北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
§9.2 直线、圆的位置关系
— 五年高考 —
考点1 两直线间的位置关系
1.(2018北京理,7,5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.
当θ,m变化时,d的最大值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
{x+2y=4,
2.(2017上海春,5,4分)若关于x、y的方程组 无解,则实数a= .
3x+ay=6
答案 6
以下为教师用书专用(1—2)
1.(2012浙江理,3,5分)设a∈R,则“a=1”是“直线l:ax+2y-1=0与直线l:x+(a+1)y+4=0平
1 2
行”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
a 1
答案 A 由l∥l,得- =- ,解得a=1或a=-2,代入检验符合,即“a=1”是“l∥l”的充分
1 2 2 a+1 1 2
不必要条件,故选A.
评析 本题考查两直线平行和充要条件的判断,考查运算求解能力.
2.(2011浙江文,12,4分)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .
答案 1
解析 依题意m≠0,所以由( 2)×1=-1,得m=1.
-
m 2
评析 本题考查两条直线垂直的充要条件,属容易题.注意与平行的区别.
考点2 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(多选题)(2021新高考Ⅰ,11,5分)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 ( )
A.点P到直线AB的距离小于10
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B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3√2
D.当∠PBA最大时,|PB|=3√2
答案 ACD
2.(2020课标Ⅰ文,6,5分)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小
值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
1
3.(2020课标Ⅲ理,10,5分)若直线l与曲线y=√x和圆x2+y2= 都相切,则l的方程为 ( )
5
1
A.y=2x+1 B.y=2x+
2
1 1 1
C.y= x+1 D.y= x+
2 2 2
答案 D
4.(2020课标Ⅰ理,11,5分)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作
☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为 ( )
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0
答案 D
5.(2018课标Ⅲ文,8,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,
则△ABP面积的取值范围是 ( )
A.[2,6] B.[4,8]
C.[√2,3√2] D.[2√2,3√2]
答案 A
6.(2020浙江,15,6分)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=
,b= .
√3 2√3
答案 ;-
3 3
7.(2020天津,12,5分)已知直线x-√3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的
值为 .
答案 5
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8.(2018课标Ⅰ文,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|= .
答案 2√2
9.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以
AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若⃗AB·⃗CD=0,则点A的横坐标为 .
答案 3
10.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切
于点A(-2,-1),则m= ,r= .
答案 -2;√5
以下为教师用书专用(1—22)
1.(2015广东理,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是 ( )
A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+√5=0或2x+y-√5=0
C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+√5=0或2x-y-√5=0
|c|
答案 A 切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得
√5
=√5,解得c=±5.故选A.
2.(2015山东理,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射
光线所在直线的斜率为( )
5 3 3 2 5 4 4 3
A.- 或- B.- 或- C.- 或- D.- 或-
3 5 2 3 4 5 3 4
答案 D 由题意可知反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),
即kx-y-2k-3=0.
∵反射光线所在直线与圆相切,∴ |-3k-2-2k-3| =1,解得k=-4或k=-3.
√k2+1 3 4
评析 本题主要考查直线和圆的位置关系.
3.(2015重庆理,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点
A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|= ( )
A.2 B.4√2 C.6 D.2√10
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答案 C 圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=22,圆心为C(2,1),半径r=2,由直线l是圆C的对称
轴,知直线l过点C,所以2+a×1-1=0,a=-1,所以A(-4,-1),于是|AC|2=40,所以|AB|= =
√|AC|2-22
√40-4=6.故选C.
4.(2014课标Ⅱ文,12,5分)设点M(x,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x 的
0 0
取值范围是 ( )
A.[-1,1] B.[ 1 1] C.[- , ] D.[ √2 √2]
- , √2√2 - ,
2 2 2 2
答案 A 解法一:过M作圆O的两条切线MA、MB,切点分别为A、B,若在圆O上存在点N,
使∠OMN=45°,则∠OMB≥∠OMN=45°,所以∠AMB≥90°,所以-1≤x≤1,故选A.
0
解法二:过O作OP⊥MN于P,则|OP|=|OM|sin 45°≤1,
∴|OM|≤ ,即 ≤ ,
√2 √x2+1 √2
0
∴ ≤1,即-1≤x≤1,故选A.
x2 0
0
评析 本题考查直线与圆的位置关系,体现了数形结合的思想方法.
5.(2014浙江文,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的
值是 ( )
A.-2 B.-4 C.-6 D.-8
答案 B 将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1,1),半径r=√2-a,圆心
|-1+1+2|
到直线x+y+2=0的距离d= =√2,故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故选B.
√2
6.(2014安徽文,6,5分)过点P(-√3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值
范围是 ( )
A.( π] B.( π] C.[ π] D.[ π]
0, 0, 0, 0,
6 3 6 3
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答案 D 过P点作圆的切线PA、PB,连接OP,如图所示.
π
显然,直线PA的倾斜角为0,又OP=√(-√3)2+(-1)2=2,PA=√3,OA=1,因此∠OPA= ,由对称
6
性知,直线PB的倾斜角为π.若直线l与圆有公共点,由图形知其倾斜角的取值范围是[ π].
0,
3 3
故选D.
7.(2016山东文,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2.则圆
M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是 ( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
答案 B 由题意知圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为
|a|
2√2,所以圆心M到直线x+y=0的距离d= =√a2-2(a>0),解得a=2,又知圆N的圆心为
√2
(1,1),半径r=1,所以|MN|=√2,则R-r<√2<R+r,所以两圆的位置关系为相交,故选B.
思路分析 利用直线被圆所截得的线段的长度构造关于a的方程,从而求出圆M的圆心及半
径,根据两圆圆心距及两圆半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系.
8.(2014北京文,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,
使得∠APB=90°,则m的最大值为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
答案 B 若∠APB=90°,则点P的轨迹是以AB为直径的圆,其方程为x2+y2=m2.由题意知圆C:
(x-3)2+(y-4)2=1与圆O:x2+y2=m2有公共点,所以|m-1|≤|OC|≤m+1,易知|OC|=5,所以4≤m≤6,故m
的最大值为6.选B.
9.(2013重庆理,7,5分)已知圆C :(x-2)2+(y-3)2=1,圆C :(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C ,C 上的
1 2 1 2
动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 ( )
A.5√2-4 B.√17-1 C.6-2√2 D.√17
答案 A 圆C ,C 如图所示.
1 2
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设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC |-1,同理可得|PN|的最小值为|PC |-3,则|PM|+|
1 2
PN|的最小值为|PC |+|PC |-4.作C 关于x轴的对称点C'(2,-3),连接C'C ,与x轴交于点P,连接
1 2 1 1 1 2
PC ,根据三角形两边之和大于第三边可知|PC |+|PC |的最小值为|C'C |,则|PM|+|PN|的最小值
1 1 2 1 2
为5√2-4.选A.
评析 本题考查了圆的标准方程及圆的几何性质等知识,同时又考查了数形结合思想、转化
思想.把折线段长的和转化成两点间的距离是本题的关键.
10.(2016课标Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )
4 3
A.- B.- C.√3 D.2
3 4
答案 A 圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线ax+y-1=0的距离为
|a+4-1| =1,解得a=-4.故选A.
√a2+1 3
思路分析 将圆的方程化成标准方程,从而得出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式列出
关于a的方程,解方程即可求得a的值.
11.(2016北京,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 ( )
A.1 B.2 C.√2 D.2√2
答案 C 由题知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0,故圆心到直线的
距离d=
|-1-0+3|
= .故选C.
√2
√12+(-1)2
|Ax +B y +C|
易错警示 在应用点到直线的距离公式d= 0 0 时,一定要将直线方程化成一
√A2+B2
般形式,正确写出A,B,C的值,此处符号易出现错误.
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12.(2016课标Ⅰ,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则
圆C的面积为 .
答案 4π
解析 把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r= .圆心到直线x-y+2a=0
√a2+2
的距离d=|a|.由r2=d2+( |AB|
)
2 ,得a2+2=a2+3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的面积S=πr2=4π.
√2 2 2
13.(2016课标Ⅲ,15,5分)已知直线l:x-√3y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的
垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|= .
答案 4
6
解析 圆心(0,0)到直线x-√3y+6=0的距离d= =3,|AB|=2√12-32=2√3,过C作CE⊥BD
√1+3
2√3
|CE| |AB|
于E,因为直线l的倾斜角为30°,所以|CD|= = = √3 =4.
cos30° cos30°
2
{x=2+2cosθ,
14.(2019天津理,12,5分)设a∈R,直线ax-y+2=0和圆 (θ为参数)相切,则a的值
y=1+2sinθ
为 .
3
答案
4
解析 本题考查了圆的方程和直线与圆的位置关系,通过直线与圆相切的条件考查了数学运
算和数形结合的思想方法,体现了直观想象、数学运算的核心素养.
解法一:由圆的参数方程知圆心为(2,1),半径r=2,因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等
于半径,即 |2a-1+2| =2,解得a=3.
√a2+(-1)2 4
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解法二:如图,由圆的参数方程消去θ,得普通方程为(x-2)2+(y-1)2=4,设圆心为C,圆与y轴切于点
1 1
D,易知直线过定点A(0,2),设∠CAD=θ,易求得tan θ=2,则a= =- =-
tan(180°-2θ) tan2θ
1-tan2θ 3
= .
2tanθ 4
{ x=-1+ √2 t,
15.(2018天津理,12,5分)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线 2 (t为参数)与该圆
√2
y=3- t
2
相交于A,B两点,则△ABC的面积为 .
1
答案
2
解析 本题考查直线的参数方程和直线与圆的位置关系.
圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,消去参数t得直线的普通方程为x+y-2=0.圆心C(1,0)到直线的
距离d= |1+0-2| =√2,|AB|=2√
12-
(√2) 2 =
√2
,
√2 2 2
1 1 √2 1
所以△ABC的面积为 |AB|·d= ×√2× = .
2 2 2 2
方法总结 有关直线与圆相交的计算问题,通常利用点到直线的距离和勾股定理求解.
16.(2016课标Ⅲ理,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-√3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分
别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2√3,则|CD|= .
答案 4
解析 由题意可知直线l过定点(-3,√3),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3,√3),由于|AB|
=2 ,r=2 ,所以圆心到直线AB的距离为d= =3,又由点到直线的距离公
√3 √3 √(2√3)2-(√3)2
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式可得d= |3m-√3| =3,解得m=-√3,所以直线l的斜率k=-m=√3,即直线l的倾斜角为30°.
√m2+1 3 3
如图,过点C作CH⊥BD,垂足为H,所以|CH|=2√3,在Rt△CHD中,∠HCD=30°,所以|CD|=
2√3
=4.
cos30°
解后反思 涉及直线与圆的位置关系的问题要充分利用圆的性质,利用数形结合的思想方法
求解.
17.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-
y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
答案 (x-1)2+y2=2
解析 由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-
y-2m-1=0的距离的最大值为 = ,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
√(2-1)2+(-1-0)2 √2
18.(2014重庆理,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,
且△ABC为等边三角形,则实数a= .
答案 4±√15
解析 易知△ABC是边长为2的等边三角形,故圆心C(1,a)到直线AB的距离为√3,即
|a+a-2|
= ,解得a=4± .经检验均符合题意,则a=4± .
√3 √15 √15
√a2+1
评析 本题考查过定点的直线与圆相交的弦长问题,以及数形结合的思想方法,对综合能力要
求较高.
19.(2015课标Ⅰ文,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于
M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若⃗OM·⃗ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
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解析 (1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
因为l与C交于两点,所以
|2k-3+1|
<1.
√1+k2
4-√7 4+√7
解得 <k< .
3 3
所以k的取值范围为(4-√7 4+√7). (5分)
,
3 3
(2)设M(x,y),N(x,y).
1 1 2 2
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得
(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.
4(1+k) 7
所以x+x= ,xx= . (7分)
1 2 1+k2 1 2 1+k2
⃗OM·⃗ON=xx+yy
1 2 1 2
=(1+k2)xx+k(x+x)+1
1 2 1 2
4k(1+k)
= +8.
1+k2
4k(1+k)
由题设可得 +8=12,解得k=1,
1+k2
所以l的方程为y=x+1.
故圆心C在l上,所以|MN|=2. (12分)
20.(2015广东理,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C :x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.
1
(1)求圆C 的圆心坐标;
1
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;
(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若
不存在,说明理由.
解析 (1)圆C 的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).
1
(2)设A(x,y),B(x,y)(x≠x),M(x,y),
1 1 2 2 1 2 0 0
x +x y + y
则x= 1 2,y= 1 2.
0 0
2 2
由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.
将上述方程代入圆C 的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.
1
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6
由题意,可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x+x= ,
1 2 1+t2
3 3t
所以x= ,代入直线l的方程,得y= .
0 1+t2 0 1+t2
因为 + = 9 + 9t2 =9(1+t2)= 9 =3x,
x2 y2 0
0 0 (1+t2)2 (1+t2)2 (1+t2)2 1+t2
所以(
x -
3) 2 +
y2
=9.
0 2 0 4
4 5
由(*)解得t2< ,又t2≥0,所以 <x≤3.
0
5 3
所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为( 3) 2 +y2=9(5 ).
x- <x≤3
2 4 3
(3)由(2)知,曲线C是在区间(5 ]上的一段圆弧.
,3
3
如图,D(5 2√5),E(5 2√5),F(3,0),直线L过定点G(4,0).
, ,-
3 3 3 3
联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.
令判别式Δ=0,解得:k=±3,由求根公式解得交点的横坐标为x
H,I
=12∈(5
,3
],由图可知:要使
4 5 3
直线L与曲线C只有一个交点,则k∈[k ,k ]∪{k ,k },即k∈[ 2√5 2√5]∪{ 3 3}.
DG EG GH GI - , - ,
7 7 4 4
21.(2014课标Ⅰ文,20,12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B
两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
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(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
解析 (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.
设M(x,y),则⃗CM=(x,y-4),⃗MP=(2-x,2-y).由题设知⃗CM·⃗MP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+
(y-3)2=2.
由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,√2为半径的圆.
由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.
1 1 8
因为ON的斜率为3,所以l的斜率为- ,故l的方程为y=- x+ .
3 3 3
4√10 4√10 16
又|OM|=|OP|=2√2,O到l的距离为 ,|PM|= ,所以△POM的面积为 .
5 5 5
评析 本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系,在解决直线与圆的相关问题时,利用
图形的几何性质可简化运算.
22.(2013江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.
设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
解析 (1)由题意知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存
在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,
由题意得, |3k+1| =1,解得k=0或-3,
√k2+1 4
故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.
(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.
设点M(x,y),因为MA=2MO,所以 =2 ,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+
√x2+(y-3)2 √x2+ y2
(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.
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由题意,点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即1≤
√a2+(2a-3)2
≤3.
由5a2-12a+8≥0,得a∈R;
12
由5a2-12a≤0,得0≤a≤ .
5
所以点C的横坐标a的取值范围为[ 12].
0,
5
评析 本题考查直线与圆的方程,直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识和
基本技能,考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析问题、解决问题的能力.
— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
考点1 两直线间的位置关系
1.(多选题)(2020山东泰安一模,10)下列说法正确的是 ( )
A.“c=5”是“点(2,1)到直线3x+4y+c=0的距离为3”的充要条件
B.直线xsin α-y+1=0的倾斜角的取值范围为[ π]∪[3π )
0, ,π
4 4
C.直线y=-2x+5与直线2x+y+1=0平行,且与圆x2+y2=5相切
D.离心率为√3的双曲线的渐近线方程为y=±√2x
答案 BC
2.(2021广东湛江一模,13)一条与直线x-2y+3=0平行且距离大于√5的直线方程为 .
答案 x-2y+9=0(答案不唯一)
3.(2021上海杨浦一模,4)若直线l:2x+my+1=0和l:3x-y-1=0互相垂直,则实数m= .
1 2
答案 6
考点2 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2021浙江绍兴一模,6)设m∈R,则“1≤m≤2”是“直线l:x+y-m=0和圆C:x2+y2-
2x-4y+m+2=0有公共点”的( )
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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
2.(2020广东广州综合测试(一),3)若直线kx-y+1=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0有公共点,则实数k的
取值范围是 ( )
A.[-3,+∞) B.(-∞,-3]
C.(0,+∞) D.(-∞,+∞)
答案 D
3.(2021河北衡水中学全国高三第二次联考,4)直线y=2x-1被过点(0,1)和(2,1),且半径为√5的
圆截得的弦长为 ( )
√105 2√105
A. B.
5 5
2√145 2√105 2√145
C. D. 或
5 5 5
答案 B
4.(2021辽宁百校联盟质检,5)已知直线l:x-2y+6=0与圆C:x2+y2-4y=0相交于A,B两点,则⃗CA·
⃗CB= ( )
16 16 12 12
A. B.- C. D.-
5 5 5 5
答案 D
5.(2021山东烟台一模,15)已知点A为直线l:y=3x上一点,且A位于第一象限,点B(10,0),以AB
为直径的圆与l交于点C(异于A),若∠CBA≥60°,则点A的横坐标的取值范围为 .
答案 [1+3√3,+∞)
6.(2021上海崇明二模,12)在平面直角坐标系xOy中,过点P(-3,a)作圆x2+y2-2x=0的两条切线,
切点分别为M(x,y),N(x,y),若(x-x)(x+x)+(y-y)(y+y-2)=0,则实数a的值等于 .
1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1
答案 4
B组 综合应用题组
时间 : 50 分钟 分值 : 65 分
一、单项选择题(每小题5分,共25分)
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1.(2021江苏南通期末,7)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-1)2+y2=4,若直线l:x+y+m=0上
有且只有一个点P满足:过点P作圆C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,且使得四边形
PMCN为正方形,则正实数m的值为 ( )
A.1 B.2√2 C.3 D.7
答案 C
2.(2020山东烟台一模,7)设P为直线3x-4y+4=0上的动点,PA,PB为圆C:(x-2)2+y2=1的两条切
线,A,B为切点,则四边形APBC面积的最小值为( )
A.√3 B.2√3 C.√5 D.2√5
答案 A
3.(2020湖北鄂州月考,10)已知直线l:mx-y-3m+1=0与直线l:x+my-3m-1=0相交于点P,线段
1 2
AB是圆C:(x+1)2+(y+1)2=4的一条动弦,且|AB|=2√3,则|⃗PA+⃗PB|的最大值为 ( )
A.3√2 B.8√2 C.5√2 D.8√2+2
答案 D
4.(2021山东德州期末,5)已知直线l:ax+y-2=0与☉C:(x-1)2+(y-a)2=4相交于A、B两点,则△ABC
为钝角三角形的充要条件是 ( )
A.a∈(1,3)
B.a∈(2-√3,2+√3)
C.a∈(2-√3,1)∪(1,2+√3)
D.a∈(-∞,2-√3)∪(2+√3,+∞)
答案 C
5.(2021陕西宝鸡一模,7)过点P(x,y)作圆C :x2+y2=1与圆C :(x-2)2+(y-2)2=1的切线,切点分别为
1 2
A、B,若|PA|=|PB|,则x2+y2的最小值为( )
A.√2 B.2 C.2√2 D.8
答案 B
二、多项选择题(共5分)
6.(2021江苏徐州期末,12)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名,他发现:
平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆.后来,人们将这个
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圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0)、
|PA| 1
B(4,0),点P满足 = ,设点P所构成的曲线为C,下列结论正确的是 ( )
|PB| 2
A.C的方程为(x+4)2+y2=16
B.在C上存在点D,使得D到点(1,1)的距离为3
C.在C上存在点M,使得|MO|=2|MA|
D.在C上存在点N,使得|NO|2+|NA|2=4
答案 ABD
三、填空题(每小题5分,共20分)
7.(2020福建厦门第一次质量检测,15)已知圆O:x2+y2=1,圆N:(x-a+2)2+(y-a)2=1.若圆N上存在
点Q,过点Q作圆O的两条切线,切点为A,B,使得∠AQB=60°,则实数a的取值范围是
.
答案 [ √14 √14]
1- ,1+
2 2
8.(2021辽宁沈阳二模,15)过圆O:x2+y2=r2(r>0)外一点(2,0)引直线l与圆O相交于A,B两点,当
√3
△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于± ,则r的值为 .
3
答案 √2
9.(2020湖南3月模拟,16)已知圆O:x2+y2=1,点P(x,y)是直线l:3x+2y-4=0上的动点,若在圆O
0 0
上总存在不同的两点A,B,使得⃗OA+⃗OB=⃗OP,则x 的取值范围是 .
0
答案 ( 24)
0,
13
10.(2020江苏南通一模,10)函数f(x)=xln x+a的图象在x=1处的切线被圆C:x2+y2-2x+4y-4=0
截得的弦长为2,则实数a的值为 .
答案 -6或2
四、解答题(共15分)
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1
11.(2021山东枣庄二模,21)已知动点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为 ,动点M的轨
2
迹为曲线C.
(1)求C的轨迹方程,并说明其形状;
(2)过直线x=3上的动点P(3,p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ、PR(Q、R为切点),N为弦QR
的中点,直线l:3x+4y=6分别与x轴、y轴交于点E、F,求△NEF的面积S的取值范围.
解析 (1)设M(x,y),由 |MO|=1,得 √x2+ y2 =1,化简得x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4,
|MA| 2 √(x-3)2+ y2 2
故曲线C是以(-1,0)为圆心,2为半径的圆.
(2)由(1)知C(-1,0),又P(3,p)(p≠0),
则线段CP的中点的坐标为( p),|CP|= ,
1, √16+p2
2
故以线段CP为直径的圆的方程为(x-1)2+(
y-
p) 2 =(√16+p2) 2 ,整理得x2+y2-2x-py-3=0①.
2 2
由题意知,Q、R在以CP为直径的圆上,
又Q、R在圆x2+y2+2x-3=0②上,
由②-①,得4x+py=0,
所以弦QR所在直线的方程为4x+py=0,
可得QR恒过坐标原点O(0,0).
由{ 4x+py=0, 消去x并整理得(16+p2)y2-8py-48=0,
(x+1)2+ y2=4
8p y + y 4 p
设Q(x,y),R(x,y),则y+y= ,所以点N的纵坐标y = 1 2= ,
1 1 2 2 1 2 16+p2 N 2 16+p2
因为p≠0,所以y ≠0,所以点N与点C(-1,0),O(0,0)均不重合.
N
因为N为弦QR的中点,且C(-1,0)为圆C的圆心,
所以CN⊥QR,即CN⊥ON,
所以点N在以OC为直径的圆上,圆心为G( 1 ),半径为1.
- ,0
2 2
因为直线3x+4y=6分别与x轴、y轴交于点E、F,
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所以E(2,0),F( 3),因此|EF|=5,
0,
2 2
| ( 1) |
圆心G( - 1 ,0 )到直线3x+4y=6的距离d= 3× - 2 +4×0-6 = 3 .
2 2
√32+42
3 1
设△NEF的边EF上的高为h,则点N到直线3x+4y=6的距离h的最小值为d-r= - =1;点N到
2 2
3 1
直线3x+4y=6的距离h的最大值为d+r= + =2.
2 2
1 5 5 1 5 5
所以S的最小值S = × ×1= ,最大值S = × ×2= .
min max
2 2 4 2 2 2
因此△NEF的面积S的取值范围是[5 5].
,
4 2
— 一年原创 —
1.(2021 5·3原创题)已知圆O:x2+y2=4,若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦,则|OC|的最
大值为 .
答案 2+2√2
2.(2021 5·3原创题)已知直线l:mx+y-m-1=0和圆C:x2+y2=1,若直线l与圆C恰有一个公共点,
则m= ;当m变化时,圆C上的点到直线l距离的最大值是 .
答案 0;√2+1
3.(2021 5·3原创题)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,☉N:(x+3)2+(y+2)2=1,P为☉N上的动点,过点P作
☉M的切线PA,PB,切点为A,B,则|PM|·|AB|的最小值是 .
答案 8√3
4.(2021 5·3原创题)某品牌的logo是用一系列1,2,3,5,8,13,…为半径的圆截得的,如图所示,右
上方是三个半径为8的圆,自上而下依次为圆A,圆B,圆C,已知它们的圆心在斜率为-1的同一
直线上,已知圆A与x轴相切于坐标原点O,且圆A的圆心在x轴上方,圆B与y轴相切,且圆心
在y轴右侧,圆C与圆B外切.
(1)求圆B的方程;
(2)求圆A与圆B的公共弦所在直线方程;
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(3)已知点P是圆C上任意一点,求使⃗PA·⃗PB取得最大值的P点坐标.
解析 由题意可得圆A,圆B,圆C如图所示.
(1)∵圆A与x轴相切于坐标原点O,且圆A的圆心在x轴上方,半径为8,
∴圆心A(0,8),圆A的方程为x2+(y-8)2=82.
∵点A,B,C在斜率为-1的同一条直线上,即在直线x+y-8=0上,又∵圆B与y轴相切,且圆心在y
轴右侧,半径为8,
∴圆心B在直线x=8上,
∴圆心B(8,0),圆B的方程为(x-8)2+y2=82.
(2)由(1)得圆A的方程为x2+(y-8)2=82,①
圆B的方程为(x-8)2+y2=82,②
①-②得两圆公共弦所在直线方程为16x-16y=0,化简得y=x.
(3)∵圆C与圆B外切,∴由几何关系可得圆心C(8+8√2,-8√2),∴圆C的方程为[x-(8+8√2)]2+
(y+8√2)2=82.
设P(x,y),
0 0
则 · =(-x,8-y)·(8-x,-y)= -8x+ -8y=(x-4)2+(y-4)2-32,
⃗PA ⃗PB 0 0 0 0 x2 0 y2 0 0 0
0 0
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⃗PA·⃗PB的最大值即圆C上的点P与点H(4,4)距离的平方减32.
∴使⃗PA·⃗PB取得最大值的点P即为线段HC的延长线与圆C的交点,由图易知P(8+12√2,-12
√2).
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