即可．
【解答】解：因为全集 ，2，3，4，5， ，集合 ，3， ， ，3， ，
所以 ，5， ，故 ， ．故选： ．
【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与补集的求解，解题的关键是掌握交集和补集的定
义，属于基础题．
1.2解题模型
求解集合的基本运算问题需掌握“3种技巧”
(1)先"简"后"算":进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质
特征，如区分数集与点集等.(2)遵"规"守"矩":定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”;并集的运
算中“并”是合并的意思；补集的运算要关注“你有我无”的元素.
(3)借"形”助“数":在进行集合的运算时
要尽可能地借助Venn图或数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍.
②利用集合的运算求参数的值(取值范围)
对于集合运算中求参数的值或取值范围的问题，常涉及集合交、并运算与集合间包含关系的
转化，如若A∩B=A,则A B;若A B=B,则A B等，然后利用集合的包含关系求解，但要
注意考虑集合A是否为 ,谨防遗漏导致解题错误.
1.3对点训练（四年省市模考）
一．并集及其运算（共4小题）
1．（2023•漳州模拟）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】解不等式可分别求得集合 ， ，由并集定义可得结果．
【解答】解：由 得： ，即 ，
由 得： ，解得： ，即 ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．
2．（2023•泉州模拟）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】可求出集合 ，然后进行并集的运算即可．
【解答】解： ， ，
．故选： ．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，并集的定义及运算，集合的描述法和区间的定义，考查了计算
能力，属于基础题．
3．（2022•漳州模拟）设集合 ， ， ，则
A． B． ， C． D．
【分析】利用并集定义直接求解．
【解答】解： 集合 ， ， ， ，故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2022•漳州模拟）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】由题意解不等式从而化简集合 、 ，再求并集即可．
【解答】解：由 ，解得 ，
故 ，
由 ，解得 ，
故 ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．
二．交集及其运算（共21小题）
5．（2023•三明三模）已知集合 ， ， ，则
A． ，2，5， B． ，2， C． ，5， D． ，【分析】求出集合 ， ，利用交集定义能求出 ．
【解答】解：集合 ，
， ，2，5，8，11， ，
则 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（2023•莆田模拟）集合 ， ，则
A． ， B． C． D．
【分析】根据题意求 ， ，再结合交集运算求解．
【解答】解：由题意可得： ， ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
7．（2023•新罗区校级三模）已知集合 ， ，则
A． B． C． ， D． ，4，5，
【分析】根据对数函数的性质和一元二次不等式的解法，分别求得集合 ， ，结合集合交集的概念及运
算，即可求解．
【解答】解：由 ，可得 ，则 ，
又由 ，解得 ，
因为 ，所以 ，3，4，5， ，
所以 ，4，5， ．故选： ．
【点评】本题主要考查了交集运算，属于基础题．
8．（2023•福建模拟）设集合 ，集合 ，则
A． ， B． ， C． ，2，3， D． ，3，
【分析】求出集合 ， ，利用交集定义能求出 ．
【解答】解：集合 ，1，2，3， ，
集合 ，
则 ，3， ．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（2023•南平模拟）设集合 ， ， ，0，1， ，则
A． ， B． ， C． ，0， D． ，
【分析】可以求出集合 ，然后进行交集的运算即可．
【解答】解： ， ， ，0，1， ，
，0， ．
故选： ．
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属
于基础题．
10．（2023•宁德模拟）若集合 ， ，则
A． B． ， ，0， C． D． ，0，
【分析】首先解一元二次不等式求出集合 ，再根据交集的定义计算可得．
【解答】解：由 可得 ，解得 ，所以 ，0，1， ，
又 ，
所以 ，0， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
11．（2023•福州模拟）已知集合 ，3，5，7， ， ，5， ，8， ，若 ，5， ，
则
A．2 B．3 C．6 D．7
【分析】根据集合的交集确定元素与集合的关系，即可求得 的值．
【解答】解：因为集合 ，3，5，7， ， ，5， ，8， ，且 ，5， ，
所以
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
12．（2023•泉州模拟）若集合 ， ，则
A． B． ， C． D．
【分析】根据指数函数性质解指数不等式得集合 ，再根据交集的概念运算即可．
【解答】解：由于 ，所以 ，则 ，
又 ， ，
所以 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．13．（2023•泉州模拟）已知集合 ， ，则
A． ， B． ，1， C． ，2， D． ，1，2，
【分析】根据已知条件，先求出集合 ， ，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合 ，1， ，
．
故 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
14．（2023•漳州模拟）若集合 ， ，则
A． ， ， ， B． ， C． ， D． ，1，2，
【分析】化简集合 和 ，再由交集的定义求解．
【解答】解：因为 ， ， ，0，1，2， ，
，
所以 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
15．（2022•厦门模拟）已知集合 ， 满足 ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】根据交集的定义即可求解．
【解答】解： 集合 ， 满足 ，
由交集合定义得 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（2022•泉州模拟）已知集合 或 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：集合 或 ， ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．（2022•莆田模拟）设集合 ， ，则
A． ， B． ，1， C． ，2， D． ，1，2，
【分析】求出集合 ， ，利用交集定义能求出 ．
【解答】解： 集合 ，
，1，2，3， ，
，1， ．
故选： ．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（2022•宁德模拟）已知集合 ， ，则
A． ， B． ， C． D．
【分析】解不等式求出集合 ，根据交集的定义写出 ，即可求得答案．
【解答】解：集合 ， ， ，则 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了交集的运算问题，属于基础题．19．（2021•南平模拟）设集合 ，3， ，集合 ．若 ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】根据题意可得出 ，即得出 是方程 的根，代入即可求出 的值，然后即可
求出集合 ．
【解答】解：由 得 ，即 是方程 的根，
，解得 ， ， ．
故选： ．
【点评】本小题考查交集运算和一元二次方程的求解，元素与集合的关系，考查运算求解能力，体现方程
思想和数学运算素养，属基础题．
20．（2021•莆田二模）已知集合 ， ，则
A． ， ， B． ， C． ，4，5， D． ，5，
【分析】先分别求出集合 ， ，然后利用集合交集的定义求解即可．
【解答】解：集合 ，
又 或 ，
所以 ，5， ．
故选： ．
【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础
题．
21．（2021•莆田模拟）已知集合 ， ，则 的元素个数为
A．0 B．3 C．4 D．5【分析】求出集合 ， ，进而求出 ，由此能求出 的元素个数．
【解答】解： 集合 ， ，0，1，2，3， ，
，
，1，2，3， ，
的元素个数为5．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，
是基础题．
22．（2021•厦门二模）已知集合 ， ， ，且 有2个子集，则实数 的取值
范围为
A． ， B． ， ， C． ， D． ， ，
【分析】求解对数不等式化简 ，结合 有2个子集，可得 只有一个元素，而 ，可得 ，
由此可得实数 的取值范围．
【解答】解： ， ， ，
又 有2个子集， 只有一个元素，
， ，
则实数 的取值范围为 ， ， ．
故选： ．
【点评】本题考查交集及其运算，考查对数不等式的解法，是基础题．
23．（2021•漳州模拟）设集合 ， ， ，则集合
A． B． ， C． ，1， D． ，0，1，【分析】求出集合 ， ，由此能求出集合 ．
【解答】解： 集合 ， ，0，1， ，
，
集合 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
24．（2021•漳州一模）已知集合 ， ，则
A． ，5，6， B． ，5，6，7，
C． ，4，5，6， D． ，3，4，5，6，7，
【分析】可求出集合 ，然后进行交集的运算即可．
【解答】解： ，2，3，4，5，6， ， ，
，4，5，6， ．
故选： ．
【点评】本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查
了计算能力，属于基础题．
25．（2020•漳州三模）已知集合 ，集合 满足 ，则 可能为
A． B． C． D．
【分析】集合 ，集合 满足 ，从而 ，由此能求出结果．
【解答】解： 集合 ，集合 满足 ，
，
可能 ．故选： ．
【点评】本题考查集合的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．补集及其运算（共4小题）
26．（2023•莆田模拟）设全集 ， ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，1，
【分析】分别将集合 中的元素表示出来，再求 ．
【解答】解：集 ， ， ，1，2，3， ，
，1， ．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
27．（2023•泉州模拟）已知集合 ，则
A． B． ， C． D． ，
【分析】根据补集的定义结合指数函数分析运算．
【解答】解：由题意可得 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查指数不等式的解法，补集的定义和求法，属于基础题．
28．（2023•福州模拟）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】化简集合 和 ，由并集的定义计算即可．
【解答】解：集合 ， ，
则 ，故选： ．
【点评】本题考查了不等式的解法和并集及其运算，属于基础题．
29．（2022•福州模拟）已知集合 ，3， ， ，3，4， ，全集 ，则
A． B． ， C． ，3， D． ，3，4，
【分析】直接根据并集、补集概念求解．
【解答】解： ，3， ， ，3，4， ，
，2，3，4， ， ， ，
故选： ．
【点评】本题考查集合基本运算，属基础题．
四．交、并、补集的混合运算（共12小题）
30．（2023•龙岩模拟）设全集 ，1，2， ，集合 ， ， ，则
A． B． C． ，2， D． ，1，2，
【分析】解方程求出集合 ，再由集合的交集以及补集运算即可求解．
【解答】解：由题意， ， ，又 ， ，
所以 ，
所以 ，2， ．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
31．（2023•漳州模拟）已知 是全集，集合 ， 满足 ，则下列结论一定成立的是
A． B． C． D．【分析】根据条件得出 ，然后用 图表示出 和 ，根据图形即可判断每个选项的正误．
【解答】解： ，
，用 图表示如下：
由图看出 ．
故选： ．
【点评】本题考查了交集和子集的定义，借助 图解决集合问题的方法，考查了计算能力，属于基础题．
32．（2023•福建模拟）若集合 ， ， 满足： ，则
A． B． C． D．
【分析】由真子集的关系，作出韦恩图，数形结合能求出结果．
【解答】解： 集合 ， ， 满足： ，
如图，
．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集、并集的定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
33．（2022•漳州模拟）已知集合 ，0，1， ，集合 ，则
A． ，0， B． ， C． ， D． ，
【分析】先求得 ，利用交集的运算即可求得答案．
【解答】解：集合 ，0，1， ，集合 ，
所以 ，
所以 ，0，1， ，0， ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了补集、交集的运算，属于基础题．
34．（2022•三明模拟）设实数集为 ，集合 ，0，1， ， ，则
A． ， B． ， C． ，0， D． ，1，
【分析】根据集合的基本运算即可求解．
【解答】解： 或 ， ，
，0，1， ，
， ，
故选： ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
35．（2022•莆田模拟）设全集 ，集合 ，0，1， ， ，2， ，则
A． ， B． ， C． ， ， D． ，0，【分析】先求出 ，由此能求出 ．
【解答】解： ， ，0，1，2， ， ，0，1， ， ，2， ，
， ， ，
， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了交集、补集的求法，解题时要认真审题，注意交集、补集定义的合理运用，属于
基础题．
36．（2022•莆田模拟）已知全集 ，2，3，4， ，集合 ，2，3， ， ，4， ，则
A． B． ， C． ， D． ，2，
【分析】利用交集定义求出 ， ，再由补集定义能求出 ．
【解答】解：全集 ，2，3，4， ，集合 ，2，3， ， ，4， ，
， ，
则 ，2， ．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
37．（2022•泉州模拟）若集合 ， ，则
A． B． C． D． ，
【分析】求出集合 ，由此能求出 ．
【解答】解： 集合 ， ，．
， ．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
38．（2022•龙岩模拟）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】可求出集合 ， ，然后进行补集和交集的运算即可．
【解答】解： ， ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了集合的描述法的定义，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
39．（2021•宁德三模）已知集合 ，则
A． ， B． ， C． ， D．
【分析】先利用函数的定义域和值域求出集合 ， ，然后利用集合的补集以及交集的定义求解即可．
【解答】解：因为集合 ，
集合 ，
所以 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合补集和交集的求解，解题的关键是掌握交集以及补集的定义，属于基础题．
40．（2020•南平一模）设集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】进行交集和补集的运算即可．
【解答】解： ， ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了描述法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
41．（2022•泉州模拟）已知集合 ， 均为 的子集，若 ，则
A． B．
C． D．
【分析】根据题意画出 图，然后根据子集的定义，并集和补集的运算即可判断每个选项的正误．
【解答】解：根据条件画出 图如下：
则： ， ， ．
故选： ．
【点评】本题考查了借用 图解决集合问题的方法，并集和补集的运算，子集的定义，考查了计算能力，
属于基础题．五．Venn图表达集合的关系及运算（共4小题）
42．（2023•厦门模拟）全集 ，能表示集合 ， ， 和 关系的 图
是
A． B．
C． D．
【分析】化简集合 ，根据两集合的关系，利用韦恩图能求出结果．
【解答】解：全集 ，集合 ， ， ，
，
， ．
根据选项的 图可知选项 符合．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质、 图等基础知识，考查运算求解能力，是
基础题．
43．（2023•龙岩模拟）若全集 ，集合 ， ， ，则图中阴影
部分表示的集合为
A． B． ，1， C． ，4， D． ，
【分析】由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为 ，再利用集合的基本运算即可求解．【解答】解：由韦恩图可知，阴影部分表示的集合为 ，
， ， ， ，1，2，3，4， ，
， ，
， ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了韦恩图，以及集合的基本运算，是基础题．
44．（2021•厦门模拟）集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为
A． B． C． D．
【分析】求出集合 ， ，图中阴影部分表示的集合为 ，由此能求出结果．
【解答】解： 集合 ，
，
图中阴影部分表示的集合为：
．
故选： ．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素
养，是基础题．
45．（2021•漳州模拟）设全集 ，若集合 ， ，则如图所示的阴影部分表示的集合为
A． B． ， C． ， D．
【分析】求出集合 ， ，如图所示的阴影部分表示的集合为 ，由此能求出结果．
【解答】解： 设全集 ，集合 ，
，
或 ，
如图所示的阴影部分表示的集合为：
， ．
故选： ．
【点评】本题考查阴影部分表示的集合的求法，考查补集、交集、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力
等数学核心素养，是基础题．三、类题狂刷（五年区模、校模）：
一．元素与集合关系的判断（共1小题）
1．（2023•蕉城区校级二模）已知集合 ，集合 且 ，则
A． ， ，0，1， B． ，0，1， C． ，0， D． ，1，
【分析】解不等式求得集合 ，从而求得集合 ．
【解答】解：由 ，可得 ，所以 ，
对于集合 ， ，则 ，解得 ，
由于 ，所以 ，1， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查元素与集合的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
二．集合的包含关系判断及应用（共4小题）
2．（2023•鲤城区校级模拟）设集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】通过解对数不等式，化简集合 ，根据集合的运算和关系即可判断．【解答】解：因为 ，所以解得 ，即集合 ，
而集合 ，则 ，
显然 是 的真子集，故 选项错误， 选项错误， 选项正确；
对与选项 ， ．故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查集合的关系和运算，属于基础题．
3．（2023•福鼎市校级一模）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】化简集合 ，从而判断 、 的有关系．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了集合的化简与集合关系的判断与应用，属于基础题．
4．（2023•思明区校级二模）设集合 ，则
A． B． C． D．
【分析】先化简，再运算．
【解答】解： ， ，
，
故选 ．
【点评】本题考查集合基本运算，属基础题．5．（2022•龙岩模拟）已知集合 ， 或 ，则
A． B． C． D．
【分析】利用一元二次不等式的解法求出 ，再利用集合的基本运算和关系判断即可．
【解答】解： 或 ，
或 ，
， 正确， 错误，
， ， ， 错误，
故选： ．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，集合的基本运算和关系，属于基础题．
三．子集与真子集（共1小题）
6．（2023•思明区校级模拟）已知集合 ，1，2， ， ， ， ，则
的子集共有
A．2个 B．4个 C．6个 D．64个
【分析】可求出集合 ，进行并集的运算求出集合 ，然后根据子集个数的计算公式求出 的子集个数即
可．
【解答】解： ，0，3， ， ，0，1，2，3， ，则 的子集共有 个．
故选： ．
【点评】本题考查了元素与集合的关系，集合的列举法和描述法的定义，并集的运算，子集个数的计算公
式，考查了计算能力，属于基础题．
四．并集及其运算（共5小题）
7．（2023•晋安区校级模拟）已知集合 ， ，则
A． B． ， C． ， D． ，
【分析】利用并集的定义求解即可．【解答】解：因为 ， ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查了并集及其运算，解题的关键是掌握并集的定义，属于基础题．
8．（2023•鼓楼区校级模拟）满足等式 ， 的集合 共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】可得出 ， ，0， ，然后列举出集合 的所有情况即可．
【解答】解： ，0， ，
满足 ， ，0， 的 为： ， ， ， ， ， ，0， ，共4个．
故选： ．
【点评】本题考查了集合的描述法和列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
9．（2023•鲤城区校级模拟）已知集合 ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】先解绝对值不等式得到集合 ，然后根据并集的定义求解．
【解答】解：由题意， ，
根据对数函数 ， 均在 上递增可知，
所以 ， ，即 ， ， ，即 ，
所以根据并集的定义， ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．
10．（2022•上杭县校级模拟）已知集合 ， ，则A． B． C． D．
【分析】求出集合 ，再由并集定义直接求解．
【解答】解： 集合 ， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（2021•福建模拟）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】解不等式，求出不等式的解集，取并集即可．
【解答】解： ，
，
则 ，
故选： ．
【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是基础题．
五．交集及其运算（共30小题）
12．（2023•台江区校级模拟）设集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】求出集合 ， ，利用交集定义能求出 ．
【解答】解：集合 ，
，
则 ．故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（2023•鼓楼区校级模拟）若集合 ， ， ，则
A． B． C． ， D． ， ，1，
【分析】可求出集合 ，然后进行交集的运算即可．
【解答】解： ， ， ，
， ．
故选： ．
【点评】本题考查了集合的描述法和列举法的定义，绝对值不等式的解法，交集的定义及运算，元素与集
合的关系，考查了计算能力，属于基础题．
14．（2023•鼓楼区校级模拟）已知集合 ，若集合 满足 ，则 可能是
A． ，1，2， B． C． D．
【分析】解指数不等式得到集合 ，根据交集运算性质得 ，逐项判断即可．
【解答】解：因为 ，又 ，
即 ，
因为 ，所以 与 选项集合不符合，
因为 ，所以 选项集合不符合，所以 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
15．（2023•鲤城区校级模拟）若集合 ， ，集合 ，则 的子
集个数为
A．5 B．6 C．16 D．32
【分析】可求出集合 ， ，然后进行交集的运算求出 元素的个数，然后根据子集个数的计算公式即可求出 的子集个数．
【解答】解： ， ， ，
， ，4，5， ，
的子集个数为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了对数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，子集个数的计算公
式，考查了计算能力，属于基础题．
16．（2023•鼓楼区校级模拟）已知集合 ， ， ， ，若 ，则实
数 的值为
A．1 B．0或1 C．2 D．1或2
【分析】求出 中不等式的整数解确定出 ，根据 与 的交集不为空集，求出 的值即可．
【解答】解：由 中不等式解得： ，
因为 ，所以 ， ，
， ，且 ，
或2．
故选： ．
【点评】本题考查交集的定义，属于基础题．
17．（2023•泉州模拟）已知集合 ， ，则
A． B． C． ， D． ，
【分析】求出集合 ， 再求交集可得答案．
【解答】解： ， ，
所以 ．故选： ．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
18．（2016•漳平市校级模拟）已知集合 ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】求解对数型函数的定义域化简集合 ，然后直接利用交集运算求解．
【解答】解 ，
， ，
，
， ，
故选： ．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，是基础题．
19．（2023•石狮市校级模拟）若集合 ， ，0，1， ，集合 ，则
A． B． ， C． ， ， D． ， ，0，
【分析】运用对数的真数大于0，化简集合 ，再由交集的定义，即可得到所求集合．
【解答】解：集合 ， ，0，1， ，
，
则 ， ， ，
故选： ．
【点评】本题考查集合的交集的求法，注意运用定义法解题，属于基础题．
20．（2023•新罗区校级三模）已知集合 ， ，则
A． B． C． ， D． ，4，5，【分析】根据对数函数的性质和一元二次不等式的解法，分别求得集合 ， ，结合集合交集的概念及运
算，即可求解．
【解答】解：由 ，可得 ，则 ，
又由 ，解得 ，
因为 ，所以 ，3，4，5， ，
所以 ，4，5， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了交集运算，属于基础题．
21．（2023•福建模拟）设集合 ，集合 ，则
A． ， B． ， C． ，2，3， D． ，3，
【分析】求出集合 ， ，利用交集定义能求出 ．
【解答】解：集合 ，1，2，3， ，
集合 ，
则 ，3， ．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
22．（2023•鼓楼区校级模拟）若集合 ， ，则
A． B． C． D． ，
【分析】求出集合 ， ，利用交集定义能求出 ．
【解答】解：集合 ， ，，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
23．（2022•芗城区校级模拟）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】求出集合 ， ，利用交集定义能求出结果．
【解答】解： 集合 ， ，
， ，
则 ， ，
故 均错误， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查并集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基
础题．
24．（2022•城厢区校级模拟）集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求出集合 ， ，然后进行交集的运算即可．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．25．（2022•德化县校级模拟）已知集合 ， ，若 有且只有2个元
素，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】由 ， ，得到 ， ，从而求 的取值范围．
【解答】解： ，1， ， ，
有且只有2个元素，
， ，
的取值范围是 ， ，
故选： ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
26．（2022•集美区校级模拟）已知集合 ， ，则
A． ，1， B． ， C． ，2， D． ，1，2，3，
【分析】求出集合 ， ，由此能求出 ．
【解答】解：集合 ，
，1，2，3， ，
则 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
27．（2022•三元区校级模拟）设集合 ，2， ， ，则
A． ，1，2， B． ，1，2， C． D．【分析】求出集合 ，由此能求出 ．
【解答】解： 集合 ，2， ， ， ，
，1，2， ．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
28．（2022•荔城区校级模拟）已知集合 ， ， ，则
A． ， B． C． ， D．
【分析】求出集合 ， ，由此能求出 ．
【解答】解： 集合 ， ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
29．（2022•城厢区校级模拟）已知集合 ， ，则 的子集个数
为
A．2 B．3 C．4 D．8
【分析】用列举法表示 ，再由交集运算求得 ，写出其所有子集得答案．
【解答】解： ， ， ， ， ，
则 的子集有 ， ， ， ， 共4个，
故选： ．【点评】本题考查交集及其运算，考查子集的概念，是基础题．
30．（2021•龙岩模拟）设集合 ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可求出集合 ， ，然后进行交集的运算即可．
【解答】解： ， ，
， ．
故选： ．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，对数函数的定义域，交集及其运算，考查了计算能力，
属于基础题．
31．（2021•鼓楼区校级模拟）集合 ， ，若 ，则 的取值
范围为
A． ， B． C． ， D．
【分析】先利用指数不等式与对数不等式的解法求出集合 ， ，再由集合交集以及空集的定义求解即可．
【解答】解：因为集合 ，
又 ，
因为 ，
所以 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查了指数不等式与对数不等式的解法，空集定义以及交集定义的理解和应用，属于基础题．
32．（2021•思明区校级模拟）已知集合 、集合 ，3， ， ，且 ， ，则下列结论正
确的是
A．有可能 B． C． D．【分析】根据条件可知， ， 中只有一个是4，从而得出 正确．
【解答】解： ，3， ， ， ， ，
， 中只有一个为4，
．
故选： ．
【点评】本题考查了集合的列举法的定义，交集及其运算，集合元素的互异性，考查了计算能力，属于基
础题．
33．（2021•南安市校级二模）已知集合 ，集合 ，则
A． ， B． C． D．
【分析】可求出集合 ， ，然后进行交集的运算即可．
【解答】解： ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了描述法和区间的定义，分式不等式的解法，对数函数的定义域，交集的定义及运算，
考查了计算能力，属于基础题．
34．（2021•仓山区校级模拟）设集合 ，0，1， ，集合 ， ，则
A． ， B． ， C． ，1， D．
【分析】先分别求出集合 ， ，由此能求出 ．
【解答】解： 集合 ，0，1， ，
集合 ，
， ．
故选： ．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与
方程思想，是基础题．
35．（2016•福建校级模拟）设集合 ，集合 ，则 等于
A． B． ， C． ， D． ，
【分析】解指数不等式求出集合 ，求出对数函数的定义域即求出集合 ，然后求解它们的交集．
【解答】解： ，
由 得
故选： ．
【点评】本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，对数函数的定义域，考查计算能力．
36．（2020•龙岩一模）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】可以求出集合 ，然后进行交集的运算即可．
【解答】解： ， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
37．（2020•福州一模）已知集合 ， ．若 ，则实
数
A． B． C． D．2
【分析】利用 ，所以直线 与直线 平行，得出结论．【解答】解：因为 ，所以直线 与直线 平行，所以 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心
素养，基础题．
38．（2020•福建模拟）设集合 ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】求出集合 ， ，由此能求出 ．
【解答】解： 集合 ， ，
， ．
故选： ．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
39．（2020•漳州三模）已知集合 ，集合 是自然数集，则
A． ， B． ，1， C． D．
【分析】求出集合 ，集合 ，由此能求出 ．
【解答】解： 集合 ，
集合 是自然数集，
，1， ．
故选： ．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集、并集定义及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
40．（2020•思明区校级一模）已知集合 ， ，则
A． ， B． ， C． D．【分析】可以求出集合 ， ，然后进行交集的运算即可．
【解答】解： ， ，
， ．
故选： ．
【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性和定义域，交集的运算，考查了计算能力，
属于基础题．
41．（2020•鼓楼区校级模拟）设全集是 ，集合 ， ，则
A． B．
C． D．
【分析】可以求出集合 ， ，然后进行交集和补集的运算即可．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集和补集的运算，考查了计算能力，属
于基础题．
六．补集及其运算（共3小题）
42．（2021•思明区校级模拟）已知 ， 为 的两个不相等的非空子集，若 ，则下列结论
中正确的是
A． ， B． ， C． ， D． ，【分析】根据 ， 为 的两个不相等的非空子集，且 ，知 ，再判断选项中的命题是
否正确．
【解答】解： ， ，
， ， ， ，
故选： ．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，属于基础题．
43．（2022•荔城区校级模拟）设全集 ， ， ，则 为
A． ， B． ，1， C． ，1， D． ，0，1，
【分析】利用补集定义能求出 ．
【解答】解： 全集 ，1，2， ， ， ，
， ．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
44．（2020•福清市一模）已知集合 ， ，则
A． B． C． D． 或
【解答】解：集合 ， ，则 ，
故选： ．
【点评】本题考查集合的补集运算，关键是解不等式求出集合 ．
七．交、并、补集的混合运算（共8小题）
45．（2023•思明区校级一模）已知集合 ， ，则
A． ， B． ， C． D． ，【分析】求出集合 、 ，利用补集和交集的定义可求得集合 ．
【解答】解：因为 ，
．
所以 或 ，
所以 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
46．（2023•新罗区校级模拟）已知全集 ，集合 ， 满足 ，则下列关系一定正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，求得 ，再进行选择即可．
【解答】解：因为集合 ， 满足 ，故可得 ，
对 ：当 为 的真子集时，不成立；
对 ：当 为 的真子集时，也不成立；
对 ，恒成立；
对 ：当 为 的真子集时，不成立；
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
47．（2023•鼓楼区校级模拟）已知集合 ， 满足 ， ，1，2， ，则 可能是
A． ，1，2， B． ，1，2， C． ，2，3， D． ，1，2，4，
【分析】根据条件可得出0，1，2，4可能是集合 的元素，从而可得出正确的选项．
【解答】解： ， ，1，2， ，
，可能是 ，1，2， ．
故选： ．
【点评】本题考查了并集和补集的运算，集合的列举法的定义，考查了计算能力，属于基础题．
48．（2023•泉州模拟）设集合 ， ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，2，
【分析】利用不等式的解法化简集合 ，求解函数的定义域求出集合 ，再利用集合的运算性质即可得出
结论．
【解答】解：集合 ，2，3， ， ， ．
，
则 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
49．（2023•晋江市校级模拟）已知集合 ， 为全集 的子集，若 ，则
A． B． C． D．
【分析】由 ，得 ，由此能求出 ．
【解答】解： ，得 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
50．（2022•鼓楼区校级模拟）已知全集为 ，集合 ， ，则
A． B． C． 或 D． 或【分析】先化简，再运算即可求解．
【解答】解：由题意可得 ， ， ，
， ，
， ，
故选： ．
【点评】本题考查集合基本运算，属基础题．
51．（2022•鼓楼区校级三模）已知集合 ， 是 的子集，且 ，则
A． B． C． D．
【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：如图，
由图可知， ，
故选： ．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，考查数形结合思想，是基础题．
52．（2021•上杭县校级模拟）已知集合 ， ，则
A． ， B． C． ， D．
【分析】求出集合的等价条件，利用补集交集的定义进行计算即可．
【解答】解： ，即 ， ，
则 ，
则 ， ，
故选： ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键，是基础题．
八．Venn图表达集合的关系及运算（共2小题）
53．（2023•蕉城区校级一模）设全集 是实数集 ， ， 都是 的子集（如图
所示），则阴影部分所表示的集合为
A． B． C． D．
【分析】阴影部分所表示的集合为 ，利用集合的运算化简即可．
【解答】解： ，
，
阴影部分所表示的集合为 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，属于基础题．
54．（2021•龙岩一模）若集合 ，2，3，4， ， ，3， ， ，4， ，则图中阴影部分
表示的集合的子集个数为
A．3 B．4 C．7 D．8
【分析】先求出 ， ，再求出图中阴影部分表示的集合为： ，2， ，由此能求
出图中阴影部分表示的集合的子集的个数．【解答】解： 集合 ，2，3，4， ， ，3， ， ，3， ，
， ，
图中阴影部分表示的集合为： ，2， ，
图中阴影部分表示的集合的子集有： ．
故选： ．
【点评】本题考查集合的子集的个数的求法，考查交集定义、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能
力，是基础题．
