【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
专题突破练(分值:73 分)
学生用书
P135
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.(2024·吉林模拟预测)已知f(x)={
2
x -1, x<1,
√x
2 , x ≥1.
若f(a)=1,则实数a 的值为( )
A.1
B.4
C.1 或4
D.2
答案B
解析当a<1 时,f(a)=2a-1=1,则a-1=0,解得a=1(舍去);当a≥1 时,f(a)=√a
2
=1,则√a=2,解得a=4.故选B.
2.(2024·山西运城高三统考期末)已知f(x)=
e
x
1-e
ax 是奇函数,则实数a=( )
A.-2
B.-1
C.2
D.1
答案C
解析由题意得f(-x)=-f(x),即
e
- x
1-e
-ax =-
e
x
1-e
ax ,所以e
ax - x
e
ax -1
=-
e
x
1-e
ax ,故eax-x=ex,
所以ax-x=x,解得a=2.故选C.
3.(2024·四川成都二模)已知函数f(x)=2
x
2+2 x +a的值域为M.若(1,+∞)⊆M,则实数a 的取值范围是
(
)
A.(-∞,1)
B.(-∞,1]
C.(1,+∞)
D.[1,+∞)
答案B
解析因为f(x)=2
x
2+2 x +a=2
( x +1)
2-1+a,又(x+1)2-1+a≥a-1,所以f(x)≥2a-1,即函数f(x)的值域M=[2a-1,+∞).若
(1,+∞)⊆M,则2a-1≤1,解得a≤1.故选B.
4.函数f(x)=
e
x+e
- x
a x
2+bx +c
的图象如图所示,则( )
A.a<0,b=0,c<0
B.a<0,b<0,c=0
C.a>0,b=0,c>0
D.a>0,b=0,c<0
答案D
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
解析由图象可知,函数为偶函数,即f(-x)=f(x),即
e
- x+e
x
a x
2-bx +c
=
e
x+e
- x
a x
2+bx +c
,则b=0,B 不正确;由图象可
知f(x)的定义域不是所有的实数,所以ax2+bx+c=0 有解,即ac<0,故A,C 不正确.故选D.
5.(2024·广东深圳模拟预测)已知函数f(x)={
x
2-3 x, x ≤3,
lo g3 x, x>3, 若∃x0∈R,使得f(x0)≤10m+4m2成立,则实
数m 的取值范围为( )
A.[- 9
4 ,- 1
4]
B.[- 5
2 ,0]
C.(-∞,- 9
4]∪[- 1
4 ,+∞)
D.(-∞,- 5
2]∪[0,+∞)
答案C
解析因为函数y=x2-3x 在区间(-∞, 3
2]上单调递减,在区间(
3
2 ,3)上单调递增,所以当x=3
2
时,函数
y=x2-3x,x≤3 取得最小值-9
4
.
又因为函数y=log3x 在区间(3,+∞)上单调递增,所以当x>3 时,log3x>1.
综上可得函数f(x)={
x
2-3 x, x ≤3,
lo g3 x, x>3 的最小值为-9
4 .
因为∃x0∈R,使得f(x0)≤10m+4m2成立,
所以-9
4
≤10m+4m2,解得m≤-9
4
或m≥-1
4
.故选C.
6.(2024·四川模拟预测)已知f(x)为定义在R 上的单调函数,且∀x∈R,f(f(x)-ex)=2+ln 2,则f(ln 3)=( )
A.3ln 2
B.3+ln 2
C.3-ln 2
D.ln 3
答案B
解析设f(x)-ex=t,则f(x)=ex+t,
所以f(t)=et+t=2+ln 2,即et+ln et=2+ln 2,
设g(x)=x+ln x(x>0),易知g(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以et=2,即t=ln 2,故f(x)=ex+ln 2,
所以f(ln 3)=eln 3+ln 2=3+ln 2.
故选B.
7.(2024·四川成都二模)已知函数f(x)=ln(x+√x
2+1)-
2
2
x+1
,且f(x1)+f(x2)+2<0,则( )
A.x1+x2<0
B.x1+x2>0
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
C.x1+x2>-2
D.x1+x2<-2
答案A
解析由已知f(-x)+f(x)=ln(√1+ x
2-x)-
2
1+2
- x +ln(√1+ x
2+x)-
2
1+2
x =ln[(√1+ x
2-x)(√1+ x
2+x)]-
2·2
x
1+2
x -
2
1+2
x =-2,
因为f(x1)+f(x2)+2<0,令g(x)=f(x)+1,则定义域为R,则g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)+2=0,故g(x)为奇函数,又
y=ln(x+√x
2+1),y=-
2
2
x+1
在[0,+∞)上单调递增,则g(x)在[0,+∞)上单调递增,又其为奇函数,
故g(x)在R 上单调递增,
所以g(x1)+g(x2)<0,即g(x1)<-g(x2)=g(-x2),
所以x1<-x2,即x1+x2<0.故选A.
8.已知函数f(x)={
x
2, x ≥0,
-2| x +1|+2, x<0,
若存在唯一的整数x,使得2f ( x )-1
x -a
<0 成立,则所有满足条
件的整数a 的取值集合为( )
A.{-2,-1,0,1}
B.{-2,-1,0}
C.{-1,0,1}
D.{-2,1}
答案A
解析画出f(x)的图象,
由2f ( x )-1
x -a
<0 得f ( x )- 1
2
x -a
<0,此式表示点(x,f(x))与点(a, 1
2)
所在直线的斜率小于0.
由题可知曲线上只有一个点(x,f(x))(x 为整数)和点(a, 1
2)所在直线的斜率小于0,而点(a, 1
2)在直线
y=1
2
上运动,因为f(0)=0,f(-1)=2,f(-2)=0,f(1)=1,由图可得
当a>1 时,存在点(-1,2)和(1,1)满足f ( x )- 1
2
x -a
<0,不合题意;
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
当0≤a≤1 时,只有点(-1,2)满足f ( x )- 1
2
x -a
<0;
当-1<a<0 时,存在点(0,0)和(-1,2)满足f ( x )- 1
2
x -a
<0,不合题意;
当-2≤a≤-1 时,只有点(0,0)满足f ( x )- 1
2
x -a
<0;
当a<-2 时,存在点(0,0)和(-2,0)满足f ( x )- 1
2
x -a
<0,不合题意.
综上可得a 的范围是[-2,-1]∪[0,1],故所有满足条件的整数a 的取值集合为{-2,-1,0,1}.故选A.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2024·山东临沂一模)已知函数f(x)=
2
2
x -1
+a(a∈R),则下列结论中一定正确的是( )
A.f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
B.f(x)的值域为R
C.当a=1 时,f(x)为奇函数
D.当a=2 时,f(-x)+f(x)=2
答案ACD
解析对于函数f(x)=
2
2
x -1
+a(a∈R),令2x-1≠0,解得x≠0,所以f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),故A 正确;
因为2x>0 且2x≠1,当2x-1>0 时,
2
2
x -1
>0,
2
2
x -1
+a>a,当-1<2x-1<0 时,
2
2
x -1
<-2,所以
2
2
x -1
+a<-2+a,
综上,f(x)的值域为(-∞,-2+a)∪(a,+∞),故B 错误;
当a=1 时,f(x)=
2
2
x -1
+1=2
x+1
2
x -1
,
则f(-x)=2
- x+1
2
- x -1
=-2
x+1
2
x -1
=-f(x),
所以f(x)=
2
2
x -1
+1 为奇函数,故C 正确;
当a=2 时,f(x)=
2
2
x -1
+2=
2
2
x -1
+1+1,
则f(-x)+f(x)=0+1+1=2,故D 正确.
故选ACD.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
10.函数D(x)={
2, x∈Q,
3, x∉Q,
则下列结论中一定正确的是( )
A.D(π)>D(3.14)
B.D(x)的值域为[2,3]
C.D(D(x))是偶函数
D.∀a∈R,D(x+a)=D(a-x)
答案AC
解析D(π)=3,D(3.14)=2,D(π)>D(3.14),A 正确;
由D(x)={
2, x∈Q,
3, x∉Q,
得D(x)的值域为{2,3},B 错误;
当x∈Q 时,-x∈Q,D(D(x))=D(2)=2,D(D(-x))=D(2)=2,
所以D(D(x))=D(D(-x)),当x∉Q 时,-x∉Q,D(D(x))=D(3)=2,D(D(-x))=D(3)=2,D(D(x))=D(D(-x)),
所以D(D(x))为偶函数,C 正确;
当x=√2时,取a=1-√2,此时D(x+a)=D(1)=2,D(a-x)=D(1-2√2)=3,则D(x+a)≠D(a-x),D 错误.故选AC.
11.(2024·湖南衡阳二模)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,g(x+4)-3 是奇函数,且g(x)-f(x-2)=2,f(x)
+g(x+6)=4,g(2)=4,则
( )
A.g(4)=3
B.f(x)为奇函数
C.g(x+2)为偶函数
D.∑
k =1
175f(k)=174
答案ACD
解析由g(x+4)-3 是奇函数,则g(-x+4)-3=-g(x+4)+3,即g(-x+4)+g(x+4)=6,令x=0,则g(4)=3,故A 正确;
由g(x)-f(x-2)=2,g(2)=4,令x=2,则f(0)=2≠0,故f(x)不是奇函数,故B 错误;
由g(-x+4)+g(x+4)=6,令x=x-2,则g(-x+6)+g(x+2)=6,
故g(x+2)=6-g(-x+6),所以g(-x+2)=6-g(x+6)=6-(4-f(x))=2+f(x),
而g(x)-f(x-2)=2,则g(x+2)-f(x)=2,故g(x+2)=2+f(x)=g(-x+2),
所以g(x+2)是偶函数,故C 正确;
因为g(x)-f(x-2)=2,
所以g(x+6)-f(x+4)=2,
又因为f(x)+g(x+6)=4,
所以f(x)+f(x+4)=2,
所以f(x+4)+f(x+8)=2,
所以f(x)=f(x+8),
所以f(x)的周期为8,
因为g(x)-f(x-2)=2,所以g(x+4)-f(x+2)=2,g(4-x)-f(2-x)=2,
所以g(x+4)+g(4-x)-f(x+2)-f(2-x)=4,
即f(x+2)+f(2-x)=2,
因为g(2)=4,所以由g(x)-f(x-2)=2,得g(2)-f(0)=2,得f(0)=2,
由f(x+2)+f(2-x)=2,得f(2)=1,f(4)+f(0)=2,f(3)+f(1)=2,
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
因为f(x)的周期为8,
所以f(5)=f(-3)=f(3),f(6)=f(-2)=f(2)=1,f(7)=f(-1)=f(1),f(8)=f(0)=2,
所以∑
k =1
8 f(k)=8,
所以∑
k =1
175f(k)=21×8+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=174,故D 正确.
故选ACD.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.(2024·福建龙岩一模)定义在R 上的函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在(-∞,2]上单调递减,则不等
式f(2x+3)≤f(1)的解集为 .
答案[-1,0]
解析因为函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),
所以f(x)的图象关于直线x=2 对称,
又f(x)在(-∞,2]上单调递减,
所以f(x)在[2,+∞)上单调递增.
由f(2x+3)≤f(1),得|2x+3-2|≤|1-2|,
即|2x+1|≤1,解得-1≤x≤0,
则不等式的解集为[-1,0].
13.(2024·北京朝阳一模)已知函数f(x)={
| x -1|, x ≤2,
5- x, x>2,
若实数a,b,c(a<b<c)满足f(a)=f(b)=f(c),则
a+b= ;a+b+c 的取值范围是 .
答案2 [6,7)
解析由f(x)={
| x -1|, x ≤2,
5- x, x>2,
故f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上单调递减,在(1,2)上单调递增,且有
f(1)=0,f(2)=1,f(0)=1,f(4)=1,f(5)=0,
由f(a)=f(b)=f(c),
则0≤a<1<b≤2<4≤c<5,
当x∈(0,2)时,f(x)=|x-1|,f(x)的图象关于直线x=1 对称,故a+b=2,
则a+b+c=2+c∈[6,7).
14.已知函数f(x)= x
x -1
,g(x)=ex-1-e-x+1+1,则f(x)与g(x)的图象交点的纵坐标之和为
.
答案2
解析对于f(x)= x
x -1 =
1
x -1
+1,可以把f(x)的图象看作由f1(x)= 1
x -1
的图象向上平移1 个单位长度得
到,
而f1(x)的图象可看作由f2(x)=1
x
的图象向右平移1 个单位长度得到.
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
对于g(x)=ex-1-e-x+1+1=ex-1- 1
e
x -1+1 的图象可看作由g1(x)=ex-1- 1
e
x -1的图象向上平移1 个单位长度得到,
而g1(x)的图象可看作由g2(x)=ex- 1
e
x 的图象向右平移1 个单位长度得到.
易知f2(x)=1
x
与g2(x)=ex- 1
e
x 都为奇函数,则易知f2(x)与g2(x)的图象共有两个关于原点对称的交点,且交
点的纵坐标之和为0.
因为将函数图象向右平移不改变f2(x)与g2(x)两函数图象交点处纵坐标的大小,
所以f1(x)与g1(x)的图象交点的纵坐标之和为0.
因为将函数图象向上平移1 个单位长度会使得原交点处的纵坐标都增加1,
则f(x)与g(x)的图象的两个交点的纵坐标与f1(x)与g1(x)的图象的两个交点的纵坐标相比都增加1,故
f(x)与g(x)的图象交点的纵坐标之和为2.
