2026 年高考数学·教考衔接
教材命题点探源
-----------------------------供2026 高考备考二轮、三轮复习及考前使用-------------------------
教考衔接八 空间向量与立体几何
--------------■高考命题·解读■-----------------
核心考点
五年考情
考点1.空间向量与平行关系
2023·全国乙卷
2022·全国甲卷
考点2. 空间向量与垂直关系
2023·全国甲卷
2022·全国乙卷
2021·全国甲卷 2021·全国乙卷
考点3.空间向量求异面直线所成的角
2025·全国一卷
考点4. 空间向量求直线与平面所成的角
2023·全国甲卷
2022·全国甲卷 2022·全国乙卷
考点5.求面面角或二面角
2025·全国二卷
2024·新课标Ⅰ卷 2024·新课标Ⅱ卷 2024·全国甲卷
2023·新课标Ⅰ卷 2023·新课标Ⅱ卷 2023·全国乙卷
2022·新高考全国Ⅰ卷 2022·新高考全国Ⅱ卷
2021·新高考全国Ⅰ卷 2021·新高考全国Ⅱ卷
2021·全国甲卷 2021·全国乙卷
🎯【命题解读】（考前必看）
1.空间向量与立体几何是高考的热点，难度以中档或偏难为主，题型涵盖选择，填空和解答题.
（1）从近几年高考情况来看，本章内容在客观题中主要考查借助于空间几何体为载体，考查线线
垂直、线面垂直的探求、空间向量法在解决立体几何位置关系的应用.
（2）在解答题中主要考查线、面位置关系的证明及空间角的计算，建系是解题的关键.
（3）考查的核心素养为逻辑推理、直观想象和数学运算.
2.空间向量与立体几何考查的主要内容有：
（1）以空间几何体为载体考查空间线、面位置关系的证明以及空间角和距离的计算；
（2）以空间向量为辅助工具解决空间角的计算与线、面位置关系的证明.
🎯练教材-----必刷经典母题
【教材母题1】(人教A 版选择性必修第一册P43·T9)已知M,N 分别是正方体ABCD-A'B'C'D'的棱BB'和B'C'的
中点,求:
（1）MN 和CD'所成的角;
（2）MN 和AD 所成的角.
【🚀衔接高考】
(2021·全国乙卷) （一题多解）在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P 为B1D1的中点,则直线PB 与AD1所成的角为(
)
A.π
2 B.π
3
C.π
4 D.π
6
【教材母题2】 (人教A 版选择性必修第一册P34 例6)如图,在棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E 为线段
A1B1的中点,F 为线段AB 的中点.
（1）求点B 到直线AC1的距离;
（2）求直线FC 到平面AEC1的距离.
【教材母题3】 (人教A 版选择性必修第一册P41T3)如图,在三棱锥O-ABC 中,OA,OB,OC 两两垂直,
OA=OC=3,OB=2.求直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值.
【🚀衔接高考】
（1）（2025·北京高考）如图，在四棱锥
中，
与
均为等腰直角三角形，
，E 为BC 的中点．
①若
分别为
的中点，求证：
平面PAB；
②若
平面ABCD，
，求直线AB 与平面PCD 所成角的正弦值．
（2）(2020·新高考Ⅱ卷)如图,四棱锥P-ABCD 的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD 与平面PBC 的交
线为l.
①证明:l⊥平面PDC;
②已知PD=AD=1,Q 为l 上的点,QB=❑√2,求PB 与平面QCD 所成角的正弦值.
【教材母题4】 (人教A 版选择性必修第一册P39·例10)如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是正方形，
侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E 是PC 的中点，作EF⊥PB 交PB 于点F.
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：PB⊥平面EFD；
（3）求平面CPB 与平面PBD 的夹角的大小.
【🚀衔接高考】
（1）（2025·全国一卷）（一题多解）在正三棱柱
中，D 为BC 中点，则（ ）
A．
B．
平面
C．
D．
平面
（2）（2025·天津高考）（一题多解）正方体
的棱长为4，
分别为
中点，
．
①求证：
平面
；
②求平面
与平面
夹角的余弦值；
③求三棱锥
的体积．
（3）（2025·全国二卷）如图，在四边形
中，
，F 为CD 的中点，点E 在AB 上，
，
，将四边形
沿
翻折至四边形
，使得面
与面EFCB 所成
的二面角为
．
①证明:
平面
；
②求面
与面
所成的二面角的正弦值．
（4）(2021·新高考Ⅱ卷)在四棱锥Q－ABCD 中，底面ABCD 是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3.
①证明：平面QAD⊥平面ABCD；
②求二面角B－QD－A 的平面角的余弦值.
【教材母题5】 (人教A 版选择性必修第一册P49T12)如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 满足
AB⊥AD,AB⊥BC,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=0.5.
①求四棱锥S-ABCD 的体积;
②求平面SCD 与平面SAB 的夹角的余弦值.
【教材母题6】 (湘教版选择性必修第二册P112·T19)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E
在棱AB 上移动.
①求证:D1E⊥A1D;
②当点E 为棱AB 的中点时,求点E 到平面ACD1的距离;
③当AE 为何值时,平面D1EC 与平面AECD 所成的角为π
4 ?
【🚀衔接高考】
（1）(2024·新高考Ⅱ卷)如图,平面四边形ABCD 中,AB=8,CD=3,AD=5❑√3,∠ADC=90°,∠BAD=30°,点E,F 满足⃗
AE=2
5⃗AD,⃗AF=1
2⃗AB.将△AEF 沿EF 翻折至△PEF,使得PC=4❑√3.
①证明:EF⊥PD;
②求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值.
（2）(2023·新高考Ⅰ卷) （一题多解）如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,点A2,B2,C2,D2分别在
棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.
①证明:B2C2∥A2D2;
②点P 在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.
🎯读教材-----玩味阅读材料
【阅读】通过阅读《多知道一点——平面方程》(湘教版选择性必修第二册P104),可从中提炼出如下结论:
（1）已知平面α 的法向量n=(A,B,C)和平面上一点P0(x0,y0,z0),则空间任意一点P(x,y,z)在平面上的充要条件为A(x-
x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
（2）已知平面α 的方程为Ax+By+Cz+D=0,其中A,B,C 不同时为0,则n=(A,B,C)是平面α 的法向量.
（3）点P1(x1,y1,z1)到平面Ax+By+Cz+D=0 的距离为d=|A x1+ B y1+C z1+ D|
❑√A
2+ B
2+C
2
.
【🚀新题预测】
(2025·济南模拟)在空间直角坐标系O-xyz 中,任一平面的方程都能表示成Ax+By+Cz+D=0,其中
A,B,C,D∈R,A2+B2+C2≠0,且n=(A,B,C)为该平面的法向量.
已知集合P={(x,y,z)||x|≤1,|y|≤1,|z|≤1},Q={(x,y,z)||x|+|y|+|z|≤2},T={(x,y,z)||x|+|y|≤2,|y|+|z|≤2,|z|+|x|≤2}.
（1）设集合M={(x,y,z)|z=0},记P∩M 中所有点构成的图形的面积为S1,Q∩M 中所有点构成的图形的面积为S2,求
S1和S2的值;
（2）记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为V1,P∩Q 中所有点构成的几何体的体积为V2,求V1和V2的值;
（3）记集合T 中所有点构成的几何体为W.
①求W 的体积V3的值;
②求W 的相邻(有公共棱)两个面所成二面角的大小,并指出W 的面数和棱数.
🎯研教材-----深度探究思考
【探究1】 (人教A 版选择性必修第一册P33)如图,已知直线l 的单位方向向量为u,A 是直线l 上的定点,P 是直
线l 外一点.如何利用这些条件求点P 到直线l 的距离?
【探究2】(人教A 版必修第二册P151 讲解,人教B 版选择性必修第一册P45 讲解拓展)三余弦定理和三正弦定
理如图,AP 是平面α 的一条斜线段,A 是斜足,O 是点P 在平面α 内的射影,AB 是平面α 内的一条射线,OB⊥AB,则:
（1）cos∠PAB=cos∠PAO·cos∠BAO;
（2）sin∠PAO=sin∠PAB·sin∠PBO.
【🚀衔接高考】
（1）(2022·新高考Ⅰ卷) （一题多解）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,△A1BC 的面积为2❑√2.
①求A 到平面A1BC 的距离;
②设D 为A1C 的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C 的正弦值.
（2）(2021·新高考Ⅰ卷) （一题多解）如图,在三棱锥A-BCD 中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O 为BD 的中点.
①证明:OA⊥CD;
②若△OCD 是边长为1 的等边三角形,点E 在棱AD 上,DE=2EA,且二面角E-BC-D 的大小为45°,求三棱锥A-BCD
的体积.
（3）(2021·新高考Ⅱ卷) （一题多解）在四棱锥Q-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,若AD=2,QD=QA=❑√5
,QC=3.
①证明:平面QAD⊥平面ABCD;
②求二面角B-QD-A 的平面角的余弦值.
【探究3】(人教B 版选择性必修第一册P50 讲解拓展)面积射影定理:AB⊂平面α,C∉平面α,CC1⊥平面α,二面角
C-AB-C1的平面角为θ(θ 为锐角),则cos θ=
S△ABC1
S△ABC
.
【🚀衔接高考】
(2024·新高考Ⅰ卷) （一题多解）如图,四棱锥P-ABCD 中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=❑√3.
①若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC;
②若AD⊥DC,且二面角A-CP-D 的正弦值为
❑√42
7
,求AD.
